คุณสมบัติของรากที่ n ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหา รากและคุณสมบัติของมัน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

เกี่ยวกับการศึกษา: สร้างเงื่อนไขสำหรับการพัฒนานักเรียนให้มีความเข้าใจแบบองค์รวมเกี่ยวกับรากเหง้าของระดับที่ n ทักษะการมีสติและ การใช้เหตุผลคุณสมบัติของรากเมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ

พัฒนาการ: สร้างเงื่อนไขในการพัฒนาอัลกอริธึม ความคิดสร้างสรรค์ พัฒนาทักษะการควบคุมตนเอง

เกี่ยวกับการศึกษา: ส่งเสริมการพัฒนาความสนใจในเรื่อง กิจกรรม ปลูกฝังความถูกต้องในการทำงาน ความสามารถในการแสดงความคิดเห็นของตนเอง และให้คำแนะนำ

ในระหว่างเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

สวัสดีตอนบ่าย ชั่วโมงที่ดี!

ฉันดีใจมากที่ได้พบคุณ

ระฆังดังแล้ว

บทเรียนเริ่มต้นขึ้น

เราก็ยิ้ม เราตามทัน

เรามองหน้ากัน

และพวกเขาก็นั่งลงด้วยกันอย่างเงียบ ๆ

2. แรงจูงใจในบทเรียน

แบลส ปาสคาล นักปรัชญาและนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้โดดเด่น แย้งว่า “ความยิ่งใหญ่ของคนๆ หนึ่งอยู่ที่ความสามารถในการคิดของเขา” วันนี้เราจะพยายามรู้สึกเหมือนเป็นคนเก่งด้วยการค้นหาความรู้ด้วยตัวเราเอง คำขวัญสำหรับบทเรียนวันนี้คือคำพูดของ Thales นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ:

มีอะไรมากกว่าสิ่งใดในโลก? - ช่องว่าง.

อะไรเร็วที่สุด? - จิตใจ.

อะไรคือสิ่งที่ฉลาดที่สุด? - เวลา.

ส่วนที่ดีที่สุดคืออะไร? - บรรลุสิ่งที่คุณต้องการ

ข้าพเจ้าอยากให้ทุกท่านบรรลุผลตามที่ต้องการในบทเรียนวันนี้

3. การอัพเดตความรู้

1. ตั้งชื่อการดำเนินการพีชคณิตซึ่งกันและกันกับตัวเลข (การบวกและการลบ การคูณและการหาร)

2. เป็นไปได้ไหมที่จะดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต เช่น การหาร ? (ไม่ คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้)

3. คุณสามารถดำเนินการอื่นใดกับตัวเลขได้บ้าง? (การยกกำลัง)

4. การผ่าตัดอะไรจะตรงกันข้ามกับเธอ? (การสกัดราก)

5. คุณสามารถสกัดรากได้ระดับใด? (รากที่สอง)

6. คุณรู้คุณสมบัติอะไรของรากที่สอง? (การแยกรากที่สองของผลิตภัณฑ์ จากผลหาร จากราก ยกกำลัง)

7. ค้นหาความหมายของสำนวน:

จากประวัติศาสตร์แม้กระทั่งเมื่อ 4,000 ปีที่แล้ว นักวิทยาศาสตร์ชาวบาบิโลนได้รวบรวมตารางการคูณและตารางปริมาณซึ่งกันและกัน (ด้วยความช่วยเหลือซึ่งทำให้การหารตัวเลขลดลงเป็นการคูณ) ตารางกำลังสองของตัวเลขและ รากที่สองตัวเลข ในเวลาเดียวกัน พวกเขาสามารถหาค่าประมาณของรากที่สองของจำนวนเต็มใดๆ ได้

4. ศึกษาเนื้อหาใหม่

เห็นได้ชัดว่าตามคุณสมบัติพื้นฐานของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ จากจำนวนบวกใด ๆ มีค่ารากที่ตรงกันข้ามกันสองค่าของรากของกำลังคู่เช่นตัวเลข 4 และ -4 เป็นรากที่สองของ 16 เนื่องจาก ( -4) 2 = 42 = 16 และตัวเลข 3 และ -3 เป็นรากที่สี่ของ 81 เนื่องจาก (-3)4 = 34 = 81

อีกทั้งไม่มีรากคู่ของจำนวนลบเพราะว่า กำลังเลขคู่ของจำนวนจริงใดๆ ไม่เป็นลบ. สำหรับรากของดีกรีคี่ สำหรับจำนวนจริงใดๆ จะมีเพียงรากเดียวของดีกรีคี่จากจำนวนนี้ ตัวอย่างเช่น 3 คือรากที่สามของ 27 เนื่องจาก 33 = 27 และ -2 คือรากที่ห้าของ -32 เนื่องจาก (-2)5 = 32

เนื่องจากการมีอยู่ของรากสองตัวที่มีดีกรีคู่จากจำนวนบวก เราจึงแนะนำแนวคิดของการรูตทางคณิตศาสตร์เพื่อกำจัดความคลุมเครือของรากนี้

ค่ารากที่ไม่เป็นลบ ระดับที่ nของจำนวนที่ไม่เป็นลบเรียกว่ารากเลขคณิต

การกำหนด: - รากที่ nองศา

จำนวน n เรียกว่ากำลังของรากเลขคณิต ถ้า n = 2 แสดงว่าระดับของรูทจะไม่ถูกระบุและเขียนไว้ รากของดีกรีที่สองมักเรียกว่ารากที่สอง และรากของดีกรีที่สามเรียกว่ารากที่สาม

B, b2 = ก, ก ≥ 0, ข ≥ 0

B, bп = a, p - แม้แต่ a ≥ 0, b ≥ 0

n - คี่ a, b - ใด ๆ

คุณสมบัติ

1. , ก ≥ 0, ข ≥ 0

2. , ก ≥ 0, b >0

3. , ≥ 0

4. , m, n, k - ตัวเลขธรรมชาติ

5. การรวมวัสดุใหม่

งานช่องปาก

ก) สำนวนใดที่สมเหตุสมผล?

b) นิพจน์มีความหมายสำหรับค่าใดของตัวแปร a?

แก้ข้อที่ 3, 4, 7, 9, 11

6. นาทีพลศึกษา.

จำเป็นต้องมีการกลั่นกรองในทุกเรื่อง

ปล่อยให้มันเป็นกฎหลัก

ทำยิมนาสติกเพราะคุณคิดมานานแล้ว

ยิมนาสติกไม่ทำให้ร่างกายอ่อนล้า

แต่ทำความสะอาดร่างกายได้หมดจด!

หลับตา ผ่อนคลายร่างกาย

ลองนึกภาพ - คุณเป็นนกคุณก็บินได้!

ตอนนี้คุณกำลังว่ายน้ำในมหาสมุทรเหมือนปลาโลมา

ตอนนี้คุณกำลังเก็บแอปเปิ้ลสุกในสวน

ซ้าย ขวา มองไปรอบๆ

เปิดตาของคุณและกลับไปทำธุรกิจ!

7. งานอิสระ

ทำงานคู่กับ. 178 หมายเลข 1 หมายเลข 2

8. ดี/ซ.เรียนข้อ 10 (หน้า 160-161) แก้ข้อ 5, 6, 8, 12, 16(1, 2)

9. สรุปบทเรียน ภาพสะท้อนของกิจกรรม

บทเรียนบรรลุเป้าหมายหรือไม่

คุณได้เรียนรู้อะไรบ้าง?

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "คุณสมบัติของรากที่ n ทฤษฎีบท"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 11
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 9-11 "ตรีโกณมิติ"
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 10-11 "ลอการิทึม"

คุณสมบัติของรากที่ n ทฤษฎีบท

พวกเรายังคงศึกษารากที่ n ของจำนวนจริงต่อไป เช่นเดียวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมด รากของระดับที่ n มีคุณสมบัติบางอย่าง วันนี้เราจะมาศึกษาพวกมันกัน
คุณสมบัติทั้งหมดที่เราจะพิจารณานั้นได้รับการกำหนดและพิสูจน์แล้วสำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปรที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรูทเท่านั้น
ในกรณีของเลขชี้กำลังรูตที่เป็นเลขคี่ เลขชี้กำลังดังกล่าวจะถูกดำเนินการกับตัวแปรลบด้วย

ทฤษฎีบท 1 รากที่ n ของผลิตภัณฑ์ที่เป็นลบสองตัวจะเท่ากับผลคูณของรากที่ n ของตัวเลขเหล่านี้: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](ข)$ .

มาพิสูจน์ทฤษฎีบทกัน
การพิสูจน์. เพื่อนๆ เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท ขอแนะนำตัวแปรใหม่ แทนพวกมัน:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
เราต้องพิสูจน์ว่า $x=y*z$
โปรดทราบว่าข้อมูลระบุตัวตนต่อไปนี้ยังมีอยู่:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
ดังนั้นเอกลักษณ์ต่อไปนี้จะคงอยู่: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$
กำลังของจำนวนที่ไม่เป็นลบสองตัวและเลขชี้กำลังเท่ากัน จากนั้นฐานของตัวยกกำลังก็เท่ากัน ซึ่งหมายความว่า $x=y*z$ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบท 2 ถ้า $a≥0$, $b>0$ และ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 แล้ว ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))$.

นั่นคือ รากที่ n ของผลหาร เท่ากับผลหารของรากที่ n

การพิสูจน์.
เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราจะใช้แผนภาพแบบง่ายในรูปแบบของตาราง:

ตัวอย่างการคำนวณรากที่ n

ตัวอย่าง.
คำนวณ: $\sqrt(16*81*256)$
สารละลาย. ลองใช้ทฤษฎีบท 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$

ตัวอย่าง.
คำนวณ: $\sqrt(7\frac(19)(32))$
สารละลาย. ลองจินตนาการถึงนิพจน์รากว่าเป็นเศษส่วนเกิน: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$
ลองใช้ทฤษฎีบท 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

ตัวอย่าง.
คำนวณ:
ก) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
สารละลาย:
ก) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ ตร.ม.(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

ทฤษฎีบท 3 ถ้า $a≥0$, k และ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$

หากต้องการหยั่งรากลึกสู่พลังธรรมชาติ ก็เพียงพอแล้วที่จะยกระดับการแสดงออกถึงความรุนแรงให้กับพลังนี้

การพิสูจน์.
ลองพิจารณาดู กรณีพิเศษสำหรับ $k=3$ ลองใช้ทฤษฎีบท 1 กัน
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
เช่นเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้สำหรับกรณีอื่น ๆ เพื่อนๆ พิสูจน์ด้วยตัวคุณเองในกรณีที่ $k=4$ และ $k=6$

ทฤษฎีบท 4 ถ้า $a≥0$ bn,k เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ความเท่าเทียมกันก็จะคงอยู่: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$

หากต้องการแยกรากออกจากรากก็เพียงพอที่จะคูณตัวบ่งชี้ของรากได้

การพิสูจน์.
เรามาพิสูจน์กันสั้นๆ อีกครั้งโดยใช้ตาราง เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราจะใช้แผนภาพแบบง่ายในรูปแบบของตาราง:

ตัวอย่าง.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

ทฤษฎีบท 5 ถ้าเลขชี้กำลังของรากและนิพจน์รากคูณด้วยจำนวนธรรมชาติเท่ากัน ค่าของรากจะไม่เปลี่ยนแปลง: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$ .

การพิสูจน์.
หลักการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเราก็เหมือนกับตัวอย่างอื่นๆ มาแนะนำตัวแปรใหม่กัน:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (ตามคำจำกัดความ)
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (ตามคำจำกัดความ)
ขอให้เราเพิ่มความเท่าเทียมกันสุดท้ายกับยกกำลัง p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
ได้รับ:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
นั่นคือ $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$ ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ตัวอย่าง:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (หารตัวบ่งชี้ด้วย 5)
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (หารตัวบ่งชี้ด้วย 2)
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (ตัวชี้วัดคูณด้วย 3)

ตัวอย่าง.
ดำเนินการ: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$
สารละลาย.
ตัวชี้วัดหลักคือ ตัวเลขที่แตกต่างกันดังนั้นเราจึงไม่สามารถใช้ทฤษฎีบท 1 ได้ แต่เมื่อใช้ทฤษฎีบท 5 เราจะได้ตัวบ่งชี้ที่เท่ากัน
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (ตัวชี้วัดคูณด้วย 3)
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (ตัวชี้วัดคูณด้วย 4)
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

1. คำนวณ: $\sqrt(32*243*1024)$
2. คำนวณ: $\sqrt(7\frac(58)(81))$
3. คำนวณ:
ก) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. ลดความซับซ้อน:
ก) $\sqrt(\sqrt(a))$.
ข) $\sqrt(\sqrt(a))$.
ค) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. ดำเนินการ: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$

บทความนี้เป็นการรวบรวมข้อมูลโดยละเอียดที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อคุณสมบัติของรูท เมื่อพิจารณาตามหัวข้อแล้วเราจะเริ่มด้วยคุณสมบัติ ศึกษาสูตร ทั้งหมด และเตรียมหลักฐาน เพื่อรวบรวมหัวข้อ เราจะพิจารณาคุณสมบัติของระดับที่ n

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

คุณสมบัติของราก

เราจะพูดถึงคุณสมบัติ

1. คุณสมบัติ คูณตัวเลข กและ ขซึ่งแสดงเป็นความเท่าเทียมกัน a · b = a · b มันสามารถแสดงในรูปของปัจจัย บวกหรือเท่ากับศูนย์ ก 1 , 2 , … , หรือเคดังที่ 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. จากผลหาร a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0 ก็เขียนได้ในรูปแบบนี้ a b = a b;
3. สมบัติจากยกกำลังของตัวเลข กโดยมีเลขชี้กำลังคู่ 2 m = a m สำหรับจำนวนใดๆ กเช่น คุณสมบัติจากกำลังสองของตัวเลข a 2 = a

ในสมการที่นำเสนอ คุณสามารถสลับส่วนก่อนและหลังเครื่องหมายขีดกลางได้ เช่น ความเท่าเทียมกัน a · b = a · b จะถูกแปลงเป็น a · b = a · b คุณสมบัติความเท่าเทียมกันมักใช้เพื่อทำให้สมการที่ซับซ้อนง่ายขึ้น

การพิสูจน์คุณสมบัติข้อแรกนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของรากที่สองและคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติที่สาม จำเป็นต้องอ้างอิงถึงคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลข

ก่อนอื่น จำเป็นต้องพิสูจน์คุณสมบัติของรากที่สอง a · b = a · b ตามคำนิยามต้องพิจารณาว่า a b เป็นตัวเลขบวกหรือเท่ากับศูนย์ซึ่งจะเท่ากับ ขระหว่างการก่อสร้าง เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ค่าของนิพจน์ a · b เป็นบวกหรือเท่ากับศูนย์เป็นผลคูณของจำนวนที่ไม่เป็นลบ คุณสมบัติของกำลังของจำนวนคูณทำให้เราสามารถแสดงความเท่าเทียมกันในรูปแบบ (a · b) 2 = a 2 · b 2 . ตามนิยามของรากที่สอง a 2 = a และ b 2 = b จากนั้น a · b = a 2 · b 2 = a · b

ในทำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้จากผลิตภัณฑ์ เคตัวคูณ ก 1 , 2 , … , หรือเคจะเท่ากับผลคูณของรากที่สองของตัวประกอบเหล่านี้ โดยแท้จริงแล้ว a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k

จากความเท่าเทียมกันนี้ จะได้ว่า a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k

ลองดูตัวอย่างบางส่วนเพื่อเสริมหัวข้อนี้

ตัวอย่างที่ 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 และ 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

จำเป็นต้องพิสูจน์คุณสมบัติของรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของผลหาร: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0 คุณสมบัติช่วยให้เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกัน a: b 2 = a 2: b 2 และ a 2: b 2 = a: b ในขณะที่ a: b เป็นจำนวนบวกหรือเท่ากับศูนย์ สำนวนนี้จะกลายเป็นข้อพิสูจน์

ตัวอย่างเช่น 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 และ 30.121 = 30.121

ลองพิจารณาคุณสมบัติของรากที่สองของกำลังสองของตัวเลขกัน สามารถเขียนเป็นความเท่าเทียมกันได้เป็น 2 = a เพื่อพิสูจน์คุณสมบัตินี้จำเป็นต้องพิจารณารายละเอียดความเท่าเทียมกันหลายประการสำหรับ ก ≥ 0และที่ ก< 0 .

แน่นอน สำหรับ ≥ 0 ความเท่าเทียมกัน 2 = a เป็นจริง ที่ ก< 0 ความเท่าเทียมกัน a 2 = - a จะเป็นจริง ที่จริงแล้วในกรณีนี้ − ก > 0และ (- ก) 2 = ก 2 เราสามารถสรุปได้ว่า a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 2

5 2 = 5 = 5 และ - 0, 36 2 = - 0, 36 = 0, 36

คุณสมบัติที่พิสูจน์แล้วจะช่วยปรับให้ 2 m = a m โดยที่ ก– จริงและ ม-จำนวนธรรมชาติ แท้จริงแล้ว คุณสมบัติการเพิ่มพลังทำให้เราสามารถทดแทนพลังได้ 2 มการแสดงออก (ม) 2จากนั้น 2 m = (a m) 2 = a m

ตัวอย่างที่ 3

3 8 = 3 4 = 3 4 และ (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

คุณสมบัติของรากที่ n

ขั้นแรก เราต้องพิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานของรากที่ n:

1. คุณสมบัติจากผลคูณของตัวเลข กและ ขซึ่งเป็นค่าบวกหรือเท่ากับศูนย์ สามารถแสดงเป็นความเท่าเทียมกัน a · bn = a n · bn คุณสมบัตินี้ใช้ได้กับผลิตภัณฑ์ เคตัวเลข ก 1 , 2 , … , หรือเคดังที่ 1 · 2 · … · a k n = a 1 n · 2 n · … · a k n ;
2. จาก จำนวนเศษส่วนมีคุณสมบัติ a b n = a n b n โดยที่ กคือจำนวนจริงใดๆ ที่เป็นบวกหรือเท่ากับศูนย์ และ ข– จำนวนจริงบวก
3. สำหรับอย่างใดอย่างหนึ่ง กและแม้กระทั่งตัวชี้วัด n = 2 ม a 2 · m 2 · m = a เป็นจริง และสำหรับคี่ n = 2 ม. - 1ความเท่าเทียมกัน a 2 · m - 1 2 · m - 1 = การคงอยู่
4. คุณสมบัติของการสกัดจาก a m n = a n m โดยที่ ก– จำนวนใดๆ บวกหรือเท่ากับศูนย์ nและ มเป็นจำนวนธรรมชาติ คุณสมบัตินี้สามารถแสดงในรูปแบบได้เช่นกัน . . nk n 2 n 1 = n 1 · n 2 . . · NK ;
5. สำหรับ a ที่ไม่เป็นลบใดๆ และตามใจชอบ nและ มซึ่งเป็นธรรมชาติ เรายังสามารถกำหนดความเสมอภาคที่ยุติธรรม a m n · m = a n ;
6. คุณสมบัติของปริญญา nจากพลังของตัวเลข กซึ่งเป็นค่าบวกหรือเท่ากับศูนย์กับพลังธรรมชาติ มกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน a m n = a n m ;
7. คุณสมบัติการเปรียบเทียบที่มีเลขชี้กำลังเหมือนกัน: สำหรับจำนวนบวกใดๆ กและ ขดังนั้น ก< b , อสมการ a n< b n ;
8. คุณสมบัติการเปรียบเทียบที่มีตัวเลขเดียวกันอยู่ใต้รูท: ถ้า มและ ไม่มี –ตัวเลขธรรมชาตินั้น ม > นแล้วที่ 0 < a < 1 อสมการ a m > a n เป็นจริง และเมื่อใด ก > 1ดำเนินการม< a n .

ความเท่าเทียมกันที่ให้ไว้ข้างต้นจะใช้ได้หากมีการสลับส่วนก่อนและหลังเครื่องหมายเท่ากับ สามารถใช้ในรูปแบบนี้ได้ ซึ่งมักใช้เมื่อลดความซับซ้อนหรือเปลี่ยนนิพจน์

การพิสูจน์คุณสมบัติข้างต้นของรูตนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ คุณสมบัติของดีกรี และคำจำกัดความของโมดูลัสของตัวเลข คุณสมบัติเหล่านี้จะต้องได้รับการพิสูจน์ แต่ทุกอย่างเป็นไปตามลำดับ

1. ก่อนอื่น มาพิสูจน์คุณสมบัติของรากที่ n ของผลิตภัณฑ์ a · bn = a n · bn กันก่อน สำหรับ กและ ข ซึ่งเป็น บวกหรือเท่ากับศูนย์ , ค่า a n · bn ก็เป็นค่าบวกหรือเท่ากับศูนย์เช่นกัน เนื่องจากเป็นผลมาจากการคูณจำนวนที่ไม่เป็นลบ คุณสมบัติของผลคูณกับพลังธรรมชาติช่วยให้เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกัน a n · bn n = a n n · bn n ตามคำจำกัดความของรูต n- องศา a n n = a และ b n n = b ดังนั้น a n · bn n = a · b ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นคือสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์อย่างแท้จริง

คุณสมบัตินี้สามารถพิสูจน์ได้เช่นเดียวกันกับผลิตภัณฑ์ เคตัวคูณ: สำหรับจำนวนที่ไม่เป็นลบ a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0

นี่คือตัวอย่างการใช้คุณสมบัติรูท n- กำลังจากผลิตภัณฑ์: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 และ 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติของรากของผลหาร a bn = a n bn . ที่ ก ≥ 0และ ข > 0ตรงตามเงื่อนไข a n b n ≥ 0 และ a n b n n = a n n b n n = a b

มาแสดงตัวอย่างกัน:

ตัวอย่างที่ 4

8 27 3 = 8 3 27 3 และ 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. ขั้นตอนต่อไปจำเป็นต้องพิสูจน์คุณสมบัติของดีกรีที่ n จากจำนวนหนึ่งไปจนถึงดีกรี n. ลองจินตนาการว่านี่เป็นความเท่าเทียมกัน a 2 m 2 m = a และ 2 m - 1 2 m - 1 = a สำหรับจำนวนจริงใดๆ กและเป็นธรรมชาติ ม. ที่ ก ≥ 0เราได้ a = a และ 2 m = a 2 m ซึ่งพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน a 2 m 2 m = a และความเท่าเทียมกัน a 2 m - 1 2 m - 1 = a ชัดเจน ที่ ก< 0 เราได้รับตามลำดับ a = - a และ 2 m = (- a) 2 m = a 2 m การแปลงตัวเลขครั้งล่าสุดนั้นถูกต้องตามคุณสมบัติกำลัง นี่คือสิ่งที่พิสูจน์ความเท่าเทียมกันอย่างแม่นยำ a 2 m 2 m = a และ 2 m - 1 2 m - 1 = a จะเป็นจริงเนื่องจากถือว่าระดับคี่ - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 สำหรับหมายเลขใดๆ ค ,บวกหรือเท่ากับศูนย์

เพื่อรวบรวมข้อมูลที่ได้รับ ลองพิจารณาหลายตัวอย่างโดยใช้คุณสมบัติ:

ตัวอย่างที่ 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 และ (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39

1. ให้เราพิสูจน์ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ a m n = a n m . ในการทำเช่นนี้ คุณต้องสลับตัวเลขก่อนและหลังเครื่องหมายเท่ากับ a n · m = a mn นี่จะหมายความว่ารายการถูกต้อง สำหรับ ก,ซึ่งเป็นค่าบวก หรือเท่ากับศูนย์ , ในรูป a m n เป็นจำนวนบวกหรือเท่ากับศูนย์ ให้เรามาดูคุณสมบัติของการเพิ่มพลังเป็นพลังและคำจำกัดความของมัน ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา คุณสามารถแปลงความเท่าเทียมกันในรูปแบบ a m n n · m = a m n n m = a m m = a นี่เป็นการพิสูจน์คุณสมบัติของรากของรากที่กำลังพิจารณา

คุณสมบัติอื่นๆ ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน จริงหรือ, . . . ครับ n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . ครับ n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . nk n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = ก ก ก = ก

ตัวอย่างเช่น 7 3 5 = 7 5 3 และ 0.0009 6 = 0.0009 2 2 6 = 0.0009 24

1. ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติต่อไปนี้ a m n · m = a n เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องแสดงว่า n เป็นตัวเลข บวกหรือเท่ากับศูนย์ เมื่อยกกำลัง n m เท่ากับ เช้า. ถ้าเป็นจำนวน กเป็นบวกหรือเท่ากับศูนย์แล้ว n- องศาจากหมู่ กเป็นจำนวนบวกหรือเท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ a n · m n = a n n m ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

เพื่อรวบรวมความรู้ที่ได้รับเรามาดูตัวอย่างกัน

1. ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติต่อไปนี้ – คุณสมบัติของรากของพลังในรูปแบบ a m n = a n m . เห็นได้ชัดว่าเมื่อ ก ≥ 0ระดับ a n m เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ นอกจากนี้เธอ nกำลัง th เท่ากับ เช้าจริงๆ แล้ว a n m n = a n m · n = a n n m = a m นี่เป็นการพิสูจน์คุณสมบัติของปริญญาที่อยู่ระหว่างการพิจารณา

เช่น 2 3 5 3 = 2 3 3 5

1. จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนบวกใดๆ กและ b เป็นไปตามเงื่อนไข ก< b . พิจารณาความไม่เท่าเทียมกัน a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию ก< b . ดังนั้น n< b n при ก< b .

เช่น ให้ 12 4 กัน< 15 2 3 4 .

1. พิจารณาคุณสมบัติของราก n-ระดับ จำเป็นต้องพิจารณาส่วนแรกของความไม่เท่าเทียมกันก่อน ที่ ม > นและ 0 < a < 1 จริง m > a n สมมุติว่า a m ≤ a n คุณสมบัติจะช่วยให้คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์เป็น n m · n ≤ a m m · n จากนั้น ตามคุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ อสมการ a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n ถืออยู่นั่นคือ n ≤ am m. มูลค่าที่ได้รับที่ ม > นและ 0 < a < 1 ไม่สอดคล้องกับคุณสมบัติที่ระบุข้างต้น

ในทำนองเดียวกันก็สามารถพิสูจน์ได้ว่าเมื่อใด ม > นและ ก > 1เงื่อนไข a m เป็นจริง< a n .

หากต้องการรวมคุณสมบัติข้างต้น ให้พิจารณาหลายประการ ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง. ลองดูความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้ตัวเลขเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ขอแสดงความยินดี: วันนี้เราจะดูที่ราก - หนึ่งในหัวข้อที่น่าเหลือเชื่อที่สุดในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 :)

หลายคนสับสนเกี่ยวกับราก ไม่ใช่เพราะมันซับซ้อน (ซึ่งมีความซับซ้อนมากเกี่ยวกับมัน - คำจำกัดความสองสามข้อและคุณสมบัติอีกสองสามอย่าง) แต่เนื่องจากในตำราเรียนส่วนใหญ่รากถูกกำหนดผ่านป่าที่มีเพียงผู้เขียนหนังสือเรียนเท่านั้น ตนเองก็สามารถเข้าใจงานเขียนนี้ได้ และถึงอย่างนั้นก็มีเพียงวิสกี้ดีๆ สักขวด :)

ดังนั้นตอนนี้ฉันจะให้คำจำกัดความของรูทที่ถูกต้องและมีความสามารถมากที่สุด - สิ่งเดียวที่คุณควรจำจริงๆ จากนั้นฉันจะอธิบาย: เหตุใดจึงจำเป็นทั้งหมดนี้และจะนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร

แต่ก่อนอื่นจำไว้อย่างหนึ่ง จุดสำคัญซึ่งคอมไพเลอร์ตำราเรียนหลายเล่มด้วยเหตุผลบางประการ "ลืม":

รากสามารถเป็นระดับคู่ได้ ($\sqrt(a)$ ที่เราชื่นชอบ เช่นเดียวกับ $\sqrt(a)$ ทุกประเภทและแม้แต่ $\sqrt(a)$) และระดับคี่ (ทุกประเภทของ $\sqrt (ก)$, $\ sqrt(ก)$ ฯลฯ) และคำจำกัดความของรากของดีกรีคี่นั้นค่อนข้างแตกต่างไปจากอันที่เป็นเลขคู่

อาจเป็นไปได้ว่า 95% ของข้อผิดพลาดและความเข้าใจผิดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับรากเหง้าถูกซ่อนอยู่ใน "ค่อนข้างแตกต่าง" นี้ ดังนั้นเรามาทำความเข้าใจคำศัพท์กันให้ชัดเจน:

คำนิยาม. แม้กระทั่งราก nจากจำนวน $a$ เป็นจำนวนเท่าใดก็ได้ ไม่เป็นลบตัวเลข $b$ เป็นเช่นนั้น $((b)^(n))=a$ และรากที่เป็นคี่ของตัวเลขเดียวกัน $a$ โดยทั่วไปจะเป็นตัวเลข $b$ ใดๆ ที่มีความเท่าเทียมกันเท่ากัน: $((b)^(n))=a$

ไม่ว่าในกรณีใด รูทจะแสดงดังนี้:

\(ก)\]

จำนวน $n$ ในสัญลักษณ์ดังกล่าวเรียกว่าเลขชี้กำลังราก และจำนวน $a$ เรียกว่านิพจน์ราก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับ $n=2$ เราจะได้รากที่สอง "ที่ชื่นชอบ" ของเรา (ยังไงก็ตาม นี่คือรากของดีกรีคู่) และสำหรับ $n=3$ เราจะได้รากที่สาม (ดีกรีคี่) ซึ่งก็คือ มักพบในปัญหาและสมการด้วย

ตัวอย่าง. ตัวอย่างคลาสสิกของรากที่สอง:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(จัดแนว)\]

อย่างไรก็ตาม $\sqrt(0)=0$ และ $\sqrt(1)=1$ ซึ่งค่อนข้างสมเหตุสมผล เนื่องจาก $((0)^(2))=0$ และ $((1)^(2))=1$

รากของคิวบ์ก็เป็นเรื่องธรรมดาเช่นกัน - ไม่จำเป็นต้องกลัวมัน:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(จัดแนว)\]

“ตัวอย่างที่แปลกใหม่” สองสามอย่าง:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(จัดแนว)\]

หากคุณไม่เข้าใจความแตกต่างระหว่างระดับคู่และระดับคี่ ให้อ่านคำจำกัดความอีกครั้ง มันสำคัญมาก!

ในระหว่างนี้ เราจะพิจารณาคุณลักษณะหนึ่งที่ไม่พึงประสงค์ของราก เนื่องจากเราจำเป็นต้องแนะนำคำจำกัดความที่แยกจากกันสำหรับเลขชี้กำลังคู่และเลขคี่

เหตุใดจึงจำเป็นต้องมีราก?

หลังจากอ่านคำจำกัดความแล้ว นักเรียนหลายคนจะถามว่า “นักคณิตศาสตร์สูบบุหรี่อะไรเมื่อพวกเขาคิดเรื่องนี้ขึ้นมา” และจริงๆ แล้ว: เหตุใดจึงจำเป็นต้องมีรากเหล่านี้ทั้งหมด?

เพื่อตอบคำถามนี้ เรามาย้อนกลับไปโรงเรียนประถมกันดีกว่า ข้อควรจำ: ในสมัยที่ห่างไกล เมื่อต้นไม้เขียวขจีและเกี๊ยวอร่อยมากขึ้น ความกังวลหลักของเราคือการคูณตัวเลขให้ถูกต้อง ก็ประมาณ "ห้าคูณห้า - ยี่สิบห้า" แค่นั้นเอง แต่คุณสามารถคูณตัวเลขได้ไม่ใช่เป็นคู่ แต่คูณเป็นแฝด สี่เท่า และโดยทั่วไปคือทั้งเซต:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่ประเด็น เคล็ดลับนั้นแตกต่างออกไป นักคณิตศาสตร์เป็นคนเกียจคร้าน ดังนั้นพวกเขาจึงเป็นเรื่องยากลำบากในการเขียนการคูณสิบห้าดังนี้:

นั่นเป็นเหตุผลที่พวกเขาได้รับปริญญา ทำไมไม่เขียนจำนวนปัจจัยเป็นตัวยกแทนสตริงยาวล่ะ บางสิ่งเช่นนี้:

สะดวกมาก! การคำนวณทั้งหมดลดลงอย่างมาก และคุณไม่จำเป็นต้องเปลืองแผ่นหนังและสมุดโน้ตจำนวนมากเพื่อเขียนลงไปถึง 5,183 แผ่น บันทึกนี้เรียกว่ากำลังของจำนวน มีสมบัติมากมายอยู่ในนั้น แต่ความสุขกลับมีอายุสั้น

หลังจากงานเลี้ยงสังสรรค์สุดอลังการ ซึ่งจัดขึ้นเพื่อ "การค้นพบ" องศาเท่านั้น ทันใดนั้นนักคณิตศาสตร์หัวแข็งบางคนก็ถามขึ้นว่า "จะเป็นอย่างไรถ้าเรารู้ระดับของตัวเลขแต่ไม่ทราบตัวเลขนั้นเอง" ทีนี้ หากเรารู้ว่าจำนวน $b$ ยกกำลังที่ 5 ให้ 243 แล้วเราจะเดาได้อย่างไรว่าจำนวน $b$ นั้นเท่ากับเท่าใด

ปัญหานี้กลายเป็นปัญหาระดับโลกมากกว่าที่เห็นในครั้งแรก เพราะปรากฎว่าสำหรับพาวเวอร์ "สำเร็จรูป" ส่วนใหญ่ไม่มีตัวเลข "เริ่มต้น" ดังกล่าว ตัดสินด้วยตัวคุณเอง:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\ลูกศรขวา b=3\cdot 3\cdot 3\ลูกศรขวา b=3; \\ & ((b)^(3))=64\ลูกศรขวา b=4\cdot 4\cdot 4\ลูกศรขวา b=4 \\ \end(จัดแนว)\]

จะเกิดอะไรขึ้นถ้า $((b)^(3))=50$? ปรากฎว่าเราต้องหาจำนวนจำนวนหนึ่งซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวมันเอง 3 ครั้ง ก็จะได้ 50 แต่จำนวนนี้คืออะไร? มันมากกว่า 3 อย่างชัดเจน เนื่องจาก 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. นั่นคือ ตัวเลขนี้อยู่ระหว่างสามถึงสี่ แต่คุณจะไม่เข้าใจว่ามันเท่ากับอะไร

นี่คือเหตุผลว่าทำไมนักคณิตศาสตร์ถึงมีรากที่ $n$th นี่เป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมีการใช้สัญลักษณ์ราก $\sqrt(*)$ เพื่อกำหนดจำนวน $b$ ซึ่งในระดับที่ระบุจะทำให้เราทราบค่าที่ทราบก่อนหน้านี้

\[\sqrt[n](a)=b\ลูกศรขวา ((b)^(n))=a\]

ฉันไม่เถียง: บ่อยครั้งที่รากเหล่านี้คำนวณได้ง่าย - เราเห็นตัวอย่างหลายประการข้างต้น แต่ในกรณีส่วนใหญ่ หากคุณนึกถึงตัวเลขใดๆ ก็ตามแล้วพยายามแยกรากของระดับใดๆ ออกมา คุณจะต้องเจอกับความเลวร้ายอย่างยิ่ง

มีอะไรอยู่! แม้แต่ $\sqrt(2)$ ที่ง่ายที่สุดและคุ้นเคยที่สุดก็ไม่สามารถแสดงในรูปแบบปกติของเราได้ - เป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วน และถ้าคุณใส่ตัวเลขนี้ลงในเครื่องคิดเลข คุณจะเห็นสิ่งนี้:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

อย่างที่คุณเห็น หลังจากจุดทศนิยมจะมีลำดับตัวเลขที่ไม่สิ้นสุดซึ่งไม่เป็นไปตามตรรกะใดๆ แน่นอนว่าคุณสามารถปัดเศษตัวเลขนี้เพื่อเปรียบเทียบกับตัวเลขอื่นๆ ได้อย่างรวดเร็ว ตัวอย่างเช่น:

\[\sqrt(2)=1.4142...\ประมาณ 1.4 \lt 1.5\]

หรือนี่คืออีกตัวอย่างหนึ่ง:

\[\sqrt(3)=1.73205...\ประมาณ 1.7 \gt 1.5\]

แต่ประการแรกการปัดเศษทั้งหมดนี้ค่อนข้างหยาบ และประการที่สอง คุณต้องสามารถทำงานกับค่าโดยประมาณได้ ไม่เช่นนั้นคุณจะพบข้อผิดพลาดที่ไม่ชัดเจนมากมาย (โดยวิธีการ ทักษะในการเปรียบเทียบและการปัดเศษจะต้องได้รับการทดสอบในโปรไฟล์ Unified State Examination)

ดังนั้น ในทางคณิตศาสตร์แบบจริงจัง คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีราก - พวกมันเป็นตัวแทนที่เท่ากันของเซตของจำนวนจริงทั้งหมด $\mathbb(R)$ เช่นเดียวกับเศษส่วนและจำนวนเต็มที่เราคุ้นเคยมานานแล้ว

การไม่สามารถแสดงรากเป็นเศษส่วนของรูปแบบ $\frac(p)(q)$ หมายความว่ารากนี้ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ และไม่สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำ ยกเว้นด้วยความช่วยเหลือของโครงสร้างรากหรือการออกแบบอื่นๆ ที่ออกแบบมาโดยเฉพาะสำหรับสิ่งนี้ (ลอการิทึม ยกกำลัง ขีดจำกัด ฯลฯ) แต่เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้อีกครั้ง

ลองพิจารณาหลายๆ ตัวอย่างที่หลังจากการคำนวณทั้งหมดแล้ว จำนวนอตรรกยะจะยังคงอยู่ในคำตอบ

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ประมาณ 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\ประมาณ -1.2599... \\ \end(align)\]

ตามธรรมชาติแล้วตาม รูปร่างรูท แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเดาว่าตัวเลขใดจะอยู่หลังจุดทศนิยม อย่างไรก็ตาม คุณสามารถวางใจในเครื่องคิดเลขได้ แต่แม้แต่เครื่องคำนวณวันที่ที่ทันสมัยที่สุดก็ยังให้ตัวเลขสองสามหลักแรกแก่เราเท่านั้น จำนวนอตรรกยะ. ดังนั้นจึงถูกต้องกว่ามากถ้าเขียนคำตอบในรูปแบบ $\sqrt(5)$ และ $\sqrt(-2)$

นี่คือเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงถูกประดิษฐ์ขึ้น เพื่อบันทึกคำตอบได้อย่างสะดวก

เหตุใดจึงต้องมีคำจำกัดความสองคำ?

ผู้อ่านที่สนใจอาจสังเกตเห็นแล้วว่ารากที่สองทั้งหมดที่ระบุในตัวอย่างนั้นนำมาจากจำนวนบวก อย่างน้อยก็ตั้งแต่เริ่มต้น แต่รากที่สามสามารถแยกออกจากจำนวนใดก็ได้อย่างใจเย็นไม่ว่าจะเป็นค่าบวกหรือค่าลบ

ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? ดูกราฟของฟังก์ชัน $y=((x)^(2))$:

กำหนดการ ฟังก์ชันกำลังสองให้รากสองประการ: บวกและลบ

ลองคำนวณ $\sqrt(4)$ โดยใช้กราฟนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เส้นแนวนอน $y=4$ จะถูกวาดบนกราฟ (ทำเครื่องหมายด้วยสีแดง) ซึ่งตัดกับพาราโบลาที่จุดสองจุด: $((x)_(1))=2$ และ $((x )_(2)) =-2$. นี่ค่อนข้างสมเหตุสมผลเนื่องจาก

ทุกอย่างชัดเจนด้วยตัวเลขแรก - เป็นบวกดังนั้นจึงเป็นราก:

แต่แล้วจะทำอย่างไรกับประเด็นที่สอง? เหมือนสี่มีสองรากพร้อมกันเหรอ? ท้ายที่สุด ถ้าเรายกกำลังสองจำนวน −2 เราก็จะได้ 4 ด้วย ทำไมไม่เขียน $\sqrt(4)=-2$ ล่ะ? แล้วทำไมครูถึงมองกระทู้แบบนี้เหมือนอยากกินเธอ :)

ปัญหาคือถ้าคุณไม่กำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติม รูปสี่เหลี่ยมจะมีรากที่สองสองตัว - บวกและลบ และจำนวนบวกใดๆ ก็จะมีสองตัวด้วย แต่จำนวนลบจะไม่มีรากเลย - เห็นได้จากกราฟเดียวกัน เนื่องจากพาราโบลาไม่เคยตกต่ำกว่าแกน ย, เช่น. ไม่ยอมรับค่าลบ

ปัญหาที่คล้ายกันนี้เกิดขึ้นกับรากทั้งหมดที่มีเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่:

1. พูดอย่างเคร่งครัด แต่ละจำนวนบวกจะมีรากสองตัวที่มีเลขชี้กำลังคู่ $n$;
2. จากจำนวนลบ รากที่มีเลขคู่ $n$ จะไม่ถูกแยกออกมาเลย

นั่นคือสาเหตุว่าทำไมในคำจำกัดความรากของระดับเลขคู่ $n$ จึงกำหนดไว้โดยเฉพาะว่าคำตอบต้องเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ นี่คือวิธีที่เรากำจัดความคลุมเครือ

แต่สำหรับ $n$ แปลก ๆ ก็ไม่มีปัญหาดังกล่าว หากต้องการดูสิ่งนี้ ลองดูกราฟของฟังก์ชัน $y=((x)^(3))$:

พาราโบลาลูกบาศก์สามารถรับค่าใดๆ ก็ได้ ดังนั้นรากที่สามจึงสามารถนำมาจากจำนวนใดก็ได้

จากกราฟนี้สามารถสรุปได้สองประการ:

1. กิ่งก้านของลูกบาศก์พาราโบลานั้นแตกต่างจากแบบปกติตรงที่ไม่มีที่สิ้นสุดในทั้งสองทิศทาง - ทั้งขึ้นและลง ดังนั้นไม่ว่าเราจะวาดเส้นแนวนอนด้วยความสูงเท่าใด เส้นนี้จะตัดกับกราฟของเราอย่างแน่นอน ดังนั้น คิวบ์รูทจึงสามารถแยกออกจากจำนวนใดๆ ก็ได้เสมอ
2. นอกจากนี้ จุดตัดดังกล่าวจะไม่ซ้ำกันเสมอ ดังนั้นคุณไม่จำเป็นต้องคิดว่าหมายเลขใดที่ถือว่าเป็นรากที่ "ถูกต้อง" และหมายเลขใดที่จะเพิกเฉย นั่นคือเหตุผลว่าทำไมการหารากของดีกรีคี่จึงง่ายกว่าการหาดีกรีคู่ (ไม่มีข้อกำหนดสำหรับการไม่ลบ)

น่าเสียดายที่เรื่องง่ายๆ เหล่านี้ไม่ได้อธิบายไว้ในหนังสือเรียนส่วนใหญ่ ในทางกลับกัน สมองของเราเริ่มทะยานขึ้นด้วยรากทางคณิตศาสตร์ทุกประเภทและคุณสมบัติของมัน

ใช่ ฉันไม่เถียง: คุณต้องรู้ด้วยว่ารูตเลขคณิตคืออะไร และฉันจะพูดถึงเรื่องนี้โดยละเอียดในบทเรียนแยกต่างหาก วันนี้เราจะมาพูดถึงเรื่องนี้ด้วย เพราะถ้าไม่มีความคิดทั้งหมดเกี่ยวกับรากของการคูณ $n$-th ก็จะไม่สมบูรณ์

แต่ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจคำจำกัดความที่ฉันให้ไว้ข้างต้นให้ชัดเจน มิฉะนั้นเนื่องจากคำศัพท์มากมาย ความยุ่งเหยิงดังกล่าวจะเริ่มต้นขึ้นในหัวของคุณซึ่งสุดท้ายแล้วคุณจะไม่เข้าใจอะไรเลย

สิ่งที่คุณต้องทำคือเข้าใจความแตกต่างระหว่างตัวบ่งชี้คู่และคี่ ดังนั้น มารวบรวมทุกสิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับรูทอีกครั้ง:

1. รากของดีกรีคู่นั้นมาจากจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น และตัวมันเองจะเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบเสมอ สำหรับจำนวนลบ รากดังกล่าวไม่ได้ถูกกำหนดไว้
2. แต่รากของระดับคี่นั้นมาจากจำนวนใดๆ ก็ตามและตัวมันเองสามารถเป็นจำนวนใดๆ ก็ได้ สำหรับจำนวนบวกก็จะเป็นค่าบวก และสำหรับจำนวนลบ ดังที่ตัวหมวกบอกเป็นนัย ค่าจะเป็นค่าลบ

มันยากไหม? ไม่ มันไม่ใช่เรื่องยาก ก็เป็นที่ชัดเจน? ใช่ มันชัดเจนมาก! ตอนนี้เราจะมาฝึกการคำนวณกันสักหน่อย

คุณสมบัติพื้นฐานและข้อจำกัด

รากมีคุณสมบัติและข้อจำกัดแปลก ๆ มากมาย ซึ่งจะกล่าวถึงในบทเรียนแยกต่างหาก ดังนั้นตอนนี้เราจะพิจารณาเฉพาะ "เคล็ดลับ" ที่สำคัญที่สุดซึ่งใช้เฉพาะกับรูทที่มีดัชนีคู่เท่านั้น ลองเขียนคุณสมบัตินี้เป็นสูตร:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\ซ้าย| x\ขวา|\]

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าเรายกจำนวนขึ้นเป็นกำลังคู่แล้วแยกรากของกำลังเดียวกัน เราจะไม่ได้จำนวนเดิม แต่เป็นโมดูลัสของมัน นี่เป็นทฤษฎีบทง่ายๆ ที่สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดาย (ก็เพียงพอที่จะพิจารณา $x$ ที่ไม่ใช่ค่าลบแยกกัน และแยกค่าลบออกจากกัน) ครูพูดถึงเรื่องนี้อยู่ตลอดเวลาและมีให้ในหนังสือเรียนของโรงเรียนทุกเล่ม แต่เมื่อตัดสินใจได้แล้ว สมการไม่ลงตัว(เช่น สมการที่มีเครื่องหมายกรณฑ์) นักเรียนมีมติเป็นเอกฉันท์ลืมสูตรนี้

เพื่อให้เข้าใจปัญหาโดยละเอียด เราจะลืมสูตรทั้งหมดสักนาทีแล้วลองคำนวณตัวเลขสองตัวตรงๆ กัน:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

นี้เป็นอย่างมาก ตัวอย่างง่ายๆ. คนส่วนใหญ่จะแก้ตัวอย่างแรก แต่หลายๆ คนกลับติดอยู่กับตัวอย่างที่สอง หากต้องการแก้ไขเรื่องไร้สาระโดยไม่มีปัญหา ให้พิจารณาขั้นตอนต่อไปนี้เสมอ:

1. ขั้นแรก ให้ยกจำนวนขึ้นเป็นยกกำลังที่สี่ มันเป็นเรื่องง่าย คุณจะได้รับหมายเลขใหม่ที่สามารถพบได้แม้ในตารางสูตรคูณ
2. และตอนนี้จากหมายเลขใหม่นี้จำเป็นต้องแยกรูทที่สี่ออก เหล่านั้น. ไม่มี "การลดลง" ของรากและพลังเกิดขึ้น - สิ่งเหล่านี้เป็นการกระทำตามลำดับ

ลองดูที่นิพจน์แรก: $\sqrt(((3)^(4)))$. แน่นอนว่าคุณต้องคำนวณนิพจน์ใต้รูทก่อน:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

จากนั้นเราก็แยกรากที่สี่ของหมายเลข 81:

ทีนี้ลองทำแบบเดียวกันกับนิพจน์ที่สองกัน ขั้นแรก เรายกเลข −3 ขึ้นเป็นกำลังที่สี่ ซึ่งต้องคูณด้วยตัวมันเอง 4 ครั้ง:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ซ้าย(-3 \right)=81\]

เราได้เลขบวกเพราะว่า ทั้งหมดงานนี้มี minuses 4 ประการและพวกมันทั้งหมดจะหักล้างกัน (ท้ายที่สุดแล้วการลบสำหรับการลบจะให้การบวก) จากนั้นเราก็แยกรากอีกครั้ง:

โดยหลักการแล้ว ไม่สามารถเขียนบรรทัดนี้ได้ เนื่องจากไม่ใช่เกมง่ายๆ ที่คำตอบจะเหมือนกัน เหล่านั้น. รากคู่ของพลังเท่ากัน "เผา" minuses และในแง่นี้ผลลัพธ์จึงแยกไม่ออกจากโมดูลปกติ:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \ขวา|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \ขวา|=3. \\ \end(จัดแนว)\]

การคำนวณเหล่านี้สอดคล้องกับคำนิยามรากของดีกรีคู่ โดยผลลัพธ์จะเป็นค่าที่ไม่เป็นลบเสมอ และเครื่องหมายกรณฑ์จะมีจำนวนที่ไม่เป็นลบเสมอ มิฉะนั้น รูทจะไม่ได้ถูกกำหนดไว้

หมายเหตุเกี่ยวกับขั้นตอน

1. สัญกรณ์ $\sqrt(((a)^(2)))$ หมายความว่าเราต้องยกกำลังสองตัวเลข $a$ ก่อนแล้วจึงหารากที่สองของค่าผลลัพธ์ ดังนั้นเราจึงมั่นใจได้ว่าจะมีจำนวนที่ไม่เป็นลบอยู่ใต้เครื่องหมายรากเสมอ เนื่องจาก $((a)^(2))\ge 0$ ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม
2. แต่ในทางกลับกัน สัญกรณ์ $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ หมายความว่าเราหารากของจำนวน $a$ ก่อนแล้วจึงยกกำลังสองผลลัพธ์ ดังนั้นจำนวน $a$ จะเป็นค่าลบไม่ได้ไม่ว่าในกรณีใด นี่เป็นข้อกำหนดบังคับที่รวมอยู่ในคำจำกัดความ

ดังนั้นไม่ว่าในกรณีใดเราไม่ควรลดรากและองศาโดยไม่ได้ตั้งใจดังนั้นจึงถูกกล่าวหาว่า "ทำให้ง่ายขึ้น" การแสดงออกดั้งเดิม เพราะถ้ารากมีจำนวนลบและเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ เราจะพบปัญหามากมาย

อย่างไรก็ตาม ปัญหาทั้งหมดเหล่านี้เกี่ยวข้องกับตัวบ่งชี้คู่เท่านั้น

การลบเครื่องหมายลบออกจากใต้เครื่องหมายรูท

โดยธรรมชาติแล้ว รากที่มีเลขชี้กำลังคี่ก็มีลักษณะเฉพาะของตัวเองเช่นกัน ซึ่งโดยหลักการแล้วไม่มีอยู่ในเลขคู่ กล่าวคือ:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

กล่าวโดยสรุป คุณสามารถลบเครื่องหมายลบออกจากใต้เครื่องหมายรากขององศาคี่ได้ นี้เป็นอย่างมาก ทรัพย์สินที่มีประโยชน์ซึ่งช่วยให้คุณ "โยน" เชิงลบทั้งหมดออกไป:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6 \end(จัดแนว)\]

คุณสมบัติอย่างง่ายนี้ทำให้การคำนวณหลายอย่างง่ายขึ้นอย่างมาก ตอนนี้คุณไม่จำเป็นต้องกังวล: จะเกิดอะไรขึ้นถ้าการแสดงออกเชิงลบถูกซ่อนอยู่ใต้รูท แต่ระดับที่รูทกลับกลายเป็นเท่ากัน? มันก็เพียงพอแล้วที่จะ "โยน" minuses ทั้งหมดที่อยู่นอกรากออกไปหลังจากนั้นก็สามารถคูณซึ่งกันและกันแบ่งและทำสิ่งที่น่าสงสัยมากมายโดยทั่วไปซึ่งในกรณีของราก "คลาสสิก" รับประกันว่าจะนำเราไปสู่ ข้อผิดพลาด

และนี่คือคำจำกัดความอีกประการหนึ่งที่เข้ามาในฉาก - คำเดียวกับที่โรงเรียนส่วนใหญ่เริ่มศึกษาการแสดงออกที่ไม่มีเหตุผล และหากปราศจากเหตุผลของเราก็จะไม่สมบูรณ์ พบปะ!

รากเลขคณิต

สมมติสักครู่ว่าภายใต้เครื่องหมายรูทจะมีได้เฉพาะจำนวนบวกเท่านั้น หรือในกรณีที่รุนแรง อาจเป็นศูนย์ก็ได้ ลืมตัวบ่งชี้คู่/คี่ ลืมคำจำกัดความทั้งหมดที่ให้ไว้ข้างต้น เราจะใช้เฉพาะกับตัวเลขที่ไม่เป็นลบเท่านั้น แล้วไงล่ะ?

จากนั้นเราจะได้รากทางคณิตศาสตร์ซึ่งบางส่วนทับซ้อนกับคำจำกัดความ "มาตรฐาน" ของเรา แต่ก็ยังแตกต่างจากคำจำกัดความเหล่านั้น

คำนิยาม. รากเลขคณิตกำลัง $n$th ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ $a$ คือจำนวนที่ไม่เป็นลบ $b$ โดยที่ $((b)^(n))=a$

ดังที่เราเห็น เราไม่สนใจเรื่องความเท่าเทียมอีกต่อไป กลับมีข้อจำกัดใหม่ปรากฏขึ้น: การแสดงออกที่รุนแรงตอนนี้ไม่เป็นลบเสมอ และรากเองก็ไม่เป็นลบเช่นกัน

เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้นว่ารากเลขคณิตแตกต่างจากรากปกติอย่างไร ลองดูกราฟของสแควร์และพาราโบลาลูกบาศก์ที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว:

พื้นที่การค้นหาสำหรับรากเลขคณิตไม่ได้ ตัวเลขติดลบ

อย่างที่คุณเห็น จากนี้ไปเราจะสนใจเฉพาะกราฟที่อยู่ในไตรมาสพิกัดแรกเท่านั้น โดยที่พิกัด $x$ และ $y$ เป็นบวก (หรืออย่างน้อยเป็นศูนย์) คุณไม่จำเป็นต้องดูตัวบ่งชี้อีกต่อไปเพื่อทำความเข้าใจว่าเรามีสิทธิ์ใส่จำนวนลบไว้ใต้รากหรือไม่ เพราะจำนวนติดลบไม่ถือเป็นหลักการอีกต่อไป

คุณอาจถามว่า: “ทำไมเราจึงต้องมีคำจำกัดความที่ทำหมันเช่นนี้?” หรือ: “เหตุใดเราจึงใช้คำจำกัดความมาตรฐานที่ให้ไว้ข้างต้นไม่ได้”

ฉันจะให้คุณสมบัติเพียงรายการเดียวเนื่องจากคำจำกัดความใหม่มีความเหมาะสม ตัวอย่างเช่น กฎสำหรับการยกกำลัง:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

โปรดทราบ: เราสามารถเพิ่มนิพจน์รากให้เป็นกำลังใดก็ได้และในเวลาเดียวกันก็คูณเลขชี้กำลังรูตด้วยกำลังเดียวกัน - และผลลัพธ์จะเป็นตัวเลขเดียวกัน! นี่คือตัวอย่าง:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

แล้วเรื่องใหญ่คืออะไร? ทำไมเราไม่ทำสิ่งนี้ก่อนหน้านี้? นี่คือเหตุผล ลองพิจารณานิพจน์ง่ายๆ: $\sqrt(-2)$ - จำนวนนี้ค่อนข้างปกติในความเข้าใจแบบคลาสสิกของเรา แต่ยอมรับไม่ได้อย่างแน่นอนจากมุมมองของรากเลขคณิต ลองแปลงมันดู:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

อย่างที่คุณเห็น ในกรณีแรกเราลบเครื่องหมายลบออกจากใต้ราก (เรามีสิทธิ์ทุกประการเนื่องจากเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่) และในกรณีที่สองเราใช้สูตรข้างต้น เหล่านั้น. จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ทุกอย่างเป็นไปตามกฎเกณฑ์

ว้าย! จำนวนเดียวกันจะเป็นทั้งบวกและลบได้อย่างไร? ไม่มีทาง. เพียงแต่ว่าสูตรสำหรับการยกกำลังซึ่งใช้ได้ผลดีกับจำนวนบวกและศูนย์นั้น เริ่มก่อให้เกิดความบาปโดยสมบูรณ์ในกรณีของจำนวนลบ

เพื่อที่จะกำจัดความคลุมเครือดังกล่าวจึงมีการคิดค้นรากทางคณิตศาสตร์ขึ้นมา มีบทเรียนใหญ่แยกต่างหากสำหรับพวกเขาโดยเราจะพิจารณาคุณสมบัติทั้งหมดอย่างละเอียด ดังนั้นเราจะไม่อยู่กับพวกเขาตอนนี้ - บทเรียนกลายเป็นเรื่องยาวเกินไปแล้ว

รากพีชคณิต: สำหรับผู้ที่ต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติม

ฉันคิดอยู่นานว่าจะแยกหัวข้อนี้ออกเป็นย่อหน้าแยกกันหรือไม่ ในที่สุดฉันก็ตัดสินใจทิ้งมันไว้ที่นี่ วัสดุนี้มีไว้สำหรับผู้ที่ต้องการเข้าใจรากเหง้าที่ดียิ่งขึ้น - ไม่ได้อยู่ในระดับ "โรงเรียน" โดยเฉลี่ยอีกต่อไป แต่อยู่ในระดับที่ใกล้เคียงกับระดับโอลิมปิก

ดังนั้น: นอกเหนือจากคำจำกัดความ "คลาสสิก" ของรากที่ $n$th ของตัวเลขและการหารที่เกี่ยวข้องกันเป็นเลขชี้กำลังคู่และคี่แล้ว ยังมีคำจำกัดความ "ผู้ใหญ่" อีกประเภทหนึ่งที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันและรายละเอียดปลีกย่อยอื่น ๆ เลย สิ่งนี้เรียกว่ารากพีชคณิต

คำนิยาม. รากที่ $n$th เชิงพีชคณิตของ $a$ ใดๆ คือเซตของตัวเลข $b$ ทั้งหมด โดยที่ $((b)^(n))=a$ ไม่มีการกำหนดไว้สำหรับรากดังกล่าว ดังนั้นเราจะใส่เส้นประไว้ด้านบน:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

ความแตกต่างพื้นฐานจากคำจำกัดความมาตรฐานที่ให้ไว้ตอนต้นบทเรียนก็คือ รากพีชคณิตไม่ใช่จำนวนเฉพาะ แต่เป็นเซต และเนื่องจากเราทำงานกับจำนวนจริง ชุดนี้จึงมีเพียงสามประเภทเท่านั้น:

1. ชุดเปล่า. เกิดขึ้นเมื่อคุณต้องการค้นหารากพีชคณิตของระดับคู่จากจำนวนลบ
2. ชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียว รากทั้งหมดของเลขยกกำลังคี่ เช่นเดียวกับรากของเลขยกกำลังคู่ของศูนย์ อยู่ในหมวดหมู่นี้
3. ในที่สุด เซตนี้สามารถมีตัวเลขสองตัวได้ - $((x)_(1))$ และ $((x)_(2))=-((x)_(1))$ เดียวกันกับที่เราเห็นบน ฟังก์ชันกำลังสองของกราฟ ดังนั้นการจัดเรียงดังกล่าวจึงเป็นไปได้เฉพาะเมื่อแยกรากของระดับเลขคู่ออกจากจำนวนบวกเท่านั้น

กรณีสุดท้ายสมควรได้รับการพิจารณาโดยละเอียดยิ่งขึ้น ลองนับตัวอย่างสักสองสามตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจความแตกต่าง

ตัวอย่าง. ประเมินนิพจน์:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

สารละลาย. สำนวนแรกนั้นง่าย:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

มันคือตัวเลขสองตัวที่เป็นส่วนหนึ่งของเซต เพราะแต่ละอันกำลังสองให้สี่

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

ตรงนี้เราเห็นชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขเพียงตัวเดียว นี่เป็นตรรกะที่ค่อนข้างมาก เนื่องจากเลขชี้กำลังรูทเป็นเลขคี่

สุดท้ายนี้ สำนวนสุดท้าย:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

เราได้รับชุดเปล่า เนื่องจากไม่มีจำนวนจริงสักตัวเดียวที่เมื่อยกกำลังสี่ (เช่น คู่!) จะทำให้เราได้จำนวนลบ −16

หมายเหตุสุดท้าย โปรดทราบ: ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ฉันสังเกตเห็นทุกที่ที่เราทำงานกับจำนวนจริง เนื่องจากมีตัวเลขเชิงซ้อนด้วย จึงค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะคำนวณ $\sqrt(-16)$ ตรงนั้น และอื่นๆ อีกมากมายที่แปลกประหลาด

อย่างไรก็ตาม จำนวนเชิงซ้อนแทบไม่เคยปรากฏในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนสมัยใหม่เลย พวกเขาถูกลบออกจากตำราเรียนส่วนใหญ่เนื่องจากเจ้าหน้าที่ของเราถือว่าหัวข้อนี้ "ยากเกินกว่าจะเข้าใจ"

ในบทความนี้เราจะมาแนะนำ แนวคิดเรื่องรากของจำนวน. เราจะดำเนินการตามลำดับ: เราจะเริ่มต้นด้วยรากที่สอง จากนั้นเราจะไปยังคำอธิบายของรากลูกบาศก์ หลังจากนั้นเราจะสรุปแนวคิดของรากโดยกำหนดรากที่ n ในเวลาเดียวกัน เราจะแนะนำคำจำกัดความ สัญกรณ์ ยกตัวอย่างรากและให้คำอธิบายและความคิดเห็นที่จำเป็น

รากที่สอง, รากที่สองทางคณิตศาสตร์

หากต้องการเข้าใจคำจำกัดความของรากของตัวเลข และโดยเฉพาะรากที่สอง คุณต้องมี ณ จุดนี้ เรามักจะพบกับกำลังสองของตัวเลข นั่นคือกำลังสองของตัวเลข

เริ่มต้นด้วย คำจำกัดความของรากที่สอง.

คำนิยาม

รากที่สองของ aคือจำนวนที่มีกำลังสองเท่ากับ a

เพื่อนำมา. ตัวอย่างของรากที่สองนำตัวเลขมาหลายๆ ตัว เช่น 5, −0.3, 0.3, 0 แล้วยกกำลังสอง เราจะได้ตัวเลข 25, 0.09, 0.09 และ 0 ตามลำดับ (5 2 =5·5=25, (−0.3) 2 =(−0.3)·(−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 และ 0 2 =0·0=0 ) จากนั้น ตามคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้น เลข 5 คือรากที่สองของเลข 25 ตัวเลข −0.3 และ 0.3 คือรากที่สองของ 0.09 และ 0 คือรากที่สองของศูนย์

ควรสังเกตว่าไม่ใช่สำหรับจำนวนใดๆ a จะมีจำนวนที่กำลังสองเท่ากับ a กล่าวคือ สำหรับจำนวนลบ a ใดๆ จะไม่มีจำนวนจริง b ที่จะมีกำลังสองเท่ากับ a อันที่จริงแล้ว ความเท่าเทียมกัน a=b 2 นั้นเป็นไปไม่ได้สำหรับค่าลบ a ใดๆ เนื่องจาก b 2 เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบสำหรับค่า b ใดๆ ดังนั้น, ไม่มีรากที่สองของจำนวนลบบนเซตของจำนวนจริง. กล่าวอีกนัยหนึ่ง บนเซตของจำนวนจริง รากที่สองของจำนวนลบไม่ได้ถูกกำหนดไว้และไม่มีความหมาย

สิ่งนี้นำไปสู่คำถามเชิงตรรกะ: “มีรากที่สองของ a สำหรับ a ใดๆ ที่ไม่เป็นลบหรือไม่” คำตอบคือใช่ ข้อเท็จจริงนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีเชิงสร้างสรรค์ที่ใช้ในการค้นหาค่าของรากที่สอง

จากนั้นคำถามเชิงตรรกะถัดไปก็เกิดขึ้น: “ อะไรคือจำนวนรากที่สองทั้งหมดของจำนวนที่ไม่เป็นลบที่กำหนด a - หนึ่ง, สอง, สามหรือมากกว่านั้น”? ต่อไปนี้เป็นคำตอบ: ถ้า a เป็นศูนย์ รากที่สองของศูนย์เพียงตัวเดียวก็คือศูนย์ ถ้า a เป็นจำนวนบวก จำนวนรากที่สองของจำนวน a จะเป็น 2 และรากคือ ลองพิสูจน์เรื่องนี้ดู

เริ่มจากกรณี a=0 กันก่อน ขั้นแรก ลองแสดงว่า 0 เป็นรากที่สองของ 0 จริงๆ สิ่งนี้ตามมาจากความเท่าเทียมกันที่ชัดเจน 0 2 =0·0=0 และคำจำกัดความของรากที่สอง

ทีนี้ลองพิสูจน์ว่า 0 เป็นเพียงรากที่สองของศูนย์ ลองใช้วิธีตรงกันข้าม สมมติว่ามีเลข b ที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งเป็นรากที่สองของศูนย์ จากนั้นจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข b 2 =0 ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจากค่า b ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ของนิพจน์ b 2 จะเป็นค่าบวก เรามาถึงความขัดแย้งแล้ว นี่พิสูจน์ว่า 0 เป็นเพียงรากที่สองของศูนย์

มาดูกรณีที่ a เป็นจำนวนบวกกัน เราบอกไปแล้วว่าจำนวนที่ไม่เป็นลบจะมีรากที่สองเสมอ ให้รากที่สองของ a เป็นจำนวน b สมมุติว่ามีเลข c ซึ่งก็คือรากที่สองของ a เช่นกัน จากนั้น ตามนิยามของรากที่สอง ความเท่าเทียมกัน b 2 =a และ c 2 =a เป็นจริง ซึ่งตามมาด้วยว่า b 2 −c 2 =a−a=0 แต่เนื่องจาก b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) จากนั้น (b−c)·(b+c)=0 ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นนั้นถูกต้อง คุณสมบัติของการดำเนินการกับจำนวนจริงเป็นไปได้เฉพาะเมื่อ b−c=0 หรือ b+c=0 เท่านั้น ดังนั้น ตัวเลข b และ c จึงเท่ากันหรือตรงกันข้าม

ถ้าเราสมมุติว่ามีตัวเลข d ซึ่งเป็นรากที่สองอีกตัวหนึ่งของตัวเลข a ดังนั้นโดยการให้เหตุผลคล้ายกับที่ให้ไว้แล้ว ก็พิสูจน์ได้ว่า d เท่ากับตัวเลข b หรือตัวเลข c ดังนั้น จำนวนรากที่สองของจำนวนบวกคือ 2 และรากที่สองเป็นจำนวนตรงข้าม

เพื่อความสะดวกในการทำงานกับรากที่สอง รากที่เป็นลบจะถูก "แยก" ออกจากรากที่เป็นบวก เพื่อจุดประสงค์นี้จึงได้มีการแนะนำ คำจำกัดความของรากที่สองทางคณิตศาสตร์.

คำนิยาม

รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ aเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ a

สัญลักษณ์สำหรับรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของ a คือ เครื่องหมายนี้เรียกว่าเครื่องหมายรากที่สองทางคณิตศาสตร์ เรียกอีกอย่างว่าเครื่องหมายกรณฑ์ ดังนั้นบางครั้งคุณจึงได้ยินทั้ง "root" และ "radical" ซึ่งหมายถึงวัตถุเดียวกัน

เรียกว่าตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สองทางคณิตศาสตร์ เลขฐานรากและนิพจน์ใต้เครื่องหมายรูทคือ การแสดงออกที่รุนแรงในขณะที่คำว่า "จำนวนราก" มักจะถูกแทนที่ด้วย "นิพจน์ราก" ตัวอย่างเช่น ในสัญกรณ์ ตัวเลข 151 เป็นจำนวนราก และในสัญกรณ์ นิพจน์ a คือนิพจน์ที่เป็นราก

เมื่ออ่านคำว่า "เลขคณิต" มักจะถูกละเว้น เช่น รายการจะอ่านว่า "รากที่สองของเจ็ดจุดยี่สิบเก้า" คำว่า "เลขคณิต" ใช้เฉพาะเมื่อพวกเขาต้องการเน้นย้ำว่าเรากำลังพูดถึงรากที่สองที่เป็นบวกของตัวเลขโดยเฉพาะ

ตามรูปแบบที่แนะนำ เป็นไปตามคำจำกัดความของรากที่สองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสำหรับจำนวนใดๆ ที่ไม่เป็นลบ a

รากที่สองของจำนวนบวก a เขียนโดยใช้เครื่องหมายรากที่สองทางคณิตศาสตร์เป็น และ เช่น รากที่สองของ 13 คือ และ รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของศูนย์คือศูนย์ นั่นคือ สำหรับจำนวนลบ a เราจะไม่แนบความหมายกับสัญลักษณ์จนกว่าเราจะศึกษา จำนวนเชิงซ้อน . เช่น สำนวนและคำที่ไม่มีความหมาย

จากคำจำกัดความของรากที่สอง คุณสมบัติของรากที่สองได้รับการพิสูจน์แล้ว ซึ่งมักใช้ในทางปฏิบัติ

โดยสรุปในประเด็นนี้ เราสังเกตว่ารากที่สองของจำนวน a คือคำตอบที่อยู่ในรูป x 2 =a เทียบกับตัวแปร x

รากที่สามของตัวเลข

คำจำกัดความของรูทคิวบ์ของจำนวน a ให้ไว้เหมือนกับนิยามของรากที่สอง เพียงแต่มันขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องลูกบาศก์ของตัวเลข ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

คำนิยาม

รากที่สามของ aคือตัวเลขที่มีลูกบาศก์เท่ากับ a

ให้กันเถอะ ตัวอย่างของรากที่สาม. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้ตัวเลขหลายๆ ตัว เช่น 7, 0, −2/3 แล้วยกกำลังสาม: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . จากนั้น ตามคำจำกัดความของรากที่สาม เราสามารถพูดได้ว่าเลข 7 คือรากที่สามของ 343, 0 คือรากที่สามของ 0 และ −2/3 คือรากที่สามของ −8/27

จะเห็นได้ว่ารากที่สามของตัวเลขนั้นมีอยู่เสมอ ซึ่งต่างจากรากที่สอง ไม่เพียงแต่สำหรับ a ที่ไม่เป็นลบเท่านั้น แต่ยังสำหรับจำนวนจริง a ใดๆ ด้วย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณสามารถใช้วิธีเดียวกับที่เรากล่าวไว้เมื่อศึกษารากที่สอง

ยิ่งไปกว่านั้น มีเพียงรากที่สามของจำนวน a ที่กำหนดเท่านั้น ให้เราพิสูจน์ข้อความสุดท้าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาสามกรณีแยกกัน: a เป็นจำนวนบวก, a=0 และ a เป็นจำนวนลบ

มันง่ายที่จะแสดงว่าถ้า a เป็นบวก รากที่สามของ a ไม่สามารถเป็นได้ทั้งจำนวนลบหรือศูนย์ อันที่จริง ให้ b เป็นรากที่สามของ a จากนั้นตามนิยาม เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ b 3 =a เห็นได้ชัดว่าความเท่าเทียมกันนี้ไม่สามารถเป็นจริงได้สำหรับลบ b และสำหรับ b=0 เนื่องจากในกรณีเหล่านี้ b 3 =b·b·b จะเป็นจำนวนลบหรือศูนย์ ตามลำดับ ดังนั้นรากที่สามของจำนวนบวก a จึงเป็นจำนวนบวก

ทีนี้ สมมติว่านอกจากเลข b แล้ว ยังมีรากที่สามของเลข a แสดงว่ามันเป็น c กัน จากนั้น ค 3 =ก ดังนั้น b 3 −c 3 =a−a=0 แต่ b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(นี่คือสูตรคูณแบบย่อ ความแตกต่างของลูกบาศก์) โดยที่ (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0 ผลลัพธ์ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ b−c=0 หรือ b 2 +b·c+c 2 =0 จากความเท่าเทียมกันอันแรก เราได้ b=c และความเสมอภาคอันที่สองไม่มีคำตอบ เนื่องจากด้านซ้ายของมันคือจำนวนบวกสำหรับจำนวนบวกใดๆ b และ c เป็นผลรวมของเทอมบวกสามเทอม b 2, b·c และ c 2 สิ่งนี้พิสูจน์ความเป็นเอกลักษณ์ของรากที่สามของจำนวนบวก a

เมื่อ a=0 รากที่สามของตัวเลข a จะเป็นเลขศูนย์เท่านั้น อันที่จริง ถ้าเราสมมุติว่ามีตัวเลข b ซึ่งเป็นรากที่สามของศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ความเท่าเทียมกัน b 3 =0 จะต้องคงอยู่ ซึ่งเป็นไปได้เฉพาะเมื่อ b=0 เท่านั้น

สำหรับค่าลบ a สามารถให้อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกับกรณีของค่าบวก a ได้ ขั้นแรก เราแสดงว่ารากที่สามของจำนวนลบไม่สามารถเท่ากับจำนวนบวกหรือศูนย์ได้ ประการที่สอง เราสมมุติว่ามีรากที่สามของจำนวนลบ และแสดงว่ามันจะต้องตรงกับรากแรกเสมอไป

จึงมีรากที่สามของจำนวนจริง a ใดๆ เสมอ และเป็นจำนวนเฉพาะเสมอ

ให้กันเถอะ ความหมายของรากลูกบาศก์ทางคณิตศาสตร์.

คำนิยาม

รากที่สามทางคณิตศาสตร์ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ aเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสามเท่ากับ a

รากที่สามทางคณิตศาสตร์ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ a แสดงเป็น เครื่องหมายนี้เรียกว่าเครื่องหมายของรากที่สามทางคณิตศาสตร์ หมายเลข 3 ในสัญกรณ์นี้เรียกว่า ดัชนีราก. ตัวเลขใต้เครื่องหมายรูตคือ เลขฐานรากนิพจน์ใต้เครื่องหมายรูทคือ การแสดงออกที่รุนแรง.

แม้ว่ารากที่สามของเลขคณิตถูกกำหนดไว้เฉพาะสำหรับจำนวนที่ไม่เป็นลบ a เท่านั้น แต่ยังสะดวกที่จะใช้สัญลักษณ์ซึ่งพบจำนวนลบใต้เครื่องหมายรากที่สามของเลขคณิต เราจะเข้าใจพวกมันดังนี้: โดยที่ a เป็นจำนวนบวก ตัวอย่างเช่น, .

เราจะพูดถึงคุณสมบัติของรากที่สามในบทความทั่วไปเกี่ยวกับคุณสมบัติของราก

การคำนวณค่าของรากที่สามเรียกว่าการแยกรากที่สาม การดำเนินการนี้จะกล่าวถึงในบทความการแยกราก: วิธีการ ตัวอย่าง วิธีแก้ไข

เพื่อสรุปประเด็นนี้ สมมติว่ารากที่สามของจำนวน a เป็นคำตอบในรูปแบบ x 3 =a

รากที่ n, รากเลขคณิตของดีกรี n

ให้เราสรุปแนวคิดเรื่องรากของตัวเลข - เราขอแนะนำ คำจำกัดความของรากที่ nสำหรับ n

คำนิยาม

รากที่ n ของ aคือตัวเลขที่มีกำลัง n เท่ากับ a

จาก คำจำกัดความนี้เห็นได้ชัดว่ารากดีกรีแรกของตัวเลข a คือตัวเลข a เอง เนื่องจากเมื่อศึกษาระดับด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ เราจึงได้ 1 =a

ข้างต้น เราดูกรณีพิเศษของรากที่ n สำหรับ n=2 และ n=3 - รากที่สองและรากที่สาม นั่นคือ รากที่สองคือรากของดีกรีที่สอง และรากที่สามคือรากของดีกรีที่สาม หากต้องการศึกษารากของระดับที่ n สำหรับ n=4, 5, 6, ... จะสะดวกในการแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม: กลุ่มแรก - รากขององศาคู่ (นั่นคือสำหรับ n = 4, 6, 8 , ...) กลุ่มที่สอง - รูทองศาคี่ (นั่นคือ n=5, 7, 9, ...) นี่เป็นเพราะว่ารากของเลขยกกำลังคู่มีความคล้ายคลึงกับรากที่สอง และรากของเลขยกกำลังคี่คล้ายกับรากลูกบาศก์ มาจัดการกับพวกเขาทีละคน

เริ่มจากรากที่มีพลังเป็นเลขคู่ 4, 6, 8, ... อย่างที่เราบอกไปแล้ว พวกมันคล้ายกับรากที่สองของเลข a นั่นคือ รากของระดับเลขคู่ใดๆ ของจำนวน a นั้นจะมีเฉพาะในกรณีที่ a ไม่เป็นลบเท่านั้น ยิ่งกว่านั้น ถ้า a=0 รากของ a จะไม่ซ้ำกันและเท่ากับศูนย์ และถ้า a>0 แสดงว่าราก a มีดีกรีคู่ของตัวเลข a อยู่สองตัว และเป็นจำนวนที่ตรงกันข้ามกัน

ให้เรายืนยันคำสั่งสุดท้าย ให้ b เป็นรากคู่ (เราแสดงว่ามันเป็น 2·m โดยที่ m คือจำนวนธรรมชาติ) ของจำนวน a สมมติว่ามีตัวเลข c ซึ่งเป็นรากอีกตัวหนึ่งของระดับ 2·m จากจำนวน a จากนั้น b 2·m −c 2·m =a−a=0 แต่เรารู้รูปแบบ b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)จากนั้น (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. จากความเท่าเทียมกันนี้ จะได้ว่า b−c=0 หรือ b+c=0 หรือ b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. ความเท่าเทียมกันสองค่าแรกหมายความว่าตัวเลข b และ c เท่ากัน หรือ b และ c ตรงกันข้าม และความเสมอภาคสุดท้ายใช้ได้กับ b=c=0 เท่านั้น เนื่องจากทางด้านซ้ายจะมีนิพจน์ที่ไม่เป็นลบสำหรับ b และ c ใดๆ เป็นผลรวมของจำนวนที่ไม่เป็นลบ

สำหรับรากของดีกรี n สำหรับ n คี่ พวกมันจะคล้ายกับรากที่สาม นั่นคือ รากของระดับคี่ใดๆ ของจำนวน a มีอยู่สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ และสำหรับจำนวนที่กำหนด a นั้นจะไม่ซ้ำกัน

ความเป็นเอกลักษณ์ของรากที่มีดีกรีคี่ 2·m+1 ของจำนวน a ได้รับการพิสูจน์โดยการเปรียบเทียบกับการพิสูจน์เอกลักษณ์ของรากที่สามของ a ที่นี่เท่านั้นแทนความเท่าเทียมกัน a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)ใช้ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). นิพจน์ในวงเล็บสุดท้ายสามารถเขียนใหม่เป็นได้ b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). ตัวอย่างเช่น เรามี m=2 b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). เมื่อ a และ b เป็นบวกหรือลบทั้งคู่ ผลคูณของพวกมันคือจำนวนบวก ดังนั้นนิพจน์ b 2 +c 2 +b·c ในวงเล็บที่ซ้อนกันสูงสุดจะเป็นบวกเป็นผลรวมของจำนวนบวก ตอนนี้ เมื่อย้ายตามลำดับไปยังนิพจน์ในวงเล็บของระดับการซ้อนก่อนหน้า เรามั่นใจว่านิพจน์เหล่านี้เป็นบวกเป็นผลรวมของจำนวนบวกด้วย ผลลัพธ์ที่ได้คือความเท่าเทียมกัน b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ b−c=0 นั่นคือเมื่อเลข b เท่ากับเลข c

ถึงเวลาที่จะเข้าใจสัญกรณ์ของรากที่ n แล้ว เพื่อจุดประสงค์นี้จึงมอบให้ คำจำกัดความของรากเลขคณิตของระดับที่ n.

คำนิยาม

รากเลขคณิตของดีกรีที่ n ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ aเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลัง n เท่ากับ a