ค้นหาโหนดและโหนดสาม การหาพหุคูณร่วมน้อยที่สุด วิธี ตัวอย่างการหา LCM

มาเริ่มศึกษาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขตั้งแต่สองตัวขึ้นไปกันดีกว่า ในส่วนนี้ เราจะนิยามคำศัพท์ พิจารณาทฤษฎีบทที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างตัวคูณร่วมน้อยและตัวหารร่วมมาก และยกตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวคูณร่วม – คำจำกัดความ ตัวอย่าง

ในหัวข้อนี้ เราจะสนใจเฉพาะผลคูณร่วมของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์เท่านั้น

คำจำกัดความ 1

ผลคูณร่วมของจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนที่กำหนดทั้งหมด อันที่จริง มันคือจำนวนเต็มใดๆ ที่สามารถหารด้วยตัวเลขที่กำหนดใดๆ ได้

คำจำกัดความของตัวคูณร่วมหมายถึงจำนวนเต็มสอง สามหรือมากกว่า

ตัวอย่างที่ 1

ตามคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้น ตัวคูณร่วมของเลข 12 คือ 3 และ 2 นอกจากนี้ เลข 12 จะเป็นตัวคูณร่วมของตัวเลข 2, 3 และ 4 ตัวเลข 12 และ -12 เป็นจำนวนทวีคูณร่วมของตัวเลข ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12

ในเวลาเดียวกัน ตัวคูณร่วมของตัวเลข 2 และ 3 จะเป็นตัวเลข 12, 6, − 24, 72, 468, − 100,010,004 และชุดอื่นๆ ทั้งหมด

หากเราเอาตัวเลขที่หารด้วยจำนวนแรกของคู่และหารด้วยจำนวนที่สองไม่ลงตัว ตัวเลขนั้นก็จะไม่เป็นจำนวนทวีคูณร่วม ดังนั้น สำหรับหมายเลข 2 และ 3 ตัวเลข 16, − 27, 5009, 27001 จะไม่ใช่ตัวคูณร่วม

0 คือผลคูณร่วมของชุดจำนวนเต็มใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์

หากเรานึกถึงคุณสมบัติของการหารลงตัวด้วยจำนวนตรงข้าม ปรากฎว่าจำนวนเต็ม k บางตัวจะเป็นตัวคูณร่วมของจำนวนเหล่านี้ เช่นเดียวกับตัวเลข - k ซึ่งหมายความว่าตัวหารร่วมสามารถเป็นได้ทั้งบวกหรือลบ

เป็นไปได้ไหมที่จะค้นหา LCM สำหรับตัวเลขทั้งหมด

ตัวคูณร่วมสามารถหาได้จากจำนวนเต็มใดๆ

ตัวอย่างที่ 2

สมมุติว่าเราได้รับ เคจำนวนเต็ม ก 1 , 2 , … , หรือเค. จำนวนที่เราได้รับเมื่อคูณตัวเลข ก 1 · 2 · … · หรือ เคตามคุณสมบัติการหารลงตัวจะแบ่งออกเป็นแต่ละปัจจัยที่รวมอยู่ในผลคูณเดิม ซึ่งหมายความว่าผลคูณของตัวเลข ก 1 , 2 , … , หรือเคคือตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้

จำนวนเต็มเหล่านี้สามารถมีตัวคูณร่วมได้กี่ตัว?

กลุ่มของจำนวนเต็มสามารถมีได้ จำนวนมากทวีคูณทั่วไป ในความเป็นจริงจำนวนของพวกเขานั้นไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างที่ 3

สมมติว่าเรามีเลข k จากนั้นผลคูณของตัวเลข k · z โดยที่ z เป็นจำนวนเต็ม จะเป็นผลคูณร่วมของตัวเลข k และ z เนื่องจากจำนวนตัวเลขนั้นไม่มีที่สิ้นสุด จำนวนตัวคูณร่วมจึงไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) - คำจำกัดความ สัญกรณ์ และตัวอย่าง

นึกถึงแนวคิดเรื่องจำนวนที่น้อยที่สุดจากชุดตัวเลขที่กำหนด ซึ่งเราได้พูดคุยไปแล้วในหัวข้อ “การเปรียบเทียบจำนวนเต็ม” เมื่อนำแนวคิดนี้มาพิจารณา เราจึงกำหนดคำจำกัดความของตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุด ซึ่งมีความสำคัญในทางปฏิบัติมากที่สุดในบรรดาตัวคูณร่วมทั้งหมด

คำจำกัดความ 2

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มที่กำหนดคือตัวคูณร่วมบวกที่น้อยที่สุดของจำนวนเหล่านี้

มีจำนวนตัวคูณร่วมน้อยสำหรับจำนวนใดๆ ที่กำหนด ตัวย่อที่ใช้บ่อยที่สุดสำหรับแนวคิดในเอกสารอ้างอิงคือ NOC สัญกรณ์สั้นสำหรับตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ก 1 , 2 , … , หรือเคจะมีแบบฟอร์ม LOC (ก 1 , ก 2 , … , ก).

ตัวอย่างที่ 4

ตัวคูณร่วมน้อยของ 6 และ 7 คือ 42 เหล่านั้น. ล.ซม.(6, 7) = 42. ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 4 ตัว 2, 12, 15 และ 3 คือ 60 สัญกรณ์สั้นๆ จะมีลักษณะดังนี้ LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60

ตัวคูณร่วมน้อยไม่ชัดเจนสำหรับทุกกลุ่มของจำนวนที่กำหนด มักจะต้องคำนวณ

ความสัมพันธ์ระหว่าง NOC และ GCD

ตัวคูณร่วมน้อยและตัวหารร่วมมากมีความสัมพันธ์กัน ความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดต่างๆ ถูกกำหนดโดยทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท 1

ผลคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองตัว a และ b เท่ากับผลคูณของ a และ b หารด้วยตัวหารร่วมมากของ a และ b นั่นคือ LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) ).

หลักฐานที่ 1

สมมติว่าเรามีเลข M ซึ่งเป็นผลคูณของตัวเลข a และ b ถ้าเลข M หารด้วย a ลงตัว ก็จะมีเลขจำนวนเต็ม z อยู่ด้วย , ภายใต้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง ม = ก. ตามคำจำกัดความของการหารลงตัว ถ้า M หารด้วย ขถ้าอย่างนั้น ก · เคหารด้วย ข.

หากเราแนะนำสัญกรณ์ใหม่สำหรับ gcd (a, b) as งแล้วเราก็ใช้ความเท่าเทียมกันได้ ก = ก 1 วันและ b = b 1 · d ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกันทั้งสองจะเป็นจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างมาก

เราได้กำหนดไว้ข้างต้นแล้ว ก · เคหารด้วย ข. ตอนนี้เงื่อนไขนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:
1 ดีเคหารด้วย ข 1 วันซึ่งเทียบเท่ากับเงื่อนไข 1 กหารด้วย ข 1ตามคุณสมบัติการหารลงตัว

ตามคุณสมบัติของเลขโคไพรม์ ถ้า 1และ ข 1- ซึ่งกันและกัน จำนวนเฉพาะ, 1หารด้วยไม่ได้ ข 1แม้จะมีความจริงที่ว่า 1 กหารด้วย ข 1, ที่ ข 1จะต้องมีการแบ่งปัน เค.

ในกรณีนี้ก็สมควรที่จะถือว่ามีตัวเลข ที, ซึ่ง k = ข 1 เสื้อและตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ข 1 = ข: ง, ที่ k = b: d ต.

ตอนนี้แทน เคมาแทนที่กันด้วยความเท่าเทียมกัน ม = กการแสดงออกของแบบฟอร์ม ข: ง. สิ่งนี้ทำให้เราบรรลุความเท่าเทียมกัน M = ข: d เสื้อ. ที่ เสื้อ = 1เราจะได้ตัวคูณร่วมบวกน้อยที่สุดของ a กับ b , เท่ากัน ข: งโดยมีเงื่อนไขว่าตัวเลข a และ b เชิงบวก.

ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ว่า LCM (a, b) = a · b: GCD (ก ข).

การสร้างการเชื่อมโยงระหว่าง LCM และ GCD ช่วยให้คุณค้นหาตัวคูณร่วมน้อยผ่านตัวหารร่วมมากของตัวเลขที่กำหนดตั้งแต่สองตัวขึ้นไป

คำจำกัดความ 3

ทฤษฎีบทนี้มีผลกระทบที่สำคัญสองประการ:

• ผลคูณของตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสองตัวจะเหมือนกับผลคูณร่วมของตัวเลขสองตัวนั้น
• ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนบวกที่เป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน a และ b เท่ากับผลคูณของมัน

การยืนยันข้อเท็จจริงทั้งสองนี้ไม่ใช่เรื่องยาก ผลคูณร่วมใดๆ ของ M ของจำนวน a และ b ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน M = LCM (a, b) · t สำหรับค่าจำนวนเต็ม t เนื่องจาก a และ b ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น gcd (a, b) = 1 ดังนั้น gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b

ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไป

ในการหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขหลายๆ ตัว จำเป็นต้องค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัวตามลำดับ

ทฤษฎีบท 2

สมมุติว่า ก 1 , 2 , … , หรือเคเป็นจำนวนเต็มบวก เพื่อคำนวณ LCM ม.เคเราต้องคำนวณตัวเลขเหล่านี้ตามลำดับ ม. 2 = ค.ศ(ก 1 , ก 2) , ม. 3 = NOC(ม 2 , ก 3) , … , ม k = NOC(มเค - 1 , ก) .

หลักฐานที่ 2

ข้อพิสูจน์แรกจากทฤษฎีบทแรกที่กล่าวถึงในหัวข้อนี้จะช่วยให้เราพิสูจน์ความถูกต้องของทฤษฎีบทที่สอง การให้เหตุผลจะขึ้นอยู่กับอัลกอริทึมต่อไปนี้:

• ผลคูณร่วมของตัวเลข 1และ 2ตรงกับจำนวนทวีคูณของ LCM จริงๆ แล้วพวกมันตรงกับจำนวนทวีคูณ ม. 2;
• ผลคูณร่วมของตัวเลข 1, 2และ 3 ม. 2และ 3 ม.3;
• ผลคูณร่วมของตัวเลข ก 1 , 2 , … , หรือเคตรงกับตัวคูณร่วมของตัวเลข มเค - 1และ เคดังนั้นจึงตรงกับผลคูณของจำนวน ม.เค;
• เนื่องจากตัวคูณบวกที่น้อยที่สุดของจำนวน ม.เคคือตัวเลขนั่นเอง ม.เคแล้วตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ก 1 , 2 , … , หรือเคเป็น ม.เค.

นี่คือวิธีที่เราพิสูจน์ทฤษฎีบท

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

นิพจน์และปัญหาทางคณิตศาสตร์ต้องอาศัยความรู้เพิ่มเติมมากมาย NOC เป็นหนึ่งในเนื้อหาหลักโดยเฉพาะอย่างยิ่งมักใช้ในหัวข้อนี้ศึกษาในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายและไม่ยากที่จะเข้าใจเนื้อหาเป็นพิเศษ บุคคลที่คุ้นเคยกับพลังและตารางสูตรคูณจะไม่มีปัญหาในการระบุตัวเลขที่จำเป็นและการค้นพบ ผลลัพธ์.

คำนิยาม

ตัวคูณร่วมคือจำนวนที่สามารถหารออกเป็นสองจำนวนได้อย่างสมบูรณ์ในเวลาเดียวกัน (a และ b) ส่วนใหญ่แล้วตัวเลขนี้ได้มาจากการคูณตัวเลขเดิม a และ b ตัวเลขจะต้องหารด้วยตัวเลขทั้งสองพร้อมกันโดยไม่มีการเบี่ยงเบน

NOC เป็นชื่อที่ยอมรับ ชื่อสั้นรวบรวมมาจากตัวอักษรตัวแรก

วิธีรับหมายเลข

วิธีการคูณตัวเลขไม่เหมาะกับการค้นหา LCM เสมอไป แต่จะเหมาะกว่ามากกับตัวเลขหลักเดียวหรือสองหลัก เป็นเรื่องปกติที่จะแบ่งปัจจัยออกเป็นหลายปัจจัย ยิ่งจำนวนมากเท่าใด ก็จะยิ่งมีปัจจัยมากขึ้นเท่านั้น

ตัวอย่าง #1

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด โรงเรียนมักจะใช้ตัวเลขเฉพาะ หลักเดียวหรือสองหลัก ตัวอย่างเช่น คุณต้องแก้โจทย์ต่อไปนี้ หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 7 และ 3 วิธีแก้ก็ค่อนข้างง่าย แค่คูณพวกมันเข้าด้วยกัน ด้วยเหตุนี้จึงมีเลข 21 และไม่มีจำนวนที่เล็กกว่านี้เลย

ตัวอย่างหมายเลข 2

งานเวอร์ชันที่สองนั้นยากกว่ามาก ให้หมายเลข 300 และ 1260 โดยจำเป็นต้องค้นหา LOC เพื่อแก้ไขปัญหา จะดำเนินการต่อไปนี้:

การแยกย่อยตัวเลขตัวแรกและตัวที่สองให้เป็นตัวประกอบอย่างง่าย 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7 ขั้นตอนแรกเสร็จสมบูรณ์

ขั้นตอนที่สองเกี่ยวข้องกับการทำงานกับข้อมูลที่ได้รับแล้ว แต่ละหมายเลขที่ได้รับจะต้องมีส่วนร่วมในการคำนวณผลลัพธ์สุดท้าย สำหรับแต่ละปัจจัย จำนวนครั้งที่ใหญ่ที่สุดจะนำมาจากจำนวนเดิม LCM เป็นตัวเลขทั่วไป ดังนั้นตัวประกอบของตัวเลขจะต้องซ้ำกันในแต่ละตัว แม้แต่ตัวประกอบที่อยู่ในสำเนาเดียวก็ตาม ตัวเลขเริ่มต้นทั้งสองมีตัวเลข 2, 3 และ 5 อยู่ในกำลังต่างกัน โดยที่ 7 มีอยู่ในกรณีเดียวเท่านั้น

ในการคำนวณผลลัพธ์สุดท้าย คุณต้องนำแต่ละตัวเลขที่มีค่ามากที่สุดของกำลังที่มากที่สุดมาแสดงในสมการ สิ่งที่เหลืออยู่คือการคูณและรับคำตอบ หากกรอกถูกต้อง งานจะแบ่งออกเป็นสองขั้นตอนโดยไม่มีคำอธิบาย:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

นั่นคือปัญหาทั้งหมด หากคุณพยายามคำนวณจำนวนที่ต้องการด้วยการคูณ คำตอบก็จะไม่ถูกต้องอย่างแน่นอน เนื่องจาก 300 * 1260 = 378,000

การตรวจสอบ:

6300/300 = 21 - ถูกต้อง;

6300/1260 = 5 - ถูกต้อง

ความถูกต้องของผลลัพธ์ที่ได้ถูกกำหนดโดยการตรวจสอบ - หาร LCM ด้วยตัวเลขเริ่มต้นทั้งสอง ถ้าตัวเลขเป็นจำนวนเต็มในทั้งสองกรณี คำตอบนั้นถูกต้อง

NOC หมายถึงอะไรในวิชาคณิตศาสตร์?

ดังที่คุณทราบ ไม่มีฟังก์ชันใดที่ไร้ประโยชน์ในคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันนี้ก็ไม่มีข้อยกเว้น วัตถุประสงค์ทั่วไปที่สุดของจำนวนนี้คือการลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม ปกติจะเรียนอะไรในเกรด 5-6 มัธยม. นอกจากนี้ยังเป็นตัวหารร่วมสำหรับตัวคูณทั้งหมดด้วย หากมีเงื่อนไขดังกล่าวในโจทย์ นิพจน์ดังกล่าวสามารถค้นหาตัวคูณได้ไม่เพียงแต่จากตัวเลขสองตัวเท่านั้น แต่ยังค้นหาจำนวนที่มากกว่านั้นด้วย เช่น สาม ห้า และอื่นๆ ยิ่งมีจำนวนมากขึ้นเท่าใด การดำเนินการในงานก็จะมากขึ้นเท่านั้น แต่ความซับซ้อนจะไม่เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างเช่น เมื่อระบุตัวเลข 250, 600 และ 1500 คุณจะต้องค้นหา LCM ทั่วไป:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ตัวอย่างนี้อธิบายการแยกตัวประกอบโดยละเอียดโดยไม่มีการลดลง

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

ในการเขียนนิพจน์จำเป็นต้องระบุปัจจัยทั้งหมดในกรณีนี้คือให้ 2, 5, 3 - สำหรับตัวเลขทั้งหมดนี้จำเป็นต้องกำหนดระดับสูงสุด

ข้อควรสนใจ: ปัจจัยทั้งหมดจะต้องถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยสมบูรณ์ หากเป็นไปได้ ให้แยกย่อยเป็นระดับหลักเดียว

การตรวจสอบ:

1) 3000/250 = 12 - ถูกต้อง;

2) 3000/600 = 5 - จริง;

3) 3000/1500 = 2 - ถูกต้อง

วิธีนี้ไม่ต้องการกลอุบายหรือความสามารถระดับอัจฉริยะใด ๆ ทุกอย่างเรียบง่ายและชัดเจน

อีกวิธีหนึ่ง

ในทางคณิตศาสตร์ มีหลายสิ่งเชื่อมโยงกัน หลายสิ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยสองวิธีขึ้นไป วิธีเดียวกันคือการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย LCM วิธีการต่อไปนี้สามารถใช้ได้ในกรณีของตัวเลขสองหลักธรรมดาและตัวเลขหลักเดียว ตารางจะถูกรวบรวมโดยป้อนตัวคูณในแนวตั้ง ตัวคูณในแนวนอน และผลิตภัณฑ์จะถูกระบุในเซลล์ที่ตัดกันของคอลัมน์ คุณสามารถสะท้อนตารางโดยใช้เส้นจดตัวเลขและเขียนผลลัพธ์ของการคูณตัวเลขนี้ด้วยจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึงอนันต์บางครั้ง 3-5 จุดก็เพียงพอแล้วตัวเลขที่สองและตัวต่อมาต้องผ่านกระบวนการคำนวณเดียวกัน ทุกอย่างเกิดขึ้นจนกว่าจะพบตัวคูณร่วม

ด้วยตัวเลข 30, 35, 42 คุณต้องค้นหา LCM ที่เชื่อมต่อกับตัวเลขทั้งหมด:

1) ผลคูณของ 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 เป็นต้น

2) ผลคูณของ 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 เป็นต้น

3) ผลคูณของ 42: 84, 126, 168, 210, 252 เป็นต้น

จะสังเกตได้ว่าตัวเลขทั้งหมดมีความแตกต่างกันมาก โดยตัวเลขทั่วไปเพียงตัวเดียวในนั้นคือ 210 จึงจะเป็น NOC ในกระบวนการที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณนี้ ยังมีตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ซึ่งคำนวณตามหลักการที่คล้ายกันและมักพบในปัญหาข้างเคียง ความแตกต่างมีขนาดเล็ก แต่ค่อนข้างสำคัญ LCM เกี่ยวข้องกับการคำนวณตัวเลขที่หารด้วยค่าเริ่มต้นที่กำหนดทั้งหมด และ GCD เกี่ยวข้องกับการคำนวณ มูลค่าสูงสุดโดยแบ่งเลขเดิม

ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสองตัวมีความสัมพันธ์โดยตรงกับตัวหารร่วมมากของตัวเลขเหล่านั้น นี้ การเชื่อมต่อระหว่าง GCD และ NOCถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท.

ผลคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองตัว a และ b เท่ากับผลคูณของ a และ b หารด้วยตัวหารร่วมมากของ a และ b นั่นคือ LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

การพิสูจน์.

อนุญาต M เป็นผลคูณของจำนวน a และ b นั่นคือ M หารด้วย a ลงตัว และตามคำจำกัดความของการหารลงตัว จะมีจำนวนเต็ม k บางตัวที่ทำให้ความเท่าเทียมกัน M=a·k เป็นจริง แต่ M ก็หารด้วย b ลงตัวเช่นกัน แล้ว a·k ก็หารด้วย b ลงตัว

ลองแสดงว่า gcd(a, b) เป็น d จากนั้นเราสามารถเขียนค่าเท่ากัน a=a 1 ·d และ b=b 1 ·d และ a 1 =a:d และ b 1 =b:d จะเป็นจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างมาก ดังนั้น เงื่อนไขที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้าที่ว่า a · k หารด้วย b ลงตัวสามารถจัดรูปแบบใหม่ได้ดังนี้: a 1 · d · k หารด้วย b 1 · d และนี่ เนื่องจากคุณสมบัติการหารลงตัว จึงเทียบเท่ากับเงื่อนไข ว่า a 1 · k หารด้วย b 1 ลงตัว

คุณต้องเขียนข้อพิสูจน์ที่สำคัญสองประการจากทฤษฎีบทที่พิจารณาด้วย

ผลคูณร่วมของตัวเลขสองตัวจะเหมือนกับผลคูณของตัวคูณร่วมน้อย

เป็นเช่นนี้จริง เนื่องจากตัวคูณร่วมใดๆ ของ M ของตัวเลข a และ b ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน M=LMK(a, b)·t สำหรับค่าจำนวนเต็มบางค่า t

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนบวกที่เป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน a และ b เท่ากับผลคูณของมัน

เหตุผลสำหรับข้อเท็จจริงข้อนี้ค่อนข้างชัดเจน เนื่องจาก a และ b ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น gcd(a, b)=1 ดังนั้น GCD(a, b)=ab: GCD(a, b)=a b:1=a b.

ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไป

การค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามจำนวนขึ้นไปสามารถลดลงเป็นการค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัวตามลำดับ วิธีการทำมีระบุไว้ในทฤษฎีบทต่อไปนี้ a 1 , a 2 , …, a k ตรงกับผลคูณร่วมของตัวเลข m k-1 และ a k ดังนั้น จึงตรงกับผลคูณร่วมของตัวเลข m k และเนื่องจากตัวคูณบวกที่น้อยที่สุดของตัวเลข m k คือตัวเลข m k นั่นเอง ดังนั้นตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุดของตัวเลข a 1, a 2, ..., a k ก็คือ m k

บรรณานุกรม.

• วิเลนคิน เอ็น.ยา. และอื่นๆ คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป
• วิโนกราดอฟ ไอ.เอ็ม. พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน
• มิเคโลวิช ช.เอช. ทฤษฎีจำนวน
• Kulikov L.Ya. และอื่นๆ การรวบรวมปัญหาทางพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน: บทช่วยสอนสำหรับนักศึกษาวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เฉพาะทางของสถาบันการสอน

เรามาพูดคุยกันต่อเกี่ยวกับตัวคูณร่วมน้อย ซึ่งเราเริ่มต้นไว้ในส่วน “LCM - ตัวคูณร่วมน้อย คำจำกัดความ และตัวอย่าง” ในหัวข้อนี้ เราจะดูวิธีค้นหา LCM สำหรับตัวเลขสามตัวขึ้นไป และเราจะดูคำถามว่าจะหา LCM ของจำนวนลบได้อย่างไร

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

การคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ผ่าน GCD

เราได้กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างตัวคูณร่วมน้อยกับตัวหารร่วมมากแล้ว ตอนนี้เรามาเรียนรู้วิธีกำหนด LCM ผ่าน GCD กันดีกว่า ก่อนอื่น เรามาดูวิธีทำตัวเลขบวกกันก่อน

คำจำกัดความ 1

คุณสามารถหาตัวคูณร่วมน้อยได้จากตัวหารร่วมมากโดยใช้สูตร LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b)

ตัวอย่างที่ 1

คุณต้องค้นหา LCM ของตัวเลข 126 และ 70

สารละลาย

ลองหา a = 126, b = 70 กัน ลองแทนค่าลงในสูตรในการคำนวณตัวคูณร่วมน้อยผ่านตัวหารร่วมมาก LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

ค้นหา gcd ของตัวเลข 70 และ 126 สำหรับสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องมีอัลกอริทึมแบบยุคลิด: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4 ดังนั้น GCD (126 , 70) = 14 .

มาคำนวณ LCM กัน: จอแอลซีดี (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630

คำตอบ:ล.ซม.(126, 70) = 630.

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาหมายเลข 68 และ 34

สารละลาย

GCD ในกรณีนี้หาได้ไม่ยาก เนื่องจาก 68 หารด้วย 34 ลงตัว ลองคำนวณตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้สูตร: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68

คำตอบ:ล.ซม.(68, 34) = 68.

ในตัวอย่างนี้ เราใช้กฎในการค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวก a และ b: หากจำนวนแรกหารด้วยวินาทีลงตัว LCM ของจำนวนเหล่านั้นจะเท่ากับจำนวนแรก

การค้นหา LCM โดยการแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

ตอนนี้เรามาดูวิธีการหา LCM ซึ่งขึ้นอยู่กับการแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

คำจำกัดความ 2

หากต้องการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย เราต้องทำขั้นตอนง่ายๆ หลายประการ:

• เราเขียนผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของตัวเลขที่เราจำเป็นต้องค้นหา LCM
• เราแยกปัจจัยสำคัญทั้งหมดออกจากผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์
• ผลิตภัณฑ์ที่ได้รับหลังจากกำจัดปัจจัยเฉพาะทั่วไปจะเท่ากับ LCM ของตัวเลขที่กำหนด

วิธีการหาตัวคูณร่วมน้อยนี้ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกัน LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) หากคุณดูสูตรจะชัดเจน: ผลคูณของตัวเลข a และ b เท่ากับผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่มีส่วนร่วมในการสลายตัวของตัวเลขทั้งสองนี้ ในกรณีนี้ gcd ของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดที่ปรากฏในการแยกตัวประกอบของตัวเลขสองตัวนี้พร้อมกัน

ตัวอย่างที่ 3

เรามีตัวเลขสองตัวคือ 75 และ 210 เราสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้: 75 = 3 5 5และ 210 = 2 3 5 7. หากคุณเขียนผลคูณของตัวประกอบทั้งหมดของตัวเลขเดิมสองตัว คุณจะได้: 2 3 3 5 5 5 7.

หากเราแยกปัจจัยร่วมของทั้งหมายเลข 3 และ 5 ออก เราจะได้ผลลัพธ์ในรูปแบบต่อไปนี้: 2 3 5 5 7 = 1,050. สินค้าชิ้นนี้จะเป็น LCM ของเราสำหรับหมายเลข 75 และ 210

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหา LCM ของตัวเลข 441 และ 700 แยกตัวประกอบทั้งสองจำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

สารละลาย

เรามาค้นหาตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของตัวเลขที่ระบุในเงื่อนไข:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

เราได้ตัวเลขสองสาย: 441 = 3 3 7 7 และ 700 = 2 2 5 5 7

ผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่มีส่วนร่วมในการสลายตัวของตัวเลขเหล่านี้จะมีรูปแบบ: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. มาหาปัจจัยร่วมกัน นี่คือหมายเลข 7 ขอแยกออกจากผลิตภัณฑ์ทั้งหมด: 2 2 3 3 5 5 7 7. ปรากฎว่า NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

คำตอบ:ล็อค(441, 700) = 44,100.

ขอให้เราให้อีกสูตรหนึ่งของวิธีการค้นหา LCM โดยการแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ

คำจำกัดความ 3

ก่อนหน้านี้ เราได้แยกออกจากจำนวนตัวประกอบทั้งหมดที่เหมือนกันกับตัวเลขทั้งสอง ตอนนี้เราจะทำมันแตกต่างออกไป:

• ลองแยกตัวเลขทั้งสองให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:
• เพิ่มผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนแรกด้วยปัจจัยที่ขาดหายไปของจำนวนที่สอง
• เราได้รับผลิตภัณฑ์ซึ่งจะเป็น LCM ที่ต้องการของตัวเลขสองตัว

ตัวอย่างที่ 5

ลองกลับไปที่ตัวเลข 75 และ 210 ซึ่งเราได้ค้นหา LCM ในตัวอย่างก่อนหน้านี้แล้ว มาแบ่งพวกมันออกเป็นปัจจัยง่ายๆ: 75 = 3 5 5และ 210 = 2 3 5 7. ผลคูณของปัจจัย 3, 5 และ 5 หมายเลข 75 บวกปัจจัยที่ขาดหายไป 2 และ 7 หมายเลข 210 เราได้รับ: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .นี่คือ LCM ของหมายเลข 75 และ 210

ตัวอย่างที่ 6

จำเป็นต้องคำนวณ LCM ของตัวเลข 84 และ 648

สารละลาย

ลองแยกตัวเลขจากเงื่อนไขให้เป็นปัจจัยง่ายๆ: 84 = 2 2 3 7และ 648 = 2 2 2 3 3 3 3. ลองเพิ่มปัจจัย 2, 2, 3 และเข้าไปในผลคูณกัน 7 หมายเลข 84 ตัวประกอบที่หายไป 2, 3, 3 และ
3 หมายเลข 648 เราได้รับสินค้า 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.นี่คือตัวคูณร่วมน้อยของ 84 และ 648

คำตอบ:ลทบ.(84, 648) = 4,536.

การค้นหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป

ไม่ว่าเราจะจัดการกับตัวเลขจำนวนเท่าใด อัลกอริธึมของการกระทำของเราจะเหมือนเดิมเสมอ: เราจะค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัวตามลำดับ มีทฤษฎีบทสำหรับกรณีนี้

ทฤษฎีบท 1

สมมติว่าเรามีจำนวนเต็ม ก 1 , 2 , … , หรือเค. NOC ม.เคตัวเลขเหล่านี้หาได้จากการคำนวณตามลำดับ m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k)

ตอนนี้เรามาดูกันว่าทฤษฎีบทสามารถนำไปใช้ในการแก้ปัญหาเฉพาะได้อย่างไร

ตัวอย่างที่ 7

คุณต้องคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่ตัว 140, 9, 54 และ 250 .

สารละลาย

ให้เราแนะนำสัญกรณ์: a 1 = 140, 2 = 9, 3 = 54, a 4 = 250

เริ่มต้นด้วยการคำนวณ m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) ลองใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดเพื่อคำนวณ GCD ของตัวเลข 140 และ 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4 เราได้รับ: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260 ดังนั้น ม.2 = 1,260

ทีนี้มาคำนวณโดยใช้อัลกอริทึมเดียวกัน m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) ในระหว่างการคำนวณเราได้รับ m 3 = 3 780

เราแค่ต้องคำนวณ m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) เราปฏิบัติตามอัลกอริธึมเดียวกัน เราได้ ม. 4 = 94 500

LCM ของตัวเลขสี่ตัวจากเงื่อนไขตัวอย่างคือ 94500

คำตอบ: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500

อย่างที่คุณเห็นการคำนวณนั้นง่าย แต่ต้องใช้แรงงานมาก เพื่อประหยัดเวลาคุณสามารถไปอีกทางหนึ่งได้

คำจำกัดความที่ 4

เราเสนออัลกอริธึมการดำเนินการต่อไปนี้ให้กับคุณ:

• เราแยกตัวเลขทั้งหมดออกเป็นปัจจัยเฉพาะ
• ผลคูณของตัวประกอบของจำนวนแรกบวกปัจจัยที่หายไปจากผลคูณของจำนวนที่สอง
• ไปยังผลิตภัณฑ์ที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้าเราจะเพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปของตัวเลขที่สาม ฯลฯ
• ผลคูณที่ได้จะเป็นตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนทั้งหมดจากเงื่อนไข

ตัวอย่างที่ 8

คุณต้องค้นหา LCM ของตัวเลขห้าตัว 84, 6, 48, 7, 143

สารละลาย

ลองแยกตัวเลขทั้งห้าตัวเป็นตัวประกอบเฉพาะ: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13 จำนวนเฉพาะซึ่งเป็นเลข 7 ไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะได้ ตัวเลขดังกล่าวเกิดขึ้นพร้อมกับการสลายตัวเป็นปัจจัยเฉพาะ

ทีนี้ลองหาผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ 2, 2, 3 และ 7 ของเลข 84 แล้วบวกกับตัวประกอบที่หายไปของเลขตัวที่สอง เราแยกเลข 6 ออกเป็น 2 และ 3 ตัวประกอบเหล่านี้อยู่ในผลคูณของเลขตัวแรกแล้ว ดังนั้นเราจึงละเว้นพวกเขา

เรายังคงเพิ่มตัวคูณที่ขาดหายไปต่อไป มาดูเลข 48 กันดีกว่า จากผลคูณที่เราเอา 2 และ 2 มาเป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นเราบวกตัวประกอบเฉพาะของ 7 จากจำนวนที่สี่ และตัวประกอบของ 11 และ 13 ของจำนวนที่ห้า เราได้รับ: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048 นี่คือตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขห้าตัวดั้งเดิม

คำตอบ:ลทบ.(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

การหาผลคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ

ในการค้นหาผลคูณร่วมที่น้อยที่สุดของจำนวนลบ จะต้องแทนที่ตัวเลขเหล่านี้ด้วยตัวเลขที่มีเครื่องหมายตรงกันข้ามก่อน จากนั้นจึงทำการคำนวณโดยใช้อัลกอริธึมข้างต้น

ตัวอย่างที่ 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) และ LCM (- 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888)

การกระทำดังกล่าวเป็นที่อนุญาตได้เพราะว่าหากเรายอมรับสิ่งนั้น กและ − ก– ตัวเลขตรงข้าม
แล้วเซตของการคูณของตัวเลข กจับคู่ชุดทวีคูณของตัวเลข − ก.

ตัวอย่างที่ 10

จำเป็นต้องคำนวณ LCM ของจำนวนลบ − 145 และ − 45 .

สารละลาย

มาแทนที่ตัวเลขกันเถอะ − 145 และ − 45 เป็นจำนวนตรงข้ามกัน 145 และ 45 . ตอนนี้ เมื่อใช้อัลกอริทึม เราคำนวณ LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305 โดยก่อนหน้านี้ได้กำหนด GCD โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด

เราพบว่า LCM ของตัวเลขคือ − 145 และ − 45 เท่ากับ 1 305 .

คำตอบ:ค.ร.น. (- 145, - 45) = 1,305

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เรียกว่าจำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดโดยการนำจำนวน a และ b มาหารกันโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวหารร่วมมากตัวเลขเหล่านี้ แสดงถึง GCD(a, b)

ลองพิจารณาค้นหา GCD โดยใช้ตัวอย่างสองข้อ ตัวเลขธรรมชาติ 18 และ 60:

1 ลองแยกตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

2 เรากำจัดปัจจัยทั้งหมดที่ไม่รวมอยู่ในการขยายจำนวนที่สองออกจากการขยายจำนวนแรก 2×3×3 .

3 เราคูณตัวประกอบเฉพาะที่เหลือหลังจากขีดฆ่าแล้วได้ตัวหารร่วมมากของตัวเลข: gcd( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 โปรดทราบว่าไม่สำคัญว่าถ้าเราขีดฆ่าตัวประกอบออกจากเลขตัวแรกหรือตัวที่สอง ผลลัพธ์จะเหมือนเดิม:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5

324 , 111 และ 432

ลองแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ:

324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

111 = 3×37

432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

ขีดฆ่าตัวประกอบที่ไม่อยู่ในตัวเลขที่สองและสามออกจากตัวเลขแรก เราจะได้:

2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

ดังนั้น GCD( 324 , 111 , 432 )=3

การค้นหา GCD โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด

วิธีที่สองในการค้นหาตัวหารร่วมมากคือการใช้ อัลกอริทึมแบบยุคลิด. อัลกอริธึม Euclid เป็นส่วนใหญ่ วิธีที่มีประสิทธิภาพการค้นหา จีซีดีเมื่อใช้มันคุณจะต้องค้นหาส่วนที่เหลือของการหารตัวเลขและนำไปใช้อย่างต่อเนื่อง สูตรการเกิดซ้ำ.

สูตรการเกิดซ้ำสำหรับจีซีดี GCD(ก, ข)=GCD(ข, ก ม็อด ข)โดยที่ mod b คือเศษที่เหลือหารด้วย b

อัลกอริธึมของยุคลิด

ตัวอย่าง จงหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 7920 และ 594

มาหา GCD( 7920 , 594 ) โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด เราจะคำนวณส่วนที่เหลือของการหารโดยใช้เครื่องคิดเลข

จีซีดี( 7920 , 594 )

จีซีดี( 594 , 7920 ม็อด 594 ) = GCD( 594 , 198 )

จีซีดี( 198 , 594 ม็อด 198 ) = GCD( 198 , 0 )

จีซีดี( 198 , 0 ) = 198

• 7920 ม็อด 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 ม็อด 198 = 594 – 3 × 198 = 0

ผลลัพธ์ที่ได้คือ GCD( 7920 , 594 ) = 198

ตัวคูณร่วมน้อย

เพื่อที่จะพบว่า ตัวส่วนร่วมเมื่อบวกและลบเศษส่วนด้วย ตัวส่วนที่แตกต่างกันคุณต้องรู้และสามารถคำนวณได้ ตัวคูณร่วมน้อย(นก).

ผลคูณของจำนวน “a” คือจำนวนที่หารด้วยตัวมันเองด้วยจำนวน “a” โดยไม่มีเศษเหลือ

ตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 8 (กล่าวคือ ตัวเลขเหล่านี้หารด้วย 8 ลงตัวโดยไม่มีเศษ) ได้แก่ ตัวเลข 16, 24, 32...

ผลคูณของ 9: 18, 27, 36, 45...

มีจำนวนทวีคูณอนันต์ของจำนวน a ตรงกันข้ามกับตัวหารของจำนวนเดียวกัน ตัวหารมีจำนวนจำกัด

ผลคูณร่วมของจำนวนธรรมชาติสองตัวคือจำนวนที่หารด้วยจำนวนทั้งสองนี้ลงตัว.

ตัวคูณร่วมน้อย(LCM) ของจำนวนธรรมชาติสองตัวขึ้นไปคือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วยจำนวนเหล่านี้แต่ละตัวลงตัว

วิธีค้นหา NOC

LCM สามารถค้นหาและเขียนได้สองวิธี

วิธีแรกในการค้นหา LOC

ปกติวิธีนี้จะใช้กับจำนวนน้อย

1. เราเขียนผลคูณของแต่ละจำนวนลงในบรรทัดจนกระทั่งพบผลคูณที่เหมือนกันสำหรับทั้งสองจำนวน
2. ผลคูณของตัวเลข "a" จะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ "K"

ตัวอย่าง. ค้นหา LCM 6 และ 8

วิธีที่สองในการค้นหา LOC

วิธีนี้สะดวกในการใช้ค้นหา LCM สำหรับตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป

จำนวนปัจจัยที่เหมือนกันในการสลายตัวของตัวเลขอาจแตกต่างกันได้

ในการขยายจำนวนที่น้อยกว่า ให้เน้นปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายจำนวนที่มากขึ้น (ในตัวอย่างของเราคือ 2) และเพิ่มปัจจัยเหล่านี้ในการขยายจำนวนที่มากขึ้น
ล.ซม.(24, 60) = 2 2 3 5 2

เขียนผลลัพธ์ที่ได้เป็นคำตอบ
คำตอบ: LCM (24, 60) = 120

คุณยังสามารถจัดรูปแบบการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ได้ดังนี้ มาหา LOC กัน (12, 16, 24)

24 = 2 2 2 3

ดังที่เราเห็นจากการสลายตัวของตัวเลข ตัวประกอบทั้งหมดของ 12 จะรวมอยู่ในการสลายตัวของ 24 (ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุด) ดังนั้นเราจึงบวก 2 เพียงตัวเดียวจากการสลายตัวของตัวเลข 16 เข้ากับ LCM

ค.ศ. (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

คำตอบ: LCM (12, 16, 24) = 48

กรณีพิเศษในการหา NPL

ถ้าตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งหารด้วยตัวอื่นลงตัว ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากับตัวเลขนั้น

ตัวอย่างเช่น LCM (60, 15) = 60
เนื่องจากจำนวนโคไพรม์ไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วม ตัวคูณร่วมน้อยจึงเท่ากับผลคูณของจำนวนเหล่านี้

บนเว็บไซต์ของเรา คุณยังสามารถใช้เครื่องคิดเลขพิเศษเพื่อค้นหาตัวคูณร่วมน้อยทางออนไลน์เพื่อตรวจสอบการคำนวณของคุณ

ถ้าจำนวนธรรมชาติหารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น จะเรียกว่าจำนวนเฉพาะ

จำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ตามจะหารด้วย 1 และตัวมันเองเสมอ

เลข 2 เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด นี่เป็นจำนวนเฉพาะคู่เท่านั้น ส่วนจำนวนเฉพาะที่เหลือเป็นเลขคี่

มีจำนวนเฉพาะหลายตัว และตัวแรกคือเลข 2 อย่างไรก็ตาม ไม่มีจำนวนเฉพาะตัวสุดท้าย ในส่วน “เพื่อการศึกษา” คุณสามารถดาวน์โหลดตารางจำนวนเฉพาะได้ถึง 997

แต่จำนวนธรรมชาติจำนวนมากก็หารด้วยจำนวนธรรมชาติอื่นๆ ได้เช่นกัน

• จำนวน 12 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12 ลงตัว;
• เลข 36 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 ลงตัว

ตัวเลขที่ตัวเลขหารด้วยจำนวนเต็มลงตัว (สำหรับ 12 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12) เรียกว่าตัวหารของตัวเลข

ตัวหารของจำนวนธรรมชาติ a คือจำนวนธรรมชาติที่หารจำนวน “a” ที่กำหนดโดยไม่มีเศษเหลือ

จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารมากกว่าสองตัวเรียกว่าจำนวนประกอบ

โปรดทราบว่าตัวเลข 12 และ 36 มีตัวประกอบร่วมกัน ตัวเลขเหล่านี้คือ: 1, 2, 3, 4, 6, 12 ตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของจำนวนเหล่านี้คือ 12

ตัวหารร่วมของตัวเลขที่กำหนดสองตัวคือ "a" และ "b" คือตัวเลขที่ทั้งสองตัวเลขที่กำหนด "a" และ "b" หารกันโดยไม่มีเศษ

ตัวหารร่วมมาก(GCD) ของตัวเลขที่กำหนดสองตัว “a” และ “b” เป็นจำนวนที่มากที่สุดโดยที่ทั้งตัวเลข “a” และ “b” หารกันลงตัวโดยไม่มีเศษ

โดยสรุป ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลข “a” และ “b” เขียนได้ดังนี้::

ตัวอย่าง: gcd (12; 36) = 12

ตัวหารของตัวเลขในบันทึกการแก้ปัญหาจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ "D"

ตัวเลข 7 และ 9 มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียวคือหมายเลข 1 ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า หมายเลขโคไพรม์.

ตัวเลขโคไพรม์- เป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียว นั่นคือ 1 gcd ของพวกเขาคือ 1

วิธีหาตัวหารร่วมมาก

หากต้องการค้นหา gcd ของจำนวนธรรมชาติสองตัวขึ้นไป คุณต้องมี:

• แยกตัวหารของตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

สะดวกในการเขียนการคำนวณโดยใช้แถบแนวตั้ง เราเขียนเงินปันผลทางด้านซ้ายของเส้นก่อน ทางด้านขวา - ตัวหาร ต่อไปในคอลัมน์ด้านซ้ายเราเขียนค่าผลหาร

มาอธิบายทันทีพร้อมตัวอย่าง ลองแยกตัวเลข 28 และ 64 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.

เราเน้นตัวประกอบเฉพาะที่เหมือนกันในทั้งสองจำนวน
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
ค้นหาผลคูณของตัวประกอบเฉพาะที่เหมือนกันแล้วจดคำตอบ
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

คำตอบ: GCD (28; 64) = 4

คุณสามารถจัดวางตำแหน่งของ GCD อย่างเป็นทางการได้สองวิธี: ในคอลัมน์ (ดังที่ทำข้างต้น) หรือ "ในแถว"

วิธีแรกในการเขียน gcd

ค้นหา gcd 48 และ 36

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

วิธีที่สองในการเขียน gcd

ตอนนี้เรามาเขียนวิธีแก้ปัญหาสำหรับการค้นหา GCD กันเป็นบรรทัด ค้นหา gcd 10 และ 15

ในเว็บไซต์ข้อมูลของเรา คุณยังสามารถใช้ตัวช่วยออนไลน์ของตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเพื่อตรวจสอบการคำนวณของคุณได้

การหาพหุคูณร่วมน้อยที่สุด วิธี ตัวอย่างการหา LCM

เนื้อหาที่นำเสนอด้านล่างเป็นความต่อเนื่องเชิงตรรกะของทฤษฎีจากบทความชื่อ LCM - ตัวคูณร่วมน้อยที่สุด คำจำกัดความ ตัวอย่าง การเชื่อมโยงระหว่าง LCM และ GCD ที่นี่เราจะพูดถึง การหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM)และเราจะให้ความสนใจเป็นพิเศษกับการแก้ไขตัวอย่าง ขั้นแรก เราจะแสดงวิธีคำนวณ LCM ของตัวเลขสองตัวโดยใช้ GCD ของตัวเลขเหล่านี้ ต่อไป เราจะมาดูการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยการแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ หลังจากนี้ เราจะมุ่งเน้นไปที่การค้นหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป และให้ความสนใจกับการคำนวณ LCM ของจำนวนลบด้วย

การนำทางหน้า

การคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ผ่าน GCD

วิธีหนึ่งในการค้นหาตัวคูณร่วมน้อยจะขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD การเชื่อมต่อที่มีอยู่ระหว่าง LCM และ GCD ช่วยให้เราสามารถคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองตัวผ่านตัวหารร่วมมากที่สุดเท่าที่ทราบ สูตรที่สอดคล้องกันคือ LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). ลองดูตัวอย่างการค้นหา LCM โดยใช้สูตรที่กำหนด

ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 126 และ 70 สองตัว

ในตัวอย่างนี้ a=126 , b=70 ลองใช้การเชื่อมต่อระหว่าง LCM และ GCD ซึ่งแสดงโดยสูตร LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) นั่นคือ ก่อนอื่นเราต้องหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 70 และ 126 ก่อน จากนั้นจึงคำนวณ LCM ของตัวเลขเหล่านี้โดยใช้สูตรที่เขียนไว้

ลองหา GCD(126, 70) โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4 ดังนั้น GCD(126, 70)=14

ตอนนี้เราพบตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการแล้ว: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630

LCM(68, 34) เท่ากับเท่าไร?

เนื่องจาก 68 หารด้วย 34 ลงตัว ดังนั้น GCD(68, 34)=34 ตอนนี้เราคำนวณตัวคูณร่วมน้อย: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68

โปรดทราบว่าตัวอย่างก่อนหน้านี้ตรงกับกฎต่อไปนี้ในการค้นหา LCM สำหรับจำนวนเต็มบวก a และ b: ถ้า a หารด้วย b ลงตัวแล้วตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเหล่านี้ก็คือ a

การค้นหา LCM โดยการแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

อีกวิธีหนึ่งในการค้นหาตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุดก็คือการนำจำนวนแยกตัวประกอบไปเป็นตัวประกอบเฉพาะ หากคุณเขียนผลคูณจากตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของตัวเลขที่กำหนด แล้วแยกปัจจัยเฉพาะทั่วไปทั้งหมดที่มีอยู่ในการสลายตัวของตัวเลขที่กำหนดออกจากผลิตภัณฑ์นี้ ผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนที่กำหนด .

กฎที่ระบุไว้ในการค้นหา LCM ตามมาจากความเท่าเทียมกัน LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) แท้จริงแล้วผลคูณของตัวเลข a และ b เท่ากับผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวเลข a และ b ในทางกลับกัน GCD(a, b) เท่ากับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดที่มีอยู่ในส่วนขยายของตัวเลข a และ b (ดังที่อธิบายไว้ในส่วนการค้นหา GCD โดยใช้การขยายตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ)

ลองยกตัวอย่าง แจ้งให้เราทราบว่า 75=3·5·5 และ 210=2·3·5·7 ลองเขียนผลคูณจากปัจจัยทั้งหมดของการขยายเหล่านี้: 2·3·3·5·5·5·7 ตอนนี้จากผลิตภัณฑ์นี้ เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่มีอยู่ในทั้งการขยายตัวของเลข 75 และการขยายตัวของจำนวน 210 (ปัจจัยเหล่านี้คือ 3 และ 5) จากนั้นผลิตภัณฑ์จะอยู่ในรูปแบบ 2·3·5·5·7 . ค่าของผลิตภัณฑ์นี้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 75 และ 210 ซึ่งก็คือ LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050

แยกตัวประกอบตัวเลข 441 และ 700 เป็นตัวประกอบเฉพาะแล้วหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้

ลองแยกตัวเลข 441 และ 700 เป็นตัวประกอบเฉพาะ:

เราได้ 441=3·3·7·7 และ 700=2·2·5·5·7

ตอนนี้เรามาสร้างผลิตภัณฑ์จากปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวเลขเหล่านี้: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 ให้เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่ปรากฏพร้อมกันในการขยายทั้งสองออกจากผลิตภัณฑ์นี้ (มีเพียงปัจจัยเดียวเท่านั้น - นี่คือหมายเลข 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 ดังนั้น LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100

NOC(441, 700)= 44 100

กฎในการค้นหา LCM โดยใช้การแยกตัวประกอบของตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะสามารถกำหนดสูตรให้แตกต่างออกไปเล็กน้อย ถ้าปัจจัยที่หายไปจากการขยายจำนวน b ถูกบวกเข้ากับปัจจัยจากการขยายตัวของจำนวน a แล้ว ค่าของผลคูณที่ได้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข a และ b

ตัวอย่างเช่น ลองใช้ตัวเลข 75 และ 210 ที่เท่ากัน โดยการสลายตัวของพวกมันเป็นตัวประกอบเฉพาะมีดังนี้ 75=3·5·5 และ 210=2·3·5·7 สำหรับปัจจัย 3, 5 และ 5 จากการขยายตัวของตัวเลข 75 เราได้บวกปัจจัยที่ขาดหายไป 2 และ 7 จากการขยายตัวของตัวเลข 210 เราได้ผลลัพธ์ 2·3·5·5·7 ซึ่งมีค่าเท่ากับ เท่ากับ LCM(75, 210)

ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของ 84 และ 648

ก่อนอื่นเราได้รับการสลายตัวของตัวเลข 84 และ 648 ให้เป็นปัจจัยเฉพาะ พวกมันดูเหมือน 84=2·2·3·7 และ 648=2·2·2·3·3·3·3 สำหรับปัจจัย 2, 2, 3 และ 7 จากการขยายหมายเลข 84 เราบวกปัจจัยที่ขาดหายไป 2, 3, 3 และ 3 จากการขยายหมายเลข 648 เราได้ผลิตภัณฑ์ 2 2 2 3 3 3 3 7 ซึ่งเท่ากับ 4 536 . ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการของ 84 และ 648 คือ 4,536

การค้นหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป

ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปสามารถหาได้โดยการค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัวตามลำดับ ขอให้เรานึกถึงทฤษฎีบทที่สอดคล้องกัน ซึ่งให้วิธีการหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป

ให้เลขจำนวนเต็มบวก a 1 , a 2 , …, a k หาได้ โดยการคำนวณตามลำดับ m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้โดยใช้ตัวอย่างการค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่จำนวน

ค้นหา LCM ของตัวเลขสี่ตัว 140, 9, 54 และ 250

ก่อนอื่นเราหา m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) ในการทำสิ่งนี้ โดยใช้อัลกอริธึมแบบยุคลิด เราจะหา GCD(140, 9) ได้ 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, ดังนั้น GCD(140, 9)=1 โดยที่ LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260 นั่นคือ ม. 2 =1 260.

ตอนนี้เราพบ m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54) ลองคำนวณมันโดยใช้ GCD(1 260, 54) ซึ่งเรายังกำหนดโดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด: 1 260=54·23+18, 54=18·3 จากนั้น gcd(1,260, 54)=18 โดยที่ gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780 นั่นคือ ม. 3 =3 780

ยังคงต้องหา m 4 = LCM(m 3 , a 4) = LCM(3 780, 250) ในการทำเช่นนี้ เราค้นหา GCD(3,780, 250) โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3 ดังนั้น GCD(3,780, 250)=10 โดยที่ GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500 นั่นคือ ม. 4 =94,500.

ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่ตัวเดิมคือ 94,500

ล.ซม.(140, 9, 54, 250)=94,500 .

ในหลายกรณี จะสะดวกที่จะหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปโดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขที่กำหนด ในกรณีนี้คุณควรปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้ ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนหลายจำนวนจะเท่ากับผลคูณซึ่งประกอบด้วยดังนี้ ตัวประกอบที่ขาดหายไปจากการขยายตัวของตัวเลขตัวที่สองจะถูกบวกเข้ากับตัวประกอบทั้งหมดจากการขยายตัวของตัวเลขตัวแรก ตัวประกอบที่หายไปจากการขยายตัวของตัวเลขตัวที่สอง ตัวเลขตัวที่สามจะถูกบวกเข้ากับตัวประกอบผลลัพธ์ และอื่นๆ

ลองดูตัวอย่างการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะ

ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขทั้งห้าตัว 84, 6, 48, 7, 143

อันดับแรก เราจะได้การสลายตัวของจำนวนเหล่านี้ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 เป็นจำนวนเฉพาะ มันเกิดขึ้นพร้อมกัน โดยมีการสลายตัวเป็นปัจจัยเฉพาะ) และ 143=11·13

ในการค้นหา LCM ของตัวเลขเหล่านี้จนถึงตัวประกอบของเลข 84 ตัวแรก (คือ 2, 2, 3 และ 7) คุณต้องบวกปัจจัยที่ขาดหายไปจากการขยายเลขตัวที่สอง 6 การสลายตัวของเลข 6 ไม่มีปัจจัยที่ขาดหายไป เนื่องจากทั้ง 2 และ 3 มีอยู่แล้วในการสลายตัวของเลข 84 ตัวแรก ต่อไปสำหรับปัจจัย 2, 2, 3 และ 7 เราบวกปัจจัยที่หายไป 2 และ 2 จากการขยายตัวของหมายเลขที่สาม 48 เราจะได้ชุดของปัจจัย 2, 2, 2, 2, 3 และ 7 ไม่จำเป็นต้องเพิ่มตัวคูณให้กับชุดนี้ในขั้นตอนถัดไป เนื่องจากมี 7 อยู่แล้ว ในที่สุด สำหรับปัจจัย 2, 2, 2, 2, 3 และ 7 เราได้บวกปัจจัยที่หายไป 11 และ 13 จากการขยายตัวของจำนวน 143 เราได้ผลลัพธ์ 2·2·2·2·3·7·11·13 ซึ่งเท่ากับ 48,048

ดังนั้น LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048

ล.ซม.(84, 6, 48, 7, 143)=48,048

การหาผลคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ

บางครั้งมีงานที่คุณต้องค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข โดยในจำนวนหนึ่ง หลายจำนวนหรือทั้งหมดเป็นลบ ในกรณีเหล่านี้ทุกอย่าง ตัวเลขติดลบคุณต้องแทนที่ด้วยตัวเลขตรงข้าม แล้วหา LCM ของจำนวนบวก นี่คือวิธีการหา LCM ของจำนวนลบ ตัวอย่างเช่น LCM(54, −34) = LCM(54, 34) และ LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888)

เราสามารถทำได้เพราะเซตของตัวคูณของ a เหมือนกับเซตของตัวคูณของ −a (a และ −a เป็นจำนวนที่ตรงกันข้าม) โดยแท้แล้ว ให้ b เป็นผลคูณของ a แล้ว b หารด้วย a ลงตัว และแนวคิดเรื่องการหารลงตัวระบุถึงการมีอยู่ของจำนวนเต็ม q โดยที่ b=a·q แต่ความเท่าเทียมกัน b=(−a)·(−q) จะเป็นจริงเช่นกัน ซึ่งเนื่องจากแนวคิดเดียวกันเรื่องการหารลงตัว หมายความว่า b หารด้วย −a ลงตัว นั่นคือ b เป็นผลคูณของ −a การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน ถ้า b เป็นผลคูณของ −a แล้ว b ก็เป็นผลคูณของ a ด้วย

ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ −145 และ −45

ลองแทนที่ตัวเลขลบ −145 และ −45 ด้วยตัวเลขตรงข้ามกัน 145 และ 45 เรามี LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) เมื่อพิจารณา GCD(145, 45)=5 (เช่น โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด) เราจะคำนวณ GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มลบ −145 และ −45 คือ 1,305

www.cleverstudents.ru

เราเรียนภาคต่อ. ใน บทเรียนนี้เราจะมาดูแนวคิดเช่น จีซีดีและ NOC.

จีซีดีเป็นตัวหารร่วมมาก.

NOCคือตัวคูณร่วมน้อย

หัวข้อนี้ค่อนข้างน่าเบื่อ แต่คุณต้องเข้าใจอย่างแน่นอน หากไม่เข้าใจหัวข้อนี้ คุณจะไม่สามารถทำงานกับเศษส่วนได้อย่างมีประสิทธิภาพซึ่งเป็นอุปสรรคอย่างแท้จริงในวิชาคณิตศาสตร์

ตัวหารร่วมมาก

คำนิยาม. ตัวหารร่วมมากของตัวเลข กและ ข กและ ขแบ่งออกโดยไม่มีเศษเหลือ

เพื่อให้เข้าใจคำจำกัดความนี้ได้ดี เรามาแทนที่ตัวแปรกันดีกว่า กและ ขตัวอย่างเช่น ตัวเลขสองตัวใดๆ แทนที่จะเป็นตัวแปร กลองแทนที่หมายเลข 12 และแทนตัวแปร ขหมายเลข 9 ทีนี้ลองอ่านคำจำกัดความนี้:

ตัวหารร่วมมากของตัวเลข 12 และ 9 เรียกว่าเป็นจำนวนที่มากที่สุดโดยที่ 12 และ 9 แบ่งออกโดยไม่มีเศษเหลือ

จากคำจำกัดความชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงตัวหารร่วมของตัวเลข 12 และ 9 และตัวหารนี้เป็นตัวหารที่ใหญ่ที่สุดของตัวหารที่มีอยู่ทั้งหมด จำเป็นต้องหาตัวหารร่วมมาก (GCD) นี้

การหาตัวหารร่วมมากของตัวเลขสองตัวจะมีการใช้ 3 วิธี วิธีแรกนั้นค่อนข้างใช้แรงงานมาก แต่ช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของหัวข้อได้อย่างชัดเจนและรู้สึกถึงความหมายที่สมบูรณ์

วิธีที่สองและสามนั้นค่อนข้างง่ายและทำให้สามารถค้นหา GCD ได้อย่างรวดเร็ว เราจะดูทั้งสามวิธี และอันไหนที่จะใช้ในทางปฏิบัตินั้นขึ้นอยู่กับคุณที่จะเลือก

วิธีแรกคือการหาตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวเลขสองตัวแล้วเลือกตัวที่มากที่สุด ลองดูวิธีนี้โดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้: หาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 12 และ 9.

ขั้นแรก เราจะหาตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดของจำนวน 12 โดยเราจะหาร 12 ด้วยตัวหารทั้งหมดในช่วงตั้งแต่ 1 ถึง 12 หากตัวหารอนุญาตให้เราหาร 12 โดยไม่มีเศษ เราจะเน้นมันใน สีน้ำเงินและใส่คำอธิบายให้เหมาะสมในวงเล็บ

12: 1 = 12
(12 หารด้วย 1 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 1 เป็นตัวหารของจำนวน 12)

12: 2 = 6
(12 หารด้วย 2 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 2 เป็นตัวหารของจำนวน 12)

12: 3 = 4
(12 หารด้วย 3 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 3 เป็นตัวหารของจำนวน 12)

12: 4 = 3
(12 หารด้วย 4 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 4 เป็นตัวหารของจำนวน 12)

12: 5 = 2 (เหลือ 2)
(12 ไม่หารด้วย 5 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 5 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 12)

12: 6 = 2
(12 หารด้วย 6 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 6 เป็นตัวหารของจำนวน 12)

12: 7 = 1 (เหลือ 5 อัน)
(12 ไม่หารด้วย 7 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 7 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 12)

12: 8 = 1 (เหลือ 4 อัน)
(12 ไม่หารด้วย 8 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 8 ไม่ใช่ตัวหารของ 12)

12: 9 = 1 (เหลือ 3 อัน)
(12 ไม่หารด้วย 9 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 9 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 12)

12: 10 = 1 (เหลือ 2 อัน)
(12 ไม่หารด้วย 10 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 10 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 12)

12: 11 = 1 (เหลือ 1 อัน)
(12 ไม่หารด้วย 11 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 11 ไม่ใช่ตัวหารของ 12)

12: 12 = 1
(12 หารด้วย 12 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 12 เป็นตัวหารของจำนวน 12)

ทีนี้ เรามาค้นหาตัวหารของเลข 9 กันดีกว่า โดยตรวจสอบตัวหารทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 9

9: 1 = 9
(9 หารด้วย 1 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 1 เป็นตัวหารของตัวเลข 9)

9: 2 = 4 (เหลือ 1 อัน)
(9 ไม่หารด้วย 2 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 2 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 9)

9: 3 = 3
(9 หารด้วย 3 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 3 เป็นตัวหารของตัวเลข 9)

9: 4 = 2 (เหลือ 1 อัน)
(9 ไม่หารด้วย 4 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 4 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 9)

9: 5 = 1 (เหลือ 4 อัน)
(9 ไม่หารด้วย 5 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 5 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 9)

9: 6 = 1 (เหลือ 3 อัน)
(9 ไม่หารด้วย 6 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 6 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 9)

9: 7 = 1 (เหลือ 2)
(9 ไม่หารด้วย 7 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 7 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 9)

9: 8 = 1 (เหลือ 1 อัน)
(9 ไม่หารด้วย 8 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่า 8 ไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 9)

9: 9 = 1
(9 หารด้วย 9 โดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายถึง 9 เป็นตัวหารของจำนวน 9)

ทีนี้ ลองเขียนตัวหารของตัวเลขทั้งสองลงไป. ตัวเลขที่เน้นด้วยสีน้ำเงินเป็นตัวหาร มาเขียนกัน:

เมื่อเขียนตัวหารแล้ว คุณสามารถระบุได้ทันทีว่าตัวใดมีค่ามากที่สุดและพบมากที่สุด

ตามคำนิยาม ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของเลข 12 และ 9 คือจำนวนที่หาร 12 และ 9 โดยไม่มีเศษ ตัวหารร่วมมากสุดของเลข 12 และ 9 คือเลข 3

ทั้งหมายเลข 12 และหมายเลข 9 หารด้วย 3 ลงตัวโดยไม่มีเศษ:

ดังนั้น gcd (12 และ 9) = 3

วิธีที่สองในการค้นหา GCD

ทีนี้ เรามาดูวิธีที่สองในการหาตัวหารร่วมมากกันดีกว่า สาระสำคัญของวิธีนี้คือการแยกตัวเลขทั้งสองให้เป็นตัวประกอบเฉพาะและคูณค่าร่วม

ตัวอย่างที่ 1. ค้นหา gcd ของตัวเลข 24 และ 18

ขั้นแรก นำตัวเลขทั้งสองมาแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ:

ทีนี้ลองคูณตัวประกอบร่วมของมันดู. เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน สามารถเน้นปัจจัยทั่วไปได้

เราดูที่การขยายตัวของเลข 24 ปัจจัยแรกคือ 2 เรามองหาปัจจัยเดียวกันในการขยายตัวของเลข 18 และเห็นว่ามีอยู่ด้วย เราเน้นทั้งสองอย่าง:

เราดูการขยายตัวของเลข 24 อีกครั้ง ปัจจัยที่สองก็คือ 2 เช่นกัน เรามองหาปัจจัยเดียวกันในการขยายตัวของเลข 18 และพบว่าเป็นครั้งที่สองที่มันไม่อยู่ที่นั่นอีกต่อไป แล้วเราไม่เน้นอะไร

สองอันถัดไปในส่วนขยายของหมายเลข 24 ก็หายไปในส่วนขยายของหมายเลข 18 เช่นกัน

เรามาดูปัจจัยสุดท้ายในการขยายตัวของเลข 24 กันดีกว่า นี่คือปัจจัย 3 เรามองหาปัจจัยเดียวกันในการขยายตัวของเลข 18 แล้วเห็นว่ามีอยู่ด้วย เราเน้นทั้งสามประการ:

ดังนั้น ตัวประกอบร่วมของตัวเลข 24 และ 18 คือตัวประกอบ 2 และ 3 หากต้องการรับ GCD จะต้องคูณปัจจัยเหล่านี้:

ดังนั้น gcd (24 และ 18) = 6

วิธีที่สามในการค้นหา GCD

ทีนี้ เรามาดูวิธีที่สามในการหาตัวหารร่วมมากกันดีกว่า สาระสำคัญของวิธีนี้คือ ตัวเลขที่จะหาได้สำหรับตัวหารร่วมที่มากที่สุดนั้นจะถูกแยกย่อยออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้น จากการขยายตัวเลขแรก ตัวประกอบที่ไม่รวมอยู่ในการขยายตัวเลขตัวที่สองจะถูกขีดฆ่าทิ้งไป ตัวเลขที่เหลือในส่วนขยายแรกจะถูกคูณและรับ GCD

เช่น ลองหา GCD สำหรับตัวเลข 28 และ 16 โดยใช้วิธีนี้ ก่อนอื่น เราแยกตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:

เรามีส่วนขยายสองรายการ: และ

ตอนนี้จากการสลายตัวของตัวเลขแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการสลายตัวของตัวเลขที่สอง การขยายตัวเลขที่สองไม่รวมเจ็ด เรามาข้ามมันออกจากส่วนขยายแรกกัน:

ตอนนี้เราคูณปัจจัยที่เหลือและรับ GCD:

เลข 4 เป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 28 และ 16 ตัวเลขทั้งสองนี้หารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษ:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหา gcd ของตัวเลข 100 และ 40

แยกตัวประกอบจำนวน 100

แยกตัวประกอบจำนวน 40

เรามีส่วนขยายสองรายการ:

ตอนนี้จากการสลายตัวของตัวเลขแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการสลายตัวของตัวเลขที่สอง การขยายตัวเลขที่สองไม่รวมหนึ่งห้า (มีเพียงห้าเดียวเท่านั้น) เรามาข้ามมันออกจากส่วนขยายแรกกันดีกว่า

ลองคูณตัวเลขที่เหลือ:

เราได้รับคำตอบ 20 ซึ่งหมายความว่าตัวเลข 20 เป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 100 และ 40 ตัวเลขสองตัวนี้หารด้วย 20 ลงตัวโดยไม่มีเศษ:

GCD (100 และ 40) = 20

ตัวอย่างที่ 3ค้นหา gcd ของตัวเลข 72 และ 128

แยกตัวประกอบจำนวน 72

แยกตัวประกอบจำนวน 128

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

ตอนนี้จากการสลายตัวของตัวเลขแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการสลายตัวของตัวเลขที่สอง การขยายหมายเลขที่สองไม่รวมแฝดสองตัว (ไม่มีเลย) เรามาขีดฆ่าพวกมันออกจากส่วนขยายแรกกัน:

เราได้รับคำตอบ 8 ซึ่งหมายความว่าเลข 8 เป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 72 และ 128 ตัวเลขสองตัวนี้หารด้วย 8 ลงตัวโดยไม่มีเศษ:

GCD (72 และ 128) = 8

ค้นหา GCD สำหรับตัวเลขหลายตัว

ตัวหารร่วมมากสามารถหาได้จากหลายจำนวน ไม่ใช่เพียงสองเท่านั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ตัวเลขที่จะหาได้สำหรับตัวหารร่วมมากจะถูกแบ่งออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นจึงหาผลคูณของตัวประกอบร่วมเฉพาะของตัวเลขเหล่านี้

ตัวอย่างเช่น ลองหา GCD สำหรับตัวเลข 18, 24 และ 36

ลองแยกตัวประกอบของจำนวน 18 กัน

ลองแยกตัวประกอบของจำนวน 24 กัน

ลองแยกตัวประกอบของจำนวน 36 กัน

เรามีส่วนขยายสามแบบ:

ทีนี้มาเน้นและขีดเส้นใต้ปัจจัยร่วมของตัวเลขเหล่านี้กัน ปัจจัยทั่วไปจะต้องปรากฏในตัวเลขทั้งสามตัว:

เราจะเห็นว่าตัวประกอบร่วมของตัวเลข 18, 24 และ 36 คือตัวประกอบ 2 และ 3 เมื่อคูณตัวประกอบเหล่านี้ เราจะได้ gcd ที่เรากำลังมองหา:

เราได้รับคำตอบ 6 ซึ่งหมายความว่าเลข 6 เป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 18, 24 และ 36 ตัวเลขทั้งสามนี้หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษ:

GCD (18, 24 และ 36) = 6

ตัวอย่างที่ 2ค้นหา GCD สำหรับหมายเลข 12, 24, 36 และ 42

ลองแยกตัวเลขแต่ละตัวให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ. จากนั้นเราจะหาผลคูณของตัวประกอบร่วมของตัวเลขเหล่านี้

ลองแยกตัวประกอบของจำนวน 12 กัน

ลองแยกตัวประกอบของจำนวน 42 กัน

เรามีส่วนขยายสี่แบบ:

ทีนี้มาเน้นและขีดเส้นใต้ปัจจัยร่วมของตัวเลขเหล่านี้กัน ปัจจัยทั่วไปจะต้องปรากฏในตัวเลขทั้งสี่ตัว:

เราจะเห็นว่าตัวประกอบร่วมของตัวเลข 12, 24, 36 และ 42 คือตัวประกอบของ 2 และ 3 เมื่อคูณตัวประกอบเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้ gcd ที่เรากำลังมองหา:

เราได้รับคำตอบ 6 ซึ่งหมายความว่าเลข 6 เป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 12, 24, 36 และ 42 ตัวเลขเหล่านี้หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษ:

GCD (12, 24, 36 และ 42) = 6

จากบทเรียนที่แล้ว เรารู้ว่าถ้าจำนวนหนึ่งถูกหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งโดยไม่มีเศษ จะเรียกว่าผลคูณของจำนวนนี้

ปรากฎว่าตัวเลขหลายตัวสามารถมีตัวคูณร่วมได้ และตอนนี้ เราจะสนใจตัวคูณของตัวเลขสองตัว และมันควรมีค่าน้อยที่สุด.

คำนิยาม. ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลข กและ ข- กและ ข กและหมายเลข ข.

คำจำกัดความมีสองตัวแปร กและ ข. ลองแทนตัวเลขสองตัวใดๆ แทนตัวแปรเหล่านี้ เช่น แทนที่จะเป็นตัวแปร กลองแทนที่หมายเลข 9 และแทนตัวแปร ขแทนที่หมายเลข 12 ทีนี้ลองอ่านคำจำกัดความ:

ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลข 9 และ 12 - คือจำนวนที่น้อยที่สุดที่เป็นจำนวนเท่าของ 9 และ 12 . กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่เป็นจำนวนเล็กน้อยที่หารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ 9 และตามหมายเลข 12 .

จากคำจำกัดความจะชัดเจนว่า LCM เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 9 และ 12 ลงตัวโดยไม่มีเศษ ต้องค้นหา LCM นี้

หากต้องการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) คุณสามารถใช้สองวิธี วิธีแรกคือคุณสามารถจดจำนวนทวีคูณแรกของตัวเลขสองตัว จากนั้นเลือกตัวเลขที่จะเหมือนกันทั้งจำนวนและจำนวนน้อยจากจำนวนทวีคูณเหล่านี้ ลองใช้วิธีนี้กัน

ก่อนอื่น มาหาผลคูณแรกของเลข 9 กันก่อน หากต้องการหาผลคูณของ 9 คุณต้องคูณเลขเก้านี้ทีละตัวด้วยตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นผลคูณของเลข 9 ดังนั้น เอาล่ะ. เราจะเน้นหลายรายการด้วยสีแดง:

ตอนนี้เราพบผลคูณของเลข 12 แล้ว เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะคูณ 12 ทีละตัวด้วยตัวเลขทั้งหมด 1 ถึง 12