กฎการแปลงสูตรลด สูตรลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บทความนี้มีไว้เพื่อศึกษารายละเอียด สูตรตรีโกณมิติผี แดน รายการทั้งหมดสูตรลดขนาด แสดงตัวอย่างการใช้งาน และแสดงหลักฐานความถูกต้องของสูตร บทความนี้ยังมีกฎช่วยในการจำที่ช่วยให้คุณได้รับสูตรการลดลงโดยไม่ต้องจำแต่ละสูตร

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

สูตรลด. รายการ

สูตรการลดช่วยให้คุณสามารถลดฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานของมุมที่มีขนาดตามใจชอบไปจนถึงฟังก์ชันของมุมที่วางอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา (ตั้งแต่ 0 ถึง π 2 เรเดียน) การทำมุมตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศานั้นสะดวกกว่าการทำงานด้วยค่าที่มากตามอำเภอใจมาก ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมสูตรการลดลงจึงถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหาตรีโกณมิติ

ก่อนที่เราจะเขียนสูตรด้วยตนเอง ให้เราชี้แจงประเด็นสำคัญหลายประการเพื่อทำความเข้าใจก่อน

• ข้อโต้แย้ง ฟังก์ชันตรีโกณมิติในสูตรการลดคือมุมของรูปแบบ ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z โดยที่ z คือจำนวนเต็มใดๆ และ α คือมุมการหมุนตามต้องการ
• ไม่จำเป็นต้องเรียนรู้สูตรลดทั้งหมดซึ่งจำนวนนี้ค่อนข้างน่าประทับใจ มีกฎช่วยในการจำที่ทำให้อนุมานได้ง่าย สูตรที่ต้องการ- เราจะพูดถึงกฎช่วยในการจำในภายหลัง

ตอนนี้เรามาดูสูตรการลดขนาดกันโดยตรง

สูตรการลดช่วยให้คุณสามารถเปลี่ยนจากการทำงานกับมุมที่กว้างโดยพลการไปเป็นการทำงานกับมุมตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา มาเขียนสูตรทั้งหมดในรูปแบบตารางกัน

สูตรลด

บาป α + 2 π z = บาป α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - บาป α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = บาป α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

ในกรณีนี้ สูตรจะเขียนเป็นเรเดียน อย่างไรก็ตาม คุณยังสามารถเขียนโดยใช้องศาได้ แค่แปลงเรเดียนเป็นองศาก็เพียงพอแล้ว โดยแทนที่ π ด้วย 180 องศา

ตัวอย่างการใช้สูตรลด

เราจะแสดงวิธีใช้สูตรการลดลงและวิธีใช้สูตรเหล่านี้ในการแก้ตัวอย่างเชิงปฏิบัติ

มุมที่อยู่ใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่สามารถแสดงได้ในรูปแบบเดียว แต่แสดงได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถแสดงได้ในรูปแบบ ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z มาสาธิตสิ่งนี้กัน

ลองหามุม α = 16 π 3 กัน มุมนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

ใช้สูตรการลดขนาดที่เหมาะสม ขึ้นอยู่กับการแสดงมุม

ลองใช้มุมเดียวกัน α = 16 π 3 แล้วคำนวณแทนเจนต์ของมัน

ตัวอย่างที่ 1: การใช้สูตรการลด

α = 16 π 3 , เสื้อ ก α = ?

ให้เราแทนมุม α = 16 π 3 โดยที่ α = π + π 3 + 2 π 2

การแสดงมุมนี้จะสอดคล้องกับสูตรการลดขนาด

เสื้อ ก (π + α + 2 π z) = เสื้อ ก α

เสื้อ ก 16 π 3 = เสื้อ ก π + π 3 + 2 π 2 = เสื้อ ก π 3

เมื่อใช้ตาราง เราจะระบุค่าของแทนเจนต์

ตอนนี้เราใช้การแสดงมุมอื่น α = 16 π 3

ตัวอย่างที่ 2: การใช้สูตรการลด

α = 16 π 3 , เสื้อ ก α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 เสื้อ ก 16 π 3 = เสื้อ ก - 2 π 3 + 2 π 3 = - เสื้อ ก 2 π 3 = - (- 3) = 3

ในที่สุด สำหรับการแทนค่ามุมที่สามที่เราเขียน

ตัวอย่างที่ 3 การใช้สูตรการลดขนาด

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3

ทีนี้ลองยกตัวอย่างการใช้สูตรลดที่ซับซ้อนกว่านี้กัน

ตัวอย่างที่ 4: การใช้สูตรการลด

ลองจินตนาการถึงบาป 197° ผ่านไซน์และโคไซน์ของมุมแหลม

เพื่อให้สามารถใช้สูตรลดขนาดได้ คุณต้องแสดงมุม α = 197 ° ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง

± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z ตามเงื่อนไขของปัญหา มุมจะต้องแหลม ดังนั้นเราจึงมีสองวิธีในการนำเสนอ:

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

เราได้รับ

บาป 197° = บาป (180° + 17°) บาป 197° = บาป (270° - 73°)

ตอนนี้เรามาดูสูตรการลดไซน์และเลือกสูตรที่เหมาะสม

บาป (π + α + 2 πz) = - บาปα (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosαบาป 197 ° = บาป (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - บาป 17 °บาป 197 ° = บาป (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °

กฎช่วยในการจำ

มีสูตรลดมากมาย และโชคดีที่ไม่จำเป็นต้องท่องจำ มีความสม่ำเสมอซึ่งสามารถหาสูตรการลดลงสำหรับมุมและฟังก์ชันตรีโกณมิติที่แตกต่างกันได้ รูปแบบเหล่านี้เรียกว่ากฎช่วยในการจำ การช่วยจำเป็นศิลปะแห่งการท่องจำ กฎช่วยในการจำประกอบด้วยสามส่วนหรือมีสามขั้นตอน

กฎช่วยในการจำ

1. อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันดั้งเดิมแสดงในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้:

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

มุม α ต้องอยู่ระหว่าง 0 ถึง 90 องศา

2. มีการกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติดั้งเดิม ฟังก์ชันที่เขียนทางด้านขวาของสูตรจะมีเครื่องหมายเดียวกัน

3. สำหรับมุม ± α + 2 πz และ π ± α + 2 πz ชื่อของฟังก์ชันดั้งเดิมยังคงไม่เปลี่ยนแปลง และสำหรับมุม π 2 ± α + 2 πz และ 3 π 2 ± α + 2 πz ตามลำดับ จะเปลี่ยนเป็น “โคฟังก์ชัน”. ไซน์ - โคไซน์ แทนเจนต์ - โคแทนเจนต์

หากต้องการใช้ตัวช่วยช่วยจำสำหรับสูตรการลดลง คุณจะต้องสามารถระบุสัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยพิจารณาจากหนึ่งในสี่ของวงกลมหนึ่งหน่วย ลองดูตัวอย่างการใช้งาน กฎช่วยในการจำ.

ตัวอย่างที่ 1: การใช้กฎช่วยในการจำ

ให้เราเขียนสูตรการลดขนาดสำหรับ cos π 2 - α + 2 πz และ t g π - α + 2 πz α คือบันทึกของควอเตอร์แรก

1. เนื่องจากตามเงื่อนไข α คือบันทึกของควอเตอร์แรก เราจึงข้ามจุดแรกของกฎไป

2. กำหนดสัญญาณของฟังก์ชัน cos π 2 - α + 2 πz และ t g π - α + 2 πz มุม π 2 - α + 2 πz ก็เป็นมุมของควอเตอร์แรกด้วย และมุม π - α + 2 πz อยู่ในควอเตอร์ที่สอง ในไตรมาสแรก ฟังก์ชันโคไซน์เป็นบวก และแทนเจนต์ในไตรมาสที่สองมีเครื่องหมายลบ มาเขียนว่าสูตรที่ต้องการจะมีลักษณะอย่างไรในขั้นตอนนี้

เพราะ π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. ตามจุดที่สาม สำหรับมุม π 2 - α + 2 π ชื่อของฟังก์ชันจะเปลี่ยนเป็นขงจื๊อ และสำหรับมุม π - α + 2 πz ยังคงเหมือนเดิม มาเขียนกัน:

เพราะ π 2 - α + 2 πz = + บาป α t g π - α + 2 πz = - t g α

ตอนนี้เรามาดูสูตรที่ให้ไว้ข้างต้น และตรวจสอบให้แน่ใจว่ากฎช่วยในการจำใช้งานได้

ลองดูตัวอย่างที่มีมุมเฉพาะ α = 777° ให้เราลดไซน์อัลฟ่าให้เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมแหลม

ตัวอย่างที่ 2: การใช้กฎช่วยในการจำ

1. ลองนึกภาพมุม α = 777 ° นิ้ว แบบฟอร์มที่จำเป็น

777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2

2. มุมเดิมคือมุมของควอเตอร์แรก ซึ่งหมายความว่าไซน์ของมุมมีเครื่องหมายบวก ด้วยเหตุนี้เราจึงมี:

3. บาป 777° = บาป (57° + 360° 2) = บาป 57° บาป 777° = บาป (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าการกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างถูกต้องและแสดงมุมอย่างถูกต้องเมื่อใช้กฎช่วยในการจำมีความสำคัญเพียงใด มาทำซ้ำอีกครั้ง

สำคัญ!

มุมαต้องคม!

ลองคำนวณแทนเจนต์ของมุม 5 π 3 กัน จากตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติหลักคุณสามารถใช้ค่า t g 5 π 3 = - 3 ได้ทันที แต่เราจะใช้กฎช่วยในการจำ

ตัวอย่างที่ 3: การใช้กฎช่วยในการจำ

ลองจินตนาการถึงมุม α = 5 π 3 ในรูปแบบที่ต้องการแล้วใช้กฎนี้

เสื้อ ก 5 π 3 = เสื้อ ก 3 π 2 + π 6 = - ค เสื้อ ก π 6 = - 3 เสื้อ ก 5 π 3 = เสื้อ ก 2 π - π 3 = - เสื้อ ก π 3 = - 3

หากเราแทนมุมอัลฟ่าในรูปแบบ 5 π 3 = π + 2 π 3 ผลลัพธ์ของการใช้กฎช่วยในการจำจะไม่ถูกต้อง

เสื้อ ก 5 π 3 = เสื้อ ก π + 2 π 3 = - เสื้อ ก 2 π 3 = - (- 3) = 3

ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องเกิดจากการที่มุม 2 π 3 ไม่ใช่มุมแหลม

การพิสูจน์สูตรการลดจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของคาบและสมมาตรของฟังก์ชันตรีโกณมิติ รวมถึงคุณสมบัติของการเลื่อนตามมุม π 2 และ 3 π 2 การพิสูจน์ความถูกต้องของสูตรการลดทั้งหมดสามารถดำเนินการได้โดยไม่ต้องคำนึงถึงระยะ 2 πzเนื่องจากมันแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของมุมด้วยจำนวนเต็ม การปฏิวัติเต็มรูปแบบและเพียงสะท้อนคุณสมบัติของคาบ

สูตร 16 สูตรแรกต่อจากคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานโดยตรง ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

นี่คือข้อพิสูจน์ถึงสูตรการลดไซน์และโคไซน์

บาป π 2 + α = cos α และ cos π 2 + α = - sin α

ลองดูที่วงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นหลังจากหมุนผ่านมุม α ไปที่จุด A 1 x, y และหลังจากหมุนผ่านมุม π 2 + α - ไปยังจุด A 2 จากทั้งสองจุดเราวาดตั้งฉากกับแกนแอบซิสซา

สามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป O A 1 H 1 และ O A 2 H 2 เท่ากันในด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมที่อยู่ติดกัน จากตำแหน่งของจุดบนวงกลมและความเท่ากันของสามเหลี่ยม เราสามารถสรุปได้ว่าจุด A 2 มีพิกัด A 2 - y, x โดยใช้คำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ เราเขียนว่า:

บาป α = y, cos α = x, บาป π 2 + α = x, cos π 2 + α = y

บาป π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - บาป α

เราสามารถเขียนได้โดยคำนึงถึงอัตลักษณ์พื้นฐานของตรีโกณมิติและสิ่งที่เพิ่งได้รับการพิสูจน์แล้ว

t g π 2 + α = บาป π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - บาป α cos α = - ที ก α

หากต้องการพิสูจน์สูตรการลดลงด้วยอาร์กิวเมนต์ π 2 - α จะต้องนำเสนอในรูปแบบ π 2 + (- α) ตัวอย่างเช่น:

cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - บาป (- α) = บาป α

การพิสูจน์ใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติพร้อมอาร์กิวเมนต์ของเครื่องหมายตรงกันข้าม

สูตรการลดอื่นๆ ทั้งหมดสามารถพิสูจน์ได้จากสูตรที่เขียนไว้ข้างต้น

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

สูตรการลดคือความสัมพันธ์ที่อนุญาตให้คุณเปลี่ยนจากไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ที่มีมุม `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` เป็นฟังก์ชันเดียวกันของมุม `\alpha` ซึ่งอยู่ในควอเตอร์แรกของวงกลมหน่วย ดังนั้นสูตรการลดขนาดจึง "นำ" เราไปทำงานกับมุมในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศาซึ่งสะดวกมาก

รวมแล้วมีสูตรลดถึง 32 สูตร พวกเขาจะมีประโยชน์อย่างไม่ต้องสงสัยในระหว่างการสอบ Unified State การสอบและการทดสอบ แต่ให้เราเตือนคุณทันทีว่าไม่จำเป็นต้องจดจำมัน! คุณต้องใช้เวลาเล็กน้อยและทำความเข้าใจอัลกอริธึมสำหรับแอปพลิเคชันจากนั้นการได้รับความเท่าเทียมกันที่จำเป็นในเวลาที่เหมาะสมก็ไม่ใช่เรื่องยาก

ขั้นแรก ให้เขียนสูตรการลดทั้งหมด:

สำหรับมุม (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) หรือ (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` บาป(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

สำหรับมุม (`\pi \pm \alpha`) หรือ (`180^\circ \pm \alpha`):

`บาป(\pi - \alpha)=บาป \ \alpha;` ` บาป(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

สำหรับมุม (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) หรือ (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

สำหรับมุม (`2\pi \pm \alpha`) หรือ (`360^\circ \pm \alpha`):

`บาป(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` บาป(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

คุณมักจะพบสูตรการลดลงในรูปแบบของตารางที่เขียนมุมเป็นเรเดียน:

หากต้องการใช้งาน เราจำเป็นต้องเลือกแถวที่มีฟังก์ชันที่เราต้องการ และคอลัมน์ที่มีอาร์กิวเมนต์ที่ต้องการ ตัวอย่างเช่น หากต้องการค้นหาว่า ` sin(\pi + \alpha)` มีค่าเท่ากับการใช้ตารางอะไร ก็เพียงพอแล้วที่จะหาคำตอบที่จุดตัดของแถว ` sin \beta` และคอลัมน์ ` \pi + \อัลฟ่า`. เราได้ ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`

และตารางที่สองที่คล้ายกันซึ่งมุมเขียนเป็นองศา:

กฎช่วยในการจำสูตรลดหรือวิธีจำ

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว ไม่จำเป็นต้องจดจำความสัมพันธ์ข้างต้นทั้งหมด หากคุณพิจารณาอย่างรอบคอบ คุณอาจสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง ช่วยให้เราสามารถกำหนดกฎช่วยในการจำ (ช่วยในการจำ - จำ) ซึ่งเราสามารถรับสูตรการลดลงได้อย่างง่ายดาย

ขอให้เราทราบทันทีว่าในการใช้กฎนี้ คุณจะต้องระบุ (หรือจดจำ) สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติในส่วนต่างๆ ของวงกลมหน่วยได้ดี
วัคซีนประกอบด้วย 3 ระยะ:

1. 1. อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันจะต้องแสดงเป็น `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha` และ `\alpha` จำเป็นต้องเป็นมุมแหลม (ตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา)
   2. สำหรับอาร์กิวเมนต์ `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` ฟังก์ชันตรีโกณมิติของนิพจน์ที่ถูกแปลงจะเปลี่ยนเป็นโคฟังก์ชัน กล่าวคือ ตรงกันข้าม (sine เป็นโคไซน์ แทนเจนต์กับโคแทนเจนต์ และในทางกลับกัน) สำหรับอาร์กิวเมนต์ `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง
   3. มีการกำหนดสัญญาณของฟังก์ชันดั้งเดิม ฟังก์ชันผลลัพธ์ทางด้านขวาจะมีเครื่องหมายเดียวกัน

หากต้องการดูว่ากฎนี้สามารถนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร เรามาแปลงสำนวนต่างๆ กัน:

1. `cos(\pi + \alpha)`.

ฟังก์ชันจะไม่กลับด้าน มุม `\pi + \alpha` อยู่ในควอเตอร์ที่สาม โคไซน์ในไตรมาสนี้มีเครื่องหมาย "-" ดังนั้นฟังก์ชันที่แปลงแล้วจะมีเครื่องหมาย "-" ด้วย

คำตอบ: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `บาป(\frac (3\pi)2 - \อัลฟา)`

ตามกฎช่วยในการจำ ฟังก์ชันจะกลับรายการ มุม `\frac (3\pi)2 - \alpha` อยู่ในควอเตอร์ที่สาม ไซน์ตรงนี้มีเครื่องหมาย "-" ดังนั้นผลลัพธ์ก็จะมีเครื่องหมาย "-" ด้วย

คำตอบ: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \อัลฟา)`

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\อัลฟา))`. ลองแทน `3\pi` เป็น `2\pi+\pi` กัน `2\pi` คือคาบของฟังก์ชัน

ข้อสำคัญ: ฟังก์ชัน `cos \alpha` และ `sin \alpha` มีจุด `2\pi` หรือ `360^\circ` ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้จะไม่เปลี่ยนแปลงหากอาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นหรือลดลงตามค่าเหล่านี้

จากสิ่งนี้ นิพจน์ของเราสามารถเขียนได้ดังนี้: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)` เมื่อใช้กฎช่วยในการจำสองครั้ง เราจะได้: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

คำตอบ: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`

กฎม้า

จุดที่สองของกฎช่วยในการช่วยจำที่อธิบายไว้ข้างต้นเรียกอีกอย่างว่ากฎม้าของสูตรการลด สงสัยว่าทำไมถึงเป็นม้า?

ดังนั้นเราจึงมีฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์ `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, จุด `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` เป็นกุญแจสำคัญ โดยอยู่บนแกนพิกัด `\pi` และ `2\pi` อยู่บนแกน x แนวนอน และ `\frac (\pi)2` และ `\frac (3\pi)2` อยู่บนแกนแนวตั้ง

เราถามตัวเองด้วยคำถาม: “ฟังก์ชันเปลี่ยนเป็น cofunction หรือไม่?” ในการตอบคำถามนี้ คุณต้องขยับศีรษะไปตามแกนซึ่งมีจุดสำคัญอยู่

นั่นคือสำหรับการโต้แย้งที่มีประเด็นสำคัญอยู่บนแกนนอน เราจะตอบว่า "ไม่" โดยส่ายหัวไปด้านข้าง และสำหรับมุมที่มีจุดสำคัญอยู่บนแกนตั้ง เราก็ตอบว่า "ใช่" โดยพยักหน้าจากบนลงล่างเหมือนม้า :)

เราขอแนะนำให้ดูวิดีโอบทช่วยสอนที่ผู้เขียนอธิบายรายละเอียดวิธีจำสูตรการลดโดยไม่ต้องจำ

ตัวอย่างการใช้งานจริงของการใช้สูตรลด

การใช้สูตรลดเริ่มในเกรด 9 และ 10 ปัญหามากมายในการใช้งานถูกส่งไปยังการสอบ Unified State ต่อไปนี้เป็นปัญหาบางส่วนที่คุณจะต้องใช้สูตรเหล่านี้:

• ปัญหาในการแก้สามเหลี่ยมมุมฉาก
• การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติเชิงตัวเลขและตัวอักษร การคำนวณค่าของนิพจน์เหล่านั้น
• งานสามมิติ

ตัวอย่างที่ 1 คำนวณโดยใช้สูตรการลดขนาด a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`

วิธีแก้: ก) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

ค) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

ง) `บาป 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`

ตัวอย่างที่ 2 เมื่อแสดงโคไซน์ผ่านไซน์โดยใช้สูตรการลดขนาด ให้เปรียบเทียบตัวเลข: 1) `sin \frac (9\pi)8` และ `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` และ `cos \frac (3\pi)10`

วิธีแก้: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-บาป \frac (\pi)8> -บาป \frac (3\pi)8`

`บาป \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`บาป \frac (\pi)8

`บาป \frac (\pi)8

ก่อนอื่นให้เราพิสูจน์สูตรสองสูตรสำหรับไซน์และโคไซน์ของอาร์กิวเมนต์ `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` และ ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. ที่เหลือก็มาจากพวกมัน

ลองใช้วงกลมหนึ่งหน่วยแล้วจุด A โดยมีพิกัด (1,0) ให้หลังจากหันไป มุม `\alpha` มันจะไปที่จุด `A_1(x, y)` และหลังจากหมุนมุม `\frac (\pi)2 + \alpha` ไปยังจุด `A_2(-y, x)` เมื่อปล่อยเส้นตั้งฉากจากจุดเหล่านี้ไปที่เส้น OX เราจะเห็นว่าสามเหลี่ยม `OA_1H_1` และ `OA_2H_2` เท่ากัน เนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมที่อยู่ติดกันเท่ากัน จากนั้น ตามคำจำกัดความของไซน์และโคไซน์ เราสามารถเขียน `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \อัลฟา)=-y` เราจะเขียนได้ว่า ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` และ ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha` ได้ที่ไหน ซึ่งพิสูจน์การลดลงได้ที่ไหน สูตรสำหรับมุมไซน์และโคไซน์ `\frac (\pi)2 + \alpha`

มาจากคำจำกัดความของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ เราจะได้ ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` และ ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha` ซึ่งพิสูจน์ว่า สูตรการรีดิวซ์สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุม `\frac (\pi)2 + \alpha`

หากต้องการพิสูจน์สูตรด้วยอาร์กิวเมนต์ `\frac (\pi)2 - \alpha` ก็เพียงพอที่จะแสดงเป็น `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` และทำตามเส้นทางเดียวกันกับข้างต้น ตัวอย่างเช่น `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`

มุม `\pi + \alpha` และ `\pi - \alpha` สามารถแสดงเป็น `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` และ `\frac (\pi) ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` ตามลำดับ

และ `\frac (3\pi)2 + \alpha` และ `\frac (3\pi)2 - \alpha` เป็น `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` และ `\pi +(\frac (\pi)2-\อัลฟา)`.

พวกมันอยู่ในส่วนตรีโกณมิติของคณิตศาสตร์ สิ่งสำคัญคือการลดฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมให้อยู่ในรูปแบบที่ "เรียบง่าย" มากขึ้น สามารถเขียนได้มากมายเกี่ยวกับความสำคัญของการรู้จักพวกเขา สูตรนี้มีถึง 32 สูตรแล้ว!

ไม่ต้องกังวล คุณไม่จำเป็นต้องเรียนรู้มัน เช่นเดียวกับสูตรอื่นๆ ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ ไม่จำเป็นต้องกรอกข้อมูลที่ไม่จำเป็นในหัว คุณต้องจำ "กุญแจ" หรือกฎหมาย และการจำหรือรับสูตรที่ต้องการจะไม่เป็นปัญหา ยังไงก็ตามเมื่อฉันเขียนบทความ “... คุณต้องเรียนรู้!!!” - นี่หมายความว่าจำเป็นต้องเรียนรู้จริงๆ

หากคุณไม่คุ้นเคยกับสูตรการลดความเรียบง่ายของการได้มาจะทำให้คุณประหลาดใจ - มี "กฎหมาย" ที่ช่วยให้ทำสิ่งนี้ได้อย่างง่ายดาย และคุณสามารถเขียนสูตรใดก็ได้จากทั้งหมด 32 สูตรภายใน 5 วินาที

ฉันจะแสดงรายการเฉพาะปัญหาบางอย่างที่จะปรากฏในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์โดยที่ไม่มีความรู้เกี่ยวกับสูตรเหล่านี้มีความเป็นไปได้สูงที่จะล้มเหลวในการแก้ไข ตัวอย่างเช่น:

– ปัญหาในการแก้สามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่เรากำลังพูดถึงมุมภายนอก และปัญหาของมุมภายใน สูตรเหล่านี้บางสูตรก็จำเป็นเช่นกัน

– งานในการคำนวณค่าของนิพจน์ตรีโกณมิติ การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติเชิงตัวเลข การแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติตามตัวอักษร

– ปัญหาเกี่ยวกับแทนเจนต์และความหมายทางเรขาคณิตของแทนเจนต์ จำเป็นต้องมีสูตรการลดแทนเจนต์ รวมถึงปัญหาอื่นๆ

– ปัญหาสามมิติ ในระหว่างการแก้ปัญหา มักจะจำเป็นต้องหาไซน์หรือโคไซน์ของมุมที่อยู่ในช่วง 90 ถึง 180 องศา

และนี่เป็นเพียงประเด็นที่เกี่ยวข้องกับการสอบ Unified State และในหลักสูตรพีชคณิตเองก็มีปัญหามากมายซึ่งวิธีแก้ปัญหาไม่สามารถทำได้หากไม่มีความรู้เกี่ยวกับสูตรการลดลง

แล้วมันนำไปสู่อะไร และสูตรที่ระบุช่วยให้เราแก้ปัญหาได้ง่ายขึ้นได้อย่างไร?

ตัวอย่างเช่น คุณต้องหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ของมุมใดๆ ตั้งแต่ 0 ถึง 450 องศา:

มุมอัลฟามีตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา

* * *

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเข้าใจ "กฎหมาย" ที่ใช้ที่นี่:

1. หาเครื่องหมายของฟังก์ชันในจตุภาคที่สอดคล้องกัน

ฉันขอเตือนคุณ:

2. จำสิ่งต่อไปนี้:

ฟังก์ชั่นเปลี่ยนเป็น cofunction

ฟังก์ชั่นไม่เปลี่ยนเป็น cofunction

แนวคิดนี้หมายถึงอะไร - ฟังก์ชันเปลี่ยนเป็น cofunction?

คำตอบ: ไซน์เปลี่ยนเป็นโคไซน์หรือในทางกลับกัน แทนเจนต์เป็นโคแทนเจนต์หรือในทางกลับกัน

แค่นั้นแหละ!

ตอนนี้ตามกฎหมายที่นำเสนอเราจะเขียนสูตรการลดหลายสูตรด้วยตัวเอง:

มุมนี้อยู่ในควอเตอร์ที่สาม โคไซน์ในไตรมาสที่สามเป็นลบ เราไม่เปลี่ยนฟังก์ชันเป็น cofunction เนื่องจากเรามี 180 องศา ซึ่งหมายความว่า:

มุมอยู่ที่ไตรมาสแรก ไซน์ในไตรมาสแรกเป็นบวก เราไม่เปลี่ยนฟังก์ชันเป็น cofunction เนื่องจากเรามี 360 องศาซึ่งหมายความว่า:

นี่เป็นการยืนยันเพิ่มเติมอีกประการหนึ่งว่าไซน์ของมุมที่อยู่ติดกันเท่ากัน:

มุมอยู่ที่ไตรมาสที่สอง ไซน์ในไตรมาสที่สองเป็นบวก เราไม่เปลี่ยนฟังก์ชันเป็น cofunction เนื่องจากเรามี 180 องศา ซึ่งหมายความว่า:

ทำงานแต่ละสูตรทั้งทางจิตใจหรือเป็นลายลักษณ์อักษร แล้วคุณจะมั่นใจได้ว่าไม่มีอะไรซับซ้อน

***

ในบทความเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา ข้อเท็จจริงต่อไปนี้ถูกบันทึกไว้ - ไซน์ของมุมแหลมหนึ่งมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับโคไซน์ของมุมแหลมอีกมุมหนึ่งในนั้น

อยู่ตรงกลางจุดหนึ่ง ก.
α - มุมแสดงเป็นเรเดียน

คำนิยาม
ไซน์ (บาป α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาตรงข้าม |BC| ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|

โคไซน์ (คอส α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|

สัญกรณ์ที่ยอมรับ

;
;
.

;
;
.

กราฟของฟังก์ชันไซน์ y = sin x

กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ y = cos x

คุณสมบัติของไซน์และโคไซน์

ความเป็นงวด

ฟังก์ชัน y = บาป xและ ย = เพราะ xเป็นระยะกับช่วงเวลา 2π.

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันไซน์เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันโคไซน์เป็นเลขคู่

ขอบเขตของคำจำกัดความและค่านิยม สุดขั้ว เพิ่ม ลด

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์มีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ กล่าวคือ สำหรับ x ทั้งหมด (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักแสดงอยู่ในตาราง (n - จำนวนเต็ม)

	ย= บาป x	ย= เพราะ x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
ช่วงของค่า	-1 ≤ ย ≤ 1	-1 ≤ ย ≤ 1
เพิ่มขึ้น
จากมากไปน้อย
แม็กซิมา, y = 1
ขั้นต่ำ, y = - 1
ศูนย์, y = 0
จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0	ย= 0	ย= 1

สูตรพื้นฐาน

ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์

สูตรไซน์และโคไซน์จากผลรวมและผลต่าง

;
;

สูตรผลคูณของไซน์และโคไซน์

สูตรผลรวมและผลต่าง

แสดงไซน์ผ่านโคไซน์

;
;
;
.

แสดงโคไซน์ผ่านไซน์

;
;
;
.

การแสดงออกผ่านแทนเจนต์

; .

เมื่อใด เรามี:
; .

ที่ :
; .

ตารางไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์

การแสดงออกผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน

;

สูตรของออยเลอร์

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

- - การหาสูตร > > >

อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
{ -∞ < x < +∞ }

เซแคนต์, โคซีแคนต์

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของไซน์และโคไซน์คืออาร์คไซน์และอาร์กโคไซน์ตามลำดับ

อาร์คซิน, อาร์คซิน

อาร์คโคไซน์ อาร์คคอส

วรรณกรรมที่ใช้:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552

และอีกปัญหา B11 ในหัวข้อเดียวกัน - จากการสอบ Unified State จริงในวิชาคณิตศาสตร์

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ในบทช่วยสอนแบบวิดีโอสั้นๆ นี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีการสมัคร สูตรลดเพื่อแก้ปัญหาจริง B11 จากการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ อย่างที่คุณเห็น เรามีนิพจน์ตรีโกณมิติสองนิพจน์ แต่ละนิพจน์ประกอบด้วยไซน์และโคไซน์ ตลอดจนข้อโต้แย้งเชิงตัวเลขที่ค่อนข้างโหดร้าย

ก่อนที่จะแก้ไขปัญหาเหล่านี้ เรามาจำไว้ว่าสูตรการลดคืออะไร ดังนั้นหากเรามีสำนวนเช่น:

จากนั้นเราก็สามารถกำจัดเทอมแรก (ในรูป k · π/2) ได้ตามกฎพิเศษ มาวาดกันเถอะ วงกลมตรีโกณมิติทำเครื่องหมายประเด็นหลักไว้: 0, π/2; พาย; 3π/2 และ 2π จากนั้นเราดูเทอมแรกใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เรามี:

1. ถ้าคำที่เราสนใจอยู่บนแกนตั้งของวงกลมตรีโกณมิติ (เช่น 3π/2; π/2 เป็นต้น) ฟังก์ชันเดิมจะถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันร่วม โดยไซน์จะถูกแทนที่ด้วย a โคไซน์และโคไซน์ตรงกันข้ามกับไซน์
2. ถ้าเทอมของเราอยู่บนแกนนอน ฟังก์ชันเดิมจะไม่เปลี่ยนแปลง เราเพียงแต่ลบคำแรกในนิพจน์ออก เท่านี้ก็เรียบร้อย

ดังนั้นเราจึงได้ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ไม่มีเงื่อนไขในรูปแบบ k · π/2 อย่างไรก็ตาม งานที่มีสูตรการลดขนาดไม่ได้สิ้นสุดเพียงแค่นั้น ความจริงก็คือฟังก์ชันใหม่ของเราที่ได้รับหลังจาก "ทิ้ง" เทอมแรกอาจมีเครื่องหมายบวกหรือลบอยู่ข้างหน้า จะระบุสัญลักษณ์นี้ได้อย่างไร? ตอนนี้เราจะหาคำตอบ

ลองจินตนาการว่ามุม α ที่เหลืออยู่ในฟังก์ชันตรีโกณมิติหลังจากการแปลงมีการวัดระดับที่น้อยมาก แต่ “มาตรการเล็กน้อย” หมายความว่าอย่างไร? สมมติว่า α ∈ (0; 30°) - นี่ก็เพียงพอแล้ว ลองมาตัวอย่างของฟังก์ชัน:

จากนั้น ตามสมมติฐานของเราที่ว่า α ∈ (0; 30°) เราจะสรุปได้ว่ามุม 3π/2 − α อยู่ในควอเตอร์พิกัดที่สาม กล่าวคือ 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2) ให้เราจำสัญลักษณ์ของฟังก์ชันดั้งเดิมนั่นคือ y = sin x ในช่วงเวลานี้ แน่นอนว่าไซน์ในพิกัดควอเตอร์ที่สามนั้นเป็นค่าลบ เนื่องจากตามนิยามแล้ว ไซน์คือพิกัดของจุดสิ้นสุดของรัศมีเคลื่อนที่ (พูดง่ายๆ ก็คือ ไซน์คือพิกัด y) ทีนี้ พิกัด y ในระนาบครึ่งล่างจะใช้ค่าลบเสมอ ซึ่งหมายความว่าในไตรมาสที่สาม y ก็เป็นลบเช่นกัน

จากการสะท้อนเหล่านี้ เราสามารถเขียนนิพจน์สุดท้ายได้:

ปัญหา B11 - ตัวเลือก 1

เทคนิคเดียวกันนี้ค่อนข้างเหมาะสมสำหรับการแก้ปัญหา B11 จากการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือในปัญหา B11 จริงหลายๆ ข้อ แทนที่จะใช้การวัดเรเดียน (เช่น ตัวเลข π, π/2, 2π ฯลฯ) จะใช้การวัดระดับ (เช่น 90°, 180°, 270° และอื่นๆ) ลองดูงานแรก:

มาดูตัวเศษกันก่อน. cos 41° เป็นค่าที่ไม่ใช่ตาราง ดังนั้นเราจึงไม่สามารถทำอะไรกับมันได้ ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้นไปก่อน

ตอนนี้เรามาดูตัวส่วนกัน:

บาป 131° = บาป (90° + 41°) = cos 41°

แน่นอนว่านี่คือสูตรลด ดังนั้นไซน์จึงถูกแทนที่ด้วยโคไซน์ นอกจากนี้ มุม 41° ยังอยู่บนส่วนนั้น (0°; 90°) เช่น ในจตุภาคพิกัดแรก - ตรงตามที่จำเป็นในการใช้สูตรการลดลง แต่แล้ว 90° + 41° ก็เป็นควอเตอร์พิกัดที่สอง ฟังก์ชันเดิม y = sin x เป็นค่าบวก ดังนั้นเราจึงใส่เครื่องหมายบวกไว้หน้าโคไซน์ในขั้นตอนสุดท้าย (หรืออีกนัยหนึ่ง เราไม่ได้ใส่อะไรเลย)

ยังคงต้องจัดการกับองค์ประกอบสุดท้าย:

cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0.5

ตรงนี้เราจะเห็นว่า 180° คือแกนนอน ดังนั้นฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง: มีโคไซน์ - และโคไซน์ก็จะยังคงอยู่เช่นกัน แต่คำถามก็เกิดขึ้นอีกครั้ง: เครื่องหมายบวกหรือลบจะปรากฏก่อนนิพจน์ผลลัพธ์ cos 60° หรือไม่ โปรดทราบว่า 180° คือควอเตอร์พิกัดที่สาม โคไซน์ตรงนั้นเป็นลบ ดังนั้นโคไซน์ก็จะมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้าในที่สุด โดยรวมแล้ว เราได้โครงสร้าง −cos 60° = −0.5 - นี่คือค่าแบบตาราง ดังนั้นทุกอย่างจึงคำนวณได้ง่าย

ตอนนี้เราแทนที่ตัวเลขผลลัพธ์ลงในสูตรดั้งเดิมแล้วได้:

อย่างที่คุณเห็น จำนวน cos 41° ในตัวเศษและส่วนของเศษส่วนนั้นลดลงอย่างง่ายดาย และนิพจน์ปกติยังคงอยู่ ซึ่งเท่ากับ −10 ในกรณีนี้ เครื่องหมายลบสามารถนำออกและวางไว้หน้าเครื่องหมายเศษส่วน หรือ "เก็บ" ไว้ถัดจากตัวประกอบที่สองจนกระทั่งถึงขั้นตอนสุดท้ายของการคำนวณ ไม่ว่าในกรณีใด คำตอบจะเป็น -10 เพียงเท่านี้ ปัญหา B11 ก็ได้รับการแก้ไขแล้ว!

ปัญหา B14 - ตัวเลือก 2

มาต่อกันที่งานที่สองกันเลย เรามีเศษส่วนอยู่ข้างหน้าเราอีกครั้ง:

27° อยู่ในควอเตอร์พิกัดแรก ดังนั้นเราจะไม่เปลี่ยนแปลงอะไรที่นี่ แต่ต้องเขียน sin 117° (ตอนนี้ไม่มีกำลังสอง):

บาป 117° = บาป (90° + 27°) = cos 27°

เห็นได้ชัดว่าต่อหน้าเราอีกครั้ง สูตรลด: 90° คือแกนตั้ง ดังนั้นไซน์จะเปลี่ยนเป็นโคไซน์ นอกจากนี้ มุม α = 117° = 90° + 27° ยังอยู่ในจตุภาคพิกัดที่สอง ฟังก์ชันเดิม y = sin x เป็นค่าบวก ดังนั้น หลังจากการแปลงทั้งหมดแล้ว ก็ยังมีเครื่องหมายบวกอยู่หน้าโคไซน์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มีอะไรเพิ่มเข้าไป - เราปล่อยให้เป็นเช่นนั้น: cos 27°

เรากลับสู่นิพจน์ดั้งเดิมที่ต้องคำนวณ:

อย่างที่เราเห็น ในตัวส่วนหลังการแปลงเป็นพื้นฐาน เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ: sin 2 27° + cos 2 27° = 1 รวม −4: 1 = −4 - เราจึงพบคำตอบของปัญหาที่สอง B11

อย่างที่คุณเห็นด้วยความช่วยเหลือของสูตรการลดปัญหาดังกล่าวจากการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์จะได้รับการแก้ไขอย่างแท้จริงในสองสามบรรทัด ไม่มีไซน์ของผลรวมและโคไซน์ของผลต่าง สิ่งที่เราจำไว้ก็แค่วงกลมตรีโกณมิติเท่านั้น