คำจำกัดความของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

⁰

แผนการสอนในหัวข้อ: “สูตรnสมาชิกคนนั้น ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- การเตรียมความพร้อมสำหรับ OGE

เป้าหมายหลัก: รวบรวมแนวคิดเรื่องความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

แนะนำนักเรียนเกี่ยวกับสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

การใช้สูตรและคุณสมบัตินี้โดยใช้ตัวอย่างและปัญหา

อืม:พีชคณิตเกรด 9 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป/ (A.G. Mordkovich และอื่น ๆ ); เรียบเรียงโดย A.G. Mordkovich - 11th ed., St.-M.: Mnemozina, 2009. - 255 หน้า: ป่วย

ระดับ: 9

ประเภทบทเรียน:บทเรียนการเรียนรู้เนื้อหาใหม่

ความคืบหน้าของบทเรียน

ช่วงเวลาขององค์กร(1 นาที)

ครูทักทายเด็กๆ

งานช่องปาก (9 นาที)

ค้นหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของตัวเลข 16 และ 25 9 และ 36; 49 และ 81; 12 และ 25

แก้สมการ: b 2 =3, b 2 =-3, b 3 =-27, x 6 =164

มีสารกัมมันตภาพรังสีมีน้ำหนัก 256 กรัม ซึ่งน้ำหนักลดลงครึ่งหนึ่งต่อวัน วันที่สองของสารจะมีมวลเท่าใด ในวันที่สาม? ในวันที่แปด? (256; 128; 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1;…)

คุณและฉันเห็นว่าลำดับที่เราได้รับคือ... ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เรามาจำคำจำกัดความของมันกัน

มีการกำหนดคำจำกัดความไว้ : ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต คือลำดับของจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งแต่ละเทอมเริ่มต้นจากวินาทีมีค่าเท่ากับเทอมก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน

คำถาม: - เทอมที่สองของลำดับได้มาอย่างไร? ที่สาม? ที่แปด? (โดยการหารเทอมก่อนหน้าด้วย 2 หรือคูณด้วย12 ). เบอร์นี้มีชื่อว่า ตัวส่วนของเรขาคณิต ความก้าวหน้าและแสดงถึง ถาม .

การตรวจสอบ การบ้าน(5 นาที)

การเรียนรู้เนื้อหาใหม่ (10 นาที)

เขียนลำดับที่สอดคล้องกับเงื่อนไขของปัญหา

ภายใต้สภาวะที่เอื้ออำนวย แบคทีเรียจะเพิ่มจำนวนขึ้น โดยภายในหนึ่งนาที แบคทีเรียแต่ละตัวจะแบ่งออกเป็นสองส่วน นาทีที่ 5 มีแบคทีเรียกี่ตัว? (ดูรูปที่ 1)

ในสามนาทีจะมีกี่คน?

ในนาทีที่ 1 - 2

ในนาทีที่ 2 - 4

ในนาทีที่ 3 - 8

ในนาทีที่ 4 - 16

ในนาทีที่ 5 - 32

เราจะทำต่อได้ไหม?

ในนาทีที่ 6 - 64

ในนาทีที่ 7 - 128

ในนาทีที่ 8 - 256

ในนาทีที่ 9 - 512

ในนาทีที่ 10 - 1,024

ในนาทีที่ 11 - 2048

ในนาทีที่ 12 - 4096

ในนาทีที่ 13 - 8192

บทสรุป:ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีสูตรเพื่อค้นหาเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

พิจารณาความก้าวหน้าทางเรขาคณิต b 1 ; ข 2 ; b 3,...,b n มีตัวส่วน q เรามี:

ข 1 = ข 1

ข 3 = ข 2 q = (ข 1 คิว) q = ข 1 คิว 2

ข 4 = ข 3 q = (ข 1 คิว 2) q = ข 1 คิว 3

b 5 = b 3 q = (b 1 q 3) q = b 1 q 4 เป็นต้น

ไม่ใช่เรื่องยากที่จะคาดเดาว่าสำหรับอสมการต่อไปนี้เป็นจริง:

ข n = ข 1 ถาม n - 1

นี้nระยะที่ 3 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ลองตรวจสอบความถูกต้องของสูตรนี้สำหรับปัญหาแบคทีเรียที่เราทราบอยู่แล้ว ลองนับเทอมที่ 5 ของลำดับกัน

ข n = ข 1 ถาม n - 1= ข 5 = ข 1 ค 5-1 = 1·2 4 = 1·16=16.

ข n = ข 1 คิว n - 1 = ข 11 = ข 1 คิว 11-1 = 1·2 10 = 1·1024=1024

การเสริมสื่อการเรียนรู้: (10)

ประชาสัมพันธ์ ตัวอย่างที่ 1-2

UC: หมายเลข 17.10(a,b)

หมายเลข 17.11(ก,ข)

หมายเลข 17.12(ก,ข)

นาทีพลศึกษา (1 นาที)

การเตรียมความพร้อมสำหรับ OGE (15 นาที)

การ์ด

การบ้าน: (1 นาที)

หมายเลข 17.10(v,d), 17.12(v,d), 17.14, 17.16

สรุปบทเรียน (1 นาที)

หมายเลขงาน1

เพื่อหาจำนวนเงิน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เรามี สองสูตร.
ความแตกต่างความก้าวหน้า.
d=a2-a1=-5-(-7)=2.
ใส่ทุกอย่างลงในสูตร:
S50=50*(2*(-7)+(50-1)*2)/2=50*(-14+98)/2=50*42=2100
คำตอบ: S50=2100

หมายเลขงาน2

ง=a2-a1=3-1=2
ใส่ทุกอย่างลงในสูตร:
S60=60*(2*1+(60-1)*2)/2=30*(2+118)=30*120=3600
คำตอบ: S60=3600

หมายเลขงาน3

เมื่อรู้ว่า an+1=an+4 นั่นคือ a10=a9+4 แน่นอนว่าคุณสามารถคำนวณ 10 เทอมแรกของลำดับได้ทั้งหมด แต่นี่ต้องใช้แรงงานมาก นอกจากนี้หากจำเป็นต้องคำนวณเทอมที่ 300 ก็จะใช้เวลานานมาก
มีวิธีที่ง่ายกว่า:
ใน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ an=a1+(n-1)d มีเพียง d เท่านั้นที่เราไม่รู้จัก สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: d=an+1-an
เมื่อใช้สูตรนี้และเงื่อนไขของปัญหา เราจะพบว่า d=4 แล้ว:
a10=a1+(10-1)4
a10=3+9*4=39 ตอบ: a10=39

หมายเลขงาน4

เมื่อรู้ว่า bn+1=1/2*bn นั่นคือ b7=1/2*b6 แน่นอนว่าคุณสามารถคำนวณ 7 เทอมแรกของลำดับได้ทั้งหมด แต่นี่ต้องใช้แรงงานมาก นอกจากนี้หากจำเป็นต้องคำนวณเทอมที่ 300 ก็จะใช้เวลานานมาก
มีวิธีที่ง่ายกว่า:
ใน ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต bn=b1qn-1 มีเพียง q เท่านั้นที่เราไม่รู้จัก สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: bn+1/bn=q
เมื่อใช้สูตรนี้และเงื่อนไขของปัญหา เราจะพบว่า q=1/2 แล้ว:
b7=b1(1/2)(7-1)
b7=-128*(1/2)6=-128*1/64=-2.
คำตอบ: b7=-2

หมายเลขงาน5

การหาผลรวมของ 4 เทอมแรกของค่าที่กำหนด ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมาใช้กันเถอะ สูตร- ในกรณีของเรา การใช้อันแรกจะสะดวกกว่า ในการทำเช่นนี้คุณต้องค้นหา b1 - เทอมแรกของความก้าวหน้าและ q - ตัวส่วนความก้าวหน้า.
b1=62.5*21=125 (จากสภาพปัญหา) และ q=2
จากนั้น S4=125*(1-24)/(1-2)=125*(1-16)/(-1)=125*15=1875
คำตอบ: S4=1875

หมายเลขงาน 6

ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ผลรวมของเทอมที่หนึ่งและเทอมที่สองคือ 75 และผลรวมของเทอมที่สองและสามคือ 150 จงหาสามเทอมแรกของความก้าวหน้านี้
bn=b1qn-1
จากนั้น b2=b1q2-1=b1q
ตามเงื่อนไข:
1) b1+b2=75
b1+b1q=75
b1(1+q)=75
2) b2+b3=150
b1q+b1q2=150
b1(คิว+คิว2)=150
b1(คิว+1)คิว=150
เราทดแทนจากจุดที่ 1)
75q=150 = q=2 จากนั้น b1(1+2)=75 = b1=25
ข2=25*2=50
b3=25*22=100
คำตอบ: b1=25, b2=50, b3=100

หมายเลขงาน7

ในกรณีนี้แทนที่จะใช้ สูตรสำหรับ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตการแก้ปัญหานี้โดยตรงง่ายกว่า เหล่านั้น. ค้นหา b2, b3, ..., b7
b1=64 (ตามเงื่อนไข)
b2=b1*1/2=64*1/2=64/2=32
b3=b2*1/2=32/2=16
b4=16/2=8
ข5=8/2=4
ข6=4/2=2
b7=2/2=1 คำตอบ: b7=1

การ์ด 1

№1 . เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: -7; -5; -3; ... จงหาผลรวมของห้าสิบพจน์แรกของมัน

№2 . เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: 1; 3; 5; - ค้นหาผลรวมของหกสิบเทอมแรก

№3. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถูกกำหนดตามเงื่อนไข: a 1 =3, a n+1 =a n +4 หา 10.

№4. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (bn) ถูกระบุตามเงื่อนไข: b 1 = –128, bn+1 =1/2*bn หาข 7 .

№5. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถูกกำหนดโดยเงื่อนไข bn =62.5*2 n ค้นหาผลรวมของ 4 เทอมแรก

№6

№7. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (b n) ถูกระบุตามเงื่อนไข: b 1 =64, b n+1 =b n *1/2 หาข 7 .

การ์ด 1

№3. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถูกกำหนดตามเงื่อนไข: a 1 =3, a n+1 =a n +4 หา 10.

№4. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (bn) ถูกระบุตามเงื่อนไข: b 1 = –128, bn+1 =1/2*bn หาข 7 .

№6 - ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ผลรวมของเทอมที่หนึ่งและเทอมที่สองคือ 75 และผลรวมของเทอมที่สองและสามคือ 150 จงหาสามเทอมแรกของความก้าวหน้านี้

№ 7. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (ขn) ได้รับตามเงื่อนไข: b 1 =64,ขn+1=ขn*1/2. หาข 7 .

ปัญหาหมายเลข 3 จาก 127 หมายเลขปัญหาบน WWW.FIPI.RU - 1C5D03

แสดงวิธีแก้ปัญหา

เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: -6; -2; 2; ... จงหาผลรวมของห้าสิบพจน์แรกของมัน

เพื่อหาจำนวนเงิน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรามี สองสูตร.
เราไม่รู้ a50 ดังนั้นเราจะใช้สูตรที่สอง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราพบว่า d - ความแตกต่างความก้าวหน้า.
d=a2-a1=-2-(-6)=4.
ใส่ทุกอย่างลงในสูตร:
S50=50*(2*(-6)+(50-1)*4)/2=50*(-12+196)/2=50*92=4600
คำตอบ: S50=4600

ปัญหาหมายเลข 4 จาก 127 หมายเลขปัญหาบน WWW.FIPI.RU - FD1ABB

แสดงวิธีแก้ปัญหา

เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: -1; 2; 5; - ค้นหาผลรวมของห้าสิบห้าเทอมแรก

เพื่อหาจำนวนเงิน ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรามี สองสูตร.
เราไม่รู้ a55 ดังนั้นเราจะใช้สูตรที่สอง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราพบว่า d - ความแตกต่างความก้าวหน้า.
ง=a2-a1=2-(-1)=3
ใส่ทุกอย่างลงในสูตร:
S55=55*(2*(-1)+(55-1)*3)/2=55*(-2+162)/2=55*80=4400
คำตอบ: S55=4400

ปัญหาหมายเลข 19 จาก 127 หมายเลขปัญหาบน WWW.FIPI.RU - 34D7F8

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สามเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เขียนออกมา: 20; 17; 14. เลขใดอยู่ในอันดับที่ 91 ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นี้?

เทอมที่ n ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากับ a1+(n-1)d
ก1=20
ง=a2-a1=17-20=-3
a91=a1+(n-1)d=20+(91-1)(-3)=20-270=-250
คำตอบ: a91=-250

ปัญหาหมายเลข 22 จาก 127 หมายเลขปัญหาบน WWW.FIPI.RU - 4CBA5B

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สามเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เขียนไว้: -4; 2; 8; ... หมายเลขใดอยู่ในอันดับที่ 81 ในการก้าวหน้าเลขคณิตนี้?

เทอมที่ n ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากับ a1+(n-1)d
ก1=-4
d=a2-a1=2-(-4)=6
a81=a1+(n-1)d=-4+(81-1)6=-4+480=476
คำตอบ: a81=476

ปัญหาหมายเลข 79 จาก 127 หมายเลขปัญหาบน WWW.FIPI.RU - 4C12DC

แสดงวิธีแก้ปัญหา

คำศัพท์สองสามคำแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เขียนออกมา: -7; -5; -3; ...ค้นหาจู๋ที่สิบหกของเธอ

เทอมที่ n ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เท่ากับ a1+(n-1)d
a1=-7 (ตามเงื่อนไข)
a2=-5 (ตามเงื่อนไข)
d=a2-a1=-5-(-7)=2
a16=a1+(n-1)d=-7+(16-1)2=-7+30=23
คำตอบ: a16=23

ปัญหาหมายเลข 82 จาก 127 หมายเลขปัญหาบน WWW.FIPI.RU - 4D6C7C

แสดงวิธีแก้ปัญหา

เมื่อพิจารณาถึงความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (b n) ตัวส่วนคือ 2, b 1 =16 หาข 4 .

สมาชิกทุกท่าน ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถแสดงออกผ่านเทอมแรกได้
bn=b1qn-1
ดังนั้น b4=b1q4-1=b1q3=16*23=16*8=128
คำตอบ: 128

เงินฝากประจำที่วางไว้ใน ธนาคารออมสินเพิ่มขึ้น 5% ต่อปี เงินสมทบจะเป็นอย่างไรหลังจากผ่านไป 8 ปีหากในตอนแรกมีค่าเท่ากับ 1,000 รูเบิล? (1000; 1,050; 1102.5; 1157.625;…) คำถาม: เทอมที่สองของลำดับได้มาอย่างไร? ที่สาม? ที่แปด? (คูณอันก่อนหน้าด้วย 1.05)

ภารกิจที่ 1 คุณสามารถเช่าเรือได้ที่ศูนย์การท่องเที่ยว ค่าเช่าถูกกำหนดดังนี้: ในชั่วโมงแรกคุณจะต้องจ่าย 100 รูเบิลและในแต่ละชั่วโมงถัดไป (เต็มหรือไม่สมบูรณ์) - 55 รูเบิล คุณควรจ่ายค่าเรือเช่าหนึ่งชั่วโมงสองชั่วโมงสามชั่วโมง ฯลฯ กี่รูเบิล?

สรุป: 1. ถ้า d>0 แสดงว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้น 2. ถ้าง 0 ดังนั้นความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเพิ่มขึ้น 2. ถ้า d"> 0 แสดงว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเพิ่มขึ้น 2. ถ้า d"> 0 แสดงว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเพิ่มขึ้น 2. ถ้า d" title=" สรุป: 1. ถ้า d>0 แสดงว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเพิ่มขึ้น 2. ถ้า d"> title="สรุป: 1. ถ้า d>0 แสดงว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้น 2. ถ้าง"> !}

1. สมาชิกลำดับถัดไปของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สมาชิกก่อนหน้า ar" title=": คุณสมบัติเฉพาะของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มต้นจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกัน เช่น n > 1 . เทอมต่อมาของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เทอมก่อนหน้า ar" class="link_thumb"> 23 !}: คุณสมบัติเฉพาะของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: แต่ละเทอมของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสองเทอมที่อยู่ติดกัน นั่นคือ n > 1. เทอมถัดไปของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เทอมก่อนหน้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 1. สมาชิกลำดับถัดไปของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สมาชิกก่อนหน้า ar"> 1. สมาชิกลำดับถัดไปของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สมาชิกก่อนหน้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์"> 1. สมาชิกลำดับถัดไปของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ สมาชิกก่อนหน้า ar" title=": Characteristic คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: สมาชิกแต่ละคนของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เริ่มจากวินาที มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสองเทอมที่อยู่ติดกัน นั่นคือ n > 1 เทอมถัดไปของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เทอมก่อนหน้า ar"> title=": คุณสมบัติเฉพาะของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: แต่ละเทอมของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เริ่มจากวินาที จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสองเทอมที่อยู่ติดกัน นั่นคือ n > 1. เทอมถัดไปของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เทอมก่อนหน้า ar"> !}

ปัญหาที่ 1* คุณสามารถเช่าเรือได้ที่ศูนย์การท่องเที่ยว ค่าเช่าถูกกำหนดดังนี้: ในชั่วโมงแรกคุณจะต้องจ่าย 100 รูเบิลและสำหรับแต่ละชั่วโมงถัดไป (เต็มหรือไม่สมบูรณ์) - 55 รูเบิล ฉันควรจ่ายค่าเรือเช่าสองวันกี่รูเบิล?

อะไร ประเด็นหลักสูตร?

สูตรนี้ให้คุณค้นหา ใดๆ ตามหมายเลขของเขา " เอ็น" .

แน่นอนว่าคุณต้องรู้เทอมแรกด้วย 1และความแตกต่างความก้าวหน้า งหากไม่มีพารามิเตอร์เหล่านี้ คุณจะไม่สามารถเขียนความก้าวหน้าที่เฉพาะเจาะจงได้

การท่องจำ (หรือการเปล) สูตรนี้ไม่เพียงพอ คุณต้องเข้าใจสาระสำคัญและนำสูตรไปใช้ในปัญหาต่างๆ และอย่าลืมในช่วงเวลาที่เหมาะสมด้วย ใช่...) อย่างไร อย่าลืม- ฉันไม่รู้. แต่ วิธีการจำหากจำเป็นฉันจะแนะนำให้คุณอย่างแน่นอน สำหรับผู้ที่เรียนจบบทเรียนแล้ว)

มาดูสูตรของเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กันดีกว่า

โดยทั่วไปสูตรคืออะไร? ยังไงซะลองดูถ้าคุณยังไม่ได้อ่าน ทุกอย่างเรียบง่ายที่นั่น มันยังคงคิดออกว่ามันคืออะไร เทอมที่ n.

ความก้าวหน้าใน มุมมองทั่วไปสามารถเขียนเป็นชุดตัวเลขได้:

1, 2, 3, 4, 5, .....

1- หมายถึงเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ 3- สมาชิกคนที่สาม 4- ที่สี่และอื่น ๆ หากเราสนใจเทอมที่ 5 สมมติว่าเรากำลังดำเนินการอยู่ 5ถ้าหนึ่งร้อยยี่สิบ - ส 120.

เราจะนิยามมันในแง่ทั่วไปได้อย่างไร? ใดๆเทอมของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วย ใดๆตัวเลข? ง่ายมาก! แบบนี้:

หนึ่ง

นี่คือมัน ระยะที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ตัวอักษร n ซ่อนหมายเลขสมาชิกทั้งหมดในคราวเดียว: 1, 2, 3, 4 และอื่นๆ

และบันทึกดังกล่าวให้อะไรเราบ้าง? ลองคิดดู แทนที่จะเขียนตัวเลข พวกเขาเขียนจดหมาย...

สัญกรณ์นี้ทำให้เรามีเครื่องมืออันทรงพลังสำหรับการทำงานกับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ การใช้สัญกรณ์ หนึ่งเราก็สามารถค้นหาได้อย่างรวดเร็ว ใดๆสมาชิก ใดๆความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และแก้ไขปัญหาความก้าวหน้าอื่นๆ อีกมากมาย คุณจะเห็นเองต่อไป

ในสูตรระยะที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์:

n = 1 + (n-1)d

1- เทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

n- หมายเลขสมาชิก

สูตรนี้เชื่อมโยงพารามิเตอร์หลักของความก้าวหน้าใดๆ: หนึ่ง ; 1 ; งและ n. ปัญหาความก้าวหน้าทั้งหมดเกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์เหล่านี้

สูตรเทอมที่ n ยังสามารถใช้เพื่อเขียนความก้าวหน้าที่เฉพาะเจาะจงได้ ตัวอย่างเช่น ปัญหาอาจบอกว่าความก้าวหน้าถูกระบุตามเงื่อนไข:

n = 5 + (n-1) 2.

ปัญหาดังกล่าวอาจเป็นทางตันได้... ไม่มีทั้งอนุกรมหรือความแตกต่าง... แต่เมื่อเปรียบเทียบเงื่อนไขกับสูตรก็เข้าใจได้ง่ายว่าในความก้าวหน้านี้ ก 1 =5 และ d=2

และอาจแย่ยิ่งกว่านั้นอีก!) หากเราใช้เงื่อนไขเดียวกัน: n = 5 + (n-1) 2,ใช่ เปิดวงเล็บแล้วนำอันที่คล้ายกันมาใช่ไหม เราได้รับสูตรใหม่:

n = 3 + 2n

นี้ ไม่ใช่เพียงเรื่องทั่วไป แต่เพื่อความก้าวหน้าโดยเฉพาะ นี่คือจุดที่หลุมพรางซ่อนตัวอยู่ บางคนคิดว่าเทอมแรกคือสาม แม้ว่าในความเป็นจริงเทอมแรกคือห้า... ต่ำกว่านี้อีกเล็กน้อยเราจะใช้กับสูตรที่ดัดแปลงดังกล่าว

ในปัญหาความก้าวหน้า มีสัญลักษณ์อื่น - n+1- ตามที่คุณเดา นี่คือคำว่า "n บวกก่อน" ของความก้าวหน้า ความหมายเรียบง่ายและไม่เป็นอันตราย) นี่คือสมาชิกของความก้าวหน้าซึ่งมีจำนวนมากกว่าจำนวน n คูณหนึ่ง ตัวอย่างเช่นหากเราประสบปัญหาบางอย่าง หนึ่งเทอมที่ห้าแล้ว n+1จะเป็นสมาชิกคนที่หก และสิ่งที่คล้ายกัน

ส่วนใหญ่มักเป็นการกำหนด n+1พบได้ในสูตรการเกิดซ้ำ อย่ากลัวคำที่น่ากลัวนี้!) นี่เป็นเพียงวิธีหนึ่งในการแสดงสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ผ่านอันที่แล้วสมมติว่าเราได้รับความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบนี้ โดยใช้สูตรที่เกิดซ้ำ:

n+1 = n +3

ก 2 = ก 1 + 3 = 5+3 = 8

3 = 2 + 3 = 8+3 = 11

ครั้งที่สี่ - ถึงครั้งที่สาม, ครั้งที่ห้า - ถึงครั้งที่สี่และอื่น ๆ เราจะนับเทอมที่ยี่สิบได้ทันทีได้อย่างไร? 20- แต่ไม่มีทาง!) กว่าจะรู้งวดที่ 19 เราก็นับงวดที่ 20 ไม่ได้ นี่คือความแตกต่างพื้นฐานระหว่างสูตรที่เกิดซ้ำและสูตรของเทอมที่ n เกิดขึ้นซ้ำทำงานผ่านเท่านั้น ก่อนหน้าและสูตรของเทอมที่ n ก็คือผ่าน อันดับแรกและอนุญาต ทันทีค้นหาสมาชิกคนใดคนหนึ่งตามหมายเลขของมัน โดยไม่ต้องคำนวณเลขทั้งชุดตามลำดับ

ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องง่ายที่จะเปลี่ยนสูตรที่เกิดซ้ำให้เป็นสูตรปกติ นับคู่เงื่อนไขติดต่อกัน คำนวณผลต่าง ง,ค้นหาเทอมแรกหากจำเป็น 1เขียนสูตรในรูปแบบปกติแล้วดำเนินการตามสูตรนั้น งานดังกล่าวมักพบใน State Academy of Sciences

การใช้สูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

อันดับแรก มาดูการประยุกต์ใช้สูตรโดยตรงกันก่อน ในตอนท้ายของบทเรียนก่อนหน้านี้มีปัญหา:

มีการกำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ค้นหา 121 ถ้า 1 =3 และ d=1/6

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้สูตรใดๆ เพียงแค่ยึดตามความหมายของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ เพิ่มและเพิ่ม... หนึ่งหรือสองชั่วโมง)

และตามสูตรการแก้ปัญหาจะใช้เวลาไม่ถึงนาที จับเวลาได้นะครับ) มาตัดสินใจกัน

เงื่อนไขให้ข้อมูลทั้งหมดสำหรับการใช้สูตร: ก 1 =3, ง=1/6ยังคงต้องหาว่าอะไรจะเท่ากัน n.ไม่มีคำถาม! เราจำเป็นต้องค้นหา 121- ดังนั้นเราจึงเขียน:

โปรดใส่ใจ! แทนที่จะเป็นดัชนี nมีตัวเลขเฉพาะปรากฏขึ้น: 121 ซึ่งค่อนข้างสมเหตุสมผล) เราสนใจสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หมายเลขหนึ่งร้อยยี่สิบเอ็ดนี่จะเป็นของเรา n.นี่คือความหมาย n= 121 เราจะแทนที่เพิ่มเติมในสูตรในวงเล็บ เราแทนที่ตัวเลขทั้งหมดลงในสูตรแล้วคำนวณ:

121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

แค่นั้นแหละ. อย่างรวดเร็วพอๆ กับที่เราสามารถหาเทอมห้าร้อยสิบ และพันสาม ได้อย่างใดอย่างหนึ่ง เราใส่แทน nหมายเลขที่ต้องการในดัชนีตัวอักษร " ก"และในวงเล็บแล้วเราก็นับ

ฉันขอเตือนคุณถึงประเด็น: สูตรนี้ช่วยให้คุณค้นหาได้ ใดๆระยะความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ตามหมายเลขของเขา " เอ็น" .

มาแก้ไขปัญหาอย่างมีไหวพริบมากขึ้น ให้เราเจอปัญหาต่อไปนี้:

ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า 17 =-2; ง=-0.5.

หากคุณมีปัญหาใด ๆ ฉันจะบอกคุณขั้นตอนแรก เขียนสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์!ใช่ใช่ จดด้วยมือของคุณลงในสมุดบันทึกของคุณ:

n = 1 + (n-1)d

และตอนนี้เมื่อดูตัวอักษรของสูตรเราก็เข้าใจแล้วว่าเรามีข้อมูลอะไรบ้างและขาดอะไรไป? มีอยู่ ง=-0.5,มีสมาชิกคนที่สิบเจ็ด...นั่นเหรอ? ถ้าคิดอย่างนั้นก็แก้ปัญหาไม่ได้ ใช่...

เรายังมีเบอร์อยู่ n- อยู่ในสภาพ 17 =-2ที่ซ่อนอยู่ สองพารามิเตอร์นี่คือทั้งค่าของเทอมที่สิบเจ็ด (-2) และจำนวน (17) เหล่านั้น. n=17."เรื่องเล็ก" นี้มักจะหลุดผ่านหัวและหากไม่มีมัน (หากไม่มี "เรื่องเล็ก" ไม่ใช่หัว!) ปัญหาก็ไม่สามารถแก้ไขได้ แม้ว่า...และไม่มีหัวด้วยก็ตาม)

ตอนนี้เราสามารถแทนที่ข้อมูลของเราลงในสูตรอย่างโง่เขลาได้:

17 = 1 + (17-1)·(-0.5)

โอ้ใช่ 17เรารู้ว่ามันคือ -2 เอาล่ะ มาแทนที่กัน:

-2 = เอ 1 + (17-1)·(-0.5)

นั่นคือทั้งหมด ยังคงแสดงระยะแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จากสูตรและคำนวณ คำตอบจะเป็น: ก 1 = 6

เทคนิคนี้ - การเขียนสูตรและเพียงแทนที่ข้อมูลที่ทราบ - สามารถช่วยได้มากในงานง่ายๆ แน่นอนว่าคุณต้องสามารถแสดงตัวแปรจากสูตรได้ แต่จะทำยังไง!? หากไม่มีทักษะนี้ คณิตศาสตร์ก็อาจจะเรียนไม่ได้เลย...

อีกหนึ่งปริศนายอดนิยม:

ค้นหาผลต่างของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) ถ้า 1 =2; 15 = 12.

เรากำลังทำอะไรอยู่? คุณจะแปลกใจเรากำลังเขียนสูตร!)

n = 1 + (n-1)d

ลองพิจารณาสิ่งที่เรารู้: ก 1 =2; ก 15 =12; และ (ฉันจะเน้นเป็นพิเศษ!) n=15. อย่าลังเลที่จะแทนที่สิ่งนี้ลงในสูตร:

12=2 + (15-1)ง

เราทำคณิตศาสตร์)

12=2 + 14ง

ง=10/14 = 5/7

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง

ดังนั้นงานสำหรับ เอ็น 1และ งตัดสินใจแล้ว. สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีค้นหาหมายเลข:

หมายเลข 99 เป็นสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) โดยที่ 1 =12; ง=3. ค้นหาหมายเลขของสมาชิกท่านนี้

เราแทนที่ปริมาณที่เรารู้จักเป็นสูตรของเทอมที่ n:

n = 12 + (n-1) 3

เมื่อมองแวบแรก มีปริมาณที่ไม่ทราบจำนวนสองปริมาณที่นี่: n และ nแต่ หนึ่ง- นี่คือสมาชิกบางส่วนของความก้าวหน้าที่มีตัวเลข n...และเรารู้จักสมาชิกแห่งความก้าวหน้าคนนี้แล้ว! 99 ครับ เราไม่รู้เลขครับ เอ็น,ดังนั้นตัวเลขนี้คือสิ่งที่คุณต้องค้นหา เราแทนที่เงื่อนไขของความก้าวหน้า 99 ลงในสูตร:

99 = 12 + (n-1) 3

เราแสดงออกจากสูตร nเราคิด เราได้รับคำตอบ: n=30.

และตอนนี้ปัญหาในหัวข้อเดียวกัน แต่สร้างสรรค์มากขึ้น):

ตรวจสอบว่าหมายเลข 117 เป็นสมาชิกของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

ลองเขียนสูตรอีกครั้ง อะไรไม่มีพารามิเตอร์? หืม... ทำไมเราถึงได้รับตา?) เราเห็นความก้าวหน้าในระยะแรกหรือไม่? เราเห็น. นี่คือ -3.6 คุณสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย: ก 1 = -3.6ความแตกต่าง งเล่าจากซีรีย์ได้ไหม? เป็นเรื่องง่ายหากคุณรู้ว่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แตกต่างกันอย่างไร:

ง = -2.4 - (-3.6) = 1.2

ดังนั้นเราจึงทำสิ่งที่ง่ายที่สุด มันยังคงต้องจัดการกับหมายเลขที่ไม่รู้จัก nและหมายเลข 117 ที่ไม่อาจเข้าใจได้ ในปัญหาก่อนหน้านี้ อย่างน้อยก็รู้ว่าเป็นเงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ได้รับ แต่ที่นี่เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่า... จะทำอย่างไร!? จะทำอย่างไรต้องทำอย่างไร... เปิดเครื่อง ความคิดสร้างสรรค์!)

เรา สมมติท้ายที่สุดแล้ว 117 ก็เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าของเรา ด้วยหมายเลขที่ไม่รู้จัก n- และเช่นเดียวกับปัญหาที่แล้ว ลองหาเลขนี้กัน เหล่านั้น. เราเขียนสูตร (ใช่ ใช่!)) และแทนที่ตัวเลขของเรา:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

เราแสดงจากสูตรอีกครั้งnเรานับและรับ:

อ๊ะ! เลขที่ปรากฎ เศษส่วน!หนึ่งร้อยครึ่ง. และเลขเศษส่วนแบบก้าวหน้า ไม่เกิดขึ้นเราจะได้ข้อสรุปอะไร? ใช่! หมายเลข 117 ไม่ใช่สมาชิกของความก้าวหน้าของเรา มันอยู่ระหว่างเทอมหนึ่งร้อยหนึ่งกับหนึ่งร้อยสอง หากตัวเลขออกมาเป็นธรรมชาตินั่นคือ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วจำนวนนั้นก็จะเป็นสมาชิกของความก้าวหน้ากับจำนวนที่พบ และในกรณีของเรา คำตอบของปัญหาคือ: เลขที่

งานที่ใช้ GIA เวอร์ชันจริง:

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข:

n = -4 + 6.8n

ค้นหาเงื่อนไขที่หนึ่งและสิบของความก้าวหน้า

ที่นี่ความก้าวหน้าถูกกำหนดไว้ในลักษณะที่ไม่ธรรมดา สูตรบางอย่าง...มันเกิดขึ้น) อย่างไรก็ตามสูตรนี้(ตามที่ผมเขียนไว้ข้างบน)- ยังเป็นสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วย!เธอยังอนุญาต ค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าตามหมายเลขของมัน

เรากำลังมองหาสมาชิกคนแรก ผู้ที่คิด. ว่าเทอมแรกเป็นลบสี่ถือว่าผิดมหันต์!) เพราะสูตรในโจทย์ได้รับการแก้ไขแล้ว ระยะแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์นั้น ที่ซ่อนอยู่.ไม่เป็นไร เราจะหามันให้เจอแล้ว)

เช่นเดียวกับในปัญหาก่อนหน้านี้ เราทดแทน n=1วี สูตรนี้:

ก 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8

ที่นี่! เทอมแรกคือ 2.8 ไม่ใช่ -4!

เรามองหาเทอมที่สิบในลักษณะเดียวกัน:

ก 10 = -4 + 6.8 10 = 64

แค่นั้นแหละ.

และตอนนี้สำหรับผู้ที่ได้อ่านบรรทัดเหล่านี้แล้ว โบนัสที่สัญญาไว้)

สมมติว่าในสถานการณ์การต่อสู้ที่ยากลำบากของการสอบรัฐหรือการสอบ Unified State คุณลืมสูตรที่มีประโยชน์สำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ฉันจำอะไรบางอย่างได้ แต่ก็ไม่แน่ใจ... nที่นั่นหรือ n+1 หรือ น-1...เป็นยังไงบ้าง!?

เงียบสงบ! สูตรนี้ได้มาง่าย ไม่เคร่งครัดมากนัก แต่เพื่อความมั่นใจและ การตัดสินใจที่ถูกต้องเพียงพอแล้ว!) ในการสรุปก็เพียงพอแล้วที่จะจำความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์และมีเวลาสองสามนาที คุณเพียงแค่ต้องวาดภาพ เพื่อความชัดเจน

วาดเส้นจำนวนและทำเครื่องหมายเส้นแรกไว้ ที่สอง สาม ฯลฯ สมาชิก และเราสังเกตความแตกต่าง งระหว่างสมาชิก แบบนี้:

เราดูภาพแล้วคิดว่าเทอมที่สองเท่ากับอะไร? ที่สอง หนึ่ง ง:

ก 2 =ก1+ 1 ง

ระยะที่สามคืออะไร? ที่สามเทอมเท่ากับเทอมแรกบวก สอง ง.

ก 3 =ก1+ 2 ง

คุณได้รับมัน? ไม่ใช่เพื่ออะไรที่ฉันเน้นคำบางคำด้วยตัวหนา เอาล่ะ อีกก้าวหนึ่ง)

ระยะที่สี่คืออะไร? ที่สี่เทอมเท่ากับเทอมแรกบวก สาม ง.

ก 4 =ก1+ 3 ง

ถึงเวลาที่ต้องตระหนักว่าจำนวนช่องว่างเช่น ง, เสมอ น้อยกว่าจำนวนสมาชิกที่คุณกำลังมองหา n. นั่นคือเป็นจำนวน n จำนวนช่องว่างจะ n-1.ดังนั้นสูตรจะเป็น (ไม่มีรูปแบบ!):

n = 1 + (n-1)d

โดยทั่วไป รูปภาพมีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มากมาย อย่าละเลยภาพ แต่ถ้าวาดภาพยากก็... แค่สูตร!) นอกจากนี้สูตรของเทอมที่ n ยังช่วยให้คุณเชื่อมโยงคลังแสงทางคณิตศาสตร์อันทรงพลังทั้งหมดเข้ากับวิธีแก้ปัญหา - สมการ อสมการ ระบบ ฯลฯ คุณไม่สามารถแทรกรูปภาพลงในสมการได้...

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

วิธีอุ่นเครื่อง:

1. ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) a 2 =3; ก 5 = 5.1 หา 3.

คำแนะนำ: ตามภาพ ปัญหาจะแก้ได้ภายใน 20 วินาที... ตามสูตรจะยิ่งยากขึ้น แต่การจะเชี่ยวชาญสูตรจะมีประโยชน์มากกว่า) ในมาตรา 555 ปัญหานี้แก้ไขได้โดยใช้ทั้งรูปและสูตร รู้สึกถึงความแตกต่าง!)

และนี่ไม่ใช่การอุ่นเครื่องอีกต่อไป)

2. ในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. หา 3

ไม่อยากวาดรูปเหรอ?) แน่นอน! ตามสูตรเลยดีกว่าครับ...

3. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดตามเงื่อนไข:ก 1 = -5.5; n+1 = n +0.5 จงหาระยะที่หนึ่งร้อยยี่สิบห้าของความก้าวหน้านี้

ในงานนี้ ความก้าวหน้าจะถูกระบุในลักษณะที่เกิดซ้ำ แต่นับถึงเทอมที่หนึ่งร้อยยี่สิบห้า... ไม่ใช่ทุกคนที่สามารถทำผลงานได้ขนาดนี้) แต่สูตรของเทอมที่ n นั้นอยู่ในอำนาจของทุกคน!

4. เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

ค้นหาจำนวนพจน์ที่เป็นบวกน้อยที่สุดของความก้าวหน้า

5. ตามเงื่อนไขของภารกิจที่ 4 ค้นหาผลรวมของเงื่อนไขเชิงบวกที่น้อยที่สุดและเชิงลบที่ใหญ่ที่สุดของความก้าวหน้า

6. ผลคูณของเทอมที่ห้าและสิบสองของการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้นคือ -2.5 และผลรวมของเทอมที่สามและสิบเอ็ดเป็นศูนย์ หา 14.

ไม่ใช่งานที่ง่ายที่สุด ใช่แล้ว...) วิธี "ปลายนิ้ว" ใช้ไม่ได้ผลที่นี่ คุณจะต้องเขียนสูตรและแก้สมการ

คำตอบ (อยู่ในความระส่ำระสาย):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

มันได้ผลเหรอ? มันดี!)

ทุกอย่างไม่ได้ผลใช่ไหม? เกิดขึ้น อย่างไรก็ตาม มีจุดละเอียดอ่อนจุดหนึ่งในงานสุดท้าย จะต้องได้รับการดูแลเมื่ออ่านปัญหา และตรรกะ

วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้มีการอภิปรายโดยละเอียดในมาตรา 555 และองค์ประกอบของจินตนาการสำหรับส่วนที่สี่และประเด็นย่อยสำหรับส่วนที่หกและแนวทางทั่วไปในการแก้ปัญหาใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับสูตรของเทอมที่ n - ทุกอย่างอธิบายไว้ ฉันแนะนำมัน