กำหนดระยะห่างจากจุดถึงแนวหน้า การกำหนดระยะทาง

การกำหนดระยะทาง

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งและจากจุดหนึ่งไปอีกเส้น

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งถูกกำหนดโดยความยาวของเส้นตรงที่เชื่อมจุดเหล่านี้ ดังที่แสดงไว้ข้างต้น ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยวิธีสามเหลี่ยมมุมฉากหรือโดยการเปลี่ยนระนาบการฉายภาพ โดยย้ายส่วนไปยังตำแหน่งของเส้นระดับ

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกบรรทัดวัดโดยส่วนตั้งฉากที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง ส่วนของแนวตั้งฉากนี้จะแสดงเป็นขนาดเต็มบนระนาบการฉายภาพ หากถูกลากไปยังเส้นตรงที่ฉาย ดังนั้นก่อนอื่นจะต้องถ่ายโอนเส้นตรงไปยังตำแหน่งที่ยื่นออกมาจากนั้นจะต้องลดระดับตั้งฉากจากจุดที่กำหนดลงไป ในรูป 1 แสดงวิธีแก้ไขปัญหานี้ สำหรับการแปลโดยตรง ตำแหน่งทั่วไป AB วางอยู่ในตำแหน่งระดับแนวตรง x14 IIA1 B1 จากนั้น AB จะถูกถ่ายโอนไปยังตำแหน่งฉายภาพโดยแนะนำระนาบฉายภาพเพิ่มเติม P5 ซึ่งแกนฉายภาพใหม่ x45\A4 B4 จะถูกวาดขึ้นมา

รูปที่ 1

เช่นเดียวกับจุด A และ B จุด M ถูกฉายลงบนระนาบการฉายภาพ P5

เส้นโครง K5 ของฐาน K ของเส้นตั้งฉากที่ลดลงจากจุด M ถึงเส้น AB บนระนาบการฉายภาพ P5 จะตรงกับเส้นโครงที่สอดคล้องกันของจุด

A และ B เส้นโครง M5 K5 ของ MK ตั้งฉากคือค่าธรรมชาติของระยะห่างจากจุด M ถึงเส้นตรง AB

ในระบบของระนาบฉาย P4/P5 เส้นตั้งฉากกับ MK จะเป็นเส้นระดับ เนื่องจากมันอยู่ในระนาบขนานกับระนาบฉาย P5 ดังนั้นการฉายภาพ M4 K4 บนระนาบ P4 จึงขนานกับ x45 นั่นคือ ตั้งฉากกับการฉายภาพ A4 B4 เงื่อนไขเหล่านี้จะกำหนดตำแหน่งของเส้นโครง K4 ของฐานของเส้นโครง K ตั้งฉาก ซึ่งหาได้จากการวาดเส้นตรงจาก M4 ขนานกับ x45 จนกระทั่งตัดกับเส้นโครง A4 B4 เส้นโครงที่เหลือของเส้นตั้งฉากหาได้โดยการฉายจุด K ลงบนระนาบการฉายภาพ P1 และ P2

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

วิธีแก้ไขปัญหานี้แสดงไว้ในรูปที่ 1 2. ระยะห่างจากจุด M ถึงระนาบ (ABC) วัดโดยส่วนตั้งฉากที่ตกลงจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

รูปที่ 2

เนื่องจากแนวตั้งฉากกับระนาบที่ฉายเป็นเส้นระดับ เราจึงย้ายระนาบที่กำหนดไปยังตำแหน่งนี้ ซึ่งเป็นผลมาจากการที่บนระนาบการฉายภาพใหม่ที่แนะนำ P4 เราได้รับการฉายภาพที่เสื่อมลง C4 B4 ของระนาบ ABC ต่อไป เราฉายจุด M ไปยัง P4 ค่าธรรมชาติของระยะห่างจากจุด M ถึงระนาบถูกกำหนดโดยส่วนตั้งฉาก

[เอ็มเค]=[M4 K4]. เส้นโครงที่เหลือของเส้นตั้งฉากถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับปัญหาก่อนหน้านั่นคือ โดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าส่วน MK ในระบบของระนาบการฉายภาพ P1 / P4 เป็นเส้นระดับและการฉายภาพ M1 K1 นั้นขนานกับแกน

x14.

ระยะห่างระหว่างสองบรรทัด

ระยะห่างที่สั้นที่สุดระหว่างเส้นตรงที่ตัดกันวัดจากขนาดของส่วนของเส้นตั้งฉากทั่วไปที่ถูกตัดออกด้วยเส้นตรงเหล่านี้ ปัญหาได้รับการแก้ไขโดยการเลือก (อันเป็นผลมาจากการทดแทนสองครั้งติดต่อกัน) ระนาบการฉายภาพตั้งฉากกับเส้นที่ตัดกันเส้นใดเส้นหนึ่ง ในกรณีนี้ ส่วนตั้งฉากที่ต้องการจะขนานกับระนาบการฉายภาพที่เลือก และจะแสดงให้เห็นบนระนาบนั้นโดยไม่ผิดเพี้ยน ในรูป รูปที่ 3 แสดงเส้นตัดกันสองเส้นที่กำหนดโดยส่วน AB และ CD

รูปที่ 3

เริ่มแรกเส้นจะถูกฉายลงบนระนาบการฉายภาพ P4 ซึ่งขนานกับเส้นใดเส้นหนึ่ง เช่น AB และตั้งฉากกับ P1

บนระนาบการฉายภาพ P4 ส่วน AB จะถูกถ่ายทอดโดยไม่ผิดเพี้ยน จากนั้นส่วนต่างๆ จะถูกฉายลงบนระนาบใหม่ P5 ซึ่งตั้งฉากกับเส้น AB และระนาบ P4 เดียวกัน บนระนาบการฉายภาพ P5 การฉายภาพของส่วน AB ที่ตั้งฉากกับมันจะลดลงเป็นจุด A5 = B5 และค่าที่ต้องการ N5 M5 ของส่วน NM จะตั้งฉากกับ C5 D5 และแสดงเป็นขนาดเต็ม การใช้สายสื่อสารที่เหมาะสม การฉายภาพของส่วน MN จะถูกสร้างขึ้นจากต้นฉบับ

การวาดภาพ. ดังที่แสดงไว้ก่อนหน้านี้ เส้นโครง N4 M4 ของส่วนที่ต้องการบนระนาบ P4 นั้นขนานกับแกนฉายภาพ x45 เนื่องจากเป็นเส้นระดับในระบบของระนาบการฉายภาพ P4 / P5

งานกำหนดระยะทาง D ระหว่างเส้นตรงคู่ขนานสองเส้น AB ถึง CD เป็นกรณีพิเศษของเส้นก่อนหน้า (รูปที่ 4)

รูปที่ 4

ด้วยการแทนที่ระนาบการฉายภาพสองเท่า เส้นตรงขนานจะถูกถ่ายโอนไปยังตำแหน่งฉายภาพ ซึ่งเป็นผลมาจากการที่บนระนาบการฉายภาพ P5 เราจะมีเส้นโครงที่เสื่อมลงสอง A5 = B5 และ C5 = D5 ของเส้นตรง AB และ CD ระยะห่างระหว่างพวกเขา D จะเท่ากับมูลค่าตามธรรมชาติของมัน

ระยะห่างจากเส้นตรงถึงระนาบที่ขนานกับเส้นนั้นวัดโดยส่วนตั้งฉากที่ลากจากจุดใดๆ ของเส้นตรงไปยังระนาบ ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะเปลี่ยนระนาบตำแหน่งทั่วไปให้เป็นตำแหน่งของระนาบที่ฉายภาพ ใช้จุดตรง และการแก้ปัญหาจะลดลงเพื่อกำหนดระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

เพื่อกำหนดระยะห่างระหว่าง ระนาบขนานจำเป็นต้องถ่ายโอนไปยังตำแหน่งที่ฉายภาพและสร้างแนวตั้งฉากกับส่วนที่เสื่อมโทรมของเครื่องบินซึ่งส่วนที่ระหว่างพวกเขาจะเป็นระยะทางที่ต้องการ

ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งคือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง ในเรขาคณิตเชิงพรรณนา จะมีการกำหนดแบบกราฟิกโดยใช้อัลกอริธึมที่ให้ไว้ด้านล่าง

อัลกอริทึม

1. เส้นตรงจะถูกย้ายไปยังตำแหน่งที่จะขนานกับระนาบการฉายภาพใดๆ เพื่อจุดประสงค์นี้จึงใช้วิธีการเปลี่ยนการฉายภาพมุมฉาก
2. จากจุดหนึ่ง เส้นตั้งฉากจะถูกลากไปยังเส้นตรง โครงสร้างนี้ใช้ทฤษฎีบทการฉายภาพ มุมขวา.
3. ความยาวของเส้นตั้งฉากถูกกำหนดโดยการเปลี่ยนเส้นโครงหรือการใช้วิธีสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปต่อไปนี้แสดงให้เห็น การวาดภาพที่ซับซ้อนจุด M และเส้น b กำหนดโดยซีดีส่วน คุณต้องค้นหาระยะห่างระหว่างพวกเขา

ตามอัลกอริทึมของเรา สิ่งแรกที่ต้องทำคือย้ายเส้นไปยังตำแหน่งที่ขนานกับระนาบการฉายภาพ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าหลังจากทำการเปลี่ยนแปลงแล้ว ระยะห่างที่แท้จริงระหว่างจุดและเส้นไม่ควรเปลี่ยนแปลง ด้วยเหตุนี้จึงสะดวกที่จะใช้วิธีการเปลี่ยนเครื่องบินซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ในอวกาศ

ผลลัพธ์ของการก่อสร้างระยะแรกแสดงไว้ด้านล่าง รูปนี้แสดงให้เห็นว่าระนาบส่วนหน้าเพิ่มเติม P 4 ขนานกับ b อย่างไร ใน ระบบใหม่(P 1, P 4) จุด C"" 1, D"" 1, M"" 1 อยู่ที่ระยะห่างจากแกน X 1 เท่ากับ C"", D"", M"" จากแกน X

ดำเนินการส่วนที่สองของอัลกอริทึมจาก M"" 1 เราลดตั้งฉาก M"" 1 N"" 1 ไปที่เส้นตรง b"" 1 เนื่องจากมุมขวา MND ระหว่าง b และ MN ถูกฉายลงบนระนาบ P 4 ขนาดเต็ม. ใช้สายสื่อสารกำหนดตำแหน่งของจุด N" และดำเนินการฉายภาพ M"N" ของส่วน MN

ในขั้นตอนสุดท้ายคุณจะต้องกำหนดขนาดของส่วน MN จากการคาดการณ์ M"N" และ M"" 1 N"" 1 ในการทำเช่นนี้เราสร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก M"" 1 N"" 1 N 0 ซึ่งด้านคือ N"" 1 N 0 เท่ากับความแตกต่าง(YM 1 – Y N 1) ลบจุด M" และ N" ออกจากแกน X 1 ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก M"" 1 N 0 ของสามเหลี่ยม M"" 1 N"" 1 N 0 สอดคล้องกับระยะทางที่ต้องการจาก M ถึง b

วิธีแก้ปัญหาที่สอง

• ขนานไปกับแผ่น CD เราแนะนำระนาบส่วนหน้าใหม่ P 4 มันตัดกัน P 1 ตามแกน X 1 และ X 1 ∥C"D" ตามวิธีการเปลี่ยนเครื่องบินเรากำหนดเส้นโครงของจุด C"" 1, D"" 1 และ M"" 1 ดังแสดงในรูป
• ตั้งฉากกับ C"" 1 D"" 1 เราสร้างระนาบแนวนอนเพิ่มเติม P 5 โดยที่เส้นตรง b ถูกฉายไปที่จุด C" 2 = b" 2.
• ระยะห่างระหว่างจุด M และเส้น b ถูกกำหนดโดยความยาวของส่วน M" 2 C" 2 ซึ่งระบุด้วยสีแดง

งานที่คล้ายกัน:

155*. กำหนดขนาดธรรมชาติของส่วน AB ของเส้นตรงในตำแหน่งทั่วไป (รูปที่ 153, a)

สารละลาย. ดังที่ทราบกันดีว่าการฉายส่วนของเส้นตรงบนระนาบใด ๆ จะเท่ากับส่วนของตัวมันเอง (โดยคำนึงถึงขนาดของการวาด) หากขนานกับระนาบนี้

(รูปที่ 153,ข). จากนี้ไปโดยการเปลี่ยนรูปวาดจำเป็นต้องบรรลุความขนานของสี่เหลี่ยมจัตุรัสส่วนนี้ V หรือสี่เหลี่ยม H หรือเสริมระบบ V, H ด้วยระนาบอื่นที่ตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส V หรือถึง pl. H และในเวลาเดียวกันขนานกับส่วนนี้

ในรูป 153, c แสดงการเริ่มระนาบ S เพิ่มเติม ซึ่งตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส H และขนานกับส่วน AB ที่กำหนด

เส้นโครง a s b s เท่ากับค่าธรรมชาติของส่วน AB

ในรูป 153, d แสดงอีกเทคนิคหนึ่ง: ส่วน AB จะหมุนรอบเส้นตรงที่ผ่านจุด B และตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส H ไปยังตำแหน่งที่ขนานกัน

กรุณา V. ในกรณีนี้ จุด B ยังคงอยู่ และจุด A เข้ารับตำแหน่งใหม่ A 1 ขอบฟ้าอยู่ในตำแหน่งใหม่ การฉายภาพ 1 b || แกน x เส้นโครง a" 1 b" เท่ากับขนาดธรรมชาติของส่วน AB

156. กำหนดพีระมิด SABCD (รูปที่ 154) กำหนดขนาดที่แท้จริงของขอบของปิรามิด AS และ CS โดยใช้วิธีการเปลี่ยนระนาบการฉายภาพ และขอบ BS และ DS โดยใช้วิธีการหมุน และใช้แกนการหมุนตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ชม.

157*. กำหนดระยะห่างจากจุด A ถึงเส้นตรง BC (รูปที่ 155, a)

สารละลาย. ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งจะวัดโดยส่วนตั้งฉากที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

หากเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบใด ๆ (รูปที่ 155.6) ระยะทางจากจุดถึงเส้นตรงจะถูกวัดโดยระยะห่างระหว่างการฉายภาพของจุดและการฉายจุดของเส้นตรงบนระนาบนี้ หากเส้นตรงครอบครองตำแหน่งทั่วไปในระบบ V, H ดังนั้นเพื่อกำหนดระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงโดยการเปลี่ยนระนาบการฉายภาพจำเป็นต้องแนะนำเครื่องบินเพิ่มเติมอีกสองลำเข้าสู่ระบบ V, H

ขั้นแรก (รูปที่ 155, c) เราเข้าสู่ สี่เหลี่ยม S ขนานกับส่วน BC (แกนใหม่ S/H ขนานกับเส้นโครง bc) และสร้างเส้นโครง b s c s และ a s จากนั้น (รูปที่ 155, ง) เราแนะนำอีกช่องหนึ่ง T ตั้งฉากกับเส้นตรง BC (แกนใหม่ T/S ตั้งฉากกับ b s กับ s) เราสร้างเส้นโครงของเส้นตรงและจุด - ด้วย t (b t) และ a t ระยะห่างระหว่างจุด a t และ c t (b t) เท่ากับระยะทาง l จากจุด A ถึงเส้นตรง BC

ในรูป 155, d, งานเดียวกันนี้สำเร็จได้โดยใช้วิธีการหมุนในรูปแบบซึ่งเรียกว่าวิธีการเคลื่อนที่แบบขนาน ขั้นแรก เส้นตรง BC และจุด A โดยคงตำแหน่งสัมพัทธ์ไว้ไม่เปลี่ยนแปลง จะหมุนไปรอบๆ เส้นตรงบางเส้น (ไม่ได้ระบุไว้ในภาพวาด) ซึ่งตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส H ดังนั้น เส้นตรง BC ขนานกับกำลังสอง V ซึ่งเทียบเท่ากับการเคลื่อนที่ของจุด A, B, C ในระนาบขนานกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส H. ในเวลาเดียวกันขอบฟ้า เส้นโครงของระบบที่กำหนด (BC + A) จะไม่เปลี่ยนแปลงทั้งขนาดหรือโครงร่าง มีเพียงตำแหน่งที่สัมพันธ์กับแกน x เท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง เราวางเส้นขอบฟ้า การฉายเส้นตรง BC ขนานกับแกน x (ตำแหน่ง b 1 c 1) และกำหนดเส้นโครง a 1 โดยแยก c 1 1 1 = c-1 และ 1 1 1 = a-1 และ a 1 1 1 ⊥ ค 1 1 1. การวาดเส้นตรง b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 ขนานกับแกน x เราจะพบด้านหน้าของมัน เส้นโครง b" 1, a" 1, c" 1 ต่อไป เราย้ายจุด B 1, C 1 และ A 1 ในระนาบขนานกับพื้นที่ V (โดยไม่ต้องเปลี่ยนตำแหน่งสัมพัทธ์) เพื่อให้ได้ B 2 C 2 ⊥ ตาราง H ในกรณีนี้ เส้นโครงด้านหน้าของเส้นตรงจะตั้งฉากกับ แกน x,ข 2 c" 2 = b" 1 c" 1 และเพื่อสร้างเส้นโครง a" 2 คุณต้องใช้ b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1 วาด 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 และกันไว้ a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 . ตอนนี้ใช้เวลาไปกับ 1 กับ 2 และ 1 ต่อ 2 || x 1 เราได้เส้นโครง b 2 จาก 2 และ a 2 และระยะทางที่ต้องการ l จากจุด A ถึงเส้นตรง BC ระยะทางจาก A ถึง BC สามารถกำหนดได้โดยการหมุนระนาบที่กำหนดโดยจุด A และเส้นตรง BC รอบแนวนอนของระนาบนี้ไปยังตำแหน่ง T || กรุณา H (รูปที่ 155, f)

ในระนาบที่กำหนดโดยจุด A และเส้นตรง BC ให้วาดเส้นแนวนอน A-1 (รูปที่ 155, g) แล้วหมุนจุด B รอบๆ จุด B เลื่อนไปที่สี่เหลี่ยม R (ระบุในภาพวาดถัดจาก R h) ตั้งฉากกับ A-1; ที่จุด O มีจุดศูนย์กลางการหมุนของจุด B ตอนนี้เรากำหนดค่าธรรมชาติของรัศมีการหมุน VO (รูปที่ 155, c) ในตำแหน่งที่ต้องการเช่น เมื่อ pl. T ซึ่งกำหนดโดยจุด A และเส้นตรง BC จะกลายเป็น || กรุณา H จุด B จะอยู่บน R h ที่ระยะ Ob 1 จากจุด O (อาจมีตำแหน่งอื่นบนเส้นทางเดียวกัน R h แต่อยู่อีกด้านหนึ่งของ O) จุด b 1 คือเส้นขอบฟ้า เส้นโครงของจุด B หลังจากย้ายไปยังตำแหน่ง B 1 ในอวกาศ เมื่อระนาบที่กำหนดโดยจุด A และเส้นตรง BC เข้าสู่ตำแหน่ง T

การวาด (รูปที่ 155, i) เส้นตรง ข 1 1 เราได้เส้นขอบฟ้า การฉายเส้นตรง BC ซึ่งอยู่แล้ว || กรุณา H อยู่ในระนาบเดียวกับ A ในตำแหน่งนี้ ระยะทางจาก a ถึง b 1 1 เท่ากับระยะทางที่ต้องการ l ระนาบ P ซึ่งมีองค์ประกอบที่กำหนดอยู่สามารถนำมารวมกับกำลังสองได้ H (รูปที่ 155, j) การเลี้ยวแบบสี่เหลี่ยม R รอบตัวเธอคือขอบฟ้า ติดตาม. จากการระบุระนาบตามจุด A และเส้นตรง BC ไปสู่การระบุเส้นตรง BC และ A-1 (รูปที่ 155, l) เราจะค้นหาร่องรอยของเส้นตรงเหล่านี้และวาดร่องรอย P ϑ และ P h ผ่านพวกมัน เรากำลังสร้าง (รูปที่ 155 ม.) รวมกับจัตุรัส ตำแหน่ง H ด้านหน้า ติดตาม - P ϑ0 .

เราวาดขอบฟ้าผ่านจุด a การฉายภาพด้านหน้า หน้าผากที่รวมกันผ่านจุดที่ 2 บนร่องรอย P h ขนานกับ P ϑ0 จุด A 0 - รวมกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส H คือตำแหน่งของจุด A ในทำนองเดียวกัน เราพบจุด B 0 แสงอาทิตย์โดยตรงรวมกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ตำแหน่ง H ผ่านจุด B 0 และจุด m (เส้นแนวนอนของเส้นตรง)

ระยะทางจากจุด A 0 ถึงเส้นตรง B 0 C 0 เท่ากับระยะทางที่ต้องการ l

คุณสามารถดำเนินการก่อสร้างที่ระบุได้โดยค้นหา P h เพียงร่องรอยเดียว (รูปที่ 155, n และ o) โครงสร้างทั้งหมดคล้ายกับการหมุนรอบแนวนอน (ดูรูปที่ 155, g, c, i): ร่องรอย P h เป็นหนึ่งในแนวนอน pl ร.

สำหรับวิธีการแปลงรูปวาดที่กำหนดเพื่อแก้ไขปัญหานี้ วิธีที่ต้องการคือการหมุนรอบแนวนอนหรือหน้าผาก

158. ให้พีระมิด SABC (รูปที่ 156) กำหนดระยะทาง:

ก) จากด้านบน B ของฐานถึงด้าน AC โดยวิธีการเคลื่อนที่แบบขนาน

b) จากยอด S ของปิรามิดถึงด้านข้าง BC และ AB ของฐานโดยหมุนรอบแนวนอน

c) จาก S บนสุดไปยัง AC ด้านข้างของฐานโดยการเปลี่ยนระนาบการฉายภาพ

159. ให้ปริซึม (รูปที่ 157) กำหนดระยะทาง:

ก) ระหว่างซี่โครง AD และ CF โดยการเปลี่ยนระนาบการฉายภาพ

b) ระหว่างซี่โครง BE และ CF โดยการหมุนรอบหน้าผาก

c) ระหว่างขอบ AD และ BE โดยการเคลื่อนที่แบบขนาน

160. จงหาขนาดที่แท้จริงของรูปสี่เหลี่ยม ABCD (รูปที่ 158) โดยจัดตำแหน่งให้ตรงกับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส N. ใช้เฉพาะเส้นแนวนอนของระนาบ

161*. กำหนดระยะห่างระหว่างเส้นตรงที่ตัดกัน AB และ CD (รูปที่ 159, a) และสร้างเส้นโครงของเส้นตั้งฉากทั่วไปกับเส้นเหล่านั้น

สารละลาย. ระยะห่างระหว่างเส้นตัดกันวัดโดยส่วน (MN) ที่ตั้งฉากกับทั้งสองเส้น (รูปที่ 159, b) แน่นอนว่าหากเส้นตรงเส้นใดเส้นหนึ่งถูกวางตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสใดๆ ทีแล้ว

ส่วน MN ตั้งฉากกับทั้งสองเส้นจะขนานกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส การฉายภาพบนระนาบนี้จะแสดงระยะทางที่ต้องการ การฉายภาพมุมขวาของแนวคลื่น MN n AB ลงบนสี่เหลี่ยมจัตุรัส T กลายเป็นมุมฉากระหว่าง m t n t และ a t b t เนื่องจากด้านหนึ่งของมุมฉากคือ AMN คือ MN ขนานกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ต.

ในรูป 159, c และ d ระยะทางที่ต้องการ l ถูกกำหนดโดยวิธีการเปลี่ยนระนาบการฉายภาพ ก่อนอื่นเราขอแนะนำสี่เหลี่ยมเพิ่มเติม เส้นโครง S ตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส H และขนานกับแผ่นซีดีเส้นตรง (รูปที่ 159, c) จากนั้นเราจะแนะนำสแควร์เพิ่มเติมอีกอัน T ตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส S และตั้งฉากกับเส้นตรงเส้นตรงเดียวกัน (รูปที่ 159, d) ตอนนี้คุณสามารถสร้างเส้นโครงของเส้นโครงตั้งฉากทั่วไปได้โดยการวาด m t n t จากจุด c t (d t) ตั้งฉากกับเส้นโครง a t b t จุด m t และ n t คือเส้นโครงของจุดตัดกันของเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง AB และ CD การใช้จุด m t (รูปที่ 159, e) เราจะพบ m s บน s b s: เส้นโครงของ m s n s ควรขนานกับแกน T/S ต่อไป จาก m s และ n s เราพบ m และ n บน ab และ cd และจากพวกเขา m" และ n" บน a"b" และ c"d"

ในรูป 159, c แสดงวิธีแก้ปัญหานี้โดยใช้วิธีการเคลื่อนที่แบบขนาน ขั้นแรกเราวางแผ่นซีดีเส้นตรงขนานกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส V: การฉายภาพ c 1 d 1 || เอ็กซ์ ต่อไป เราย้ายเส้นตรง CD และ AB จากตำแหน่ง C 1 D 1 และ A 1 B 1 ไปยังตำแหน่ง C 2 B 2 และ A 2 B 2 เพื่อให้ C 2 D 2 ตั้งฉากกับ H: เส้นโครง c" 2 d" 2 ⊥ x. ส่วนของตั้งฉากที่ต้องการอยู่ที่ || กรุณา H ดังนั้น m 2 n 2 จึงเป็นการแสดงระยะห่างที่ต้องการ l ระหว่าง AB และ CD เราพบตำแหน่งของเส้นโครง m" 2 และ n" 2 บน a" 2 b" 2 และ c" 2 d" 2 จากนั้นเส้นโครง m 1 และ m" 1, n 1 และ n" 1 ในที่สุด ประมาณการ m" และ n ", m และ n

162. ให้พีระมิด SABC (รูปที่ 160) กำหนดระยะห่างระหว่างขอบ SB และด้าน AC ของฐานของปิรามิด และสร้างเส้นโครงในแนวตั้งฉากกับ SB และ AC โดยใช้วิธีเปลี่ยนระนาบการฉายภาพ

163. ให้พีระมิด SABC (รูปที่ 161) กำหนดระยะห่างระหว่างขอบ SH และด้าน BC ของฐานของปิรามิด และสร้างเส้นโครงของตั้งฉากร่วมกับ SX และ BC โดยใช้วิธีการเคลื่อนที่แบบขนาน

164*. กำหนดระยะห่างจากจุด A ถึงระนาบในกรณีที่ระบุระนาบโดย: a) สามเหลี่ยม BCD (รูปที่ 162, a) b) ร่องรอย (รูปที่ 162, b)

สารละลาย. ดังที่คุณทราบ ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบนั้นวัดโดยค่าของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ ระยะนี้ฉายไปยังพื้นที่ใดก็ได้ เส้นโครงในขนาดเต็ม หากระนาบนี้ตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ประมาณการ (รูปที่ 162, c) สถานการณ์นี้สามารถทำได้โดยการเปลี่ยนรูปวาด เช่น โดยการเปลี่ยนพื้นที่ การคาดการณ์ มาแนะนำกันหน่อย S (รูปที่ 16c, d) ตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยมบีซีดี ในการทำเช่นนี้เราใช้จ่ายในจัตุรัส สามเหลี่ยมแนวนอน B-1 และวางแกนฉายภาพ S ตั้งฉากกับแนวนอนฉาย b-1 เราสร้างเส้นโครงของจุดและระนาบ - a s และส่วน c s d s ระยะทางจาก s ถึง c s d s เท่ากับระยะทางที่ต้องการ l ของจุดถึงระนาบ

ถึงริโอ. 162, d ใช้วิธีการเคลื่อนที่แบบขนาน เราย้ายระบบทั้งหมดจนกระทั่งระนาบแนวนอน B-1 ตั้งฉากกับระนาบ V: เส้นโครง b 1 1 1 ควรตั้งฉากกับแกน x ในตำแหน่งนี้ ระนาบของรูปสามเหลี่ยมจะยื่นออกมาด้านหน้า และระยะห่าง l จากจุด A ถึงจุดนั้นจะเท่ากับ pl วีโดยไม่มีการบิดเบือน

ในรูป 162, b ระนาบถูกกำหนดโดยร่องรอย เราแนะนำ (รูปที่ 162, จ) สี่เหลี่ยมเพิ่มเติม S ตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส P: แกน S/H ตั้งฉากกับ P h ที่เหลือชัดเจนจากรูปวาด ในรูป 162, g ปัญหาได้รับการแก้ไขโดยใช้การเคลื่อนไหวเพียงครั้งเดียว: pl. P เข้าสู่ตำแหน่ง P 1 นั่นคือ เป็นการฉายด้านหน้า ติดตาม. P 1h ตั้งฉากกับแกน x เราสร้างส่วนหน้าในตำแหน่งนี้ของเครื่องบิน การติดตามแนวนอนคือจุด n" 1,n 1 การติดตาม P 1ϑ จะผ่าน P 1x และ n 1 ระยะห่างจาก a" 1 ถึง P 1ϑ เท่ากับระยะทางที่ต้องการ l

165. ให้พีระมิด SABC (ดูรูปที่ 160) กำหนดระยะห่างจากจุด A ถึงขอบของปิรามิด SBC โดยใช้วิธีการเคลื่อนที่แบบขนาน

166. ให้พีระมิด SABC (ดูรูปที่ 161) กำหนดความสูงของปิรามิดโดยใช้วิธีการแทนที่แบบขนาน

167*. กำหนดระยะห่างระหว่างเส้นตัดกัน AB และ CD (ดูรูปที่ 159,a) เป็นระยะห่างระหว่างระนาบขนานที่ลากผ่านเส้นเหล่านี้

สารละลาย. ในรูป 163 และระนาบ P และ Q ขนานกัน โดยที่ pl Q ถูกลากผ่าน CD ขนานกับ AB และ pl P - ถึง AB ขนานกับกำลังสอง ถาม ระยะห่างระหว่างระนาบดังกล่าวถือเป็นระยะห่างระหว่างเส้นตรง AB และ CD ที่ตัดกัน อย่างไรก็ตาม คุณสามารถจำกัดตัวเองให้สร้างระนาบเดียวได้ เช่น Q ขนานกับ AB จากนั้นจึงกำหนดระยะทางอย่างน้อยจากจุด A ถึงระนาบนี้

ในรูป 163, c แสดงระนาบ Q ที่ลากผ่าน CD ขนานกับ AB ในการประมาณการด้วย "e" || ก"ข" และซี || เกี่ยวกับ โดยใช้วิธีการเปลี่ยน pl ประมาณการ (รูปที่ 163, c) เราแนะนำสี่เหลี่ยมเพิ่มเติม S ตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส วีและในเวลาเดียวกัน

ตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ถาม หากต้องการวาดแกน S/V ให้ใช้ส่วนหน้า D-1 ในระนาบนี้ ตอนนี้เราวาด S/V ตั้งฉากกับ d"1" (รูปที่ 163, c) กรุณา Q จะแสดงบนจัตุรัส S เป็นเส้นตรงโดยมี s d s ที่เหลือชัดเจนจากรูปวาด

168. ให้พีระมิด SABC (ดูรูปที่ 160) กำหนดระยะห่างระหว่างซี่โครง SC และ AB ใช้: 1) วิธีการเปลี่ยนพื้นที่ การฉายภาพ 2) วิธีการเคลื่อนที่แบบขนาน

169*. กำหนดระยะห่างระหว่างระนาบขนาน ซึ่งหนึ่งในนั้นถูกกำหนดโดยเส้นตรง AB และ AC และอีกอันกำหนดโดยเส้นตรง DE และ DF (รูปที่ 164, a) ทำการก่อสร้างสำหรับกรณีที่เครื่องบินถูกระบุด้วยร่องรอย (รูปที่ 164, b)

สารละลาย. ระยะทาง (รูปที่ 164, c) ระหว่างระนาบคู่ขนานสามารถกำหนดได้โดยการวาดเส้นตั้งฉากจากจุดใดก็ได้ของระนาบหนึ่งไปยังอีกระนาบหนึ่ง ในรูป 164, g มีการเพิ่มกำลังสองเพิ่มเติม S ตั้งฉากกับสี่เหลี่ยม H และเครื่องบินทั้งสองลำที่ได้รับ แกน S.H ตั้งฉากกับแนวนอน การฉายภาพแนวนอนที่วาดในระนาบใดระนาบหนึ่ง เราสร้างภาพฉายของระนาบนี้และจุดหนึ่งในระนาบอื่นบนจัตุรัส 5. ระยะทางของจุด d s ถึงเส้นตรง l s a s เท่ากับระยะห่างที่ต้องการระหว่างระนาบขนาน

ในรูป 164, d ให้การก่อสร้างอื่น (ตามวิธีการเคลื่อนที่แบบขนาน) เพื่อให้ระนาบที่แสดงโดยเส้นตัดกัน AB และ AC ตั้งฉากกับสี่เหลี่ยมจัตุรัส วี ขอบฟ้า เราตั้งค่าการฉายภาพแนวนอนของระนาบนี้ตั้งฉากกับแกน x: 1 1 2 1 ⊥ x ระยะห่างระหว่างด้านหน้า เส้นโครง d" 1 ของจุด D และเส้นตรง a" 1 2" 1 (เส้นโครงด้านหน้าของระนาบ) เท่ากับระยะห่างที่ต้องการระหว่างระนาบ

ในรูป 164, e แสดงการแนะนำของกำลังสองเพิ่มเติม S ตั้งฉากกับพื้นที่ H และกับระนาบ P และ Q ที่กำหนด (แกน S/H ตั้งฉากกับร่องรอย P h และ Q h) เราสร้างร่องรอยของ P s และ Q s ระยะห่างระหว่างพวกเขา (ดูรูปที่ 164, c) เท่ากับระยะทางที่ต้องการ l ระหว่างระนาบ P และ Q

ในรูป 164, g แสดงการเคลื่อนที่ของระนาบ P 1 n Q 1 ไปยังตำแหน่ง P 1 และ Q 1 เมื่อถึงขอบฟ้า ร่องรอยจะตั้งฉากกับแกน x ระยะห่างระหว่างแนวหน้าใหม่ ร่องรอย P 1ϑ และ Q 1ϑ เท่ากับระยะทางที่ต้องการ l

170. เมื่อพิจารณาจาก ABCDEFGH ที่ขนานกัน (รูปที่ 165) กำหนดระยะทาง: ก) ระหว่างฐานของขนาน - l 1; b) ระหว่างใบหน้า ABFE และ DCGH - l 2; c) ระหว่างใบหน้าของ ADHE และ BCGF-l 3.

คุณต้องกำหนดระยะห่างจากจุดหนึ่งไปอีกเส้นหนึ่ง แผนทั่วไปในการแก้ปัญหา:

- ผ่านจุดที่กำหนดเราวาดระนาบตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด

- หาจุดนัดพบของสาย

ด้วยเครื่องบิน

- เรากำหนดค่าธรรมชาติของระยะทาง

ผ่านจุดที่กำหนด เราวาดระนาบตั้งฉากกับเส้น AB เรากำหนดระนาบว่าเป็นเส้นแนวนอนและเส้นด้านหน้าที่ตัดกัน ซึ่งเส้นโครงสร้างขึ้นตามอัลกอริธึมตั้งฉาก (ปัญหาผกผัน)

จงหาจุดที่เส้นตรง AB มาบรรจบกับระนาบ นี่เป็นปัญหาทั่วไปเกี่ยวกับจุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ (ดูหัวข้อ “จุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ”)

ความตั้งฉากของเครื่องบิน

ระนาบจะตั้งฉากกันหากหนึ่งในนั้นมีเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่น ดังนั้น ในการวาดระนาบตั้งฉากกับระนาบอื่น คุณต้องวาดตั้งฉากกับระนาบก่อน แล้วจึงวาดระนาบที่ต้องการผ่านระนาบนั้น ในแผนภาพ ระนาบถูกกำหนดโดยเส้นตัดกันสองเส้น ซึ่งเส้นหนึ่งตั้งฉากกับระนาบ ABC

หากระนาบถูกกำหนดโดยการติดตาม กรณีต่อไปนี้ก็เป็นไปได้:

- หากมีระนาบตั้งฉากสองระนาบยื่นออกมา แสดงว่าร่องรอยโดยรวมของพวกมันตั้งฉากกัน

- ระนาบทั่วไปและระนาบที่ยื่นออกมาตั้งฉากกัน ถ้ารอยทางรวมของระนาบที่ยื่นออกตั้งฉากกับรอยทางเดียวกันของระนาบทั่วไป

- ถ้าร่องรอยที่มีชื่อเดียวกันของระนาบสองลำในตำแหน่งทั่วไปตั้งฉากกัน ระนาบนั้นจะไม่ตั้งฉากกัน

วิธีการเปลี่ยนระนาบการฉายภาพ

เราเปลี่ยนเค้าโครงเชิงพื้นที่ให้เป็นระนาบโดยการหมุนระนาบไปตามลูกศร เราได้เครื่องบินฉายสามลำมารวมกันเป็นระนาบเดียว

ปัญหาทั่วไปประการแรกของวิธีการเปลี่ยนระนาบการฉายภาพ

งานทั่วไปประการแรกของวิธีการเปลี่ยนระนาบการฉายภาพคือการแปลงเส้นตรงทั่วไปเป็นเส้นระดับก่อน จากนั้นจึงเปลี่ยนเป็นเส้นตรงที่ฉาย ปัญหานี้เป็นหนึ่งในปัญหาหลักเนื่องจากใช้ในการแก้ไขปัญหาอื่น ๆ เช่นเมื่อกำหนดระยะห่างระหว่างเส้นขนานและเส้นตัดกันเมื่อกำหนดมุมไดฮีดรัล ฯลฯ

เราทำการทดแทน H → H 1 เราวาดแกนใหม่ตั้งฉากกับเส้นโครงด้านหน้าของเส้นตรง เราสร้างเส้นโครงแนวนอนใหม่ของเส้น ซึ่งเราวางพิกัดของเส้นที่นำมาจากระบบระนาบการฉายภาพก่อนหน้าจากแกนใหม่ เส้นตรงจะกลายเป็นเส้นตรงที่ฉายในแนวนอนและ "เสื่อม" เป็นจุดหนึ่ง

งานเหล่านี้ประกอบด้วย: งานในการกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นตรง ไปยังระนาบ และไปยังพื้นผิว ระหว่างเส้นขนานและเส้นตัดกัน ระหว่างระนาบขนานกัน ฯลฯ

งานทั้งหมดนี้รวมกันเป็นสามสถานการณ์:

ประการแรกเนื่องจากระยะห่างที่สั้นที่สุดระหว่างตัวเลขดังกล่าวนั้นตั้งฉากกัน พวกมันทั้งหมดจึงลงมาที่การสร้างเส้นตรงและระนาบตั้งฉากซึ่งกันและกัน

ประการที่สองในแต่ละปัญหาเหล่านี้มีความจำเป็นต้องกำหนดความยาวตามธรรมชาติของเซ็กเมนต์ นั่นคือเพื่อแก้ไขปัญหาเมตริกหลักที่สอง

ประการที่สามงานเหล่านี้เป็นงานที่ซับซ้อน แก้ไขได้ในหลายขั้นตอน และในแต่ละขั้นตอนจะมีการแก้ปัญหาที่แยกจากกัน เล็ก และเฉพาะเจาะจง

ลองพิจารณาแก้ไขปัญหาเหล่านี้อย่างใดอย่างหนึ่ง

งาน:กำหนดระยะห่างจากจุดหนึ่ง มให้เป็นเส้นตรงในตำแหน่งทั่วไป ก(ภาพที่ 4-26)

อัลกอริทึม:

ขั้นที่ 1: ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งตั้งฉาก ตั้งแต่ตรง ก- ตำแหน่งทั่วไป จากนั้นเพื่อสร้างตั้งฉากกับมันจำเป็นต้องแก้ปัญหาคล้ายกับที่ให้ไว้ในหน้า M4-4 ของโมดูลนี้ นั่นคือผ่านจุดแรก มวาดเครื่องบิน ส, ตั้งฉาก ก- เรากำหนดระนาบนี้ตามปกติ ชม.Ç ฉ, ในขณะที่ ชั่วโมง 1^ 1, ก ฉ 2^ 2

ขั้นที่ 2: หากต้องการสร้างเส้นตั้งฉาก คุณต้องหาจุดที่สองสำหรับจุดนั้น นี่จะเป็นประเด็น ถึง, อยู่ในสาย ก- ในการค้นหาคุณต้องแก้ปัญหาตำแหน่งซึ่งก็คือหาจุดตัดของเส้น กกับเครื่องบิน ส- เราแก้ 1GPZ โดยใช้อัลกอริทึมที่สาม (รูปที่ 4-28):

เราแนะนำเครื่องบิน - ตัวกลาง ช, ช^^ ป 1,จีเอÞ Г 1 = а 1;

- ชÇ ส = ข, ก^^ ป1Þ ข 1 (1 1 2 1) = Г 1 , ขÌ สÞ ข 2 (1 2 2 2)Ì เอส 2.

- ข 2ç ก 2 = K 2Þ เค 1.

ด่าน 3: การหาขนาดจริง เอ็มเควิธีสามเหลี่ยมมุมฉาก

วิธีแก้ไขปัญหาที่สมบูรณ์แสดงไว้ในรูปที่ 1 4-30.

บันทึกอัลกอริทึมของการแก้ปัญหา:

1. ส^a,ส = ชมเซส ฉ = M, ชั่วโมง 1↑ 1, ฉ 2^ก2.

2. เราแนะนำเครื่องบิน - ตัวกลาง ช,

- ช^^ ป 1,จีเอÞ Г 1 = а 1 ;

- ชÇ ส = ข, ก^^ ป1Þ ข 1 (1 1 2 1) = Г 1 , ขÌ สÞ ข 2 (1 2 2 2)Ì เอส2.

- ข 2ç ก 2 = K 2Þ เค 1 .

3. การหาขนาดที่แท้จริง เอ็มเค.

ข้อสรุป:

1. การแก้ปัญหาของเมตริกทั้งหมดอยู่ที่การแก้ปัญหาเมตริกหลักประการแรก นั่นคือ ความตั้งฉากร่วมกันของเส้นตรงและระนาบ

2. เมื่อกำหนดระยะห่างระหว่างรูปทรงเรขาคณิต งานเมตริกหลักที่สองมักจะถูกใช้เสมอ - เพื่อกำหนดขนาดตามธรรมชาติของเซ็กเมนต์

3. ระนาบสัมผัสกันกับพื้นผิว ณ จุดหนึ่งสามารถกำหนดได้ด้วยเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน ซึ่งแต่ละเส้นสัมผัสกันกับพื้นผิวที่กำหนด

คำถามเพื่อความปลอดภัย

1. ปัญหาอะไรที่เรียกว่าเมตริก?

2. คุณรู้ปัญหาตัวชี้วัดหลักสองประการอะไรบ้าง

3. เหตุใดการระบุระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นทั่วไปจึงได้เปรียบกว่า

4. ระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นระดับเส้นใดเส้นหนึ่งชื่ออะไร?

5. ระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นฉายเส้นหนึ่งชื่ออะไร?

6. ระนาบสัมผัสกับพื้นผิวเรียกว่าอะไร?