मिस्र के त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाई कितनी है? मिस्र का यह अद्भुत त्रिभुज

हर कोई जिसने स्कूल में ज्यामिति शिक्षक की बात ध्यान से सुनी, वह मिस्र के त्रिभुज से बहुत परिचित है। यह एक विशेष पहलू अनुपात द्वारा 90 डिग्री के कोण वाले अन्य प्रकार के समान से भिन्न होता है। जब कोई व्यक्ति पहली बार "मिस्र के त्रिकोण" वाक्यांश को सुनता है, तो राजसी पिरामिड और फिरौन की तस्वीरें दिमाग में आती हैं। और इतिहास क्या कहता है?

जैसा कि हमेशा होता है, "मिस्र के त्रिभुज" नाम के संबंध में कई सिद्धांत हैं। उनमें से एक के अनुसार, प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय ने इस आकृति के कारण प्रकाश को ठीक से देखा। 535 ईसा पूर्व में। पाइथागोरस, थेल्स की सिफारिश के बाद, गणित और खगोल विज्ञान के ज्ञान में कुछ अंतराल को भरने के लिए मिस्र गए। वहां उन्होंने मिस्र के सर्वेक्षणकर्ताओं के काम की ख़ासियत की ओर ध्यान आकर्षित किया। वो बहुत सारे हैं असामान्य तरीके सेनिर्माण को एक समकोण के साथ किया, जिसके किनारे 3-4-5 के अनुपात में एक दूसरे से जुड़े हुए थे। इस गणितीय श्रृंखला ने तीनों पक्षों के वर्गों को एक नियम से जोड़ना अपेक्षाकृत आसान बना दिया। इस प्रकार प्रसिद्ध प्रमेय का उदय हुआ। और मिस्र का त्रिकोण ठीक वही आकृति है जिसने पाइथागोरस को सबसे सरल समाधान के लिए प्रेरित किया। अन्य ऐतिहासिक आंकड़ों के अनुसार, यूनानियों ने इस आकृति को नाम दिया: उस समय वे अक्सर मिस्र जाते थे, जहाँ वे भूमि सर्वेक्षणकर्ताओं के काम में रुचि ले सकते थे। एक संभावना है कि, जैसा कि अक्सर होता है वैज्ञानिक खोज, दोनों कहानियाँ एक ही समय में घटित हुई हैं, इसलिए निश्चित रूप से यह कहना असंभव है कि "मिस्र के त्रिभुज" नाम का आविष्कार सबसे पहले किसने किया। इसके गुण अद्भुत हैं और निश्चित रूप से, केवल पहलू अनुपात तक ही सीमित नहीं हैं। इसका क्षेत्रफल और भुजाएँ पूर्ण संख्याओं द्वारा निरूपित की जाती हैं। इसके कारण, पायथागॉरियन प्रमेय को लागू करने से हमें कर्ण और पैरों के वर्गों की पूर्णांक संख्या प्राप्त करने की अनुमति मिलती है: 9-16-25। बेशक, यह सिर्फ एक संयोग हो सकता है। लेकिन फिर, इस तथ्य की व्याख्या कैसे करें कि मिस्रवासी "अपने" त्रिकोण को पवित्र मानते थे? वे पूरे ब्रह्मांड के साथ इसके अंतर्संबंध में विश्वास करते थे।

इस असामान्य ज्यामितीय आकृति के बारे में जानकारी सार्वजनिक होने के बाद, दुनिया ने पूर्णांक पक्षों वाले अन्य समान त्रिभुजों की खोज शुरू की। यह स्पष्ट था कि वे मौजूद थे। लेकिन प्रश्न का महत्व केवल गणितीय गणना करना नहीं था, बल्कि "पवित्र" गुणों का परीक्षण करना था। मिस्रवासियों को, उनकी सभी असामान्यताओं के लिए, कभी भी मूर्ख नहीं माना जाता था - वैज्ञानिक अभी भी यह नहीं बता सकते हैं कि पिरामिड कैसे बनाए गए थे। और यहाँ, अचानक, प्रकृति और ब्रह्मांड के साथ संबंध को एक साधारण आकृति के लिए जिम्मेदार ठहराया गया था। और, वास्तव में, पाए गए क्यूनिफॉर्म में एक समान त्रिभुज के संकेत होते हैं जिसका आकार 15-अंकीय संख्या द्वारा वर्णित होता है। वर्तमान में, मिस्र का त्रिभुज, जिसके कोण 90 (दाएं), 53 और 37 डिग्री हैं, पूरी तरह से अप्रत्याशित स्थानों में पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, साधारण पानी के अणुओं के व्यवहार का अध्ययन करते समय, यह पता चला कि परिवर्तन अणुओं के स्थानिक विन्यास के पुनर्गठन के साथ है, जिसमें कोई देख सकता है ... वही मिस्र का त्रिकोण। अगर हमें याद रहे कि इसमें तीन परमाणु होते हैं, तो हम सशर्त तीन पक्षों के बारे में बात कर सकते हैं। बेशक, हम प्रसिद्ध अनुपात के पूर्ण संयोग के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, लेकिन परिणामी संख्याएं वांछित लोगों के बहुत करीब हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि मिस्रवासियों ने अपने "3-4-5" त्रिकोण को एक प्रतीकात्मक कुंजी के रूप में मान्यता दी थी प्राकृतिक घटनाएंऔर ब्रह्मांड के रहस्य? आखिरकार, पानी, जैसा कि आप जानते हैं, जीवन का आधार है। एक शक के बिना, मिस्र की प्रसिद्ध आकृति के अध्ययन को समाप्त करना अभी भी जल्दबाजी होगी। विज्ञान कभी भी निष्कर्ष पर नहीं पहुंचता है, अपनी मान्यताओं को साबित करने की कोशिश करता है। और हम केवल प्रतीक्षा कर सकते हैं और ज्ञान से आश्चर्यचकित हो सकते हैं

मान लीजिए कि हमारे पास एक रेखा है जिस पर हमें लंबवत सेट करने की आवश्यकता है, यानी। पहली के सापेक्ष 90 डिग्री के कोण पर दूसरी रेखा। या हमारे पास एक कोण है (उदाहरण के लिए, एक कमरे का कोना) और हमें यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या यह 90 डिग्री के बराबर है।

यह सब सिर्फ एक टेप माप और एक पेंसिल के साथ किया जा सकता है।

दो महान चीजें हैं, जैसे "मिस्र का त्रिकोण" और पाइथागोरस प्रमेय, जो इसमें हमारी मदद करेंगे।

जब कारण और लक्ष्य मिल जाते हैं, तो नवीन ज्ञान की खोज एक स्वाभाविक परिणाम होगी। आपको आशावादी होना होगा, लेकिन यह काफी नहीं है। विश्वासों को कार्यों में अनुवादित किया जाना चाहिए। यदि संभव हो तो अलग-थलग गतिविधियों में नहीं। यदि कक्षा ही एकमात्र स्थान है जिसकी आपको आवश्यकता है, तो आपको उस पर ठीक से कब्जा करने और जो आपने सपना देखा था उसे साकार करने की आवश्यकता है।

ज्यामिति की उत्पत्ति कुछ हद तक अस्पष्ट है, गणित के बारे में कई ज्ञान में से एक के रूप में, जिसमें इसकी खोज का श्रेय किसी एक व्यक्ति को देना असंभव है। हालाँकि, ऐसा माना जाता है कि इसकी शुरुआत मिस्र में हुई थी और आधुनिक ज्यामिति के शुरुआती प्रमाण लगभग 600 ईसा पूर्व के हैं।

इसलिए, मिस्र का त्रिभुजएक समकोण त्रिभुज है जिसकी सभी भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है (पैर 3: पैर 4: कर्ण 5)।

मिस्र का त्रिकोण सीधे पाइथागोरस प्रमेय से संबंधित है - पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर है (3*3 + 4*4 = 5*5)।

यह हमारी मदद कैसे कर सकता है? सब कुछ बहुत सरल है।

टास्क नंबर 1.आपको एक सीधी रेखा (उदाहरण के लिए, एक दीवार से 90 डिग्री पर एक रेखा) के लिए एक लंबवत खींचने की आवश्यकता है।

ऐतिहासिक और सांस्कृतिक संदर्भ में इसके महत्व के बावजूद, ज्यामिति का पर्याप्त अध्ययन नहीं किया गया है। साथ ही छात्रों में जो कौशल विकसित होंगे, वे पुराने हो चुके हैं। ज्यामिति के शिक्षण और छात्र में विकसित की जाने वाली दक्षताओं के संबंध में सांता कैटरीना के शिक्षण प्रस्ताव के अनुसार, कुछ कारकों को ध्यान में रखा जाना चाहिए।

भौतिक स्थान और रूपों का अध्ययन या अध्ययन। ओरिएंटेशन और विज़ुअलाइज़ेशन और भौतिक स्थान का प्रतिनिधित्व। ज्यामितीय आकृतियों का विज़ुअलाइज़ेशन और समझ। उनकी विशेषताओं के अनुसार रूपों का पदनाम और मान्यता। वस्तुओं का उनके आकार के अनुसार वर्गीकरण।

चरण 1. ऐसा करने के लिए, बिंदु संख्या 1 (जहां हमारा कोना होगा) से, आपको इस रेखा पर किसी भी दूरी को मापने की आवश्यकता है जो कि तीन या चार का गुणक है - यह हमारा पहला चरण होगा (क्रमशः तीन या चार भागों के बराबर) ), हमें बिंदु संख्या 2 मिलता है।

गणना में आसानी के लिए, आप दूरी ले सकते हैं, उदाहरण के लिए 2m (ये प्रत्येक 50cm के 4 भाग हैं)।

आंकड़ों के गुणों और उनके बीच संबंधों का अध्ययन। ज्यामितीय आकृतियों और मॉडलों का निर्माण। काल्पनिक निगमनात्मक तर्क के आधार पर संबंधों और पूर्वसर्गों का निर्माण और औचित्य। इसके लिए ज्यामिति से संबंधित दक्षताओं को द्वितीय वर्ष से स्थानान्तरित किया जाना आवश्यक है प्राथमिक स्कूलछात्र की सामग्री के अवशोषण के स्तर को ध्यान में रखते हुए।

समाज में, "गणित करना - समस्याओं को हल करना" सिद्धांत को स्वीकार और स्वीकार किया जाता है। इस संबंध में, समस्या का समाधान शोधकर्ताओं और गणितज्ञों के लिए एक विषय है। इस महत्वपूर्ण गतिविधि में अधिकांश छात्रों का सामना करने वाली कठिनाइयों को समझना बड़ी चुनौतियों का सामना करता है। पहला, निश्चित रूप से, समस्या की सटीक समझ है। लैकाटोस और मार्कोनी के लिए, "एक समस्या एक कठिनाई, सैद्धांतिक या व्यावहारिक है, वास्तविक मूल्य के बारे में कुछ जानने में जिसके लिए एक समाधान खोजा जाना चाहिए", और यह समझ छात्रों के लिए समस्या को हल करने पर काम करने के लिए मौलिक महत्व की है।

चरण दो. फिर, उसी बिंदु संख्या 1 से, हम 1.5 मीटर (प्रत्येक 50 सेमी के 3 भाग) को मापते हैं (लगभग लंबवत सेट करते हैं), एक रेखा (हरा) खींचते हैं।

चरण 3. अब बिंदु संख्या 2 से आपको 2.5 मीटर (50 सेमी के 5 भाग) की दूरी पर हरी रेखा पर एक निशान लगाने की आवश्यकता है। इन निशानों का प्रतिच्छेदन हमारा बिंदु क्रमांक 3 होगा।

बिंदु संख्या 1 और संख्या 3 को जोड़ने पर, हम अपनी पहली पंक्ति के लंबवत रेखा प्राप्त करते हैं।

सबसे पहले, यह कहा जा सकता है कि समस्या समाधान, गणित शिक्षा के विकास की रणनीति के रूप में, "समस्याओं" की एक अंतहीन सूची द्वारा बनाई गई "आवश्यक बुराई" की इस भावना से छुटकारा पाना चाहिए, जो एक नियम के रूप में, अंत में कार्यक्रम की प्रत्येक इकाई, शिक्षक छात्रों को प्रस्तुत करता है।

समस्याओं का पारंपरिक उपयोग, जो ज्ञान को लागू करने और व्यवस्थित करने के लिए है, छात्र के पूर्ण बौद्धिक विकास में बाधा डालते हुए, नापसंद और अरुचि को आकर्षित करता है। परिभाषाओं, विधियों और प्रदर्शनों की अधिक तैयारी एक नियमित और यांत्रिक गतिविधि बन जाती है जिसमें केवल अंतिम उत्पाद का मूल्यांकन किया जाता है। तार्किक-गणितीय विचारों के अनुसंधान और संचरण के चरणों का पालन करने में विफलता अवधारणाओं के निर्माण की अनुमति नहीं देती है। इस प्रकार, "गणितीय ज्ञान एक छात्र को अवधारणाओं की एक प्रणाली के रूप में प्रस्तुत नहीं करता है, जो उसे कई समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है, लेकिन एक अंतहीन प्रतीकात्मक, अमूर्त, समझ से बाहर भाषण के रूप में।"

टास्क नंबर 2.दूसरी स्थिति - एक कोना है और आपको यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या यह सीधा है।

यहाँ यह है, हमारा कोना। बड़े वर्ग से जांचना बहुत आसान है। और अगर वह नहीं है?

>>ज्यामिति: मिस्र का त्रिकोण। पूरा पाठ

पूरे इतिहास में पूछे गए कई सवालों के जवाबों से ही गणितीय ज्ञान विकसित हुआ है। रचनात्मकता, आलोचनात्मक पुनर्लेखन, जिज्ञासा और आनंद वे ईंधन थे जिन्होंने खोज की इस प्रक्रिया को बढ़ावा दिया। पॉल के अनुसार, एक समस्या समाधान योजना।

इस योजना का व्यवस्थित उपयोग छात्र को अपनी सोच को व्यवस्थित करने में मदद करता है। किसी सहकर्मी या समूह के समाधान के अपने प्रारंभिक विचार का टकराव सीखने को बढ़ावा देता है, इस प्रकार शिक्षक की भूमिका का पुनर्मूल्यांकन करता है। त्रिकोणमिति की शुरुआत के शुरुआती सबूत मिस्र और बेबीलोन दोनों में, संख्याओं के बीच और समान त्रिभुजों के पक्षों के बीच के अनुपात की गणना से उत्पन्न हुए।

पाठ विषय

पाठ मकसद

• नई परिभाषाओं से परिचित हों और पहले से पढ़ी गई कुछ परिभाषाओं को याद करें।
• ज्यामिति के ज्ञान को गहरा करें, उत्पत्ति के इतिहास का अध्ययन करें।
• व्यावहारिक गतिविधियों में त्रिभुज के बारे में छात्रों के सैद्धांतिक ज्ञान को समेकित करना।
• छात्रों को मिस्र के त्रिभुज और निर्माण में इसके अनुप्रयोग से परिचित कराना।
• समस्याओं को हल करने में आकृतियों के गुणों को लागू करना सीखें।
• विकास करना - छात्रों का ध्यान, दृढ़ता, दृढ़ता, तार्किक सोच, गणितीय भाषण विकसित करना।
• शैक्षिक - एक दूसरे के प्रति चौकस रवैया विकसित करने के पाठ के माध्यम से, साथियों को सुनने की क्षमता, आपसी सहायता, स्वतंत्रता पैदा करना।

पाठ मकसद

• छात्रों की समस्याओं को हल करने की क्षमता की जाँच करें।

पाठ योजना

1. परिचय।
2. याद रखना अच्छा है।
3. त्रिभुज।

परिचय

क्या प्राचीन मिस्रवासी गणित और ज्यामिति जानते थे? वे न केवल जानते थे, बल्कि लगातार इसका उपयोग वास्तुशिल्प कृतियों को बनाने के लिए भी करते थे और यहां तक ​​​​कि ... उन क्षेत्रों के वार्षिक अंकन में भी, जिन पर बाढ़ के दौरान पानी ने सभी सीमाओं को नष्ट कर दिया था। भू-सर्वेक्षणकर्ताओं की एक विशेष सेवा भी थी, जिन्होंने पानी के कम होने पर ज्यामितीय तकनीकों की मदद से खेतों की सीमाओं को जल्दी से बहाल कर दिया।

अकेम पेपिरस गणित पर मिस्र का सबसे व्यापक दस्तावेज है जो आज तक आया है। जो मुंशी अहम्स के वश में था। धार्मिक कारणों से और कैलेंडर और रोपण के मौसम के साथ संबंध के लिए, बेबीलोनियों ने खगोल विज्ञान में बहुत रुचि ली। त्रिकोण, इकाइयों की एक प्रणाली और एक पैमाने के उपयोग के बिना चंद्रमा के चरणों, कार्डिनल बिंदुओं और वर्ष के मौसमों का अध्ययन करना असंभव है।

इस अध्ययन को आगे दो भागों में विभाजित किया गया है: तलीय त्रिकोणमिति और गोलाकार त्रिकोणमिति। सटीक विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग एक निर्विवाद तथ्य है। इस सच्चाई को जानना हाई स्कूल के छात्रों के लिए मौलिक है, और यह गणित शिक्षक की जिम्मेदारी है कि वह इस विषय का खुलासा करे। सबसे अच्छा तरीकाभविष्य के पेशेवर चुनावों के संबंध में आवश्यक लिंक बनाना। वर्तमान में त्रिकोणमिति केवल त्रिभुजों के अध्ययन तक ही सीमित नहीं है। इसका अनुप्रयोग गणित के अन्य क्षेत्रों जैसे "विश्लेषण" और अन्य क्षेत्रों तक फैला हुआ है मानवीय गतिविधिजैसे बिजली, यांत्रिकी, ध्वनिकी, संगीत, स्थलाकृति, सिविल इंजीनियरिंग, आदि।

यह अभी तक ज्ञात नहीं है कि हम अपनी युवा पीढ़ी को क्या कहेंगे, जो कंप्यूटर पर पली-बढ़ी है जो हमें गुणन तालिका को याद नहीं रखने देती है और हमारे दिमाग में अन्य प्राथमिक गणितीय गणना या ज्यामितीय निर्माण नहीं करने देती है। शायद मानव रोबोट या साइबरबॉर्ग। दूसरी ओर, यूनानियों ने उन लोगों को अपवित्र कहा जो एक साधारण प्रमेय को बिना बाहरी सहायता के सिद्ध नहीं कर सकते थे। इसलिए, यह आश्चर्य की बात नहीं है कि बहुत ही प्रमेय, जिसका व्यापक रूप से व्यावहारिक विज्ञान में उपयोग किया जाता था, जिसमें खेतों को चिह्नित करना या पिरामिड बनाना शामिल था, को प्राचीन यूनानियों ने "गधों का पुल" कहा था। और वे मिस्र के गणित को अच्छी तरह जानते थे।

हालांकि, यह ध्यान दिया जाता है कि छात्रों के सामने सबसे बड़ी कठिनाइयों में से एक है उच्च विद्यालय, जिनका उल्लेख त्रिकोणमिति में किया गया है, सूत्रों को याद करने के तथ्य से जुड़ा है। हालांकि, परीक्षणों के दौरान गैर-याद रखने में समय लगेगा, जिससे स्थिति असंभव हो जाएगी।

यहां हम ज्यामिति और अधिक विशेष रूप से त्रिकोणमिति से संबंधित कुछ बुनियादी संबंध और प्रमेय प्रस्तुत करते हैं। याद रखें कि कारण और क्रमशः साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा का प्रतिनिधित्व करने वाले पहले से खोजे गए त्रिभुज के लिए मान्य हैं और उन्हें अलंकृत या एक नियम के रूप में लेने की आवश्यकता नहीं है, इस प्रकार सूत्र को याद करने के बजाय अवधारणा का मूल्यांकन किया जाता है।

याद रखना अच्छा है

त्रिकोण

त्रिकोणरेक्टिलिनियर, तीन लाइन सेगमेंट (त्रिकोण के किनारे (ज्यामिति में)) से बंधे विमान का हिस्सा, जोड़े में एक आम अंत (त्रिकोण के शिखर (ज्यामिति में))। एक त्रिभुज जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई बराबर होती है, कहलाता है समभुज, या सही, त्रिभुज दो . के साथ समान पक्ष - समद्विबाहु. त्रिभुज कहलाता है तीव्र कोणयदि इसके सभी कोण न्यूनकोण हैं; आयताकार- अगर इसका एक कोना सही है; कुंठित- यदि इसका कोई कोना तिरछा हो। एक त्रिभुज (ज्यामिति में) में एक से अधिक समकोण या अधिक कोण नहीं हो सकते, क्योंकि तीनों कोणों का योग दो समकोण (180° या, रेडियन में, p) के बराबर होता है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल (ज्यामिति में) ah/2 के बराबर होता है, जहाँ a त्रिभुज की कोई भी भुजा इसके आधार के रूप में ली जाती है, और h संगत ऊँचाई होती है। त्रिभुज की भुजाएँ इस शर्त के अधीन हैं: उनमें से प्रत्येक की लंबाई योग से कम और अन्य दो भुजाओं की लंबाई के अंतर से अधिक है।

त्रिकोणमितीय अवधारणाओं का मुख्य विकास त्रिकोणमितीय चक्र के उपयोग के बाद हुआ, जिसे पहले त्रिकोणमितीय चक्र कहा जाता था। ये "निर्देशांक कुल्हाड़ियाँ हैं जिनकी माप की उनकी इकाई के रूप में समन्वय अक्षों के निर्देशांक के केंद्र के साथ मेल खाने वाले एक उन्मुख वृत्त की त्रिज्या है।"

यूलर, जो बेसल में पैदा हुआ था, इतिहास में सबसे अच्छे और सबसे अधिक उत्पादक गणितज्ञों में से एक था, और अपने उपरोक्त योगदान के साथ, वह त्रिकोणमितीय चक्र के लिए एक किरण का उपयोग करने के लिए सहमत हुआ। इस प्रकार, "जैसा कि चक्र उन्मुख है, प्रत्येक डिग्री माप चक्र में एक बिंदु के अनुरूप होगा।"

त्रिकोण- सबसे सरल बहुभुज जिसमें 3 कोने (कोने) और 3 भुजाएँ होती हैं; तीन बिंदुओं और इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले तीन रेखा खंडों से घिरा एक विमान का एक हिस्सा।

इस परिभाषा के साथ कोई भी साइन, कोसाइन और टेंगेंट के लिए समान अवधारणाओं को निम्नानुसार स्थापित कर सकता है। उस तरफ की आकृति पर विचार करें, जहां एक त्रिकोणमितीय वृत्त दर्शाया गया है। अर्थात्: एक समकोण त्रिभुज की कोज्या उसके कर्ण से विभाजित आसन्न पैर के बराबर होती है, कर्ण समकोण के विपरीत होता है।

याद रखें कि त्रिज्या त्रिकोणमितीय वृत्त 1 के बराबर, यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि चाप की साइन और कोसाइन वास्तविक संख्याएं हैं जो वास्तविक अंतराल में -1 से भिन्न होती हैं। स्पर्शरेखा अक्ष पर अपनाया गया पैमाना भुज और निर्देशांक अक्षों के समान ही होता है।

• अंतरिक्ष में तीन बिंदु जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, एक और केवल एक विमान के अनुरूप होते हैं।
• किसी भी बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है - यह प्रक्रिया कहलाती है ट्राईऐन्ग्युलेशंस.
• त्रिकोण के पैटर्न के अध्ययन के लिए पूरी तरह से समर्पित गणित का एक खंड है - त्रिकोणमिति.

त्रिभुज प्रकार

कोणों के प्रकार से

स्तनों के नियम के लिए निम्नलिखित निरूपण दिया गया है। ऊपर बताए गए स्तन ग्रंथि के नियम से संबंधित अनुपात निम्नलिखित परिभाषा द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। कोसाइन के नियम के लिए निम्नलिखित प्रतिनिधित्व दिया गया है। कोसाइन के नियम के अनुसार, जैसा कि ऊपर बताया गया है, एक भुजा के किसी भी वर्ग माप का त्रिभुज अन्य दो भुजाओं के वर्ग मापों के योग के बराबर होता है, जो उन भुजाओं के मापों और कोण की कोज्या के गुणनफल का दोगुना होता है। वे बनाते हैं।

इस अध्याय का उद्देश्य त्रिकोणमिति की सामग्री के लिए एक पाठ्यक्रम विकसित करना है, जो छात्रों द्वारा सीखने के क्रम में समस्याकरण, प्रासंगिकता और ऐतिहासिक शोध पर आधारित है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि यह समझा जाता है कि प्रशिक्षण योजना है आवश्यक शर्तदिशा - निर्देश के लिए शैक्षिक प्रक्रियाकिसी भी सामग्री को पढ़ाकर, यह हाइलाइट करता है, जैसा कि हम नीचे देखेंगे, सामग्री, लक्ष्य, योजना का विकास, सामग्री जो होनी चाहिए और जिस सामग्री को प्रशासित करने की आवश्यकता है उसका मूल्यांकन कैसे करें।

चूँकि त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, त्रिभुज में कम से कम दो कोण न्यून (90° से कम) होने चाहिए। निम्नलिखित प्रकार के त्रिभुज हैं:

• यदि किसी त्रिभुज के सभी कोण न्यूनकोण हों, तो त्रिभुज न्यूनकोण कहलाता है;
• यदि त्रिभुज का कोई एक कोण अधिक कोण (90° से अधिक) हो, तो त्रिभुज अधिक कोण कहलाता है;
• यदि त्रिभुज का कोई एक कोण समकोण (90° के बराबर) हो, तो त्रिभुज समकोण त्रिभुज कहलाता है। समकोण बनाने वाली दो भुजाओं को टाँगें तथा समकोण के सम्मुख भुजा को कर्ण कहते हैं।

बराबर भुजाओं की संख्या से

विषयगत परियोजना के आधार पर, त्रिकोणमिति उत्पन्न हुई: समस्याकरण और प्रासंगिकता। ऐतिहासिक दृष्टिकोण का उपयोग करके विषय त्रिकोणमिति को प्रासंगिक बनाएं और भौतिक स्थान और रूपों की खोज करें वातावरण. छात्रों को त्रिकोणमिति की मूल बातें सीखने के लिए एक वातावरण प्रदान करें।

पहचानें कि यह किन क्षेत्रों में फैलता है और इसका क्या प्रभाव पड़ता है। छात्रों को समझने, व्याख्या करने और समस्या समाधान की सुविधा प्रदान करने के तरीके प्रदान करें। त्रिकोणमिति की सामग्री को सामग्री का पता लगाने के लिए डिज़ाइन की गई सामग्री के अनुसार लागू किया जाएगा, जो नीचे दिए गए चरणों का पालन करेगा।

• एक स्केलीन एक त्रिभुज है जिसकी लंबाई तीन पक्षजोड़ीदार अलग हैं।
• एक समद्विबाहु त्रिभुज वह होता है जिसमें दो भुजाएँ बराबर होती हैं। इन भुजाओं को भुजाएँ कहते हैं, तीसरी भुजा को आधार कहते हैं। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं। एक समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई, माध्यिका और समद्विभाजक, आधार से नीचे की ओर, समान होते हैं।
• एक समबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं। एक समबाहु त्रिभुज में, सभी कोण 60 ° के बराबर होते हैं, और उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र मेल खाते हैं।

अध्ययन के लिए, यह समूहों में किया जा सकता है और विषय द्वारा विभाजित किया जा सकता है। समाजीकरण प्रत्येक समूह की रचनात्मकता और रुचि के योग्य प्रस्तुति के माध्यम से किया जा सकता है। प्रस्तुति के बाद, सामग्री के महत्व को प्राथमिकता देते हुए, प्रशिक्षक अपने स्वयं के स्थान बना सकते हैं।

त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जो त्रिभुजों का अध्ययन करती है, विशेष रूप से समतल में त्रिभुज जहाँ त्रिभुज का एक कोण 90 डिग्री मापता है। वह विशेष रूप से त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों का भी अध्ययन करता है; त्रिकोणमितीय कार्यऔर उनके आधार पर गणना। त्रिकोणमितीय दृष्टिकोण ज्यामिति के अन्य क्षेत्रों में प्रवेश करता है, जैसे गोलाकार त्रिकोणमिति का उपयोग करके क्षेत्रों का अध्ययन।

- एक समकोण त्रिभुज जिसका आस्पेक्ट रेशियो 3:4:5 है। इन संख्याओं के योग (3+4+5=12) का उपयोग प्राचीन काल से बहुलता की एक इकाई के रूप में किया जाता रहा है, जब इसकी लंबाई के 3/12 और 7/12 पर गांठों के साथ चिह्नित रस्सी का उपयोग करके समकोण का निर्माण किया जाता है। मध्य युग की वास्तुकला में आनुपातिकता योजनाओं के निर्माण के लिए मिस्र के त्रिकोण का उपयोग किया गया था।

त्रिकोणमिति की उत्पत्ति अज्ञात है। त्रिभुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं। एक त्रिभुज बनाने के लिए, बस तीनों बिंदुओं को लाइन सेगमेंट से कनेक्ट करें यदि वे संरेखित नहीं हैं। नीचे त्रिकोण हैं। एक ही बिंदु से जुड़ी दो रेखाओं द्वारा प्राप्त छिद्र को कोण कहा जाता है, जिसमें माप की अंतर्राष्ट्रीय इकाई के रूप में रेडियन होते हैं, और डिग्री भी बहुत उपयोगी होती है। त्रिभुजों में, उनके आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।

एक समकोण एक प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है। एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के विपरीत पक्ष को कर्ण कहा जाता है। कुछ लेखकों का मानना ​​​​है कि पाइथागोरस टेल्स, ईव का छात्र था, जब उसने कहा कि "वह इससे पचास साल छोटा था और मिलेटस के पास रहता था, जहाँ थेल्स रहते थे।" बॉयर का कहना है कि "हालांकि कुछ दावों में कहा गया है कि पाइथागोरस टेल्स का छात्र था, यह शायद ही उसकी उम्र के बीच आधी सदी का अंतर बनाता है।"

तो आप कहां से आरंभ करने वाले हैं? क्या यह इसी से है: 3 + 5 = 8. और संख्या 4 संख्या 8 का आधा है। रुको! अंक 3, 5, 8... क्या वे बहुत परिचित नहीं लगते? खैर, निश्चित रूप से, वे सीधे सुनहरे अनुपात से संबंधित हैं और तथाकथित "सुनहरी पंक्ति" में शामिल हैं: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ... इस श्रृंखला में, प्रत्येक अनुवर्ती सदस्य योग के बराबर हैदो पिछले वाले: 1 + 1= 2. 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8 आदि। यह पता चला है कि मिस्र का त्रिकोण स्वर्ण अनुपात से संबंधित है? और क्या प्राचीन मिस्रवासी जानते थे कि वे किसके साथ व्यवहार कर रहे थे? लेकिन आइए निष्कर्ष पर न जाएं। विवरणों का अधिक सटीक रूप से पता लगाना आवश्यक है।

अभिव्यक्ति " सुनहरा अनुपात”, कुछ के अनुसार, पहली बार 15वीं शताब्दी में पेश किया गया था लियोनार्डो दा विंसी . लेकिन "सुनहरी पंक्ति" 1202 में ही ज्ञात हो गई, जब इसे पहली बार एक इतालवी गणितज्ञ द्वारा "बुक ऑफ अकाउंट्स" में प्रकाशित किया गया था। पिसा के लियोनार्डो . उपनाम फिबोनाची। हालाँकि, उनसे लगभग दो हज़ार साल पहले, स्वर्णिम अनुपात ज्ञात था पाइथागोरसऔर उसके छात्र। सच है, इसे अलग तरह से कहा जाता था, "मध्य और चरम अनुपात में विभाजन।" और यहाँ मिस्र का त्रिभुज है जिसका "सुनहरा अनुपात" उन दूर के समय में वापस जाना जाता था जब मिस्र में पिरामिड बनाए गए थेजब अटलांटिस फला-फूला।

मिस्र के त्रिभुज प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, ज्ञात लंबाई A-A1 (चित्र।) के एक सीधी रेखा खंड का उपयोग करना आवश्यक है। यह एक पैमाने के रूप में काम करेगा, माप की एक इकाई, और आपको त्रिभुज के सभी पक्षों की लंबाई निर्धारित करने की अनुमति देगा। तीन खंड A-A1 त्रिभुज BC की सबसे छोटी भुजाओं की लंबाई के बराबर हैं, जिनका अनुपात 3 है। और चार खंड A-A1 लंबाई में दूसरी भुजा के बराबर हैं, जिनका अनुपात संख्या 4 द्वारा व्यक्त किया गया है। और , अंत में, तीसरी भुजा की लंबाई पाँच खंडों A -A1 के बराबर है। और फिर, जैसा कि वे कहते हैं, प्रौद्योगिकी का मामला। कागज पर एक खंड BC खींचिए, जो त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा है। फिर, 5 के अनुपात वाले खंड के बराबर त्रिज्या वाले बिंदु B से, हम एक कम्पास के साथ एक वृत्त का एक चाप खींचते हैं, और बिंदु C से, एक त्रिज्या वाले एक वृत्त का चाप, लंबाई के बराबर 4 के अनुपात वाला एक खंड। यदि अब चापों का प्रतिच्छेदन बिंदु बिंदु B और C वाली रेखाओं से जुड़ा है, तो हमें 3: 4: 5 के पहलू अनुपात के साथ एक समकोण त्रिभुज मिलता है।

क्यू.ई.डी.

मिस्र के त्रिकोण का उपयोग मध्य युग की वास्तुकला में आनुपातिक योजनाओं के निर्माण और भूमि सर्वेक्षणकर्ताओं और वास्तुकारों द्वारा समकोण बनाने के लिए किया गया था। मिस्र का त्रिभुज हेरोनियन त्रिभुजों का सबसे सरल (और पहला ज्ञात) है - पूर्णांक पक्षों और क्षेत्रों वाले त्रिभुज।

मिस्र का त्रिकोण - पुरातनता का रहस्य

आप में से हर कोई जानता है कि पाइथागोरस एक महान गणितज्ञ थे जिन्होंने बीजगणित और ज्यामिति के विकास में एक अमूल्य योगदान दिया, लेकिन उन्होंने अपने प्रमेय की बदौलत और भी अधिक प्रसिद्धि प्राप्त की।

और पाइथागोरस ने मिस्र की यात्रा के समय मिस्र के त्रिभुज प्रमेय की खोज की। इस देश में रहते हुए वैज्ञानिक पिरामिडों के वैभव और सौन्दर्य पर मोहित थे। शायद यही वह प्रेरणा थी जिसने उन्हें यह सोचने पर मजबूर कर दिया कि पिरामिडों के रूपों में कुछ निश्चित पैटर्न का स्पष्ट रूप से पता लगाया गया था।

डिस्कवरी इतिहास

मिस्र के त्रिभुज का नाम हेलेन और पाइथागोरस के कारण पड़ा, जो मिस्र में लगातार मेहमान थे। और यह लगभग 7वीं-5वीं शताब्दी ईसा पूर्व हुआ था। इ।

चेप्स का प्रसिद्ध पिरामिड वास्तव में एक आयताकार बहुभुज है, लेकिन पवित्र मिस्र के त्रिकोण को खफरे का पिरामिड माना जाता है।

मिस्र के निवासियों ने मिस्र के त्रिकोण की प्रकृति की तुलना की, जैसा कि प्लूटार्क ने लिखा है, परिवार के चूल्हे के साथ। उनकी व्याख्याओं में, कोई यह सुन सकता था कि इस ज्यामितीय आकृति में उसका ऊर्ध्वाधर पैर एक आदमी का प्रतीक है, आकृति का आधार स्त्री से संबंधित था, और पिरामिड के कर्ण को एक बच्चे की भूमिका सौंपी गई थी।

और पहले से ही अध्ययन किए गए विषय से, आप अच्छी तरह से जानते हैं कि इस आंकड़े का पहलू अनुपात 3:4:5 है और इसलिए, यह हमें पाइथागोरस प्रमेय की ओर ले जाता है, क्योंकि 32 + 42 = 52।

और अगर हम मानते हैं कि मिस्र का त्रिकोण खफरे पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि लोग प्राचीन विश्वपाइथागोरस द्वारा तैयार किए जाने से बहुत पहले प्रसिद्ध प्रमेय को जानता था।

मिस्र के त्रिभुज की मुख्य विशेषता, सबसे अधिक संभावना है, इसका अजीबोगरीब पहलू अनुपात था, जो कि हेरोनियन त्रिकोणों में पहला और सरल था, क्योंकि दोनों पक्षों और उसके क्षेत्र में पूर्णांक थे।

मिस्र के त्रिकोण की विशेषताएं

आइए अब करीब से देखें विशिष्ट सुविधाएंमिस्र का त्रिकोण:

पहला, जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, इसकी सभी भुजाएँ और क्षेत्रफल पूर्णांकों से मिलकर बने होते हैं;

दूसरे, पाइथागोरस प्रमेय से, हम जानते हैं कि टाँगों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है;

तीसरा, ऐसे त्रिभुज की सहायता से अंतरिक्ष में समकोण मापना संभव है, जो संरचनाओं के निर्माण में बहुत सुविधाजनक और आवश्यक है। और सुविधा इस तथ्य में निहित है कि हम जानते हैं कि यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

चौथा, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं कि भले ही कोई संगत न हो मापन उपकरण, तो इस त्रिभुज को एक साधारण रस्सी का उपयोग करके आसानी से बनाया जा सकता है।

मिस्र के त्रिभुज का अनुप्रयोग

प्राचीन काल में, मिस्र का त्रिकोण वास्तुकला और निर्माण में बहुत लोकप्रिय था। यह विशेष रूप से आवश्यक था यदि, निर्माण करने के लिए समकोणरस्सी या रस्सी का प्रयोग करें।

आखिरकार, यह ज्ञात है कि अंतरिक्ष में एक समकोण रखना एक कठिन काम है, और इसलिए उद्यमी मिस्रियों ने एक समकोण बनाने के लिए एक दिलचस्प तरीका खोजा। इन उद्देश्यों के लिए, उन्होंने एक रस्सी ली, जिस पर बारह सम भागों को गांठों से चिह्नित किया गया था, और फिर इस रस्सी से एक त्रिभुज को मोड़ा गया, जिसकी भुजाएँ 3, 4 और 5 भागों के बराबर थीं, और परिणामस्वरूप, बिना किसी समस्या के , उन्हें एक समकोण त्रिभुज मिला है। इस तरह के एक जटिल उपकरण के लिए धन्यवाद, मिस्रवासियों ने कृषि कार्य के लिए भूमि को बड़ी सटीकता के साथ मापा, घरों और पिरामिडों का निर्माण किया।

इस तरह से मिस्र का दौरा करने और मिस्र के पिरामिड की विशेषताओं का अध्ययन करने से पाइथागोरस ने अपने प्रमेय की खोज की, जो कि, गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में उस प्रमेय के रूप में शामिल हो गया, जिसके पास सबसे बड़ी मात्रा में सबूत हैं।

रेउलेक्स त्रिकोणीय पहिये

पहिया- एक गोल (एक नियम के रूप में), एक अक्ष डिस्क पर स्वतंत्र रूप से घूर्णन या तय किया गया है, जो उस पर रखे गए शरीर को स्लाइड के बजाय रोल करने की अनुमति देता है। पहिया का व्यापक रूप से विभिन्न तंत्रों और उपकरणों में उपयोग किया जाता है। कार्गो परिवहन के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

पहिया अपेक्षाकृत सपाट सतह पर भार को स्थानांतरित करने के लिए ऊर्जा लागत को काफी कम करता है। पहिया का उपयोग करते समय, रोलिंग घर्षण बल के खिलाफ काम किया जाता है, जो कृत्रिम सड़क की स्थिति में फिसलने वाले घर्षण बल से काफी कम होता है। पहिए ठोस होते हैं (उदाहरण के लिए, एक रेलवे कार का पहिए) और काफी से मिलकर बनता है एक लंबी संख्याभागों, उदाहरण के लिए, एक कार के पहिये में एक डिस्क, एक रिम, एक टायर, कभी-कभी एक कैमरा, माउंटिंग बोल्ट आदि शामिल होते हैं। कार टायर पहनना लगभग एक हल की गई समस्या है (ठीक से सेट व्हील एंगल के साथ)। आधुनिक टायर 100,000 किमी . से अधिक की यात्रा करें. एक अनसुलझी समस्या विमान के पहियों पर टायर पहनना है। जब एक स्थिर पहिया कई सौ किलोमीटर प्रति घंटे की गति से रनवे की कंक्रीट की सतह के संपर्क में आता है, तो टायर का टूटना बहुत अधिक होता है।

• जुलाई 2001 में, निम्नलिखित शब्दों के साथ पहिया के लिए एक अभिनव पेटेंट प्राप्त किया गया था: "माल परिवहन के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला एक गोल उपकरण।" यह पेटेंट मेलबर्न के एक वकील जॉन काओ को जारी किया गया था, जो ऑस्ट्रेलियाई पेटेंट कानून की अपूर्णता दिखाना चाहते थे।
• 2009 में फ्रांसीसी कंपनी मिशेलिन ने एक बड़े पैमाने पर उत्पादित ऑटोमोबाइल एक्टिव व्हील विकसित किया जिसमें बिल्ट-इन इलेक्ट्रिक मोटर्स थे जो व्हील, स्प्रिंग, शॉक एब्जॉर्बर और ब्रेक चलाते हैं। इस प्रकार, ये पहिये अनावश्यक बनाते हैं निम्नलिखित सिस्टमकार: इंजन, क्लच, गियरबॉक्स, डिफरेंशियल, ड्राइव और कार्डन शाफ्ट।
• 1959 में, अमेरिकी ए. स्फ्रेड को स्क्वायर व्हील के लिए पेटेंट प्राप्त हुआ। यह आसानी से बर्फ, रेत, मिट्टी, पार किए गए गड्ढों के माध्यम से चला गया। आशंकाओं के विपरीत, ऐसे पहियों पर कार "लंगड़ा" नहीं हुई और 60 किमी / घंटा तक की गति विकसित की।

फ्रांज रेलो(फ्रांज रेउलेक्स, 30 सितंबर, 1829 - 20 अगस्त, 1905) - जर्मन मैकेनिकल इंजीनियर, बर्लिन रॉयल एकेडमी ऑफ टेक्नोलॉजी में व्याख्याता, जो बाद में इसके अध्यक्ष बने। पहला, 1875 में, उन्होंने तंत्र की संरचना और कीनेमेटीक्स के मुख्य प्रावधानों को विकसित और रेखांकित किया; उन्होंने अपने डिजाइनों में तकनीकी वस्तुओं, औद्योगिक डिजाइन के सौंदर्यशास्त्र की समस्याओं से निपटा बहुत महत्वमशीनों के बाहरी रूप। रेउलेक्स को अक्सर किनेमेटिक्स का जनक कहा जाता है।

प्रशन

1. एक त्रिभुज क्या है?
2. त्रिकोण के प्रकार?
3. मिस्र के त्रिभुज की विशेषता क्या है?
4. मिस्र के त्रिकोण का उपयोग कहाँ किया जाता है? > गणित ग्रेड 8

मिस्र के त्रिकोण का उपयोग करके निर्माण एक प्राचीन विधि है जो अभी भी आधुनिक बिल्डरों द्वारा सक्रिय रूप से उपयोग की जाती है। यह नाम प्राचीन मिस्र की संरचनाओं के कारण दिया गया था, हालांकि यह ज्ञात है कि इसका इतिहास इस अवधि से बहुत पहले शुरू होता है।

लेकिन, सबसे अधिक संभावना है, उन दिनों अद्वितीय आकृति के गुणों की सराहना नहीं की गई थी, जब तक कि पाइथागोरस प्रकट नहीं हुए, जो आकृति के सुंदर रूपों का विश्लेषण और सराहना करने में सक्षम थे।

मिस्र के त्रिकोण को प्राचीन काल से जाना जाता है। यह कई सदियों से निर्माण और वास्तुकला में लोकप्रिय रहा है और बना हुआ है।

ऐसा माना जाता है कि समोस के महान यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस ने ज्यामितीय निर्माण का निर्माण किया था। उनके लिए धन्यवाद, आज हम निर्माण के क्षेत्र में एक ज्यामितीय भवन के सभी गुणों का उपयोग कर सकते हैं।

एक विचार का जन्म

थेल्स के अनुरोध पर अफ्रीका की यात्रा के बाद गणितज्ञ को यह विचार आया, जिन्होंने पाइथागोरस के लिए उन स्थानों के गणित और खगोल विज्ञान का अध्ययन करने का कार्य निर्धारित किया। मिस्र में, अंतहीन रेगिस्तान के बीच, वह राजसी इमारतों से मिला, जिसने उसे अपने आकार, अनुग्रह और सुंदरता से प्रभावित किया।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ढाई हजार साल पहले, पिरामिड कुछ अलग थे - विशाल, स्पष्ट किनारों के साथ। शक्तिशाली इमारतों का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने के बाद, जिनमें से कई थे, दिग्गजों के बगल में, फिरौन के बच्चों, पत्नियों और अन्य रिश्तेदारों के लिए छोटे मंदिर बनाए गए थे, इसने उन्हें सोचने के लिए प्रेरित किया।

उनके लिए धन्यवाद गणितीय क्षमतापाइथागोरस पिरामिड के आकार में पैटर्न को निर्धारित करने में सक्षम था, और विश्लेषण और निष्कर्ष निकालने की क्षमता ने ज्यामिति के इतिहास में सबसे महत्वपूर्ण सिद्धांतों में से एक का निर्माण किया।

इतिहास से

क्या प्राचीन मिस्रवासी ज्यामिति और गणित के बारे में जानते थे? बिलकुल हाँ। मिस्रवासियों का जीवन विज्ञान से घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ था। वे नियमित रूप से अपने ज्ञान का उपयोग खेतों को चिह्नित करते समय, स्थापत्य की उत्कृष्ट कृतियों का निर्माण करते हुए करते थे। यहां तक ​​​​कि भू-सर्वेक्षणकर्ताओं की एक सेवा भी थी, जो सीमाओं की बहाली में लगे ज्यामितीय नियमों को लागू करते थे।

त्रिभुज का नाम हेलेनेस के कारण पड़ा, जो अक्सर 7 वीं -5 वीं शताब्दी में मिस्र का दौरा करते थे। ई.पू. ऐसा माना जाता है कि आकृति का प्रोटोटाइप था चेप्स का पिरामिडसही अनुपात के साथ। इतिहास में उनका स्थान विशेष है। यदि आप क्रॉस सेक्शन को देखें, तो आप दो त्रिभुजों को देख सकते हैं, जिनमें अंदर का कोण 51 लगभग 50' है।

संरचना

यदि आप एक चांदा या त्रिभुज का उपयोग करते हैं तो कार्य बहुत आसान है। लेकिन, पहले, खंडों में विभाजित केवल डोरियों और रस्सी का उपयोग किया जाता था। रस्सी पर निशान के लिए धन्यवाद, एक आयताकार आकृति को सटीक रूप से फिर से बनाना संभव था। बिल्डरों ने प्रोट्रैक्टर और स्क्वायर को एक रस्सी से बदल दिया, जिसके लिए उन्होंने 12 भागों को नॉट्स के साथ चिह्नित किया और 3,4,5 सेगमेंट के साथ एक त्रिकोण को मोड़ दिया। बिना किसी कठिनाई के एक समकोण प्राप्त किया गया था। इस ज्ञान ने पिरामिड सहित कई संरचनाएं बनाने में मदद की।

दिलचस्प बात यह है कि प्राचीन मिस्र से पहले उन्होंने चीन, बेबीलोन, मेसोपोटामिया में इस तरह से निर्माण किया था।

मिस्र की त्रिकोणीय आकृति के गुण सत्य का पालन करते हैं - कर्ण का वर्ग वर्गों के बराबरदो कैथेटर। यह पाइथागोरस प्रमेय स्कूल के समय से सभी के लिए परिचित है। उदाहरण के लिए, हम 5x5 गुणा करते हैं और हमें संख्या 25 के बराबर कर्ण मिलता है। दोनों पैरों के वर्ग 16 और 9 हैं, जो कुल मिलाकर संख्या 25 देता है।

इन गुणों के लिए धन्यवाद, त्रिभुज ने निर्माण में आवेदन पाया है। आप इस शर्त के साथ एक सीधी रेखा खींचने के लिए कोई भी भाग ले सकते हैं कि उसकी लंबाई पाँच की गुणज होनी चाहिए। उसके बाद, एक किनारे पर ध्यान दें और उसमें से चार का गुणक और दूसरे से तीन का गुणज एक रेखा खींचें। इसके अलावा, प्रत्येक खंड कम से कम चार और तीन लंबा होना चाहिए। प्रतिच्छेद करते हुए, वे 90 डिग्री का एक समकोण बनाते हैं। अन्य कोण 53.13 और 36.87 डिग्री हैं।

विकल्प क्या हैं

समकोण कैसे बनाएं

सबसे बढ़िया विकल्प एक समकोण बनाएंएक वर्ग या एक चांदा का उपयोग है। यह अनुमति देगा न्यूनतम लागतआवश्यक अनुपात खोजें। लेकिन, हाथ में कुछ भी न होने के कारण एक आकृति बनाने की क्षमता के कारण मिस्र के त्रिकोण का मुख्य बिंदु इसकी बहुमुखी प्रतिभा है।

इस मामले में, सब कुछ उपयोगी हो सकता है, यहां तक ​​​​कि मुद्रित प्रकाशन भी। किसी भी किताब या यहां तक ​​कि एक पत्रिका में हमेशा एक पहलू अनुपात होता है जो एक समकोण बनाता है। प्रिंटिंग मशीनें हमेशा ठीक काम करती हैं ताकि मशीन में लोड किया गया रोल आनुपातिक कोणों से कट जाए।

प्राचीन इंजीनियरों ने मिस्र के त्रिकोण के निर्माण के कई तरीके निकाले और हमेशा संसाधनों को बचाया।

इसलिए, सबसे सरल और सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला तरीका एक साधारण रस्सी का उपयोग करके एक ज्यामितीय आकृति बनाने की विधि थी। एक डोरी ली गई और उसे 12 सम भागों में काटा गया, जिसमें से 3.4 और 5 के अनुपात में एक आकृति बनाई गई।

अन्य कोने कैसे बनाएं?

निर्माण की दुनिया में मिस्र के त्रिकोण को कम करके नहीं आंका जा सकता है। इसके गुण अद्वितीय रूप से उपयोगी हैं, लेकिन निर्माण में एक अलग डिग्री के कोणों के निर्माण की क्षमता के बिना, यह असंभव है। 45 डिग्री का कोण बनाने के लिए, आपको एक फ्रेम या बैगूएट की आवश्यकता होगी, जिसे 45 डिग्री के कोण पर देखा जाता है और एक दूसरे से जुड़ा होता है।

जरूरी! आवश्यक ढलान प्राप्त करने के लिए, आपको मुद्रित संस्करण से एक पेपर शीट उधार लेनी होगी और उसे मोड़ना होगा। इस मामले में, मोड़ रेखाएं कोने से गुजरेंगी। किनारों को जोड़ा जाना चाहिए।

आप 30 डिग्री के दो त्रिभुजों का उपयोग करके 60 डिग्री प्राप्त कर सकते हैं। ज्यादातर अक्सर सजावटी तत्व बनाने के लिए उपयोग किया जाता है।

छोटी-छोटी तरकीबें

मिस्र का त्रिभुज 3x4x5 छोटे घरों के लिए प्रासंगिक है। लेकिन क्या होगा अगर घर 12x15 है?

ऐसा करने के लिए, आपको एक समकोण त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है, जिसमें पैर 12 और 15 मीटर हों। कर्ण के रूप में पाया जाता है वर्गमूल 12x12 और 15x15 के योग से। नतीजतन, हमें 19.2 मीटर मिलता है किसी चीज की मदद से - रस्सी, सुतली, सुतली, केबल, सैन्य केबल, हम 12, 15 और 19.2 मीटर मापते हैं। हम इन जगहों पर गांठ बनाते हैं और झिमकी लगाते हैं।

फिर त्रिकोण को सही जगह पर खींचा जाना चाहिए और 3 समर्थन बिंदु सेट करना चाहिए, जिसमें खूंटे संचालित होते हैं। चौथा बिंदु पैरों के सिरों को छुए बिना प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, समकोण के बिंदु को तिरछे फेंका जाता है और सब कुछ तैयार है।

उदाहरण के लिए, एक साइट है जहां एक समकोण की आवश्यकता होती है - एक रसोई सेट, टाइल लेआउट और अन्य बिंदुओं के लिए जगह के लिए। बिछाने के दौरान ऐसे प्रश्नों को ध्यान में रखना अच्छा होगा, लेकिन वास्तविकता अलग है और यहां तक ​​कि दीवारें और समकोण भी हमेशा सामने नहीं आते हैं। 3:4:5 के अनुपात वाला मिस्र का त्रिभुज, या, यदि आवश्यक हो, 1.5:2:2.5, यहाँ उपयोगी है।

बीकन की मोटाई, त्रुटि, दीवारों पर धक्कों आदि को ध्यान में रखना सुनिश्चित करें। त्रिभुज को एक टेप माप और चाक के साथ खींचा गया है। यदि मार्कअप छोटा है, तो आप शीट का उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि उन्हें समकोण से काटा जाता है।

मिस्र के त्रिभुज का निर्माण में व्यापक रूप से 2.5 शताब्दियों तक उपयोग किया गया था। और आज कभी-कभी के अभाव में इस तकनीक को लागू करना आवश्यक हो जाता है आवश्यक उपकरणसमकोण प्राप्त करने के लिए। इस आकृति के गुण अद्वितीय हैं, जो वास्तुकला और निर्माण में सटीकता की गारंटी देता है, जो अपरिहार्य है। उसके साथ काम करना आसान है, रूप में वह सामंजस्यपूर्ण और सुंदर है। अब तक, जिज्ञासु दिमाग मिस्र के त्रिकोण के रहस्य को जानने की कोशिश कर रहे हैं।

प्रसिद्ध गणितज्ञ पाइथागोरस ने कई अलग-अलग खोजें कीं, लेकिन अधिकांश लोगों के लिए जिन्हें नियमित रूप से बीजगणित और ज्यामिति का अध्ययन नहीं करना पड़ता है, वे अपने प्रमेय के लिए जाने जाते हैं। वैज्ञानिक ने इसे मिस्र में खोजा, जहां वह पिरामिडों की सुंदरता और लालित्य से मोहित हो गया था, और इसने बदले में, उन्हें इस विचार के लिए प्रेरित किया कि उनके रूपों में एक निश्चित पैटर्न का पता लगाया जा सकता है।

डिस्कवरी इतिहास

मिस्र के त्रिकोण का नाम हेलेनेस के नाम पर रखा गया है, जो अक्सर 7 वीं -5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में मिस्र का दौरा करते थे। ई।, उनमें से पाइथागोरस था। चेप्स के पिरामिड का आधार एक आयताकार बहुभुज है, और

खफरे के पिरामिड - तथाकथित मिस्र के त्रिकोण, जिसे पूर्वजों ने पवित्र कहा। प्लूटार्क ने लिखा है कि मिस्र के निवासियों ने इस ज्यामितीय आकृति के साथ प्रकृति को सहसंबद्ध किया: ऊर्ध्वाधर पैर एक पुरुष का प्रतीक है, आधार - एक महिला, और कर्ण - एक बच्चा। इसमें पहलू अनुपात 3:4:5 है, और यह पाइथागोरस प्रमेय की ओर जाता है, क्योंकि 3 2 x 4 2 \u003d 5 2। इसलिए, तथ्य यह है कि मिस्र का त्रिकोण खफरे के पिरामिड के आधार पर स्थित है, हमें यह दावा करने की अनुमति देता है कि प्रसिद्ध प्रमेय प्राचीन दुनिया के निवासियों को पाइथागोरस द्वारा तैयार किए जाने से पहले ही ज्ञात था। इस आकृति की एक विशेषता यह भी मानी जाती है कि, इस पहलू अनुपात के कारण, यह हीरोन के त्रिभुजों में सबसे पहला और सरल है, क्योंकि इसकी भुजाएँ और क्षेत्रफल पूर्णांक हैं।

आवेदन

मिस्र का त्रिकोण प्राचीन काल से वास्तुकला और निर्माण में लोकप्रिय रहा है।

इसका उपयोग मुख्य रूप से 12 भागों में विभाजित रस्सी या रस्सी के साथ समकोण बनाते समय किया जाता था। इस तरह की रस्सी पर निशान के अनुसार, एक आयताकार आकृति को बहुत सटीक रूप से बनाना संभव था, जिसके पैर संरचना के समकोण को स्थापित करने के लिए मार्गदर्शक के रूप में काम करेंगे। यह ज्ञात है कि इस ज्यामितीय आकृति के ऐसे गुणों का उपयोग न केवल प्राचीन मिस्र में, बल्कि उससे बहुत पहले, चीन, बेबीलोन और मेसोपोटामिया में भी किया जाता था। मिस्र के त्रिकोण का उपयोग मध्य युग में आनुपातिक संरचनाओं को बनाने के लिए भी किया जाता था।

कोने

इस त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 3:4:5 इस तथ्य की ओर ले जाता है कि यह आयताकार है, यानी एक कोण 90 डिग्री है, और अन्य दो 53.13 और 36.87 डिग्री हैं। एक समकोण भुजाओं के बीच का एक कोण है जिसका अनुपात 3:4 है।

प्रमाण

कुछ सरल गणनाओं से आप सिद्ध कर सकते हैं कि एक त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है। यदि हम पाइथागोरस द्वारा बनाए गए प्रमेय के विपरीत प्रमेय का पालन करते हैं, अर्थात, यदि दोनों पक्षों के वर्गों का योग तीसरे के वर्ग के बराबर है, तो यह आयताकार है, और चूंकि इसकी भुजाएँ समानता की ओर ले जाती हैं 3 2 x 4 2 \u003d 5 2, इसलिए, यह आयताकार है।
संक्षेप में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि मिस्र के त्रिकोण, जिनके गुण कई शताब्दियों के लिए मानव जाति के लिए जाने जाते हैं, आज भी वास्तुकला में उपयोग किए जाते हैं। यह बिल्कुल भी आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि यह विधि सटीकता की गारंटी देती है, जो निर्माण में बहुत महत्वपूर्ण है। इसके अलावा, इसका उपयोग करना बहुत आसान है, जो प्रक्रिया को बहुत आसान भी बनाता है। इस पद्धति का उपयोग करने के सभी लाभों का सदियों से परीक्षण किया गया है और यह आज भी लोकप्रिय है।

गणित में कुछ सिद्धांत हैं, जो आधुनिक गणित के बाद के सभी विकास की नींव या नींव थे। इन सिद्धांतों में से एक को सही मायने में पाइथागोरस प्रमेय माना जा सकता है।

पाइथागोरस प्रमेय के हास्यास्पद सूत्रीकरण को स्कूल के समय से और कौन नहीं जानता: "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।" ठीक है, हाँ, यह सही लगता है: "कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है," लेकिन पैंट के बारे में याद रखना बेहतर है।

यह 3-4-5 भुजाओं वाले त्रिभुज में सबसे स्पष्ट रूप से देखा जाता है। लेकिन अगर आप इस तरह के त्रिभुज के उपयोग का ध्यानपूर्वक अध्ययन करें प्राचीन इतिहास, तो आप एक दिलचस्प बात देख सकते हैं और इसे अलग तरह से नहीं कहा जाता है, जैसे।

ग्रीस के समोस के वही दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस, जिनके नाम पर यह प्रमेय रखा गया है, लगभग 2.5 हजार साल पहले रहते थे। खैर, निश्चित रूप से, पाइथागोरस की जीवनी जो हमारे समय में आ गई है, पूरी तरह से विश्वसनीय नहीं है, लेकिन, फिर भी, यह ज्ञात है कि पाइथागोरस ने पूर्व के देशों में बहुत यात्रा की। जिसमें वह मिस्र और बाबुल में था। दक्षिणी इटली में, पाइथागोरस ने अपने प्रसिद्ध "पाइथागोरस स्कूल" की स्थापना की, जिसने प्राचीन ग्रीस के वैज्ञानिक और राजनीतिक जीवन दोनों में बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। उस समय से, प्लूटार्क, प्रोक्लस और उस समय के अन्य प्रसिद्ध गणितज्ञों की किंवदंतियों के अनुसार, यह माना जाता था कि पाइथागोरस से पहले यह प्रमेय ज्ञात नहीं था, और इसीलिए इसका नाम उनके नाम पर रखा गया था।

लेकिन इतिहास कहता है कि ऐसा नहीं है। आइए देखें कि पाइथागोरस कहाँ रहा है और उसने अपनी प्रमेय बनाने से पहले क्या देखा है। अफ्रीका, मिस्र। रेत का एक अंतहीन और नीरस सागर, लगभग कोई वनस्पति नहीं। दुर्लभ पौधों की झाड़ियाँ, बमुश्किल ध्यान देने योग्य ऊंट ट्रैक। जला हुआ रेगिस्तान। सूरज तब भी मंद लगता है, मानो इस सर्वव्यापी महीन रेत से ढका हो।

और अचानक, एक मृगतृष्णा की तरह, एक दृष्टि की तरह, पिरामिड की सख्त रूपरेखा क्षितिज पर दिखाई देती है, उनके आदर्श ज्यामितीय आकार में अद्भुत, चिलचिलाती धूप की ओर निर्देशित। अपने विशाल आकार और अपने रूपों की पूर्णता के साथ, वे अद्भुत हैं।

सबसे अधिक संभावना है, पाइथागोरस ने उन्हें अब की तुलना में एक अलग रूप में देखा। वे कई-स्तंभों से सटे मंदिरों की पृष्ठभूमि के खिलाफ अलग-अलग किनारों वाले चमचमाते, पॉलिश किए हुए लोग थे। राजसी शाही पिरामिडों के बगल में छोटे पिरामिड थे: फिरौन की पत्नियाँ और रिश्तेदार।

फिरौन की शक्ति प्राचीन मिस्रनिर्विवाद था। फिरौन को एक देवता माना जाता था और उन्हें दैवीय सम्मान दिया जाता था। फिरौन-भगवान लोगों और उनके संरक्षक के भाग्य का मध्यस्थ था। मृत्यु के बाद भी, फिरौन के पंथ का बहुत महत्व था। मृतक फिरौन को सदियों तक संरक्षित किया गया था, और फिरौन के शरीर को संरक्षित करने के लिए विशाल पिरामिड बनाए गए थे। इन पिरामिडों की भव्यता, वास्तुकला और आकार आज भी अद्भुत है। कोई आश्चर्य नहीं कि इन इमारतों को दुनिया के सात अजूबों में से एक के रूप में वर्गीकृत किया गया था।

प्रारंभ में, पिरामिडों का उद्देश्य केवल फिरौन की कब्रों के रूप में नहीं था। ऐसा माना जाता है कि वे मिस्र की शक्ति, महानता और धन के गुणों के रूप में बनाए गए थे। ये उस समय के सांस्कृतिक स्मारक हैं, देश के इतिहास के भंडार और फिरौन और उसके लोगों के जीवन के बारे में जानकारी, उस समय के घरेलू सामानों का संग्रह। इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि पिरामिड में एक निश्चित "वैज्ञानिक सामग्री" थी। भू-भाग के प्रति उनका अभिविन्यास, उनके आकार, आयाम और हर विवरण, हर तत्व को इतनी सावधानी से सोचा गया था कि उन्हें प्रदर्शित करना पड़ा उच्च स्तरपिरामिड के रचनाकारों का ज्ञान। यह स्पष्ट है कि वे सहस्राब्दियों के लिए, "हमेशा के लिए" बनाए गए थे। और यह व्यर्थ नहीं है कि अरबी कहावत कहती है: "दुनिया में सब कुछ समय से डरता है, और समय पिरामिड से डरता है।"

अपने विश्लेषणात्मक दिमाग के साथ, पाइथागोरस पिरामिडों के आकार और ज्यामितीय आयामों में एक निश्चित पैटर्न को नोटिस करने में असफल नहीं हो सका। सबसे अधिक संभावना है, इसने पाइथागोरस को इन आयामों का विश्लेषण करने के लिए प्रेरित किया, जिसे बाद में उनके द्वारा अपने प्रसिद्ध प्रमेय में व्यक्त किया गया था, जिससे आधुनिक ज्यामिति अब आधारित है।

हमारे समय तक जितने पिरामिड बचे हैं, उनमें चेप्स के पिरामिड का एक विशेष स्थान है। यदि हम इस पिरामिड के ज्यामितीय मॉडल पर विचार करें और इसके मूल आकार को पुनर्स्थापित करें, तो यह स्पष्ट है कि इसका क्रॉस सेक्शन 51 ° 50 के आंतरिक कोण वाले दो त्रिकोण हैं।

अब पिरामिड को छोटा कर दिया गया है, लेकिन यह समय का विनाश है, और अगर इसे अपने मूल रूप में ज्यामितीय रूप से बहाल किया जाता है, तो यह पता चलता है कि इन त्रिकोणों के किनारे बराबर हैं: आधार सीबी = 116.58 मीटर, ऊंचाई एसी = 148.28 मीटर .

पैरों का अनुपात y / x \u003d 148.28 / 116.58 \u003d 1.272। और यह 51 डिग्री 50 मिनट के कोण की स्पर्शरेखा का मान है। यह पता चला है कि चेप्स के पिरामिड के त्रिभुज डीआईए के आधार पर अनुपात एसी / सीबी = 1.272 रखा गया था। ऐसे समकोण त्रिभुज को "सुनहरा" समकोण त्रिभुज कहा जाता है।

यह पता चला है कि चेप्स पिरामिड का मुख्य "ज्यामितीय विचार" "सुनहरा" समकोण त्रिभुज है। लेकिन खफरे का पिरामिड इस लिहाज से खास है। इस पिरामिड के पार्श्व फलकों के झुकाव का कोण 53°12 है, जिस पर एक समकोण त्रिभुज की टांगों का अनुपात 4:3 है। ऐसे त्रिभुज को "पवित्र" या "मिस्र" त्रिभुज कहा जाता है। कई प्रसिद्ध इतिहासकारों के अनुसार, प्राचीन काल में "मिस्र" त्रिकोण को एक विशेष जादुई अर्थ दिया गया था। इसलिए प्लूटार्क ने लिखा कि मिस्रवासियों ने ब्रह्मांड की प्रकृति की तुलना "पवित्र" त्रिकोण से की: प्रतीकात्मक रूप से उन्होंने पति के लिए ऊर्ध्वाधर पैर, पत्नी के आधार और दोनों से पैदा होने वाले कर्ण की तुलना की।

3:4:5 भुजाओं वाले मिस्र के त्रिभुज के लिए, समानता सत्य है: 32 + 42 = 52, और यह प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय है। अनजाने में, यह प्रश्न उठता है: क्या यह अनुपात नहीं है कि मिस्र के पुजारी एक त्रिभुज 3:4:5 पर आधारित एक पिरामिड बनाकर कायम रखना चाहते थे। खफरे का पिरामिड इस तथ्य की स्पष्ट पुष्टि है कि प्रसिद्ध प्रमेय को पाइथागोरस द्वारा इसकी खोज से बहुत पहले मिस्रवासियों को पता था।

यह ज्ञात नहीं है कि यह प्राचीन मिस्रवासियों के पास कैसे आया, क्या यह उनके वैज्ञानिकों की योग्यता है, या क्या यह बाहर से एक उपहार है, यह बाहर नहीं है कि यह एक अलौकिक सभ्यता से एक उपहार है, लेकिन इस तरह के एक का उपयोग त्रिकोण ने मिस्र के बिल्डरों को सटीक ज्यामितीय आयामों का निरीक्षण करने के लिए इतनी बड़ी संरचनाओं के निर्माण में एक बहुत ही महत्वपूर्ण और, इसके अलावा, सरल अवसर दिया। आखिर इस त्रिभुज के गुण इस प्रकार हैं कि इसकी टांगों के बीच का कोण 90 डिग्री के बराबर होता है। यही है, इस तरह के एक तत्व के उपयोग से संभोग तत्वों की सटीक लंबवतता सुनिश्चित करना संभव हो जाता है और निश्चित रूप से, संपूर्ण संरचना, जिसकी पुष्टि प्राचीन मिस्र की वास्तुकला से होती है।

आवश्यक उपकरणों के बिना समकोण प्राप्त करना आसान नहीं है। लेकिन अगर आप इस त्रिकोण का उपयोग करते हैं, तो सब कुछ काफी सरल हो जाता है। आपको एक साधारण रस्सी लेने की जरूरत है, इसे 12 बराबर भागों में विभाजित करें, और उनमें से एक त्रिकोण को मोड़ें, जिसके किनारे 3, 4 और 5 भागों के बराबर होंगे। 3 और 4 भागों की भुजाओं के बीच का कोण एक सीधी रेखा बन जाता है। यह पाइथागोरस का मिस्र का त्रिभुज है।

कई ऐतिहासिक लेखों में इस बात के निशान हैं कि "मिस्र के त्रिकोण" के अद्वितीय गुण पाइथागोरस से कई शताब्दियों पहले और न केवल मिस्र में, बल्कि इसकी सीमाओं से परे भी ज्ञात और व्यापक रूप से उपयोग किए जाते थे: मेसोपोटामिया में, में प्राचीन चीन, बाबुल में।

प्रसिद्ध प्राचीन मिस्र की कहावत "जैसा किया जाता है वैसा करो", जो आज तक जीवित है, यह बताता है कि मिस्र के लोग, जिन्होंने इन निर्माण कृतियों को खड़ा किया था, वे सरल कलाकार थे और उन्हें विशेष ज्ञान नहीं था, और सभी रहस्य एकतरफा से छिपे हुए थे। . आखिरकार, निर्माण कार्य का नेतृत्व पुजारियों ने किया - एक विशेष विशेषाधिकार प्राप्त बंद जाति के सदस्य। वे प्राचीन ज्ञान के रखवाले थे जिन्हें गुप्त रखा गया था। लेकिन महान विचारक पाइथागोरस का जिज्ञासु दिमाग इनमें से एक रहस्य को उजागर करने में कामयाब रहा।

लोगों के मन हमेशा तरह-तरह के रहस्यों से भरे रहते हैं, और शायद हमेशा रहेंगे। , हालांकि यह प्राचीन काल से मानव जाति के लिए जाना जाता है, यह अभी भी उन रहस्यों में से एक है जो पूरी तरह से हल नहीं हुए हैं।

आखिरकार, आप जो भी कहें, मिस्र के त्रिकोण का आकार सरल और साथ ही सामंजस्यपूर्ण दोनों है, अपने तरीके से यह और भी सुंदर है। और इसके साथ काम करना काफी आसान है। ऐसा करने के लिए, आप सबसे सरल उपकरणों का उपयोग कर सकते हैं - एक शासक और एक कम्पास। इस सरल तत्व और इसके सममित प्रदर्शनों का उपयोग करके, आप सुंदर, सामंजस्यपूर्ण आकार प्राप्त कर सकते हैं। यह माल्टीज़ क्रॉस है, और खफ़्रे पिरामिड का मध्य खंड, और घटते-बढ़ते मिस्र के त्रिकोणों की फ्रैक्टल श्रृंखला सुनहरे खंड के नियम के अनुसार आकार में बढ़ रही है। यह सामंजस्यपूर्ण अनुपात का एक अद्भुत धन है।

अब तक, दुनिया में कई जिज्ञासु लोग हैं, जो पागलों की तरह, एक सतत गति मशीन का आविष्कार करते हैं, जो सर्कल के चौकोर, दार्शनिक के पत्थर और मृतकों की पुस्तक की तलाश में है। सबसे अधिक संभावना है, उनके प्रयास व्यर्थ हैं, लेकिन मिस्र के त्रिकोण के मामले में भी, यह स्पष्ट है कि पृथ्वी पर अभी भी कई "सरल रहस्य" हैं।