ทฤษฎีบทของเครื่องคิดเลขออนไลน์ไซน์ ทฤษฎีบทไซน์และทฤษฎีบทโคไซน์

เรามาสร้างสามเหลี่ยมตามอำเภอใจที่จารึกไว้ในวงกลมกันดีกว่า ลองแสดงว่ามันเป็น ABC
เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบททั้งหมด เนื่องจากขนาดของสามเหลี่ยมถูกเลือกตามอำเภอใจ ก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ว่าอัตราส่วนของด้านใดด้านหนึ่งต่อมุมที่อยู่ตรงข้ามนั้นเท่ากับ 2R ปล่อยให้มันเป็น 2R = a / sin α นั่นคือถ้าเราเอาจากรูปวาด 2R = BC / sin A

ให้เราคำนวณเส้นผ่านศูนย์กลาง BD สำหรับวงกลมที่มีเส้นรอบวง ผลลัพธ์ของสามเหลี่ยม BCD จะเป็นมุมฉากเนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากของมันอยู่บนเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ (คุณสมบัติของมุมที่จารึกไว้ในวงกลม)

เนื่องจากมุมที่เขียนไว้ในวงกลมที่มีส่วนโค้งเดียวกันเท่ากัน ดังนั้นมุม CDB จึงเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง เท่ากับมุม CAB (หากจุด A และ D อยู่บนด้านเดียวกันของเส้น BC) หรือเท่ากับ π - CAB (มิฉะนั้น)

มาดูคุณสมบัติกัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติ. เนื่องจาก sin(π − α) = sin α ตัวเลือกที่ระบุสำหรับการสร้างรูปสามเหลี่ยมจะยังคงให้ผลลัพธ์เหมือนเดิม

ลองคำนวณค่า 2R = a / sin α ตามรูปวาด 2R = BC / sin A โดยแทนที่ sin A ด้วยอัตราส่วนของด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

2R = BC / บาป A
2R = BC / (BC / DB)
2R = ดีบี

และเนื่องจาก DB ถูกสร้างขึ้นเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ความเท่าเทียมกันจึงเกิดขึ้น
ทำซ้ำเหตุผลเดียวกันสำหรับอีกสองด้านของสามเหลี่ยม เราจะได้:

ทฤษฎีบทไซน์ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทของไซน์

บันทึก. นี่เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนเกี่ยวกับปัญหาเรขาคณิต (ทฤษฎีบทของไซน์) หากคุณต้องการแก้ไขปัญหาเรขาคณิตที่ไม่มีอยู่ที่นี่ โปรดเขียนเกี่ยวกับปัญหานั้นในฟอรัม ในงาน แทนที่จะใช้สัญลักษณ์ "สแควร์รูท" จะใช้ฟังก์ชัน sqrt() โดยที่ sqrt เป็นสัญลักษณ์ รากที่สองและนิพจน์รากจะระบุไว้ในวงเล็บ.

ทฤษฎีบทของไซน์:
ด้านของสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมตรงข้าม หรือตามสูตรขยาย:
a / บาป α = b / บาป β = c / บาป γ = 2R
โดยที่ R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

สำหรับทฤษฎี-สูตรและการพิสูจน์ทฤษฎีบท ดูรายละเอียดในบท “ทฤษฎีบทของไซน์” .

งาน

ในรูปสามเหลี่ยม XYZ มุม X=30 มุม Z=15 YQ ตั้งฉากกับ ZY แบ่งด้าน XZ ออกเป็นส่วน XQ และ QZ หา XY ถ้า QZ = 1.5 m

สารละลาย.
ความสูงทำให้เกิดสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน XYQ และ ZYQ
ในการแก้ปัญหา เราจะใช้ทฤษฎีบทของไซน์
QZ / บาป(QYZ) = QY / บาป(QZY)

QZY = 15 องศา ดังนั้น QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

เนื่องจากตอนนี้ทราบความยาวของความสูงของสามเหลี่ยมแล้ว ลองหา XY โดยใช้ทฤษฎีบทของไซน์เดียวกัน

QY / บาป (30) = XY / บาป (90)

พิจารณาค่าตารางของฟังก์ชันตรีโกณมิติบางอย่าง:

• ไซน์ของ 30 องศาเท่ากับ sin(30) = 1/2
• ไซน์ของ 90 องศาเท่ากับบาป (90) = 1

QY = XY บาป (30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2 XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) หยาบคาย 0.8 ม

คำตอบ: 0.8 ม. หรือ 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

ทฤษฎีบทของไซน์ (ตอนที่ 2)

บันทึก. นี่เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนเกี่ยวกับปัญหาเรขาคณิต (ทฤษฎีบทของไซน์) หากคุณต้องการแก้ไขปัญหาเรขาคณิตที่ไม่มีอยู่ที่นี่ โปรดเขียนเกี่ยวกับปัญหานั้นในฟอรัม .

ดูรายละเอียดทฤษฎีในบท "ทฤษฎีบทของไซน์" .

งาน

ด้าน AB ของสามเหลี่ยม ABC เท่ากับ 16 ซม. มุม A คือ 30 องศา มุม B คือ 105 องศา คำนวณความยาวของด้าน BC

สารละลาย.
ตามกฎของไซน์ ด้านของรูปสามเหลี่ยมจะเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมตรงข้าม:
a / บาป α = b / บาป β = c / บาป γ

ดังนั้น
BC / บาป α = AB / บาป γ

เราหาขนาดของมุม C โดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา
C = 180 - 30 -105 = 45 องศา

ที่ไหน:
BC / บาป 30° = 16 / บาป 45°

BC = 16 บาป 30° / บาป 45°

จากตารางฟังก์ชันตรีโกณมิติเราพบว่า:

BC = (16 * 1 / 2) / √2/2 = 16 / √2 data 11.3 ซม.

คำตอบ: 16 / √2

งาน.
ในรูปสามเหลี่ยม ABC มุม A = α มุม C = β BC = 7 ซม. BN คือความสูงของรูปสามเหลี่ยม
ค้นหาอัน

ตรีโกณมิติมีการใช้กันอย่างแพร่หลายไม่เพียงแต่ในส่วนของพีชคณิตซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ แต่ยังรวมถึงเรขาคณิตด้วย ในเรื่องนี้ มีความสมเหตุสมผลที่จะถือว่าทฤษฎีบทมีอยู่จริงและการพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ แท้จริงแล้ว ทฤษฎีบทของโคไซน์และไซน์มีความน่าสนใจมากและที่สำคัญที่สุดคือมีประโยชน์ คือความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม

เมื่อใช้สูตรนี้ คุณจะได้ด้านใดก็ได้ของสามเหลี่ยม:

การพิสูจน์ข้อความนี้ได้มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมขาสี่เหลี่ยม

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC ตามใจชอบ จากจุดยอด C เราลดความสูง h ลงจนถึงฐานของรูป ในกรณีนี้ ความยาวของมันไม่สำคัญเลย ทีนี้ ถ้าเราพิจารณาสามเหลี่ยม ACB ตามใจชอบ เราก็สามารถแสดงพิกัดของจุด C ในรูปของตรีโกณมิติได้ ฟังก์ชันคอสและบาป

จำคำจำกัดความของโคไซน์และเขียนอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยม ACD: cos α = AD/AC | คูณความเสมอภาคทั้งสองข้างด้วย AC AD = AC * cos α

เราใช้ความยาว AC เป็น b และรับนิพจน์สำหรับพิกัดแรกของจุด C:
x = b * cos⁡α ในทำนองเดียวกัน เราพบค่าของพิกัด C: y = b * sin α ต่อไป เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและแสดง h สลับกันสำหรับสามเหลี่ยม ACD และ DCB:

เห็นได้ชัดว่าทั้งนิพจน์ (1) และ (2) มีความเท่าเทียมกัน ลองเทียบด้านขวามือและนำเสนอสิ่งที่คล้ายกัน:

ในการฝึกฝน สูตรนี้ช่วยให้คุณค้นหาความยาวของด้านที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยมโดยใช้มุมที่กำหนด ทฤษฎีบทโคไซน์มีผลที่ตามมาสามประการ: สำหรับมุมขวา มุมแหลม และมุมป้านของรูปสามเหลี่ยม

ให้เราแทนที่ค่าของ cos α ด้วยตัวแปรปกติ x จากนั้นเราจะได้มุมแหลมของสามเหลี่ยม ABC:

หากมุมกลายเป็นมุมที่ถูกต้อง 2bx จะหายไปจากนิพจน์ เนื่องจาก cos 90° = 0 ในเชิงกราฟิก ผลลัพธ์ที่สองสามารถแสดงได้ดังนี้:

ในกรณีของมุมป้าน เครื่องหมาย “-” ก่อนอาร์กิวเมนต์คู่ในสูตรจะเปลี่ยนเป็น “+”:

ดังที่เห็นได้จากคำอธิบายความสัมพันธ์ไม่มีอะไรซับซ้อน ทฤษฎีบทโคไซน์ไม่มีอะไรมากไปกว่าการแปลทฤษฎีบทของพีทาโกรัสให้เป็นปริมาณตรีโกณมิติ

การประยุกต์ทฤษฎีบทในทางปฏิบัติ

แบบฝึกหัดที่ 1. ให้สามเหลี่ยม ABC โดยด้าน BC = a = 4 ซม., AC = b = 5 ซม. และ cos α = ½ คุณต้องหาความยาวของด้าน AB

เพื่อให้การคำนวณถูกต้อง คุณต้องกำหนดมุม α ในการทำเช่นนี้คุณควรดูตารางค่าสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยที่โคไซน์ส่วนโค้งเท่ากับ 1/2 สำหรับมุม 60° จากนี้ เราใช้สูตรของข้อพิสูจน์ข้อแรกของทฤษฎีบท:

ภารกิจที่ 2. สำหรับสามเหลี่ยม ABC รู้ทุกด้าน: AB =4√2,BC=5,AC=7 คุณต้องค้นหาทุกมุมของรูป

ในกรณีนี้คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีการวาดเงื่อนไขของปัญหา

เนื่องจากยังไม่ทราบค่ามุม จึงควรใช้สูตรเต็มสำหรับมุมแหลมเพื่อหาคำตอบ

โดยการเปรียบเทียบการสร้างสูตรและคำนวณค่าของมุมอื่น ๆ ไม่ใช่เรื่องยาก:

ผลรวมของมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมควรเป็น 180°: 53 + 82 + 45 = 180 ดังนั้นจึงพบวิธีแก้ปัญหาแล้ว

ทฤษฎีบทของไซน์

ทฤษฎีบทระบุว่าทุกด้านของสามเหลี่ยมใดๆ จะเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมตรงข้าม ความสัมพันธ์เขียนไว้ในรูปแบบของความเท่าเทียมกันสามเท่า:

การพิสูจน์ข้อความแบบคลาสสิกนั้นดำเนินการโดยใช้ตัวอย่างของภาพที่จารึกไว้ในวงกลม

ในการตรวจสอบความถูกต้องของข้อความโดยใช้ตัวอย่างสามเหลี่ยม ABC ในรูป จำเป็นต้องยืนยันข้อเท็จจริงว่า 2R = BC / sin A แล้วพิสูจน์ว่าด้านอื่นๆ สัมพันธ์กับไซน์ของมุมตรงข้าม เช่น 2R หรือ D ของวงกลม

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วาดเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมจากจุดยอด B จากคุณสมบัติของมุมที่จารึกไว้ในวงกลม ∠GCB เป็นเส้นตรง และ ∠CGB จะเท่ากับ ∠CAB หรือ (π - ∠CAB) ในกรณีของไซน์ กรณีหลังไม่มีนัยสำคัญ เนื่องจาก sin (π –α) = sin α จากข้อสรุปข้างต้นสรุปได้ว่า:

บาป ∠CGB = BC/ BG หรือ บาป A = BC/2R,

หากเราพิจารณามุมอื่นๆ ของรูป เราจะได้สูตรเพิ่มเติมสำหรับทฤษฎีบทของไซน์:

งานทั่วไปในการฝึกทฤษฎีบทไซน์คือการค้นหาด้านหรือมุมที่ไม่ทราบของรูปสามเหลี่ยม

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างการแก้ปัญหาดังกล่าวไม่ใช่เรื่องยากและประกอบด้วยการคำนวณทางคณิตศาสตร์

ส่วนแรกของทฤษฎีบท: ด้านของสามเหลี่ยมใดๆ จะเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมตรงข้าม นั่นคือ:

ส่วนที่สองของทฤษฎีบท: แต่ละเศษส่วนจะเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่อธิบายรอบสามเหลี่ยมที่กำหนด นั่นคือ: .

ความคิดเห็นของครูสอนคณิตศาสตร์: การใช้ส่วนที่สองของทฤษฎีบทของไซน์รวมอยู่ในโจทย์การแข่งขันของวงกลมเกือบทุกวินาที ทำไม ความจริงก็คือความเท่าเทียมกันทำให้คุณสามารถค้นหารัศมีของวงกลมที่มีองค์ประกอบของรูปสามเหลี่ยมเพียงสององค์ประกอบได้ สิ่งนี้มักใช้โดยคอมไพเลอร์ของปัญหาร้ายแรงซึ่งเลือกเงื่อนไขโดยเฉพาะเพื่อไม่ให้มีองค์ประกอบอื่น ๆ ของรูปสามเหลี่ยม (และรูปภาพทั้งหมด) เลย! “ภาพ”ก็จะลอยขึ้นมา สถานการณ์นี้ทำให้งานสอบมีความซับซ้อนอย่างมาก เนื่องจากไม่สามารถดำเนินการเกี่ยวกับทรัพย์สินโดยธรรมชาติได้

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของไซน์:

ตามตำราของอตานาเซียน
ขอให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับสามเหลี่ยมใดๆ ที่มีด้าน a, b, c และมุมตรงข้าม A, B และ C ความเท่าเทียมกันจะคงอยู่:
ให้เราวาดความสูง BH จากจุดยอด B เป็นไปได้ 2 กรณี:
1) จุด H อยู่ที่ด้าน AC (เป็นไปได้เมื่อมีความคม)
ตามคำนิยามของไซน์ของมุมแหลมใน สามเหลี่ยมมุมฉาก ABH เราจะเขียน

ในทำนองเดียวกัน ในรูปสามเหลี่ยม CBH เรามี การทำให้นิพจน์ BH เท่ากันเราได้รับ:
2)ให้ H อยู่บนส่วนขยายของด้าน AC (เช่น ทางด้านซ้ายของ A) สิ่งนี้จะเกิดขึ้นหากคุณโง่ ในทำนองเดียวกัน ตามคำจำกัดความของไซน์ของมุมแหลม A ในรูปสามเหลี่ยม ABH เราเขียนค่าความเท่าเทียมกัน แต่เนื่องจากไซน์ มุมที่อยู่ติดกันเท่ากัน จากนั้นแทนที่ความเท่าเทียมกันนี้ด้วย เราจะได้เหมือนกับในกรณีแรก ดังนั้น ไม่ว่ามุม A และ C จะมีขนาดเท่าใดก็ตาม ความเท่าเทียมกันจึงเป็นจริง
หลังจากหารทั้งสองข้างแล้วเราจะได้ . ความเท่าเทียมกันของเศษส่วนคู่ที่สองได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

การพิสูจน์ทฤษฎีบทไซน์ตามตำราของ Pogorelov:

ลองใช้สูตรสำหรับพื้นที่สามเหลี่ยมสำหรับสองมุม A และ C:


หลังจากปรับด้านขวามือและลดขนาดลง เราจะได้ความเท่าเทียมกันเช่นเดียวกับในการพิสูจน์วิธีแรก จากนั้นเราจะได้เศษส่วนที่เท่ากันในลักษณะเดียวกัน

การพิสูจน์ส่วนที่สองของทฤษฎีบทไซน์:

ให้เราอธิบายวงกลมรอบสามเหลี่ยมนี้แล้ววาดเส้นผ่านศูนย์กลาง BD ถึง B เนื่องจากมุม D และ C วางตัวอยู่บนส่วนโค้งเดียวกัน ทั้งสองมุมจึงเท่ากัน (เป็นผลมาจากทฤษฎีบทมุมที่เขียนไว้) แล้ว . ให้เราใช้นิยามของไซน์ของมุม D ในรูปสามเหลี่ยม ABD: นี่คือสิ่งที่เราต้องพิสูจน์

ปัญหาสำหรับส่วนที่สองของทฤษฎีบทไซน์:
1) สี่เหลี่ยมคางหมูถูกจารึกไว้ในวงกลมรัศมี 15 ความยาวของเส้นทแยงมุมและความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 20 และ 6 ตามลำดับ ค้นหาด้าน
2) รัศมีของวงกลมรอบๆ สี่เหลี่ยมคางหมูคือ 25 และโคไซน์ของมุมป้านคือ -0.28 (ลบ!!!) เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูทำให้เกิดมุมกับฐาน ค้นหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู
3) สี่เหลี่ยมคางหมูถูกจารึกไว้ในวงกลมรัศมี 10 ความยาวแนวทแยงและ เส้นกึ่งกลางสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 15 และ 12 ตามลำดับ ค้นหาความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมคางหมู
4) โอลิมปิกที่สถาบันการเงิน 2552 คอร์ดของวงกลมตัดกันที่จุด Q เป็นที่รู้กันว่ารัศมีของวงกลมคือ 4 ซม. ค้นหาความยาวคอร์ด PN โอลิมปิกที่สถาบันการเงิน 2552
5) ในรูปสามเหลี่ยม PST วงกลมที่มีรัศมี 8 ซม. ล้อมรอบจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งและจุดยอด P และ T ค้นหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยม PST (ปัญหาของผู้เขียน)

ครูสอนคณิตศาสตร์จะช่วยคุณวิเคราะห์ทฤษฎีบทไซน์อย่างละเอียดเสมอ และฝึกฝนที่จำเป็นเพื่อนำไปใช้ในการแก้ปัญหา การศึกษาในโรงเรียนที่วางแผนไว้ของเธอเกิดขึ้นในหลักสูตรเรขาคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ในหัวข้อการแก้สามเหลี่ยม (สำหรับทุกโปรแกรม) หากคุณต้องการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์เพื่อให้ผ่านการสอบด้วยคะแนนอย่างน้อย 70 คะแนน คุณจะต้องฝึกฝนในการแก้ปัญหา planimetric ที่แข็งแกร่งจากหมายเลข C4 ในนั้น ทฤษฎีบทของไซน์มักจะใช้กับสามเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ โดยคำนึงถึงความสัมพันธ์ด้วย จำสิ่งนี้ไว้!

ขอแสดงความนับถือ Kolpakov Alexander Nikolaevich
ครูสอนคณิตศาสตร์

เมื่อศึกษารูปสามเหลี่ยม คำถามในการคำนวณความสัมพันธ์ระหว่างด้านกับมุมเกิดขึ้นโดยไม่ได้ตั้งใจ เรขาคณิตและไซน์ให้คำตอบที่สมบูรณ์ที่สุดในการแก้ปัญหานี้ ในการแสดงออกและสูตรทางคณิตศาสตร์กฎทฤษฎีบทและกฎเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายมีสิ่งที่โดดเด่นด้วยความกลมกลืนที่ไม่ธรรมดาความกระชับและความเรียบง่ายในการนำเสนอความหมายที่มีอยู่ในนั้น ทฤษฎีบทไซน์เป็นตัวอย่างที่สำคัญของสูตรทางคณิตศาสตร์ดังกล่าว หากในการตีความด้วยวาจามีอุปสรรคบางประการในการทำความเข้าใจกฎทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดดังนั้นเมื่อดูสูตรทางคณิตศาสตร์ทุกอย่างก็จะเข้าที่ทันที

ข้อมูลแรกเกี่ยวกับทฤษฎีบทนี้ถูกค้นพบในรูปแบบของการพิสูจน์ในกรอบงานทางคณิตศาสตร์ของ Nasir ad-Din At-Tusi ย้อนหลังไปถึงศตวรรษที่สิบสาม

เมื่อเข้าใกล้การพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมในสามเหลี่ยมใดๆ มากขึ้น เป็นที่น่าสังเกตว่าทฤษฎีบทไซน์ช่วยให้คุณแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ได้มากมาย ในขณะที่ กฎหมายฉบับนี้เรขาคณิตค้นหาการประยุกต์ใช้ใน หลากหลายชนิดกิจกรรมของมนุษย์ในทางปฏิบัติ

ทฤษฎีบทไซน์ระบุว่าสามเหลี่ยมใดๆ มีลักษณะเฉพาะด้วยสัดส่วนของด้านกับไซน์ของมุมตรงข้าม นอกจากนี้ยังมีส่วนที่สองของทฤษฎีบทนี้อีกด้วย ซึ่งเป็นไปตามอัตราส่วนของด้านใดๆ ของสามเหลี่ยมต่อไซน์ มุมตรงข้ามเท่ากับค่าที่อธิบายไว้รอบๆ สามเหลี่ยมนั้น

ในรูปแบบสูตร นิพจน์นี้จะมีลักษณะดังนี้

มี/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

ทฤษฎีบทไซน์มีการพิสูจน์ ซึ่งมีการนำเสนอในหนังสือเรียนหลายฉบับหลายฉบับ

เพื่อเป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาข้อพิสูจน์ข้อหนึ่งที่อธิบายส่วนแรกของทฤษฎีบท ในการทำเช่นนี้ เราได้ตั้งเป้าหมายในการพิสูจน์ความถูกต้องของสำนวน กบาปซี= คบาป

ในสามเหลี่ยม ABC ใดๆ เราสร้างส่วนสูง BH ในตัวเลือกการก่อสร้างอย่างใดอย่างหนึ่ง H จะอยู่บนส่วน AC และอีกด้านหนึ่งขึ้นอยู่กับขนาดของมุมที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ในกรณีแรก ความสูงสามารถแสดงเป็นมุมและด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมได้ เนื่องจาก BH = a sinC และ BH = c sinA ซึ่งเป็นข้อพิสูจน์ที่จำเป็น

ในกรณีที่จุด H อยู่นอกส่วน AC เราสามารถรับวิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้:

VN = a sinC และ VN = c sin(180-A)= c sinA;

หรือ VN = a sin(180-C) = a sinC และ VN = c sinA

อย่างที่คุณเห็นไม่ว่าตัวเลือกการก่อสร้างจะเป็นอย่างไรเราก็จะได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

การพิสูจน์ส่วนที่สองของทฤษฎีบทจะต้องให้เราวาดวงกลมรอบสามเหลี่ยม โดยใช้ระดับความสูงหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม เช่น B เราสร้างเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม เราเชื่อมต่อจุดผลลัพธ์บนวงกลม D กับหนึ่งในความสูงของรูปสามเหลี่ยม ปล่อยให้เป็นจุด A ของรูปสามเหลี่ยม

หากเราพิจารณาผลลัพธ์ของสามเหลี่ยม ABD และ ABC เราจะสังเกตเห็นว่ามุม C และ D เท่ากัน (มุมทั้งสองวางอยู่บนส่วนโค้งเดียวกัน) และเมื่อให้มุม A เท่ากับเก้าสิบองศา แล้ว sin D = c/2R หรือ sin C = c/2R ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบทไซน์เป็นจุดเริ่มต้นในการแก้ปัญหาต่างๆ มากมาย ความน่าดึงดูดใจโดยเฉพาะนั้นอยู่ที่การประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ อันเป็นผลมาจากทฤษฎีบทเราได้รับโอกาสในการเชื่อมโยงค่าของด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมตรงข้ามและรัศมี (เส้นผ่านศูนย์กลาง) ของวงกลมที่อธิบายไว้รอบ ๆ สามเหลี่ยม. ความเรียบง่ายและการเข้าถึงได้ของสูตรที่อธิบายนิพจน์ทางคณิตศาสตร์นี้ทำให้สามารถใช้ทฤษฎีบทนี้อย่างกว้างขวางในการแก้ปัญหาโดยใช้อุปกรณ์นับเชิงกล ตาราง ฯลฯ) แต่แม้แต่การกำเนิดของอุปกรณ์คอมพิวเตอร์ที่ทรงพลังในการบริการของมนุษย์ก็ไม่ได้ลดความเกี่ยวข้องลง ของทฤษฎีบทนี้

ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้รวมอยู่ในหลักสูตรเรขาคณิตภาคบังคับเท่านั้น มัธยมแต่ยังนำไปใช้ในบางพื้นที่ของกิจกรรมภาคปฏิบัติอีกด้วย