สมการเลขชี้กำลังและอสมการสำหรับคำตอบ สมการเลขชี้กำลังและอสมการ

โดยที่บทบาทของ $b$ อาจเป็นตัวเลขธรรมดาหรืออาจเป็นอะไรที่ยากกว่าก็ได้ ตัวอย่าง? ใช่โปรด:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ รูปสี่เหลี่ยม ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(ก))). \\\end(จัดแนว)\]

ฉันคิดว่าความหมายนั้นชัดเจน: มีฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล $((a)^(x))$ เมื่อเปรียบเทียบกับบางสิ่ง จากนั้นจึงขอให้ค้นหา $x$ ในกรณีทางคลินิกโดยเฉพาะ แทนที่จะเป็นตัวแปร $x$ พวกเขาสามารถใส่ฟังก์ชันบางอย่าง $f\left(x \right)$ และทำให้ความไม่เท่าเทียมกันซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย :)

แน่นอน ในบางกรณี ความไม่เท่าเทียมกันอาจดูรุนแรงยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

หรือแม้แต่สิ่งนี้:

โดยทั่วไป ความซับซ้อนของความไม่เท่าเทียมกันอาจแตกต่างกันมาก แต่สุดท้ายแล้วก็ยังคงเหลือแค่โครงสร้างอย่างง่าย $((a)^(x)) \gt b$ และเราจะหาโครงสร้างดังกล่าว (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีทางคลินิก เมื่อไม่มีอะไรอยู่ในใจ ลอการิทึมจะช่วยเราได้) ดังนั้นตอนนี้เราจะสอนวิธีแก้โครงสร้างง่ายๆ ให้คุณ

การแก้อสมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย

ลองพิจารณาบางสิ่งที่ง่ายมาก ตัวอย่างเช่น:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

แน่นอนว่าตัวเลขทางขวาสามารถเขียนใหม่เป็นกำลังสองได้: $4=((2)^(2))$ ดังนั้น อสมการเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบที่สะดวกมาก:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

และตอนนี้มือของฉันกำลังอยากจะ "ขีดฆ่า" ทั้งสองที่อยู่ในฐานของกำลังเพื่อให้ได้คำตอบ $x \gt 2$ แต่ก่อนที่จะขีดฆ่าสิ่งใดออกไป เรามาจำพลังของทั้งสองกันก่อน:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

ดังที่คุณเห็น ยิ่งตัวเลขในเลขชี้กำลังมากเท่าไร ตัวเลขเอาต์พุตก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น “ขอบคุณนะแคป!” - นักเรียนคนหนึ่งจะอุทาน มันแตกต่างกันบ้างไหม? น่าเสียดายที่มันเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ ขวา))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

ที่นี่ทุกอย่างก็มีเหตุผลเช่นกัน ยิ่งดีกรีมากเท่าใด 0.5 ก็จะคูณด้วยตัวมันเองมากขึ้นเท่านั้น (เช่น หารครึ่ง) ดังนั้นลำดับผลลัพธ์ของตัวเลขจึงลดลง และความแตกต่างระหว่างลำดับที่หนึ่งและที่สองจะอยู่ในฐานเท่านั้น:

• หากฐานของระดับ $a \gt 1$ เมื่อเลขชี้กำลัง $n$ เพิ่มขึ้น ตัวเลข $((a)^(n))$ ก็จะเพิ่มขึ้นเช่นกัน
• และในทางกลับกัน ถ้า $0 \lt a \lt 1$ เมื่อเลขชี้กำลัง $n$ เพิ่มขึ้น ตัวเลข $((a)^(n))$ จะลดลง

เมื่อสรุปข้อเท็จจริงเหล่านี้ เราได้รับข้อความที่สำคัญที่สุดซึ่งเป็นพื้นฐานของการตัดสินใจทั้งหมด อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล:

ถ้า $a \gt 1$ แล้วอสมการ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ จะเท่ากับอสมการ $x \gt n$ ถ้า $0 \lt a \lt 1$ แล้วอสมการ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ จะเท่ากับอสมการ $x \lt n$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากฐานมากกว่า 1 คุณก็สามารถลบออกได้ - เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง และถ้าเป็นพื้นฐาน น้อยกว่าหนึ่งจากนั้นก็สามารถลบออกได้ แต่ในขณะเดียวกันคุณจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ

โปรดทราบว่าเราไม่ได้พิจารณาตัวเลือก $a=1$ และ $a\le 0$ เพราะในกรณีเหล่านี้เกิดความไม่แน่นอนขึ้น สมมติว่าจะแก้อสมการในรูปแบบ $((1)^(x)) \gt 3$? หนึ่งต่อพลังใด ๆ จะให้หนึ่งอีกครั้ง - เราจะไม่มีวันได้รับสามหรือมากกว่านั้น เหล่านั้น. ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ด้วยเหตุผลเชิงลบ ทุกสิ่งจึงน่าสนใจยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันนี้:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

เมื่อมองแวบแรกทุกอย่างก็ง่าย:

ขวา? แต่ไม่! การแทนที่เลข $x$ สองสามจำนวนและเลขคี่สองสามจำนวนก็เพียงพอแล้ว เพื่อให้แน่ใจว่าผลเฉลยไม่ถูกต้อง ลองดู:

\[\begin(align) & x=4\ลูกศรขวา ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\ลูกศรขวา ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\ลูกศรขวา ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\ลูกศรขวา ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

อย่างที่คุณเห็นป้ายสลับกัน แต่ยังมีพลังเศษส่วนและเรื่องไร้สาระอื่น ๆ อีกด้วย ตัวอย่างเช่น คุณจะคำนวณ $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (ลบ 2 ยกกำลัง 7) ได้อย่างไร? ไม่มีทาง!

ดังนั้น เพื่อความแน่นอน เราถือว่าในอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลทั้งหมด (และสมการด้วย) $1\ne a \gt 0$ แล้วทุกอย่างก็แก้ไขได้ง่ายมาก:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\ลูกศรขวา \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right) \\\end(จัดตำแหน่ง) \right.\]

โดยทั่วไป ให้จำกฎหลักอีกครั้ง: หากฐานในสมการเลขชี้กำลังมากกว่า 1 คุณก็สามารถลบออกได้ และถ้าฐานน้อยกว่าหนึ่งก็สามารถลบออกได้เช่นกัน แต่สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนไป

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ดังนั้น เรามาดูอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลง่ายๆ สองสามข้อกัน:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25) \\\end(จัดแนว)\]

งานหลักในทุกกรณีจะเหมือนกัน: เพื่อลดความไม่เท่าเทียมกันให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ นี่คือสิ่งที่เราจะทำกับอสมการแต่ละอย่างในตอนนี้ และในขณะเดียวกัน เราก็จะทำซ้ำคุณสมบัติขององศา และ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง- ไปกันเลย!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

คุณสามารถทำอะไรที่นี่? ทางด้านซ้ายเรามีสำนวนที่บ่งบอกอยู่แล้ว - ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนแปลงอะไร แต่ทางด้านขวามีเรื่องไร้สาระบางอย่าง: เศษส่วนและแม้แต่รากในตัวส่วน!

อย่างไรก็ตาม ขอให้เราจำกฎการทำงานกับเศษส่วนและยกกำลัง:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))) \\\end(จัดแนว)\]

มันหมายความว่าอะไร? ขั้นแรก เราสามารถกำจัดเศษส่วนได้อย่างง่ายดายโดยเปลี่ยนให้เป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ และประการที่สอง เนื่องจากตัวส่วนมีราก จึงเป็นการดีที่จะเปลี่ยนมันเป็นกำลัง - คราวนี้ใช้เลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน

ลองใช้การกระทำเหล่านี้ตามลำดับทางด้านขวาของอสมการแล้วดูว่าจะเกิดอะไรขึ้น:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

อย่าลืมว่าเมื่อเพิ่มดีกรีเป็นเลขชี้กำลังของดีกรีเหล่านี้จะบวกกัน และโดยทั่วไป เมื่อทำงานกับสมการเลขชี้กำลังและอสมการ จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องรู้กฎที่ง่ายที่สุดในการทำงานกับกำลัง:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((ก)^(x)))(((ก)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)) \\\end(จัดแนว)\]

จริงๆ แล้ว เราเพิ่งใช้กฎข้อสุดท้าย ดังนั้น อสมการเดิมของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\ลูกศรขวา ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

ตอนนี้เรากำจัดทั้งสองที่ฐานแล้ว เนื่องจาก 2 > 1 เครื่องหมายอสมการจะยังคงเหมือนเดิม:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\ลูกศรขวา x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

นั่นคือทางออก! ปัญหาหลักไม่ได้อยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลัง แต่ในการแปลงนิพจน์ดั้งเดิมอย่างมีความสามารถ: คุณต้องนำมันไปสู่รูปแบบที่ง่ายที่สุดอย่างระมัดระวังและรวดเร็ว

พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันประการที่สอง:

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

ใช่ใช่ เศษส่วนทศนิยมรอเราอยู่ที่นี่ ดังที่ฉันได้กล่าวไปหลายครั้ง ในนิพจน์ที่มีอำนาจ คุณควรกำจัดทศนิยมออก ซึ่งมักจะเป็นวิธีเดียวที่จะเห็นวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายและรวดเร็ว ที่นี่เราจะกำจัด:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\ลูกศรขวา ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)) \\\end(จัดแนว)\]

ตรงนี้อีกครั้ง เรามีอสมการที่ง่ายที่สุด และถึงแม้จะมีฐานเป็น 1/10 ก็ตาม นั่นคือ น้อยกว่าหนึ่ง เราลบฐานออกพร้อม ๆ กันเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "น้อย" เป็น "มากกว่า" และเราได้รับ:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(จัดแนว)\]

เราได้รับคำตอบสุดท้าย: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$ โปรดทราบ: คำตอบนั้นเป็นชุดที่แน่นอน และไม่ว่าในกรณีใด จะเป็นการสร้างแบบฟอร์ม $x \lt -1$ เพราะอย่างเป็นทางการ โครงสร้างดังกล่าวไม่ได้ถูกกำหนดไว้เลย แต่เป็นความไม่เท่าเทียมกันเมื่อเทียบกับตัวแปร $x$ ใช่ มันง่ายมาก แต่มันไม่ใช่คำตอบ!

หมายเหตุสำคัญ- ความไม่เท่าเทียมกันนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่น - โดยการลดทั้งสองด้านให้เป็นกำลังที่มีฐานมากกว่าหนึ่ง ลองดู:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\ลูกศรขวา ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\ลูกศรขวา ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

หลังจากการเปลี่ยนแปลง เราจะได้ค่าอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลอีกครั้ง แต่มีฐานเป็น 10 > 1 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถขีดฆ่าสิบออกไปได้ - สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะไม่เปลี่ยนแปลง เราได้รับ:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(จัดแนว)\]

อย่างที่คุณเห็นคำตอบก็เหมือนกันทุกประการ ในขณะเดียวกัน เราก็ช่วยตัวเองจากความจำเป็นในการเปลี่ยนป้ายและโดยทั่วไปแล้วจะจำกฎเกณฑ์ต่างๆ ได้ :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

อย่างไรก็ตาม อย่าปล่อยให้เรื่องนี้ทำให้คุณกลัว ไม่ว่าตัวบ่งชี้จะเป็นอย่างไร เทคโนโลยีในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมก็ยังคงเหมือนเดิม ดังนั้น ก่อนอื่นให้เราทราบก่อนว่า 16 = 2 4 ลองเขียนความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมโดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

ไชโย! เราได้อสมการกำลังสองตามปกติ! เครื่องหมายไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ เนื่องจากฐานเป็นสอง - ตัวเลขที่มากกว่าหนึ่ง

ค่าศูนย์ของฟังก์ชันบนเส้นจำนวน

เราจัดเรียงเครื่องหมายของฟังก์ชัน $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - แน่นอนว่ากราฟของมันจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งก้านสาขาขึ้น ดังนั้นจะมี "เครื่องหมายบวก" ” ที่ด้านข้าง เราสนใจในภูมิภาคที่ฟังก์ชันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ เช่น $x\in \left(2;5 \right)$ คือคำตอบของปัญหาเดิม

สุดท้ายนี้ ให้พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอีกประการหนึ่ง:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

อีกครั้งที่เราเห็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งมีเศษส่วนทศนิยมอยู่ที่ฐาน ลองแปลงเศษส่วนนี้เป็นเศษส่วนร่วม:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\ลูกศรขวา \\ & \ลูกศรขวา ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(จัด)\]

ในกรณีนี้ เราใช้หมายเหตุที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้ - เราลดฐานลงเหลือเลข 5 > 1 เพื่อทำให้การแก้ปัญหาต่อไปง่ายขึ้น ลองทำเช่นเดียวกันกับด้านขวา:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ ขวา))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

ให้เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมโดยคำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงทั้งสอง:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\ลูกศรขวา ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

ฐานทั้งสองข้างเท่ากันและเกินฐานหนึ่ง ไม่มีคำศัพท์อื่นทางขวาและซ้าย ดังนั้นเราจึงเพียงแค่ "ขีดฆ่า" ห้าคำและรับสำนวนง่ายๆ:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

นี่คือที่ที่คุณต้องระมัดระวังมากขึ้น นักเรียนหลายคนชอบที่จะแยกออกมาง่ายๆ รากที่สองของทั้งสองด้านของอสมการแล้วเขียนประมาณว่า $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ ไม่ว่าในกรณีใด คุณไม่ควรทำเช่นนี้ เนื่องจากรากของกำลังสองที่แน่นอนคือ โมดูล และไม่ว่าในกรณีใดตัวแปรดั้งเดิม:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\ซ้าย| x\ขวา|\]

อย่างไรก็ตาม การทำงานกับโมดูลไม่ใช่ประสบการณ์ที่น่าพึงพอใจที่สุดใช่ไหม งั้นเราจะไม่ทำงาน แต่เราเพียงแค่ย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายแล้วแก้ไขอสมการปกติโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(จัด)$

เราทำเครื่องหมายคะแนนที่ได้รับบนเส้นจำนวนอีกครั้งและดูที่สัญญาณ:

เนื่องจากเรากำลังแก้ไขอสมการแบบไม่เข้มงวด จุดทั้งหมดบนกราฟจึงถูกแรเงา ดังนั้น คำตอบจะเป็น: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ไม่ใช่ช่วงเวลา แต่เป็นเซ็กเมนต์

โดยทั่วไป ฉันอยากจะทราบว่าไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับความไม่เท่าเทียมกันแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล ความหมายของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดที่เราทำในวันนี้นั้นมาจากอัลกอริธึมง่ายๆ:

• ค้นหาพื้นฐานที่เราจะลดระดับทั้งหมดลง
• ทำการแปลงอย่างระมัดระวังเพื่อให้ได้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ แน่นอนว่า แทนที่จะเป็นตัวแปร $x$ และ $n$ อาจมีฟังก์ชันที่ซับซ้อนกว่านี้มาก แต่ความหมายจะไม่เปลี่ยนแปลง
• ขีดฆ่าฐานขององศา. ในกรณีนี้ เครื่องหมายอสมการอาจเปลี่ยนแปลงได้หากฐาน $a \lt 1$

อันที่จริงนี่เป็นอัลกอริธึมสากลสำหรับการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด และทุกสิ่งทุกอย่างที่พวกเขาจะบอกคุณในหัวข้อนี้เป็นเพียงเทคนิคและลูกเล่นเฉพาะที่จะทำให้การเปลี่ยนแปลงง่ายขึ้นและเร็วขึ้น เราจะพูดถึงหนึ่งในเทคนิคเหล่านี้ตอนนี้ :)

วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง

ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอีกชุดหนึ่ง:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ขวา))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

แล้วมีอะไรพิเศษเกี่ยวกับพวกเขาบ้าง? พวกมันเบา ยังไงก็หยุด! เลข π ยกกำลังบ้างไหม? เรื่องไร้สาระอะไร?

จะเพิ่มตัวเลข $2\sqrt(3)-3$ ให้เป็นกำลังได้อย่างไร? หรือ $3-2\sqrt(2)$? เห็นได้ชัดว่าผู้เขียนปัญหาดื่ม Hawthorn มากเกินไปก่อนจะนั่งทำงาน :)

จริงๆ แล้วไม่มีอะไรน่ากลัวเกี่ยวกับงานเหล่านี้ ฉันขอเตือนคุณว่า ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือนิพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ $((a)^(x))$ โดยที่ฐาน $a$ คือจำนวนบวกใดๆ ยกเว้นเลขหนึ่ง จำนวน π เป็นบวก - เรารู้อยู่แล้ว ตัวเลข $2\sqrt(3)-3$ และ $3-2\sqrt(2)$ ก็เป็นค่าบวกเช่นกัน ซึ่งง่ายต่อการดูว่าคุณเปรียบเทียบกับศูนย์หรือไม่

ปรากฎว่าความไม่เท่าเทียมกันที่ "น่ากลัว" เหล่านี้ได้รับการแก้ไขแล้วไม่ต่างจากความไม่เท่าเทียมที่กล่าวถึงข้างต้นใช่ไหม และพวกเขาได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันหรือไม่? ใช่แล้ว ถูกต้องเลย อย่างไรก็ตาม จากตัวอย่างของพวกเขา ฉันต้องการพิจารณาเทคนิคหนึ่งที่ช่วยประหยัดเวลาได้อย่างมาก งานอิสระและการสอบ เราจะพูดถึงวิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง ดังนั้นความสนใจ:

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลใดๆ ในรูปแบบ $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ เทียบเท่ากับอสมการ $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ ขวา) \gt 0 $

นั่นคือวิธีการทั้งหมด :) คุณคิดว่าจะมีเกมอื่นบ้างไหม? ไม่มีอะไรแบบนั้น! แต่ข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้ซึ่งเขียนเป็นบรรทัดเดียว จะทำให้งานของเราง่ายขึ้นอย่างมาก ลองดู:

\[\begin(เมทริกซ์) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(เมทริกซ์)\]

ดังนั้นจึงไม่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลังอีกต่อไป! และคุณไม่จำเป็นต้องจำไว้ว่าป้ายเปลี่ยนหรือไม่ แต่มันเกิดขึ้น ปัญหาใหม่: จะทำอย่างไรกับตัวคูณร่วมเพศ \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? เราไม่รู้ว่าค่าที่แท้จริงของตัวเลข π คืออะไร อย่างไรก็ตาม ดูเหมือนว่ากัปตันจะบอกเป็นนัยอย่างชัดเจน:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\ประมาณ 3.14... \gt 3\ลูกศรขวา \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

โดยทั่วไป ค่าที่แน่นอนของ π ไม่ได้เกี่ยวข้องกับเราเลย สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, ที .e. นี่คือค่าคงที่บวก และเราสามารถหารอสมการทั้งสองข้างได้:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

อย่างที่คุณเห็นใน ช่วงเวลาหนึ่งฉันต้องหารด้วยลบหนึ่ง - และสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันก็เปลี่ยนไป ในตอนท้าย ฉันขยายตรีโกณมิติกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตา - เห็นได้ชัดว่ารากมีค่าเท่ากับ $((x)_(1))=5$ และ $((x)_(2))=-1$ . จากนั้นทุกอย่างจะได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีช่วงเวลาแบบคลาสสิก:

ลบคะแนนทั้งหมดออกเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันเดิมเข้มงวด เราสนใจบริเวณที่มีค่าเป็นลบ ดังนั้นคำตอบคือ $x\in \left(-1;5 \right)$ นั่นคือวิธีแก้ปัญหา :)

เรามาดูปัญหาต่อไปกันดีกว่า:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

โดยทั่วไปทุกอย่างที่นี่จะเรียบง่าย เนื่องจากมีหน่วยอยู่ทางขวา และเราจำได้ว่าหนึ่งคือตัวเลขใดๆ ก็ตามที่ถูกยกกำลังเป็นศูนย์ แม้ว่าตัวเลขนี้จะเป็นนิพจน์ที่ไม่ลงตัวที่ฐานทางซ้าย:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \ขวา))^(0)); \\\end(จัดแนว)\]

เรามาหาเหตุผลเข้าข้างตนเองกันดีกว่า:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาสัญญาณ ตัวประกอบ $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ไม่มีตัวแปร $x$ - มันเป็นเพียงค่าคงที่ และเราจำเป็นต้องค้นหาเครื่องหมายของมัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โปรดทราบสิ่งต่อไปนี้:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(เมทริกซ์)\]

ปรากฎว่าปัจจัยที่สองไม่ได้เป็นเพียงค่าคงที่ แต่เป็นค่าคงที่เชิงลบ! และเมื่อหารด้วยเครื่องหมายของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมจะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

ตอนนี้ทุกอย่างชัดเจนไปหมดแล้ว ราก ตรีโกณมิติกำลังสองยืนทางขวา: $((x)_(1))=0$ และ $((x)_(2))=2$ เราทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวนและดูสัญญาณของฟังก์ชัน $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

เราสนใจช่วงเวลาที่ทำเครื่องหมายด้วยเครื่องหมายบวก สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนคำตอบ:

มาดูตัวอย่างถัดไปกัน:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ ขวา))^(16-x))\]

ทุกอย่างชัดเจนที่นี่: ฐานมีพลังของจำนวนเดียวกัน ดังนั้นฉันจะเขียนทุกอย่างโดยย่อ:

\[\begin(เมทริกซ์) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \ลูกศรลง \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(เมทริกซ์)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ ซ้าย(16-x \right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

อย่างที่คุณเห็น ในระหว่างกระบวนการเปลี่ยนแปลง เราต้องคูณด้วย จำนวนลบสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจึงเปลี่ยนไป ในตอนท้ายสุด ผมใช้ทฤษฎีบทของเวียตาอีกครั้งเพื่อแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นดังนี้: $x\in \left(-8;4 \right)$ - ใครๆ ก็สามารถตรวจสอบได้โดยการวาดเส้นจำนวน ทำเครื่องหมายจุด และนับเครื่องหมาย ในขณะเดียวกัน เราจะไปยังความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายจาก "ชุด" ของเรา:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

อย่างที่คุณเห็นที่ฐานมีอีกครั้ง จำนวนอตรรกยะและทางขวาก็มีอีกอันหนึ่งอีกครั้ง ดังนั้นเราจึงเขียนอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลใหม่ดังนี้:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ ขวา))^(0))\]

เราใช้การหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

อย่างไรก็ตาม เห็นได้ชัดว่า $1-\sqrt(2) \lt 0$ เนื่องจาก $\sqrt(2)\approx 1,4... \gt 1$ ดังนั้นปัจจัยที่สองจึงเป็นค่าคงที่ลบอีกครั้งซึ่งสามารถแบ่งอสมการทั้งสองด้านได้:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(เมทริกซ์)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

ย้ายไปฐานอื่น

ปัญหาอีกประการหนึ่งเมื่อแก้ไขอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลคือการค้นหาพื้นฐานที่ "ถูกต้อง" น่าเสียดายที่มันไม่ชัดเจนเสมอไปเมื่อเห็นงานครั้งแรกว่าต้องใช้อะไรเป็นพื้นฐานและต้องทำอะไรตามระดับของพื้นฐานนี้

แต่ไม่ต้องกังวล: ที่นี่ไม่มีเวทย์มนตร์หรือเทคโนโลยี "ความลับ" ในทางคณิตศาสตร์ ทักษะใดๆ ที่ไม่สามารถกำหนดอัลกอริทึมได้สามารถพัฒนาได้อย่างง่ายดายผ่านการฝึกฝน แต่สำหรับสิ่งนี้คุณจะต้องแก้ปัญหาที่ซับซ้อนในระดับต่างๆ ตัวอย่างเช่นเช่นนี้:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ สิ้นสุด(จัดตำแหน่ง)\]

ยาก? น่ากลัว? ง่ายกว่าการตีไก่บนพื้นยางมะตอย! มาลองดูกัน ความไม่เท่าเทียมกันประการแรก:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

ฉันคิดว่าทุกอย่างชัดเจนที่นี่:

เราเขียนอสมการเดิมใหม่ โดยลดทุกอย่างให้เหลือฐานสอง:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\ลูกศรขวา \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

ใช่ ใช่ คุณได้ยินถูกแล้ว ฉันเพิ่งใช้วิธีการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองตามที่อธิบายไว้ข้างต้น ตอนนี้เราต้องทำงานอย่างระมัดระวัง: เรามีความไม่เท่าเทียมกันที่เป็นเศษส่วน-ตรรกยะ (นี่คือค่าที่มีตัวแปรในตัวส่วน) ดังนั้นก่อนที่เราจะถือว่าสิ่งใดสิ่งหนึ่งเป็นศูนย์ เราต้องนำทุกอย่างมาไว้ที่ ตัวส่วนร่วมและกำจัดปัจจัยคงที่ออกไป

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

ตอนนี้เราใช้ วิธีการมาตรฐานช่วงเวลา ตัวเศษศูนย์: $x=\pm 4$ ตัวส่วนจะเป็นศูนย์เฉพาะเมื่อ $x=0$ มีทั้งหมดสามจุดที่ต้องทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน (ทุกจุดถูกปักหมุดไว้เนื่องจากเครื่องหมายอสมการเข้มงวด) เราได้รับ:

ดังที่คุณอาจเดาได้ การแรเงาจะทำเครื่องหมายช่วงเวลาที่นิพจน์ทางด้านซ้ายรับค่าลบ ดังนั้นคำตอบสุดท้ายจะรวมสองช่วงพร้อมกัน:

จุดสิ้นสุดของช่วงจะไม่รวมอยู่ในคำตอบเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันเดิมเข้มงวด ไม่จำเป็นต้องมีการตรวจสอบคำตอบนี้เพิ่มเติม ในเรื่องนี้ อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลนั้นง่ายกว่าลอการิทึมมาก: ไม่มี ODZ ไม่มีข้อจำกัด ฯลฯ

มาดูงานต่อไปกันดีกว่า:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

ก็ไม่มีปัญหาเช่นกัน เนื่องจากเรารู้อยู่แล้วว่า $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ ดังนั้นอสมการทั้งหมดจึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\ลูกศรขวา ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(จัดตำแหน่ง)\]

โปรดทราบ: ในบรรทัดที่สามฉันตัดสินใจที่จะไม่เสียเวลากับเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ และหารทุกอย่างทันทีด้วย (−2) มินูลเข้าไปในวงเล็บแรก (ตอนนี้มีข้อดีอยู่ทุกหนทุกแห่ง) และสองก็ลดลงด้วยปัจจัยคงที่ นี่คือสิ่งที่คุณควรทำเมื่อเตรียมการจัดแสดงจริงบนจออิสระและ การทดสอบ— ไม่จำเป็นต้องอธิบายทุกการกระทำและการเปลี่ยนแปลง

ต่อไป วิธีการที่คุ้นเคยของช่วงเวลาที่คุ้นเคยเข้ามามีบทบาท ตัวเศษศูนย์: แต่ไม่มีเลย เพราะการเลือกปฏิบัติจะเป็นลบ ในทางกลับกัน ตัวส่วนจะถูกรีเซ็ตที่ $x=0$ เท่านั้น - เช่นเดียวกับครั้งล่าสุด เป็นที่ชัดเจนว่าทางด้านขวาของ $x=0$ เศษส่วนจะได้ค่าบวก และทางซ้าย - เป็นลบ เนื่องจากเราสนใจค่าลบ คำตอบสุดท้ายคือ: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$

\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]

คุณควรทำอย่างไรกับเศษส่วนทศนิยมในความไม่เท่าเทียมกันแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล? ถูกต้อง: กำจัดพวกมันแล้วแปลงพวกมันให้กลายเป็นของธรรมดา ที่นี่เราจะแปล:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ ซ้าย(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\ลูกศรขวา ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\ขวา))^(x)) \\\end(จัดแนว)\]

แล้วเราได้อะไรจากรากฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง? และเรามีตัวเลขผกผันกันสองตัว:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\ลูกศรขวา ((\left(\frac(25)(4) \ ขวา))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ ซ้าย(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]

ดังนั้น อสมการเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \ขวา))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(จัดแนว)\]

แน่นอนว่าเมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะรวมกัน ซึ่งเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นในบรรทัดที่สอง นอกจากนี้ เราแสดงหน่วยทางด้านขวาด้วย เป็นกำลังในฐาน 4/25 เช่นกัน สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \ลูกศรขวา \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

โปรดทราบว่า $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$ เช่น ปัจจัยที่สองคือค่าคงที่ลบ และเมื่อหารด้วยค่านั้น เครื่องหมายอสมการจะเปลี่ยนไป:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\ลูกศรขวา x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

ในที่สุดความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายจาก “ชุด” ปัจจุบัน:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

โดยหลักการแล้ว แนวคิดในการแก้ปัญหาที่นี่ก็ชัดเจนเช่นกัน: ฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดที่รวมอยู่ในอสมการจะต้องลดลงเหลือฐาน "3" แต่สำหรับสิ่งนี้คุณจะต้องคนจรจัดเล็กน้อยด้วยรากและพลัง:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)) \\\end(จัดแนว)\]

เมื่อคำนึงถึงข้อเท็จจริงเหล่านี้แล้ว ความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)) \\\end(จัดแนว)\]

ให้ความสนใจกับการคำนวณบรรทัดที่ 2 และ 3: ก่อนที่จะทำอะไรก็ตามที่มีความไม่เท่าเทียมกันอย่าลืมนำมาไว้ในรูปแบบที่เราพูดถึงตั้งแต่ต้นบทเรียน: $((a)^(x)) \ lt ((ก)^(n))$. ตราบใดที่คุณมีตัวประกอบทางซ้าย ค่าคงที่เพิ่มเติม ฯลฯ ทางซ้ายหรือขวา ไม่สามารถดำเนินการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองหรือ "ขีดฆ่า" เหตุผลได้- งานจำนวนนับไม่ถ้วนเสร็จสิ้นอย่างไม่ถูกต้องเนื่องจากไม่สามารถเข้าใจข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้ ฉันเองก็สังเกตปัญหานี้กับนักเรียนอยู่ตลอดเวลา เมื่อเราเพิ่งเริ่มวิเคราะห์ความไม่เท่าเทียมกันแบบเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึม

แต่กลับมาที่งานของเรากันดีกว่า คราวนี้เรามาลองทำโดยไม่ต้องหาเหตุผลเข้าข้างตนเองกัน โปรดจำไว้ว่า: ฐานของระดับนั้นมากกว่าหนึ่ง ดังนั้นจึงสามารถขีดฆ่าค่าสามเท่าออกได้ - เครื่องหมายอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง เราได้รับ:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

แค่นั้นแหละ. คำตอบสุดท้าย: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$

การแยกนิพจน์ที่เสถียรและการแทนที่ตัวแปร

โดยสรุป ฉันเสนอให้แก้ไขอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลอีกสี่ประการซึ่งค่อนข้างยากสำหรับนักเรียนที่ไม่ได้เตรียมตัวไว้ เพื่อรับมือกับสิ่งเหล่านี้ คุณต้องจำกฎการทำงานกับปริญญา โดยเฉพาะการเอาปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ

แต่สิ่งที่สำคัญที่สุดคือการเรียนรู้ที่จะเข้าใจสิ่งที่สามารถนำออกจากวงเล็บได้ นิพจน์ดังกล่าวเรียกว่าเสถียร - สามารถแสดงด้วยตัวแปรใหม่ได้และทำให้ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลถูกกำจัดออกไป ลองดูงาน:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\end(align)\]

เริ่มจากบรรทัดแรกกันก่อน ให้เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันนี้แยกกัน:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

โปรดทราบว่า $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ ดังนั้นทางขวามือ ด้านข้างสามารถเขียนใหม่ได้:

โปรดทราบว่าไม่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลังอื่นๆ ยกเว้น $((5)^(x+1))$ ในอสมการ และโดยทั่วไปแล้ว ตัวแปร $x$ จะไม่ปรากฏที่อื่น ดังนั้นเราขอแนะนำตัวแปรใหม่: $((5)^(x+1))=t$ เราได้รับการก่อสร้างดังต่อไปนี้:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

เรากลับไปที่ตัวแปรเดิม ($t=((5)^(x+1))$) และในขณะเดียวกันก็จำไว้ว่า 1=5 0 เรามี:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(จัดแนว)\]

นั่นคือทางออก! คำตอบ: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. เรามาดูอสมการที่สองกันดีกว่า:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

ทุกอย่างเหมือนกันที่นี่ โปรดทราบว่า $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ จากนั้นด้านซ้ายสามารถเขียนใหม่ได้:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \right. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\ลูกศรขวา ((3)^(x))\ge 9\ลูกศรขวา ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\ลูกศรขวา x\in \left[ 2;+\infty \right) \\\end(จัดแนว)\]

นี่เป็นวิธีการโดยประมาณที่คุณต้องจัดทำโซลูชันสำหรับการทดสอบจริงและงานอิสระ

เรามาลองทำสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้กันดีกว่า ตัวอย่างเช่น นี่คือความไม่เท่าเทียมกัน:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

มีปัญหาอะไรที่นี่? ประการแรก ฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลังทางด้านซ้ายจะต่างกัน: 5 และ 25 อย่างไรก็ตาม 25 = 5 2 ดังนั้นเทอมแรกจึงสามารถแปลงได้:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

อย่างที่คุณเห็น ในตอนแรกเรานำทุกอย่างมาไว้ที่ฐานเดียวกัน จากนั้นเราสังเกตเห็นว่าเทอมแรกสามารถลดเหลือเทอมที่สองได้อย่างง่ายดาย คุณเพียงแค่ต้องขยายเลขชี้กำลัง ตอนนี้คุณสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ได้อย่างปลอดภัย: $((5)^(2x+2))=t$ และอสมการทั้งหมดจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

และอีกครั้ง ไม่มีปัญหา! คำตอบสุดท้าย: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$ เรามาดูความไม่เท่าเทียมกันขั้นสุดท้ายในบทเรียนวันนี้กันดีกว่า:

\[((\left(0.5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

สิ่งแรกที่คุณควรใส่ใจคือแน่นอน ทศนิยมที่ฐานของระดับแรก มีความจำเป็นต้องกำจัดมันออกไปและในขณะเดียวกันก็นำฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลทั้งหมดมาไว้ในฐานเดียวกัน - หมายเลข "2":

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\ลูกศรขวา ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\ลูกศรขวา ((16)^(x+1.5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

เยี่ยมมาก เราได้ก้าวแรกแล้ว ทุกอย่างได้นำไปสู่รากฐานเดียวกัน ตอนนี้คุณต้องเลือกนิพจน์ที่เสถียร โปรดทราบว่า $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ หากเราแนะนำตัวแปรใหม่ $((2)^(4x+6))=t$ แล้วอสมการเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\end(จัดแนว)\]

โดยปกติแล้ว คำถามอาจเกิดขึ้น: เราค้นพบว่า 256 = 2 8 ได้อย่างไร น่าเสียดายที่ที่นี่คุณเพียงแค่ต้องรู้พลังของสอง (และในเวลาเดียวกันก็รู้พลังของสามและห้า) หรือหาร 256 ด้วย 2 (คุณสามารถหารได้ เนื่องจาก 256 เป็นจำนวนคู่) จนกว่าเราจะได้ผลลัพธ์ มันจะมีลักษณะดังนี้:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(จัดแนว )\]

เช่นเดียวกับสาม (ตัวเลข 9, 27, 81 และ 243 เป็นองศา) และเจ็ด (ตัวเลข 49 และ 343 ก็น่าจดจำเช่นกัน) ทั้งห้าก็มีระดับ "สวยงาม" ที่คุณต้องรู้ด้วย:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(จัดแนว)\]

แน่นอน หากคุณต้องการ คุณสามารถเรียกคืนตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมดไว้ในใจของคุณได้เพียงแค่คูณตัวเลขเหล่านั้นตามลำดับกัน อย่างไรก็ตาม เมื่อคุณต้องแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลหลายตัว และค่าถัดไปแต่ละค่ายากกว่าค่าก่อนหน้า สิ่งสุดท้ายที่คุณคิดคือกำลังของตัวเลขบางตัว และในแง่นี้ ปัญหาเหล่านี้ซับซ้อนกว่าอสมการแบบ "คลาสสิก" ที่แก้ไขได้โดยวิธีช่วงเวลา

มหาวิทยาลัยแห่งรัฐเบลโกรอด

แผนก พีชคณิต ทฤษฎีจำนวน และเรขาคณิต

หัวข้อ: สมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ

วิทยานิพนธ์นักศึกษาคณะฟิสิกส์และคณิตศาสตร์

หัวหน้างานด้านวิทยาศาสตร์:

______________________________

ผู้ตรวจสอบ: _______________________

________________________

เบลโกรอด 2549

การแนะนำ.

“...ความสุขที่ได้เห็นและเข้าใจ...”

ก. ไอน์สไตน์.

ในงานนี้ ฉันพยายามถ่ายทอดประสบการณ์ของฉันในฐานะครูคณิตศาสตร์ เพื่อถ่ายทอดทัศนคติของฉันต่อการสอนอย่างน้อยในระดับหนึ่ง ซึ่งเป็นเรื่องของมนุษย์ที่ น่าอัศจรรย์มากวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ การสอน การสอน จิตวิทยา และแม้แต่ปรัชญามีความเกี่ยวพันกัน

ฉันมีโอกาสทำงานกับเด็กและผู้สำเร็จการศึกษา กับเด็กที่มีพัฒนาการทางสติปัญญาขั้นสุด: ผู้ที่ลงทะเบียนกับจิตแพทย์และผู้ที่สนใจคณิตศาสตร์จริงๆ

ฉันมีโอกาสแก้ไขปัญหาด้านระเบียบวิธีมากมาย ฉันจะพยายามพูดถึงสิ่งที่ฉันจัดการเพื่อแก้ไข แต่ยิ่งล้มเหลวมากขึ้นไปอีก และแม้แต่ในสิ่งที่ดูเหมือนจะได้รับการแก้ไขแล้ว ก็มีคำถามใหม่เกิดขึ้น

แต่สิ่งที่สำคัญยิ่งกว่าประสบการณ์นั้นคือการสะท้อนและความสงสัยของครู: ทำไมประสบการณ์นี้ถึงเป็นเช่นนี้?

และตอนนี้ฤดูร้อนก็แตกต่างออกไป และการพัฒนาด้านการศึกษาก็น่าสนใจยิ่งขึ้น ตอนนี้ "Under the Jupiters" ไม่ใช่การค้นหาสิ่งที่เป็นตำนาน ระบบที่เหมาะสมที่สุดสอน "ทุกคนและทุกสิ่ง" ยกเว้นตัวเด็กเอง แต่แล้ว - จำเป็น - ครู

ในโรงเรียนวิชาพีชคณิตและเริ่มวิเคราะห์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 - 11 ด้วย ผ่านการสอบ Unified Stateต่อหลักสูตร โรงเรียนมัธยมปลายและในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยจะมีสมการและอสมการที่ไม่ทราบค่าในฐานและเลขชี้กำลัง - เหล่านี้คือสมการเลขชี้กำลังและอสมการ

พวกเขาได้รับความสนใจเพียงเล็กน้อยที่โรงเรียน แทบไม่มีการมอบหมายงานในหัวข้อนี้ในหนังสือเรียน อย่างไรก็ตามการฝึกฝนเทคนิคการแก้ปัญหาเหล่านั้นดูเหมือนว่ามีประโยชน์มากสำหรับฉัน: มันช่วยเพิ่มจิตใจและ ความคิดสร้างสรรค์นักเรียน ขอบเขตอันใหม่กำลังเปิดกว้างต่อหน้าเรา เมื่อแก้ไขปัญหา นักเรียนจะได้รับทักษะแรก งานวิจัยวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ของพวกเขาได้รับการเสริมสมรรถนะ และความสามารถในการคิดเชิงตรรกะก็พัฒนาขึ้น เด็กนักเรียนพัฒนาคุณสมบัติบุคลิกภาพ เช่น ความมุ่งมั่น การตั้งเป้าหมาย และความเป็นอิสระ ซึ่งจะเป็นประโยชน์ต่อพวกเขาในชีวิตบั้นปลาย และยังมีการทำซ้ำ การขยาย และการซึมซับสื่อการศึกษาอย่างลึกซึ้งอีกด้วย

ฉันเริ่มทำงานในหัวข้อนี้สำหรับวิทยานิพนธ์ของฉันโดยการเขียนรายวิชา ในหลักสูตรที่ฉันศึกษาอย่างลึกซึ้งและวิเคราะห์วรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ในหัวข้อนี้ ฉันได้ระบุวิธีที่เหมาะสมที่สุดในการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ

มันอยู่ในความจริงที่ว่านอกเหนือจากวิธีการที่ยอมรับกันโดยทั่วไปเมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง (ฐานมีค่ามากกว่า 0) และเมื่อแก้อสมการเดียวกัน (ฐานมีค่ามากกว่า 1 หรือมากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1) จะพิจารณากรณีต่างๆ ด้วยเมื่อฐานเป็นลบ เท่ากับ 0 และ 1

การวิเคราะห์ข้อเขียน เอกสารการสอบนักเรียนแสดงให้เห็นว่าการขาดความครอบคลุมของปัญหาค่าลบของการโต้แย้งของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในตำราเรียนของโรงเรียนทำให้เกิดปัญหามากมายและนำไปสู่ข้อผิดพลาด และพวกเขายังมีปัญหาในขั้นตอนของการจัดระบบผลลัพธ์ที่ได้รับซึ่งเนื่องจากการเปลี่ยนไปใช้สมการ - ผลที่ตามมาหรือความไม่เท่าเทียมกัน - ผลที่ตามมาอาจทำให้รากที่ไม่เกี่ยวข้องปรากฏขึ้น เพื่อกำจัดข้อผิดพลาด เราใช้การทดสอบโดยใช้สมการหรืออสมการดั้งเดิมและอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล หรือแผนการแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

เพื่อให้นักเรียนผ่านการสอบปลายภาคและการสอบเข้าได้สำเร็จ ฉันเชื่อว่าจำเป็นต้องให้ความสำคัญกับการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการในชั้นเรียนให้มากขึ้น หรือในวิชาเลือกและชมรมด้วย

ดังนั้น หัวข้อ , ของฉัน วิทยานิพนธ์มีคำจำกัดความดังนี้: “สมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ”

เป้าหมาย ของงานนี้เป็น:

1. วิเคราะห์วรรณกรรมในหัวข้อนี้

2. ให้การวิเคราะห์ที่สมบูรณ์ของการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ

3. จัดเตรียมตัวอย่างประเภทต่างๆ ในหัวข้อนี้ในจำนวนที่เพียงพอ

4. ตรวจสอบในชั้นเรียน วิชาเลือก และชั้นเรียนชมรมว่าวิธีการที่นำเสนอในการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและอสมการจะรับรู้ได้อย่างไร ให้คำแนะนำที่เหมาะสมสำหรับการศึกษาหัวข้อนี้

เรื่อง การวิจัยของเราคือการพัฒนาระเบียบวิธีในการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ

วัตถุประสงค์และหัวข้อของการศึกษาจำเป็นต้องแก้ไขปัญหาต่อไปนี้:

1. ศึกษาวรรณกรรมในหัวข้อ “สมการกำลังเลขชี้กำลังและอสมการ”

2. ฝึกฝนเทคนิคการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ

3. เลือกสื่อการฝึกอบรมและพัฒนาระบบแบบฝึกหัดในระดับต่างๆ ในหัวข้อ “การแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ”

ในระหว่างการวิจัยวิทยานิพนธ์ มีการวิเคราะห์บทความมากกว่า 20 เรื่องเกี่ยวกับการใช้วิธีการต่างๆ ในการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ จากที่นี่เราได้รับ

แผนวิทยานิพนธ์:

การแนะนำ.

บทที่ 1 การวิเคราะห์วรรณกรรมในหัวข้อวิจัย

บทที่สอง ฟังก์ชันและคุณสมบัติที่ใช้ในการแก้สมการเลขชี้กำลังและอสมการ

II.1. ฟังก์ชันกำลังและคุณสมบัติของมัน

II.2. ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของมัน

บทที่ 3 การแก้สมการกำลังเลขชี้กำลัง อัลกอริธึม และตัวอย่าง

บทที่สี่ การแก้อสมการเอ็กซ์โพเนนเชียล แผนการแก้ปัญหา และตัวอย่าง

บทที่ 5 ประสบการณ์การจัดชั้นเรียนกับเด็กนักเรียนในหัวข้อนี้

1.สื่อการฝึกอบรม

2.งานสำหรับการแก้ปัญหาที่เป็นอิสระ

บทสรุป. ข้อสรุปและข้อเสนอแนะ

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

บทที่ฉันวิเคราะห์วรรณกรรม

บน บทเรียนนี้เราจะดูอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลต่างๆ และเรียนรู้วิธีแก้ โดยอาศัยเทคนิคการแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุด

1. ความหมายและคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ให้เรานึกถึงคำจำกัดความและคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง การแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและอสมการทั้งหมดขึ้นอยู่กับคุณสมบัติเหล่านี้

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันของรูปแบบ โดยที่ฐานคือดีกรี และที่นี่ x คือตัวแปรอิสระ อาร์กิวเมนต์ y คือตัวแปรตาม, ฟังก์ชัน

ข้าว. 1. กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กราฟแสดงเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นและลดลง ซึ่งแสดงฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานที่มากกว่าหนึ่งและน้อยกว่าหนึ่งแต่มากกว่าศูนย์ ตามลำดับ

เส้นโค้งทั้งสองผ่านจุด (0;1)

คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

ขอบเขต: ;

ช่วงของค่า: ;

ฟังก์ชั่นเป็นแบบโมโนโทนิค เพิ่มขึ้นด้วย ลดลงด้วย

ฟังก์ชันโมโนโทนิกรับค่าแต่ละค่าโดยให้ค่าอาร์กิวเมนต์เดียว

เมื่อ เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอนันต์ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นจากศูนย์รวมเป็นบวกอนันต์นั่นคือสำหรับค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์เรามีฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจ () ในทางตรงกันข้ามเมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นจากลบเป็นบวกอนันต์ฟังก์ชันจะลดลงจากอนันต์เป็นศูนย์รวมนั่นคือสำหรับค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์เรามีฟังก์ชันลดลงแบบซ้ำซากจำเจ ()

2. ตัวอย่างอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุด วิธีแก้

จากข้อมูลข้างต้น เรานำเสนอวิธีการแก้อสมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย:

เทคนิคการแก้ไขอสมการ:

ปรับฐานขององศาให้เท่ากัน

เปรียบเทียบตัวบ่งชี้โดยคงหรือเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการให้เป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม

การแก้ปัญหาอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ซับซ้อนมักจะประกอบด้วยการลดอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุด

ฐานของระดับนั้นมากกว่าหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่:

ลองแปลงด้านขวามือตามคุณสมบัติของดีกรี:

ฐานของระดับนั้นน้อยกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจะต้องกลับด้าน:

เพื่อแก้ปัญหา อสมการกำลังสองเราจะตัดสินใจตามความเหมาะสม สมการกำลังสอง:

เมื่อใช้ทฤษฎีบทของ Vieta เราจะหาราก:

กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น

ดังนั้นเราจึงมีวิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน:

เป็นเรื่องง่ายที่จะเดาว่าด้านขวาสามารถแสดงเป็นยกกำลังโดยมีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์:

ฐานของดีกรีมีค่ามากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการไม่เปลี่ยนแปลง เราได้รับ:

ให้เรานึกถึงเทคนิคการแก้ไขความไม่เท่าเทียมดังกล่าว

พิจารณาฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะ:

เราค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ:

ค้นหารากของฟังก์ชัน:

ฟังก์ชั่นมีรูตเดียว

เราเลือกช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่และกำหนดสัญญาณของฟังก์ชันในแต่ละช่วงเวลา:

ข้าว. 2. ช่วงเวลาความสม่ำเสมอของสัญญาณ

ดังนั้นเราจึงได้รับคำตอบ

คำตอบ:

3. การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลมาตรฐาน

ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมด้วยตัวชี้วัดเดียวกันแต่ใช้ฐานต่างกัน

คุณสมบัติอย่างหนึ่งของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลคือค่าใด ๆ ของอาร์กิวเมนต์จะใช้ค่าบวกอย่างเคร่งครัดซึ่งหมายความว่าสามารถแบ่งออกเป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลได้ ให้เราแบ่งอสมการที่กำหนดทางด้านขวา:

ฐานของระดับนั้นมากกว่าหนึ่ง เครื่องหมายอสมการจะยังคงอยู่

มาอธิบายวิธีแก้ปัญหากัน:

รูปที่ 6.3 แสดงกราฟของฟังก์ชันและ แน่นอนว่า เมื่ออาร์กิวเมนต์มากกว่าศูนย์ กราฟของฟังก์ชันจะสูงขึ้น ฟังก์ชันนี้จะมีขนาดใหญ่ขึ้น เมื่อค่าอาร์กิวเมนต์เป็นลบ ฟังก์ชันจะลดลง และมีขนาดเล็กลง เมื่ออาร์กิวเมนต์เท่ากัน ฟังก์ชันจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่า จุดที่กำหนดยังเป็นวิธีแก้ปัญหาของอสมการที่กำหนดด้วย

ข้าว. 3. ภาพประกอบตัวอย่างที่ 4

ให้เราแปลงความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดตามคุณสมบัติของระดับ:

ต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

ลองแบ่งทั้งสองส่วนออกเป็น:

ตอนนี้เรายังคงแก้ต่อไปในทำนองเดียวกันกับตัวอย่างที่ 4 โดยหารทั้งสองส่วนด้วย:

ฐานของระดับนั้นมากกว่าหนึ่ง แต่สัญญาณอสมการยังคงอยู่:

4. วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

ตัวอย่างที่ 6 - แก้ความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก:

มาดูฟังก์ชันทางด้านซ้ายและด้านขวาและสร้างกราฟสำหรับฟังก์ชันแต่ละรายการกัน

ฟังก์ชันนี้เป็นเลขชี้กำลังและเพิ่มขึ้นทั่วทั้งขอบเขตคำจำกัดความ เช่น สำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์

ฟังก์ชั่นนี้เป็นเส้นตรงและลดลงตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมดนั่นคือสำหรับค่าจริงทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์

หากฟังก์ชันเหล่านี้ตัดกัน นั่นคือระบบมีคำตอบ คำตอบดังกล่าวจะไม่ซ้ำกันและสามารถเดาได้ง่าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะวนซ้ำจำนวนเต็ม ()

จะเห็นได้ง่ายว่ารากของระบบนี้คือ:

ดังนั้นกราฟของฟังก์ชันจะตัดกันที่จุดหนึ่งโดยมีอาร์กิวเมนต์เท่ากับหนึ่ง

ตอนนี้เราต้องได้รับคำตอบ ความหมายของอสมการที่กำหนดคือเลขชี้กำลังต้องมากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันเชิงเส้น กล่าวคือ สูงกว่าหรือตรงกันกับฟังก์ชันเชิงเส้นนั้น คำตอบนั้นชัดเจน: (รูปที่ 6.4)

ข้าว. 4. ภาพประกอบตัวอย่างที่ 6

ดังนั้นเราจึงดูที่การแก้ไขอสมการเลขชี้กำลังมาตรฐานต่างๆ ต่อไปเราจะพิจารณาอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ซับซ้อนมากขึ้น

อ้างอิง

Mordkovich A. G. Algebra และจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: นีโมซิน. Muravin G.K., Muravin O.V. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: อีแร้ง. Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. et al. และจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ - ม.: การตรัสรู้.

คณิตศาสตร์. แพทยศาสตร์ คณิตศาสตร์-การทำซ้ำ ดอทคอม ความแตกต่าง เคมซู รุ

การบ้าน

1. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์เกรด 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, หมายเลข 472, 473;

2. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

3. แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

และ x = b เป็นสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด ในนั้น กมากกว่าศูนย์และ กไม่เท่ากับหนึ่ง

การแก้สมการเลขชี้กำลัง

จากคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เรารู้ว่าช่วงของค่านั้นจำกัดอยู่ที่จำนวนจริงบวก แล้วถ้า b = 0 สมการก็ไม่มีคำตอบ สถานการณ์เดียวกันนี้เกิดขึ้นในสมการโดยที่ b

ทีนี้ลองสมมุติว่า b>0 ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลังฐาน กมากกว่าความสามัคคี จากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลังของฐาน กตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ 0

จากข้อมูลนี้และการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทราก เราจะพบว่าสมการ a x = b มีรากเพียงตัวเดียว สำหรับ b>0 และค่าบวก กไม่เท่ากับหนึ่ง หากต้องการค้นหา คุณต้องแสดง b เป็น b = a c
แล้วมันก็ชัดเจนว่า กับจะเป็นคำตอบของสมการ a x = a c

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: แก้สมการ 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25

ลองนึกภาพ 25 เป็น 5 2 เราจะได้:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

หรือสิ่งที่เทียบเท่า:

x 2 - 2*x - 1 = 2

เราแก้สมการกำลังสองที่ได้ผลลัพธ์ด้วยค่าใดๆ วิธีการที่ทราบ- เราได้สองราก x = 3 และ x = -1

คำตอบ: 3;-1.

มาแก้สมการ 4 x - 5*2 x + 4 = 0 แทนกัน: t=2 x แล้วได้สมการกำลังสองต่อไปนี้:

เสื้อ 2 - 5*t + 4 = 0
เราแก้สมการนี้โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งที่ทราบ เราได้ราก t1 = 1 t2 = 4

ตอนนี้เราแก้สมการ 2 x = 1 และ 2 x = 4

คำตอบ: 0;2.

การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

คำตอบของอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุดยังขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันเพิ่มและลดอีกด้วย ถ้าในฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ฐาน a มากกว่า 1 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด ถ้าอยู่ในฟังก์ชันเลขชี้กำลังของฐาน กตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ 0จากนั้นฟังก์ชันนี้จะลดลงในจำนวนจริงทั้งชุด