ดูรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ วงกลม: ล้อมรอบรูปหลายเหลี่ยม

คำนิยาม

วงกลม \(S\) ถูกจำกัดขอบเขตเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยม \(P\) หากจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยม \(P\) อยู่บนวงกลม \(S\)

ในกรณีนี้ รูปหลายเหลี่ยม \(P\) ถูกจารึกไว้ในวงกลม

คำนิยาม

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนคือเส้นที่ลากผ่านตรงกลางของส่วนที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเส้นนั้น

ทฤษฎีบท

แต่ละจุดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนนั้นจะมีระยะห่างเท่ากันจากปลายของส่วนนั้น

การพิสูจน์

พิจารณาเซกเมนต์ \(AB\) และเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก \(a\) กับมัน ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจุดใดๆ \(X\in a\) ต่อไปนี้คงอยู่: \(AX=BX\)

พิจารณา \(\triangle AXB\) : ส่วน \(XO\) คือค่ามัธยฐานและระดับความสูง ดังนั้น \(\triangle AXB\) จึงเป็นหน้าจั่ว ดังนั้น \(AX=BX\)

ทฤษฎีบท

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากที่ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดหนึ่ง

การพิสูจน์

พิจารณา \(\triangle ABC\) ลองวาดเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากไปที่ด้านข้าง \(AB\) และ \(AC\) พวกเขาจะตัดกันที่จุด \(O\)

ตามทฤษฎีบทก่อนหน้านี้ สำหรับเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก \(C_1O\) จะมีค่าต่อไปนี้: \(AO=BO\) และสำหรับ \(B_1O\) - \(AO=CO\) ดังนั้น \(BO=CO\) ซึ่งหมายความว่า \(\triangle BOC\) เป็นหน้าจั่ว ดังนั้น ความสูง \(OA_1\) ที่ลากไปที่ฐาน \(BC\) จะเป็นค่ามัธยฐานด้วย ซึ่งหมายความว่า \(OA_1\) เป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วน \(BC\)

ดังนั้น เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งสามเส้นตัดกันที่จุดหนึ่ง \(O\)

ผลที่ตามมา

หากจุดหนึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากปลายของเซ็กเมนต์ จุดนั้นก็จะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก

ทฤษฎีบท

วงกลมวงเดียวสามารถกำหนดขอบเขตรอบสามเหลี่ยมใดๆ ได้ และจุดศูนย์กลางของวงกลมที่กำหนดขอบเขตคือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

การพิสูจน์

จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วข้างต้นเป็นไปตามนั้น \(AO=BO=CO\) ซึ่งหมายความว่าจุดยอดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมมีระยะห่างเท่ากันจากจุด \(O\) ดังนั้นจุดยอดทั้งสองจึงอยู่บนวงกลมเดียวกัน

มีวงกลมดังกล่าวเพียงวงเดียวเท่านั้น สมมติว่าสามารถอธิบายวงกลมอื่นรอบ \(\triangle ABC\) ได้ จากนั้นจุดศูนย์กลางควรตรงกับจุด \(O\) (เนื่องจากนี่เป็นจุดเดียวที่อยู่ห่างจากจุดยอดของสามเหลี่ยมเท่ากัน) และรัศมีควรเท่ากับระยะห่างจากจุดศูนย์กลางถึงจุดยอดบางส่วน กล่าวคือ \(โอเอ\) . เพราะ หากวงกลมเหล่านี้มีจุดศูนย์กลางและรัศมีเท่ากัน วงกลมเหล่านี้ก็จะตรงกันด้วย

ทฤษฎีบทพื้นที่สามเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้

ถ้า \(a, b, c\) เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยม และ \(R\) คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม ดังนั้นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม \

การพิสูจน์*
ขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้หลังจากศึกษาหัวข้อ "ทฤษฎีบทของไซน์" แล้ว

ลองแสดงมุมระหว่างด้าน \(a\) และ \(c\) เป็น \(\alpha\) แล้ว \(S_(\triangle)=\frac12 ac\cdot \sin \alpha\).

ตามทฤษฎีบทของไซน์ \(\dfrac b(\sin\alpha)=2R\) ดังนั้น \(\sin \alpha=\dfrac b(2R)\) เพราะฉะนั้น, \(S_(\triangle)=\dfrac(abc)(4R)\).

ทฤษฎีบท

วงกลมสามารถอธิบายรอบรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของมุมตรงข้ามของมันเท่ากับ \(180^\circ\)

การพิสูจน์

ความจำเป็น.

หากสามารถอธิบายวงกลมรอบรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน \(ABCD\) ได้ \(\buildrel\smile\over(ABC) + \buildrel\smile\over(ADC) = 360^\circ\), ที่ไหน \(\มุม ABC + \มุม ADC = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(ABC) + \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(ADC) = \frac(1 )(2)(\buildrel\smile\over(ABC) + \buildrel\smile\over(ADC)) = 180^\circ\). สำหรับมุม \(BCD\) และ \(BAD\) จะคล้ายกัน

ความเพียงพอ

ให้เราอธิบายวงกลมรอบสามเหลี่ยม \(ABC\) ให้จุดศูนย์กลางของวงกลมนี้คือจุด \(O\) บนเส้นตรงที่ผ่านจุด \(O\) และ \(D\) เราทำเครื่องหมายจุด \(D"\) ของจุดตัดของเส้นนี้กับวงกลม ให้เราสมมติว่าจุด \(D\) และ \(D"\) ไม่ตรงกัน จากนั้นพิจารณารูปสี่เหลี่ยม \(CD"AD\)

Angles \(CD"A\) และ \(CDA\) ส่วนเสริม angle \(ABC\) ถึง \(180^\circ\) (\(\angle CDA\) ส่วนเสริมตามเงื่อนไข และ \(\angle CD"A \) ตามที่พิสูจน์แล้วข้างต้น) ดังนั้น มันจึงเท่ากัน แต่ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน \(AD"CD\) มากกว่า \(360^\circ\) ซึ่งไม่สามารถเป็นได้ (ผลรวมของ มุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้คือผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมสองรูป ดังนั้น จุด \(D\) และ \(D"\) จึงตรงกัน

ความคิดเห็น ในรูป จุด \(D\) อยู่นอกวงกลมที่ล้อมรอบด้วยวงกลมที่ล้อมรอบด้วย \(\triangle ABC\) อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ \(D\) อยู่ข้างใน การพิสูจน์ยังคงใช้ได้อยู่

ทฤษฎีบท

วงกลมสามารถอธิบายรอบๆ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูน \(ABCD\) ได้ก็ต่อเมื่อ \(\angle ABD=\angle ACD\)

การพิสูจน์

ความจำเป็น.ถ้าวงกลมถูกจำกัดขอบเขตรอบๆ \(ABCD\) มุม \(\angle ABD\) และ \(\angle ACD\) จะถูกเขียนไว้ และพักอยู่บนส่วนโค้งด้านหนึ่ง \(\buildrel\smile\over(AD)\) ดังนั้นพวกเขาจึงเท่าเทียมกัน

ความเพียงพออนุญาต \(\มุม ABD=\มุม ACD=\อัลฟา\). ให้เราพิสูจน์ว่าวงกลมสามารถอธิบายรอบๆ \(ABCD\) ได้

มาอธิบายวงกลมรอบๆ \(\triangle ABD\) กันดีกว่า ให้เส้นตรง \(CD\) ตัดวงกลมนี้ที่จุด \(C"\) จากนั้น \(\มุม ABD=\มุม AC"D \ลูกศรขวา \มุม AC"D=\มุม ACD\).

เพราะฉะนั้น, \(\มุม CAD=\มุม C"AD=180^\circ-\มุม ADC-\มุม AC"D\), นั่นคือ \(\สามเหลี่ยม AC"D=\สามเหลี่ยม ACD\)ตามแนวด้านร่วม \(AD\) และมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน (\(\angle C"AD=\angle CAD\) , \(\angle ADC"=\angle ADC\) – ทั่วไป) ซึ่งหมายความว่า \(DC"=DC\) นั่นคือ จุด \(C"\) และ \(C\) ตรงกัน

ทฤษฎีบท

1. ถ้าวงกลมล้อมรอบสี่เหลี่ยมด้านขนาน แสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 1)

2. หากอธิบายวงกลมรอบสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน แสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (รูปที่ 2)

3. หากอธิบายวงกลมรอบสี่เหลี่ยมคางหมู แสดงว่าเป็นรูปหน้าจั่ว (รูปที่ 3)

ข้อความที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน: รอบสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว เราสามารถอธิบายวงกลมได้ และมีเพียงรูปเดียวเท่านั้น

การพิสูจน์

1) ให้วงกลมล้อมรอบสี่เหลี่ยมด้านขนาน \(ABCD\) แล้วผลรวมของมุมตรงข้ามจะเท่ากัน \(180^\circ: \quad \angle A+\angle C=180^\circ\). แต่ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มุมตรงข้ามจะเท่ากัน เพราะว่า \(\มุม A=\มุม C\) เพราะฉะนั้น, \(\มุม A=\มุม C=90^\circ\). ซึ่งหมายความว่าตามคำนิยาม \(ABCD\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

2) ให้วงกลมล้อมรอบสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน \(MNKP\) คล้ายกับจุดก่อนหน้า (เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) จึงพิสูจน์ได้ว่า \(MNKP\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แต่ทุกด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้เท่ากัน (เนื่องจากเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน) ซึ่งหมายความว่า \(MNKP\) เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ข้อความตรงกันข้ามนั้นชัดเจน

3) ให้วงกลมล้อมรอบสี่เหลี่ยมคางหมู \(QWER\) แล้ว \(\มุม Q+\มุม E=180^\circ\). แต่จากคำจำกัดความของสี่เหลี่ยมคางหมู มันเป็นไปตามนั้น \(\มุม Q+\มุม W=180^\circ\). ดังนั้น \(\angle W=\angle E\) เพราะ มุมที่ฐาน \(WE\) ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากัน จากนั้นก็เป็นหน้าจั่ว

ข้อความตรงกันข้ามนั้นชัดเจน

บทความนี้ประกอบด้วยชุดข้อมูลขั้นต่ำเกี่ยวกับวงกลมที่จำเป็นในการผ่านการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

เส้นรอบวง คือเซตของจุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดที่กำหนดเป็นระยะทางเท่ากันซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลม

จุดใดๆ ที่วางอยู่บนวงกลมจะต้องมีความเท่าเทียมกัน (ความยาวของส่วนจะเท่ากับรัศมีของวงกลม

ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดบนวงกลมเรียกว่า คอร์ด.

เรียกว่าคอร์ดที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลาง วงกลม() .

เส้นรอบวง:

พื้นที่ของวงกลม:

ส่วนโค้งของวงกลม:

ส่วนของวงกลมที่อยู่ระหว่างจุดสองจุดเรียกว่า ส่วนโค้ง วงกลม จุดสองจุดบนวงกลมกำหนดส่วนโค้งสองส่วน คอร์ดรองรับสองส่วนโค้ง: และ . คอร์ดที่เท่ากันรองรับส่วนโค้งที่เท่ากัน

เรียกว่ามุมระหว่างสองรัศมี มุมกลาง :

ในการหาความยาวส่วนโค้ง เราสร้างสัดส่วน:

ก) มุมถูกกำหนดเป็นองศา:

b) มุมถูกกำหนดเป็นเรเดียน:

เส้นผ่านศูนย์กลางตั้งฉากกับคอร์ด ให้แบ่งคอร์ดนี้และส่วนโค้งที่แบ่งครึ่ง:

ถ้า คอร์ด และ วงกลมตัดกันที่จุดหนึ่ง จากนั้นผลคูณของกลุ่มคอร์ดที่แบ่งเป็นจุดจะเท่ากัน:

สัมผัสกันเป็นวงกลม

เส้นตรงที่มีจุดร่วมหนึ่งจุดกับวงกลมเรียกว่า แทนเจนต์ไปที่วงกลม เส้นตรงที่มีจุดสองจุดเหมือนกันกับวงกลมเรียกว่า ตัดออก

สัมผัสกันของวงกลมจะตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส

ถ้าลากแทนเจนต์สองตัวจากจุดหนึ่งไปยังวงกลมแล้ว เซ็กเมนต์แทนเจนต์มีค่าเท่ากันและจุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่เส้นแบ่งครึ่งของมุมโดยมีจุดยอด ณ จุดนี้:

ถ้าแทนเจนต์และซีแคนต์ถูกลากจากจุดที่กำหนดไปยังวงกลมแล้ว กำลังสองของความยาวของเซ็กเมนต์แทนเจนต์เท่ากับผลคูณของเซแคนต์ทั้งหมดและส่วนนอก :

ผลที่ตามมา: ผลคูณของส่วนทั้งหมดของเซแคนต์หนึ่งและส่วนภายนอกของมันเท่ากับผลคูณของส่วนทั้งหมดของเซแคนต์อื่นและส่วนภายนอกของมัน:

มุมในวงกลม.

การวัดระดับของมุมที่ศูนย์กลางเท่ากับการวัดระดับของส่วนโค้งที่มุมนั้นวางอยู่:

เรียกว่ามุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและด้านข้างมีคอร์ดอยู่ มุมที่ถูกจารึกไว้ . มุมที่จารึกไว้จะวัดโดยครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่วางอยู่:

∠∠

มุมที่จารึกไว้ซึ่งต่อด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางนั้นอยู่ทางขวา:

∠∠∠

มุมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งต่อด้วยส่วนโค้งหนึ่งอันจะเท่ากัน :

มุมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งต่อด้วยหนึ่งคอร์ดมีค่าเท่ากันหรือผลรวมเท่ากับ

∠∠

จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่มีฐานที่กำหนดและมุมเท่ากันที่จุดยอดอยู่บนวงกลมเดียวกัน:

มุมระหว่างสองคอร์ด (มุมที่มีจุดยอดอยู่ภายในวงกลม) เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของค่าเชิงมุมของส่วนโค้งของวงกลมที่อยู่ภายในมุมที่กำหนดและภายในมุมแนวตั้ง

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

มุมระหว่างสองซีแคนต์ (มุมที่มีจุดยอดอยู่นอกวงกลม) เท่ากับผลต่างครึ่งหนึ่งของค่าเชิงมุมของส่วนโค้งของวงกลมที่อยู่ภายในมุมนั้น

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

วงกลมที่ถูกจารึกไว้

วงกลมเรียกว่า จารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยม ถ้ามันสัมผัสด้านข้าง ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ อยู่ที่จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของรูปหลายเหลี่ยม

ไม่ใช่ทุกรูปหลายเหลี่ยมจะพอดีกับวงกลมได้

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่วงกลมถูกจารึกไว้ สามารถพบได้โดยใช้สูตร

นี่คือระยะกึ่งเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยม และคือรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้

จากที่นี่ รัศมีวงกลมที่ถูกจารึกไว้ เท่ากับ

ถ้าวงกลมถูกเขียนไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ผลรวมของความยาวของด้านตรงข้ามจะเท่ากัน . ในทางกลับกัน ถ้าผลรวมของความยาวของด้านตรงข้ามเท่ากันในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูน ก็จะสามารถเขียนวงกลมในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนได้:

คุณสามารถเขียนวงกลมลงในสามเหลี่ยมใดก็ได้และมีเพียงอันเดียวเท่านั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบอยู่ที่จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

รัศมีวงกลมที่ถูกจารึกไว้ เท่ากับ . ที่นี่

วงกลมล้อมรอบ.

วงกลมเรียกว่า อธิบายเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยม ถ้ามันผ่านจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยม ศูนย์กลางของวงกลมนั้นอยู่ที่จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม รัศมีคำนวณเป็นรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดโดยจุดยอดสามจุดใดๆ ของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด:

วงกลมสามารถอธิบายรอบรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของมุมตรงข้ามของมันเท่ากับ .

รอบสามเหลี่ยมใดๆ คุณสามารถอธิบายวงกลมได้ และมีเพียงวงกลมเดียวเท่านั้น ศูนย์กลางอยู่ที่จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม:

เส้นรอบวงคำนวณโดยใช้สูตร:

ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมอยู่ที่ใดและเป็นพื้นที่ของมัน

ทฤษฎีบทของปโตเลมี

ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นผลคูณของเส้นทแยงมุมจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของด้านตรงข้าม:

ก่อนอื่น มาทำความเข้าใจความแตกต่างระหว่างวงกลมกับวงกลมกันก่อน หากต้องการดูความแตกต่างนี้ ก็เพียงพอที่จะพิจารณาว่าตัวเลขทั้งสองคืออะไร สิ่งเหล่านี้คือจำนวนจุดบนระนาบที่ไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางจุดเดียวเท่ากัน แต่ถ้าวงกลมประกอบด้วยพื้นที่ภายในด้วย มันก็ไม่เป็นส่วนหนึ่งของวงกลม ปรากฎว่าวงกลมนั้นเป็นทั้งวงกลมที่กั้นวงกลมนั้นไว้ (วงกลม(r)) และมีจุดจำนวนนับไม่ถ้วนที่อยู่ภายในวงกลม

สำหรับจุด L ใดๆ ที่วางอยู่บนวงกลม จะใช้ความเท่าเทียมกัน OL=R (ความยาวของส่วน OL เท่ากับรัศมีของวงกลม)

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลมคือส่วนนั้น คอร์ด.

คอร์ดที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมโดยตรงคือ เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมนี้ (D) เส้นผ่านศูนย์กลางสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: D=2R

เส้นรอบวงคำนวณโดยสูตร: C=2\pi R

พื้นที่ของวงกลม: S=\pi R^(2)

ส่วนโค้งของวงกลมเรียกว่าส่วนที่อยู่ระหว่างจุดสองจุด สองจุดนี้กำหนดส่วนโค้งสองส่วนของวงกลม ซีดีคอร์ดรองรับสองส่วนโค้ง: CMD และ CLD คอร์ดที่เหมือนกันมีส่วนโค้งเท่ากัน

มุมกลางมุมที่อยู่ระหว่างสองรัศมีเรียกว่า

ความยาวส่วนโค้งสามารถพบได้โดยใช้สูตร:

1. การใช้การวัดระดับ: ซีดี = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. การใช้หน่วยวัดเรเดียน: CD = \alpha R

เส้นผ่านศูนย์กลางซึ่งตั้งฉากกับคอร์ด จะแบ่งคอร์ดและส่วนโค้งที่หดตัวลงครึ่งหนึ่ง

หากคอร์ด AB และ CD ของวงกลมตัดกันที่จุด N ผลคูณของคอร์ดเซกเมนต์ของคอร์ดที่แยกจากกันด้วยจุด N จะเท่ากัน

AN\cdot NB = CN\cdot ND

สัมผัสกันเป็นวงกลม

สัมผัสกันเป็นวงกลมเป็นเรื่องปกติที่จะเรียกเส้นตรงที่มีจุดร่วมหนึ่งจุดกับวงกลม

หากเส้นหนึ่งมีจุดร่วมสองจุด จะเรียกว่า ตัดออก.

หากคุณวาดรัศมีไปยังจุดสัมผัสกัน มันจะตั้งฉากกับจุดสัมผัสกันกับวงกลม

ลองวาดแทนเจนต์สองตัวจากจุดนี้มายังวงกลมของเรา ปรากฎว่าส่วนแทนเจนต์จะเท่ากัน และจุดศูนย์กลางของวงกลมจะอยู่ที่เส้นแบ่งครึ่งของมุมโดยมีจุดยอด ณ จุดนี้

เอซี = ซีบี

ทีนี้ลองวาดแทนเจนต์และเส้นตัดของวงกลมจากจุดของเรากัน เราได้มาว่ากำลังสองของความยาวของส่วนแทนเจนต์จะเท่ากับผลคูณของส่วนตัดตัดทั้งหมดและส่วนนอกของมัน

AC^(2) = ซีดี \cdot BC

เราสามารถสรุปได้: ผลคูณของเซกเมนต์ทั้งหมดของเซแคนต์ที่ 1 และส่วนภายนอกของมันเท่ากับผลคูณของเซกเมนต์ทั้งหมดของเซแคนต์ที่สองและส่วนภายนอกของมัน

AC\cdot BC = EC\cdot DC

มุมในวงกลม

การวัดระดับของมุมที่ศูนย์กลางและส่วนโค้งที่วางอยู่นั้นเท่ากัน

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

มุมที่ถูกจารึกไว้คือมุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและด้านข้างมีคอร์ด

คุณสามารถคำนวณได้โดยรู้ขนาดของส่วนโค้ง เนื่องจากมันเท่ากับครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งนี้

\มุม AOB = 2 \มุม ADB

ขึ้นอยู่กับเส้นผ่านศูนย์กลาง มุมที่จารึกไว้ มุมขวา

\มุม CBD = \มุม CED = \มุม CAD = 90^ (\circ)

มุมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งรองรับส่วนโค้งเดียวกันนั้นจะเหมือนกัน

มุมที่จารึกไว้ซึ่งวางอยู่บนคอร์ดเดียวนั้นเหมือนกันหรือผลรวมเท่ากับ 180^ (\circ)

\มุม ADB + \มุม AKB = 180^ (\circ)

\มุม ADB = \มุม AEB = \มุม AFB

บนวงกลมเดียวกันคือจุดยอดของสามเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากันและมีฐานที่กำหนด

มุมที่มีจุดยอดอยู่ภายในวงกลมและอยู่ระหว่างสองคอร์ดจะเหมือนกันกับครึ่งหนึ่งของผลรวมของค่าเชิงมุมของส่วนโค้งของวงกลมที่อยู่ภายในมุมที่กำหนดและมุมแนวตั้ง

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

มุมที่มีจุดยอดอยู่นอกวงกลมและอยู่ระหว่างสองซีแคนต์จะเหมือนกันกับความแตกต่างครึ่งหนึ่งของค่าเชิงมุมของส่วนโค้งของวงกลมที่อยู่ภายในมุม

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

วงกลมที่ถูกจารึกไว้

วงกลมที่ถูกจารึกไว้เป็นวงกลมแทนเจนต์ที่ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม

ณ จุดที่เส้นแบ่งครึ่งของมุมของรูปหลายเหลี่ยมตัดกัน จะมีจุดศูนย์กลางอยู่

วงกลมไม่สามารถถูกจารึกไว้ในทุกรูปหลายเหลี่ยมได้

สูตรหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีวงกลมจารึกไว้:

ส = ราคา,

p คือกึ่งปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยม

r คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

ตามมาว่ารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้เท่ากับ:

r = \frac(S)(p)

ผลรวมของความยาวของด้านตรงข้ามจะเท่ากันถ้าวงกลมถูกเขียนไว้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูน และในทางกลับกัน: วงกลมจะพอดีกับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนถ้าผลรวมของความยาวของด้านตรงข้ามเท่ากัน

AB + DC = AD + BC

คุณสามารถเขียนวงกลมลงในสามเหลี่ยมใดๆ ก็ได้ เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น ณ จุดที่เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของรูปตัดกัน จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้นี้จะอยู่

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้นั้นคำนวณโดยสูตร:

r = \frac(S)(p) ,

โดยที่ p = \frac(a + b + c)(2)

วงกลม

หากวงกลมผ่านแต่ละจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม ก็มักจะเรียกว่าวงกลมดังกล่าว อธิบายเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยม.

ที่จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้านข้างของรูปนี้จะเป็นจุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงวงกลม

รัศมีสามารถหาได้โดยการคำนวณเป็นรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมซึ่งกำหนดโดยจุดยอด 3 จุดใดๆ ของรูปหลายเหลี่ยม

มีเงื่อนไขดังนี้: วงกลมสามารถอธิบายรอบรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของมุมตรงข้ามเท่ากับ 180^( \circ)

\มุม A + \มุม C = \มุม B + \มุม D = 180^ (\circ)

รอบสามเหลี่ยมใดๆ คุณสามารถอธิบายวงกลมได้ และมีเพียงวงกลมเดียวเท่านั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมนั้นจะอยู่ที่จุดที่เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมตัดกัน

รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c คือความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม

S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบทของปโตเลมี

สุดท้าย ให้พิจารณาทฤษฎีบทของปโตเลมี

ทฤษฎีบทของปโตเลมีกล่าวว่าผลคูณของเส้นทแยงมุมจะเหมือนกันกับผลบวกของผลคูณของด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

AC \cdot BD = AB \cdot ซีดี + BC \cdot AD

เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดของวงกลมซึ่งอยู่ห่างจากกันมากที่สุดโดยผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลางของชื่อมาจากภาษากรีกและหมายถึงแนวขวางอย่างแท้จริง เส้นผ่านศูนย์กลางระบุด้วยตัวอักษร D ของอักษรละตินหรือสัญลักษณ์ O

เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม

หากต้องการทราบวิธีหาเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม คุณต้องดูสูตรต่างๆ มีสูตรพื้นฐานสองสูตรที่คุณสามารถคำนวณเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมได้ อันแรกคือ D = 2R โดยที่เส้นผ่านศูนย์กลางจะเท่ากับสองเท่าของรัศมี โดยที่รัศมีคือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดใดๆ บนวงกลม (R) ลองพิจารณาตัวอย่าง: หากทราบรัศมีในงานและเท่ากับ 10 ซม. คุณสามารถค้นหาเส้นผ่านศูนย์กลางได้อย่างง่ายดาย สำหรับค่ารัศมีนี้ เราจะแทน D = 2 * 10 = 20 ซม. ลงในสูตร

สูตรที่สองทำให้สามารถหาเส้นผ่านศูนย์กลางตามเส้นรอบวงได้ โดยจะมีลักษณะดังนี้: D = L/P โดยที่ L คือค่าของเส้นรอบวง และ P คือตัวเลข Pi ซึ่งมีค่าประมาณเท่ากับ 3.14 สูตรนี้สะดวกมากในการใช้งานจริง หากคุณต้องการทราบเส้นผ่านศูนย์กลางของฟัก ฝาถัง หรือหลุมบางประเภท คุณเพียงแค่ต้องวัดเส้นรอบวงแล้วหารด้วย 3.14 ตัวอย่างเช่น เส้นรอบวงคือ 600 ซม. ดังนั้น D = 600/3.14 = 191.08 ซม.

เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม

เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดเส้นรอบวงยังสามารถพบได้หากวงกลมนั้นถูกจำกัดขอบเขตหรือถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม ในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นคุณต้องค้นหารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้โดยใช้สูตร: R = S/p โดยที่ S หมายถึงพื้นที่ของสามเหลี่ยม และ p คือกึ่งปริมณฑล p เท่ากับ (a + ข + ค)/2. เมื่อทราบรัศมีแล้ว คุณต้องใช้สูตรแรก หรือแทนค่าทั้งหมดลงในสูตร D = 2S/p ทันที

หากคุณไม่ทราบวิธีหาเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยม ให้ใช้สูตรเพื่อหารัศมีของวงกลมที่เป็นรูปสามเหลี่ยม R = (a * b * c)/4 * S, S ในสูตรหมายถึงพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม จากนั้นในทำนองเดียวกัน ให้แทนค่ารัศมีลงในสูตร D = 2R