ตารางฟังก์ชันและอนุพันธ์ต้านอนุพันธ์ อนุพันธ์และแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

บทเรียนนี้เป็นบทเรียนแรกในชุดวิดีโอเกี่ยวกับการบูรณาการ ในนั้นเราจะวิเคราะห์ว่าแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันคืออะไร และยังศึกษาวิธีการเบื้องต้นในการคำนวณแอนติเดริเวทีฟเหล่านี้ด้วย

ที่จริงแล้วไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่: โดยพื้นฐานแล้วมันทั้งหมดขึ้นอยู่กับแนวคิดของอนุพันธ์ซึ่งคุณน่าจะคุ้นเคยอยู่แล้ว :)

ฉันจะทราบทันทีว่าเนื่องจากนี่เป็นบทเรียนแรกในหัวข้อใหม่ของเรา วันนี้จะไม่มีการคำนวณและสูตรที่ซับซ้อน แต่สิ่งที่เราจะเรียนรู้ในวันนี้จะเป็นพื้นฐานสำหรับการคำนวณและการสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นเมื่อคำนวณอินทิกรัลและพื้นที่ที่ซับซ้อน .

นอกจากนี้ เมื่อเริ่มศึกษาการอินทิเกรตและอินทิกรัลโดยเฉพาะ เราถือว่าโดยปริยายว่าอย่างน้อยนักเรียนก็คุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องอนุพันธ์อยู่แล้ว และมีทักษะพื้นฐานในการคำนวณเป็นอย่างน้อย หากไม่มีความเข้าใจที่ชัดเจนในเรื่องนี้ ก็ไม่ต้องทำอะไรเลยในการบูรณาการ

อย่างไรก็ตามนี่คือหนึ่งในปัญหาที่พบบ่อยและร้ายกาจที่สุด ความจริงก็คือเมื่อเริ่มคำนวณแอนติเดริเวทีฟตัวแรก นักเรียนหลายคนสับสนกับอนุพันธ์ ส่งผลให้ในการสอบและ งานอิสระมีการทำผิดพลาดที่โง่เขลาและน่ารังเกียจ

ดังนั้นตอนนี้ฉันจะไม่ให้คำจำกัดความที่ชัดเจนของแอนติเดริเวทีฟ ในทางกลับกัน ฉันขอแนะนำให้คุณดูวิธีการคำนวณโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะง่ายๆ

แอนติเดริเวทีฟคืออะไรและคำนวณอย่างไร?

เรารู้สูตรนี้:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

อนุพันธ์นี้คำนวณง่ายๆ:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

ลองดูนิพจน์ผลลัพธ์อย่างละเอียดและแสดง $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

แต่เราสามารถเขียนมันแบบนี้ ตามนิยามของอนุพันธ์ได้:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

ทีนี้สนใจ: สิ่งที่เราเพิ่งเขียนลงไปคือนิยามของแอนติเดริเวทีฟ แต่เพื่อที่จะเขียนให้ถูกต้องคุณต้องเขียนสิ่งต่อไปนี้:

ให้เราเขียนนิพจน์ต่อไปนี้ในลักษณะเดียวกัน:

หากเราสรุปกฎนี้ เราจะได้สูตรต่อไปนี้:

\[((x)^(n))\ถึง \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

ตอนนี้เราสามารถกำหนดคำจำกัดความที่ชัดเจนได้แล้ว

แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันคือฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เท่ากับฟังก์ชันดั้งเดิม

คำถามเกี่ยวกับฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ

ดูเหมือนเป็นคำจำกัดความที่ค่อนข้างง่ายและเข้าใจได้ อย่างไรก็ตาม เมื่อได้ยินเช่นนั้น นักเรียนที่เอาใจใส่จะมีคำถามหลายข้อทันที:

1. สมมุติว่า โอเค สูตรนี้ถูกต้อง อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ $n=1$ เราประสบปัญหา: “ศูนย์” ปรากฏในตัวส่วน และเราไม่สามารถหารด้วย “ศูนย์” ได้
2. สูตรจำกัดเฉพาะองศาเท่านั้น วิธีคำนวณค่าแอนติเดริเวทีฟ เช่น ไซน์ โคไซน์ และตรีโกณมิติอื่นๆ รวมถึงค่าคงที่
3. คำถามที่มีอยู่: เป็นไปได้ไหมที่จะค้นหาแอนติเดริเวทีฟ? ถ้าใช่ แล้วแอนติเดริเวทีฟของผลรวม ผลต่าง ผลคูณ ฯลฯ ล่ะ?

ฉันจะตอบคำถามสุดท้ายทันที น่าเสียดายที่แอนติเดริเวทีฟไม่เหมือนกับอนุพันธ์เสมอไป ไม่มีสูตรสากลที่จากการก่อสร้างเริ่มแรกเราจะได้รับฟังก์ชันที่จะเท่ากับการก่อสร้างที่คล้ายกันนี้ สำหรับพลังและค่าคงที่ เราจะพูดถึงเรื่องนี้ตอนนี้

การแก้ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลัง

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

อย่างที่เราเห็น สูตรนี้ for $((x)^(-1))$ ไม่ทำงาน คำถามเกิดขึ้น: แล้วอะไรล่ะที่ใช้ได้ผล? เรานับ $((x)^(-1))$ ไม่ได้เหรอ? แน่นอนเราทำได้ เรามาจำสิ่งนี้กันก่อน:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

ทีนี้ ลองคิดดู: อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเท่ากับ $\frac(1)(x)$ เห็นได้ชัดว่านักเรียนคนใดที่ได้ศึกษาหัวข้อนี้อย่างน้อยก็จะจำได้ว่านิพจน์นี้เท่ากับอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนสิ่งต่อไปนี้ได้อย่างมั่นใจ:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\ถึง \ln x\]

คุณต้องรู้สูตรนี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง

แล้วเรารู้อะไรเกี่ยวกับ ช่วงเวลานี้:

• สำหรับฟังก์ชันยกกำลัง - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• สำหรับค่าคงที่ - $=const\to \cdot x$
• กรณีพิเศษของฟังก์ชันกำลังคือ $\frac(1)(x)\to \ln x$

และถ้าเราเริ่มคูณและหารฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด แล้วเราจะคำนวณแอนติเดริเวทีฟของผลิตภัณฑ์หรือผลหารได้อย่างไร น่าเสียดายที่การเปรียบเทียบกับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์หรือผลหารใช้ไม่ได้ผลที่นี่ ไม่มีสูตรมาตรฐาน ในบางกรณีอาจมีสูตรพิเศษที่ซับซ้อน - เราจะทำความคุ้นเคยกับสูตรเหล่านี้ในบทเรียนวิดีโอหน้า

อย่างไรก็ตาม โปรดจำไว้ว่า: สูตรทั่วไปซึ่งเป็นสูตรที่คล้ายกันในการคำนวณอนุพันธ์ของผลหารและไม่มีผลิตภัณฑ์อยู่

การแก้ปัญหาที่แท้จริง

ภารกิจที่ 1

มาคำนวณฟังก์ชันกำลังแต่ละฟังก์ชันแยกกัน:

\[((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)\]

กลับไปที่การแสดงออกของเรา เราเขียนโครงสร้างทั่วไป:

ปัญหาหมายเลข 2

อย่างที่ผมบอกไปแล้วว่าต้นแบบของงานและรายละเอียดต่างๆ “ตรงประเด็น” จะไม่ได้รับการพิจารณา อย่างไรก็ตาม คุณสามารถทำสิ่งต่อไปนี้ได้ที่นี่:

เราแยกเศษส่วนออกเป็นผลรวมของเศษส่วนสองส่วน

มาทำคณิตศาสตร์กันดีกว่า:

ข่าวดีก็คือ เมื่อทราบสูตรในการคำนวณแอนติเดริเวทีฟ คุณก็จะสามารถคำนวณโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นได้แล้ว อย่างไรก็ตาม เรามาต่อและขยายความรู้ของเราอีกสักหน่อย ความจริงก็คือ โครงสร้างและสำนวนจำนวนมาก ซึ่งเมื่อมองแวบแรกไม่เกี่ยวข้องกับ $((x)^(n))$ สามารถแสดงเป็นกำลังด้วย ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลกล่าวคือ:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

เทคนิคทั้งหมดนี้สามารถและควรนำมารวมกัน การแสดงออกถึงพลังสามารถ

• ทวีคูณ (เพิ่มองศา);
• หาร (ลบองศา);
• คูณด้วยค่าคงที่
• ฯลฯ

การแก้นิพจน์ยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ

ตัวอย่าง #1

มาคำนวณแต่ละรูตแยกกัน:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

โดยรวมแล้วการก่อสร้างทั้งหมดของเราสามารถเขียนได้ดังนี้:

ตัวอย่างหมายเลข 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

ดังนั้นเราจึงได้รับ:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

โดยรวมแล้วเมื่อรวบรวมทุกอย่างไว้ในนิพจน์เดียวเราสามารถเขียนได้:

ตัวอย่างหมายเลข 3

ก่อนอื่น โปรดทราบว่าเราได้คำนวณ $\sqrt(x)$ แล้ว:

\[\sqrt(x)\ถึง \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

มาเขียนใหม่:

ฉันหวังว่าฉันจะไม่ทำให้ใครแปลกใจถ้าฉันบอกว่าสิ่งที่เราเพิ่งศึกษาไปนั้นเป็นเพียงการคำนวณแอนติเดริเวทีฟที่ง่ายที่สุด ซึ่งเป็นโครงสร้างเบื้องต้นที่สุด ตอนนี้เรามาดูกันอีกสักหน่อย ตัวอย่างที่ซับซ้อนซึ่งนอกเหนือจากแอนติเดริเวทีฟแบบตารางแล้ว คุณจะต้องจำด้วย หลักสูตรของโรงเรียนคือสูตรคูณแบบย่อ

การแก้ตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น

ภารกิจที่ 1

ให้เราจำสูตรสำหรับผลต่างกำลังสอง:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

มาเขียนฟังก์ชันของเราใหม่:

ตอนนี้เราต้องค้นหาต้นแบบของฟังก์ชันดังกล่าว:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

มารวมทุกอย่างเข้าด้วยกันในการออกแบบทั่วไป:

ปัญหาหมายเลข 2

ในกรณีนี้ เราจำเป็นต้องขยายลูกบาศก์ส่วนต่าง จำไว้ว่า:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((ข)^(3))\]

เมื่อคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้แล้ว เราสามารถเขียนได้ดังนี้:

มาเปลี่ยนฟังก์ชั่นของเรากันหน่อย:

เรานับเช่นเคย - สำหรับแต่ละเทอมแยกกัน:

\[((x)^(-3))\ถึง \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\ถึง \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\ถึง \ln x\]

ให้เราเขียนผลลัพธ์การก่อสร้าง:

ปัญหาหมายเลข 3

ที่ด้านบนสุด เรามีกำลังสองของผลรวม ลองขยายดู:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาสุดท้ายกัน:

ตอนนี้ให้ความสนใจ! สิ่งที่สำคัญมากซึ่งเกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาดและความเข้าใจผิดมากมาย ความจริงก็คือจนถึงขณะนี้ การนับแอนติเดริเวทีฟด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์และการแปลง เราไม่ได้คิดว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่จะเท่ากับเท่าใด แต่อนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับ "ศูนย์" ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถเขียนตัวเลือกต่อไปนี้:

1. $((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)+C$

นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ต้องเข้าใจ: ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากันเสมอ ฟังก์ชันเดียวกันนั้นก็จะมีแอนติเดริเวทีฟเป็นจำนวนอนันต์ เราสามารถบวกจำนวนคงที่ใดๆ เข้ากับแอนติเดริเวทีฟแล้วหาค่าใหม่ได้

ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ในการอธิบายปัญหาที่เราเพิ่งแก้ไขนั้นเขียนว่า "เขียนลงไป" แบบฟอร์มทั่วไปดั้งเดิม” เหล่านั้น. สันนิษฐานล่วงหน้าแล้วว่าไม่มีหนึ่งในนั้น แต่มีจำนวนมากทั้งหมด แต่ในความเป็นจริงแล้ว พวกมันต่างกันเพียงค่าคงที่ $C$ ในตอนท้ายเท่านั้น ดังนั้นในงานของเราเราจะแก้ไขสิ่งที่เรายังทำไม่เสร็จ

เราเขียนโครงสร้างของเราใหม่อีกครั้ง:

ในกรณีเช่นนี้ คุณควรเพิ่มว่า $C$ เป็นค่าคงที่ - $C=const$

ในฟังก์ชันที่สองของเรา เราจะได้โครงสร้างดังต่อไปนี้:

และอันสุดท้าย:

และตอนนี้เราได้สิ่งที่จำเป็นจากเราแล้วในสภาพเดิมของปัญหา

การแก้ปัญหาการหาแอนติเดริเวทีฟด้วยจุดที่กำหนด

ตอนนี้เรารู้เกี่ยวกับค่าคงที่และลักษณะเฉพาะของการเขียนแอนติเดริเวทีฟแล้ว มันก็ค่อนข้างสมเหตุสมผลที่ปัญหาประเภทถัดไปเกิดขึ้นเมื่อจากเซตของแอนติเดริเวทีฟทั้งหมด จำเป็นต้องค้นหาอันเดียวที่จะผ่านจุดที่กำหนด . งานนี้คืออะไร?

ความจริงก็คือว่าแอนติเดริเวทีฟทั้งหมดของฟังก์ชันที่กำหนดจะแตกต่างกันเพียงตรงที่พวกมันถูกเลื่อนในแนวตั้งด้วยจำนวนที่แน่นอนเท่านั้น และนี่หมายความว่าไม่ว่าจุดไหนก็ตาม ประสานงานเครื่องบินเราไม่ได้เอามันไป แอนติเดริเวทีฟตัวหนึ่งจะผ่านไปแน่นอน และยิ่งไปกว่านั้น มีเพียงตัวเดียวเท่านั้น

ดังนั้นปัญหาที่เราจะแก้ไขตอนนี้มีการกำหนดดังนี้: ไม่ใช่แค่ค้นหาแอนติเดริเวทีฟรู้สูตรของฟังก์ชันดั้งเดิม แต่เลือกอันที่ผ่านจุดที่กำหนดอย่างแน่นอนพิกัดที่จะได้รับในปัญหา คำแถลง.

ตัวอย่าง #1

ขั้นแรก เรามานับแต่ละเทอมกันก่อน:

\[((x)^(4))\ถึง \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\ถึง \frac(((x)^(4)))(4)\]

ตอนนี้เราแทนที่สำนวนเหล่านี้ในโครงสร้างของเรา:

ฟังก์ชันนี้จะต้องผ่านจุด $M\left(-1;4 \right)$ มันหมายความว่าอะไรที่จะผ่านจุด? ซึ่งหมายความว่าหากแทนที่จะใส่ $x$ เราใส่ $-1$ ทุกที่ และแทนที่จะเป็น $F\left(x \right)$ เราใส่ $-4$ เราก็ควรจะได้ค่าที่ถูกต้อง ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข. ลงมือทำกันเถอะ:

เราเห็นว่าเรามีสมการสำหรับ $C$ ดังนั้นลองแก้มันกัน:

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาที่เรากำลังมองหากัน:

ตัวอย่างหมายเลข 2

ก่อนอื่น จำเป็นต้องเปิดเผยกำลังสองของความแตกต่างโดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ:

\[((x)^(2))\ถึง \frac(((x)^(3)))(3)\]

โครงสร้างเดิมจะเขียนดังนี้:

ทีนี้ลองหา $C$: แทนที่พิกัดของจุด $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

เราแสดง $C$:

ยังคงแสดงนิพจน์สุดท้าย:

การแก้ปัญหาตรีโกณมิติ

เพื่อสรุปสิ่งที่เราเพิ่งคุยกันไป ผมขอเสนอให้พิจารณาปัญหาที่ซับซ้อนอีกสองปัญหาที่เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติ ในทำนองเดียวกันคุณจะต้องค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันทั้งหมดจากนั้นเลือกจากชุดนี้เพียงอันเดียวที่ผ่านจุด $M$ บนระนาบพิกัด

เมื่อมองไปข้างหน้า ผมอยากจะสังเกตว่าเทคนิคที่เราจะใช้เพื่อค้นหาแอนติเดริเวทีฟตอนนี้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติอันที่จริงแล้วเป็นเทคนิคสากลสำหรับการทดสอบตัวเอง

ภารกิจที่ 1

จำสูตรต่อไปนี้:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

จากนี้เราสามารถเขียนได้:

ลองแทนที่พิกัดของจุด $M$ ในนิพจน์ของเรา:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

ลองเขียนนิพจน์ใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้:

ปัญหาหมายเลข 2

นี่จะยากขึ้นเล็กน้อย ตอนนี้คุณจะเห็นว่าทำไม

จำสูตรนี้ไว้:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

ในการกำจัด "ลบ" คุณต้องทำสิ่งต่อไปนี้:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

นี่คือการออกแบบของเรา

ลองแทนพิกัดของจุด $M$:

โดยรวมแล้วเราเขียนการก่อสร้างขั้นสุดท้าย:

นั่นคือทั้งหมดที่ฉันอยากจะบอกคุณเกี่ยวกับวันนี้ เราศึกษาคำว่าแอนติเดริเวทีฟด้วยตัวเอง วิธีการนับพวกมัน ฟังก์ชันเบื้องต้นตลอดจนวิธีค้นหาแอนติเดริเวทีฟที่ผ่านจุดเฉพาะบนระนาบพิกัด

ฉันหวังว่าบทเรียนนี้จะช่วยให้คุณเข้าใจหัวข้อที่ซับซ้อนนี้อย่างน้อยก็นิดหน่อย ไม่ว่าในกรณีใด ขึ้นอยู่กับแอนติเดริเวทีฟที่มีการสร้างอินทิกรัลไม่จำกัดและอินทิกรัลไม่จำกัด ดังนั้นจึงจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องคำนวณพวกมัน นั่นคือทั้งหมดสำหรับฉัน แล้วพบกันอีก!

วันนี้เราจะมาพูดถึงการวิจัยฟังก์ชั่น สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าคณิตศาสตร์มีโครงสร้างในลักษณะเดียวกับบ้านธรรมดา: ขั้นแรกให้วางรากฐานแล้วจึงวางอิฐทีละชั้น บทบาทของรากฐานในวิชาคณิตศาสตร์เล่นโดยฟังก์ชัน (ความสอดคล้องระหว่างสองชุด) หลังจากแนะนำแนวคิดของฟังก์ชันแล้ว ก็จะเริ่มศึกษาในลักษณะวัตถุในลักษณะเดียวกับที่ทำกับตัวเลข

ในความเป็นจริงในชีวิตเรามักจะใช้ไม่เพียงแต่วัตถุเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุเหล่านั้นด้วย ความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุ. ตัวอย่างคือหนังสือเกี่ยวกับความรัก (ความรักคือความสัมพันธ์ระหว่างผู้คน)

หลังจากศึกษาฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์แล้ว พวกเขาจะเริ่มศึกษาเซตของฟังก์ชัน จากนั้นก็ปริภูมิของฟังก์ชัน และอื่นๆ แต่วันนี้เราจะมาพูดถึงการวิเคราะห์เบื้องต้นของฟังก์ชันกัน

ฟังก์ชั่นคืออะไร? ฟังก์ชันคือการโต้ตอบระหว่างเซต บน บทเรียนนี้เราจะพูดถึงฟังก์ชันตัวเลข นั่นคือ เกี่ยวกับการโต้ตอบระหว่างชุดตัวเลข นอกจากนี้เรายังจะพูดถึงคุณสมบัติเฉพาะที่ของฟังก์ชัน (พฤติกรรมของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด) และคุณสมบัติส่วนกลาง (คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชัน) อนุพันธ์คือคำอธิบายคุณสมบัติเฉพาะของฟังก์ชัน และอินทิกรัลคือคำอธิบายของฟังก์ชันโกลบอล

ตัวอย่างเช่น มีฟังก์ชันที่แตกต่างกันสองฟังก์ชัน แต่เมื่อถึงจุดหนึ่งกราฟจะตรงกัน (ดูรูปที่ 1) แต่พฤติกรรมของฟังก์ชันในบริเวณใกล้เคียงกับจุดนี้แตกต่างกันอย่างไร? นี่คือสิ่งที่เราจะพูดถึง

ข้าว. 1. จุดตัดของสองกราฟ ฟังก์ชั่นที่แตกต่างกัน

จากกราฟของฟังก์ชัน คุณสามารถกำหนดคุณสมบัติของมันได้อย่างง่ายดาย: ความซ้ำซ้อน (ฟังก์ชันเพิ่มหรือลด) ความสม่ำเสมอ (คี่) และคาบ (ดูรูปที่ 2)

ข้าว. 2. ลักษณะคุณลักษณะ

คุณลักษณะทั้งหมดนี้ถือเป็นคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ แต่อนุพันธ์มักใช้ในชีวิต บ่อยครั้งเมื่อเราอธิบายกระบวนการโดยใช้กราฟ เราสนใจในพลวัตของกระบวนการนี้ ซึ่งไม่ใช่ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่ง แต่สนใจว่าฟังก์ชันจะมีพฤติกรรมอย่างไรในอนาคต (จะเพิ่มขึ้นหรือ ลด?). เช่น เมื่อเราต้องการวิเคราะห์การขึ้นราคาหรือเปรียบเทียบราคา ช่วงเวลาที่แตกต่างกันเวลา (ค่าสัมบูรณ์สามารถเปลี่ยนแปลงได้ แต่การเปลี่ยนแปลงยังคงเหมือนเดิม) (ดูรูปที่ 3)

ข้าว. 3. การเปลี่ยนแปลงของราคาทองคำ

อนุพันธ์ช่วยในการพิจารณาว่าฟังก์ชันจะทำงานอย่างไรในบริเวณใกล้กับจุดที่กำหนด

เป็นเรื่องที่ควรชี้แจงว่าในโรงเรียนส่วนใหญ่มักจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันในขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าฟังก์ชันที่ศึกษาอยู่นั้น "ดี" นั่นคือพฤติกรรมของพวกมันสามารถคาดเดาได้ทั่วทั้งแกน แต่โดยทั่วไปแล้ว อนุพันธ์คือคุณลักษณะเฉพาะของฟังก์ชัน

ตัวอย่างเช่น เมื่อดูภาพถ่ายด้วยความเร็วชัตเตอร์ที่แตกต่างกัน อาจมีหลายตัวเลือก:

1. รถกำลังยืนอยู่และผู้คนต่างอยู่ในที่ของตน (ดูรูปที่ 4)
2. ภาพไม่ชัดมองเห็นได้ว่าใครกำลังจะไปไหน (ดูรูปที่ 5)

ข้าว. 4.ภาพถ่ายพร้อมแสงจาก

ข้าว. 5. การถ่ายภาพแบบเปิดรับแสง

ตัวเลือกที่สองคือภาพประกอบของอนุพันธ์ (ภาพเบลอ)

เมื่อถึงจุดหนึ่ง ฟังก์ชันจะใช้ค่าเฉพาะ และจากนั้นจึงเป็นไปไม่ได้เลยที่จะสรุปผลใด ๆ เกี่ยวกับพฤติกรรมของมัน และถ้าเราพิจารณาบริเวณใกล้เคียงของจุดนี้ เราก็บอกได้เลยว่าด้านไหนเล็กกว่า (ด้านไหนใหญ่กว่า) และสรุปได้ว่าจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง นั่นคือเมื่อความเร็วชัตเตอร์สั้น เราจะเห็นค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง และเมื่อเราพิจารณาการหน่วงเวลาของเฟรม เราก็สามารถวิเคราะห์พฤติกรรมของฟังก์ชันได้แล้ว (ดูรูปที่ 6)

ข้าว. 6. การเปรียบเทียบระหว่างอนุพันธ์และภาพถ่าย

ใน ชีวิตประจำวันเรามักจะวิเคราะห์สถานการณ์เช่นการวิเคราะห์ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น เมื่อเราบอกว่าอากาศข้างนอกเริ่มอุ่นขึ้น (เย็นลง) เราไม่ได้ระบุอุณหภูมิที่เฉพาะเจาะจงในขณะนี้ แต่หมายความว่าอุณหภูมิจะสูงขึ้น (ลดลง) ในไม่ช้า ซึ่งคล้ายกับการคำนวณอนุพันธ์ (ดูรูปที่ 7)

ข้าว. 7. การวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ

มาแนะนำกันดีกว่า คำจำกัดความที่แม่นยำอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรงจุดเรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ (โดยมีข้อ จำกัด นี้):

เนื่องจากเราต้องการแนะนำแนวคิดเช่นอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน (คำหลักคือ ความเร็ว) จากนั้นเราก็สามารถวาดเส้นขนานกับฟิสิกส์ได้ ความเร็วชั่วขณะ-- เวกเตอร์ ปริมาณทางกายภาพเท่ากับอัตราส่วนของการเคลื่อนไหวต่อช่วงเวลาที่การเคลื่อนไหวนี้เกิดขึ้น หากช่วงเวลามีแนวโน้มเป็นศูนย์:

ความเร็วขณะนั้น, m/s; - การเคลื่อนไหวของร่างกาย, ม. (ใน ); - ช่วงเวลาที่มีแนวโน้มเป็นศูนย์, s

แต่สิ่งสำคัญคือต้องชี้แจงว่าเมื่อเราพูดถึงอุณหภูมิ เราได้ระบุเฉพาะคุณลักษณะเชิงคุณภาพของกระบวนการ แต่ไม่ได้พูดถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิ อนุพันธ์คำนึงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ฟังก์ชั่นสามารถเติบโตได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น พาราโบลา () เพิ่มขึ้นเร็วกว่าลอการิทึม () (ดูรูปที่ 8)

ข้าว. 8. อัตราการเพิ่มขึ้นของกราฟของฟังก์ชันและ

เป็นการเปรียบเทียบอัตราการเพิ่ม (ลดลง) ของฟังก์ชันที่เราแนะนำคุณลักษณะเฉพาะของฟังก์ชัน - อนุพันธ์ การวาดภาพเปรียบเทียบระหว่างอนุพันธ์กับความเร็วของการเคลื่อนที่ของวัตถุใดๆ (ความเร็วคืออัตราส่วนของระยะทางที่เดินทางต่อเวลา หรือการเปลี่ยนแปลงพิกัดต่อหน่วยเวลา) เราสามารถพูดได้ว่าในขีดจำกัดอนุพันธ์คืออัตราส่วนของ การเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชัน (นั่นคือ เส้นทางที่เดินทางโดยจุด ถ้ามันเคลื่อนที่ไปตามกราฟของฟังก์ชัน) ไปจนถึงการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ (เวลาที่ดำเนินการเคลื่อนไหว) (ดูรูปที่ 9) นี่คือความหมายทางกล (ทางกายภาพ) ของอนุพันธ์

ข้าว. 9. การเปรียบเทียบระหว่างความเร็วและอนุพันธ์

อนุพันธ์เป็นทรัพย์สินเฉพาะที่ของฟังก์ชัน สิ่งสำคัญคือต้องแยกแยะระหว่างการคำนวณอนุพันธ์ในโดเมนคำจำกัดความทั้งหมดและส่วนใดส่วนหนึ่ง เนื่องจากฟังก์ชันในช่วงหนึ่งอาจเป็นกำลังสอง อีกช่วงหนึ่งเป็นเชิงเส้น และอื่นๆ แต่นี่คือฟังก์ชันเดียว และฟังก์ชันดังกล่าวจะมี ณ จุดต่างๆ ความหมายที่แตกต่างกันอนุพันธ์

สำหรับฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่ระบุในเชิงวิเคราะห์ (ตามสูตรเฉพาะ) เรามีตารางอนุพันธ์ (ดูรูปที่ 10) นี่คืออะนาล็อกของตารางสูตรคูณนั่นคือมีฟังก์ชันพื้นฐานที่คำนวณอนุพันธ์แล้ว (สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีรูปแบบนี้ทุกประการ) จากนั้นก็มีกฎบางอย่าง (ดูรูปที่ 11) ( การคูณหรือการหารยาวที่คล้ายคลึงกัน) ซึ่งคุณสามารถคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ผลคูณอนุพันธ์ และอื่นๆ ดังนั้น สำหรับฟังก์ชันเกือบทั้งหมดที่แสดงผ่านฟังก์ชันที่เรารู้จัก เราสามารถอธิบายพฤติกรรมของฟังก์ชันตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมดได้

ข้าว. 10. ตารางอนุพันธ์

ข้าว. 11. กฎแห่งความแตกต่าง

แต่ถึงกระนั้น คำจำกัดความของอนุพันธ์ที่เราให้ไปก่อนหน้านี้ยังเป็นแบบประเด็น ในการสรุปอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งไปยังโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความของฟังก์ชันจำเป็นต้องพิสูจน์ว่าในแต่ละจุดค่าของอนุพันธ์จะตรงกับค่าของฟังก์ชันเดียวกัน

ถ้าเราจินตนาการถึงฟังก์ชันที่ไม่ได้เขียนเชิงวิเคราะห์ จากนั้นในพื้นที่ใกล้เคียงของแต่ละจุด เราก็สามารถแสดงมันเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นได้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงเส้นในบริเวณใกล้จุดใดจุดหนึ่งนั้นง่ายต่อการคำนวณ หากเราแสดงฟังก์ชันเป็นเส้นตรง มันจะสอดคล้องกับแทนเจนต์ของมัน (ดูรูปที่ 12)

ข้าว. 12. การแสดงฟังก์ชันในแต่ละจุดเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น

จาก สามเหลี่ยมมุมฉากเรารู้ว่าแทนเจนต์เท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด เพราะฉะนั้น, ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์คืออนุพันธ์คือแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ ณ จุดนี้ (ดูรูปที่ 13)

ข้าว. 13. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์

เมื่อพูดถึงอนุพันธ์เกี่ยวกับความเร็ว เราสามารถพูดได้ว่าถ้าฟังก์ชันลดลง อนุพันธ์ของมันจะเป็นลบ และในทางกลับกัน ถ้าฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์ของมันจะเป็นค่าบวก ในทางกลับกัน เรานิยามอนุพันธ์ว่าเป็นแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ นอกจากนี้ยังอธิบายได้ง่ายอีกด้วย ถ้าฟังก์ชันเพิ่มขึ้น แทนเจนต์จะกลายเป็นมุมแหลม และแทนเจนต์ของมุมแหลมจะเป็นค่าบวก ดังนั้นอนุพันธ์จึงเป็นค่าบวก ดังที่เราเห็นความหมายทางกายภาพและเรขาคณิตของอนุพันธ์นั้นใกล้เคียงกัน

ความเร่งคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว (นั่นคืออนุพันธ์ของความเร็ว) ในทางกลับกัน ความเร็วเป็นอนุพันธ์ของการกระจัด ปรากฎว่าความเร่งเป็นอนุพันธ์อันดับสอง (อนุพันธ์ของอนุพันธ์) ของการกระจัด (ดูรูปที่ 14)

ข้าว. 14. การประยุกต์อนุพันธ์ทางฟิสิกส์

อนุพันธ์เป็นวิธีการศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชัน

อนุพันธ์นี้ใช้เพื่อแก้ปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุด มีคำอธิบายสำหรับเรื่องนี้ เนื่องจากอนุพันธ์แสดงการเติบโตของฟังก์ชัน จึงสามารถใช้เพื่อค้นหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันได้ เมื่อรู้ว่าในพื้นที่หนึ่งฟังก์ชันเพิ่มขึ้น และจากนั้นก็เริ่มลดลง เราถือว่า ณ จุดหนึ่งจะมีค่าสูงสุดเฉพาะที่ ในทำนองเดียวกัน หากฟังก์ชันลดลงและเริ่มเพิ่มขึ้น จะมีค่าต่ำสุดในพื้นที่ ณ จุดใดจุดหนึ่ง (ดูรูปที่ 15)

ข้าว. 15. ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของฟังก์ชันเฉพาะที่

ในทางปฏิบัติ สามารถใช้ค้นหา เช่น กำไรสูงสุดที่ เงื่อนไขที่กำหนด. ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาจุดที่จะมีค่าสูงสุดในพื้นที่ ถ้าเราจำเป็นต้องกำหนด ต้นทุนขั้นต่ำดังนั้นจึงจำเป็นต้องกำหนดจุดที่ค่าต่ำสุดของท้องถิ่นตั้งอยู่ (ดูรูปที่ 16)

ข้าว. 16. ค้นหากำไรสูงสุดและต้นทุนขั้นต่ำ

โรงเรียนแก้ไขปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพหลายประการ ลองพิจารณาหนึ่งในนั้น

รั้วสี่เหลี่ยมที่มีความยาวคงที่ควรมีความยาวเท่าใดจึงจะครอบคลุมพื้นที่สูงสุดได้ (ดูรูปที่ 17)

ข้าว. 17. ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ

ปรากฎว่ารั้วควรเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

มีงานดังกล่าวค่อนข้างมาก เมื่อพารามิเตอร์ตัวหนึ่งได้รับการแก้ไข และตัวที่สองจำเป็นต้องได้รับการปรับให้เหมาะสม พารามิเตอร์ที่ได้รับการแก้ไขคือข้อมูลงานของเรา (เช่น วัสดุสำหรับรั้ว) และมีพารามิเตอร์ที่เราต้องการหาค่าต่ำสุดหรือสูงสุด (เช่น พื้นที่สูงสุด ขนาดขั้นต่ำ). นั่นคือเกิดคู่ "ทรัพยากร - ผลกระทบ" มีทรัพยากรบางอย่างที่ระบุไว้ในตอนแรกและผลกระทบบางอย่างที่เราต้องการได้รับ

ตอนนี้เรามาดูคุณสมบัติส่วนกลางของฟังก์ชันกัน ลองพิจารณากรณีที่ง่ายที่สุดของอินทิกรัลกัน ลองมาอนุกรมตัวเลขกัน: . อนุกรมก็เป็นฟังก์ชัน (ของอาร์กิวเมนต์ตามธรรมชาติ) เช่นกัน แต่ละหมายเลขจะมีหมายเลขซีเรียลและความหมายของตัวเอง .

ลองเขียนสูตรหาผลรวมของอนุกรมนี้:

ผลรวมจนถึงค่าหนึ่งจะเป็นค่าของอินทิกรัล

ตัวอย่างเช่น สำหรับ:

นั่นคืออินทิกรัลคือผลรวมจริงๆ (ในกรณีนี้คือผลรวมของค่าฟังก์ชัน)

นักเรียนส่วนใหญ่เชื่อมโยงอินทิกรัลกับพื้นที่ ลองเชื่อมโยงตัวอย่างกับผลรวมของอนุกรมและพื้นที่ ลองเขียนชุดนี้ใหม่ในรูปแบบของฟังก์ชันเชิงเส้น:

จากนั้นผลรวมของอนุกรมนี้จะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของส่วนต่างๆ ใต้กราฟ (ในกรณีนี้คือรูปสี่เหลี่ยมคางหมู) (ดูรูปที่ 18)

ข้าว. 18. พื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน

ผลรวมของพื้นที่เท่ากับพื้นที่ของผลรวม (หากส่วนที่แบ่งรูปไม่ตัดกัน) ซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลคือพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน ดังนั้นเมื่อพบอินทิกรัลแล้ว เราก็สามารถหาพื้นที่ของบางส่วนของระนาบได้ เช่น คุณสามารถค้นหาพื้นที่ใต้กราฟได้

หากเราต้องการแนะนำคำจำกัดความของอินทิกรัลในแง่ของพื้นที่ของรูปภายใต้ฟังก์ชันอย่างเคร่งครัด เราต้องแบ่งรูปออกเป็นชิ้นเล็กๆ การคำนวณพื้นที่ไม่สะดวกเสมอไปเหมือนกับในกรณีของฟังก์ชันเชิงเส้น ยกตัวอย่าง ฟังก์ชัน . หากเราประมาณฟังก์ชันเชิงเส้นตรง (ดังที่เราเสนอให้ทำในกรณีของอนุพันธ์) เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราจะได้การแบ่งพื้นที่ทั้งหมดเป็นผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู (ดูรูปที่ 1) 19)

จากนั้น ในขีดจำกัด ผลรวมคืออินทิกรัล นั่นคือพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน

ข้าว. 19. พื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน

แต่จะคำนวณพื้นที่นี้ (อินทิกรัล) ได้อย่างไร? สำหรับฟังก์ชันที่ทราบจะมีตารางอินทิกรัล (คล้ายกับตารางอนุพันธ์) แต่ในกรณีทั่วไป เราจะประมาณฟังก์ชันตามส่วนต่างๆ และคำนวณผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูใต้ส่วนเหล่านี้ โดยการลดเซ็กเมนต์ เราจะได้ค่าอินทิกรัลตามขีดจำกัด

ต่างจากอนุพันธ์ที่ฟังก์ชัน "ดี" มักจะสร้างอนุพันธ์ "ดี" เสมอ นี่ไม่ใช่กรณีที่มีอินทิกรัล ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชันง่ายๆ เช่น การคำนวณอินทิกรัลและแสดงมันในรูปแบบของฟังก์ชันการวิเคราะห์ เราไม่สามารถ (ดูรูปที่ 20)

การคำนวณอินทิกรัลคือ ไม่ใช่งานง่ายดังนั้นการมีอยู่ของสูตรนิวตัน - ไลบนิซอย่างง่าย ๆ (ดูรูปที่ 20) ซึ่งช่วยให้คุณคำนวณค่าอินทิกรัลได้อย่างรวดเร็วหากเรารู้รูปแบบของมันจะทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก มิฉะนั้นจะคำนวณพื้นที่จำกัดในแต่ละครั้งได้ยาก

ข้าว. 20. สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซสำหรับการคำนวณอินทิกรัล

ดังนั้นวิธีการคำนวณหลัก ได้แก่ :

1. ตารางอินทิกรัลสำหรับฟังก์ชันเหล่านั้นที่เราสามารถคำนวณได้ (ดูรูปที่ 21)
2. คุณสมบัติของอินทิกรัลซึ่งช่วยให้คุณสามารถคำนวณการรวมกันของฟังก์ชันตารางต่างๆ (ดูรูปที่ 22)
3. สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ (ถ้าเรานับค่าที่จุดขวาสุดแล้วลบค่าที่จุดซ้ายสุดเราจะได้พื้นที่) (ดูรูปที่ 20)

ข้าว. 21. ตารางปริพันธ์

ข้าว. 22. คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขต

ที่โรงเรียน ไม่ได้มาจากสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ แม้ว่าจะทำได้ไม่ยากหากคุณกำหนดอินทิกรัลเป็นพื้นที่ใต้กราฟก็ตาม

รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับที่มาของสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

เพื่อให้เข้าใจความแตกต่างระหว่างคุณสมบัติของฟังก์ชันในระดับท้องถิ่นและระดับโลกได้ดีขึ้น เราสามารถพิจารณาตัวอย่างการยิงเป้าได้ หากคุณถ่ายภาพไปรอบๆ หลายภาพ (ไม่มีการชนตรงกลาง) แล้วคำนวณค่าเฉลี่ย คุณจะทำได้เกือบเท่านั้น (ดูรูปที่ 23) แม้ว่าในความเป็นจริงแล้วผู้ยิงสามารถโจมตีด้านบนหรือด้านล่างเป้าหมายได้ตลอดเวลา และค่าเฉลี่ยก็ยังใกล้เคียงกับ

ข้าว. 23. การยิงเป้า

เราสามารถยกตัวอย่างจากฟิสิกส์ – จุดศูนย์ถ่วง มวลเดียวกันที่มีจุดศูนย์ถ่วงเท่ากันสามารถกระจายได้ด้วยวิธีที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง (ดูรูปที่ 24)

ข้าว. 24. ตัวเลือกสำหรับการกระจายมวลที่มีจุดศูนย์ถ่วงเท่ากัน

อีกตัวอย่างหนึ่งคือ อุณหภูมิเฉลี่ยรอบโรงพยาบาล หากมีคนเป็นไข้และอีกคนมีไข้โดยเฉลี่ยแล้วปรากฏว่าผู้ป่วยไม่ได้ป่วยมากนัก

ถ้าเราพูดถึงความเชื่อมโยงระหว่างอนุพันธ์ (ลักษณะเฉพาะในท้องถิ่น) และอินทิกรัล (ลักษณะสากล) ก็ชัดเจนว่าสิ่งเหล่านี้เป็นแนวคิดที่ผกผันซึ่งกันและกัน อันที่จริงนี่เป็นเรื่องจริง ถ้าเราหาอนุพันธ์ของอินทิกรัลหรืออินทิกรัลของอนุพันธ์ เราจะได้ฟังก์ชันดั้งเดิม เพื่ออธิบายเรื่องนี้ ให้พิจารณาการเคลื่อนไหวของร่างกาย เรารู้อยู่แล้วว่าความเร็วเป็นอนุพันธ์ของการกระจัด ลองดำเนินการย้อนกลับกัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแสดงการเคลื่อนไหวในแง่ของความเร็วและเวลา:

และถ้าเราดูกราฟ (ความเร็วเปลี่ยนแปลงเป็นเส้นตรง) เราจะเห็นว่าเส้นทางเป็นผลคูณของความเร็วและเวลา ในทางกลับกัน นี่คือพื้นที่ใต้กราฟ (ดูรูปที่ 25)

ข้าว. 25. ความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์และอินทิกรัล

หากคุณคำนวณอินทิกรัลของความเร็ว คุณจะได้ค่าของเส้นทาง และความเร็วเป็นอนุพันธ์ของเส้นทาง

ดังนั้นอนุพันธ์และอินทิกรัลจึงเป็นฟังก์ชันผกผันร่วมกัน มีหลักฐานที่เข้มงวดในเรื่องนี้

ข้าว. 26. ความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์และอินทิกรัล

แต่เพื่อวิเคราะห์ ทำความเข้าใจกับสิ่งที่เรากำลังพูดถึง และทำงานกับการดำเนินการสร้างความแตกต่าง (คำนวณอนุพันธ์) และบูรณาการ (คำนวณอินทิกรัล) สิ่งที่พูดในบทเรียนนี้และสื่อจากบทเรียนหลักก็เพียงพอแล้ว

เมื่อเราต้องหาบ้านที่เซนท์ Nevskaya และเราออกมาตรงข้ามบ้านแล้วไปทางซ้ายหรือขวาของบ้านหลังนี้เพื่อทำความเข้าใจว่าการนับเลขเป็นอย่างไร

เส้นตรง y=3x+2 สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน y=-12x^2+bx-10 จงหา b โดยที่ค่า abscissa ของจุดแทนเจนต์มีค่าน้อยกว่าศูนย์

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ให้ x_0 เป็นค่า Abscissa ของจุดบนกราฟของฟังก์ชัน y=-12x^2+bx-10 ซึ่งแทนเจนต์ของกราฟนี้ผ่านไป

ค่าของอนุพันธ์ที่จุด x_0 เท่ากับความชันของแทนเจนต์ นั่นคือ y"(x_0)=-24x_0+b=3 ในทางกลับกัน จุดสัมผัสกันเป็นของกราฟทั้งสองของเส้นสัมผัสกัน ฟังก์ชันและแทนเจนต์ นั่นคือ -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2 เราได้ระบบสมการ \begin(กรณี) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2 \end(กรณี)

ในการแก้ระบบนี้ เราจะได้ x_0^2=1 ซึ่งหมายถึง x_0=-1 หรือ x_0=1 ตามเงื่อนไขแอบซิสซา จุดสัมผัสกันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ ดังนั้น x_0=-1 จากนั้น b=3+24x_0=-21

คำตอบ

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) (ซึ่งเป็นเส้นแบ่งที่ประกอบด้วยส่วนตรงสามส่วน) ใช้รูปนี้คำนวณ F(9)-F(5) โดยที่ F(x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x)

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ตามสูตรของนิวตัน-ไลบนิซ ผลต่าง F(9)-F(5) โดยที่ F(x) เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) เท่ากับพื้นที่ของเส้นโค้งสี่เหลี่ยมคางหมูที่จำกัด โดยกราฟของฟังก์ชัน y=f(x), เส้นตรง y=0 , x=9 และ x=5 จากกราฟ เราพบว่าสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่ระบุนั้นเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐานเท่ากับ 4 และ 3 และความสูง 3

พื้นที่ของมันเท่ากัน \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของ y=f"(x) - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดไว้ในช่วงเวลา (-4; 10) ค้นหาช่วงเวลาของฟังก์ชันที่ลดลง f(x) ในคำตอบของคุณ ระบุความยาวของที่ใหญ่ที่สุด

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ดังที่ทราบกันดีว่าฟังก์ชัน f(x) จะลดลงในช่วงเวลาเหล่านั้น ณ แต่ละจุดที่อนุพันธ์ f"(x) น้อยกว่าศูนย์ เมื่อพิจารณาว่าจำเป็นต้องค้นหาความยาวของช่วงที่ใหญ่ที่สุด จึงมีสามช่วงดังกล่าวคือ แตกต่างจากรูปโดยธรรมชาติ: (-4; -2) ; (0; 3); (5; 9)

ความยาวที่ใหญ่ที่สุดของพวกเขา - (5; 9) คือ 4

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของ y=f"(x) - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดไว้ในช่วงเวลา (-8; 7) ค้นหาจำนวนคะแนนสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) ที่เป็นของ ช่วงเวลา [-6; -2]

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

กราฟแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ f"(x) ของฟังก์ชัน f(x) เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ (ที่จุดดังกล่าวจะมีค่าสูงสุด) ที่จุดหนึ่งพอดี (ระหว่าง -5 ถึง -4) จากช่วงเวลา [ -6; -2 ] ดังนั้น ในช่วง [-6; -2] จะมีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (-2; 8) กำหนดจำนวนจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เท่ากับ 0

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ความเท่าเทียมกันของอนุพันธ์ที่จุดหนึ่งถึงศูนย์หมายความว่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่วาด ณ จุดนี้ขนานกับแกน Ox ดังนั้นเราจึงพบจุดที่เส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชันขนานกับแกน Ox บนแผนภูมินี้ จุดดังกล่าวคือจุดสุดขั้ว (จุดสูงสุดหรือต่ำสุด) อย่างที่คุณเห็นมีจุดสุดขั้ว 5 จุด

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova

เงื่อนไข

เส้นตรง y=-3x+4 ขนานกับเส้นสัมผัสกันของกราฟของฟังก์ชัน y=-x^2+5x-7 ค้นหาแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงต่อกราฟของฟังก์ชัน y=-x^2+5x-7 ที่จุดใดก็ได้ x_0 เท่ากับ y"(x_0) แต่ y"=-2x+5 ซึ่งหมายถึง y" (x_0)=-2x_0+5 ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง y=-3x+4 ที่ระบุในเงื่อนไขเท่ากับ -3 เส้นขนานมีค่าสัมประสิทธิ์ความชันเท่ากัน ดังนั้น เราจะพบค่า x_0 โดยที่ =- 2x_0 +5=-3

เราได้รับ: x_0 = 4

คำตอบ

ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova

เงื่อนไข

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และจุด -6, -1, 1, 4 ถูกทำเครื่องหมายไว้บน abscissa จุดใดต่อไปนี้เป็นอนุพันธ์ที่เล็กที่สุด? โปรดระบุจุดนี้ในคำตอบของคุณ

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

เนื้อหา

องค์ประกอบเนื้อหา

อนุพันธ์ แทนเจนต์ แอนติเดริเวทีฟ กราฟของฟังก์ชันและอนุพันธ์

อนุพันธ์ให้ฟังก์ชัน \(f(x)\) ถูกกำหนดไว้ในย่านใกล้เคียงของจุด \(x_0\)

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\) ที่จุด \(x_0\)เรียกว่าขีดจำกัด

\(f"(x_0)=\lim_(x\ลูกศรขวา x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

หากมีขีดจำกัดนี้อยู่

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งแสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด

ตารางอนุพันธ์

การทำงาน	อนุพันธ์
\(const\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(อี^x\)	\(อี^x\)
\(ก^x\)	\(มี^x\cdot \ln(ก)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(ก))\)
\(\บาป x\)	\(\คอส x\)
\(\คอส x\)	\(-\บาป x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\บาป^2x)\)

กฎของความแตกต่าง\(f\) และ \(g\) เป็นฟังก์ชันขึ้นอยู่กับตัวแปร \(x\); \(c\) เป็นตัวเลข

2) \((c\cdot ฉ)"=c\cdot ฉ"\)

3) \((f+g)"= ฉ"+g"\)

4) \((f\cdot ก)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ สมการของเส้น- ไม่ขนานกับแกน \(Oy\) สามารถเขียนได้ในรูปแบบ \(y=kx+b\) สัมประสิทธิ์ \(k\) ในสมการนี้เรียกว่า ความชันของเส้นตรง. มันเท่ากับแทนเจนต์ มุมเอียงเส้นตรงนี้

มุมตรง- มุมระหว่างทิศทางบวกของแกน \(Ox\) กับเส้นตรงนี้ วัดในทิศทางของมุมบวก (นั่นคือ ในทิศทางของการหมุนที่เล็กที่สุดจากแกน \(Ox\) ถึง \ (โอ้\) แกน)

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f(x)\) ที่จุด \(x_0\) เท่ากับความชันของเส้นสัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดนี้: \(f"(x_0)=\tg\ อัลฟ่า.\)

ถ้า \(f"(x_0)=0\) แล้วค่าแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน \(f(x)\) ที่จุด \(x_0\) จะขนานกับแกน \(Ox\)

สมการแทนเจนต์

สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน \(f(x)\) ที่จุด \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

ความน่าเบื่อหน่ายของฟังก์ชันถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นบวกที่ทุกจุดของช่วงเวลา ฟังก์ชันนั้นจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นลบทุกจุดของช่วงเวลา ฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลานี้

จุดต่ำสุด จุดสูงสุด และจุดเปลี่ยนเว้า เชิงบวกบน เชิงลบณ จุดนี้ ดังนั้น \(x_0\) คือจุดสูงสุดของฟังก์ชัน \(f\)

ถ้าฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องกันที่จุด \(x_0\) และค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ \(f"\) เปลี่ยนแปลงด้วย เชิงลบบน เชิงบวกณ จุดนี้ ดังนั้น \(x_0\) คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน \(f\)

จุดที่อนุพันธ์ \(f"\) เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่เรียกว่า จุดวิกฤติฟังก์ชั่น \(ฉ\)

จุดภายในของโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน \(f(x)\) ซึ่ง \(f"(x)=0\) อาจเป็นจุดต่ำสุด สูงสุด หรือจุดเปลี่ยนเว้าก็ได้

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ถ้าจุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและพิกัดของมันเปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎหมาย \(x=x(t)\) ดังนั้น ความเร็วของจุดนี้จะเท่ากับอนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา:

ความเร่งของจุดวัสดุเท่ากับอนุพันธ์ของความเร็วของจุดนี้เทียบกับเวลา:

\(a(t)=v"(t).\)

ไฟล์สำหรับบทเรียนที่ 29

อนุพันธ์ การประยุกต์ใช้อนุพันธ์ สารต้านอนุพันธ์

สัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x 0 เท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x 0. .

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด x 0 เท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุด (x 0 ; f(x 0))

ออกกำลังกาย 1. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และค่าแทนเจนต์ของกราฟนี้ที่วาดที่จุดที่มี abscissa x x 0 .

คำตอบ: 0.25

ออกกำลังกาย 2. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และค่าแทนเจนต์ของกราฟนี้ที่วาดที่จุดที่มี abscissa x 0 . ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ณ จุดนั้น x 0 . คำตอบ: 0.6

ออกกำลังกาย 3. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และค่าแทนเจนต์ของกราฟนี้ที่วาดที่จุดที่มี abscissa x 0 . ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ณ จุดนั้น x 0 . คำตอบ: -0.25

ออกกำลังกาย 4. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) และค่าแทนเจนต์ของกราฟนี้ที่วาดที่จุดที่มี abscissa x 0 . ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ณ จุดนั้น x 0 . คำตอบ: -0.2

ความรู้สึกทางกล อนุพันธ์.

โวลต์ ( ที 0 ) = x' ( ที 0 )

ความเร็วเป็นอนุพันธ์ของพิกัด โดย เวลา. เช่นเดียวกัน, ความเร่งเป็นอนุพันธ์ของความเร็วเทียบกับเวลา :

ก = วี' ( ที ).

ออกกำลังกาย 5 . จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎ x(t)=12 t 2 +4 t+27 โดยที่ x คือระยะห่างจากจุดอ้างอิงมีหน่วยเป็นเมตร t คือเวลาเป็นวินาที วัดจากช่วงเวลาที่การเคลื่อนไหวเริ่มขึ้น ค้นหาความเร็ว (เป็นเมตรต่อวินาที) ที่เวลา t=2 วินาที คำตอบ: 52

ภารกิจที่ 6. จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงตามกฎหมายx (t )= 16 เสื้อ 3 + เสื้อ 2 − 8 เสื้อ + 180, ที่ไหน x- ระยะห่างจากจุดอ้างอิงเป็นเมตรที- เวลาเป็นวินาทีวัดจากช่วงเวลาที่การเคลื่อนไหวเริ่มขึ้น ความเร็วของมันเท่ากับ 42 m/s ณ จุดใด (เป็นวินาที) คำตอบ: 1

สัญญาณที่เพียงพอเพิ่ม (ลดลง) ฟังก์ชั่น

1. ถ้า f `(x) ในแต่ละจุดของช่วงเวลา ( ดังนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นด้วย (

2. ถ้า f `(x) ในแต่ละจุดของช่วงเวลา ( ดังนั้นฟังก์ชันจะลดลงด้วย (

ข้อกำหนดเบื้องต้นสุดขั้ว

ถ้าจุด x 0 คือจุดปลายสุดของฟังก์ชัน และ ณ จุดนี้ ก็มีอนุพันธ์แล้ว ฉ `( x 0 )=0

สภาพที่เพียงพอสำหรับสุดขั้ว

ถ้า ฉ `( x 0 x 0 ค่าของอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "+" เป็น "-" แล้ว x 0 คือจุดสูงสุดของฟังก์ชัน

ถ้า ฉ `( x 0 ) = 0 และเมื่อผ่านจุดนั้น x 0 ค่าอนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+" จากนั้น x 0 คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน

ภารกิจที่ 7รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x)กำหนดไว้ในช่วงเวลา (−7; 10) ค้นหาจำนวนจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ฉ(x)ในช่วงเวลา [−3; 8].

สารละลาย.คะแนนต่ำสุดสอดคล้องกับจุดที่เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากลบเป็นบวก ในส่วน [−3; 8] ฟังก์ชันมีจุดต่ำสุดหนึ่งจุด x= 4. จุดดังกล่าวคือ 1. คำตอบ: 1.

ภารกิจที่ 8. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ y=f(x) และมีจุดเจ็ดจุดที่ทำเครื่องหมายบนแกน abscissa: x​1, x​2, x​3, x​4, x​5, x​6, x 7. อนุพันธ์ของ f(x) เป็นลบที่จุดเหล่านี้กี่จุด? คำตอบ: 3

ภารกิจที่ 9. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ y=f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (− 11 ; − 1) ค้นหาจุดจากส่วน [− 7 ; − 2] โดยที่อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เท่ากับ 0 คำตอบ: -4

ภารกิจที่ 10. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y=f′(x) - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (2 ; 13) ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) คำตอบ: 9

ภารกิจที่ 11. รูปนี้แสดงกราฟ y=f′(x) ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (− 3; 8) ณ จุดใดของส่วน [− 2; 3] ฟังก์ชัน f(x) รับค่าน้อยที่สุดหรือไม่? คำตอบ: -2

ภารกิจที่ 12รูปนี้แสดงกราฟ y=f "(x) - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (− 2 ; 11) ค้นหาจุดหักล้างของจุดที่แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ขนานกับแกนแอบซิสซาหรือเกิดขึ้นพร้อมกับคำตอบ: 3

ภารกิจที่ 13รูปนี้แสดงกราฟของ y=f "(x) - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดไว้ในช่วงเวลา (− 4 ; 6) จงหาค่า abscissa ของจุดที่แทนเจนต์ของกราฟของรูปนั้น ฟังก์ชัน y=f(x) ขนานกับเส้นตรง y=3x หรือเกิดขึ้นพร้อมกัน คำตอบ: 5

ภารกิจที่ 14. รูปนี้แสดงกราฟของ y=f "(x) - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดในช่วงเวลา (− 4 ; 13) ค้นหาจำนวนจุดที่แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=f(x) ขนานกับเส้นตรง y=− 2x−10 หรือเท่ากับเส้นตรง คำตอบ: 5

ภารกิจที่ 15เส้นตรง y =5x -8 สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชัน 4x 2 -15x +c หา ค. O คำตอบ: 17.

สารต้านอนุพันธ์

ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์ ฉ(x) สำหรับฟังก์ชั่น ฉ(x) เรียกว่าฟังก์ชัน อนุพันธ์ ซึ่งเท่ากับฟังก์ชันเดิม เอฟ " ( x )= ฉ ( x ).

ภารกิจที่ 16รูปนี้แสดงกราฟ ย=ฟ (x) หนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันบางอย่าง ฉ(x) กำหนดไว้ในช่วงเวลา (1;13) ใช้รูปนี้กำหนดจำนวนคำตอบของสมการ ฉ (x)=0 บนเซ็กเมนต์ คำตอบ: 4

ภารกิจที่ 17รูปนี้แสดงกราฟ y=F(x) ของหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดไว้ในช่วงเวลา (− 7; 8) ใช้รูปนี้ หาจำนวนคำตอบของสมการ f(x)=0 บนส่วนนั้น คำตอบ:1

ภารกิจที่ 18. รูปนี้แสดงกราฟ y=F(x) ของหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) และมีจุดแปดจุดอยู่บนแกนแอบซิสซา: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 ฟังก์ชัน f(x) เป็นลบที่จุดจำนวนเท่าใด? คำตอบ: 3

ภารกิจที่ 19รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน y=f(x) ฟังก์ชัน F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 เป็นหนึ่งในแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f(x) หาพื้นที่ของร่างที่แรเงา คำตอบ: 592

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาจุดสุดขั้ว

ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ "( x)

หาจุดที่ ฉ "( x) = 0.

ทำเครื่องหมายโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันและค่าศูนย์ทั้งหมดของอนุพันธ์บนเส้นจำนวน

กำหนดเครื่องหมาย อนุพันธ์สำหรับแต่ละช่วงเวลา (หากต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ค่า "สะดวก" x จากช่วงเวลานี้ถึง ฉ "( x)).

กำหนดพื้นที่ที่เพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันตามสัญญาณของอนุพันธ์และสรุปเกี่ยวกับการมีหรือไม่มีส่วนปลายสุดและลักษณะของมัน ( สูงสุด หรือนาที ) ในแต่ละจุดเหล่านี้

ภารกิจที่ 20ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน y=(2x−1)cosx−2sinx+5 ซึ่งอยู่ในช่วง (0 ; π/2) คำตอบ: 0.5

ภารกิจที่ 21ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชันย=.คำตอบ: 6

อัลกอริทึมการค้นหา ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

ภารกิจที่ 22ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y =x −6x +1 บนเซ็กเมนต์ คำตอบ: -31

ภารกิจที่ 23จงหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=8cosx+30x/π+19 ในช่วงเวลา [− 2π/3; 0]. คำตอบ: -5

นอกจากนี้ 1.ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน y=(x−11) 2 ​ ⋅e x − 7 .

2. ค้นหา มูลค่าสูงสุดฟังก์ชั่น y=x 5 -5x 3 -20x บนเซ็กเมนต์ [− 9 ; 1]. คำตอบ:48