การค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม ตัวแปรสุ่ม

แนวคิดเรื่องความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สามารถพิจารณาได้โดยใช้ตัวอย่างการขว้างลูกเต๋า ในการโยนแต่ละครั้ง คะแนนที่ดรอปจะถูกบันทึก ในการแสดงออกจะใช้ค่าธรรมชาติในช่วง 1 – 6

หลังจากการโยนไปจำนวนหนึ่งโดยใช้การคำนวณง่ายๆ คุณจะพบค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนที่ทอยได้

เช่นเดียวกับการเกิดขึ้นของค่าใดๆ ในช่วง ค่านี้จะเป็นแบบสุ่ม

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณเพิ่มจำนวนการขว้างหลายครั้ง? ด้วยการโยนจำนวนมาก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนจะเข้าใกล้จำนวนเฉพาะ ซึ่งในทฤษฎีความน่าจะเป็นเรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ดังนั้น ตามความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เราหมายถึงค่าเฉลี่ย ตัวแปรสุ่ม. ตัวบ่งชี้นี้ยังสามารถแสดงเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของค่ามูลค่าที่เป็นไปได้

แนวคิดนี้มีคำพ้องความหมายหลายประการ:

• ค่าเฉลี่ย;
• ค่าเฉลี่ย;
• ตัวบ่งชี้แนวโน้มศูนย์กลาง
• ช่วงแรก

กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันไม่มีอะไรมากไปกว่าตัวเลขที่มีการแจกแจงค่าของตัวแปรสุ่ม

ใน สาขาต่างๆ กิจกรรมของมนุษย์แนวทางในการทำความเข้าใจความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะแตกต่างกันบ้าง

ถือได้ว่าเป็น:

• ผลประโยชน์โดยเฉลี่ยที่ได้รับจากการตัดสินใจเมื่อพิจารณาการตัดสินใจดังกล่าวจากมุมมองของทฤษฎีจำนวนมาก
• จำนวนการชนะหรือแพ้ที่เป็นไปได้ (ทฤษฎีการพนัน) คำนวณโดยเฉลี่ยสำหรับการเดิมพันแต่ละครั้ง ในคำสแลง ฟังดูเหมือน “ความได้เปรียบของผู้เล่น” (แง่บวกสำหรับผู้เล่น) หรือ “ความได้เปรียบของคาสิโน” (แง่ลบสำหรับผู้เล่น)
• เปอร์เซ็นต์ของกำไรที่ได้รับจากการชนะ

ความคาดหวังไม่จำเป็นสำหรับตัวแปรสุ่มทั้งหมด ไม่มีสำหรับผู้ที่มีความคลาดเคลื่อนในผลรวมหรือปริพันธ์ที่สอดคล้องกัน

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

เช่นเดียวกับพารามิเตอร์ทางสถิติอื่นๆ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

สูตรพื้นฐานสำหรับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

การคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สามารถทำได้ทั้งสำหรับตัวแปรสุ่มที่มีทั้งความต่อเนื่อง (สูตร A) และความไม่ต่อเนื่อง (สูตร B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi โดยที่ xi คือค่าของตัวแปรสุ่ม pi คือความน่าจะเป็น:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx โดยที่ f(x) คือความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่กำหนด

ตัวอย่างการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่าง ก.

เป็นไปได้ไหมที่จะค้นหา ความสูงเฉลี่ยคนแคระในเทพนิยายเกี่ยวกับสโนว์ไวท์ เป็นที่ทราบกันว่าคนแคระทั้ง 7 แต่ละคนมีความสูงที่แน่นอน: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 และ 0.81 ม.

อัลกอริธึมการคำนวณค่อนข้างง่าย:

• เราค้นหาผลรวมของค่าทั้งหมดของตัวบ่งชี้การเติบโต (ตัวแปรสุ่ม):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• หารจำนวนผลลัพธ์ด้วยจำนวนโนมส์:
  6,31:7=0,90.

ดังนั้นความสูงเฉลี่ยของพวกโนมส์ในเทพนิยายคือ 90 ซม. กล่าวอีกนัยหนึ่งนี่คือ มูลค่าที่คาดหวังการเติบโตของพวกโนมส์

สูตรการทำงาน - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

การนำความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไปใช้ในทางปฏิบัติ

การคำนวณตัวบ่งชี้ทางสถิติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ถูกนำมาใช้ในพื้นที่ต่างๆ ของกิจกรรมภาคปฏิบัติ ก่อนอื่น เรากำลังพูดถึงขอบเขตเชิงพาณิชย์ ท้ายที่สุดแล้ว การแนะนำตัวบ่งชี้นี้ของ Huygens เกี่ยวข้องกับการกำหนดโอกาสที่อาจเป็นผลดี หรือในทางกลับกัน อาจเป็นผลเสียในบางเหตุการณ์

พารามิเตอร์นี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในการประเมินความเสี่ยง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพูดถึงการลงทุนทางการเงิน
ดังนั้นในทางธุรกิจ การคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จึงทำหน้าที่เป็นวิธีการประเมินความเสี่ยงในการคำนวณราคา

ตัวบ่งชี้นี้ยังสามารถใช้เพื่อคำนวณประสิทธิภาพของมาตรการบางอย่าง เช่น การคุ้มครองแรงงาน ด้วยเหตุนี้คุณจึงสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้

การประยุกต์ใช้พารามิเตอร์นี้อีกด้านคือการจัดการ นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณได้ในระหว่างการควบคุมคุณภาพผลิตภัณฑ์ เช่น การใช้เสื่อ ความคาดหวังคุณสามารถคำนวณจำนวนชิ้นส่วนที่ชำรุดที่ผลิตได้

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ยังเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้เมื่อดำเนินการประมวลผลทางสถิติของผลลัพธ์ที่ได้รับระหว่างการวิจัยทางวิทยาศาสตร์ ช่วยให้คุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ต้องการหรือไม่พึงประสงค์ของการทดลองหรือการศึกษา ขึ้นอยู่กับระดับความสำเร็จของเป้าหมาย ท้ายที่สุดแล้ว ความสำเร็จสามารถเชื่อมโยงกับกำไรและผลประโยชน์ และความล้มเหลวอาจเชื่อมโยงกับการสูญเสียหรือการสูญเสีย

การใช้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ใน Forex

การใช้งานจริงของพารามิเตอร์ทางสถิตินี้เป็นไปได้เมื่อทำธุรกรรมในตลาดแลกเปลี่ยนเงินตราต่างประเทศ ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถวิเคราะห์ความสำเร็จของธุรกรรมการค้าได้ นอกจากนี้ การเพิ่มขึ้นของค่าความคาดหวังบ่งชี้ถึงความสำเร็จที่เพิ่มขึ้น

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ควรถือเป็นพารามิเตอร์ทางสถิติเพียงตัวเดียวที่ใช้ในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของเทรดเดอร์ การใช้พารามิเตอร์ทางสถิติหลายตัวร่วมกับค่าเฉลี่ยจะช่วยเพิ่มความแม่นยำของการวิเคราะห์อย่างมาก

พารามิเตอร์นี้พิสูจน์ตัวเองได้ดีในการติดตามการสังเกตบัญชีซื้อขาย ด้วยเหตุนี้จึงสามารถประเมินงานที่ทำในบัญชีเงินฝากได้อย่างรวดเร็ว ในกรณีที่กิจกรรมของเทรดเดอร์ประสบความสำเร็จและหลีกเลี่ยงการสูญเสีย ไม่แนะนำให้ใช้การคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียว ในกรณีเหล่านี้ จะไม่คำนึงถึงความเสี่ยง ซึ่งจะทำให้ประสิทธิภาพของการวิเคราะห์ลดลง

ดำเนินการศึกษากลยุทธ์ของเทรดเดอร์ระบุว่า:

• กลยุทธ์ที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดคือกลยุทธ์ที่อิงจากการสุ่ม
• กลยุทธ์ที่มีประสิทธิภาพน้อยที่สุดคือกลยุทธ์ที่อิงตามปัจจัยการผลิตที่มีโครงสร้าง

ในการบรรลุผลลัพธ์เชิงบวก สิ่งสำคัญไม่น้อยไปกว่าคือ:

• กลยุทธ์การจัดการเงิน
• กลยุทธ์การออก

การใช้ตัวบ่งชี้ดังกล่าวเป็นการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ คุณสามารถคาดการณ์ได้ว่ากำไรหรือขาดทุนจะเป็นอย่างไรเมื่อลงทุน 1 ดอลลาร์ เป็นที่ทราบกันดีว่าตัวบ่งชี้นี้ซึ่งคำนวณสำหรับเกมทั้งหมดที่เล่นในคาสิโนนั้นเป็นที่โปรดปรานของสถานประกอบการ นี่คือสิ่งที่ช่วยให้คุณสร้างรายได้ ในกรณีที่มีเกมติดต่อกันเป็นเวลานาน โอกาสที่ลูกค้าจะสูญเสียเงินจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก

เกมที่เล่นโดยผู้เล่นมืออาชีพจะถูกจำกัดไว้ในช่วงเวลาสั้นๆ ซึ่งจะเพิ่มโอกาสในการชนะและลดความเสี่ยงในการแพ้ รูปแบบเดียวกันนี้จะสังเกตได้เมื่อดำเนินการลงทุน

นักลงทุนสามารถสร้างรายได้จำนวนมากด้วยความคาดหวังและการดำเนินการเชิงบวก ปริมาณมากการทำธุรกรรมในช่วงเวลาอันสั้น

ความคาดหวังถือได้ว่าเป็นความแตกต่างระหว่างเปอร์เซ็นต์ของกำไร (PW) คูณด้วยกำไรเฉลี่ย (AW) และความน่าจะเป็นของการสูญเสีย (PL) คูณด้วยการสูญเสียโดยเฉลี่ย (AL)

ตามตัวอย่าง เราสามารถพิจารณาสิ่งต่อไปนี้: ตำแหน่ง – 12.5 พันดอลลาร์ พอร์ตโฟลิโอ – 100,000 ดอลลาร์ ความเสี่ยงเงินฝาก – 1% ความสามารถในการทำกำไรของการทำธุรกรรมคือ 40% ของกรณีเมื่อ กำไรเฉลี่ย 20%. ในกรณีที่ขาดทุนจะขาดทุนเฉลี่ยอยู่ที่ 5% การคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับธุรกรรมจะให้มูลค่า 625 ดอลลาร์

ภารกิจที่ 1ความน่าจะเป็นของการงอกของเมล็ดข้าวสาลีคือ 0.9 ความน่าจะเป็นที่เมล็ดหว่านสี่เมล็ด จะมีอย่างน้อยสามเมล็ดที่จะงอกเป็นเท่าใด

สารละลาย. ให้จัดงาน ก– จาก 4 เมล็ด อย่างน้อย 3 เมล็ดจะงอก เหตุการณ์ ใน– จาก 4 เมล็ด 3 เมล็ดจะงอก; เหตุการณ์ กับ– จาก 4 เมล็ด 4 เมล็ดจะงอก โดยทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น
และ
เรากำหนดโดยสูตรของเบอร์นูลลี นำไปใช้ในกรณีต่อไปนี้ ให้จัดซีรีย์เลย ปการทดสอบอิสระ โดยในแต่ละการทดสอบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเกิดขึ้นคงที่และเท่ากับ รและความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นี้จะไม่เกิดขึ้นจะเท่ากับ
. แล้วความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นั้น กวี ปการทดสอบจะปรากฏขึ้นอย่างแน่นอน ครั้ง คำนวณโดยใช้สูตรของแบร์นูลลี

,

ที่ไหน
– จำนวนชุดค่าผสมของ ปองค์ประกอบโดย . แล้ว

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

ภารกิจที่ 2ความน่าจะเป็นของการงอกของเมล็ดข้าวสาลีคือ 0.9 จงหาความน่าจะเป็นที่เมล็ดหว่านไปแล้ว 400 เมล็ด จะมีเมล็ดงอก 350 เมล็ด

สารละลาย. คำนวณความน่าจะเป็นที่ต้องการ
การใช้สูตรของเบอร์นูลลีเป็นเรื่องยากเนื่องจากการคำนวณยุ่งยาก ดังนั้นเราจึงใช้สูตรโดยประมาณที่แสดงทฤษฎีบทท้องถิ่นของลาปลาซ:

,

ที่ไหน
และ
.

จากสภาพปัญหา แล้ว

.

จากตารางที่ 1 ของภาคผนวกที่เราพบ ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ

ภารกิจที่ 3เมล็ดข้าวสาลีมีวัชพืช 0.02% ความน่าจะเป็นที่ถ้าสุ่มเลือก 10,000 เมล็ด จะเจอเมล็ดวัชพืช 6 เมล็ดเป็นเท่าใด

สารละลาย. การประยุกต์ทฤษฎีบทท้องถิ่นของลาปลาซเนื่องจากมีความน่าจะเป็นต่ำ
นำไปสู่การเบี่ยงเบนอย่างมีนัยสำคัญของความน่าจะเป็นจากค่าที่แน่นอน
. ดังนั้นด้วยค่าที่น้อย รการคำนวณ
ใช้สูตรปัวซองเชิงเส้นกำกับ

, ที่ไหน .

สูตรนี้ใช้เมื่อ
และยิ่งน้อย รและอื่น ๆ ปยิ่งได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น

ตามเงื่อนไขของปัญหา
;
. แล้ว

ภารกิจที่ 4เปอร์เซ็นต์การงอกของเมล็ดข้าวสาลีคือ 90% ค้นหาความน่าจะเป็นที่เมล็ดที่หว่านไว้ 500 เมล็ด จาก 400 ถึง 440 เมล็ดจะงอก

สารละลาย. หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเกิดขึ้น กในแต่ละ ปการทดสอบมีความคงที่และเท่าเทียมกัน รแล้วความน่าจะเป็น
ว่าเหตุการณ์นั้น กในการทดสอบดังกล่าวจะไม่น้อยไปกว่านี้ ครั้งเดียวและไม่มีอีกแล้ว เวลาที่กำหนดโดยทฤษฎีบทอินทิกรัลของลาปลาซโดยสูตรต่อไปนี้:

, ที่ไหน

,
.

การทำงาน
เรียกว่าฟังก์ชันลาปลาซ ภาคผนวก (ตารางที่ 2) ให้ค่าของฟังก์ชันนี้สำหรับ
. ที่
การทำงาน
. สำหรับค่าลบ เอ็กซ์เนื่องจากความแปลกประหลาดของฟังก์ชันลาปลาซ
. เมื่อใช้ฟังก์ชัน Laplace เรามี:

ตามเงื่อนไขของงาน เราพบโดยใช้สูตรข้างต้น
และ :

ภารกิจที่ 5ให้กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์:

2. ค้นหา: 1) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์; 2) การกระจายตัว; 3) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สารละลาย. 1) หากตารางให้กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

2. โดยที่บรรทัดแรกมีค่าของตัวแปรสุ่ม x และบรรทัดที่สองมีความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้ จากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะคำนวณโดยใช้สูตร

2) ความแปรปรวน
ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั่นคือ

ค่านี้เป็นลักษณะเฉพาะของค่าคาดหวังโดยเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบนกำลังสอง เอ็กซ์จาก
. จากสูตรสุดท้ายที่เรามี

ความแปรปรวน
สามารถพบได้ในอีกทางหนึ่ง โดยขึ้นอยู่กับคุณสมบัติดังต่อไปนี้: การกระจายตัว
เท่ากับความแตกต่างระหว่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
, นั่นคือ

การคำนวณ
เรามาเขียนกฎการกระจายของปริมาณกันดังต่อไปนี้
:

3) เพื่อระบุลักษณะการกระเจิงของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มรอบค่าเฉลี่ย จะมีการแนะนำส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์, เท่ากัน รากที่สองจากความแปรปรวน
, นั่นคือ

.

จากสูตรนี้เราจะได้:

ภารกิจที่ 6ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์กำหนดโดยฟังก์ชันการแจกแจงสะสม

ค้นหา: 1) ฟังก์ชันการกระจายส่วนต่าง
; 2) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
; 3) ความแปรปรวน
.

สารละลาย. 1) ฟังก์ชันการกระจายส่วนต่าง
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์เรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันการแจกแจงสะสม
, นั่นคือ

.

ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลที่ต้องการมีรูปแบบดังนี้:

2) ถ้าเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์กำหนดโดยฟังก์ชัน
จากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมันจะถูกกำหนดโดยสูตร

ตั้งแต่ฟังก์ชั่น
ที่
และที่
เท่ากับศูนย์แล้วจากสูตรสุดท้ายที่เรามี

.

3) ความแปรปรวน
เราจะกำหนดโดยสูตร

ภารกิจที่ 7ความยาวของชิ้นส่วนเป็นตัวแปรสุ่มแบบกระจายปกติโดยมีค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ 40 มม. และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 มม. ค้นหา: 1) ความน่าจะเป็นที่ความยาวของชิ้นส่วนที่นำมาโดยพลการจะมากกว่า 34 มม. และน้อยกว่า 43 มม. 2) ความน่าจะเป็นที่ความยาวของชิ้นส่วนจะเบี่ยงเบนไปจากการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ไม่เกิน 1.5 มม.

สารละลาย. 1) เอาล่ะ เอ็กซ์– ความยาวของส่วน ถ้าเป็นตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ที่ให้ไว้ ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล
แล้วความน่าจะเป็นนั้น เอ็กซ์จะนำค่าที่เป็นของกลุ่ม
ถูกกำหนดโดยสูตร

.

ความน่าจะเป็นของความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด
ถูกกำหนดโดยสูตรเดียวกัน ถ้าเป็นตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์กระจายไปทั่ว กฎหมายปกติ, ที่

, (1)

ที่ไหน
– ฟังก์ชั่นลาปลาซ
.

ในการปฏิบัติหน้าที่ แล้ว

2) ตามเงื่อนไขของปัญหา โดยที่
. เมื่อแทนค่าใน (1) เราได้

. (2)

จากสูตร (2) เรามี

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือคำจำกัดความ

รุกฆาตที่รอคอยคือหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในสถิติทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งกำหนดลักษณะการกระจายตัวของค่าหรือ ความน่าจะเป็นตัวแปรสุ่ม. โดยทั่วไปจะแสดงเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของพารามิเตอร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม ใช้กันอย่างแพร่หลายใน การวิเคราะห์ทางเทคนิคการศึกษาอนุกรมจำนวน การศึกษากระบวนการต่อเนื่องและระยะยาว เป็นสิ่งสำคัญในการประเมินความเสี่ยง ทำนายตัวบ่งชี้ราคาเมื่อทำการซื้อขายในตลาดการเงิน และใช้ในการพัฒนากลยุทธ์และวิธีการของกลยุทธ์การเล่นเกม ทฤษฎีการพนัน.

รุกฆาตรออยู่- นี้ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม การแจกแจง ความน่าจะเป็นตัวแปรสุ่มถือเป็นตัวแปรสุ่มในทฤษฎีความน่าจะเป็น

รุกฆาตที่รอคอยคือการวัดค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มในทฤษฎีความน่าจะเป็น รุกฆาตความคาดหวังของตัวแปรสุ่ม xแสดงโดย เอ็ม(เอ็กซ์).

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

รุกฆาตที่รอคอยคือ

รุกฆาตที่รอคอยคือในทฤษฎีความน่าจะเป็น ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ตัวแปรสุ่มสามารถรับได้

รุกฆาตที่รอคอยคือผลรวมของผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

รุกฆาตที่รอคอยคือประโยชน์โดยเฉลี่ยจากการตัดสินใจครั้งใดครั้งหนึ่ง โดยมีเงื่อนไขว่าการตัดสินใจดังกล่าวสามารถพิจารณาได้ภายในกรอบของทฤษฎีจำนวนมากและระยะทางไกล

รุกฆาตที่รอคอยคือในทฤษฎีการพนัน จำนวนเงินชนะที่นักเก็งกำไรสามารถรับหรือแพ้ได้โดยเฉลี่ยในการเดิมพันแต่ละครั้ง ในภาษาการพนัน นักเก็งกำไรบางครั้งเรียกว่า “ข้อได้เปรียบ” นักเก็งกำไร“ (หากเป็นผลบวกต่อนักเก็งกำไร) หรือ “เฮ้าส์เอจ” (หากเป็นผลลบต่อนักเก็งกำไร)

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

เหมือนกัน คุกกี้สำหรับเว็บไซต์ที่ดีที่สุด Wenn Sie diese เว็บไซต์ของ weiterhin nutzen, กระตุ้น Sie dem zu. ตกลง

– จำนวนเด็กผู้ชายในจำนวนทารกแรกเกิด 10 คน

เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่าไม่ทราบจำนวนนี้ล่วงหน้า และเด็ก 10 คนถัดไปที่เกิดอาจรวมถึง:

หรือเด็กผู้ชาย - หนึ่งเดียวเท่านั้นจากตัวเลือกที่แสดงไว้

และเพื่อรักษารูปร่างให้มีการพลศึกษาเล็กน้อย:

– ระยะกระโดดไกล (ในบางยูนิต).

แม้แต่ผู้เชี่ยวชาญด้านกีฬาก็ไม่สามารถคาดเดาได้ :)

อย่างไรก็ตาม สมมติฐานของคุณ?

2) ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง – ยอมรับ ทั้งหมดค่าตัวเลขจากช่วงจำกัดหรือช่วงอนันต์

บันทึก : วี วรรณกรรมการศึกษาตัวย่อยอดนิยม DSV และ NSV

ก่อนอื่น เรามาวิเคราะห์ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องกันก่อน จากนั้น - อย่างต่อเนื่อง.

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

- นี้ การโต้ตอบระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณนี้และความน่าจะเป็น บ่อยครั้งที่กฎหมายเขียนไว้ในตาราง:

คำนี้ปรากฏค่อนข้างบ่อย แถว การกระจายแต่ในบางสถานการณ์อาจฟังดูคลุมเครือ ดังนั้นฉันจะยึดติดกับ "กฎหมาย"

และตอนนี้ มาก จุดสำคัญ : เนื่องจากเป็นตัวแปรสุ่ม อย่างจำเป็นจะยอมรับ หนึ่งในค่านิยมจากนั้นเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องจะเกิดขึ้น เต็มกลุ่มและผลรวมของความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นมีค่าเท่ากับหนึ่ง:

หรือถ้าเขียนย่อ:

ตัวอย่างเช่น กฎการกระจายความน่าจะเป็นของแต้มที่ทอยบนลูกเต๋ามีรูปแบบดังนี้:

ไม่มีความคิดเห็น.

คุณอาจรู้สึกว่าตัวแปรสุ่มแบบแยกสามารถรับเฉพาะค่าจำนวนเต็ม "ดี" เท่านั้น มาปัดเป่าภาพลวงตา - พวกมันสามารถเป็นอะไรก็ได้:

ตัวอย่างที่ 1

เกมบางเกมมีกฎการจำหน่ายที่ชนะดังต่อไปนี้:

...คุณคงฝันถึงงานแบบนี้มานานแล้ว :) ฉันจะบอกความลับกับคุณ - ฉันก็เหมือนกัน โดยเฉพาะหลังจากทำงานเสร็จแล้ว ทฤษฎีภาคสนาม.

สารละลาย: เนื่องจากตัวแปรสุ่มสามารถรับค่าได้เพียงค่าเดียวจากสามค่า เหตุการณ์จึงจะเกิดขึ้น เต็มกลุ่มซึ่งหมายความว่าผลรวมของความน่าจะเป็นมีค่าเท่ากับหนึ่ง:

การเปิดเผย "พรรคพวก":

– ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะชนะหน่วยทั่วไปคือ 0.4

การควบคุม: นั่นคือสิ่งที่เราต้องทำให้แน่ใจ

คำตอบ:

ไม่ใช่เรื่องแปลกเมื่อคุณจำเป็นต้องร่างกฎหมายการจำหน่ายด้วยตัวเอง สำหรับสิ่งนี้พวกเขาใช้ คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น, ทฤษฎีบทการคูณ/การบวกสำหรับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และชิปอื่นๆ เทอร์เวรา:

ตัวอย่างที่ 2

ในกล่องประกอบด้วยตั๋วลอตเตอรี 50 ใบ โดย 12 ใบถูกรางวัล และ 2 ใบในนั้นถูกรางวัลละ 1,000 รูเบิล และที่เหลือใบละ 100 รูเบิล ร่างกฎสำหรับการแจกแจงตัวแปรสุ่ม - ขนาดของเงินรางวัลหากมีการสุ่มตั๋วหนึ่งใบจากกล่อง

สารละลาย: อย่างที่คุณสังเกตเห็น ค่าของตัวแปรสุ่มมักจะถูกวางไว้ในนั้น ตามลำดับจากน้อยไปหามาก. ดังนั้นเราจึงเริ่มต้นด้วยเงินรางวัลที่น้อยที่สุดนั่นคือรูเบิล

มีตั๋วทั้งหมด 50 ใบ - 12 = 38 และตาม คำจำกัดความแบบคลาสสิก:
– ความน่าจะเป็นที่ตั๋วสุ่มจะเป็นผู้แพ้

ในกรณีอื่นๆ ทุกอย่างก็เรียบง่าย ความน่าจะเป็นที่จะชนะรูเบิลคือ:

ตรวจสอบ: – และนี่เป็นช่วงเวลาที่น่ายินดีอย่างยิ่งของงานดังกล่าว!

คำตอบ: กฎการกระจายเงินรางวัลที่ต้องการ:

ภารกิจต่อไปสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 3

ความน่าจะเป็นที่ผู้ยิงจะโดนเป้าหมายคือ ร่างกฎการกระจายสำหรับตัวแปรสุ่ม - จำนวนการเข้าชมหลังจาก 2 ช็อต

...ฉันรู้ว่าเธอคิดถึงเขา :) จำไว้นะ ทฤษฎีบทการคูณและการบวก. คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

กฎการกระจายอธิบายตัวแปรสุ่มอย่างสมบูรณ์ แต่ในทางปฏิบัติ อาจมีประโยชน์ (และบางครั้งก็มีประโยชน์มากกว่า) ที่รู้เพียงบางส่วนเท่านั้น ลักษณะเชิงตัวเลข .

ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

การพูด ในภาษาง่ายๆ, นี้ มูลค่าที่คาดหวังโดยเฉลี่ยเมื่อทำการทดสอบซ้ำหลายครั้ง ให้ตัวแปรสุ่มนำค่าที่มีความน่าจะเป็น ตามลำดับ จากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนี้จะเท่ากับ ผลรวมของผลิตภัณฑ์ค่าทั้งหมดตามความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน:

หรือยุบ:

ให้เราคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม - จำนวนคะแนนที่กลิ้งบนลูกเต๋า:

ตอนนี้เรามาจำเกมสมมุติของเรา:

คำถามเกิดขึ้น: การเล่นเกมนี้มีกำไรหรือไม่? ...ใครมีความประทับใจบ้าง? ดังนั้นคุณไม่สามารถพูดว่า "ตรงไปตรงมา" ได้! แต่คำถามนี้สามารถตอบได้อย่างง่ายดายโดยการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ โดยพื้นฐานแล้ว - ถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักตามความน่าจะเป็นที่จะชนะ:

ดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเกมนี้ การสูญเสีย.

อย่าเชื่อความประทับใจของคุณ - เชื่อตัวเลข!

ใช่ ที่นี่คุณสามารถชนะ 10 หรือ 20-30 ครั้งติดต่อกัน แต่ในระยะยาว ความหายนะที่หลีกเลี่ยงไม่ได้รอเราอยู่ และฉันจะไม่แนะนำให้คุณเล่นเกมแบบนี้ :) อาจจะเท่านั้น เพื่อความสนุก.

จากที่กล่าวมาทั้งหมด เป็นไปตามที่คาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่ค่าสุ่มอีกต่อไป

งานสร้างสรรค์เพื่อการวิจัยอิสระ:

ตัวอย่างที่ 4

มิสเตอร์เอ็กซ์เล่นรูเล็ตยุโรป ระบบถัดไป: เดิมพัน 100 รูเบิลอย่างต่อเนื่องกับ "สีแดง" ร่างกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม - เงินรางวัล คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการชนะและปัดเศษให้เป็น kopeck ที่ใกล้ที่สุด เท่าไหร่ เฉลี่ยผู้เล่นเสียเงินเดิมพันทุก ๆ ร้อยหรือไม่?

อ้างอิง : ยูโรเปียนรูเล็ตประกอบด้วย 18 สีแดง 18 สีดำ และ 1 สีเขียว (“ศูนย์”) หาก "สีแดง" ปรากฏขึ้น ผู้เล่นจะได้รับเงินเดิมพันสองเท่า มิฉะนั้นจะตกเป็นรายได้ของคาสิโน

มีระบบรูเล็ตอื่นๆ อีกมากมายที่คุณสามารถสร้างตารางความน่าจะเป็นของคุณเองได้ แต่ในกรณีนี้คือเมื่อเราไม่ต้องการกฎการแจกแจงหรือตารางใดๆ เนื่องจากมีการกำหนดไว้แล้วว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผู้เล่นจะเหมือนกันทุกประการ สิ่งเดียวที่เปลี่ยนจากระบบหนึ่งไปอีกระบบหนึ่งคือ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ย) ของตัวแปรสุ่ม X ที่กำหนดบนปริภูมิความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องคือตัวเลข m =M[X]=∑x i p i หากอนุกรมมาบรรจบกันอย่างสมบูรณ์

วัตถุประสงค์ของการบริการ. การใช้บริการออนไลน์ คำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(ดูตัวอย่าง) นอกจากนี้ กราฟของฟังก์ชันการกระจาย F(X) จะถูกลงจุดด้วย

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม

1. มูลค่าที่คาดหวัง ค่าคงที่เท่ากับตัวมันเอง: M[C]=C, C เป็นค่าคงที่
2. ม=ค ม[X]
3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: M=M[X]+M[Y]
4. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: M=M[X] M[Y] ถ้า X และ Y เป็นอิสระจากกัน

คุณสมบัติการกระจายตัว

1. ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์: D(c)=0
2. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากใต้เครื่องหมายการกระจายตัวได้โดยการยกกำลังสอง: D(k*X)= k 2 D(X)
3. ถ้าตัวแปรสุ่ม X และ Y เป็นอิสระต่อกัน ความแปรปรวนของผลรวมจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน: D(X+Y)=D(X)+D(Y)
4. ถ้าตัวแปรสุ่ม X และ Y ขึ้นอยู่กับ: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. สูตรคำนวณต่อไปนี้ใช้ได้กับการกระจายตัว:
   ง(X)=ม(X 2)-(ม(X)) 2

ตัวอย่าง. ทราบค่าคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว X และ Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6 ค้นหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม Z=9X-8Y+7
สารละลาย. ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของการกระจายตัว: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

คุณสมบัติของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง: ค่าทั้งหมดสามารถกำหนดหมายเลขใหม่ได้ ตัวเลขธรรมชาติ; กำหนดค่าความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ให้กับแต่ละค่า

1. เราคูณคู่ทีละคู่: x i โดย p i .
2. บวกผลคูณของแต่ละคู่ x i p i
   ตัวอย่างเช่น สำหรับ n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องทีละขั้นจะเพิ่มขึ้นอย่างกะทันหันที่จุดที่มีความน่าจะเป็นเป็นบวก

ตัวอย่างหมายเลข 1

x ฉัน	1	3	4	7	9
พี ฉัน	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

เราค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์โดยใช้สูตร m = ∑x i p i
ความคาดหวัง M[X].
ม[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
เราค้นหาความแปรปรวนโดยใช้สูตร d = ∑x 2 i p i - M[x] 2
ความแปรปรวน D[X].
ด[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

ตัวอย่างหมายเลข 2 ตัวแปรสุ่มแบบแยกมีอนุกรมการแจกแจงต่อไปนี้:

เอ็กซ์	-10	-5	0	5	10
ร	ก	0,32	2ก	0,41	0,03

ค้นหาค่าของ a ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มนี้

สารละลาย. ค่าของ a พบได้จากความสัมพันธ์: Σp i = 1
Σp i = ก + 0.32 + 2 ก + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 ก = 1
0.76 + 3 a = 1 หรือ 0.24=3 a จากที่ a = 0.08

ตัวอย่างหมายเลข 3 จงหากฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องหากทราบความแปรปรวน และ x 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 = x; x 4 = 15
หน้า 1 =0.3; หน้า 2 =0.3; หน้า 3 =0.1; หน้า 4 =0.3
ง(x)=12.96

สารละลาย.
ที่นี่คุณต้องสร้างสูตรสำหรับค้นหาความแปรปรวน d(x):
ง(x) = x 1 2 หน้า 1 +x 2 2 หน้า 2 +x 3 2 หน้า 3 +x 4 2 หน้า 4 -ม.(x) 2
โดยที่ความคาดหวัง m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
สำหรับข้อมูลของเรา
ม.(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
หรือ -9/100 (x 2 -20x+96)=0
ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องค้นหารากของสมการ และจะมีรากอยู่สองอัน
x 3 = 8, x 3 = 12
เลือกอันที่ตรงตามเงื่อนไข x 1 x 3 = 12

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 = 15
หน้า 1 =0.3; หน้า 2 =0.3; หน้า 3 =0.1; หน้า 4 =0.3