เนื้อหาในบทความนี้จะช่วยให้คุณคุ้นเคยกับการตีความทางคณิตศาสตร์ของแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกัน เรามาพูดถึงสาระสำคัญของความเท่าเทียมกันกันดีกว่า มาดูประเภทและวิธีการบันทึกกันดีกว่า มาเขียนคุณสมบัติของความเท่าเทียมกันและอธิบายทฤษฎีพร้อมตัวอย่างกัน

แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันนั้นเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องการเปรียบเทียบ เมื่อเราเปรียบเทียบคุณสมบัติและคุณลักษณะเพื่อระบุคุณลักษณะที่คล้ายคลึงกัน กระบวนการเปรียบเทียบจำเป็นต้องมีวัตถุสองชิ้นซึ่งเปรียบเทียบกัน ข้อโต้แย้งเหล่านี้ชี้ให้เห็นว่าแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันไม่สามารถดำรงอยู่ได้เมื่อไม่มีวัตถุอย่างน้อยสองชิ้นที่จะเปรียบเทียบ แน่นอนว่าในกรณีนี้ สามารถรับวัตถุได้จำนวนมากขึ้น: อย่างไรก็ตาม อย่างน้อยสามชิ้นในท้ายที่สุด เราจะมาเปรียบเทียบคู่ที่รวบรวมจากวัตถุที่กำหนดไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

ความหมายของแนวคิดเรื่อง "ความเท่าเทียมกัน" ในการตีความทั่วไปนั้นถูกกำหนดไว้อย่างสมบูรณ์แบบด้วยคำว่า "เหมือนกัน" เราสามารถพูดถึงวัตถุสองชิ้นที่เหมือนกันว่า "เท่ากัน" ตัวอย่างเช่น สี่เหลี่ยม และ . แต่วัตถุที่แตกต่างกันอย่างน้อยที่สุดจะเรียกว่าไม่เท่ากัน

เมื่อพูดถึงความเท่าเทียมกัน เราอาจหมายถึงทั้งวัตถุโดยรวมและคุณสมบัติหรือลักษณะเฉพาะของวัตถุเหล่านั้น โดยทั่วไปวัตถุจะเท่ากันเมื่อมีลักษณะเหมือนกันทุกประการ ตัวอย่างเช่น เมื่อเรายกตัวอย่างความเท่าเทียมกันของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราหมายถึงความเท่าเทียมกันในคุณสมบัติโดยธรรมชาติทั้งหมด เช่น รูปร่าง ขนาด สี นอกจากนี้ วัตถุโดยทั่วไปอาจไม่เท่ากัน แต่มีลักษณะเฉพาะที่เหมือนกัน ตัวอย่างเช่น: และ . วัตถุเหล่านี้มีรูปร่างเท่ากัน (ทั้งสองเป็นวงกลม) แต่มีสีและขนาดต่างกัน (ไม่เท่ากัน)

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเข้าใจล่วงหน้าว่าเราหมายถึงความเท่าเทียมกันแบบใด

การเขียนความเท่าเทียมกัน =

หากต้องการบันทึกความเท่าเทียมกัน ให้ใช้เครื่องหมายเท่ากับ (หรือเครื่องหมายเท่ากับ) ซึ่งแสดงเป็น = สัญลักษณ์นี้เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป

เมื่อสร้างความเท่าเทียมกัน วัตถุที่เท่ากันจะถูกวางเคียงข้างกัน โดยเขียนเครื่องหมายเท่ากับระหว่างวัตถุเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น เราเขียนความเท่าเทียมกันของตัวเลข 5 และ 5 เป็น 5 = 5 หรือสมมุติว่าเราต้องเขียนความเท่ากันของเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม A B C ถึง 6 เมตร: P A B C = 6 เมตร

คำจำกัดความ 1

ความเท่าเทียมกัน– บันทึกที่ใช้เครื่องหมายเท่ากับเพื่อแยกวัตถุทางคณิตศาสตร์สองวัตถุ (หรือตัวเลข หรือนิพจน์ ฯลฯ)

เมื่อจำเป็นต้องระบุเป็นลายลักษณ์อักษรถึงความไม่เท่าเทียมกันของวัตถุ จะใช้เครื่องหมายไม่เท่ากันซึ่งแสดงเป็น ≠ เช่น โดยพื้นฐานแล้วเป็นเครื่องหมายเท่ากับขีดฆ่า

ความเท่าเทียมกันจริงและเท็จ

ความเสมอภาคที่สร้างขึ้นอาจสอดคล้องกับสาระสำคัญของแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันหรืออาจขัดแย้งกัน ตามเกณฑ์นี้ ความเท่าเทียมกันทั้งหมดจะถูกจำแนกออกเป็นความเสมอภาคที่แท้จริงและความเท่าเทียมกันที่เป็นเท็จ ลองยกตัวอย่าง

มาทำให้ความเท่าเทียมกัน 7 = 7 กัน แน่นอนว่าตัวเลข 7 และ 7 นั้นเท่ากัน ดังนั้น 7 = 7 – ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง. ในทางกลับกันความเท่าเทียมกัน 7 = 2 ไม่ถูกต้องเนื่องจากตัวเลข 7 และ 2 ไม่เท่ากับ.

คุณสมบัติของความเท่าเทียมกัน

ให้เราเขียนคุณสมบัติหลักของความเท่าเทียมกันสามประการ:

คำจำกัดความ 2

• คุณสมบัติของการสะท้อนกลับ ซึ่งระบุว่าวัตถุมีค่าเท่ากับตัวมันเอง
• คุณสมบัติของความสมมาตร: หากวัตถุแรกเท่ากับวัตถุที่สองวัตถุที่สองจะเท่ากับวัตถุแรก
• คุณสมบัติการส่งผ่าน: เมื่อวัตถุแรกเท่ากับชิ้นที่สอง และชิ้นที่สองเท่ากับชิ้นที่สาม จากนั้นชิ้นแรกจะเท่ากับชิ้นที่สาม

ให้เราเขียนคุณสมบัติตามตัวอักษรดังนี้:

• ก = ก;
• ถ้า ก = ข, ที่ ข = ก;
• ถ้า ก = ขและ ข = ค, ที่ ก = ค.

ให้เราสังเกตข้อดีเฉพาะของคุณสมบัติที่สองและสามของความเท่าเทียมกัน - คุณสมบัติของสมมาตรและการเปลี่ยนแปลง - ทำให้สามารถยืนยันความเท่าเทียมกันของวัตถุสามชิ้นขึ้นไปผ่านความเท่าเทียมกันแบบคู่ได้

สองเท่า, สามเท่า ฯลฯ ความเท่าเทียมกัน

เมื่อรวมกับสัญกรณ์มาตรฐานของความเท่าเทียมกันแล้ว ตัวอย่างที่เราให้ไว้ข้างต้น ที่เรียกว่าความเสมอภาคสองเท่า ความเสมอภาคสามประการ ฯลฯ ก็มักจะถูกรวบรวมเช่นกัน บันทึกดังกล่าวเปรียบเสมือนห่วงโซ่แห่งความเท่าเทียม เช่น การบันทึก 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = 6 - ความเท่าเทียมกันสองเท่าและ | เอ บี | = | บี ซี | = | ซี ดี | = | ดี อี | = | อีเอฟ |- ตัวอย่างความเท่าเทียมกันของหนึ่งในสี่

การใช้สายโซ่แห่งความเท่าเทียมกันจะเป็นการดีที่สุดในการสร้างความเท่าเทียมกันระหว่างวัตถุสามชิ้นขึ้นไป บันทึกดังกล่าวในความหมายคือการกำหนดความเท่าเทียมกันของวัตถุสองชิ้นใดๆ ที่ประกอบกันเป็นสายโซ่แห่งความเท่าเทียมกันดั้งเดิม

ตัวอย่างเช่น ความเสมอภาคสองเท่า 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = 6 ที่เขียนไว้ด้านบนหมายถึงความเท่าเทียมกัน: 2 + 2 + 2 = 4 + 2 , และ 4 + 2 = 6 , และ 2 + 2 + 2 = 6 และเนื่องจากคุณสมบัติสมมาตรของความเท่าเทียมกันและ 4 + 2 = 2 + 2 + 2 , และ 6 = 4 + 2 , และ 6 = 2 + 2 + 2 .

เมื่อเขียนเชนดังกล่าวจะสะดวกในการเขียนลำดับของการแก้ไขตัวอย่างและปัญหา: วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจะกลายเป็นภาพและสะท้อนถึงขั้นตอนการคำนวณระดับกลางทั้งหมด

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

หลังจากได้รับ ข้อมูลทั่วไปเกี่ยวกับความเท่าเทียมทางคณิตศาสตร์ เราจะพูดถึงหัวข้อที่แคบลง เนื้อหาในบทความนี้จะให้แนวคิดเกี่ยวกับคุณสมบัติของความเท่าเทียมกันของตัวเลข

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขคืออะไร

ครั้งแรกที่เราพบความเท่าเทียมกันของตัวเลขคือใน โรงเรียนประถมเมื่อได้รู้จักกับตัวเลขและแนวคิดเรื่องความเหมือนกันก็เกิดขึ้น เหล่านั้น. ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขดั้งเดิมที่สุดคือ: 2 = 2, 5 = 5 เป็นต้น และในระดับการศึกษานั้น เราเรียกพวกมันว่าความเท่าเทียมกัน โดยไม่ต้องระบุเจาะจงว่า “เชิงตัวเลข” และระบุความหมายเชิงปริมาณหรือลำดับ (ซึ่งดำเนินการโดยตัวเลขธรรมชาติ) ตัวอย่างเช่น ความเท่าเทียมกัน 2 = 2 จะสอดคล้องกับรูปภาพที่มีดอกไม้สองดอก และแต่ละดอกมีแมลงภู่สองตัว หรือตัวอย่างเช่น สองคิว โดยที่ Vasya และ Vanya เป็นอันดับสองตามลำดับ

เป็นความรู้เกี่ยวกับ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขมีความซับซ้อนมากขึ้น: 5 + 7 = 12; 6 - 1 = 5; 2 · 1 = 2 ; 21: 7 = 3 เป็นต้น จากนั้นความเท่าเทียมกันก็เริ่มปรากฏขึ้นซึ่งการบันทึกเกี่ยวข้องกับนิพจน์ตัวเลขประเภทต่างๆ ตัวอย่างเช่น (2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2) ; 4 · (4 − (1 + 2)) + 12: 4 − 1 = 4 · 1 + 3 − 1 เป็นต้น จากนั้นเราจะมาทำความรู้จักกับตัวเลขประเภทอื่นๆ และความเท่าเทียมกันของตัวเลขก็มีรูปแบบที่น่าสนใจและหลากหลายมากขึ้นเรื่อยๆ

คำจำกัดความ 1

ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขคือความเท่าเทียมกัน ซึ่งทั้งสองส่วนประกอบด้วยตัวเลขและ/หรือนิพจน์ตัวเลข

คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันของตัวเลข

เป็นการยากที่จะประเมินค่าสูงไปถึงความสำคัญของคุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขในคณิตศาสตร์: พวกมันสนับสนุนหลายสิ่งหลายอย่าง, กำหนดหลักการทำงานกับความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข, วิธีการแก้ปัญหา, กฎสำหรับการทำงานกับสูตรและอื่น ๆ อีกมากมาย เห็นได้ชัดว่ามีความจำเป็น การศึกษาโดยละเอียดเกี่ยวกับคุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข

คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันของตัวเลขนั้นสอดคล้องอย่างยิ่งกับวิธีการกำหนดการดำเนินการกับตัวเลข เช่นเดียวกับคำจำกัดความของจำนวนที่เท่ากันผ่านผลต่าง: จำนวน กเท่ากับจำนวน ขเฉพาะในกรณีที่มีความแตกต่าง ก - ขมีศูนย์ นอกจากนี้ในคำอธิบายของแต่ละคุณสมบัติ เราจะติดตามการเชื่อมต่อนี้

คุณสมบัติพื้นฐานของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข

มาเริ่มศึกษาคุณสมบัติของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขด้วยคุณสมบัติพื้นฐานสามประการที่มีอยู่ในความเท่าเทียมกันทั้งหมด ให้เราแสดงรายการคุณสมบัติหลักของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข:

• คุณสมบัติการสะท้อนแสง: ก = ก;
• คุณสมบัติสมมาตร: ถ้า ก = ข, ที่ ข = ก;
• คุณสมบัติการขนส่ง: ถ้า ก = ขและ ข = ค, ที่ ก = ค, โดยที่ a , b และ ค– ตัวเลขที่กำหนดเอง

คำจำกัดความ 2

คุณสมบัติของการสะท้อนกลับแสดงถึงความจริงที่ว่าตัวเลขมีค่าเท่ากับตัวมันเอง เช่น 6 = 6, − 3 = − 3, 4 3 7 = 4 3 7 เป็นต้น

หลักฐานที่ 1

การแสดงให้เห็นถึงความถูกต้องของความเท่าเทียมกันไม่ใช่เรื่องยาก ก - ก = 0สำหรับหมายเลขใดๆ ก:ความแตกต่าง อะ-เอสามารถเขียนเป็นผลรวมได้ ก + (- ก)และสมบัติของการบวกทำให้เรามีโอกาสที่จะยืนยันจำนวนใดๆ ก็ได้ กตรงกับจำนวนตรงข้ามเท่านั้น − กและผลรวมของมันคือศูนย์

คำจำกัดความ 3

ตามคุณสมบัติของความสมมาตรของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข: ถ้าเป็นตัวเลข กเท่ากับจำนวน ข,
หมายเลขนั้น ขเท่ากับจำนวน ก. เช่น, 4 3 = 64 , แล้ว 64 = 4 3 .

หลักฐานที่ 2

คุณสมบัตินี้สามารถพิสูจน์ได้ผ่านผลต่างของตัวเลข เงื่อนไข ก = ขสอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน ก - ข = 0. มาพิสูจน์กัน ข − ก = 0.

มาเขียนความแตกต่างกัน ข−กเช่น − (ก - ข)ตามกฎของวงเล็บเปิดที่นำหน้าด้วยเครื่องหมายลบ รายการใหม่สำหรับนิพจน์คือ - 0 และค่าตรงข้ามของศูนย์คือศูนย์ ดังนั้น, ข − ก = 0, เพราะฉะนั้น: ข = ก.

คำจำกัดความที่ 4

คุณสมบัติการส่งผ่านของความเท่าเทียมกันของตัวเลขระบุว่าตัวเลขสองตัวมีค่าเท่ากันหากพวกมันเท่ากันกับจำนวนที่สาม ตัวอย่างเช่น ถ้า 81 = 9 และ 9 = 3 2 , ที่ 81 = 3 2 .

คุณสมบัติของการส่งผ่านยังเป็นไปตามคำจำกัดความของจำนวนที่เท่ากันผ่านผลต่างและคุณสมบัติของการดำเนินการกับตัวเลข ความเท่าเทียมกัน ก = ขและ ข = คสอดคล้องความเท่าเทียมกัน ก - ข = 0และ ข - ค = 0.

หลักฐานที่ 3

มาพิสูจน์ความเท่าเทียมกันกันเถอะ ก - ค = 0ซึ่งความเท่าเทียมกันของตัวเลขจะตามมา กและ ค. เนื่องจากการเพิ่มตัวเลขด้วยศูนย์จึงไม่ทำให้ตัวเลขเปลี่ยนแปลงไปเอง เครื่องปรับอากาศมาเขียนมันในรูปแบบกัน ก + 0 - ค. แทนที่จะเป็นศูนย์ ให้แทนผลรวมของจำนวนตรงข้าม - ขและ ขจากนั้นนิพจน์สุดโต่งจะกลายเป็น: ก + (- b + b) - ค. มาจัดกลุ่มคำศัพท์กัน: (ก - ข) + (ข - ค). ความแตกต่างในวงเล็บเท่ากับศูนย์ จากนั้นจึงเป็นผลรวม (ก - ข) + (ข - ค)มีศูนย์ นี่เป็นการพิสูจน์ว่าเมื่อใด ก - ข = 0และ ข - ค = 0ความเท่าเทียมกันเป็นจริง ก - ค = 0, ที่ไหน ก = ค.

คุณสมบัติที่สำคัญอื่นๆ ของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข

คุณสมบัติพื้นฐานของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นพื้นฐานสำหรับคุณสมบัติเพิ่มเติมจำนวนหนึ่งซึ่งค่อนข้างมีคุณค่าในทางปฏิบัติ เรามาแสดงรายการกัน:

คำจำกัดความที่ 5

ด้วยการบวกจำนวนเดียวกันเข้ากับ (หรือลบ) ทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่เป็นจริง เราจะได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริง ลองเขียนมันลงไปตามตัวอักษร: ถ้า ก = ข, ที่ไหน กและ ข– ตัวเลขบางตัวแล้ว ก + ค = ข + คได้เลย ค.

หลักฐาน 4

เพื่อเป็นการชี้แจง เราจะเขียนความแตกต่างไว้ (ก + ค) - (ข + ค).
นิพจน์นี้สามารถแปลงเป็นรูปแบบได้อย่างง่ายดาย (ก - ข) + (ค - ค).
จาก ก = ขตามเงื่อนไขเป็นไปตามนั้น ก - ข = 0และ ค - ค = 0, แล้ว (ก − ข) + (ค − ค) = 0 + 0 = 0. นี่เป็นการพิสูจน์ว่า (a + c) − (b + c) = 0, เพราะฉะนั้น, ก + ค = ข + ค;

คำนิยาม 6

หากทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริงถูกคูณด้วยตัวเลขใดๆ หรือหารด้วยตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์ เราจะได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่แท้จริง
ลองเขียนมันลงไปตามตัวอักษร: เมื่อไร ก = ข, ที่ ก · ค = ข · คสำหรับหมายเลขใดๆ ค.ถ้า c ≠ 0 แล้ว ก:ค = ข:ค.

หลักฐานที่ 5

ความเท่าเทียมกันเป็นจริง: a · c − b · c = (a − b) · c = 0 · c = 0และตามมาด้วยว่าสินค้ามีความเท่าเทียมกัน ก · คและ บีค. และการหารด้วยจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ c สามารถเขียนเป็นการคูณด้วยจำนวนกลับกัน 1 c ;

คำนิยาม 7

ที่ กและ ขแตกต่างจากศูนย์และเท่ากัน ส่วนกลับของพวกมันก็เท่ากันเช่นกัน
มาเขียนกัน: เมื่อ a ≠ 0, b ≠ 0 และ ก = ข, ที่ 1 ก = 1 ข. ความเสมอภาคขั้นสุดไม่ใช่เรื่องยากที่จะพิสูจน์: เพื่อจุดประสงค์นี้ เราจึงแบ่งความเสมอภาคทั้งสองด้านออกจากกัน ก = ขโดยตัวเลขเท่ากับสินค้า ขและไม่เท่ากับศูนย์

ให้เราชี้ให้เห็นคุณสมบัติอีกสองสามประการที่อนุญาตให้บวกและคูณส่วนที่สอดคล้องกันของความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง:

คำจำกัดความ 8

เมื่อบวกความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้องตามเทอม จะได้ความเท่าเทียมกันที่แท้จริง คุณสมบัตินี้สามารถเขียนได้ดังนี้: ถ้า ก = ขและ ค = ง, ที่ ก + ค = ข + งสำหรับตัวเลขใดๆ a, b, c และ ง.

หลักฐาน 6

ปรับให้เหมาะสม ทรัพย์สินที่มีประโยชน์อาจขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่กล่าวมาก่อนหน้านี้ เรารู้ว่าเป็นไปได้ที่จะบวกจำนวนใดๆ เข้ากับทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันที่แท้จริง
สู่ความเท่าเทียมกัน ก = ขมาเพิ่มหมายเลขกัน คและเพื่อความเท่าเทียมกัน ค = ง- ตัวเลข ขผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง: ก + ค = ข + คและ ค + ข = ง + ข. เราเขียนความสุดขั้วในรูปแบบ: ข + ค = ข + ง. จากความเท่าเทียมกัน ก + ค = ข + คและ ข + ค = ข + งตามคุณสมบัติการส่งผ่าน ความเท่าเทียมกันจะตามมา ก + ค = ข + ง.ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

มีความจำเป็นต้องชี้แจงว่าเป็นไปได้ที่จะเพิ่มคำศัพท์ทีละเทอมไม่เพียง แต่ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้องสองตัวเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสามตัวขึ้นไปด้วย

คำนิยาม 7

สุดท้ายนี้ เราจะอธิบายคุณสมบัติต่อไปนี้: การคูณแบบเทอมต่อเทอมของความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริงสองตัวจะทำให้เกิดความเท่าเทียมกันที่แท้จริง มาเขียนโดยใช้ตัวอักษร: ถ้า ก = ขและ ค = ง, ที่ ก · ค = ข · ง.

หลักฐานที่ 7

การพิสูจน์ทรัพย์สินนี้คล้ายกับการพิสูจน์ครั้งก่อน คูณทั้งสองข้างของความเท่ากันด้วยจำนวนใดๆ แล้วคูณ ก = ขบน ค, ก ค = งบน ขเราได้รับความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง ก · ค = ข · คและ ค · ข = ง · ข. ลองเขียนสุดขั้วว่า ข ค = ข ง. คุณสมบัติการผ่านทำให้เป็นไปได้จากความเท่าเทียมกัน ก · ค = ข · คและ ข ค = ข งได้รับความเท่าเทียมกัน ก · ค = ข · งซึ่งเราต้องพิสูจน์

ให้เราชี้แจงอีกครั้งว่าคุณสมบัตินี้ใช้ได้กับความเท่าเทียมกันของตัวเลขสอง, สามหรือมากกว่า
ดังนั้น เราสามารถเขียนได้ว่า: ถ้า ก = ข, ที่ n = ข nสำหรับตัวเลขใดๆ กและ ขและอื่นๆ จำนวนธรรมชาติ n.

มาเขียนบทความนี้ให้สมบูรณ์โดยรวบรวมคุณสมบัติทั้งหมดที่พิจารณาเพื่อความชัดเจน:

ถ้า a = b แล้ว b = a

ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

ถ้า a = b แล้ว a · c = b · c

ถ้า a = b และ c ≠ 0 แล้ว a: c = b: c

ถ้า a = b, a = b, a ≠ 0 และ b ≠ 0 แล้ว 1 a = 1 b

ถ้า a = b และ c = d แล้ว a · c = b · d

ถ้า a = b แล้ว a n = b n

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ข้อความต่อไปนี้เขียนบนกระดาษ:

สามและสองเป็นห้า

เพิ่มสองเป็นสามก็จะกลายเป็นห้า

เราบวกสามและสอง และผลลัพธ์คือห้า

สามคูณสองกลายเป็นห้า

ผลรวมของตัวเลขสามและสองคือห้า

อย่างไรก็ตาม “บทบาท” ที่เล่นโดยตัวเลขในรายการนี้จะมีชื่อดังต่อไปนี้:

เทอมแรก + เทอมสอง = ผลรวม

ในทางเดียวกัน,

นี่ไม่ใช่แค่ "ห้าลบสองเท่ากับสาม" เท่านั้น แต่ยังรวมถึง:

ห้าลบสองเป็นสาม

จากห้าลบสองกลายเป็นสาม

ลบสองจากห้าแล้วคุณจะได้สาม

ห้าลดลงสองเท่ากับสาม

ความแตกต่างระหว่างตัวเลขห้าและสองเท่ากับสาม

หากค่า minuend คือ 5 และค่า subtrahend คือ 2 ผลต่างคือ 3

“บทบาท” ของตัวเลขในตัวอย่างการลบมีชื่อดังต่อไปนี้:

minuend - subtrahend = ความแตกต่าง

เซเว่น - นี่ก็เหมือนกับสี่บวกสาม

ลองพิจารณาสถานการณ์นี้ เดนิสมีลูกอม 5 อัน Matvey น้องชายของเขาถามว่า:

เดนิสเก็บลูกอมเป็นสองกอง เขาเก็บกองหนึ่งไว้สำหรับตัวเองและมอบอีกกองหนึ่งให้กับแมทวีย์ คำถามคือ: ลูกอม 5 เม็ดสามารถแบ่งออกเป็นสองกองได้อย่างไร? คำตอบที่เป็นไปได้:

5 = 1 + 4 (เดนิสเก็บขนมไว้หนึ่งชิ้นให้ Matvey สี่อัน)
5 = 2 + 3;
5 = 3 + 2;
5 = 4 + 1.

แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด ตัวเลือกที่เป็นไปได้. อาจกลายเป็นว่าเดนิสไม่ชอบขนมเหล่านี้เลย และเขาก็มอบมันทั้งหมดให้แมตวีย์:

หรือบางทีเดนิสอาจไม่อยากแบ่งขนมเลย แล้วคุณควรเขียนสิ่งนี้:

คำตอบทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมเป็นบรรทัดเดียวได้:

สมมติว่าลุงที่เป็นผู้ใหญ่ซึ่งเป็นผู้ตรวจสอบที่ไม่ได้รับเชิญถามเดนิส:

ตอนนี้เดนิสสามารถตอบได้อย่างปลอดภัย:

นี่เท่ากับสามบวกสอง.

และเดนิสจะพูดถูกอย่างแน่นอน จริงหรือ,

แต่คุณจะขอให้คำนวณ "สองบวกสาม" อย่างเชี่ยวชาญได้อย่างไรเพื่อให้คำตอบเป็นตัวเลขตัวเดียว?

คำถามที่ดีจะเป็น:

ค่าของนิพจน์ 2 + 3 คืออะไร?

การแสดงออกทางคณิตศาสตร์ทุกสิ่งที่คุณสามารถถามได้เรียกว่า: “นี่เท่าไหร่? นี่เท่ากับเลขอะไร? เราได้พบสำนวนเช่น "2 + 3", "5 − 2" แล้ว ตัวเลขเองก็เป็นการแสดงออกเช่นกัน มันคงไม่ผิดที่จะพูดแบบนั้น

ดังนั้น "2" จึงเป็นนิพจน์

คำตอบสำหรับคำถาม: “นี่เท่าไหร่? นี่เท่ากับเลขอะไร? - เรียกว่าค่าของนิพจน์ ตัวอย่างเช่น ค่าของนิพจน์ "2 + 3" คือ "5" สิ่งนี้เขียนในลักษณะที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว:

หากสองนิพจน์มีความหมายเหมือนกัน จะมีการวางเครื่องหมาย “=” ไว้ระหว่างนิพจน์เหล่านั้นและเรียกรายการผลลัพธ์ ความเท่าเทียมกัน, ตัวอย่างเช่น:

1 + 4 = 2 + 3;
7 = 2 + 5.

เรารู้อยู่แล้วว่าความเท่าเทียมกันสามารถสร้างห่วงโซ่ได้:

5 = 0 + 5 = 1 + 4 = 2 + 3 = 3 + 2 = 4 + 1 = 5 + 0.

หากมีสองสำนวน ความหมายที่แตกต่างกันดังนั้นการใส่เครื่องหมาย “=” ไว้ระหว่างเครื่องหมายเหล่านั้นจะไม่ถูกต้อง แต่คุณสามารถใส่เครื่องหมายอื่นได้ เช่น “≠” ตัวอย่างเช่น,

1 ≠ 2 (อ่าน: หนึ่งไม่เท่ากับสอง);
3 + 2 ≠ 4 (สามบวกสองไม่เท่ากับสี่);
10 ≠ 7 − 3 (สิบไม่เท่ากับเจ็ดลบสาม)

บันทึกดังกล่าวเรียกว่า ความไม่เท่าเทียมกัน. อย่างไรก็ตาม ความไม่เท่าเทียมกันประเภทนี้มักทำให้เกิดความไม่พอใจอยู่บ้าง ไม่น่าเป็นไปได้ที่เดนิสจะพูดว่า:

อายุของฉัน อายุไม่เท่ากันมัตเวยะ.

เป็นไปได้มากว่าจะแสดงดังนี้:

ฉันแก่กว่าแมทวีย์ ฉันอายุมากกว่าเขา แมทวีย์อายุน้อยกว่าฉัน เขาอายุน้อยกว่าฉัน

เรารู้ว่าเดนิสอายุ 7 ขวบ และมัตวีย์อายุ 5 ขวบ เราสามารถเขียนได้ดังนี้:

7 > 5 (อ่าน: เจ็ดมากกว่าห้า หรือ: เจ็ดมากกว่าห้า)

5 < 7 (пять меньше семи; пять меньше, чем семь).

ภายในสามปีทั้งคู่จะแก่กว่า แต่เดนิสจะยังคงแก่กว่าแมตวีย์:

7 + 3 > 5 + 3 (เจ็ดบวกสามมากกว่าห้าบวกสาม);
5 + 3 < 7 + 3 (пять плюс три меньше, чем семь плюс три).

รายการที่มีสัญลักษณ์ ">" ("มากกว่า") หรือ "<» («меньше») тоже называются ความไม่เท่าเทียมกัน. ความไม่เท่าเทียมกันสามารถก่อให้เกิดห่วงโซ่:

0 < 1 < 2 < 3;
3 > 2 > 1 > 0.

โซ่แบบผสมก็เป็นที่ยอมรับเช่นกันซึ่งมีทั้งความเท่าเทียมกันและความไม่เท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่น ถามว่า อะไรยิ่งใหญ่กว่า:

7 + 3 หรือ 5 + 3?

สะดวกในการนำเสนอคำตอบสำหรับคำถามนี้ในรูปแบบต่อไปนี้:

7 + 3 = 10 > 8 = 5 + 3.

บางทีบางครั้งเดนิสก็อยากจะพูดแบบนี้:

ฉันอายุมากกว่า Matvey สองปี ฉันอายุมากกว่าเขาสองปี แมทวีย์อายุน้อยกว่าฉันสองปี เขาอายุน้อยกว่าฉันสองปี

หากต้องการเขียนโดยใช้ตัวเลข เราจะต้องมีความเท่าเทียมกันอีกครั้ง รายการนี้สามารถทำได้หลายวิธี:

7 = 5 + 2;
5 = 7 − 2;
2 = 7 − 5.

ตอนนี้เรามาพูดถึงคำที่มักใช้เมื่อพูดถึงการคูณและการหาร ให้ความเท่าเทียมกัน

3 คูณ 5 เท่ากับ 15;
ผลคูณของหมายเลข 3 และ 5 คือ 15
หมายเลข 3 เพิ่มขึ้น 5 เท่าและได้ 15;
จำนวน 5 เพิ่มขึ้น 3 ครั้งและเราได้ 15;
หมายเลข 15 มากกว่าหมายเลข 3 ถึง 5 เท่า
หมายเลข 3 น้อยกว่าหมายเลข 15 ถึง 5 เท่า

“บทบาท” มีการกระจายดังนี้:

ปัจจัยแรก ∙ ปัจจัยที่สอง = ผลิตภัณฑ์

ในโรงเรียน ผลคูณของตัวเลขทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 10 จะถูกเขียนลงในตารางน่าเบื่อขนาดใหญ่ที่เรียกว่าตารางสูตรคูณ ตารางนี้ถูกบังคับให้เรียนรู้ด้วยใจ เพื่อให้การยัดเยียดง่ายขึ้น ในภาษารัสเซีย มีชื่อพิเศษสำหรับผลิตภัณฑ์จากตารางสูตรคูณ เช่น

2 ∙ 2 - สองครั้ง;
3 ∙ 6 - สามครั้งหก;
4 ∙ 5 - สี่คูณห้า;
5 ∙ 8 - ห้าแปด
ฯลฯ

ให้เราพิจารณาความเท่าเทียมกัน

คุณสามารถอ่านรายการนี้ได้ดังนี้:

15 หารด้วย 3 เท่ากับ 5;
15 หารด้วย 3 เท่ากับ 5;
ผลหารของ 15 หารด้วย 3 คือ 5;
อัตราส่วนของตัวเลข 15 และ 3 คือ 5;
หมายเลข 15 คือ 3 คูณหมายเลข 5;
หมายเลข 5 น้อยกว่าหมายเลข 15 ถึง 3 เท่า

“บทบาท” มีการกระจายดังนี้:

เงินปันผล / ตัวหาร = ผลหาร

งาน

2.1.1. ต้องบวกตัวเลขสองตัวใดจึงจะได้ผลลัพธ์เท่ากับสี่? เขียนคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด

2.1.2. ต้องลบเลขใดออกจากเลขใดจึงจะได้ผลลัพธ์เท่ากับสอง? เขียนหนึ่งในคำตอบที่เป็นไปได้

2.1.3. ระบุว่ารายการใดต่อไปนี้เป็นนิพจน์ ซึ่งก็คือความเท่าเทียมกัน ซึ่งเป็นความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งเป็นเรื่องไร้สาระ ความเท่าเทียมกันและอสมการใดเป็นจริงและสิ่งใดไม่จริง

1
10
10 +
10 + 8
10 + 8 =
10 + 8 = 1
10 + 8 = 18
2
25
25 −
25 − 5
25 − 5 >
25 − 5 > 1
25 − 5 > 10
25 − 5 > 10 +
25 − 5 > 10 + 2
25 − 5 > 10 + 20

2.1.4. ค้นหาความหมายของสำนวน

37 + 54
98 − 73
และอื่น ๆ

2.1.5. เปรียบเทียบนิพจน์ (ใส่เครื่องหมาย "=", ">" หรือ "ระหว่างพวกเขา<»):

45 + 18 __ 71 − 16
78 − 14 __ 13 + 56
และอื่น ๆ

ตัวอย่างการเขียนวิธีแก้ปัญหา:

63 = 45 + 18 > 71 − 16 = 55.

2.1.6. เดนิสมีลูกอม 25 ชิ้น และ Matvey มีลูกอมน้อยกว่า 3 ชิ้น Matvey มีขนมกี่ชิ้น?

2.1.7. เดนิสมีลูกอม 25 ชิ้น และ Matvey มีลูกอมอีก 3 ชิ้น Matvey มีขนมกี่ชิ้น?

2.1.8. เดนิสมีลูกอม 25 ชิ้น และแมทวีย์มีลูกอม 23 ชิ้น ใครมีขนมมากกว่าและราคาเท่าไหร่?

2.1.9. เดนิสมีลูกอม 33 ชิ้น และแมทวีย์มีลูกอม 35 ชิ้น ใครมีขนมน้อยกว่าและเท่าไหร่?

2.1.10. เดนิสมีลูกอม 25 อัน และแมทวีย์มีลูกอม 23 อัน เดนิสกินลูกกวาด 4 อัน ตอนนี้ใครมีขนมมากกว่าและราคาเท่าไหร่?

2.1.11. (ยั่วยุเล็กน้อย) เดนิสมีลูกอม 25 อัน และแมทวีย์มีลูกอม 23 อัน เดนิสกินลูกอม 2 อัน ตอนนี้ใครมีขนมน้อยลงและเท่าไหร่?

2.1.12. เดนิสมีลูกอม 25 อัน และแมทวีย์มีลูกอม 23 อัน เดนิสกินลูกกวาด 14 ลูก และแมทวีย์กินลูกกวาด 10 ลูก ใครมีขนมมากกว่าและเท่าไหร่?

2.1.14. เดนิสอายุ 7 ขวบ และแมทเวย์อายุ 5 ขวบ Matvey จะอายุเท่าไหร่เมื่อเดนิสอายุ 10 ขวบ เดนิสจะอายุเท่าไหร่เมื่อ Matvey อายุ 10 ขวบ?

2.1.15. เดนิสมีลูกอม 20 อัน และแมทวีย์มีลูกอมครึ่งหนึ่ง Matvey มีขนมกี่ชิ้น?

2.1.16. เดนิสมีลูกอม 5 อัน และแมทเวย์มีมากกว่า 3 เท่า Matvey มีขนมกี่ชิ้น?

2.1.17. ตั้งแต่ขั้นตอนนี้เป็นต้นไป ปัญหาต่างๆ สามารถรับได้จากคู่มือและหนังสือปัญหาที่แนะนำสำหรับเด็กนักเรียนอย่างเป็นทางการและจำหน่ายในร้านหนังสือ อย่างไรก็ตาม งานดังกล่าวมักได้รับการจัดทำขึ้นในลักษณะที่เข้าใจยากมากและต้องมีการแก้ไขเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่นมีปัญหาดังต่อไปนี้ (O. V. Uzorova ปัญหา 3,000 ข้อและตัวอย่างทางคณิตศาสตร์: เกรด 3-4 มอสโก, 2544):

“หินที่ชนชั้นบรรยากาศโลกและเผาไหม้จนหมดนั้นเรียกว่าอุกกาบาต พวกมันสว่างขึ้นที่ระดับความสูง 100 กม. และเมื่อเผาไหม้จะบินได้อีก 30 กม. ฝุ่นและเถ้าจากดาวตกนี้จะเหลืออีกกี่กิโลเมตรที่จะบินมายังโลก”

หากคุณเสนอปัญหาให้เด็กในรูปแบบนี้ ก็มีความเสี่ยงที่จะจมอยู่กับคำอธิบายว่าอุกกาบาตมาจากไหน แตกต่างจากอุกกาบาตอย่างไร บรรยากาศเป็นอย่างไร เหตุใดร่างกายจึงร้อนขึ้นเมื่อพวกมันเสียดสีกับอากาศ และ โดยทั่วไปแล้วจักรวาลทำงานอย่างไร แน่นอนว่าสิ่งเหล่านี้ล้วนน่าสนใจ แต่เนื่องจากเราตัดสินใจเรียนวิชาคณิตศาสตร์ จึงเป็นการดีกว่าถ้าแปลปัญหาเดียวกันเป็นภาษาที่คุ้นเคยมากกว่า นี่คือทางเลือกหนึ่งที่เป็นไปได้:

“ตั้งแต่ทางเข้าบ้านจนถึงร้านไอศกรีมมีบันได 100 ขั้น พ่อไปที่ร้านเพื่อซื้อไอศกรีมเดนิส เขาเดินไปได้ 30 ก้าวแล้ว เขาเหลืออีกกี่ก้าวที่จะเดิน?

“ความเสมอภาค” เป็นหัวข้อที่นักเรียนได้รับการสอนตั้งแต่ชั้นประถมศึกษา นอกจากนี้ยังสอดคล้องกับ "ความไม่เท่าเทียมกัน" แนวคิดทั้งสองนี้มีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด นอกจากนี้ยังเกี่ยวข้องกับคำศัพท์เช่นสมการและอัตลักษณ์ แล้วความเท่าเทียมกันคืออะไร?

แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกัน

คำนี้หมายถึงข้อความที่มีเครื่องหมาย “=” ความเท่าเทียมกันแบ่งออกเป็นจริงและเท็จ หากอยู่ในรายการแทน = มี<, >แล้วเรากำลังพูดถึงความไม่เท่าเทียมกัน อย่างไรก็ตาม สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันบ่งชี้ว่าทั้งสองส่วนของนิพจน์เหมือนกันในผลลัพธ์หรือบันทึก

นอกจากแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันแล้ว ทางโรงเรียนยังศึกษาหัวข้อ “ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข” อีกด้วย คำสั่งนี้อ้างถึงนิพจน์ตัวเลขสองตัวที่อยู่ด้านใดด้านหนึ่งของเครื่องหมาย = เช่น 2*5+7=17 ทั้งสองส่วนของบันทึกมีค่าเท่ากัน

นิพจน์ตัวเลขประเภทนี้อาจใช้วงเล็บที่ส่งผลต่อลำดับการดำเนินการ ดังนั้นจึงมีกฎ 4 ข้อที่ควรนำมาพิจารณาเมื่อคำนวณผลลัพธ์ของนิพจน์ตัวเลข

1. หากไม่มีวงเล็บเหลี่ยมในรายการ การดำเนินการจะดำเนินการจากระดับสูงสุด: III→II→I หากมีการกระทำในหมวดหมู่เดียวกันหลายอย่าง การกระทำเหล่านั้นจะดำเนินการจากซ้ายไปขวา
2. หากมีวงเล็บอยู่ในรายการ การดำเนินการจะดำเนินการในวงเล็บแล้วดำเนินการตามขั้นตอน อาจมีการดำเนินการหลายอย่างในวงเล็บ
3. หากนิพจน์แสดงเป็นเศษส่วน คุณต้องคำนวณตัวเศษก่อน จากนั้นจึงคำนวณส่วน จากนั้นจึงหารตัวเศษด้วยตัวส่วน
4. หากบันทึกมีวงเล็บซ้อนกัน นิพจน์ในวงเล็บด้านในจะถูกประเมินก่อน

ตอนนี้ก็ชัดเจนว่าความเท่าเทียมกันคืออะไร ในอนาคตจะพิจารณาแนวคิดเรื่องสมการ อัตลักษณ์ และวิธีการคำนวณ

คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันของตัวเลข

ความเท่าเทียมกันคืออะไร? การศึกษาแนวคิดนี้ต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของอัตลักษณ์เชิงตัวเลข สูตรข้อความด้านล่างช่วยให้คุณศึกษาหัวข้อนี้ได้ดีขึ้น แน่นอนว่าคุณสมบัติเหล่านี้เหมาะกับการเรียนคณิตศาสตร์ในโรงเรียนมัธยมมากกว่า

1. ความเท่าเทียมกันของตัวเลขจะไม่ถูกละเมิดหากมีการเพิ่มตัวเลขเดียวกันในทั้งสองส่วนของนิพจน์ที่มีอยู่

ก = บี↔ ก + 5 = ข + 5

2. สมการจะไม่ถูกละเมิดหากทั้งสองส่วนของมันถูกคูณหรือหารด้วยตัวเลขหรือนิพจน์เดียวกันที่แตกต่างจากศูนย์

พี = โอ↔ P ∙ 5 = O ∙ 5

พี = โอ↔ ป: 5 = โอ: 5

3. ด้วยการเพิ่มทั้งสองด้านของเอกลักษณ์ของฟังก์ชันเดียวกัน ซึ่งสมเหตุสมผลสำหรับค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร เราจะได้รับความเท่าเทียมกันใหม่ที่เทียบเท่ากับค่าเดิม

ฉ(X) = Ψ(เอ็กซ์) ↔ ฉ(X) + ร(X) =Ψ (X) + R(X)

4. คำหรือสำนวนใดๆ สามารถย้ายไปยังอีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับได้ แต่เครื่องหมายจะต้องกลับกัน

X + 5 = ย - 20 ↔ X = ย - 20 - 5 ↔ เอ็กซ์ = ย - 25

5. โดยการคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วยฟังก์ชันเดียวกัน ซึ่งแตกต่างจากศูนย์และมีความหมายสำหรับแต่ละค่าของ X จาก ODZ เราจะได้สมการใหม่ที่เทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม

ฉ(X) = Ψ(เอ็กซ์)↔ ฉ(X)∙ร(X) = Ψ(X)∙ร(เอ็กซ์)

ฉ(X) = Ψ(เอ็กซ์)↔ F(X) : G(X) = Ψ(X) : ก(X)

กฎข้างต้นระบุอย่างชัดเจนถึงหลักการแห่งความเท่าเทียมกันซึ่งมีอยู่ภายใต้เงื่อนไขบางประการ

แนวคิดเรื่องสัดส่วน

ในทางคณิตศาสตร์มีความเท่าเทียมกันของความสัมพันธ์ ในกรณีนี้ ให้นิยามของสัดส่วนโดยนัย หากคุณหาร A ด้วย B ผลลัพธ์จะเป็นอัตราส่วนของตัวเลข A ต่อตัวเลข B สัดส่วนคือความเท่ากันของสองอัตราส่วน:

บางครั้งสัดส่วนก็เขียนดังนี้: ตอบ:บี=ค:ดี.นี่แสดงถึงคุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วน: เอ*ด=ด*คโดยที่ A และ D คือเทอมสุดขั้วของสัดส่วน และ B และ C คือค่าเฉลี่ย

ตัวตน

ข้อมูลประจำตัวคือความเท่าเทียมกันที่จะเป็นจริงสำหรับค่าที่อนุญาตทั้งหมดของตัวแปรที่รวมอยู่ในงาน ข้อมูลประจำตัวสามารถแสดงเป็นความเท่าเทียมกันตามตัวอักษรหรือตัวเลข

นิพจน์ที่มีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันซึ่งสามารถถือเอาสองส่วนของค่าทั้งหมดเท่ากันได้ เรียกว่า เท่ากัน

หากคุณแทนที่นิพจน์หนึ่งด้วยอีกนิพจน์หนึ่งซึ่งจะเท่ากับนิพจน์นั้น เรากำลังพูดถึงการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกัน ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้สูตรคูณแบบย่อ กฎเลขคณิต และอัตลักษณ์อื่นๆ ได้

หากต้องการลดเศษส่วน คุณต้องทำการแปลงที่เหมือนกัน เช่น ให้เศษส่วนมา เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ คุณควรใช้สูตรการคูณแบบย่อ การแยกตัวประกอบ การทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น และลดเศษส่วน

ควรพิจารณาว่านิพจน์นี้จะเหมือนกันเมื่อตัวส่วนไม่เท่ากับ 3

5 วิธีในการพิสูจน์ตัวตน

เพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของข้อมูลประจำตัว คุณจำเป็นต้องแปลงนิพจน์

วิธีที่ 1

จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงที่เท่ากันทางด้านซ้าย ผลลัพธ์คือทางด้านขวามือ และเราสามารถพูดได้ว่าตัวตนได้รับการพิสูจน์แล้ว

วิธีที่สอง

การดำเนินการแปลงนิพจน์ทั้งหมดเกิดขึ้นทางด้านขวา ผลลัพธ์ของการดำเนินการคือด้านซ้าย หากทั้งสองส่วนเหมือนกัน แสดงว่าตัวตนนั้นได้รับการพิสูจน์แล้ว

วิธีการที่สาม

“การเปลี่ยนแปลง” เกิดขึ้นในทั้งสองส่วนของสำนวน หากผลลัพธ์เป็นสองส่วนที่เหมือนกัน แสดงว่าตัวตนนั้นได้รับการพิสูจน์แล้ว

วิธี IV

ด้านขวาจะถูกลบออกจากด้านซ้าย จากผลของการแปลงที่เท่ากัน ผลลัพธ์ควรเป็นศูนย์ จากนั้นเราก็สามารถพูดคุยเกี่ยวกับเอกลักษณ์ของการแสดงออกได้

วิธีวี

ด้านซ้ายจะถูกลบออกจากด้านขวา การแปลงที่เท่ากันทั้งหมดจะลดลงเพื่อให้แน่ใจว่าคำตอบมีศูนย์ เฉพาะในกรณีนี้เท่านั้นที่เราสามารถพูดถึงอัตลักษณ์ของความเท่าเทียมกันได้

คุณสมบัติพื้นฐานของอัตลักษณ์

ในทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติของความเท่าเทียมกันมักใช้เพื่อเร่งกระบวนการคำนวณ ด้วยเอกลักษณ์ทางพีชคณิตขั้นพื้นฐาน กระบวนการคำนวณนิพจน์บางส่วนจึงใช้เวลาไม่กี่นาทีแทนที่จะใช้เวลานานหลายชั่วโมง

• X + Y = Y + X
• X + (Y + C) = (X + Y) + C
• X + 0 = X
• X + (-X) = 0
• X ∙ (Y + C) = X∙Y + X∙C
• X ∙ (Y - C) = X ∙ Y - X ∙ C
• (X + Y) ∙ (C + E) = X∙C + X∙E + Y∙C + Y∙E
• X + (Y + C) = X + Y + C
• X + (Y - C) = X + Y - C
• X - (Y + C) = X - Y - C
• X - (Y - C) = X - Y + C
• X ∙ Y = Y ∙ X
• X ∙ (Y ∙ C) = (X ∙ Y) ∙ C
• X ∙ 1 = X
• X ∙ 1/X = 1 โดยที่ X ≠ 0

สูตรคูณแบบย่อ

โดยแก่นแท้แล้ว สูตรการคูณแบบย่อคือความเท่าเทียมกัน ช่วยแก้ปัญหามากมายในวิชาคณิตศาสตร์เนื่องจากความเรียบง่ายและใช้งานง่าย

• (A + B) 2 = A 2 + 2∙A∙B + B 2 - กำลังสองของผลรวมของคู่ตัวเลข

• (A - B) 2 = A 2 - 2∙A∙B + B 2 - ผลต่างกำลังสองของคู่ตัวเลข

• (C + B) ∙ (C - B) = C 2 - B 2 - ผลต่างของกำลังสอง;

• (A + B) 3 = A 3 + 3∙A 2 ∙B + 3∙A∙B 2 + B 3 - ลูกบาศก์ของผลรวม;

• (A - B) 3 = A 3 - 3∙A 2 ∙B + 3∙A∙B 2 - B 3 - ลูกบาศก์ของความแตกต่าง;

• (P + B) ∙ (P 2 - P∙B + B 2) = P 3 + B 3 - ผลรวมของลูกบาศก์;

• (P - B) ∙ (P 2 + P∙B + B 2) = P 3 - B 3 - ผลต่างของลูกบาศก์

สูตรการคูณแบบย่อมักใช้หากจำเป็นต้องนำพหุนามมาอยู่ในรูปแบบปกติ ทำให้ง่ายขึ้น วิธีที่เป็นไปได้. สูตรที่นำเสนอนั้นพิสูจน์ได้ง่าย: เพียงเปิดวงเล็บและเพิ่มคำศัพท์ที่คล้ายกัน

สมการ

หลังจากศึกษาคำถามว่าความเท่าเทียมกันคืออะไร คุณสามารถไปยังประเด็นถัดไปได้: เข้าใจว่าสมการคือความเท่าเทียมกันซึ่งมีปริมาณที่ไม่ทราบค่าอยู่ การแก้สมการคือการค้นหาค่าทั้งหมดของตัวแปรโดยให้ทั้งสองด้านของนิพจน์ทั้งหมดเท่ากัน นอกจากนี้ยังมีงานที่การหาคำตอบของสมการซึ่งเป็นไปไม่ได้อีกด้วย ในกรณีนี้พวกเขาบอกว่าไม่มีราก

ตามกฎแล้ว ความเสมอภาคกับไม่ทราบค่าจะสร้างจำนวนเต็มเป็นคำตอบ อย่างไรก็ตาม อาจมีกรณีที่รากเป็นเวกเตอร์ ฟังก์ชัน หรือวัตถุอื่นๆ

สมการเป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ ปัญหาทางวิทยาศาสตร์และเชิงปฏิบัติส่วนใหญ่ไม่อนุญาตให้ใครวัดหรือคำนวณปริมาณใดๆ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องสร้างอัตราส่วนที่จะตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดของงาน ในกระบวนการรวบรวมความสัมพันธ์ดังกล่าวสมการหรือระบบสมการจะปรากฏขึ้น

โดยปกติแล้วการแก้ความเท่าเทียมโดยไม่ทราบค่านั้นมาจากการแปลงสมการที่ซับซ้อนและลดขนาดลง แบบฟอร์มง่ายๆ. ต้องจำไว้ว่าต้องทำการเปลี่ยนแปลงทั้งสองด้าน มิฉะนั้นผลลัพธ์จะไม่ถูกต้อง

4 วิธีในการแก้สมการ

การแก้สมการหมายถึงการแทนที่ความเท่าเทียมกันที่กำหนดด้วยอีกสมการหนึ่ง ซึ่งเทียบเท่ากับสมการแรก การทดแทนดังกล่าวเรียกว่าการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ ในการแก้สมการ คุณต้องใช้วิธีใดวิธีหนึ่ง

1. นิพจน์หนึ่งจะถูกแทนที่ด้วยอีกนิพจน์หนึ่งซึ่งจำเป็นต้องเหมือนกับนิพจน์แรก ตัวอย่าง: (3∙x+3) 2 =15∙x+10 นิพจน์นี้สามารถแปลงเป็น 9∙x 2 +18∙x+9=15∙x+10

2. การโอนเงื่อนไขความเท่าเทียมกับสิ่งที่ไม่รู้จากด้านหนึ่งไปอีกด้าน ในกรณีนี้จำเป็นต้องเปลี่ยนป้ายให้ถูกต้อง ความผิดพลาดเพียงเล็กน้อยจะทำลายงานที่ทำทั้งหมด ลองใช้ "ตัวอย่าง" ก่อนหน้านี้เป็นตัวอย่าง

9∙x 2 + 12∙x + 4 = 15∙x + 10

9∙x 2 + 12∙x + 4 - 15∙x - 10 = 0

3. การคูณทั้งสองด้านของความเท่ากันด้วยจำนวนเท่ากันหรือนิพจน์ที่ไม่เท่ากับ 0 อย่างไรก็ตาม ควรจำไว้ว่าหากสมการใหม่ไม่เท่ากับความเท่าเทียมกันก่อนการแปลง จำนวนรากอาจเปลี่ยนแปลงอย่างมีนัยสำคัญ

4. การยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ วิธีนี้เป็นวิธีที่ยอดเยี่ยมมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อมีการแสดงออกที่ไม่ลงตัวในความเท่าเทียมกัน นั่นคือ การแสดงออกที่อยู่ด้านล่าง มีความแตกต่างเล็กน้อยที่นี่: หากคุณยกสมการให้มีกำลังเท่ากันรากที่ไม่เกี่ยวข้องอาจปรากฏขึ้นซึ่งจะบิดเบือนสาระสำคัญของงาน และถ้าคุณแยกรูทไม่ถูกต้องความหมายของคำถามในปัญหาก็จะไม่ชัดเจน ตัวอย่าง: │7∙х│=35 → 1) 7∙х = 35 และ 2) - 7∙х = 35 → สมการจะแก้ได้อย่างถูกต้อง

ดังนั้นในบทความนี้จึงกล่าวถึงคำศัพท์ต่างๆ เช่น สมการและอัตลักษณ์ ล้วนมาจากแนวคิดเรื่อง “ความเท่าเทียมกัน” ต้องขอบคุณสำนวนที่เทียบเท่าหลายประเภท การแก้ปัญหาบางอย่างจึงสะดวกขึ้นอย่างมาก

รายการแบบโต้ตอบ เริ่มพิมพ์คำที่คุณกำลังมองหา

ความเท่าเทียมกัน

ความเท่าเทียมกัน, -a, cf.

1. ความคล้ายคลึง ความคล้ายคลึงกันอย่างสมบูรณ์ (ขนาด คุณภาพ ศักดิ์ศรี) ร. ซิล

2. ตำแหน่งของผู้คนในสังคมที่ทำให้เกิดทัศนคติที่เท่าเทียมต่อกฎหมาย การเมือง และ สิทธิมนุษยชน, ความเท่าเทียมกัน สังคมร.

3. ในทางคณิตศาสตร์: ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่แสดงว่าปริมาณหนึ่งมีค่าเท่ากับอีกปริมาณหนึ่ง เครื่องหมายเท่ากับ (=) เพื่อใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างคนกับบางสิ่งบางอย่าง(แปล: รับรู้ว่าเท่าเทียมกัน, เท่าเทียมกัน)

| คำคุณศัพท์ เท่ากัน, -th, -oe (ถึง 2 ความหมาย; ล้าสมัย)

เกิดอะไรขึ้น ความเท่าเทียมกัน, ความเท่าเทียมกันนี่คือความหมายของคำ ความเท่าเทียมกัน, ต้นกำเนิด (นิรุกติศาสตร์) ความเท่าเทียมกันคำพ้องความหมายสำหรับ ความเท่าเทียมกัน, กระบวนทัศน์ (รูปแบบคำ) ความเท่าเทียมกันในพจนานุกรมอื่นๆ

กระบวนทัศน์ รูปแบบคำ ความเท่าเทียมกัน- กระบวนทัศน์ที่เน้นย้ำให้สมบูรณ์ตาม A. A. Zaliznyak

คำพ้องความหมายสำหรับ ความเท่าเทียมกัน- พจนานุกรมคำพ้องความหมายภาษารัสเซีย 4

คำพ้องความเท่าเทียมกัน

ความเท่าเทียมกัน

คำพ้องความหมาย:

ทางเลือก, ความสามัคคี, มุสาวัต, ความเหมือนกัน, ความเหมือนกัน, ความเท่าเทียมกัน, ความเท่าเทียม, ความคล้ายคลึงกัน, ความเท่าเทียมกัน, ความเสมอภาค, ความเท่าเทียมกัน, ความบังเอิญ, การติดต่อกัน, ความคล้ายคลึงกัน, อัตลักษณ์, สมการ, ความเท่าเทียมกัน