शिकारी-शिकार प्रकार के गणितीय मॉडल की स्थिरता। कोर्टवर्क: शिकारी-शिकार मॉडल का गुणात्मक अध्ययन

कोलमोगोरोव का मॉडल एक महत्वपूर्ण धारणा बनाता है: चूंकि यह माना जाता है कि इसका मतलब है कि शिकार की आबादी में ऐसे तंत्र हैं जो शिकारियों की अनुपस्थिति में भी उनकी बहुतायत को नियंत्रित करते हैं।

दुर्भाग्य से, मॉडल का ऐसा निरूपण हमें उस प्रश्न का उत्तर देने की अनुमति नहीं देता जिसके इर्द-गिर्द हाल के समय मेंबहुत विवाद है और हमने पहले ही अध्याय की शुरुआत में उल्लेख किया है: एक शिकारी आबादी एक शिकार आबादी पर नियामक प्रभाव कैसे डाल सकती है ताकि पूरी प्रणाली स्थिर हो? इसलिए, हम मॉडल (2.1) पर लौटेंगे, जिसमें शिकार की आबादी (साथ ही शिकारी आबादी में) में स्व-नियमन के कोई तंत्र नहीं हैं (उदाहरण के लिए, इंट्रास्पेसिफिक प्रतियोगिता की मदद से विनियमन); इसलिए, एक समुदाय में प्रजातियों की बहुतायत को विनियमित करने के लिए एकमात्र तंत्र शिकारियों और शिकार के बीच पोषी संबंध है।

यहां (इसलिए, पिछले मॉडल के विपरीत, यह स्वाभाविक है कि समाधान (2.1) विशिष्ट प्रकार के ट्रॉफिक फ़ंक्शन पर निर्भर करते हैं, जो बदले में, शिकार की प्रकृति, यानी शिकारी की ट्रॉफिक रणनीति से निर्धारित होता है। शिकार की रक्षात्मक रणनीति इन सभी कार्यों के लिए सामान्य (चित्र I देखें) निम्नलिखित गुण हैं:

सिस्टम (2.1) में एक गैर-तुच्छ स्थिर बिंदु होता है जिसके निर्देशांक समीकरणों से निर्धारित होते हैं

प्राकृतिक सीमा के साथ।

तुच्छ साम्य के संगत एक और स्थिर बिंदु (0, 0) है। यह दिखाना आसान है कि यह बिंदु एक काठी है, और समन्वय अक्ष अलगाव हैं।

किसी बिंदु के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का रूप होता है

जाहिर है, शास्त्रीय वोल्टेरा मॉडल के लिए।

इसलिए, f के मान को वोल्टेरा वन से माने गए मॉडल के विचलन के माप के रूप में माना जा सकता है।

स्थिर बिंदु फोकस है, और सिस्टम में दोलन दिखाई देते हैं; जब विपरीत असमानता पूरी हो जाती है, तो यह एक नोड होता है, और सिस्टम में कोई दोलन नहीं होता है। इस संतुलन अवस्था की स्थिरता स्थिति द्वारा निर्धारित की जाती है

अर्थात्, यह अनिवार्य रूप से परभक्षी के पोषी कार्य के प्रकार पर निर्भर करता है।

स्थिति (5.5) की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: शिकारी-शिकार प्रणाली (और इस प्रकार इस प्रणाली के अस्तित्व के लिए) के गैर-तुच्छ संतुलन की स्थिरता के लिए, यह पर्याप्त है कि, इस राज्य के आसपास, के सापेक्ष अनुपात शिकारियों द्वारा खाए जाने वाले शिकार शिकार की संख्या में वृद्धि के साथ बढ़ते हैं। दरअसल, एक शिकारी द्वारा खाए गए शिकार (उनकी कुल संख्या में से) के अनुपात को एक अलग-अलग कार्य द्वारा वर्णित किया जाता है जिसकी वृद्धि की स्थिति (व्युत्पन्न की सकारात्मकता) दिखती है

बिंदु पर ली गई अंतिम स्थिति, संतुलन स्थिरता की स्थिति (5.5) के अलावा और कुछ नहीं है। निरंतरता के साथ, यह बिंदु के किसी पड़ोस में भी होना चाहिए।इस प्रकार, यदि इस पड़ोस में पीड़ितों की संख्या है, तो

अब मान लीजिए कि पोषी फलन V का रूप चित्र में दिखाया गया है। 11a (अकशेरुकी जीवों की विशेषता)। यह दिखाया जा सकता है कि सभी परिमित मूल्यों के लिए (चूंकि यह ऊपर की ओर उत्तल है)

यानी, पीड़ितों की स्थिर संख्या के किसी भी मूल्य के लिए असमानता (5.5) संतुष्ट नहीं है।

इसका मतलब यह है कि इस प्रकार के ट्राफिक फ़ंक्शन वाले सिस्टम में कोई स्थिर गैर-तुच्छ संतुलन नहीं होता है। कई परिणाम संभव हैं: या तो शिकार और शिकारी दोनों की संख्या अनिश्चित काल के लिए बढ़ जाती है, या (जब प्रक्षेपवक्र समन्वय अक्षों में से एक के पास से गुजरता है), यादृच्छिक कारणों से, शिकार की संख्या या शिकारी की संख्या बन जाएगी शून्य के बराबर। यदि शिकार मर जाता है, तो शिकारी कुछ समय बाद मर जाएगा, लेकिन यदि शिकारी पहले मर जाता है, तो शिकार की संख्या तेजी से बढ़ने लगेगी। तीसरा विकल्प - एक स्थिर सीमा चक्र का उदय - असंभव है, जो आसानी से सिद्ध हो जाता है।

दरअसल, अभिव्यक्ति

धनात्मक चतुर्थांश में हमेशा धनात्मक होता है, जब तक कि यह आकृति में दिखाया गया रूप न हो। 11, ए. फिर, दुलैक की कसौटी के अनुसार, इस क्षेत्र में कोई बंद प्रक्षेपवक्र नहीं हैं, और एक स्थिर सीमा चक्र मौजूद नहीं हो सकता है।

तो, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: यदि ट्रॉफिक फ़ंक्शन का रूप अंजीर में दिखाया गया है। 11a, तो शिकारी एक नियामक नहीं हो सकता है जो शिकार की आबादी की स्थिरता सुनिश्चित करता है और इस प्रकार संपूर्ण प्रणाली की स्थिरता को सुनिश्चित करता है। प्रणाली केवल तभी स्थिर हो सकती है जब शिकार की आबादी का अपना आंतरिक नियामक तंत्र हो, जैसे कि इंट्रास्पेसिफिक प्रतियोगिता या एपिज़ूटिक्स। इस विनियमन विकल्प पर पहले ही 3, 4 में विचार किया जा चुका है।

पहले यह नोट किया गया था कि इस प्रकार का ट्राफिक कार्य कीट शिकारियों की विशेषता है, जिनके "पीड़ित" भी आमतौर पर कीड़े होते हैं। दूसरी ओर, "शिकारी-शिकार" प्रकार के कई प्राकृतिक समुदायों की गतिशीलता के अवलोकन, जिसमें कीट प्रजातियां शामिल हैं, से पता चलता है कि वे एक बहुत बड़े आयाम और एक बहुत ही विशिष्ट प्रकार के उतार-चढ़ाव की विशेषता है।

आमतौर पर, संख्या में अधिक या कम क्रमिक वृद्धि के बाद (जो या तो नीरस रूप से या बढ़ते आयाम के साथ उतार-चढ़ाव के रूप में हो सकता है), इसकी तेज गिरावट होती है (चित्र 14), और फिर पैटर्न खुद को दोहराता है। जाहिर है, कीट प्रजातियों की बहुतायत की गतिशीलता की इस प्रकृति को बहुतायत के निम्न और मध्यम मूल्यों पर इस प्रणाली की अस्थिरता और बड़े मूल्यों पर बहुतायत के शक्तिशाली इंट्रापॉपुलेशन नियामकों की कार्रवाई द्वारा समझाया जा सकता है।

चावल। अंजीर। 14. ऑस्ट्रेलियाई साइलिड कार्डियास्पिना एल्बीटेक्सुरा की जनसंख्या की गतिशीलता नीलगिरी पर खिलाती है। (लेख से: क्लार्क एल। आर। कार्डियास्पिना अल्बिटेक्सुरा की जनसंख्या गतिशीलता।-ऑस्ट्र। जे। ज़ूल।, 1964, 12, संख्या 3, पी। 362-380।)

यदि "शिकारी-शिकार" प्रणाली में जटिल व्यवहार करने में सक्षम प्रजातियां शामिल हैं (उदाहरण के लिए, शिकारी सीखने में सक्षम हैं या शिकार आश्रय खोजने में सक्षम हैं), तो ऐसी प्रणाली में एक स्थिर गैर-तुच्छ संतुलन मौजूद हो सकता है। इस दावे का प्रमाण काफी सरल है।

दरअसल, ट्रॉफिक फ़ंक्शन को तब अंजीर में दिखाया गया रूप होना चाहिए। 11, सी. इस ग्राफ पर बिंदु निर्देशांक की उत्पत्ति से खींची गई सीधी रेखा का संपर्क बिंदु है, ट्रॉफिक फ़ंक्शन का ग्राफ। यह स्पष्ट है कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अधिकतम है। यह दिखाना भी आसान है कि शर्त (5.5) सभी के लिए संतुष्ट है। इसलिए, एक गैर-तुच्छ संतुलन जिसमें पीड़ितों की संख्या कम है, स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर होगा

हालाँकि, हम इस बारे में कुछ नहीं कह सकते हैं कि इस संतुलन की स्थिरता का क्षेत्र कितना बड़ा है। उदाहरण के लिए, यदि कोई अस्थिर सीमा चक्र है, तो यह क्षेत्र चक्र के अंदर होना चाहिए। या एक अन्य प्रकार: गैर-तुच्छ संतुलन (5.2) अस्थिर है, लेकिन एक स्थिर सीमा चक्र है; इस मामले में, कोई भी शिकारी-शिकार प्रणाली की स्थिरता के बारे में बात कर सकता है। चूंकि अंजीर की तरह एक ट्रॉफिक फ़ंक्शन का चयन करते समय अभिव्यक्ति (5.7)। 11, में बदलते समय साइन बदल सकता है, तो यहां ड्यूलैक मानदंड काम नहीं करता है और सीमा चक्रों के अस्तित्व का सवाल खुला रहता है।

सशुल्क शैक्षिक सेवाओं के प्रावधान पर अनुबंध दिनांक _______, 20___ के लिए

शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय रूसी संघ

लिस्वा शाखा

पर्म राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय

ईएच . विभाग

कोर्स वर्क

अनुशासन में "सिस्टम की मॉडलिंग"

विषय: शिकारी-शिकार प्रणाली

पूरा हुआ:

छात्र जीआर। BIVT-06

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शिक्षक द्वारा जाँच की गई:

शेस्ताकोव ए.पी.

लिस्वा, 2010

सार

परभक्षण जीवों के बीच एक पोषी संबंध है जिसमें उनमें से एक (शिकारी) दूसरे (शिकार) पर हमला करता है और उसके शरीर के कुछ हिस्सों को खाता है, यानी आमतौर पर शिकार को मारने की क्रिया होती है। परभक्षण लाशों (नेक्रोफैगी) और उनके जैविक अपघटन उत्पादों (डिट्रिटोफैगी) को खाने के विरोध में है।

शिकार की एक और परिभाषा भी काफी लोकप्रिय है, यह सुझाव देते हुए कि केवल जीव जो जानवरों को खाते हैं उन्हें शिकारी कहा जाता है, पौधों को खाने वाले जड़ी-बूटियों के विपरीत।

बहुकोशिकीय जानवरों के अलावा, प्रोटिस्ट, कवक और उच्च पौधे शिकारी के रूप में कार्य कर सकते हैं।

शिकारियों की आबादी का आकार उनके शिकार की आबादी के आकार को प्रभावित करता है और इसके विपरीत, जनसंख्या की गतिशीलता का वर्णन लोटका-वोल्टेरा गणितीय मॉडल द्वारा किया जाता है, हालांकि, यह मॉडल अमूर्तता का एक उच्च स्तर है, और इसका वर्णन नहीं करता है शिकारी और शिकार के बीच वास्तविक संबंध, और इसे केवल गणितीय अमूर्तता के सन्निकटन की पहली डिग्री के रूप में माना जा सकता है।

सह-विकास की प्रक्रिया में, शिकारी और शिकार एक दूसरे के अनुकूल हो जाते हैं। शिकारियों का पता लगाने और हमले के साधन विकसित और विकसित होते हैं, जबकि शिकार छिपाने और सुरक्षा के साधन विकसित करते हैं। इसीलिए सबसे बड़ा नुकसानपीड़ितों को उनके लिए नए शिकारियों द्वारा भड़काया जा सकता है, जिसके साथ उन्होंने अभी तक "हथियारों की दौड़" में प्रवेश नहीं किया है।

शिकारी एक या कुछ शिकार प्रजातियों में विशेषज्ञ हो सकते हैं, जो उन्हें शिकार में औसतन अधिक सफल बनाता है, लेकिन इन प्रजातियों पर निर्भरता बढ़ाता है।

शिकारी-शिकार प्रणाली।

शिकारी-शिकार की बातचीत जीवों के बीच मुख्य प्रकार का ऊर्ध्वाधर संबंध है, जिसमें खाद्य श्रृंखलाओं के साथ पदार्थ और ऊर्जा को स्थानांतरित किया जाता है।

संतुलन वी. एक्स. - तथा। सबसे आसानी से हासिल अगर खाद्य श्रृंखलाकम से कम तीन लिंक हैं (उदाहरण के लिए, घास - वोल - लोमड़ी)। इसी समय, फाइटोफेज आबादी का घनत्व खाद्य श्रृंखला के निचले और ऊपरी दोनों लिंक के साथ संबंधों द्वारा नियंत्रित होता है।

शिकार की प्रकृति और शिकारी के प्रकार (सच्चा, चारागाह) के आधार पर, उनकी आबादी की गतिशीलता की विभिन्न निर्भरताएं संभव हैं। इसी समय, तस्वीर इस तथ्य से जटिल है कि शिकारी बहुत कम ही मोनोफेज होते हैं (अर्थात, वे एक प्रकार के शिकार को खिलाते हैं)। अक्सर, जब एक प्रकार के शिकार की आबादी कम हो जाती है और इसके अधिग्रहण के लिए बहुत अधिक प्रयास की आवश्यकता होती है, तो शिकारी दूसरे प्रकार के शिकार पर चले जाते हैं। इसके अलावा, शिकार की एक आबादी का कई प्रकार के शिकारियों द्वारा शोषण किया जा सकता है।

इस कारण से, शिकार जनसंख्या स्पंदन का प्रभाव अक्सर पारिस्थितिक साहित्य में वर्णित होता है, जिसके बाद एक निश्चित देरी के साथ एक शिकारी आबादी की धड़कन होती है, प्रकृति में अत्यंत दुर्लभ है।

जानवरों में शिकारियों और शिकार के बीच संतुलन विशेष तंत्र द्वारा बनाए रखा जाता है जो शिकार के पूर्ण विनाश को बाहर करता है। उदाहरण के लिए, पीड़ित कर सकते हैं:

• एक शिकारी से दूर भागो (इस मामले में, प्रतियोगिता के परिणामस्वरूप, पीड़ितों और शिकारियों दोनों की गतिशीलता बढ़ जाती है, जो विशेष रूप से स्टेपी जानवरों के लिए विशिष्ट है, जो अपने पीछा करने वालों से छिपाने के लिए कहीं नहीं हैं);
• अधिग्रहण करना सुरक्षात्मक रंगाई (<притворяться>पत्तियां या गांठें) या, इसके विपरीत, एक उज्ज्वल (उदाहरण के लिए, लाल) रंग जो एक शिकारी को कड़वे स्वाद के बारे में चेतावनी देता है;
• आश्रयों में छिपाओ;
• सक्रिय रक्षा उपायों (सींग वाले शाकाहारी, काँटेदार मछली) की ओर बढ़ना, अक्सर संयुक्त (शिकार पक्षी सामूहिक रूप से पतंग, नर हिरण और साइगा को दूर भगाते हैं)<круговую оборону>भेड़ियों, आदि से)।

अक्सर एक प्रजाति (जनसंख्या) के सदस्य दूसरी प्रजाति के सदस्यों को खाते हैं।

लोटका-वोल्टेरा मॉडल "शिकारी-शिकार" प्रकार की दो आबादी के पारस्परिक अस्तित्व का एक मॉडल है।

"शिकारी-शिकार" मॉडल पहली बार 1925 में ए। लोटका द्वारा प्राप्त किया गया था, जिन्होंने इसका उपयोग जैविक आबादी के परस्पर क्रिया की गतिशीलता का वर्णन करने के लिए किया था। 1926 में, लोटका से स्वतंत्र रूप से, समान (इसके अलावा, अधिक जटिल) मॉडल इतालवी गणितज्ञ वी। वोल्टेरा द्वारा विकसित किए गए थे, जिनके क्षेत्र में गहन शोध किया गया था। पर्यावरण के मुद्देंनींव रखी गणितीय सिद्धांतजैविक समुदाय या तथाकथित। गणितीय पारिस्थितिकी।

पर गणितीय रूपसमीकरणों की प्रस्तावित प्रणाली का रूप है:

जहां x शिकार की संख्या है, y शिकारियों की संख्या है, t समय है, α, β, , गुणांक हैं जो आबादी के बीच बातचीत को दर्शाते हैं।

समस्या का निरूपण

एक बंद जगह पर विचार करें जिसमें दो आबादी हैं - शाकाहारी ("पीड़ित") और शिकारी। यह माना जाता है कि जानवरों का आयात या निर्यात नहीं किया जाता है और शाकाहारी लोगों के लिए पर्याप्त भोजन है। तब पीड़ितों (केवल पीड़ित) की संख्या बदलने का समीकरण रूप लेगा:

जहां $α$ पीड़ितों की जन्म दर है,

$x$ शिकार की आबादी का आकार है,

$\frac(dx)(dt)$ शिकार की आबादी की वृद्धि दर है।

जब शिकारी शिकार नहीं कर रहे होते हैं, तो वे विलुप्त हो सकते हैं, इसलिए शिकारियों (केवल शिकारियों) की संख्या के लिए समीकरण बन जाता है:

जहां $γ$ शिकारियों का विलुप्त होने का गुणांक है,

$y$ शिकारी आबादी का आकार है,

$\frac(dy)(dt)$ शिकारी आबादी की वृद्धि दर है।

जब शिकारी और शिकार मिलते हैं (बैठकों की आवृत्ति सीधे उत्पाद के समानुपाती होती है), तो शिकारी एक गुणांक के साथ शिकार को नष्ट कर देते हैं, अच्छी तरह से खिलाए गए शिकारी एक गुणांक के साथ संतानों को पुन: उत्पन्न कर सकते हैं। इस प्रकार, मॉडल के समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगा:

समस्या का समाधान

आइए हम "शिकारी-शिकार" प्रकार की दो जैविक आबादी के सह-अस्तित्व के गणितीय मॉडल का निर्माण करें।

दो जैविक आबादी को एक अलग वातावरण में एक साथ रहने दें। माध्यम स्थिर है और प्रदान करता है असीमित मात्राजीवन के लिए आवश्यक हर चीज के साथ, बलिदान एक प्रकार है। एक अन्य प्रजाति - एक शिकारी - भी स्थिर परिस्थितियों में रहती है, लेकिन केवल शिकार पर ही भोजन करती है। बिल्लियाँ, भेड़िये, पाइक, लोमड़ी शिकारियों के रूप में कार्य कर सकते हैं, और मुर्गियाँ, खरगोश, क्रूसियन, चूहे, क्रमशः शिकार के रूप में कार्य कर सकते हैं।

निश्चितता के लिए, आइए बिल्लियों को शिकारियों के रूप में और मुर्गियों को शिकार के रूप में देखें।

तो, मुर्गियां और बिल्लियाँ कुछ अलग जगह में रहती हैं - घरेलू यार्ड। पर्यावरण मुर्गियों को असीमित भोजन प्रदान करता है, जबकि बिल्लियाँ केवल मुर्गियों को खाती हैं। द्वारा निरूपित करें

$x$ - मुर्गियों की संख्या,

$y$ बिल्लियों की संख्या है।

समय के साथ, मुर्गियों और बिल्लियों की संख्या में परिवर्तन होता है, लेकिन हम $x$ और $y$ को समय t के निरंतर कार्य के रूप में मानेंगे। आइए मॉडल की स्थिति $x, y)$ संख्याओं की एक जोड़ी को कॉल करें।

आइए जानें कि मॉडल $(x, y).$ की स्थिति कैसे बदलती है

मुर्गियों की संख्या में परिवर्तन की दर $\frac(dx)(dt)$ पर विचार करें।

यदि बिल्लियाँ नहीं हैं, तो मुर्गियों की संख्या बढ़ती है और जितनी तेज़ी से मुर्गियाँ होती हैं। हम निर्भरता रैखिक पर विचार करेंगे:

$\frac(dx)(dt) a_1 x$,

$a_1$ एक गुणांक है जो केवल मुर्गियों की रहने की स्थिति, उनकी प्राकृतिक मृत्यु दर और जन्म दर पर निर्भर करता है।

$\frac(dy)(dt)$ - बिल्लियों की संख्या में परिवर्तन की दर (यदि मुर्गियां नहीं हैं), बिल्लियों की संख्या y पर निर्भर करती है।

यदि मुर्गियां नहीं हैं, तो बिल्लियों की संख्या कम हो जाती है (उनके पास भोजन नहीं है) और वे मर जाते हैं। हम निर्भरता रैखिक पर विचार करेंगे:

$\frac(dy)(dt) - a_2 y$।

पारिस्थितिकी तंत्र में, प्रत्येक प्रजाति की संख्या में परिवर्तन की दर को भी उसकी संख्या के समानुपाती माना जाएगा, लेकिन केवल एक अन्य प्रजाति के व्यक्तियों की संख्या के आधार पर एक गुणांक के साथ। तो, मुर्गियों के लिए, यह गुणांक बिल्लियों की संख्या में वृद्धि के साथ घटता है, और बिल्लियों के लिए, यह मुर्गियों की संख्या में वृद्धि के साथ बढ़ता है। हम मान लेंगे कि निर्भरता भी रैखिक है। तब हमें अंतर समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:

समीकरणों की इस प्रणाली को वोल्टेरा-लोटका मॉडल कहा जाता है।

a1, a2, b1, b2 संख्यात्मक गुणांक हैं, जिन्हें मॉडल पैरामीटर कहा जाता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मॉडल (x, y) की स्थिति में परिवर्तन की प्रकृति मापदंडों के मूल्यों से निर्धारित होती है। इन मापदंडों को बदलकर और मॉडल के समीकरणों की प्रणाली को हल करके, पारिस्थितिक तंत्र की स्थिति में परिवर्तन के पैटर्न का अध्ययन करना संभव है।

MATLAB प्रोग्राम का उपयोग करते हुए, लोटका-वोल्टेरा समीकरणों की प्रणाली को निम्नानुसार हल किया जाता है:

अंजीर पर। 1 प्रणाली का समाधान दिखाता है। प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर, समाधान भिन्न होते हैं, जो इसके अनुरूप होते हैं अलग - अलग रंगप्रक्षेप पथ

अंजीर पर। 2 समान समाधान दिखाता है, लेकिन समय अक्ष t को ध्यान में रखते हुए (अर्थात, समय पर निर्भरता होती है)।

20 के दशक में वापस। ए। लोटका, और कुछ समय बाद, उनसे स्वतंत्र रूप से, वी। वोल्टेरा ने गणितीय मॉडल प्रस्तावित किए जो शिकारी और शिकार आबादी के आकार में संयुग्म उतार-चढ़ाव का वर्णन करते हैं। लोटका-वोल्टेरा मॉडल के सबसे सरल संस्करण पर विचार करें। मॉडल कई मान्यताओं पर आधारित है:

1) शिकारी की अनुपस्थिति में शिकार की आबादी तेजी से बढ़ती है,

2) शिकारियों का दबाव इस वृद्धि को रोकता है,

3) शिकार की मृत्यु शिकारी और शिकार के बीच मुठभेड़ों की आवृत्ति के समानुपाती होती है (या अन्यथा, उनकी जनसंख्या घनत्व के उत्पाद के समानुपाती);

4) एक शिकारी की जन्म दर शिकार की खपत की तीव्रता पर निर्भर करती है।

शिकार की आबादी में परिवर्तन की तात्कालिक दर को समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है

डीएन वेल / डीटी = आर 1 एन वेल - पी 1 एन वेल एन एक्स,

जहां आर 1 - शिकार की जनसंख्या वृद्धि की विशिष्ट तात्कालिक दर, पी 1 - शिकार की मृत्यु दर से शिकारी के घनत्व से संबंधित निरंतर, ए एन तथा एन एक्स - क्रमशः शिकार और शिकारी की घनत्व।

इस मॉडल में शिकारी आबादी की तात्कालिक वृद्धि दर को जन्म दर और निरंतर मृत्यु दर के बीच के अंतर के बराबर माना जाता है:

डीएन एक्स / डीटी \u003d पी 2 एन एफ एन एक्स - डी 2 एन एक्स,

जहां p2 - शिकारियों की आबादी में जन्म दर का शिकार के घनत्व से निरंतर संबंध, एक घ 2 - एक शिकारी की विशिष्ट मृत्यु दर।

उपरोक्त समीकरणों के अनुसार, प्रत्येक परस्पर क्रिया करने वाली जनसंख्या अपनी वृद्धि में केवल अन्य जनसंख्या द्वारा सीमित होती है, अर्थात। शिकार की संख्या में वृद्धि शिकारियों के दबाव से सीमित होती है, और शिकारियों की संख्या में वृद्धि शिकार की अपर्याप्त संख्या से सीमित होती है। कोई आत्म-सीमित आबादी नहीं मानी जाती है। उदाहरण के लिए, यह माना जाता है कि पीड़ित के लिए हमेशा पर्याप्त भोजन होता है। यह भी उम्मीद नहीं है कि शिकार की आबादी शिकारी के नियंत्रण से बाहर हो जाएगी, हालांकि वास्तव में ऐसा अक्सर होता है।

लोटका-वोल्टेरा मॉडल की पारंपरिकता के बावजूद, यह ध्यान देने योग्य है यदि केवल इसलिए कि यह दिखाता है कि कैसे दो आबादी के बीच बातचीत की ऐसी आदर्श प्रणाली भी उनकी संख्या की जटिल गतिशीलता उत्पन्न कर सकती है। इन समीकरणों की प्रणाली का समाधान हमें प्रत्येक प्रजाति के निरंतर (संतुलन) बहुतायत को बनाए रखने के लिए शर्तों को तैयार करने की अनुमति देता है। यदि परभक्षी घनत्व r 1 /p 1 है, तो शिकार की जनसंख्या स्थिर रहती है और शिकारी जनसंख्या स्थिर रहने के लिए, शिकार का घनत्व d 2 /p 2 के बराबर होना चाहिए। यदि ग्राफ पर हम भुज के साथ पीड़ितों के घनत्व की साजिश करते हैं एन तथा , और y-अक्ष के साथ - शिकारी का घनत्व एन एक्स, तो शिकारी और शिकार की स्थिरता की स्थिति को दर्शाने वाली समद्विबाहु रेखाएं दो सीधी रेखाएं होंगी जो एक दूसरे से और निर्देशांक अक्षों के लंबवत होंगी (चित्र 6a)। यह माना जाता है कि शिकार के एक निश्चित घनत्व के नीचे (डी 2 / पी 2 के बराबर) शिकारी का घनत्व हमेशा कम होगा, और इसके ऊपर यह हमेशा बढ़ेगा। तदनुसार, शिकार का घनत्व बढ़ जाता है यदि शिकारी का घनत्व r 1 /p 1 के बराबर मान से कम हो, और यदि यह इस मान से ऊपर हो तो घट जाता है। समद्विबाहु का प्रतिच्छेदन बिंदु शिकारी और शिकार की संख्या की स्थिरता की स्थिति से मेल खाता है, और इस ग्राफ के विमान पर अन्य बिंदु बंद प्रक्षेपवक्र के साथ चलते हैं, इस प्रकार शिकारी और शिकार की संख्या में नियमित उतार-चढ़ाव को दर्शाता है (चित्र। 6, बी)।उतार-चढ़ाव की सीमा शिकारी और शिकार के घनत्व के प्रारंभिक अनुपात से निर्धारित होती है। यह समद्विबाहु के प्रतिच्छेदन बिंदु के जितना करीब होता है, वैक्टर द्वारा वर्णित वृत्त उतना ही छोटा होता है, और, तदनुसार, दोलन आयाम जितना छोटा होता है।

चावल। 6. शिकारी-शिकार प्रणाली के लिए लोटका-वोल्टेयर मॉडल की चित्रमय अभिव्यक्ति।

प्रयोगशाला प्रयोगों में शिकारी और शिकार की संख्या में उतार-चढ़ाव प्राप्त करने के पहले प्रयासों में से एक जी.एफ. गेज। इन प्रयोगों के उद्देश्य पैरामीशियम सिलिअट्स थे (Paramecium कौडाटम) और शिकारी सिलिअट्स डिडिनियम (डिडिनियम नासुतुम). पैरामीशिया के लिए भोजन के रूप में परोसे जाने वाले माध्यम में बैक्टीरिया का निलंबन नियमित रूप से पेश किया जाता है, जबकि डिडिनियम केवल पैरामीशिया पर खिलाता है। यह प्रणाली बेहद अस्थिर निकली: शिकारी का दबाव, जैसे-जैसे इसकी संख्या बढ़ती गई, पीड़ितों का पूर्ण विनाश हुआ, जिसके बाद शिकारी की आबादी भी समाप्त हो गई। प्रयोगों को जटिल करते हुए, गौज़ ने पीड़ित के लिए एक आश्रय की व्यवस्था की, जिसमें सिलिअट्स के साथ टेस्ट ट्यूब में थोड़ा कांच का ऊन डाला गया। रूई के धागों के बीच, पैरामीशिया स्वतंत्र रूप से चल सकता था, लेकिन डिडिनियम नहीं कर सकता था। प्रयोग के इस संस्करण में, डिडिनियम ने रूई से मुक्त टेस्ट ट्यूब के हिस्से में तैरते हुए सभी पैरामीशियम को खा लिया और मर गया, और आश्रय में जीवित रहने वाले व्यक्तियों के प्रजनन के कारण पैरामीसिया की आबादी को फिर से बहाल किया गया। गौज़ शिकारियों और शिकार की संख्या में उतार-चढ़ाव की कुछ झलक हासिल करने में कामयाब रहे, जब उन्होंने समय-समय पर शिकार और शिकारी दोनों को संस्कृति में पेश किया, इस प्रकार आव्रजन का अनुकरण किया।

गॉस के काम के 40 साल बाद, उनके प्रयोगों को एल। लकिनबियल (लकिनबिल) द्वारा दोहराया गया, जिन्होंने शिकार के रूप में सिलिअट्स का इस्तेमाल किया। Paramecium औरेलिया, लेकिन उसी के एक शिकारी के रूप में डिडिनियम नासुतुम. लकिनबिल इन आबादी की बहुतायत में उतार-चढ़ाव के कई चक्र प्राप्त करने में कामयाब रहे, लेकिन केवल उस मामले में जब पैरामेशिया का घनत्व भोजन (बैक्टीरिया) की कमी से सीमित था, और मिथाइलसेलुलोज को संस्कृति तरल में जोड़ा गया था, एक पदार्थ जो कम करता है शिकारी और शिकार दोनों की गति और इसलिए उनकी आवृत्ति कम हो जाती है।संभावित बैठकें। यह भी पता चला कि प्रायोगिक पोत की मात्रा में वृद्धि होने पर शिकारी और शिकार के बीच दोलनों को प्राप्त करना आसान होता है, हालांकि इस मामले में शिकार के भोजन की सीमा की स्थिति भी आवश्यक है। यदि, हालांकि, अतिरिक्त भोजन को शिकारी और शिकार की प्रणाली में एक ऑसिलेटरी मोड में सह-अस्तित्व में जोड़ा गया था, तो इसका उत्तर शिकार की संख्या में तेजी से वृद्धि थी, इसके बाद शिकारी की संख्या में वृद्धि हुई, जो बदले में होता है शिकार की आबादी का पूर्ण विनाश।

लोटका और वोल्टेरा के मॉडल ने शिकारी-शिकार प्रणाली के कई अन्य यथार्थवादी मॉडल के विकास को गति दी। विशेष रूप से, एक काफी सरल ग्राफिकल मॉडल जो विभिन्न शिकार समद्विबाहुओं के अनुपात का विश्लेषण करता है शिकारी, एम. रोसेनज़वेग और आर. मैकआर्थर (रोसेनज़्वेग, मैकआर्थर) द्वारा प्रस्तावित किया गया था। इन लेखकों के अनुसार, स्थिर ( = निरंतर) शिकारी के समन्वय अक्षों में शिकार बहुतायत और शिकार घनत्व को उत्तल समद्विबाहु (छवि 7 ए) के रूप में दर्शाया जा सकता है। शिकार घनत्व अक्ष के साथ समद्विबाहु के चौराहे का एक बिंदु न्यूनतम स्वीकार्य शिकार घनत्व से मेल खाता है (निचली आबादी विलुप्त होने का एक बहुत ही उच्च जोखिम पर है, यदि केवल पुरुषों और महिलाओं के बीच बैठकों की कम आवृत्ति के कारण), और दूसरा अधिकतम है, जो उपलब्ध भोजन की मात्रा या शिकार की व्यवहारिक विशेषताओं से निर्धारित होता है। हम इस बात पर जोर देते हैं कि हम अभी भी एक शिकारी की अनुपस्थिति में न्यूनतम और अधिकतम घनत्व के बारे में बात कर रहे हैं। जब एक शिकारी दिखाई देता है और उसकी संख्या बढ़ जाती है, तो शिकार का न्यूनतम स्वीकार्य घनत्व, जाहिर है, अधिक होना चाहिए, और अधिकतम कम होना चाहिए। शिकार घनत्व का प्रत्येक मान एक निश्चित शिकारी घनत्व के अनुरूप होना चाहिए, जिस पर शिकार की आबादी स्थिर होती है। ऐसे बिंदुओं का स्थान शिकारी और शिकार के घनत्व के निर्देशांक में शिकार का समद्विबाहु है। शिकार घनत्व (क्षैतिज रूप से उन्मुख) में परिवर्तन की दिशा दिखाने वाले वैक्टर के पास आइसोकलाइन (छवि 7 ए) के विभिन्न पक्षों पर अलग-अलग दिशाएं हैं।

चावल। अंजीर। 7. शिकार (ए) और शिकारी (बी) की स्थिर आबादी के समद्विबाहु।

उसी निर्देशांक में शिकारी के लिए एक समद्विबाहु का निर्माण भी किया गया था, जो उसकी आबादी की स्थिर स्थिति के अनुरूप था। शिकारी बहुतायत में परिवर्तन की दिशा दिखाने वाले वैक्टर ऊपर या नीचे उन्मुख होते हैं जो इस बात पर निर्भर करते हैं कि वे किस तरफ हैं। अंजीर में दिखाया गया शिकारी आइसोक्लाइन आकार। 7, बी।सबसे पहले, शिकारियों की आबादी को बनाए रखने के लिए पर्याप्त न्यूनतम शिकार घनत्व की उपस्थिति से निर्धारित किया जाता है (कम शिकार घनत्व पर, शिकारी अपनी बहुतायत में वृद्धि नहीं कर सकता), और दूसरी बात, शिकारी के एक निश्चित अधिकतम घनत्व की उपस्थिति से। , जिसके ऊपर पीड़ितों की बहुतायत से स्वतंत्र रूप से बहुतायत घट जाएगी।

चावल। 8. परभक्षी और शिकार के समस्थानिकों के स्थान के आधार पर परभक्षी-शिकार प्रणाली में दोलकीय व्यवस्थाओं का होना।

जब एक ग्राफ पर शिकार और शिकारी समद्विबाहु को मिलाते हैं, तो तीन अलग-अलग विकल्प संभव होते हैं (चित्र 8)। यदि परभक्षी समद्विबाहु उस बिंदु पर शिकार समद्विबाहु को काटता है जहां यह पहले से ही कम हो रहा है (शिकार के उच्च घनत्व पर), तो शिकारी और शिकार की बहुतायत में परिवर्तन दिखाने वाले वैक्टर एक प्रक्षेपवक्र बनाते हैं जो अंदर की ओर मुड़ते हैं, जो अंदर की ओर भीगते उतार-चढ़ाव से मेल खाती है। शिकार और शिकारी की बहुतायत (चित्र। 8, ए)। उस स्थिति में जब परभक्षी समद्विबाहु शिकार समद्विबाहु को उसके आरोही भाग में (अर्थात क्षेत्र में) प्रतिच्छेद करता है कम मानशिकार का घनत्व), वैक्टर एक अनिच्छुक प्रक्षेपवक्र बनाते हैं, और शिकारी और शिकार की संख्या में उतार-चढ़ाव क्रमशः बढ़ते आयाम के साथ होते हैं (चित्र 8, बी)।यदि शिकारी समद्विबाहु अपने शीर्ष के क्षेत्र में शिकार समद्विबाहु को काटता है, तो वैक्टर एक दुष्चक्र बनाते हैं, और शिकार और शिकारी की संख्या में उतार-चढ़ाव एक स्थिर आयाम और अवधि (छवि 8) की विशेषता है। में)।

दूसरे शब्दों में, नम दोलन एक ऐसी स्थिति से मेल खाते हैं जिसमें शिकारी शिकार की आबादी को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करता है, जो केवल बहुत उच्च घनत्व (सीमा के करीब) तक पहुंच गया है, और बढ़ते आयाम के दोलन तब होते हैं जब शिकारी तेजी से अपनी वृद्धि करने में सक्षम होता है। शिकार के कम घनत्व पर भी संख्या और इस तरह इसे जल्दी से नष्ट कर देते हैं। अपने मॉडल के अन्य संस्करणों में, पॉसेन्ज़वेग और मैकआर्थर ने दिखाया कि शिकारी-शिकार दोलनों को "आश्रय" की शुरुआत करके स्थिर किया जा सकता है, अर्थात। यह मानते हुए कि कम शिकार घनत्व वाले क्षेत्र में, एक ऐसा क्षेत्र है जहां शिकारियों की संख्या बढ़ती है, चाहे शिकारियों की संख्या कितनी भी हो।

मॉडल को और अधिक जटिल बनाकर उन्हें और अधिक यथार्थवादी बनाने की इच्छा न केवल सिद्धांतकारों के कार्यों में प्रकट हुई, बल्कि प्रयोग करने वाले विशेष रूप से, हफ़कर द्वारा दिलचस्प परिणाम प्राप्त किए गए, जिन्होंने एक छोटे शाकाहारी टिक के उदाहरण का उपयोग करके एक शिकारी और शिकार के सह-अस्तित्व की संभावना को एक दोलन मोड में दिखाया। ईओटेट्रानिकस सेक्समैक्युलेटसऔर एक शिकारी टिक उस पर हमला कर रहा है टाइफ्लोड्रोमस पश्चगामी. शाकाहारी घुन के भोजन के रूप में, संतरे का उपयोग किया जाता था, छेद वाली ट्रे पर रखा जाता था (जैसे कि अंडे के भंडारण और परिवहन के लिए उपयोग किए जाने वाले)। मूल संस्करण में, एक ट्रे पर 40 छेद थे, जिनमें से कुछ में संतरे (आंशिक रूप से छिलके वाले) थे, और अन्य में रबर की गेंदें थीं। दोनों प्रकार के टिक्स पार्थेनोजेनेटिक रूप से बहुत जल्दी प्रजनन करते हैं, और इसलिए उनकी जनसंख्या की गतिशीलता की प्रकृति अपेक्षाकृत कम समय में प्रकट की जा सकती है। एक ट्रे पर शाकाहारी टिक की 20 मादाओं को रखने के बाद, हफ़कर ने अपनी आबादी में तेजी से वृद्धि देखी, जो 5-8 हजार व्यक्तियों (प्रति एक नारंगी) के स्तर पर स्थिर हो गई। यदि एक शिकारी के कई व्यक्तियों को शिकार की बढ़ती आबादी में जोड़ा गया, तो बाद की आबादी में तेजी से इसकी संख्या में वृद्धि हुई और सभी पीड़ितों को खा जाने पर उनकी मृत्यु हो गई।

ट्रे के आकार को 120 छेद तक बढ़ाकर, जिसमें अलग-अलग संतरे कई रबर गेंदों के बीच बेतरतीब ढंग से बिखरे हुए थे, हफ़कर शिकारी और शिकार के सह-अस्तित्व को बढ़ाने में कामयाब रहे। शिकारी और शिकार के बीच बातचीत में एक महत्वपूर्ण भूमिका, जैसा कि यह निकला, उनके फैलाव दर के अनुपात द्वारा खेला जाता है। हफ़कर ने सुझाव दिया कि शिकार की गति को सुविधाजनक बनाकर और शिकारी के लिए चलना मुश्किल बनाकर, उनके सह-अस्तित्व के समय को बढ़ाना संभव है। ऐसा करने के लिए, रबर की गेंदों के बीच 120 छेदों की एक ट्रे पर 6 संतरे बेतरतीब ढंग से रखे गए थे, और वेसलीन बाधाओं को संतरे के साथ छेद के चारों ओर व्यवस्थित किया गया था ताकि शिकारी को बसने से रोका जा सके, और पीड़ित को बसने की सुविधा के लिए, लकड़ी के खूंटे को मजबूत किया गया। ट्रे, शाकाहारी घुन के लिए एक प्रकार के "टेक-ऑफ प्लेटफॉर्म" के रूप में कार्य करती है (तथ्य यह है कि यह प्रजाति पतले धागे छोड़ती है और उनकी मदद से यह हवा में फैल सकती है, हवा में फैल सकती है)। इस तरह के एक जटिल आवास में, शिकारी और शिकार 8 महीने तक सह-अस्तित्व में रहे, बहुतायत में उतार-चढ़ाव के तीन पूर्ण चक्रों का प्रदर्शन किया। इस सह-अस्तित्व के लिए सबसे महत्वपूर्ण शर्तें इस प्रकार हैं: निवास स्थान की विविधता (इसमें शिकार के निवास के लिए उपयुक्त और अनुपयुक्त क्षेत्रों की उपस्थिति के अर्थ में), साथ ही शिकार और शिकारी प्रवास की संभावना (कुछ लाभ बनाए रखते हुए) इस प्रक्रिया की गति में शिकार)। दूसरे शब्दों में, एक शिकारी शिकार के एक या दूसरे स्थानीय संचय को पूरी तरह से नष्ट कर सकता है, लेकिन कुछ शिकार व्यक्तियों के पास प्रवास करने और अन्य स्थानीय संचय को जन्म देने का समय होगा। जल्दी या बाद में, शिकारी को नए स्थानीय समूहों में भी मिल जाएगा, लेकिन इस बीच शिकार के पास अन्य जगहों पर बसने का समय होगा (उन जगहों सहित जहां वह पहले रहता था, लेकिन तब नष्ट हो गया था)।

हफ़कर ने प्रयोग में जो देखा, कुछ वैसा ही प्राकृतिक परिस्थितियों में भी होता है। तो, उदाहरण के लिए, एक कैक्टस मोथ तितली (कैक्टोब्लास्टिस कैक्टोरम), ऑस्ट्रेलिया लाया गया, कांटेदार नाशपाती कैक्टस की संख्या में काफी कमी आई, लेकिन इसे पूरी तरह से नष्ट नहीं किया क्योंकि कैक्टस थोड़ा तेजी से बसने का प्रबंधन करता है। जिन स्थानों पर काँटेदार नाशपाती पूरी तरह से नष्ट हो जाती है, वहाँ अग्नि कीट भी लगना बंद हो जाता है। इसलिए, जब कुछ समय बाद कांटेदार नाशपाती फिर से यहां प्रवेश करती है, तो एक निश्चित अवधि के लिए यह कीट द्वारा नष्ट होने के जोखिम के बिना बढ़ सकता है। हालांकि, समय के साथ, कीट फिर से यहां दिखाई देता है और तेजी से गुणा करके कांटेदार नाशपाती को नष्ट कर देता है।

शिकारी-शिकार के उतार-चढ़ाव की बात करें तो, कनाडा में खरगोश और लिनेक्स की संख्या में चक्रीय परिवर्तनों का उल्लेख करने में विफल नहीं हो सकता है, जो हडसन बे कंपनी द्वारा 18 वीं शताब्दी के अंत से 20 वीं शताब्दी की शुरुआत तक फर कटाई के आंकड़ों से पता चला है। सदी। इस उदाहरण को अक्सर शिकारी-शिकार के उतार-चढ़ाव के एक उत्कृष्ट उदाहरण के रूप में देखा गया है, हालांकि वास्तव में हम शिकार (खरगोश) की वृद्धि के बाद केवल शिकारी (लिंक्स) की आबादी में वृद्धि देखते हैं। प्रत्येक वृद्धि के बाद खरगोशों की संख्या में कमी के लिए, इसे केवल शिकारियों के बढ़ते दबाव से नहीं समझाया जा सकता था, बल्कि अन्य कारकों के कारण, जाहिरा तौर पर, सर्दियों में भोजन की कमी थी। यह निष्कर्ष, विशेष रूप से, एम। गिलपिन द्वारा पहुंचा गया, जिन्होंने यह जांचने की कोशिश की कि क्या इन आंकड़ों को शास्त्रीय लोटका-वोल्टेरा मॉडल द्वारा वर्णित किया जा सकता है। परीक्षण के परिणामों से पता चला कि मॉडल का कोई संतोषजनक फिट नहीं था, लेकिन अजीब तरह से, यह बेहतर हो गया अगर शिकारी और शिकार की अदला-बदली की जाए, यानी। लिंक्स को "पीड़ित" के रूप में व्याख्या किया गया था, और खरगोश - "शिकारी" के रूप में। इसी तरह की स्थिति लेख के चंचल शीर्षक ("क्या हार्स लिनेक्स खाते हैं?") में परिलक्षित हुई थी, जो अनिवार्य रूप से बहुत गंभीर है और एक गंभीर वैज्ञानिक पत्रिका में प्रकाशित हुई है।

शिक्षा के लिए संघीय एजेंसी

राज्य शैक्षणिक संस्थान

उच्च व्यावसायिक शिक्षा

"इज़ेव्स्क राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय"

अनुप्रयुक्त गणित के संकाय

विभाग "प्रक्रियाओं और प्रौद्योगिकियों का गणितीय मॉडलिंग"

कोर्स वर्क

अनुशासन में "विभेदक समीकरण"

विषय: "शिकारी-शिकार मॉडल का गुणात्मक अध्ययन"

इज़ेव्स्क 2010

परिचय

1. पैरामीटर और शिकारी के मुख्य समीकरण- शिकार मॉडल

2.2 "शिकारी-शिकार" प्रकार के वोल्टेयर के सामान्यीकृत मॉडल।

3. शिकारी के व्यावहारिक अनुप्रयोग- शिकार मॉडल

निष्कर्ष

ग्रंथ सूची

परिचय

वर्तमान में, पर्यावरण के मुद्दे सबसे महत्वपूर्ण हैं। इन समस्याओं को हल करने में एक महत्वपूर्ण कदम पारिस्थितिक तंत्र के गणितीय मॉडल का विकास है।

वर्तमान चरण में पारिस्थितिकी के मुख्य कार्यों में से एक की संरचना और कार्यप्रणाली का अध्ययन है प्राकृतिक प्रणाली, सामान्य पैटर्न खोजें। गणित, जिसने गणितीय पारिस्थितिकी के विकास में योगदान दिया, का पारिस्थितिकी पर बहुत प्रभाव था, विशेष रूप से इसके वर्गों जैसे कि अंतर समीकरणों का सिद्धांत, स्थिरता का सिद्धांत और इष्टतम नियंत्रण का सिद्धांत।

गणितीय पारिस्थितिकी के क्षेत्र में पहले कार्यों में से एक ए.डी. का काम था। लोटकी (1880 - 1949), जिन्होंने सबसे पहले शिकारी-शिकार संबंधों से जुड़ी विभिन्न आबादी की बातचीत का वर्णन किया था। वी। वोल्टेरा (1860 - 1940), वी.ए. द्वारा शिकारी-शिकार मॉडल के अध्ययन में एक बड़ा योगदान दिया गया था। कोस्तित्सिन (1883-1963) वर्तमान में, जनसंख्या की परस्पर क्रिया का वर्णन करने वाले समीकरणों को लोटका-वोल्टेरा समीकरण कहा जाता है।

लोटका-वोल्टेरा समीकरण औसत मूल्यों की गतिशीलता का वर्णन करते हैं - जनसंख्या का आकार। वर्तमान में, उनके आधार पर, पूर्णांक-अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित जनसंख्या बातचीत के अधिक सामान्य मॉडल का निर्माण किया जाता है, नियंत्रित शिकारी-शिकार मॉडल का अध्ययन किया जाता है।

गणितीय पारिस्थितिकी की महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक पारिस्थितिक तंत्र की स्थिरता और इन प्रणालियों के प्रबंधन की समस्या है। इसका उपयोग करने या इसे पुनर्स्थापित करने के उद्देश्य से सिस्टम को एक स्थिर अवस्था से दूसरे में स्थानांतरित करने के उद्देश्य से प्रबंधन किया जा सकता है।

1. पैरामीटर और शिकारी के मुख्य समीकरण- शिकार मॉडल

व्यक्तिगत जैविक आबादी और समुदायों दोनों की गतिशीलता को गणितीय रूप से मॉडल करने का प्रयास जिसमें अंतःक्रियात्मक आबादी शामिल है विभिन्न प्रकारलंबे समय से किया जा रहा है। एक अलग आबादी (2.1) के लिए पहले विकास मॉडल में से एक 1798 में थॉमस माल्थस द्वारा प्रस्तावित किया गया था:

यह मॉडल निम्नलिखित मापदंडों द्वारा निर्धारित किया गया है:

एन - जनसंख्या का आकार;

जन्म और मृत्यु दर में अंतर।

इस समीकरण को एकीकृत करने पर हमें प्राप्त होता है:

, (1.2)

जहां N(0) इस समय t = 0 पर जनसंख्या का आकार है। जाहिर है, > 0 के लिए माल्थस मॉडल अनंत जनसंख्या वृद्धि देता है, जो प्राकृतिक आबादी में कभी नहीं देखा जाता है, जहां इस वृद्धि को सुनिश्चित करने वाले संसाधन हमेशा सीमित होते हैं। वनस्पतियों और जीवों की आबादी की संख्या में परिवर्तन को एक साधारण माल्थुसियन कानून द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है; कई परस्पर संबंधित कारण विकास की गतिशीलता को प्रभावित करते हैं - विशेष रूप से, प्रत्येक प्रजाति का प्रजनन स्व-विनियमित और संशोधित होता है ताकि इस प्रजाति को इस प्रक्रिया में संरक्षित किया जा सके। क्रमागत उन्नति।

इन नियमितताओं का गणितीय विवरण गणितीय पारिस्थितिकी द्वारा किया जाता है - पौधों और जानवरों के जीवों के संबंधों का विज्ञान और वे समुदाय जो वे एक दूसरे के साथ और पर्यावरण के साथ बनाते हैं।

जैविक समुदायों के मॉडल का सबसे गंभीर अध्ययन, जिसमें विभिन्न प्रजातियों की कई आबादी शामिल है, इतालवी गणितज्ञ वीटो वोल्टेरा द्वारा किया गया था:

,

जनसंख्या का आकार कहाँ है;

जनसंख्या की प्राकृतिक वृद्धि (या मृत्यु दर) के गुणांक; - प्रतिच्छेदन परस्पर क्रिया के गुणांक। गुणांक की पसंद के आधार पर, मॉडल या तो एक सामान्य संसाधन के लिए प्रजातियों के संघर्ष, या शिकारी-शिकार प्रकार की बातचीत का वर्णन करता है, जब एक प्रजाति दूसरे के लिए भोजन होती है। यदि अन्य लेखकों के कार्यों में विभिन्न मॉडलों के निर्माण पर मुख्य ध्यान दिया गया था, तो वी। वोल्टेरा ने जैविक समुदायों के निर्मित मॉडलों का गहन अध्ययन किया। यह कई वैज्ञानिकों की राय में वी। वोल्टेरा की पुस्तक से है, कि आधुनिक गणितीय पारिस्थितिकी शुरू हुई।

2. प्राथमिक मॉडल "शिकारी- शिकार" का गुणात्मक अध्ययन

2.1 शिकारी-शिकार ट्रॉफिक इंटरैक्शन मॉडल

आइए हम डब्ल्यू वोल्टेरा द्वारा निर्मित "शिकारी-शिकार" प्रकार के अनुसार ट्रॉफिक इंटरैक्शन के मॉडल पर विचार करें। दो प्रजातियों से मिलकर एक प्रणाली होने दें, जिनमें से एक दूसरे को खाती है।

उस मामले पर विचार करें जब प्रजातियों में से एक शिकारी है और दूसरी शिकार है, और हम मान लेंगे कि शिकारी केवल शिकार पर ही भोजन करता है। हम निम्नलिखित सरल परिकल्पना को स्वीकार करते हैं:

शिकार विकास दर;

शिकारी विकास दर;

शिकार की आबादी;

शिकारी आबादी का आकार;

पीड़ित की प्राकृतिक वृद्धि का गुणांक;

शिकारी द्वारा शिकार की खपत की दर;

शिकार की अनुपस्थिति में शिकारी मृत्यु दर;

अपने स्वयं के बायोमास में शिकारी द्वारा शिकार बायोमास के "प्रसंस्करण" का गुणांक।

फिर शिकारी-शिकार प्रणाली में जनसंख्या की गतिशीलता को विभेदक समीकरणों (2.1) की प्रणाली द्वारा वर्णित किया जाएगा:

(2.1)

जहां सभी गुणांक सकारात्मक और स्थिर हैं।

मॉडल में एक संतुलन समाधान (2.2) है:

मॉडल (2.1) के अनुसार, में शिकारियों का अनुपात कुल द्रव्यमानजानवरों को सूत्र (2.3) द्वारा व्यक्त किया जाता है:

(2.3)

छोटे गड़बड़ी के संबंध में संतुलन राज्य की स्थिरता के विश्लेषण से पता चला है कि एकवचन बिंदु (2.2) "तटस्थ" स्थिर ("केंद्र" प्रकार का) है, यानी, संतुलन से कोई विचलन क्षय नहीं होता है, लेकिन सिस्टम को स्थानांतरित करता है विक्षोभ के परिमाण के आधार पर एक आयाम के साथ एक दोलन शासन में। चरण तल पर प्रणाली के प्रक्षेपवक्र में संतुलन बिंदु (छवि 1) से अलग-अलग दूरी पर स्थित बंद वक्रों का रूप होता है।

चावल। 1 - शास्त्रीय वोल्टेरा प्रणाली "शिकारी-शिकार" का चरण "चित्र"

सिस्टम के पहले समीकरण (2.1) को दूसरे से विभाजित करने पर, हम चरण तल पर वक्र के लिए अंतर समीकरण (2.4) प्राप्त करते हैं।

(2.4)

इस समीकरण को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

(2.5)

एकीकरण का स्थिरांक कहाँ है, जहाँ

यह दिखाना आसान है कि चरण तल के साथ एक बिंदु की गति केवल एक दिशा में होगी। ऐसा करने के लिए, कार्यों में बदलाव करना और विमान पर निर्देशांक की उत्पत्ति को एक स्थिर बिंदु (2.2) पर ले जाना और फिर ध्रुवीय निर्देशांक पेश करना सुविधाजनक है:

(2.6)

इस मामले में, सिस्टम (2.6) के मूल्यों को सिस्टम (2.1) में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है:

(2.7)

पहले समीकरण को और दूसरे से गुणा करके और उन्हें जोड़कर, हम प्राप्त करते हैं:

समान बीजगणितीय परिवर्तनों के बाद, हम इसके लिए समीकरण प्राप्त करते हैं:

मान, जैसा कि (4.9) से देखा जा सकता है, हमेशा शून्य से अधिक होता है। इस प्रकार, यह संकेत नहीं बदलता है, और घूर्णन हर समय एक ही दिशा में जाता है।

एकीकरण (2.9) हम अवधि पाते हैं:

जब यह छोटा होता है, तो समीकरण (2.8) और (2.9) एक दीर्घवृत्त के समीकरणों में बदल जाते हैं। इस मामले में संचलन की अवधि के बराबर है:

(2.11)

समीकरणों (2.1) के हलों की आवर्तता के आधार पर हम कुछ उपफल प्राप्त कर सकते हैं। इसके लिए, हम (2.1) को रूप में निरूपित करते हैं:

(2.12)

और इस अवधि में एकीकृत करें:

(2.13)

चूंकि प्रतिस्थापन से और आवधिकता के कारण गायब हो जाते हैं, अवधि के दौरान औसत स्थिर राज्यों (2.14) के बराबर हो जाते हैं:

(2.14)

"शिकारी-शिकार" मॉडल (2.1) के सबसे सरल समीकरणों में एक श्रृंखला होती है महत्वपूर्ण कमियां. इस प्रकार, वे शिकार के लिए असीमित खाद्य संसाधन और शिकारी के असीमित विकास को ग्रहण करते हैं, जो प्रयोगात्मक डेटा का खंडन करता है। इसके अलावा, जैसा कि अंजीर से देखा जा सकता है। 1, स्थिरता के संदर्भ में किसी भी चरण वक्र को हाइलाइट नहीं किया गया है। यहां तक ​​​​कि छोटे परेशान करने वाले प्रभावों की उपस्थिति में, सिस्टम का प्रक्षेपवक्र संतुलन की स्थिति से आगे और आगे जाएगा, दोलनों का आयाम बढ़ जाएगा, और सिस्टम जल्दी से ढह जाएगा।

मॉडल (2.1) की कमियों के बावजूद, सिस्टम की गतिशीलता की मौलिक रूप से थरथरानवाला प्रकृति की अवधारणा " शिकारी का शिकारपारिस्थितिकी में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। शिकार क्षेत्रों में शिकारी और शांतिपूर्ण जानवरों की संख्या में उतार-चढ़ाव, मछलियों, कीड़ों आदि की आबादी में उतार-चढ़ाव जैसी घटनाओं को समझाने के लिए शिकारी-शिकार की बातचीत का उपयोग किया गया था। वास्तव में, संख्या में उतार-चढ़ाव अन्य कारणों से हो सकता है।

आइए मान लें कि शिकारी-शिकार प्रणाली में दोनों प्रजातियों के व्यक्तियों का कृत्रिम विनाश होता है, और हम इस सवाल पर विचार करेंगे कि व्यक्तियों का विनाश उनकी संख्या के औसत मूल्यों को कैसे प्रभावित करता है, अगर यह अनुपात में किया जाता है आनुपातिकता गुणांक के साथ यह संख्या और, क्रमशः, शिकार और शिकारी के लिए। की गई धारणाओं को ध्यान में रखते हुए, हम समीकरणों की प्रणाली (2.1) को इस रूप में फिर से लिखते हैं:

(2.15)

हम मानते हैं कि, यानी पीड़ित के भगाने का गुणांक उसकी प्राकृतिक वृद्धि के गुणांक से कम है। इस मामले में, संख्या में आवधिक उतार-चढ़ाव भी देखा जाएगा। आइए संख्याओं के औसत मूल्यों की गणना करें:

(2.16)

इस प्रकार, यदि , तो शिकार की आबादी की औसत संख्या बढ़ जाती है, और शिकारियों की संख्या घट जाती है।

आइए हम उस मामले पर विचार करें जब शिकार को भगाने का गुणांक उसकी प्राकृतिक वृद्धि के गुणांक से अधिक है, अर्थात। इस मामले में किसी के लिए, और, इसलिए, पहले समीकरण (2.15) का हल ऊपर से एक घातीय रूप से घटते फलन से घिरा है , मैं खाता हूँ ।

समय t के कुछ क्षण से शुरू होकर, जिस पर दूसरे समीकरण (2.15) का हल भी घटने लगता है और शून्य हो जाता है। इस प्रकार, दोनों प्रजातियों के मामले में गायब हो जाते हैं।

2.1 "शिकारी-शिकार" प्रकार के सामान्यीकृत वोल्टेयर मॉडल

वी। वोल्टेरा के पहले मॉडल, निश्चित रूप से, शिकारी-शिकार प्रणाली में बातचीत के सभी पहलुओं को प्रतिबिंबित नहीं कर सके, क्योंकि वे वास्तविक परिस्थितियों के संबंध में काफी हद तक सरल थे। उदाहरण के लिए, यदि शिकारियों की संख्या शून्य के बराबर है, तो यह समीकरणों (1.4) से निकलता है कि शिकार की संख्या अनिश्चित काल तक बढ़ जाती है, जो सच नहीं है। हालांकि, इन मॉडलों का मूल्य ठीक इस तथ्य में निहित है कि वे आधार थे जिस पर गणितीय पारिस्थितिकी का तेजी से विकास होना शुरू हुआ।

शिकारी-शिकार प्रणाली के विभिन्न संशोधनों के अध्ययन की एक बड़ी संख्या सामने आई है, जहां अधिक सामान्य मॉडल का निर्माण किया गया है, जो एक डिग्री या किसी अन्य, प्रकृति की वास्तविक स्थिति को ध्यान में रखते हैं।

1936 में ए.एन. कोलमोगोरोव ने शिकारी-शिकार प्रणाली की गतिशीलता का वर्णन करने के लिए उपयोग करने का प्रस्ताव रखा अगली प्रणालीसमीकरण:

, (2.17)

जहां शिकारियों की संख्या में वृद्धि के साथ घटती है, और शिकार की संख्या में वृद्धि के साथ बढ़ती है।

विभेदक समीकरणों की यह प्रणाली, इसकी पर्याप्त व्यापकता के कारण, आबादी के वास्तविक व्यवहार को ध्यान में रखना और साथ ही, इसे पूरा करना संभव बनाती है। गुणात्मक विश्लेषणउसके फैसले।

बाद में अपने काम में, कोलमोगोरोव ने कम विस्तार से अध्ययन किया सामान्य मॉडल:

(2.18)

कई लेखकों द्वारा विभेदक समीकरणों (2.18) की प्रणाली के विभिन्न विशेष मामलों का अध्ययन किया गया है। तालिका कार्यों के विभिन्न विशेष मामलों को सूचीबद्ध करती है , , .

तालिका 1 - "शिकारी-शिकार" समुदाय के विभिन्न मॉडल

			लेखक
			वोल्टेरा लोटक
			गौस
			पिस्लो
			होलिंग
			इवलेव
			रोयामा
			शिमाज़ु
			मई

गणितीय मॉडलिंग शिकारी शिकार

3. शिकारी के व्यावहारिक अनुप्रयोग- शिकार मॉडल

आइए हम "शिकारी-शिकार" प्रकार की दो जैविक प्रजातियों (आबादी) के सह-अस्तित्व के गणितीय मॉडल पर विचार करें, जिसे वोल्टेरा-लोटका मॉडल कहा जाता है।

चलो दो जैविक प्रजातिएक अलग वातावरण में एक साथ रहते हैं। पर्यावरण स्थिर है और किसी एक प्रजाति को जीवन के लिए आवश्यक हर चीज की असीमित मात्रा प्रदान करता है, जिसे हम पीड़ित कहेंगे। एक अन्य प्रजाति - एक शिकारी भी स्थिर परिस्थितियों में है, लेकिन केवल पहली प्रजाति के व्यक्तियों को ही खिलाती है। ये क्रूसियन और पाइक, खरगोश और भेड़िये, चूहे और लोमड़ी, रोगाणु और एंटीबॉडी आदि हो सकते हैं। निश्चितता के लिए, हम उन्हें क्रूसियन और पाइक कहेंगे।

निम्नलिखित प्रारंभिक संकेतक सेट हैं:

समय के साथ, क्रूसियन और पाइक की संख्या में परिवर्तन होता है, लेकिन चूंकि तालाब में बहुत सारी मछलियाँ हैं, हम 1020 क्रूसियन या 1021 के बीच अंतर नहीं करेंगे और इसलिए हम समय के निरंतर कार्यों पर भी विचार करेंगे। हम संख्याओं की एक जोड़ी (,) को मॉडल की स्थिति कहेंगे।

जाहिर है, राज्य परिवर्तन की प्रकृति (,) मापदंडों के मूल्यों से निर्धारित होती है। मापदंडों को बदलकर और मॉडल के समीकरणों की प्रणाली को हल करके, समय के साथ पारिस्थितिक तंत्र की स्थिति में परिवर्तन के पैटर्न का अध्ययन करना संभव है।

पारिस्थितिकी तंत्र में, प्रत्येक प्रजाति की संख्या में परिवर्तन की दर को भी उसकी संख्या के समानुपाती माना जाएगा, लेकिन केवल एक गुणांक के साथ जो अन्य प्रजातियों के व्यक्तियों की संख्या पर निर्भर करता है। तो, क्रूसियन कार्प के लिए, यह गुणांक पाइक की संख्या में वृद्धि के साथ घटता है, और पाइक के लिए यह कार्प की संख्या में वृद्धि के साथ बढ़ता है। हम मान लेंगे कि यह निर्भरता भी रैखिक है। तब हमें दो अंतर समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:

समीकरणों की इस प्रणाली को वोल्टेरा-लोटका मॉडल कहा जाता है। संख्यात्मक गुणांक , , - मॉडल पैरामीटर कहलाते हैं। जाहिर है, राज्य परिवर्तन की प्रकृति (,) मापदंडों के मूल्यों से निर्धारित होती है। इन मापदंडों को बदलकर और मॉडल के समीकरणों की प्रणाली को हल करके, पारिस्थितिक तंत्र की स्थिति में परिवर्तन के पैटर्न का अध्ययन करना संभव है।

आइए टी के संबंध में दोनों समीकरणों की प्रणाली को एकीकृत करें, जो कि - समय के प्रारंभिक क्षण से भिन्न होगा, जहां टी वह अवधि है जिसके दौरान पारिस्थितिकी तंत्र में परिवर्तन होते हैं। माना हमारे मामले में अवधि 1 वर्ष के बराबर है। तब सिस्टम निम्नलिखित रूप लेता है:

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= और = लेते हुए हम समान पदों को लाते हैं, हम दो समीकरणों से मिलकर एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:

परिणामी प्रणाली में प्रारंभिक डेटा को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें एक साल बाद झील में पाईक और क्रूसियन कार्प की आबादी मिलती है: