นิพจน์การแปลงนิพจน์

การแสดงออกทางอำนาจ (การแสดงออกด้วยพลัง) และการเปลี่ยนแปลง

ในบทความนี้ เราจะพูดถึงการแปลงนิพจน์ที่มีพลัง อันดับแรก เราจะเน้นไปที่การเปลี่ยนแปลงที่ดำเนินการด้วยนิพจน์ทุกประเภท รวมถึง การแสดงออกถึงพลังเช่น วงเล็บเปิดและนำคำที่คล้ายกันมา จากนั้นเราจะวิเคราะห์การแปลงที่มีอยู่ในนิพจน์ที่มีองศาโดยเฉพาะ เช่น การทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง โดยใช้คุณสมบัติขององศา เป็นต้น

การนำทางหน้า

การแสดงออกถึงอำนาจคืออะไร?

คำว่า "การแสดงออกถึงอำนาจ" ในทางปฏิบัติไม่ปรากฏในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แต่ปรากฏค่อนข้างบ่อยในคอลเลกชันของปัญหา โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่มีไว้สำหรับการเตรียมสอบ Unified State และ Unified State Exam เป็นต้น หลังจากวิเคราะห์งานที่จำเป็นในการดำเนินการใดๆ ด้วยการแสดงออกถึงอำนาจ จะเห็นได้ชัดว่าการแสดงออกถึงอำนาจนั้นถูกเข้าใจว่าเป็นการแสดงออกที่มีพลังในรายการของพวกเขา ดังนั้น คุณสามารถยอมรับคำจำกัดความต่อไปนี้ได้ด้วยตนเอง:

คำนิยาม.

การแสดงออกถึงพลังเป็นสำนวนที่มีองศา

ให้กันเถอะ ตัวอย่างการแสดงออกถึงอำนาจ. นอกจากนี้ เราจะนำเสนอตามพัฒนาการของมุมมองจากดีกรีที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติไปจนถึงดีกรีที่มีเลขชี้กำลังจริงเกิดขึ้นได้อย่างไร

ดังที่ทราบกันดี อันดับแรกจะทำความคุ้นเคยกับกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ ในขั้นตอนนี้ นิพจน์กำลังที่ง่ายที่สุดประเภทแรกคือ 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1) 4, 3 a 2 ปรากฏ −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 เป็นต้น

หลังจากนั้นไม่นาน จะมีการศึกษากำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ซึ่งนำไปสู่การปรากฏของนิพจน์กำลังที่มีกำลังจำนวนเต็มลบ ดังต่อไปนี้: 3 −2, , a −2 +2 b −3 +c 2 .

ในโรงเรียนมัธยมปลายพวกเขากลับไปสู่ระดับปริญญา มีการแนะนำปริญญา ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลซึ่งนำมาซึ่งรูปลักษณ์ของการแสดงออกทางอำนาจที่สอดคล้องกัน: , , และอื่น ๆ ในที่สุด องศาที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัวและนิพจน์ที่มีพวกมันจะได้รับการพิจารณา: , .

เรื่องนี้ไม่ได้จำกัดอยู่ที่นิพจน์ยกกำลังที่ระบุไว้: ตัวแปรจะแทรกเข้าไปในเลขชี้กำลังเพิ่มเติม และตัวอย่าง นิพจน์ต่อไปนี้เกิดขึ้น: 2 x 2 +1 หรือ . และหลังจากทำความคุ้นเคยกับ นิพจน์ที่มีกำลังและลอการิทึมก็เริ่มปรากฏขึ้น เช่น x 2·lgx −5·x lgx

ดังนั้นเราจึงต้องจัดการกับคำถามที่ว่าการแสดงออกถึงอำนาจหมายถึงอะไร ต่อไปเราจะเรียนรู้ที่จะเปลี่ยนแปลงพวกเขา

การแปลงรูปแบบหลักของการแสดงออกทางอำนาจ

ด้วยนิพจน์กำลัง คุณสามารถดำเนินการแปลงข้อมูลประจำตัวพื้นฐานของนิพจน์ใดๆ ได้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถเปิดวงเล็บ แทนที่นิพจน์ตัวเลขด้วยค่าของมัน เพิ่มคำที่คล้ายกัน เป็นต้น โดยปกติแล้วในกรณีนี้จำเป็นต้องปฏิบัติตามขั้นตอนที่ยอมรับในการดำเนินการ ลองยกตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

คำนวณค่านิพจน์ยกกำลัง 2 3 ·(4 2 −12)

สารละลาย.

ตามลำดับการดำเนินการ ให้ดำเนินการในวงเล็บก่อน อันดับแรกเราแทนที่กำลัง 4 2 ด้วยค่าของมัน 16 (หากจำเป็น โปรดดู) และประการที่สอง เราคำนวณความแตกต่าง 16−12=4 เรามี 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

ในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะแทนที่กำลัง 2 3 ด้วยค่าของมันคือ 8 หลังจากนั้นเราคำนวณผลคูณ 8·4=32 นี่คือค่าที่ต้องการ

ดังนั้น, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

คำตอบ:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ด้วยพลัง 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

สารละลาย.

แน่นอนว่า สำนวนนี้มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน 3·a 4 ·b −7 และ 2·a 4 ·b −7 และเราสามารถนำเสนอได้:

คำตอบ:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

ตัวอย่าง.

แสดงการแสดงออกที่มีอำนาจเป็นผลิตภัณฑ์

สารละลาย.

คุณสามารถรับมือกับงานได้โดยแสดงเลข 9 เป็นกำลังของ 3 2 จากนั้นใช้สูตรการคูณแบบย่อ - ผลต่างของกำลังสอง:

คำตอบ:

นอกจากนี้ยังมีการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันจำนวนหนึ่งซึ่งมีอยู่ในการแสดงออกทางอำนาจโดยเฉพาะ เราจะวิเคราะห์เพิ่มเติม

การทำงานกับฐานและเลขชี้กำลัง

มีองศาหลายระดับที่ฐานและ/หรือเลขชี้กำลังไม่ได้เป็นเพียงตัวเลขหรือตัวแปร แต่ยังมีบางนิพจน์ด้วย ตามตัวอย่าง เราใส่ค่า (2+0.3·7) 5−3.7 และ (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1)

เมื่อทำงานกับนิพจน์ที่คล้ายกัน คุณสามารถแทนที่ทั้งนิพจน์ที่เป็นฐานของดีกรีและนิพจน์ในเลขชี้กำลังได้เหมือนกัน การแสดงออกที่เท่าเทียมกันบน ODZ ของตัวแปร กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตามกฎที่เราทราบ เราสามารถแยกการแปลงฐานของดีกรีและแยกเลขยกกำลังออกจากกัน เป็นที่ชัดเจนว่าจากการเปลี่ยนแปลงนี้ จะได้รับการแสดงออกที่เหมือนกันกับต้นฉบับ

การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวช่วยให้เราสามารถลดความซับซ้อนของการแสดงออกด้วยพลังหรือบรรลุเป้าหมายอื่นๆ ที่เราต้องการ ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ยกกำลังที่กล่าวถึงข้างต้น (2+0.3 7) 5−3.7 คุณสามารถดำเนินการกับตัวเลขในฐานและเลขชี้กำลังได้ ซึ่งจะช่วยให้คุณสามารถเลื่อนไปยกกำลัง 4.1 1.3 ได้ และหลังจากเปิดวงเล็บแล้วนำพจน์ที่คล้ายกันมาไว้ที่ฐานของดีกรี (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) เราจะได้นิพจน์กำลังของรูปแบบที่ง่ายกว่า a 2·(x+ 1) .

การใช้คุณสมบัติปริญญา

หนึ่งในเครื่องมือหลักในการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกด้วยพลังคือความเท่าเทียมกันที่สะท้อนให้เห็น ให้เราจำหลักๆ สำหรับจำนวนบวก a และ b และจำนวนจริงใดๆ r และ s ใดๆ คุณสมบัติของกำลังต่อไปนี้จะเป็นจริง:

• r ·a s = r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ก·ข) r = ร ร ·ข r ;
• (มี:ข) ร =มี ร:b ร ;
• (มี r) s = มี r·s .

โปรดทราบว่าสำหรับเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และบวก ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวเลข a และ b อาจไม่เข้มงวดมากนัก ตัวอย่างเช่นสำหรับ ตัวเลขธรรมชาติ m และ n ความเท่าเทียมกัน a m ·a n =a m+n เป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับค่าบวก a เท่านั้น แต่ยังสำหรับค่าลบ a ด้วย และสำหรับ a=0 ด้วย

ที่โรงเรียน จุดสนใจหลักในการเปลี่ยนแปลงการแสดงออกทางอำนาจคือความสามารถในการเลือกคุณสมบัติที่เหมาะสมและนำไปใช้อย่างถูกต้อง ในกรณีนี้ ฐานขององศามักจะเป็นค่าบวก ซึ่งทำให้สามารถใช้คุณสมบัติขององศาได้โดยไม่มีข้อจำกัด เช่นเดียวกับการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่มีตัวแปรในฐานของกำลัง - ช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปรมักจะเป็นเช่นนั้นโดยที่ฐานจะใช้เฉพาะค่าบวกเท่านั้นซึ่งช่วยให้คุณสามารถใช้คุณสมบัติของกำลังได้อย่างอิสระ . โดยทั่วไปคุณต้องถามตัวเองอยู่เสมอว่าในกรณีนี้เป็นไปได้หรือไม่ที่จะใช้คุณสมบัติขององศาใด ๆ เนื่องจากการใช้คุณสมบัติที่ไม่ถูกต้องอาจนำไปสู่การลดคุณค่าทางการศึกษาและปัญหาอื่น ๆ ประเด็นเหล่านี้จะกล่าวถึงโดยละเอียดพร้อมตัวอย่างในบทความ การแปลงนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติขององศา ที่นี่เราจะจำกัดตัวเองให้พิจารณาตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

เขียนนิพจน์ a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 เป็นกำลังที่มีฐาน a

สารละลาย.

ขั้นแรก เราแปลงปัจจัยที่สอง (a 2) −3 โดยใช้คุณสมบัติของการเพิ่มกำลังเป็นยกกำลัง: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. การแสดงออกยกกำลังดั้งเดิมจะอยู่ในรูปแบบ 2.5 ·a −6:a −5.5 แน่นอนว่าเรายังคงใช้คุณสมบัติการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานเดียวกันอยู่
ก 2.5 ·ก −6:a −5.5 =
ก 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
ก −3.5−(−5.5) =a 2

คำตอบ:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

คุณสมบัติของพลังเมื่อแปลงนิพจน์พลังจะใช้ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย

ตัวอย่าง.

ค้นหาค่าของการแสดงออกยกกำลัง

สารละลาย.

ความเสมอภาค (a·b) r =a r ·b r ใช้จากขวาไปซ้าย ช่วยให้เราย้ายจากนิพจน์ดั้งเดิมไปสู่ผลคูณของแบบฟอร์มและต่อไปอีก และเมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะรวมกันเป็น: .

เป็นไปได้ที่จะแปลงการแสดงออกดั้งเดิมด้วยวิธีอื่น:

คำตอบ:

.

ตัวอย่าง.

เมื่อพิจารณานิพจน์ยกกำลัง 1.5 −a 0.5 −6 ให้แนะนำตัวแปรใหม่ t=a 0.5

สารละลาย.

องศา a 1.5 สามารถแสดงเป็น 0.5 3 จากนั้นขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของระดับถึงดีกรี (a r) s = a r s เมื่อประยุกต์จากขวาไปซ้าย ให้แปลงเป็นรูปแบบ (a 0.5) 3 ดังนั้น, ก 1.5 −ก 0.5 −6=(ก 0.5) 3 −ก 0.5 −6. ตอนนี้เป็นเรื่องง่ายที่จะแนะนำตัวแปรใหม่ t=a 0.5 เราได้ t 3 −t−6

คำตอบ:

เสื้อ 3 −t−6 .

การแปลงเศษส่วนที่มีกำลัง

นิพจน์ยกกำลังสามารถมีหรือแสดงเศษส่วนด้วยกำลังได้ การแปลงเศษส่วนขั้นพื้นฐานใดๆ ที่มีอยู่ในเศษส่วนชนิดใดก็ตามสามารถนำไปใช้กับเศษส่วนดังกล่าวได้อย่างสมบูรณ์ นั่นคือเศษส่วนที่มีกำลังสามารถลดลง ลดเหลือตัวส่วนใหม่ ทำงานแยกกันโดยมีตัวเศษและแยกกันกับตัวส่วน เป็นต้น เพื่ออธิบายคำเหล่านี้ ให้พิจารณาวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างต่างๆ

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกถึงพลัง .

สารละลาย.

การแสดงออกยกกำลังนี้เป็นเศษส่วน มาทำงานกับทั้งเศษและส่วนของมันกันดีกว่า. ในตัวเศษเราจะเปิดวงเล็บและทำให้นิพจน์ผลลัพธ์ง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของกำลังและในตัวส่วนเราจะนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

และลองเปลี่ยนเครื่องหมายของตัวส่วนโดยใส่เครื่องหมายลบไว้หน้าเศษส่วน: .

คำตอบ:

.

การลดเศษส่วนที่มีกำลังให้กับตัวส่วนใหม่นั้นจะดำเนินการในลักษณะเดียวกับการลดทอนตัวส่วนใหม่ เศษส่วนตรรกยะ. ในกรณีนี้ จะพบปัจจัยเพิ่มเติมและตัวเศษและส่วนของเศษส่วนจะถูกคูณด้วย เมื่อดำเนินการนี้ ควรจำไว้ว่าการลดตัวส่วนใหม่อาจทำให้ VA แคบลงได้ เพื่อป้องกันไม่ให้สิ่งนี้เกิดขึ้น จำเป็นที่ปัจจัยเพิ่มเติมจะต้องไม่เป็นศูนย์สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปรจากตัวแปร ODZ สำหรับนิพจน์ดั้งเดิม

ตัวอย่าง.

ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนใหม่: a) เป็นตัวส่วน a, b) ถึงตัวส่วน

สารละลาย.

ก) ในกรณีนี้ มันค่อนข้างง่ายที่จะทราบว่าตัวคูณเพิ่มเติมตัวใดที่ช่วยให้ได้ผลลัพธ์ตามที่ต้องการ นี่คือตัวคูณของ 0.3 เนื่องจาก 0.7 ·a 0.3 =a 0.7+0.3 =a โปรดทราบว่าในช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร a (นี่คือเซตของจำนวนจริงบวกทั้งหมด) กำลังของ 0.3 จะไม่หายไป ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์ที่จะคูณตัวเศษและส่วนของค่าที่กำหนด เศษส่วนตามปัจจัยเพิ่มเติมนี้:

b) เมื่อพิจารณาตัวส่วนให้ละเอียดยิ่งขึ้น คุณจะพบว่า

และการคูณนิพจน์นี้ด้วยจะให้ผลรวมของลูกบาศก์ และ นั่นคือ . และนี่คือตัวส่วนใหม่ที่เราจะต้องลดเศษส่วนเดิมลงไป.

นี่คือวิธีที่เราพบปัจจัยเพิ่มเติม ในช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x และ y นิพจน์จะไม่หายไปดังนั้นเราจึงสามารถคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนได้:

คำตอบ:

ก) , ข) .

นอกจากนี้ยังไม่มีอะไรใหม่ในการลดเศษส่วนที่มีพลัง: ตัวเศษและส่วนจะแสดงเป็นจำนวนตัวประกอบ และตัวประกอบเดียวกันของตัวเศษและตัวส่วนจะลดลง

ตัวอย่าง.

ลดเศษส่วน: ก) , ข) .

สารละลาย.

ก) ประการแรก ตัวเศษและส่วนสามารถลดลงได้ 30 และ 45 ซึ่งเท่ากับ 15 เห็นได้ชัดว่าเป็นไปได้ที่จะลดลง x 0.5 +1 และทีละ . นี่คือสิ่งที่เรามี:

b) ในกรณีนี้ จะไม่เห็นตัวประกอบในตัวเศษและส่วนที่เหมือนกันในทันที เพื่อให้ได้มาคุณจะต้องทำการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น ในกรณีนี้ ประกอบด้วยการแยกตัวประกอบตัวส่วนโดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:

คำตอบ:

ก)

ข) .

การแปลงเศษส่วนเป็นตัวส่วนใหม่และเศษส่วนตัวลดมักใช้ในการทำเศษส่วน การดำเนินการจะดำเนินการตามกฎที่ทราบ เมื่อบวก (ลบ) เศษส่วนจะลดลงเหลือ ตัวส่วนร่วมหลังจากนั้นตัวเศษจะถูกบวก (ลบออก) แต่ตัวส่วนยังคงเท่าเดิม ผลลัพธ์ที่ได้คือเศษส่วนที่ตัวเศษเป็นผลคูณของตัวเศษ และตัวส่วนเป็นผลคูณของตัวส่วน การหารด้วยเศษส่วนคือการคูณด้วยการผกผัน

ตัวอย่าง.

ทำตามขั้นตอน .

สารละลาย.

ขั้นแรก เราลบเศษส่วนในวงเล็บ ในการทำสิ่งนี้ เรานำพวกมันมาเป็นตัวส่วนร่วมซึ่งก็คือ หลังจากนั้นเราก็ลบตัวเศษ:

ตอนนี้เราคูณเศษส่วน:

แน่นอน มันเป็นไปได้ที่จะลดลงยกกำลัง x 1/2 หลังจากนั้นเราก็ได้ .

คุณยังสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ยกกำลังในตัวส่วนได้โดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง: .

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

ลดความซับซ้อนของการแสดงออกถึงพลัง .

สารละลาย.

แน่นอนว่าเศษส่วนนี้สามารถลดลงได้ (x 2.7 +1) 2 ซึ่งจะได้เศษส่วน . เห็นได้ชัดว่าจำเป็นต้องทำอย่างอื่นด้วยกำลังของ X ในการทำเช่นนี้ เราจะแปลงเศษส่วนผลลัพธ์ให้เป็นผลคูณ นี่ทำให้เรามีโอกาสที่จะใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติของการแบ่งอำนาจที่มีฐานเดียวกัน: . และในตอนท้ายของกระบวนการ เราย้ายจากผลคูณสุดท้ายไปเป็นเศษส่วน.

คำตอบ:

.

และให้เราเพิ่มเติมด้วยว่าเป็นไปได้ และในหลายกรณี เป็นเรื่องที่พึงประสงค์ในการโอนแฟกเตอร์ที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบจากตัวเศษไปยังตัวส่วน หรือจากตัวส่วนเป็นตัวเศษ โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของเลขชี้กำลัง การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวมักจะทำให้การดำเนินการเพิ่มเติมง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น นิพจน์ยกกำลังสามารถแทนที่ได้ด้วย

การแปลงนิพจน์ด้วยรากและกำลัง

มักเป็นสำนวนที่จำเป็นต้องมีการแปลงบางอย่างพร้อมด้วยพลังด้วย ตัวชี้วัดเศษส่วนมีรากอยู่ด้วย หากต้องการแปลงการแสดงออกให้เป็นรูปแบบที่ต้องการ ในกรณีส่วนใหญ่ ไปที่รากหรือเฉพาะพลังเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว แต่เนื่องจากสะดวกกว่าในการทำงานกับพลัง พวกเขาจึงมักจะย้ายจากรากไปสู่พลัง อย่างไรก็ตาม ขอแนะนำให้ดำเนินการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวเมื่อ ODZ ของตัวแปรสำหรับนิพจน์ดั้งเดิมอนุญาตให้คุณแทนที่รากด้วยกำลังโดยไม่จำเป็นต้องอ้างอิงถึงโมดูลหรือแยก ODZ ออกเป็นหลายช่วง (เราได้กล่าวถึงรายละเอียดในเรื่องนี้แล้ว การเปลี่ยนบทความจากรากไปสู่พลังและด้านหลังหลังจากทำความคุ้นเคยกับระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะแล้วจะมีการแนะนำระดับที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัวซึ่งช่วยให้เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังจริงตามอำเภอใจ ในขั้นตอนนี้ โรงเรียนเริ่ม ศึกษา ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งได้รับการวิเคราะห์โดยยกกำลัง ฐานเป็นตัวเลข และเลขยกกำลังเป็นตัวแปร ดังนั้นเราจึงต้องเผชิญกับนิพจน์กำลังที่มีตัวเลขอยู่ในฐานของกำลังและในเลขชี้กำลัง - นิพจน์ที่มีตัวแปรและโดยธรรมชาติแล้วความจำเป็นในการแปลงนิพจน์ดังกล่าวจะเกิดขึ้น

ควรจะกล่าวว่าเมื่อทำการแก้ไขจะต้องทำการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ประเภทที่ระบุ สมการเลขชี้กำลังและ อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล และการแปลงเหล่านี้ค่อนข้างง่าย ในกรณีส่วนใหญ่อย่างล้นหลาม พวกมันจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของปริญญาและมีเป้าหมายส่วนใหญ่ในการแนะนำตัวแปรใหม่ในอนาคต สมการจะทำให้เราสามารถสาธิตพวกมันได้ 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

ประการแรก กำลังซึ่งอยู่ในเลขยกกำลังซึ่งเป็นผลรวมของตัวแปรบางตัว (หรือนิพจน์ที่มีตัวแปร) และตัวเลข จะถูกแทนที่ด้วยผลคูณ สิ่งนี้ใช้กับเงื่อนไขแรกและสุดท้ายของนิพจน์ทางด้านซ้าย:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

ต่อไปความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านจะถูกหารด้วยนิพจน์ 7 2 x ซึ่งบน ODZ ของตัวแปร x สำหรับสมการดั้งเดิมจะใช้เฉพาะค่าบวกเท่านั้น (นี่เป็นเทคนิคมาตรฐานสำหรับการแก้สมการประเภทนี้เราไม่ได้ พูดถึงมันตอนนี้ ดังนั้นให้มุ่งเน้นไปที่การเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่ตามมาด้วยพลัง ):

ตอนนี้เราสามารถหักล้างเศษส่วนด้วยยกกำลังซึ่งให้ได้ .

ในที่สุด อัตราส่วนของกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันจะถูกแทนที่ด้วยพลังของความสัมพันธ์ ส่งผลให้เกิดสมการ ซึ่งเทียบเท่ากัน . การแปลงที่ทำขึ้นทำให้เราแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งจะช่วยลดการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเดิมไปเป็นการแก้สมการกำลังสอง

I.V. Boykov, L.D. Romanovaรวบรวมงานเพื่อเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State ตอนที่ 1 เพนซ่า 2546

นิพจน์ตามตัวอักษร (หรือนิพจน์ตัวแปร) คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวอักษร และสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น นิพจน์ต่อไปนี้เป็นตัวอักษร:

ก+ข+4

การใช้นิพจน์ตัวอักษรทำให้คุณสามารถเขียนกฎ สูตร สมการ และฟังก์ชันได้ ความสามารถในการจัดการการแสดงออกของตัวอักษรเป็นกุญแจสำคัญในการมีความรู้ที่ดีเกี่ยวกับพีชคณิตและคณิตศาสตร์ขั้นสูง

ปัญหาร้ายแรงใดๆ ในคณิตศาสตร์อยู่ที่การแก้สมการ และเพื่อที่จะแก้สมการได้ คุณต้องสามารถทำงานกับนิพจน์ตามตัวอักษรได้

ในการทำงานกับนิพจน์ตามตัวอักษร คุณต้องเชี่ยวชาญคณิตศาสตร์พื้นฐานเป็นอย่างดี: การบวก การลบ การคูณ การหาร กฎพื้นฐานของคณิตศาสตร์ เศษส่วน การดำเนินการกับเศษส่วน สัดส่วน และไม่ใช่แค่ศึกษาแต่เข้าใจอย่างถ่องแท้

เนื้อหาบทเรียน

ตัวแปร

ตัวอักษรที่มีอยู่ในนิพจน์ตามตัวอักษรเรียกว่า ตัวแปร. เช่น ในนิพจน์ ก+ข+ตัวแปร 4 ตัว คือ ตัวอักษร กและ ข. หากเราแทนตัวเลขใดๆ แทนตัวแปรเหล่านี้ ก็จะเป็นนิพจน์ตามตัวอักษร ก+ข+ 4 จะกลายเป็นนิพจน์ตัวเลขที่สามารถหาค่าได้

เรียกตัวเลขที่ใช้แทนตัวแปร ค่าของตัวแปร. ตัวอย่างเช่น เรามาเปลี่ยนค่าของตัวแปรกัน กและ ข. เครื่องหมายเท่ากับใช้ในการเปลี่ยนค่า

ก = 2, ข = 3

เราได้เปลี่ยนค่าของตัวแปรแล้ว กและ ข. ตัวแปร กกำหนดค่าแล้ว 2 , ตัวแปร ขกำหนดค่าแล้ว 3 . ส่งผลให้มีการแสดงออกตามตัวอักษร ก+ข+4กลายเป็นนิพจน์ตัวเลขปกติ 2+3+4 ซึ่งสามารถหามูลค่าได้:

เมื่อคูณตัวแปรแล้ว ก็เขียนรวมกัน เช่น บันทึก เกี่ยวกับหมายถึงเหมือนกับรายการ มี×ข. ถ้าเราแทนค่าตัวแปร กและ ขตัวเลข 2 และ 3 แล้วเราจะได้ 6

คุณยังสามารถเขียนการคูณตัวเลขเข้าด้วยกันด้วยนิพจน์ในวงเล็บได้ ตัวอย่างเช่นแทนที่จะเป็น มี×(ข + ค)สามารถเขียนลงไปได้ ก(ข + ค). เราได้รับกฎการกระจายของการคูณ ก(ข + ค)=ab+เอซี.

ราคาต่อรอง

ในนิพจน์ตามตัวอักษร คุณมักจะพบสัญลักษณ์ที่ใช้เขียนตัวเลขและตัวแปรเข้าด้วยกัน เป็นต้น 3ก. นี่เป็นการจดชวเลขสำหรับการคูณเลข 3 ด้วยตัวแปร กและรายการนี้ดูเหมือนว่า 3×ก .

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการแสดงออก 3กคือผลคูณของเลข 3 และตัวแปร ก. ตัวเลข 3 ในงานนี้พวกเขาเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์. ค่าสัมประสิทธิ์นี้แสดงจำนวนครั้งที่ตัวแปรจะเพิ่มขึ้น ก. สำนวนนี้สามารถอ่านได้ว่า " กสามครั้ง" หรือ "สามครั้ง ก" หรือ "เพิ่มค่าของตัวแปร กสามครั้ง" แต่ส่วนใหญ่มักอ่านว่า "สามครั้ง ก«

เช่น ถ้าเป็นตัวแปร กเท่ากับ 5 แล้วตามด้วยค่าของนิพจน์ 3กจะเท่ากับ 15

3 × 5 = 15

การพูด ในภาษาง่ายๆโดยค่าสัมประสิทธิ์คือตัวเลขที่อยู่หน้าตัวอักษร (ก่อนตัวแปร)

สามารถมีได้หลายตัวอักษรเช่น 5เอบีซี. ที่นี่ค่าสัมประสิทธิ์คือตัวเลข 5 . ค่าสัมประสิทธิ์นี้แสดงว่าผลคูณของตัวแปร เอบีซีเพิ่มขึ้นห้าเท่า สำนวนนี้สามารถอ่านได้ว่า " เอบีซีห้าครั้ง" หรือ "เพิ่มมูลค่าของนิพจน์ เอบีซีห้าครั้ง" หรือ "ห้าครั้ง" เอบีซี«.

ถ้าแทนที่จะเป็นตัวแปร เอบีซีแทนที่ตัวเลข 2, 3 และ 4 จากนั้นแทนค่าของนิพจน์ 5เอบีซีจะเท่ากัน 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

คุณสามารถจินตนาการได้ว่าตัวเลข 2, 3 และ 4 ถูกคูณครั้งแรกอย่างไรและค่าผลลัพธ์เพิ่มขึ้นห้าเท่า:

เครื่องหมายของสัมประสิทธิ์หมายถึงเฉพาะสัมประสิทธิ์เท่านั้นและไม่สามารถใช้กับตัวแปรได้

พิจารณาการแสดงออก −6b. ลบก่อนสัมประสิทธิ์ 6 ใช้กับสัมประสิทธิ์เท่านั้น 6 และไม่ได้อยู่ในตัวแปร ข. การทำความเข้าใจข้อเท็จจริงนี้จะช่วยให้คุณไม่ทำผิดพลาดในอนาคตพร้อมกับสัญญาณ

มาหาค่าของนิพจน์กัน −6bที่ ข = 3.

−6b −6×ข. เพื่อความชัดเจน ให้เราเขียนนิพจน์กัน −6bในรูปแบบขยายและทดแทนค่าของตัวแปร ข

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาค่าของนิพจน์ −6bที่ ข = −5

ลองเขียนนิพจน์ลงไป −6bในรูปแบบขยาย

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาค่าของนิพจน์ −5a+bที่ ก = 3และ ข = 2

−5a+bนี่เป็นแบบฟอร์มสั้นๆ สำหรับ −5 × ก + ขดังนั้นเพื่อความชัดเจนเราจึงเขียนนิพจน์ −5×ก+ขในรูปแบบขยายและทดแทนค่าของตัวแปร กและ ข

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

บางครั้งตัวอักษรก็เขียนโดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นต้น กหรือ เกี่ยวกับ. ในกรณีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์คือความสามัคคี:

แต่ตามเนื้อผ้าแล้วหน่วยนี้ไม่ได้เขียนไว้ ดังนั้นพวกเขาจึงเขียนเพียงอย่างเดียว กหรือ เกี่ยวกับ

หากมีเครื่องหมายลบหน้าตัวอักษร แสดงว่าสัมประสิทธิ์เป็นตัวเลข −1 . ตัวอย่างเช่น การแสดงออก −กจริงๆ แล้วดูเหมือน −1a. นี่คือผลคูณของลบหนึ่งกับตัวแปร ก.มันกลับกลายเป็นเช่นนี้:

−1 × ก = −1a

มีการจับเล็กน้อยที่นี่ ในการแสดงออก −กเครื่องหมายลบหน้าตัวแปร กจริงๆ แล้วหมายถึง "หน่วยที่มองไม่เห็น" มากกว่าตัวแปร ก. ดังนั้นคุณควรระมัดระวังในการแก้ไขปัญหา

เช่น ถ้ากำหนดให้เป็นนิพจน์ −กและขอให้เราค้นหาคุณค่าของมันที่ ก = 2จากนั้นที่โรงเรียน เราก็เปลี่ยนสองตัวแทนตัวแปร กและได้รับคำตอบ −2 โดยไม่ได้เน้นไปที่ผลลัพธ์มากนัก ที่จริง ลบ 1 คูณด้วยจำนวนบวก 2

−a = −1 ×ก

−1 × a = −1 × 2 = −2

หากให้แสดงออกมา −กและคุณต้องค้นหามูลค่าของมันที่ ก = −2แล้วเราก็ทดแทน −2 แทนที่จะเป็นตัวแปร ก

−a = −1 ×ก

−1 × a = −1 × (−2) = 2

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด ในตอนแรกสามารถเขียนหน่วยที่มองไม่เห็นได้อย่างชัดเจน

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาค่าของนิพจน์ เอบีซีที่ ก=2 , ข=3และ ค=4

การแสดงออก เอบีซี 1×ก×ข×คเพื่อความชัดเจน ให้เราเขียนนิพจน์กัน เอบีซี ก, ขและ ค

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาค่าของนิพจน์ เอบีซีที่ ก=−2 , ข=−3และ ค=−4

ลองเขียนนิพจน์ลงไป เอบีซีในรูปแบบขยายและทดแทนค่าของตัวแปร ก, ขและ ค

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาค่าของนิพจน์ − เอบีซีที่ ก=3 , b=5 และ ค=7

การแสดงออก − เอบีซีนี่เป็นแบบฟอร์มสั้นๆ สำหรับ −1×ก×ข×คเพื่อความชัดเจน ให้เราเขียนนิพจน์กัน − เอบีซีในรูปแบบขยายและทดแทนค่าของตัวแปร ก, ขและ ค

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

ตัวอย่างที่ 7ค้นหาค่าของนิพจน์ − เอบีซีที่ a=−2 , b=−4 และ c=−3

ลองเขียนนิพจน์ลงไป − เอบีซีในรูปแบบขยาย:

−abc = −1 × a × b × c

ลองแทนค่าของตัวแปรกัน ก , ขและ ค

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

วิธีกำหนดค่าสัมประสิทธิ์

บางครั้งคุณจำเป็นต้องแก้ปัญหาโดยต้องกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ของนิพจน์ โดยพื้นฐานแล้ว งานนี้ง่ายมาก. การคูณตัวเลขให้ถูกต้องก็เพียงพอแล้ว

ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์ คุณต้องแยกตัวเลขที่อยู่ในนิพจน์นี้ออกจากกัน และคูณตัวอักษรแยกกัน ตัวประกอบตัวเลขที่ได้จะเป็นค่าสัมประสิทธิ์

ตัวอย่างที่ 1 7m×5a×(−3)×n

การแสดงออกประกอบด้วยหลายปัจจัย สิ่งนี้สามารถเห็นได้ชัดเจนหากคุณเขียนนิพจน์ในรูปแบบขยาย นั่นก็คือผลงาน 7มและ 5กเขียนมันลงในแบบฟอร์ม 7×มและ 5×ก

7 × ม. × 5 × ก × (−3) × n

ลองใช้กฎการเชื่อมโยงของการคูณ ซึ่งช่วยให้คุณคูณตัวประกอบในลำดับใดก็ได้ กล่าวคือเราจะแยกตัวเลขคูณและคูณตัวอักษร (ตัวแปร):

−3 × 7 × 5 × ม × a × n = −105 คน

ค่าสัมประสิทธิ์คือ −105 . หลังจากเสร็จสิ้น ขอแนะนำให้จัดเรียงส่วนของตัวอักษรตามลำดับตัวอักษร:

−105 น

ตัวอย่างที่ 2กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

ค่าสัมประสิทธิ์คือ 6

ตัวอย่างที่ 3กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์:

มาคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน:

ค่าสัมประสิทธิ์คือ −1 โปรดทราบว่าหน่วยไม่ได้ถูกเขียนลง เนื่องจากเป็นธรรมเนียมที่จะไม่เขียนค่าสัมประสิทธิ์ 1

งานที่ดูเรียบง่ายที่สุดเหล่านี้สามารถเล่นตลกกับเราได้ บ่อยครั้งปรากฎว่าสัญลักษณ์ของสัมประสิทธิ์ถูกตั้งค่าไม่ถูกต้อง: เครื่องหมายลบหายไปหรือในทางกลับกันมันถูกตั้งค่าไว้อย่างไร้ประโยชน์ เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดที่น่ารำคาญนี้จะต้องศึกษาในระดับดี

เติมในนิพจน์ตามตัวอักษร

เมื่อบวกหลายจำนวนจะได้ผลรวมของตัวเลขเหล่านี้ ตัวเลขที่บวกเรียกว่าบวก อาจมีได้หลายคำ เช่น

1 + 2 + 3 + 4 + 5

เมื่อนิพจน์ประกอบด้วยคำศัพท์ จะประเมินได้ง่ายกว่ามากเนื่องจากการบวกง่ายกว่าการลบ แต่นิพจน์สามารถมีได้ไม่เพียงแต่การบวกเท่านั้น แต่ยังสามารถลบออกได้อีกด้วย เช่น:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

ในนิพจน์นี้ ตัวเลข 3 และ 5 เป็นส่วนย่อย ไม่ใช่การบวก แต่ไม่มีอะไรขัดขวางเราจากการแทนที่การลบด้วยการบวก จากนั้นเราจะได้นิพจน์ที่ประกอบด้วยคำศัพท์อีกครั้ง:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

ไม่สำคัญว่าตอนนี้ตัวเลข −3 และ −5 จะมีเครื่องหมายลบแล้ว สิ่งสำคัญคือตัวเลขทั้งหมดในนิพจน์นี้เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายบวก นั่นคือนิพจน์คือผลรวม

ทั้งการแสดงออก 1 + 2 − 3 + 4 − 5 และ 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) เท่ากับค่าเดียวกัน - ลบหนึ่ง

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

ดังนั้นความหมายของสำนวนจะไม่ได้รับผลกระทบหากเราแทนที่การลบด้วยการบวกที่ไหนสักแห่ง

คุณยังสามารถแทนที่การลบด้วยการบวกในนิพจน์ตามตัวอักษรได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

สำหรับค่าตัวแปรใดๆ เอบีซีดีและ สการแสดงออก 7a + 6b − 3c + 2d − 4s และ 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) จะเท่ากับค่าเดียวกัน

คุณต้องเตรียมพร้อมสำหรับความจริงที่ว่าครูที่โรงเรียนหรือครูในสถาบันอาจเรียกเลขคู่ (หรือตัวแปร) ที่ไม่ได้บวก

เช่น ถ้าเขียนความแตกต่างไว้บนกระดาน ก - ขแล้วอาจารย์จะไม่พูดอย่างนั้น กเป็นข้อเสียและ ข- ลบได้ เขาจะเรียกตัวแปรทั้งสองด้วยคำเดียวทั่วไป - เงื่อนไข. และทั้งหมดเป็นเพราะการแสดงออกถึงรูปแบบ ก - ขนักคณิตศาสตร์เห็นว่าผลรวมเป็นอย่างไร ก+(−ข). ในกรณีนี้ นิพจน์จะกลายเป็นผลรวมและเป็นตัวแปร กและ (-ข)กลายเป็นเงื่อนไข

เงื่อนไขที่คล้ายกัน

เงื่อนไขที่คล้ายกัน- เป็นคำศัพท์ที่มีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ 7a + 6b + 2a. ส่วนประกอบ 7กและ 2กมีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน - ตัวแปร ก. ดังนั้นเงื่อนไข 7กและ 2กมีความคล้ายคลึงกัน

โดยทั่วไปแล้ว คำที่คล้ายกันจะถูกเพิ่มเพื่อทำให้นิพจน์หรือแก้สมการง่ายขึ้น การดำเนินการนี้เรียกว่า นำเงื่อนไขที่คล้ายกัน.

หากต้องการนำคำที่คล้ายกันมา คุณต้องเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์ของคำศัพท์เหล่านี้ และคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยส่วนของตัวอักษรทั่วไป

ตัวอย่างเช่น ขอให้เรานำเสนอคำที่คล้ายกันในนิพจน์ 3a + 4a + 5a. ในกรณีนี้ข้อกำหนดทั้งหมดจะคล้ายกัน มาบวกค่าสัมประสิทธิ์แล้วคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป - ด้วยตัวแปร ก

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

คำศัพท์ที่คล้ายกันมักจะถูกคำนึงถึงและผลลัพธ์จะถูกเขียนลงในทันที:

3a + 4a + 5a = 12a

นอกจากนี้ เรายังสามารถให้เหตุผลดังต่อไปนี้:

มีตัวแปร a 3 ตัว มีตัวแปร a อีก 4 ตัว และ a เพิ่มตัวแปรอีก 5 ตัว เป็นผลให้เราได้ตัวแปร a 12 ตัว

ลองดูตัวอย่างการนำคำที่คล้ายกันมาใช้ เมื่อพิจารณาว่าหัวข้อนี้มีความสำคัญมาก ในตอนแรกเราจะเขียนรายละเอียดเล็กๆ น้อยๆ อย่างละเอียดก่อน แม้ว่าทุกอย่างจะเรียบง่ายที่นี่ แต่คนส่วนใหญ่ก็ทำผิดพลาดมากมาย สาเหตุหลักมาจากการไม่ตั้งใจ ไม่ใช่ความไม่รู้

ตัวอย่างที่ 1 3a + 2a + 6a + 8ก

มาบวกค่าสัมประสิทธิ์ในนิพจน์นี้แล้วคูณผลลัพธ์ผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

ออกแบบ (3 + 2 + 6 + 8)×กคุณไม่จำเป็นต้องจดไว้ เราจะเขียนคำตอบทันที

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

ตัวอย่างที่ 2ให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 2เอ+เอ

ระยะที่สอง กเขียนโดยไม่มีสัมประสิทธิ์ แต่จริงๆ แล้วมีสัมประสิทธิ์อยู่ข้างหน้า 1 ซึ่งเราไม่เห็นเพราะไม่ได้บันทึกไว้ ดังนั้นนิพจน์จึงมีลักษณะดังนี้:

2เอ + 1เอ

ทีนี้มานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันกัน นั่นคือเราบวกค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ กัน:

2a + ก = 3a

2เอ+เอคุณสามารถคิดแตกต่างออกไปได้:

ตัวอย่างที่ 3ให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 2a−ก

ลองแทนที่การลบด้วยการบวก:

2a + (-ก)

ระยะที่สอง (-ก)เขียนโดยไม่มีสัมประสิทธิ์ แต่ในความเป็นจริงมันดูเหมือน (−1a)ค่าสัมประสิทธิ์ −1 มองไม่เห็นอีกครั้งเนื่องจากไม่ได้บันทึกไว้ ดังนั้นนิพจน์จึงมีลักษณะดังนี้:

2a + (−1a)

ทีนี้มานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันกัน เพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

มักจะเขียนสั้นกว่า:

2a - ก = ก

การให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 2a−กคุณสามารถคิดแตกต่าง:

มีตัวแปร a อยู่ 2 ตัว ลบตัวแปร a ตัวเดียว จึงเหลือตัวแปรเพียงตัวเดียว

ตัวอย่างที่ 4ให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

ทีนี้มานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันกัน มาบวกค่าสัมประสิทธิ์แล้วคูณผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั้งหมด

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ กัน:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

มีสำนวนที่มีกลุ่มคำที่คล้ายกันหลายกลุ่ม ตัวอย่างเช่น, 3a + 3b + 7a + 2b. สำหรับนิพจน์ดังกล่าว จะใช้กฎเดียวกันกับกฎอื่นๆ กล่าวคือ การบวกค่าสัมประสิทธิ์และการคูณผลลัพธ์ผลลัพธ์ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป แต่เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดก็สะดวก กลุ่มที่แตกต่างกันคำศัพท์จะถูกเน้นด้วยบรรทัดที่แตกต่างกัน

เช่น ในนิพจน์ 3a + 3b + 7a + 2bเงื่อนไขเหล่านั้นที่มีตัวแปร กสามารถขีดเส้นใต้ด้วยบรรทัดเดียวและคำเหล่านั้นที่มีตัวแปร ขสามารถเน้นได้สองบรรทัด:

ตอนนี้เราสามารถนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันได้ นั่นคือเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยส่วนตัวอักษรทั้งหมด สิ่งนี้จะต้องทำสำหรับทั้งสองกลุ่มของเงื่อนไข: สำหรับเงื่อนไขที่มีตัวแปร กและสำหรับเงื่อนไขที่มีตัวแปร ข.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

เราขอย้ำอีกครั้งว่าสำนวนนั้นเรียบง่าย และสามารถระบุคำที่คล้ายกันได้:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

ตัวอย่างที่ 5ให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 5a − 6a −7b + b

ลองแทนที่การลบด้วยการบวกหากเป็นไปได้:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

ให้เราขีดเส้นใต้คำศัพท์ที่คล้ายกันด้วยบรรทัดที่ต่างกัน คำศัพท์ที่มีตัวแปร กเราขีดเส้นใต้ด้วยบรรทัดเดียว และเงื่อนไขคือเนื้อหาของตัวแปร ขขีดเส้นใต้ด้วยสองบรรทัด:

ตอนนี้เราสามารถนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันได้ นั่นคือเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยส่วนตัวอักษรทั่วไป:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

หากนิพจน์ประกอบด้วยตัวเลขธรรมดาที่ไม่มีตัวประกอบตัวอักษร ระบบจะบวกตัวเลขเหล่านั้นแยกกัน

ตัวอย่างที่ 6ให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 4a + 3a - 5 + 2b + 7

ลองแทนที่การลบด้วยการบวกหากเป็นไปได้:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน ตัวเลข −5 และ 7 ไม่มีตัวประกอบตัวอักษร แต่เป็นคำที่คล้ายกัน - เพียงแค่ต้องเพิ่มเท่านั้น และคำว่า 2bจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากเป็นเพียงรายการเดียวในนิพจน์นี้ที่มีตัวประกอบตัวอักษร ขและไม่มีอะไรจะเพิ่มด้วย:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ กัน:

4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

สามารถเรียงลำดับเงื่อนไขเพื่อให้เงื่อนไขเหล่านั้นที่มีส่วนตัวอักษรเหมือนกันอยู่ในส่วนเดียวกันของนิพจน์

ตัวอย่างที่ 7ให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 5t+2x+3x+5t+x

เนื่องจากนิพจน์เป็นผลรวมของคำศัพท์หลายคำ จึงทำให้เราสามารถประเมินได้ในลำดับใดก็ได้ ดังนั้นเงื่อนไขที่มีตัวแปร ทีสามารถเขียนได้ที่จุดเริ่มต้นของนิพจน์และเงื่อนไขที่มีตัวแปร xในตอนท้ายของการแสดงออก:

5t + 5t + 2x + 3x + x

ตอนนี้เราสามารถนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ กัน:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

ผลรวมของจำนวนตรงข้ามเป็นศูนย์ กฎนี้ยังใช้ได้กับนิพจน์ตามตัวอักษรด้วย หากนิพจน์มีคำศัพท์ที่เหมือนกัน แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม คุณสามารถกำจัดคำเหล่านั้นได้ในขั้นตอนการลดคำศัพท์ที่คล้ายกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง เพียงแค่ตัดพวกมันออกจากนิพจน์ เนื่องจากผลรวมของพวกมันคือศูนย์

ตัวอย่างที่ 8ให้คำที่คล้ายกันในนิพจน์ 3t − 4t − 3t + 2t

ลองแทนที่การลบด้วยการบวกหากเป็นไปได้:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

ส่วนประกอบ 3ตและ (−3t)อยู่ตรงกันข้าม ผลรวมของพจน์ตรงข้ามเป็นศูนย์ หากเราลบศูนย์นี้ออกจากนิพจน์ ค่าของนิพจน์จะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นเราจะลบมันออก และเราจะลบออกโดยเพียงแค่ขีดฆ่าข้อกำหนดออก 3ตและ (−3t)

เป็นผลให้เราจะเหลือการแสดงออก (−4t) + 2t. ในนิพจน์นี้ คุณสามารถเพิ่มคำศัพท์ที่คล้ายกันและรับคำตอบสุดท้ายได้:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

มาเขียนวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ กัน:

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

"ทำให้การแสดงออกง่ายขึ้น" และด้านล่างนี้คือนิพจน์ที่ต้องทำให้ง่ายขึ้น ลดความซับซ้อนของนิพจน์หมายถึงการทำให้ง่ายขึ้นและสั้นลง

อันที่จริง เราได้ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นแล้วเมื่อเราลดเศษส่วนลง หลังจากการลดลง เศษส่วนก็สั้นลงและเข้าใจง่ายขึ้น

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ ลดความซับซ้อนของนิพจน์

งานนี้สามารถเข้าใจได้อย่างแท้จริงดังนี้: “ใช้การกระทำที่ถูกต้องกับนิพจน์นี้ แต่ทำให้ง่ายขึ้น” .

ในกรณีนี้ คุณสามารถลดเศษส่วนได้ กล่าวคือ หารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย 2:

คุณทำอะไรได้อีก? คุณสามารถคำนวณเศษส่วนผลลัพธ์ได้ จากนั้นเราจะได้เศษส่วนทศนิยม 0.5

เป็นผลให้เศษส่วนถูกทำให้ง่ายขึ้นเป็น 0.5

คำถามแรกที่คุณต้องถามตัวเองเมื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวควรเป็น “จะทำอะไรได้?” . เพราะมีการกระทำที่คุณสามารถทำได้และมีการกระทำที่คุณไม่สามารถทำได้

อื่น จุดสำคัญสิ่งที่ต้องจำก็คือ ค่าของนิพจน์ไม่ควรเปลี่ยนแปลงหลังจากทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ลองกลับไปที่การแสดงออก นิพจน์นี้แสดงถึงการหารที่สามารถทำได้ เมื่อทำการหารนี้แล้ว เราจะได้ค่าของนิพจน์นี้ซึ่งเท่ากับ 0.5

แต่เราทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นและได้รับนิพจน์ที่ทำให้ง่ายขึ้นใหม่ ค่าของนิพจน์แบบง่ายใหม่ยังคงเป็น 0.5

แต่เรายังพยายามลดความซับซ้อนของนิพจน์ด้วยการคำนวณด้วย ส่งผลให้เราได้รับคำตอบสุดท้ายเป็น 0.5

ดังนั้น ไม่ว่าเราจะลดความซับซ้อนของนิพจน์อย่างไร ค่าของนิพจน์ผลลัพธ์จะยังคงเท่ากับ 0.5 ซึ่งหมายความว่ามีการดำเนินการลดความซับซ้อนอย่างถูกต้องในทุกขั้นตอน นี่คือสิ่งที่เราควรมุ่งมั่นเมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ - การกระทำของเราไม่ควรทนกับความหมายของการแสดงออก

มักจำเป็นต้องทำให้นิพจน์ตามตัวอักษรง่ายขึ้น กฎการทำให้เข้าใจง่ายเดียวกันนี้ใช้กับนิพจน์ตัวเลขด้วย คุณสามารถดำเนินการใดๆ ที่ถูกต้องได้ ตราบใดที่ค่าของนิพจน์ไม่เปลี่ยนแปลง

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 1ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 5.21 วินาที × เสื้อ × 2.5

เพื่อให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถคูณตัวเลขแยกกันและคูณตัวอักษรแยกกัน งานนี้คล้ายกับงานที่เราดูเมื่อเราเรียนรู้ที่จะกำหนดค่าสัมประสิทธิ์:

5.21 วินาที × เสื้อ × 2.5 = 5.21 × 2.5 × ส × เสื้อ = 13.025 × เซนต์ = 13.025st

ดังนั้นการแสดงออก 5.21 วินาที × เสื้อ × 2.5ลดความซับซ้อนของ 13,025st.

ตัวอย่างที่ 2ลดความซับซ้อนของนิพจน์ −0.4 × (−6.3b) × 2

ชิ้นที่สอง (−6.3b)สามารถแปลออกมาเป็นรูปแบบที่เราเข้าใจได้คือเขียนในรูปแบบ ( −6,3)×ข ,จากนั้นคูณตัวเลขแยกกันและคูณตัวอักษรแยกกัน:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b

ดังนั้นการแสดงออก −0.4 × (−6.3b) × 2 ลดความซับซ้อนของ 5.04ข

ตัวอย่างที่ 3ลดความซับซ้อนของนิพจน์

มาเขียนสำนวนนี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้นเพื่อดูว่าตัวเลขอยู่ที่ไหนและตัวอักษรอยู่ที่ไหน:

ตอนนี้เรามาคูณตัวเลขแยกกันและคูณตัวอักษรแยกกัน:

ดังนั้นการแสดงออก ลดความซับซ้อนของ −เอบีซีวิธีแก้ปัญหานี้สามารถเขียนได้สั้น ๆ :

เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ เศษส่วนสามารถลดลงได้ในระหว่างกระบวนการแก้ปัญหา ไม่ใช่ในตอนท้ายสุดเหมือนที่เราทำกับเศษส่วนธรรมดา ตัวอย่างเช่นหากในระหว่างการแก้เราเจอการแสดงออกของแบบฟอร์ม ก็ไม่จำเป็นต้องคำนวณตัวเศษและตัวส่วนเลยและทำสิ่งนี้:

เศษส่วนสามารถลดลงได้โดยการเลือกตัวประกอบทั้งตัวเศษและตัวส่วน แล้วลดตัวประกอบเหล่านี้ด้วยตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด กล่าวอีกนัยหนึ่ง ใช้โดยที่เราไม่ได้อธิบายโดยละเอียดว่าตัวเศษและส่วนถูกแบ่งออกเป็นอะไรบ้าง

ตัวอย่างเช่น ในตัวเศษ ตัวประกอบคือ 12 และในตัวส่วน ตัวประกอบ 4 สามารถลดลงได้ 4 เราจำสี่ไว้ในใจ และหาร 12 และ 4 ด้วยสี่นี้ เราจะเขียนคำตอบไว้ข้างตัวเลขเหล่านี้ โดยขีดฆ่าพวกเขาออกไปก่อน

ตอนนี้คุณสามารถคูณผลลัพธ์เล็กๆ น้อยๆ ได้แล้ว ในกรณีนี้ มีเพียงไม่กี่รายการและคุณสามารถคูณในใจได้:

เมื่อเวลาผ่านไปคุณอาจพบว่าเมื่อแก้ไขปัญหาเฉพาะสำนวนเริ่ม "อ้วน" ดังนั้นจึงแนะนำให้ทำความคุ้นเคย การคำนวณที่รวดเร็ว. สิ่งที่คำนวณได้ในใจก็ต้องคำนวณในใจ อะไรที่ลดได้เร็วก็ต้องลดให้เร็ว

ตัวอย่างที่ 4ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ดังนั้นการแสดงออก ลดความซับซ้อนของ

ตัวอย่างที่ 5ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ลองคูณตัวเลขแยกกันและตัวอักษรแยกกัน:

ดังนั้นการแสดงออก ลดความซับซ้อนของ นาที

ตัวอย่างที่ 6ลดความซับซ้อนของนิพจน์

มาเขียนสำนวนนี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้นเพื่อดูว่าตัวเลขอยู่ที่ไหนและตัวอักษรอยู่ที่ไหน:

ทีนี้มาคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน เพื่อความสะดวกในการคำนวณ เศษส่วนทศนิยม −6.4 และจำนวนคละสามารถแปลงเป็นเศษส่วนสามัญได้:

ดังนั้นการแสดงออก ลดความซับซ้อนของ

วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนให้สั้นลงมาก มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

ตัวอย่างที่ 7ลดความซับซ้อนของนิพจน์

มาคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน เพื่อความสะดวกในการคำนวณเลขคละและ ทศนิยม 0.1 และ 0.6 สามารถแปลงเป็นเศษส่วนสามัญได้:

ดังนั้นการแสดงออก ลดความซับซ้อนของ เอบีซีดี. หากคุณข้ามรายละเอียด วิธีนี้สามารถเขียนให้สั้นลงได้มาก:

สังเกตว่าเศษส่วนลดลงอย่างไร ปัจจัยใหม่ที่ได้รับจากการลดลงของปัจจัยก่อนหน้านี้ก็ได้รับอนุญาตให้ลดลงเช่นกัน

ตอนนี้เรามาพูดถึงสิ่งที่ไม่ควรทำ เมื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ห้ามมิให้คูณตัวเลขและตัวอักษรโดยเด็ดขาดหากนิพจน์เป็นผลรวมไม่ใช่ผลคูณ

ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น 5a+4bแล้วคุณจะเขียนแบบนี้ไม่ได้:

นี่ก็เหมือนกับว่าเราถูกขอให้บวกเลขสองตัวแล้วเราคูณมันแทนที่จะบวก

เมื่อทำการแทนค่าตัวแปรใดๆ กและ ขการแสดงออก 5ก+4ขกลายเป็นนิพจน์ตัวเลขธรรมดา สมมติว่าตัวแปรต่างๆ กและ ขมีความหมายดังนี้

ก = 2, ข = 3

จากนั้นค่าของนิพจน์จะเท่ากับ 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

ขั้นแรก ให้ทำการคูณ จากนั้นจึงบวกผลลัพธ์ และถ้าเราพยายามทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นโดยการคูณตัวเลขและตัวอักษร เราจะได้ดังต่อไปนี้:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

มันกลับกลายเป็นความหมายที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ในกรณีแรกมันได้ผล 22 ในกรณีที่สอง 120 . ซึ่งหมายความว่าทำให้การแสดงออกง่ายขึ้น 5a+4bถูกดำเนินการอย่างไม่ถูกต้อง

หลังจากทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ค่าของมันไม่ควรเปลี่ยนแปลงด้วยค่าเดียวกันของตัวแปร หากเมื่อแทนที่ค่าตัวแปรใด ๆ ลงในนิพจน์ดั้งเดิมจะได้รับค่าหนึ่งค่าจากนั้นหลังจากทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นแล้วควรได้รับค่าเดียวกันกับก่อนที่จะทำให้ง่ายขึ้น

ด้วยการแสดงออก 5a+4bไม่มีอะไรที่คุณสามารถทำได้จริงๆ มันไม่ได้ทำให้มันง่ายขึ้น

หากนิพจน์มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน ก็สามารถเพิ่มได้หากเป้าหมายของเราคือการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 8ลดความซับซ้อนของนิพจน์ 0.3a−0.4a+ก

0.3a − 0.4a + a = 0.3a + (−0.4a) + a = (0.3 + (−0.4) + 1)×a = 0.9a

หรือสั้นกว่า: 0.3a - 0.4a + ก = 0.9ก

ดังนั้นการแสดงออก 0.3a−0.4a+กลดความซับซ้อนของ 0.9ก

ตัวอย่างที่ 9ลดความซับซ้อนของนิพจน์ −7.5a - 2.5b + 4a

เพื่อให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น เราสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

หรือสั้นกว่า −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)

ภาคเรียน (−2.5b)ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเพราะไม่มีอะไรจะใส่

ตัวอย่างที่ 10ลดความซับซ้อนของนิพจน์

เพื่อให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น เราสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:

ค่าสัมประสิทธิ์มีไว้เพื่อความสะดวกในการคำนวณ

ดังนั้นการแสดงออก ลดความซับซ้อนของ

ตัวอย่างที่ 11ลดความซับซ้อนของนิพจน์

เพื่อให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น เราสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:

ดังนั้นการแสดงออก ย่อเป็น .

ใน ในตัวอย่างนี้การเพิ่มสัมประสิทธิ์ตัวแรกและตัวสุดท้ายจะเหมาะสมกว่า ในกรณีนี้เราจะมีวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

ตัวอย่างที่ 12ลดความซับซ้อนของนิพจน์

เพื่อให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น เราสามารถเพิ่มคำที่คล้ายกันได้:

ดังนั้นการแสดงออก ลดความซับซ้อนของ .

คำนี้ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากไม่มีอะไรจะเพิ่มเข้าไป

วิธีนี้สามารถเขียนให้สั้นลงมาก มันจะมีลักษณะเช่นนี้:

วิธีแก้แบบสั้นข้ามขั้นตอนของการแทนที่การลบด้วยการบวก และรายละเอียดว่าเศษส่วนถูกลดให้เป็นตัวส่วนร่วมอย่างไร

ข้อแตกต่างอีกประการหนึ่งคือในคำตอบโดยละเอียดคำตอบจะเป็นอย่างไร แต่เรียกสั้น ๆ ว่า. อันที่จริงมันเป็นสำนวนเดียวกัน ข้อแตกต่างคือในกรณีแรก การลบจะถูกแทนที่ด้วยการบวก เพราะในตอนเริ่มต้น เมื่อเราเขียนคำตอบในรูปแบบรายละเอียด เราก็แทนที่การลบด้วยการบวกทุกครั้งที่เป็นไปได้ และการแทนที่นี้จะคงไว้เป็นคำตอบ

ตัวตน การแสดงออกที่เท่าเทียมกันเหมือนกัน

เมื่อเราทำให้นิพจน์ใดๆ ง่ายขึ้น มันก็จะง่ายขึ้นและสั้นลง หากต้องการตรวจสอบว่านิพจน์แบบง่ายนั้นถูกต้องหรือไม่ เพียงแค่แทนที่ค่าตัวแปรใด ๆ ลงในนิพจน์ก่อนหน้าที่ต้องทำให้ง่ายขึ้นก่อน แล้วจึงเปลี่ยนเป็นค่าใหม่ที่ทำให้ง่ายขึ้น ถ้าค่าในนิพจน์ทั้งสองเหมือนกัน นิพจน์แบบง่ายจะเป็นจริง

ลองพิจารณาดู ตัวอย่างที่ง่ายที่สุด. ปล่อยให้จำเป็นต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น 2a×7b. เพื่อให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้น คุณสามารถคูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกันได้:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

ลองตรวจสอบว่าเราลดความซับซ้อนของนิพจน์อย่างถูกต้องหรือไม่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาแทนที่ค่าใดๆ ของตัวแปรกัน กและ ขอันดับแรกเป็นนิพจน์แรกที่จำเป็นต้องทำให้ง่ายขึ้น จากนั้นจึงเข้าสู่นิพจน์ที่สองซึ่งถูกทำให้ง่ายขึ้น

ปล่อยให้ค่าของตัวแปร ก , ขจะเป็นดังนี้:

ก = 4, ข = 5

ลองแทนที่มันเป็นนิพจน์แรกกัน 2a×7b

ทีนี้ลองแทนที่ค่าตัวแปรเดียวกันลงในนิพจน์ที่เป็นผลมาจากการทำให้เข้าใจง่าย 2a×7bกล่าวคือในการแสดงออก 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

เราจะเห็นว่าเมื่อไร ก=4และ ข=5ค่าของนิพจน์แรก 2a×7bและความหมายของสำนวนที่สอง 14abเท่ากัน

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

สิ่งเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นกับค่าอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ให้ ก=1และ ข=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

ดังนั้นสำหรับค่าใดๆ ตัวแปรนิพจน์ 2a×7bและ 14abมีค่าเท่ากัน สำนวนดังกล่าวเรียกว่า เท่าเทียมกัน.

เราสรุปได้ว่าระหว่างสำนวน 2a×7bและ 14abคุณสามารถใส่เครื่องหมายเท่ากับได้เพราะมันมีค่าเท่ากัน

2a × 7b = 14ab

ความเท่าเทียมกันคือนิพจน์ใดๆ ที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายเท่ากับ (=)

และความเท่าเทียมกันของรูปแบบ 2a×7b = 14abเรียกว่า ตัวตน.

ข้อมูลประจำตัวคือความเท่าเทียมกันที่เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของตัวแปร

ตัวอย่างอื่นๆ ของตัวตน:

ก + ข = ข + ก

ก(ข+ค) = ab + เอซี

ก(bc) = (ab)ค

ใช่แล้ว กฎของคณิตศาสตร์ที่เราศึกษาคืออัตลักษณ์

ซื่อสัตย์ ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขยังเป็นตัวตนอีกด้วย ตัวอย่างเช่น:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

เมื่อแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อน เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น นิพจน์ที่ซับซ้อนจะถูกแทนที่ด้วยนิพจน์ที่ง่ายกว่าซึ่งเท่ากับนิพจน์ก่อนหน้าเหมือนกัน การทดแทนนี้เรียกว่า การเปลี่ยนแปลงนิพจน์ที่เหมือนกันหรือเพียงแค่ เปลี่ยนการแสดงออก.

ตัวอย่างเช่น เราทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น 2a×7bและมีสำนวนที่เรียบง่ายกว่า 14ab. การทำให้เข้าใจง่ายนี้สามารถเรียกว่าการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์

คุณมักจะพบงานที่บอกว่า “พิสูจน์ว่าความเท่าเทียมคืออัตลักษณ์” จากนั้นจึงให้ความเท่าเทียมกันที่ต้องพิสูจน์ โดยปกติแล้วความเท่าเทียมกันนี้ประกอบด้วยสองส่วน: ส่วนด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกัน หน้าที่ของเราคือทำการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ด้วยส่วนหนึ่งของความเท่าเทียมกันและรับอีกส่วนหนึ่ง หรือทำการแปลงที่เหมือนกันทั้งสองข้างของความเท่าเทียมกัน และตรวจสอบให้แน่ใจว่าทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกันมีนิพจน์เดียวกัน

ตัวอย่างเช่น ขอให้เราพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกัน 0.5a × 5b = 2.5abคือตัวตน

ลองจัดรูปด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันนี้กัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณตัวเลขและตัวอักษรแยกกัน:

0.5 × 5 × ก × ข = 2.5ab

2.5ab = 2.5ab

ผลจากการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์เล็กน้อย ด้านซ้ายของความเสมอภาคจึงเท่ากับด้านขวาของความเท่าเทียมกัน เราจึงได้พิสูจน์แล้วว่ามีความเท่าเทียมกัน 0.5a × 5b = 2.5abคือตัวตน

จากการแปลงที่เหมือนกัน เราเรียนรู้ที่จะบวก ลบ คูณและหารตัวเลข ลดเศษส่วน เพิ่มพจน์ที่คล้ายกัน และทำให้นิพจน์บางรายการง่ายขึ้น

แต่สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่การแปลงที่เหมือนกันทั้งหมดที่มีอยู่ในคณิตศาสตร์ มีการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันอีกมากมาย เราจะเห็นสิ่งนี้มากกว่าหนึ่งครั้งในอนาคต

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

คุณชอบบทเรียนหรือไม่?
เข้าร่วมกลุ่ม VKontakte ใหม่ของเราและเริ่มรับการแจ้งเตือนเกี่ยวกับบทเรียนใหม่

หมายเหตุสำคัญ!
1. หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ วิธีการทำเช่นนี้ในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ โปรดใส่ใจกับเนวิเกเตอร์ของเราให้มากที่สุด ทรัพยากรที่เป็นประโยชน์สำหรับ

เรามักจะได้ยินวลีอันไม่พึงประสงค์นี้: “ทำให้การแสดงออกง่ายขึ้น”โดยปกติแล้วเราจะเห็นสัตว์ประหลาดประเภทนี้:

“มันง่ายกว่ามาก” เราพูด แต่คำตอบเช่นนี้มักจะไม่ได้ผล

บัดนี้ข้าพเจ้าจะสอนท่านว่าอย่ากลัวงานเช่นนั้น

ยิ่งไปกว่านั้น ในตอนท้ายของบทเรียน คุณเองจะทำให้ตัวอย่างนี้ง่ายขึ้นเป็น (แค่!) ตัวเลขธรรมดา (ใช่แล้ว ลงนรกด้วยตัวอักษรเหล่านี้)

แต่ก่อนที่คุณจะเริ่มกิจกรรมนี้ คุณต้องสามารถก่อน จัดการเศษส่วนและ พหุนามตัวประกอบ

ดังนั้น หากคุณไม่เคยทำสิ่งนี้มาก่อน อย่าลืมฝึกฝนหัวข้อ "" และ "" ให้เชี่ยวชาญ

คุณอ่านมันหรือยัง? ถ้าใช่คุณก็พร้อมแล้ว

ไปกันเถอะ!(ไปกันเถอะ!)

การดำเนินการลดความซับซ้อนของนิพจน์ขั้นพื้นฐาน

ตอนนี้เรามาดูเทคนิคพื้นฐานที่ใช้ในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

สิ่งที่ง่ายที่สุดคือ

1.การนำสิ่งที่คล้ายกัน

มีอะไรคล้ายกันบ้าง? คุณเรียนวิชานี้ตอนเกรด 7 เมื่อตัวอักษรแทนตัวเลขปรากฏตัวครั้งแรกในวิชาคณิตศาสตร์

คล้ายกัน- เหล่านี้เป็นคำศัพท์ (monomials) ที่มีส่วนตัวอักษรเหมือนกัน

ตัวอย่างเช่น โดยสรุปแล้ว คำที่คล้ายกันคือ และ

คุณจำได้ไหม?

ให้คล้ายๆกัน- หมายถึง การบวกพจน์ที่คล้ายกันหลายคำเข้าด้วยกันแล้วได้เทอมเดียว

เราจะรวมตัวอักษรเข้าด้วยกันได้อย่างไร? - คุณถาม.

นี่เป็นเรื่องง่ายมากที่จะเข้าใจหากคุณจินตนาการว่าตัวอักษรเป็นวัตถุบางชนิด

เช่น จดหมายก็คือเก้าอี้ แล้วนิพจน์เท่ากับอะไร?

เก้าอี้สองตัวบวกเก้าอี้สามตัวจะได้กี่ตัว? ถูกต้องเก้าอี้: .

ตอนนี้ลองใช้นิพจน์นี้: .

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ให้ตัวอักษรที่ต่างกันแสดงถึงวัตถุที่แตกต่างกัน

ตัวอย่างเช่น - คือ (ตามปกติ) เก้าอี้ และ - คือโต๊ะ

โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้ โต๊ะเก้าอี้

ตัวเลขที่มีการคูณตัวอักษรในเงื่อนไขดังกล่าวเรียกว่า ค่าสัมประสิทธิ์.

ตัวอย่างเช่น ใน monomial ค่าสัมประสิทธิ์จะเท่ากัน และในนั้นก็เท่าเทียมกัน

ดังนั้นกฎในการนำสิ่งที่คล้ายกันมาคือ:

ตัวอย่าง:

ให้สิ่งที่คล้ายกัน:

คำตอบ:

2. (และที่คล้ายกัน ดังนั้น คำเหล่านี้จึงมีส่วนของตัวอักษรเหมือนกัน)

2. การแยกตัวประกอบ

โดยปกติจะเป็นเช่นนี้ ส่วนที่สำคัญที่สุดในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

หลังจากที่คุณได้ให้สิ่งที่คล้ายกันแล้ว ส่วนใหญ่มักจะจำเป็นต้องใช้นิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ แยกตัวประกอบกล่าวคือนำเสนอในรูปแบบของผลิตภัณฑ์

โดยเฉพาะสิ่งนี้ มีความสำคัญเป็นเศษส่วน:เพื่อที่จะสามารถลดเศษส่วนได้ ตัวเศษและส่วนจะต้องแสดงเป็นผลคูณ

คุณได้ศึกษาวิธีการแยกตัวประกอบนิพจน์โดยละเอียดในหัวข้อ "" แล้ว ดังนั้นคุณเพียงแค่ต้องจำสิ่งที่คุณเรียนรู้ไว้ที่นี่

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แก้ตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่าง (คุณต้องแยกตัวประกอบ)

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

3. การลดเศษส่วน

อะไรจะดีไปกว่าการขีดฆ่าเศษและส่วนแล้วโยนมันออกไปจากชีวิตของคุณ?

นั่นคือความงามของการลดขนาด

มันง่ายมาก:

หากตัวเศษและตัวส่วนมีตัวประกอบเหมือนกัน ก็สามารถลดทอนได้ กล่าวคือ ลบออกจากเศษส่วน

กฎนี้เป็นไปตามคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:

นั่นคือสาระสำคัญของการดำเนินการลดก็คือ เราหารทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน (หรือด้วยนิพจน์เดียวกัน)

เพื่อลดเศษส่วนคุณต้องมี:

1) ตัวเศษและส่วน แยกตัวประกอบ

2) ถ้าตัวเศษและส่วนประกอบด้วย ปัจจัยทั่วไปก็สามารถขีดฆ่าออกได้

ตัวอย่าง:

หลักการผมคิดว่าชัดเจน?

ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่สิ่งหนึ่ง ข้อผิดพลาดทั่วไปเมื่อทำสัญญา แม้ว่าหัวข้อนี้จะง่าย แต่หลายคนก็ทำทุกอย่างผิดโดยไม่เข้าใจเรื่องนั้น ลด- นี่หมายความว่า แบ่งตัวเศษและส่วนเป็นจำนวนเดียวกัน

ไม่มีตัวย่อถ้าตัวเศษหรือส่วนเป็นผลรวม

ตัวอย่างเช่น เราต้องทำให้ง่ายขึ้น

บางคนทำเช่นนี้ ซึ่งถือว่าผิดอย่างยิ่ง

อีกตัวอย่างหนึ่ง: ลด

“คนที่ฉลาดที่สุด” จะทำสิ่งนี้:

บอกฉันว่ามีอะไรผิดปกติที่นี่? ดูเหมือนว่า: - นี่คือตัวคูณซึ่งหมายความว่าสามารถลดลงได้

แต่ไม่: - นี่คือตัวประกอบของเทอมเดียวในตัวเศษ แต่ตัวเศษโดยรวมไม่ได้แยกตัวประกอบ

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง: .

นิพจน์นี้มีการแยกตัวประกอบ ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถลดได้ กล่าวคือ หารทั้งเศษและส่วนด้วย แล้วตามด้วย:

คุณสามารถแบ่งออกเป็น:

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดดังกล่าว โปรดจำไว้ว่า ทางที่ง่ายวิธีตรวจสอบว่านิพจน์ถูกแยกตัวประกอบหรือไม่:

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ดำเนินการครั้งสุดท้ายเมื่อคำนวณค่าของนิพจน์คือการดำเนินการ "หลัก"

นั่นคือหากคุณแทนที่ตัวเลข (ใดๆ) แทนตัวอักษรแล้วลองคำนวณค่าของนิพจน์ ถ้าการกระทำสุดท้ายคือการคูณ เราก็จะได้ผลลัพธ์ (นิพจน์จะถูกแยกตัวประกอบ)

ถ้าการกระทำสุดท้ายคือการบวกหรือการลบ หมายความว่านิพจน์นั้นไม่ได้แยกตัวประกอบ (และดังนั้นจึงไม่สามารถลดขนาดได้)

เพื่อเน้นย้ำสิ่งนี้ ให้แก้ตัวอย่างด้วยตนเอง:

ตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

4. การบวกและการลบเศษส่วน การลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม

การบวกและการลบเศษส่วนสามัญเป็นการดำเนินการที่คุ้นเคย โดยเรามองหาตัวส่วนร่วม คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่หายไป แล้วบวก/ลบตัวเศษ

จำไว้ว่า:

คำตอบ:

1. ตัวส่วนและเป็นจำนวนเฉพาะ กล่าวคือ ไม่มีตัวประกอบร่วมกัน ดังนั้น LCM ของตัวเลขเหล่านี้จึงเท่ากับผลคูณของมัน นี่จะเป็นตัวส่วนร่วม:

2. ตัวส่วนร่วมในที่นี้คือ:

3. ก่อนอื่นเลย เราแปลงเศษส่วนคละให้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม จากนั้นจึงแปลงตามรูปแบบปกติ:

มันจะแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงถ้าเศษส่วนมีตัวอักษร ตัวอย่างเช่น:

เริ่มจากสิ่งง่ายๆ:

ก) ตัวส่วนไม่มีตัวอักษร

ที่นี่ทุกอย่างจะเหมือนกับเศษส่วนตัวเลขทั่วไป: เราหาตัวส่วนร่วม คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวประกอบที่หายไป แล้วบวก/ลบตัวเศษ:

ตอนนี้ในตัวเศษ คุณสามารถให้ค่าที่คล้ายกัน ถ้ามี และแยกตัวประกอบ:

ลองด้วยตัวเอง:

คำตอบ:

b) ตัวส่วนประกอบด้วยตัวอักษร

จำหลักการค้นหาตัวส่วนร่วมโดยไม่มีตัวอักษร:

· ก่อนอื่น เรากำหนดปัจจัยร่วม

· จากนั้นเราจะเขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดออกมาทีละตัว

· และคูณด้วยตัวประกอบที่ไม่ธรรมดาอื่นๆ ทั้งหมด

ในการหาปัจจัยร่วมของตัวส่วน อันดับแรกเราจะแยกปัจจัยเหล่านั้นออกเป็นปัจจัยเฉพาะ:

ให้เราเน้นปัจจัยทั่วไป:

ทีนี้ลองเขียนปัจจัยทั่วไปทีละรายการและเพิ่มปัจจัยที่ไม่ธรรมดา (ไม่ขีดเส้นใต้) ทั้งหมดลงไป:

นี่คือตัวส่วนร่วม.

กลับมาที่ตัวอักษรกันดีกว่า ตัวส่วนจะได้รับในลักษณะเดียวกันทุกประการ:

· แยกตัวประกอบตัวส่วน

· กำหนดปัจจัยทั่วไป (เหมือนกัน)

· เขียนปัจจัยร่วมทั้งหมดออกมาครั้งเดียว

· คูณด้วยตัวประกอบที่ไม่ธรรมดาอื่นๆ ทั้งหมด

ดังนั้นตามลำดับ:

1) แยกตัวประกอบตัวส่วน:

2) กำหนดปัจจัยทั่วไป (เหมือนกัน):

3) เขียนตัวประกอบร่วมทั้งหมดหนึ่งครั้งแล้วคูณด้วยปัจจัยอื่นๆ (ไม่เน้น) ทั้งหมด:

มันมีตัวส่วนร่วมตรงนี้. เศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วยส่วนที่สอง - ด้วย:

อย่างไรก็ตามมีเคล็ดลับอย่างหนึ่ง:

ตัวอย่างเช่น: .

เราเห็นปัจจัยเดียวกันในตัวส่วน เพียงแต่มีตัวบ่งชี้ต่างกันเท่านั้น ตัวส่วนร่วมจะเป็น:

ในระดับหนึ่ง

ในระดับหนึ่ง

ในระดับหนึ่ง

ในระดับหนึ่ง

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น:

จะทำให้เศษส่วนมีตัวส่วนเท่ากันได้อย่างไร?

จำคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน:

ไม่มีที่ไหนบอกว่าจำนวนเดียวกันสามารถลบ (หรือบวก) จากตัวเศษและส่วนของเศษส่วนได้ เพราะมันไม่จริง!

ดูด้วยตัวคุณเอง: ยกตัวอย่างเศษส่วนแล้วบวกตัวเลขเข้ากับตัวเศษและส่วนเช่น คุณเรียนอะไร?

ดังนั้น มีกฎอีกข้อหนึ่งที่ไม่สั่นคลอน:

เมื่อคุณลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม ให้ใช้เฉพาะการดำเนินการคูณเท่านั้น!

แต่คุณต้องคูณด้วยอะไรถึงจะได้?

เลยคูณด้วย. และคูณด้วย:

เราจะเรียกนิพจน์ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ว่าเป็น "ปัจจัยพื้นฐาน"

ตัวอย่างเช่น - นี่เป็นปัจจัยเบื้องต้น - เดียวกัน. แต่เปล่าเลย: สามารถแยกตัวประกอบได้

แล้วการแสดงออกล่ะ? เป็นประถมศึกษาหรือไม่?

ไม่ได้ เนื่องจากสามารถแยกตัวประกอบได้:

(คุณได้อ่านเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบในหัวข้อ “”) แล้ว

ดังนั้นปัจจัยเบื้องต้นที่คุณขยายนิพจน์ด้วยตัวอักษรจึงเป็นอะนาล็อก ปัจจัยสำคัญซึ่งคุณสลายตัวเลขลงไป และเราจะจัดการกับพวกเขาในลักษณะเดียวกัน

เราเห็นว่าตัวส่วนทั้งสองมีตัวคูณ มันจะไปเป็นตัวส่วนร่วมในระดับหนึ่ง (จำได้ไหมว่าทำไม?)

ตัวประกอบนั้นเป็นปัจจัยพื้นฐานและไม่มีตัวประกอบร่วมกัน ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนแรกจะต้องคูณด้วยมัน:

ตัวอย่างอื่น:

สารละลาย:

ก่อนที่คุณจะคูณตัวส่วนเหล่านี้ด้วยความตื่นตระหนก คุณต้องคิดก่อนว่าจะแยกตัวประกอบพวกมันอย่างไรก่อน? พวกเขาทั้งสองเป็นตัวแทน:

ยอดเยี่ยม! แล้ว:

ตัวอย่างอื่น:

สารละลาย:

ตามปกติ ลองแยกตัวประกอบตัวส่วนกัน. ในตัวส่วนตัวแรก เราเพียงแต่ใส่มันออกจากวงเล็บ ในวินาที - ความแตกต่างของกำลังสอง:

ดูเหมือนว่าจะไม่มีปัจจัยร่วมกัน แต่ถ้าคุณมองใกล้ ๆ มันก็คล้ายกัน... และมันเป็นเรื่องจริง:

เรามาเขียนกัน:

นั่นคือมันกลายเป็นดังนี้: ภายในวงเล็บเราสลับเงื่อนไขและในเวลาเดียวกันเครื่องหมายที่อยู่หน้าเศษส่วนก็เปลี่ยนไปเป็นตรงกันข้าม รับทราบคุณจะต้องทำเช่นนี้บ่อยๆ

ทีนี้ลองมาเป็นตัวส่วนร่วม:

เข้าใจแล้ว? มาตรวจสอบกันตอนนี้เลย

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

คำตอบ:

5. การคูณและการหารเศษส่วน

ส่วนที่ยากที่สุดจบลงแล้ว และข้างหน้าเรานั้นง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันก็สำคัญที่สุด:

ขั้นตอน

ขั้นตอนการคำนวณนิพจน์ตัวเลขมีขั้นตอนอย่างไร? จำไว้โดยการคำนวณความหมายของสำนวนนี้:

คุณนับไหม?

มันควรจะทำงาน

ดังนั้นฉันขอเตือนคุณ

ขั้นตอนแรกคือการคำนวณระดับ

ประการที่สองคือการคูณและการหาร หากมีการคูณและการหารหลายรายการพร้อมกัน ก็สามารถทำได้ในลำดับใดก็ได้

และสุดท้าย เราก็ทำการบวกและการลบ อีกครั้งในลำดับใด ๆ

แต่: นิพจน์ในวงเล็บถูกประเมินไม่ตรงกัน!

ถ้าวงเล็บหลายอันคูณหรือหารกัน ขั้นแรกเราจะคำนวณนิพจน์ในแต่ละวงเล็บ จากนั้นจึงคูณหรือหารพวกมัน

จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีวงเล็บมากกว่าภายในวงเล็บ? ลองคิดดู: สำนวนบางอย่างเขียนอยู่ในวงเล็บ เมื่อคำนวณนิพจน์ ควรทำอะไรเป็นอันดับแรก? ถูกต้องแล้ว คำนวณวงเล็บเหลี่ยม เราคิดออกแล้ว: ขั้นแรกเราคำนวณวงเล็บด้านใน จากนั้นจึงคำนวณอย่างอื่นทั้งหมด

ดังนั้น ขั้นตอนสำหรับนิพจน์ข้างต้นจึงเป็นดังนี้ (การกระทำปัจจุบันจะถูกเน้นด้วยสีแดง นั่นคือการกระทำที่ฉันกำลังดำเนินการอยู่ในขณะนี้):

โอเค มันง่ายมาก

แต่นี่ไม่เหมือนกับสำนวนที่มีตัวอักษรเหรอ?

ไม่ มันก็เหมือนกัน! แทนที่จะดำเนินการทางคณิตศาสตร์คุณต้องดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตนั่นคือการกระทำที่อธิบายไว้ใน ส่วนก่อนหน้า: นำสิ่งที่คล้ายกันการบวกเศษส่วน การหารเศษส่วน และอื่นๆ ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการกระทำของการแยกตัวประกอบพหุนาม (เรามักใช้เมื่อทำงานกับเศษส่วน) บ่อยครั้งในการแยกตัวประกอบ คุณต้องใช้ I หรือเพียงแค่เอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

โดยปกติเป้าหมายของเราคือการแสดงนิพจน์เป็นผลิตภัณฑ์หรือผลหาร

ตัวอย่างเช่น:

ลองทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

1) ขั้นแรก เราทำให้นิพจน์ในวงเล็บง่ายขึ้น ที่นั่นเรามีความแตกต่างของเศษส่วน และเป้าหมายของเราคือการนำเสนอเป็นผลคูณหรือผลหาร ดังนั้นเราจึงนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วมแล้วบวก:

เป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นอีกต่อไป ปัจจัยทั้งหมดที่นี่เป็นปัจจัยเบื้องต้น (คุณยังจำได้ไหมว่าสิ่งนี้หมายถึงอะไร)

2) เราได้รับ:

การคูณเศษส่วน: อะไรจะง่ายกว่านี้

3) ตอนนี้คุณสามารถย่อ:

โอเค ตอนนี้ทุกอย่างจบลงแล้ว ไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม?

ตัวอย่างอื่น:

ลดความซับซ้อนของนิพจน์

ขั้นแรกให้พยายามแก้ปัญหาด้วยตัวเอง จากนั้นจึงค่อยดูวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย:

ก่อนอื่น เรามากำหนดลำดับของการกระทำกันก่อน

ก่อนอื่น เรามาบวกเศษส่วนในวงเล็บกันก่อน แทนที่จะเป็นเศษส่วนสองอัน เราจะได้หนึ่งอัน

จากนั้นเราจะทำการหารเศษส่วน. ทีนี้ลองบวกผลลัพธ์ด้วยเศษส่วนสุดท้ายกัน

ฉันจะนับขั้นตอนตามแผนผัง:

สุดท้ายนี้ ฉันจะให้คำแนะนำที่เป็นประโยชน์สองข้อแก่คุณ:

1.หากมีแบบเดียวกันต้องนำมาทันที ไม่ว่าจุดใดที่คล้ายคลึงกันจะเกิดขึ้นในประเทศของเราก็แนะนำให้นำพวกเขาขึ้นมาทันที

2. เช่นเดียวกับการลดเศษส่วน: ทันทีที่มีโอกาสลดเกิดขึ้น จะต้องใช้ประโยชน์จากมัน ข้อยกเว้นสำหรับเศษส่วนที่คุณบวกหรือลบ: หากตอนนี้มีตัวส่วนเท่ากัน ก็ควรปล่อยการลดลงไว้ใช้ภายหลัง

นี่คืองานบางอย่างสำหรับคุณที่จะแก้ไขด้วยตัวเอง:

และสิ่งที่สัญญาไว้ตั้งแต่ต้น:

คำตอบ:

วิธีแก้ปัญหา (โดยย่อ):

หากคุณจัดการกับตัวอย่างสามตัวอย่างแรกได้ แสดงว่าคุณเข้าใจหัวข้อนี้แล้ว

ตอนนี้ไปเรียนรู้!

การแปลงการแสดงออก สรุปและสูตรพื้นฐาน

การดำเนินการลดความซับซ้อนขั้นพื้นฐาน:

• นำมาซึ่งความคล้ายคลึงกัน: หากต้องการเพิ่ม (ลด) คำที่คล้ายกัน คุณต้องเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์และกำหนดส่วนของตัวอักษร
• การแยกตัวประกอบ:นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ การนำไปใช้ ฯลฯ
• การลดเศษส่วน: ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนสามารถคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกันได้ ซึ่งจะไม่เปลี่ยนค่าของเศษส่วน
  1) ตัวเศษและส่วน แยกตัวประกอบ
  2) ถ้าตัวเศษและส่วนมีตัวประกอบร่วมกันก็ขีดฆ่าออกได้

  สิ่งสำคัญ: สามารถลดตัวคูณได้เท่านั้น!

• การบวกและการลบเศษส่วน:
  ;
• การคูณและหารเศษส่วน:
  ;

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสมากมายเปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

ช่วยคุณโดยการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้องการ แก้ปัญหากับเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไขมัน (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันก็เหมือนกับกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 499 RUR

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

ในบรรดาสำนวนต่างๆ ที่พิจารณาในพีชคณิต ผลรวมของ monomials ครอบครองสถานที่สำคัญ นี่คือตัวอย่างของสำนวนดังกล่าว:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

ผลรวมของเอกนามเรียกว่าพหุนาม เงื่อนไขในพหุนามเรียกว่าเงื่อนไขของพหุนาม Monomials ยังถูกจัดประเภทเป็นพหุนาม โดยพิจารณาว่า monomial เป็นพหุนามที่ประกอบด้วยสมาชิกหนึ่งตัว

ตัวอย่างเช่น พหุนาม
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
สามารถทำให้ง่ายขึ้น

เรามาแสดงคำศัพท์ทั้งหมดในรูปแบบ monomial กัน มุมมองมาตรฐาน:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในพหุนามผลลัพธ์:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
ผลลัพธ์ที่ได้คือพหุนาม ซึ่งเงื่อนไขทั้งหมดเป็นแบบเอกพจน์ของรูปแบบมาตรฐาน และในจำนวนนั้นไม่มีคำที่คล้ายคลึงกัน พหุนามดังกล่าวเรียกว่า พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน.

ด้านหลัง ระดับของพหุนามของรูปแบบมาตรฐานจะมีอำนาจสูงสุดของสมาชิก ดังนั้น ทวินาม \(12a^2b - 7b\) มีดีกรีที่สาม และตรีโนเมียล \(2b^2 -7b + 6\) มีดีกรีที่สอง

โดยทั่วไป เงื่อนไขของพหุนามรูปแบบมาตรฐานที่มีตัวแปรหนึ่งตัวจะถูกจัดเรียงจากเลขชี้กำลังจากมากไปหาน้อย ตัวอย่างเช่น:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

ผลรวมของพหุนามหลายตัวสามารถแปลง (ทำให้ง่ายขึ้น) ให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้

บางครั้งเงื่อนไขของพหุนามจำเป็นต้องแบ่งออกเป็นกลุ่มๆ โดยใส่แต่ละกลุ่มไว้ในวงเล็บ เนื่องจากวงเล็บปิดเป็นการเปลี่ยนแปลงผกผันของวงเล็บเปิด จึงง่ายต่อการกำหนด กฎการเปิดวงเล็บ:

หากใส่เครื่องหมาย “+” หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายเดียวกัน

หากใส่เครื่องหมาย “-” หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม

การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของ monomial และพหุนาม

การใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ คุณสามารถแปลง (ลดรูป) ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามให้เป็นพหุนามได้ ตัวอย่างเช่น:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามมีค่าเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของโมโนเมียลนี้และแต่ละเทอมของพหุนาม

ผลลัพธ์นี้มักจะถูกกำหนดเป็นกฎ

หากต้องการคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม คุณต้องคูณโมโนเมียลนั้นด้วยเงื่อนไขแต่ละข้อของพหุนาม

เราใช้กฎนี้หลายครั้งเพื่อคูณด้วยผลรวม

ผลคูณของพหุนาม การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของพหุนามสองตัว

โดยทั่วไป ผลคูณของพหุนามสองตัวจะเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งและแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่ง

โดยปกติจะใช้กฎต่อไปนี้

ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องคูณแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่ง แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้

สูตรคูณแบบย่อ ผลรวมกำลังสอง ผลต่าง และผลต่างของกำลังสอง

คุณต้องจัดการกับนิพจน์บางนิพจน์ในการแปลงพีชคณิตบ่อยกว่านิพจน์อื่นๆ บางที สำนวนที่พบบ่อยที่สุดคือ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) และ \(a^2 - b^2 \) กล่าวคือ กำลังสองของผลรวม กำลังสองของ ความแตกต่างและความแตกต่างของกำลังสอง คุณสังเกตเห็นว่าชื่อของนิพจน์เหล่านี้ดูเหมือนจะไม่สมบูรณ์ เช่น \((a + b)^2 \) แน่นอนว่าไม่ใช่แค่กำลังสองของผลรวม แต่เป็นกำลังสองของผลรวมของ a และ b . อย่างไรก็ตาม ผลบวกกำลังสองของ a และ b ไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก ตามกฎแล้ว แทนที่จะเป็นตัวอักษร a และ b กลับมีสำนวนที่หลากหลาย ซึ่งบางครั้งก็ค่อนข้างซับซ้อน

นิพจน์ \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) สามารถแปลง (ลดความซับซ้อน) ให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้อย่างง่ายดาย ที่จริงแล้ว คุณได้พบงานนี้แล้วเมื่อคูณพหุนาม:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= ก^2 + 2ab + ข^2 \)

จะมีประโยชน์ในการจดจำข้อมูลประจำตัวที่เป็นผลลัพธ์และนำไปใช้โดยไม่ต้องคำนวณขั้นกลาง สูตรวาจาสั้น ๆ ช่วยเรื่องนี้

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - กำลังสองของผลรวม เท่ากับผลรวมสี่เหลี่ยมและเพิ่มผลิตภัณฑ์เป็นสองเท่า

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - กำลังสองของผลต่างเท่ากับผลรวมของกำลังสองที่ไม่มีผลคูณสองเท่า

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ผลต่างของกำลังสองเท่ากับผลคูณของผลต่างและผลรวม

อัตลักษณ์ทั้งสามนี้ทำให้สามารถแทนที่ชิ้นส่วนทางด้านซ้ายด้วยชิ้นส่วนทางขวาในการแปลงและในทางกลับกัน - ชิ้นส่วนทางขวาด้วยชิ้นส่วนทางซ้าย สิ่งที่ยากที่สุดคือการดูนิพจน์ที่เกี่ยวข้องและทำความเข้าใจว่าตัวแปร a และ b ถูกแทนที่ด้วยตัวแปรเหล่านั้นอย่างไร มาดูตัวอย่างการใช้สูตรคูณแบบย่อกัน

สะดวกและเรียบง่าย เครื่องคิดเลขออนไลน์เศษส่วนพร้อมเฉลยอย่างละเอียดอาจจะ:

• บวก ลบ คูณ หารเศษส่วน ออนไลน์
• รับ โซลูชั่นสำเร็จรูปเศษส่วนพร้อมรูปภาพและสะดวกในการถ่ายโอน



ผลการแก้เศษส่วนจะเป็นดังนี้...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
เครื่องหมายเศษส่วน "/" + - * :
_ลบล้าง
เครื่องคำนวณเศษส่วนออนไลน์ของเรามีการป้อนข้อมูลที่รวดเร็ว. เช่น หากต้องการแก้เศษส่วน ให้เขียนง่ายๆ 1/2+2/7 ลงในเครื่องคิดเลขแล้วกดปุ่ม " แก้เศษส่วน" เครื่องคิดเลขจะเขียนถึงคุณ การแก้เศษส่วนอย่างละเอียดและจะออก รูปภาพที่ง่ายต่อการคัดลอก.

ป้ายที่ใช้เขียนเครื่องคิดเลข

คุณสามารถพิมพ์ตัวอย่างสำหรับโซลูชันจากแป้นพิมพ์หรือใช้ปุ่มก็ได้

คุณสมบัติของเครื่องคิดเลขเศษส่วนออนไลน์

เครื่องคำนวณเศษส่วนสามารถดำเนินการกับเศษส่วนอย่างง่าย 2 ตัวเท่านั้น พวกเขาสามารถเป็นได้ทั้งถูก (ตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน) หรือไม่ถูกต้อง (ตัวเศษมากกว่าตัวส่วน) ตัวเลขในตัวเศษและส่วนต้องไม่เป็นลบหรือมากกว่า 999
เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเราจะแก้เศษส่วนและนำคำตอบมาในรูปแบบที่ถูกต้อง โดยจะลดเศษส่วนและเลือกทั้งส่วนหากจำเป็น

หากคุณต้องการแก้เศษส่วนติดลบ ก็แค่ใช้คุณสมบัติของลบ เมื่อคูณและหารเศษส่วนลบ ลบด้วยลบจะได้บวก นั่นคือผลคูณและการหารเศษส่วนลบเท่ากับผลคูณและการหารเศษส่วนบวกอันเดียวกัน หากเศษส่วนหนึ่งเป็นลบเมื่อคูณหรือหาร ให้ลบเครื่องหมายลบออกแล้วบวกเข้ากับคำตอบ เมื่อบวกเศษส่วนลบ ผลลัพธ์จะเหมือนกับการบวกเศษส่วนบวกเดียวกัน หากคุณบวกเศษส่วนลบหนึ่งตัว ก็จะเท่ากับการลบเศษส่วนบวกตัวเดียวกัน
เมื่อลบเศษส่วนที่เป็นลบ ผลลัพธ์จะเหมือนกับว่าเศษส่วนนั้นถูกสลับและทำให้เป็นบวก นั่นคือลบด้วยลบในกรณีนี้จะให้ผลบวก แต่การจัดเรียงเงื่อนไขใหม่จะไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง เราใช้กฎเดียวกันในการลบเศษส่วน ซึ่งหนึ่งในนั้นเป็นลบ

เพื่อแก้เศษส่วนคละ (เศษส่วนซึ่ง ทั้งส่วน) แค่ขับส่วนทั้งหมดให้เป็นเศษส่วน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณส่วนทั้งหมดด้วยตัวส่วนแล้วบวกเข้ากับตัวเศษ

หากคุณต้องการแก้เศษส่วน 3 ตัวขึ้นไปทางออนไลน์ คุณควรแก้เศษส่วนทีละตัว ขั้นแรก ให้นับเศษส่วน 2 ตัวแรก จากนั้นแก้เศษส่วนถัดไปด้วยคำตอบที่คุณได้รับ เป็นต้น ดำเนินการทีละส่วน ครั้งละ 2 ส่วน แล้วคุณจะได้คำตอบที่ถูกต้องในที่สุด