วงกลมตรีโกณมิติ สุดยอดคู่มือ (2019)
ก่อนที่จะไปยังส่วนนี้ ให้เรานึกถึงคำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ที่กำหนดไว้ในหนังสือเรียนเรขาคณิตสำหรับเกรด 7-9
ไซน์ของมุมแหลม t ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก (รูปที่ 1):
โคไซน์ของมุมแหลม t ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก (รูปที่ 1):
คำจำกัดความเหล่านี้ใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากและเป็นกรณีพิเศษของคำจำกัดความที่นำเสนอในส่วนนี้
ลองวางสามเหลี่ยมมุมฉากอันเดียวกันบนวงกลมตัวเลข (รูปที่ 2)
เราจะเห็นว่าขา ขเท่ากับค่าที่แน่นอน ยบนแกน Y (แกนพิกัด) ขา กเท่ากับค่าที่แน่นอน xบนแกน X (แกน x) และด้านตรงข้ามมุมฉาก กับเท่ากับรัศมีของวงกลม (R)
ดังนั้น สูตรของเราจึงมีรูปแบบที่แตกต่างออกไป
เนื่องจาก ข = ย, ก = x, c = R จากนั้น:
ใช่
บาป t = -- , cos t = --
อาร์ อาร์
อย่างไรก็ตาม โดยธรรมชาติแล้ว สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีรูปแบบที่แตกต่างกัน
เนื่องจาก tg t = b/a, ctg t = a/b ดังนั้นสมการอื่นๆ ก็เป็นจริงเช่นกัน:
ทีจี ที = ย/x,
ซีทีจี = x/ย.
แต่ลองกลับไปที่ไซน์และโคไซน์อีกครั้ง เรากำลังเผชิญกับวงกลมตัวเลขซึ่งมีรัศมี 1 ซึ่งหมายความว่า:
ย
บาป เสื้อ = -- = ย,
1
x
เพราะ เสื้อ = -- = x.
1
เรามาถึงสูตรตรีโกณมิติประเภทที่สามที่ง่ายกว่าแล้ว
สูตรเหล่านี้ใช้ไม่เพียงแต่กับแบบเฉียบพลันเท่านั้น แต่ยังใช้กับมุมอื่นๆ ด้วย (ป้านหรือพัฒนาแล้ว)
คำจำกัดความและสูตรเพราะเสื้อบาปเสื้อทีจีเสื้อกะรัตที
จากสูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ มีสูตรอื่นดังต่อไปนี้:
สมการวงกลมจำนวน
สัญญาณของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ในวงกลมควอเตอร์:
ไตรมาสที่ 1 | ไตรมาสที่ 2 | ไตรมาสที่ 3 | ไตรมาสที่ 4 |
|
โคไซน์และไซน์ของจุดหลักของวงกลมจำนวน:
วิธีจำค่าโคไซน์และไซน์ของจุดหลักของวงกลมตัวเลข
ก่อนอื่นคุณต้องรู้ว่าในแต่ละคู่ของตัวเลขค่าโคไซน์มาก่อนค่าไซน์จะมาเป็นอันดับสอง
1) โปรดทราบ: ด้วยหลายจุดบนวงกลมตัวเลข เรากำลังจัดการกับตัวเลขเพียงห้าตัว (ต่อโมดูล):
1 √2 √3
0; -; --; --; 1.
2 2 2
สร้าง "การค้นพบ" นี้ให้กับตัวคุณเอง - แล้วคุณจะขจัดความกลัวทางจิตวิทยาของตัวเลขที่มีอยู่มากมาย: จริงๆ แล้วมีเพียงห้าเท่านั้น
2) เริ่มจากจำนวนเต็ม 0 และ 1 กันก่อน ซึ่งอยู่บนแกนพิกัดเท่านั้น
ไม่จำเป็นต้องเรียนรู้ด้วยใจ เช่น เมื่อโคไซน์ในโมดูลัสมี 1 และตำแหน่งที่มี 0 เป็นต้น
ที่ปลายเพลา โคไซน์(ขวาน เอ็กซ์), แน่นอน, โคไซน์ เท่ากัน โมดูล 1 และไซน์เท่ากับ 0
ที่ปลายเพลา ไซนัส(ขวาน ที่) ไซน์เท่ากับโมดูลัส 1และโคไซน์เท่ากับ 0
ตอนนี้เกี่ยวกับสัญญาณ ซีโร่ไม่มีสัญญาณ สำหรับ 1 - ที่นี่คุณเพียงแค่ต้องจำสิ่งที่ง่ายที่สุด: จากหลักสูตรชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 คุณรู้ไหมว่าบนแกน เอ็กซ์ด้านขวาของศูนย์กลาง ประสานงานเครื่องบิน– จำนวนบวก ทางซ้าย – ลบ; บนแกน ที่เลขบวกขึ้นจากจุดศูนย์กลาง เลขลบลง แล้วคุณจะไม่เข้าใจผิดกับเครื่องหมาย 1
3) ตอนนี้เรามาดูค่าเศษส่วนกันดีกว่า
ตัวส่วนของเศษส่วนจะมีเลข 2 เท่ากัน เราจะไม่เข้าใจผิดว่าจะเขียนตัวส่วนอย่างไรอีกต่อไป
ตรงกลางควอเตอร์ โคไซน์และไซน์มีค่าสัมบูรณ์เท่ากันทุกประการ: √2/2 ในกรณีนี้จะมีเครื่องหมายบวกหรือลบ - ดูตารางด้านบน แต่คุณแทบจะไม่ต้องการตารางแบบนี้: คุณรู้เรื่องนี้จากหลักสูตรชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เดียวกัน
อยู่ใกล้แกนมากที่สุด เอ็กซ์จุดมีค่าโคไซน์และไซน์เหมือนกันทุกประการ: (√3/2; 1/2)
ค่าทั้งหมดใกล้กับแกนมากที่สุด ที่จุดนั้นเหมือนกันทุกประการในโมดูลัส - และมีตัวเลขเท่ากัน มีเพียงจุด "สลับ" เท่านั้น: (1/2; √3/2)
ตอนนี้เกี่ยวกับสัญญาณ - มีการสลับที่น่าสนใจที่นี่ (แม้ว่าเราเชื่อว่าคุณควรจะสามารถเข้าใจสัญญาณได้อย่างง่ายดายอยู่แล้ว)
หากในไตรมาสแรกค่าของทั้งโคไซน์และไซน์มีเครื่องหมายบวกแสดงว่าในด้านตรงข้าม (ที่สาม) จะมีเครื่องหมายลบ
หากในไตรมาสที่สองที่มีเครื่องหมายลบมีเพียงโคไซน์ดังนั้นในส่วนตรงข้ามที่มีเส้นทแยงมุม (ที่สี่) จะมีเพียงไซน์
ยังคงเป็นเพียงการจำไว้ว่าในการรวมกันของค่าโคไซน์และไซน์แต่ละครั้ง ตัวเลขแรกคือค่าโคไซน์ ตัวเลขที่สองคือค่าไซน์
ให้ความสนใจกับความสม่ำเสมออีกอย่างหนึ่ง: ไซน์และโคไซน์ของจุดที่ตรงข้ามกันของวงกลมมีขนาดเท่ากันทุกประการ ตัวอย่างเช่น จุดตรงข้าม π/3 และ 4π/3:
cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, sin 4π/3 = -√3/2
ค่าของโคไซน์และไซน์ของจุดตรงข้ามสองจุดแตกต่างกันเฉพาะในเครื่องหมายเท่านั้น แต่ที่นี่ก็มีรูปแบบเช่นกัน ไซน์และโคไซน์ของจุดที่อยู่ตรงข้ามกันจะมีเครื่องหมายตรงกันข้ามเสมอ
สิ่งสำคัญคือต้องรู้:
ค่าของโคไซน์และไซน์ของจุดบนวงกลมตัวเลขเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามลำดับตามลำดับที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด: จากค่าที่น้อยที่สุดไปจนถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดและในทางกลับกัน (ดูหัวข้อ “การเพิ่มขึ้นและการลดลง” ฟังก์ชันตรีโกณมิติ" - อย่างไรก็ตาม สามารถตรวจสอบได้ง่าย ๆ เพียงดูที่วงกลมตัวเลขด้านบน)
ตามลำดับจากมากไปน้อยจะได้รับการสลับค่าต่อไปนี้:
√3 √2 1 1 √2 √3
1; --; --; -; 0; – -; – --; – --; –1
2 2 2 2 2 2
เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดในลำดับที่กลับกัน
เมื่อคุณเข้าใจรูปแบบง่ายๆ นี้แล้ว คุณจะเรียนรู้วิธีกำหนดค่าของไซน์และโคไซน์ได้อย่างง่ายดาย
แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของจุดหลักของวงกลมจำนวน
เมื่อทราบโคไซน์และไซน์ของจุดบนวงกลมตัวเลขแล้ว คุณก็สามารถคำนวณแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของจุดเหล่านั้นได้อย่างง่ายดาย หารไซน์ด้วยโคไซน์แล้วได้แทนเจนต์ หารโคไซน์ด้วยไซน์แล้วได้โคแทนเจนต์ ผลลัพธ์ของการแบ่งส่วนนี้แสดงไว้ในรูปภาพ
หมายเหตุ: ในบางตาราง ค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เท่ากับโมดูลัส √3/3 จะแสดงเป็น 1/√3 ไม่มีข้อผิดพลาดที่นี่ เนื่องจากเป็นตัวเลขที่เท่ากัน หากตัวเศษและส่วนของเลข 1/√3 คูณด้วย √3 เราจะได้ √3/3
วิธีจำความหมายของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของประเด็นหลักของวงกลมจำนวน
กฎตรงนี้เหมือนกับกฎไซน์และโคไซน์ และมีเพียงสี่ตัวเลขตรงนี้ (ต่อโมดูล): 0, √3/3, 1, √3
ที่ปลายแกนพิกัดจะมีขีดกลางและศูนย์ ขีดกลางหมายความว่าแทนเจนต์หรือโคแทนเจนต์ไม่สมเหตุสมผล ณ จุดเหล่านี้
จะจำได้อย่างไรว่าขีดกลางอยู่ที่ไหนและเลขศูนย์อยู่ที่ไหน? กฎจะช่วย
แทนเจนต์เป็นอัตราส่วน ไซน์ถึงโคไซน์ ที่ปลายเพลา ไซนัส(แกน ที่) แทนเจนต์ไม่มีอยู่
โคแทนเจนต์เป็นความสัมพันธ์ โคไซน์ถึงไซน์ ที่ปลายเพลา โคไซน์(แกน เอ็กซ์) ไม่มีโคแทนเจนต์
อีกจุดหนึ่งจะมีการสลับตัวเลขเพียงสามตัวเท่านั้น: 1, √3 และ √3/3 โดยมีเครื่องหมายบวกหรือลบ จะจัดการกับพวกเขาอย่างไร? จำไว้ (หรือดีกว่านั้น ลองนึกภาพ) สถานการณ์สามประการ:
1) แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของจุดกึ่งกลางทั้งหมดของไตรมาสอยู่ในโมดูล 1
2) แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ใกล้กับแกนมากที่สุด เอ็กซ์จุดมีโมดูลัส √3/3; √3.
3) แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของจุดที่ใกล้กับแกน y มากที่สุดมีโมดูลัสเป็น √3; √3/3.
อย่าพลาดกับสัญญาณแล้วคุณจะเป็นผู้เชี่ยวชาญที่ยอดเยี่ยม
มันจะมีประโยชน์ที่จะจำไว้ว่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เพิ่มขึ้นหรือลดลงในวงกลมตัวเลขอย่างไร (ดูวงกลมตัวเลขด้านบนหรือหัวข้อ "การเพิ่มและลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ") จากนั้นลำดับการสลับค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จะเข้าใจได้ดียิ่งขึ้น
คุณสมบัติตรีโกณมิติของตัวเลขบนวงกลมตัวเลข
สมมติว่าจุด M มีค่า t
คุณสมบัติ 1:
| | | |
คำอธิบาย. ให้ t = –60º และ t = –210º
cos –60º เท่ากับ 1/2 แต่ cos 60º ก็เท่ากับ 1/2 เช่นกัน นั่นคือ โคไซน์ –60° และ 60° เท่ากันทั้งขนาดและเครื่องหมาย: cos –60° = cos 60°
cos –210º เท่ากับ –√3/2 แต่ cos 210º ก็เท่ากับ –√3/2 เช่นกัน นั่นคือ: cos –210º = cos 210º
คอส(–เสื้อ) =เพราะที
บาป –60º เท่ากับ –√3/2 และบาป 60º เท่ากับ √3/2 นั่นคือบาป –60 องศาและบาป 60 องศามีขนาดเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม
บาป –210º เท่ากับ 1/2 และบาป210ºเท่ากับ –1/2 นั่นคือ บาป –210º และบาป 210º มีขนาดเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม
ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้ว บาป(-เสื้อ) = –บาปที
ดูสิ่งที่เกิดขึ้นกับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้ - และคุณเองก็สามารถพิสูจน์ตัวเองได้อย่างง่ายดายถึงความถูกต้องของอีกสองตัวตนที่ระบุในตาราง
สรุป: โคไซน์เป็นฟังก์ชันคู่ ไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันคี่
คุณสมบัติ 2:เนื่องจาก t = t + 2π เค, ที่:
| |
คำอธิบาย: t และ t + 2π เคเป็นจุดเดียวกันบนวงกลมตัวเลข ในกรณีของ 2π เคเราทำเงินได้จำนวนหนึ่ง การปฏิวัติเต็มรูปแบบรอบวงกลมก่อนถึงจุด t ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกันที่แสดงในตารางนี้มีความชัดเจน
คุณสมบัติ 3:ถ้าจุดสองจุดของวงกลมอยู่ตรงข้ามกันโดยสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลาง O ดังนั้นไซน์และโคไซน์ของจุดนั้นจะมีขนาดเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม และแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของจุดทั้งสองจะมีขนาดและเครื่องหมายเท่ากัน
| | | |
คำอธิบาย: ให้จุด M อยู่ในควอเตอร์แรก มีค่าไซน์และโคไซน์เป็นบวก ลองวาดเส้นผ่านศูนย์กลางจากจุดนี้ - นั่นคือส่วนที่ผ่านจุดศูนย์กลางของแกนพิกัดและสิ้นสุดที่จุดตรงข้ามของวงกลม ลองเขียนจุดนี้ด้วยตัวอักษร N อย่างที่คุณเห็น ส่วนโค้ง MN เท่ากับครึ่งวงกลม คุณรู้อยู่แล้วว่าครึ่งวงกลมมีค่าเท่ากับ π ซึ่งหมายความว่าจุด N อยู่ที่ระยะห่าง π จากจุด M กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเราบวกระยะทาง π เข้ากับจุด M เราก็จะได้จุด N ซึ่งอยู่ตรงข้ามกัน เธออยู่ในไตรมาสที่สาม ตรวจสอบและดู: โคไซน์และไซน์ของจุด N - มีเครื่องหมายลบ ( xและ ยมีค่าเป็นลบ)
แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของจุด M มีค่าเป็นบวก แล้วแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของจุด N ล่ะ? คำตอบนั้นง่ายมาก เพราะท้ายที่สุดแล้ว แทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของไซน์และโคไซน์ ในตัวอย่างของเรา ไซน์และโคไซน์ของจุด N มีเครื่องหมายลบ วิธี:
–บาป ต
tg (t + π) = ---- = tg เสื้อ
-ค่าใช้จ่าย
-ค่าใช้จ่าย
CTG (t + π) = ---- = CTG เสื้อ
–บาป ต
เราได้พิสูจน์แล้วว่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของจุดที่ตรงข้ามกันบนวงกลมไม่เพียงแต่มีค่าเท่ากันเท่านั้น แต่ยังมีเครื่องหมายเดียวกันอีกด้วย
คุณสมบัติ 4:ถ้าจุดสองจุดบนวงกลมอยู่ในสี่ส่วนที่อยู่ติดกัน และระยะห่างระหว่างจุดทั้งสองเท่ากับหนึ่งในสี่ของวงกลม ดังนั้นไซน์ของจุดหนึ่งจะเท่ากับโคไซน์ของอีกจุดหนึ่งที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน และโคไซน์ของจุดหนึ่ง เท่ากับไซน์ของวินาทีที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม
π | π |
ข้อมูลอ้างอิงสำหรับแทนเจนต์ (tg x) และโคแทนเจนต์ (ctg x) ความหมายทางเรขาคณิต สมบัติ กราฟ สูตร ตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ อนุพันธ์ อินทิกรัล การขยายอนุกรม การแสดงออกผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน การเชื่อมต่อกับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก
คำจำกัดความทางเรขาคณิต
|บีดี| - ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด A
α คือมุมที่แสดงเป็นเรเดียน
แทนเจนต์ ( สีแทน α) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาตรงข้าม |BC| ไปจนถึงความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| .
โคแทนเจนต์ ( ซีทีจี แอลฟา) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ถึงความยาวของขาตรงข้าม |BC| .
แทนเจนต์
ที่ไหน n- ทั้งหมด.
ในวรรณคดีตะวันตก แทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
;
;
.
กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์ y = tan x
โคแทนเจนต์
ที่ไหน n- ทั้งหมด.
ในวรรณคดีตะวันตก โคแทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
ยอมรับสัญลักษณ์ต่อไปนี้ด้วย:
;
;
.
กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ y = ctg x
คุณสมบัติของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์
ความเป็นงวด
ฟังก์ชัน y = ทีจีเอ็กซ์และ ย = ซีทีจี xเป็นคาบกับคาบ π
ความเท่าเทียมกัน
ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นเลขคี่
พื้นที่ของความหมายและค่านิยม การเพิ่มขึ้น การลดลง
ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีความต่อเนื่องในขอบเขตของคำจำกัดความ (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แสดงอยู่ในตาราง ( n- ทั้งหมด).
| ย = ทีจีเอ็กซ์ | ย = ซีทีจี x | |
| ขอบเขตและความต่อเนื่อง | ||
| ช่วงของค่า | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| เพิ่มขึ้น | - | |
| จากมากไปน้อย | - | |
| สุดขั้ว | - | - |
| ศูนย์, y = 0 | ||
| จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0 | ย = 0 | - |
สูตร
นิพจน์โดยใช้ไซน์และโคไซน์
;
;
;
;
;
สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จากผลรวมและผลต่าง
สูตรที่เหลือก็หาได้ง่ายเช่นกัน
ผลคูณของแทนเจนต์
สูตรหาผลรวมและผลต่างของแทนเจนต์
ตารางนี้แสดงค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์ 
นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน
นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก
;
;
อนุพันธ์
; .
.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n เทียบกับตัวแปร x ของฟังก์ชัน:
.
การหาสูตรแทนเจนต์ > > > ; สำหรับโคแทนเจนต์ > > >
ปริพันธ์
การขยายซีรีส์
เพื่อให้ได้การขยายตัวของแทนเจนต์ในกำลังของ x คุณต้องใช้เงื่อนไขหลายประการในการขยายอนุกรมกำลังสำหรับฟังก์ชัน บาป xและ เพราะ xและหารพหุนามเหล่านี้ด้วยตัวอื่นๆ ในกรณีนี้ปรากฎว่า สูตรต่อไปนี้.
ที่ .
ที่ .
ที่ไหน บีเอ็น- หมายเลขเบอร์นูลลี โดยพิจารณาจากความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ:
;
;
ที่ไหน .
หรือตามสูตรของลาปลาซ: 
ฟังก์ชันผกผัน
ฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์ตามลำดับ
อาร์กแทนเจนต์, อาร์กจี
, ที่ไหน n- ทั้งหมด.
อาร์กโคแทนเจนต์, อาร์กซีจี
, ที่ไหน n- ทั้งหมด.
อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552
ก.กร, คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับ คนงานทางวิทยาศาสตร์และวิศวกร 2555
การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ
การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล
ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ
คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา
ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว
เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:
- เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวม ข้อมูลต่างๆรวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ
เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:
- รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
- ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
- เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
- หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว
การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม
เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม
ข้อยกเว้น:
- หากจำเป็นตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดีในการดำเนินคดีทางกฎหมายและ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือการร้องขอจากหน่วยงานรัฐบาลในสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
- ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง
การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล
เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต
การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท
เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด
แนวคิดเรื่องไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นหมวดหมู่หลักของตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ และมีการเชื่อมโยงอย่างแยกไม่ออกกับคำจำกัดความของมุม การเรียนรู้วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์นี้ต้องอาศัยการท่องจำและความเข้าใจในสูตรและทฤษฎีบท ตลอดจนการพัฒนาการคิดเชิงพื้นที่ นี่คือสาเหตุที่การคำนวณตรีโกณมิติมักสร้างปัญหาให้กับเด็กนักเรียนและนักเรียน เพื่อเอาชนะสิ่งเหล่านี้ คุณควรทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและสูตรตรีโกณมิติให้มากขึ้น
แนวคิดในวิชาตรีโกณมิติ
เพื่อทำความเข้าใจแนวคิดพื้นฐานของตรีโกณมิติ คุณต้องเข้าใจก่อนว่าสามเหลี่ยมมุมฉากและมุมในวงกลมคืออะไร และเหตุใดการคำนวณตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมดจึงสัมพันธ์กับสิ่งเหล่านี้ สามเหลี่ยมที่มีมุมใดมุมหนึ่งมีขนาด 90 องศา จะเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก ในอดีต ผู้คนมักใช้ตัวเลขนี้ในสถาปัตยกรรม การเดินเรือ ศิลปะ และดาราศาสตร์ ดังนั้นโดยการศึกษาและวิเคราะห์คุณสมบัติของตัวเลขนี้ ผู้คนจึงมาคำนวณอัตราส่วนที่สอดคล้องกันของพารามิเตอร์
หมวดหมู่หลักที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉากและขา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านของสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก ขาตามลำดับคืออีกสองข้าง ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ จะเป็น 180 องศาเสมอ
ตรีโกณมิติทรงกลมเป็นส่วนหนึ่งของวิชาตรีโกณมิติที่ไม่ได้เรียนในโรงเรียน แต่นักวิทยาศาสตร์ใช้ตรีโกณมิติในวิทยาศาสตร์ประยุกต์ เช่น ดาราศาสตร์และธรณีวิทยา ลักษณะเฉพาะของสามเหลี่ยมในตรีโกณมิติทรงกลมคือ สามเหลี่ยมจะมีผลรวมของมุมที่มากกว่า 180 องศาเสมอ
มุมของรูปสามเหลี่ยม
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมที่ต้องการต่อด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น โคไซน์คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันและด้านตรงข้ามมุมฉาก ค่าทั้งสองนี้จะมีขนาดเสมอ น้อยกว่าหนึ่งเนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวกว่าขาเสมอ
แทนเจนต์ของมุมคือค่าเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิดของมุมที่ต้องการ หรือไซน์ต่อโคไซน์ ในทางกลับกัน โคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของด้านประชิดของมุมที่ต้องการต่อด้านตรงข้าม โคแทนเจนต์ของมุมสามารถหาได้โดยการหารค่าหนึ่งด้วยค่าแทนเจนต์
วงกลมหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วยในเรขาคณิตคือวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับหนึ่ง วงกลมดังกล่าวสร้างขึ้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดยมีจุดศูนย์กลางของวงกลมตรงกับจุดกำเนิด และตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีถูกกำหนดไปตามทิศทางบวกของแกน X (แกนแอบซิสซา) แต่ละจุดบนวงกลมมีพิกัดสองจุด: XX และ YY นั่นคือพิกัดของแอบซิสซาและพิกัด โดยการเลือกจุดใด ๆ บนวงกลมในระนาบ XX และวางตั้งฉากจากนั้นไปที่แกน abscissa เราจะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากรัศมีไปยังจุดที่เลือก (แสดงด้วยตัวอักษร C) ซึ่งตั้งฉากกับแกน X (จุดตัดแสดงด้วยตัวอักษร G) และส่วนของแกน abscissa ระหว่างจุดกำเนิด (จุดถูกกำหนดด้วยตัวอักษร A) และจุดตัด G. สามเหลี่ยมผลลัพธ์ ACG เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ถูกจารึกไว้ในวงกลม โดยที่ AG คือด้านตรงข้ามมุมฉาก และ AC และ GC คือขา มุมระหว่างรัศมีของวงกลม AC และส่วนของแกน abscissa ที่มีการกำหนด AG ถูกกำหนดให้เป็น α (อัลฟา) ดังนั้น cos α = AG/AC เมื่อพิจารณาว่า AC คือรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย และมันเท่ากับ 1 ปรากฎว่า cos α=AG ในทำนองเดียวกัน sin α=CG
นอกจากนี้ เมื่อรู้ข้อมูลนี้แล้ว คุณสามารถกำหนดพิกัดของจุด C บนวงกลมได้ เนื่องจาก cos α=AG และ sin α=CG ซึ่งหมายความว่าจุด C มีพิกัดที่กำหนด (cos α;sin α) เมื่อรู้ว่าแทนเจนต์เท่ากับอัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ เราสามารถระบุได้ว่า tan α = y/x และ cot α = x/y เมื่อพิจารณามุมในระบบพิกัดลบ คุณสามารถคำนวณได้ว่าค่าไซน์และโคไซน์ของบางมุมอาจเป็นค่าลบได้
การคำนวณและสูตรพื้นฐาน
ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เมื่อพิจารณาถึงแก่นแท้ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผ่านวงกลมหน่วยแล้ว เราสามารถหาค่าของฟังก์ชันเหล่านี้สำหรับบางมุมได้ ค่าต่างๆ แสดงอยู่ในตารางด้านล่าง
อัตลักษณ์ตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
สมการที่มีค่าไม่ทราบค่าภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติเรียกว่าตรีโกณมิติ ข้อมูลประจำตัวที่มีค่า sin x = α, k - จำนวนเต็มใด ๆ:
- บาป x = 0, x = πk
- 2. บาป x = 1, x = π/2 + 2πk
- บาป x = -1, x = -π/2 + 2πk
- บาป x = ก, |ก| > 1 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
- บาป x = ก, |ก| ≦ 1, x = (-1)^k * อาร์คซิน α + πk
ข้อมูลประจำตัวที่มีค่า cos x = a โดยที่ k คือจำนวนเต็มใดๆ:
- cos x = 0, x = π/2 + πk
- cos x = 1, x = 2πk
- cos x = -1, x = π + 2πk
- cos x = ก, |a| > 1 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
- cos x = ก, |a| ≦ 1, x = ±อาร์คคอส α + 2πk
ข้อมูลประจำตัวที่มีค่า tg x = a โดยที่ k คือจำนวนเต็มใดๆ:
- สีแทน x = 0, x = π/2 + πk
- tan x = a, x = อาร์คแทน α + πk
ข้อมูลประจำตัวที่มีค่า ctg x = a โดยที่ k คือจำนวนเต็มใดๆ:
- เปล x = 0, x = π/2 + πk
- CTG x = A, x = ส่วนโค้ง α + πk
สูตรลด
สูตรคงที่ประเภทนี้หมายถึงวิธีการที่คุณสามารถย้ายจากฟังก์ชันตรีโกณมิติของแบบฟอร์มไปยังฟังก์ชันของการโต้แย้งนั่นคือลดไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมของค่าใด ๆ ให้เป็นตัวบ่งชี้ที่สอดคล้องกันของมุมของ ช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศาเพื่อความสะดวกในการคำนวณ
สูตรสำหรับการลดฟังก์ชันสำหรับไซน์ของมุมมีลักษณะดังนี้:
- บาป(900 - α) = α;
- บาป(900 + α) = cos α;
- บาป(1800 - α) = บาป α;
- บาป(1800 + α) = -sin α;
- บาป(2700 - α) = -cos α;
- บาป(2700 + α) = -cos α;
- บาป(3600 - α) = -บาป α;
- บาป(3600 + α) = บาป α
สำหรับโคไซน์ของมุม:
- cos(900 - α) = บาป α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = บาป α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α
การใช้สูตรข้างต้นสามารถทำได้ภายใต้กฎสองข้อ ขั้นแรก ถ้ามุมสามารถแสดงเป็นค่า (π/2 ± a) หรือ (3π/2 ± a) ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป:
- จากบาปถึงคอส;
- จากคอสถึงบาป
- จาก tg ถึง ctg;
- จาก ctg ถึง tg
ค่าของฟังก์ชันยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหากมุมสามารถแสดงเป็น (π ± a) หรือ (2π ± a)
ประการที่สอง สัญญาณของฟังก์ชันที่ลดลงจะไม่เปลี่ยนแปลง: หากเป็นบวกในตอนแรก ก็ยังคงเป็นเช่นนั้น เช่นเดียวกับฟังก์ชันลบ
สูตรการบวก
สูตรเหล่านี้แสดงค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของผลรวมและผลต่างของมุมการหมุนสองมุมผ่านฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยทั่วไปมุมจะแสดงเป็น α และ β
สูตรมีลักษณะดังนี้:
- บาป(α ± β) = บาป α * cos β ± cos α * บาป
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin
- สีแทน(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β)
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β)
สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับมุม α และ β ทุกมุม
สูตรมุมคู่และสามมุม
สูตรตรีโกณมิติมุมคู่และสามมุมเป็นสูตรที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของมุม 2α และ 3α ตามลำดับ กับฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม α มาจากสูตรการบวก:
- sin2α = 2sinα*cosα
- cos2α = 1 - 2sin^2 α
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α)
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α)
การเปลี่ยนจากผลรวมเป็นผลิตภัณฑ์
เมื่อพิจารณาว่า 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) ทำให้สูตรนี้ง่ายขึ้น เราจะได้เอกลักษณ์ sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 ในทำนองเดียวกัน sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = บาป(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = บาป(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α)
การเปลี่ยนจากผลิตภัณฑ์ไปสู่ผลรวม
สูตรเหล่านี้ตามมาจากเอกลักษณ์ของการเปลี่ยนผลรวมเป็นผลิตภัณฑ์:
- บาปα * บาปβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*
สูตรลดระดับ
ในอัตลักษณ์เหล่านี้ กำลังสองและลูกบาศก์ของไซน์และโคไซน์สามารถแสดงในรูปของไซน์และโคไซน์ของกำลังแรกของหลายมุมได้:
- บาป^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- บาป^3 α = (3 * บาปα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- บาป^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8
การทดแทนสากล
สูตรสำหรับการทดแทนตรีโกณมิติสากลจะแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในรูปของแทนเจนต์ของครึ่งมุม
- บาป x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2) โดยที่ x = π + 2πn;
- cos x = (1 - ตาล^2 x/2) / (1 + ตาล^2 x/2) โดยที่ x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2) โดยที่ x = π + 2πn;
- เปล x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2) โดยที่ x = π + 2πn
กรณีพิเศษ
กรณีพิเศษของสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดมีดังต่อไปนี้ (k คือจำนวนเต็มใดๆ)
ผลหารของไซน์:
| ค่าซิน x | ค่า x |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk หรือ 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk หรือ -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk หรือ 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk หรือ -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk หรือ 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk หรือ -2π/3 + 2πk |
ผลหารของโคไซน์:
| ค่าคอส x | ค่า x |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
ผลหารสำหรับแทนเจนต์:
| ค่า tg x | ค่า x |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
ผลหารสำหรับโคแทนเจนต์:
| ค่า CTG x | ค่า x |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
ทฤษฎีบท
ทฤษฎีบทของไซน์
ทฤษฎีบทมีสองเวอร์ชัน - แบบง่ายและแบบขยาย ทฤษฎีบทไซน์อย่างง่าย: a/sin α = b/sin β = c/sin γ ในกรณีนี้ a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม และ α, β, γ เป็นมุมที่ตรงกันข้าม ตามลำดับ
ทฤษฎีบทไซน์แบบขยายสำหรับสามเหลี่ยมใดๆ ก็ตาม: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R ในอัตลักษณ์นี้ R หมายถึงรัศมีของวงกลมที่รูปสามเหลี่ยมที่กำหนดถูกจารึกไว้
ทฤษฎีบทโคไซน์
ข้อมูลระบุตัวตนจะแสดงดังนี้: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α ในสูตร a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม และ α คือมุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้าน a
ทฤษฎีบทแทนเจนต์
สูตรนี้เป็นการแสดงออกถึงความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์ของมุมสองมุมกับความยาวของด้านที่อยู่ตรงข้ามกัน ด้านข้างมีป้ายกำกับว่า a, b, c และมุมตรงข้ามที่ตรงกันคือ α, β, γ สูตรของทฤษฎีบทแทนเจนต์: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2)
ทฤษฎีบทโคแทนเจนต์
เชื่อมต่อรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมกับความยาวของด้าน ถ้า a, b, c เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยม และ A, B, C ตามลำดับ เป็นมุมที่อยู่ตรงข้ามกัน r คือรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ และ p คือกึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม ดังนี้ ข้อมูลประจำตัวถูกต้อง:
- เปล A/2 = (p-a)/r;
- เปล B/2 = (p-b)/r;
- เปล C/2 = (p-c)/r
แอปพลิเคชัน
ตรีโกณมิติไม่ได้เป็นเพียงวิทยาศาสตร์เชิงทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับสูตรทางคณิตศาสตร์เท่านั้น คุณสมบัติ ทฤษฎีบท และกฎเกณฑ์ต่างๆ ถูกนำมาใช้ในทางปฏิบัติในอุตสาหกรรมต่างๆ กิจกรรมของมนุษย์— ดาราศาสตร์ การนำทางทางอากาศและทางทะเล ทฤษฎีดนตรี ธรณีวิทยา เคมี เสียง ทัศนศาสตร์ อิเล็กทรอนิกส์ สถาปัตยกรรม เศรษฐศาสตร์ วิศวกรรมเครื่องกล งานวัด คอมพิวเตอร์กราฟิกการทำแผนที่ สมุทรศาสตร์ และอื่นๆ อีกมากมาย
ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นแนวคิดพื้นฐานของตรีโกณมิติ ซึ่งเราสามารถแสดงความสัมพันธ์ระหว่างมุมและความยาวของด้านในรูปสามเหลี่ยมในทางคณิตศาสตร์ และค้นหาปริมาณที่ต้องการผ่านอัตลักษณ์ ทฤษฎีบท และกฎต่างๆ
ปัญหา 6.12. คำถามเดียวกับปัญหาที่แล้ว แต่สำหรับรูปห้าเหลี่ยมปกติ (คำแนะนำ: ดูปัญหา 3.5)
ปัญหา 6.13. ในปัญหา 4.8 ว่ากันว่าเมื่อเป็นค่าประมาณของโคไซน์ของมุมเล็ก α เราสามารถหาเลข 1 ได้ ซึ่งก็คือค่าของฟังก์ชันโคไซน์ที่ศูนย์ จะเป็นอย่างไรหากไม่ให้เสียเวลา เราใช้ 0 = sin 0 เป็นค่าโดยประมาณสำหรับไซน์ของมุมเล็ก α? ทำไมสิ่งนี้ถึงไม่ดี?
ข้าว. 6.4. จุด M เคลื่อนที่ไปตามไซโคลิด
ปัญหา 6.14 พิจารณาวงล้อที่มีรัศมี 1 แตะแกน x ที่จุดกำเนิด (รูปที่ 6.4) สมมติว่าล้อหมุนไปตามแกน x ในทิศทางบวกด้วยความเร็ว 1 (นั่นคือในช่วงเวลา t ศูนย์กลางของมันเลื่อน t ไปทางขวา)
a) วาดเส้นโค้ง (โดยประมาณ) ที่จะอธิบายด้วยจุด M โดยแตะแกน Abscissa ในวินาทีแรก
b) ค้นหาว่า abscissa และลำดับของจุด M จะเป็นอย่างไรหลังจากเวลา t หลังจากเริ่มการเคลื่อนไหว
6.1. แกนแทนเจนต์
ในส่วนนี้ เราได้นิยามไซน์และโคไซน์ทางเรขาคณิต ว่าเป็นพิกัดและแอบซิสซาของจุด และแทนเจนต์ในพีชคณิตเป็น sin t/ cos t อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะให้แทนเจนต์มีความหมายทางเรขาคณิต
เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ลากผ่านจุดด้วยพิกัด (1; 0) (จุดกำเนิดบนวงกลมตรีโกณมิติ) แทนเจนต์กับวงกลมตรีโกณมิติ - เส้นตรงขนานกับแกน
ข้าว. 6.5. แกนแทนเจนต์
บวช ลองเรียกเส้นตรงนี้ว่าแกนแทนเจนต์ (รูปที่ 6.5) ชื่อนี้มีเหตุผลดังนี้ ให้ M เป็นจุดบนวงกลมตรีโกณมิติที่ตรงกับตัวเลข t ให้เราดำเนินรัศมี SM ต่อไปจนกว่าจะตัดกับแกนแทนเจนต์ แล้วปรากฎว่าพิกัดของจุดตัดกันเท่ากับ tg t
อันที่จริงแล้ว สามเหลี่ยม NOS และ MP S ในรูป 6.5 แน่นอน
แต่คล้ายกัน จากที่นี่ | ||||||||||
ซึ่งเป็นสิ่งที่กล่าวไว้ | หรือ (0; −1) จากนั้นโดยตรง |
|||||||||
ถ้าจุด M มีพิกัด (0; 1) |
||||||||||
พฤษภาคม SM ขนานกับแกนแทนเจนต์ และไม่สามารถหาแทนเจนต์ได้โดยใช้วิธีของเรา ไม่น่าแปลกใจ: abscissa ของจุดเหล่านี้คือ 0 ดังนั้น cos t = 0 สำหรับค่าที่สอดคล้องกันของ t และ tg t = sin t/ cos t ไม่ได้ถูกกำหนดไว้
6.2. สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เรามาดูกันว่าค่าของไซน์โคไซน์และแทนเจนต์เป็นค่าบวกและค่าใดที่เป็นลบ ตามคำจำกัดความ sin t คือพิกัดของจุดบนวงกลมตรีโกณมิติที่สอดคล้องกับตัวเลข t ดังนั้น บาป t > 0 ถ้าจุด t เปิดอยู่
