จะหารากที่สองได้อย่างไร? สรรพคุณ ตัวอย่างการสกัดราก รากที่สอง
การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ
การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล
ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ
คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา
ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว
เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:
- เมื่อคุณส่งคำขอบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวม ข้อมูลต่างๆรวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ
เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:
- รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
- ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
- เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
- หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว
การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม
เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม
ข้อยกเว้น:
- หากจำเป็นตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดีในการดำเนินคดีทางกฎหมายและ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือการร้องขอจากหน่วยงานรัฐบาลในสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
- ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง
การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล
เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต
การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท
เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด
บ่อยครั้งเมื่อแก้ไขปัญหาเราต้องเผชิญกับปัญหาจำนวนมากซึ่งเราต้องแยกออกมา รากที่สอง. นักเรียนหลายคนตัดสินใจว่านี่เป็นข้อผิดพลาดและเริ่มแก้ไขตัวอย่างทั้งหมดใหม่ ไม่ควรทำเช่นนี้ไม่ว่าในกรณีใด! มีสองเหตุผลสำหรับสิ่งนี้:
- รากจำนวนมากมักปรากฏอยู่ในปัญหา โดยเฉพาะในข้อความ
- มีอัลกอริธึมที่ใช้คำนวณรากเหล่านี้เกือบจะเป็นปากเปล่า
เราจะพิจารณาอัลกอริทึมนี้ในวันนี้ บางทีบางสิ่งอาจดูไม่เข้าใจสำหรับคุณ แต่ถ้าคุณใส่ใจกับบทเรียนนี้ คุณจะได้ อาวุธที่ทรงพลังที่สุดขัดต่อ รากที่สอง .
ดังนั้นอัลกอริทึม:
- จำกัดรากที่ต้องการด้านบนและด้านล่างให้เป็นตัวเลขที่ทวีคูณของ 10 ดังนั้น เราจะลดช่วงการค้นหาลงเหลือ 10 หมายเลข
- จากตัวเลขทั้ง 10 นี้ ให้กำจัดสิ่งที่ไม่สามารถหยั่งรากได้อย่างแน่นอน เป็นผลให้ตัวเลข 1-2 จะยังคงอยู่
- ยกกำลังสองตัวเลข 1-2 นี้ ผู้ที่มีกำลังสองเท่ากับตัวเลขเดิมจะเป็นราก
ก่อนที่จะนำอัลกอริทึมนี้ไปปฏิบัติ มาดูแต่ละขั้นตอนกันก่อน
ข้อจำกัดของรูท
ก่อนอื่น เราต้องค้นหาก่อนว่ารูทของเราอยู่ระหว่างเลขใด เป็นที่พึงปรารถนาอย่างยิ่งที่ตัวเลขจะเป็นทวีคูณของสิบ:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
เราได้รับชุดตัวเลข:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
ตัวเลขเหล่านี้บอกอะไรเรา? ง่ายมาก: เรามีขอบเขต ตัวอย่างเช่น หมายเลข 1296 อยู่ระหว่าง 900 ถึง 1600 ดังนั้นรากของมันต้องไม่น้อยกว่า 30 และมากกว่า 40:
[คำบรรยายภาพ]
เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ ที่ใช้หารากที่สองได้ ตัวอย่างเช่น 3364:
[คำบรรยายภาพ]ดังนั้น แทนที่จะเป็นตัวเลขที่ไม่สามารถเข้าใจได้ เราจะได้ช่วงที่เฉพาะเจาะจงมากซึ่งมีรากดั้งเดิมอยู่ หากต้องการจำกัดพื้นที่การค้นหาให้แคบลง ให้ไปยังขั้นตอนที่สอง
กำจัดตัวเลขที่ไม่จำเป็นอย่างเห็นได้ชัด
เรามีตัวเลข 10 ตัว - ตัวเลือกสำหรับรูท เราได้มันมาเร็วมาก โดยไม่ต้องคิดที่ซับซ้อนและการคูณในคอลัมน์เดียว ได้เวลาไปต่อแล้ว.
เชื่อหรือไม่ว่า ตอนนี้เราจะลดจำนวนผู้สมัครลงเหลือ 2 คน - อีกครั้งโดยไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนใดๆ! ก็เพียงพอที่จะรู้กฎพิเศษ นี่คือ:
หลักสุดท้ายของสี่เหลี่ยมจะขึ้นอยู่กับหลักสุดท้ายเท่านั้น หมายเลขเดิม.
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เพียงดูที่หลักสุดท้ายของสี่เหลี่ยมแล้วเราจะเข้าใจทันทีว่าตัวเลขเดิมสิ้นสุดที่ใด
มีเพียง 10 หลักเท่านั้นที่จะมาอยู่อันดับสุดท้ายได้ ลองหาดูว่าพวกมันกลายเป็นอะไรเมื่อยกกำลังสอง ลองดูที่ตาราง:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
ตารางนี้เป็นอีกขั้นตอนหนึ่งในการคำนวณรูท อย่างที่คุณเห็น ตัวเลขในบรรทัดที่สองกลายเป็นสมมาตรสัมพันธ์กับทั้งห้า ตัวอย่างเช่น:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
อย่างที่คุณเห็นตัวเลขหลักสุดท้ายจะเหมือนกันในทั้งสองกรณี ซึ่งหมายความว่า ตัวอย่างเช่น รากของ 3364 จะต้องลงท้ายด้วย 2 หรือ 8 ในทางกลับกัน เราจำข้อจำกัดจากย่อหน้าก่อนหน้าได้ เราได้รับ:
[คำบรรยายภาพ] สี่เหลี่ยมสีแดงแสดงว่าเรายังไม่ทราบตัวเลขนี้ แต่รากอยู่ในช่วง 50 ถึง 60 ซึ่งมีเพียงตัวเลขสองตัวที่ลงท้ายด้วย 2 และ 8:
[คำบรรยายภาพ]นั่นคือทั้งหมด! จากรากที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราเหลือเพียงสองทางเลือกเท่านั้น! และนี่คือในกรณีที่ยากที่สุด เพราะหลักสุดท้ายอาจเป็น 5 หรือ 0 แล้วจะมีผู้สมัครเพียงคนเดียวเท่านั้นที่จะเป็นราก!
การคำนวณขั้นสุดท้าย
ดังนั้นเราจึงเหลือหมายเลขผู้สมัคร 2 ตัว. จะรู้ได้อย่างไรว่าอันไหนคือต้นตอ? คำตอบนั้นชัดเจน: ยกกำลังสองตัวเลขทั้งสอง ตัวที่ยกกำลังสองให้ตัวเลขเดิมจะเป็นราก
ตัวอย่างเช่น สำหรับหมายเลข 3364 เราพบหมายเลขที่เป็นตัวเลือกสองตัว: 52 และ 58 ลองยกกำลังสองกัน:
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364
นั่นคือทั้งหมด! ปรากฎว่ารูตอยู่ที่ 58! ในเวลาเดียวกัน เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น ฉันใช้สูตรกำลังสองของผลรวมและผลต่าง ด้วยเหตุนี้ ฉันจึงไม่ต้องคูณตัวเลขลงในคอลัมน์ด้วยซ้ำ! นี่เป็นอีกระดับของการเพิ่มประสิทธิภาพการคำนวณ แต่แน่นอนว่านี่เป็นทางเลือกโดยสมบูรณ์ :)
ตัวอย่างการคำนวณราก
แน่นอนว่าทฤษฎีก็ดี แต่ลองตรวจสอบในทางปฏิบัติ
[คำบรรยายภาพ]
ก่อนอื่นเรามาดูกันว่าหมายเลข 576 อยู่ระหว่างหมายเลขใด:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
ทีนี้มาดูตัวเลขสุดท้ายกัน เท่ากับ 6. สิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อใด? เฉพาะในกรณีที่รากลงท้ายด้วย 4 หรือ 6 เราได้ตัวเลขสองตัว:
สิ่งที่เหลืออยู่คือการยกกำลังสองแต่ละหมายเลขแล้วเปรียบเทียบกับตัวเลขดั้งเดิม:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
ยอดเยี่ยม! สี่เหลี่ยมแรกกลายเป็นเลขเดิม นี่คือราก
งาน. คำนวณรากที่สอง:
[คำบรรยายภาพ]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
ลองดูที่หลักสุดท้าย:
1369 → 9;
33; 37.
ยกกำลังสอง:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1,089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369
นี่คือคำตอบ: 37.
งาน. คำนวณรากที่สอง:
[คำบรรยายภาพ]
เราจำกัดจำนวน:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
ลองดูที่หลักสุดท้าย:
2704 → 4;
52; 58.
ยกกำลังสอง:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
เราได้รับคำตอบ: 52 ไม่จำเป็นต้องยกกำลังสองอีกต่อไป
งาน. คำนวณรากที่สอง:
[คำบรรยายภาพ]
เราจำกัดจำนวน:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
ลองดูที่หลักสุดท้าย:
4225 → 5;
65.
อย่างที่คุณเห็นหลังจากขั้นตอนที่สองเหลือเพียงตัวเลือกเดียว: 65 นี่คือรูทที่ต้องการ แต่เรายังคงยกกำลังสองและตรวจสอบ:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
ทุกอย่างถูกต้อง เราเขียนคำตอบ
บทสรุป
อนิจจาไม่ดีกว่า มาดูสาเหตุกัน มีสองคน:
- ในการสอบคณิตศาสตร์ทั่วไป ไม่ว่าจะเป็นการสอบ State หรือ Unified State Exam ห้ามใช้เครื่องคิดเลข และถ้าคุณนำเครื่องคิดเลขมาเรียน คุณจะถูกไล่ออกจากข้อสอบได้ง่ายๆ
- อย่าเป็นเหมือนคนอเมริกันโง่ ๆ ซึ่งไม่ใช่แค่ราก - มีสองอย่าง จำนวนเฉพาะพวกเขาไม่สามารถพับมันได้ และเมื่อพวกเขาเห็นเศษส่วน พวกเขามักจะมีอาการวิตกกังวล
คณิตศาสตร์เกิดขึ้นเมื่อมนุษย์ตระหนักถึงตนเองและเริ่มวางตำแหน่งตนเองเป็นหน่วยอิสระของโลก ความปรารถนาที่จะวัด เปรียบเทียบ นับสิ่งที่อยู่รอบตัวคุณคือสิ่งที่เป็นรากฐานของวิทยาศาสตร์พื้นฐานประการหนึ่งในยุคของเรา ในตอนแรกสิ่งเหล่านี้เป็นอนุภาคของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาซึ่งทำให้สามารถเชื่อมโยงตัวเลขกับการแสดงออกทางกายภาพได้ต่อมาข้อสรุปเริ่มถูกนำเสนอในทางทฤษฎีเท่านั้น (เนื่องจากนามธรรม) แต่หลังจากนั้นไม่นานตามที่นักวิทยาศาสตร์คนหนึ่งกล่าวไว้ " คณิตศาสตร์ถึงจุดสูงสุดของความซับซ้อนเมื่อมันหายไปจากมัน” ตัวเลขทั้งหมด” แนวคิดของ "รากที่สอง" ปรากฏขึ้นในเวลาที่ข้อมูลเชิงประจักษ์สามารถรองรับได้อย่างง่ายดาย ซึ่งอยู่นอกเหนือระนาบของการคำนวณ
ที่ซึ่งทุกอย่างเริ่มต้นขึ้น
การกล่าวถึงรากครั้งแรกซึ่งก็คือ ช่วงเวลานี้แสดงว่า √ ได้รับการบันทึกไว้ในงานของนักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนซึ่งเป็นผู้วางรากฐานสำหรับเลขคณิตสมัยใหม่ แน่นอนว่าพวกเขามีความคล้ายคลึงเล็กน้อยกับรูปแบบปัจจุบัน - นักวิทยาศาสตร์ในช่วงหลายปีที่ผ่านมาใช้แท็บเล็ตขนาดใหญ่เป็นครั้งแรก แต่ในสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช จ. พวกเขาได้รับสูตรการคำนวณโดยประมาณที่แสดงวิธีแยกรากที่สอง ภาพด้านล่างแสดงหินที่นักวิทยาศาสตร์ชาวบาบิโลนแกะสลักกระบวนการอนุมาน √2 และปรากฏว่าถูกต้องมากจนพบความคลาดเคลื่อนในคำตอบในทศนิยมตำแหน่งที่สิบเท่านั้น
นอกจากนี้ รากยังถูกใช้หากจำเป็นต้องค้นหาด้านของสามเหลี่ยม โดยที่รู้อีกสองอัน เมื่อแก้สมการกำลังสอง ไม่มีทางหนีจากการแตกรากได้
นอกเหนือจากงานของชาวบาบิโลนแล้ว วัตถุประสงค์ของบทความนี้ยังได้รับการศึกษาในงานจีนเรื่อง "คณิตศาสตร์ในหนังสือเก้าเล่ม" และชาวกรีกโบราณได้ข้อสรุปว่าจำนวนใดก็ตามที่ไม่สามารถแยกรากออกมาได้โดยไม่มีเศษเหลือให้ผลลัพธ์ที่ไม่มีเหตุผล .
ต้นกำเนิดของคำนี้เกี่ยวข้องกับการแทนตัวเลขในภาษาอาหรับ: นักวิทยาศาสตร์โบราณเชื่อว่ากำลังสองของจำนวนตามใจชอบนั้นเติบโตจากรากเหมือนพืช ในภาษาละติน คำนี้ฟังดูเหมือน Radix (คุณสามารถติดตามรูปแบบได้ - ทุกสิ่งที่มีความหมายว่า "ราก" นั้นเป็นพยัญชนะ ไม่ว่าจะเป็นหัวไชเท้าหรือหัวไชเท้าอักเสบ)
นักวิทยาศาสตร์รุ่นต่อๆ มาหยิบยกแนวคิดนี้ขึ้นมา โดยกำหนดให้เป็น Rx ตัวอย่างเช่น ในศตวรรษที่ 15 เพื่อระบุว่ามีการใช้รากที่สองของจำนวนใดๆ a พวกเขาจึงเขียน R 2 a นิสัย มุมมองที่ทันสมัย"ติ๊ก" √ ปรากฏเฉพาะในศตวรรษที่ 17 ต้องขอบคุณ Rene Descartes
วันของเรา
ในแง่คณิตศาสตร์ รากที่สองของตัวเลข y คือตัวเลข z ซึ่งกำลังสองเท่ากับ y กล่าวอีกนัยหนึ่ง z 2 =y เทียบเท่ากับ √y=z อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้เกี่ยวข้องกับรากเลขคณิตเท่านั้น เนื่องจากมันแสดงถึงค่าที่ไม่เป็นลบของนิพจน์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง √y=z โดยที่ z มากกว่าหรือเท่ากับ 0
โดยทั่วไป ซึ่งใช้กับการหารากพีชคณิต ค่าของนิพจน์อาจเป็นค่าบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่า z 2 =y และ (-z) 2 =y เรามี: √y=±z หรือ √y=|z|
เนื่องจากความจริงที่ว่าความรักในคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นเมื่อมีการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์เท่านั้นจึงมีอาการแสดงความรักต่อคณิตศาสตร์หลายอย่างที่ไม่ได้แสดงออกด้วยการคำนวณแบบแห้ง ตัวอย่างเช่น นอกเหนือจากปรากฏการณ์ที่น่าสนใจเช่นวันพายแล้ว ก็มีการเฉลิมฉลองวันหยุดรากที่สองด้วย มีการเฉลิมฉลองเก้าครั้งทุกๆ ร้อยปี และถูกกำหนดตามหลักการต่อไปนี้ ตัวเลขที่ระบุตามลำดับวันและเดือนจะต้องเป็นรากที่สองของปี ดังนั้นครั้งต่อไปที่เราจะเฉลิมฉลองวันหยุดนี้คือวันที่ 4 เมษายน 2016
คุณสมบัติของรากที่สองบนสนาม R
นิพจน์ทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดมีพื้นฐานทางเรขาคณิต และ √y ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ y ก็ไม่สามารถรอดพ้นชะตากรรมนี้ได้
จะหารากของตัวเลขได้อย่างไร?
มีอัลกอริธึมการคำนวณหลายอย่าง วิธีที่ง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันก็ค่อนข้างยุ่งยากคือการคำนวณทางคณิตศาสตร์ตามปกติซึ่งมีดังต่อไปนี้:
1) จากจำนวนที่เราต้องการรูท เลขคี่จะถูกลบออกตามลำดับ - จนกว่าส่วนที่เหลือที่เอาต์พุตจะน้อยกว่าจำนวนที่ถูกลบออกหรือแม้กระทั่งเท่ากับศูนย์ จำนวนการเคลื่อนไหวจะกลายเป็นจำนวนที่ต้องการในที่สุด เช่น การคำนวณ รากที่สองจาก 25:
เลขคี่ถัดไปคือ 11 ส่วนที่เหลือคือ 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
ในกรณีเช่นนี้ จะมีการขยายซีรีส์ Taylor:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n โดยที่ n รับค่าตั้งแต่ 0 ถึง
+∞ และ |y|≤1
การแสดงกราฟของฟังก์ชัน z=√y
ลองพิจารณาฟังก์ชันพื้นฐาน z=√y บนสนามของจำนวนจริง R โดยที่ y มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ กำหนดการมีลักษณะดังนี้:
เส้นโค้งขยายจากจุดกำเนิดและจำเป็นต้องตัดกันจุด (1; 1)
คุณสมบัติของฟังก์ชัน z=√y บนสนามของจำนวนจริง R
1. ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์ด้วย)
2. ช่วงของค่าของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์อีกครั้ง)
3. ฟังก์ชันรับค่าต่ำสุด (0) ที่จุด (0; 0) เท่านั้น ไม่มีมูลค่าสูงสุด
4. ฟังก์ชัน z=√y ไม่เป็นคู่หรือคี่
5. ฟังก์ชัน z=√y ไม่ใช่คาบ
6. มีจุดตัดกันเพียงจุดเดียวของกราฟของฟังก์ชัน z=√y ที่มีแกนพิกัด: (0; 0)
7. จุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน z=√y จะเป็นศูนย์ของฟังก์ชันนี้ด้วย
8. ฟังก์ชัน z=√y มีการเติบโตอย่างต่อเนื่อง
9. ฟังก์ชัน z=√y รับเฉพาะค่าบวก ดังนั้นกราฟจึงครองมุมพิกัดแรก
ตัวเลือกสำหรับการแสดงฟังก์ชัน z=√y
ในทางคณิตศาสตร์ เพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณนิพจน์ที่ซับซ้อน บางครั้งจึงใช้รูปแบบกำลังของการเขียนรากที่สอง: √y=y 1/2 ตัวเลือกนี้สะดวก เช่น ในการเพิ่มฟังก์ชันเป็นกำลัง: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 วิธีนี้ยังเป็นตัวแทนที่ดีในการหาอนุพันธ์ด้วยการอินทิเกรต เนื่องจากวิธีนี้ทำให้รากที่สองจึงแสดงเป็นฟังก์ชันยกกำลังธรรมดาได้
และในการเขียนโปรแกรม การแทนที่สัญลักษณ์ √ คือการรวมกันของตัวอักษร sqrt
เป็นที่น่าสังเกตว่าในพื้นที่นี้รากที่สองเป็นที่ต้องการอย่างมากเนื่องจากเป็นส่วนหนึ่งของสูตรเรขาคณิตส่วนใหญ่ที่จำเป็นสำหรับการคำนวณ อัลกอริธึมการนับนั้นค่อนข้างซับซ้อนและขึ้นอยู่กับการเรียกซ้ำ (ฟังก์ชันที่เรียกตัวเอง)
รากที่สองในสนามเชิงซ้อน C
โดยทั่วไปแล้ว มันเป็นหัวข้อของบทความนี้ที่กระตุ้นการค้นพบสนามของจำนวนเชิงซ้อน C เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ถูกหลอกหลอนด้วยคำถามของการได้รากคู่ของจำนวนลบ นี่คือวิธีที่หน่วยจินตภาพที่ฉันปรากฏ ซึ่งมีคุณสมบัติที่น่าสนใจมาก นั่นคือกำลังสองของมันคือ -1 ด้วยเหตุนี้ สมการกำลังสองจึงถูกแก้ไขแม้จะมีการแบ่งแยกเชิงลบก็ตาม ใน C คุณสมบัติเดียวกันนี้เกี่ยวข้องกับรากที่สองเช่นเดียวกับใน R สิ่งเดียวคือข้อจำกัดเกี่ยวกับนิพจน์รากจะถูกลบออก
ในบทความนี้เราจะมาแนะนำ แนวคิดเรื่องรากของจำนวน. เราจะดำเนินการตามลำดับ: เราจะเริ่มต้นด้วยรากที่สอง จากนั้นเราจะไปยังคำอธิบายของรากลูกบาศก์ หลังจากนั้นเราจะสรุปแนวคิดของรากโดยกำหนดรากที่ n ในเวลาเดียวกัน เราจะแนะนำคำจำกัดความ สัญกรณ์ ยกตัวอย่างรากและให้คำอธิบายและความคิดเห็นที่จำเป็น
รากที่สอง, รากที่สองทางคณิตศาสตร์
หากต้องการเข้าใจคำจำกัดความของรากของตัวเลข และโดยเฉพาะรากที่สอง คุณต้องมี ณ จุดนี้ เรามักจะพบกับกำลังสองของตัวเลข นั่นคือกำลังสองของตัวเลข
เริ่มต้นด้วย คำจำกัดความของรากที่สอง.
คำนิยาม
รากที่สองของ aคือจำนวนที่มีกำลังสองเท่ากับ a
เพื่อนำมา. ตัวอย่างของรากที่สองนำตัวเลขมาหลายๆ ตัว เช่น 5, −0.3, 0.3, 0 แล้วยกกำลังสอง เราจะได้ตัวเลข 25, 0.09, 0.09 และ 0 ตามลำดับ (5 2 =5·5=25, (−0.3) 2 =(−0.3)·(−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 และ 0 2 =0·0=0 ) จากนั้น ตามคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้น เลข 5 คือรากที่สองของเลข 25 ตัวเลข −0.3 และ 0.3 คือรากที่สองของ 0.09 และ 0 คือรากที่สองของศูนย์
ควรสังเกตว่าไม่ใช่สำหรับจำนวนใดๆ a จะมีจำนวนที่กำลังสองเท่ากับ a กล่าวคือ สำหรับจำนวนลบ a ใดๆ จะไม่มีจำนวนจริง b ที่จะมีกำลังสองเท่ากับ a อันที่จริง ความเท่าเทียมกัน a=b 2 เป็นไปไม่ได้สำหรับค่าลบ a ใดๆ เนื่องจาก b 2 ไม่ใช่ จำนวนลบสำหรับข. ดังนั้น, ไม่มีรากที่สองของจำนวนลบบนเซตของจำนวนจริง. กล่าวอีกนัยหนึ่ง บนเซตของจำนวนจริง รากที่สองของจำนวนลบไม่ได้ถูกกำหนดไว้และไม่มีความหมาย
สิ่งนี้นำไปสู่คำถามเชิงตรรกะ: “มีรากที่สองของ a สำหรับ a ใดๆ ที่ไม่เป็นลบหรือไม่” คำตอบคือใช่ ข้อเท็จจริงนี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีเชิงสร้างสรรค์ที่ใช้ในการค้นหาค่าของรากที่สอง
จากนั้นคำถามเชิงตรรกะถัดไปก็เกิดขึ้น: “ อะไรคือจำนวนรากที่สองทั้งหมดของจำนวนที่ไม่เป็นลบที่กำหนด a - หนึ่ง, สอง, สามหรือมากกว่านั้น”? ต่อไปนี้เป็นคำตอบ: ถ้า a เป็นศูนย์ รากที่สองของศูนย์เพียงตัวเดียวก็คือศูนย์ ถ้า a เป็นจำนวนบวก จำนวนรากที่สองของจำนวน a จะเป็น 2 และรากคือ ลองพิสูจน์เรื่องนี้ดู
เริ่มจากกรณี a=0 กันก่อน ขั้นแรก ลองแสดงว่า 0 เป็นรากที่สองของ 0 จริงๆ สิ่งนี้ตามมาจากความเท่าเทียมกันที่ชัดเจน 0 2 =0·0=0 และคำจำกัดความของรากที่สอง
ทีนี้ลองพิสูจน์ว่า 0 เป็นเพียงรากที่สองของศูนย์ ลองใช้วิธีตรงกันข้าม สมมติว่ามีเลข b ที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งเป็นรากที่สองของศูนย์ จากนั้นจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข b 2 =0 ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจากค่า b ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ของนิพจน์ b 2 จะเป็นค่าบวก เรามาถึงความขัดแย้งแล้ว นี่พิสูจน์ว่า 0 เป็นเพียงรากที่สองของศูนย์
มาดูกรณีที่ a เป็นจำนวนบวกกัน เราบอกไปแล้วว่าจำนวนที่ไม่เป็นลบจะมีรากที่สองเสมอ ให้รากที่สองของ a เป็นจำนวน b สมมุติว่ามีเลข c ซึ่งก็คือรากที่สองของ a เช่นกัน จากนั้น ตามนิยามของรากที่สอง ความเท่าเทียมกัน b 2 =a และ c 2 =a เป็นจริง ซึ่งตามมาด้วยว่า b 2 −c 2 =a−a=0 แต่เนื่องจาก b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) จากนั้น (b−c)·(b+c)=0 ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นนั้นถูกต้อง คุณสมบัติของการดำเนินการกับจำนวนจริงเป็นไปได้เฉพาะเมื่อ b−c=0 หรือ b+c=0 เท่านั้น ดังนั้น ตัวเลข b และ c จึงเท่ากันหรือตรงกันข้าม
ถ้าเราสมมุติว่ามีตัวเลข d ซึ่งเป็นรากที่สองอีกตัวหนึ่งของตัวเลข a ดังนั้นโดยการให้เหตุผลคล้ายกับที่ให้ไว้แล้ว ก็พิสูจน์ได้ว่า d เท่ากับตัวเลข b หรือตัวเลข c ดังนั้น จำนวนรากที่สองของจำนวนบวกคือ 2 และรากที่สองเป็นจำนวนตรงข้าม
เพื่อความสะดวกในการทำงานกับรากที่สอง รากที่เป็นลบจะถูก "แยก" ออกจากรากที่เป็นบวก เพื่อจุดประสงค์นี้จึงได้มีการแนะนำ คำจำกัดความของรากที่สองทางคณิตศาสตร์.
คำนิยาม
รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ aเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ a
สัญลักษณ์สำหรับรากที่สองทางคณิตศาสตร์ของ a คือ เครื่องหมายนี้เรียกว่าเครื่องหมายรากที่สองทางคณิตศาสตร์ เรียกอีกอย่างว่าเครื่องหมายกรณฑ์ ดังนั้นบางครั้งคุณจึงได้ยินทั้ง "root" และ "radical" ซึ่งหมายถึงวัตถุเดียวกัน
เรียกว่าตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สองทางคณิตศาสตร์ เลขฐานรากและนิพจน์ใต้เครื่องหมายรูตคือ การแสดงออกที่รุนแรงในขณะที่คำว่า "จำนวนราก" มักจะถูกแทนที่ด้วย "นิพจน์ราก" ตัวอย่างเช่น ในสัญกรณ์ ตัวเลข 151 เป็นจำนวนราก และในสัญกรณ์ นิพจน์ a คือนิพจน์ที่เป็นราก
เมื่ออ่านคำว่า "เลขคณิต" มักจะถูกละเว้น เช่น รายการจะอ่านว่า "รากที่สองของเจ็ดจุดยี่สิบเก้า" คำว่า "เลขคณิต" ใช้เฉพาะเมื่อพวกเขาต้องการเน้นย้ำว่าเรากำลังพูดถึงรากที่สองที่เป็นบวกของตัวเลขโดยเฉพาะ
ตามรูปแบบที่แนะนำ เป็นไปตามคำจำกัดความของรากที่สองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสำหรับจำนวนใดๆ ที่ไม่เป็นลบ a
รากที่สองของจำนวนบวก a เขียนโดยใช้เครื่องหมายรากที่สองทางคณิตศาสตร์เป็น และ เช่น รากที่สองของ 13 คือ และ รากที่สองทางคณิตศาสตร์ของศูนย์คือศูนย์ นั่นคือ สำหรับจำนวนลบ a เราจะไม่แนบความหมายกับสัญลักษณ์จนกว่าเราจะศึกษา จำนวนเชิงซ้อน. เช่น สำนวนและคำที่ไม่มีความหมาย
จากคำจำกัดความของรากที่สอง คุณสมบัติของรากที่สองได้รับการพิสูจน์แล้ว ซึ่งมักใช้ในทางปฏิบัติ
โดยสรุปในประเด็นนี้ เราสังเกตว่ารากที่สองของจำนวน a คือคำตอบที่อยู่ในรูป x 2 =a เทียบกับตัวแปร x
รากที่สามของตัวเลข
คำจำกัดความของรูทคิวบ์ของจำนวน a ให้ไว้เหมือนกับนิยามของรากที่สอง เพียงแต่มันขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องลูกบาศก์ของตัวเลข ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส
คำนิยาม
รากที่สามของ aคือตัวเลขที่มีลูกบาศก์เท่ากับ a
ให้กันเถอะ ตัวอย่างของรากที่สาม. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้ตัวเลขหลายๆ ตัว เช่น 7, 0, −2/3 แล้วยกกำลังสาม: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, 
. จากนั้น ตามคำจำกัดความของรากที่สาม เราสามารถพูดได้ว่าเลข 7 คือรากที่สามของ 343, 0 คือรากที่สามของ 0 และ −2/3 คือรากที่สามของ −8/27
จะเห็นได้ว่ารากที่สามของตัวเลขนั้นมีอยู่เสมอ ซึ่งต่างจากรากที่สอง ไม่เพียงแต่สำหรับ a ที่ไม่เป็นลบเท่านั้น แต่ยังสำหรับจำนวนจริง a ใดๆ ด้วย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณสามารถใช้วิธีเดียวกับที่เรากล่าวไว้เมื่อศึกษารากที่สอง
ยิ่งไปกว่านั้น มีเพียงรากที่สามของจำนวน a ที่กำหนดเท่านั้น ให้เราพิสูจน์ข้อความสุดท้าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณาสามกรณีแยกกัน: a เป็นจำนวนบวก, a=0 และ a เป็นจำนวนลบ
มันง่ายที่จะแสดงว่าถ้า a เป็นบวก รากที่สามของ a ไม่สามารถเป็นได้ทั้งจำนวนลบหรือศูนย์ อันที่จริง ให้ b เป็นรากที่สามของ a จากนั้นตามนิยาม เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันได้ b 3 =a เห็นได้ชัดว่าความเท่าเทียมกันนี้ไม่สามารถเป็นจริงได้สำหรับลบ b และสำหรับ b=0 เนื่องจากในกรณีเหล่านี้ b 3 =b·b·b จะเป็นจำนวนลบหรือศูนย์ ตามลำดับ ดังนั้นรากที่สามของจำนวนบวก a จึงเป็นจำนวนบวก
ทีนี้ สมมติว่านอกจากเลข b แล้ว ยังมีรากที่สามของเลข a แสดงว่ามันเป็น c กัน จากนั้น ค 3 =ก ดังนั้น b 3 −c 3 =a−a=0 แต่ b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(นี่คือสูตรคูณแบบย่อ ความแตกต่างของลูกบาศก์) โดยที่ (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0 ผลลัพธ์ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ b−c=0 หรือ b 2 +b·c+c 2 =0 จากความเท่าเทียมกันอันแรก เราได้ b=c และความเสมอภาคอันที่สองไม่มีคำตอบ เนื่องจากด้านซ้ายของมันคือจำนวนบวกสำหรับจำนวนบวกใดๆ b และ c เป็นผลรวมของเทอมบวกสามเทอม b 2, b·c และ c 2 สิ่งนี้พิสูจน์ความเป็นเอกลักษณ์ของรากที่สามของจำนวนบวก a
เมื่อ a=0 รากที่สามของตัวเลข a จะเป็นเลขศูนย์เท่านั้น อันที่จริง ถ้าเราสมมุติว่ามีตัวเลข b ซึ่งเป็นรากที่สามของศูนย์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ความเท่าเทียมกัน b 3 =0 จะต้องคงอยู่ ซึ่งเป็นไปได้เฉพาะเมื่อ b=0 เท่านั้น
สำหรับค่าลบ a สามารถให้อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกับกรณีของค่าบวก a ได้ ขั้นแรก เราแสดงว่ารากที่สามของจำนวนลบไม่สามารถเท่ากับจำนวนบวกหรือศูนย์ได้ ประการที่สอง เราสมมุติว่ามีรากที่สามของจำนวนลบ และแสดงว่ามันจะต้องตรงกับรากแรกเสมอไป
จึงมีรากที่สามของจำนวนจริง a ใดๆ เสมอ และเป็นจำนวนเฉพาะเสมอ
ให้กันเถอะ ความหมายของรากลูกบาศก์ทางคณิตศาสตร์.
คำนิยาม
รากที่สามทางคณิตศาสตร์ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ aเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสามเท่ากับ a
รากที่สามทางคณิตศาสตร์ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ a แสดงเป็น เครื่องหมายนี้เรียกว่าเครื่องหมายของรากที่สามทางคณิตศาสตร์ หมายเลข 3 ในสัญกรณ์นี้เรียกว่า ดัชนีราก. ตัวเลขใต้เครื่องหมายรูตคือ เลขฐานรากนิพจน์ใต้เครื่องหมายรูทคือ การแสดงออกที่รุนแรง.
แม้ว่ารากที่สามของเลขคณิตถูกกำหนดไว้เฉพาะสำหรับจำนวนที่ไม่เป็นลบ a เท่านั้น แต่ยังสะดวกที่จะใช้สัญลักษณ์ซึ่งพบจำนวนลบใต้เครื่องหมายรากที่สามของเลขคณิต เราจะเข้าใจพวกมันดังนี้: โดยที่ a เป็นจำนวนบวก ตัวอย่างเช่น, 
.
เราจะพูดถึงคุณสมบัติของรากที่สามในบทความทั่วไปเกี่ยวกับคุณสมบัติของราก
การคำนวณค่าของรากที่สามเรียกว่าการแยกรากที่สาม การดำเนินการนี้จะกล่าวถึงในบทความการแยกราก: วิธีการ ตัวอย่าง วิธีแก้ไข
เพื่อสรุปประเด็นนี้ สมมติว่ารากที่สามของจำนวน a เป็นคำตอบในรูปแบบ x 3 =a
รากที่ n, รากเลขคณิตของดีกรี n
ให้เราสรุปแนวคิดเรื่องรากของตัวเลข - เราขอแนะนำ คำจำกัดความของรากที่ nสำหรับ n
คำนิยาม
รากที่ n ของ aคือตัวเลขที่มีกำลัง n เท่ากับ a
จากคำจำกัดความนี้ ชัดเจนว่ารากดีกรีแรกของตัวเลข a ก็คือตัวเลข a เอง เนื่องจากเมื่อศึกษาระดับด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ เราจะได้ 1 =a
ข้างต้น เราดูกรณีพิเศษของรากที่ n สำหรับ n=2 และ n=3 - รากที่สองและรากที่สาม นั่นคือ รากที่สองคือรากของดีกรีที่สอง และรากที่สามคือรากของดีกรีที่สาม หากต้องการศึกษารากของระดับที่ n สำหรับ n=4, 5, 6, ... จะสะดวกในการแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม: กลุ่มแรก - รากขององศาคู่ (นั่นคือสำหรับ n = 4, 6, 8 , ...) กลุ่มที่สอง - รูทองศาคี่ (นั่นคือ n=5, 7, 9, ...) นี่เป็นเพราะว่ารากของเลขยกกำลังคู่มีความคล้ายคลึงกับรากที่สอง และรากของเลขยกกำลังคี่คล้ายกับรากลูกบาศก์ มาจัดการกับพวกเขาทีละคน
เริ่มจากรากที่มีพลังเป็นเลขคู่ 4, 6, 8, ... อย่างที่เราบอกไปแล้ว พวกมันคล้ายกับรากที่สองของเลข a นั่นคือ รากของระดับเลขคู่ใดๆ ของจำนวน a นั้นจะมีเฉพาะในกรณีที่ a ไม่เป็นลบเท่านั้น ยิ่งกว่านั้น ถ้า a=0 รากของ a จะไม่ซ้ำกันและเท่ากับศูนย์ และถ้า a>0 แสดงว่าราก a มีดีกรีคู่ของตัวเลข a อยู่สองตัว และเป็นจำนวนที่ตรงกันข้ามกัน
ให้เรายืนยันคำสั่งสุดท้าย ให้ b เป็นรากคู่ (เราแสดงว่ามันเป็น 2·m โดยที่ m คือจำนวนธรรมชาติ) ของจำนวน a สมมติว่ามีตัวเลข c ซึ่งเป็นรากอีกตัวหนึ่งของระดับ 2·m จากจำนวน a จากนั้น b 2·m −c 2·m =a−a=0 แต่เรารู้รูปแบบ b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)จากนั้น (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. จากความเท่าเทียมกันนี้ จะได้ว่า b−c=0 หรือ b+c=0 หรือ b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. ความเท่าเทียมกันสองค่าแรกหมายความว่าตัวเลข b และ c เท่ากัน หรือ b และ c ตรงกันข้าม และความเสมอภาคสุดท้ายใช้ได้กับ b=c=0 เท่านั้น เนื่องจากทางด้านซ้ายจะมีนิพจน์ที่ไม่เป็นลบสำหรับ b และ c ใดๆ เป็นผลรวมของจำนวนที่ไม่เป็นลบ
สำหรับรากของดีกรี n สำหรับ n คี่ พวกมันจะคล้ายกับรากที่สาม นั่นคือ รากของระดับคี่ใดๆ ของจำนวน a มีอยู่สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ และสำหรับจำนวนที่กำหนด a นั้นจะไม่ซ้ำกัน
ความเป็นเอกลักษณ์ของรากที่มีดีกรีคี่ 2·m+1 ของจำนวน a ได้รับการพิสูจน์โดยการเปรียบเทียบกับการพิสูจน์เอกลักษณ์ของรากที่สามของ a ที่นี่เท่านั้นแทนความเท่าเทียมกัน a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)ใช้ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). นิพจน์ในวงเล็บสุดท้ายสามารถเขียนใหม่เป็นได้ b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). ตัวอย่างเช่น เรามี m=2 b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). เมื่อ a และ b เป็นบวกหรือลบทั้งคู่ ผลคูณของพวกมันคือจำนวนบวก ดังนั้นนิพจน์ b 2 +c 2 +b·c ในวงเล็บที่ซ้อนกันสูงสุดจะเป็นบวกเป็นผลรวมของจำนวนบวก ตอนนี้ เมื่อย้ายตามลำดับไปยังนิพจน์ในวงเล็บของระดับการซ้อนก่อนหน้า เรามั่นใจว่านิพจน์เหล่านี้เป็นบวกเป็นผลรวมของจำนวนบวกด้วย ผลลัพธ์ที่ได้คือความเท่าเทียมกัน b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ b−c=0 นั่นคือเมื่อเลข b เท่ากับเลข c
ถึงเวลาที่จะเข้าใจสัญกรณ์ของรากที่ n แล้ว เพื่อจุดประสงค์นี้จึงมอบให้ คำจำกัดความของรากเลขคณิตของระดับที่ n.
คำนิยาม
รากเลขคณิตของดีกรีที่ n ของจำนวนที่ไม่เป็นลบ aเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลัง n เท่ากับ a
ข้อเท็จจริง 1.
\(\bullet\) ลองใช้จำนวนที่ไม่เป็นลบ \(a\) (นั่นคือ \(a\geqslant 0\) ) จากนั้น (เลขคณิต) รากที่สองจากตัวเลข \(a\) เรียกว่าตัวเลขที่ไม่เป็นลบ \(b\) เมื่อยกกำลังสองเราจะได้ตัวเลข \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(เหมือนกับ )\quad a=b^2\]จากคำจำกัดความก็เป็นไปตามนั้น \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ข้อจำกัดเหล่านี้เป็นเงื่อนไขสำคัญสำหรับการมีอยู่ของรากที่สองและควรจำไว้!
โปรดจำไว้ว่าตัวเลขใดๆ เมื่อยกกำลังสองแล้วให้ผลลัพธ์ที่ไม่เป็นลบ นั่นคือ \(100^2=10000\geqslant 0\) และ \((-100)^2=10000\geqslant 0\)
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) เท่ากับเท่าไร? เรารู้ว่า \(5^2=25\) และ \((-5)^2=25\) เนื่องจากตามคำจำกัดความ เราจะต้องค้นหาจำนวนที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น \(-5\) จึงไม่เหมาะสม ดังนั้น \(\sqrt(25)=5\) (เนื่องจาก \(25=5^2\) )
การค้นหาค่าของ \(\sqrt a\) เรียกว่าการหารากที่สองของตัวเลข \(a\) และตัวเลข \(a\) เรียกว่านิพจน์ราก
\(\bullet\) ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ นิพจน์ \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) ฯลฯ ไม่สมเหตุสมผลเลย
ข้อเท็จจริง 2.
สำหรับ การคำนวณที่รวดเร็วมันจะมีประโยชน์ในการเรียนรู้ตารางสี่เหลี่ยม ตัวเลขธรรมชาติจาก \(1\) ถึง \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(อาร์เรย์)\]
ข้อเท็จจริง 3.
การดำเนินการใดที่คุณสามารถดำเนินการกับรากที่สองได้?
\(\กระสุน\) ผลรวมหรือผลต่างของรากที่สองไม่เท่ากับรากที่สองของผลรวมหรือผลต่าง กล่าวคือ \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]ดังนั้น หากคุณต้องการคำนวณ เช่น \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) ในตอนแรกคุณจะต้องค้นหาค่าของ \(\sqrt(25)\) และ \(\ sqrt(49)\ ) แล้วพับมัน เพราะฉะนั้น, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] หากไม่พบค่า \(\sqrt a\) หรือ \(\sqrt b\) เมื่อเพิ่ม \(\sqrt a+\sqrt b\) แสดงว่านิพจน์ดังกล่าวจะไม่ถูกแปลงเพิ่มเติมและคงอยู่เหมือนเดิม ตัวอย่างเช่น ในผลรวม \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) เราสามารถหา \(\sqrt(49)\) คือ \(7\) แต่ \(\sqrt 2\) ไม่สามารถแปลงเป็น ยังไงก็ตาม นั่นคือเหตุผล \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). ขออภัย ไม่สามารถทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นได้อีก\(\bullet\) ผลคูณ/ผลหารของรากที่สองเท่ากับรากที่สองของผลิตภัณฑ์/ผลหาร นั่นคือ \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (โดยมีเงื่อนไขว่าความเสมอภาคทั้งสองฝ่ายสมเหตุสมผล)
ตัวอย่าง: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) การใช้คุณสมบัติเหล่านี้ ทำให้สะดวกในการค้นหารากที่สองของจำนวนมากโดยการแยกตัวประกอบพวกมัน
ลองดูตัวอย่าง \(\sqrt(44100)\) มาหากัน ตั้งแต่ \(44100:100=441\) แล้ว \(44100=100\cdot 441\) ตามเกณฑ์การหารลงตัว จำนวน \(441\) หารด้วย \(9\) ลงตัว (เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 9 และหารด้วย 9 ลงตัว) ดังนั้น \(441:9=49\) นั่นคือ \(441=9\ cdot 49\)
ดังนั้นเราจึงได้: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]ลองดูตัวอย่างอื่น: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) มาแสดงวิธีการป้อนตัวเลขใต้เครื่องหมายรากที่สองโดยใช้ตัวอย่างของนิพจน์ \(5\sqrt2\) (รูปแบบย่อสำหรับนิพจน์ \(5\cdot \sqrt2\)) เนื่องจาก \(5=\sqrt(25)\) ดังนั้น \
โปรดทราบด้วยว่า ตัวอย่างเช่น
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
ทำไมเป็นอย่างนั้น? เรามาอธิบายโดยใช้ตัวอย่างที่ 1) ดังที่คุณเข้าใจแล้ว เราไม่สามารถแปลงตัวเลข \(\sqrt2\) ได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง ลองจินตนาการว่า \(\sqrt2\) เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง \(a\) ดังนั้น นิพจน์ \(\sqrt2+3\sqrt2\) ไม่มีอะไรมากไปกว่า \(a+3a\) (ตัวเลขหนึ่งตัว \(a\) บวกกับตัวเลขเดียวกันอีกสามจำนวน \(a\)) และเรารู้ว่านี่เท่ากับตัวเลขสี่ตัว \(a\) นั่นคือ \(4\sqrt2\)
ข้อเท็จจริง 4.
\(\bullet\) พวกเขามักจะพูดว่า “คุณไม่สามารถแยกราก” เมื่อคุณไม่สามารถกำจัดเครื่องหมาย \(\sqrt () \ \) ของราก (ราก) เมื่อค้นหาค่าของตัวเลข . ตัวอย่างเช่น คุณสามารถหารากของตัวเลข \(16\) เพราะ \(16=4^2\) ดังนั้น \(\sqrt(16)=4\) แต่มันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากของตัวเลข \(3\) กล่าวคือ หา \(\sqrt3\) เพราะไม่มีตัวเลขยกกำลังสองที่จะให้ \(3\)
ตัวเลขดังกล่าว (หรือสำนวนที่มีตัวเลขดังกล่าว) ถือเป็นจำนวนอตรรกยะ เช่น ตัวเลข \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)และอื่น ๆ ไม่มีเหตุผล
ตัวเลขที่ไม่ลงตัวเช่นกัน \(\pi\) (ตัวเลข “pi” ประมาณเท่ากับ \(3.14\)), \(e\) (ตัวเลขนี้เรียกว่าเลขออยเลอร์ ซึ่งมีค่าประมาณเท่ากับ \(2.7 \)) ฯลฯ
\(\bullet\) โปรดทราบว่าจำนวนใดๆ จะเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะ และทุกคนก็มีเหตุผลและทุกสิ่งร่วมกัน ตัวเลขอตรรกยะมาเป็นชุดที่เรียกว่า ชุดของจำนวนจริงชุดนี้แสดงด้วยตัวอักษร \(\mathbb(R)\)
ซึ่งหมายความว่าตัวเลขทั้งหมดที่เรารู้ในปัจจุบันเรียกว่าจำนวนจริง
ข้อเท็จจริง 5.
\(\bullet\) โมดูลัสของจำนวนจริง \(a\) เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ \(|a|\) เท่ากับระยะห่างจากจุด \(a\) ถึง \(0\) บน เส้นจริง ตัวอย่างเช่น \(|3|\) และ \(|-3|\) เท่ากับ 3 เนื่องจากระยะห่างจากจุด \(3\) และ \(-3\) ถึง \(0\) คือ เหมือนกันและเท่ากับ \(3 \)
\(\bullet\) ถ้า \(a\) เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น \(|a|=a\)
ตัวอย่าง: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) \(\bullet\) ถ้า \(a\) เป็นจำนวนลบ ดังนั้น \(|a|=-a\)
ตัวอย่าง: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
ว่ากันว่าสำหรับจำนวนลบ โมดูลัสจะ "กิน" ลบ ในขณะที่จำนวนบวกและจำนวน \(0\) จะไม่เปลี่ยนแปลงโดยโมดูลัส
แต่กฎนี้ใช้กับตัวเลขเท่านั้น หากภายใต้เครื่องหมายโมดูลัสของคุณ มี \(x\) ที่ไม่รู้จัก (หรือบางอย่างที่ไม่รู้จัก) ตัวอย่างเช่น \(|x|\) ซึ่งเราไม่รู้ว่ามันเป็นค่าบวก ศูนย์ หรือค่าลบ ให้กำจัดออกไป ของโมดูลัสเราไม่สามารถ ในกรณีนี้ นิพจน์นี้ยังคงเหมือนเดิม: \(|x|\) \(\bullet\) เกิดขึ้น สูตรต่อไปนี้: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( จัดให้ ) a\geqslant 0\]บ่อยครั้งมากที่เกิดข้อผิดพลาดต่อไปนี้ พวกเขาบอกว่า \(\sqrt(a^2)\) และ \((\sqrt a)^2\) เป็นอันหนึ่งอันเดียวกัน สิ่งนี้จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ \(a\) เป็นจำนวนบวกหรือศูนย์ แต่ถ้า \(a\) เป็นจำนวนลบ นี่จะเป็นเท็จ พิจารณาตัวอย่างนี้ก็พอแล้ว ลองใช้แทน \(a\) จำนวน \(-1\) ดังนั้น \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) แต่นิพจน์ \((\sqrt (-1))^2\) ไม่มีอยู่เลย (หลังจากทั้งหมด ไม่สามารถใช้เครื่องหมายรูทใส่ตัวเลขติดลบได้!)
ดังนั้นเราจึงดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่า \(\sqrt(a^2)\) ไม่เท่ากับ \((\sqrt a)^2\) !ตัวอย่าง: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), เพราะ \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) เนื่องจาก \(\sqrt(a^2)=|a|\) ดังนั้น \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (นิพจน์ \(2n\) หมายถึงเลขคู่)
นั่นคือเมื่อหารากของตัวเลขที่อยู่ในระดับหนึ่ง ระดับนี้จะลดลงครึ่งหนึ่ง
ตัวอย่าง:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (โปรดทราบว่าหากไม่ได้ระบุโมดูล ปรากฎว่ารากของตัวเลขเท่ากับ \(-25\ ) ; แต่เราจำได้ว่า ตามคำจำกัดความของรูท สิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้: เมื่อแยกรูท เราควรจะได้จำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (เนื่องจากจำนวนใดๆ ที่เป็นกำลังคู่จึงไม่เป็นลบ)
ข้อเท็จจริง 6.
จะเปรียบเทียบรากที่สองสองตัวได้อย่างไร?
\(\bullet\) สำหรับรากที่สอง มันจะเป็นจริง: ถ้า \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) เปรียบเทียบ \(\sqrt(50)\) และ \(6\sqrt2\) ขั้นแรก เรามาแปลงนิพจน์ที่สองเป็น \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). ดังนั้น เนื่องจาก \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) \(\sqrt(50)\) ตั้งอยู่ระหว่างจำนวนเต็มใด
เนื่องจาก \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) และ \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) ลองเปรียบเทียบ \(\sqrt 2-1\) และ \(0.5\) สมมติว่า \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(ชิด) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((เพิ่มหนึ่งทั้งสองด้าน))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((กำลังสองทั้งสองด้าน))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(ชิด)\]เราเห็นว่าเราได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงไม่ถูกต้องและ \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
โปรดทราบว่าการบวกจำนวนหนึ่งเข้ากับทั้งสองด้านของอสมการจะไม่ส่งผลต่อเครื่องหมาย การคูณ/หารทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนบวกก็ไม่ส่งผลต่อเครื่องหมายของมัน แต่การคูณ/หารด้วยจำนวนลบจะทำให้เครื่องหมายของอสมการกลับด้าน!
คุณสามารถยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ/อสมการได้ก็ต่อเมื่อทั้งสองฝ่ายไม่เป็นลบ ตัวอย่างเช่น ในอสมการจากตัวอย่างที่แล้ว คุณสามารถยกกำลังสองทั้งสองข้างได้ ในอสมการ \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) ควรจำไว้ว่า \[\begin(ชิด) &\sqrt 2\ประมาณ 1.4\\ &\sqrt 3\ประมาณ 1.7 \end(ชิด)\]การรู้ความหมายโดยประมาณของตัวเลขเหล่านี้จะช่วยคุณในการเปรียบเทียบตัวเลขได้! \(\bullet\) เพื่อที่จะแยกราก (หากสามารถแยกได้) จากจำนวนจำนวนมากที่ไม่อยู่ในตารางกำลังสอง คุณต้องพิจารณาว่ามันอยู่ระหว่าง "ร้อย" ก่อน จากนั้น - ระหว่าง " หลักสิบ” แล้วกำหนดหลักสุดท้ายของจำนวนนี้ มาแสดงวิธีการทำงานด้วยตัวอย่าง
\(\sqrt(28224)\) กันเถอะ เรารู้ว่า \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) ฯลฯ โปรดทราบว่า \(28224\) อยู่ระหว่างและ \(10\,000\) \(40\,000\) ดังนั้น \(\sqrt(28224)\) อยู่ระหว่างและ \(100\) \(200\)
ตอนนี้เรามาดูกันว่าตัวเลขของเราอยู่ระหว่าง "สิบ" ไหน (เช่น ระหว่าง \(120\) ถึง \(130\)) จากตารางสี่เหลี่ยมเรารู้ว่า \(11^2=121\) , \(12^2=144\) ฯลฯ จากนั้น \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . ดังนั้นเราจึงเห็นว่า \(28224\) อยู่ระหว่างและ \(160^2\) \(170^2\) ดังนั้น ตัวเลข \(\sqrt(28224)\) อยู่ระหว่าง \(160\) และ \(170\)
ลองกำหนดหลักสุดท้าย จำไว้ว่าตัวเลขหลักเดียวใดเมื่อยกกำลังสอง ให้ \(4\) ต่อท้าย? เหล่านี้คือ \(2^2\) และ \(8^2\) ดังนั้น \(\sqrt(28224)\) จะลงท้ายด้วย 2 หรือ 8 มาตรวจสอบกัน มาหา \(162^2\) และ \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
ดังนั้น \(\sqrt(28224)=168\) เอาล่ะ!
เพื่อที่จะแก้ปัญหาการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ คุณต้องศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎีก่อนซึ่งจะแนะนำให้คุณรู้จักกับทฤษฎีบท สูตร อัลกอริธึม ฯลฯ มากมาย เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่านี่ค่อนข้างง่าย อย่างไรก็ตามการค้นหาแหล่งที่มาซึ่งมีการนำเสนอทฤษฎีสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยวิธีที่ง่ายและเข้าใจได้สำหรับนักเรียนที่มีการฝึกอบรมทุกระดับนั้นเป็นงานที่ค่อนข้างยาก หนังสือเรียนของโรงเรียนไม่สามารถเก็บไว้ในมือได้ตลอดเวลา และการค้นหาสูตรพื้นฐานสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อาจเป็นเรื่องยากแม้แต่บนอินเทอร์เน็ต
เหตุใดการเรียนทฤษฎีทางคณิตศาสตร์จึงสำคัญไม่เพียงแต่สำหรับผู้ที่เข้าสอบ Unified State เท่านั้น
- เพราะมันขยายขอบเขตอันไกลโพ้นของคุณ. การศึกษาเนื้อหาเชิงทฤษฎีในวิชาคณิตศาสตร์มีประโยชน์สำหรับใครก็ตามที่ต้องการได้รับคำตอบสำหรับคำถามที่หลากหลายที่เกี่ยวข้องกับความรู้เกี่ยวกับโลกรอบตัวพวกเขา ทุกสิ่งในธรรมชาติมีระเบียบและมีตรรกะที่ชัดเจน นี่คือสิ่งที่สะท้อนให้เห็นในวิทยาศาสตร์อย่างชัดเจน ซึ่งทำให้สามารถเข้าใจโลกได้
- เพราะมันจะทำให้มีสติปัญญา. โดยการศึกษาเอกสารอ้างอิงสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ตลอดจนการแก้ปัญหาต่าง ๆ บุคคลจะเรียนรู้ที่จะคิดและมีเหตุผลอย่างมีเหตุผลเพื่อกำหนดความคิดอย่างมีประสิทธิภาพและชัดเจน เขาพัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์ สรุป และสรุปผล
เราขอเชิญคุณประเมินข้อดีทั้งหมดของแนวทางการจัดระบบและการนำเสนอสื่อการศึกษาเป็นการส่วนตัว
