ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และแทนเจนต์ การหาแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดยใช้ไซน์และโคไซน์

⁰

ศูนย์กลางอยู่ที่จุด A
α คือมุมที่แสดงเป็นเรเดียน

แทนเจนต์ ( สีแทน α) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาตรงข้าม |BC| ไปจนถึงความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| .

โคแทนเจนต์ ( ซีทีจี แอลฟา) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ถึงความยาวของขาตรงข้าม |BC| .

แทนเจนต์

ที่ไหน n- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก แทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์ y = tan x

โคแทนเจนต์

ที่ไหน n- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก โคแทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
ยอมรับสัญลักษณ์ต่อไปนี้ด้วย:
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ y = ctg x

คุณสมบัติของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ความเป็นงวด

ฟังก์ชัน y = ทีจีเอ็กซ์และ ย = ซีทีจี xเป็นคาบกับคาบ π

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นเลขคี่

พื้นที่ของความหมายและค่านิยม การเพิ่มขึ้น การลดลง

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีความต่อเนื่องในขอบเขตของคำจำกัดความ (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แสดงอยู่ในตาราง ( n- ทั้งหมด).

	ย = ทีจีเอ็กซ์	ย = ซีทีจี x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง
ช่วงของค่า	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
เพิ่มขึ้น		-
จากมากไปน้อย	-
สุดขั้ว	-	-
ศูนย์, y = 0
จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0	ย = 0	-

สูตร

นิพจน์โดยใช้ไซน์และโคไซน์

; ;
; ;
;

สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จากผลรวมและผลต่าง

สูตรที่เหลือก็หาได้ง่ายเช่นกัน

ผลคูณของแทนเจนต์

สูตรหาผลรวมและผลต่างของแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์

นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

; .

.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n เทียบกับตัวแปร x ของฟังก์ชัน:
.
การหาสูตรแทนเจนต์ > > > ; สำหรับโคแทนเจนต์ > > >

ปริพันธ์

การขยายซีรีส์

เพื่อให้ได้การขยายตัวของแทนเจนต์ในกำลังของ x คุณต้องใช้เงื่อนไขหลายประการในการขยายอนุกรมกำลังสำหรับฟังก์ชัน บาป xและ เพราะ xและหารพหุนามเหล่านี้ด้วยตัวอื่นๆ ในกรณีนี้ปรากฎว่า สูตรต่อไปนี้.

ที่ .

ที่ .
ที่ไหน บีเอ็น- หมายเลขเบอร์นูลลี โดยพิจารณาจากความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ:
;
;
ที่ไหน .
หรือตามสูตรของลาปลาซ:

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์ตามลำดับ

อาร์กแทนเจนต์, อาร์กจี

, ที่ไหน n- ทั้งหมด.

อาร์กโคแทนเจนต์, อาร์กซีจี

, ที่ไหน n- ทั้งหมด.

อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552
ก.กร, คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับ คนงานทางวิทยาศาสตร์และวิศวกร 2555

ฉันคิดว่าคุณสมควรได้รับมากกว่านี้ นี่คือกุญแจสำคัญของฉันในวิชาตรีโกณมิติ:

วาดโดม ผนัง และเพดาน
ฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่ใช่อะไรนอกจากเปอร์เซ็นต์ของทั้งสามรูปแบบนี้

คำอุปมาของไซน์และโคไซน์: โดม

แทนที่จะมองแค่รูปสามเหลี่ยม ลองจินตนาการถึงรูปสามเหลี่ยมโดยการค้นหาตัวอย่างในชีวิตจริงที่เฉพาะเจาะจง

ลองนึกภาพคุณอยู่กลางโดมและต้องการแขวนจอโปรเจ็กเตอร์ภาพยนตร์ คุณชี้นิ้วของคุณไปที่โดมในมุมหนึ่ง “x” และหน้าจอควรถูกระงับจากจุดนี้

มุมที่คุณชี้จะกำหนด:

sine(x) = sin(x) = ความสูงของหน้าจอ (จากพื้นถึงจุดยึดโดม)
cosine(x) = cos(x) = ระยะทางจากคุณถึงหน้าจอ (ตามชั้น)
ด้านตรงข้ามมุมฉาก ระยะห่างจากคุณถึงด้านบนของหน้าจอ จะเท่ากันเสมอ เท่ากับรัศมีของโดม

คุณต้องการให้หน้าจอมีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้หรือไม่? แขวนไว้เหนือคุณโดยตรง

คุณต้องการให้หน้าจอแขวนห่างจากคุณมากที่สุดหรือไม่? แขวนให้ตรงตั้งฉาก หน้าจอจะมีความสูงเป็นศูนย์ในตำแหน่งนี้และจะแขวนให้ไกลที่สุดตามที่คุณถาม

ความสูงและระยะห่างจากหน้าจอจะแปรผกผัน: ยิ่งหน้าจอแขวนไว้มากเท่าไร ความสูงก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ไซน์และโคไซน์เป็นเปอร์เซ็นต์

อนิจจาไม่มีใครอธิบายให้ฉันฟังในช่วงปีที่ฉันศึกษาว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์ไม่มีอะไรมากไปกว่าเปอร์เซ็นต์ ค่าของมันอยู่ในช่วงตั้งแต่ +100% ถึง 0 ถึง -100% หรือจากค่าสูงสุดที่เป็นบวกไปจนถึงศูนย์ถึงค่าสูงสุดที่เป็นค่าลบ

สมมติว่าฉันจ่ายภาษี 14 รูเบิล คุณไม่รู้ว่ามันมากแค่ไหน แต่ถ้าคุณบอกว่าฉันจ่ายภาษี 95% คุณจะเข้าใจว่าฉันแค่ถูกไล่ออก

ความสูงสัมบูรณ์ไม่ได้มีความหมายอะไรเลย แต่ถ้าค่าไซน์คือ 0.95 ฉันเข้าใจว่าทีวีแขวนเกือบอยู่บนโดมของคุณ ในไม่ช้า มันจะถึงความสูงสูงสุดที่กึ่งกลางโดม และจากนั้นก็เริ่มลดลงอีกครั้ง

เราจะคำนวณเปอร์เซ็นต์นี้ได้อย่างไร? ง่ายมาก: หารความสูงของหน้าจอปัจจุบันด้วยค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ (รัศมีของโดมหรือที่เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก)

นั่นเป็นเหตุผลเราได้รับแจ้งว่า "โคไซน์ = ด้านตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก" มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับการได้รับความสนใจ! วิธีที่ดีที่สุดคือให้นิยามไซน์เป็น "เปอร์เซ็นต์ของความสูงปัจจุบันจากค่าสูงสุดที่เป็นไปได้" (ไซน์จะกลายเป็นลบหากมุมของคุณชี้ไปที่ "ใต้ดิน" โคไซน์จะกลายเป็นลบหากมุมชี้ไปที่จุดโดมด้านหลังคุณ)

มาทำให้การคำนวณง่ายขึ้นโดยสมมติว่าเราอยู่ที่ศูนย์กลางของวงกลมหนึ่งหน่วย (รัศมี = 1) เราข้ามการหารแล้วหาไซน์เท่ากับความสูงได้

แต่ละวงกลมโดยพื้นฐานแล้วจะเป็นหน่วยหนึ่ง ขยายหรือย่อขนาดเป็น ขนาดที่เหมาะสม. ดังนั้นให้กำหนดการเชื่อมต่อวงกลมหนึ่งหน่วยแล้วนำผลลัพธ์ไปใช้กับขนาดวงกลมเฉพาะของคุณ

การทดลอง: ใช้มุมใดก็ได้แล้วดูว่าแสดงความสูงถึงความกว้างกี่เปอร์เซ็นต์:

กราฟการเติบโตของค่าไซน์ไม่ใช่แค่เส้นตรง 45 องศาแรกครอบคลุม 70% ของความสูง แต่ 10 องศาสุดท้าย (จาก 80° ถึง 90°) ครอบคลุมเพียง 2%

สิ่งนี้จะทำให้คุณเข้าใจได้ง่ายขึ้น: หากคุณเดินเป็นวงกลม ที่ 0° คุณจะสูงขึ้นเกือบเป็นแนวตั้ง แต่เมื่อคุณเข้าใกล้ยอดโดม ความสูงจะเปลี่ยนไปน้อยลงเรื่อยๆ

แทนเจนต์และซีแคนต์ กำแพง

วันหนึ่งเพื่อนบ้านคนหนึ่งสร้างกำแพง อยู่ติดกันไปที่โดมของคุณ ร้องไห้มุมมองของคุณจากหน้าต่างและ ราคาดีเพื่อขายต่อ!

แต่เป็นไปได้ไหมที่จะชนะในสถานการณ์นี้?

แน่นอนใช่. จะเป็นอย่างไรถ้าเราแขวนจอภาพยนตร์ไว้บนผนังเพื่อนบ้าน? คุณกำหนดเป้าหมายมุม (x) และรับ:

tan(x) = tan(x) = ความสูงของหน้าจอบนผนัง
ระยะห่างจากคุณถึงผนัง: 1 (นี่คือรัศมีของโดมของคุณ กำแพงไม่ขยับไปไหนจากคุณใช่ไหม?)
secant(x) = sec(x) = “ความยาวของบันได” จากคุณยืนอยู่ตรงกลางโดมจนถึงด้านบนของฉากกั้นที่แขวนอยู่

มาอธิบายประเด็นสองสามข้อเกี่ยวกับแทนเจนต์หรือความสูงของหน้าจอกันดีกว่า

มันเริ่มต้นที่ 0 และสามารถไปสูงอย่างไม่สิ้นสุด คุณสามารถยืดหน้าจอบนผนังให้สูงขึ้นเรื่อยๆ เพื่อสร้างผืนผ้าใบที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับการชมภาพยนตร์เรื่องโปรดของคุณ! (แน่นอนว่าคุณจะต้องใช้เงินเป็นจำนวนมากสำหรับสิ่งที่ยิ่งใหญ่เช่นนี้)
แทนเจนต์เป็นเพียงเวอร์ชันที่ใหญ่กว่าของไซน์! และในขณะที่ไซน์ที่เพิ่มขึ้นช้าลงเมื่อคุณเคลื่อนที่ขึ้นไปบนโดม แทนเจนต์ก็ยังคงเติบโตต่อไป!

Sekansu ยังมีบางสิ่งที่จะคุยโวเกี่ยวกับ:

เส้นตัดเริ่มต้นที่ 1 (บันไดอยู่บนพื้น จากคุณถึงผนัง) และเริ่มลอยขึ้นจากที่นั่น
เส้นตัดจะยาวกว่าเส้นสัมผัสกันเสมอ บันไดเอียงที่คุณใช้แขวนหน้าจอควรจะยาวกว่าตัวหน้าจอใช่ไหม? (ด้วยขนาดที่ไม่สมจริง เมื่อหน้าจอยาวมากและต้องวางบันไดเกือบในแนวตั้ง ขนาดของบันไดก็จะเกือบจะเท่ากัน แต่ถึงอย่างนั้น secant ก็จะยาวกว่าเล็กน้อย)

จำไว้ว่าค่านิยมคือ เปอร์เซ็นต์. หากคุณตัดสินใจแขวนหน้าจอเป็นมุม 50 องศา สีแทน (50)=1.19 หน้าจอของคุณใหญ่กว่าระยะห่างจากผนังถึง 19% (รัศมีโดม)

(ป้อน x=0 และตรวจสอบสัญชาตญาณของคุณ - tan(0) = 0 และวินาที(0) = 1.)

โคแทนเจนต์และโคซีแคนต์ เพดาน

น่าเหลือเชื่อที่เพื่อนบ้านของคุณตัดสินใจสร้างหลังคาเหนือโดมของคุณแล้ว (เขาเป็นอะไรไป? เห็นได้ชัดว่าเขาไม่อยากให้คุณสอดแนมเขาในขณะที่เขาเปลือยกายเดินเล่นในสวน...)

ถึงเวลาสร้างทางออกสู่หลังคาแล้วคุยกับเพื่อนบ้านของคุณ คุณเลือกมุมเอียงและเริ่มการก่อสร้าง:

ระยะห่างแนวตั้งระหว่างทางออกหลังคาถึงพื้นคือ 1 เสมอ (รัศมีของโดม)
cotangent(x) = cot(x) = ระยะห่างระหว่างยอดโดมถึงจุดทางออก
cosecant(x) = csc(x) = ความยาวของเส้นทางสู่หลังคา

Tangent และ secant อธิบายผนัง และ COtangent และ COsecant อธิบายเพดาน

ข้อสรุปตามสัญชาตญาณของเราในครั้งนี้คล้ายกับข้อสรุปก่อนหน้านี้:

หากคุณทำมุมเท่ากับ 0° การออกไปสู่หลังคาจะคงอยู่ตลอดไป เนื่องจากไม่มีทางไปถึงเพดาน ปัญหา.
คุณจะได้ "บันได" ที่สั้นที่สุดถึงหลังคาหากคุณสร้างมันที่มุม 90 องศากับพื้น โคแทนเจนต์จะเท่ากับ 0 (เราไม่ได้เคลื่อนที่ไปตามหลังคาเลย เราออกในแนวตั้งฉากอย่างเคร่งครัด) และโคซีแคนต์จะเท่ากับ 1 (“ความยาวของบันได” จะน้อยที่สุด)

เห็นภาพการเชื่อมต่อ

ถ้าทั้งสามกรณีถูกวาดในลักษณะรวมโดม-ผนัง-เพดาน ผลลัพธ์จะเป็นดังนี้:

ก็ยังเป็นรูปสามเหลี่ยมเหมือนเดิม เพิ่มขนาดให้ถึงผนังและเพดาน เรามีด้านแนวตั้ง (ไซน์, แทนเจนต์), ด้านแนวนอน (โคไซน์, โคแทนเจนต์) และ "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" (ซีแคนต์, โคซีแคนต์) (ตามลูกศร คุณจะเห็นว่าแต่ละองค์ประกอบไปถึงจุดใด โคซีแคนต์คือระยะทางรวมจากคุณถึงหลังคา)

เวทมนตร์เล็กน้อย สามเหลี่ยมทั้งหมดมีความเท่าเทียมกันเท่ากัน:

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส (a 2 + b 2 = c 2) เราจะเห็นว่าด้านของสามเหลี่ยมแต่ละรูปเชื่อมโยงกันอย่างไร นอกจากนี้ อัตราส่วน "ความสูงต่อความกว้าง" ควรเหมือนกันสำหรับสามเหลี่ยมทั้งหมดด้วย (เพียงย้ายจากสามเหลี่ยมที่ใหญ่ที่สุดไปยังสามเหลี่ยมที่เล็กกว่า ใช่ขนาดเปลี่ยนไป แต่สัดส่วนของด้านข้างจะยังคงเท่าเดิม)

เมื่อรู้ว่าด้านใดในแต่ละสามเหลี่ยมเท่ากับ 1 (รัศมีของโดม) เราก็สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายว่า “sin/cos = tan/1”

ฉันพยายามจดจำข้อเท็จจริงเหล่านี้มาโดยตลอดผ่านการแสดงภาพข้อมูลแบบง่ายๆ ในภาพคุณเห็นการพึ่งพาเหล่านี้อย่างชัดเจนและเข้าใจว่ามันมาจากไหน เทคนิคนี้ดีกว่าการจำสูตรแห้งมาก

อย่าลืมเกี่ยวกับมุมอื่นๆ

โปรดอย่าติดอยู่บนกราฟเดียว โดยคิดว่าแทนเจนต์จะน้อยกว่า 1 เสมอ หากคุณเพิ่มมุม คุณสามารถไปถึงเพดานได้โดยไม่ต้องถึงผนัง:

การเชื่อมต่อแบบพีทาโกรัสใช้ได้ผลเสมอ แต่ขนาดสัมพัทธ์อาจแตกต่างกันไป

(คุณอาจสังเกตเห็นว่าอัตราส่วนไซน์และโคไซน์จะเล็กที่สุดเสมอเนื่องจากอยู่ภายในโดม)

สรุป: เราต้องจำอะไร?

สำหรับพวกเราส่วนใหญ่ ฉันว่าแค่นี้ก็เพียงพอแล้ว:

ตรีโกณมิติอธิบายกายวิภาคของวัตถุทางคณิตศาสตร์ เช่น วงกลมและช่วงการทำซ้ำ
การเปรียบเทียบโดม/ผนัง/หลังคาแสดงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติต่างๆ
ผลลัพธ์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติคือเปอร์เซ็นต์ที่เราใช้กับสคริปต์ของเรา

คุณไม่จำเป็นต้องจำสูตรเช่น 1 2 + cot 2 = csc 2 เหมาะสำหรับการทดสอบโง่ๆ ที่ถ่ายทอดความรู้เกี่ยวกับข้อเท็จจริงว่าเป็นความเข้าใจเท่านั้น ใช้เวลาสักครู่เพื่อวาดครึ่งวงกลมในรูปแบบของโดม ผนัง และหลังคา ตั้งชื่อองค์ประกอบต่างๆ แล้วสูตรทั้งหมดจะมาหาคุณบนกระดาษ

การประยุกต์ใช้: ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติใดๆ จะใช้มุมเป็นพารามิเตอร์อินพุตและส่งกลับผลลัพธ์เป็นเปอร์เซ็นต์ บาป(30) = 0.5 ซึ่งหมายความว่ามุม 30 องศาจะกินพื้นที่ 50% ของความสูงสูงสุด

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเขียนเป็น sin -1 หรือ arcsin Asin มักเขียนด้วยภาษาโปรแกรมต่างๆ

ถ้าความสูงของเราเท่ากับ 25% ของความสูงของโดม มุมของเราจะเป็นเท่าใด

ในตารางสัดส่วนของเรา คุณจะพบอัตราส่วนโดยที่เส้นตัดถูกหารด้วย 1 ตัวอย่างเช่น เส้นตัดขวางด้วย 1 (ด้านตรงข้ามมุมฉากกับแนวนอน) จะเท่ากับ 1 หารด้วยโคไซน์:

สมมติว่าซีแคนต์ของเราคือ 3.5 นั่นคือ 350% ของรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย ค่านี้สอดคล้องกับมุมเอียงกับผนังเท่าใด

ภาคผนวก: ตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่าง: ค้นหาไซน์ของมุม x

งานที่น่าเบื่อ มาทำให้ความซับซ้อนซ้ำซาก "ค้นหาไซน์" เป็น "ความสูงเป็นเปอร์เซ็นต์ของค่าสูงสุด (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) คืออะไร"

ขั้นแรก ให้สังเกตว่าสามเหลี่ยมนั้นหมุนอยู่ ไม่มีอะไรผิดปกติกับที่ สามเหลี่ยมก็มีความสูงเช่นกัน โดยจะแสดงเป็นสีเขียวในรูป

ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับอะไร? ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรารู้ว่า:

3 2 + 4 2 = ด้านตรงข้ามมุมฉาก 2 25 = ด้านตรงข้ามมุมฉาก 2 5 = ด้านตรงข้ามมุมฉาก

ดี! ไซน์คือเปอร์เซ็นต์ของความสูงของด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมหรือด้านตรงข้ามมุมฉาก ในตัวอย่างของเรา ไซน์คือ 3/5 หรือ 0.60

แน่นอนว่าเราสามารถไปได้หลายวิธี ตอนนี้เรารู้แล้วว่าไซน์คือ 0.60 เราก็หาอาร์คไซน์ได้:

เอซิน(0.6)=36.9

นี่เป็นอีกแนวทางหนึ่ง โปรดทราบว่ารูปสามเหลี่ยมนั้น "หันหน้าไปทางผนัง" ดังนั้นเราจึงสามารถใช้แทนเจนต์แทนไซน์ได้ ความสูงคือ 3 ระยะห่างจากผนังคือ 4 ดังนั้นแทนเจนต์คือ 3/4 หรือ 75% เราสามารถใช้อาร์กแทนเจนต์เพื่อเปลี่ยนจากค่าเปอร์เซ็นต์กลับไปเป็นมุมได้:

ตัน = 3/4 = 0.75 ตัน(0.75) = 36.9 ตัวอย่าง: คุณจะว่ายเข้าฝั่งไหม?

คุณอยู่ในเรือและมีเชื้อเพลิงเพียงพอสำหรับการเดินทาง 2 กม. ขณะนี้คุณอยู่ห่างจากชายฝั่ง 0.25 กม. คุณสามารถว่ายไปในมุมสูงสุดจากชายฝั่งได้เท่าใดเพื่อให้มีเชื้อเพลิงเพียงพอ? นอกเหนือจากคำชี้แจงปัญหา: เรามีเพียงตารางค่าอาร์คโคไซน์เท่านั้น

เรามีอะไร? แนวชายฝั่งอาจแสดงเป็น "กำแพง" ในรูปสามเหลี่ยมอันโด่งดังของเรา และ "ความยาวของบันได" ที่ติดกับผนังคือระยะทางสูงสุดที่เรือจะแล่นถึงฝั่งได้ (2 กม.) ซีแคนต์ปรากฏขึ้น

ก่อนอื่นคุณต้องไปที่เปอร์เซ็นต์ เรามี 2 / 0.25 = 8 คือว่ายได้ระยะทาง 8 เท่าของระยะตรงถึงฝั่ง (หรือถึงกำแพง)

คำถามเกิดขึ้น: “ซีแคนต์ของ 8 คืออะไร” แต่เราไม่สามารถตอบได้ เนื่องจากเรามีเพียงส่วนโค้งโคไซน์เท่านั้น

เราใช้การพึ่งพาที่ได้รับมาก่อนหน้านี้เพื่อเชื่อมโยงซีแคนต์กับโคไซน์: “sec/1 = 1/cos”

เส้นตัดของ 8 เท่ากับโคไซน์ของ ⅛ มุมที่มีโคไซน์เป็น ⅛ เท่ากับ acos(1/8) = 82.8 และนี่คือมุมที่ใหญ่ที่สุดที่เราสามารถทำได้บนเรือ ปริมาณที่ระบุเชื้อเพลิง.

ไม่เลวใช่มั้ย? หากไม่มีการเปรียบเทียบระหว่างโดมกับผนังและเพดาน ฉันคงหลงไปกับสูตรและการคำนวณมากมาย การแสดงปัญหาช่วยให้การค้นหาวิธีแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก และยังน่าสนใจที่จะดูว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติใดจะช่วยได้ในที่สุด

สำหรับแต่ละปัญหา ให้คิดดังนี้: ฉันสนใจโดม (sin/cos) ผนัง (tan/วินาที) หรือเพดาน (เปล/csc) หรือไม่?

และตรีโกณมิติจะสนุกขึ้นมาก การคำนวณที่ง่ายสำหรับคุณ!

บทความนี้ประกอบด้วย ตารางไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์. ขั้นแรกเราจะจัดทำตารางค่าพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั่นคือตารางไซน์โคไซน์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม 0, 30, 45, 60, 90, ... , 360 องศา ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πเรเดียน). หลังจากนี้เราจะให้ตารางไซน์และโคไซน์รวมถึงตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดย V. M. Bradis และแสดงวิธีใช้ตารางเหล่านี้เมื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การนำทางหน้า

ตารางไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สำหรับมุม 0, 30, 45, 60, 90, ... องศา

บรรณานุกรม.

พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky - M.: การศึกษา, 1990. - 272 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-002727-7
บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.
พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย
แบรดิส วี.เอ็ม.ตารางคณิตศาสตร์สี่หลัก: เพื่อการศึกษาทั่วไป หนังสือเรียน สถานประกอบการ - ฉบับที่ 2 - อ.: อีแร้ง, 2542.- 96 น.: ป่วย ไอ 5-7107-2667-2

1. ฟังก์ชันตรีโกณมิติแทน ฟังก์ชันเบื้องต้นซึ่งมีข้อโต้แย้งอยู่ มุม. ฟังก์ชันตรีโกณมิติอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติมีความหลากหลายอย่างมาก ตัวอย่างเช่น กระบวนการที่เป็นคาบใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (อนุกรมฟูเรียร์) ฟังก์ชันเหล่านี้มักปรากฏขึ้นเมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์และฟังก์ชัน

2. ฟังก์ชันตรีโกณมิติประกอบด้วย 6 ฟังก์ชันต่อไปนี้: ไซนัส, โคไซน์, แทนเจนต์,โคแทนเจนต์, ตัดออกและ โคซีแคนต์. สำหรับแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ จะมีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

3. สะดวกในการแนะนำคำจำกัดความทางเรขาคณิตของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้ วงกลมหน่วย. รูปด้านล่างแสดงวงกลมที่มีรัศมี r=1 จุด M(x,y) ถูกทำเครื่องหมายไว้บนวงกลม มุมระหว่างเวกเตอร์รัศมี OM และทิศทางบวกของแกน Ox เท่ากับ α

4. ไซนัสมุม α คืออัตราส่วนของพิกัด y ของจุด M(x,y) ต่อรัศมี r:
ซินα=y/r.
เนื่องจาก r=1 ดังนั้นไซน์จึงเท่ากับพิกัดของจุด M(x,y)

5. โคไซน์มุม α คืออัตราส่วนของ abscissa x ของจุด M(x,y) ต่อรัศมี r:
cosα=x/r

6. แทนเจนต์มุม α คืออัตราส่วนของพิกัด y ของจุด M(x,y) ต่อจุดหักเหของ x:
tanα=y/x,x≠0

7. โคแทนเจนต์มุม α คืออัตราส่วนของ abscissa x ของจุด M(x,y) ต่อพิกัด y:
โคα=x/y,y≠0

8. ซีแคนต์มุม α คืออัตราส่วนของรัศมี r ต่อ abscissa x ของจุด M(x,y):
วินาทีα=r/x=1/x,x≠0

9. โคซีแคนต์มุม α คืออัตราส่วนของรัศมี r ต่อพิกัด y ของจุด M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. ในวงกลมหนึ่งหน่วย เส้นโครง x, y จุด M(x,y) และรัศมี r ก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ x,y คือขา และ r คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น คำจำกัดความข้างต้นของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากจึงมีสูตรดังนี้
ไซนัสมุม α คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก
โคไซน์มุม α คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
แทนเจนต์มุม α เรียกว่าขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน
โคแทนเจนต์มุม α เรียกว่าด้านประชิดกับด้านตรงข้าม
ซีแคนต์มุม α คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อขาที่อยู่ติดกัน
โคซีแคนต์มุม α คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อขาตรงข้าม

11. กราฟของฟังก์ชันไซน์
y=sinx, โดเมนของคำจำกัดความ: x∈R, ช่วงของค่า: −1≤sinx≤1

12. กราฟของฟังก์ชันโคไซน์
y=cosx, โดเมน: x∈R, พิสัย: −1≤cosx≤1

13. กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์
y=tanx, ช่วงของคำจำกัดความ: x∈R,x≠(2k+1)π/2, ช่วงของค่า: −∞