Y เพราะพล็อต 2x ฟังก์ชัน y=cos t คุณสมบัติหลักและกราฟ

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "ฟังก์ชัน y=cos(x) ความหมายและกราฟของฟังก์ชัน"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 10
ปัญหาพีชคณิตเกี่ยวกับพารามิเตอร์ เกรด 9–11
สภาพแวดล้อมซอฟต์แวร์ "1C: ตัวสร้างทางคณิตศาสตร์ 6.1"

เราจะศึกษาอะไร:
1. คำจำกัดความ
2. กราฟของฟังก์ชัน
3. คุณสมบัติของฟังก์ชัน Y=cos(X)
4. ตัวอย่าง.

คำจำกัดความของฟังก์ชันโคไซน์ y=cos(x)

พวกเราได้พบกับฟังก์ชัน Y=sin(X) แล้ว

เรามาจำสูตรผีสูตรหนึ่งกัน: sin(X + π/2) = cos(X)

ด้วยสูตรนี้ เราจึงสามารถอ้างได้ว่าฟังก์ชัน sin(X + π/2) และ cos(X) เหมือนกัน และกราฟฟังก์ชันตรงกัน

กราฟของฟังก์ชัน sin(X + π/2) ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน sin(X) โดยการแปลแบบขนาน π/2 หน่วยทางด้านซ้าย นี่จะเป็นกราฟของฟังก์ชัน Y=cos(X)

กราฟของฟังก์ชัน Y=cos(X) เรียกอีกอย่างว่าคลื่นไซน์

คุณสมบัติของฟังก์ชัน cos(x)

มาเขียนคุณสมบัติของฟังก์ชันของเรากัน:
• โดเมนของคำจำกัดความคือเซตของจำนวนจริง
• ฟังก์ชันเป็นคู่ ลองจำนิยามของฟังก์ชันคู่กัน ฟังก์ชันจะถูกเรียกแม้ว่าค่าความเท่าเทียมกัน y(-x)=y(x) ยังคงอยู่ก็ตาม ดังที่เราจำได้จากสูตรโกสต์: cos(-x)=-cos(x) นิยามเป็นจริงแล้ว โคไซน์จึงเป็นฟังก์ชันคู่
• ฟังก์ชัน Y=cos(X) ลดลงในส่วนและเพิ่มขึ้นในส่วน [π; 2π]. เราสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้ในกราฟของฟังก์ชันของเรา
• ฟังก์ชัน Y=cos(X) ถูกจำกัดจากด้านล่างและด้านบน คุณสมบัตินี้สืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า
  -1 ≤ คอส(X) ≤ 1
• ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ -1 (ที่ x = π + 2πk) มูลค่าสูงสุดฟังก์ชันเท่ากับ 1 (ที่ x = 2πk)
• ฟังก์ชัน Y=cos(X) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ลองดูกราฟและตรวจดูให้แน่ใจว่าฟังก์ชันของเราไม่มีการหยุดพัก ซึ่งหมายถึงความต่อเนื่อง
• ช่วงของค่า: ส่วน [- 1; 1]. ซึ่งมองเห็นได้ชัดเจนจากกราฟด้วย
• ฟังก์ชัน Y=cos(X) - ฟังก์ชั่นเป็นระยะ. ลองดูกราฟอีกครั้งและดูว่าฟังก์ชันใช้ค่าเดียวกันในช่วงเวลาหนึ่ง

ตัวอย่างด้วยฟังก์ชัน cos(x)

1. แก้สมการ cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

วิธีแก้: มาสร้างกราฟของฟังก์ชันขึ้นมา 2 กราฟ: y=cos(x) และ y=(x - 2π) 2 + 1 (ดูรูป)


y=(x - 2π) 2 + 1 คือพาราโบลาเลื่อนไปทางขวา 2π และขึ้นไป 1 กราฟของเราตัดกันที่จุดหนึ่ง A(2π;1) นี่คือคำตอบ: x = 2π

2. เขียนจุดฟังก์ชัน Y=cos(X) สำหรับ x ≤ 0 และ Y=sin(X) สำหรับ x ≥ 0

วิธีแก้ไข: หากต้องการสร้างกราฟที่ต้องการ เรามาสร้างกราฟสองกราฟของฟังก์ชันเป็น "ชิ้น" กัน ชิ้นแรก: y=cos(x) สำหรับ x ≤ 0 ชิ้นที่สอง: y=sin(x)
สำหรับ x ≥ 0 ให้เราพรรณนาทั้งสอง “ส่วน” บนกราฟเดียว

3. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน Y=cos(X) บนเซ็กเมนต์ [π; 7π/4]

วิธีแก้ไข: เรามาสร้างกราฟของฟังก์ชันและพิจารณาเซกเมนต์ของเรา [π; 7π/4]. กราฟแสดงให้เห็นว่าได้ค่าสูงสุดและต่ำสุดที่ส่วนท้ายของส่วน: ที่จุด π และ 7π/4 ตามลำดับ
คำตอบ: cos(π) = -1 – ค่าที่น้อยที่สุด, cos(7π/4) = ค่าที่ใหญ่ที่สุด

4. สร้างกราฟฟังก์ชัน y=cos(π/3 - x) + 1

วิธีแก้: cos(-x)= cos(x) จะได้กราฟที่ต้องการโดยเลื่อนกราฟของฟังก์ชัน y=cos(x) π/3 หน่วยไปทางขวาและขึ้น 1 หน่วย

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

1)แก้สมการ: cos(x)= x – π/2
2) แก้สมการ: cos(x)= - (x – π) 2 - 1
3) สร้างกราฟฟังก์ชัน y=cos(π/4 + x) - 2
4) สร้างกราฟฟังก์ชัน y=cos(-2π/3 + x) + 1
5) ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=cos(x) บนเซ็กเมนต์
6) จงหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=cos(x) บนเซ็กเมนต์ [- π/6; 5π/4].

ในบทนี้เราจะดูรายละเอียดเกี่ยวกับฟังก์ชัน y = cos x ซึ่งเป็นคุณสมบัติหลักและกราฟ ในตอนต้นของบทเรียน เราจะให้คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ y = cost บนวงกลมพิกัดและพิจารณากราฟของ ฟังก์ชั่นบนวงกลมและเส้น ลองแสดงคาบของฟังก์ชันนี้บนกราฟและพิจารณาคุณสมบัติหลักของฟังก์ชัน ในตอนท้ายของบทเรียน เราจะแก้ปัญหาง่ายๆ หลายประการโดยใช้กราฟของฟังก์ชันและคุณสมบัติของฟังก์ชัน

หัวข้อ: ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บทเรียน: ฟังก์ชัน y=ต้นทุน คุณสมบัติพื้นฐานและกราฟ

ฟังก์ชันคือกฎที่แต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์อิสระเชื่อมโยงกับค่าเดียวของฟังก์ชัน

มาจำกัน นิยามฟังก์ชันอนุญาต ที- จำนวนจริงใดๆ มีเพียงจุดเดียวที่สอดคล้องกับมัน มบนวงกลมตัวเลข ตรงจุด มมีแอบซิสซาตัวเดียว เรียกว่าโคไซน์ของจำนวน ทีแต่ละค่าอาร์กิวเมนต์ ทีมีเพียงค่าฟังก์ชันเดียวเท่านั้นที่สอดคล้อง (รูปที่ 1)

มุมกลางเป็นตัวเลข เท่ากับมูลค่าส่วนโค้งเป็นเรเดียน เช่น ดังนั้น อาร์กิวเมนต์อาจเป็นจำนวนจริงหรือมุมในหน่วยเรเดียนก็ได้

หากเราสามารถระบุค่าแต่ละค่าได้ เราก็สามารถสร้างกราฟของฟังก์ชันได้

คุณสามารถรับกราฟของฟังก์ชันได้ด้วยวิธีอื่น ตามสูตรลด ดังนั้นกราฟโคไซน์จึงเป็นคลื่นไซน์ที่เลื่อนไปตามแกน xไปทางซ้าย (รูปที่ 2)

คุณสมบัติฟังก์ชัน

1) ขอบเขตคำจำกัดความ:

2) ช่วงของค่า:

3) ฟังก์ชั่นคู่:

4) ช่วงเวลาบวกที่น้อยที่สุด:

5) พิกัดของจุดตัดกับแกนแอบซิสซา:

6) พิกัดของจุดตัดกับแกนกำหนด:

7) ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันรับค่าบวก:

8) ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันรับค่าลบ:

9) การเพิ่มช่วงเวลา:

10) ระยะห่างที่ลดลง:

11) คะแนนขั้นต่ำ:

12) ฟังก์ชั่นขั้นต่ำ: .

13) คะแนนสูงสุด:

14) ฟังก์ชั่นสูงสุด:

เราได้ดูคุณสมบัติพื้นฐานและกราฟของฟังก์ชันแล้ว ต่อไป จะถูกนำมาใช้ในการแก้ปัญหา

บรรณานุกรม

1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 (แบ่งเป็นสองส่วน) หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) เอ็ด. เอ.จี. มอร์ดโควิช -ม.: นีโมซิน, 2009.

2. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 (แบ่งเป็นสองส่วน) หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) ed. เอ.จี. มอร์ดโควิช -ม.: นีโมซิน, 2550.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburgd S.I. พีชคณิตและแคลคูลัสสำหรับเกรด 10 ( กวดวิชาสำหรับนักเรียนในโรงเรียนและชั้นเรียนที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงลึก) - อ.: Prosveshchenie, 1996

4. Galitsky M.L. , Moshkovich M.M. , Shvartsburg S.I. การศึกษาเชิงลึกเกี่ยวกับพีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์-ม.: การศึกษา, 2540.

5. การรวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัครเข้าศึกษาในสถาบันอุดมศึกษา (แก้ไขโดย M.I. Skanavi) - อ.: โรงเรียนมัธยมปลาย, 2535

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. เครื่องจำลองพีชคณิต-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. ปัญหาพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ (คู่มือสำหรับนักเรียนเกรด 10-11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป) - อ.: Prosveshchenie, 2003

8. คาร์ป เอ.พี. การรวบรวมปัญหาพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์: หนังสือเรียน เบี้ยเลี้ยงสำหรับเกรด 10-11 ด้วยความลึก ศึกษา คณิตศาสตร์-ม.: การศึกษา, 2549.

การบ้าน

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10 (เป็นสองส่วน) หนังสือปัญหาสำหรับสถาบันการศึกษา (ระดับโปรไฟล์) ed. เอ.จี. มอร์ดโควิช -ม.: นีโมซิน, 2550.

№№ 16.6, 16.7, 16.9.

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติมบนเว็บ

3. พอร์ทัลการศึกษาเพื่อเตรียมตัวสอบ ()

อยู่ตรงกลางจุดหนึ่ง ก.
α - มุมแสดงเป็นเรเดียน

คำนิยาม
ไซน์ (บาป α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาตรงข้าม |BC| ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|

โคไซน์ (คอส α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|

สัญกรณ์ที่ยอมรับ

;
;
.

;
;
.

กราฟของฟังก์ชันไซน์ y = sin x

กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ y = cos x

คุณสมบัติของไซน์และโคไซน์

ความเป็นงวด

ฟังก์ชัน y = บาป xและ ย = เพราะ xเป็นระยะกับช่วงเวลา 2π.

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันไซน์เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันโคไซน์เป็นเลขคู่

ขอบเขตของคำจำกัดความและค่านิยม สุดขั้ว เพิ่ม ลด

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์มีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ กล่าวคือ สำหรับ x ทั้งหมด (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักแสดงอยู่ในตาราง (n - จำนวนเต็ม)

	ย = บาป x	ย = เพราะ x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
ช่วงของค่า	-1 ≤ ย ≤ 1	-1 ≤ ย ≤ 1
เพิ่มขึ้น
จากมากไปน้อย
แม็กซิมา, y = 1
ขั้นต่ำ, y = - 1
ศูนย์, y = 0
จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0	ย = 0	ย = 1

สูตรพื้นฐาน

ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์

สูตรไซน์และโคไซน์จากผลรวมและผลต่าง

;
;

สูตรผลคูณของไซน์และโคไซน์

สูตรผลรวมและผลต่าง

แสดงไซน์ผ่านโคไซน์

;
;
;
.

แสดงโคไซน์ผ่านไซน์

;
;
;
.

การแสดงออกผ่านแทนเจนต์

; .

เมื่อใด เรามี:
; .

ที่ :
; .

ตารางไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์

การแสดงออกผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน

;

สูตรของออยเลอร์

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

; . การหาสูตร > > >

อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
{ -∞ < x < +∞ }

เซแคนต์, โคซีแคนต์

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของไซน์และโคไซน์คืออาร์คไซน์และอาร์กโคไซน์ตามลำดับ

อาร์คซิน, อาร์คซิน

อาร์คโคไซน์ อาร์คคอส

อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552

หลัก ฟังก์ชันตรีโกณมิติคือฟังก์ชัน y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x) ลองพิจารณาแต่ละรายการแยกกัน

Y = บาป(x)

กราฟของฟังก์ชัน y=sin(x)

คุณสมบัติพื้นฐาน:

3. ฟังก์ชันเป็นเลขคี่

Y = คอส(x)

กราฟของฟังก์ชัน y=cos(x)

คุณสมบัติพื้นฐาน:

1. โดเมนของคำจำกัดความคือแกนตัวเลขทั้งหมด

2. ฟังก์ชั่นจำกัด ชุดของค่าคือส่วน [-1;1]

3. ฟังก์ชันเป็นแบบคู่

4. ฟังก์ชันนี้เป็นแบบคาบโดยมีคาบบวกน้อยที่สุดเท่ากับ 2*π

Y = สีแทน(x)

กราฟของฟังก์ชัน y=tg(x)

คุณสมบัติพื้นฐาน:

1. โดเมนของคำจำกัดความคือแกนตัวเลขทั้งหมด ยกเว้นจุดที่อยู่ในรูปแบบ x=π/2 +π*k โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม

3. ฟังก์ชันเป็นเลขคี่

Y = กะรัต(x)

กราฟของฟังก์ชัน y=ctg(x)

คุณสมบัติพื้นฐาน:

1. ขอบเขตของคำจำกัดความคือแกนตัวเลขทั้งหมด ยกเว้นจุดที่อยู่ในรูปแบบ x=π*k โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม

2. ฟังก์ชั่นไม่จำกัด ชุดของค่าคือเส้นจำนวนทั้งหมด

3. ฟังก์ชันเป็นเลขคี่

4. ฟังก์ชันนี้เป็นคาบโดยมีคาบบวกน้อยที่สุดเท่ากับ π