ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชัน y=cos t คุณสมบัติหลักและกราฟ

อยู่ตรงกลางจุดหนึ่ง ก.
α - มุมแสดงเป็นเรเดียน

คำนิยาม
ไซน์ (บาป α)- นี้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาตรงข้าม |BC| ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|

โคไซน์ (คอส α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|

สัญกรณ์ที่ยอมรับ

;
;
.

;
;
.

กราฟของฟังก์ชันไซน์ y = sin x

กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ y = cos x

คุณสมบัติของไซน์และโคไซน์

ความเป็นงวด

ฟังก์ชัน y = บาป xและ ย = เพราะ xเป็นระยะกับช่วงเวลา 2π.

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันไซน์เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันโคไซน์เป็นเลขคู่

ขอบเขตของคำจำกัดความและค่านิยม สุดขั้ว เพิ่ม ลด

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์มีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ กล่าวคือ สำหรับ x ทั้งหมด (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักแสดงอยู่ในตาราง (n - จำนวนเต็ม)

	ย = บาป x	ย = เพราะ x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
ช่วงของค่า	-1 ≤ ย ≤ 1	-1 ≤ ย ≤ 1
เพิ่มขึ้น
จากมากไปน้อย
แม็กซิมา, y = 1
ขั้นต่ำ, y = - 1
ศูนย์, y = 0
จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0	ย = 0	ย = 1

สูตรพื้นฐาน

ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์

สูตรไซน์และโคไซน์จากผลรวมและผลต่าง

;
;

สูตรผลคูณของไซน์และโคไซน์

สูตรผลรวมและผลต่าง

แสดงไซน์ผ่านโคไซน์

;
;
;
.

แสดงโคไซน์ผ่านไซน์

;
;
;
.

การแสดงออกผ่านแทนเจนต์

; .

เมื่อใด เรามี:
; .

ที่ :
; .

ตารางไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์

การแสดงออกผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน

;

สูตรของออยเลอร์

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

- - การหาสูตร > > >

อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
{ -∞ < x < +∞ }

เซแคนต์, โคซีแคนต์

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของไซน์และโคไซน์คืออาร์คไซน์และอาร์กโคไซน์ตามลำดับ

อาร์คซิน, อาร์คซิน

อาร์คโคไซน์ อาร์คคอส

วรรณกรรมที่ใช้:
ใน. บรอนสไตน์ เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "ฟังก์ชัน y=cos(x) ความหมายและกราฟของฟังก์ชัน"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 10
ปัญหาพีชคณิตเกี่ยวกับพารามิเตอร์ เกรด 9–11
สภาพแวดล้อมซอฟต์แวร์ "1C: ตัวสร้างทางคณิตศาสตร์ 6.1"

สิ่งที่เราจะศึกษา:
1. คำจำกัดความ
2. กราฟของฟังก์ชัน
3. คุณสมบัติของฟังก์ชัน Y=cos(X)
4. ตัวอย่าง.

คำจำกัดความของฟังก์ชันโคไซน์ y=cos(x)

พวกเราได้พบกับฟังก์ชัน Y=sin(X) แล้ว

เรามาจำสูตรผีสูตรหนึ่งกัน: sin(X + π/2) = cos(X)

ด้วยสูตรนี้ เราจึงสามารถอ้างได้ว่าฟังก์ชัน sin(X + π/2) และ cos(X) เหมือนกัน และกราฟฟังก์ชันตรงกัน

กราฟของฟังก์ชัน sin(X + π/2) ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน sin(X) โดยการแปลแบบขนาน π/2 หน่วยทางด้านซ้าย นี่จะเป็นกราฟของฟังก์ชัน Y=cos(X)

กราฟของฟังก์ชัน Y=cos(X) เรียกอีกอย่างว่าคลื่นไซน์

คุณสมบัติของฟังก์ชัน cos(x)

มาเขียนคุณสมบัติของฟังก์ชันของเรากัน:
• โดเมนของคำจำกัดความคือเซตของจำนวนจริง
• ฟังก์ชันเป็นคู่ ลองจำนิยามของฟังก์ชันคู่กัน ฟังก์ชันจะถูกเรียกแม้ว่าค่าความเท่าเทียมกัน y(-x)=y(x) ยังคงอยู่ก็ตาม ดังที่เราจำได้จากสูตรโกสต์: cos(-x)=-cos(x) นิยามเป็นจริงแล้ว โคไซน์จึงเป็นฟังก์ชันคู่
• ฟังก์ชัน Y=cos(X) ลดลงในส่วนและเพิ่มขึ้นในส่วน [π; 2π]. เราสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้ในกราฟของฟังก์ชันของเรา
• ฟังก์ชัน Y=cos(X) มีขอบเขตจากด้านล่างและด้านบน คุณสมบัตินี้สืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า
  -1 ≤ คอส(X) ≤ 1
• ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันคือ -1 (ที่ x = π + 2πk) มูลค่าสูงสุดฟังก์ชันเท่ากับ 1 (ที่ x = 2πk)
• ฟังก์ชัน Y=cos(X) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ลองดูกราฟและตรวจดูให้แน่ใจว่าฟังก์ชันของเราไม่มีการหยุดพัก ซึ่งหมายถึงความต่อเนื่อง
• ช่วงของค่า: ส่วน [- 1; 1]. ซึ่งมองเห็นได้ชัดเจนจากกราฟด้วย
• ฟังก์ชัน Y=cos(X) - ฟังก์ชั่นเป็นระยะ- ลองดูกราฟอีกครั้งและดูว่าฟังก์ชันใช้ค่าเดียวกันในช่วงเวลาหนึ่ง

ตัวอย่างด้วยฟังก์ชัน cos(x)

1. แก้สมการ cos(X)=(x - 2π) 2 + 1

วิธีแก้: มาสร้างกราฟของฟังก์ชันขึ้นมา 2 กราฟ: y=cos(x) และ y=(x - 2π) 2 + 1 (ดูรูป)


y=(x - 2π) 2 + 1 คือพาราโบลาเลื่อนไปทางขวา 2π และขึ้นไป 1 กราฟของเราตัดกันที่จุดหนึ่ง A(2π;1) นี่คือคำตอบ: x = 2π

2. เขียนจุดฟังก์ชัน Y=cos(X) สำหรับ x ≤ 0 และ Y=sin(X) สำหรับ x ≥ 0

วิธีแก้ไข: ในการสร้างกราฟที่ต้องการ เรามาสร้างกราฟสองกราฟของฟังก์ชันเป็น "ชิ้น" กัน ชิ้นแรก: y=cos(x) สำหรับ x ≤ 0 ชิ้นที่สอง: y=sin(x)
สำหรับ x ≥ 0 ให้เราพรรณนาทั้งสอง “ส่วน” บนกราฟเดียว

3. ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน Y=cos(X) บนเซ็กเมนต์ [π; 7π/4]

วิธีแก้ไข: เรามาสร้างกราฟของฟังก์ชันและพิจารณาเซกเมนต์ของเรา [π; 7π/4]. กราฟแสดงให้เห็นว่าได้ค่าสูงสุดและต่ำสุดที่ส่วนท้ายของส่วน: ที่จุด π และ 7π/4 ตามลำดับ
คำตอบ: cos(π) = -1 – ค่าที่น้อยที่สุด, cos(7π/4) = ค่าที่ใหญ่ที่สุด

4. สร้างกราฟฟังก์ชัน y=cos(π/3 - x) + 1

วิธีแก้: cos(-x)= cos(x) จะได้กราฟที่ต้องการโดยเลื่อนกราฟของฟังก์ชัน y=cos(x) π/3 หน่วยไปทางขวาและขึ้น 1 หน่วย

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

1)แก้สมการ: cos(x)= x – π/2
2) แก้สมการ: cos(x)= - (x – π) 2 - 1
3) สร้างกราฟฟังก์ชัน y=cos(π/4 + x) - 2
4) สร้างกราฟฟังก์ชัน y=cos(-2π/3 + x) + 1
5) ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=cos(x) บนเซ็กเมนต์
6) จงหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=cos(x) บนเซ็กเมนต์ [- π/6; 5π/4].

บทเรียนวิดีโอ "ฟังก์ชัน y = cos x คุณสมบัติและกราฟ" เป็นสื่อภาพสำหรับการศึกษาหัวข้อนี้ คู่มือนี้นำเสนอคุณลักษณะของฟังก์ชัน คุณสมบัติของฟังก์ชัน ตลอดจนคำอธิบายการแก้ปัญหาโดยนำความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของโคไซน์ไปใช้ ด้วยความช่วยเหลือของบทเรียนวิดีโอ ครูจะให้ความรู้ที่จำเป็นและพัฒนาทักษะของนักเรียนได้ง่ายขึ้น อุปกรณ์ช่วยการมองเห็นสามารถช่วยทำให้บทเรียนมีประสิทธิภาพมากขึ้นโดยการให้ความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นและการจดจำที่ดีขึ้น รวมถึงเพิ่มเวลาบทเรียนสำหรับงานแต่ละรายการ

การใช้บทเรียนวิดีโอช่วยให้ครูได้เปรียบในการนำเสนอเนื้อหาได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น คู่มือนี้สามารถใช้เพื่อความชัดเจนเท่านั้น แนบไปกับคำอธิบายของครูหรือเป็นส่วนที่เป็นอิสระของบทเรียน ทำให้ครูมีโอกาสปรับปรุงการทำงานกับนักเรียนเป็นรายบุคคล การแสดงกราฟและการแปลงโดยใช้เอฟเฟ็กต์แอนิเมชันที่แสดงให้เห็นกลายเป็นสิ่งที่เข้าใจได้มากขึ้นสำหรับนักเรียน และช่วยให้พวกเขาเชี่ยวชาญทักษะการแก้ปัญหาโดยใช้ ของวัสดุนี้- การเน้นและแสดงคุณสมบัติของฟังก์ชันโดยใช้เครื่องมือวิดีโอสอนช่วยให้คุณจดจำได้ดีขึ้น

การสาธิตเริ่มต้นด้วยการแนะนำชื่อธีม ในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = cos x นักเรียนจะนึกถึงสูตรลด cos x = sin (x + π/2) ซึ่งบ่งชี้ว่ากราฟของฟังก์ชัน y = cos x และ y = sin (x + π/2) มีค่าเท่ากัน ในการพล็อตกราฟของฟังก์ชัน y = sin (x + π/2) จะใช้ระนาบพิกัดบนแกนแอบซิสซาซึ่งมีเครื่องหมายจุด -π/2 อยู่ หากเราถือว่าจุดนี้เป็นจุดกำเนิดของพิกัดเพื่อสร้างกราฟของ sin x แล้วกราฟนี้ก็จะเป็นกราฟของฟังก์ชัน y = sin (x + π/2) สำหรับแหล่งกำเนิดของพิกัดด้วย นั่นคือ กราฟของฟังก์ชัน y = cos x ถูกเลื่อนไป π/2 ตามแนวแกนแอบซิสซาของกราฟของฟังก์ชัน y = sin x เห็นได้ชัดว่ากราฟของฟังก์ชัน y = cos x ก็เป็นไซนัสอยด์เช่นกัน ตำแหน่งช่วยให้เราสามารถสรุปเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันได้

คุณสมบัติแรกของฟังก์ชันเกี่ยวกับโดเมนของคำจำกัดความ แน่นอนว่า โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันจะเป็นเส้นจำนวนทั้งหมด นั่นคือ D(f)=(- ∞;+∞)

คุณสมบัติที่สองของฟังก์ชันบ่งบอกถึงความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน นักเรียนจะได้รับการเตือนถึงเนื้อหาที่เรียนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ซึ่งมีการระบุเงื่อนไขสำหรับความเท่าเทียมกันของฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชันคู่ ความเท่าเทียมกัน f(-x)=f(x) นั้นใช้ได้ เมื่อพูดถึงความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันโคไซน์ ควรสังเกตว่ากราฟของฟังก์ชันนี้มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัด คุณสามารถแสดงคุณสมบัติของฟังก์ชันได้ดังรูปที่แสดง ประสานงานเครื่องบินวงกลมหน่วย ในไตรมาสที่หนึ่งและสี่ มีการทำเครื่องหมายจุดที่สมมาตรสัมพันธ์กับแกนแอบซิสซา โคไซน์ถูกกำหนดโดยค่าแอบซิสซาของจุด ดังนั้นสำหรับจุดสองจุด L(t) และ N(-t) ค่าแอบซิสซาจะเท่ากัน ดังนั้น cos (-t)= cos t

คุณสมบัติที่สามทำเครื่องหมายช่วงเวลาของการลดลงและการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน คุณสมบัติระบุว่าฟังก์ชันลดลงบนเซ็กเมนต์ และโคไซน์เพิ่มขึ้นบนเซ็กเมนต์ [π;2π] รูปแสดงกราฟของฟังก์ชันซึ่งแสดงพื้นที่ฟังก์ชันลดและเพิ่มอย่างชัดเจน

เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชัน y = cos x เพิ่มขึ้นในแต่ละส่วน [π+2πk;2π+2πk] จากมากไปน้อยใน มุมมองทั่วไปหน้าตาแบบนี้ โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม

คุณสมบัติที่สี่ตั้งข้อสังเกตว่าฟังก์ชันโคไซน์มีขอบเขตด้านบนและด้านล่าง เช่นเดียวกับไซน์ เราสามารถสังเกตค่าที่จำกัดของโคไซน์ -1 ได้<= cos х<=1. Поэтому функция является ограниченной.

คุณสมบัติที่ห้าระบุค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน ในกรณีนี้ ค่าที่น้อยที่สุดคือ -1 ที่จุดใดๆ x=π+2πk และค่าที่ใหญ่ที่สุดคือ 1 ที่จุดใดๆ x=2πk

คุณสมบัติที่หกบ่งบอกถึงความต่อเนื่องของฟังก์ชัน y = cos x รูปที่แสดงกราฟแสดงว่าฟังก์ชันนี้ไม่มีความไม่ต่อเนื่องตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมด

คุณสมบัติที่เจ็ดของฟังก์ชันระบุว่าชุดของค่า y = cos x อยู่ในเซ็กเมนต์ [-1;1]

ต่อไปจะพิจารณาตัวอย่างที่จำเป็นต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชัน y = cos x ในตัวอย่างแรก จำเป็นต้องแก้สมการ cos x=1-2 วิธีแก้สมการนี้คือจุดตัดกันของกราฟฟังก์ชัน ซึ่งแสดงด้วยนิพจน์ของด้านขวาและด้านซ้ายของสมการ นั่นคือ y = cos x และ y = 1-x 2 แน่นอนว่ากราฟของสมการแรกคือไซนัสอยด์ที่แสดงไว้ก่อนหน้าในหัวข้อ กราฟของฟังก์ชันที่สองคือพาราโบลา ซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่จุด (0;1) เมื่อพล็อตกราฟของแต่ละฟังก์ชันแล้ว รูปสำหรับปัญหานี้แสดงให้เห็นว่าจุดตัดกันของกราฟทั้งสองเท่านั้นที่จะเป็นจุด B(0;1)

ในตัวอย่างที่สอง คุณต้องสร้างและอ่านกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในส่วน x<π/2 выражением sinx, а на отрезке х>=π/2 ด้วยนิพจน์ cosx ในรูปที่มาพร้อมกับคำตอบของตัวอย่าง กราฟของฟังก์ชัน у=sinx จะถูกพล็อตบนเซ็กเมนต์ [-3π/2; พาย/2]. ในกรณีนี้ ณ จุด π/2 ฟังก์ชันจะไม่รับค่า บนส่วน [π/2; 3π/2] ส่วนของฟังก์ชัน y = cos x ถูกสร้างขึ้น แน่นอนว่า แฟรกเมนต์ที่สร้างขึ้นจะถูกทำซ้ำตลอดทั้งโดเมนคำจำกัดความ ข้อมูลต่อไปนี้จะอธิบายวิธีการอ่านฟังก์ชัน มีข้อสังเกตว่านี่หมายถึงการอธิบายคุณสมบัติของมัน คุณสมบัติของฟังก์ชันนี้แสดงอยู่ในรายการ - โดเมนของคำจำกัดความ (-∞;+∞), การไม่มีเครื่องหมายคู่หรือคี่สำหรับโดเมนคำจำกัดความทั้งหมด, ฟังก์ชันที่มีขอบเขตทั้งด้านบนและด้านล่าง ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันคือ 1 และค่าน้อยที่สุดคือ -1 มีการสังเกตด้วยว่ามีความไม่ต่อเนื่องที่จุด x=π/2 ซึ่งเป็นชุดของค่าฟังก์ชัน (-1;1)

บทเรียนวิดีโอ "ฟังก์ชัน y = cos x คุณสมบัติและกราฟ" ใช้ในบทเรียนคณิตศาสตร์ในหัวข้อนี้เป็นสื่อภาพ นอกจากนี้ วิดีโอนี้ยังมีประโยชน์สำหรับครูที่สอนทางไกลเพื่อพัฒนาทักษะที่จำเป็นในนักเรียนอีกด้วย เนื้อหานี้สามารถแนะนำสำหรับการทบทวนโดยอิสระโดยนักเรียนที่ไม่เชี่ยวชาญหัวข้อนี้ดีพอและต้องการการฝึกอบรมเพิ่มเติม

การถอดรหัสข้อความ:

ก่อนที่จะสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = cos x ให้จำสูตรการลดลง โดยที่ cos x = sin(x + 14П•2) "> (โคไซน์ของอาร์กิวเมนต์ x เท่ากับไซน์ของอาร์กิวเมนต์ x บวก pi โดย สอง) ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชัน y = cos x And

y = บาป(x +14П•2)"> เท่ากัน ดังนั้นกราฟจึงตรงกัน

การสร้างกราฟฟังก์ชัน y = sin(x +14П•2)"> เราจะต้องมีระบบพิกัดเสริมที่มีจุดกำเนิดที่จุด B(-14П•2"> ; 0) (ณ จุด BE ด้วยพิกัดลบ pi ด้วย 2, ศูนย์) หากเราพลอตฟังก์ชัน y = sin x ในระบบพิกัดใหม่ เราจะได้กราฟของฟังก์ชัน

y = บาป(x +14П•2)"> หรือกราฟของฟังก์ชัน y = cos x เนื่องจากกราฟตรงกัน (ดูรูปที่ 1)

เนื่องจากกราฟของฟังก์ชัน y = cos x ได้มาจากกราฟไซน์โดยใช้การแปลแบบขนานในระยะทาง14П•2"> ในทิศทางลบ กราฟของฟังก์ชันนี้ก็จะเป็นไซนัสอยด์เช่นกัน

กราฟของฟังก์ชัน y = cos x ให้แนวคิดที่ชัดเจนเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันนี้

คุณสมบัติ 1. โดเมน คือ เซตของจำนวนจริงทั้งหมด หรือ D (f) = (-14в€ћ"> ; +14в€ћ">) (de จาก ef เท่ากับช่วงเวลาจากลบอนันต์ถึงบวกอนันต์)

คุณสมบัติ 2 ฟังก์ชัน y = cos x เป็นเลขคู่

ในบทเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 เราได้เรียนรู้ว่าฟังก์ชัน y = f (x), x ϵX (y เท่ากับ eff ของ x โดยที่ x อยู่ในเซต x มีขนาดใหญ่) จะถูกเรียก แม้ว่าค่า x ใดๆ จาก กำหนดให้ X มีความเท่าเทียมกัน

f (- x) = f (x) (eff จากลบ x เท่ากับ ef จาก x)

คุณสมบัติ 3.ในช่วงเวลา [ 0 ; π ] (จากศูนย์ถึง pi) ฟังก์ชันจะลดลงและเพิ่มในส่วน [ π ; 2π ] (จาก pi ถึง 2 pi) เป็นต้น

เราสามารถสรุปได้ทั่วไป: ฟังก์ชัน y = cos x เพิ่มขึ้นในส่วนนี้

[π 14+2จุก ">;142П•+2П•k "> ] (จาก pi บวกสอง pi ka ถึงสอง pi บวกสอง pi ka) และลดลงในส่วน [14 2จุก";14П•+2П•k]"> (จากสองยอดถึง pi บวกสองยอด) โดยที่ (ka อยู่ในเซตของจำนวนเต็ม)

คุณสมบัติ 4. ฟังก์ชั่นถูกจำกัดด้านบนและด้านล่าง

คุณสมบัติ 5 ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันเท่ากับลบ 1 และได้มาที่จุดใดก็ได้ของแบบฟอร์ม x =14П•+2П•k"> (หรือเขียน y name = - 1 ก็ได้) ค่าที่ใหญ่ที่สุดคือ 1 และได้มาที่จุดใดก็ได้ของแบบฟอร์ม x =142П•k">

(หรือเขียนว่า y สูงสุด = 1 ก็ได้)

คุณสมบัติ 6 ฟังก์ชัน y = cos x มีความต่อเนื่อง

คุณสมบัติ 7 ชุดของค่าของฟังก์ชันคือส่วนจากลบหนึ่งถึงหนึ่ง (หรือคุณสามารถเขียน E(f) = [ - 1; 1])

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1. แก้สมการ cos x= 1 - x 2 (โคไซน์ x เท่ากับ 1 ลบ x กำลังสอง)

สารละลาย. ลองแก้สมการนี้แบบกราฟิกกัน ในระบบพิกัดเดียว เราจะสร้างกราฟของฟังก์ชันสองกราฟ: y = cos x และ y = 1 - x 2 กราฟฟังก์ชัน

y = 1 - x 2 คือพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ลง เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ x กำลังสองเป็นลบ (ดูรูปที่ 2) กราฟที่สร้างขึ้นมีจุดร่วมเพียงจุดเดียว - นี่คือจุด B(0; 1) (อยู่ในพิกัดศูนย์ หนึ่ง)

สารละลาย. เราจะจัดทำตารางเวลา “ทีละชิ้น” ก่อนอื่น เรามาพลอตส่วนหนึ่งของกราฟของฟังก์ชัน y = sin x บนลำแสงเปิด (-14в€ћ"> ;14П•2">) จากนั้นอยู่ในระบบพิกัดเดียวกันบนรังสี [14 П•2"> ; +14в€ћ">) เราจะสร้างกราฟส่วนหนึ่งของฟังก์ชัน y = cos x เราจะได้กราฟของฟังก์ชัน y = f(x)

มาอ่านกราฟของฟังก์ชันนี้กัน (ซึ่งหมายถึงการแสดงรายการคุณสมบัติของฟังก์ชัน):

1. โดเมนของคำจำกัดความคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด เช่น

ง(ฉ) = (-14в€ћ; + в€ћ)"> (เช่น de จาก ef เท่ากับช่วงเวลาจากลบอนันต์ถึงบวกอนันต์)

1. ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่
2. ฟังก์ชั่นนี้ถูกจำกัดทั้งด้านล่างและด้านบน
3. ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันจะเท่ากับลบหนึ่ง (มีจุดดังกล่าวมากมายไม่สิ้นสุด) ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันจะเท่ากับหนึ่ง (ยังมีจุดดังกล่าวมากมายไม่สิ้นสุดเช่นกัน)
4. ฟังก์ชันมีความไม่ต่อเนื่องที่จุด x =14П 2"> .
5. ชุดของค่าฟังก์ชันคือส่วนจากลบหนึ่งถึงหนึ่ง

กลับไปข้างหน้า

ความสนใจ! การแสดงตัวอย่างสไลด์มีวัตถุประสงค์เพื่อให้ข้อมูลเท่านั้น และอาจไม่ได้แสดงถึงคุณลักษณะทั้งหมดของการนำเสนอ หากสนใจงานนี้กรุณาดาวน์โหลดฉบับเต็ม

หัวข้อบทเรียน: “ฟังก์ชัน y=cosx”

บทเรียน #1

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อให้นักเรียนคุ้นเคยกับคุณสมบัติของฟังก์ชัน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

ทางการศึกษา - การก่อตัวของแนวคิดเชิงฟังก์ชันโดยใช้วัสดุที่เป็นภาพ การก่อตัวของทักษะในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y=cosx การก่อตัวของทักษะในการอ่านกราฟอย่างคล่องแคล่ว ความสามารถในการสะท้อนคุณสมบัติของฟังก์ชันบนกราฟ

ความคืบหน้าของบทเรียน

№	ขั้นตอนบทเรียน	สไลด์โชว์	เวลา
1	ช่วงเวลาขององค์กรสวัสดี
2	การประกาศหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน
3	การอัพเดตความรู้อ้างอิง ออกกำลังกายช่องปาก	การสำรวจหน้าผาก
4	การนำเสนอวัสดุใหม่ งานสร้างกราฟของ y = cosx บนเซ็กเมนต์ การอภิปรายเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชัน y =cosx ในช่วงเวลาหนึ่ง งานสร้างร่างกราฟของฟังก์ชัน y = cosх การอภิปรายเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชัน y = cosx	การป้อนคุณสมบัติลงในตาราง
5	การแก้ปัญหาตามตำราเลขที่ 708, ฉบับที่ 709	วิธีแก้ปัญหาจะมาพร้อมกับสไลด์หมายเลข 4
6	ภารกิจคือการสร้างกราฟของฟังก์ชันที่มีการเลื่อนไปตามแกนกำหนดและตามแนวแกนแอบซิสซา การอภิปรายเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชัน
7	งานอิสระโดยใช้ตำราเรียน	№710 (1;3), №711 (1;3), №711 (1;3)
	สรุป.. สรุปบทเรียน การให้เกรด
9	การบ้าน	§40 เลขที่ 710(2;4), เลขที่ 711(2;4), เลขที่ 711(2;4) สร้างกราฟของฟังก์ชัน y =cosx บน และอธิบายคุณสมบัติของฟังก์ชันนี้

เพิ่มเติมฉบับที่ 717 (1)

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อให้นักเรียนคุ้นเคยกับคุณสมบัติของฟังก์ชัน y=cosx เรียนรู้การสร้างกราฟของฟังก์ชัน y=cosx อ่านกราฟนี้ ใช้คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันเมื่อแก้สมการและอสมการ

2. การประกาศหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียนจะมาพร้อมกับสไลด์หมายเลข 2

ออกกำลังกายช่องปาก

1. ทบทวนคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติและเครื่องหมายของค่าของฟังก์ชันเหล่านี้
2. ดึงความสนใจของนักเรียนไปที่ข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับจำนวนจริงใดๆ คุณสามารถระบุจุดที่สอดคล้องกันบนวงกลมหน่วยได้ และด้วยเหตุนี้จึงเป็นจุดหักล้างและพิกัด เช่น

โคไซน์และไซน์ของตัวเลข x: y = cosx และ y = sinx ซึ่งโดเมนเป็นจำนวนจริงทั้งหมด

1. จากนั้นนักเรียนตอบคำถาม:
2. ฟังก์ชัน y=cosx ใช้ค่า x เท่าใดกับค่า 0 1? -1?
3. ฟังก์ชัน y=cosx รับค่าที่มากกว่า 1 หรือน้อยกว่า -1 ได้หรือไม่
4. ฟังก์ชัน y=cosx ใช้ค่า x ใดกับค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด)?

ชุดของค่าของฟังก์ชัน y=cosx คืออะไร?

คำตอบของคำถามเหล่านี้และคำถามต่อไปนี้จะมีภาพประกอบอยู่ในวงกลมหน่วย

เมื่อทำซ้ำสัญญาณของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติในแต่ละไตรมาสของระนาบพิกัดแล้ว นักเรียนจะถูกขอให้แสดงหลายจุดบนวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลขที่มีโคไซน์เป็นจำนวนบวก (ลบ) จากนั้นตอบคำถาม:

0<х<, 0<х<, <х<, <х<2.5?

1) ฟังก์ชัน y=cosx มีเครื่องหมายอะไร ถ้า x=, x=,

2) ระบุค่า x หลายค่าโดยที่ค่าของฟังก์ชัน y = cosx เป็นค่าบวกและค่าลบ

3) เป็นไปได้ไหมที่จะตั้งชื่อค่าทั้งหมดของตัวเลขที่มีโคไซน์เป็นบวกหรือลบ?

4) เป็นไปได้ไหมที่จะตั้งชื่อค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์ x ซึ่งค่าของฟังก์ชัน y = cosx เป็นบวกและลบ?

5) ฟังก์ชันคู่หรือคี่ y = cosx

6) คาบของฟังก์ชันนี้คือเท่าไร?

4. การนำเสนอเนื้อหาใหม่

ลักษณะทั่วไปและการสรุปความรู้ที่ได้รับมาก่อนหน้านี้: การศึกษาขอบเขตของคำจำกัดความ ชุดของค่า ความเท่าเทียมกัน ระยะเวลา ช่วยให้คุณสร้างกราฟเป็นอันดับแรกบนเซ็กเมนต์ จากนั้นบนเซ็กเมนต์ จากนั้นบนเส้นจำนวนทั้งหมด คำอธิบายจะมาพร้อมกับสไลด์หมายเลข 3

จากนั้นนักเรียนจะได้เรียนรู้การวาดภาพร่างกราฟของฟังก์ชัน y = cosx โดยใช้จุด (0;1), (;0)

(:-1), (;0), (;1) และสรุปคุณสมบัติของฟังก์ชันโดยบันทึกไว้ในตาราง

ตรวจสอบโดยใช้สไลด์หมายเลข 4

(ในขั้นตอนนี้มีการออกหมายเหตุประกอบ (ภาคผนวก 1))

5. การรวมความรู้เบื้องต้น

ใช้ภาพร่างกราฟของฟังก์ชัน y=cosx นักเรียนตอบคำถามข้อ 708 โดยใช้ตารางคุณสมบัติของฟังก์ชัน y=cosx นักเรียนตอบคำถามข้อ 709

6. งานสร้างกราฟของฟังก์ชันโดยมีการเลื่อนไปตามแกนกำหนดและตามแกนแอบซิสซา

1. สไลด์หมายเลข 5, 6

ในระหว่างการสนทนา จะมีการหารือถึงคุณสมบัติของฟังก์ชันเหล่านี้

№710(1;3), №711(1;3), №711(1;3), №710

7. งานอิสระโดยใช้ตำราเรียน

จากมากไปน้อย; - เพิ่มขึ้น

จากมากไปน้อย; - เพิ่มขึ้น

การใช้คุณสมบัติที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงของฟังก์ชัน y = cosx เปรียบเทียบตัวเลข:

ในส่วนของฟังก์ชัน y = cosx จะลดลง , เพราะฉะนั้น, .

ในส่วนของฟังก์ชัน y = cosx จะเพิ่มขึ้น

<, следовательно, cos < cos

ค้นหารากทั้งหมดของสมการที่อยู่ในส่วนนี้:

1) cosx = x = ±+2 เอ็น เอ็นซี

คำตอบ: ; - -

2) cosx = - x = ±

8. สรุป.

การให้เกรด

ในระหว่างบทเรียน เราได้เรียนรู้วิธีสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = cosx อ่านคุณสมบัติของกราฟนี้ สร้างภาพร่างของกราฟ และแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการใช้กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชัน y = cosx

9. การบ้าน.

§40 เลขที่ 710(2;4), เลขที่ 711(2;4), เลขที่ 711(2;4) สร้างกราฟของฟังก์ชัน y =cosx บน และอธิบายคุณสมบัติของฟังก์ชันนี้

เพิ่มเติมฉบับที่ 717(1)

หัวข้อ: “ฟังก์ชัน y=cosx”

บทเรียน #2

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: ทบทวนกฎสำหรับการสร้างกราฟของฟังก์ชัน у=cosx เรียนรู้วิธีการแปลงกราฟ อ่านกราฟนี้ ใช้คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันในการแก้สมการและอสมการ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

ทางการศึกษา - การก่อตัวของการนำเสนอฟังก์ชันโดยใช้วัสดุภาพ การก่อตัวของทักษะในการพล็อตกราฟของฟังก์ชัน y=cosx ภายใต้การแปลงต่างๆ การก่อตัวของทักษะในการอ่านกราฟอย่างคล่องแคล่ว ความสามารถในการสะท้อนคุณสมบัติของฟังก์ชันบนกราฟ .

พัฒนาการ - การพัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์และสรุปความรู้ที่ได้รับ การก่อตัวของการคิดเชิงตรรกะ

ทางการศึกษา - เพื่อเพิ่มความสนใจในการรับความรู้ใหม่ ๆ ส่งเสริมวัฒนธรรมกราฟิก พัฒนาความแม่นยำและความแม่นยำเมื่อทำการวาดภาพ

ติดตั้งมาพร้อมกับ: โปรเจคเตอร์มัลติมีเดีย, หน้าจอ, ระบบปฏิบัติการ Microsoft Windows 98/Me/2000/XP, โปรแกรม MS Office 2003: Power Point, Microsoft Word, Microsoft Excel

ความคืบหน้าของบทเรียน

№	ขั้นตอนบทเรียน	สไลด์โชว์	เวลา
1	ช่วงเวลาขององค์กรสวัสดี		1
2	การประกาศหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน		2
3	ตรวจการบ้าน	หมายเลข 717(1) สไลด์หมายเลข 7	5
4	การนำเสนอวัสดุใหม่ งานสร้างกราฟโดยการบีบและยืดจนถึงแกน OX การอภิปรายเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชัน y =k cosx สำหรับ k>1 และ 0 งานสร้างกราฟโดยการบีบและยืดออปแอมป์โอริ การอภิปรายเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชัน y = cos(k x) สำหรับ k>1 และ 0	สไลด์หมายเลข 8, 9	12
5	การรวมความรู้เบื้องต้นแก้ไขปัญหาตามตำราเรียน №713(1;3), №715(1) №716(1)	ตำราเรียนหมายเลข 717(2) หน้า 208 เมื่อแก้โจทย์ข้อ 715(1), หมายเลข 716(1) ให้ใช้กราฟที่สร้างขึ้นของฟังก์ชัน y = cos2x สไลด์หมายเลข 10	5
6	ภารกิจคือการสร้างกราฟของฟังก์ชันที่มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนแอบซิสซา 1. ช่วงเวลาขององค์กร สวัสดี. 2. การประกาศหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียนจะมาพร้อมกับสไลด์หมายเลข 2 3. ตรวจการบ้าน 4. การนำเสนอเนื้อหาใหม่ 1. งานสร้างกราฟโดยการบีบและยืดจนถึงแกน OX การอภิปรายเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชัน y =k cosx สำหรับ k>1 และ 0 สไลด์หมายเลข 8 2. งานสร้างกราฟโดยการบีบและยืดไปจนถึงแกนของออปแอมป์ การอภิปรายเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชัน y = cos(kx) สำหรับ k>1 และ 0 สไลด์หมายเลข 9 5. การรวมความรู้เบื้องต้น การแก้ปัญหาตามตำราเลขที่ 713(1;3), ฉบับที่ 715(1) ฉบับที่ 716(1) เราตรวจสอบงานหมายเลข 715(1) หมายเลข 716(1) โดยใช้สไลด์หมายเลข 10 6. งานสร้างกราฟของฟังก์ชันสมมาตรเกี่ยวกับแกนแอบซิสซา การอภิปรายเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชัน . สไลด์ที่ 11 (ใช้ข้อมูลสรุปประกอบ (ภาคผนวก 1)) 7. งานอิสระ การแก้ปัญหาการทดสอบ . (นักเรียนครึ่งหนึ่งแก้แบบทดสอบในรูปแบบ XL (ภาคผนวก 2) ที่คอมพิวเตอร์ และอีกครึ่งหนึ่งทำแบบทดสอบ (ภาคผนวก 3) จากนั้นนักเรียนจึงเปลี่ยนสถานที่) 8. สรุปบทเรียน จากการศึกษาหัวข้อนี้ นักเรียนได้เรียนรู้การสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = cosх อ่านคุณสมบัติของฟังก์ชัน สร้างกราฟของฟังก์ชันโดยใช้การแปลงต่างๆ อ่านคุณสมบัติของกราฟที่มีการแปลง แก้ปัญหาง่ายๆ โดยใช้กราฟ และคุณสมบัติของฟังก์ชัน y = cosx การให้เกรด 9. การบ้าน. §40 เลขที่ 717(3), เลขที่ 713(4), เลขที่ 715(4), เลขที่ 716(2) เพิ่มเติมเลขที่ 719(2) (ตรวจสอบสไลด์หมายเลข 13) ในตอนต้นของบทเรียนถัดไป คุณสามารถเชิญนักเรียนให้ทำงานสร้างกราฟบนเอกสารประกอบคำบรรยายสำเร็จรูป (