สมการอตรรกยะ คู่มือที่ครอบคลุม

คำตอบ: x = 3.

8 วิธี การประยุกต์อนุพันธ์ในการแก้สมการอตรรกยะ

วิธีการทั่วไปที่ใช้ในการแก้สมการโดยใช้วิธีอนุพันธ์คือวิธีการประมาณค่า

ตัวอย่างที่ 15:

แก้สมการ: (1)

วิธีแก้ไข: ตั้งแต่ https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29"> หรือ (2) พิจารณาฟังก์ชัน ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> เลย ดังนั้น จึงเพิ่มขึ้น ดังนั้นสมการ เทียบเท่ากับสมการที่มีรากซึ่งเป็นรากของสมการดั้งเดิม

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 16:

แก้สมการไม่ลงตัว:

โดเมนของฟังก์ชันคือเซ็กเมนต์ มาหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันนี้ในส่วนนี้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(เอ็กซ์): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19"> มาหาค่าของฟังก์ชันกันดีกว่า ฉ(เอ็กซ์)ที่ส่วนท้ายของส่วนและตรงจุด: ดังนั้น แต่ และ ดังนั้น ความเท่าเทียมกันจึงเป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height= "19 src=" >. การตรวจสอบแสดงว่าหมายเลข 3 เป็นรากของสมการนี้

คำตอบ: x = 3.

9 วิธี การทำงาน

ในการสอบ บางครั้งพวกเขาจะขอให้คุณแก้สมการที่สามารถเขียนได้ในรูป ฟังก์ชันอยู่ที่ไหน

ตัวอย่างเช่น สมการบางอย่าง: 1) 2) . แท้จริงแล้วในกรณีแรก ในกรณีที่สอง . ดังนั้น จงแก้สมการไร้เหตุผลโดยใช้ข้อความต่อไปนี้: ถ้าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดบนเซต เอ็กซ์และสำหรับสมการใดๆ ก็ตาม สมการ ฯลฯ จะเทียบเท่ากับเซต เอ็กซ์ .

แก้สมการไม่ลงตัว: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดในชุด อาร์และ https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > ซึ่งมีรากเดียว ดังนั้น สมการ (1) ที่เทียบเท่ากับสมการจึงมีรากเดียวด้วย

คำตอบ: x = 3.

ตัวอย่างที่ 18:

แก้สมการไม่ลงตัว: (1)

จากคำจำกัดความของรากที่สอง เราพบว่าหากสมการ (1) มีรากแล้ว สมการเหล่านั้นจะอยู่ในเซต DIV_ADBLOCK166">

. (2)

พิจารณาฟังก์ชัน https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดในชุดนี้สำหรับ ..gif" width="100" ใด ๆ height = "41"> ซึ่งมีรูตเดียว ดังนั้น และเทียบเท่ากับชุด เอ็กซ์สมการ (1) มีรากเดียว

คำตอบ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

วิธีแก้: สมการนี้เทียบเท่ากับระบบผสม

ส่วนแรกของเนื้อหาในบทความนี้เป็นแนวคิดของสมการไม่ลงตัว หลังจากศึกษาแล้ว คุณจะสามารถแยกแยะสมการอตรรกยะจากสมการประเภทอื่นได้อย่างง่ายดาย ส่วนที่สองจะตรวจสอบรายละเอียดวิธีการหลักในการแก้สมการไร้เหตุผลและให้คำตอบโดยละเอียด จำนวนมากตัวอย่างทั่วไป หากคุณเชี่ยวชาญข้อมูลนี้ คุณจะรับมือกับสมการไร้เหตุผลเกือบทุกชนิดจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนได้อย่างแน่นอน ขอให้โชคดีในการได้รับความรู้!

สมการไร้เหตุผลคืออะไร?

ก่อนอื่นมาทำความเข้าใจก่อนว่าสมการไร้เหตุผลคืออะไร ในการทำเช่นนี้เราจะพบคำจำกัดความที่เหมาะสมในหนังสือเรียนที่แนะนำโดยกระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

การสนทนาโดยละเอียดเกี่ยวกับสมการไร้เหตุผลและการแก้โจทย์จะดำเนินการในบทเรียนพีชคณิต และเริ่มการวิเคราะห์ในโรงเรียนมัธยมปลาย อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบางคนแนะนำสมการประเภทนี้ก่อนหน้านี้ ตัวอย่างเช่นผู้ที่เรียนโดยใช้ตำราเรียนของ Mordkovich A.G. เรียนรู้เกี่ยวกับสมการไร้เหตุผลอยู่แล้วในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8: หนังสือเรียนระบุว่า

นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างของสมการไม่ลงตัว , และอื่นๆ แน่นอนว่าแต่ละสมการข้างต้นมีตัวแปร x อยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สอง ซึ่งหมายความว่า ตามคำจำกัดความข้างต้น สมการเหล่านี้ไม่มีเหตุผล ที่นี่เราจะพูดถึงหนึ่งในวิธีการหลักในการแก้ปัญหาทันที - แต่เราจะพูดถึงวิธีการแก้ให้น้อยลงหน่อย แต่ตอนนี้เราจะให้คำจำกัดความของสมการไม่ลงตัวจากตำราเรียนเล่มอื่น

ในหนังสือเรียนของ A. N. Kolmogorov และ Yu. M. Kolyagin

คำนิยาม

ไม่มีเหตุผลคือสมการที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายรูท

มาดูความแตกต่างพื้นฐานกันดีกว่า คำจำกัดความนี้จากอันที่แล้ว: มันบอกแค่ว่ารูท ไม่ใช่สแควร์รูท นั่นคือระดับของรูทที่ตัวแปรตั้งอยู่ไม่ได้ระบุ ซึ่งหมายความว่ารูตไม่เพียงแต่เป็นสี่เหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังรวมถึงที่สาม สี่ ฯลฯ อีกด้วย องศา ดังนั้น คำจำกัดความสุดท้ายจึงระบุชุดสมการที่กว้างขึ้น

คำถามธรรมชาติเกิดขึ้น: เหตุใดเราจึงเริ่มใช้คำจำกัดความที่กว้างขึ้นของสมการไร้เหตุผลในโรงเรียนมัธยมปลาย ทุกอย่างเข้าใจง่ายและเรียบง่าย: เมื่อเราคุ้นเคยกับสมการไร้เหตุผลในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 เราจะตระหนักดีถึงรากที่สองเท่านั้น เรายังไม่รู้เกี่ยวกับรากที่สาม รากของยกกำลังที่สี่และสูงกว่าใดๆ และในโรงเรียนมัธยมปลาย แนวคิดเรื่องรากนั้นเป็นแบบทั่วไป เราเรียนรู้เกี่ยวกับ และเมื่อพูดถึงสมการไร้เหตุผล เราไม่ได้จำกัดอยู่แค่รากที่สองอีกต่อไป แต่เราหมายถึงรากของระดับใดก็ได้

เพื่อความชัดเจน เราจะสาธิตตัวอย่างสมการไร้เหตุผลหลายตัวอย่าง - โดยที่ตัวแปร x อยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สาม ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีเหตุผล ตัวอย่างอื่น: - โดยที่ตัวแปร x อยู่ใต้เครื่องหมายของทั้งรากที่สองและรากที่สี่ นั่นคือ นี่คือสมการไม่ลงตัวเช่นกัน ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างสมการไร้เหตุผลเพิ่มเติมอีกสองสามตัวอย่าง ประเภทที่ซับซ้อน: และ .

คำจำกัดความข้างต้นช่วยให้เราทราบว่าในสัญกรณ์ของสมการไร้เหตุผลใด ๆ มีสัญญาณของรากอยู่ เป็นที่ชัดเจนว่าหากไม่มีสัญญาณของราก สมการก็ไม่มีเหตุผล อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกสมการที่มีเครื่องหมายรากจะไม่มีเหตุผล จริงๆ แล้ว ในสมการไร้เหตุผล จะต้องมีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายรูท หากไม่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายรูท สมการนั้นก็ไม่ใช่สมการไร้เหตุผล เพื่อเป็นตัวอย่าง เราจะยกตัวอย่างสมการที่มีรากแต่ไม่มีเหตุผล สมการ และ ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจากไม่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายราก - มีตัวเลขอยู่ใต้ราก แต่ไม่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายราก ดังนั้นสมการเหล่านี้จึงไม่ลงตัว

เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญถึงจำนวนตัวแปรที่สามารถมีส่วนร่วมในการเขียนสมการไม่ลงตัวได้ สมการไร้เหตุผลข้างต้นทั้งหมดมีตัวแปร x ตัวเดียว นั่นคือเป็นสมการที่มีตัวแปรตัวเดียว อย่างไรก็ตาม ไม่มีอะไรขัดขวางเราไม่ให้พิจารณาสมการไร้เหตุผลของ 2, 3 ฯลฯ ตัวแปร ให้เรายกตัวอย่างสมการไร้เหตุผลที่มีตัวแปรสองตัว และมีตัวแปรสามตัว

โปรดทราบว่าในโรงเรียนส่วนใหญ่คุณต้องทำงานกับสมการไร้เหตุผลด้วยตัวแปรตัวเดียว สมการไร้เหตุผลที่มีตัวแปรหลายตัวพบได้น้อยกว่ามาก สามารถพบได้ในองค์ประกอบเช่นในงาน "แก้ระบบสมการ" "หรือพูดในการอธิบายพีชคณิตของวัตถุเรขาคณิต ดังนั้น ครึ่งวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด มีรัศมี 3 หน่วย ซึ่งอยู่ในระนาบครึ่งบน จะสอดคล้องกับสมการ

ชุดปัญหาบางส่วนสำหรับการเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในส่วน "สมการไม่ลงตัว" มีงานที่ตัวแปรไม่ได้อยู่ใต้เครื่องหมายรูทเท่านั้น แต่ยังอยู่ภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันอื่น ๆ เช่น โมดูลัส ลอการิทึม ฯลฯ . นี่คือตัวอย่าง นำมาจากหนังสือ แต่ที่นี่ - จากคอลเลคชัน ในตัวอย่างแรก ตัวแปร x อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม และลอการิทึมยังอยู่ใต้เครื่องหมายรากด้วย กล่าวคือ เรามีสมการลอการิทึมไม่ลงตัว (หรือสมการไม่ลงตัวลอการิทึม) ในตัวอย่างที่สอง ตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายโมดูลัส และโมดูลัสก็อยู่ใต้เครื่องหมายรูทด้วย หากคุณอนุญาต เราจะเรียกมันว่าสมการไร้เหตุผลพร้อมโมดูลัส

สมการประเภทนี้ควรถือว่าไม่มีเหตุผลหรือไม่ คำถามที่ดี. ดูเหมือนว่ามีตัวแปรอยู่ใต้สัญลักษณ์ของรูท แต่ก็น่าสับสนที่ไม่ได้อยู่ใน "รูปแบบบริสุทธิ์" แต่อยู่ภายใต้สัญลักษณ์ของฟังก์ชันอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ดูเหมือนว่าจะไม่มีความขัดแย้งกับวิธีที่เรานิยามสมการไร้เหตุผลข้างต้น แต่มีความไม่แน่นอนอยู่บ้างเนื่องจากมีฟังก์ชันอื่นๆ อยู่ จากมุมมองของเรา เราไม่ควรคลั่งไคล้ "การเรียกจอบ" ในทางปฏิบัติ แค่พูดว่า "สมการ" โดยไม่ต้องระบุว่าเป็นประเภทใดก็เพียงพอแล้ว และสารเติมแต่งทั้งหมดนี้ "ไม่ลงตัว", "ลอการิทึม" ฯลฯ ส่วนใหญ่จะให้บริการเพื่อความสะดวกในการนำเสนอและจัดกลุ่มเนื้อหา

จากข้อมูลในย่อหน้าสุดท้าย คำจำกัดความของสมการไร้เหตุผลที่ให้ไว้ในหนังสือเรียนที่เขียนโดย A. G. Mordkovich สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 นั้นเป็นที่สนใจ

คำนิยาม

ไม่มีเหตุผลเป็นสมการที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์หรือใต้เครื่องหมายยกกำลังเศษส่วน

ในที่นี้ นอกเหนือจากสมการที่มีตัวแปรอยู่ใต้สัญลักษณ์ของรากแล้ว สมการที่มีตัวแปรภายใต้เครื่องหมายของการยกกำลังเศษส่วนก็ถือว่าไม่มีเหตุผลเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ตามคำจำกัดความนี้ สมการนี้ถือว่าไม่มีเหตุผล ทำไมจู่ๆ? เราคุ้นเคยกับการรูทในสมการไร้เหตุผลแล้ว แต่ที่นี่ไม่ใช่ราก แต่เป็นระดับและคุณอยากจะเรียกสมการนี้เช่นสมการยกกำลังมากกว่าสมการไร้เหตุผลหรือไม่? ทุกอย่างเป็นเรื่องง่าย: มันถูกกำหนดผ่านรูท และบนตัวแปร x สำหรับสมการที่กำหนด (โดยให้ x 2 +2·x≥0) มันสามารถเขียนใหม่ได้โดยใช้รูทเป็น และความเสมอภาคสุดท้ายคือสมการไร้เหตุผลที่คุ้นเคยซึ่งมีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายราก ใช่ และวิธีการแก้สมการที่มีตัวแปรอยู่ในฐาน พลังเศษส่วนเหมือนกับวิธีการแก้สมการไร้เหตุผลอย่างแน่นอน (จะกล่าวถึงในย่อหน้าถัดไป) ดังนั้นจึงสะดวกที่จะเรียกพวกเขาว่าไม่มีเหตุผลและพิจารณาในแง่นี้ แต่ขอบอกตรงๆ กับตัวเองว่า ในตอนแรก เรามีสมการอยู่ตรงหน้า ไม่ใช่ และภาษาไม่ค่อยเต็มใจที่จะเรียกสมการดั้งเดิมว่าไม่มีเหตุผลเนื่องจากไม่มีรากในสัญกรณ์ เทคนิคเดียวกันนี้ช่วยให้เราหลีกเลี่ยงประเด็นขัดแย้งเกี่ยวกับคำศัพท์เฉพาะทางได้ กล่าวคือ เรียกสมการว่าเป็นสมการโดยไม่มีการชี้แจงเฉพาะเจาะจง

สมการไร้เหตุผลที่ง่ายที่สุด

เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญเกี่ยวกับสิ่งที่เรียกว่า สมการไร้เหตุผลที่ง่ายที่สุด. สมมติว่าคำนี้ไม่ปรากฏในหนังสือเรียนหลักของพีชคณิตและการวิเคราะห์เบื้องต้น แต่บางครั้งก็พบในหนังสือปัญหาและคู่มือการฝึกอบรมเช่นใน ไม่ควรถือว่าเป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป แต่ก็ไม่เสียหายที่จะรู้ว่าสมการไร้เหตุผลที่ง่ายที่สุดมักเข้าใจอะไร โดยปกติจะเป็นชื่อที่ตั้งให้กับสมการไม่ลงตัวของแบบฟอร์ม โดยที่ f(x) และ g(x) คือค่าใดค่าหนึ่ง ในแง่นี้ สามารถเรียกสมการไร้เหตุผลที่ง่ายที่สุดได้ เช่น สมการ หรือ .

เราจะอธิบายการปรากฏตัวของชื่อเช่น "สมการไร้เหตุผลที่ง่ายที่สุด" ได้อย่างไร? ตัวอย่างเช่น เนื่องจากการแก้สมการไร้เหตุผลมักต้องมีการลดขนาดลงในแบบฟอร์มตั้งแต่แรก และการใช้งานใดๆ ต่อไป วิธีการมาตรฐานโซลูชั่น สมการไร้เหตุผลในรูปแบบนี้เรียกว่าสมการที่ง่ายที่สุด

วิธีการพื้นฐานในการแก้สมการไร้เหตุผล

ตามคำจำกัดความของรูต

วิธีหนึ่งในการแก้สมการไร้เหตุผลนั้นมีพื้นฐานมาจาก ด้วยความช่วยเหลือนี้ มักจะแก้ไขสมการไร้เหตุผลของรูปแบบที่ง่ายที่สุดได้ โดยที่ f(x) และ g(x) คือค่าใดค่าหนึ่ง การแสดงออกที่มีเหตุผล(เราให้คำจำกัดความของสมการไร้เหตุผลที่ง่ายที่สุดมา) สมการไร้เหตุผลของแบบฟอร์มได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน แต่โดยที่ f(x) และ/หรือ g(x) เป็นนิพจน์อื่นที่ไม่ใช่ตรรกยะ อย่างไรก็ตาม ในหลายกรณี การแก้สมการดังกล่าวด้วยวิธีอื่นจะสะดวกกว่า ซึ่งจะกล่าวถึงในย่อหน้าต่อไปนี้

เพื่อความสะดวกในการนำเสนอเนื้อหา เราแยกสมการไม่ลงตัวกับเลขชี้กำลังรากคู่ ซึ่งก็คือสมการ , 2·k=2, 4, 6, … , จากสมการที่มีเลขชี้กำลังรากคี่ , 2·k+1=3, 5, 7, … เรามาสรุปแนวทางการแก้ปัญหากันโดยทันที:

วิธีการข้างต้นเป็นไปตามโดยตรงจาก และ .

ดังนั้น, วิธีการแก้สมการอตรรกยะ โดยนิยามของรูตมีดังนี้:

ตามคำจำกัดความของรูต จะสะดวกที่สุดในการแก้สมการไร้เหตุผลที่ง่ายที่สุดโดยมีตัวเลขอยู่ทางด้านขวาซึ่งก็คือสมการของรูปแบบ โดยที่ C คือตัวเลขที่แน่นอน เมื่อมีตัวเลขอยู่ทางด้านขวาของสมการ แม้ว่าเลขชี้กำลังรากจะเป็นเลขคู่ ก็ไม่จำเป็นต้องไปที่ระบบ ถ้า C เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ตามนิยามแล้ว รากของเลขคู่ องศา และถ้า C เป็นจำนวนลบ เราก็สามารถสรุปได้ทันทีว่าไม่มีรากของสมการ เพราะตามนิยามแล้ว รากของดีกรีคู่จะเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ซึ่งหมายความว่าสมการจะไม่เปลี่ยน ลงในสิ่งที่ถูกต้อง ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขเนื่องจากไม่มีค่าจริงของตัวแปร x

มาดูการแก้ตัวอย่างทั่วไปกันดีกว่า

เราจะเปลี่ยนจากง่ายไปสู่ซับซ้อน เริ่มต้นด้วยการแก้สมการไร้เหตุผลที่ง่ายที่สุดทางด้านซ้ายซึ่งมีรากของระดับคู่และทางด้านขวา - จำนวนบวกนั่นคือโดยการแก้สมการของรูปแบบ โดยที่ C เป็นบวก ตัวเลข. การกำหนดรูทช่วยให้คุณเปลี่ยนจากการแก้สมการไร้เหตุผลไปเป็นการแก้สมการที่ง่ายกว่าโดยไม่ต้องรูท С 2·k =f(x) .

สมการไร้เหตุผลที่ง่ายที่สุดซึ่งมีศูนย์ทางด้านขวาจะแก้ได้ในลักษณะเดียวกันโดยการกำหนดราก

ให้เราพิจารณาแยกกันในสมการไร้เหตุผล ทางด้านซ้ายซึ่งมีรากของระดับคู่โดยมีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมาย และทางด้านขวาจะมีจำนวนลบ สมการดังกล่าวไม่มีคำตอบสำหรับเซตของจำนวนจริง (เราจะพูดถึงรากที่ซับซ้อนหลังจากทำความคุ้นเคย จำนวนเชิงซ้อน ). สิ่งนี้ค่อนข้างชัดเจน: รากคู่ตามนิยามแล้วเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ซึ่งหมายความว่ามันไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบได้

ด้านซ้ายของสมการอตรรกยะจากตัวอย่างที่แล้วคือรากของกำลังคู่ และด้านขวาเป็นตัวเลข ทีนี้ลองพิจารณาตัวอย่างที่มีตัวแปรทางด้านขวานั่นคือเราจะแก้สมการไม่ลงตัวของแบบฟอร์ม . เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้ โดยการกำหนดรูท จะทำการเปลี่ยนผ่านไปยังระบบ ซึ่งมีชุดคำตอบเดียวกันกับสมการเดิม

ก็ต้องคำนึงถึงระบบด้วย ไปสู่คำตอบที่คำตอบของสมการไม่ลงตัวดั้งเดิมลดลง ขอแนะนำให้แก้ปัญหาไม่ใช้กลไก แต่ถ้าเป็นไปได้ก็มีเหตุผล ชัดเจนว่านี่เป็นคำถามจากหัวข้อมากกว่า” โซลูชั่นระบบ“แต่เรายังคงแสดงรายการสถานการณ์ที่พบบ่อยสามสถานการณ์พร้อมตัวอย่างที่แสดงให้เห็น:

1. ตัวอย่างเช่น หากสมการแรกของ g 2·k (x)=f(x) ไม่มีคำตอบ ก็ไม่มีเหตุผลที่จะแก้อสมการ g(x)≥0 เนื่องจากไม่มีคำตอบของสมการ เราจึงสามารถแก้สมการได้ สรุปได้ว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาให้กับระบบ

1. ในทำนองเดียวกัน ถ้าอสมการ g(x)≥0 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ก็ไม่จำเป็นต้องแก้สมการ g 2·k (x)=f(x) เพราะถึงแม้ไม่มีสิ่งนี้ ก็ชัดเจนว่าในกรณีนี้ ระบบ ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

1. บ่อยครั้งที่อสมการ g(x)≥0 ไม่ได้ถูกแก้ไขเลย แต่เพียงตรวจสอบว่ารากของสมการ g 2·k (x)=f(x) ตรงกับค่าใด เซตของสมการทั้งหมดที่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันคือคำตอบของระบบ ซึ่งหมายความว่ามันเป็นคำตอบของสมการไร้เหตุผลดั้งเดิมที่เทียบเท่ากับสมการนั้นด้วย

ก็เพียงพอแล้วเกี่ยวกับสมการที่มีเลขชี้กำลังของรากเป็นคู่ ถึงเวลาที่ต้องใส่ใจกับสมการไร้เหตุผลที่มีรากของเลขยกกำลังคี่ในรูปแบบ . ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว เพื่อแก้ปัญหา เราจึงใช้สมการที่เทียบเท่ากัน ซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีใดก็ได้ที่มีอยู่

เพื่อสรุปประเด็นนี้ให้เราพูดถึง ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา. วิธีการแก้สมการไร้เหตุผลโดยการกำหนดรากจะรับประกันความเท่าเทียมกันของการเปลี่ยนภาพ ซึ่งหมายความว่าไม่จำเป็นต้องตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาที่พบ ประเด็นนี้สามารถนำมาประกอบกับข้อดีของวิธีนี้ในการแก้สมการไร้เหตุผล เนื่องจากในวิธีอื่นๆ ส่วนใหญ่ การตรวจสอบเป็นขั้นตอนบังคับของการแก้ปัญหา ซึ่งช่วยให้สามารถตัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกไปได้ แต่ควรจำไว้ว่าการตรวจสอบโดยการแทนที่วิธีแก้ปัญหาที่พบลงในสมการดั้งเดิมนั้นไม่เคยฟุ่มเฟือย: ทันใดนั้นข้อผิดพลาดในการคำนวณก็พุ่งเข้ามา

นอกจากนี้เรายังทราบด้วยว่าปัญหาของการตรวจสอบและการกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องนั้นมีความสำคัญมากในการแก้สมการไม่ลงตัว ดังนั้นเราจะกลับมาดูในย่อหน้าถัดไปของบทความนี้

วิธีการยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน

การนำเสนอเพิ่มเติมถือว่าผู้อ่านมีความคิดเกี่ยวกับสมการเทียบเท่าและสมการที่พิสูจน์แล้ว

วิธีการยกกำลังทั้งสองข้างของสมการให้มีกำลังเท่ากันนั้นขึ้นอยู่กับข้อความต่อไปนี้:

คำแถลง

การยกกำลังทั้งสองข้างของสมการให้มีกำลังเท่ากันทำให้เกิดสมการที่พิสูจน์ได้ และการยกกำลังทั้งสองข้างของสมการให้เป็นกำลังคี่เท่ากันจะทำให้ได้สมการที่เท่ากัน

การพิสูจน์

ให้เราพิสูจน์สมการด้วยตัวแปรตัวเดียว สำหรับสมการที่มีตัวแปรหลายตัว หลักการพิสูจน์จะเหมือนกัน

ให้ A(x)=B(x) เป็นสมการดั้งเดิม และ x 0 เป็นรากของมัน เนื่องจาก x 0 เป็นรากของสมการนี้ ดังนั้น A(x 0)=B(x 0) – ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริง. เรารู้คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขนี้: การคูณความเท่าเทียมเชิงตัวเลขจริงทีละเทอมจะทำให้ได้ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง ลองคูณเทอมด้วยเทอม 2·k โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติของค่าความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง A(x 0)=B(x 0) จะได้ค่าความเท่ากันของตัวเลขที่ถูกต้อง A 2·k (x 0)= ข 2·k (x 0) . และผลลัพธ์ที่เท่าเทียมกันหมายความว่า x 0 คือรากของสมการ A 2·k (x)=B 2·k (x) ซึ่งได้มาจากสมการดั้งเดิมโดยยกทั้งสองข้างให้มีกำลังธรรมชาติเท่ากัน 2·k .

เพื่อพิสูจน์ความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของรากของสมการ A 2·k (x)=B 2·k (x) ซึ่งไม่ใช่รากของสมการดั้งเดิม A(x)=B(x) มันคือ เพียงพอที่จะยกตัวอย่าง พิจารณาสมการอตรรกยะ และสมการ ซึ่งได้มาจากต้นฉบับโดยยกกำลังสองทั้งสองส่วน เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าศูนย์คือรากของสมการ , จริงหรือ, ว่าสิ่งเดียวกัน 4=4 คือความเท่าเทียมกันที่แท้จริง แต่ในขณะเดียวกัน ศูนย์ก็เป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้องของสมการ เนื่องจากหลังจากแทนศูนย์แล้ว เราจะได้ความเท่าเทียมกัน ซึ่งเหมือนกับ 2=−2 ซึ่งไม่ถูกต้อง นี่เป็นการพิสูจน์ว่าสมการที่ได้รับจากสมการดั้งเดิมโดยการยกกำลังทั้งสองข้างให้เท่ากันสามารถมีรากที่แตกต่างจากสมการดั้งเดิมได้

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าการเพิ่มทั้งสองด้านของสมการให้มีกำลังเท่ากันแม้พลังธรรมชาติจะนำไปสู่สมการที่พิสูจน์ได้

ยังคงต้องพิสูจน์ว่าการเพิ่มทั้งสองด้านของสมการให้มีกำลังธรรมชาติคี่เท่ากันจะให้สมการที่เท่ากัน

ให้เราแสดงว่าแต่ละรากของสมการคือรากของสมการที่ได้มาจากต้นฉบับโดยการยกกำลังทั้งสองส่วนของมันให้เป็นเลขคี่ และในทางกลับกัน แต่ละรากของสมการที่ได้มาจากต้นฉบับโดยการยกทั้งสองส่วนของมันให้เป็นเลขคี่ กำลังคือรากของสมการดั้งเดิม

ขอให้เรามีสมการ A(x)=B(x) . ให้ x 0 เป็นรากของมัน จากนั้นความเท่าเทียมกันของตัวเลข A(x 0)=B(x 0) เป็นจริง ในขณะที่ศึกษาคุณสมบัติของความเท่าเทียมเชิงตัวเลขที่แท้จริง เราได้เรียนรู้ว่าความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริงสามารถคูณได้ทีละเทอม โดยการคูณเทอมด้วยเทอม 2·k+1 โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติ ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง A(x 0)=B(x 0) เราจะได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง A 2·k+1 (x 0)= B 2·k+1 ( x 0) ซึ่งหมายความว่า x 0 เป็นรากของสมการ A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) ตอนนี้กลับมาแล้ว ให้ x 0 เป็นรากของสมการ A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกันของตัวเลข A 2·k+1 (x 0)=B 2·k+1 (x 0) ถูกต้อง เนื่องจากการมีอยู่ของรากคี่ของจำนวนจริงใดๆ และความเป็นเอกลักษณ์ของมัน ความเท่าเทียมกันก็จะเป็นจริงเช่นกัน นี่ก็เนื่องมาจากตัวตน โดยที่ a คือจำนวนจริงใดๆ ที่ต่อจากคุณสมบัติของรากและกำลัง สามารถเขียนใหม่ได้เป็น A(x 0)=B(x 0) ซึ่งหมายความว่า x 0 คือรากของสมการ A(x)=B(x)

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าการเพิ่มทั้งสองด้านของสมการไร้เหตุผลให้เป็นกำลังคี่จะทำให้ได้สมการที่เทียบเท่ากัน

ข้อความที่ได้รับการพิสูจน์แล้วช่วยเติมเต็มคลังแสงที่เรารู้จักซึ่งใช้ในการแก้สมการด้วยการเปลี่ยนแปลงสมการอีกครั้ง - เพิ่มทั้งสองด้านของสมการให้เป็นพลังธรรมชาติเดียวกัน การยกกำลังทั้งสองข้างของสมการให้มีกำลังคี่เท่ากันคือการแปลงที่นำไปสู่สมการที่พิสูจน์ได้ และการยกกำลังให้เป็นคู่ถือเป็นการแปลงที่เท่ากัน วิธีการยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากันนั้นขึ้นอยู่กับการแปลงนี้

การยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังธรรมชาติเท่ากันนั้นส่วนใหญ่จะใช้เพื่อแก้สมการไร้เหตุผล เนื่องจากในบางกรณี การเปลี่ยนแปลงนี้ทำให้สามารถกำจัดสัญญาณของรากได้ เช่น การยกสมการทั้งสองข้าง ยกกำลังของ n จะได้สมการ ซึ่งต่อมาสามารถแปลงเป็นสมการได้ f(x)=g n (x) ซึ่งไม่มีรากทางด้านซ้ายอีกต่อไป ตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็น แก่นแท้ของวิธีการยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน: ใช้การแปลงที่เหมาะสม จะได้สมการที่เรียบง่ายกว่าซึ่งไม่มีเครื่องหมายกรณฑ์อยู่ในสัญลักษณ์ และได้คำตอบของสมการไร้เหตุผลดั้งเดิมโดยใช้วิธีแก้

ตอนนี้เราสามารถอธิบายวิธีการยกสมการทั้งสองข้างได้โดยตรงด้วยพลังธรรมชาติที่เท่ากัน เริ่มต้นด้วยอัลกอริทึมสำหรับการแก้โดยใช้วิธีนี้สมการไร้เหตุผลที่ง่ายที่สุดที่มีเลขชี้กำลังรูทคู่นั่นคือสมการของรูปแบบ โดยที่ k คือจำนวนธรรมชาติ f(x) และ g(x) เป็นนิพจน์ตรรกยะ อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการไร้เหตุผลที่ง่ายที่สุดด้วยเลขชี้กำลังรูทคี่ ซึ่งก็คือสมการของรูปแบบ เราจะให้ในภายหลัง ถ้าอย่างนั้น เรามาดูกันต่อ: ขยายวิธีการยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน ไปสู่สมการไร้เหตุผลที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งมีรากอยู่ใต้เครื่องหมายของราก หรือเครื่องหมายต่างๆ ของราก เป็นต้น

วิธียกกำลังทั้งสองข้างของสมการให้มีกำลังเท่ากัน:

จากข้อมูลข้างต้น เป็นที่ชัดเจนว่าหลังจากขั้นตอนแรกของอัลกอริธึม เราจะมาถึงสมการที่รากประกอบด้วยรากทั้งหมดของสมการดั้งเดิม แต่อาจมีรากที่แตกต่างจากสมการดั้งเดิมด้วย ดังนั้นอัลกอริทึมจึงมีส่วนคำสั่งเกี่ยวกับการกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกไป

มาดูการประยุกต์ใช้อัลกอริทึมที่กำหนดในการแก้สมการไร้เหตุผลโดยใช้ตัวอย่าง

เริ่มต้นด้วยการแก้สมการไร้เหตุผลที่เรียบง่ายและค่อนข้างปกติ โดยยกกำลังสองทั้งสองข้างซึ่งจะนำไปสู่ สมการกำลังสองไม่มีราก

นี่คือตัวอย่างที่รากทั้งหมดของสมการที่ได้มาจากสมการไร้เหตุผลดั้งเดิมโดยการยกกำลังสองทั้งสองข้างกลายเป็นว่าไม่เกี่ยวข้องกับสมการดั้งเดิม สรุป: มันไม่มีราก

ตัวอย่างถัดไปซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย วิธีแก้ของมันไม่เหมือนกับสองวิธีก่อนหน้านี้ คือต้องยกทั้งสองส่วนไม่ใช่กำลังสอง แต่ยกกำลังหก และจะไม่นำไปสู่สมการเชิงเส้นหรือกำลังสองอีกต่อไป แต่จะนำไปสู่สมการกำลังสาม การตรวจสอบจะแสดงให้เราเห็นว่ารากทั้งสามของมันจะเป็นรากของสมการไม่ลงตัวที่ให้ไว้ตั้งแต่แรก

และที่นี่เราจะไปไกลกว่านี้ ในการกำจัดราก คุณจะต้องยกทั้งสองข้างของสมการไร้เหตุผลเป็นกำลังสี่ ซึ่งจะนำไปสู่สมการของกำลังสี่ การตรวจสอบจะแสดงให้เห็นว่ารากที่เป็นไปได้เพียงหนึ่งในสี่เท่านั้นที่จะเป็นรากที่ต้องการของสมการไม่ลงตัว และส่วนที่เหลือจะเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง

ตัวอย่างสามตัวอย่างสุดท้ายแสดงข้อความต่อไปนี้: หากการยกทั้งสองข้างของสมการไร้เหตุผลให้เป็นกำลังคู่เท่ากันทำให้เกิดสมการที่มีราก การตรวจสอบความถูกต้องในภายหลังสามารถแสดงได้ว่า

• หรือพวกมันทั้งหมดเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้องสำหรับสมการดั้งเดิม และไม่มีราก
• หรือไม่มีรากที่ไม่เกี่ยวข้องในหมู่พวกมันเลย และพวกมันล้วนเป็นรากของสมการดั้งเดิม
• หรือเพียงบางคนเท่านั้นที่เป็นบุคคลภายนอก

ถึงเวลาที่ต้องก้าวไปสู่การแก้สมการไร้เหตุผลที่ง่ายที่สุดด้วยเลขชี้กำลังรูตคี่นั่นคือสมการของรูปแบบ . มาเขียนอัลกอริทึมที่เกี่ยวข้องกัน

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการไร้เหตุผล วิธีการยกสมการทั้งสองข้างให้เป็นกำลังคี่เท่ากัน:

• ทั้งสองด้านของสมการไม่ลงตัวถูกยกกำลังเป็นคี่เท่ากัน 2·k+1
• สมการผลลัพธ์ได้รับการแก้ไขแล้ว ผลเฉลยของมันคือคำตอบของสมการดั้งเดิม

โปรดทราบ: อัลกอริธึมข้างต้นตรงกันข้ามกับอัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการไร้เหตุผลที่ง่ายที่สุดด้วยเลขชี้กำลังรูทคู่ ไม่มีส่วนคำสั่งเกี่ยวกับการกำจัดรากที่ไม่เกี่ยวข้อง เราแสดงไว้ข้างต้นว่าการเพิ่มทั้งสองด้านของสมการให้เป็นกำลังคี่คือการแปลงสมการที่เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าการแปลงดังกล่าวไม่ได้ทำให้เกิดรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องกรองออก

ดังนั้น การแก้สมการอตรรกยะโดยยกกำลังคี่เท่ากันทั้งสองฝ่ายสามารถดำเนินการได้โดยไม่ต้องกำจัดบุคคลภายนอก ในขณะเดียวกันก็อย่าลืมว่าเมื่อเพิ่มพลังให้เท่ากันจำเป็นต้องมีการตรวจสอบ

การรู้ข้อเท็จจริงนี้ช่วยให้เราหลีกเลี่ยงการแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกอย่างถูกกฎหมายเมื่อแก้สมการไม่ลงตัว . นอกจากนี้ ในกรณีนี้ เช็คเกี่ยวข้องกับการคำนวณที่ "ไม่พึงประสงค์" จะไม่มีรากที่อยู่ภายนอกอยู่แล้ว เนื่องจากมันถูกยกให้เป็นกำลังคี่ ซึ่งก็คือลูกบาศก์ ซึ่งเป็นการแปลงที่เทียบเท่ากัน เป็นที่ชัดเจนว่าสามารถตรวจสอบได้ แต่ต้องควบคุมตนเองมากกว่า เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของวิธีแก้ปัญหาที่พบต่อไป

เรามาสรุปผลลัพธ์ระดับกลางกันดีกว่า ณ จุดนี้ ประการแรก เราขยายคลังแสงที่รู้จักกันดีอยู่แล้วในการแก้สมการต่างๆ ด้วยการแปลงอีกอย่างหนึ่ง ซึ่งประกอบด้วยการยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน เมื่อยกให้เป็นกำลังที่สม่ำเสมอแล้ว การเปลี่ยนแปลงนี้อาจไม่เท่ากัน และเมื่อใช้งานต้องแน่ใจว่าได้ตรวจสอบเพื่อกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องออก เมื่อยกกำลังเป็นเลขคี่ การแปลงที่ระบุจะเท่ากัน และไม่จำเป็นต้องกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องออก อย่างที่สอง เราเรียนรู้ที่จะใช้การแปลงนี้ เพื่อแก้สมการไร้เหตุผลที่ง่ายที่สุดของแบบฟอร์ม โดยที่ n คือเลขชี้กำลังราก f(x) และ g(x) คือนิพจน์ตรรกยะ

ตอนนี้ถึงเวลาดูการยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากันจากมุมมองทั่วไป สิ่งนี้จะช่วยให้เราสามารถขยายวิธีการแก้สมการไร้เหตุผลโดยอิงจากสมการไร้เหตุผลที่ง่ายที่สุดไปจนถึงสมการไร้เหตุผลประเภทที่ซับซ้อนมากขึ้น ลงมือทำกันเถอะ.

ในความเป็นจริง เมื่อแก้สมการโดยยกทั้งสองข้างของสมการให้มีกำลังเท่ากัน เราจะใช้วิธีการทั่วไปที่เรารู้จักอยู่แล้ว: สมการดั้งเดิมจะแปลงเป็นสมการที่ง่ายกว่า และเปลี่ยนเป็นสมการที่ง่ายกว่าผ่านการแปลงบางอย่าง อย่างใดอย่างหนึ่ง เป็นต้น จนถึงสมการที่เราแก้ได้ เห็นได้ชัดว่าหากในห่วงโซ่ของการแปลง เราใช้วิธียกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน เราก็สามารถพูดได้ว่าเรากำลังปฏิบัติตามวิธีเดียวกันในการยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาให้ชัดเจนว่าการเปลี่ยนแปลงใดและในลำดับใดที่จำเป็นต้องดำเนินการเพื่อแก้สมการไม่ลงตัวโดยการเพิ่มทั้งสองด้านของสมการให้มีกำลังเท่ากัน

ต่อไปนี้เป็นแนวทางทั่วไปในการแก้สมการไร้เหตุผลโดยยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน:

• ขั้นแรก คุณต้องย้ายจากสมการไร้เหตุผลเดิมไปเป็นสมการที่ง่ายกว่า ซึ่งโดยปกติสามารถทำได้โดยดำเนินการสามอย่างต่อไปนี้เป็นวงจร:
  • การแยกราก (หรือเทคนิคที่คล้ายกัน เช่น การแยกผลคูณของราก การแยกเศษส่วนที่มีตัวเศษและ/หรือตัวส่วนเป็นราก ซึ่งยอมให้เมื่อยกสมการทั้งสองข้างขึ้นยกกำลังในเวลาต่อมา กำจัดราก)
  • ลดความซับซ้อนของรูปแบบของสมการ
• ประการที่สอง คุณต้องแก้สมการผลลัพธ์
• สุดท้ายนี้ หากในระหว่างการแก้โจทย์มีการเปลี่ยนแปลงไปเป็นสมการที่เป็นผล (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าทั้งสองข้างของสมการถูกยกให้เป็นกำลังคู่) ก็จำเป็นต้องกำจัดรากที่อยู่ภายนอกออก

นำความรู้ที่ได้รับมาปฏิบัติจริง

ลองแก้ตัวอย่างที่ความสันโดษของรากทำให้สมการไร้เหตุผลมาอยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด หลังจากนั้นสิ่งที่เหลืออยู่คือการยกกำลังสองทั้งสองด้าน แก้สมการที่ได้ผลลัพธ์ และกำจัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกโดยใช้เช็ค

สมการไม่ลงตัวต่อไปนี้สามารถแก้ไขได้โดยการแยกเศษส่วนด้วยเครื่องหมายกรณฑ์ในตัวส่วน ซึ่งสามารถกำจัดออกได้ด้วยการยกกำลังสองของทั้งสองข้างของสมการในภายหลัง แล้วทุกอย่างก็ง่าย: ผลลัพธ์ได้รับการแก้ไขแล้ว สมการตรรกยะเศษส่วนและมีการตรวจสอบเพื่อให้แน่ใจว่าไม่มีรากภายนอกรวมอยู่ในการตอบสนอง

สมการไร้เหตุผลที่มีสองรากเป็นเรื่องปกติ โดยปกติแล้วจะแก้สมการได้สำเร็จโดยยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน ถ้ารากมีดีกรีเท่ากัน และไม่มีพจน์อื่นนอกเหนือจากนั้น การกำจัดรากก็เพียงพอแล้วที่จะแยกรากและทำการยกกำลังครั้งเดียว ดังในตัวอย่างต่อไปนี้

และนี่คือตัวอย่างที่มีรากอยู่สองอัน นอกจากนั้นก็ไม่มีคำศัพท์ด้วย แต่ระดับของรากนั้นแตกต่างกัน ในกรณีนี้ หลังจากแยกรากออกแล้ว แนะนำให้ยกสมการทั้งสองข้างขึ้นยกกำลังเพื่อกำจัดรากทั้งสองพร้อมกัน ระดับดังกล่าวทำหน้าที่เป็นตัวบ่งชี้ถึงราก ในกรณีของเรา องศาของรากคือ 2 และ 3, LCM(2, 3) = 6 ดังนั้น เราจะยกกำลังหกทั้งสองข้าง โปรดทราบว่าเราสามารถดำเนินการตามเส้นทางมาตรฐานได้ แต่ในกรณีนี้ เราจะต้องหันไปใช้การยกทั้งสองส่วนให้ยกกำลังสองครั้ง: ครั้งแรกไปครั้งที่สอง จากนั้นไปที่สาม เราจะแสดงวิธีแก้ปัญหาทั้งสอง

ในกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น เมื่อแก้สมการไร้เหตุผลโดยยกทั้งสองข้างของสมการให้มีกำลังเท่ากัน เราจะต้องหันไปใช้การเพิ่มกำลังสองครั้ง บ่อยน้อยกว่า - สามครั้ง และบ่อยน้อยกว่า - มากขึ้น สมการอตรรกยะข้อแรก ซึ่งแสดงให้เห็นสิ่งที่กล่าวไปแล้ว มีอนุมูลสองตัวและอีกเทอมหนึ่ง

การแก้สมการไร้เหตุผลต่อไปนี้ต้องใช้การยกกำลังต่อเนื่องกันสองครั้งด้วย หากคุณไม่ลืมแยกอนุมูลออกจากกัน การยกกำลังสองค่าก็เพียงพอที่จะกำจัดอนุมูลทั้งสามที่อยู่ในสัญกรณ์ได้

วิธีการยกสมการไร้เหตุผลทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากันทำให้สามารถรับมือกับสมการไร้ตรรกยะซึ่งมีอีกรากหนึ่งอยู่ใต้ราก นี่คือวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างทั่วไป

ในที่สุด ก่อนที่จะไปยังการวิเคราะห์วิธีการต่อไปนี้ในการแก้สมการไร้เหตุผล จำเป็นต้องทราบข้อเท็จจริงที่ว่าการยกสมการไร้เหตุผลทั้งสองด้านให้เป็นกำลังเดียวกันนั้น สามารถให้สมการที่มี ชุดอนันต์การตัดสินใจ สมการที่มีรากจำนวนมากเป็นอนันต์สามารถหาได้ เช่น โดยการยกกำลังสองข้างของสมการไม่ลงตัว และการทำให้รูปแบบของสมการผลลัพธ์ง่ายขึ้นในภายหลัง อย่างไรก็ตาม ด้วยเหตุผลที่ชัดเจน เราไม่สามารถดำเนินการตรวจสอบการเปลี่ยนตัวได้ ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องหันไปใช้วิธีการตรวจสอบอื่น ซึ่งเราจะพูดถึง หรือละทิ้งวิธีการยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน หันไปใช้วิธีแก้โจทย์อื่น เช่น เลือกใช้วิธีอื่น ที่ถือว่า

เราตรวจสอบคำตอบของสมการไร้เหตุผลทั่วไปโดยยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน วิธีการทั่วไปที่ศึกษาทำให้สามารถรับมือกับสมการไร้เหตุผลอื่นๆ ได้ หากวิธีการแก้ปัญหานี้เหมาะสมกับสมการเหล่านั้นเลย

วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่

เมื่อใดที่ยังค่อนข้างง่ายที่จะเห็นความเป็นไปได้ของการแนะนำตัวแปรใหม่? เมื่อสมการมีเศษส่วน "กลับด้าน" และ (เมื่อได้รับอนุญาตจากคุณ เราจะเรียกพวกมันว่าผกผันกันโดยการเปรียบเทียบกับ ) เราจะแก้สมการตรรกยะด้วยเศษส่วนแบบนี้ได้อย่างไร? เราจะนำเศษส่วนตัวใดตัวหนึ่งมาเป็นตัวแปรใหม่ t ในขณะที่เศษส่วนอีกตัวหนึ่งจะแสดงผ่านตัวแปรใหม่เป็น 1/t ในสมการไร้เหตุผล การแนะนำตัวแปรใหม่ในลักษณะนี้ไม่สามารถนำไปใช้ได้จริงเสียทีเดียว เนื่องจากคุณจะต้องแนะนำตัวแปรอื่นเพื่อที่จะกำจัดรากออกไปอีก จะดีกว่าถ้ายอมรับรากของเศษส่วนเป็นตัวแปรใหม่ทันที จากนั้นแปลงสมการดั้งเดิมโดยใช้ค่าที่เท่ากันตัวใดตัวหนึ่ง และ ซึ่งจะช่วยให้คุณสามารถย้ายไปยังสมการที่มีตัวแปรใหม่ได้ ลองดูตัวอย่าง

อย่าลืมเกี่ยวกับตัวเลือกการเปลี่ยนที่ทราบอยู่แล้ว ตัวอย่างเช่น นิพจน์ x+1/x และ x 2 +1/x 2 อาจปรากฏในการบันทึกสมการไม่ลงตัว ซึ่งทำให้ใคร่ครวญถึงความเป็นไปได้ในการแนะนำตัวแปรใหม่ x+1/x=t ความคิดนี้ไม่ได้เกิดขึ้นโดยบังเอิญ เพราะเราได้ทำไปแล้วเมื่อเราตัดสินใจแล้ว สมการกลับกัน. วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่นี้เหมือนกับวิธีการอื่นๆ ที่เรารู้จักอยู่แล้ว ควรคำนึงถึงเมื่อแก้สมการไม่ลงตัว เช่นเดียวกับสมการประเภทอื่นๆ

เราก้าวไปสู่สมการไร้เหตุผลที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น ซึ่งเหมาะสำหรับการแนะนำสมการใหม่ การแสดงออกของตัวแปรมองเห็นได้ยากขึ้น เรามาเริ่มด้วยสมการที่นิพจน์รากเหมือนกัน แต่ต่างจากกรณีที่กล่าวไว้ข้างต้น เลขชี้กำลังที่ใหญ่กว่าของรากหนึ่งไม่ได้หารด้วยเลขชี้กำลังที่น้อยกว่าของรากอีกอันจนหมด มาดูวิธีเลือกนิพจน์ที่ถูกต้องเพื่อแนะนำตัวแปรใหม่ในกรณีเช่นนี้

เมื่อนิพจน์รากเท่ากัน และเลขชี้กำลังที่ใหญ่กว่าของรากหนึ่ง k 1 ไม่ได้หารด้วยเลขชี้กำลังที่น้อยกว่าของรากอีกอันหนึ่ง k 2 รากของระดับ LCM (k 1 , k 2) สามารถใช้เป็น ตัวแปรใหม่ โดยที่ LCM คือ . ตัวอย่างเช่น ในสมการไม่ลงตัว รากจะเท่ากับ 2 และ 3 โดยที่ 3 ไม่ใช่ผลคูณของสอง LCM(3, 2)=6 ดังนั้นจึงสามารถใช้ตัวแปรใหม่เป็น . นอกจากนี้ คำจำกัดความของราก เช่นเดียวกับคุณสมบัติของราก ช่วยให้คุณสามารถแปลงสมการดั้งเดิมเพื่อเลือกนิพจน์อย่างชัดเจน จากนั้นแทนที่ด้วยตัวแปรใหม่ เรานำเสนอคำตอบที่สมบูรณ์และมีรายละเอียดสำหรับสมการนี้

โดยใช้หลักการที่คล้ายกัน ตัวแปรใหม่จะถูกนำมาใช้ในกรณีที่นิพจน์ใต้รากแตกต่างกันในหน่วยองศา ตัวอย่างเช่น หากในสมการไม่ลงตัว ตัวแปรจะอยู่ใต้รากเท่านั้น และรากนั้นมีรูปแบบ และ คุณควรคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของราก LCM(3, 4) = 12 แล้วหา นอกจากนี้ตามคุณสมบัติของรากและพลัง รากควรถูกแปลงเป็น และ ซึ่งจะทำให้คุณสามารถแนะนำตัวแปรใหม่ได้

คุณสามารถดำเนินการในลักษณะเดียวกันในสมการไร้เหตุผลซึ่งภายใต้รากที่มีเลขชี้กำลังต่างกันจะมีเศษส่วนผกผันร่วมกัน และ . นั่นคือขอแนะนำให้ทำการรูทโดยมีตัวบ่งชี้เท่ากับ LCM ของตัวบ่งชี้รูทเป็นตัวแปรใหม่ ถ้าอย่างนั้น มาดูสมการด้วยตัวแปรใหม่ซึ่งช่วยให้เราสร้างความเท่าเทียมกันได้ และ คำจำกัดความของราก ตลอดจนคุณสมบัติของรากและพลัง ลองดูตัวอย่าง

ตอนนี้เรามาพูดถึงสมการที่สามารถสงสัยความเป็นไปได้ของการแนะนำตัวแปรใหม่เท่านั้น และหากสำเร็จ จะเปิดขึ้นหลังจากการเปลี่ยนแปลงที่ค่อนข้างร้ายแรงเท่านั้น ตัวอย่างเช่น หลังจากการแปลงที่ไม่ชัดเจนหลายชุดเท่านั้นจึงจะมีสมการไร้เหตุผลมาสู่รูปแบบ ซึ่งเปิดทางไปสู่การแทนที่ . ลองหาวิธีแก้ปัญหาให้กับตัวอย่างนี้กัน

สุดท้ายนี้มาเพิ่มความแปลกใหม่กันสักหน่อย บางครั้งสมการไร้เหตุผลสามารถแก้ไขได้ด้วยการแนะนำตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว แนวทางการแก้สมการนี้มีเสนอไว้ในตำราเรียน ที่นั่นเพื่อแก้สมการไม่ลงตัว เสนอให้ป้อนตัวแปรสองตัว . หนังสือเรียนมีวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ มาดูรายละเอียดกันดีกว่า

การแก้สมการไร้เหตุผลโดยใช้วิธีแยกตัวประกอบ

นอกจากวิธีการแนะนำตัวแปรใหม่แล้ว ยังมีวิธีทั่วไปอื่นๆ ที่ใช้ในการแก้สมการไม่ลงตัว โดยเฉพาะวิธีการแยกตัวประกอบ บทความในลิงก์ที่ระบุในประโยคก่อนหน้าจะกล่าวถึงรายละเอียดว่าเมื่อใดที่ใช้วิธีการแยกตัวประกอบ สาระสำคัญคืออะไร และมีพื้นฐานมาจากอะไร ในที่นี้เราไม่ได้สนใจวิธีการนั้นมากกว่า แต่สนใจในการใช้ในการแก้สมการไร้เหตุผลมากกว่า ดังนั้นเราจะนำเสนอเนื้อหาดังต่อไปนี้: เราจะจำบทบัญญัติหลักของวิธีการโดยสังเขปหลังจากนั้นเราจะวิเคราะห์รายละเอียดวิธีแก้ปัญหาของสมการไร้เหตุผลเชิงคุณลักษณะโดยใช้วิธีการแยกตัวประกอบ

วิธีแยกตัวประกอบใช้ในการแก้สมการโดยมีผลคูณทางด้านซ้ายและศูนย์ทางด้านขวานั่นคือเพื่อแก้สมการของรูป ฉ 1 (x) ฉ 2 (x) ฉ n (x)=0โดยที่ f 1, f 2, …, f n คือฟังก์ชันบางฟังก์ชัน สาระสำคัญของวิธีนี้คือการแทนที่สมการ ฉ 1 (x) ฉ 2 (x) ฉ n (x)=0บนตัวแปร x สำหรับสมการดั้งเดิม

ส่วนแรกของประโยคสุดท้ายเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงไปสู่จำนวนทั้งสิ้นตามมาจากสิ่งที่เป็นที่รู้จัก โรงเรียนประถมข้อเท็จจริง: ผลคูณของตัวเลขหลายตัวจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ การมีอยู่ของส่วนที่สองเกี่ยวกับ ODZ นั้นอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าการเปลี่ยนจากสมการ ฉ 1 (x) ฉ 2 (x) ฉ n (x)=0สู่ชุดสมการ ฉ 1 (x)=0, ฉ 2 (x)=0, …, ฉ n (x)=0อาจไม่เท่ากันและนำไปสู่การปรากฏตัวของรากภายนอกซึ่งในกรณีนี้สามารถกำจัดได้โดยคำนึงถึง ODZ เป็นที่น่าสังเกตว่าหากสะดวกการคัดแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องสามารถทำได้ไม่เพียง แต่ผ่าน ODZ เท่านั้น แต่ยังดำเนินการด้วยวิธีอื่น ๆ เช่นโดยการตรวจสอบโดยการแทนที่รากที่พบลงในสมการดั้งเดิม

ดังนั้นเพื่อแก้สมการ ฉ 1 (x) ฉ 2 (x) ฉ n (x)=0จำเป็นต้องใช้วิธีการแยกตัวประกอบรวมถึงการไม่ลงตัวด้วย

• ไปที่เซตของสมการ ฉ 1 (x)=0, ฉ 2 (x)=0, …, ฉ n (x)=0,
• แก้ชุดที่แต่ง
• หากไม่มีชุดคำตอบ ให้สรุปว่าสมการเดิมไม่มีราก หากมีรากก็ให้กำจัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกไป

เรามาดูส่วนที่ใช้งานได้จริงกันดีกว่า

ด้านซ้ายมือของสมการไร้เหตุผลทั่วไป ซึ่งแก้ได้โดยการแยกตัวประกอบ เป็นผลคูณของนิพจน์พีชคณิตหลายนิพจน์ ซึ่งมักจะเป็นทวินามเชิงเส้นและตรีโกณมิติกำลังสอง และมีรากหลายค่าที่มี นิพจน์พีชคณิตข้างใต้พวกเขา มีศูนย์ทางด้านขวา สมการดังกล่าวเหมาะอย่างยิ่งสำหรับการเพิ่มทักษะเบื้องต้นในการแก้โจทย์เหล่านั้น เราจะเริ่มด้วยการแก้สมการที่คล้ายกัน เราจะพยายามบรรลุเป้าหมายสองประการ:

• พิจารณาทุกขั้นตอนของอัลกอริทึมวิธีการแยกตัวประกอบเมื่อแก้สมการไม่ลงตัว
• ระลึกถึงสามวิธีหลักในการแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกไป (โดย ODZ ตามเงื่อนไข ODZ และโดยการแทนที่คำตอบโดยตรงในสมการดั้งเดิม)

สมการไร้เหตุผลต่อไปนี้เป็นเรื่องปกติในแง่ที่ว่าเมื่อแก้ไขโดยใช้วิธีการแยกตัวประกอบจะสะดวกในการกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกตามเงื่อนไขของ ODZ และไม่เป็นไปตาม ODZ ในรูปแบบของชุดตัวเลขเนื่องจาก เป็นการยากที่จะได้รับ ODZ ในรูปแบบของตัวประกอบตัวเลข ความยากคือหนึ่งในเงื่อนไขที่กำหนด DL คือ ความไม่เท่าเทียมกันอย่างไม่มีเหตุผล . วิธีการแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกไปทำให้สามารถทำได้โดยไม่ต้องแก้ปัญหา ยิ่งกว่านั้น บางครั้งนักคณิตศาสตร์ในหลักสูตรของโรงเรียนไม่ได้รับการสอนเกี่ยวกับการแก้ปัญหาความไม่สมดุลแบบไม่มีเหตุผลเลย

เป็นการดีเมื่อสมการมีผลคูณทางด้านซ้ายและมีศูนย์ทางด้านขวา ในกรณีนี้ คุณสามารถไปที่เซตของสมการได้ทันที แก้มัน ค้นหาและละทิ้งรากที่ไม่เกี่ยวข้องกับสมการดั้งเดิม ซึ่งจะให้คำตอบที่ต้องการ แต่บ่อยครั้งที่สมการมีรูปแบบที่แตกต่างออกไป หากในเวลาเดียวกันมีโอกาสที่จะแปลงเป็นรูปแบบที่เหมาะสมสำหรับการใช้วิธีแยกตัวประกอบ ทำไมไม่ลองดำเนินการแปลงที่เหมาะสมดู ตัวอย่างเช่น หากต้องการได้ผลลัพธ์ทางด้านซ้ายของสมการไร้เหตุผลต่อไปนี้ ก็เพียงพอที่จะหันไปใช้ผลต่างของกำลังสอง

มีสมการอีกประเภทหนึ่งที่ปกติจะแก้ได้โดยการแยกตัวประกอบ ประกอบด้วยสมการซึ่งทั้งสองด้านเป็นผลคูณที่มีตัวประกอบเหมือนกันในรูปแบบของนิพจน์กับตัวแปร ตัวอย่างเช่น นี่คือสมการไม่ลงตัว . คุณสามารถไปได้โดยการหารทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวประกอบเดียวกันแต่คุณต้องไม่ลืมตรวจสอบค่าที่ทำให้นิพจน์เหล่านี้หายไปแยกจากกัน ไม่เช่นนั้น คุณอาจสูญเสียคำตอบเพราะการหารทั้งสองข้างของสมการด้วยนิพจน์เดียวกัน อาจเป็นการเปลี่ยนแปลงที่ไม่เท่ากัน การใช้วิธีแยกตัวประกอบมีความน่าเชื่อถือมากกว่าซึ่งทำให้รับประกันได้ว่ารากจะไม่สูญหายไปในระหว่างการแก้ปัญหาที่ถูกต้องเพิ่มเติม เห็นได้ชัดว่าในการทำเช่นนี้ ก่อนอื่นคุณต้องได้ผลลัพธ์ทางด้านซ้ายของสมการ และเป็นศูนย์ทางด้านขวา ง่ายมาก: เพียงย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้าย เปลี่ยนเครื่องหมาย และนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ ให้เราแสดงคำตอบที่สมบูรณ์ของสมการไร้เหตุผลที่คล้ายกัน แต่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อย

การเริ่มแก้สมการใดๆ ก็ตาม (เช่นเดียวกับการแก้ปัญหาอื่นๆ จริงๆ) มีประโยชน์โดยการค้นหา ODZ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากค้นหา ODZ ได้ง่าย ให้เราให้ข้อโต้แย้งที่ชัดเจนที่สุดเพื่อสนับสนุนเรื่องนี้

ดังนั้นเมื่อได้รับงานแก้สมการแล้ว คุณไม่ควรรีบเร่งในการแปลงและการคำนวณโดยไม่มองย้อนกลับไป อาจจะแค่ดู ODZ หรือเปล่า? สิ่งนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนโดยสมการไม่ลงตัวต่อไปนี้

วิธีกราฟิกเชิงฟังก์ชัน

วิธีการแบบกราฟิก

การใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันเพิ่มและลด

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว วิธีการแก้สมการเชิงตรรกะแบบกราฟิกนั้นไม่สะดวกในกรณีที่นิพจน์ทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการค่อนข้างซับซ้อนในแง่ที่ว่าการสร้างกราฟฟังก์ชันที่สอดคล้องกันนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย แต่บ่อยครั้งแทนที่จะใช้กราฟ คุณสามารถอ้างถึงคุณสมบัติของฟังก์ชันได้ มีวิธีแก้สมการที่ใช้ความน่าเบื่อของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับส่วนต่างๆ ของสมการ โดยเฉพาะวิธีนี้ทำให้คุณสามารถแก้สมการไร้เหตุผลได้ มันขึ้นอยู่กับข้อความต่อไปนี้:

คำแถลง

ถ้าบนเซต X ฟังก์ชัน f ถูกกำหนดไว้และเป็นแบบโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด (เพิ่มขึ้นหรือลดลง) ดังนั้นสมการ f(x)=C โดยที่ C คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง อาจมีรากเดียวหรือไม่มีรากบนเซตที่ระบุ

คำสั่งต่อไปนี้เดือดลงมา:

คำแถลง

ถ้าฟังก์ชัน f และ g ถูกกำหนดบนเซต X และฟังก์ชันหนึ่งเพิ่มขึ้นและอีกฟังก์ชันหนึ่งลดลง ดังนั้นสมการ f(x)=g(x) จะมีรากเดียวหรือไม่มีรากบนเซต X

ข้อความเหล่านี้มักจะใช้ในการแก้สมการเมื่อเป็นไปได้ที่จะหารากหนึ่งของสมการได้ และยังสามารถพิสูจน์การเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องได้

สำหรับการหารากของสมการนั้น ในกรณีทั่วไปจะต้องเดาได้ชัดเจนหรือง่าย โดยปกติ รากของสมการไม่ลงตัวคือตัวเลขจำนวนหนึ่งจาก ODZ เมื่อนำไปแทนลงในสมการดั้งเดิมใต้ราก เราจะได้ตัวเลขที่สามารถแยกรากออกได้ง่าย

สำหรับการพิสูจน์ฟังก์ชันเพิ่ม-ลด มักจะพิจารณาจากคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐาน ฟังก์ชันเบื้องต้นและมีชื่อเสียง คุณสมบัติของฟังก์ชันเพิ่มและลด(เช่นรากของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นคือฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น) หรือในกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น อนุพันธ์จะถูกใช้สำหรับการพิสูจน์

ลองดูจุดเหล่านี้เมื่อแก้สมการไม่ลงตัว

เริ่มต้นด้วยการแก้สมการไร้เหตุผลทั่วไป: พิสูจน์การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับส่วนใดส่วนหนึ่งของมัน การลดลงของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับส่วนอื่น ๆ ของสมการได้รับการพิสูจน์แล้ว และเลือกรูตจาก ODZ ของตัวแปร สำหรับสมการซึ่งในกรณีนี้จะไม่ซ้ำกัน

สมการไร้เหตุผลต่อไปนี้ยังต้องได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีเชิงฟังก์ชัน-กราฟิก รากของสมการหาได้ง่ายเหมือนในตัวอย่างก่อนหน้านี้ แต่ต้องพิสูจน์การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันหนึ่งและการลดลงของฟังก์ชันอื่นโดยใช้อนุพันธ์

ให้เราสรุปประเด็นการใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันเพิ่มและลดเมื่อแก้สมการ:

• หากมองเห็นรากของสมการได้ ก็ลองตรวจสอบฟังก์ชันที่สอดคล้องกับด้านซ้ายและด้านขวาของสมการเพื่อเพิ่มและลดได้ บางทีนี่อาจจะทำให้เราสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ของรากที่พบได้
• หากชัดเจนว่าฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่ง f และ g กำลังลดลงและอีกฟังก์ชันหนึ่งเพิ่มขึ้น คุณควรพยายามค้นหารากที่เป็นไปได้เพียงฟังก์ชันเดียวของสมการด้วยวิธีใดก็ตามที่มี ถ้าเราหารากนี้เจอ สมการก็จะถูกแก้

วิธีการประเมินผล

ในที่สุด เราก็มาถึงวิธีสุดท้ายในสามวิธีหลักเชิงฟังก์ชัน-กราฟิกสำหรับการแก้สมการ ซึ่งขึ้นอยู่กับการใช้ขอบเขตของฟังก์ชัน เรามาตกลงที่จะเรียกวิธีการประเมินเชิงฟังก์ชันประเภทนี้ว่าวิธีการประเมิน

โดยทั่วไปวิธีการประมาณค่าใช้ในการแก้สมการในรูปแบบ f(x)=C โดยที่ f(x) คือนิพจน์บางส่วนที่มีตัวแปร x (และ f คือฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน) C คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง หรือรูปแบบ g(x) )=h(x) โดยที่ g(x) และ h(x) คือนิพจน์บางส่วนที่มีตัวแปร x (และ g และ h เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน) โปรดทราบว่าสมการ g(x)=h(x) สามารถลดลงเป็นสมการที่เทียบเท่าในรูปแบบ f(x)=C ได้เสมอ (โดยเฉพาะโดยการถ่ายโอนนิพจน์ h(x) จากด้านขวาไปด้านซ้าย ที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม) กล่าวคือ เราสามารถจำกัดตัวเองให้พิจารณาวิธีการประมาณค่าเฉพาะสมการที่อยู่ในรูป f(x)=C เท่านั้น อย่างไรก็ตาม บางครั้งการใช้สมการในรูปแบบ g(x)=h(x) ก็ค่อนข้างสะดวก ดังนั้นเราจะไม่ปฏิเสธที่จะพิจารณาสมการเหล่านี้

การแก้สมการโดยใช้วิธีการประมาณค่านั้นดำเนินการในสองขั้นตอน ขั้นตอนแรกคือการประมาณค่าของฟังก์ชัน f (หรือนิพจน์ที่สอดคล้องกัน f(x) ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือสิ่งเดียวกัน) หากสมการ f(x)=C ได้รับการแก้ไขหรือประมาณค่าของ ฟังก์ชัน g และ h (หรือนิพจน์ที่สอดคล้องกัน f(x ) และ g(x) ) ถ้าสมการ g(x)=h(x) ได้รับการแก้ไข ขั้นตอนที่สองคือการใช้ค่าประมาณที่ได้รับเพื่อค้นหารากของสมการเพิ่มเติมหรือหาเหตุผลว่าไม่มีอยู่ มาชี้แจงประเด็นเหล่านี้กันดีกว่า

ค่าฟังก์ชันมีการประเมินอย่างไร? ปัญหานี้จะมีการกล่าวถึงโดยละเอียดใน ที่นี่เราจะจำกัดตัวเองให้แสดงรายการวิธีการประมาณค่าที่ใช้บ่อยที่สุดเมื่อแก้สมการไม่ลงตัวโดยใช้วิธีการประมาณค่า นี่คือรายการวิธีการประเมินผล:

• การประเมินตามคำจำกัดความของรูตที่มีเลขชี้กำลังเลขคู่ เนื่องจากตามคำนิยามแล้ว รากที่มีเลขชี้กำลังคู่จะเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ดังนั้นสำหรับ x ใดๆ จาก ODZ สำหรับนิพจน์ โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติ p(x) คือนิพจน์จำนวนหนึ่ง อสมการจึงเป็นจริง และ ถ้าหาก p(x)= 0 เท่านั้น
• การประมาณค่าตามคุณสมบัติของรากต่อไปนี้: สำหรับจำนวน a และ b ใดๆ ที่ไม่ใช่ลบ, a , ≥ ) เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน (≤ , > , ≥ ) ถ้า x ใดๆ จาก OD มีความไม่เท่าเทียมกัน p(x) เป็นที่พอใจสำหรับนิพจน์ , ≥ ) โดยที่ c คือจำนวนที่ไม่เป็นลบ ดังนั้นสำหรับ x ใดๆ จาก ODZ ความไม่เท่าเทียมกัน (≤ , > , ≥ ) จะเป็นจริง
• การประมาณโดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังของจำนวนใดๆ ที่มีเลขชี้กำลังเป็นเลขคู่นั้นเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ สำหรับ x ใดๆ จาก ODZ สำหรับนิพจน์ p 2·n (x) อสมการ p 2·n (x)≥0 เป็นจริง และ p 2·n (x)=0 ก็ต่อเมื่อ p(x)= 0.
• การประมาณค่า ตรีโกณมิติกำลังสอง. ในการประมาณค่า คุณสามารถใช้พิกัดของจุดยอดของพาราโบลาและมีการแบ่งแยกเชิงลบ - เป็นศูนย์
  • ถ้า a>0 แล้ว a x 2 +b x+c≥y 0 โดยที่ y 0 คือพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา และถ้า a<0 , то a·x 2 +b·x+c≤y 0 .
  • ถ้า a>0 และจำแนก D<0 , то a·x 2 +b·x+c>0 และถ้าก<0 и D<0 , то a·x 2 +b·x+c<0 .
• การประมาณค่าตามคุณสมบัติของอสมการเชิงตัวเลข
• การประมาณค่าผ่านค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันที่พบโดยใช้อนุพันธ์ ถ้า A เป็นค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน p บนเซต X แล้วอสมการ p(x)≥A จะเป็นจริงบน X ถ้า B เป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน p บนเซต X แล้วอสมการ p(x)≤B จะคงอยู่บน X

สมมติว่าเราได้ทำขั้นตอนแรกเสร็จแล้วนั่นคือเราได้ประมาณค่าของฟังก์ชันแล้ว คำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้นเกี่ยวกับวิธีใช้ค่าประมาณที่ได้รับเพิ่มเติมเพื่อแก้สมการ จากนั้นคุณต้องอ้างอิงถึงข้อความใดข้อความหนึ่งต่อไปนี้:

บทบัญญัติของข้อความกลุ่มที่สองเป็นไปตามคุณสมบัติของการบวกและการคูณของอสมการตัวเลขจริงที่มีความหมายเดียวกัน

บล็อกตำแหน่งแรกจะชัดเจนหากคุณจินตนาการถึงตำแหน่งสัมพัทธ์ของกราฟของฟังก์ชัน f และเส้นตรง y=C และตำแหน่งของบล็อกที่เหลือ - หากคุณจินตนาการถึงตำแหน่งสัมพัทธ์ของกราฟของฟังก์ชัน g และ ชม.

ลองดูที่กลุ่มคำสั่งแรก เมื่อกราฟของฟังก์ชัน f อยู่ต่ำกว่าหรือไม่อยู่เหนือเส้น y=A ซึ่งในทางกลับกันก็อยู่ต่ำกว่าเส้น y=C จะเห็นได้ชัดว่ากราฟนั้นไม่ได้ตัดกับเส้น y=C ซึ่งบอกเป็นนัยว่าไม่มี รากของสมการ f(x)=C เมื่อกราฟของฟังก์ชัน f สูงหรือไม่ต่ำกว่าเส้นตรง y=B ซึ่งในทางกลับกันจะสูงกว่าเส้นตรง y=C จะเห็นได้ชัดว่ากราฟนั้นไม่ได้ตัดกับเส้นตรง y=C นี่แสดงถึงการไม่มีรากของสมการ f(x)=C เมื่อกราฟของฟังก์ชัน f อยู่ต่ำกว่าหรือเหนือเส้น y=C จะเห็นได้ชัดว่ากราฟของฟังก์ชัน f อยู่ต่ำกว่าหรือเหนือเส้นนี้ แสดงว่ากราฟนั้นไม่ได้ตัดกับเส้นนี้ และยังแสดงถึงการไม่มีรากของสมการ f(x)=C อีกด้วย

ตอนนี้เรามาดูการจัดกลุ่มคำสั่งที่สามกัน ปล่อยให้เซต X ค่าของฟังก์ชัน g น้อยกว่าหรือไม่มากกว่าตัวเลข A และค่าของฟังก์ชัน h มากกว่าหรือไม่น้อยกว่าตัวเลข B ซึ่งหมายความว่าจุดทั้งหมดบนกราฟของฟังก์ชัน g อยู่ต่ำกว่าหรือไม่อยู่เหนือเส้น y=A และจุดบนกราฟของฟังก์ชัน h อยู่เหนือหรือไม่ต่ำกว่าเส้น y=B เห็นได้ชัดว่าในชุด X สำหรับ A

มาดูประโยคคำสั่งที่สี่กันดีกว่า ในกรณีแรก กราฟหนึ่งจะอยู่ใต้เส้นนี้ ส่วนอีกกราฟจะอยู่เหนือเส้นนี้ ในกรณีที่สอง กราฟหนึ่งไม่ได้อยู่เหนือเส้นนี้ และอีกกราฟหนึ่งอยู่เหนือเส้นนี้ ในกรณีที่สาม กราฟหนึ่งอยู่ต่ำกว่าเส้นนี้ และอีกกราฟหนึ่งไม่ต่ำกว่าเส้นนี้ เป็นที่ชัดเจนว่าในทุกกรณี กราฟไม่มีจุดร่วม ซึ่งหมายความว่าสมการ g(x) = h(x) ไม่มีทางแก้ได้

ในสถานการณ์หลัง กราฟของฟังก์ชันหนึ่งไม่สูงกว่าเส้นตรง y=C และกราฟของอีกฟังก์ชันหนึ่งไม่ต่ำกว่าเส้นตรงนี้ เป็นที่ชัดเจนว่ากราฟสามารถมีจุดร่วมได้เฉพาะบนเส้นนี้เท่านั้น สิ่งนี้จะอธิบายการเปลี่ยนจากสมการ g(x)=h(x) ไปเป็นระบบ

คุณสามารถฝึกฝนต่อไปได้ ให้เราพิจารณาคำตอบของสมการไม่ลงตัวเชิงคุณลักษณะโดยใช้วิธีการประมาณค่า

ประการแรก ควรทำความเข้าใจเกี่ยวกับความถูกต้องแม่นยำในการประมาณค่าของนิพจน์ เพื่อให้ชัดเจนว่าคำถามนี้มาจากไหน ให้ดูการประมาณค่ารากสามค่า: อันดับแรก ครั้งที่สอง สาม แล้วบอกฉันว่าชอบอันไหน? เราจะละทิ้งอันแรกเนื่องจากส่วนใหญ่จะคิดไกล แต่การประมาณค่าที่สองและสามนั้นค่อนข้างใช้ได้และทั้งนี้ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ ทั้งอันแรกนั้นค่อนข้างหยาบและอันที่สองสามารถใช้ได้ ลองดูปัญหานี้จากมุมมองเชิงปฏิบัติ

เพื่อพิสูจน์ว่าสมการไม่มีคำตอบ การประมาณคร่าวๆ ก็เพียงพอแล้ว ข้อได้เปรียบหลักของการประมาณค่าคร่าวๆ มากกว่าการประมาณการที่แม่นยำกว่าคือสามารถหาค่าได้ค่อนข้างง่าย การประมาณค่าคร่าวๆ นั้นชัดเจนในทางปฏิบัติและไม่จำเป็นต้องวิจัยเพิ่มเติม เนื่องจากค่าเหล่านี้อยู่บนพื้นฐานของข้อเท็จจริงที่รู้จักกันดี เช่น รากที่สองเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ โมดูลัสเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ กำลังสองของตัวเลขคือ จำนวนที่ไม่เป็นลบ ผลรวมของส่วนกลับที่เป็นบวกไม่น้อยกว่าสอง ค่าของตรีโกณมิติกำลังสองที่มีคำนำหน้าเป็นลบ และค่าแบ่งแยกเชิงลบเป็นค่าลบ เป็นต้น ดังนั้น ในการแก้สมการไร้เหตุผลต่อไปนี้ด้วยวิธีประมาณค่า การประมาณค่ารากอย่างคร่าวๆ ในด้านหนึ่งและตรีโกณมิติกำลังสองในอีกทางหนึ่งก็เพียงพอแล้ว

โดยปกติแล้วการประมาณค่าฟังก์ชันหรือนิพจน์คร่าวๆ จะง่ายกว่าการประมาณค่าที่แม่นยำ แต่บ่อยครั้งที่การประมาณคร่าวๆ ไม่อนุญาตให้เราสรุปเกี่ยวกับรากของสมการที่กำลังแก้ได้ ในขณะที่การประมาณที่แม่นยำยิ่งขึ้นก็ทำให้สิ่งนี้เป็นไปได้ มาแก้สมการอตรรกยะทั่วไปกัน

เริ่มต้นด้วยการแก้สมการไร้เหตุผลที่เรียบง่าย แต่มีลักษณะเฉพาะมาก: การประมาณค่าของด้านซ้ายตามมาจากการประมาณรากที่เป็นส่วนประกอบและจากการประมาณผลลัพธ์ที่ได้ข้อสรุปตามมาว่าไม่มีรากของสมการ

สถานการณ์จะน่าสนใจยิ่งขึ้นเมื่อนิพจน์ที่สอดคล้องกับด้านซ้ายของสมการไร้เหตุผล f(x)=C คือผลรวมหรือผลคูณของหลายนิพจน์ และค่าของนิพจน์นั้นประมาณไว้เป็น f(x)≤C หรือ f(x) ≥C ในกรณีเช่นนี้ ข้อความที่เขียนข้างต้นกำหนดให้มีการเปลี่ยนจากสมการไร้เหตุผลแบบเดิมไปเป็นระบบสมการที่เทียบเท่ากัน ให้เรานำเสนอคำตอบของสมการไม่ลงตัวที่เป็นลักษณะเฉพาะ

เรามารวมทักษะในการเปลี่ยนแปลงโดยใช้วิธีการประมาณค่าจากสมการไร้เหตุผล f(x) = C โดยมีผลรวมหรือผลคูณทางด้านซ้ายให้เป็นระบบสมการที่เทียบเท่ากัน ในการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการไร้เหตุผลที่ค่อนข้างซับซ้อน ทางด้านซ้ายคือผลรวมของนิพจน์ที่ไม่ลงตัวสองนิพจน์ หนึ่งในนั้นคือผลคูณของสองนิพจน์ หลักการแก้โจทย์จะเหมือนกัน: เราได้ค่าประมาณที่ช่วยให้เราสามารถย้ายจากสมการดั้งเดิมไปเป็นระบบที่เทียบเท่าได้

มาดูสมการไร้เหตุผลของรูปแบบกันดีกว่า g(x)=h(x) .

ตัวอย่างก่อนหน้านี้ค่อนข้างง่ายในแง่ของการประเมินค่าของนิพจน์และฟังก์ชัน ถึงเวลาที่ต้องทำงานด้านการประเมินโดยละเอียดมากขึ้น ด้วยเหตุผลที่ชัดเจน เราจะมุ่งเน้นไปที่วิธีการประเมินผลซึ่งต้องใช้บ่อยที่สุดเมื่อแก้สมการไร้เหตุผลโดยใช้วิธีประเมิน เริ่มจากวิธีการประมาณค่าที่ไม่ต้องใช้การหาอนุพันธ์กันก่อน ดังนั้นเพื่อที่จะแก้สมการไร้เหตุผลต่อไปนี้ คุณจะต้องใช้วิธีการที่รู้จักเกือบทั้งหมด: จากคุณสมบัติของกำลังที่มีเลขชี้กำลังคู่และคุณสมบัติของความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันการแยกรากเพื่อประมาณค่าตามคุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข

วิธีการรับค่าประมาณที่เราใช้ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ทั้งหมดไม่ได้ครอบคลุมประเด็นของการประมาณค่าอย่างสมบูรณ์ กล่าวอีกนัยหนึ่งไม่สามารถประเมินค่าของฟังก์ชันและนิพจน์ด้วยความช่วยเหลือได้เสมอไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งวิธีที่พิจารณานั้นไม่ดีเมื่อช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x สำหรับสมการไม่ลงตัวที่กำลังแก้นั้นแตกต่างจากเซตของจำนวนจริงทั้งหมด R ตามตัวอย่าง เราให้การประมาณรากในสองกรณี: เมื่อ ODZ เป็นเซต R และเมื่อ ODZ เป็นส่วนจาก 3 ถึง 5 จากวิธีการประมาณค่าที่เราใช้ข้างต้น เราจะได้ค่าประมาณเท่ากับ สำหรับกรณีที่ ODZ เป็นเซต R ค่าประมาณนี้ถือว่าดีมาก แต่สำหรับกรณีที่ ODZ เป็นกลุ่ม การประมาณการที่บันทึกไว้กลายเป็นเรื่องค่อนข้างคร่าวๆ แล้ว และเป็นไปได้ที่จะประมาณรากได้แม่นยำยิ่งขึ้น กล่าวคือ . แต่ไม่ใช่แค่ DL เท่านั้นที่จำกัดความเป็นไปได้ในการรับค่าประมาณโดยใช้วิธีการที่กล่าวถึงข้างต้น บ่อยครั้งที่วิธีการเหล่านี้ไม่ได้ให้ความสามารถในการประมาณค่าฟังก์ชันเนื่องจากประเภทของฟังก์ชันที่ถูกประมาณ ตัวอย่างเช่นวิธีการประมาณค่าที่เรากำลังพูดถึงช่วยให้เราสามารถประมาณค่าของราก และ รวมถึงผลรวมของพวกเขา: , , โดยที่ และต่อไป . แต่วิธีการประมาณค่าเหล่านี้ไม่อนุญาตให้เราประมาณความแตกต่างระหว่างรากที่ระบุอีกต่อไป ในสถานการณ์เช่นนี้ เราต้องใช้การศึกษาฟังก์ชันโดยค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดเพื่อประเมินค่าของฟังก์ชัน. บางครั้งก็สะดวกในการรวมวิธีการต่างๆในการรับค่าประมาณ ให้เราแสดงคำตอบของสมการไม่ลงตัวที่เป็นลักษณะเฉพาะ

บทสรุปการสนทนาเกี่ยวกับการแก้สมการไร้เหตุผลโดยใช้วิธีเชิงฟังก์ชัน-กราฟิก และวิธีการประมาณค่าโดยเฉพาะ ขอให้เราจำสัญญาหนึ่งข้อที่ให้ไว้ท้ายย่อหน้าที่กล่าวถึง จำไว้ว่าเราได้แก้สมการไร้เหตุผลแล้ว ด้วยวิธีที่ค่อนข้างแปลกใหม่ผ่านการแนะนำตัวแปรใหม่สองตัว (ซึ่งยังต้องคำนึงถึง) และพวกเขาสัญญาว่าจะแสดงวิธีแก้ปัญหาโดยใช้วิธีมาตรฐานมากขึ้น วิธีการนี้ในกรณีนี้คือวิธีการประเมิน ดังนั้นเรามาทำตามสัญญาของเรากันเถอะ

การแก้สมการไร้เหตุผลผ่าน ODZ

บ่อยมากส่วนหนึ่งของกระบวนการแก้สมการก็คือ เหตุผลที่บังคับให้เราค้นหา ODZ อาจแตกต่างกัน: จำเป็นต้องดำเนินการแปลงสมการ และดังที่ทราบกันดีว่าจะดำเนินการใน ODZ วิธีการแก้ปัญหาที่เลือกเกี่ยวข้องกับการค้นหา ODZ ดำเนินการตรวจสอบ โดยใช้ ODZ เป็นต้น และในบางกรณี ODZ ไม่เพียงทำหน้าที่เป็นเครื่องมือเสริมหรือเครื่องมือควบคุมเท่านั้น แต่ยังช่วยให้สามารถหาคำตอบของสมการได้อีกด้วย ในที่นี้เราหมายถึงสองสถานการณ์: เมื่อ ODZ เป็นเซตว่าง และเมื่อ ODZ เป็นเซตตัวเลขที่มีขอบเขตจำกัด

เป็นที่แน่ชัดว่าถ้า ODZ ของสมการ โดยเฉพาะสมการที่ไม่ลงตัว เป็นเซตว่าง สมการก็ไม่มีคำตอบ ดังนั้น ODZ ของตัวแปร x สำหรับสมการไร้เหตุผลต่อไปนี้จึงเป็นเซตว่าง ซึ่งหมายความว่าสมการนั้นไม่มีคำตอบ

เมื่อ ODZ ของตัวแปรสำหรับสมการคือชุดตัวเลขที่มีขอบเขตจำกัด จากนั้นตรวจสอบตามลำดับด้วยการแทนที่ตัวเลขเหล่านี้ เราจะสามารถหาคำตอบของสมการได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการไร้ตรรกยะซึ่ง ODZ ประกอบด้วยตัวเลขสองตัว และการแทนที่แสดงว่ามีเพียงหนึ่งในนั้นเท่านั้นที่เป็นรากของสมการ ซึ่งสรุปได้ว่ารากนี้เป็นเพียงคำตอบเดียวของสมการ

การแก้สมการไร้เหตุผลในรูปแบบ “เศษส่วนเท่ากับศูนย์”

สมการอตรรกยะลดความเท่าเทียมเชิงตัวเลข

ไปที่โมดูล

หากในสัญกรณ์ของสมการไม่ลงตัวภายใต้เครื่องหมายของรากของระดับคู่มีระดับของการแสดงออกบางอย่างที่มีเลขชี้กำลังเท่ากับเลขชี้กำลังของรากคุณสามารถไปที่โมดูลัสได้ การแปลงนี้เกิดขึ้นเนื่องจากสูตรใดสูตรหนึ่ง โดยที่ 2·m เป็นจำนวนคู่ และ a เป็นจำนวนจริงใดๆ เป็นที่น่าสังเกตว่าการแปลงนี้เป็นการแปลงสมการที่เทียบเท่ากัน แน่นอนว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว รูทจะถูกแทนที่ด้วยโมดูลที่เท่ากัน ในขณะที่ ODZ จะไม่เปลี่ยนแปลง

ให้เราพิจารณาสมการไม่ลงตัวเชิงลักษณะเฉพาะ ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยส่งผ่านไปยังโมดูลัส

เมื่อเป็นไปได้ควรเปลี่ยนไปใช้โมดูลเสมอหรือไม่? ในกรณีส่วนใหญ่ การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวมีความสมเหตุสมผล ข้อยกเว้นคือกรณีเหล่านั้นเมื่อเห็นได้ชัดว่าวิธีการอื่นในการแก้สมการไม่ลงตัวนั้นต้องใช้แรงงานค่อนข้างน้อย ลองใช้สมการไร้เหตุผลซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยการเปลี่ยนไปใช้โมดูลและวิธีการอื่นๆ เช่น ยกกำลังสองข้างของสมการหรือหาราก แล้วดูว่าคำตอบใดจะง่ายและกะทัดรัดที่สุด

ในตัวอย่างที่แก้แล้ว วิธีแก้ปัญหาในการกำหนดรากดูดีกว่า: มันสั้นกว่าและง่ายกว่าวิธีแก้ปัญหาทั้งสองผ่านการเปลี่ยนไปใช้โมดูล และวิธีการแก้ปัญหาโดยการยกกำลังสองทั้งสองด้านของสมการ เรารู้เรื่องนี้ก่อนที่จะแก้สมการโดยใช้ทั้งสามวิธีได้ไหม ยอมรับเถอะว่ามันไม่ชัดเจน ดังนั้นเมื่อคุณดูวิธีการแก้ปัญหาหลายวิธีแต่ยังไม่ชัดเจนในทันทีว่าควรเลือกวิธีใด คุณควรพยายามหาวิธีแก้ไขด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง ถ้าได้ผลก็ดีไป หากวิธีที่เลือกไม่นำไปสู่ผลลัพธ์หรือวิธีแก้ปัญหากลายเป็นเรื่องยากมาก คุณควรลองวิธีอื่น

เมื่อสิ้นสุดจุดนี้ เราจะกลับไปสู่สมการไม่ลงตัว ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราได้แก้ไขไปแล้วและเห็นว่าความพยายามที่จะแก้ปัญหาโดยการแยกรากและการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการทำให้เกิดความเท่าเทียมกันของตัวเลข 0=0 และความเป็นไปไม่ได้ที่จะสรุปเกี่ยวกับราก และวิธีการแก้ปัญหาในการหาต้นตอนั้นเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่มีเหตุผล ซึ่งในตัวมันเองค่อนข้างยาก วิธีที่ดีในการแก้สมการไร้เหตุผลนี้คือไปที่โมดูลัส เรามาบอกวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดกันดีกว่า

การแปลงสมการอตรรกยะ

การแก้สมการไร้เหตุผลนั้นแทบจะไม่มีทางสมบูรณ์เลยหากไม่มีการแปลงสมการเหล่านั้น เมื่อเราศึกษาสมการอตรรกยะ เราก็คุ้นเคยกับการแปลงสมการที่เท่ากันแล้ว เมื่อแก้สมการไม่ลงตัวจะใช้ในลักษณะเดียวกับการแก้สมการประเภทที่ศึกษาก่อนหน้านี้ คุณเห็นตัวอย่างของการเปลี่ยนแปลงสมการไร้เหตุผลในย่อหน้าก่อนๆ และคุณจะเห็นว่ามันค่อนข้างเป็นธรรมชาติเนื่องจากเราคุ้นเคยกับมัน ข้างต้น เรายังได้เรียนรู้เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงใหม่สำหรับเราด้วย นั่นคือการยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน ซึ่งเป็นเรื่องปกติของสมการไร้เหตุผล ในกรณีทั่วไป มันไม่เท่ากัน คุ้มค่าที่จะพูดถึงการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้โดยละเอียดเพื่อทราบประเด็นเล็กๆ น้อยๆ ทั้งหมดที่เกิดขึ้นระหว่างการใช้งานและหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด

เราจะวิเคราะห์การแปลงสมการไร้เหตุผลตามลำดับต่อไปนี้:

1. การแทนที่นิพจน์ด้วยนิพจน์ที่เท่ากันซึ่งไม่เปลี่ยน ODZ
2. การบวกจำนวนเดียวกันทั้งสองข้างของสมการ หรือการลบจำนวนเดียวกันออกจากทั้งสองข้างของสมการ
3. การเพิ่มนิพจน์เดียวกันซึ่งไม่ได้เปลี่ยนค่าคุณสมบัติลงในทั้งสองด้านของสมการ หรือการลบนิพจน์เดียวกันซึ่งไม่ได้เปลี่ยนค่าคุณสมบัติจากทั้งสองด้านของสมการ
4. การถ่ายโอนพจน์จากด้านหนึ่งของสมการไปยังอีกด้านที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม
5. การคูณและหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์
6. การคูณและหารทั้งสองข้างของสมการด้วยนิพจน์เดียวกัน ซึ่งจะไม่เปลี่ยนช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปรและไม่เปลี่ยนเป็นศูนย์
7. การยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน

จึงมีการกำหนดขอบเขตของคำถามไว้ มาเริ่มทำความเข้าใจกับตัวอย่างกันดีกว่า

การเปลี่ยนแปลงแรกที่เราสนใจคือการแทนที่นิพจน์ในสมการด้วยนิพจน์ที่เท่ากัน เรารู้ว่ามันจะเทียบเท่าถ้า VA สำหรับสมการที่ได้รับจากการแปลงค่าเท่ากับ VA สำหรับสมการดั้งเดิม จากนี้เห็นได้ชัดว่ามีสองสาเหตุหลักที่ทำให้เกิดข้อผิดพลาดเมื่อทำการเปลี่ยนแปลงนี้: ประการแรกคือการเปลี่ยนแปลงใน OD ที่เกิดขึ้นอันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลง ประการที่สองคือการแทนที่นิพจน์ด้วยนิพจน์ ที่ไม่เท่ากันกับมัน ให้เราตรวจสอบประเด็นเหล่านี้โดยละเอียดและตามลำดับ โดยพิจารณาตัวอย่างการเปลี่ยนแปลงทั่วไปของประเภทนี้

ขั้นแรก เรามาดูการแปลงสมการทั่วไปกัน ซึ่งประกอบด้วยการแทนที่นิพจน์ด้วยนิพจน์ที่เท่ากันซึ่งจะเท่ากันเสมอ นี่คือรายการที่เกี่ยวข้อง

• การจัดเรียงข้อกำหนดและปัจจัยใหม่ การแปลงนี้สามารถทำได้ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของสมการไม่ลงตัว เช่น สามารถใช้จัดกลุ่มแล้วลดพจน์ที่คล้ายกันเพื่อทำให้รูปแบบของสมการง่ายขึ้น การจัดเรียงเงื่อนไขหรือปัจจัยใหม่ถือเป็นการเปลี่ยนแปลงสมการที่เทียบเท่ากันอย่างเห็นได้ชัด สิ่งนี้เป็นสิ่งที่เข้าใจได้: นิพจน์ดั้งเดิมและนิพจน์ที่มีข้อกำหนดหรือปัจจัยที่จัดเรียงใหม่จะเท่ากัน (หากการจัดเรียงใหม่ดำเนินการอย่างถูกต้อง) และเห็นได้ชัดว่าการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่ได้เปลี่ยน ODZ ลองยกตัวอย่าง ทางด้านซ้ายของสมการไร้เหตุผลในผลคูณ x·3·x คุณสามารถสลับตัวประกอบตัวแรกและตัวที่สอง x และ 3 ได้ ซึ่งต่อมาจะช่วยให้คุณสามารถแทนค่าพหุนามใต้เครื่องหมายรากในรูปแบบมาตรฐานได้ และทางด้านขวาของสมการในผลรวม 4+x+5 คุณสามารถสลับเทอม 4 และ x ได้ ซึ่งในอนาคตจะให้คุณบวกเลข 4 และ 5 ได้ หลังจากการจัดเรียงใหม่ สมการไร้เหตุผลจะอยู่ในรูปแบบ ซึ่งสมการที่ได้จะเทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม
• วงเล็บขยาย ความเท่าเทียมกันของการเปลี่ยนแปลงสมการนี้ชัดเจน: นิพจน์ก่อนและหลังการเปิดวงเล็บจะเท่ากันและมีค่าที่อนุญาตเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ลองใช้สมการไม่ลงตัวกัน . วิธีแก้ปัญหาของเขาต้องเปิดวงเล็บ เมื่อเปิดวงเล็บทางด้านซ้ายของสมการและทางด้านขวาของสมการ เราก็จะได้สมการที่เทียบเท่ากัน
• การจัดกลุ่มคำศัพท์และ/หรือปัจจัย การแปลงสมการโดยพื้นฐานแล้วเป็นการแทนที่นิพจน์ใดๆ ที่เป็นส่วนหนึ่งของสมการด้วยนิพจน์ที่เท่ากันกับคำหรือปัจจัยที่จัดกลุ่มไว้ แน่นอนว่าสิ่งนี้ไม่ได้เปลี่ยน ODZ ซึ่งหมายความว่าการเปลี่ยนแปลงสมการที่ระบุนั้นเทียบเท่ากัน เพื่อเป็นตัวอย่าง ลองใช้สมการไม่ลงตัวกัน การจัดเรียงคำศัพท์ใหม่ (เราได้พูดถึงไปแล้วสองย่อหน้าด้านบน) และการจัดกลุ่มคำศัพท์ทำให้เราสามารถไปสู่สมการที่เทียบเท่าได้ วัตถุประสงค์ของการจัดกลุ่มคำศัพท์ดังกล่าวนั้นมองเห็นได้ชัดเจน - เพื่อดำเนินการการเปลี่ยนแปลงที่เทียบเท่าต่อไปนี้ซึ่งจะช่วยให้สามารถแนะนำตัวแปรใหม่ได้
• คร่อมปัจจัยร่วม เป็นที่แน่ชัดว่านิพจน์ก่อนนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บและหลังนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บจะเท่ากัน เป็นที่ชัดเจนว่าการใส่ปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บจะไม่ทำให้ VA เปลี่ยนแปลง ดังนั้น การนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บในนิพจน์ที่เป็นส่วนหนึ่งของสมการ เท่ากับการแปลงสมการที่เทียบเท่ากัน ตัวอย่างเช่น การแปลงนี้ใช้เพื่อแสดงด้านซ้ายของสมการเป็นผลคูณเพื่อแก้โจทย์โดยการแยกตัวประกอบ นี่เป็นตัวอย่างที่ชัดเจน พิจารณาสมการอตรรกยะ ทางด้านซ้ายของสมการสามารถแสดงเป็นผลคูณได้ โดยคุณจะต้องนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ จากผลของการเปลี่ยนแปลงนี้ จะได้สมการไม่ลงตัว เทียบเท่ากับค่าเดิม ซึ่งแก้ได้ด้วยการแยกตัวประกอบ
• การแทนที่นิพจน์ตัวเลขด้วยค่าของมัน เป็นที่ชัดเจนว่าหากสมการมีนิพจน์ตัวเลขจำนวนหนึ่ง และเราแทนที่นิพจน์ตัวเลขนี้ด้วยค่าของมัน (คำนวณอย่างถูกต้อง) การแทนที่ดังกล่าวจะเทียบเท่ากัน โดยพื้นฐานแล้ว นิพจน์จะถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เท่ากัน และในขณะเดียวกัน ODZ ของสมการก็ไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นการแทนที่ในสมการไม่ลงตัว ผลรวมของตัวเลขสองตัว −3 และ 1 และค่าของผลรวมนี้ซึ่งเท่ากับ −2 เราจะได้สมการไม่ลงตัวที่เท่ากัน ในทำนองเดียวกัน เราสามารถดำเนินการแปลงสมการไม่ลงตัวที่เท่ากันได้ ดำเนินการกับตัวเลขใต้เครื่องหมายราก (1+2=3 และ ) การแปลงนี้จะนำเราไปสู่สมการที่เทียบเท่ากัน .
• การดำเนินการกับ monomials และพหุนามที่พบในสัญกรณ์ของสมการไม่ลงตัว เป็นที่ชัดเจนว่าการดำเนินการที่ถูกต้องของการกระทำเหล่านี้จะนำไปสู่สมการที่เทียบเท่ากัน อันที่จริง ในกรณีนี้ นิพจน์จะถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เท่ากันและ OD จะไม่เปลี่ยนแปลง เช่น ในสมการอตรรกยะ คุณสามารถเพิ่ม monomials x 2 และ 3 x 2 และไปที่สมการที่เทียบเท่าได้ . อีกตัวอย่างหนึ่ง: การลบพหุนามทางด้านซ้ายของสมการไร้เหตุผลเป็นการแปลงที่เทียบเท่าซึ่งนำไปสู่สมการที่เทียบเท่า .

เรายังคงพิจารณาการแปลงสมการต่อไป ซึ่งประกอบด้วยการแทนที่นิพจน์ด้วยนิพจน์ที่เท่ากัน การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวอาจไม่เท่ากัน เนื่องจากสามารถเปลี่ยน ODZ ได้ โดยเฉพาะอาจมีการขยาย ODZ สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นเมื่อลดเงื่อนไขที่คล้ายกันเมื่อลดเศษส่วนเมื่อแทนที่ผลิตภัณฑ์ด้วยปัจจัยศูนย์หลายตัวหรือเศษส่วนที่มีตัวเศษเท่ากับศูนย์ด้วยศูนย์และบ่อยที่สุดเมื่อใช้สูตรที่สอดคล้องกับคุณสมบัติของราก อย่างไรก็ตามการใช้คุณสมบัติของรากอย่างไม่ระมัดระวังอาจทำให้ ODZ แคบลงได้ และหากการเปลี่ยนแปลงที่ขยาย ODZ เป็นที่ยอมรับเมื่อแก้สมการ (อาจทำให้เกิดลักษณะของรากภายนอกซึ่งถูกกำจัดออกไปด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง) จะต้องละทิ้งการเปลี่ยนแปลงที่ทำให้ ODZ แคบลงเนื่องจากอาจทำให้เกิดการสูญเสียรากได้ เรามาอาศัยประเด็นเหล่านี้กันดีกว่า

สมการอตรรกยะประการแรกคือ . การแก้ปัญหาเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนสมการให้อยู่ในรูปแบบ ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติขององศาอย่างใดอย่างหนึ่ง การแปลงนี้เทียบเท่ากัน เนื่องจากนิพจน์จะถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เท่ากัน และ ODZ จะไม่เปลี่ยนแปลง แต่การเปลี่ยนไปใช้สมการครั้งต่อไปซึ่งดำเนินการบนพื้นฐานของคำจำกัดความของรูทอาจเป็นการเปลี่ยนแปลงสมการที่ไม่เท่ากันอยู่แล้วเนื่องจากด้วยการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว ODZ จะถูกขยาย ให้เราแสดงคำตอบที่สมบูรณ์ของสมการนี้กัน

สมการไร้ตรรกยะที่สอง เหมาะอย่างยิ่งที่จะแสดงให้เห็นว่าการแปลงสมการไร้เหตุผลโดยใช้คุณสมบัติของรากและคำจำกัดความของรากอาจไม่เท่ากัน โดยมีรูปแบบดังนี้ . เป็นการดีหากคุณไม่ยอมให้ตัวเองเริ่มวิธีแก้ปัญหาเช่นนี้

หรือไม่ก็

เริ่มจากกรณีแรกกันก่อน การเปลี่ยนแปลงครั้งแรกคือการเปลี่ยนจากสมการไร้เหตุผลดั้งเดิม สู่สมการ ประกอบด้วยการแทนที่นิพจน์ x+3 ด้วยนิพจน์ สำนวนเหล่านี้เท่ากัน แต่ด้วยการแทนที่ดังกล่าว ODZ จะแคบลงจากเซต (−∞, −3)∪[−1, +∞) ไปจนถึงเซต [−1, +∞) และเราตกลงที่จะละทิ้งการปฏิรูปที่ทำให้ DLZ แคบลง เนื่องจากอาจนำไปสู่การสูญเสียรากเหง้าได้

เกิดอะไรขึ้นในกรณีที่สอง? การขยายตัวของ ODZ ในช่วงการเปลี่ยนผ่านครั้งล่าสุดจาก ถึงเลข −3? ไม่เพียงเท่านี้ สิ่งที่น่ากังวลอย่างยิ่งคือการเปลี่ยนแปลงครั้งแรกจากสมการไร้เหตุผลดั้งเดิม สู่สมการ . สาระสำคัญของการเปลี่ยนแปลงนี้คือการแทนที่นิพจน์ x+3 ด้วยนิพจน์ แต่นิพจน์เหล่านี้ไม่เท่ากัน: สำหรับ x+3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата ซึ่งเป็นไปตามนั้น .

แล้วจะแก้สมการอตรรกยะนี้ได้อย่างไร ? วิธีที่ดีที่สุดคือแนะนำตัวแปรใหม่ทันที ในกรณีนี้ (x+3)·(x+1)=t 2 เรามาบอกวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดกันดีกว่า

ให้เราสรุปการเปลี่ยนแปลงแรกของสมการที่กำลังวิเคราะห์ - แทนที่นิพจน์ที่เป็นส่วนหนึ่งของสมการด้วยนิพจน์ที่เหมือนกัน แต่ละครั้งที่มีการดำเนินการ ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองประการ ประการแรก นิพจน์จะถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่เท่ากัน และประการที่สอง ODZ ที่แคบลงจะไม่เกิดขึ้น หากการแทนที่ดังกล่าวไม่เปลี่ยน ODZ ผลลัพธ์ของการแปลงจะเป็นสมการที่เทียบเท่ากัน หากในระหว่างการทดแทน ODZ ขยายตัว รากที่ไม่เกี่ยวข้องอาจปรากฏขึ้น และต้องใช้ความระมัดระวังในการกรองออก

มาดูการเปลี่ยนแปลงครั้งที่สองของรายการกัน โดยบวกตัวเลขเดียวกันทั้งสองข้างของสมการ และลบตัวเลขเดียวกันจากทั้งสองข้างของสมการ นี่คือการแปลงสมการที่เทียบเท่ากัน เรามักจะใช้วิธีนี้เมื่อมีตัวเลขเท่ากันทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ การลบตัวเลขเหล่านี้ออกจากทั้งสองข้างของสมการจะทำให้เราสามารถกำจัดพวกมันได้ในอนาคต เช่น ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของสมการไม่ลงตัว มีเทอม 3 การลบค่าสามเท่าจากทั้งสองข้างของสมการจะทำให้เกิดสมการที่หลังจากดำเนินการปรับแต่งตัวเลขแล้ว ก็จะได้รูปแบบขึ้นมา และทำให้ง่ายขึ้นเป็น จากผลลัพธ์ที่ได้ การแปลงที่เป็นปัญหามีบางอย่างที่เหมือนกันกับการถ่ายโอนคำศัพท์จากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม แต่จะเพิ่มเติมเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงนี้ในภายหลังเล็กน้อย มีตัวอย่างอื่นๆ ของการเปลี่ยนแปลงนี้ที่ถูกนำมาใช้ ตัวอย่างเช่น ในสมการไร้ตรรกยะ การบวกเลข 3 ทั้งสองข้างเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อจัดระเบียบกำลังสองสมบูรณ์ทางด้านซ้ายของสมการ และแปลงสมการเพิ่มเติมเพื่อสร้างตัวแปรใหม่

ลักษณะทั่วไปของการแปลงที่เพิ่งกล่าวถึงคือการบวกทั้งสองข้างของสมการหรือการลบนิพจน์เดียวกันออกจากทั้งสองข้างของสมการ การแปลงสมการนี้จะเทียบเท่าเมื่อ ODZ ไม่เปลี่ยนแปลง การเปลี่ยนแปลงนี้ดำเนินการเป็นหลักเพื่อกำจัดพจน์ที่เหมือนกันซึ่งอยู่พร้อมกันทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของสมการในเวลาต่อมา ลองยกตัวอย่าง สมมติว่าเรามีสมการไม่ลงตัว เห็นได้ชัดว่ามีคำหนึ่งอยู่ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ มีเหตุผลที่จะลบนิพจน์นี้ออกจากทั้งสองด้านของสมการ: ในกรณีของเรา การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่ได้เปลี่ยน ODZ ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงที่ดำเนินการจึงเทียบเท่ากัน และสิ่งนี้เสร็จสิ้นเพื่อที่จะก้าวไปสู่สมการไร้เหตุผลที่เรียบง่ายยิ่งขึ้น

การเปลี่ยนแปลงสมการครั้งต่อไป ซึ่งเราจะพูดถึงในย่อหน้านี้ คือการถ่ายโอนคำศัพท์จากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม การแปลงสมการนี้จะเท่ากันเสมอ ขอบเขตของการใช้งานค่อนข้างกว้าง ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถแยกรากหรือรวบรวมคำศัพท์ที่คล้ายกันไว้ในส่วนใดส่วนหนึ่งของสมการ เพื่อที่คุณจะได้ลดมันและทำให้รูปแบบของสมการง่ายขึ้น ลองยกตัวอย่าง เพื่อแก้สมการอตรรกยะ คุณสามารถย้ายพจน์ −1 ไปทางด้านขวา โดยเปลี่ยนเครื่องหมาย จะได้สมการที่เท่ากัน ซึ่งสามารถแก้ไขได้เพิ่มเติม เช่น โดยการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ

เราก้าวต่อไปตามเส้นทางการพิจารณาการแปลงสมการเพื่อคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนเดียวกัน แตกต่างจากศูนย์ การแปลงนี้เป็นการแปลงสมการที่เทียบเท่ากัน การคูณทั้งสองด้านของสมการด้วยจำนวนเดียวกันนั้นใช้เพื่อย้ายจากเศษส่วนไปเป็นจำนวนเต็มเป็นหลัก ตัวอย่างเช่น ดังนั้น ในสมการอตรรกยะ หากต้องการกำจัดเศษส่วน คุณควรคูณทั้งสองส่วนด้วย 8 ซึ่งจะทำให้ได้สมการที่เท่ากัน ซึ่งลดขนาดลงมาอีกจนเป็นรูปเป็นร่าง . การหารทั้งสองข้างของสมการนั้นมีวัตถุประสงค์หลักเพื่อลดค่าสัมประสิทธิ์เชิงตัวเลข เช่น สมการอตรรกยะทั้งสองข้าง ขอแนะนำให้หารด้วยสัมประสิทธิ์ตัวเลข 18 และ 12 นั่นคือ 6 การหารดังกล่าวจะให้สมการที่เทียบเท่ากัน ซึ่งเราสามารถไปยังสมการได้ในภายหลัง ซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์น้อยกว่า แต่ก็มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มด้วย

การแปลงสมการครั้งต่อไปคือการคูณและหารทั้งสองข้างของสมการด้วยนิพจน์เดียวกัน การแปลงนี้จะเทียบเท่าเมื่อนิพจน์ที่ใช้การคูณหรือการหารไม่เปลี่ยนช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปรและไม่เปลี่ยนเป็นศูนย์ โดยทั่วไปแล้ว การคูณทั้งสองข้างด้วยนิพจน์เดียวกันจะคล้ายกันเพื่อจุดประสงค์ในการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนเดียวกัน บ่อยครั้งที่การเปลี่ยนแปลงนี้ถูกนำมาใช้เพื่อกำจัดเศษส่วนโดยการแปลงเพิ่มเติม ลองแสดงสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

เราจะไม่เพิกเฉยต่อสมการไร้เหตุผล เพื่อแก้โจทย์ที่เราต้องใช้การหารทั้งสองข้างของสมการด้วยนิพจน์เดียวกัน เราสังเกตได้สูงกว่าเล็กน้อยว่าการแบ่งดังกล่าวเป็นการเปลี่ยนแปลงที่เทียบเท่ากัน หากไม่มีผลกระทบกับ ODZ และนิพจน์บน ODZ นี้จะไม่หายไป แต่บางครั้งการแบ่งก็ต้องดำเนินการโดยการแสดงออกที่หายไปใน ODZ สิ่งนี้ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะทำหากในเวลาเดียวกันคุณตรวจสอบศูนย์ของนิพจน์นี้แยกกันเพื่อดูว่ามีรากของสมการใด ๆ ที่ได้รับการแก้ไขในหมู่พวกเขาหรือไม่ ไม่เช่นนั้นรากเหล่านี้อาจหายไปในระหว่างการหารดังกล่าว

การแปลงสมการอตรรกยะครั้งสุดท้ายที่เราจะพูดถึงในย่อหน้านี้คือการยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน การแปลงนี้สามารถเรียกได้ทั่วไปสำหรับสมการไร้เหตุผล เนื่องจากในทางปฏิบัติแล้วไม่ได้ใช้เมื่อแก้สมการประเภทอื่น เราได้กล่าวถึงการเปลี่ยนแปลงนี้แล้วในบทความปัจจุบัน เมื่อเราตรวจสอบ นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างมากมายของการเปลี่ยนแปลงนี้ เราจะไม่พูดซ้ำที่นี่ แต่เพียงจำไว้ว่าในกรณีทั่วไป การเปลี่ยนแปลงนี้ไม่เท่ากัน มันสามารถนำไปสู่การปรากฏตัวของรากภายนอก ดังนั้นหากในกระบวนการแก้ไขเราหันไปหาการเปลี่ยนแปลงนี้จะต้องตรวจสอบรากที่พบว่ามีรากภายนอกอยู่หรือไม่

เกี่ยวกับการสูญเสียราก

อะไรที่ทำให้สูญเสียรากเมื่อแก้สมการ? สาเหตุหลักของการสูญเสียรากคือการเปลี่ยนแปลงของสมการ ซึ่ง ODZ แคบลง เพื่อให้เข้าใจประเด็นนี้ มาดูตัวอย่างกัน

ลองใช้สมการไม่ลงตัวกัน ซึ่งเราได้แก้ไขไปแล้วในบทความปัจจุบัน เราเริ่มแก้ไขมันโดยมีคำเตือนไม่ให้ทำการแปลงสมการต่อไปนี้

การเปลี่ยนแปลงขั้นแรกสุดคือการเปลี่ยนจากสมการ สู่สมการ – ทำให้ ODZ แคบลง แท้จริงแล้ว ODZ สำหรับสมการดั้งเดิมคือ (−∞, −3)∪[−1, +∞) และสำหรับสมการผลลัพธ์ที่ได้คือ [−1, +∞) สิ่งนี้ทำให้เกิดการแยกช่วงเวลา (−∞, −3) ออกจากการพิจารณา และผลที่ตามมาคือการสูญเสียรากทั้งหมดของสมการจากช่วงเวลานี้ ในกรณีของเรา เมื่อทำการแปลงนี้ รากทั้งหมดของสมการจะหายไป ซึ่งมีอยู่สองอัน และ .

ดังนั้น หากการเปลี่ยนแปลงของสมการนำไปสู่การทำให้ OD แคบลง รากของสมการทั้งหมดที่อยู่ในส่วนที่เกิดการแคบลงจะหายไป นั่นคือเหตุผลที่เราเรียกร้องให้ไม่หันไปพึ่งการปฏิรูปที่ทำให้ DZ แคบลง อย่างไรก็ตามมีข้อแม้ประการหนึ่ง

ข้อนี้ใช้กับการแปลงที่ ODZ ถูกจำกัดให้แคบลงด้วยตัวเลขหนึ่งตัวหรือมากกว่า การแปลงโดยทั่วไปที่สุด ซึ่งตัวเลขหลายตัวหลุดออกจาก ODZ คือการหารทั้งสองข้างของสมการด้วยนิพจน์เดียวกัน เป็นที่ชัดเจนว่าเมื่อดำเนินการแปลงดังกล่าว เฉพาะรากที่อยู่ในกลุ่มจำนวนจำกัดที่หลุดออกมาเมื่อจำกัด ODZ ให้แคบลงเท่านั้นที่จะสูญหายได้ ดังนั้น หากคุณตรวจสอบตัวเลขทั้งหมดในเซตนี้แยกกันเพื่อดูว่ามีรากของสมการที่กำลังแก้อยู่หรือไม่ เช่น โดยการแทนที่ และรวมรากที่พบไว้ในคำตอบ คุณก็จะสามารถดำเนินการแปลงตามที่ต้องการได้ โดยไม่ต้องกลัวว่าจะสูญเสียราก ให้เราอธิบายสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

ลองพิจารณาสมการไร้เหตุผลซึ่งได้รับการแก้ไขแล้วในย่อหน้าก่อนหน้า ในการแก้สมการนี้ด้วยการใช้ตัวแปรใหม่ จะเป็นประโยชน์ที่จะหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 1+x ก่อน ด้วยการหารนี้ หมายเลข −1 จะหลุดออกจาก ODZ การแทนค่านี้ลงในสมการดั้งเดิมจะทำให้ได้ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง () ซึ่งหมายความว่า −1 ไม่ใช่รากของสมการ หลังจากการตรวจสอบดังกล่าว คุณสามารถดำเนินการแบ่งส่วนที่ต้องการได้อย่างปลอดภัยโดยไม่ต้องกลัวว่าจะสูญเสียราก

โดยสรุปของประเด็นนี้ เราสังเกตว่าบ่อยครั้งที่สุดเมื่อแก้สมการอตรรกยะ การหารทั้งสองข้างของสมการด้วยนิพจน์เดียวกัน รวมถึงการแปลงตามคุณสมบัติของราก จะทำให้ OD แคบลง ดังนั้นคุณต้องระมัดระวังอย่างมากเมื่อทำการเปลี่ยนแปลงและอย่าให้รากสูญหาย

เกี่ยวกับรากภายนอกและวิธีการคัดกรอง

การแก้สมการที่มีจำนวนมากเกินไปนั้นดำเนินการผ่านการแปลงสมการ การแปลงบางอย่างสามารถนำไปสู่สมการที่เป็นผลสืบเนื่อง และในบรรดาคำตอบของสมการที่เป็นผลพิสูจน์นั้น อาจมีรากที่แตกต่างจากสมการดั้งเดิม รากที่ไม่เกี่ยวข้องไม่ใช่รากของสมการดั้งเดิม ดังนั้นจึงไม่ควรปรากฏในคำตอบ กล่าวอีกนัยหนึ่งพวกเขาจะต้องถูกกำจัดวัชพืชออกไป

ดังนั้น หากในสายโซ่ของการแปลงสมการที่กำลังแก้อยู่ มีสมการที่พิสูจน์ได้อย่างน้อยหนึ่งสมการ คุณจะต้องดูแลการตรวจจับและกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องออก

วิธีการตรวจจับและคัดกรองรากต่างประเทศนั้นขึ้นอยู่กับสาเหตุที่ทำให้เกิดลักษณะที่ปรากฏ และมีเหตุผลสองประการสำหรับการปรากฏตัวของรากภายนอกที่เป็นไปได้เมื่อแก้สมการไร้เหตุผล: ประการแรกคือการขยายตัวของ ODZ อันเป็นผลมาจากการแปลงสมการประการที่สองคือการเพิ่มทั้งสองด้านของสมการให้เป็นกำลังเท่ากัน ลองดูวิธีการที่เกี่ยวข้อง

เริ่มต้นด้วยวิธีการแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกเมื่อเหตุผลของการปรากฏตัวที่เป็นไปได้นั้นเป็นเพียงการขยาย ODZ เท่านั้น ในกรณีนี้ การตรวจคัดกรองรากภายนอกจะดำเนินการด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งจากสามวิธีต่อไปนี้:

• อ้างอิงจาก ODZ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะพบ ODZ ของตัวแปรสำหรับสมการดั้งเดิม และตรวจสอบความเป็นเจ้าของของรากที่พบ รากที่เป็นของ ODZ นั้นเป็นรากของสมการดั้งเดิม และรากที่ไม่ได้อยู่ใน ODZ นั้นเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้องสำหรับสมการดั้งเดิม
• ผ่านเงื่อนไขของ ODZ เงื่อนไขที่กำหนด ODZ ของตัวแปรสำหรับสมการดั้งเดิมจะถูกเขียนลงไป และรากที่พบจะถูกแทนที่ทีละรายการ รากที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดคือราก และผู้ที่ไม่ตรงตามเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งเงื่อนไขถือเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้องสำหรับสมการดั้งเดิม
• ผ่านการแทนที่ลงในสมการดั้งเดิม (หรือในสมการที่เทียบเท่าใดๆ) รากที่พบจะถูกแทนที่ตามลำดับในสมการดั้งเดิม รากเหล่านั้นเมื่อแทนที่ซึ่งสมการจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง ก็คือราก และรากเหล่านั้นเมื่อทดแทนซึ่งได้นิพจน์ที่ไม่สมเหตุสมผล เป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้องสำหรับสมการดั้งเดิม

เมื่อแก้สมการไร้เหตุผลต่อไปนี้ เรามากรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกโดยใช้วิธีที่ระบุไว้แต่ละวิธีเพื่อให้ได้แนวคิดทั่วไปของแต่ละวิธี

เป็นที่ชัดเจนว่าเราจะไม่ระบุและกำจัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกไปทุกครั้งโดยใช้วิธีการที่ทราบทั้งหมด ในการกำจัดรากส่วนเกินออก เราจะเลือกวิธีการที่เหมาะสมที่สุดในแต่ละกรณี ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างต่อไปนี้ วิธีที่สะดวกที่สุดในการกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกผ่านเงื่อนไขของ ODZ เนื่องจากภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้จะเป็นการยากที่จะค้นหา ODZ ในรูปแบบของชุดตัวเลข

ตอนนี้เรามาพูดถึงการแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกเมื่อแก้สมการไร้เหตุผลโดยการเพิ่มทั้งสองด้านของสมการให้เป็นกำลังคู่ ในกรณีนี้ การลอดผ่านเงื่อนไข ODZ หรือผ่านเงื่อนไข ODZ จะไม่ช่วยอีกต่อไป เนื่องจากจะไม่อนุญาตให้เราแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องซึ่งเกิดขึ้นด้วยเหตุผลอื่นออกไป - เนื่องจากการยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน เหตุใดรากที่ไม่เกี่ยวข้องจึงปรากฏขึ้นเมื่อทั้งสองข้างของสมการยกกำลังเท่ากัน การปรากฏตัวของรากที่ไม่เกี่ยวข้องในกรณีนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าการเพิ่มทั้งสองส่วนของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้องให้เป็นกำลังเท่ากันสามารถให้ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่ถูกต้องได้ ตัวอย่างเช่น ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง 3=−3 หลังจากยกกำลังสองทั้งสองข้างจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง 3 2 =(−3) 2 ซึ่งเหมือนกับ 9=9

เราได้ค้นพบสาเหตุของการปรากฏตัวของรากที่ไม่เกี่ยวข้องเมื่อยกสมการทั้งสองข้างให้มีกำลังเท่ากัน ยังคงบ่งชี้ว่าในกรณีนี้รากภายนอกจะถูกกำจัดอย่างไร การคัดกรองส่วนใหญ่ดำเนินการโดยการแทนที่รากศักย์ที่พบลงในสมการดั้งเดิมหรือในสมการใดๆ ที่เทียบเท่ากัน มาสาธิตสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างกัน

แต่ก็ควรคำนึงถึงอีกวิธีหนึ่งที่ช่วยให้คุณแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกไปในกรณีที่ทั้งสองข้างของสมการไม่ลงตัวกับอนุมูลเดี่ยวถูกยกให้เป็นกำลังเท่ากัน เมื่อแก้สมการอตรรกยะ โดยที่ 2·k เป็นจำนวนคู่ โดยการเพิ่มทั้งสองข้างของสมการให้มีกำลังเท่ากัน การกำจัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออกไปสามารถทำได้ผ่านเงื่อนไข g(x)≥0 (นั่นคือ จริงๆ แล้ว การแก้สมการไม่ลงตัวโดยการหาค่า ราก). วิธีนี้มักจะช่วยได้เมื่อกรองรากที่ไม่เกี่ยวข้องผ่านการทดแทนกลายเป็นการคำนวณที่ซับซ้อน ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นตัวอย่างที่ดีของเรื่องนี้

วรรณกรรม

1. มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย ไอ 978-5-346-01155-2.
2. มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 2, ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2551. - 287 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01027-2.
3. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
4. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกรด 10: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / [ย. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; แก้ไขโดย เอ.บี. ซิจเชนโก้. - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา, 2553.- 368 หน้า: ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.
5. คณิตศาสตร์. เพิ่มระดับของ Unified State Exam-2012 (C1, C3) การทดสอบเฉพาะเรื่อง สมการ อสมการ ระบบ / เรียบเรียงโดย F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov - Rostov-on-Don: Legion-M, 2011. - 112 หน้า - (การเตรียมสอบ Unified State) ISBN 978-5-91724-094-7
6. สำเร็จการศึกษา พ.ศ. 2547 สาขาคณิตศาสตร์. รวบรวมปัญหาการเตรียมตัวสอบ Unified State ตอนที่ 1. I. V. Boykov, L. D. Romanova

สมการที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายรากเรียกว่าสมการไม่ลงตัว

วิธีการแก้สมการไร้เหตุผลมักจะขึ้นอยู่กับความเป็นไปได้ในการแทนที่ (ด้วยความช่วยเหลือของการแปลงบางอย่าง) สมการไร้เหตุผลด้วยสมการตรรกยะที่เทียบเท่ากับสมการไร้เหตุผลดั้งเดิมหรือเป็นผลที่ตามมา ส่วนใหญ่แล้วทั้งสองด้านของสมการจะยกกำลังเท่ากัน สิ่งนี้ทำให้เกิดสมการที่เป็นผลมาจากสมการดั้งเดิม

เมื่อแก้สมการไร้เหตุผล ต้องคำนึงถึงสิ่งต่อไปนี้:

1) ถ้าเลขชี้กำลังรากเป็นเลขคู่ นิพจน์รากจะต้องไม่เป็นลบ ในกรณีนี้ ค่าของรูตก็ไม่เป็นลบเช่นกัน (คำจำกัดความของรูทที่มีเลขชี้กำลังคู่)

2) ถ้าเลขชี้กำลังรากเป็นเลขคี่ นิพจน์รากอาจเป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้ ในกรณีนี้สัญลักษณ์ของรากเกิดขึ้นพร้อมกับสัญลักษณ์ของการแสดงออกที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ

ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการกัน
x 2 - 3 = 1;
ลองย้าย -3 จากด้านซ้ายของสมการไปทางขวาแล้วลดพจน์ที่คล้ายกัน
x 2 = 4;
ผลลัพธ์ของสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์จะมีราก 2 อันคือ -2 และ 2

ตรวจสอบรากที่ได้รับโดยการแทนที่ค่าของตัวแปร x ลงในสมการดั้งเดิม
การตรวจสอบ.
เมื่อ x 1 = -2 - จริง:
เมื่อ x 2 = -2- จริง
ตามมาว่าสมการอตรรกยะดั้งเดิมมีสองราก -2 และ 2

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ .

สมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเดียวกับตัวอย่างแรก แต่เราจะทำแตกต่างออกไป

ลองหา ODZ ของสมการนี้กัน จากคำจำกัดความของรากที่สอง จะได้ว่าในสมการนี้ จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองประการพร้อมกัน:

ODZ ของระดับนี้: x.

คำตอบ: ไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ =+ 2.

การค้นหา ODZ ในสมการนี้เป็นงานที่ค่อนข้างยาก ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 =1; x 2 = 0
หลังจากตรวจสอบแล้ว เราพบว่า x 2 =0 เป็นรูทพิเศษ
คำตอบ: x 1 = 1

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ x =

ในตัวอย่างนี้ ODZ นั้นค้นหาได้ง่าย ODZ ของสมการนี้: x[-1;)

ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการนี้ แล้วผลลัพธ์ที่ได้คือสมการ x 2 = x + 1 รากของสมการนี้คือ:

เป็นการยากที่จะตรวจสอบรากที่พบ แต่ถึงแม้ว่ารากทั้งสองจะเป็นของ ODZ แต่ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะยืนยันว่ารากทั้งสองเป็นรากของสมการดั้งเดิม ซึ่งจะส่งผลให้เกิดข้อผิดพลาด ในกรณีนี้ สมการไม่ลงตัวจะเทียบเท่ากับการรวมกันของอสมการสองประการและหนึ่งสมการ:

x+10 และ x0 และ x 2 = x + 1 ซึ่งตามมาว่ารากที่เป็นลบสำหรับสมการไม่ลงตัวนั้นไม่เกี่ยวข้องและต้องถูกทิ้งไป

ตัวอย่างที่ 5แก้สมการ += 7

ลองยกกำลังสองข้างของสมการแล้วลดพจน์ที่คล้ายกัน ย้ายพจน์จากด้านหนึ่งของสมการไปอีกด้านหนึ่ง แล้วคูณทั้งสองข้างด้วย 0.5 เป็นผลให้เราได้สมการ
= 12, (*) ซึ่งเป็นผลมาจากค่าเดิม ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการอีกครั้ง เราได้สมการ (x + 5)(20 - x) = 144 ซึ่งเป็นผลมาจากสมการดั้งเดิม สมการผลลัพธ์จะลดลงเป็นรูปแบบ x 2 - 15x + 44 =0

สมการนี้ (เป็นผลที่ตามมาของสมการดั้งเดิมด้วย) มีราก x 1 = 4, x 2 = 11 ตามที่การตรวจสอบแสดงให้เห็น สมการทั้งสองเป็นไปตามสมการดั้งเดิม

ตัวแทน x 1 = 4, x 2 = 11

ความคิดเห็น. เมื่อสมการยกกำลังสอง นักเรียนมักจะคูณนิพจน์รากในสมการ เช่น (*) กล่าวคือ แทนที่จะเขียนสมการ = 12 นักเรียนจะเขียนสมการ = 12 ซึ่งไม่ทำให้เกิดข้อผิดพลาด เนื่องจากสมการเป็นผลมาจากสมการ อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าในกรณีทั่วไป การคูณนิพจน์รากดังกล่าวทำให้เกิดสมการที่ไม่เท่ากัน

ในตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้น เราสามารถย้ายเครื่องหมายรากตัวใดตัวหนึ่งไปทางด้านขวาของสมการได้ก่อน จากนั้นจะมีรากซ้ายหนึ่งอันทางด้านซ้ายของสมการ และหลังจากยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการแล้ว จะได้ฟังก์ชันตรรกยะทางด้านซ้ายของสมการ เทคนิคนี้ (การแยกราก) มักใช้เมื่อแก้สมการไม่ลงตัว

ตัวอย่างที่ 6. แก้สมการ-= 3

เมื่อแยกรากแรกเราจะได้สมการ
=+ 3 เท่ากับอันเดิม

โดยการยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ เราจะได้สมการ

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6 เทียบเท่ากับสมการ

4x - 5 = 3(*) สมการนี้เป็นผลมาจากสมการดั้งเดิม เมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ เราก็จะได้สมการ
16x 2 - 40x + 25 = 9(x 2 - 3x + 3) หรือ

7x 2 - 13x - 2 = 0

สมการนี้เป็นผลมาจากสมการ (*) (และจึงเป็นสมการดั้งเดิม) และมีราก รากแรก x 1 = 2 เป็นไปตามสมการดั้งเดิม แต่รากที่สอง x 2 = ไม่เป็นไปตามสมการ

คำตอบ: x = 2

โปรดทราบว่าหากเรายกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการเดิมทันที โดยไม่ได้แยกรากอันใดอันหนึ่งออก เราจะต้องทำการแปลงที่ค่อนข้างยุ่งยาก

เมื่อแก้สมการไร้เหตุผล นอกจากการแยกอนุมูลแล้ว ยังใช้วิธีการอื่นอีกด้วย ลองพิจารณาตัวอย่างการใช้วิธีการแทนที่สิ่งที่ไม่รู้จัก (วิธีการแนะนำตัวแปรเสริม)

การแก้สมการอตรรกยะ

ในบทความนี้เราจะพูดถึงวิธีแก้ปัญหา สมการไร้เหตุผลที่ง่ายที่สุด

สมการอตรรกยะเป็นสมการที่ประกอบด้วยค่าไม่ทราบใต้เครื่องหมายราก

ลองดูสองประเภท สมการไม่ลงตัวซึ่งดูคล้ายกันมากเมื่อมองแวบแรก แต่โดยพื้นฐานแล้วแตกต่างกันมาก

(1)

(2)

ในสมการแรก เราจะเห็นว่าสิ่งที่ไม่รู้อยู่ภายใต้สัญลักษณ์ของรากแห่งระดับที่สาม เราสามารถหารากคี่ของจำนวนลบได้ ดังนั้นในสมการนี้จึงไม่มีข้อจำกัดใดๆ กับนิพจน์ใต้เครื่องหมายรากหรือนิพจน์ทางด้านขวาของสมการ เราสามารถยกทั้งสองข้างของสมการยกกำลังสามเพื่อกำจัดรากได้ เราได้รับสมการที่เท่ากัน:

เมื่อยกด้านขวาและซ้ายของสมการให้เป็นกำลังคี่ เราไม่สามารถกลัวที่จะได้รากที่ไม่เกี่ยวข้อง

ตัวอย่างที่ 1. มาแก้สมการกัน

ลองยกสมการทั้งสองข้างขึ้นยกกำลังสามกัน เราได้รับสมการที่เท่ากัน:

ลองย้ายพจน์ทั้งหมดไปไว้ข้างหนึ่งแล้วใส่ x ออกจากวงเล็บ:

เมื่อเทียบแต่ละปัจจัยให้เป็นศูนย์ เราจะได้:

คำตอบ: (0;1;2)

ลองดูสมการที่สองอย่างใกล้ชิด: . ทางด้านซ้ายของสมการคือรากที่สอง ซึ่งรับเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบ ดังนั้นเพื่อให้สมการมีคำตอบ ด้านขวามือจะต้องไม่เป็นลบด้วย ดังนั้นเงื่อนไขจึงถูกกำหนดไว้ทางด้านขวาของสมการ:

Title="g(x)>=0"> - это !} เงื่อนไขของการดำรงอยู่ของราก.

ในการแก้สมการประเภทนี้ คุณต้องยกกำลังสองทั้งสองด้านของสมการ:

(3)

การยกกำลังสองสามารถนำไปสู่ลักษณะของรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้นเราจึงต้องมีสมการ:

Title="f(x)>=0"> (4)!}

อย่างไรก็ตาม อสมการ (4) ตามมาจากเงื่อนไข (3): หากด้านขวาของความเท่าเทียมกันมีค่ากำลังสองของนิพจน์จำนวนหนึ่ง และค่ากำลังสองของนิพจน์ใดๆ สามารถรับได้เฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบ ดังนั้นด้านซ้ายจะต้องไม่เป็น- เชิงลบ. ดังนั้นเงื่อนไข (4) จะตามมาโดยอัตโนมัติจากเงื่อนไข (3) และของเรา สมการ เทียบเท่ากับระบบ:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

ตัวอย่างที่ 2มาแก้สมการกัน:

.

มาดูระบบที่เทียบเท่ากันดีกว่า:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

มาแก้สมการแรกของระบบแล้วตรวจดูว่ารากใดที่ตรงกับอสมการ

ความไม่เท่าเทียมกัน title="1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

คำตอบ: x=1

ความสนใจ!หากในกระบวนการแก้เรายกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ เราต้องจำไว้ว่าอาจมีรากที่ไม่เกี่ยวข้องปรากฏขึ้น ดังนั้น คุณจะต้องไปยังระบบที่เทียบเท่ากัน หรือที่ส่วนท้ายของคำตอบ ให้ตรวจสอบ: ค้นหารากและแทนที่มันลงในสมการดั้งเดิม

ตัวอย่างที่ 3. มาแก้สมการกัน:

ในการแก้สมการนี้ เราต้องยกกำลังสองทั้งสองข้างด้วย อย่าไปกังวลกับ ODZ และเงื่อนไขของการมีอยู่ของรากในสมการนี้ แต่เพียงตรวจสอบที่ส่วนท้ายของคำตอบเท่านั้น

ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ:

ลองย้ายคำที่มีรูทไปทางซ้าย และเงื่อนไขอื่นๆ ทั้งหมดไปทางขวา:

ลองยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการอีกครั้ง:

ในธีมของ Vieta:

มาทำการตรวจสอบกันเถอะ ในการทำเช่นนี้ เราจะแทนที่รากที่พบลงในสมการดั้งเดิม แน่นอนว่า ที่ ทางด้านขวามือของสมการดั้งเดิมเป็นค่าลบ และด้านซ้ายเป็นค่าบวก

เมื่อเราได้รับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง