การขยายตัวโคไซน์ของมุมคู่ สูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติ

คำถามที่พบบ่อยที่สุด

สามารถประทับตราบนเอกสารตามตัวอย่างที่ให้มาได้หรือไม่? คำตอบ ใช่มันเป็นไปได้ ส่งของเรา ที่อยู่อีเมลสำเนาที่สแกนหรือภาพถ่ายคุณภาพดี และเราจะทำสำเนาที่จำเป็น

คุณยอมรับการชำระเงินประเภทใด? คำตอบ คุณสามารถชำระค่าเอกสารเมื่อได้รับจากผู้จัดส่งหลังจากตรวจสอบความถูกต้องของความสมบูรณ์และคุณภาพของการดำเนินการตามประกาศนียบัตรแล้ว นอกจากนี้ยังสามารถทำได้ที่สำนักงานของบริษัทไปรษณีย์ที่ให้บริการเก็บเงินปลายทางอีกด้วย
เงื่อนไขการจัดส่งและการชำระเงินสำหรับเอกสารทั้งหมดอธิบายไว้ในส่วน "การชำระเงินและการจัดส่ง" นอกจากนี้เรายังพร้อมรับฟังข้อเสนอแนะของคุณเกี่ยวกับเงื่อนไขการจัดส่งและการชำระเงินค่าเอกสาร

ฉันแน่ใจได้ไหมว่าหลังจากวางคำสั่งซื้อแล้วคุณจะไม่หายไปพร้อมกับเงินของฉัน? คำตอบ เรามีประสบการณ์ค่อนข้างนานในด้านการผลิตประกาศนียบัตร เรามีเว็บไซต์หลายแห่งที่มีการอัพเดทอยู่ตลอดเวลา ผู้เชี่ยวชาญของเราทำงานในส่วนต่างๆ ของประเทศ โดยผลิตเอกสารมากกว่า 10 ฉบับต่อวัน ในช่วงหลายปีที่ผ่านมา เอกสารของเราได้ช่วยเหลือผู้คนจำนวนมากในการแก้ปัญหาการจ้างงานหรือย้ายไปยังงานที่มีรายได้สูงกว่า เราได้รับความไว้วางใจและการยอมรับจากลูกค้า ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลใดที่เราจะต้องทำเช่นนี้ ยิ่งไปกว่านั้น สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้เลยที่จะทำทางกายภาพ: คุณชำระเงินสำหรับคำสั่งซื้อของคุณเมื่อคุณได้รับมันถึงมือของคุณ ไม่มีการชำระล่วงหน้า

ฉันสามารถสั่งซื้อประกาศนียบัตรจากมหาวิทยาลัยใดก็ได้หรือไม่? คำตอบ โดยทั่วไปแล้วใช่ เราทำงานในสาขานี้มาเกือบ 12 ปีแล้ว ในช่วงเวลานี้ ฐานข้อมูลเอกสารที่ออกโดยมหาวิทยาลัยเกือบทั้งหมดในประเทศและที่อื่นๆ เกือบทั้งหมดถูกสร้างขึ้น ปีที่แตกต่างกันการออก เพียงคุณเลือกมหาวิทยาลัย สาขาวิชาเฉพาะ เอกสาร และกรอกแบบฟอร์มคำสั่งซื้อ

จะทำอย่างไรถ้าคุณพบการพิมพ์ผิดและข้อผิดพลาดในเอกสาร? คำตอบ เมื่อได้รับเอกสารจากบริษัทจัดส่งหรือบริษัทไปรษณีย์ของเรา เราขอแนะนำให้คุณตรวจสอบรายละเอียดทั้งหมดอย่างละเอียด หากพบการพิมพ์ผิด ข้อผิดพลาด หรือความไม่ถูกต้อง คุณมีสิทธิ์ที่จะไม่รับประกาศนียบัตร แต่คุณต้องระบุข้อบกพร่องที่ตรวจพบเป็นการส่วนตัวต่อผู้จัดส่งหรือเป็นลายลักษณ์อักษรโดยการส่งอีเมล
เราจะแก้ไขเอกสารโดยเร็วที่สุดและส่งอีกครั้งไปยังที่อยู่ที่ระบุ แน่นอนว่าบริษัทของเราจะเป็นผู้จ่ายค่าขนส่ง
เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดดังกล่าว ก่อนที่จะกรอกแบบฟอร์มต้นฉบับ เราจะส่งแบบจำลองของเอกสารในอนาคตให้ลูกค้าทางอีเมลเพื่อตรวจสอบและอนุมัติเวอร์ชันสุดท้าย ก่อนที่จะส่งเอกสารทางไปรษณีย์หรือไปรษณีย์ เราจะถ่ายรูปและวิดีโอเพิ่มเติม (รวมถึงแสงอัลตราไวโอเลต) เพื่อให้คุณมีความชัดเจนว่าคุณจะได้รับอะไรในที่สุด

ฉันควรทำอย่างไรเพื่อสั่งประกาศนียบัตรจากบริษัทของคุณ? คำตอบ ในการสั่งซื้อเอกสาร (ใบรับรอง อนุปริญญา ใบรับรองการศึกษา ฯลฯ) คุณต้องกรอกแบบฟอร์มสั่งซื้อออนไลน์บนเว็บไซต์ของเราหรือระบุอีเมลของคุณเพื่อให้เราสามารถส่งแบบฟอร์มใบสมัครให้คุณได้ ซึ่งคุณต้องกรอกและส่งกลับ สำหรับเรา
หากคุณไม่ทราบว่าต้องระบุอะไรในช่องใดๆ ของแบบฟอร์มคำสั่งซื้อ/แบบสอบถาม ให้เว้นว่างไว้ ดังนั้นเราจะชี้แจงข้อมูลที่ขาดหายไปทั้งหมดทางโทรศัพท์

รีวิวล่าสุด

วาเลนติน่า:

คุณช่วยลูกชายของเราจากการถูกไล่ออก! ความจริงก็คือเมื่อออกจากวิทยาลัยลูกชายของฉันก็เข้าร่วมกองทัพ และเมื่อเขากลับมาเขาก็ไม่อยากหาย ทำงานโดยไม่มีประกาศนียบัตร แต่เมื่อไม่นานมานี้พวกเขาเริ่มไล่ทุกคนที่ไม่มี "เปลือกโลก" ออก นั่นเป็นเหตุผลที่เราตัดสินใจติดต่อคุณและไม่เสียใจเลย! ตอนนี้เขาทำงานอย่างใจเย็นและไม่กลัวสิ่งใด! ขอบคุณ!

อยู่ตรงกลางจุดหนึ่ง ก.
α - มุมแสดงเป็นเรเดียน

คำนิยาม
ไซน์ (บาป α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาตรงข้าม |BC| ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|

โคไซน์ (คอส α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|

สัญกรณ์ที่ยอมรับ

;
;
.

;
;
.

กราฟของฟังก์ชันไซน์ y = sin x

กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ y = cos x

คุณสมบัติของไซน์และโคไซน์

ความเป็นงวด

ฟังก์ชัน y = บาป xและ ย = เพราะ xเป็นระยะกับช่วงเวลา 2π.

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันไซน์เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันโคไซน์เป็นเลขคู่

ขอบเขตของคำจำกัดความและค่านิยม สุดขั้ว เพิ่ม ลด

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์มีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ กล่าวคือ สำหรับ x ทั้งหมด (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักแสดงอยู่ในตาราง (n - จำนวนเต็ม)

สูตรพื้นฐาน

ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์

สูตรไซน์และโคไซน์จากผลรวมและผลต่าง

;
;

สูตรผลคูณของไซน์และโคไซน์

สูตรผลรวมและผลต่าง

แสดงไซน์ผ่านโคไซน์

;
;
;
.

แสดงโคไซน์ผ่านไซน์

;
;
;
.

การแสดงออกผ่านแทนเจนต์

; .

เมื่อใด เรามี:
; .

ที่ :
; .

ตารางไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์

การแสดงออกผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน

;

สูตรของออยเลอร์

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

- - การหาสูตร > > >

อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
{ -∞ < x < +∞ }

เซแคนต์, โคซีแคนต์

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของไซน์และโคไซน์คืออาร์คไซน์และอาร์กโคไซน์ตามลำดับ

อาร์คซิน, อาร์คซิน

อาร์คโคไซน์ อาร์คคอส

วรรณกรรมที่ใช้:
ใน. บรอนสไตน์ เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552

– จะมีงานเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติอย่างแน่นอน วิชาตรีโกณมิติมักไม่ชอบเพราะต้องใช้การยัดเยียด จำนวนมากสูตรยากๆ ที่เต็มไปด้วยไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ทางเว็บไซต์ได้ให้คำแนะนำไว้แล้ว วิธีจำสูตรที่ถูกลืมโดยใช้ตัวอย่างสูตรออยเลอร์และพีล.

และในบทความนี้เราจะพยายามแสดงให้เห็นว่าการรู้เพียงห้าวิธีที่ง่ายที่สุดก็เพียงพอแล้ว สูตรตรีโกณมิติและส่วนที่เหลือมี ความคิดทั่วไปและนำพวกเขาออกมาในขณะที่คุณไป มันเหมือนกับ DNA: โมเลกุลไม่ได้เก็บพิมพ์เขียวที่สมบูรณ์ของสิ่งมีชีวิตที่เสร็จสมบูรณ์แล้ว แต่มีคำแนะนำในการประกอบจากกรดอะมิโนที่มีอยู่ ในวิชาตรีโกณมิติ พอจะรู้บ้าง หลักการทั่วไปเราจะได้สูตรที่จำเป็นทั้งหมดจากชุดเล็กๆ ที่ต้องจำไว้

เราจะพึ่งพา สูตรต่อไปนี้:

จากสูตรสำหรับผลบวกของไซน์และโคไซน์ เมื่อทราบความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันโคไซน์และความคี่ของฟังก์ชันไซน์ โดยแทนที่ -b แทน b เราจะได้สูตรสำหรับความแตกต่าง:

1. ไซน์ของความแตกต่าง: บาป(ก-ข) = บาปกเพราะ(-ข)+เพราะกบาป(-ข) = บาปกเพราะข-เพราะกบาปข
2. โคไซน์ของผลต่าง: เพราะ(ก-ข) = เพราะกเพราะ(-ข)-บาปกบาป(-ข) = เพราะกเพราะข+บาปกบาปข

เมื่อใส่ a = b ลงในสูตรเดียวกัน เราจะได้สูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของมุมคู่:

1. ไซน์ของมุมคู่: บาป2ก = บาป(ก+ก) = บาปกเพราะก+เพราะกบาปก = 2บาปกเพราะก
2. โคไซน์ของมุมคู่: เพราะ2ก = เพราะ(ก+ก) = เพราะกเพราะก-บาปกบาปก = เพราะ2 ก-บาป2 ก

สูตรสำหรับหลายมุมอื่นๆ จะได้มาในทำนองเดียวกัน:

1. ไซน์ของมุมสามมุม: บาป3ก = บาป(2a+ก) = บาป2กเพราะก+เพราะ2กบาปก = (2บาปกเพราะก)เพราะก+(เพราะ2 ก-บาป2 ก)บาปก = 2บาปกเพราะ2 ก+บาปกเพราะ2 ก-บาป 3 ก = 3 บาปกเพราะ2 ก-บาป 3 ก = 3 บาปก(1-บาป2 ก)-บาป 3 ก = 3 บาปก-4บาป 3ก
2. โคไซน์ของมุมสามมุม: เพราะ3ก = เพราะ(2a+ก) = เพราะ2กเพราะก-บาป2กบาปก = (เพราะ2 ก-บาป2 ก)เพราะก-(2บาปกเพราะก)บาปก = เพราะ 3 ก- บาป2 กเพราะก-2บาป2 กเพราะก = เพราะ 3 เอ-3 บาป2 กเพราะก = เพราะ 3 a-3(1- เพราะ2 ก)เพราะก = 4เพราะ 3 เอ-3 เพราะก

ก่อนที่จะไปต่อ เรามาดูปัญหาหนึ่งกันก่อน
ให้ไว้: มุมเป็นแบบเฉียบพลัน
ค้นหาโคไซน์ของมันถ้า
วิธีแก้ปัญหาที่ได้รับจากนักเรียนคนหนึ่ง:
เพราะ , ที่ บาปก= 3,ก เพราะก = 4.
(จากอารมณ์ขันคณิต)

ดังนั้น คำจำกัดความของแทนเจนต์จึงเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันนี้กับทั้งไซน์และโคไซน์ แต่คุณจะได้สูตรที่เกี่ยวข้องกับแทนเจนต์กับโคไซน์เท่านั้น เพื่อให้ได้มาเรามาเป็นหลักกัน เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ: บาป 2 ก+เพราะ 2 ก= 1 แล้วหารด้วย เพราะ 2 ก- เราได้รับ:

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหานี้จะเป็นดังนี้:

(เนื่องจากมุมเป็นมุมแหลม เมื่อแยกราก จึงมีเครื่องหมาย +)

สูตรแทนเจนต์ของผลรวมเป็นอีกสูตรหนึ่งที่จำยาก ลองส่งออกแบบนี้:

ปรากฏทันทีและ

จากสูตรโคไซน์สำหรับมุมสองมุม คุณสามารถได้สูตรไซน์และโคไซน์สำหรับครึ่งมุม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ทางด้านซ้ายของสูตรโคไซน์มุมคู่:
เพราะ2 ก = เพราะ 2 ก-บาป 2 ก
เราเพิ่มหนึ่งหน่วยและทางด้านขวา - หน่วยตรีโกณมิติเช่น ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์
เพราะ2ก+1 = เพราะ2 ก-บาป2 ก+เพราะ2 ก+บาป2 ก
2เพราะ 2 ก = เพราะ2 ก+1
กำลังแสดงออก เพราะกผ่าน เพราะ2 กและทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเราจะได้:

เครื่องหมายจะถูกยึดขึ้นอยู่กับจตุภาค

ในทำนองเดียวกัน ลบหนึ่งจากด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันและผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์จากทางขวา เราจะได้:
เพราะ2ก-1 = เพราะ2 ก-บาป2 ก-เพราะ2 ก-บาป2 ก
2บาป 2 ก = 1-เพราะ2 ก

และสุดท้ายคือการแปลงจำนวนเงิน ฟังก์ชันตรีโกณมิติในการทำงานเราใช้เทคนิคดังต่อไปนี้ สมมติว่าเราจำเป็นต้องแสดงผลรวมของไซน์เป็นผลิตภัณฑ์ บาปก+บาปข- เรามาแนะนำตัวแปร x และ y โดยที่ a = x+y, b+x-y แล้ว
บาปก+บาปข = บาป(x+y)+ บาป(x-y) = บาป x เพราะย+ เพราะ x บาปย+ บาป x เพราะย- เพราะ x บาปย=2 บาป x เพราะย. ตอนนี้ให้เราเขียน x และ y ในรูปของ a และ b

เนื่องจาก a = x+y, b = x-y ดังนั้น นั่นเป็นเหตุผล

คุณสามารถถอนเงินได้ทันที

1. สูตรการแบ่งพาร์ติชัน ผลคูณของไซน์และโคไซน์วี จำนวน: บาปกเพราะข = 0.5(บาป(ก+ข)+บาป(ก-ข))

เราขอแนะนำให้คุณฝึกฝนและรับสูตรด้วยตัวเองเพื่อแปลงผลต่างของไซน์และผลรวมและผลต่างของโคไซน์ให้เป็นผลคูณ รวมทั้งแบ่งผลคูณของไซน์และโคไซน์เป็นผลบวกด้วย เมื่อทำแบบฝึกหัดเหล่านี้เสร็จแล้ว คุณจะเชี่ยวชาญทักษะการหาสูตรตรีโกณมิติอย่างละเอียดและจะไม่หลงทางแม้แต่ในการทดสอบโอลิมปิกหรือการทดสอบที่ยากที่สุด