อัตราส่วนของไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน สูตรผสม และที่มา

จะได้รับความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ สูตรตรีโกณมิติ. และเนื่องจากมีการเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติค่อนข้างมาก นี่จึงอธิบายสูตรตรีโกณมิติที่มีอยู่มากมาย บางสูตรเชื่อมต่อฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียวกัน, สูตรอื่น ๆ - ฟังก์ชั่นของหลายมุม, สูตรอื่น ๆ - อนุญาตให้คุณลดระดับ, ที่สี่ - แสดงฟังก์ชันทั้งหมดผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม ฯลฯ

ในบทความนี้เราจะแสดงรายการตามลำดับหลักทั้งหมด สูตรตรีโกณมิติซึ่งเพียงพอที่จะแก้ปัญหาตรีโกณมิติส่วนใหญ่ได้ เพื่อความสะดวกในการท่องจำและการใช้งาน เราจะจัดกลุ่มตามวัตถุประสงค์และป้อนลงในตาราง

การนำทางหน้า

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

ขั้นพื้นฐาน อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง เป็นไปตามคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ตลอดจนแนวคิดเรื่องวงกลมหน่วย ช่วยให้คุณสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งฟังก์ชันในแง่ของฟังก์ชันอื่นๆ ได้

หากต้องการทราบคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับสูตรตรีโกณมิติ ที่มา และตัวอย่างการใช้ โปรดดูบทความ

สูตรลด

สูตรลดตามมาจากคุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ กล่าวคือ สะท้อนคุณสมบัติของคาบ ฟังก์ชันตรีโกณมิติคุณสมบัติของความสมมาตรตลอดจนคุณสมบัติของการเลื่อนตามมุมที่กำหนด สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ช่วยให้คุณเปลี่ยนจากการทำงานกับมุมใดก็ได้ไปเป็นการทำงานกับมุมตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา

เหตุผลของสูตรเหล่านี้ก็คือ กฎช่วยในการจำเพื่อจดจำและตัวอย่างการใช้งานสามารถศึกษาได้ในบทความ

สูตรการบวก

สูตรการบวกตรีโกณมิติแสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลรวมหรือผลต่างของสองมุมแสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านั้นอย่างไร สูตรเหล่านี้ทำหน้าที่เป็นพื้นฐานในการหาสูตรตรีโกณมิติต่อไปนี้

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม (เรียกอีกอย่างว่าสูตรหลายมุม) แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของ double, triple ฯลฯ เป็นอย่างไร มุม () แสดงในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียว ที่มาของมันขึ้นอยู่กับสูตรการบวก

ข้อมูลรายละเอียดเพิ่มเติมถูกรวบรวมไว้ในบทความสูตรสำหรับ double, triple เป็นต้น มุม

สูตรครึ่งมุม

สูตรครึ่งมุมแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของครึ่งมุมแสดงออกมาในรูปของโคไซน์ของมุมทั้งหมดอย่างไร สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ตามมาจากสูตรมุมคู่

บทสรุปและตัวอย่างการใช้งานสามารถดูได้ในบทความ

สูตรลดระดับ

สูตรตรีโกณมิติสำหรับการลดองศามีวัตถุประสงค์เพื่ออำนวยความสะดวกในการเปลี่ยนจาก องศาธรรมชาติฟังก์ชันตรีโกณมิติกับไซน์และโคไซน์ถึงระดับแรกแต่มีหลายมุม กล่าวอีกนัยหนึ่งคืออนุญาตให้คุณลดกำลังของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นอันดับแรก

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จุดประสงค์หลัก สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติคือไปที่ผลคูณของฟังก์ชัน ซึ่งมีประโยชน์มากเมื่อทำให้นิพจน์ตรีโกณมิติง่ายขึ้น สูตรเหล่านี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ เนื่องจากช่วยให้คุณสามารถแยกตัวประกอบผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ได้

สูตรผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์ต่อโคไซน์

การเปลี่ยนจากผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นผลรวมหรือผลต่างทำได้โดยใช้สูตรสำหรับผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์ด้วยโคไซน์

บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.

พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3

Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

ลิขสิทธิ์โดยนักเรียนที่ฉลาด

สงวนลิขสิทธิ์.
ได้รับการคุ้มครองตามกฎหมายลิขสิทธิ์ ห้ามทำซ้ำส่วนใดส่วนหนึ่งของ www.site รวมถึงเนื้อหาภายในและรูปลักษณ์ภายนอกในรูปแบบใดๆ หรือใช้โดยไม่ได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรล่วงหน้าจากผู้ถือลิขสิทธิ์

เมื่อพิจารณาปัญหาในการแก้สามเหลี่ยมมุมฉาก ฉันสัญญาว่าจะนำเสนอเทคนิคในการจำคำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ เมื่อใช้มัน คุณจะจำได้อย่างรวดเร็วเสมอว่าด้านใดเป็นของด้านตรงข้ามมุมฉาก (ติดกันหรือตรงข้าม) ฉันตัดสินใจที่จะไม่เลื่อนมันออกไปเป็นเวลานาน เนื้อหาที่จำเป็นอยู่ด้านล่างนี้ โปรดอ่านมัน 😉

ความจริงก็คือฉันสังเกตซ้ำแล้วซ้ำอีกว่านักเรียนเกรด 10-11 จำคำจำกัดความเหล่านี้ได้ยากอย่างไร พวกเขาจำได้ดีว่าขาหมายถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก แต่อันไหน- พวกเขาลืมและ สับสน. ราคาของความผิดพลาดดังที่คุณทราบในการสอบคือจุดที่เสียไป

ข้อมูลที่ผมจะนำเสนอโดยตรงไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย มันเกี่ยวข้องกับการคิดเป็นรูปเป็นร่างและวิธีการสื่อสารทางวาจาและตรรกะ นั่นคือวิธีที่ฉันจำได้ตลอดไปข้อมูลคำจำกัดความ หากคุณลืมมัน คุณก็จะจำมันได้อย่างง่ายดายเสมอโดยใช้เทคนิคที่นำเสนอ

ฉันขอเตือนคุณถึงคำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

โคไซน์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ไซนัสมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:

แล้วคุณมีความสัมพันธ์อะไรกับคำว่าโคไซน์?

ทุกคนคงมีเป็นของตัวเอง 😉จำลิงค์:

ดังนั้นสำนวนจะปรากฏในความทรงจำของคุณทันที -

«… อัตราส่วนของขา ADJACENT ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก».

ปัญหาการหาค่าโคไซน์ได้รับการแก้ไขแล้ว

หากคุณต้องการจำนิยามของไซน์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จากนั้นจำนิยามของโคไซน์ ก็สามารถระบุได้อย่างง่ายดายว่าไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก ท้ายที่สุดมีเพียงสองขาเท่านั้น หากขาที่อยู่ติดกันถูก "ครอบครอง" โดยโคไซน์ ก็จะมีเฉพาะขาตรงข้ามเท่านั้นที่ยังคงอยู่กับไซน์

แล้วแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ล่ะ? ความสับสนก็เหมือนกัน นักเรียนรู้ว่านี่คือความสัมพันธ์ของขา แต่ปัญหาคือต้องจำไว้ว่าอันไหนหมายถึงอันไหน - ไม่ว่าจะตรงกันข้ามกับขาที่อยู่ติดกันหรือในทางกลับกัน

คำจำกัดความ:

แทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด:

โคแทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านประชิดต่อด้านตรงข้าม:

จะจำได้อย่างไร? มีสองวิธี ฝ่ายหนึ่งใช้การเชื่อมต่อทางวาจาและตรรกะ ส่วนอีกฝ่ายใช้ทางคณิตศาสตร์

วิธีทางคณิตศาสตร์

มีคำจำกัดความเช่นนี้ - แทนเจนต์ของมุมแหลมคืออัตราส่วนของไซน์ของมุมต่อโคไซน์:

*เมื่อจำสูตรแล้ว คุณสามารถระบุได้เสมอว่าค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน

เช่นเดียวกัน.โคแทนเจนต์ของมุมแหลมคืออัตราส่วนของโคไซน์ของมุมต่อไซน์:

ดังนั้น! การจำสูตรเหล่านี้จะทำให้คุณทราบได้ตลอดเวลาว่า:

- ค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับมุมที่อยู่ติดกัน

— โคแทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้าม

วิธีการทางตรรกะของคำ

เกี่ยวกับแทนเจนต์ จำลิงค์:

นั่นคือ หากคุณต้องการจำคำจำกัดความของแทนเจนต์ โดยใช้การเชื่อมต่อเชิงตรรกะนี้ คุณก็จะจำได้อย่างง่ายดายว่ามันคืออะไร

“...อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด”

ถ้าเราพูดถึงโคแทนเจนต์ เมื่อนึกถึงคำจำกัดความของแทนเจนต์ คุณสามารถพูดถึงคำจำกัดความของโคแทนเจนต์ได้อย่างง่ายดาย -

“...อัตราส่วนด้านประชิดต่อด้านตรงข้าม”

กิน เทคนิคที่น่าสนใจในการจดจำแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนไซต์ " ตีคู่ทางคณิตศาสตร์ " , ดู.

วิธีการสากล

คุณก็สามารถจดจำมันได้แต่จากการฝึกฝนแสดงให้เห็น ต้องขอบคุณการเชื่อมต่อทางวาจาและตรรกะ บุคคลจึงจำข้อมูลได้เป็นเวลานาน และไม่ใช่แค่ทางคณิตศาสตร์เท่านั้น

ฉันหวังว่าเนื้อหานี้จะเป็นประโยชน์กับคุณ

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

หมายเหตุสำคัญ!
1. หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ วิธีการทำเช่นนี้ในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ โปรดใส่ใจกับเนวิเกเตอร์ของเราให้มากที่สุด ทรัพยากรที่เป็นประโยชน์สำหรับ

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์

แนวคิดของไซน์ (), โคไซน์ (), แทนเจนต์ (), โคแทนเจนต์ () มีความเชื่อมโยงกับแนวคิดเรื่องมุมอย่างแยกไม่ออก เพื่อทำความเข้าใจสิ่งเหล่านี้ให้ดีตั้งแต่แรกเห็น แนวคิดที่ซับซ้อน(ซึ่งทำให้เกิดอาการสยดสยองในเด็กนักเรียนหลายคน) และเพื่อให้แน่ใจว่า "ปีศาจไม่น่ากลัวเท่าที่วาด" มาเริ่มกันตั้งแต่ต้นและทำความเข้าใจแนวคิดของมุมกัน

แนวคิดเรื่องมุม: เรเดียน องศา

เรามาดูรูปกันดีกว่า เวกเตอร์ได้ "หมุน" สัมพันธ์กับจุดด้วยจำนวนหนึ่ง ดังนั้นการวัดการหมุนนี้สัมพันธ์กับตำแหน่งเริ่มต้นจะเป็น มุม.

คุณต้องรู้อะไรอีกเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องมุม? แน่นอน หน่วยมุม!

มุมทั้งในเรขาคณิตและตรีโกณมิติสามารถวัดได้เป็นองศาและเรเดียน

มุม (หนึ่งองศา) คือมุมที่ศูนย์กลางในวงกลมซึ่งมีส่วนโค้งเป็นวงกลมซึ่งมีขนาดเท่ากับส่วนหนึ่งของวงกลม ดังนั้น วงกลมทั้งหมดจึงประกอบด้วย “ชิ้นส่วน” ของส่วนโค้งวงกลม หรือมุมที่วงกลมอธิบายมีค่าเท่ากัน

นั่นคือ รูปด้านบนแสดงมุมเท่ากับ นั่นคือ มุมนี้วางอยู่บนส่วนโค้งวงกลมที่มีขนาดเส้นรอบวง

มุมในหน่วยเรเดียนคือมุมที่ศูนย์กลางในวงกลมซึ่งต่อด้วยส่วนโค้งวงกลมซึ่งมีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม คุณคิดออกแล้วหรือยัง? ถ้าไม่เช่นนั้น ลองหาจากภาพวาดดู

รูปจึงแสดงมุมเท่ากับเรเดียน กล่าวคือ มุมนี้วางอยู่บนส่วนโค้งวงกลมซึ่งมีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม (ความยาวเท่ากับความยาวหรือรัศมี เท่ากับความยาวส่วนโค้ง) ดังนั้นความยาวส่วนโค้งจึงคำนวณโดยสูตร:

มุมศูนย์กลางเป็นเรเดียนอยู่ที่ไหน

เมื่อรู้อย่างนี้แล้ว คุณจะตอบได้ไหมว่ามุมที่วงกลมอธิบายนั้นมีกี่เรเดียน? ใช่ ในกรณีนี้ คุณต้องจำสูตรเส้นรอบวงไว้ เธออยู่นี่:

ทีนี้ลองเชื่อมโยงสูตรทั้งสองนี้เข้าด้วยกันแล้วพบว่ามุมที่วงกลมอธิบายนั้นเท่ากัน นั่นคือเมื่อเราเชื่อมโยงค่าเป็นองศากับเรเดียน เราก็จะได้สิ่งนั้น ตามลำดับ. อย่างที่คุณเห็น คำว่า "เรเดียน" นั้นต่างจาก "องศา" เนื่องจากหน่วยการวัดมักจะชัดเจนจากบริบท

มีกี่เรเดียน? ถูกตัอง!

เข้าใจแล้ว? จากนั้นไปข้างหน้าและแก้ไข:

มีปัญหาใช่ไหม? แล้วดู คำตอบ:

สามเหลี่ยมมุมฉาก: ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ของมุม

เราก็หาแนวคิดของมุมได้ แต่ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมคืออะไร? ลองคิดดูสิ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ สามเหลี่ยมมุมฉากจะช่วยเรา

ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเรียกว่าอะไร? ถูกต้อง ด้านตรงข้ามมุมฉากและขา: ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมขวา (ในตัวอย่างของเรา นี่คือด้าน) ขาเป็นสองข้างที่เหลือและ (อันที่อยู่ติดกัน) มุมฉาก) และถ้าเราพิจารณาขาที่สัมพันธ์กับมุม ขานั้นก็คือขาที่อยู่ติดกัน และขานั้นจะอยู่ตรงกันข้าม ตอนนี้เรามาตอบคำถาม: ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมคืออะไร?

ไซน์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ระยะไกล) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ในรูปสามเหลี่ยมของเรา

โคไซน์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ปิด) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ในรูปสามเหลี่ยมของเรา

แทนเจนต์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของด้านตรงข้าม (ระยะไกล) ต่อด้านที่อยู่ติดกัน (ปิด)

ในรูปสามเหลี่ยมของเรา

โคแทนเจนต์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ปิด) ต่อขาตรงข้าม (ไกล)

ในรูปสามเหลี่ยมของเรา

คำจำกัดความเหล่านี้มีความจำเป็น จดจำ! เพื่อให้จำได้ง่ายขึ้นว่าขาไหนจะแบ่งเป็นขาไหน ก็ต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าขาไหน แทนเจนต์และ โคแทนเจนต์มีเพียงขาเท่านั้นที่นั่ง และด้านตรงข้ามมุมฉากปรากฏเฉพาะด้านใน ไซนัสและ โคไซน์. จากนั้นคุณก็จะสามารถสร้างสมาคมขึ้นมาได้ ตัวอย่างเช่นอันนี้:

โคไซน์→สัมผัส→สัมผัส→ที่อยู่ติดกัน

โคแทนเจนต์ → สัมผัส → สัมผัส → ที่อยู่ติดกัน

ก่อนอื่น คุณต้องจำไว้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ เนื่องจากอัตราส่วนของด้านของรูปสามเหลี่ยมไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของด้านเหล่านี้ (ที่มุมเดียวกัน) ไม่เชื่อ? จากนั้นตรวจสอบให้แน่ใจโดยดูภาพ:

ตัวอย่างเช่น พิจารณาโคไซน์ของมุม ตามคำจำกัดความจากรูปสามเหลี่ยม: แต่เราสามารถคำนวณโคไซน์ของมุมจากรูปสามเหลี่ยมได้: คุณคงเห็นว่าความยาวของด้านต่างกัน แต่ค่าโคไซน์ของมุมหนึ่งจะเท่ากัน ดังนั้นค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์จึงขึ้นอยู่กับขนาดของมุมเท่านั้น

หากคุณเข้าใจคำจำกัดความแล้ว ก็ไปรวบรวมมันได้เลย!

สำหรับสามเหลี่ยมดังรูปด้านล่าง เราจะพบว่า

คุณได้รับมันหรือไม่? จากนั้นลองด้วยตัวเอง: คำนวณมุมเดียวกัน

วงกลมหน่วย (ตรีโกณมิติ)

เมื่อเข้าใจแนวคิดเรื่ององศาและเรเดียน เราจึงพิจารณาวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ วงกลมดังกล่าวเรียกว่า เดี่ยว. มันจะมีประโยชน์มากเมื่อเรียนตรีโกณมิติ ดังนั้นเรามาดูรายละเอียดเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย

อย่างที่คุณเห็น วงกลมนี้สร้างขึ้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน รัศมีของวงกลมเท่ากับ 1 ในขณะที่ศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด ตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีจะคงที่ตามทิศทางบวกของแกน (ในตัวอย่างของเรา นี่คือรัศมี)

แต่ละจุดบนวงกลมสอดคล้องกับตัวเลขสองตัว: พิกัดแกนและพิกัดแกน หมายเลขพิกัดเหล่านี้คืออะไร? โดยทั่วไปแล้วพวกเขาต้องทำอะไรกับหัวข้อที่กำลังดำเนินอยู่? เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราต้องจำเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากที่พิจารณาไว้ ในรูปด้านบน คุณสามารถเห็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน พิจารณารูปสามเหลี่ยม เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเนื่องจากตั้งฉากกับแกน

สามเหลี่ยมเท่ากับอะไร? ถูกตัอง. นอกจากนี้ เรารู้ว่านั่นคือรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งหมายถึง ลองแทนค่านี้เป็นสูตรโคไซน์ของเรา นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

สามเหลี่ยมเท่ากับอะไร? แน่นอน ! แทนค่ารัศมีลงในสูตรนี้แล้วได้:

แล้วคุณบอกได้ไหมว่าจุดที่เป็นของวงกลมมีพิกัดอะไร? ไม่มีทางเหรอ? จะเป็นอย่างไรถ้าคุณตระหนักเช่นนั้นและเป็นเพียงตัวเลข? ตรงกับพิกัดไหน? แน่นอนว่าพิกัด! และตรงกับพิกัดใด? ถูกต้องแล้วพิกัด! ดังนั้นระยะ.

แล้วอะไรจะเท่ากับ? ถูกต้อง ลองใช้คำจำกัดความที่สอดคล้องกันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แล้วได้ a

เกิดอะไรขึ้นถ้ามุมมีขนาดใหญ่ขึ้น? ตัวอย่างเช่นในภาพนี้:

มีอะไรเปลี่ยนแปลงบ้าง ในตัวอย่างนี้? ลองคิดดูสิ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หมุนอีกครั้งเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก: มุม (ซึ่งอยู่ติดกับมุม) ค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับมุมคืออะไร? ถูกต้อง เราปฏิบัติตามคำจำกัดความที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

อย่างที่คุณเห็น ค่าของไซน์ของมุมยังคงสอดคล้องกับพิกัด ค่าโคไซน์ของมุม - พิกัด; และค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ตามอัตราส่วนที่สอดคล้องกัน ดังนั้น ความสัมพันธ์เหล่านี้จึงใช้ได้กับการหมุนของเวกเตอร์รัศมี

มีการกล่าวไปแล้วว่าตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีนั้นอยู่ในทิศทางบวกของแกน จนถึงตอนนี้ เราได้หมุนเวกเตอร์นี้ทวนเข็มนาฬิกา แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราหมุนมันตามเข็มนาฬิกา? ไม่มีอะไรพิเศษ คุณจะได้มุมของค่าที่แน่นอนด้วย แต่จะเป็นลบเท่านั้น ดังนั้นเมื่อหมุนเวกเตอร์รัศมีทวนเข็มนาฬิกาเราจะได้ มุมบวกและเมื่อหมุนตามเข็มนาฬิกา - เชิงลบ.

เรารู้ว่าการปฏิวัติทั้งหมดของเวกเตอร์รัศมีรอบวงกลมคือหรือ เป็นไปได้ไหมที่จะหมุนเวกเตอร์รัศมีเป็นหรือเป็น? แน่นอนคุณทำได้! ดังนั้นในกรณีแรก เวกเตอร์รัศมีจะทำการปฏิวัติเต็มหนึ่งครั้งและหยุดที่ตำแหน่งหรือ

ในกรณีที่สอง นั่นคือ เวกเตอร์รัศมีจะหมุนครบสามครั้งแล้วหยุดที่ตำแหน่งหรือ

ดังนั้น จากตัวอย่างข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่ามุมที่แตกต่างกันหรือ (โดยที่จำนวนเต็มใดๆ) สอดคล้องกับตำแหน่งเดียวกันของเวกเตอร์รัศมี

รูปด้านล่างแสดงมุม ภาพเดียวกันตรงกับมุม ฯลฯ รายการนี้สามารถดำเนินต่อไปได้อย่างไม่มีกำหนด มุมทั้งหมดนี้สามารถเขียนได้ด้วยสูตรทั่วไปหรือ (โดยที่จำนวนเต็มใดๆ ก็ตาม)

ตอนนี้เมื่อทราบคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานและการใช้วงกลมหนึ่งหน่วยแล้ว ให้ลองตอบว่าค่าคืออะไร:

ต่อไปนี้เป็นวงกลมหนึ่งหน่วยที่จะช่วยคุณ:

มีปัญหาใช่ไหม? ถ้าอย่างนั้นเราลองมาคิดกันดู ดังนั้นเราจึงรู้ว่า:

จากที่นี่ เราจะกำหนดพิกัดของจุดที่สอดคล้องกับการวัดมุมที่แน่นอน เรามาเริ่มกันตามลำดับ: มุมที่ สอดคล้องกับจุดที่มีพิกัด ดังนั้น:

ไม่ได้อยู่;

นอกจากนี้ การปฏิบัติตามตรรกะเดียวกัน เราพบว่ามุมนั้นสอดคล้องกับจุดที่มีพิกัดตามลำดับ เมื่อรู้สิ่งนี้แล้ว ง่ายต่อการกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่จุดที่เกี่ยวข้อง ลองด้วยตัวเองก่อนแล้วตรวจสอบคำตอบ

คำตอบ:

ดังนั้นเราจึงสามารถสร้างตารางได้ดังนี้:

ไม่จำเป็นต้องจำค่าเหล่านี้ทั้งหมด ก็เพียงพอที่จะจำความสอดคล้องระหว่างพิกัดของจุดบนวงกลมหน่วยและค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

แต่ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในและที่กำหนดในตารางด้านล่าง จะต้องจำได้:

อย่ากลัวเลย ตอนนี้เราจะแสดงตัวอย่างหนึ่งให้คุณดู ค่อนข้างง่ายในการจดจำค่าที่เกี่ยวข้อง:

หากต้องการใช้วิธีนี้ จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องจดจำค่าของไซน์สำหรับการวัดมุมทั้งสาม () รวมถึงค่าแทนเจนต์ของมุมด้วย เมื่อทราบค่าเหล่านี้แล้ว การเรียกคืนทั้งตารางจึงค่อนข้างง่าย - ค่าโคไซน์จะถูกถ่ายโอนตามลูกศร นั่นคือ:

เมื่อทราบสิ่งนี้แล้ว คุณก็สามารถคืนค่าได้ ตัวเศษ " " จะตรงกัน และตัวส่วน " " จะตรงกัน ค่าโคแทนเจนต์จะถูกถ่ายโอนตามลูกศรที่ระบุในรูป หากคุณเข้าใจสิ่งนี้และจำไดอะแกรมที่มีลูกศรได้ก็เพียงพอที่จะจำค่าทั้งหมดจากตารางได้

พิกัดของจุดบนวงกลม

เป็นไปได้ไหมที่จะหาจุด (พิกัดของมัน) บนวงกลม รู้พิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม รัศมี และมุมการหมุน?

แน่นอนคุณทำได้! เอาล่ะออกไปกันเถอะ สูตรทั่วไปเพื่อค้นหาพิกัดของจุด.

ตัวอย่างเช่น นี่คือวงกลมที่อยู่ข้างหน้าเรา:

เราได้รับว่าจุดนั้นคือจุดศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมจะเท่ากัน จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดที่ได้รับจากการหมุนจุดเป็นองศา

ดังที่เห็นได้จากรูป พิกัดของจุดสอดคล้องกับความยาวของส่วน ความยาวของส่วนนั้นสอดคล้องกับพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลมนั่นคือมันเท่ากัน ความยาวของเซ็กเมนต์สามารถแสดงได้โดยใช้คำจำกัดความของโคไซน์:

แล้วเราก็ได้มันสำหรับพิกัดจุด

เมื่อใช้ตรรกะเดียวกัน เราจะค้นหาค่าพิกัด y ของจุดนั้น ดังนั้น,

ดังนั้นใน ปริทัศน์พิกัดของจุดถูกกำหนดโดยสูตร:

พิกัดจุดศูนย์กลางวงกลม

รัศมีวงกลม

มุมการหมุนของรัศมีเวกเตอร์

อย่างที่คุณเห็น สำหรับวงกลมหน่วยที่เรากำลังพิจารณา สูตรเหล่านี้จะลดลงอย่างมาก เนื่องจากพิกัดของจุดศูนย์กลางเท่ากับศูนย์และรัศมีเท่ากับ 1:

เรามาลองใช้สูตรเหล่านี้โดยฝึกหาจุดบนวงกลมกันดีกว่า

1. ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ได้จากการหมุนจุดนั้น

2. ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ได้จากการหมุนจุดนั้น

3. ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ได้จากการหมุนจุดนั้น

4. จุดศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมจะเท่ากัน มีความจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดที่ได้รับจากการหมุนเวกเตอร์รัศมีเริ่มต้นด้วย

5. จุดศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมจะเท่ากัน มีความจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดที่ได้รับจากการหมุนเวกเตอร์รัศมีเริ่มต้นด้วย

มีปัญหาในการหาพิกัดของจุดบนวงกลมใช่ไหม?

ลองแก้ตัวอย่างทั้งห้าข้อนี้ (หรือแก้ให้เก่ง) แล้วคุณจะได้เรียนรู้ที่จะค้นหามัน!

สรุปและสูตรพื้นฐาน

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ไกล) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ปิด) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านตรงข้าม (ไกล) ต่อด้านที่อยู่ติดกัน (ปิด)

โคแทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกัน (ปิด) ต่อด้านตรงข้าม (ไกล)

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสมากมายเปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

ช่วยคุณโดยการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้องการ แก้ปัญหากับเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไขมัน (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันก็เหมือนกับกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 499 RUR

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

เรียกว่าอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก ไซนัสของมุมเฉียบพลันสามเหลี่ยมมุมฉาก.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

โคไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก

เรียกว่าอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์ของมุมแหลมสามเหลี่ยมมุมฉาก.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

แทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก

อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิดเรียกว่า แทนเจนต์ของมุมแหลมสามเหลี่ยมมุมฉาก.

tg \alpha = \frac(a)(b)

โคแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก

อัตราส่วนของด้านประชิดต่อด้านตรงข้ามเรียกว่า โคแทนเจนต์ของมุมแหลมสามเหลี่ยมมุมฉาก.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

ไซน์ของมุมใดก็ได้

พิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งมุม \alpha สอดคล้องกันเรียกว่า ไซน์ของมุมใดก็ได้การหมุน \alpha

\บาป \อัลฟา=y

โคไซน์ของมุมใดก็ได้

คำว่า abscissa ของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งมุม \alpha สอดคล้องกันเรียกว่า โคไซน์ของมุมใดก็ได้การหมุน \alpha

\cos \อัลฟา=x

แทนเจนต์ของมุมใดก็ได้

อัตราส่วนของไซน์ของมุมการหมุนตามอำเภอใจ \อัลฟา ต่อโคไซน์เรียกว่า แทนเจนต์ของมุมใดก็ได้การหมุน \alpha

ตาล \อัลฟา = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

โคแทนเจนต์ของมุมใดก็ได้

อัตราส่วนของโคไซน์ของมุมการหมุนตามอำเภอใจ \อัลฟา ต่อไซน์ของมันเรียกว่า โคแทนเจนต์ของมุมใดก็ได้การหมุน \alpha

CTG\อัลฟา =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

ตัวอย่างการหามุมตามอำเภอใจ

ถ้า \alpha คือมุม AOM โดยที่ M คือจุดของวงกลมหน่วย ดังนั้น

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

ตัวอย่างเช่น ถ้า \มุม AOM = -\frac(\pi)(4)ดังนั้น: พิกัดของจุด M เท่ากับ -\frac(\sqrt(2))(2), abscissa เท่ากับ \frac(\sqrt(2))(2)และนั่นคือเหตุผล

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

ทีจี;

กะรัต \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

ตารางค่าไซน์ของโคไซน์ของแทนเจนต์ของโคแทนเจนต์

ค่าของมุมหลักที่เกิดขึ้นบ่อยแสดงอยู่ในตาราง:

	0^(\วงกลม) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\left(\pi\right)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360^(\circ)\left(2\pi\right)
\บาป\อัลฟา	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\คอส\อัลฟา	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alpha	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
CTG\อัลฟ่า	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

ช่วยให้คุณสร้างผลลัพธ์ลักษณะเฉพาะได้หลายประการ - คุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์. ในบทความนี้เราจะดูคุณสมบัติหลักสามประการ อันแรกบ่งบอกถึงสัญญาณของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม α ขึ้นอยู่กับมุมที่พิกัดควอเตอร์คือ α ต่อไปเราจะพิจารณาคุณสมบัติของช่วงเวลาซึ่งสร้างความแปรปรวนของค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม α เมื่อมุมนี้เปลี่ยนแปลงตามจำนวนการปฏิวัติจำนวนเต็ม คุณสมบัติที่สามเป็นการแสดงออกถึงความสัมพันธ์ระหว่างค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ มุมตรงข้ามα และ −α

หากคุณสนใจคุณสมบัติของฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ คุณสามารถศึกษาได้ในส่วนที่เกี่ยวข้องของบทความ

การนำทางหน้า

สัญญาณของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์แยกตามไตรมาส

ด้านล่างในย่อหน้านี้ วลี “มุมของไตรมาสพิกัด I, II, III และ IV” จะปรากฏขึ้น ลองอธิบายว่ามุมเหล่านี้คืออะไร

ลองใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้น A(1, 0) บนจุดนั้น แล้วหมุนไปรอบจุด O เป็นมุม α แล้วเราจะถือว่าเราจะไปถึงจุด A 1 (x, y)

พวกเขาพูดอย่างนั้น มุม α คือมุมของจตุภาคพิกัด I, II, III, IVถ้าจุด A 1 อยู่ในไตรมาส I, II, III, IV ตามลำดับ ถ้ามุม α เท่ากับจุด A 1 อยู่บนเส้นพิกัด Ox หรือ Oy ใดๆ มุมนี้ก็จะไม่อยู่ในสี่ส่วนใดๆ เลย

เพื่อความชัดเจน นี่คือภาพประกอบ ภาพวาดด้านล่างแสดงมุมการหมุน 30, −210, 585 และ −45 องศา ซึ่งเป็นมุมของควอเตอร์พิกัด I, II, III และ IV ตามลำดับ

มุม 0, ±90, ±180, ±270, ±360, …องศาไม่อยู่ในเขตพิกัดใด ๆ

ตอนนี้เรามาดูกันว่าสัญญาณใดมีค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมการหมุนα ขึ้นอยู่กับว่ามุมควอแดรนท์ของαคืออะไร

สำหรับไซน์และโคไซน์ ทำได้ง่ายมาก

ตามคำนิยาม ไซน์ของมุม α คือพิกัดของจุด A 1 แน่นอนว่าในไตรมาสพิกัด I และ II มีค่าเป็นบวก และในไตรมาสที่ III และ IV มีค่าเป็นลบ ดังนั้น ไซน์ของมุม α จึงมีเครื่องหมายบวกในควอเตอร์ที่ 1 และ 2 และมีเครื่องหมายลบในควอเตอร์ที่ 3 และ 6

ในทางกลับกัน โคไซน์ของมุม α คือจุดหักมุมของจุด A 1 ในไตรมาสที่ 1 และ 4 มีค่าเป็นบวก และในไตรมาสที่ 2 และ 3 มีค่าเป็นลบ ดังนั้นค่าโคไซน์ของมุม α ในไตรมาสที่ 1 และ 4 จึงเป็นค่าบวก และค่าของโคไซน์ของมุม α ในไตรมาสที่ 2 และ 3 จะเป็นค่าลบ

ในการกำหนดสัญญาณของควอเตอร์ของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ คุณต้องจำคำจำกัดความของมัน: แทนเจนต์คืออัตราส่วนของพิกัดของจุด A 1 ต่อจุดแอบซิสซา และโคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของจุดขาดของจุด A 1 ต่อจุดพิกัด แล้วจาก กฎเกณฑ์ในการหารตัวเลขด้วยเครื่องหมายที่เหมือนกันและต่างกัน แทนเจนต์และโคแทนเจนต์จะมีเครื่องหมายบวก เมื่อเครื่องหมายแอบซิสซาและเครื่องหมายลำดับของจุด A 1 เหมือนกัน และมีเครื่องหมายลบ เมื่อเครื่องหมายแอบซิสซาและเครื่องหมายกำหนดของจุด A 1 ต่างกัน ดังนั้น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมจึงมีเครื่องหมาย + ในไตรมาสพิกัด I และ III และมีเครื่องหมายลบในไตรมาส II และ IV

อันที่จริง ตัวอย่างเช่น ในไตรมาสแรกทั้ง Abscissa x และพิกัด y ของจุด A 1 นั้นเป็นค่าบวก จากนั้นทั้งผลหาร x/y และผลหาร y/x ต่างก็เป็นบวก ดังนั้น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์จึงมีเครื่องหมาย + และในไตรมาสที่สอง Abscissa x เป็นลบ และลำดับ y เป็นบวก ดังนั้นทั้ง x/y และ y/x จึงเป็นลบ ดังนั้นแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จึงมีเครื่องหมายลบ

มาดูคุณสมบัติต่อไปของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์กันดีกว่า

คุณสมบัติเป็นงวด

ตอนนี้เราจะมาดูคุณสมบัติที่ชัดเจนที่สุดของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุม จะเป็นดังนี้: เมื่อมุมเปลี่ยนไปตามจำนวนเต็ม การปฏิวัติเต็มรูปแบบค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมนี้ไม่เปลี่ยนแปลง

สิ่งนี้เป็นที่เข้าใจได้: เมื่อมุมเปลี่ยนตามจำนวนการปฏิวัติเราจะได้จากจุดเริ่มต้น A ไปยังจุด A 1 บนวงกลมหน่วยเสมอดังนั้นค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากพิกัดของจุด A 1 ไม่เปลี่ยนแปลง

เมื่อใช้สูตร คุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ที่พิจารณาสามารถเขียนได้ดังนี้: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα โดยที่ α คือมุมการหมุนในหน่วยเรเดียน z คือค่าใด ๆ ซึ่งเป็นค่าสัมบูรณ์ซึ่งระบุจำนวนรอบการหมุนทั้งหมดโดยที่ มุม α เปลี่ยนไป และเครื่องหมายของตัวเลข z บ่งบอกถึงทิศทางการเลี้ยว

หากระบุมุมการหมุน α เป็นองศา สูตรที่ระบุจะถูกเขียนใหม่เป็น sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , CTG(α+360°·z)=ctgα ,

ลองยกตัวอย่างการใช้คุณสมบัตินี้ ตัวอย่างเช่น, , เพราะ , ก . นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง: หรือ .

คุณสมบัตินี้พร้อมกับสูตรการลดมักใช้ในการคำนวณค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม "ใหญ่"

คุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ที่พิจารณา บางครั้งเรียกว่าคุณสมบัติของคาบ

คุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมตรงข้าม

ให้ A 1 เป็นจุดที่ได้จากการหมุนจุดเริ่มต้น A(1, 0) รอบจุด O ด้วยมุม α และจุด A 2 เป็นผลจากการหมุนจุด A ด้วยมุม −α ตรงข้ามกับมุม α

คุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมตรงข้ามนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ค่อนข้างชัดเจน: จุด A 1 และ A 2 ที่กล่าวถึงข้างต้นตรงกัน (ที่) หรืออยู่ในตำแหน่งเชิงสมมาตรสัมพันธ์กับแกนวัว นั่นคือ ถ้าจุด A 1 มีพิกัด (x, y) จุด A 2 ก็จะมีพิกัด (x, −y) จากที่นี่ โดยใช้คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ เราเขียนความเท่าเทียมกัน และ
เมื่อเปรียบเทียบกันแล้ว เรามาถึงความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมตรงข้าม α และ −α ของรูปแบบ
นี่คือคุณสมบัติที่อยู่ระหว่างการพิจารณาในรูปของสูตร

ลองยกตัวอย่างการใช้คุณสมบัตินี้ ตัวอย่างเช่นความเท่าเทียมกันและ .

สิ่งเดียวที่ควรสังเกตคือคุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมตรงข้าม เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้า มักใช้ในการคำนวณค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ และช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงค่าลบได้อย่างสมบูรณ์ มุม

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky - M.: การศึกษา, 1990. - 272 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-002727-7
• พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
• บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย