จุดยอดที่อยู่ติดกันของรูปหลายเหลี่ยม ความหมายของคำว่า รูปหลายเหลี่ยม

ในหลักสูตรเรขาคณิต เราศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขทางเรขาคณิตและได้พิจารณาสิ่งที่ง่ายที่สุดแล้ว: สามเหลี่ยมและสภาพแวดล้อม ในเวลาเดียวกัน เรายังกล่าวถึงกรณีพิเศษเฉพาะของตัวเลขเหล่านี้ เช่น ไตรโคลนิกิรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เท่ากัน และด้านขวา ถึงเวลาพูดคุยเกี่ยวกับตัวเลขทั่วไปและซับซ้อนมากขึ้นแล้ว - ถ่านหินจำนวนมาก.

กับคดีส่วนตัว ถ่านหินจำนวนมากเรารู้แล้ว - นี่คือสามเหลี่ยม (ดูรูปที่ 1)

ข้าว. 1. สามเหลี่ยม

ในชื่อก็ระบุไว้แล้วว่านี่คือฟิ-กู-ราซึ่งมีสามมุม ต่อไปใน ถ่านหินจำนวนมากอาจมีหลายอย่างเช่น มากกว่าสาม ตัวอย่างเช่นวาดรูปห้าเหลี่ยม (ดูรูปที่ 2) เช่น fi-gu-ru กับห้ามุม-la-mi

ข้าว. 2. เพนต้ามุม รูปหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่ของคุณ

คำนิยาม.รูปหลายเหลี่ยม- รูปประกอบด้วยหลายจุด (มากกว่าสอง) และสอดคล้องกับจำนวนคะแนนจากคอฟที่ติดตามพวกเขาเข้าด้วยกัน จุดเหล่านี้เรียกว่า ท็อปเธอออนไมล์ถ่านหินเยอะ แต่จากการตัด - ร้อยโร-นา-มิ. ในกรณีนี้ ไม่มีด้านที่อยู่ติดกันสองด้านอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และไม่มีด้านที่ไม่อยู่ติดกันสองด้านตัดกัน

คำนิยาม.รูปหลายเหลี่ยมด้านขวา- นี่คือรูปหลายเหลี่ยมนูนซึ่งมีด้านและมุมเท่ากัน

ใดๆ รูปหลายเหลี่ยมแบ่งเครื่องบินออกเป็นสองส่วน: ภายในและภายนอก พื้นที่ภายในก็มาจาก ถ่านหินจำนวนมาก.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวอย่างเช่น เมื่อพวกเขาพูดถึงรูปห้าเหลี่ยม พวกเขาหมายถึงทั้งบริเวณภายในและขอบเขตของมัน สึ และจุดทั้งหมดที่อยู่ในถ่านหินจำนวนมากนั้นสัมพันธ์กับพื้นที่ชั้นในเช่น ประเด็นก็คือจาก-no-sit-xia ไปจนถึง Five-coal-ni-ku (ดูรูปที่ 2)

ถ่านหินจำนวนมากบางครั้งเรียกว่า n-coal เพื่อเน้นย้ำว่าเป็นเรื่องปกติในกรณีที่ไม่ทราบจำนวนมุม (n ชิ้น)

คำนิยาม. รอบเมตรของหลายถ่านหินโนคะ- ผลรวมของความยาวด้านข้างของถ่านหินจำนวนมาก

ตอนนี้เราต้องทำความคุ้นเคยกับสถานที่ท่องเที่ยวของถ่านหินจำนวนมาก พวกเขาจะแบ่งออกเป็น คุณผายลมและ ผายลม. ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมที่แสดงในรูปที่ 1 2 ดูเหมือนคุณจะตด และในรูป 3 ไม่ผายลม.

ข้าว. 3. รูปหลายเหลี่ยมที่เป็นหลุมเป็นบ่อ

2. รูปหลายเหลี่ยมแบบนูนและไม่นูน

คำจำกัดความ 1. รูปหลายเหลี่ยมนา-ซา-วา-เอต-ซยา คุณผายลมถ้าเมื่อผ่านด้านใดด้านหนึ่งโดยตรงทั้งหมด รูปหลายเหลี่ยมอยู่เพียงด้านเดียวจากเส้นตรงนี้ เนวา-ปุก-ลี-มิคนอื่นๆ ก็ปรากฏตัวขึ้น ถ่านหินจำนวนมาก.

มันง่ายที่จะจินตนาการว่าเมื่อขยายด้านใดด้านหนึ่งของมุมทั้งห้าในรูป 2 ทั้งหมดจะกลายเป็นด้านหนึ่งห่างจากเส้นตรงนี้ กล่าวคือ เขาตด แต่เมื่อผ่านถ่านหินสี่ก้อนตรงในรูป 3 เราเห็นแล้วว่าเธอแบ่งออกเป็นสองส่วนคือ เขาไม่ใช่คนผายลมมาก

แต่มีอีกคำจำกัดความหนึ่งที่บ่งบอกว่าคุณมีถ่านหินจำนวนเท่าใด

คำจำกัดความ 2 รูปหลายเหลี่ยมนา-ซา-วา-เอต-ซยา คุณผายลมหากคุณเลือกจุดภายในสองจุดและเมื่อเชื่อมต่อจากจุดตัด จุดทั้งหมดจากจุดตัดก็เป็นจุดภายในด้วย - ไม่ใช่ถ่านหินมากนัก

การสาธิตการใช้คำจำกัดความนี้สามารถเห็นได้ในตัวอย่างการสร้างจุดตัดในรูปที่ 1 2 และ 3.

คำนิยาม. ดิอา-โก-นา-ลิวถ่านหินจำนวนมากเรียกว่าการตัดแบบใดก็ตามที่เชื่อมต่อยอดสองยอดที่ไม่อยู่ติดกัน

3. ทฤษฎีบทเรื่องผลบวกของมุมภายในของเอ็นกอนนูน

ในการอธิบายคุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยม มีสองทฤษฎีบทที่สำคัญเกี่ยวกับมุมของรูปหลายเหลี่ยม: ธีโอ-เรมา เกี่ยวกับผลรวมของมุมภายในของมุมหลายๆ มุมและ ธีโอ-เรมา เกี่ยวกับผลรวมของมุมภายนอกของมุมหลายๆ มุม. มาดูพวกเขากันดีกว่า

ทฤษฎีบท. เกี่ยวกับผลรวมของมุมภายใน คุณจะมีมุมหลายมุม (n-ถ่านหิน-no-ka)

จำนวนมุม (ด้าน) อยู่ที่ไหน

หลักฐาน 1. ภาพประกอบในรูป 4 งอนที่ยื่นออกมา

ข้าว. 4. คุณเป็นหลุมเป็นบ่อ n-gon

จากด้านบนเราจะดำเนินการ Dia-gos ที่เป็นไปได้ทั้งหมด พวกเขาแบ่ง n-gon-nik เป็น tri-gon-nik เพราะ แต่ละด้านก่อให้เกิดถ่านหินจำนวนมาก ยกเว้นด้านที่อยู่ด้านบน จากรูปจะเห็นได้ง่ายว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากับผลรวมของมุมภายในของมุม n ทุกประการ เนื่องจากผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ ดังนั้น ผลรวมของมุมภายในของมุม n:

เหตุผลที่ 2 เป็นไปได้ว่ามีเหตุผลอื่นสำหรับทฤษฎีบทนี้ ภาพประกอบของเอ็นกอนที่คล้ายคลึงกันในรูปที่ 5 และเชื่อมต่อจุดภายในกับจุดยอดทั้งหมด

เราได้แบ่ง n-coal ออกเป็นสามเหลี่ยม n รูป (มีกี่ด้าน, สามเหลี่ยมหลายรูป) ) ผลรวมของมุมทั้งหมดเท่ากับผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมและผลรวมของมุมที่จุดภายใน และนี่คือมุม เรามี:

Q.E.D.

โด-คา-ซ่า-แต่

ตามทฤษฎีก่อนหน้านี้ เป็นที่ชัดเจนว่าผลรวมของมุม n-ถ่านหินไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนด้าน (จาก n) ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยม ผลรวมของมุมคือ ใน wh-reh-coal-no-ke และผลรวมของมุม - ฯลฯ

4. ทฤษฎีบทเรื่องผลบวกของมุมภายนอกของเอ็นกอนนูน

ทฤษฎีบท. เกี่ยวกับผลรวมของมุมภายนอกของถ่านหินจำนวนมาก (n-ถ่านหิน-no-ka)

โดยที่จำนวนมุม (ด้าน) ของมันอยู่ที่ไหน และ , ... คือมุมภายนอก

การพิสูจน์. รูปภาพของ n-gon นูนในรูป 6 และกำหนดมุมภายในและภายนอก

ข้าว. 6. คุณนูน n-gon โดยมีมุมภายนอกที่กำหนด

เพราะ มุมภายนอกต่อกับมุมภายในที่ประชิดกันแล้ว และคล้ายกับมุมภายนอกอื่นๆ แล้ว:

ในระหว่างก่อนการพัฒนา เราได้ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมภายใน n-ถ่านหิน-นิ-กะ แล้ว

โด-คา-ซ่า-แต่

จากทฤษฎีบทที่แล้ว มีข้อเท็จจริงที่น่าสนใจว่าผลรวมของมุมภายนอกของถ่านหิน n ที่นูนเท่ากับ ตามจำนวนมุม (ด้าน) อย่างไรก็ตาม ขึ้นอยู่กับผลรวมของมุมภายใน

ต่อไป เราจะทำงานโดยละเอียดมากขึ้นกับกรณีเฉพาะของถ่านหินจำนวนมาก - ทำไมคุณถึงกลับมาใช้ถ่านหินอีกครั้ง ในบทเรียนหน้า เราจะมาทำความรู้จักกับรูปพาร์-ราล-เลอ-โล-แกรม และอภิปรายเกี่ยวกับคุณสมบัติของมัน

แหล่งที่มา

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144

รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าอะไร? ประเภทของรูปหลายเหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยม ซึ่งเป็นรูปทรงเรขาคณิตแบนที่มีด้านตั้งแต่สามด้านขึ้นไปตัดกันที่จุดตั้งแต่สามจุดขึ้นไป (จุดยอด) คำนิยาม. รูปหลายเหลี่ยมคือรูปทรงเรขาคณิตที่ล้อมรอบทุกด้านด้วยเส้นประที่ปิด ซึ่งประกอบด้วยส่วน (ลิงก์) สามส่วนขึ้นไป สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมแน่นอน รูปหลายเหลี่ยมคือรูปที่มีมุมตั้งแต่ห้ามุมขึ้นไป

คำนิยาม. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือรูปทรงเรขาคณิตแบนที่ประกอบด้วยจุดสี่จุด (จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน) และมีส่วนที่ต่อเนื่องกันสี่ส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านั้น (ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน)

สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมฉากทั้งหมด ตั้งชื่อตามจำนวนด้านหรือจุดยอด: สามเหลี่ยม (สามด้าน); QUADAGON (สี่ด้าน); เพนตากอน (ห้าด้าน) ฯลฯ ในเรขาคณิตเบื้องต้น รูปหนึ่งเรียกว่ารูปที่มีเส้นตรงล้อมรอบเรียกว่าด้าน จุดที่ด้านตัดกันเรียกว่าจุดยอด รูปหลายเหลี่ยมมีมุมมากกว่าสามมุม สิ่งนี้เป็นที่ยอมรับหรือตกลงกัน

สามเหลี่ยมก็คือสามเหลี่ยม และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็ไม่ใช่รูปหลายเหลี่ยมเช่นกัน และไม่เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - อาจเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน หรือสี่เหลี่ยมคางหมู ความจริงที่ว่ารูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้านและสามมุมมีชื่อเป็นของตัวเองว่า "สามเหลี่ยม" ไม่ได้ทำให้รูปหลายเหลี่ยมนั้นขาดสถานะเป็นรูปหลายเหลี่ยม

ดูว่า "POLYGON" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

เราเรียนรู้ว่าตัวเลขนี้ถูกจำกัดด้วยเส้นขาดแบบปิด ซึ่งสามารถปิดได้ง่าย เรามาพูดถึงข้อเท็จจริงที่ว่ารูปหลายเหลี่ยมสามารถเป็นแบบแบน สม่ำเสมอ หรือนูนได้ ใครไม่เคยได้ยินเกี่ยวกับสามเหลี่ยมเบอร์มิวดาอันลึกลับซึ่งเรือและเครื่องบินหายไปอย่างไร้ร่องรอย? แต่สามเหลี่ยมที่เราคุ้นเคยตั้งแต่วัยเด็กนั้นเต็มไปด้วยสิ่งที่น่าสนใจและลึกลับมากมาย

แม้ว่าแน่นอนว่ารูปที่ประกอบด้วยสามมุมก็ถือได้ว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมเช่นกัน

แต่นี่ไม่เพียงพอที่จะระบุลักษณะของรูปร่าง เส้นแบ่ง A1A2...An คือตัวเลขที่ประกอบด้วยจุด A1,A2,...An และเซกเมนต์ A1A2, A2A3,... เชื่อมต่อกัน เส้นขาดแบบปิดธรรมดาเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมหากจุดเชื่อมต่อข้างเคียงไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (รูปที่ 5) แทนที่ตัวเลขเฉพาะ เช่น 3 ในคำว่า "รูปหลายเหลี่ยม" แทนส่วน "จำนวนมาก" คุณจะได้รูปสามเหลี่ยม โปรดทราบว่ามุมที่มีหลายมุมก็มีหลายด้าน ดังนั้นตัวเลขเหล่านี้จึงเรียกได้ว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยม

ให้ A1A2...A n เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่กำหนด และ n>3 มาวาดเส้นทแยงมุมในนั้น (จากจุดยอดหนึ่ง)

ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมแต่ละรูปคือ 1800 และจำนวนสามเหลี่ยมเหล่านี้ n คือ 2 ดังนั้น ผลรวมของมุมของมุมนูน n - สามเหลี่ยม A1A2...A n คือ 1800* (n - 2) ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว มุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่จุดยอดที่กำหนดคือมุมที่อยู่ติดกับมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมที่จุดยอดนี้

ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ให้ลากเส้นตรงเพื่อแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสามรูป

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนไม่เคยมีจุดยอดสามจุดอยู่บนเส้นเดียวกัน คำว่า "รูปหลายเหลี่ยม" บ่งบอกว่าตัวละครทุกตัวในครอบครัวนี้มี "หลายมุม" เส้นขาดจะเรียกว่าง่ายหากไม่มีจุดตัดของตัวเอง (รูปที่ 2, 3)

ความยาวของเส้นขาดคือผลรวมของความยาวของลิงก์ (รูปที่ 4) ในกรณีที่ n=3 ทฤษฎีบทนั้นถูกต้อง ดังนั้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงสามารถเรียกได้แตกต่างกัน - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติ ตัวเลขดังกล่าวเป็นที่สนใจของช่างฝีมือที่ตกแต่งอาคารมานานแล้ว

จำนวนจุดยอดเท่ากับจำนวนด้าน เส้นโพลีไลน์จะถูกเรียกว่าปิดหากจุดสิ้นสุดตรงกัน พวกเขาสร้างลวดลายที่สวยงาม เช่น บนไม้ปาร์เก้ ดาวห้าแฉกของเราเป็นดาวห้าเหลี่ยมปกติ

แต่ไม่สามารถใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดเพื่อทำไม้ปาร์เก้ได้ มาดูรูปหลายเหลี่ยมสองประเภทให้ละเอียดยิ่งขึ้น: สามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปหลายเหลี่ยมที่มุมภายในเท่ากันเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติ รูปหลายเหลี่ยมตั้งชื่อตามจำนวนด้านหรือจุดยอด

หัวข้อ: “รูปหลายเหลี่ยม ประเภทของรูปหลายเหลี่ยม”

ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

เอสเอชแอล หมายเลข 20

ครู: Kharitonovich T.I.วัตถุประสงค์ของบทเรียน: ศึกษาประเภทของรูปหลายเหลี่ยม

งานการเรียนรู้:อัปเดต ขยาย และสรุปความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยม สร้างแนวความคิดของ “ ส่วนประกอบ” รูปหลายเหลี่ยม; ดำเนินการสำรวจปริมาณ องค์ประกอบที่เป็นส่วนประกอบรูปหลายเหลี่ยมปกติ (จากสามเหลี่ยมถึง n-gon);

งานพัฒนา:พัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ สรุป พัฒนาทักษะการคำนวณ การพูดและการเขียนทางคณิตศาสตร์ ความจำ ตลอดจนความเป็นอิสระในการคิดและการเรียนรู้กิจกรรม ความสามารถในการทำงานเป็นคู่และเป็นกลุ่ม พัฒนาการวิจัยและ กิจกรรมการเรียนรู้;

งานการศึกษา:ปลูกฝังความเป็นอิสระ กิจกรรม ความรับผิดชอบในงานที่ได้รับมอบหมาย ความอุตสาหะในการบรรลุเป้าหมาย

อุปกรณ์: คณะกรรมการแบบโต้ตอบ(การนำเสนอ)

ในระหว่างเรียน

การนำเสนอแสดง: “รูปหลายเหลี่ยม”

“ธรรมชาติพูดภาษาของคณิตศาสตร์ ตัวอักษรของภาษานี้ … ตัวเลขทางคณิตศาสตร์” ก.กัลลิลีย์

เมื่อเริ่มบทเรียนแบ่งชั้นเรียนออกเป็นคณะทำงาน (ในกรณีของเราแบ่งเป็น 3 กลุ่ม)

1.เวทีการโทร-

ก) การปรับปรุงความรู้ของนักเรียนในหัวข้อ;

b) กระตุ้นความสนใจในหัวข้อที่กำลังศึกษา กระตุ้นให้นักเรียนแต่ละคนทำกิจกรรมทางการศึกษา

เทคนิค: เกม “คุณเชื่อไหม...” การจัดระบบงานด้วยข้อความ

รูปแบบงาน: หน้าผาก, กลุ่ม

“คุณเชื่อไหมว่า...”

1. ...คำว่า “รูปหลายเหลี่ยม” บ่งบอกว่ารูปทุกรูปในตระกูลนี้มี “หลายมุม” เหรอ?

2. ... รูปสามเหลี่ยม หมายถึง ครอบครัวใหญ่รูปหลายเหลี่ยมที่โดดเด่นในหมู่มีดรูปทรงเรขาคณิตต่าง ๆ บนเครื่องบิน?

3. ... สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปแปดเหลี่ยมปกติ (สี่ด้าน + สี่มุม) หรือไม่?

วันนี้ในบทเรียนเราจะพูดถึงรูปหลายเหลี่ยม เราเรียนรู้ว่าตัวเลขนี้ถูกจำกัดด้วยเส้นขาดแบบปิด ซึ่งสามารถปิดได้ง่าย เรามาพูดถึงข้อเท็จจริงที่ว่ารูปหลายเหลี่ยมสามารถเป็นแบบแบน สม่ำเสมอ หรือนูนได้ รูปหลายเหลี่ยมแบนรูปหนึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งคุณคุ้นเคยมานานแล้ว (คุณสามารถแสดงโปสเตอร์ที่เป็นรูปหลายเหลี่ยม, เส้นขาด, แสดงให้นักเรียนดูได้ ประเภทต่างๆคุณยังสามารถใช้ TSO ได้)

2. ระยะปฏิสนธิ

เป้าหมาย: การได้รับ ข้อมูลใหม่ความเข้าใจ การเลือกสรร

เทคนิค : ซิกแซก

รูปแบบงาน: รายบุคคล->คู่->กลุ่ม

สมาชิกในกลุ่มแต่ละคนจะได้รับข้อความในหัวข้อของบทเรียน และข้อความจะถูกรวบรวมในลักษณะที่มีทั้งข้อมูลที่นักเรียนทราบแล้วและข้อมูลที่เป็นข้อมูลใหม่ทั้งหมด นอกจากข้อความแล้ว นักเรียนยังได้รับคำถามซึ่งจะต้องพบคำตอบในข้อความนี้

รูปหลายเหลี่ยม ประเภทของรูปหลายเหลี่ยม

ใครไม่เคยได้ยินเกี่ยวกับสามเหลี่ยมเบอร์มิวดาอันลึกลับซึ่งเรือและเครื่องบินหายไปอย่างไร้ร่องรอย? แต่สามเหลี่ยมที่เราคุ้นเคยตั้งแต่วัยเด็กนั้นเต็มไปด้วยสิ่งที่น่าสนใจและลึกลับมากมาย

นอกจากประเภทของรูปสามเหลี่ยมที่เรารู้จักอยู่แล้ว ซึ่งแบ่งตามด้าน (ด้านไม่เท่ากัน หน้าจั่ว ด้านเท่ากันหมด) และมุม (แหลม ป้าน สี่เหลี่ยม) สามเหลี่ยมนี้ยังอยู่ในตระกูลรูปหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่ ซึ่งโดดเด่นด้วยรูปทรงเรขาคณิตที่แตกต่างกันมากมายบน เครื่องบิน.

คำว่า "รูปหลายเหลี่ยม" บ่งบอกว่าตัวละครทุกตัวในครอบครัวนี้มี "หลายมุม" แต่นี่ไม่เพียงพอที่จะระบุลักษณะของรูปร่าง

เส้นแบ่ง A1A2...An คือตัวเลขที่ประกอบด้วยจุด A1,A2,...An และเซกเมนต์ A1A2, A2A3,... เชื่อมต่อกัน จุดต่างๆ เรียกว่าจุดยอดของเส้นโพลีไลน์ และส่วนต่างๆ เรียกว่าจุดเชื่อมต่อของเส้นโพลีไลน์ (รูปที่ 1)

เส้นขาดจะเรียกว่าง่ายหากไม่มีจุดตัดของตัวเอง (รูปที่ 2, 3)

เส้นโพลีไลน์จะถูกเรียกว่าปิดหากจุดสิ้นสุดตรงกัน ความยาวของเส้นขาดคือผลรวมของความยาวของลิงก์ (รูปที่ 4)

เส้นขาดแบบปิดธรรมดาเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมหากจุดเชื่อมต่อข้างเคียงไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (รูปที่ 5)

แทนที่ตัวเลขเฉพาะ เช่น 3 ในคำว่า "รูปหลายเหลี่ยม" แทนส่วน "จำนวนมาก" คุณจะได้รูปสามเหลี่ยม หรือ 5. จากนั้น - รูปห้าเหลี่ยม โปรดทราบว่ามุมที่มีหลายมุมก็มีหลายด้าน ดังนั้นตัวเลขเหล่านี้จึงเรียกได้ว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยม

จุดยอดของเส้นประเรียกว่าจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม และจุดเชื่อมต่อของเส้นประเรียกว่าด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน: ภายในและภายนอก (รูปที่ 6)

รูปหลายเหลี่ยมระนาบหรือพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมเป็นส่วนจำกัดของระนาบที่ล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม

จุดยอดสองจุดของรูปหลายเหลี่ยมที่ปลายด้านหนึ่งเรียกว่าจุดติดกัน จุดยอดที่ไม่สิ้นสุดด้านใดด้านหนึ่งจะไม่อยู่ติดกัน

รูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด n และมีด้าน n เรียกว่า n-gon

แม้ว่าจำนวนด้านที่น้อยที่สุดของรูปหลายเหลี่ยมคือ 3 แต่เมื่อสามเหลี่ยมเชื่อมต่อกันจะสามารถสร้างรูปอื่นๆ ได้ ซึ่งก็จะเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้วย

ส่วนของเส้นเชื่อมต่อกัน ยอดเขาใกล้เคียงของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าเส้นทแยงมุม

รูปหลายเหลี่ยมจะเรียกว่านูนหากมันอยู่ในครึ่งระนาบเดียวกันโดยสัมพันธ์กับเส้นใดๆ ที่มีด้านข้างของมัน ในกรณีนี้ เส้นตรงนั้นถือเป็นของ HALF PLANE

มุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่จุดยอดที่กำหนดคือมุมที่เกิดจากด้านข้างมาบรรจบกันที่จุดยอดนี้

ลองพิสูจน์ทฤษฎีบท (เกี่ยวกับผลรวมของมุมของ n-gon ที่นูน): ผลรวมของมุมของ n-gon ที่นูนจะเท่ากับ 1800*(n - 2)

การพิสูจน์. ในกรณีที่ n=3 ทฤษฎีบทนั้นถูกต้อง ให้ A1A2...A n เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่กำหนด และ n>3 มาวาดเส้นทแยงมุมในนั้น (จากจุดยอดหนึ่ง) เนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมนูนออกมา เส้นทแยงมุมเหล่านี้จึงแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม n – 2 รูป ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมคือผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดนี้ ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมแต่ละรูปคือ 1800 และจำนวนสามเหลี่ยมเหล่านี้ n คือ 2 ดังนั้น ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมนูน n A1A2...A n คือ 1800* (n - 2) ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

มุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่จุดยอดที่กำหนดคือมุมที่อยู่ติดกับมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมที่จุดยอดนี้

รูปหลายเหลี่ยมนูนจะเรียกว่าปกติถ้าด้านทุกด้านเท่ากันและทุกมุมเท่ากัน

ดังนั้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงสามารถเรียกได้แตกต่างกัน - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติ สามเหลี่ยมด้านเท่าก็เป็นรูปสามเหลี่ยมปกติเช่นกัน ตัวเลขดังกล่าวเป็นที่สนใจของช่างฝีมือที่ตกแต่งอาคารมานานแล้ว พวกเขาสร้างลวดลายที่สวยงาม เช่น บนไม้ปาร์เก้ แต่ไม่สามารถใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดเพื่อทำไม้ปาร์เก้ได้ ไม้ปาร์เก้ไม่สามารถทำจากรูปแปดเหลี่ยมปกติได้ ความจริงก็คือแต่ละมุมมีค่าเท่ากับ 1,350 และหากจุดใดๆ เป็นจุดยอดของรูปแปดเหลี่ยมดังกล่าว ส่วนแบ่งของมุมเหล่านั้นจะเป็น 2,700 และไม่มีจุดใดที่รูปแปดเหลี่ยมที่สามจะพอดี: 3600 - 2700 = 900 แต่สำหรับ สี่เหลี่ยมแค่นี้ก็เพียงพอแล้ว ดังนั้นคุณสามารถทำไม้ปาร์เก้จากรูปแปดเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมปกติได้

ดาวก็ถูกต้องเช่นกัน ดาวห้าแฉกของเราเป็นดาวห้าเหลี่ยมปกติ และถ้าคุณหมุนสี่เหลี่ยมจัตุรัสรอบจุดศูนย์กลาง 450 คุณจะได้ดาวแปดเหลี่ยมปกติ

เส้นขาดคืออะไร? อธิบายว่าจุดยอดและจุดเชื่อมต่อของเส้นโพลีไลน์คืออะไร

เส้นไหนเรียกว่าเส้นเรียบง่าย?

เส้นไหนเรียกว่าเส้นปิด?

รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าอะไร? จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าอะไร? ด้านของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าอะไร?

รูปหลายเหลี่ยมใดเรียกว่าแบน? ยกตัวอย่างรูปหลายเหลี่ยม

n – สแควร์คืออะไร?

อธิบายว่าจุดยอดใดของรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ติดกัน และจุดใดที่ไม่อยู่ติดกัน

เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมคืออะไร?

รูปหลายเหลี่ยมใดเรียกว่านูน

อธิบายว่ามุมใดของรูปหลายเหลี่ยมที่เป็นมุมภายนอกและมุมใดเป็นมุมภายใน

รูปหลายเหลี่ยมใดที่เรียกว่าปกติ? ยกตัวอย่างรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ผลบวกของมุมของ n-gon ที่นูนเป็นเท่าใด? พิสูจน์สิ.

นักเรียนทำงานกับข้อความค้นหาคำตอบสำหรับคำถามที่เกิดขึ้นหลังจากนั้นกลุ่มผู้เชี่ยวชาญก็ถูกสร้างขึ้นซึ่งงานจะดำเนินการในประเด็นเดียวกัน: นักเรียนเน้นประเด็นหลักจัดทำบทสรุปสนับสนุนและนำเสนอข้อมูลในหนึ่งใน แบบฟอร์มกราฟิก เมื่อเสร็จงาน นักเรียนกลับเข้าสู่กลุ่มงานของตน

3. ระยะการสะท้อน -

ก) การประเมินความรู้ของตนเอง ท้าทายความรู้ขั้นต่อไป

b) ความเข้าใจและการจัดสรรข้อมูลที่ได้รับ

แผนกต้อนรับ: งานวิจัย.

รูปแบบงาน: รายบุคคล->คู่->กลุ่ม

คณะทำงานประกอบด้วยผู้เชี่ยวชาญในการตอบคำถามที่เสนอแต่ละหัวข้อ

เมื่อกลับมาที่คณะทำงาน ผู้เชี่ยวชาญจะแนะนำคำตอบสำหรับคำถามของเขาแก่สมาชิกในกลุ่มคนอื่นๆ กลุ่มแลกเปลี่ยนข้อมูลระหว่างสมาชิกทุกคนในคณะทำงาน ดังนั้นในทุก ๆ กลุ่มทำงานต้องขอบคุณผลงานของผู้เชี่ยวชาญที่ทำให้งานเป็นรูปเป็นร่าง ความคิดทั่วไปในหัวข้อที่กำลังศึกษาอยู่

วิจัยนักเรียน– กรอกตาราง.

รูปหลายเหลี่ยมปกติ การวาด จำนวนด้าน จำนวนจุดยอด ผลรวมของมุมภายในทั้งหมด การวัดระดับภายใน มุม องศาการวัดมุมภายนอก จำนวนเส้นทแยงมุม

ก) สามเหลี่ยม

B) รูปสี่เหลี่ยม

B) ห้าหลุม

ง) หกเหลี่ยม

D) งกอน

การแก้ปัญหาที่น่าสนใจในหัวข้อบทเรียน

1) รูปหลายเหลี่ยมปกติมีด้านกี่ด้าน โดยแต่ละด้านมีมุมภายในเท่ากับ 1350

2) ในรูปหลายเหลี่ยมมุมภายในทุกมุมจะเท่ากัน ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนี้สามารถเป็น 3600, 3800 ได้หรือไม่

3) เป็นไปได้ไหมที่จะสร้างรูปห้าเหลี่ยมที่มีมุม 100,103,110,110,116 องศา?

สรุปบทเรียน.

บันทึก การบ้าน: หน้า 66-72 ลำดับที่ 15,17 และงาน: ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ให้วาดเส้นตรงเพื่อแบ่งออกเป็นสามสามเหลี่ยม

การสะท้อนกลับในรูปแบบของการทดสอบ (บนไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ)

คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมคือรูปทรงเรขาคณิต ซึ่งปกติกำหนดให้เป็นเส้นขาดแบบปิดโดยไม่มีจุดตัดกันเอง (รูปหลายเหลี่ยมธรรมดา (รูปที่ 1a)) แต่บางครั้งก็อนุญาตให้มีจุดตัดกันเองได้ (ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมจึงไม่ง่าย)

จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม และส่วนต่างๆ เรียกว่าด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมจะเรียกว่าจุดติดกันหากเป็นจุดยอดของด้านใดด้านหนึ่ง ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดที่ไม่อยู่ติดกันของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าเส้นทแยงมุม

มุม (หรือมุมภายใน) ของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่จุดยอดที่กำหนดคือมุมที่เกิดจากด้านข้างมาบรรจบกันที่จุดยอดนี้ และมุมจะคำนวณจากด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มุมสามารถเกิน 180° ถ้ารูปหลายเหลี่ยมไม่นูน

มุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่จุดยอดที่กำหนดคือมุมที่อยู่ติดกับมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมที่จุดยอดนี้ โดยทั่วไป มุมภายนอกคือความแตกต่างระหว่าง 180° และมุมภายใน สำหรับ > 3 จุดยอดแต่ละจุดของ -gon จะมีเส้นทแยงมุม 3 เส้น ดังนั้นจำนวนเส้นทแยงมุมทั้งหมดของ -gon จึงเท่ากัน

รูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดสามจุดเรียกว่าสามเหลี่ยม โดยมีสี่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และมีห้ารูปห้าเหลี่ยม เป็นต้น

รูปหลายเหลี่ยมด้วย nเรียกว่าจุดยอด ไม่มีสี่เหลี่ยม.

รูปหลายเหลี่ยมแบนคือรูปที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมและส่วนจำกัดของพื้นที่ที่รูปหลายเหลี่ยมนั้นจำกัด

รูปหลายเหลี่ยมจะเรียกว่านูนหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่ง (เทียบเท่า) ต่อไปนี้:

• 1. อยู่ด้านหนึ่งของเส้นตรงใดๆ ที่เชื่อมจุดยอดที่อยู่ติดกัน (เช่น ส่วนขยายของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมไม่ตัดกับด้านอื่นๆ ของมัน)
• 2. เป็นจุดตัด (เช่น ส่วนร่วม) ของระนาบครึ่งระนาบหลายอัน
• 3. ส่วนใดๆ ที่มีจุดสิ้นสุดของรูปหลายเหลี่ยมจะถือเป็นส่วนนั้นทั้งหมด

รูปหลายเหลี่ยมนูนจะเรียกว่าปกติถ้าด้านทุกด้านเท่ากันและทุกมุมเท่ากัน เช่น สามเหลี่ยมด้านเท่า สี่เหลี่ยมจัตุรัส และห้าเหลี่ยม

กล่าวกันว่ารูปหลายเหลี่ยมนูนนั้นถูกจำกัดขอบเขตรอบวงกลม ถ้าทุกด้านสัมผัสกับวงกลมวงใดวงหนึ่ง

รูปหลายเหลี่ยมปกติคือรูปหลายเหลี่ยมที่ทุกมุมและทุกด้านเท่ากัน

คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยม:

1 แต่ละเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน โดยที่ >3 จะแยกย่อยเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนสองรูป

2 ผลรวมของมุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมนูนมีค่าเท่ากัน

D-vo: เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ที่ = 3 ชัดเจน ให้เราสมมติว่าทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับ -gon โดยที่ <, และพิสูจน์มันสำหรับ -gon

อนุญาต เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด. ลองวาดเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนี้กัน ตามทฤษฎีบทที่ 3 รูปหลายเหลี่ยมจะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมและสามเหลี่ยมนูน (รูปที่ 5) โดยสมมติฐานการเหนี่ยวนำ อีกด้านหนึ่ง.. เพิ่มความเท่าเทียมเหล่านี้และคำนึงถึงสิ่งนั้นด้วย (- ลำแสงมุมภายใน ) และ (- ลำแสงมุมภายใน ), เราได้รับ เมื่อเราได้รับ: .

3 รอบรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ คุณสามารถอธิบายวงกลมได้ และมีเพียงรูปเดียวเท่านั้น

D-vo: ปล่อยให้มันเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ และเป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม และ (รูปที่ 150) ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке เกี่ยวกับ.มาพิสูจน์กัน โอ = โอเอ 2 = เกี่ยวกับ =… = โอเอ ป . สามเหลี่ยม เกี่ยวกับหน้าจั่วดังนั้น เกี่ยวกับ= เกี่ยวกับ. ตามเกณฑ์ที่สองสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น เกี่ยวกับ = เกี่ยวกับ. เช่นเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า เกี่ยวกับ = เกี่ยวกับฯลฯ ดังนั้นประเด็น เกี่ยวกับมีระยะห่างจากจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมเท่ากัน จึงเป็นรูปวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง เกี่ยวกับรัศมี เกี่ยวกับถูกจำกัดขอบเขตเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยม

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่ามีวงกลมล้อมรอบเพียงวงเดียวเท่านั้น พิจารณาจุดยอดสามจุดของรูปหลายเหลี่ยม เช่น ก 2 , . เนื่องจากมีวงกลมเพียงวงเดียวที่ผ่านจุดเหล่านี้ แล้วก็รอบรูปหลายเหลี่ยม … คุณไม่สามารถอธิบายได้มากกว่าหนึ่งแวดวง

• 4 คุณสามารถเขียนวงกลมลงในรูปหลายเหลี่ยมปกติใดก็ได้ และมีเพียงรูปเดียวเท่านั้น
• 5 วงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมปกติจะสัมผัสกับด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมที่จุดกึ่งกลาง
• 6 จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูปหลายเหลี่ยมปกติเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปหลายเหลี่ยมเดียวกัน
• 7 สมมาตร:

พวกเขาบอกว่าร่างนั้นมีความสมมาตร (สมมาตร) หากมีการเคลื่อนไหว (ไม่เหมือนกัน) ที่แปลร่างนี้เป็นตัวมันเอง

• 7.1. สามเหลี่ยมทั่วไปไม่มีแกนหรือจุดศูนย์กลางสมมาตร มันไม่สมมาตร สามเหลี่ยมหน้าจั่ว (แต่ไม่ใช่ด้านเท่ากันหมด) มีแกนสมมาตรหนึ่งแกน: เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับฐาน
• 7.2. รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีแกนสมมาตร 3 แกน (มีเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับด้านข้าง) และสมมาตรแบบหมุนรอบจุดศูนย์กลางด้วยมุมการหมุน 120°

7.3 เอ็นกอนปกติใดๆ มีแกนสมมาตร n แกน โดยทุกแกนจะผ่านจุดศูนย์กลางของมัน นอกจากนี้ยังมีความสมมาตรในการหมุนรอบจุดศูนย์กลางด้วยมุมการหมุน

เมื่อเท่ากัน nแกนสมมาตรบางแกนผ่านจุดยอดตรงข้าม ส่วนบางแกนผ่านจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

สำหรับคี่ nแต่ละแกนจะผ่านด้านบนและตรงกลางของฝั่งตรงข้าม

จุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีด้านเป็นเลขคู่คือจุดศูนย์กลางของสมมาตร รูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีด้านเป็นจำนวนคี่ไม่มีจุดศูนย์กลางสมมาตร

8 ความคล้ายคลึงกัน:

ด้วยความคล้ายคลึงกัน และ -gon จะเข้าไปอยู่ใน -gon, ครึ่งระนาบเป็นครึ่งระนาบ จึงนูนออกมา n- มุมจะกลายเป็นนูน n-กอน

ทฤษฎีบท: หากด้านข้างและมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนมีความเท่ากัน:

ค่าสัมประสิทธิ์แท่นอยู่ที่ไหน

รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้ก็จะคล้ายกัน

• 8.1 อัตราส่วนของเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันสองรูปเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน
• 8.2. อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่คล้ายกันสองรูปจะเท่ากับกำลังสองของสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน

ทฤษฎีบทเส้นรอบรูปสามเหลี่ยมรูปหลายเหลี่ยม