รากที่สองคืออะไร? การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ก่อนเครื่องคิดเลข นักเรียนและครูจะคำนวณรากที่สองด้วยมือ มีหลายวิธีในการคำนวณ รากที่สองตัวเลขด้วยตนเอง บางส่วนเสนอวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณเท่านั้น บางส่วนให้คำตอบที่แน่นอน

ขั้นตอน

ตัวประกอบที่สำคัญ

แยกตัวประกอบของจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบที่เป็นเลขยกกำลังสองคุณจะได้คำตอบโดยประมาณหรือที่แน่นอนทั้งนี้ขึ้นอยู่กับจำนวนราก ตัวเลขกำลังสองคือตัวเลขที่ใช้หารากที่สองทั้งหมดได้ ตัวประกอบคือตัวเลขที่เมื่อคูณแล้วจะได้จำนวนเดิม ตัวอย่างเช่น ตัวประกอบของตัวเลข 8 คือ 2 และ 4 เนื่องจาก 2 x 4 = 8 ตัวเลข 25, 36, 49 เป็นเลขกำลังสอง เนื่องจาก √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7 ตัวประกอบกำลังสอง คือตัวประกอบซึ่งเป็นเลขยกกำลังสอง ขั้นแรก ให้ลองแยกตัวประกอบจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบกำลังสอง

• เช่น คำนวณรากที่สองของ 400 (ด้วยมือ) ขั้นแรกให้ลองแยกตัวประกอบ 400 ออกเป็นกำลังสองก่อน 400 เป็นผลคูณของ 100 กล่าวคือ หารด้วย 25 ลงตัว ซึ่งเป็นเลขกำลังสอง การหาร 400 ด้วย 25 จะได้ 16 เลข 16 ก็เป็นเลขกำลังสองเช่นกัน ดังนั้น 400 สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบกำลังสองของ 25 และ 16 ได้ ซึ่งก็คือ 25 x 16 = 400
• สามารถเขียนได้ดังนี้: √400 = √(25 x 16)

1. รากที่สองของผลคูณของบางเทอมเท่ากับผลคูณ รากที่สองจากแต่ละเทอม นั่นคือ √(a x b) = √a x √b ใช้กฎนี้หาค่ารากที่สองของแต่ละตัวประกอบกำลังสองแล้วคูณผลลัพธ์เพื่อหาคำตอบ

   • ในตัวอย่างของเรา หารากของ 25 และ 16
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. หากจำนวนรากไม่สลายตัวเป็นสอง ตัวประกอบกำลังสอง(และกรณีส่วนใหญ่จะเกิดขึ้น) คุณจะไม่สามารถหาคำตอบที่แน่นอนในรูปของจำนวนเต็มได้ แต่คุณสามารถทำให้ปัญหาง่ายขึ้นได้โดยการแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบกำลังสองและตัวประกอบสามัญ (จำนวนที่ไม่สามารถหารากที่สองทั้งหมดได้) จากนั้นคุณจะหารากที่สองของตัวประกอบกำลังสอง และหารากของตัวประกอบร่วม

   • ตัวอย่างเช่น คำนวณรากที่สองของตัวเลข 147 จำนวน 147 ไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นกำลังสองได้ แต่สามารถแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยต่อไปนี้ได้: 49 และ 3 แก้ปัญหาดังนี้:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. หากจำเป็น ให้ประเมินค่าของรูตตอนนี้คุณสามารถประมาณค่าของรูท (ค้นหาค่าโดยประมาณ) ได้โดยเปรียบเทียบกับค่าของรากของตัวเลขกำลังสองที่อยู่ใกล้ที่สุด (ทั้งสองด้านของเส้นจำนวน) กับจำนวนราก คุณจะได้รับค่ารูทเป็นเศษส่วนทศนิยม ซึ่งจะต้องคูณด้วยตัวเลขที่อยู่ด้านหลังเครื่องหมายรูท

   • กลับไปที่ตัวอย่างของเรา จำนวนรากคือ 3 จำนวนกำลังสองที่อยู่ใกล้ที่สุดจะเป็นตัวเลข 1 (√1 = 1) และ 4 (√4 = 2) ดังนั้น ค่าของ √3 จึงอยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 เนื่องจากค่าของ √3 น่าจะใกล้กับ 2 มากกว่าถึง 1 การประมาณค่าของเราคือ: √3 = 1.7 เราคูณค่านี้ด้วยตัวเลขที่เครื่องหมายราก: 7 x 1.7 = 11.9 ถ้าคุณคำนวณด้วยเครื่องคิดเลข คุณจะได้ 12.13 ซึ่งค่อนข้างใกล้เคียงกับคำตอบของเรา
     • วิธีนี้ยังใช้ได้กับตัวเลขจำนวนมากอีกด้วย ตัวอย่างเช่น พิจารณา √35 จำนวนรากคือ 35 จำนวนกำลังสองที่ใกล้ที่สุดคือตัวเลข 25 (√25 = 5) และ 36 (√36 = 6) ดังนั้น ค่าของ √35 จึงอยู่ระหว่าง 5 ถึง 6 เนื่องจากค่าของ √35 อยู่ใกล้กับ 6 มากกว่า 5 มาก (เนื่องจาก 35 มีค่าน้อยกว่า 36 เพียง 1 เท่านั้น) เราจึงสามารถพูดได้ว่า √35 น้อยกว่า 6 เล็กน้อย การตรวจสอบเครื่องคิดเลขทำให้เราได้คำตอบ 5.92 - เราพูดถูก

4. อีกวิธีหนึ่งคือการแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะตัวประกอบเฉพาะคือตัวเลขที่หารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น เขียนตัวประกอบเฉพาะเป็นอนุกรมแล้วหาคู่ของตัวประกอบที่เหมือนกัน ปัจจัยดังกล่าวสามารถนำออกจากเครื่องหมายรากได้

   • ตัวอย่างเช่น คำนวณรากที่สองของ 45 เราแยกตัวประกอบเลขรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ: 45 = 9 x 5 และ 9 = 3 x 3 ดังนั้น √45 = √(3 x 3 x 5) 3 สามารถนำออกมาเป็นเครื่องหมายรากได้: √45 = 3√5 ตอนนี้เราสามารถประมาณ √5 ได้
   • ลองดูตัวอย่างอื่น: √88
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11) คุณได้รับตัวคูณสามตัวจาก 2; เอาสองสามอันแล้วย้ายออกไปเลยเครื่องหมายรูต
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11 ตอนนี้คุณสามารถประเมิน √2 และ √11 และค้นหาคำตอบโดยประมาณได้แล้ว

   การคำนวณรากที่สองด้วยตนเอง

   การใช้การหารยาว

   1. วิธีนี้เกี่ยวข้องกับกระบวนการคล้ายกับการหารยาวและให้คำตอบที่แม่นยำขั้นแรก ให้วาดเส้นแนวตั้งโดยแบ่งแผ่นงานออกเป็นสองซีก จากนั้นไปทางขวาและต่ำกว่าขอบด้านบนของแผ่นงานเล็กน้อย ให้วาดเส้นแนวนอนเป็นเส้นแนวตั้ง ตอนนี้ให้แบ่งเลขรากออกเป็นคู่ๆ โดยเริ่มจากเศษส่วนหลังจุดทศนิยม ดังนั้น หมายเลข 79520789182.47897 จึงเขียนเป็น "7 95 20 78 91 82, 47 89 70"

      • ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณรากที่สองของจำนวน 780.14 ลากเส้นสองเส้น (ตามภาพ) แล้วเขียนตัวเลขที่กำหนดในรูปแบบ “7 80, 14” ที่ด้านซ้ายบน เป็นเรื่องปกติที่หลักแรกจากซ้ายจะเป็นตัวเลขที่ไม่มีการจับคู่ คุณจะเขียนคำตอบ (รากของตัวเลขนี้) ที่มุมขวาบน

   2. สำหรับตัวเลขคู่แรก (หรือเลขตัวเดียว) จากทางซ้าย ให้หาจำนวนเต็ม n ที่มากที่สุดซึ่งมีกำลังสองน้อยกว่าหรือเท่ากับคู่ของตัวเลข (หรือเลขตัวเดียว) ที่ต้องการ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้หาเลขกำลังสองที่อยู่ใกล้ที่สุดแต่น้อยกว่าเลขคู่แรก (หรือเลขตัวเดียว) จากทางซ้าย แล้วหารากที่สองของเลขกำลังสองนั้น คุณจะได้หมายเลข n เขียน n ที่คุณพบที่มุมขวาบน และเขียนกำลังสองของ n ที่มุมขวาล่าง

      • ในกรณีของเรา ตัวเลขแรกทางซ้ายจะเป็น 7 ต่อไปคือ 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. ลบกำลังสองของตัวเลข n ที่คุณเพิ่งได้จากตัวเลขคู่แรก (หรือเลขตัวเดียว) ทางด้านซ้ายเขียนผลลัพธ์การคำนวณไว้ใต้เครื่องหมายย่อย (กำลังสองของตัวเลข n)

      • ในตัวอย่างของเรา ลบ 4 จาก 7 แล้วได้ 3

   4. นำตัวเลขคู่ที่สองออกมาแล้วจดไว้ข้างค่าที่ได้รับในขั้นตอนที่แล้วจากนั้นเพิ่มตัวเลขเป็นสองเท่าที่มุมขวาบน แล้วเขียนผลลัพธ์ที่มุมขวาล่างโดยบวก "_×_="

      • ในตัวอย่างของเรา ตัวเลขคู่ที่สองคือ "80" เขียน "80" หลัง 3 จากนั้นเพิ่มตัวเลขด้านขวาบนเป็นสองเท่าจะได้ 4 เขียน "4_×_=" ที่ด้านขวาล่าง

   5. กรอกข้อมูลลงในช่องว่างทางด้านขวา

      • ในกรณีของเรา ถ้าเราใส่ตัวเลข 8 แทนขีดกลาง ดังนั้น 48 x 8 = 384 ซึ่งมากกว่า 380 ดังนั้น 8 จึงเป็นตัวเลขที่มากเกินไป แต่ 7 ได้ผล เขียน 7 แทนเครื่องหมายขีดกลางแล้วได้: 47 x 7 = 329 เขียน 7 ที่มุมขวาบน - นี่คือหลักที่สองในรากที่สองที่ต้องการของหมายเลข 780.14

   6. ลบตัวเลขผลลัพธ์จากตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้ายเขียนผลลัพธ์จากขั้นตอนที่แล้วไว้ใต้ตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย หาผลต่างแล้วเขียนไว้ใต้เครื่องหมายย่อย

      • ในตัวอย่างของเรา ลบ 329 จาก 380 ซึ่งเท่ากับ 51

   7. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 4หากคู่ของตัวเลขที่จะถ่ายโอนเป็นส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขเดิม ให้ใส่ตัวคั่น (ลูกน้ำ) ระหว่างจำนวนเต็มและเศษส่วนในรากที่สองที่ต้องการที่มุมขวาบน ทางด้านซ้ายดึงตัวเลขคู่ถัดไปลงมา เพิ่มตัวเลขที่มุมขวาบนเป็นสองเท่าแล้วเขียนผลลัพธ์ที่มุมขวาล่างโดยเติม "_×_="

      • ในตัวอย่างของเรา ตัวเลขคู่ถัดไปที่จะลบออกจะเป็นเศษส่วนของตัวเลข 780.14 ดังนั้นให้วางตัวคั่นของจำนวนเต็มและเศษส่วนในรากที่สองที่ต้องการที่มุมบนขวา เอา 14 ลงมาแล้วเขียนไว้ที่ด้านซ้ายล่าง. สองเท่าของตัวเลขที่มุมขวาบน (27) คือ 54 ดังนั้นให้เขียน "54_×_=" ที่มุมขวาล่าง

   8. ทำซ้ำขั้นตอนที่ 5 และ 6ค้นหาจำนวนที่มากที่สุดแทนที่เครื่องหมายขีดทางขวา (แทนที่จะใช้เครื่องหมายขีดกลาง คุณต้องใช้ตัวเลขเดียวกันแทน) เพื่อให้ผลลัพธ์ของการคูณน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย

      • ในตัวอย่างของเรา 549 x 9 = 4941 ซึ่งน้อยกว่าตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย (5114) เขียน 9 ที่มุมขวาบน แล้วลบผลการคูณออกจากตัวเลขปัจจุบันทางด้านซ้าย: 5114 - 4941 = 173

   9. หากคุณต้องการหาตำแหน่งทศนิยมเพิ่มเติมสำหรับรากที่สอง ให้เขียนเลขศูนย์สองสามตัวทางด้านซ้ายของตัวเลขปัจจุบันแล้วทำซ้ำขั้นตอนที่ 4, 5 และ 6 ทำซ้ำขั้นตอนจนกว่าคุณจะได้คำตอบที่แม่นยำ (จำนวนตำแหน่งทศนิยม) ความต้องการ.

      ทำความเข้าใจกับกระบวนการ

      1. หากต้องการเชี่ยวชาญวิธีนี้ ลองจินตนาการถึงจำนวนรากที่สองที่คุณต้องค้นหาเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส S ในกรณีนี้ คุณจะต้องมองหาความยาวของด้าน L ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังกล่าว เราคำนวณค่าของ L เพื่อให้ L² = S

         ให้ตัวอักษรสำหรับตัวเลขแต่ละตัวในคำตอบให้เราแสดงด้วย A เป็นตัวเลขตัวแรกในค่า L (รากที่สองที่ต้องการ) B จะเป็นเลขตัวที่สอง C เป็นตัวที่สาม และต่อๆ ไป

         ระบุตัวอักษรสำหรับตัวเลขหลักแรกแต่ละคู่ให้เราแสดงด้วย S a ตัวเลขคู่แรกที่มีค่าของ S, โดย S b แทนตัวเลขคู่ที่สอง และอื่นๆ

         เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างวิธีนี้กับการหารยาว.เช่นเดียวกับในการหาร โดยที่เราสนใจเฉพาะตัวเลขหลักถัดไปของตัวเลขที่เราหารในแต่ละครั้ง เมื่อคำนวณรากที่สอง เราจะทำงานผ่านตัวเลขคู่หนึ่งตามลำดับ (เพื่อให้ได้ตัวเลขหนึ่งหลักถัดไปในค่ารากที่สอง ).

      2. พิจารณาเลขคู่แรกของ Sa ของเลข S (Sa = 7 ในตัวอย่างของเรา) แล้วหารากที่สองของมันในกรณีนี้ หลักแรกของ A ของค่ารากที่สองที่ต้องการจะเป็นตัวเลขที่มีกำลังสองน้อยกว่าหรือเท่ากับ S a (นั่นคือ เรากำลังมองหา A ที่ทำให้ความไม่เท่าเทียมกัน A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • สมมติว่าเราต้องหาร 88962 ด้วย 7; ขั้นตอนแรกจะคล้ายกันที่นี่: เราพิจารณาตัวเลขตัวแรกของจำนวนที่หารได้ 88962 (8) และเลือกจำนวนที่มากที่สุดซึ่งเมื่อคูณด้วย 7 จะให้ค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 8 นั่นคือเรากำลังมองหา ตัวเลข d ซึ่งอสมการเป็นจริง: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. ลองนึกภาพสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งคุณต้องคำนวณพื้นที่คุณกำลังมองหา L นั่นคือความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีพื้นที่ S. A, B, C คือตัวเลขในตัวเลข L คุณสามารถเขียนให้แตกต่างออกไป: 10A + B = L (สำหรับ หมายเลขสองหลัก) หรือ 100A + 10B + C = L (สำหรับตัวเลขสามหลัก) เป็นต้น

         • อนุญาต (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². โปรดจำไว้ว่า 10A+B คือตัวเลขที่หลัก B หมายถึงหน่วย และหลัก A หมายถึงหลักสิบ ตัวอย่างเช่น ถ้า A=1 และ B=2 ดังนั้น 10A+B จะเท่ากับตัวเลข 12 (10A+B)²คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมทั้งหมด 100A²- พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านในขนาดใหญ่ บี²- พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านในเล็ก 10A×บี- พื้นที่ของแต่ละสี่เหลี่ยมทั้งสอง เมื่อรวมพื้นที่ของตัวเลขที่อธิบายไว้ คุณจะพบพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสดั้งเดิม

นักเรียนมักจะถามเสมอว่า “ทำไมฉันไม่สามารถใช้เครื่องคิดเลขในการสอบคณิตศาสตร์ได้? วิธีแยกรากที่สองของตัวเลขโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข? ลองตอบคำถามนี้กัน

จะแยกรากที่สองของตัวเลขโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขได้อย่างไร?

การกระทำ รากที่สองผกผันกับการกระทำของกำลังสอง

√81= 9 9 2 =81

หากคุณหารากที่สองของจำนวนบวกแล้วยกกำลังสองผลลัพธ์ คุณจะได้จำนวนเดียวกัน

จากจำนวนเล็กๆ ที่เป็นกำลังสองของจำนวนธรรมชาติ เช่น 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 สามารถแยกรากที่สองออกมาทางวาจาได้ โดยปกติที่โรงเรียนพวกเขาจะสอนตารางกำลังสองของจำนวนธรรมชาติมากถึงยี่สิบ เมื่อรู้ตารางนี้แล้ว มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแยกรากที่สองออกจากตัวเลข 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 จากตัวเลขที่มากกว่า 400 คุณสามารถแยกมันออกมาได้โดยใช้วิธีการเลือกโดยใช้เคล็ดลับบางประการ ลองมาดูวิธีนี้พร้อมตัวอย่าง

ตัวอย่าง: แยกรากของหมายเลข 676.

เราสังเกตว่า 20 2 = 400 และ 30 2 = 900 ซึ่งหมายถึง 20< √676 < 900.

กำลังสองที่แน่นอนของจำนวนธรรมชาติลงท้ายด้วย 0; 1; 4; 5; 6; 9.
หมายเลข 6 ถูกกำหนดโดย 4 2 และ 6 2
ซึ่งหมายความว่าหากรากถูกนำมาจาก 676 จะเป็น 24 หรือ 26

ยังคงต้องตรวจสอบ: 24 2 = 576, 26 2 = 676

คำตอบ: √676 = 26 .

มากกว่า ตัวอย่าง: √6889 .

ตั้งแต่ 80 2 = 6400 และ 90 2 = 8100 จากนั้น 80< √6889 < 90.
หมายเลข 9 กำหนดโดย 3 2 และ 7 2 จากนั้น √6889 จะเท่ากับ 83 หรือ 87

ตรวจสอบกัน: 83 2 = 6889

คำตอบ: √6889 = 83 .

หากคุณพบว่าการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการเลือกนั้นทำได้ยาก คุณสามารถแยกตัวประกอบนิพจน์รากได้

ตัวอย่างเช่น, หา √893025.

ลองแยกตัวประกอบตัวเลข 893025 จำไว้ว่าคุณทำตอนเกรด 6

เราได้: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945

มากกว่า ตัวอย่าง: √20736. ลองแยกตัวประกอบจำนวน 20736:

เราได้ √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144

แน่นอนว่าการแยกตัวประกอบต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับเครื่องหมายการหารลงตัวและทักษะการแยกตัวประกอบ

และสุดท้ายก็มี กฎการแยกรากที่สอง. มาทำความคุ้นเคยกับกฎนี้พร้อมตัวอย่าง

คำนวณ √279841.

หากต้องการแยกรากของจำนวนเต็มหลายหลัก ให้หารจากขวาไปซ้ายเป็นหน้าที่มี 2 หลัก (ขอบซ้ายสุดอาจมีหนึ่งหลัก) เราเขียนแบบนี้: 27'98'41

ในการหาเลขตัวแรกของราก (5) เราจะหารากที่สองของกำลังสองสมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดที่อยู่ในหน้าแรกทางซ้าย (27)
จากนั้นกำลังสองของหลักแรกของราก (25) จะถูกลบออกจากหน้าแรกและหน้าถัดไป (98) จะถูกบวกเข้ากับผลต่าง (ลบออก)
ทางด้านซ้ายของผลลัพธ์ 298 เขียนเลขสองหลักของรูท (10) หารด้วยจำนวนสิบทั้งหมดของตัวเลขที่ได้รับก่อนหน้านี้ (29/2 data 2) ทดสอบผลหาร (102 ∙ 2 = 204 ไม่ควรเกิน 298) และเขียน (2) หลังหลักแรกของราก
จากนั้นผลหารผลลัพธ์ 204 จะถูกลบออกจาก 298 และขอบถัดไป (41) จะถูกบวกเข้ากับผลต่าง (94)
ทางด้านซ้ายของผลลัพธ์หมายเลข 9441 เขียนผลคูณสองเท่าของหลักราก (52 ∙2 = 104) หารจำนวนสิบทั้งหมดของตัวเลข 9441 (944/104 กลับไปยัง 9) ด้วยผลิตภัณฑ์นี้ ทดสอบ ผลหาร (1,049 ∙9 = 9441) ควรเป็น 9441 และจดไว้ (9) หลังหลักที่สองของราก

เราได้รับคำตอบ √279841 = 529

สกัดในลักษณะเดียวกัน รากของเศษส่วนทศนิยม. เฉพาะจำนวนรากเท่านั้นที่ต้องแบ่งออกเป็นหน้าเพื่อให้ลูกน้ำอยู่ระหว่างหน้า

ตัวอย่าง. ค้นหาค่า √0.00956484

เพียงจำไว้ว่าถ้าเศษส่วนทศนิยมมีจำนวนตำแหน่งทศนิยมเป็นคี่ จะไม่สามารถแยกรากที่สองออกมาได้

ตอนนี้คุณได้เห็นสามวิธีในการแยกรากแล้ว เลือกอันที่เหมาะกับคุณที่สุดแล้วฝึกฝน หากต้องการเรียนรู้ที่จะแก้ปัญหา คุณต้องแก้ปัญหาเหล่านั้น และหากคุณมีคำถามใดๆ ลงทะเบียนบทเรียนของฉันได้เลย

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

บ่อยครั้งเมื่อแก้ไขปัญหาเราต้องเผชิญกับปัญหาจำนวนมากซึ่งเราต้องแยกออกมา รากที่สอง. นักเรียนหลายคนตัดสินใจว่านี่เป็นข้อผิดพลาดและเริ่มแก้ไขตัวอย่างทั้งหมดใหม่ ไม่ควรทำเช่นนี้ไม่ว่าในกรณีใด! มีสองเหตุผลสำหรับสิ่งนี้:

1. รากจำนวนมากมักปรากฏอยู่ในปัญหา โดยเฉพาะในข้อความ
2. มีอัลกอริธึมที่ใช้คำนวณรากเหล่านี้เกือบจะเป็นปากเปล่า

เราจะพิจารณาอัลกอริทึมนี้ในวันนี้ บางทีบางสิ่งอาจดูไม่เข้าใจสำหรับคุณ แต่ถ้าคุณใส่ใจกับบทเรียนนี้ คุณจะได้ อาวุธที่ทรงพลังที่สุดขัดต่อ รากที่สอง.

ดังนั้นอัลกอริทึม:

1. จำกัดรากที่ต้องการด้านบนและด้านล่างให้เป็นตัวเลขที่ทวีคูณของ 10 ดังนั้น เราจะลดช่วงการค้นหาลงเหลือ 10 หมายเลข
2. จากตัวเลขทั้ง 10 นี้ ให้กำจัดสิ่งที่ไม่สามารถหยั่งรากได้อย่างแน่นอน เป็นผลให้ตัวเลข 1-2 จะยังคงอยู่
3. ยกกำลังสองตัวเลข 1-2 นี้ ผู้ที่มีกำลังสองเท่ากับตัวเลขเดิมจะเป็นราก

ก่อนที่จะนำอัลกอริทึมนี้ไปปฏิบัติ มาดูแต่ละขั้นตอนกันก่อน

ข้อจำกัดของรูท

ก่อนอื่น เราต้องค้นหาก่อนว่ารูทของเราอยู่ระหว่างเลขใด เป็นที่พึงปรารถนาอย่างยิ่งที่ตัวเลขจะเป็นทวีคูณของสิบ:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

เราได้รับชุดตัวเลข:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

ตัวเลขเหล่านี้บอกอะไรเรา? ง่ายมาก: เรามีขอบเขต ตัวอย่างเช่น หมายเลข 1296 อยู่ระหว่าง 900 ถึง 1600 ดังนั้นรากของมันต้องไม่น้อยกว่า 30 และมากกว่า 40:

[คำบรรยายภาพ]

เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ ที่ใช้หารากที่สองได้ ตัวอย่างเช่น 3364:

[คำบรรยายภาพ]

ดังนั้น แทนที่จะเป็นตัวเลขที่ไม่สามารถเข้าใจได้ เราจะได้ช่วงที่เฉพาะเจาะจงมากซึ่งมีรากดั้งเดิมอยู่ หากต้องการจำกัดพื้นที่การค้นหาให้แคบลง ให้ไปยังขั้นตอนที่สอง

กำจัดตัวเลขที่ไม่จำเป็นอย่างเห็นได้ชัด

เรามีตัวเลข 10 ตัว - ตัวเลือกสำหรับรูท เราได้มันมาเร็วมาก โดยไม่ต้องคิดที่ซับซ้อนและการคูณในคอลัมน์เดียว ได้เวลาไปต่อแล้ว.

เชื่อหรือไม่ว่า ตอนนี้เราจะลดจำนวนผู้สมัครลงเหลือ 2 คน - อีกครั้งโดยไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนใดๆ! ก็เพียงพอที่จะรู้กฎพิเศษ นี่คือ:

หลักสุดท้ายของสี่เหลี่ยมจะขึ้นอยู่กับหลักสุดท้ายเท่านั้น หมายเลขเดิม.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เพียงดูที่หลักสุดท้ายของสี่เหลี่ยมแล้วเราจะเข้าใจทันทีว่าตัวเลขเดิมสิ้นสุดที่ใด

มีเพียง 10 หลักเท่านั้นที่จะมาอยู่อันดับสุดท้ายได้ ลองหาดูว่าพวกมันกลายเป็นอะไรเมื่อยกกำลังสอง ลองดูที่ตาราง:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

ตารางนี้เป็นอีกขั้นตอนหนึ่งในการคำนวณรูท อย่างที่คุณเห็น ตัวเลขในบรรทัดที่สองกลายเป็นสมมาตรสัมพันธ์กับทั้งห้า ตัวอย่างเช่น:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

อย่างที่คุณเห็นตัวเลขหลักสุดท้ายจะเหมือนกันในทั้งสองกรณี ซึ่งหมายความว่า ตัวอย่างเช่น รากของ 3364 จะต้องลงท้ายด้วย 2 หรือ 8 ในทางกลับกัน เราจำข้อจำกัดจากย่อหน้าก่อนหน้าได้ เราได้รับ:

[คำบรรยายภาพ]

สี่เหลี่ยมสีแดงแสดงว่าเรายังไม่ทราบตัวเลขนี้ แต่รากอยู่ในช่วง 50 ถึง 60 ซึ่งมีเพียงตัวเลขสองตัวที่ลงท้ายด้วย 2 และ 8:

[คำบรรยายภาพ]

นั่นคือทั้งหมด! จากรากที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราเหลือเพียงสองทางเลือกเท่านั้น! และนี่คือในกรณีที่ยากที่สุด เพราะหลักสุดท้ายอาจเป็น 5 หรือ 0 แล้วจะมีผู้สมัครเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะเป็นราก!

การคำนวณขั้นสุดท้าย

ดังนั้นเราจึงเหลือหมายเลขผู้สมัคร 2 ตัว. จะรู้ได้อย่างไรว่าอันไหนคือต้นตอ? คำตอบนั้นชัดเจน: ยกกำลังสองตัวเลขทั้งสอง ตัวที่ยกกำลังสองให้ตัวเลขเดิมจะเป็นราก

ตัวอย่างเช่น สำหรับหมายเลข 3364 เราพบหมายเลขที่เป็นตัวเลือกสองตัว: 52 และ 58 ลองยกกำลังสองกัน:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364

นั่นคือทั้งหมด! ปรากฎว่ารูตอยู่ที่ 58! ในเวลาเดียวกัน เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น ฉันใช้สูตรกำลังสองของผลรวมและผลต่าง ด้วยเหตุนี้ ฉันจึงไม่ต้องคูณตัวเลขลงในคอลัมน์ด้วยซ้ำ! นี่เป็นอีกระดับของการเพิ่มประสิทธิภาพการคำนวณ แต่แน่นอนว่านี่เป็นทางเลือกโดยสมบูรณ์ :)

ตัวอย่างการคำนวณราก

แน่นอนว่าทฤษฎีก็ดี แต่ลองตรวจสอบในทางปฏิบัติ

[คำบรรยายภาพ]

ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าหมายเลข 576 อยู่ระหว่างหมายเลขใด:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

ทีนี้มาดูตัวเลขสุดท้ายกัน เท่ากับ 6. สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อใด? เฉพาะในกรณีที่รากลงท้ายด้วย 4 หรือ 6 เราได้ตัวเลขสองตัว:

สิ่งที่เหลืออยู่คือการยกกำลังสองแต่ละหมายเลขแล้วเปรียบเทียบกับตัวเลขดั้งเดิม:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

ยอดเยี่ยม! สี่เหลี่ยมแรกกลายเป็นเลขเดิม นี่คือราก

งาน. คำนวณรากที่สอง:

[คำบรรยายภาพ]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

ลองดูที่หลักสุดท้าย:

1369 → 9;
33; 37.

ยกกำลังสอง:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1,089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369

นี่คือคำตอบ: 37.

งาน. คำนวณรากที่สอง:

[คำบรรยายภาพ]

เราจำกัดจำนวน:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

ลองดูที่หลักสุดท้าย:

2704 → 4;
52; 58.

ยกกำลังสอง:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

เราได้รับคำตอบ: 52 ไม่จำเป็นต้องยกกำลังสองอีกต่อไป

งาน. คำนวณรากที่สอง:

[คำบรรยายภาพ]

เราจำกัดจำนวน:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

ลองดูที่หลักสุดท้าย:

4225 → 5;
65.

อย่างที่คุณเห็นหลังจากขั้นตอนที่สองเหลือเพียงตัวเลือกเดียว: 65 นี่คือรูทที่ต้องการ แต่เรายังคงยกกำลังสองและตรวจสอบ:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

ทุกอย่างถูกต้อง เราเขียนคำตอบ

บทสรุป

อนิจจาไม่ดีกว่า มาดูสาเหตุกัน มีสองคน:

• ในการสอบคณิตศาสตร์ทั่วไป ไม่ว่าจะเป็นการสอบ State หรือ Unified State Exam ห้ามใช้เครื่องคิดเลข และถ้าคุณนำเครื่องคิดเลขมาเรียน คุณจะถูกไล่ออกจากข้อสอบได้ง่ายๆ
• อย่าเป็นเหมือนคนอเมริกันโง่ ๆ ซึ่งไม่เหมือนกับราก - ไม่สามารถบวกเลขจำนวนเฉพาะสองตัวได้ และเมื่อพวกเขาเห็นเศษส่วน พวกเขามักจะมีอาการวิตกกังวล

ถึงเวลาต้องจัดการมันแล้ว วิธีการสกัดราก. พวกเขาจะขึ้นอยู่กับ คุณสมบัติของรากโดยเฉพาะเรื่องความเท่าเทียมกันที่ถูกต้องสำหรับข้อใดข้อหนึ่ง จำนวนลบข.

ด้านล่างเราจะดูวิธีการหลักในการแยกรากทีละรายการ

เริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดกันก่อน - แยกรากออกจากจำนวนธรรมชาติโดยใช้ตารางสี่เหลี่ยม ตารางลูกบาศก์ ฯลฯ

ถ้าเป็นโต๊ะสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ ฯลฯ หากคุณไม่มีมัน ก็สมเหตุสมผลที่จะใช้วิธีการแยกราก ซึ่งเกี่ยวข้องกับการสลายจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การกล่าวถึงเป็นพิเศษถึงสิ่งที่เป็นไปได้สำหรับรากที่มีเลขชี้กำลังคี่

สุดท้ายนี้ ลองพิจารณาวิธีการที่ช่วยให้เราค้นหาตัวเลขของค่ารูทได้ตามลำดับ

มาเริ่มกันเลย.

การใช้โต๊ะสี่เหลี่ยม โต๊ะลูกบาศก์ ฯลฯ

ในกรณีที่ง่ายที่สุด ตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ ฯลฯ ช่วยให้คุณสามารถแยกรากได้ ตารางเหล่านี้คืออะไร?

ตารางกำลังสองของจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 99 รวม (แสดงด้านล่าง) ประกอบด้วยสองโซน โซนแรกของตารางตั้งอยู่บนพื้นหลังสีเทา โดยการเลือกแถวที่ต้องการและคอลัมน์เฉพาะจะทำให้คุณสามารถเขียนตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 99 ตัวอย่างเช่น ลองเลือกแถวที่มี 8 สิบและคอลัมน์ 3 หน่วย ซึ่งเราได้แก้ไขหมายเลข 83 แล้ว โซนที่สองครอบครองส่วนที่เหลือของตาราง แต่ละเซลล์จะอยู่ที่จุดตัดของแถวหนึ่งกับบางคอลัมน์ และมีช่องสี่เหลี่ยมของตัวเลขที่ตรงกันตั้งแต่ 0 ถึง 99 ที่จุดตัดของแถว 8 สิบและคอลัมน์ 3 ที่เราเลือกจะมีเซลล์ที่มีหมายเลข 6,889 ซึ่งเป็นกำลังสองของหมายเลข 83

ตารางลูกบาศก์ ตารางกำลังสี่ของตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 99 และอื่นๆ คล้ายกับตารางสี่เหลี่ยม มีเพียงลูกบาศก์ กำลังสี่ ฯลฯ ในโซนที่สอง ตัวเลขที่สอดคล้องกัน

ตารางสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ กำลังสี่ ฯลฯ ช่วยให้คุณสามารถแยกรากที่สอง รากที่สาม รากที่สี่ ฯลฯ ตามลำดับจากตัวเลขในตารางเหล่านี้ ให้เราอธิบายหลักการใช้งานเมื่อทำการแยกราก

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแยกรากที่ n ของตัวเลข a ในขณะที่ตัวเลข a อยู่ในตารางของกำลังที่ n เมื่อใช้ตารางนี้เราจะพบตัวเลข b โดยที่ a=b n แล้ว ดังนั้นเลข b จะเป็นรากที่ต้องการของดีกรีที่ n

ตามตัวอย่าง เราจะแสดงวิธีใช้ตารางคิวบ์เพื่อแยกรากที่สามของ 19,683 เราพบเลข 19,683 ในตารางลูกบาศก์ จากนั้นเราพบว่าเลขนี้คือเลขกำลังสามของเลข 27 ดังนั้น .

เห็นได้ชัดว่าตารางเลขยกกำลัง n สะดวกมากในการแยกราก อย่างไรก็ตาม สิ่งเหล่านี้มักจะไม่อยู่ในมือ และการคอมไพล์ต้องใช้เวลาพอสมควร ยิ่งไปกว่านั้น บ่อยครั้งจำเป็นต้องแยกรากออกจากตัวเลขที่ไม่อยู่ในตารางที่เกี่ยวข้อง ในกรณีเหล่านี้ คุณต้องหันไปใช้วิธีอื่นในการสกัดราก

แยกตัวประกอบจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

วิธีที่สะดวกพอสมควรในการแยกรากของจำนวนธรรมชาติ (หากแยกรากออกแล้ว) ก็คือการแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ของเขา ประเด็นคือสิ่งนี้: หลังจากนั้นมันค่อนข้างง่ายที่จะแทนมันเป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่ต้องการซึ่งช่วยให้คุณได้รับค่าของรูท มาชี้แจงประเด็นนี้กัน

ให้รากที่ n ของจำนวนธรรมชาติ a มีค่าเท่ากับ b ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกัน a=b n เป็นจริง เบอร์ b เหมือนๆ กัน จำนวนธรรมชาติสามารถแสดงเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมด p 1 , p 2 , …, p m ในรูปแบบ p 1 · p 2 · … · p m และเลขราก a ในกรณีนี้แสดงเป็น (p 1 · p 2 · … · น.) น. เนื่องจากการสลายตัวของจำนวนหนึ่งไปเป็นตัวประกอบเฉพาะจะมีลักษณะเฉพาะ การสลายตัวของจำนวนราก a ไปเป็นตัวประกอบเฉพาะจะมีรูปแบบ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ซึ่งทำให้สามารถคำนวณค่าของรากได้ เช่น .

โปรดสังเกตว่าถ้าการสลายตัวไปเป็นตัวประกอบเฉพาะของจำนวนราก a ไม่สามารถแสดงในรูปแบบได้ (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ดังนั้นรากที่ n ของจำนวน a จะยังไม่ถูกดึงออกจนหมด

ลองคิดดูเมื่อแก้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

หารากที่สองของ 144

สารละลาย.

หากคุณดูตารางกำลังสองที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า คุณจะเห็นได้ชัดเจนว่า 144 = 12 2 ซึ่งชัดเจนว่ารากที่สองของ 144 เท่ากับ 12

แต่เมื่อคำนึงถึงประเด็นนี้ เราสนใจว่ารากจะถูกแยกออกมาอย่างไรโดยการแยกเลขราก 144 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ลองดูวิธีแก้ปัญหานี้

มาย่อยสลายกันเถอะ 144 ถึงตัวประกอบเฉพาะ:

นั่นคือ 144=2·2·2·2·3·3 ขึ้นอยู่กับการสลายตัวที่เกิดขึ้น การเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้สามารถดำเนินการได้: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. เพราะฉะนั้น, .

การใช้คุณสมบัติของดีกรีและ คุณสมบัติของรากวิธีแก้ปัญหาอาจมีการกำหนดสูตรแตกต่างออกไปเล็กน้อย:

คำตอบ:

หากต้องการรวมวัสดุ ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาของอีกสองตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำนวณค่าของรูท

สารละลาย.

การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนราก 243 มีรูปแบบ 243=3 5 ดังนั้น, .

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

ค่ารูตเป็นจำนวนเต็มหรือไม่?

สารละลาย.

เพื่อตอบคำถามนี้ ลองแยกจำนวนรากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะแล้วดูว่าสามารถแสดงเป็นกำลังสามของจำนวนเต็มได้หรือไม่

เรามี 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. การขยายตัวที่เกิดขึ้นจะไม่แสดงเป็นลูกบาศก์ของจำนวนเต็ม เนื่องจากระดับ ปัจจัยสำคัญ 7 ไม่เป็นจำนวนเท่าของสาม ดังนั้น จึงไม่สามารถแยกรากที่สามของ 285,768 ได้อย่างสมบูรณ์

คำตอบ:

เลขที่

แยกรากออกจากเลขเศษส่วน

ถึงเวลาที่จะหาวิธีแยกรากออกมา จำนวนเศษส่วน. ให้เขียนเลขรากเศษส่วนเป็น p/q ตามคุณสมบัติของรากของผลหาร มันเป็นจริง ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้. จากความเท่าเทียมกันนี้เป็นไปตามนั้น กฎการแยกรากของเศษส่วน: รากของเศษส่วนเท่ากับผลหารของรากของตัวเศษหารด้วยรากของตัวส่วน

ลองดูตัวอย่างการแยกรากออกจากเศษส่วน

ตัวอย่าง.

สแควร์รูทของอะไร เศษส่วนทั่วไป 25/169 .

สารละลาย.

จากการใช้ตารางกำลังสอง เราพบว่ารากที่สองของตัวเศษของเศษส่วนเดิมเท่ากับ 5 และรากที่สองของตัวส่วนเท่ากับ 13 แล้ว . เป็นการเสร็จสิ้นการแยกรากของเศษส่วนร่วม 25/169

คำตอบ:

รากของเศษส่วนทศนิยมหรือจำนวนคละจะถูกแยกออกมาหลังจากแทนที่จำนวนรากด้วยเศษส่วนสามัญ

ตัวอย่าง.

หารากที่สามของเศษส่วนทศนิยม 474.552

สารละลาย.

ลองจินตนาการถึงต้นฉบับ ทศนิยมเป็นเศษส่วนร่วม: 474.552=474552/1000 แล้ว . มันยังคงต้องแยกรากที่สามที่อยู่ในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์ เพราะ 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 และ 1 000 = 10 3 จากนั้น และ . สิ่งที่เหลืออยู่คือการคำนวณให้เสร็จสิ้น .

คำตอบ:

.

การหารากของจำนวนลบ

คุ้มค่าที่จะจดจ่ออยู่กับการแยกรากออกจากจำนวนลบ เมื่อศึกษาราก เราบอกว่าเมื่อเลขชี้กำลังรากเป็นเลขคี่ ก็อาจมีเลขลบอยู่ใต้เครื่องหมายรากได้ เราให้ความหมายเหล่านี้แก่รายการเหล่านี้: สำหรับจำนวนลบ −a และเลขชี้กำลังคี่ของราก 2 n−1 . ความเท่าเทียมกันนี้ให้ กฎสำหรับการแยกรากคี่ออกจากจำนวนลบ: หากต้องการแยกรากของจำนวนลบ คุณต้องหารากของจำนวนบวกตรงข้าม และใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าผลลัพธ์

ลองดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าของราก

สารละลาย.

มาแปลงนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อให้มีจำนวนบวกอยู่ใต้เครื่องหมายรูท: . ตอนนี้แทนที่จำนวนคละด้วยเศษส่วนสามัญ: . เราใช้กฎในการแยกรากของเศษส่วนสามัญ: . ยังคงต้องคำนวณรากในตัวเศษและส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์: .

นี่เป็นบทสรุปสั้นๆ ของวิธีแก้ปัญหา: .

คำตอบ:

.

การกำหนดค่ารูตในระดับบิต

ในกรณีทั่วไป ใต้รากจะมีตัวเลขจำนวนหนึ่งซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นกำลังที่ n ของจำนวนใดๆ ได้ด้วยการใช้เทคนิคที่กล่าวถึงข้างต้น แต่ในกรณีนี้ จำเป็นต้องรู้ความหมายของรากที่กำหนด อย่างน้อยก็ขึ้นอยู่กับสัญญาณบางอย่าง ในกรณีนี้หากต้องการแยกรูทคุณสามารถใช้อัลกอริธึมที่ช่วยให้คุณได้รับค่าตัวเลขของตัวเลขที่ต้องการตามลำดับตามลำดับ

ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมนี้คือการค้นหาว่าบิตที่สำคัญที่สุดของค่ารูตคืออะไร ในการทำเช่นนี้ ตัวเลข 0, 10, 100, ... จะถูกยกกำลัง n ตามลำดับจนกระทั่งถึงช่วงเวลาที่ตัวเลขเกินจำนวนรากที่ได้รับ จากนั้นตัวเลขที่เรายกกำลัง n ในขั้นตอนก่อนหน้าจะระบุตัวเลขที่มีนัยสำคัญที่สุดที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างเช่น พิจารณาขั้นตอนนี้ของอัลกอริทึมเมื่อแยกรากที่สองของห้า นำตัวเลข 0, 10, 100, ... มายกกำลังสองจนกระทั่งเราได้ตัวเลขที่มากกว่า 5 เรามี 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 ซึ่งหมายความว่าหลักที่สำคัญที่สุดจะเป็นหลักหน่วย ค่าของบิตนี้และค่าที่ต่ำกว่าจะพบได้ในขั้นตอนถัดไปของอัลกอริธึมการแยกรูท

ขั้นตอนที่ตามมาทั้งหมดของอัลกอริธึมมีวัตถุประสงค์เพื่อชี้แจงค่าของรูทตามลำดับโดยการค้นหาค่าของบิตถัดไปของค่ารูตที่ต้องการโดยเริ่มจากค่าสูงสุดและเลื่อนไปยังค่าต่ำสุด ตัวอย่างเช่น ค่าของรูตในขั้นตอนแรกกลายเป็น 2 ในขั้นตอนที่สอง – 2.2 ในขั้นตอนที่สาม – 2.23 และต่อ ๆ ไปใน 2.236067977… ให้เราอธิบายว่าจะหาค่าของตัวเลขได้อย่างไร

พบตัวเลขโดยการค้นหาผ่านค่าที่เป็นไปได้ 0, 1, 2, ..., 9 ในกรณีนี้ กำลังที่ n ของตัวเลขที่เกี่ยวข้องจะถูกคำนวณแบบขนาน และนำไปเปรียบเทียบกับจำนวนราก หากในบางขั้นตอนค่าของระดับเกินจำนวนรากจะถือว่าพบค่าของตัวเลขที่สอดคล้องกับค่าก่อนหน้าและจะทำการเปลี่ยนไปสู่ขั้นตอนถัดไปของอัลกอริธึมการแยกรูต หากสิ่งนี้ไม่เกิดขึ้น แล้วค่าของหลักนี้คือ 9

ให้เราอธิบายประเด็นเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างเดียวกันในการแยกรากที่สองของห้า

ก่อนอื่นเราจะหาค่าของหลักหน่วย เราจะผ่านค่า 0, 1, 2, ..., 9 โดยคำนวณ 0 2, 1 2, ..., 9 2 ตามลำดับจนกว่าเราจะได้ค่าที่มากกว่าเลขราก 5 สะดวกในการนำเสนอการคำนวณทั้งหมดเหล่านี้ในรูปแบบของตาราง:

ดังนั้นค่าของหลักหน่วยคือ 2 (เนื่องจาก 2 2<5 , а 2 3 >5) มาดูค่าของตำแหน่งในสิบกันดีกว่า. ในกรณีนี้เราจะยกกำลังสองตัวเลข 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 เปรียบเทียบค่าผลลัพธ์กับเลขราก 5:

ตั้งแต่ 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 แล้วค่าของตำแหน่งในสิบคือ 2 คุณสามารถดำเนินการค้นหาค่าของตำแหน่งที่ร้อยได้:

นี่คือวิธีที่หาค่าถัดไปของรากของห้าได้ ซึ่งก็คือ 2.23 ดังนั้นคุณจึงสามารถค้นหาค่าต่อไปได้: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

ในการรวมวัสดุเข้าด้วยกัน เราจะวิเคราะห์การแยกรากด้วยความแม่นยำระดับหนึ่งในร้อยโดยใช้อัลกอริธึมที่พิจารณา

ขั้นแรกเรากำหนดตัวเลขที่สำคัญที่สุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรายกกำลังสามของตัวเลข 0, 10, 100 ฯลฯ จนเราได้จำนวนที่มากกว่า 2,151,186 เรามี 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 ดังนั้นเลขนัยสำคัญที่สุดคือหลักสิบ

มากำหนดมูลค่าของมันกัน

ตั้งแต่ 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186 แล้วค่าหลักสิบคือ 1 มาดูหน่วยกันต่อ

ดังนั้น ค่าของหลักหน่วยคือ 2 เรามาต่อกันที่สิบกันดีกว่า

เนื่องจากแม้แต่ 12.9 3 ก็น้อยกว่าเลขราก 2 151.186 ดังนั้นค่าของตำแหน่งที่สิบคือ 9 ยังคงต้องดำเนินการขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึมโดยจะให้ค่าของรูทแก่เราด้วยความแม่นยำที่ต้องการ

ในขั้นตอนนี้ ค่าของรากจะพบว่าแม่นยำถึงหนึ่งในร้อย: .

โดยสรุปของบทความนี้ผมอยากจะบอกว่ามีวิธีอื่นอีกมากมายในการแยกราก แต่สำหรับงานส่วนใหญ่ งานที่เราศึกษาข้างต้นก็เพียงพอแล้ว

บรรณานุกรม.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. พีชคณิต: หนังสือเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 สถาบันการศึกษา.
• โคลโมโกรอฟ เอ.เอ็น., อับรามอฟ เอ.เอ็ม., ดุดนิตซิน ยู.พี. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค)