คำอธิบายบรรณานุกรม: Gasanov A. R. , Kuramshin A. A. , Elkov A. A. , Shilnenkov N. V. , Ulanov D. D. , Shmeleva O. V. วิธีการแก้ปัญหา สมการกำลังสอง//นักวิทยาศาสตร์หนุ่ม. 2559. ฉบับที่ 6.1. พ.17-20..02.2019).



โครงงานของเราเกี่ยวกับวิธีแก้สมการกำลังสอง เป้าหมายของโครงงาน: เรียนรู้การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีที่ไม่รวมอยู่ในหลักสูตรของโรงเรียน ภารกิจ: ค้นหาทุกสิ่ง วิธีที่เป็นไปได้การแก้สมการกำลังสองและเรียนรู้วิธีใช้ด้วยตนเองและแนะนำวิธีการเหล่านี้ให้เพื่อนร่วมชั้นของคุณ

“สมการกำลังสอง” คืออะไร?

สมการกำลังสอง- สมการของแบบฟอร์ม ขวาน2 + bx + ค = 0, ที่ไหน ก, ข, ค- ตัวเลขบางส่วน ( ก ≠ 0), x- ไม่ทราบ

ตัวเลข a, b, c เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

• a เรียกว่าสัมประสิทธิ์แรก
• b เรียกว่าสัมประสิทธิ์ที่สอง
• ค - สมาชิกฟรี

ใครเป็นคนแรกที่ "ประดิษฐ์" สมการกำลังสอง?

เทคนิคพีชคณิตบางอย่างสำหรับการแก้สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองเป็นที่รู้จักเมื่อ 4,000 ปีก่อนในบาบิโลนโบราณ การค้นพบแผ่นดินเหนียวของชาวบาบิโลนโบราณ ซึ่งมีอายุระหว่าง 1800 ถึง 1600 ปีก่อนคริสตกาล เป็นหลักฐานที่เก่าแก่ที่สุดของการศึกษาสมการกำลังสอง เม็ดเดียวกันมีวิธีแก้สมการกำลังสองบางประเภท

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ในระดับแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองในสมัยโบราณด้วยนั้นเกิดจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่ ที่ดินและด้วยกำแพงดินที่มีลักษณะทางการทหารตลอดจนการพัฒนาด้านดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ด้วย

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราของชาวบาบิโลนนั้นโดยพื้นฐานแล้วเกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่มีใครรู้ว่าชาวบาบิโลนมาถึงกฎนี้ได้อย่างไร ตำราแบบฟอร์มอักษรคูนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้มีเพียงปัญหาเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่วางอยู่ในรูปแบบของสูตรอาหารเท่านั้น โดยไม่มีข้อบ่งชี้ว่าพบได้อย่างไร ถึงอย่างไรก็ตาม ระดับสูงพัฒนาการของพีชคณิตในบาบิโลน ตำรารูปลิ่มขาดแนวคิด จำนวนลบและวิธีการทั่วไปในการแก้สมการกำลังสอง

นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนตั้งแต่ประมาณศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช ใช้วิธีกำลังสองเพื่อแก้สมการที่มีรากที่เป็นบวก ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล Euclid คิดวิธีแก้โจทย์เรขาคณิตแบบทั่วไปขึ้นมา นักคณิตศาสตร์คนแรกที่พบคำตอบของสมการที่มีรากเป็นลบอยู่ในรูป สูตรพีชคณิตเป็นนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย พระพรหมคุปตะ(อินเดีย คริสต์ศตวรรษที่ 7)

พระพรหมคุปตะได้วางกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงให้เหลือรูปแบบบัญญัติเดียว:

ax2 + bx = c, a>0

ค่าสัมประสิทธิ์ในสมการนี้อาจเป็นค่าลบได้เช่นกัน กฎของพรหมคุปต์โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับของเรา

การแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหายากๆ เป็นเรื่องปกติในอินเดีย หนังสืออินเดียโบราณเล่มหนึ่งกล่าวถึงการแข่งขันดังกล่าวว่า “เมื่อดวงอาทิตย์บังดวงดาวด้วยความสุกใส ดังนั้น คนที่เรียนรู้จะบังเกิดความรุ่งโรจน์ใน การชุมนุมของประชาชนเสนอและแก้ไขปัญหาพีชคณิต” ปัญหามักถูกนำเสนอในรูปแบบบทกวี

ในบทความเกี่ยวกับพีชคณิต อัล-คอวาริซมีมีการจำแนกประเภทของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง ผู้เขียนนับสมการได้ 6 ประเภท แสดงได้ดังนี้

1) “กำลังสองเท่ากับราก” เช่น ax2 = bx

2) “กำลังสองเท่ากับตัวเลข” เช่น ax2 = c

3) “รากเท่ากับจำนวน” เช่น ax2 = c

4) “กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก” เช่น ax2 + c = bx

5) “กำลังสองและรากเท่ากับจำนวน” เช่น ax2 + bx = c

6) “รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง” เช่น bx + c == ax2

สำหรับอัล-คอวาริซมี ผู้หลีกเลี่ยงการใช้จำนวนลบ เงื่อนไขของสมการแต่ละสมการเหล่านี้จะบวกและลบไม่ได้ ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบเชิงบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอย่างชัดเจน ผู้เขียนกำหนดวิธีการแก้สมการเหล่านี้โดยใช้เทคนิคอัลญับร์และอัลมูคาบัล แน่นอนว่าการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับการตัดสินใจของเราเลย ไม่ต้องพูดถึงว่าเป็นวาทศิลป์ล้วนๆ ควรสังเกตว่าเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทแรก Al-Khorezmi เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนจนถึงศตวรรษที่ 17 จะไม่คำนึงถึงวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์ อาจเป็นเพราะในทางปฏิบัติโดยเฉพาะมันไม่สำคัญกับงาน เมื่อแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ Al-Khwarizmi จะกำหนดกฎสำหรับการแก้สมการโดยใช้ตัวอย่างตัวเลขเฉพาะ จากนั้นจึงทำการพิสูจน์เรขาคณิต

แบบฟอร์มสำหรับการแก้สมการกำลังสองตามแบบจำลองของอัลควาริซมีในยุโรปมีการกำหนดไว้ครั้งแรกใน “หนังสือลูกคิด” ที่เขียนขึ้นในปี 1202 นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ลีโอนาร์ด ฟีโบนัชชี- ผู้เขียนได้พัฒนาตัวอย่างพีชคณิตใหม่ในการแก้ปัญหาอย่างอิสระและเป็นคนแรกในยุโรปที่เข้าใกล้การแนะนำจำนวนลบ

หนังสือเล่มนี้มีส่วนช่วยในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย ปัญหามากมายจากหนังสือเล่มนี้ถูกนำมาใช้ในตำราเรียนยุโรปเกือบทั้งหมดในศตวรรษที่ 14-17 กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว x2 + bх = с สำหรับการรวมกันของเครื่องหมายและสัมประสิทธิ์ b, c ที่เป็นไปได้ทั้งหมดถูกกำหนดขึ้นในยุโรปในปี 1544 เอ็ม. สตีเฟล.

ที่มาของสูตรการแก้สมการกำลังสองค่ะ มุมมองทั่วไปเวียดนามมี แต่เวียตยอมรับเท่านั้น รากที่เป็นบวก- นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ทาร์ทาเกลีย, คาร์ดาโน, บอมเบลลีหนึ่งในกลุ่มแรกในศตวรรษที่ 16 นอกจากรากที่เป็นบวกแล้ว ยังคำนึงถึงรากที่เป็นลบด้วย เฉพาะในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ขอบคุณความพยายาม จิราร์ด, เดการ์ต, นิวตันและนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ วิธีการแก้สมการกำลังสองมีรูปแบบที่ทันสมัย

ลองดูหลายวิธีในการแก้สมการกำลังสอง

วิธีมาตรฐานในการแก้สมการกำลังสองจากหลักสูตรของโรงเรียน:

1. แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ
2. วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์
3. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตร
4. ผลเฉลยกราฟิกของสมการกำลังสอง
5. การแก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

ให้เราดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงและไม่ได้ลดลงโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta

จำไว้ว่าในการแก้สมการกำลังสองข้างต้น ก็เพียงพอแล้วที่จะหาตัวเลขสองตัวที่มีผลคูณเท่ากับเทอมอิสระ และผลรวมเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

ตัวอย่าง.x 2 -5x+6=0

คุณต้องค้นหาตัวเลขที่มีผลคูณเป็น 6 และมีผลรวมเป็น 5 ตัวเลขเหล่านี้จะเป็น 3 และ 2

คำตอบ: x 1 =2,x 2 =3.

แต่คุณสามารถใช้วิธีนี้กับสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์แรกไม่เท่ากับหนึ่งได้

ตัวอย่าง.3x 2 +2x-5=0

นำสัมประสิทธิ์แรกมาคูณด้วยพจน์อิสระ: x 2 +2x-15=0

รากของสมการนี้จะเป็นตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากับ - 15 และผลรวมเท่ากับ - 2 ตัวเลขเหล่านี้คือ 5 และ 3 หากต้องการค้นหารากของสมการดั้งเดิม ให้หารรากผลลัพธ์ด้วยสัมประสิทธิ์แรก

คำตอบ: x 1 =-5/3,x 2 =1

6. การแก้สมการโดยใช้วิธี "โยน"

พิจารณาสมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 โดยที่ a≠0

เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย a เราจะได้สมการ a 2 x 2 + abx + ac = 0

ให้ขวาน = y โดยที่ x = y/a; จากนั้นเราก็มาถึงสมการ y 2 + โดย + ac = 0 ซึ่งเทียบเท่ากับสมการที่กำหนด เราหารากของ 1 และ 2 โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

ในที่สุดเราก็ได้ x 1 = y 1 /a และ x 2 = y 2 /a

ด้วยวิธีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ a จะถูกคูณด้วยเทอมอิสระ ราวกับว่า "โยน" ลงไป ซึ่งสาเหตุจึงเรียกว่าวิธี "โยน" วิธีการนี้ใช้เมื่อคุณสามารถหารากของสมการได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา และที่สำคัญที่สุดคือเมื่อตัวแยกแยะเป็นกำลังสองที่แน่นอน

ตัวอย่าง.2x 2 - 11x + 15 = 0.

ลอง "โยน" สัมประสิทธิ์ 2 ไปยังเทอมอิสระแล้วทำการทดแทนแล้วได้สมการ y 2 - 11y + 30 = 0

ตามทฤษฎีบทผกผันของเวียตตา

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3

คำตอบ: x 1 =2.5; เอ็กซ์ 2 = 3.

7. คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 ให้ได้

1. ถ้า a+ b + c = 0 (เช่น ผลรวมของสัมประสิทธิ์ของสมการเป็นศูนย์) ดังนั้น x 1 = 1

2. ถ้า a - b + c = 0 หรือ b = a + c แล้ว x 1 = - 1

ตัวอย่าง.345x 2 - 137x - 208 = 0.

เนื่องจาก a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0) ดังนั้น x 1 = 1, x 2 = -208/345

คำตอบ: x 1 =1; เอ็กซ์ 2 = -208/345 .

ตัวอย่าง.132x 2 + 247x + 115 = 0

เพราะ a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0) จากนั้น x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

คำตอบ: x 1 = - 1; เอ็กซ์ 2 =- 115/132

มีคุณสมบัติอื่นๆ ของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง แต่การใช้งานมีความซับซ้อนมากขึ้น

8. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้โนโมแกรม

รูปที่ 1. โนโมแกรม

นี่เป็นวิธีการแก้สมการกำลังสองที่เก่าและปัจจุบันถูกลืมไปแล้ว ซึ่งอยู่ที่หน้า 83 ของชุดข้อมูลนี้: Bradis V.M. ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก - ม., การศึกษา, 2533.

ตารางที่ 22 โนโมแกรมสำหรับการแก้สมการ z 2 + pz + q = 0- โนโมแกรมนี้ช่วยให้ระบุรากของสมการจากสัมประสิทธิ์ได้โดยไม่ต้องแก้สมการกำลังสอง

สเกลโค้งของโนโมแกรมถูกสร้างขึ้นตามสูตร (รูปที่ 1):

เชื่อ ระบบปฏิบัติการ = p, ED = q, OE = a(ทั้งหมดเป็นซม.) จากรูปที่ 1 ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม ซานและ ซีดีเอฟเราได้สัดส่วน

ซึ่งหลังจากการแทนที่และการทำให้เข้าใจง่ายแล้ว จะได้สมการ z 2 + pz + q = 0,และจดหมาย zหมายถึง เครื่องหมายของจุดใดๆ บนมาตราส่วนโค้ง

ข้าว. 2 การแก้สมการกำลังสองโดยใช้โนโมแกรม

ตัวอย่าง.

1) สำหรับสมการ z 2 - 9z + 8 = 0โนโมแกรมให้ราก z 1 = 8.0 และ z 2 = 1.0

คำตอบ:8.0; 1.0.

2) ใช้โนโมแกรมเพื่อแก้สมการ

2z 2 - 9z + 2 = 0

หารสัมประสิทธิ์ของสมการนี้ด้วย 2 เราจะได้สมการ z 2 - 4.5z + 1 = 0

โนโมแกรมให้ราก z 1 = 4 และ z 2 = 0.5

คำตอบ: 4; 0.5.

9. วิธีเรขาคณิตสำหรับการแก้สมการกำลังสอง

ตัวอย่าง.เอ็กซ์ 2 + 10x = 39.

ในต้นฉบับ ปัญหานี้กำหนดไว้ดังนี้: “กำลังสองและสิบรากเท่ากับ 39”

พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน x สี่เหลี่ยมถูกสร้างขึ้นที่ด้านข้างเพื่อให้ด้านอื่น ๆ ของแต่ละรูปเป็น 2.5 ดังนั้นพื้นที่ของแต่ละรูปคือ 2.5x จากนั้นตัวเลขที่ได้จะเสร็จสมบูรณ์ลงในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD ใหม่ โดยเพิ่มสี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่อันที่มุม สี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากันด้านข้างของแต่ละตัวคือ 2.5 และพื้นที่คือ 6.25

ข้าว. 3 วิธีกราฟิกสำหรับการแก้สมการ x 2 + 10x = 39

พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD สามารถแสดงเป็นผลรวมของพื้นที่ของ: สี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิม x 2, สี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่รูป (4∙2.5x = 10x) และสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพิ่มเติมอีกสี่รูป (6.25∙4 = 25) กล่าวคือ S = x 2 + 10x = 25 เมื่อแทนที่ x 2 + 10x ด้วยเลข 39 เราจะได้ S = 39 + 25 = 64 ซึ่งหมายความว่าด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ ABCD กล่าวคือ ส่วน AB = 8 สำหรับด้านที่ต้องการ x ของกำลังสองเดิมที่เราได้รับ

10. การแก้สมการโดยใช้ทฤษฎีบทของเบซูต์

ทฤษฎีบทของเบซูต์ ส่วนที่เหลือจากการหารพหุนาม P(x) ด้วยทวินาม x - α เท่ากับ P(α) (นั่นคือ ค่าของ P(x) ที่ x = α)

หากจำนวน α เป็นรากของพหุนาม P(x) แล้วพหุนามนี้จะหารด้วย x -α ลงตัวโดยไม่มีเศษ

ตัวอย่าง.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0 หาร P(x) ด้วย (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 หรือ x-3=0, x=3; คำตอบ: x1 =2,x2 =3.

บทสรุป:ความสามารถในการแก้สมการกำลังสองอย่างรวดเร็วและมีเหตุผลเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการแก้สมการที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น สมการตรรกยะเศษส่วนสมการระดับสูงกว่า สมการกำลังสอง และในวิชาตรีโกณมิติระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย เลขชี้กำลัง และ สมการลอการิทึม- หลังจากศึกษาวิธีการแก้สมการกำลังสองที่พบทั้งหมดแล้ว เราสามารถแนะนำให้เพื่อนร่วมชั้นของเรานอกเหนือจากวิธีมาตรฐานให้แก้ด้วยวิธีถ่ายโอน (6) และแก้สมการโดยใช้คุณสมบัติของสัมประสิทธิ์ (7) เนื่องจากเข้าถึงได้ง่ายกว่า เพื่อความเข้าใจ

วรรณกรรม:

1. แบรดิส วี.เอ็ม. ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก - ม., การศึกษา, 2533.
2. พีชคณิตเกรด 8: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน Makarychev Yu. N. , Mindyuk N. G. , Neshkov K. I. , Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky ฉบับที่ 15 แก้ไขแล้ว - อ.: การศึกษา, 2558
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. เกลเซอร์ จี.ไอ. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน คู่มือสำหรับครู. / เอ็ด. วี.เอ็น. อายุน้อยกว่า - ม.: การศึกษา, 2507.

ฉันหวังว่าหลังจากศึกษาบทความนี้แล้ว คุณจะได้เรียนรู้วิธีค้นหารากของสมการกำลังสองที่สมบูรณ์

เมื่อใช้การแบ่งแยก จะแก้ได้เฉพาะสมการกำลังสองที่สมบูรณ์เท่านั้น หากต้องการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ จะใช้วิธีการอื่น ซึ่งคุณจะพบได้ในบทความ “การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์”

สมการกำลังสองใดที่เรียกว่าสมบูรณ์? นี้ สมการของรูปแบบ ขวาน 2 + b x + c = 0โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ในการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ เราจำเป็นต้องคำนวณค่าจำแนก D

ง = ข 2 – 4เอซี

เราจะเขียนคำตอบทั้งนี้ขึ้นอยู่กับค่าของการเลือกปฏิบัติ

ถ้าตัวจำแนกเป็นจำนวนลบ (D< 0),то корней нет.

ถ้าตัวแยกแยะเป็นศูนย์ แล้ว x = (-b)/2a เมื่อตัวจำแนกเป็นจำนวนบวก (D > 0)

จากนั้น x 1 = (-b - √D)/2a และ x 2 = (-b + √D)/2a

ตัวอย่างเช่น. แก้สมการ x2– 4x + 4= 0.

ง = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

คำตอบ: 2.

แก้สมการที่ 2 x2 + x + 3 = 0

ง = 1 2 – 4 2 3 = – 23

คำตอบ: ไม่มีราก.

แก้สมการที่ 2 x2 + 5x – 7 = 0.

ง = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

คำตอบ: – 3.5; 1.

ลองจินตนาการถึงคำตอบของสมการกำลังสองสมบูรณ์โดยใช้แผนภาพในรูปที่ 1

การใช้สูตรเหล่านี้ทำให้คุณสามารถแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ได้ คุณเพียงแค่ต้องระมัดระวัง สมการนี้เขียนเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน

ก x2 + bx + คมิฉะนั้นคุณอาจทำผิดพลาด ตัวอย่างเช่น ในการเขียนสมการ x + 3 + 2x 2 = 0 คุณอาจตัดสินใจผิดพลาดได้ว่า

a = 1, b = 3 และ c = 2 จากนั้น

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 จากนั้นสมการจะมีราก 2 อัน และนี่ไม่เป็นความจริง (ดูวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างที่ 2 ด้านบน)

ดังนั้น หากสมการไม่ได้เขียนเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน อันดับแรก สมการกำลังสองที่สมบูรณ์จะต้องเขียนเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน (เอกพจน์ที่มีเลขชี้กำลังมากที่สุดควรมาก่อน นั่นคือ ก x2 แล้วมีน้อยลง – บีเอ็กซ์แล้วก็เป็นสมาชิกฟรี กับ.

เมื่อแก้สมการกำลังสองที่ลดลงและสมการกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์เลขคู่ในเทอมที่สอง คุณสามารถใช้สูตรอื่นได้ มาทำความรู้จักกับสูตรเหล่านี้กันดีกว่า ถ้าในสมการกำลังสองสมบูรณ์ เทอมที่สองมีค่าสัมประสิทธิ์เลขคู่ (b = 2k) คุณสามารถแก้สมการได้โดยใช้สูตรที่แสดงในแผนภาพในรูปที่ 2

สมการกำลังสองสมบูรณ์เรียกว่าลดลงถ้าสัมประสิทธิ์ที่ x2 เท่ากับหนึ่ง และสมการจะอยู่ในรูปแบบ x 2 + px + q = 0- สมการดังกล่าวสามารถให้ไว้สำหรับการแก้โจทย์ หรือหาได้โดยการหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการด้วยสัมประสิทธิ์ ก, ยืนอยู่ที่ x2 .

รูปที่ 3 แสดงแผนภาพสำหรับแก้กำลังสองลดลง
สมการ ลองดูตัวอย่างการใช้สูตรที่กล่าวถึงในบทความนี้

ตัวอย่าง. แก้สมการ

3x2 + 6x – 6 = 0

ลองแก้สมการนี้โดยใช้สูตรที่แสดงในแผนภาพในรูปที่ 1

ง = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

คำตอบ: –1 – √3; –1 + √3

คุณจะสังเกตได้ว่าค่าสัมประสิทธิ์ของ x ในสมการนี้เป็นเลขคู่ นั่นคือ b = 6 หรือ b = 2k โดยที่ k = 3 จากนั้นลองแก้สมการโดยใช้สูตรที่แสดงในแผนภาพของรูป D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(ง 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

คำตอบ: –1 – √3; –1 + √3- เมื่อสังเกตว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในสมการกำลังสองนี้หารด้วย 3 ลงตัวและทำการหาร เราจะได้สมการกำลังสองที่ลดลง x 2 + 2x – 2 = 0 แก้สมการนี้โดยใช้สูตรสำหรับกำลังสองที่ลดลง
สมการรูปที่ 3

ง 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(ง 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

คำตอบ: –1 – √3; –1 + √3.

อย่างที่คุณเห็น เมื่อแก้สมการนี้โดยใช้สูตรต่างกัน เราก็ได้รับคำตอบเดียวกัน ดังนั้น เมื่อเชี่ยวชาญสูตรที่แสดงในแผนภาพในรูปที่ 1 อย่างถี่ถ้วนแล้ว คุณจะสามารถแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ได้เสมอ

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ระดับรายการ

สมการกำลังสอง คู่มือที่ครอบคลุม (2019)

ในคำว่า "สมการกำลังสอง" คำสำคัญคือ "กำลังสอง" ซึ่งหมายความว่าสมการจะต้องมีตัวแปร (x เดียวกันนั้น) กำลังสอง และไม่ควรมี xes กำลังสาม (หรือมากกว่า)

การแก้สมการหลายสมการขึ้นอยู่กับการแก้สมการกำลังสองเท่านั้น

มาเรียนรู้กันว่านี่คือสมการกำลังสองไม่ใช่สมการอื่น

ตัวอย่างที่ 1

ลองกำจัดตัวส่วนแล้วคูณแต่ละเทอมของสมการด้วย

ลองย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายแล้วจัดเรียงเงื่อนไขตามลำดับกำลังของ X จากมากไปหาน้อย

ตอนนี้เราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าสมการนี้เป็นกำลังสอง!

ตัวอย่างที่ 2

คูณด้านซ้ายและขวาด้วย:

สมการนี้ แม้จะเดิมอยู่ในสมการนี้ แต่ก็ไม่ใช่สมการกำลังสอง!

ตัวอย่างที่ 3

ลองคูณทุกอย่างด้วย:

น่ากลัว? องศาที่สี่และสอง... อย่างไรก็ตาม ถ้าเราทำการแทนที่ เราจะเห็นว่าเรามีสมการกำลังสองง่ายๆ:

ตัวอย่างที่ 4

ดูเหมือนว่าจะอยู่ที่นั่น แต่ลองมาดูให้ละเอียดยิ่งขึ้น ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:

ดูสิ มันลดลง - และตอนนี้มันเป็นสมการเชิงเส้นธรรมดา!

ทีนี้ลองพิจารณาด้วยตัวเองว่าสมการใดต่อไปนี้เป็นสมการกำลังสองและสมการใดที่ไม่ใช่:

ตัวอย่าง:

คำตอบ:

1. สี่เหลี่ยม;
2. สี่เหลี่ยม;
3. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
4. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
5. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
6. สี่เหลี่ยม;
7. ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
8. สี่เหลี่ยม.

นักคณิตศาสตร์แบ่งสมการกำลังสองทั้งหมดตามอัตภาพออกเป็นประเภทต่างๆ ดังต่อไปนี้:

• สมการกำลังสองที่สมบูรณ์- สมการที่ค่าสัมประสิทธิ์และเทอมอิสระ c ไม่เท่ากับศูนย์ (ดังตัวอย่าง) นอกจากนี้ ยังมีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์อีกด้วย ที่ให้ไว้- นี่คือสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ (สมการจากตัวอย่างที่หนึ่งไม่เพียงสมบูรณ์ แต่ยังลดลงด้วย!)

• สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือพจน์อิสระ c เท่ากับศูนย์:

  ไม่สมบูรณ์เนื่องจากขาดองค์ประกอบบางอย่าง แต่สมการจะต้องมี x กำลังสองเสมอ!!! มิฉะนั้น มันจะไม่ใช่สมการกำลังสองอีกต่อไป แต่เป็นสมการอื่น

ทำไมพวกเขาถึงเกิดการแบ่งแยกเช่นนี้? ดูเหมือนว่ามี X กำลังสอง โอเค การแบ่งส่วนนี้ถูกกำหนดโดยวิธีการแก้ปัญหา มาดูรายละเอียดเพิ่มเติมกัน

การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

ก่อนอื่น เรามาเน้นที่การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ - มันง่ายกว่ามาก!

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์มีหลายประเภท:

1. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน
2. ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ
3. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระจะเท่ากัน

1. ฉัน. เพราะเรารู้วิธีสกัด รากที่สองแล้วลองเขียนจากสมการนี้ดู

นิพจน์อาจเป็นค่าลบหรือค่าบวกก็ได้ จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นลบได้ เพราะเมื่อคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ ดังนั้น ถ้าสมการไม่มีคำตอบ

และถ้า, เราได้สองราก. ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญคือคุณต้องรู้และจำไว้เสมอว่าต้องไม่น้อยไปกว่านี้

เรามาลองแก้ตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 5:

แก้สมการ

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแยกรากออกจากด้านซ้ายและด้านขวา ท้ายที่สุดคุณจำวิธีแยกรากออกได้ไหม?

คำตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!!!

ตัวอย่างที่ 6:

แก้สมการ

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 7:

แก้สมการ

โอ้! กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ

ไม่มีราก!

สำหรับสมการที่ไม่มีราก นักคณิตศาสตร์จะมีไอคอนพิเศษขึ้นมา - (เซตว่าง) และคำตอบสามารถเขียนได้ดังนี้:

คำตอบ:

ดังนั้นสมการกำลังสองนี้จึงมีรากสองอัน ไม่มีข้อจำกัดที่นี่ เนื่องจากเราไม่ได้แยกราก
ตัวอย่างที่ 8:

แก้สมการ

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:

ดังนั้น,

สมการนี้มีสองราก

คำตอบ:

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ชนิดที่ง่ายที่สุด (ถึงแม้จะง่ายทั้งหมดเลยใช่ไหม?) แน่นอนว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

เราจะแจกตัวอย่างที่นี่

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์

เราเตือนคุณว่าสมการกำลังสองที่สมบูรณ์คือสมการของสมการรูปแบบโดยที่

การแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์นั้นยากกว่าเล็กน้อย (เพียงเล็กน้อย)

จดจำ สมการกำลังสองใดๆ ก็สามารถแก้ได้โดยใช้การแบ่งแยก! แม้จะไม่สมบูรณ์ก็ตาม

วิธีอื่นๆ จะช่วยให้คุณทำได้เร็วขึ้น แต่หากคุณมีปัญหากับสมการกำลังสอง ให้เชี่ยวชาญวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ตัวแบ่งแยกก่อน

1. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้เครื่องจำแนก

การแก้สมการกำลังสองโดยใช้วิธีนี้นั้นง่ายมาก สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร

ถ้าสมการนั้นมีราก คุณต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอนนี้ Discriminant () บอกเราถึงจำนวนรากของสมการ

• หากแล้วสูตรในขั้นตอนจะลดลงเหลือ ดังนั้นสมการจะมีเพียงรากเท่านั้น
• หากแล้วเราจะไม่สามารถแยกรากของการแบ่งแยกในขั้นตอนนั้นได้ นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

กลับไปที่สมการของเราแล้วดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 9:

แก้สมการ

ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าสมการมีสองราก

ขั้นตอนที่ 3

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 10:

แก้สมการ

สมการนี้แสดงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นมีรากเดียว

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 11:

แก้สมการ

สมการนี้แสดงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ขั้นตอนที่ 1เราข้ามไป

ขั้นตอนที่ 2

เราพบการเลือกปฏิบัติ:

ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่สามารถแยกรากของการแบ่งแยกได้ ไม่มีรากของสมการ

ตอนนี้เรารู้วิธีเขียนคำตอบดังกล่าวอย่างถูกต้องแล้ว

คำตอบ:ไม่มีราก

2. การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม

หากคุณจำได้ว่ามีสมการประเภทหนึ่งที่เรียกว่าการลดลง (เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับ):

สมการดังกล่าวแก้ได้ง่ายมากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta:

ผลรวมของราก ที่ให้ไว้สมการกำลังสองเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 12:

แก้สมการ

สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เพราะว่า -

ผลรวมของรากของสมการเท่ากันนั่นคือ เราได้สมการแรก:

และผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับ:

มาเขียนและแก้ไขระบบกัน:

• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากัน

และเป็นแนวทางแก้ไขของระบบ:

คำตอบ: ; .

ตัวอย่างที่ 13:

แก้สมการ

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 14:

แก้สมการ

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

คำตอบ:

สมการกำลังสอง ระดับกลาง

สมการกำลังสองคืออะไร?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ตัวเลขบางตัว และ

ตัวเลขนี้เรียกว่าสูงสุดหรือ ค่าสัมประสิทธิ์แรกสมการกำลังสอง - สัมประสิทธิ์ที่สอง, เอ - สมาชิกฟรี.

ทำไม เพราะถ้าสมการกลายเป็นเส้นตรงทันที เพราะ จะหายไป

ในกรณีนี้และสามารถเท่ากับศูนย์ได้ ในสมการเก้าอี้นี้เรียกว่าไม่สมบูรณ์ หากเงื่อนไขทั้งหมดเข้าที่ นั่นคือ สมการเสร็จสมบูรณ์

คำตอบของสมการกำลังสองประเภทต่างๆ

วิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์:

ขั้นแรก เรามาดูวิธีการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งง่ายกว่า

เราสามารถแยกแยะประเภทของสมการได้ดังต่อไปนี้:

I. ในสมการนี้สัมประสิทธิ์และเทอมอิสระเท่ากัน

ครั้งที่สอง ในสมการนี้สัมประสิทธิ์จะเท่ากัน

III. ในสมการนี้ เทอมอิสระจะเท่ากับ

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหาของแต่ละประเภทย่อยกัน

แน่นอนว่าสมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

จำนวนยกกำลังสองไม่สามารถเป็นค่าลบได้ เพราะเมื่อคุณคูณจำนวนลบสองตัวหรือจำนวนบวกสองตัว ผลลัพธ์จะเป็นจำนวนบวกเสมอ นั่นเป็นเหตุผล:

ถ้าสมการนั้นไม่มีคำตอบ

ถ้าเรามีสองราก

ไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ สิ่งสำคัญที่ต้องจำคือต้องไม่น้อยไปกว่านี้

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

คำตอบ:

อย่าลืมรากที่มีเครื่องหมายลบ!

กำลังสองของตัวเลขไม่สามารถเป็นลบได้ ซึ่งหมายความว่าสมการ

ไม่มีราก

หากต้องการเขียนสั้นๆ ว่าปัญหาไม่มีทางแก้ไข เราใช้ไอคอนชุดว่างเปล่า

คำตอบ:

ดังนั้น สมการนี้จึงมีราก 2 อัน คือ และ

คำตอบ:

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ:

ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้ามีตัวประกอบอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าสมการจะมีคำตอบเมื่อ:

ดังนั้น สมการกำลังสองนี้มีสองราก: และ

ตัวอย่าง:

แก้สมการ

สารละลาย:

ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการแล้วหาราก:

คำตอบ:

วิธีการแก้สมการกำลังสองสมบูรณ์:

1. การเลือกปฏิบัติ

การแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีนี้เป็นเรื่องง่าย สิ่งสำคัญคือการจำลำดับของการกระทำและสูตรสองสามสูตร โปรดจำไว้ว่าสมการกำลังสองใดๆ สามารถแก้ไขได้โดยใช้การแบ่งแยก! แม้จะไม่สมบูรณ์ก็ตาม

คุณสังเกตเห็นรากจากการแยกแยะในสูตรหารากหรือไม่? แต่การเลือกปฏิบัติอาจเป็นผลลบได้ จะทำอย่างไร? เราต้องให้ความสนใจเป็นพิเศษกับขั้นตอนที่ 2 ผู้แยกแยะบอกเราถึงจำนวนรากของสมการ

• ถ้าสมการนั้นมีราก:
• ถ้าสมการนั้นมีรากที่เหมือนกัน แต่จริงๆ แล้วมีรากเดียว:

  รากดังกล่าวเรียกว่ารากคู่

• ถ้าเช่นนั้นรากของการแบ่งแยกจะไม่ถูกแยกออก นี่แสดงว่าสมการไม่มีราก

เหตุใดจึงมีจำนวนรากต่างกันได้ หันมากันดีกว่า ความรู้สึกทางเรขาคณิตสมการกำลังสอง กราฟของฟังก์ชันเป็นรูปพาราโบลา:

ในกรณีพิเศษ ซึ่งเป็นสมการกำลังสอง ซึ่งหมายความว่ารากของสมการกำลังสองคือจุดตัดกับแกนแอบซิสซา (แกน) พาราโบลาไม่สามารถตัดแกนได้เลย หรืออาจตัดกันที่จุดเดียว (เมื่อจุดยอดของพาราโบลาอยู่บนแกน) หรือสองจุด

นอกจากนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ยังรับผิดชอบต่อทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลาอีกด้วย ถ้า แล้วกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น และถ้า ชี้ลง

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

คำตอบ:

คำตอบ: .

คำตอบ:

ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ไข

คำตอบ: .

2. ทฤษฎีบทของเวียตตา

การใช้ทฤษฎีบทของ Vieta นั้นง่ายมาก คุณเพียงแค่ต้องเลือกตัวเลขคู่หนึ่งซึ่งมีผลคูณเท่ากับเทอมอิสระของสมการ และผลรวมเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ที่สองที่มาจากเครื่องหมายตรงข้าม

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าทฤษฎีบทของเวียตต้าสามารถใช้ได้เฉพาะในนั้นเท่านั้น สมการกำลังสองลดลง ()

ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

ตัวอย่าง #1:

แก้สมการ

สารละลาย:

สมการนี้สามารถแก้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตนาม เพราะว่า - ค่าสัมประสิทธิ์อื่นๆ: ; -

ผลรวมของรากของสมการคือ:

และผลิตภัณฑ์มีค่าเท่ากับ:

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากันและตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:

• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากับ;
• และ. จำนวนเงินเท่ากัน

และเป็นแนวทางแก้ไขของระบบ:

ดังนั้น และ คือรากของสมการของเรา

คำตอบ: ; -

ตัวอย่าง #2:

สารละลาย:

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลคูณ แล้วตรวจสอบว่าผลรวมเท่ากันหรือไม่:

และ: พวกเขาให้ทั้งหมด

และ: พวกเขาให้ทั้งหมด เพื่อให้ได้มาก็เพียงพอแล้วที่จะเปลี่ยนสัญญาณของรากที่ควรจะเป็น: และท้ายที่สุดก็คือผลิตภัณฑ์

คำตอบ:

ตัวอย่าง #3:

สารละลาย:

เทอมอิสระของสมการเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็นจำนวนลบ สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อรากอันใดอันหนึ่งเป็นลบและอีกอันเป็นค่าบวก ดังนั้นผลรวมของรากจึงเท่ากับ ความแตกต่างของโมดูล.

ให้เราเลือกคู่ของตัวเลขที่ให้ไว้ในผลิตภัณฑ์และผลต่างจะเท่ากับ:

และ: ความแตกต่างเท่ากัน - ไม่พอดี

และ: - ไม่เหมาะสม;

และ: - ไม่เหมาะสม;

และ: - เหมาะสม สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือจำไว้ว่าหนึ่งในรากนั้นเป็นลบ เนื่องจากผลรวมต้องเท่ากัน รากที่มีโมดูลัสน้อยกว่าจึงต้องเป็นลบ: เราตรวจสอบ:

คำตอบ:

ตัวอย่าง #4:

แก้สมการ

สารละลาย:

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

พจน์อิสระเป็นลบ ดังนั้นผลคูณของรากจึงเป็นลบ และนี่จะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อรากหนึ่งของสมการเป็นลบ และอีกรากหนึ่งเป็นค่าบวก

เรามาเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากัน แล้วพิจารณาว่ารากใดควรมีเครื่องหมายลบ:

เห็นได้ชัดว่ามีเพียงรากเท่านั้นและเหมาะสำหรับเงื่อนไขแรก:

คำตอบ:

ตัวอย่าง #5:

แก้สมการ

สารละลาย:

ให้สมการซึ่งหมายความว่า:

ผลรวมของรากเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าอย่างน้อยมีรากหนึ่งอันเป็นลบ แต่เนื่องจากผลคูณของมันเป็นบวก มันหมายความว่ารากทั้งสองมีเครื่องหมายลบ

ให้เราเลือกคู่ของตัวเลขที่มีผลคูณเท่ากับ:

แน่นอนว่ารากคือตัวเลขและ

คำตอบ:

เห็นด้วย มันสะดวกมากที่จะหารากด้วยวาจา แทนที่จะนับการเลือกปฏิบัติที่น่ารังเกียจนี้ พยายามใช้ทฤษฎีบทของเวียตต้าให้บ่อยที่สุด

แต่ทฤษฎีบทของ Vieta มีความจำเป็นเพื่ออำนวยความสะดวกและเร่งการค้นหาราก เพื่อให้คุณได้รับประโยชน์จากการใช้งาน คุณจะต้องดำเนินการต่างๆ ให้เป็นไปโดยอัตโนมัติ และสำหรับสิ่งนี้ ให้แก้ตัวอย่างอีกห้าตัวอย่าง แต่อย่าโกง: คุณไม่สามารถใช้การเลือกปฏิบัติได้! เฉพาะทฤษฎีบทของ Vieta เท่านั้น:

โซลูชั่นสำหรับงานสำหรับงานอิสระ:

ภารกิจที่ 1. ((x)^(2))-8x+12=0

ตามทฤษฎีบทของ Vieta:

ตามปกติเราจะเริ่มการเลือกด้วยชิ้นส่วน:

ไม่เหมาะสมเพราะปริมาณ;

: จำนวนเป็นเพียงสิ่งที่คุณต้องการ

คำตอบ: ; -

ภารกิจที่ 2

และทฤษฎีบทเวียต้าที่เราชื่นชอบอีกครั้ง ผลรวมต้องเท่ากัน และผลิตภัณฑ์ต้องเท่ากัน

แต่เนื่องจากมันจะต้องไม่ใช่ แต่เราเปลี่ยนสัญญาณของราก: และ (ทั้งหมด)

คำตอบ: ; -

ภารกิจที่ 3

อืม... ที่ไหนล่ะ?

คุณต้องย้ายข้อกำหนดทั้งหมดไปเป็นส่วนเดียว:

ผลรวมของรากเท่ากับผลคูณ

โอเค หยุด! ไม่ได้ให้สมการ แต่ทฤษฎีบทของเวียตต้าใช้ได้เฉพาะในสมการที่กำหนดเท่านั้น ก่อนอื่นคุณต้องให้สมการก่อน หากคุณไม่สามารถเป็นผู้นำได้ ให้ละทิ้งแนวคิดนี้และแก้ไขด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ) ฉันขอเตือนคุณว่าการให้สมการกำลังสองหมายถึงการทำให้สัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากัน:

ยอดเยี่ยม. แล้วผลรวมของรากเท่ากับ และผลคูณ.

ที่นี่มันง่ายพอๆ กับการเลือกปลอกลูกแพร์ เพราะมันเป็นจำนวนเฉพาะ (ขออภัยที่ซ้ำซาก)

คำตอบ: ; -

ภารกิจที่ 4

สมาชิกแบบฟรีเป็นค่าลบ มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับเรื่องนี้? และความจริงก็คือรากจะมีอาการต่างกัน และตอนนี้ในระหว่างการเลือก เราไม่ได้ตรวจสอบผลรวมของราก แต่ตรวจสอบความแตกต่างในโมดูล: ความแตกต่างนี้เท่ากัน แต่เป็นผลิตภัณฑ์

ดังนั้นรากจึงเท่ากับและ แต่หนึ่งในนั้นคือลบ ทฤษฎีบทของเวียตาบอกเราว่าผลรวมของรากเท่ากับสัมประสิทธิ์ที่สองที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือ ซึ่งหมายความว่ารากที่เล็กกว่าจะมีเครื่องหมายลบ: และเนื่องจาก

คำตอบ: ; -

ภารกิจที่ 5

คุณควรทำอะไรก่อน? ถูกต้อง ให้สมการ:

อีกครั้ง: เราเลือกปัจจัยของตัวเลขและผลต่างควรเท่ากับ:

รากเท่ากับและ แต่อันหนึ่งคือลบ ที่? ผลรวมควรเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าลบจะมีรากที่ใหญ่กว่า

คำตอบ: ; -

ให้ฉันสรุป:

1. ทฤษฎีบทของเวียตต้าใช้ในสมการกำลังสองที่กำหนดเท่านั้น
2. เมื่อใช้ทฤษฎีบทของเวียตา คุณสามารถค้นหารากได้โดยการเลือกด้วยปากเปล่า
3. หากไม่ได้ให้สมการหรือไม่พบคู่ปัจจัยที่เหมาะสมของคำอิสระ แสดงว่าไม่มีรากทั้งหมด และคุณต้องแก้มันด้วยวิธีอื่น (เช่น ผ่านการเลือกปฏิบัติ)

3. วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์

หากคำศัพท์ทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่ทราบถูกแสดงในรูปแบบของคำศัพท์จากสูตรการคูณแบบย่อ - กำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง - จากนั้นหลังจากแทนที่ตัวแปรแล้ว สมการสามารถนำเสนอในรูปแบบของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของประเภทนั้น

ตัวอย่างเช่น:

ตัวอย่างที่ 1:

แก้สมการ: .

สารละลาย:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:

แก้สมการ: .

สารละลาย:

คำตอบ:

โดยทั่วไป การเปลี่ยนแปลงจะมีลักษณะดังนี้:

ดังนี้.

ไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? นี่คือสิ่งที่เลือกปฏิบัติ! นั่นคือวิธีที่เราได้สูตรจำแนกมา

สมการกำลังสอง สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

สมการกำลังสอง- นี่คือสมการของรูปแบบ โดยที่ - ไม่ทราบ - ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง - เทอมอิสระ

สมการกำลังสองที่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์

สมการกำลังสองลดลง- สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์นั่นคือ: .

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์- สมการที่สัมประสิทธิ์และหรือพจน์อิสระ c เท่ากับศูนย์:

• หากเป็นสัมประสิทธิ์สมการจะมีลักษณะดังนี้: ,
• ถ้ามีพจน์อิสระ สมการจะมีรูปแบบ: ,
• ถ้า และ สมการจะมีลักษณะดังนี้:

1. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

1.1. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :

1) มาแสดงสิ่งที่ไม่รู้กันดีกว่า: ,

2) ตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์:

• ถ้าสมการไม่มีคำตอบ
• ถ้าสมการนั้นมีสองราก

1.2. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่ :

1) นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ: ,

2) ผลคูณจะเท่ากับศูนย์ถ้ามีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการจึงมีรากสองอัน:

1.3. สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ โดยที่:

สมการนี้มีรากเดียวเสมอ:

2. อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ของรูปแบบโดยที่

2.1. วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การแบ่งแยก

1) ลองลดสมการลงเป็น มุมมองมาตรฐาน: ,

2) มาคำนวณการแบ่งแยกโดยใช้สูตร: ซึ่งระบุจำนวนรากของสมการ:

3) ค้นหารากของสมการ:

• ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นมีรากซึ่งพบได้จากสูตร:
• ถ้าสมการนั้นไม่มีราก

2.2. คำตอบโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตตา

ผลรวมของรากของสมการกำลังสองลดลง (สมการของรูปแบบ โดยที่) เท่ากัน และผลิตภัณฑ์ของรากเท่ากัน นั่นคือ , ก.

2.3. วิธีแก้โดยวิธีเลือกกำลังสองสมบูรณ์

โรงเรียนมัธยมชนบท Kopyevskaya

10 วิธีในการแก้สมการกำลังสอง

หัวหน้า: Patrikeeva Galina Anatolyevna

ครูคณิตศาสตร์

หมู่บ้าน Kopevo, 2550

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

1.2 ไดโอแฟนตัสประกอบและแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

1.4 สมการกำลังสองโดยอัล-โคเรซมี

1.5 สมการกำลังสองในยุโรป ศตวรรษที่ 13 - 17

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตตา

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

บทสรุป

วรรณกรรม

1. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาสมการกำลังสอง

1.1 สมการกำลังสองในบาบิโลนโบราณ

ความจำเป็นในการแก้สมการไม่เพียงแต่ในระดับแรกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงระดับที่สองด้วยแม้ในสมัยโบราณก็มีสาเหตุมาจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาพื้นที่แปลงที่ดินและงานขุดค้นที่มีลักษณะทางทหารด้วย เช่นเดียวกับพัฒนาการทางดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์นั่นเอง สมการกำลังสองสามารถแก้ไขได้ประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล จ. ชาวบาบิโลน.

เมื่อใช้สัญกรณ์พีชคณิตสมัยใหม่ เราสามารถพูดได้ว่าในตำรารูปลิ่ม นอกจากที่ไม่สมบูรณ์แล้ว ยังมีสมการกำลังสองที่สมบูรณ์อีกด้วย:

เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ = ¾; เอ็กซ์ 2 - เอ็กซ์ = 14,5

กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราของชาวบาบิโลนนั้นโดยพื้นฐานแล้วเกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่มีใครรู้ว่าชาวบาบิโลนมาถึงกฎนี้ได้อย่างไร ตำราแบบฟอร์มอักษรคูนิฟอร์มเกือบทั้งหมดที่พบจนถึงตอนนี้มีเพียงปัญหาเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาที่วางอยู่ในรูปแบบของสูตรอาหารเท่านั้น โดยไม่มีข้อบ่งชี้ว่าพบได้อย่างไร

แม้จะมีการพัฒนาพีชคณิตในระดับสูงในบาบิโลน แต่ตำรารูปลิ่มยังขาดแนวคิดเรื่องจำนวนลบและวิธีการทั่วไปในการแก้สมการกำลังสอง

1.2 ไดโอแฟนตัสประกอบและแก้สมการกำลังสองได้อย่างไร

เลขคณิตของไดโอแฟนตัสไม่มีการนำเสนอพีชคณิตอย่างเป็นระบบ แต่ประกอบด้วยชุดปัญหาที่เป็นระบบ พร้อมด้วยคำอธิบาย และแก้ได้โดยการสร้างสมการในระดับต่างๆ

เมื่อเขียนสมการ ไดโอแฟนตัสจะเลือกสิ่งที่ไม่รู้จักอย่างชำนาญเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น

ตัวอย่างเช่นนี่คือหนึ่งในงานของเขา

ปัญหาที่ 11.“จงหาตัวเลขสองตัว โดยรู้ว่าผลรวมของมันคือ 20 และผลคูณของมันคือ 96”

เหตุผลของไดโอแฟนตัสดังต่อไปนี้: จากเงื่อนไขของปัญหาเป็นไปตามที่จำนวนที่ต้องการไม่เท่ากัน เนื่องจากหากเท่ากัน ผลคูณของพวกมันจะไม่เท่ากับ 96 แต่เป็น 100 ดังนั้น หนึ่งในนั้นจะมากกว่า ครึ่งหนึ่งของผลรวมของพวกเขานั่นคือ . 10 + xอีกอันน้อยกว่านั่นคือ 10- ความแตกต่างระหว่างพวกเขา 2x .

ดังนั้นสมการ:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

จากที่นี่ x = 2- หนึ่งในจำนวนที่ต้องการคือเท่ากับ 12 , อื่น 8 - สารละลาย x = -2เพราะไม่มีไดโอแฟนทัส เนื่องจากคณิตศาสตร์กรีกรู้แต่จำนวนบวกเท่านั้น

หากเราแก้ปัญหานี้โดยเลือกตัวเลขที่ต้องการเป็นตัวเลขที่ไม่รู้จัก เราก็จะได้คำตอบของสมการ

y(20 - y) = 96,

ปี 2 - 20ปี + 96 = 0 (2)

เห็นได้ชัดว่าการเลือกผลต่างครึ่งหนึ่งของจำนวนที่ต้องการเป็นค่าไม่ทราบ ไดโอแฟนตัสจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น เขาจัดการเพื่อลดปัญหาในการแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ (1)

1.3 สมการกำลังสองในอินเดีย

ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองมีอยู่แล้วในบทความทางดาราศาสตร์เรื่อง “อารยภัตติม” ซึ่งรวบรวมในปี 499 โดยนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย อารยภัตตะ นักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดียอีกคนหนึ่งคือ Brahmagupta (ศตวรรษที่ 7) ได้สรุปกฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่ลดลงเหลือเพียงรูปแบบบัญญัติเดียว:

อา 2 + ข x = ค, ก > 0 (1)

ในสมการ (1) จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์ ยกเว้น กอาจเป็นค่าลบก็ได้ กฎของพรหมคุปต์โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับของเรา

ใน อินเดียโบราณการแข่งขันสาธารณะในการแก้ปัญหาที่ยากลำบากเป็นเรื่องปกติ หนังสืออินเดียโบราณเล่มหนึ่งกล่าวถึงการแข่งขันดังกล่าวว่า “เมื่อดวงอาทิตย์ส่องแสงเจิดจ้าเหนือดวงดาว ผู้รอบรู้ก็จะเฉิดฉายรัศมีของผู้อื่นในการประชุมสาธารณะฉันนั้น เพื่อเสนอและแก้ไขปัญหาพีชคณิต” ปัญหามักถูกนำเสนอในรูปแบบบทกวี

นี่เป็นหนึ่งในปัญหาของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียผู้โด่งดังแห่งศตวรรษที่ 12 ภาสการ์

ปัญหาที่ 13.

“ฝูงลิงขี้เล่นและสิบสองตัวตามเถาวัลย์...

เจ้าหน้าที่ก็กินกันสนุกสนาน พวกเขาเริ่มกระโดด แขวน...

มีพวกมันอยู่ที่จัตุรัส ตอนที่แปด มีลิงกี่ตัว?

ฉันกำลังสนุกอยู่ในที่โล่ง บอกฉันในแพ็คนี้?

คำตอบของภัสการาบ่งชี้ว่าเขารู้ว่ารากของสมการกำลังสองมีค่าเป็นสองค่า (รูปที่ 3)

สมการที่สอดคล้องกับปัญหา 13 คือ:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara เขียนภายใต้หน้ากากว่า:

x 2 - 64x = -768

และหากต้องการเติมด้านซ้ายของสมการให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ให้บวกทั้งสองข้าง 32 2 จากนั้นได้รับ:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48

1.4 สมการกำลังสองในอัล - โคเรซมี

ในบทความเกี่ยวกับพีชคณิตของอัล-โคเรซมี มีการจำแนกประเภทของสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสองไว้ ผู้เขียนนับสมการได้ 6 ประเภท แสดงได้ดังนี้

1) “กำลังสองเท่ากับราก” เช่น ขวาน 2 + ค = ข เอ็กซ์

2) “กำลังสองเท่ากับตัวเลข” เช่น ขวาน 2 = ค

3) “รากมีค่าเท่ากับจำนวน” เช่น อา = ส

4) “กำลังสองและตัวเลขเท่ากับราก” เช่น ขวาน 2 + ค = ข เอ็กซ์

5) “กำลังสองและรากเท่ากับตัวเลข” เช่น อา 2 + บีเอ็กซ์ = ส.

6) “รากและตัวเลขเท่ากับกำลังสอง” เช่น บีเอ็กซ์ + ค = ขวาน 2 .

สำหรับอัล-โคเรซมี ผู้หลีกเลี่ยงการใช้จำนวนลบ เงื่อนไขของสมการแต่ละสมการเหล่านี้จะบวกและลบไม่ได้ ในกรณีนี้ สมการที่ไม่มีคำตอบเชิงบวกจะไม่ถูกนำมาพิจารณาอย่างชัดเจน ผู้เขียนกำหนดวิธีการแก้สมการเหล่านี้โดยใช้เทคนิคอัลญะบรีและอัลมุคาบาลา แน่นอนว่าการตัดสินใจของเขาไม่ตรงกับการตัดสินใจของเราเลย ไม่ต้องพูดถึงว่าเป็นวาทศิลป์ล้วนๆ ควรสังเกตว่าเมื่อแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ประเภทแรก

เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ทุกคนก่อนศตวรรษที่ 17 อัล-โคเรซมี ไม่ได้คำนึงถึงวิธีแก้ปัญหาที่เป็นศูนย์ อาจเป็นเพราะในปัญหาเชิงปฏิบัติโดยเฉพาะนั้นไม่สำคัญ เมื่อแก้สมการกำลังสองที่สมบูรณ์ อัล-โคเรซมีจะกำหนดกฎสำหรับการแก้สมการโดยใช้ตัวอย่างตัวเลขเฉพาะ จากนั้นจึงทำการพิสูจน์เรขาคณิต

ปัญหาที่ 14.“สี่เหลี่ยมจัตุรัสและเลข 21 มีค่าเท่ากับ 10 ราก ค้นหาต้นตอ" (หมายถึงรากของสมการ x 2 + 21 = 10x)

วิธีแก้ปัญหาของผู้เขียนมีดังนี้: หารจำนวนรากลงครึ่งหนึ่ง คุณจะได้ 5 คูณ 5 ด้วยตัวมันเอง ลบ 21 จากผลคูณ ที่เหลือคือ 4 นำรากออกจาก 4 คุณจะได้ 2 ลบ 2 จาก 5 คุณได้ 3 นี่จะเป็นรูทที่ต้องการ หรือบวก 2 ถึง 5 ซึ่งให้ 7 นี่ก็เป็นรูทเช่นกัน

บทความของ al-Khorezmi เป็นหนังสือเล่มแรกที่ลงมาหาเราซึ่งกำหนดการจำแนกประเภทของสมการกำลังสองอย่างเป็นระบบและให้สูตรสำหรับการแก้โจทย์ของพวกเขา

1.5 สมการกำลังสองในยุโรป สิบสาม - XVII BB

สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองตามแนวของอัล-โคเรซมีในยุโรปถูกกำหนดไว้ครั้งแรกใน Book of Abacus ซึ่งเขียนในปี 1202 โดย Leonardo Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ผลงานชิ้นใหญ่นี้ซึ่งสะท้อนถึงอิทธิพลของคณิตศาสตร์ทั้งประเทศอิสลามและ กรีกโบราณโดดเด่นด้วยทั้งความครบถ้วนและความชัดเจนในการนำเสนอ ผู้เขียนได้พัฒนาตัวอย่างพีชคณิตใหม่ในการแก้ปัญหาอย่างอิสระและเป็นคนแรกในยุโรปที่เข้าใกล้การแนะนำจำนวนลบ หนังสือของเขามีส่วนช่วยในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย ปัญหามากมายจากหนังสือลูกคิดถูกนำมาใช้ในหนังสือเรียนของยุโรปเกือบทั้งหมดในช่วงศตวรรษที่ 16 - 17 และส่วนหนึ่ง XVIII

กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองลดลงเป็นรูปแบบบัญญัติเดียว:

x2+ บีเอ็กซ์ = ค,

สำหรับการรวมกันของเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ข , กับได้รับการคิดค้นขึ้นในยุโรปในปี ค.ศ. 1544 โดย M. Stiefel

ที่มาของสูตรในการแก้สมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไปหาได้จากเมือง Viète แต่ Viète จำได้เพียงรากที่เป็นบวกเท่านั้น นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี Tartaglia, Cardano, Bombelli เป็นกลุ่มแรก ๆ ในศตวรรษที่ 16 นอกจากรากที่เป็นบวกแล้ว ยังคำนึงถึงรากที่เป็นลบด้วย เฉพาะในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ต้องขอบคุณผลงานของ Girard, Descartes, Newton และนักวิทยาศาสตร์คนอื่นๆ วิธีการแก้สมการกำลังสองจึงมีรูปแบบที่ทันสมัย

1.6 เกี่ยวกับทฤษฎีบทของเวียตตา

ทฤษฎีบทที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสองกับรากของมัน ซึ่งตั้งชื่อตามเวียตา ได้รับการคิดค้นขึ้นโดยเขาเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1591 ดังนี้: “ถ้า บี + ดี, คูณด้วย ก - ก 2 เท่ากับ บีดี, ที่ กเท่ากับ ในและเท่าเทียมกัน ดี ».

เพื่อให้เข้าใจ Vieta เราควรจำไว้ว่า กเช่นเดียวกับอักษรสระใด ๆ หมายถึงสิ่งที่ไม่รู้จัก (ของเรา เอ็กซ์) สระ ใน, ดี- ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จัก ในภาษาพีชคณิตสมัยใหม่ สูตร Vieta ข้างต้นหมายถึง ถ้ามี

(ก + ข )x - x 2 = เกี่ยวกับ ,

x 2 - (ก + ข )x + ก ข = 0,

x 1 = ก, x 2 = ข .

การแสดงความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการ สูตรทั่วไปเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ เวียตสร้างความสม่ำเสมอในวิธีการแก้สมการ อย่างไรก็ตามสัญลักษณ์ของเวียดนามยังห่างไกลจากนั้น ดูทันสมัย- เขาไม่รู้จักจำนวนลบ ดังนั้น เมื่อแก้สมการ เขาพิจารณาเฉพาะกรณีที่รากทั้งหมดเป็นค่าบวก

2. วิธีการแก้สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองเป็นรากฐานที่อาคารพีชคณิตอันสง่างามตั้งอยู่ สมการกำลังสองใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง ลอการิทึม อตรรกยะ และอสมการและอสมการ เราทุกคนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองตั้งแต่โรงเรียน (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8) จนกระทั่งสำเร็จการศึกษา

สมการกำลังสอง - แก้ง่าย! *ต่อไปนี้เรียกว่า “มก.”เพื่อน ๆ ดูเหมือนว่าไม่มีอะไรจะง่ายไปกว่านี้ในวิชาคณิตศาสตร์มากไปกว่าการแก้สมการดังกล่าว แต่มีบางอย่างบอกฉันว่าหลายคนมีปัญหากับเขา ฉันตัดสินใจดูว่ายานเดกซ์ให้การแสดงผลตามความต้องการจำนวนเท่าใดต่อเดือน นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น ดูสิ:

มันหมายความว่าอะไร? ซึ่งหมายความว่ามีผู้คนประมาณ 70,000 คนต่อเดือนที่กำลังมองหาข้อมูลนี้ ฤดูร้อนนี้เกี่ยวข้องกับอะไร และจะเกิดอะไรขึ้นบ้าง ปีการศึกษา— จะมีคำขอเป็นสองเท่า ไม่น่าแปลกใจเพราะชายและหญิงที่สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนเมื่อนานมาแล้วและกำลังเตรียมสอบ Unified State กำลังมองหาข้อมูลนี้และเด็กนักเรียนก็พยายามฟื้นฟูความทรงจำเช่นกัน

แม้ว่าจะมีเว็บไซต์จำนวนมากที่บอกวิธีแก้สมการนี้ให้คุณ แต่ฉันก็ตัดสินใจมีส่วนร่วมและเผยแพร่เนื้อหาด้วย ประการแรก ฉันต้องการให้ผู้เยี่ยมชมมาที่ไซต์ของฉันตามคำขอนี้ ประการที่สอง ในบทความอื่นๆ เมื่อมีหัวข้อ “มก.” ผมจะใส่ลิงค์บทความนี้ให้ ประการที่สาม ฉันจะบอกคุณเพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาของเขามากกว่าที่ระบุไว้ในเว็บไซต์อื่น ๆ มาเริ่มกันเลย!เนื้อหาของบทความ:

สมการกำลังสองคือสมการของรูปแบบ:

โดยที่สัมประสิทธิ์ขและ c เป็นตัวเลขใดๆ โดยที่ a≠0

ในหลักสูตรของโรงเรียน เนื้อหาจะได้รับในรูปแบบต่อไปนี้ - สมการแบ่งออกเป็นสามชั้นเรียน:

1. มีสองราก

2. *มีรากเดียวเท่านั้น

3. พวกมันไม่มีราก เป็นที่น่าสังเกตว่าที่นี่ไม่มีรากที่แท้จริง

รากคำนวณอย่างไร? แค่!

เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ ใต้คำที่ “แย่มาก” มีสูตรง่ายๆ อยู่ดังนี้:

สูตรรากมีดังนี้:

*คุณต้องรู้สูตรเหล่านี้ด้วยใจ

คุณสามารถเขียนและแก้ไขได้ทันที:

ตัวอย่าง:

1. ถ้า D > 0 สมการจะมีราก 2 อัน

2. ถ้า D = 0 แสดงว่าสมการนั้นมีหนึ่งรูต

3. ถ้า D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

ลองดูที่สมการ:

ในเรื่องนี้เมื่อผู้จำแนกมีค่าเท่ากับศูนย์หลักสูตรของโรงเรียนบอกว่าได้รับหนึ่งรูทซึ่งนี่ก็เท่ากับเก้า ทุกอย่างถูกต้องก็เป็นเช่นนั้น แต่...

ความคิดนี้ค่อนข้างไม่ถูกต้อง ในความเป็นจริงมีสองราก ใช่ ใช่ ไม่ต้องแปลกใจ คุณจะได้สองรากที่เท่ากัน และเพื่อให้แม่นยำทางคณิตศาสตร์ คำตอบควรเขียนเป็นสองราก:

x 1 = 3 x 2 = 3

แต่นี่เป็นเช่นนั้น - การพูดนอกเรื่องเล็กน้อย ที่โรงเรียนคุณสามารถจดไว้และบอกว่ามีรากเดียว

ตอนนี้ตัวอย่างถัดไป:

อย่างที่เราทราบกันดีว่าไม่สามารถหารากของจำนวนลบได้ ในกรณีนี้จึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา

นั่นคือกระบวนการตัดสินใจทั้งหมด

ฟังก์ชันกำลังสอง

นี่แสดงให้เห็นว่าโซลูชันมีลักษณะอย่างไรในเชิงเรขาคณิต นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่ต้องเข้าใจ (ในอนาคตในบทความใดบทความหนึ่งเราจะวิเคราะห์รายละเอียดวิธีแก้ปัญหาอสมการกำลังสอง)

นี่คือฟังก์ชันของแบบฟอร์ม:

โดยที่ x และ y เป็นตัวแปร

a, b, c – กำหนดตัวเลข โดยมี ≠ 0

กราฟเป็นรูปพาราโบลา:

นั่นคือปรากฎว่าโดยการแก้สมการกำลังสองด้วย "y" เท่ากับศูนย์ เราจะพบจุดตัดของพาราโบลากับแกน x อาจมีสองจุดเหล่านี้ (จุดเลือกปฏิบัติเป็นบวก) จุดหนึ่ง (จุดเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์) และไม่มีเลย (จุดเลือกปฏิบัติเป็นลบ) รายละเอียดเกี่ยวกับ ฟังก์ชันกำลังสอง คุณสามารถดูได้บทความโดย อินนา เฟลด์แมน

ลองดูตัวอย่าง:

ตัวอย่างที่ 1: แก้ 2x 2 +8 x–192=0

ก=2 ข=8 ค= –192

ด=ข 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

คำตอบ: x 1 = 8 x 2 = –12

*สามารถหารด้านซ้ายและด้านขวาของสมการได้ทันทีด้วย 2 ซึ่งก็คือ ลดรูปลง การคำนวณจะง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 2: ตัดสินใจ x2–22 x+121 = 0

ก=1 ข=–22 ค=121

ง = ข 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

เราพบว่า x 1 = 11 และ x 2 = 11

อนุญาตให้เขียน x = 11 ในคำตอบได้

คำตอบ: x = 11

ตัวอย่างที่ 3: ตัดสินใจ x 2 –8x+72 = 0

ก=1 ข= –8 ค=72

ง = ข 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

ตัวจำแนกเป็นลบ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง

คำตอบ: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

การเลือกปฏิบัติเป็นลบ มีทางแก้!

ที่นี่เราจะพูดถึงการแก้สมการในกรณีที่ได้รับการแยกแยะเชิงลบ คุณรู้อะไรเกี่ยวกับ จำนวนเชิงซ้อน- ฉันจะไม่ลงรายละเอียดที่นี่ว่าทำไมพวกเขาถึงเกิดขึ้นและบทบาทและความจำเป็นเฉพาะของพวกเขาในวิชาคณิตศาสตร์คืออะไร นี่เป็นหัวข้อสำหรับบทความขนาดใหญ่ที่แยกจากกัน

แนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน

ทฤษฎีเล็กน้อย

จำนวนเชิงซ้อน z คือตัวเลขที่อยู่ในรูปแบบ

z = ก + ไบ

โดยที่ a และ b เป็นจำนวนจริง i คือสิ่งที่เรียกว่าหน่วยจินตภาพ

เอ+บี – นี่เป็นตัวเลขเดียว ไม่ใช่การบวก

หน่วยจินตภาพเท่ากับรากของลบหนึ่ง:

ตอนนี้ให้พิจารณาสมการ:

เราได้รากคอนจูเกตสองตัว

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

ลองพิจารณากรณีพิเศษ นี่คือเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ "b" หรือ "c" เท่ากับศูนย์ (หรือทั้งสองอย่างเท่ากับศูนย์) สามารถแก้ไขได้ง่ายโดยไม่มีการเลือกปฏิบัติ

กรณีที่ 1 ค่าสัมประสิทธิ์ b = 0

สมการจะกลายเป็น:

มาแปลงร่างกัน:

ตัวอย่าง:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

กรณีที่ 2 ค่าสัมประสิทธิ์ c = 0

สมการจะกลายเป็น:

มาแปลงและแยกตัวประกอบกัน:

*ผลคูณจะเท่ากับศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 หรือ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

กรณีที่ 3 ค่าสัมประสิทธิ์ b = 0 และ c = 0

ตรงนี้ชัดเจนว่าคำตอบของสมการจะเป็น x = 0 เสมอ

คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์และรูปแบบของสัมประสิทธิ์

มีคุณสมบัติที่ช่วยให้คุณสามารถแก้สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์สูงได้

กx 2 + บีเอ็กซ์+ ค=0 ความเท่าเทียมกันถือ

ก + ข+ ค = 0,ที่

- ถ้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ กx 2 + บีเอ็กซ์+ ค=0 ความเท่าเทียมกันถือ

ก+ ส =ข, ที่

คุณสมบัติเหล่านี้ช่วยแก้สมการบางประเภทได้

ตัวอย่างที่ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

ผลรวมของอัตราต่อรองคือ 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 ซึ่งหมายถึง

ตัวอย่างที่ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

ความเท่าเทียมกันถือ ก+ ส =ข, วิธี

ความสม่ำเสมอของสัมประสิทธิ์

1. หากในสมการ ax 2 + bx + c = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a 2 +1) และค่าสัมประสิทธิ์ "c" เป็นตัวเลขเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ "a" ดังนั้นรากของมันจะเท่ากัน

ขวาน 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 6x 2 + 37x + 6 = 0

x 1 = –6 x 2 = –1/6

2. หากในสมการ ax 2 – bx + c = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a 2 +1) และค่าสัมประสิทธิ์ "c" เป็นตัวเลขเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ "a" ดังนั้นรากของมันจะเท่ากัน

ขวาน 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 15x 2 –226x +15 = 0

x 1 = 15 x 2 = 1/15

3. ถ้าอยู่ในสมการขวาน 2 + bx – c = 0 สัมประสิทธิ์ “b” เท่ากับ (a2 – 1) และสัมประสิทธิ์ “c” เป็นตัวเลขเท่ากับสัมประสิทธิ์ "a", แล้วรากของมันก็เท่ากัน

ขวาน 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 17x 2 +288x – 17 = 0

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. หากในสมการ ax 2 – bx – c = 0 ค่าสัมประสิทธิ์ "b" เท่ากับ (a 2 - 1) และค่าสัมประสิทธิ์ c เป็นตัวเลขเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ "a" ดังนั้นรากของมันจะเท่ากัน

ขวาน 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a

ตัวอย่าง. พิจารณาสมการ 10x 2 – 99x –10 = 0

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

ทฤษฎีบทของเวียตตา

ทฤษฎีบทของ Vieta ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชื่อดัง Francois Vieta เมื่อใช้ทฤษฎีบทของเวียตา เราสามารถแสดงผลรวมและผลคูณของรากของ KU ใดๆ ในรูปของสัมประสิทธิ์ได้

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

โดยรวมแล้วหมายเลข 14 ให้เพียง 5 และ 9 เท่านั้น นี่คือราก ด้วยทักษะบางอย่างโดยใช้ทฤษฎีบทที่นำเสนอ คุณสามารถแก้สมการกำลังสองจำนวนมากด้วยวาจาได้ทันที

นอกจากนี้ทฤษฎีบทของเวียตนาม สะดวกตรงที่หลังจากแก้สมการกำลังสองด้วยวิธีปกติ (ผ่านการจำแนก) แล้ว สามารถตรวจสอบรากผลลัพธ์ได้ ฉันแนะนำให้ทำเช่นนี้เสมอ

วิธีการขนส่ง

ด้วยวิธีนี้ค่าสัมประสิทธิ์ "a" จะถูกคูณด้วยเงื่อนไขอิสระราวกับว่า "ถูกโยน" ลงไปซึ่งเป็นสาเหตุที่เรียกว่า วิธีการ "โอน"วิธีการนี้ใช้เมื่อคุณสามารถหารากของสมการได้อย่างง่ายดายโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา และที่สำคัญที่สุดคือเมื่อตัวแยกแยะเป็นกำลังสองที่แน่นอน

ถ้า ก± บี+ซี≠ 0 จากนั้นจะใช้เทคนิคการถ่ายโอน เช่น:

2เอ็กซ์ 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => เอ็กซ์ 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

การใช้ทฤษฎีบทของเวียตตาในสมการ (2) ทำให้ง่ายต่อการตัดสินว่า x 1 = 10 x 2 = 1

ผลลัพธ์รากของสมการจะต้องหารด้วย 2 (เนื่องจากทั้งสองถูก "โยน" จาก x 2) เราจึงได้

x 1 = 5 x 2 = 0.5

มีเหตุผลอะไร? ดูสิ่งที่เกิดขึ้น

การแบ่งแยกสมการ (1) และ (2) เท่ากัน:

หากคุณดูที่รากของสมการ คุณจะเห็นเพียงตัวส่วนที่แตกต่างกัน และผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับสัมประสิทธิ์ของ x 2 อย่างแน่นอน:

อันที่สอง (แก้ไข) มีรากที่ใหญ่กว่า 2 เท่า

ดังนั้นเราจึงหารผลลัพธ์ด้วย 2

*หากเราทอยทั้งสามอีกครั้ง เราจะหารผลลัพธ์ด้วย 3 เป็นต้น

คำตอบ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

ตร.ม. ur-ie และ Unified State Examination

ฉันจะบอกคุณสั้น ๆ เกี่ยวกับความสำคัญของมัน - คุณต้องสามารถตัดสินใจได้อย่างรวดเร็วและไม่ต้องคิด คุณต้องรู้สูตรของรากและการเลือกปฏิบัติด้วยใจ ปัญหามากมายที่รวมอยู่ในงาน Unified State Examination เกิดขึ้นที่การแก้สมการกำลังสอง (รวมเรขาคณิตด้วย)

มีบางอย่างที่น่าสังเกต!

1. รูปแบบของการเขียนสมการสามารถเป็นแบบ "โดยนัย" ได้ ตัวอย่างเช่น รายการต่อไปนี้เป็นไปได้:

15+ 9x 2 - 45x = 0 หรือ 15x+42+9x 2 - 45x=0 หรือ 15 -5x+10x 2 = 0

คุณต้องนำมาเป็นรูปแบบมาตรฐาน (เพื่อไม่ให้สับสนเมื่อแก้ไข)

2. โปรดจำไว้ว่า x เป็นปริมาณที่ไม่รู้จักและสามารถเขียนแทนด้วยตัวอักษรอื่นได้ - t, q, p, h และอื่นๆ