การประยุกต์อินทิกรัลในชีวิตมนุษย์ การทำซ้ำของเนื้อหาทางทฤษฎี

แนวคิดเรื่องอินทิกรัลใช้กันอย่างแพร่หลายในชีวิต อินทิกรัลถูกนำมาใช้ในสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีต่างๆ ปัญหาหลักที่คำนวณโดยใช้อินทิกรัลคือปัญหาเกี่ยวกับ:

1. การหาปริมาตรของร่างกาย

2. หาจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย

มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมกัน ที่นี่และด้านล่าง เพื่อแสดงถึงอินทิกรัลจำกัดของฟังก์ชัน f(x) โดยมีขีดจำกัดของอินทิกรัลจาก a ถึง b เราจะใช้สัญกรณ์ต่อไปนี้ ∫ ข ฉ(x).

การหาปริมาตรของร่างกาย

พิจารณารูปต่อไปนี้ สมมติว่ามีวัตถุตัวหนึ่งซึ่งมีปริมาตรเท่ากับ V นอกจากนี้ยังมีเส้นตรงที่ถ้าเราใช้ระนาบที่แน่นอนตั้งฉากกับเส้นตรงนี้ พื้นที่หน้าตัด S ของวัตถุนี้โดยระนาบนี้จะไม่มีใครรู้

ระนาบแต่ละระนาบจะตั้งฉากกับแกน Ox และจะตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่ง x นั่นคือแต่ละจุด x จากเซ็กเมนต์จะถูกกำหนดหมายเลข S(x) - พื้นที่หน้าตัดของร่างกายเครื่องบินที่ผ่านจุดนี้

ปรากฎว่ามีการระบุฟังก์ชัน S(x) บางส่วนไว้บนเซ็กเมนต์ หากฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องกันในส่วนนี้ สูตรต่อไปนี้ก็จะใช้ได้:

V = ∫ aขS(x)dx

การพิสูจน์คำกล่าวนี้นอกเหนือไปจากหลักสูตรของโรงเรียน

การคำนวณจุดศูนย์กลางมวลของร่างกาย

จุดศูนย์กลางมวลมักใช้ในวิชาฟิสิกส์ เช่น มีร่างกายที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วระดับหนึ่ง แต่การพิจารณาวัตถุที่มีขนาดใหญ่นั้นไม่สะดวก ดังนั้นในทางฟิสิกส์ร่างกายนี้จึงถือเป็นการเคลื่อนที่ของจุดหนึ่ง โดยสันนิษฐานว่าจุดนี้มีมวลเท่ากันกับทั้งร่างกาย

และงานคำนวณจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายเป็นงานหลักในเรื่องนี้ เพราะร่างกายมีขนาดใหญ่และควรเอาจุดศูนย์กลางมวลไปตรงจุดใด? บางทีอันที่อยู่ตรงกลางของร่างกาย? หรืออาจเป็นจุดที่ใกล้กับขอบหน้าที่สุด? นี่คือจุดที่การบูรณาการเข้ามาช่วยเหลือ

ในการค้นหาจุดศูนย์กลางมวล จะใช้กฎสองข้อต่อไปนี้:

1. พิกัด x' ของจุดศูนย์กลางมวลของระบบจุดวัตถุ A1, A2, A3, … An โดยมีมวล m1, m2, m3, … mn ตามลำดับ ซึ่งตั้งอยู่บนเส้นตรง ณ จุดที่มีพิกัด x1, x2 ตามลำดับ , x3, … xn พบได้จากสูตรต่อไปนี้:

x’ = (ม.1*x1 + แม*x2 + … + mn*xn)/(ม1 + ม2 + ม3 +… + มน)

2. เมื่อคำนวณพิกัดของจุดศูนย์กลางมวล คุณสามารถแทนที่ส่วนใดส่วนหนึ่งของรูปที่ต้องการด้วย จุดวัสดุโดยวางไว้ที่จุดศูนย์กลางมวลของส่วนที่แยกจากกันของร่างนี้ แล้วนำมวลมา เท่ากับมวลส่วนนี้ของรูป

ตัวอย่างเช่น หากมวลที่มีความหนาแน่น p(x) ถูกกระจายไปตามแท่งไม้ - ส่วนของแกน Ox โดยที่ p(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลางมวล x' จะเท่ากับ

บูรณาการ การประยุกต์ใช้ปริพันธ์

รายวิชาวิชาคณิตศาสตร์

การแนะนำ

สัญลักษณ์อินทิกรัลถูกนำมาใช้ในปี 1675 และมีการศึกษาคำถามเกี่ยวกับแคลคูลัสอินทิกรัลมาตั้งแต่ปี 1696 แม้ว่านักคณิตศาสตร์จะศึกษาอินทิกรัลเป็นหลัก แต่นักฟิสิกส์ก็มีส่วนสนับสนุนวิทยาศาสตร์นี้เช่นกัน แทบจะไม่มีสูตรทางฟิสิกส์ใดที่สามารถทำได้หากไม่มีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล ดังนั้นฉันจึงตัดสินใจสำรวจอินทิกรัลและการประยุกต์ของมัน

§1 ประวัติความเป็นมาของแคลคูลัสอินทิกรัล

ประวัติความเป็นมาของแนวคิดอินทิกรัลมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับปัญหาการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส นักคณิตศาสตร์แห่งกรีกโบราณและโรมเรียกปัญหาเรื่องการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของรูปแบนๆ เพื่อคำนวณพื้นที่ คำภาษาละติน quadratura แปลว่า "กำลังสอง" ความจำเป็นในการใช้คำศัพท์พิเศษอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าในสมัยโบราณ (และต่อมาจนถึงศตวรรษที่ 18) แนวคิดเกี่ยวกับจำนวนจริงยังไม่ได้รับการพัฒนาเพียงพอ นักคณิตศาสตร์ดำเนินการโดยใช้เรขาคณิตที่คล้ายคลึงกันหรือปริมาณสเกลาร์ซึ่งไม่สามารถคูณได้ ดังนั้นจึงต้องกำหนดปัญหาในการหาพื้นที่ เช่น “สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากับวงกลมที่กำหนด” (โจทย์สุดคลาสสิคนี้ “เรื่องการยกกำลังสองวงกลม”
วงกลม" ไม่สามารถแก้ได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด)
สัญลักษณ์ o ถูกนำมาใช้โดย Leibniz (1675) เครื่องหมายนี้เป็นการดัดแปลงอักษรละติน S (อักษรตัวแรกของคำว่า summa) คำว่าอินทิกรัลนั้นถูกประดิษฐ์ขึ้นโดย J. Bernulli (1690) อาจมาจากภาษาละตินจำนวนเต็มซึ่งแปลว่าการนำไปสู่สถานะก่อนหน้าและการฟื้นฟู (แท้จริงแล้ว การดำเนินการของอินทิกรัล "คืนค่า" ฟังก์ชันโดยการแยกความแตกต่างว่าได้รับอินทิกรัลใดมา) บางทีที่มาของคำว่าอินทิกรัลอาจแตกต่างกันไป คำว่าจำนวนเต็มหมายถึงจำนวนเต็ม
ในระหว่างการติดต่อกัน I. Bernoulli และ G. Leibniz เห็นด้วยกับข้อเสนอของ J. Bernoulli ในเวลาเดียวกันในปี 1696 ชื่อของสาขาคณิตศาสตร์ใหม่ก็ปรากฏขึ้น - แคลคูลัสอินทิกรัล (แคลคูลัสอินทิกรัลลิส) ซึ่งได้รับการแนะนำโดย I. Bernoulli
คำศัพท์อื่นๆ ที่รู้จักกันดีที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ปรากฏในภายหลังมาก ชื่อที่ใช้อยู่ในปัจจุบันคือ ฟังก์ชันดั้งเดิม แทนที่ "ฟังก์ชันดั้งเดิม" ก่อนหน้านี้ ซึ่งเปิดตัวโดย Lagrange (1797) คำภาษาละติน primitivus แปลว่า "เริ่มต้น": F(x) = o f(x)dx - ชื่อย่อ (หรือต้นฉบับ หรือแอนติเดริเวทีฟ) สำหรับ f(x) ซึ่งได้มาจาก F(x) โดยการสร้างความแตกต่าง
ใน วรรณกรรมสมัยใหม่เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดสำหรับฟังก์ชัน f(x) ก็เรียกอีกอย่างว่า อินทิกรัลที่แน่นอน. แนวคิดนี้เน้นโดยไลบ์นิซ ซึ่งตั้งข้อสังเกตว่าฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดแตกต่างกันตามค่าคงที่ที่กำหนดเอง
ข
A หรือ f(x)dx
ก
เรียกว่าอินทิกรัลจำกัด (ชื่อนี้ริเริ่มโดยซี. ฟูเรียร์ (ค.ศ. 1768-1830) แต่ออยเลอร์ได้ระบุขีดจำกัดของการอินทิเกรตไว้แล้ว)
ความสำเร็จที่สำคัญหลายประการของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณในการแก้ปัญหาการค้นหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (เช่นการคำนวณพื้นที่) ของตัวเลขเครื่องบินรวมถึงลูกบาศก์ (การคำนวณปริมาตร) ของร่างกายเกี่ยวข้องกับการใช้วิธีหมดแรงที่เสนอโดย Eudoxus of Cnidus (c . 408 - ประมาณ 355 ปีก่อนคริสตกาล .e.) โดยใช้วิธีนี้ Eudoxus พิสูจน์ว่าพื้นที่ของวงกลมสองวงมีความสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง และปริมาตรของกรวยเท่ากับ 1/3 ของปริมาตรของทรงกระบอกที่มีฐานและความสูงเท่ากัน
วิธีการของ Eudoxus ได้รับการปรับปรุงโดย Archimedes ขั้นตอนหลักที่แสดงลักษณะของวิธีการของอาร์คิมิดีส: 1) พิสูจน์ได้ว่าพื้นที่ของวงกลม พื้นที่น้อยลงรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ ที่อธิบายไว้รอบๆ แต่ พื้นที่มากขึ้นใด ๆ ที่จารึกไว้; 2) ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเมื่อเพิ่มจำนวนด้านเป็นสองเท่าอย่างไม่จำกัด ความแตกต่างในพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ 3) ในการคำนวณพื้นที่ของวงกลม ยังคงต้องหาค่าที่อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติมีแนวโน้มเมื่อจำนวนด้านเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าไม่จำกัด
อาร์คิมิดีสใช้วิธีหมดแรงและข้อพิจารณาอันชาญฉลาดอื่นๆ หลายประการ (รวมถึงการใช้แบบจำลองทางกลศาสตร์) สามารถแก้ปัญหาได้มากมาย เขาให้ค่าประมาณของจำนวน p (3.10/71 อาร์คิมิดีสคาดการณ์แนวคิดหลายประการเกี่ยวกับแคลคูลัสอินทิกรัลไว้ (เราเสริมว่าในทางปฏิบัติเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทแรกเกี่ยวกับขีดจำกัดแล้ว) แต่ต้องใช้เวลานานกว่าหนึ่งพันห้าพันปีก่อนที่แนวคิดเหล่านี้จะแสดงออกอย่างชัดเจนและถูกนำขึ้นสู่ระดับแคลคูลัส
นักคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 17 ซึ่งได้รับผลลัพธ์ใหม่มากมายได้เรียนรู้จากผลงานของอาร์คิมีดีส อีกวิธีหนึ่งก็ถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันเช่นกัน - วิธีการแบ่งแยกไม่ได้ซึ่งมีต้นกำเนิดในสมัยกรีกโบราณด้วย (มีความเกี่ยวข้องเป็นหลักกับมุมมองแบบอะตอมมิกของพรรคเดโมคริตุส) ตัวอย่างเช่น พวกเขาจินตนาการถึงสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้ง (รูปที่ 1, a) ที่ประกอบด้วยส่วนแนวตั้งที่มีความยาว f(x) ซึ่งพวกเขายังคงกำหนดพื้นที่ให้เท่ากับค่าที่น้อยที่สุด f(x)dx ตามความเข้าใจนี้ พื้นที่ที่ต้องการจะถือว่าเท่ากับผลรวม
S = เอฟ(x)dx
ก พื้นที่ขนาดเล็กอนันต์จำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด บางครั้งก็เน้นย้ำด้วยซ้ำว่าแต่ละพจน์ในผลรวมนี้เป็นศูนย์ แต่เป็นศูนย์ชนิดพิเศษซึ่งเมื่อบวกกับจำนวนอนันต์แล้ว จะให้ผลรวมบวกที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน
บนพื้นฐานที่ดูน่าสงสัยในขณะนี้ เจ. เคปเลอร์ (1571-1630) ในงานเขียนของเขาเรื่อง "ดาราศาสตร์ใหม่"

(1609) และ “สามมิติของถังไวน์” (1615) คำนวณพื้นที่จำนวนหนึ่งอย่างถูกต้อง (เช่น พื้นที่ของร่างที่ล้อมรอบด้วยวงรี) และปริมาตร (ร่างกายถูกตัดเป็นแผ่นบางเฉียบ 6 แผ่น) การศึกษาเหล่านี้ดำเนินต่อไปโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี B. Cavalieri (1598-1647) และ E. Torricelli (1608-1647) หลักการที่กำหนดโดย B. Cavalieri ซึ่งแนะนำโดยเขาภายใต้สมมติฐานเพิ่มเติมบางประการ ยังคงมีความสำคัญในยุคของเรา
ปล่อยให้จำเป็นต้องหาพื้นที่ของรูปที่แสดงในรูปที่ 1,b โดยที่เส้นโค้งที่ล้อมรอบรูปด้านบนและด้านล่างมีสมการ y = f(x) และ y=f(x)+c
เมื่อจินตนาการถึงรูปร่างที่ประกอบด้วยคอลัมน์ที่ "แบ่งแยกไม่ได้" ตามศัพท์เฉพาะของคาวาเลียรี ซึ่งเป็นคอลัมน์ที่บางเป็นอนันต์ เราสังเกตเห็นว่าคอลัมน์ทั้งหมดมีความยาวรวม c เมื่อเคลื่อนพวกมันไปในแนวตั้ง เราก็จะสามารถสร้างพวกมันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐาน b-a และความสูง c ได้ ดังนั้นพื้นที่ที่ต้องการจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผลลัพธ์นั่นคือ
ส = ส 1 = ค (ข – ก)
หลักการทั่วไปของ Cavalieri สำหรับพื้นที่ของรูปทรงเครื่องบินมีสูตรดังนี้: ปล่อยให้เส้นของดินสอขนานกันตัดตัวเลข Ф 1 และ Ф 2 ตามส่วนที่มีความยาวเท่ากัน (รูปที่ 1, c) จากนั้นพื้นที่ของตัวเลข Ф 1 และ Ф 2 จะเท่ากัน
หลักการที่คล้ายกันนี้ทำงานในสามมิติและมีประโยชน์ในการหาปริมาตร
ในศตวรรษที่ 17 มีการค้นพบมากมายที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสอินทิกรัล ดังนั้น ในปี 1629 พี. แฟร์มาต์ได้แก้ไขปัญหาการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของเส้นโค้งใดๆ y = xn โดยที่ n คือจำนวนเต็ม (นั่นคือ เขาจะได้สูตรโดยพื้นฐานแล้ว o x n dx = (1/n+1)x n+1) และบนพื้นฐานนี้ ฉันได้แก้ไขปัญหาหลายประการในการค้นหาจุดศูนย์ถ่วง I. เคปเลอร์เมื่อสรุปกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์อันโด่งดังของเขานั้นจริง ๆ แล้วอาศัยแนวคิดเรื่องการบูรณาการโดยประมาณ I. Barrow (1630-1677) ครูของนิวตัน เข้าใกล้ความเข้าใจถึงความเชื่อมโยงระหว่างการบูรณาการและความแตกต่าง งานแสดงฟังก์ชันในรูปแบบของอนุกรมกำลังมีความสำคัญอย่างยิ่ง
อย่างไรก็ตาม แม้ว่าผลลัพธ์ที่ได้รับจากนักคณิตศาสตร์ผู้สร้างสรรค์อย่างยิ่งยวดหลายคนในศตวรรษที่ 17 จะมีความสำคัญ แต่แคลคูลัสก็ยังไม่มีอยู่จริง จำเป็นต้องเน้นแนวคิดทั่วไปที่เป็นรากฐานของการแก้ปัญหาเฉพาะหลายประการ ตลอดจนสร้างความเชื่อมโยงระหว่างการดำเนินการของการสร้างความแตกต่างและการบูรณาการ ซึ่งให้อัลกอริธึมที่ค่อนข้างทั่วไป สิ่งนี้ทำโดยนิวตันและไลบ์นิซผู้ค้นพบข้อเท็จจริงที่เรียกว่าสูตรนิวตัน-ไลบนิซอย่างอิสระ ในที่สุดวิธีการทั่วไปก็เกิดขึ้น เขายังต้องเรียนรู้ที่จะค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันหลายๆ ฟังก์ชัน คำนวณแคลคูลัสเชิงตรรกะใหม่ ฯลฯ แต่สิ่งสำคัญได้ทำไปแล้ว: แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลได้ถูกสร้างขึ้นแล้ว
วิธีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้รับการพัฒนาอย่างแข็งขันในศตวรรษหน้า (ประการแรกคือชื่อของ L. Euler ซึ่งเสร็จสิ้นการศึกษาอย่างเป็นระบบเกี่ยวกับการบูรณาการฟังก์ชันเบื้องต้นและควรกล่าวถึง I. Bernoulli) นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย M.V. Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya. Bunyakovsky (1804-1889), P.L. Chebyshev (1821-1894) มีส่วนร่วมในการพัฒนาแคลคูลัสอินทิกรัล สิ่งที่สำคัญที่สุดโดยเฉพาะอย่างยิ่งคือผลลัพธ์ของ Chebyshev ซึ่งพิสูจน์ว่ามีอินทิกรัลที่ไม่สามารถแสดงออกผ่านฟังก์ชันเบื้องต้นได้
การนำเสนอทฤษฎีอินทิกรัลอย่างเข้มงวดปรากฏเฉพาะในศตวรรษที่ผ่านมาเท่านั้น วิธีแก้ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับชื่อของ O. Cauchy หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดนักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน B. Riemann (1826-1866) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส G. Darboux (1842-1917)
คำตอบสำหรับคำถามมากมายที่เกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของพื้นที่และปริมาตรของตัวเลขได้มาจากการสร้างทฤษฎีการวัดโดย C. Jordan (1838-1922)
แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับอินทิกรัลที่มีอยู่แล้วเมื่อต้นศตวรรษนี้ได้ถูกเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส A. Lebesgue (1875-1941) และ A. Denjoy (1884-1974) และ A. Ya. Khinchinchin นักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียต (1894- 2502)

§2 ความหมายและคุณสมบัติของอินทิกรัล

ถ้า F(x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) บนช่วง J แล้วแอนติเดริเวทีฟในช่วงนี้จะอยู่ในรูปแบบ F(x)+C โดยที่ CIR
คำนิยาม. เซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชัน f(x) บนช่วง J เรียกว่าอินทิกรัลจำกัดเขตของฟังก์ชัน f(x) ในช่วงเวลานี้ และเขียนแทนด้วย o f(x)dx
o f(x)dx = F(x)+C โดยที่ F(x) คือแอนติเดริเวทีฟบางค่าในช่วง J
f – ฟังก์ชันปริพันธ์, f(x) – นิพจน์ปริพันธ์, x – ตัวแปรอินทิเกรต, C – ค่าคงที่อินทิเกรต

คุณสมบัติของอินทิกรัลไม่ จำกัด

(ของ f(x)dx) ? = หรือ f(x)dx ,

ของ f(x)dx = F(x)+C โดยที่ F ?(x) = f(x)
(ของ f(x)dx) ?= (F(x)+C) ?= f(x)

ของ f ?(x)dx = f(x)+C – จากนิยาม
หรือ k f (x)dx = k of f?(x)dx

ถ้า k เป็นค่าคงที่ และ F ?(x)=f(x)
ตกลง f (x)dx = k F(x)dx = k(F(x)dx+C 1)= k ของ?(x)dx

o (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = o f(x)dx + o g(x)dx +...+ o h(x)dx

โอ (ฟ(x)+ก(x)+...+เอช(x))dx = o dx =
= โอ ?dx = F(x)+G(x)+...+H(x)+C=
= o f(x)dx + o g(x)dx +...+ o h(x)dx โดยที่ C=C 1 +C 2 +C 3 +...+C n

บูรณาการ

วิธีการแบบตาราง
วิธีการทดแทน

ถ้าปริพันธ์ไม่ใช่ปริพันธ์ของตาราง ก็เป็นไปได้ที่จะใช้วิธีนี้ (ไม่เสมอไป) ในการทำเช่นนี้คุณต้องมี:

แบ่งปริพันธ์ออกเป็นสองปัจจัย
กำหนดปัจจัยหนึ่งของตัวแปรใหม่
แสดงปัจจัยที่สองผ่านตัวแปรใหม่
สร้างอินทิกรัล ค้นหาค่าของมัน และทำการทดแทนแบบย้อนกลับ

หมายเหตุ: จะดีกว่าถ้ากำหนดตัวแปรใหม่ให้เป็นฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับนิพจน์ที่เหลือ

ตัวอย่าง:
1.
ให้ 3x 2 –1=t (t?0) หาอนุพันธ์ของทั้งสองข้าง:
6xdx = dt
xdx=dt/6

2.
o บาป x cos 3 x dx = o – t 3 dt = + C
ให้ cos x = t
-ซิน x dx = dt

วิธีแปลงจำนวนเต็มเป็นผลรวมหรือผลต่าง:

ตัวอย่าง:

o บาป 3x cos x dx = 1/2 o (บาป 4x + บาป 2x) dx = 1/8 cos 4x – ? เพราะ 2x + C

หรือ x 4 +3x 2 +1 หรือ 1 1
o---- dx = o(x 2 +2 – --–) dx = - x 2 + 2x – อาร์คแทน x + C
หรือ x 2 +1 หรือ x 2 +1 3

หมายเหตุ: เมื่อแก้ตัวอย่างนี้ เป็นการดีที่จะสร้างพหุนามด้วย "มุม"

ในบางส่วน

หากเป็นไปไม่ได้ที่จะหาอินทิกรัลในรูปแบบที่กำหนด แต่ในขณะเดียวกัน การหาแอนติเดริเวทีฟของปัจจัยหนึ่งและอนุพันธ์ของอีกปัจจัยหนึ่งนั้นทำได้ง่ายมาก คุณสามารถใช้สูตรได้
(คุณ(x)วี(x))’=u’(x)วี(x)+u(x)v(x)
คุณ'(x)v(x)=(u(x)v(x)+u(x)v'(x)
มาบูรณาการทั้งสองด้านกัน
คุณ'(x)v(x)dx=o (u(x)v(x))'dx – คุณ(x)v'(x)dx
คุณ'(x)v(x)dx=u(x)v(x)dx – คุณ(x)v'(x)dx

ตัวอย่าง:

o x cos (x) dx = o x dsin x = x sin x – o sin x dx = x sin x + cos x + C

x = คุณ(x)cos x = v’(x)

§3 สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

คำนิยาม. รูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันเครื่องหมายคงที่ต่อเนื่อง f(x) แกนแอบซิสซาและเส้นตรง x=a, x=b เรียกว่า สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

วิธีการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

ทฤษฎีบท. ถ้า f(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นลบบนเซ็กเมนต์ ดังนั้นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกันจะเท่ากับการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟ

ให้ไว้: f(x) – indef ต่อเนื่อง ฟังก์ชัน xI
พิสูจน์: S = F(b) – F(a) โดยที่ F(x) คือแอนติเดริเวทีฟของ f(x)
การพิสูจน์:

ให้เราพิสูจน์ว่า S(a) เป็นแอนติเดริเวทีฟของ f(x)
ง(ฉ) = ง(ส) =
S'(x 0)= lim(S(x 0 +Dx) – S(x 0) / Dx) โดยมี Dx®0 DS – สี่เหลี่ยมผืนผ้า

D x ® 0 พร้อมด้าน Dx และ f(x 0)
S’(x 0) = lim(Dx f(x 0) /Dx) = lim f(x 0)=f(x 0): เพราะว่า x0 คือจุด จากนั้น S(x) –
D x ® 0 D x ® 0 แอนติเดริเวทีฟ f(x)
ดังนั้น ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปแบบทั่วไปของแอนติเดริเวทีฟ S(x)=F(x)+C

เพราะ S(a)=0 จากนั้น S(a) = F(a)+C

ค = –ฟ้า

ส = ส(ข)=ฉ(ข)+C = ฉ(ข)–F(ก)

ครั้งที่สอง

ขีดจำกัดของผลรวมนี้เรียกว่าอินทิกรัลจำกัดเขต
ข
S tr = ของ f(x) dx
ก
ผลรวมที่ต่ำกว่าขีดจำกัดเรียกว่าผลรวมอินทิกรัล
อินทิกรัลจำกัดขอบเขตคือขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัลในช่วงที่ n®? ผลรวมอินทิกรัลจะได้มาจากขีดจำกัดของผลรวมผลคูณของความยาวของเซ็กเมนต์ที่ได้จากการหารโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่จุดใดก็ได้ในช่วงเวลานี้
a คือขีดจำกัดล่างของการอินทิเกรต
ข - ด้านบน

สูตรนิวตัน-ไลบนิซ

เมื่อเปรียบเทียบสูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเราสรุปได้:
ถ้า F เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับ b on แล้ว
ข
ของ f(x)dx = F(b)–F(a)
ก
ขข
ของ ฉ(x)dx = ฉ(x) o = ฉ(ข) – ฉ(ก)
ก

§4 ชุดรูปภาพมาตรฐาน

ขข S=ของ f(x)dx + o g(x)dx ก

§5 การประยุกต์ใช้อินทิกรัล

I. ในวิชาฟิสิกส์

งานแห่งกำลัง (A=FScosa, cosa ? 1)

ถ้าแรง F กระทำต่ออนุภาค พลังงานจลน์จะไม่คงที่ ในกรณีนี้ตาม
d(หมู่ 2 /2) = Fds
การเพิ่มขึ้นในพลังงานจลน์ของอนุภาคเมื่อเวลาผ่านไป dt เท่ากับผลคูณสเกลาร์ Fds โดยที่ ds คือการเคลื่อนที่ของอนุภาคในช่วงเวลา dt ขนาด
dA=Fds
เรียกว่างานที่ทำโดยแรง F

ปล่อยให้จุดเคลื่อนที่ไปตามแกน OX ภายใต้อิทธิพลของแรง ซึ่งเส้นโครงบนแกน OX เป็นฟังก์ชัน f(x) (f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง) ภายใต้อิทธิพลของแรง จุดเคลื่อนจากจุด S 1 (a) ไปยัง S 2 (b) ลองแบ่งส่วนออกเป็น n ส่วนซึ่งมีความยาวเท่ากัน Dx = (b – a)/n งานที่ทำโดยแรงจะเท่ากับผลรวมของงานที่ทำโดยแรงบนส่วนที่เป็นผลลัพธ์ เพราะ f(x) มีความต่อเนื่อง ดังนั้นสำหรับงานเล็กๆ ที่ทำโดยแรงบนส่วนนี้จะเท่ากับ f(a)(x 1 –a) ในทำนองเดียวกันในส่วนที่สอง f(x 1)(x 2 –x 1) บนส่วนที่ n - f(x n–1)(b–x n–1) ดังนั้นงานจึงเท่ากับ:

A » A n = f(a)Dx +f(x 1)Dx+...+f(x n–1)Dx=
= ((b–a)/n)(f(a)+f(x 1)+...+f(x n– 1))
ความเท่าเทียมกันโดยประมาณกลายเป็นค่าที่แน่นอนที่ n®?
ข
A = lim [(b–a)/n] (f(a)+...+f(x n–1))= o f(x)dx (ตามนิยาม)
n®? ก

ตัวอย่างที่ 1:
ปล่อยให้สปริงที่มีความแข็ง C และความยาว l ถูกบีบอัดให้เหลือครึ่งหนึ่งของความยาว จงหาค่าของพลังงานศักย์ Ep เท่ากับงาน A ที่กระทำโดยแรง –F(s) ความยืดหยุ่นของสปริงระหว่างการบีบอัด จากนั้น
ลิตร/2
E p = A= – o (–F(s)) dx
0
จากหลักสูตรกลศาสตร์จะทราบได้ว่า F(s) = –Cs
จากที่นี่เราพบว่า
ลิตร/2 ลิตร/2
อี p = – o (–Cs)ds = CS 2 /2 | = ค/2 ลิตร 2 /4
0 0
คำตอบ: Cl 2 /8

ตัวอย่างที่ 2:
จะต้องทำงานมากแค่ไหนในการยืดสปริงออก 4 ซม. ถ้ารู้ว่าภายใต้ภาระ 1 นิวตันจะยืดออก 1 ซม.
สารละลาย:
ตามกฎของฮุค แรง X N ซึ่งยืดสปริงออกด้วย x จะเท่ากับ X = kx เราหาค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน k จากเงื่อนไข: ถ้า x = 0.01 m แล้ว X = 1 N ดังนั้น k = 1/0.01 = 100 และ X = 100x แล้ว
(เจ)
คำตอบ: A=0.08 เจ

ตัวอย่างที่ 3:
ใช้เครนในการถอดโพรงคอนกรีตเสริมเหล็กออกจากก้นแม่น้ำลึก 5 ม. งานอะไรจะเกิดขึ้นถ้าโพรงมีรูปร่างของจัตุรมุขปกติที่มีขอบ 1 ม. ความหนาแน่นของคอนกรีตเสริมเหล็กคือ 2,500 กิโลกรัมต่อลูกบาศก์เมตร ความหนาแน่นของน้ำคือ 1,000 กิโลกรัมต่อลูกบาศก์เมตร
สารละลาย:
ย
0

ความสูงของจัตุรมุขคือ m ปริมาตรของจัตุรมุขคือ m 3 น้ำหนักของหลุมในน้ำโดยคำนึงถึงการกระทำของแรงอาร์คิมีดีนมีค่าเท่ากับ
(เจ)
ทีนี้มาดูงาน A i ตอนเอาแซะออกจากน้ำกันดีกว่า ปล่อยให้จุดยอดของจัตุรมุขมีความสูง 5+y จากนั้นปริมาตรของจัตุรมุขเล็กๆ ที่โผล่ออกมาจากน้ำจะเท่ากัน และน้ำหนักของจัตุรมุขคือ:
.
เพราะฉะนั้น,

(เจ)
ดังนั้น A=A 0 +A 1 =7227.5 J + 2082.5 J = 9310 J = 9.31 kJ
ตอบ: A=9.31 (J)

ตัวอย่างที่ 4:
แผ่นสี่เหลี่ยมความยาว a และความกว้าง b (a>b) จะได้รับแรงดันเท่าใด หากเอียงกับพื้นผิวแนวนอนของของเหลวในมุมหนึ่ง และด้านที่ใหญ่กว่าอยู่ที่ความลึก h?

ตอบ พ= .

พิกัดศูนย์กลางมวล

จุดศูนย์กลางของมวลคือจุดที่แรงโน้มถ่วงผลลัพธ์ผ่านไปสำหรับการจัดเรียงเชิงพื้นที่ของร่างกาย
ปล่อยให้แผ่นวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกัน o มีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง (x;y |a?x?b; 0?y?f(x)) และฟังก์ชัน y=f(x) ต่อเนื่องกัน และพื้นที่ของ ​​รูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งนี้มีค่าเท่ากับ S จากนั้นพิกัดของจุดศูนย์กลาง มวลของแผ่น o หาได้จากสูตร:
ขข
x 0 = (1/S) o x f(x) dx; y 0 = (1/2S) ของ 2 (x) dx;
ก

ตัวอย่างที่ 1:
ค้นหาจุดศูนย์กลางมวลของครึ่งวงกลมเอกพันธ์ที่มีรัศมี R
ลองวาดครึ่งวงกลมในระบบพิกัด OXY กัน

อาร์ อาร์
y = (1/2S) oO(R 2 –x 2)dx = (1/pR 2) oO(R 2 –x 2)dx =
–ร –อาร์
ร
= (1/พีอาร์ 2)(อาร์ 2 x–x 3 /3)|= 4R/3p
– อาร์
คำตอบ: M(0; 4R/3p)

ตัวอย่างที่ 2:
ค้นหาพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของรูปที่ล้อมรอบด้วยส่วนโค้งวงรี x=acost, y=bsint ซึ่งอยู่ในควอเตอร์แรก และแกนพิกัด
สารละลาย:
ในไตรมาสแรก เมื่อ x เพิ่มขึ้นจาก 0 เป็น a ค่า t จะลดลงจาก?/2 เป็น 0 ดังนั้น

เมื่อใช้สูตรสำหรับพื้นที่วงรี S=?ab เราได้

เส้นทางที่เดินทางโดยจุดวัสดุ
ถ้าจุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว u=u(t) และในช่วงเวลา T= t 2 –t 1 (t 2 >t 1) จุดวัสดุได้ผ่านเส้นทาง S แล้ว
ที2
S = คุณ(t)dt.
เสื้อ 1

ในเรขาคณิต

ปริมาตรเป็นลักษณะเชิงปริมาณของร่างกายเชิงพื้นที่ ลูกบาศก์ที่มีขอบ 1 มม. (1 dm, 1 m ฯลฯ ) ถือเป็นหน่วยวัดปริมาตร
จำนวนลูกบาศก์ของหน่วยปริมาตรที่วางอยู่ในวัตถุที่กำหนดคือปริมาตรของร่างกาย

สัจพจน์ของปริมาตร:

ปริมาณเป็นปริมาณที่ไม่เป็นลบ
ปริมาตรของวัตถุเท่ากับผลรวมของปริมาตรของวัตถุที่ประกอบเป็นวัตถุนั้น

มาหาสูตรคำนวณปริมาตรกัน:

เลือกแกน OX ในทิศทางของตำแหน่งของวัตถุนี้
เราจะกำหนดขอบเขตของตำแหน่งของร่างกายที่สัมพันธ์กับ OX
ขอแนะนำฟังก์ชันเสริม S(x) ที่ระบุความสอดคล้องต่อไปนี้: สำหรับแต่ละ x จากส่วนที่เราเชื่อมโยงพื้นที่หน้าตัดของรูปนี้กับระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนด x ตั้งฉากกับแกน OX
ลองแบ่งส่วนออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กันและวาดระนาบที่ตั้งฉากกับแกน OX ผ่านแต่ละจุดของพาร์ติชัน และร่างกายของเราจะแบ่งออกเป็นส่วนต่างๆ ตามสัจพจน์

V=V 1 +V 2 +...+V n =lim(S(x1)Dx +S(x2)Dx+...+S(xn)Dx
n®?
Dx®0 และ S k ®S k+1 และปริมาตรของชิ้นส่วนที่อยู่ระหว่างระนาบสองระนาบที่อยู่ติดกัน เท่ากับปริมาตรของกระบอกสูบ V c =S main H
เรามีผลรวมของผลคูณของค่าฟังก์ชันที่จุดพาร์ติชันตามขั้นตอนพาร์ติชัน เช่น ผลรวมปริพันธ์ ตามคำนิยามของอินทิกรัลจำกัดขอบเขตของผลรวมนี้ของ n®? เรียกว่าอินทิกรัล

ก
V = o S(x)dx โดยที่ S(x) คือส่วนของระนาบที่ผ่านไป
b เลือกจุดตั้งฉากกับแกน OX

หากต้องการค้นหาระดับเสียงที่คุณต้องการ:
1) เลือกแกน OX ในวิธีที่สะดวก
2) กำหนดขอบเขตของตำแหน่งของวัตถุนี้สัมพันธ์กับแกน
3) สร้างส่วนของร่างกายนี้โดยมีระนาบตั้งฉากกับแกน OX และผ่านจุดที่สอดคล้องกัน
4) แสดงฟังก์ชันที่แสดงพื้นที่ของส่วนที่กำหนดผ่านปริมาณที่ทราบ
5) เขียนอินทิกรัล
6) หลังจากคำนวณอินทิกรัลแล้ว ให้หาปริมาตร

ตัวอย่างที่ 1:
ค้นหาปริมาตรของวงรีสามแกน

สารละลาย:
ส่วนระนาบของทรงรีขนานกับระนาบ xOz และเว้นระยะห่างจากระนาบนั้นที่ระยะ y=h แทนวงรี

พร้อมแกนเพลาและ...
เรามาค้นหาพื้นที่ของส่วนนี้กันดีกว่า
.
มาหาปริมาตรของวงรี:

ตัวอย่างที่ 2:
จงหาปริมาตรของวัตถุที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว โดยมีความสูง h และฐาน a ภาพตัดขวางของตัววัตถุคือส่วนของพาราโบลาที่มีคอร์ดเท่ากับความสูงของส่วนนั้น

สารละลาย:
เรามี ให้เราแสดงพื้นที่หน้าตัดเป็นฟังก์ชันของ z ซึ่งเราจะหาสมการของพาราโบลาก่อน ความยาวของคอร์ด DE สามารถหาได้จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกัน กล่าวคือ
เหล่านั้น. . ให้เราสมมติว่าสมการของพาราโบลาในระบบพิกัด uKv จะอยู่ในรูปแบบ จากที่นี่เราจะพบพื้นที่หน้าตัดของร่างกายนี้:
หรือ.
ดังนั้น, .
คำตอบ:
ปริมาณของตัวเลขการหมุน

วัตถุที่ได้รับจากการหมุนของรูปทรงแบนสัมพันธ์กับแกนบางแกนเรียกว่ารูปทรงของการหมุน
ฟังก์ชัน S(x) ของรูปการหมุนเป็นรูปวงกลม
S sech = ราคา 2
ส วินาที (x)=p f 2 (x)

ความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งระนาบ

ให้ฟังก์ชัน y = f(x) บนเซกเมนต์มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง y' = f'(x) ในกรณีนี้ความยาวส่วนโค้ง l ของ "ส่วน" ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x), xI สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

ตัวอย่างที่ 1:
ค้นหาความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้งตั้งแต่ x=0 ถึง x=1 (y?0)
สารละลาย:
เราพบการสร้างความแตกต่างสมการของเส้นโค้ง ดังนั้น,
.
คำตอบ: .

บทสรุป
อินทิกรัลใช้ในวิทยาศาสตร์ เช่น ฟิสิกส์ เรขาคณิต คณิตศาสตร์ และวิทยาศาสตร์อื่นๆ การคำนวณการทำงานของแรงโดยใช้อินทิกรัลพบพิกัดของจุดศูนย์กลางมวลและเส้นทางที่เดินทางโดยจุดวัสดุ ในเรขาคณิต ใช้ในการคำนวณปริมาตรของวัตถุ ค้นหาความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้ง ฯลฯ
วรรณกรรม

N.Ya.Vilenkin, O.S.Ivashev-Musatov, S.I.Shvartburd พีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ / ม.: 2536

I.V.Savelyev หลักสูตรฟิสิกส์ทั่วไป เล่ม 1/ ม.: 1982

เอ.พี. ซาวิน่า. พจนานุกรมคณิตศาสตร์อธิบาย เงื่อนไขพื้นฐาน / ม.: ภาษารัสเซีย, 2532

วิชาพลศึกษา. ดันโก เอ.จี. โปปอฟ, ที.ยา. โคเซฟนิคอฟ. คณิตศาสตร์ชั้นสูงในแบบฝึกหัดและโจทย์ ตอนที่ 1/ อ.: โอนิกซ์ ศตวรรษที่ 21 พ.ศ. 2546

จี.ไอ. ซาโปโรเชตส์ คู่มือการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ / ม.: อุดมศึกษา, 2507.

N.Ya. วิเลนคิน. “ หนังสือปัญหาสำหรับหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์” / M.: Prosveshchenie, 1971

แอล.ดี. คุดรยาฟต์เซฟ. “ หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์” เล่มที่ 1 / ม.: มัธยมปลาย, 2531

วลาดิมีร์ 2545

มหาวิทยาลัยแห่งรัฐ Vladimir ภาควิชาฟิสิกส์ทั่วไปและประยุกต์

การแนะนำ

สัญลักษณ์อินทิกรัลถูกนำมาใช้ในปี 1675 และมีการศึกษาคำถามเกี่ยวกับแคลคูลัสอินทิกรัลมาตั้งแต่ปี 1696 แม้ว่านักคณิตศาสตร์จะศึกษาอินทิกรัลเป็นหลัก แต่นักฟิสิกส์ก็มีส่วนสนับสนุนวิทยาศาสตร์นี้เช่นกัน แทบจะไม่มีสูตรทางฟิสิกส์ใดที่สามารถทำได้หากไม่มีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล ดังนั้นฉันจึงตัดสินใจสำรวจอินทิกรัลและการประยุกต์ของมัน

ประวัติความเป็นมาของแคลคูลัสอินทิกรัล

ประวัติความเป็นมาของแนวคิดอินทิกรัลมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับปัญหาการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส นักคณิตศาสตร์แห่งกรีกโบราณและโรมเรียกปัญหาเรื่องการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของรูปแบนๆ เพื่อคำนวณพื้นที่ คำภาษาละติน quadratura แปลว่า "กำลังสอง" ความจำเป็นในการใช้คำศัพท์พิเศษอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าในสมัยโบราณ (และต่อมาจนถึงศตวรรษที่ 18) แนวคิดเกี่ยวกับจำนวนจริงยังไม่ได้รับการพัฒนาเพียงพอ นักคณิตศาสตร์ดำเนินการโดยใช้เรขาคณิตที่คล้ายคลึงกันหรือปริมาณสเกลาร์ซึ่งไม่สามารถคูณได้ ดังนั้นจึงต้องกำหนดปัญหาในการหาพื้นที่ เช่น “สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากับวงกลมที่กำหนด” (ดังที่เรารู้กันว่าปัญหาคลาสสิก “เรื่องกำลังสองของวงกลม” ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศและไม้บรรทัด)

สัญลักษณ์ ò ถูกนำมาใช้โดยไลบ์นิซ (1675) ป้ายนี้ เป็นการเปลี่ยนอักษรละติน S (อักษรตัวแรกของคำ สรุปก) คำว่าอินทิกรัลนั้นถูกคิดค้นโดย Ya. B เอ่อฉันจะได้ (1690) อาจจะโอ้ มันมาจากภาษาละติน จำนวนเต็ม, ที่ แปลแล้ววิธีทำให้กลับคืนสู่สถานะเดิม, คืนค่า. (จริงหรือ,การดำเนินการรวมจะคืนค่า การทำงาน,โดยการแยกความแตกต่างซึ่งเราได้รับปริพันธ์ การทำงาน.)บางทีที่มาของคำว่า int gral อาจแตกต่างออกไป: คำนี้ จำนวนเต็มหมายถึงทั้งหมด

ในวรรณคดีสมัยใหม่มีมากมาย ดั้งเดิมสำหรับฟังก์ชัน f (เอ็กซ์)เรียกอีกอย่างว่าอินทิกรัลไม่ จำกัด แนวคิดนี้เน้นโดยไลบ์นิซซึ่งตั้งข้อสังเกตว่าเป็นแนวคิดแรก เป็นรูปเป็นร่างฟังก์ชันจะแตกต่างกันไปตามค่าคงที่ที่กำหนดเอง ข

เรียกว่าอินทิกรัลจำกัดเขต (ชื่อนี้แนะนำโดย K. ฟูริเยร์(พ.ศ. 2311-2373) แต่ได้ระบุขอบเขตของการบูรณาการไว้แล้ว เฮ้เลอร์)

ความสำเร็จที่สำคัญหลายประการของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณในการแก้ปัญหาการค้นหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส (เช่น จ.การคำนวณพื้นที่) ของตัวเลขเครื่องบินตลอดจนลูกบาศก์ (การคำนวณปริมาตร) ของร่างกายเกี่ยวข้องกับการใช้วิธีหมดแรงที่เสนอโดย Eudoxus of Cnidus (ประมาณ 408 - ประมาณ 355 ปีก่อนคริสตกาล) โดยใช้วิธีนี้ Eudoxus พิสูจน์ว่าพื้นที่ของวงกลมสองวงมีความสัมพันธ์กันเป็นกำลังสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง และปริมาตรของกรวยเท่ากับ 1/3 ของปริมาตรของทรงกระบอกที่มีฐานและความสูงเท่ากัน

วิธีการของ Eudoxus ได้รับการปรับปรุงโดย Archimedes ขั้นตอนหลักที่แสดงลักษณะของวิธีการ อาร์คิมีดีส: 1) พิสูจน์ได้ว่าพื้นที่ของวงกลมนั้นน้อยกว่าพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติใด ๆ ที่อธิบายไว้รอบ ๆ แต่มากกว่าพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ ที่ถูกจารึกไว้ 2) ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเมื่อเพิ่มจำนวนด้านเป็นสองเท่าไม่จำกัด ความแตกต่างในพื้นที่ของหลายด้านเหล่านี้ ถ่านหิน ikov มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ 3) ในการคำนวณพื้นที่ของวงกลม ยังคงต้องหาค่าที่อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติมีแนวโน้มเมื่อจำนวนด้านเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าไม่จำกัด

อาร์คิมิดีสใช้วิธีหมดแรงและข้อพิจารณาอันชาญฉลาดอื่นๆ หลายประการ (รวมถึงการใช้แบบจำลองทางกลศาสตร์) สามารถแก้ปัญหาได้มากมาย เขาให้ค่าประมาณของจำนวน p (3.10/71

อาร์คิมิดีสคาดการณ์แนวคิดหลายประการเกี่ยวกับแคลคูลัสอินทิกรัลไว้ (เราเสริมว่าในทางปฏิบัติเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทแรกเกี่ยวกับขีดจำกัดแล้ว) แต่ต้องใช้เวลานานกว่าหนึ่งพันห้าพันปีก่อนที่แนวคิดเหล่านี้จะแสดงออกอย่างชัดเจนและถูกนำขึ้นสู่ระดับแคลคูลัส

นักคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 17 ซึ่งได้รับผลลัพธ์ใหม่มากมายได้เรียนรู้จากผลงานของอาร์คิมีดีส อีกวิธีหนึ่งก็ถูกนำมาใช้อย่างแข็งขันเช่นกัน - วิธีการแบ่งแยกไม่ได้ซึ่งมีต้นกำเนิดในสมัยกรีกโบราณด้วย (มีความเกี่ยวข้องเป็นหลักกับมุมมองแบบอะตอมมิกของพรรคเดโมคริตุส) เช่น เส้นโค้ง สี่เหลี่ยมคางหมู(รูปที่ 1, a) พวกเขาจินตนาการว่า f(x) ประกอบด้วยส่วนแนวตั้งที่มีความยาว ซึ่งพวกเขาก็ถือว่าเป็นเช่นนั้น ไม่ว่าพื้นที่เท่ากับค่าน้อยที่สุด f(x) ตามความเข้าใจนี้ พื้นที่ที่ต้องการจะถือว่าเท่ากับผลรวม

พื้นที่ขนาดเล็กอนันต์จำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุด บางครั้งก็เน้นย้ำด้วยซ้ำว่าแต่ละพจน์ในผลรวมนี้เป็นศูนย์ แต่เป็นศูนย์ชนิดพิเศษซึ่งเมื่อบวกกับจำนวนอนันต์แล้ว จะให้ผลรวมบวกที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน

อย่างน้อยก็อย่างที่ดูเหมือนตอนนี้ น่าสงสัยอ้างอิงจาก J. Kepler (1571-1630) ในงานเขียนของเขาเรื่อง New Astronomy

(1609) และ “สามมิติของถังไวน์” (1615) คำนวณพื้นที่จำนวนหนึ่งอย่างถูกต้อง (เช่น พื้นที่ของร่างที่ล้อมรอบด้วยวงรี) และปริมาตร (ร่างกายถูกตัดเป็นแผ่นบางเฉียบ 6 แผ่น) การศึกษาเหล่านี้ดำเนินต่อไปโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี B. Cavalieri (1598-1647) และ E. Torricelli (1608-1647) หลักการที่กำหนดโดย B. Cavalieri ซึ่งแนะนำโดยเขาภายใต้สมมติฐานเพิ่มเติมบางประการ ยังคงมีความสำคัญในยุคของเรา

ปล่อยให้จำเป็นต้องหาพื้นที่ของรูปที่แสดงในรูปที่ 1,b โดยที่เส้นโค้งที่ล้อมรอบรูปด้านบนและด้านล่างมีสมการ y = f(x) และ y=f(x)+c

เมื่อจินตนาการถึงรูปร่างที่ประกอบด้วยคอลัมน์ที่ "แบ่งแยกไม่ได้" ตามศัพท์เฉพาะของคาวาเลียรี ซึ่งเป็นคอลัมน์ที่บางเป็นอนันต์ เราสังเกตเห็นว่าคอลัมน์ทั้งหมดมีความยาวรวม c เมื่อเคลื่อนพวกมันไปในแนวตั้ง เราก็จะสามารถสร้างพวกมันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐาน b-a และความสูง c ได้ ดังนั้นพื้นที่ที่ต้องการจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผลลัพธ์นั่นคือ

ส = S1 = ค (ข – ก)

หลักการทั่วไปของ Cavalieri สำหรับพื้นที่ของรูปทรงเครื่องบินมีสูตรดังนี้: ให้เส้นของดินสอแนวขนานตัดกันตัวเลข Ф1 และ Ф2 ตามส่วนที่มีความยาวเท่ากัน (รูปที่ 1c) ดังนั้นพื้นที่ของรูป F1 และ F2 จะเท่ากัน

หลักการที่คล้ายกันนี้ทำงานในสามมิติและมีประโยชน์ในการหาปริมาตร

ในศตวรรษที่ 17 มีการค้นพบมากมายที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสอินทิกรัล ดังนั้น ในปี 1629 พี. แฟร์มาต์ได้แก้ปัญหาการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของเส้นโค้งใดๆ y = xn โดยที่ n คือจำนวนเต็ม (นั่นคือ เขาจะได้สูตร ò xndx = (1/n+1)xn+1) และ บนพื้นฐานนี้ได้แก้ไขปัญหาต่างๆ เพื่อค้นหาจุดศูนย์ถ่วง I. เคปเลอร์เมื่อสรุปกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์อันโด่งดังของเขานั้นจริง ๆ แล้วอาศัยแนวคิดเรื่องการบูรณาการโดยประมาณ I. Barrow (1630-1677) ครูของนิวตัน เข้าใกล้ความเข้าใจถึงความเชื่อมโยงระหว่างการบูรณาการและความแตกต่าง งานแสดงฟังก์ชันในรูปแบบของอนุกรมกำลังมีความสำคัญอย่างยิ่ง

อย่างไรก็ตาม แม้ว่าผลลัพธ์ที่ได้รับจากนักคณิตศาสตร์ผู้สร้างสรรค์อย่างยิ่งยวดหลายคนในศตวรรษที่ 17 จะมีความสำคัญ แต่แคลคูลัสก็ยังไม่มีอยู่จริง จำเป็นต้องเน้นแนวคิดทั่วไปที่เป็นรากฐานของการแก้ปัญหาเฉพาะหลายประการ ตลอดจนสร้างความเชื่อมโยงระหว่างการดำเนินการของการสร้างความแตกต่างและการบูรณาการ ซึ่งให้อัลกอริธึมที่ค่อนข้างทั่วไป สิ่งนี้ทำโดยนิวตันและไลบ์นิซผู้ค้นพบข้อเท็จจริงที่เรียกว่าสูตรนิวตัน-ไลบนิซอย่างอิสระ ในที่สุดวิธีการทั่วไปก็เกิดขึ้น เขายังต้องเรียนรู้ที่จะค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันหลายๆ ฟังก์ชัน คำนวณแคลคูลัสเชิงตรรกะใหม่ ฯลฯ แต่สิ่งสำคัญได้ทำไปแล้ว: แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลได้ถูกสร้างขึ้นแล้ว

วิธีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้รับการพัฒนาอย่างแข็งขันในศตวรรษหน้า (ประการแรกคือชื่อของ L. Euler ซึ่งเสร็จสิ้นการศึกษาอย่างเป็นระบบเกี่ยวกับการบูรณาการฟังก์ชันเบื้องต้นและควรกล่าวถึง I. Bernoulli) นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย M.V.Ostrogradsky (1801-1862), V.Ya.Bunyakovsky (1804-1889), P.L.Byshev (1821-1894) มีส่วนร่วมในการพัฒนาแคลคูลัสอินทิกรัล สิ่งที่สำคัญที่สุดโดยเฉพาะอย่างยิ่งคือผลลัพธ์ของ Chebyshev ซึ่งพิสูจน์ว่ามีอินทิกรัลที่ไม่สามารถแสดงออกผ่านฟังก์ชันเบื้องต้นได้

การนำเสนอทฤษฎีอินทิกรัลอย่างเข้มงวดปรากฏเฉพาะในศตวรรษที่ผ่านมาเท่านั้น วิธีแก้ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับชื่อของ O. Cauchy หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดนักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน B. Riemann (1826-1866) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส G. Darboux (1842-1917)

คำตอบสำหรับคำถามมากมายที่เกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของพื้นที่และปริมาตรของตัวเลขได้มาจากการสร้างทฤษฎีการวัดโดย C. Jordan (1838-1922)

เมื่อคลิกที่ปุ่ม "ดาวน์โหลดที่เก็บถาวร" คุณจะดาวน์โหลดไฟล์ที่คุณต้องการได้ฟรี
ก่อนที่จะดาวน์โหลดไฟล์นี้ ลองนึกถึงเรียงความ ข้อสอบ ภาคเรียน วิทยานิพนธ์ บทความ และเอกสารอื่นๆ ดีๆ ที่ไม่มีผู้อ้างสิทธิ์ในคอมพิวเตอร์ของคุณ นี่คืองานของคุณควรมีส่วนร่วมในการพัฒนาสังคมและเป็นประโยชน์ต่อผู้คน ค้นหาผลงานเหล่านี้และส่งไปยังฐานความรู้
พวกเราและนักศึกษา นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา นักวิทยาศาสตร์รุ่นใหม่ ที่ใช้ฐานความรู้ในการศึกษาและทำงานทุกท่าน จะรู้สึกขอบคุณเป็นอย่างยิ่ง

หากต้องการดาวน์โหลดไฟล์เก็บถาวรด้วยเอกสาร ให้ป้อนตัวเลขห้าหลักในช่องด้านล่างแล้วคลิกปุ่ม "ดาวน์โหลดไฟล์เก็บถาวร"

_ _ ___ ___ ___ _____
| || | / _ \ / _ \ |__ \ | ____|
| || |_ | | | | | | | |) | | |__
|__ _| | | | | | | | | / / |___ \
| | | |_| | | |_| | / /_ ___) |
|_| \___/ \___/ |____| |____/

กรอกหมายเลขที่แสดงด้านบน:

เอกสารที่คล้ายกัน

รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับประวัติความเป็นมาของแนวคิดอินทิกรัล การแพร่กระจายของแคลคูลัสอินทิกรัล การค้นพบสูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ สัญลักษณ์จำนวนเงิน การขยายแนวคิดเรื่องผลรวม คำอธิบายความจำเป็นในการแสดงปรากฏการณ์ทางกายภาพทั้งหมดในรูปแบบของสูตรทางคณิตศาสตร์

การนำเสนอเพิ่มเมื่อ 26/01/2558


แนวคิดเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ในงานของนักคณิตศาสตร์สมัยโบราณ คุณสมบัติของวิธีหมดแรง ประวัติความเป็นมาของการค้นหาสูตรปริมาตรของพรูเคปเลอร์ เหตุผลทางทฤษฎีของหลักการของแคลคูลัสอินทิกรัล (หลักการของ Cavalieri) แนวคิดของอินทิกรัลจำกัดเขต

การนำเสนอเพิ่มเมื่อ 07/05/2016


ประวัติความเป็นมาของแคลคูลัสอินทิกรัล ความหมายและคุณสมบัติของอินทิกรัลสองเท่า การตีความทางเรขาคณิต การคำนวณในพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว ลดการทำซ้ำ การประยุกต์ทางเศรษฐศาสตร์และเรขาคณิตในการคำนวณปริมาตรและพื้นที่

งานหลักสูตร เพิ่มเมื่อ 10/16/2013


คำจำกัดความของอินทิกรัลส่วนโค้งเหนือพิกัด คุณสมบัติพื้นฐาน และการคำนวณ เงื่อนไขสำหรับความเป็นอิสระของอินทิกรัลส่วนโค้งจากเส้นทางของการอินทิเกรต การคำนวณพื้นที่ของตัวเลขโดยใช้อินทิกรัลคู่ โดยใช้สูตรของกรีน

ทดสอบเพิ่มเมื่อ 23/02/2554


เงื่อนไขของการมีอยู่ของอินทิกรัลจำกัดเขต การประยุกต์แคลคูลัสอินทิกรัล แคลคูลัสอินทิกรัลในเรขาคณิต การประยุกต์เชิงกลของอินทิกรัลจำกัดเขต แคลคูลัสอินทิกรัลในชีววิทยา แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ทางเศรษฐศาสตร์

งานหลักสูตรเพิ่มเมื่อ 21/01/2551


ประวัติความเป็นมาของแคลคูลัสอินทิกรัลและดิฟเฟอเรนเชียล การประยุกต์อินทิกรัลจำกัดขอบเขตในการแก้ปัญหาบางประการทางกลศาสตร์และฟิสิกส์ โมเมนต์และจุดศูนย์กลางมวลของเส้นโค้งระนาบ ทฤษฎีบทของกุลเดน สมการเชิงอนุพันธ์. ตัวอย่างการแก้ปัญหาใน MatLab

บทคัดย่อเพิ่มเมื่อ 09/07/2552


แนวคิดของอินทิกรัล Stieltjes เงื่อนไขทั่วไปสำหรับการดำรงอยู่ของอินทิกรัลของ Stieltjes ประเภทของกรณีของการดำรงอยู่ของมันและการผ่านไปสู่ขอบเขตภายใต้สัญลักษณ์ของมัน การลดอินทิกรัลของ Stieltjes ให้เป็นอินทิกรัลของ Riemann การประยุกต์ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและกลศาสตร์ควอนตัม

วิทยานิพนธ์เพิ่มเมื่อ 20/07/2552

สไลด์ 1

MKOU "โรงเรียนมัธยม Bolsheatlymsk" หัวข้อ: "บูรณาการและการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ" การบรรจบกันของทฤษฎีกับการฝึกฝนให้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดและไม่เพียงแต่จะได้ประโยชน์จากการฝึกฝนเท่านั้น แต่วิทยาศาสตร์เองก็พัฒนาภายใต้อิทธิพลของมันด้วย ป.ล. เชบีเชฟ

สไลด์ 2

เสร็จสิ้นโดย: Nikolay Ershov นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 หัวหน้า: Dedovets Nadezhda Artemovna ครูคณิตศาสตร์ S. Bolshoy Atlym ปีการศึกษา 2555-2556 ปี

สไลด์ 3

วัตถุประสงค์ของงาน: ขยายขอบเขตความรู้ทางคณิตศาสตร์ พัฒนาความคิดเชิงตรรกะ หาสูตรทั่วไปที่ช่วยให้คุณแก้ปัญหาการรวมได้ แสดงให้เห็นว่าอินทิกรัลถูกใช้อย่างแพร่หลายในด้านต่างๆ ของชีวิต

สไลด์ 4

วัตถุประสงค์การวิจัย: - รวบรวม ศึกษา และจัดระบบเนื้อหาเกี่ยวกับอินทิกรัล - พิจารณาว่าอินทิกรัลถูกนำมาใช้ในการแก้ไขสถานการณ์ชีวิตต่างๆอย่างไร - การใช้อินทิกรัลในด้านต่างๆ ของชีวิต วัตถุประสงค์การศึกษา: สาขาวิชาคณิตศาสตร์ - บูรณาการ

สไลด์ 5

ประวัติเล็กน้อย -1675 ตีพิมพ์ในปี 1686 แนะนำโดย G. Leibniz - 1675, J Lagrange ศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช กรัมอื่น ๆ นักวิทยาศาสตร์เดโมคริตุส 3-4 ศตวรรษก่อนคริสต์ศักราช อาร์คิมิดีสได้แนะนำวิธีการหมดแรง

สไลด์ 6

สไลด์ 7

“อินทิกรัล” ถูกประดิษฐ์ขึ้นโดย J. Bernoulli (1690) “เพื่อฟื้นฟู” จากจำนวนเต็มภาษาละติน “ทั้งหมด” จากจำนวนเต็มภาษาละติน

สไลด์ 8

สไลด์ 9

Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716) “ศิลปะทั่วไปของป้ายเป็นตัวช่วยที่ยอดเยี่ยม เนื่องจากช่วยคลายจินตนาการ... ควรใช้ความระมัดระวังเพื่อให้แน่ใจว่าป้ายนั้นสะดวกในการค้นพบ การกำหนดเป็นการแสดงออกถึงสาระสำคัญของสิ่งต่าง ๆ โดยสังเขป จากนั้นงานแห่งความคิดก็ลดลงอย่างน่าอัศจรรย์” ไลบ์นิซ

สไลด์ 10

สไลด์ 11

สไลด์ 12

พื้นที่ของรูป ปริมาตรของวัตถุที่หมุน งานของประจุไฟฟ้า งานของแรงแปรผัน การแทนที่มวล สมการเชิงอนุพันธ์ ความดัน ปริมาณความร้อน

สไลด์ 13

ภารกิจ: ค้นหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมเอียงที่มีฐาน S และความสูง h 1. ขอแนะนำแกน OX ที่ตั้งฉากกับฐานของปริซึม 2. (ABC) OX=a, a=0, (A1B1C1) OX=b, b=h 3. ลองวาดระนาบตั้งฉากกับ OX ผ่านจุดด้วย abscissa x A2B2C2 เป็นรูปสามเหลี่ยมเท่ากับฐาน พื้นที่ของ A2B2C2 เท่ากับ S คำตอบ: V=Sh 4. S(x) เปิดต่อเนื่อง

สไลด์ 14

จากการทดลองเป็นที่ทราบกันว่าอัตราการแพร่พันธุ์ของแบคทีเรียนั้นแปรผันตามจำนวนของมัน จะต้องใช้เวลานานเท่าใดกว่าจำนวนแบคทีเรียจะเพิ่มขึ้น m เท่าเมื่อเทียบกับค่าเริ่มต้น วิธีแก้: ให้ x(t) เป็นจำนวนแบคทีเรีย ณ เวลา t x(0) = x0. การเปลี่ยนแปลงจำนวนแบคทีเรียเมื่อเวลาผ่านไปอธิบายได้ด้วยสมการ x´(t) = kx(t), k>0, ln|x| = kt+ln|C|, x=ekteln|C| , x=Cekt - ผลเฉลยทั่วไปของสมการ งาน

สไลด์ 15

อาร์คิมิดีสค้นพบพื้นที่ของตัวเลขได้สำเร็จแล้วแม้ว่าในวิชาคณิตศาสตร์ในยุคของเขาจะไม่มีแนวคิดเรื่องอินทิกรัลก็ตาม แต่แคลคูลัสอินทิกรัลเท่านั้นที่ให้วิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาจากสาขาวิทยาศาสตร์ต่างๆ ไม่น่าแปลกใจเลยแม้แต่กวีก็ยังยกย่องส่วนสำคัญ ความหมายคือ โดยที่งูของอินทิกรัลอยู่ระหว่างตัวเลขและตัวอักษร ระหว่าง d และ f มีพลังมีเตาหลอมที่สร้างสรรค์! ก่อนความประสงค์ของตัวเลขทุกคนเป็นทาส และดวงอาทิตย์ก็หลีกทางไป เชื่อฟังคำปราศรัยและการทำนายอันเงียบงัน V. Bryusov

สไลด์ 18

ข้อสรุป การใช้แบบจำลองทางกายภาพเมื่อแนะนำแนวคิดของอินทิกรัลโดยพิจารณาคุณสมบัติของมันการพัฒนาเทคนิคการบูรณาการและการศึกษาการใช้งานมีส่วนช่วยในการดูดซับวัสดุคุณภาพสูงอย่างมีสติการพัฒนาความเข้าใจที่ถูกต้องของแนวคิดที่กำลังศึกษาอยู่มหาศาล ความสำคัญในวิทยาศาสตร์ต่าง ๆ การก่อตัวของโลกทัศน์คุณสมบัติพิเศษเช่นความสามารถในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการและปรากฏการณ์จริงสำรวจและศึกษาสิ่งเหล่านี้ดังนั้นจึงมีส่วนช่วยในการพัฒนาความคิดความจำความสนใจและคำพูด