§ 1 แนวคิดในการลดความซับซ้อนของนิพจน์ตามตัวอักษร

ในบทนี้ เราจะทำความคุ้นเคยกับแนวคิดของ "คำศัพท์ที่คล้ายกัน" และเราจะเรียนรู้วิธีการลดคำศัพท์ที่คล้ายคลึงกันโดยใช้ตัวอย่าง ซึ่งจะทำให้สำนวนตามตัวอักษรง่ายขึ้น

เรามาดูความหมายของแนวคิด "การทำให้เข้าใจง่าย" กันดีกว่า คำว่า simplification มาจากคำว่า simplify ทำให้ง่ายขึ้น หมายถึง ทำให้ง่ายขึ้น ง่ายขึ้น ดังนั้น เพื่อให้นิพจน์ตัวอักษรง่ายขึ้นคือการทำให้สั้นลงโดยมีจำนวนการดำเนินการขั้นต่ำ

พิจารณานิพจน์ 9x + 4x นี่คือนิพจน์ตามตัวอักษรที่เป็นผลรวม คำศัพท์ในที่นี้แสดงเป็นผลคูณของตัวเลขและตัวอักษร ตัวประกอบเชิงตัวเลขของคำดังกล่าวเรียกว่าสัมประสิทธิ์ ในนิพจน์นี้ ค่าสัมประสิทธิ์จะเป็นตัวเลข 9 และ 4 โปรดทราบว่าตัวประกอบที่แสดงด้วยตัวอักษรจะเหมือนกันในทั้งสองเทอมของผลรวมนี้

ให้เรานึกถึงกฎการกระจายของการคูณ:

หากต้องการคูณผลรวมด้วยตัวเลข คุณสามารถคูณแต่ละเทอมด้วยตัวเลขนั้นแล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้

ใน ปริทัศน์เขียนดังนี้: (a + b) ∙ c = ac + bc

กฎนี้เป็นจริงในทั้งสองทิศทาง ac + bc = (a + b) ∙ c

ลองใช้มันกับนิพจน์ตามตัวอักษรของเรา: ผลรวมของผลคูณของ 9x และ 4x เท่ากับผลคูณที่มีตัวประกอบแรกเป็น เท่ากับผลรวม 9 และ 4 ตัวประกอบที่สองคือ x

9 + 4 = 13 นั่นคือ 13x

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x

แทนที่จะเป็นสามการกระทำในนิพจน์ เหลือเพียงการกระทำเดียวเท่านั้น นั่นคือการคูณ ซึ่งหมายความว่าเราได้ทำให้การแสดงออกตามตัวอักษรของเราง่ายขึ้น เช่น ทำให้ง่ายขึ้น

§ 2 การลดข้อกำหนดที่คล้ายกัน

เงื่อนไข 9x และ 4x แตกต่างกันเฉพาะในสัมประสิทธิ์เท่านั้น - เงื่อนไขดังกล่าวเรียกว่าคล้ายกัน ส่วนตัวอักษรของคำที่คล้ายกันจะเหมือนกัน คำที่คล้ายกันยังรวมถึงตัวเลขและพจน์ที่เท่ากันด้วย

ตัวอย่างเช่นในนิพจน์ 9a + 12 - 15 คำที่คล้ายกันจะเป็นตัวเลข 12 และ -15 และในผลรวมของผลิตภัณฑ์ของ 12 และ 6a ตัวเลข 14 และผลิตภัณฑ์ของ 12 และ 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) พจน์ที่เท่ากันแสดงด้วยผลคูณของ 12 และ 6a

สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าคำศัพท์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน แต่ตัวประกอบตัวอักษรต่างกันจะไม่เหมือนกัน แม้ว่าบางครั้งการใช้กฎการกระจายของการคูณจะมีประโยชน์ เช่น ผลรวมของผลิตภัณฑ์ 5x และ 5y คือ เท่ากับผลคูณของเลข 5 และผลรวมของ x และ y

5x + 5y = 5(x + y)

มาทำให้นิพจน์ -9a + 15a - 4 + 10 ง่ายขึ้น

คำที่คล้ายกันในกรณีนี้คือพจน์ -9a และ 15a เนื่องจากต่างกันแค่ค่าสัมประสิทธิ์เท่านั้น ตัวคูณตัวอักษรของพวกเขาเหมือนกัน และเงื่อนไข -4 และ 10 ก็คล้ายกันเช่นกัน เนื่องจากเป็นตัวเลข เพิ่มคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

เราได้รับ: 6a + 6

โดยการทอนนิพจน์ให้ง่ายขึ้น เราพบผลรวมของพจน์ที่คล้ายกัน ในทางคณิตศาสตร์เรียกว่าการลดทอนของพจน์ที่คล้ายกัน

หากการเพิ่มคำดังกล่าวเป็นเรื่องยาก คุณสามารถสร้างคำสำหรับคำเหล่านั้นและเพิ่มวัตถุได้

ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์:

สำหรับแต่ละตัวอักษร เรานำวัตถุของเราเอง: b-apple, c-pear จากนั้นเราจะได้: 2 แอปเปิ้ลลบ 5 ลูกแพร์บวก 8 ลูกแพร์

เราสามารถลบลูกแพร์ออกจากแอปเปิ้ลได้ไหม? ไม่แน่นอน แต่เราบวกแพร์ 8 ลูกได้ลบ 5 ลูกแพร์ได้

ให้เรานำเสนอคำที่คล้ายกัน -5 ลูกแพร์ + 8 ลูกแพร์ คำที่คล้ายกันมีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน ดังนั้นเมื่อนำคำที่คล้ายกันมาเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และเพิ่มส่วนตัวอักษรลงในผลลัพธ์ก็เพียงพอแล้ว:

(-5 + 8) ลูกแพร์ - คุณได้ลูกแพร์ 3 ลูก

กลับมาที่นิพจน์ตามตัวอักษร เรามี -5 s + 8 s = 3 s ดังนั้น หลังจากนำพจน์ที่คล้ายกันมา เราจะได้นิพจน์ 2b + 3c

ดังนั้น ในบทเรียนนี้ คุณได้คุ้นเคยกับแนวคิดเรื่อง "คำศัพท์ที่คล้ายกัน" และได้เรียนรู้วิธีลดความซับซ้อนของนิพจน์ตัวอักษรโดยการลดคำศัพท์ที่คล้ายคลึงกัน

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้:

1. คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: แผนการสอนสำหรับหนังสือเรียนของ I.I. ซูบาเรวา, A.G. Mordkovich // ผู้แต่ง - คอมไพเลอร์ L.A. โทปิลินา. ความจำเสื่อม 2552.
2. คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป I.I. Zubareva, A.G. มอร์โควิช - ม.: Mnemosyne, 2013.
3. คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov และคนอื่นๆ/เรียบเรียงโดย G.V. Dorofeeva, I.F. ชารีจินา; Russian Academy of Sciences, สถาบันการศึกษาแห่งรัสเซีย อ.: “การตรัสรู้”, 2553.
4. คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: การศึกษาสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป/น.ย. วิเลนคิน, V.I. Zhokhov, A.S. เชสโนคอฟ, S.I. ชวาร์ตซเบิร์ด. – อ.: Mnemosyna, 2013.
5. คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: หนังสือเรียน/G.K. มูราวิน, O.V. มูราวิน่า. – อ.: อีสตาร์ด, 2014.

รูปภาพที่ใช้:

นิพจน์การแปลงนิพจน์

การแสดงออกทางอำนาจ (การแสดงออกด้วยพลัง) และการเปลี่ยนแปลง

ในบทความนี้ เราจะพูดถึงการแปลงนิพจน์ที่มีพลัง อันดับแรก เราจะเน้นที่การแปลงที่ดำเนินการด้วยนิพจน์ใดๆ รวมถึงนิพจน์ที่ยกกำลัง เช่น วงเล็บเปิดและการนำคำที่คล้ายกันมาใช้ จากนั้นเราจะวิเคราะห์การแปลงที่มีอยู่ในนิพจน์ที่มีองศาโดยเฉพาะ เช่น การทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง โดยใช้คุณสมบัติขององศา เป็นต้น

การนำทางหน้า

การแสดงออกถึงอำนาจคืออะไร?

คำว่า "การแสดงออกถึงอำนาจ" ในทางปฏิบัติไม่ปรากฏในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แต่ปรากฏค่อนข้างบ่อยในคอลเลกชันของปัญหา โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่มีไว้สำหรับการเตรียมสอบ Unified State และ Unified State Exam เป็นต้น หลังจากวิเคราะห์งานที่จำเป็นในการดำเนินการใดๆ ด้วยการแสดงออกถึงอำนาจ จะเห็นได้ชัดว่าการแสดงออกถึงอำนาจนั้นถูกเข้าใจว่าเป็นการแสดงออกที่มีพลังในรายการของพวกเขา ดังนั้น คุณสามารถยอมรับคำจำกัดความต่อไปนี้ได้ด้วยตนเอง:

คำนิยาม.

การแสดงออกถึงพลังเป็นสำนวนที่มีองศา

ให้กันเถอะ ตัวอย่าง การแสดงออกถึงพลัง . นอกจากนี้ เราจะนำเสนอตามพัฒนาการของมุมมองจากดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติไปจนถึงดีกรีที่มีเลขชี้กำลังจริงเกิดขึ้นได้อย่างไร

ดังที่ทราบกันดี อันดับแรกจะทำความคุ้นเคยกับกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ ในขั้นตอนนี้ นิพจน์กำลังที่ง่ายที่สุดประเภทแรกคือ 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 ปรากฏ −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 เป็นต้น

หลังจากนั้นไม่นาน จะมีการศึกษากำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ซึ่งนำไปสู่การปรากฏของนิพจน์กำลังที่มีกำลังจำนวนเต็มลบ ดังต่อไปนี้: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

ในโรงเรียนมัธยมปลายพวกเขากลับไปสู่ระดับปริญญา มีการแนะนำปริญญา ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลซึ่งนำมาซึ่งรูปลักษณ์ของการแสดงออกทางอำนาจที่สอดคล้องกัน: , , และอื่น ๆ ในที่สุด องศาที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัวและนิพจน์ที่มีพวกมันจะได้รับการพิจารณา: , .

เรื่องนี้ไม่ได้จำกัดอยู่ที่นิพจน์ยกกำลังที่ระบุไว้: ตัวแปรจะแทรกเข้าไปในเลขชี้กำลังเพิ่มเติม และตัวอย่าง นิพจน์ต่อไปนี้เกิดขึ้น: 2 x 2 +1 หรือ . และหลังจากทำความคุ้นเคยกับ นิพจน์ที่มีกำลังและลอการิทึมก็เริ่มปรากฏขึ้น เช่น x 2·lgx −5·x lgx

ดังนั้นเราจึงต้องจัดการกับคำถามที่ว่าการแสดงออกถึงอำนาจหมายถึงอะไร ต่อไปเราจะเรียนรู้ที่จะแปลงพวกเขา

การแปลงรูปแบบหลักของการแสดงออกทางอำนาจ

ด้วยนิพจน์กำลัง คุณสามารถดำเนินการแปลงข้อมูลประจำตัวพื้นฐานของนิพจน์ใดๆ ได้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถเปิดวงเล็บ แทนที่นิพจน์ตัวเลขด้วยค่าของมัน เพิ่มคำที่คล้ายกัน เป็นต้น โดยปกติแล้วในกรณีนี้จำเป็นต้องปฏิบัติตามขั้นตอนที่ยอมรับในการดำเนินการ ลองยกตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำนวณค่านิพจน์ยกกำลัง 2 3 ·(4 2 −12)

สารละลาย.

ตามลำดับการดำเนินการ ให้ดำเนินการในวงเล็บก่อน อันดับแรกเราแทนที่กำลัง 4 2 ด้วยค่าของมัน 16 (หากจำเป็น โปรดดู) และประการที่สอง เราคำนวณความแตกต่าง 16−12=4 เรามี 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

ในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะแทนที่กำลัง 2 3 ด้วยค่าของมันคือ 8 หลังจากนั้นเราคำนวณผลคูณ 8·4=32 นี่คือค่าที่ต้องการ

ดังนั้น, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

คำตอบ:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ด้วยพลัง 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

สารละลาย.

แน่นอนว่า สำนวนนี้มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน 3·a 4 ·b −7 และ 2·a 4 ·b −7 และเราสามารถนำเสนอได้:

คำตอบ:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

ตัวอย่าง.

แสดงการแสดงออกที่มีอำนาจเป็นผลิตภัณฑ์

สารละลาย.

คุณสามารถรับมือกับงานได้โดยแสดงเลข 9 เป็นกำลังของ 3 2 จากนั้นใช้สูตรการคูณแบบย่อ - ผลต่างของกำลังสอง:

คำตอบ:

นอกจากนี้ยังมีการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันจำนวนหนึ่งซึ่งมีอยู่ในการแสดงออกทางอำนาจโดยเฉพาะ เราจะวิเคราะห์เพิ่มเติม

การทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง

มีองศาหลายระดับที่ฐานและ/หรือเลขชี้กำลังไม่ได้เป็นเพียงตัวเลขหรือตัวแปร แต่ยังมีบางนิพจน์ด้วย ตามตัวอย่าง เราใส่ค่า (2+0.3·7) 5−3.7 และ (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1)

เมื่อทำงานกับนิพจน์ที่คล้ายกัน คุณสามารถแทนที่ทั้งนิพจน์ที่เป็นฐานของดีกรีและนิพจน์ในเลขชี้กำลังได้เหมือนกัน การแสดงออกที่เท่าเทียมกันบน ODZ ของตัวแปร กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตามกฎที่เราทราบ เราสามารถแยกการแปลงฐานของดีกรีและแยกเลขยกกำลังออกจากกัน เป็นที่ชัดเจนว่าจากการเปลี่ยนแปลงนี้ จะได้รับการแสดงออกที่เหมือนกันกับต้นฉบับ

การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวช่วยให้เราสามารถลดความซับซ้อนของการแสดงออกด้วยพลังหรือบรรลุเป้าหมายอื่นๆ ที่เราต้องการ ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ยกกำลังที่กล่าวถึงข้างต้น (2+0.3 7) 5−3.7 คุณสามารถดำเนินการกับตัวเลขในฐานและเลขชี้กำลังได้ ซึ่งจะช่วยให้คุณสามารถเลื่อนไปยกกำลัง 4.1 1.3 ได้ และหลังจากเปิดวงเล็บแล้วนำพจน์ที่คล้ายกันมาไว้ที่ฐานของดีกรี (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) เราจะได้นิพจน์กำลังของรูปแบบที่ง่ายกว่า a 2·(x+ 1) .

การใช้คุณสมบัติปริญญา

หนึ่งในเครื่องมือหลักในการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกด้วยพลังคือความเท่าเทียมกันที่สะท้อนให้เห็น ให้เราจำหลักๆ สำหรับจำนวนบวก a และ b และจำนวนจริงใดๆ r และ s ใดๆ คุณสมบัติของกำลังต่อไปนี้จะเป็นจริง:

• r ·a s = r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ก·ข) r = ร ร ·ข r ;
• (มี:ข) ร =มี ร:b ร ;
• (มี r) s = มี r·s .

โปรดทราบว่าสำหรับเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และบวก ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวเลข a และ b อาจไม่เข้มงวดมากนัก ตัวอย่างเช่นสำหรับ ตัวเลขธรรมชาติ m และ n ความเท่าเทียมกัน a m ·a n =a m+n เป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับค่าบวก a เท่านั้น แต่ยังสำหรับค่าลบ a ด้วย และสำหรับ a=0 ด้วย

ที่โรงเรียน จุดสนใจหลักในการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกทางอำนาจคือความสามารถในการเลือกคุณสมบัติที่เหมาะสมและนำไปใช้อย่างถูกต้อง ในกรณีนี้ ฐานขององศามักจะเป็นค่าบวก ซึ่งทำให้สามารถใช้คุณสมบัติขององศาได้โดยไม่มีข้อจำกัด เช่นเดียวกับการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรในฐานของกำลัง - ช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปรมักจะเป็นเช่นนั้นโดยที่ฐานจะใช้เฉพาะค่าบวกเท่านั้นซึ่งช่วยให้คุณสามารถใช้คุณสมบัติของกำลังได้อย่างอิสระ . โดยทั่วไปคุณต้องถามตัวเองอยู่เสมอว่าในกรณีนี้เป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้คุณสมบัติขององศาใด ๆ เนื่องจากการใช้คุณสมบัติที่ไม่ถูกต้องอาจนำไปสู่การลดคุณค่าทางการศึกษาและปัญหาอื่น ๆ ประเด็นเหล่านี้จะกล่าวถึงโดยละเอียดพร้อมตัวอย่างในบทความ การแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของกำลัง ที่นี่เราจะจำกัดตัวเองให้พิจารณาตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

เขียนนิพจน์ a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 เป็นกำลังที่มีฐาน a

สารละลาย.

ขั้นแรก เราแปลงปัจจัยที่สอง (a 2) −3 โดยใช้คุณสมบัติของการเพิ่มกำลังเป็นยกกำลัง: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. การแสดงออกยกกำลังดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ 2.5 ·a −6:a −5.5 แน่นอนว่าเรายังคงใช้คุณสมบัติการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานเดียวกันอยู่
ก 2.5 ·ก −6:a −5.5 =
ก 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
ก −3.5−(−5.5) =a 2

คำตอบ:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

คุณสมบัติของพลังเมื่อแปลงนิพจน์พลังจะใช้ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าของการแสดงออกยกกำลัง

สารละลาย.

ความเสมอภาค (a·b) r =a r ·b r ใช้จากขวาไปซ้าย ช่วยให้เราย้ายจากนิพจน์ดั้งเดิมไปสู่ผลคูณของแบบฟอร์มและต่อไปอีก และเมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะรวมกันเป็น: .

เป็นไปได้ที่จะแปลงการแสดงออกดั้งเดิมด้วยวิธีอื่น:

คำตอบ:

.

ตัวอย่าง.

เมื่อพิจารณานิพจน์ยกกำลัง 1.5 −a 0.5 −6 ให้แนะนำตัวแปรใหม่ t=a 0.5

สารละลาย.

องศา a 1.5 สามารถแสดงเป็น 0.5 3 จากนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของระดับถึงดีกรี (a r) s = a r s เมื่อประยุกต์จากขวาไปซ้าย ให้แปลงเป็นรูปแบบ (a 0.5) 3 ดังนั้น, ก 1.5 −ก 0.5 −6=(ก 0.5) 3 −ก 0.5 −6. ตอนนี้เป็นเรื่องง่ายที่จะแนะนำตัวแปรใหม่ t=a 0.5 เราได้ t 3 −t−6

คำตอบ:

เสื้อ 3 −t−6 .

การแปลงเศษส่วนที่มีกำลัง

นิพจน์ยกกำลังสามารถมีหรือแสดงเศษส่วนด้วยกำลังได้ การแปลงเศษส่วนขั้นพื้นฐานใดๆ ที่มีอยู่ในเศษส่วนชนิดใดก็ตามสามารถนำไปใช้กับเศษส่วนดังกล่าวได้อย่างสมบูรณ์ นั่นคือเศษส่วนที่มีกำลังสามารถลดลง ลดเหลือตัวส่วนใหม่ ทำงานแยกกันโดยมีตัวเศษและแยกกันกับตัวส่วน เป็นต้น เพื่ออธิบายคำเหล่านี้ ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างต่างๆ

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกถึงพลัง .

สารละลาย.

การแสดงออกยกกำลังนี้เป็นเศษส่วน มาทำงานกับทั้งเศษและส่วนของมันกันดีกว่า. ในตัวเศษเราจะเปิดวงเล็บและทำให้นิพจน์ผลลัพธ์ง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของกำลังและในตัวส่วนเราจะนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

และลองเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวส่วนโดยใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าเศษส่วน: .

คำตอบ:

.

การลดเศษส่วนที่มีกำลังให้กับตัวส่วนใหม่นั้นจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับการลดทอนตัวส่วนใหม่ เศษส่วนตรรกยะ. ในกรณีนี้ จะพบปัจจัยเพิ่มเติมและตัวเศษและส่วนของเศษส่วนจะถูกคูณด้วย เมื่อดำเนินการนี้ ควรจำไว้ว่าการลดตัวส่วนใหม่อาจทำให้ VA แคบลงได้ เพื่อป้องกันไม่ให้สิ่งนี้เกิดขึ้น จำเป็นที่ปัจจัยเพิ่มเติมจะต้องไม่เป็นศูนย์สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปรจากตัวแปร ODZ สำหรับนิพจน์ดั้งเดิม

ตัวอย่าง.

ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนใหม่: a) เป็นตัวส่วน a, b) ถึงตัวส่วน

สารละลาย.

ก) ในกรณีนี้ มันค่อนข้างง่ายที่จะทราบว่าตัวคูณเพิ่มเติมตัวใดที่ช่วยให้ได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการ นี่คือตัวคูณของ 0.3 เนื่องจาก 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a โปรดทราบว่าในช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร a (นี่คือเซตของจำนวนจริงบวกทั้งหมด) กำลังของ 0.3 จะไม่หายไป ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์ที่จะคูณตัวเศษและส่วนของค่าที่กำหนด เศษส่วนตามปัจจัยเพิ่มเติมนี้:

b) เมื่อพิจารณาตัวส่วนให้ละเอียดยิ่งขึ้น คุณจะพบว่า

และการคูณนิพจน์นี้ด้วยจะให้ผลรวมของลูกบาศก์ และ นั่นคือ . และนี่คือตัวส่วนใหม่ที่เราจะต้องลดเศษส่วนเดิมลงไป.

นี่คือวิธีที่เราพบปัจจัยเพิ่มเติม ในช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของตัวแปร x และ y นิพจน์จะไม่หายไปดังนั้นเราจึงสามารถคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนได้:

คำตอบ:

ก) , ข) .

นอกจากนี้ยังไม่มีอะไรใหม่ในการลดเศษส่วนที่มีพลัง: ตัวเศษและส่วนจะแสดงเป็นจำนวนตัวประกอบ และตัวประกอบเดียวกันของตัวเศษและตัวส่วนจะลดลง

ตัวอย่าง.

ลดเศษส่วน: ก) , ข) .

สารละลาย.

ก) ประการแรก ตัวเศษและส่วนสามารถลดลงได้ 30 และ 45 ซึ่งเท่ากับ 15 เห็นได้ชัดว่าเป็นไปได้ที่จะลดลง x 0.5 +1 และทีละ . นี่คือสิ่งที่เรามี:

b) ในกรณีนี้ จะไม่เห็นตัวประกอบในตัวเศษและส่วนที่เหมือนกันในทันที เพื่อให้ได้มาคุณจะต้องทำการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น ในกรณีนี้ ประกอบด้วยการแยกตัวประกอบตัวส่วนโดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:

คำตอบ:

ก)

ข) .

การแปลงเศษส่วนเป็นตัวส่วนใหม่และเศษส่วนตัวลดมักใช้ในการทำเศษส่วน การดำเนินการจะดำเนินการตามกฎที่ทราบ เมื่อบวก (ลบ) เศษส่วน เศษส่วนจะถูกลดให้เหลือตัวส่วนร่วม หลังจากนั้นตัวเศษจะถูกบวก (ลบ) แต่ตัวส่วนยังคงเท่าเดิม ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนที่ตัวเศษเป็นผลคูณของตัวเศษ และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วน การหารด้วยเศษส่วนคือการคูณด้วยการผกผัน

ตัวอย่าง.

ทำตามขั้นตอน .

สารละลาย.

ขั้นแรก เราลบเศษส่วนในวงเล็บ ในการทำสิ่งนี้ เรานำพวกมันมาเป็นตัวส่วนร่วมซึ่งก็คือ หลังจากนั้นเราก็ลบตัวเศษ:

ตอนนี้เราคูณเศษส่วน:

แน่นอน มันเป็นไปได้ที่จะลดลงยกกำลัง x 1/2 หลังจากนั้นเราก็ได้ .

คุณยังสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ยกกำลังในตัวส่วนได้โดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง: .

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกถึงพลัง .

สารละลาย.

แน่นอนว่าเศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ (x 2.7 +1) 2 ซึ่งจะได้เศษส่วน . เห็นได้ชัดว่าจำเป็นต้องทำอย่างอื่นด้วยกำลังของ X ในการทำเช่นนี้ เราจะแปลงเศษส่วนผลลัพธ์ให้เป็นผลคูณ นี่ทำให้เรามีโอกาสที่จะใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติของการแบ่งอำนาจที่มีฐานเดียวกัน: . และในตอนท้ายของกระบวนการ เราย้ายจากผลคูณสุดท้ายไปเป็นเศษส่วน.

คำตอบ:

.

และให้เราเพิ่มเติมด้วยว่าเป็นไปได้ และในหลายกรณี เป็นเรื่องที่พึงประสงค์ในการโอนแฟกเตอร์ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจากตัวเศษไปยังตัวส่วน หรือจากตัวส่วนเป็นตัวเศษ โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของเลขชี้กำลัง การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวมักจะทำให้การดำเนินการเพิ่มเติมง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น นิพจน์ยกกำลังสามารถแทนที่ได้ด้วย

การแปลงนิพจน์ด้วยรากและกำลัง

บ่อยครั้ง ในนิพจน์ที่จำเป็นต้องมีการแปลงบางอย่าง รากที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนก็ปรากฏพร้อมกับยกกำลังด้วย หากต้องการแปลงการแสดงออกให้เป็นรูปแบบที่ต้องการ ในกรณีส่วนใหญ่ ไปที่รากหรือเฉพาะพลังเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว แต่เนื่องจากสะดวกกว่าในการทำงานกับพลัง พวกเขาจึงมักจะย้ายจากรากไปสู่พลัง อย่างไรก็ตาม ขอแนะนำให้ดำเนินการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเมื่อ ODZ ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ดั้งเดิมอนุญาตให้คุณแทนที่รากด้วยกำลังโดยไม่จำเป็นต้องอ้างอิงถึงโมดูลหรือแยก ODZ ออกเป็นหลายช่วง (เราได้กล่าวถึงรายละเอียดในเรื่องนี้แล้ว การเปลี่ยนบทความจากรากไปสู่พลังและด้านหลังหลังจากทำความคุ้นเคยกับระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะแล้วจะมีการแนะนำระดับที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัวซึ่งช่วยให้เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังจริงตามอำเภอใจ ในขั้นตอนนี้ โรงเรียนเริ่ม ศึกษา ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งได้รับการวิเคราะห์โดยยกกำลัง ฐานเป็นตัวเลข และเลขยกกำลังเป็นตัวแปร ดังนั้นเราจึงต้องเผชิญกับนิพจน์กำลังที่มีตัวเลขอยู่ในฐานของกำลังและในเลขชี้กำลัง - นิพจน์ที่มีตัวแปรและโดยธรรมชาติแล้วความจำเป็นในการแปลงนิพจน์ดังกล่าวจะเกิดขึ้น

ควรจะกล่าวว่าเมื่อทำการแก้ไขจะต้องทำการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ประเภทที่ระบุ สมการเลขชี้กำลังและ อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลและการแปลงเหล่านี้ค่อนข้างง่าย ในกรณีส่วนใหญ่อย่างล้นหลาม พวกมันจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของปริญญาและมีเป้าหมายส่วนใหญ่ในการแนะนำตัวแปรใหม่ในอนาคต สมการจะทำให้เราสามารถสาธิตพวกมันได้ 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

ประการแรก กำลังซึ่งอยู่ในเลขยกกำลังซึ่งเป็นผลรวมของตัวแปรบางตัว (หรือนิพจน์ที่มีตัวแปร) และตัวเลข จะถูกแทนที่ด้วยผลคูณ สิ่งนี้ใช้กับเงื่อนไขแรกและสุดท้ายของนิพจน์ทางด้านซ้าย:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

ต่อไปความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านจะถูกหารด้วยนิพจน์ 7 2 x ซึ่งบน ODZ ของตัวแปร x สำหรับสมการดั้งเดิมจะใช้เฉพาะค่าบวกเท่านั้น (นี่เป็นเทคนิคมาตรฐานสำหรับการแก้สมการประเภทนี้เราไม่ได้ พูดถึงมันตอนนี้ ดังนั้นให้มุ่งเน้นไปที่การเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่ตามมาด้วยพลัง ):

ตอนนี้เราสามารถหักล้างเศษส่วนด้วยยกกำลังซึ่งให้ได้ .

ในที่สุด อัตราส่วนของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันจะถูกแทนที่ด้วยพลังของความสัมพันธ์ ส่งผลให้เกิดสมการ ซึ่งเทียบเท่ากัน . การแปลงที่ทำขึ้นทำให้เราแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งจะช่วยลดการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเดิมไปเป็นการแก้สมการกำลังสอง

I.V. Boykov, L.D. Romanovaรวบรวมงานเพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State ตอนที่ 1 เพนซ่า 2546

เครื่องคิดเลขวิศวกรรมออนไลน์

เรากำลังรีบนำเสนอฟรีให้กับทุกคน เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรม. ด้วยความช่วยเหลือ นักเรียนคนใดก็ตามสามารถทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ประเภทต่างๆ ทางออนไลน์ได้อย่างรวดเร็วและที่สำคัญที่สุด

เครื่องคิดเลขนำมาจากเว็บไซต์ - เครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ web 2.0

เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรมที่เรียบง่ายและใช้งานง่ายพร้อมอินเทอร์เฟซที่ไม่เกะกะและใช้งานง่ายจะเป็นประโยชน์ต่อผู้ใช้อินเทอร์เน็ตในวงกว้างอย่างแท้จริง ตอนนี้เมื่อใดก็ตามที่คุณต้องการเครื่องคิดเลข ให้ไปที่เว็บไซต์ของเราและใช้เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรมฟรี

เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรมสามารถทำได้ง่ายๆ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์และการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างซับซ้อน

Web20calc เป็นเครื่องคิดเลขทางวิศวกรรมที่มี เป็นจำนวนมากฟังก์ชันต่างๆ เช่น การคำนวณทั้งหมด ฟังก์ชันเบื้องต้น. เครื่องคิดเลขยังรองรับ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, เมทริกซ์, ลอการิทึม และแม้แต่การลงจุด

ไม่ต้องสงสัยเลยว่า Web20calc จะเป็นที่สนใจของกลุ่มคนที่กำลังมองหา โซลูชั่นง่ายๆประเภทในเครื่องมือค้นหา แบบสอบถาม: คณิตศาสตร์ เครื่องคิดเลขออนไลน์. เว็บแอปพลิเคชันฟรีจะช่วยให้คุณคำนวณผลลัพธ์ของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์บางอย่างได้ทันที เช่น ลบ บวก หาร แยกราก ยกกำลัง เป็นต้น

ในนิพจน์ คุณสามารถใช้การดำเนินการของการยกกำลัง การบวก การลบ การคูณ การหาร เปอร์เซ็นต์ และค่าคงที่ PI สำหรับการคำนวณที่ซับซ้อน ควรใส่วงเล็บไว้ด้วย

คุณสมบัติของเครื่องคิดเลขทางวิศวกรรม:

1. การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐาน
2. การทำงานกับตัวเลขในรูปแบบมาตรฐาน
3. การคำนวณรากตรีโกณมิติ ฟังก์ชัน ลอการิทึม การยกกำลัง
4. การคำนวณทางสถิติ: การบวก ค่าเฉลี่ยเลขคณิต หรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
5. การใช้เซลล์หน่วยความจำและฟังก์ชันที่กำหนดเองของ 2 ตัวแปร
6. ทำงานกับมุมในรูปแบบเรเดียนและองศา

เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรมช่วยให้สามารถใช้ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ได้หลากหลาย:

การแยกราก (รากสี่เหลี่ยม ลูกบาศก์ และรากที่ n)
เช่น (e กำลัง x) เลขชี้กำลัง;
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์ - บาป, โคไซน์ - คอส, แทนเจนต์ - แทน;
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน: arcsine - sin-1, arccosine - cos-1, อาร์กแทนเจนต์ - tan-1;
ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก: ไซน์ - sinh, โคไซน์ - cosh, แทนเจนต์ - tanh;
ลอการิทึม: ลอการิทึมไบนารีถึงฐานสอง - log2x, ลอการิทึมฐานสิบถึงฐานสิบ - บันทึก, ลอการิทึมธรรมชาติ - ln

เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรมนี้ยังรวมถึงเครื่องคำนวณค่าที่สามารถแปลงได้ ปริมาณทางกายภาพสำหรับ ระบบต่างๆการวัด - หน่วยคอมพิวเตอร์ ระยะทาง น้ำหนัก เวลา ฯลฯ เมื่อใช้ฟังก์ชันนี้ คุณสามารถแปลงไมล์เป็นกิโลเมตร ปอนด์เป็นกิโลกรัม วินาทีเป็นชั่วโมง ฯลฯ ได้ทันที

หากต้องการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ขั้นแรกให้ป้อนลำดับของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ในช่องที่เหมาะสม จากนั้นคลิกที่เครื่องหมายเท่ากับและดูผลลัพธ์ คุณสามารถป้อนค่าได้โดยตรงจากแป้นพิมพ์ (สำหรับสิ่งนี้ พื้นที่เครื่องคิดเลขจะต้องใช้งานอยู่ ดังนั้นจึงจะมีประโยชน์หากวางเคอร์เซอร์ในช่องป้อนข้อมูล) เหนือสิ่งอื่นใด คุณสามารถป้อนข้อมูลได้โดยใช้ปุ่มของเครื่องคิดเลขเอง

ในการสร้างกราฟ คุณควรเขียนฟังก์ชันในช่องป้อนข้อมูลตามที่ระบุไว้ในช่องพร้อมตัวอย่าง หรือใช้แถบเครื่องมือที่ออกแบบมาเป็นพิเศษสำหรับสิ่งนี้ (โดยคลิกที่ปุ่มที่มีไอคอนกราฟ) หากต้องการแปลงค่า ให้คลิกหน่วย หากต้องการทำงานกับเมทริกซ์ ให้คลิกเมทริกซ์

กำลังนี้ใช้เพื่อทำให้การดำเนินการคูณตัวเลขง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเขียน คุณสามารถเขียนได้ 4 5 (\displaystyle 4^(5))(คำอธิบายสำหรับการเปลี่ยนแปลงนี้มีให้ไว้ในส่วนแรกของบทความนี้) องศาช่วยให้เขียนนิพจน์หรือสมการที่ยาวหรือซับซ้อนได้ง่ายขึ้น เลขยกกำลังยังง่ายต่อการบวกและลบ ส่งผลให้นิพจน์หรือสมการง่ายขึ้น (เช่น 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

บันทึก:หากคุณต้องการตัดสินใจ สมการเลขชี้กำลัง(ในสมการนี้ ค่าที่ไม่รู้จักอยู่ในเลขชี้กำลัง) ให้อ่าน

ขั้นตอน

การแก้ปัญหาง่ายๆด้วยองศา

คูณฐานของเลขชี้กำลังด้วยตัวมันเองหลายๆ ครั้งเท่ากับเลขชี้กำลังหากคุณต้องการแก้ปัญหาเรื่องกำลังด้วยมือ ให้เขียนกำลังใหม่เป็นการคูณ โดยฐานของกำลังจะคูณด้วยตัวมันเอง เช่น ได้รับปริญญา 3 4 (\displaystyle 3^(4)). ในกรณีนี้ฐานของกำลัง 3 ต้องคูณด้วยตัวมันเอง 4 ครั้ง: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:

ขั้นแรก ให้คูณตัวเลขสองตัวแรกตัวอย่างเช่น, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). ไม่ต้องกังวล - กระบวนการคำนวณไม่ซับซ้อนเท่าที่เห็นในครั้งแรก ขั้นแรกให้คูณสองสี่ตัวแรกแล้วแทนที่ด้วยผลลัพธ์ แบบนี้:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. คูณผลลัพธ์ (16 ในตัวอย่างของเรา) ด้วยตัวเลขถัดไปแต่ละผลลัพธ์ที่ตามมาจะเพิ่มขึ้นตามสัดส่วน ในตัวอย่างของเรา คูณ 16 ด้วย 4 แบบนี้:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • คูณผลลัพธ์ของตัวเลขสองตัวแรกด้วยตัวเลขถัดไปจนกว่าคุณจะได้คำตอบสุดท้าย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณตัวเลขสองตัวแรก แล้วคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยตัวเลขถัดไปในลำดับ วิธีนี้ใช้ได้กับทุกระดับ ในตัวอย่างของเรา คุณควรได้รับ: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. แก้ไขปัญหาต่อไปนี้ตรวจสอบคำตอบของคุณโดยใช้เครื่องคิดเลข

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. บนเครื่องคิดเลข ให้มองหาปุ่มที่มีข้อความว่า "exp" หรือ " xn (\รูปแบบการแสดงผล x^(n))" หรือ "^"การใช้คีย์นี้ คุณจะเพิ่มตัวเลขเป็นกำลัง แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะคำนวณระดับด้วยตัวบ่งชี้ขนาดใหญ่ด้วยตนเอง (เช่น องศา 9 15 (\displaystyle 9^(15))) แต่เครื่องคิดเลขสามารถรับมือกับงานนี้ได้อย่างง่ายดาย ใน Windows 7 เครื่องคิดเลขมาตรฐานสามารถเปลี่ยนเป็นโหมดวิศวกรรมได้ โดยคลิก "ดู" -> "วิศวกรรม" หากต้องการเปลี่ยนเป็นโหมดปกติ คลิก "ดู" -> "ปกติ"

   • ตรวจสอบคำตอบของคุณโดยใช้ เครื่องมือค้นหา(Google หรือยานเดกซ์). ใช้ปุ่ม "^" บนแป้นพิมพ์คอมพิวเตอร์ของคุณ ป้อนนิพจน์ลงในเครื่องมือค้นหา ซึ่งจะแสดงคำตอบที่ถูกต้องทันที (และอาจแนะนำนิพจน์ที่คล้ายกันเพื่อให้คุณศึกษา)

   การบวก ลบ คูณ ยกกำลัง

   1. คุณสามารถเพิ่มและลบองศาได้ก็ต่อเมื่อมีฐานเท่ากันเท่านั้นหากคุณต้องการเพิ่มกำลังด้วยฐานและเลขชี้กำลังเดียวกัน คุณสามารถแทนที่การดำเนินการบวกด้วยการดำเนินการคูณได้ ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดนิพจน์ 4 5 + 4 5 (\รูปแบบการแสดงผล 4^(5)+4^(5)). จำไว้ว่าปริญญา 4 5 (\displaystyle 4^(5))สามารถแสดงเป็นแบบฟอร์มได้ 1 ∗ 4 5 (\รูปแบบการแสดงผล 1*4^(5)); ดังนั้น, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(โดยที่ 1 +1 =2) นั่นคือ นับจำนวนองศาที่คล้ายกัน แล้วคูณองศานั้นกับจำนวนนี้ ในตัวอย่างของเรา ให้ยก 4 ยกกำลัง 5 แล้วคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วย 2 โปรดจำไว้ว่าการดำเนินการบวกสามารถแทนที่ได้ด้วยการดำเนินการคูณ ตัวอย่างเช่น 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังของมันจะถูกบวกเข้าไป (ฐานไม่เปลี่ยนแปลง)ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดนิพจน์ x 2 ∗ x 5 (\รูปแบบการแสดงผล x^(2)*x^(5)). ในกรณีนี้ คุณเพียงแค่ต้องเพิ่มตัวบ่งชี้ โดยไม่เปลี่ยนแปลงฐาน ดังนั้น, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). นี่คือคำอธิบายภาพของกฎนี้:

      เมื่อยกกำลังเป็นยกกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณเช่น ได้รับปริญญา. เนื่องจากเลขชี้กำลังถูกคูณแล้ว (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). ประเด็นของกฎข้อนี้คือคุณต้องคูณด้วยกำลัง (x 2) (\displaystyle (x^(2)))ด้วยตัวเองห้าครั้ง แบบนี้:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • เนื่องจากฐานเท่ากัน เลขชี้กำลังจึงรวมกันได้: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบควรแปลงเป็นเศษส่วน (กำลังย้อนกลับ)มันไม่สำคัญหรอกถ้าคุณไม่รู้ว่าปริญญาตอบแทนคืออะไร หากคุณได้รับปริญญาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ เช่น 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2))เขียนระดับนี้ในตัวส่วนของเศษส่วน (ใส่ 1 ในตัวเศษ) แล้วทำให้เลขชี้กำลังเป็นบวก ในตัวอย่างของเรา: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). นี่คือตัวอย่างอื่นๆ:

      เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก (ฐานไม่เปลี่ยนแปลง)การดำเนินการหารจะตรงกันข้ามกับการคูณ ตัวอย่างเช่นเมื่อกำหนดนิพจน์ 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). ลบเลขชี้กำลังในตัวส่วนออกจากเลขชี้กำลังในตัวเศษ (อย่าเปลี่ยนฐาน) ดังนั้น, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • ยกกำลังในตัวส่วนสามารถเขียนได้ดังนี้: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). โปรดจำไว้ว่าเศษส่วนคือตัวเลข (ยกกำลัง นิพจน์) ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ

   4. ด้านล่างนี้คือสำนวนบางส่วนที่จะช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีแก้ปัญหาเกี่ยวกับเลขชี้กำลังสำนวนที่ให้ครอบคลุมเนื้อหาที่นำเสนอในส่วนนี้ หากต้องการดูคำตอบ เพียงเลือกช่องว่างหลังเครื่องหมายเท่ากับ

      การแก้ปัญหาด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน

      1. กำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน (เช่น ) จะถูกแปลงเป็นการดำเนินการรูตในตัวอย่างของเรา: x 1 2 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). ไม่สำคัญว่าตัวส่วนจะเป็นจำนวนเท่าใด ตัวบ่งชี้เศษส่วนองศา ตัวอย่างเช่น, x 1 4 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (1)(4)))- คือรากที่สี่ของ "x" นั่นคือ x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. ถ้าเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนเกิน เลขชี้กำลังนั้นสามารถแบ่งออกเป็นสองกำลังเพื่อทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้น ไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับเรื่องนี้ - เพียงจำกฎแห่งการคูณพลัง เช่น ได้รับปริญญา. แปลงกำลังดังกล่าวเป็นรากที่มีกำลังเท่ากับตัวส่วนของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน แล้วยกกำลังนี้ให้เป็นกำลังเท่ากับตัวเศษของเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จำไว้ว่า 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). ในตัวอย่างของเรา:

         • x 5 3 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\รูปแบบการแสดงผล x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. เครื่องคิดเลขบางเครื่องมีปุ่มสำหรับคำนวณเลขยกกำลัง (คุณต้องป้อนเลขฐานก่อน จากนั้นจึงกดปุ่ม จากนั้นจึงป้อนเลขยกกำลัง) มันเขียนแทนด้วย ^ หรือ x^y
      4. จำไว้ว่าจำนวนใดๆ ยกกำลัง 1 จะเท่ากับตัวมันเอง เช่น 4 1 = 4 (\displaystyle 4^(1)=4.)ยิ่งไปกว่านั้น จำนวนใดๆ ที่ถูกคูณหรือหารด้วยหนึ่งจะเท่ากับตัวมันเอง เช่น 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)และ 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. รู้ว่าไม่มีกำลัง 0 0 (กำลังดังกล่าวไม่มีวิธีแก้ปัญหา) หากคุณพยายามแก้ปริญญาดังกล่าวด้วยเครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์ คุณจะได้รับข้อผิดพลาด แต่จำไว้ว่าจำนวนใดๆ ที่กำลังเป็น 0 คือ 1 เป็นต้น 4 0 = 1 (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ซึ่งดำเนินการกับจำนวนจินตภาพ: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), ที่ไหน i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e เป็นค่าคงที่ประมาณเท่ากับ 2.7; a เป็นค่าคงที่ตามใจชอบ การพิสูจน์ความเท่าเทียมกันนี้สามารถพบได้ในหนังสือเรียนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงทุกเล่ม

      คำเตือน

      • เมื่อเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้น มูลค่าของมันจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก ดังนั้นหากคำตอบดูเหมือนผิดสำหรับคุณ คำตอบนั้นก็อาจจะถูกต้องจริงๆ คุณสามารถทดสอบได้โดยพล็อตฟังก์ชันเลขชี้กำลังใดๆ เช่น 2 x

ภาษาใดก็ได้สามารถแสดงข้อมูลเดียวกันได้ ด้วยคำพูดที่แตกต่างกันและการปฏิวัติ ภาษาคณิตศาสตร์ก็ไม่มีข้อยกเว้น แต่นิพจน์เดียวกันสามารถเขียนได้เหมือนกันในรูปแบบที่ต่างกัน และในบางสถานการณ์ รายการใดรายการหนึ่งจะง่ายกว่า เราจะพูดถึงการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นในบทเรียนนี้

ผู้คนสื่อสารกันในภาษาต่างๆ สำหรับเรา การเปรียบเทียบที่สำคัญคือคู่ "ภาษารัสเซีย - ภาษาคณิตศาสตร์" ข้อมูลเดียวกันสามารถสื่อสารได้ในภาษาต่างๆ แต่นอกจากนี้ ยังสามารถออกเสียงได้หลายวิธีในภาษาเดียว

ตัวอย่างเช่น: "Petya เป็นเพื่อนกับ Vasya", "Vasya เป็นเพื่อนกับ Petya", "Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน" พูดต่างกันแต่เรื่องเดียวกัน จากวลีเหล่านี้เราจะเข้าใจสิ่งที่เรากำลังพูดถึง

ลองดูวลีนี้: “ เด็กชาย Petya และเด็กชาย Vasya เป็นเพื่อนกัน” เราเข้าใจสิ่งที่เรากำลังพูดถึง แต่เราไม่ชอบเสียงของวลีนี้ เราไม่สามารถทำให้มันง่ายขึ้น พูดในสิ่งเดียวกัน แต่ง่ายกว่านี้ได้ไหม? “ เด็กชายและเด็กชาย” - คุณสามารถพูดได้ครั้งเดียว:“ เด็กชาย Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน”

“เด็กผู้ชาย”... ดูจากชื่อแล้วไม่ใช่เด็กผู้หญิงเหรอ? เราลบ "เด็กผู้ชาย": "Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน" และคำว่า "เพื่อน" สามารถแทนที่ด้วย "เพื่อน" ได้: "Petya และ Vasya เป็นเพื่อนกัน" เป็นผลให้วลีแรกยาวและน่าเกลียดถูกแทนที่ด้วยข้อความที่เทียบเท่าซึ่งพูดง่ายกว่าและเข้าใจง่ายกว่า เราได้ทำให้วลีนี้ง่ายขึ้น to simplify หมายถึง พูดให้ง่ายขึ้น แต่ต้องไม่สูญเสียหรือบิดเบือนความหมาย

ในภาษาคณิตศาสตร์ สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นโดยประมาณ สิ่งเดียวกันสามารถพูดได้เขียนต่างกัน การทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นหมายความว่าอย่างไร ซึ่งหมายความว่าสำหรับสำนวนดั้งเดิมนั้นมีสำนวนที่เทียบเท่ากันมากมาย กล่าวคือ สำนวนที่หมายถึงสิ่งเดียวกัน และจากความหลากหลายทั้งหมดนี้เราต้องเลือกสิ่งที่ง่ายที่สุดในความคิดของเราหรือที่เหมาะสมที่สุดสำหรับวัตถุประสงค์ต่อไปของเรา

ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ตัวเลข มันจะเท่ากับ.

มันจะเทียบเท่ากับสองรายการแรกด้วย: .

ปรากฎว่าเราทำให้นิพจน์ของเราง่ายขึ้นและพบนิพจน์ที่สั้นที่สุดที่เทียบเท่ากัน

สำหรับนิพจน์ตัวเลข คุณต้องทำทุกอย่างเสมอและรับนิพจน์ที่เทียบเท่าเป็นตัวเลขตัวเดียว

ลองดูตัวอย่างของการแสดงออกตามตัวอักษร . แน่นอนว่ามันจะง่ายกว่า

เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ตามตัวอักษร จำเป็นต้องดำเนินการที่เป็นไปได้ทั้งหมด

จำเป็นต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นเสมอหรือไม่? ไม่ บางครั้งการเข้าร่วมที่เทียบเท่าแต่นานกว่าจะสะดวกกว่าสำหรับเรา

ตัวอย่าง: คุณต้องลบตัวเลขออกจากตัวเลข

คุณสามารถคำนวณได้ แต่หากตัวเลขแรกแสดงด้วยสัญกรณ์ที่เทียบเท่า: การคำนวณก็จะเป็นแบบทันที:

นั่นคือนิพจน์ที่เรียบง่ายไม่ได้เป็นประโยชน์สำหรับเราในการคำนวณเพิ่มเติมเสมอไป

อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่เราต้องเผชิญกับงานที่ดูเหมือน "ทำให้การแสดงออกง่ายขึ้น"

ลดความซับซ้อนของนิพจน์: .

สารละลาย

1) ดำเนินการในวงเล็บตัวแรกและตัวที่สอง: .

2) มาคำนวณผลิตภัณฑ์กัน: .

แน่นอนว่านิพจน์สุดท้ายมีรูปแบบที่ง่ายกว่านิพจน์เริ่มต้น เราทำให้มันง่ายขึ้น

เพื่อให้นิพจน์ง่ายขึ้น จะต้องแทนที่ด้วยค่าที่เทียบเท่า (เท่ากับ)

ในการกำหนดนิพจน์ที่เทียบเท่าที่คุณต้องการ:

1) ดำเนินการที่เป็นไปได้ทั้งหมด

2) ใช้คุณสมบัติของการบวก ลบ คูณ หาร เพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้น

คุณสมบัติของการบวกและการลบ:

1. สมบัติการสับเปลี่ยนของการบวก: การจัดเรียงเงื่อนไขใหม่จะไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง

2. สมบัติการบวกรวมกัน: ในการบวกเลขตัวที่สามเข้ากับผลรวมของตัวเลขสองตัว คุณสามารถเพิ่มผลรวมของเลขตัวที่สองและสามเข้ากับเลขตัวแรกได้

3. คุณสมบัติของการลบผลรวมจากตัวเลข: หากต้องการลบผลรวมจากตัวเลข คุณสามารถลบแต่ละเทอมแยกกันได้

คุณสมบัติของการคูณและการหาร

1. สมบัติการสลับของการคูณ: การจัดเรียงตัวประกอบใหม่จะไม่ทำให้ผลคูณเปลี่ยน

2. คุณสมบัติเชิงรวมกัน: หากต้องการคูณตัวเลขด้วยผลคูณของตัวเลขสองตัว คุณสามารถคูณด้วยตัวประกอบแรกก่อน จากนั้นจึงคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยตัวประกอบที่สอง

3. คุณสมบัติการกระจายของการคูณ: ในการคูณตัวเลขด้วยผลรวม คุณต้องคูณด้วยแต่ละเทอมแยกกัน

มาดูกันว่าจริงๆ แล้วเราคำนวณทางจิตอย่างไร

คำนวณ:

สารละลาย

1) ลองจินตนาการดูว่าเป็นอย่างไร

2) ลองจินตนาการถึงปัจจัยแรกเป็นผลรวมของเทอมบิตแล้วทำการคูณ:

3) คุณสามารถจินตนาการได้ว่าอย่างไรและทำการคูณ:

4) แทนที่ตัวประกอบแรกด้วยผลรวมที่เท่ากัน:

กฎการกระจายสามารถใช้ในทิศทางตรงกันข้าม: .

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1) 2)

สารละลาย

1) เพื่อความสะดวก คุณสามารถใช้กฎการกระจายได้ แต่ใช้ในทิศทางตรงกันข้าม - นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

2) นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

จำเป็นต้องซื้อเสื่อน้ำมันสำหรับห้องครัวและโถงทางเดิน บริเวณห้องครัว - , โถงทางเดิน - . เสื่อน้ำมันมีสามประเภท: สำหรับและรูเบิลสำหรับ แต่ละอันราคาเท่าไหร่คะ? สามประเภทเสื่อน้ำมัน? (รูปที่ 1)

ข้าว. 1. ภาพประกอบสำหรับคำชี้แจงปัญหา

สารละลาย

วิธีที่ 1 คุณสามารถแยกหาจำนวนเงินที่ต้องใช้ในการซื้อเสื่อน้ำมันสำหรับห้องครัวจากนั้นนำไปวางไว้ที่โถงทางเดินและเพิ่มผลิตภัณฑ์ที่ได้