อนุพันธ์ของ f จาก x กฎเกณฑ์ในการคำนวณอนุพันธ์

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้จัดเตรียมของคุณ ข้อมูลส่วนบุคคลทุกครั้งที่คุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวม ข้อมูลต่างๆรวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่ของคุณ อีเมลฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็นตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดีในการดำเนินการทางกฎหมายและ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานรัฐบาลในสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่าอนุพันธ์

อันเป็นผลมาจากการแก้ปัญหาในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด (และไม่ง่ายนัก) โดยการกำหนดอนุพันธ์เป็นขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำปรากฏขึ้น . คนแรกที่ทำงานในด้านการค้นหาอนุพันธ์คือ Isaac Newton (1643-1727) และ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

ดังนั้นในยุคของเราในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ดังกล่าวข้างต้นของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ แต่คุณเพียงต้องใช้ตารางของ อนุพันธ์และกฎของความแตกต่าง อัลกอริธึมต่อไปนี้เหมาะสำหรับการค้นหาอนุพันธ์

เพื่อหาอนุพันธ์คุณต้องมีนิพจน์ใต้เครื่องหมายเฉพาะ แบ่งฟังก์ชันง่ายๆ ออกเป็นส่วนประกอบต่างๆและกำหนดการกระทำใด (ผลิตภัณฑ์ ผลรวม ผลหาร)ฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกัน ต่อไปเราจะค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานในตารางอนุพันธ์และสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ผลรวมและผลหาร - ในกฎการสร้างความแตกต่าง ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างจะได้รับหลังจากสองตัวอย่างแรก

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. จากกฎการหาความแตกต่าง เราพบว่าอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันคือผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เช่น

จากตารางอนุพันธ์ เราพบว่าอนุพันธ์ของ "x" เท่ากับ 1 และอนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์ เราแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นผลรวมของอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหา:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราแยกความแตกต่างเป็นอนุพันธ์ของผลรวมโดยที่เทอมที่สองมีปัจจัยคงที่ สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

หากยังคงมีคำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับที่มาของบางสิ่ง คำถามเหล่านี้มักจะถูกกระจ่างหลังจากทำความคุ้นเคยกับตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่ง่ายที่สุด เรากำลังดำเนินการไปหาพวกเขาในขณะนี้

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ (ตัวเลข) ตัวเลขใดๆ (1, 2, 5, 200...) ที่อยู่ในนิพจน์ฟังก์ชัน เท่ากับศูนย์เสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ต้องจำไว้เนื่องจากต้องใช้บ่อยมาก
2. อนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ ส่วนใหญ่มักจะเป็น "X" เท่ากับหนึ่งเสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้เป็นเวลานาน
3. อนุพันธ์ของปริญญา เมื่อแก้ไขปัญหา คุณต้องแปลงรากที่ไม่ใช่กำลังสองให้เป็นกำลัง
4. อนุพันธ์ของตัวแปรยกกำลัง -1
5. อนุพันธ์ของรากที่สอง
6. อนุพันธ์ของไซน์
7. อนุพันธ์ของโคไซน์
8. อนุพันธ์ของแทนเจนต์
9. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
10. อนุพันธ์ของอาร์คไซน์
11. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
12. อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์
13. อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์
14. อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ
15. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
16. อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
17. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กฎของความแตกต่าง

1. อนุพันธ์ของผลรวมหรือผลต่าง
2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
2ก. อนุพันธ์ของนิพจน์คูณด้วยตัวประกอบคงที่
3. อนุพันธ์ของผลหาร
4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

กฎข้อที่ 1ถ้าฟังก์ชั่น

สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง จากนั้นฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้

ผลที่ตามมา หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันต่างกันด้วยเทอมคงที่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งสองจะเท่ากัน, เช่น.

กฎข้อที่ 2ถ้าฟังก์ชั่น

สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง แล้วผลิตภัณฑ์ของเขาก็หาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้กับอนุพันธ์ของอีกฟังก์ชันหนึ่ง

ข้อพิสูจน์ 1. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

ข้อพิสูจน์ 2. อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันอนุพันธ์หลายฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของอนุพันธ์ของแต่ละปัจจัยและอื่นๆ ทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวคูณสามตัว:

กฎข้อที่ 3ถ้าฟังก์ชั่น

แยกแยะได้ในบางจุด และ , เมื่อมาถึงจุดนี้ ผลหารของพวกมันก็สามารถหาอนุพันธ์ได้เช่นกันคุณ/วี และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันเท่ากับเศษส่วน โดยตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของ อดีตตัวเศษ

จะค้นหาสิ่งต่าง ๆ ในหน้าอื่นได้ที่ไหน

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารในปัญหาจริง จำเป็นต้องใช้กฎการสร้างความแตกต่างหลายข้อในคราวเดียวเสมอ ดังนั้นจึงมีตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้ในบทความ"อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารของฟังก์ชัน".

ความคิดเห็นคุณไม่ควรสับสนระหว่างค่าคงที่ (นั่นคือตัวเลข) ในรูปของผลรวมและตัวประกอบคงที่! ในกรณีของเทอม อนุพันธ์ของมันจะเท่ากับศูนย์ และในกรณีของตัวประกอบคงที่ อนุพันธ์ของเทอมนั้นจะถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ นี้ ข้อผิดพลาดทั่วไปซึ่งเกิดขึ้นในวันที่ ชั้นต้นศึกษาอนุพันธ์ แต่ในขณะที่พวกเขาแก้ตัวอย่างหนึ่งและสองส่วนหลายตัวอย่าง นักเรียนทั่วไปจะไม่ทำผิดพลาดอีกต่อไป

และถ้าเมื่อคุณแยกแยะผลิตภัณฑ์หรือผลหาร คุณมีคำศัพท์ ยู"โวลต์, ซึ่งใน ยู- ตัวเลข เช่น 2 หรือ 5 นั่นคือค่าคงที่ จากนั้นอนุพันธ์ของตัวเลขนี้จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นพจน์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ (ในกรณีนี้จะกล่าวถึงในตัวอย่างที่ 10)

ข้อผิดพลาดทั่วไปอีกประการหนึ่งคือการแก้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยกลไกให้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงเดียว นั่นเป็นเหตุผล อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนมีการอุทิศบทความแยกต่างหาก แต่ก่อนอื่น เราจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ก่อน ฟังก์ชั่นง่ายๆ.

ระหว่างทาง คุณไม่สามารถทำได้โดยไม่เปลี่ยนการแสดงออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณอาจต้องเปิดคู่มือในหน้าต่างใหม่ การกระทำที่มีพลังและรากและ การดำเนินการกับเศษส่วน .

หากคุณกำลังมองหาคำตอบของอนุพันธ์ของเศษส่วนที่มีกำลังและราก นั่นคือเมื่อฟังก์ชันมีลักษณะเช่นนี้ จากนั้นติดตามบทเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนที่มีพลังและราก”

หากคุณมีงานเช่น จากนั้น คุณจะได้เรียนรู้บทเรียน “อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย”

ตัวอย่างทีละขั้นตอน - วิธีค้นหาอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เรากำหนดส่วนของนิพจน์ฟังก์ชัน: นิพจน์ทั้งหมดแสดงถึงผลิตภัณฑ์ และตัวประกอบของมันคือผลรวม ในวินาทีที่คำศัพท์ตัวใดตัวหนึ่งมีค่าคงที่ เราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลคูณ: อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น:

ต่อไป เราใช้กฎการหาความแตกต่างของผลรวม: อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ ในกรณีของเรา ในแต่ละผลรวม เทอมที่สองจะมีเครื่องหมายลบ ในแต่ละผลรวมเราจะเห็นทั้งตัวแปรอิสระ โดยมีอนุพันธ์เท่ากับ 1 และค่าคงที่ (ตัวเลข) ซึ่งอนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น "X" จะกลายเป็นหนึ่ง และลบ 5 จะกลายเป็นศูนย์ ในนิพจน์ที่สอง "x" คูณด้วย 2 ดังนั้นเราจึงคูณสองด้วยหน่วยเดียวกันกับอนุพันธ์ของ "x" เราได้รับค่าอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:

เราแทนที่อนุพันธ์ที่พบเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์และรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งหมดที่กำหนดตามเงื่อนไขของปัญหา:

และคุณสามารถตรวจสอบวิธีแก้ไขปัญหาอนุพันธ์ได้ที่

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของผลหาร เราใช้สูตรในการหาความแตกต่างของผลหาร: อนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชันทั้งสองมีค่าเท่ากับเศษส่วน ซึ่งตัวเศษคือความแตกต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของ ตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม เราได้รับ:

เราพบอนุพันธ์ของปัจจัยในตัวเศษในตัวอย่างที่ 2 แล้ว อย่าลืมว่าผลคูณซึ่งเป็นตัวประกอบตัวที่สองในตัวเศษในตัวอย่างปัจจุบันนั้นมีเครื่องหมายลบ:

หากคุณกำลังมองหาวิธีแก้ไขปัญหาโดยต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันซึ่งมีรากและกำลังอย่างต่อเนื่อง เช่น แล้วยินดีต้อนรับเข้าสู่ชั้นเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนด้วยกำลังและราก” .

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และอื่นๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิตินั่นคือเมื่อฟังก์ชันดูเหมือน แล้วบทเรียนสำหรับคุณ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย" .

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลคูณ หนึ่งในปัจจัยคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราคุ้นเคยในตารางอนุพันธ์ เมื่อใช้กฎในการแยกความแตกต่างผลิตภัณฑ์และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สองเราได้รับ:

สามารถตรวจสอบแนวทางแก้ไขปัญหาอนุพันธ์ได้ที่ เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ออนไลน์ .

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลหารซึ่งเงินปันผลคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ เมื่อใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลหารซึ่งเราทำซ้ำและนำไปใช้ในตัวอย่างที่ 4 และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้:

หากต้องการกำจัดเศษส่วนในตัวเศษ ให้คูณทั้งเศษและส่วนด้วย

หากคุณทำตามคำจำกัดความอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δ ยถึงการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ Δ x:

ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน แต่ลองใช้สูตรนี้คำนวณ เช่น อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 + (2x+ 3) · จ xบาป x. หากคุณทำทุกอย่างตามคำจำกัดความหลังจากคำนวณไปสองสามหน้าคุณก็เผลอหลับไป ดังนั้นจึงมีวิธีที่ง่ายและมีประสิทธิภาพมากกว่า

ประการแรก เราสังเกตว่าจากฟังก์ชันที่หลากหลายทั้งหมด เราสามารถแยกแยะสิ่งที่เรียกว่าฟังก์ชันพื้นฐานได้ สิ่งเหล่านี้เป็นนิพจน์ที่ค่อนข้างง่ายซึ่งมีการคำนวณและจัดตารางอนุพันธ์มายาวนาน ฟังก์ชันดังกล่าวค่อนข้างง่ายต่อการจดจำ - พร้อมด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น

ฟังก์ชั่นเบื้องต้นมีทั้งหมดตามรายการด้านล่าง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ต้องรู้ด้วยใจ ยิ่งกว่านั้นการจดจำไม่ใช่เรื่องยากเลย - นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นระดับประถมศึกษา

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน:

ชื่อ	การทำงาน	อนุพันธ์
คงที่	ฉ(x) = ค, ค ∈ ร	0 (ใช่ ศูนย์!)
กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ	ฉ(x) = x n	n · x n − 1
ไซนัส	ฉ(x) = บาป x	เพราะ x
โคไซน์	ฉ(x) = cos x	−บาป x(ลบไซน์)
แทนเจนต์	ฉ(x) = ทีจี x	1/คอส 2 x
โคแทนเจนต์	ฉ(x) = กะรัต x	− 1/ซิน 2 x
ลอการิทึมธรรมชาติ	ฉ(x) = บันทึก x	1/x
ลอการิทึมตามอำเภอใจ	ฉ(x) = บันทึก ก x	1/(x ln ก)
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง	ฉ(x) = จ x	จ x(ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง)

หากฟังก์ชันพื้นฐานคูณด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจ อนุพันธ์ของฟังก์ชันใหม่ก็จะถูกคำนวณอย่างง่ายดายเช่นกัน:

(ค · ฉ)’ = ค · ฉ ’.

โดยทั่วไป ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

แน่นอนว่าคุณสามารถเพิ่มฟังก์ชันพื้นฐานเข้าด้วยกัน คูณ หาร และอื่นๆ อีกมากมายได้ นี่คือลักษณะที่ฟังก์ชันใหม่จะปรากฏขึ้น ซึ่งไม่เฉพาะเจาะจงอีกต่อไป แต่ยังมีความแตกต่างตามกฎบางอย่างอีกด้วย กฎเหล่านี้จะกล่าวถึงด้านล่างนี้

อนุพันธ์ของผลรวมและผลต่าง

ให้ฟังก์ชันได้รับ ฉ(x) และ ก(x) อนุพันธ์ที่เรารู้จัก ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่กล่าวถึงข้างต้นได้ จากนั้นคุณจะพบอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันเหล่านี้:

1. (ฉ + ก)’ = ฉ ’ + ก ’
2. (ฉ − ก)’ = ฉ ’ − ก ’

ดังนั้น อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ อาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น, ( ฉ + ก + ชม.)’ = ฉ ’ + ก ’ + ชม. ’.

พูดอย่างเคร่งครัด ไม่มีแนวคิดเรื่อง "การลบ" ในพีชคณิต มีแนวคิดเรื่อง "องค์ประกอบเชิงลบ" ดังนั้นความแตกต่าง ฉ − กสามารถเขียนใหม่เป็นผลรวมได้ ฉ+ (−1) กแล้วเหลือเพียงสูตรเดียวเท่านั้น - อนุพันธ์ของผลรวม

ฉ(x) = x 2 + บาป x; ก(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

การทำงาน ฉ(x) คือผลรวมของฟังก์ชันพื้นฐาน 2 ฟังก์ชัน ดังนั้น:

ฉ ’(x) = (x 2 + บาป x)’ = (x 2)’ + (บาป x)’ = 2x+ คอส x;

เราให้เหตุผลคล้ายกันสำหรับฟังก์ชันนี้ ก(x). มีเพียงสามเทอมเท่านั้น (จากมุมมองของพีชคณิต):

ก ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

คำตอบ:
ฉ ’(x) = 2x+ คอส x;
ก ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์เชิงตรรกะ ผู้คนจำนวนมากเชื่อว่าหากอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ อนุพันธ์ของผลคูณก็จะตามมาด้วย โจมตี">เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ แต่สกรูคุณ! อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คำนวณโดยใช้สูตรที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง กล่าวคือ:

(ฉ · ก) ’ = ฉ ’ · ก + ฉ · ก ’

สูตรนั้นเรียบง่ายแต่มักถูกลืม และไม่ใช่แค่เด็กนักเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนักเรียนด้วย ผลลัพธ์ที่ได้คือการแก้ปัญหาอย่างไม่ถูกต้อง

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = x 3 คอส x; ก(x) = (x 2 + 7x− 7) · จ x .

การทำงาน ฉ(x) เป็นผลคูณของฟังก์ชันพื้นฐาน 2 ฟังก์ชัน ดังนั้นทุกอย่างจึงเป็นเรื่องง่าย:

ฉ ’(x) = (x 3คอส x)’ = (x 3)’ เพราะ x + x 3 (คอส x)’ = 3x 2คอส x + x 3 (- บาป x) = x 2 (3คอส x − xบาป x)

การทำงาน ก(x) ตัวคูณแรกจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่รูปแบบทั่วไปไม่เปลี่ยนแปลง แน่นอนว่าปัจจัยแรกของฟังก์ชัน ก(x) เป็นพหุนามและอนุพันธ์ของมันคืออนุพันธ์ของผลรวม เรามี:

ก ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · จ x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · จ x + (x 2 + 7x− 7) · ( จ x)’ = (2x+ 7) · จ x + (x 2 + 7x− 7) · จ x = จ x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · จ x = x(x+ 9) · จ x .

คำตอบ:
ฉ ’(x) = x 2 (3คอส x − xบาป x);
ก ’(x) = x(x+ 9) · จ x .

โปรดทราบว่าในขั้นตอนสุดท้ายอนุพันธ์จะถูกแยกตัวประกอบ อย่างเป็นทางการไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ แต่อนุพันธ์ส่วนใหญ่ไม่ได้คำนวณด้วยตัวเอง แต่เพื่อตรวจสอบฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์เพิ่มเติมจะเท่ากับศูนย์ สัญญาณจะถูกกำหนด และอื่นๆ ในกรณีเช่นนี้ ควรแยกตัวประกอบนิพจน์จะดีกว่า

ถ้ามีสองฟังก์ชัน ฉ(x) และ ก(x), และ ก(x) ≠ 0 บนเซตที่เราสนใจ เราสามารถกำหนดฟังก์ชันใหม่ได้ ชม.(x) = ฉ(x)/ก(x). สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว คุณยังสามารถหาอนุพันธ์ได้:

ไม่อ่อนแอใช่ไหม? ลบมาจากไหน? ทำไม ก 2? และเช่นนี้! นี่เป็นหนึ่งในสูตรที่ซับซ้อนที่สุด - คุณไม่สามารถเข้าใจได้หากไม่มีขวด ดังนั้นจึงควรศึกษาที่ ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง.

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ตัวเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วนมีฟังก์ชันพื้นฐาน ดังนั้นสิ่งที่เราต้องมีคือสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลหาร:

ตามธรรมเนียมแล้ว เรามาแยกตัวประกอบของตัวเศษกัน - นี่จะทำให้คำตอบง่ายขึ้นมาก:

ฟังก์ชันที่ซับซ้อนไม่จำเป็นต้องมีสูตรยาวครึ่งกิโลเมตร ตัวอย่างเช่น การรับฟังก์ชันก็เพียงพอแล้ว ฉ(x) = บาป xและแทนที่ตัวแปร xพูดเปิด x 2 + อิน x. มันจะได้ผล ฉ(x) = บาป ( x 2 + อิน x) - นี่คือฟังก์ชันที่ซับซ้อน มันมีอนุพันธ์ด้วย แต่จะไม่สามารถค้นหาได้โดยใช้กฎที่กล่าวถึงข้างต้น

ฉันควรทำอย่างไรดี? ในกรณีเช่นนี้ การแทนที่ตัวแปรและสูตรเพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะช่วย:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที', ถ้า xถูกแทนที่ด้วย ที(x).

ตามกฎแล้ว สถานการณ์ที่มีการทำความเข้าใจสูตรนี้น่าเศร้ายิ่งกว่าอนุพันธ์ของผลหารด้วยซ้ำ ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะอธิบายด้วยตัวอย่างเฉพาะด้วย คำอธิบายโดยละเอียดทุกขั้นตอน

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = จ 2x + 3 ; ก(x) = บาป ( x 2 + อิน x)

โปรดทราบว่าหากอยู่ในฟังก์ชัน ฉ(x) แทนนิพจน์ 2 x+3 จะเป็นเรื่องง่าย xแล้วเราจะได้ฟังก์ชันพื้นฐาน ฉ(x) = จ x. ดังนั้นเราจึงทำการทดแทน: ให้ 2 x + 3 = ที, ฉ(x) = ฉ(ที) = จ ที. เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยใช้สูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที ’ = (จ ที)’ · ที ’ = จ ที · ที ’

และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! เราทำการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ: ที = 2x+ 3 เราได้รับ:

ฉ ’(x) = จ ที · ที ’ = จ 2x+3 (2 x + 3)’ = จ 2x+ 3 2 = 2 จ 2x + 3

ทีนี้มาดูฟังก์ชั่นกัน ก(x). แน่นอนว่ามันจำเป็นต้องเปลี่ยนใหม่ x 2 + อิน x = ที. เรามี:

ก ’(x) = ก ’(ที) · ที’ = (บาป ที)’ · ที' = cos ที · ที ’

การแทนที่แบบย้อนกลับ: ที = x 2 + อิน x. แล้ว:

ก ’(x) = คอส ( x 2 + อิน x) · ( x 2 + อิน x)' = คอส ( x 2 + อิน x) · (2 x + 1/x).

นั่นคือทั้งหมด! ดังที่เห็นได้จากนิพจน์ที่แล้ว ปัญหาทั้งหมดลดลงเหลือเพียงการคำนวณผลรวมอนุพันธ์

คำตอบ:
ฉ ’(x) = 2 · จ 2x + 3 ;
ก ’(x) = (2x + 1/x) เพราะ ( x 2 + อิน x).

บ่อยครั้งในบทเรียนของฉัน แทนที่จะใช้คำว่า "อนุพันธ์" ฉันใช้คำว่า "เฉพาะ" ตัวอย่างเช่น จำนวนเฉพาะจากจำนวน เท่ากับผลรวมจังหวะ นั่นชัดเจนกว่าเหรอ? นั่นเป็นสิ่งที่ดี

ดังนั้นการคำนวณอนุพันธ์จึงต้องกำจัดจังหวะเดียวกันนี้ตามกฎที่กล่าวไว้ข้างต้น จากตัวอย่างสุดท้าย ลองกลับไปสู่กำลังอนุพันธ์ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

(x n)’ = n · x n − 1

น้อยคนที่รู้ว่าในบทบาทนี้ nอาจจะทำหน้าที่ได้ดี จำนวนเศษส่วน. ตัวอย่างเช่นรากคือ x 0.5. จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีอะไรแปลก ๆ อยู่ใต้ราก? ผลลัพธ์จะเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกครั้ง - พวกเขาต้องการสร้างโครงสร้างดังกล่าวให้ การทดสอบและการสอบ

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ขั้นแรก ลองเขียนรากใหม่เป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

ฉ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ตอนนี้เราทำการทดแทน: ให้ x 2 + 8x − 7 = ที. เราค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที ’ = (ที 0.5)’ · ที’ = 0.5 · ที−0.5 · ที ’.

มาทำการแทนที่แบบย้อนกลับกัน: ที = x 2 + 8x− 7. เรามี:

ฉ ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

สุดท้ายก็กลับไปสู่รากเหง้า:

อนุพันธ์

การคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ (ความแตกต่าง) เป็นปัญหาที่พบบ่อยมากเมื่อแก้คณิตศาสตร์ระดับสูง สำหรับฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์อย่างง่าย (ระดับประถมศึกษา) นี่เป็นเรื่องที่ค่อนข้างง่าย เนื่องจากตารางอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันระดับประถมศึกษาได้รับการรวบรวมมานานแล้วและเข้าถึงได้ง่าย อย่างไรก็ตาม การค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนไม่ใช่เรื่องเล็กๆ น้อยๆ และมักต้องใช้ความพยายามและเวลาอย่างมาก

ค้นหาอนุพันธ์ออนไลน์

ของเรา บริการออนไลน์ช่วยให้คุณกำจัดการคำนวณที่ยาวนานและไร้จุดหมาย ค้นหาอนุพันธ์ออนไลน์ในช่วงเวลาหนึ่ง นอกจากนี้การใช้บริการของเราที่อยู่บนเว็บไซต์ www.เว็บไซต์คุณสามารถคำนวณได้ อนุพันธ์ออนไลน์อย่างไรจาก ฟังก์ชั่นเบื้องต้นและจากสิ่งที่ซับซ้อนมากที่ไม่มีวิธีวิเคราะห์ ข้อได้เปรียบหลักของเว็บไซต์ของเราเมื่อเทียบกับที่อื่นคือ: 1) ไม่มีข้อกำหนดที่เข้มงวดสำหรับวิธีการป้อนฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์สำหรับการคำนวณอนุพันธ์ (เช่น เมื่อป้อนฟังก์ชันไซน์ x คุณสามารถป้อนเป็น sin x หรือ sin (x) หรือบาป[x] ฯลฯ ง.); 2) การคำนวณอนุพันธ์ออนไลน์เกิดขึ้นทันทีในโหมด ออนไลน์และอย่างแน่นอน ฟรี; 3) เราให้คุณค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้ คำสั่งใด ๆการเปลี่ยนลำดับของอนุพันธ์นั้นง่ายและเข้าใจได้ง่ายมาก 4) เราช่วยให้คุณค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์เกือบทุกชนิดทางออนไลน์ แม้แต่ฟังก์ชันที่ซับซ้อนมากซึ่งบริการอื่นไม่สามารถแก้ไขได้ คำตอบที่ให้ไว้นั้นถูกต้องเสมอและต้องไม่มีข้อผิดพลาด

การใช้เซิร์ฟเวอร์ของเราจะทำให้คุณสามารถ 1) คำนวณอนุพันธ์ออนไลน์สำหรับคุณ ช่วยลดการเสียเวลาและการคำนวณที่น่าเบื่อในระหว่างที่คุณอาจทำข้อผิดพลาดหรือพิมพ์ผิด; 2) หากคุณคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ด้วยตัวเอง เราจะให้โอกาสคุณในการเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับกับการคำนวณบริการของเรา และตรวจสอบให้แน่ใจว่าวิธีแก้ไขนั้นถูกต้องหรือพบข้อผิดพลาดที่พุ่งเข้ามา 3) ใช้บริการของเราแทนการใช้ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่าย ๆ ซึ่งมักจะต้องใช้เวลาในการค้นหาฟังก์ชันที่ต้องการ

สิ่งที่คุณต้องทำคือ ค้นหาอนุพันธ์ออนไลน์- คือการใช้บริการของเราบน

การคำนวณอนุพันธ์- หนึ่งในการดำเนินการที่สำคัญที่สุดในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ด้านล่างนี้เป็นตารางสำหรับค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย สำหรับกฎการสร้างความแตกต่างที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น โปรดดูบทเรียนอื่นๆ:

• ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม

ใช้สูตรที่กำหนดเป็นค่าอ้างอิง พวกเขาจะช่วยคุณตัดสินใจ สมการเชิงอนุพันธ์และงานต่างๆ ในภาพในตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่ายๆ มี “สูตรโกง” กรณีหลักๆ ในการหาอนุพันธ์ในรูปแบบที่เข้าใจง่ายในการใช้งาน ข้างๆ มีคำอธิบายในแต่ละกรณี

อนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย

1. อนุพันธ์ของตัวเลขคือศูนย์
ซ' = 0
ตัวอย่าง:
5' = 0

คำอธิบาย:
อนุพันธ์แสดงอัตราที่ค่าของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงเมื่ออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลง เนื่องจากตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลงไม่ว่าในกรณีใด ๆ อัตราการเปลี่ยนแปลงจึงเป็นศูนย์เสมอ

2. อนุพันธ์ของตัวแปรเท่ากับหนึ่ง
x' = 1

คำอธิบาย:
เมื่ออาร์กิวเมนต์ (x) เพิ่มขึ้นแต่ละครั้ง ค่าของฟังก์ชัน (ผลลัพธ์ของการคำนวณ) จะเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนที่เท่ากัน ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงค่าของฟังก์ชัน y = x จึงเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงค่าของอาร์กิวเมนต์ทุกประการ

3. อนุพันธ์ของตัวแปรและตัวประกอบเท่ากับตัวประกอบนี้
ซx´ = ซ
ตัวอย่าง:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
คำอธิบาย:
ในกรณีนี้ ทุกครั้งที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลง ( เอ็กซ์) ค่าของมัน (y) เพิ่มขึ้น กับครั้งหนึ่ง. ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของค่าฟังก์ชันสัมพันธ์กับอัตราการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์จึงเท่ากับค่าทุกประการ กับ.

เหตุใดจึงเป็นไปตามนั้น
(cx + b)" = ค
นั่นคือ ค่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเชิงเส้น y=kx+b เท่ากับความชันของเส้นตรง (k)

4. อนุพันธ์แบบโมดูโล่ของตัวแปรเท่ากับผลหารของตัวแปรนี้ต่อโมดูลัส
|x|"= x / |x| โดยมีเงื่อนไขว่า x ≠ 0
คำอธิบาย:
เนื่องจากอนุพันธ์ของตัวแปร (ดูสูตร 2) เท่ากับความสามัคคี อนุพันธ์ของโมดูลจึงแตกต่างเพียงว่าค่าของอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็นค่าตรงกันข้ามเมื่อข้ามจุดกำเนิด (ลองวาดกราฟ ของฟังก์ชัน y = |x| และดูด้วยตัวคุณเอง นี่คือค่าใด ๆ และส่งกลับนิพจน์ x / |x| เมื่อ x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - หนึ่ง นั่นคือสำหรับค่าลบของตัวแปร x เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นแต่ละครั้งค่าของฟังก์ชันจะลดลงด้วยค่าเดียวกันทุกประการและสำหรับค่าบวกตรงกันข้ามจะเพิ่มขึ้น แต่ด้วยค่าเดียวกันทุกประการ .

5. อนุพันธ์ของตัวแปรยกกำลังเท่ากับผลคูณของจำนวนกำลังนี้และตัวแปรของกำลังลดลงหนึ่ง
(x ค)"= cx c-1โดยมีเงื่อนไขว่า x c และ cx c-1 ถูกกำหนดไว้และ c ≠ 0
ตัวอย่าง:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
เพื่อจำสูตร:
ย้ายระดับของตัวแปรลงตามปัจจัย แล้วลดระดับลงหนึ่งตัว ตัวอย่างเช่น สำหรับ x 2 - ทั้งสองอยู่ข้างหน้า x แล้วกำลังที่ลดลง (2-1 = 1) ก็ให้ค่าเรา 2x สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับ x 3 - เรา "เลื่อนลง" สามเท่าลดมันลงหนึ่งและแทนที่จะเป็นลูกบาศก์เรามีสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั่นคือ 3x 2 "ไม่เป็นไปตามหลักวิทยาศาสตร์" เล็กน้อยแต่จำได้ง่ายมาก

6.อนุพันธ์ของเศษส่วน 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
ตัวอย่าง:
เนื่องจากเศษส่วนสามารถแสดงเป็นการยกกำลังเป็นลบได้
(1/x)" = (x -1)" จากนั้นคุณสามารถใช้สูตรจากกฎข้อ 5 ของตารางอนุพันธ์ได้
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. อนุพันธ์ของเศษส่วน ด้วยตัวแปรระดับใดก็ได้ในตัวส่วน
(1/xค)" = - ค / x ค+1
ตัวอย่าง:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. อนุพันธ์ของราก(อนุพันธ์ของตัวแปรภายใต้ รากที่สอง)
(√x)" = 1 / (2√x)หรือ 1/2 x -1/2
ตัวอย่าง:
(√x)" = (x 1/2)" หมายความว่าคุณสามารถใช้สูตรจากกฎข้อ 5 ได้
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. อนุพันธ์ของตัวแปรภายใต้รากของระดับที่กำหนด
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)