กราฟพาราโบลาและฟังก์ชัน สมการพาราโบลามาตรฐาน

⁰

หมายเหตุสำคัญ!
1. หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ วิธีการทำเช่นนี้ในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ โปรดใส่ใจกับเนวิเกเตอร์ของเราให้มากที่สุด ทรัพยากรที่เป็นประโยชน์สำหรับ

เพื่อทำความเข้าใจสิ่งที่จะเขียนที่นี่ คุณจำเป็นต้องรู้ดีว่าฟังก์ชันกำลังสองคืออะไรและใช้กับอะไร หากคุณคิดว่าตัวเองเป็นมืออาชีพในเรื่องฟังก์ชันกำลังสอง ยินดีต้อนรับ แต่ถ้าไม่ใช่คุณควรอ่านกระทู้

เริ่มจากสิ่งเล็กๆ กันก่อน เช็ค:

ฟังก์ชันกำลังสองมีลักษณะอย่างไร ปริทัศน์(สูตร)?
กราฟของฟังก์ชันกำลังสองเรียกว่าอะไร?
ค่าสัมประสิทธิ์นำส่งผลต่อกราฟของฟังก์ชันกำลังสองอย่างไร

หากคุณสามารถตอบคำถามเหล่านี้ได้ทันที โปรดอ่านต่อ หากอย่างน้อยหนึ่งคำถามทำให้เกิดปัญหา ให้ไปที่

คุณรู้วิธีจัดการฟังก์ชันกำลังสอง วิเคราะห์กราฟ และสร้างกราฟตามจุดแล้ว

เอาล่ะนี่คือ: .

มาจำกันสั้น ๆ ว่าพวกเขาทำอะไร อัตราต่อรอง.

ค่าสัมประสิทธิ์นำหน้ารับผิดชอบต่อ "ความชัน" ของพาราโบลา หรืออีกนัยหนึ่งคือความกว้างของพาราโบลา ยิ่งมากขึ้น พาราโบลาก็จะแคบลง (ชันมากขึ้น) และยิ่งเล็กลง พาราโบลาก็จะกว้างขึ้น (แบนลง)
พจน์อิสระคือพิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกนพิกัด
และค่าสัมประสิทธิ์มีส่วนรับผิดชอบต่อการกระจัดของพาราโบลาจากศูนย์กลางพิกัด มาพูดถึงเรื่องนี้โดยละเอียดกันดีกว่า

เราจะเริ่มสร้างพาราโบลาจากที่ใด? จุดเด่นของมันคืออะไร?

นี้ จุดยอด. คุณจำวิธีหาพิกัดของจุดยอดได้ไหม

ค้นหา Abscissa โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

แบบนี้: กว่า มากกว่า, เหล่านั้น ไปทางซ้ายจุดยอดของพาราโบลาเคลื่อนที่

พิกัดของจุดยอดสามารถพบได้โดยการแทนที่ลงในฟังก์ชัน:

ใส่มันลงไปและคำนวณด้วยตัวเอง เกิดอะไรขึ้น

หากคุณทำทุกอย่างถูกต้องและลดความซับซ้อนของนิพจน์ผลลัพธ์ให้มากที่สุด คุณจะได้รับ:

ปรากฎว่ามากขึ้น โมดูโล่, เหล่านั้น สูงกว่าจะ จุดยอดพาราโบลา

เรามาต่อกันที่การวางแผนกราฟกันดีกว่า
วิธีที่ง่ายที่สุดคือสร้างพาราโบลาโดยเริ่มจากด้านบน

ตัวอย่าง:

สร้างกราฟของฟังก์ชัน

สารละลาย:

ขั้นแรก เรามากำหนดค่าสัมประสิทธิ์กันก่อน:

ตอนนี้เรามาคำนวณพิกัดของจุดยอด:

โปรดจำไว้ว่า: พาราโบลาทั้งหมดที่มีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเหมือนกันจะมีลักษณะเหมือนกัน ซึ่งหมายความว่าหากเราสร้างพาราโบลาและย้ายจุดยอดของมันไปยังจุดหนึ่ง เราจะได้กราฟที่เราต้องการ:

ง่ายใช่มั้ย?

เหลือเพียงคำถามเดียว: จะวาดพาราโบลาอย่างรวดเร็วได้อย่างไร? แม้ว่าเราจะวาดพาราโบลาโดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด เรายังต้องสร้างมันทีละจุด ซึ่งยาวและไม่สะดวก แต่พาราโบลาทั้งหมดก็ดูเหมือนกัน บางทีอาจมีวิธีทำให้การวาดเร็วขึ้นได้?

ตอนที่ฉันอยู่ที่โรงเรียน ครูคณิตศาสตร์บอกให้ทุกคนตัดกระดาษลายฉลุรูปพาราโบลาออกมาเพื่อจะได้วาดได้อย่างรวดเร็ว แต่คุณจะไม่สามารถเดินไปพร้อมกับลายฉลุได้ทุกที่ และคุณจะไม่ได้รับอนุญาตให้นำไปสอบ ซึ่งหมายความว่าเราจะไม่ใช้วัตถุแปลกปลอม แต่จะมองหารูปแบบ

ลองพิจารณาพาราโบลาที่ง่ายที่สุด มาสร้างมันทีละจุด:

นี่คือรูปแบบที่นี่ หากจากจุดยอดเราเลื่อนไปทางขวา (ตามแกน) และขึ้นไป (ตามแกน) เราจะไปถึงจุดพาราโบลา เพิ่มเติม: หากเราเคลื่อนไปทางขวาและขึ้นไปจากจุดนี้ เราจะไปถึงจุดพาราโบลาอีกครั้ง ถัดไป: ขวาและบน อะไรต่อไป? ขวาและบน และอื่นๆ: เลื่อนอันหนึ่งไปทางขวา และเลขคี่ตัวถัดไปขึ้น จากนั้นเราก็ทำแบบเดียวกันกับกิ่งด้านซ้าย (เพราะว่าพาราโบลามีความสมมาตร นั่นคือกิ่งก้านของมันจะดูเหมือนกัน):

เยี่ยมเลย มันจะช่วยคุณสร้างพาราโบลาใดๆ จากจุดยอดที่มีค่าสัมประสิทธิ์นำหน้าเท่ากับ ตัวอย่างเช่น เราเรียนรู้ว่าจุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่จุดหนึ่ง สร้างพาราโบลานี้ (ด้วยตัวเองบนกระดาษ)

สร้าง?

มันควรมีลักษณะเช่นนี้:

ตอนนี้เราเชื่อมต่อจุดผลลัพธ์:

นั่นคือทั้งหมดที่

โอเค ทีนี้ เราสร้างได้แต่พาราโบลาด้วยเหรอ?

ไม่แน่นอน ทีนี้เรามาดูกันว่าจะทำอย่างไรกับพวกมันถ้า

ลองดูกรณีทั่วไปบางกรณี

เยี่ยมมาก คุณได้เรียนรู้วิธีวาดพาราโบลาแล้ว ตอนนี้มาฝึกใช้ฟังก์ชันจริงกันดีกว่า

ดังนั้น จงวาดกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้:

คำตอบ:

3. ด้านบน: .

คุณจำได้ไหมว่าจะทำอย่างไรถ้าค่าสัมประสิทธิ์อาวุโสน้อยกว่า?

เราดูที่ตัวส่วนของเศษส่วน: มันเท่ากัน ดังนั้นเราจะเคลื่อนไหวดังนี้:

ขวา - ขึ้น
ขวา - ขึ้น
ขวา - ขึ้น

และทางซ้ายด้วย:

4. ด้านบน: .

โอ้ เราจะทำอะไรกับเรื่องนี้ได้บ้าง? จะวัดเซลล์ได้อย่างไรถ้าจุดยอดอยู่ระหว่างเส้น?..

และเราจะโกง ขั้นแรกให้วาดพาราโบลาก่อน แล้วจึงย้ายจุดยอดไปยังจุดหนึ่ง ไม่ มาทำอะไรที่ฉลาดกว่านี้กันดีกว่า: มาวาดพาราโบลากันดีกว่า ย้ายแกน:- บน ลง, เอ-ออน ขวา:

เทคนิคนี้สะดวกมากในกรณีของพาราโบลาใดๆ จำไว้

ฉันขอเตือนคุณว่าเราสามารถแสดงฟังก์ชันในรูปแบบนี้ได้:

ตัวอย่างเช่น: .

สิ่งนี้ให้อะไรเราบ้าง?

ความจริงก็คือ จำนวนที่ลบออกจากวงเล็บ () คือค่าที่หักของจุดยอดของพาราโบลา และค่าที่อยู่นอกวงเล็บ () คือเลขลำดับของจุดยอด

ซึ่งหมายความว่าเมื่อสร้างพาราโบลาแล้ว คุณจะต้องการ เลื่อนแกนไปทางซ้ายและแกนลง

ตัวอย่าง: มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกัน

มาเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์:

หมายเลขอะไร หักแล้วจากในวงเล็บเหรอ? สิ่งนี้ (และไม่ใช่วิธีที่คุณสามารถตัดสินใจได้โดยไม่ต้องคิด)

เรามาสร้างพาราโบลากันดีกว่า:

ตอนนี้เราเลื่อนแกนลงนั่นคือขึ้น:

และตอนนี้ - ทางซ้ายนั่นคือทางขวา:

นั่นคือทั้งหมดที่ ซึ่งก็เหมือนกับการเคลื่อนพาราโบลาที่มีจุดยอดจากจุดกำเนิดไปยังจุดหนึ่ง มีเพียงแกนตรงเท่านั้นที่จะเคลื่อนได้ง่ายกว่าพาราโบลาโค้งมาก

ตอนนี้ตามปกติตัวฉันเอง:

และอย่าลืมลบเพลาเก่าด้วยยางลบ!

ฉันเป็น คำตอบเพื่อตรวจสอบ ฉันจะเขียนพิกัดของจุดยอดของพาราโบลาเหล่านี้ให้คุณ:

ทุกอย่างมารวมกันเหรอ?

ถ้าใช่ แสดงว่าคุณเยี่ยมมาก! การรู้วิธีจัดการกับพาราโบลาเป็นสิ่งสำคัญและมีประโยชน์มาก และที่นี่เราพบว่ามันไม่ยากเลย

การสร้างกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

ฟังก์ชันกำลังสอง - ฟังก์ชันของแบบฟอร์ม โดยที่ และ เป็นตัวเลขใดๆ (สัมประสิทธิ์) - คำศัพท์อิสระ

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองคือพาราโบลา

จุดยอดของพาราโบลา:
, เช่น. ยิ่ง \displaystyle b มีขนาดใหญ่ จุดยอดของพาราโบลาก็จะยิ่งเคลื่อนไปทางซ้ายมากขึ้น
เราแทนที่มันลงในฟังก์ชัน และเราได้รับ:
, เช่น. \displaystyle b จะมีค่าสัมบูรณ์มากกว่า ส่วนด้านบนของพาราโบลาก็จะยิ่งสูงขึ้น

พจน์อิสระคือพิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกนพิกัด

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสมากมายเปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

ช่วยคุณโดยการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้องการ แก้ปัญหากับเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไขมัน (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันก็เหมือนกับกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 499 RUR

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

ในบทเรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน คุณได้คุ้นเคยกับคุณสมบัติและกราฟที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชันแล้ว ย = x 2. มาขยายความรู้ของเราเกี่ยวกับ ฟังก์ชันกำลังสอง.

แบบฝึกหัดที่ 1

กราฟฟังก์ชัน ย = x 2. มาตราส่วน: 1 = 2 ซม. ทำเครื่องหมายจุดบนแกน Oy เอฟ(0; 1/4) ใช้เข็มทิศหรือแถบกระดาษวัดระยะห่างจากจุดนั้น เอฟถึงจุดหนึ่ง มพาราโบลา จากนั้นปักหมุดแถบที่จุด M แล้วหมุนไปรอบๆ จุดนั้นจนกระทั่งเป็นแนวตั้ง ส่วนปลายของแถบจะอยู่ใต้แกน x เล็กน้อย (รูปที่ 1). ทำเครื่องหมายบนแถบว่ามันจะขยายเกินแกน x แค่ไหน ตอนนี้ไปที่จุดอื่นบนพาราโบลาแล้วทำซ้ำการวัดอีกครั้ง ขอบของแถบตกลงไปต่ำกว่าแกน x แค่ไหน?

ผลลัพธ์:ไม่ว่าคุณจะหาจุดใดบนพาราโบลา y = x 2 ระยะห่างจากจุดนี้ไปยังจุด F(0; 1/4) จะมากกว่าระยะห่างจากจุดเดียวกันถึงแกน abscissa ด้วยจำนวนเดียวกันเสมอ - 1/4.

เราอาจพูดแตกต่างออกไป: ระยะห่างจากจุดใดๆ ของพาราโบลาไปยังจุด (0; 1/4) เท่ากับระยะห่างจากจุดเดียวกันของพาราโบลาถึงเส้นตรง y = -1/4 จุดมหัศจรรย์นี้เรียกว่า F(0; 1/4) จุดสนใจพาราโบลา y = x 2 และเส้นตรง y = -1/4 – ครูใหญ่พาราโบลานี้ พาราโบลาทุกอันมีไดเรกตริกซ์และโฟกัส

คุณสมบัติที่น่าสนใจของพาราโบลา:

1. จุดใดๆ ของพาราโบลามีระยะห่างจากจุดหนึ่งเรียกว่าจุดโฟกัสของพาราโบลาเท่ากัน และมีเส้นตรงบางจุดเรียกว่าไดเรกตริกซ์

2. หากคุณหมุนพาราโบลารอบแกนสมมาตร (เช่น พาราโบลา y = x 2 รอบแกน Oy) คุณจะได้พื้นผิวที่น่าสนใจมากที่เรียกว่าพาราโบลาแห่งการปฏิวัติ

พื้นผิวของของเหลวในภาชนะที่หมุนได้จะมีรูปทรงพาราโบลาแห่งการปฏิวัติ คุณสามารถมองเห็นพื้นผิวนี้ได้หากคุณคนแรงๆ ด้วยช้อนในแก้วชาที่ยังไม่สมบูรณ์ แล้วจึงเอาช้อนออก

3. ถ้าคุณโยนก้อนหินลงช่องว่างในมุมหนึ่งจนถึงขอบฟ้า หินนั้นจะลอยอยู่ในรูปพาราโบลา (รูปที่ 2)

4. หากคุณตัดพื้นผิวของกรวยด้วยระนาบขนานกับเจเนอราไทรซ์ใดๆ ของมัน หน้าตัดจะทำให้เกิดพาราโบลา (รูปที่ 3).

5. สวนสนุกบางครั้งมีเครื่องเล่นสนุกๆ ที่เรียกว่า Paraboloid of Wonders ทุกคนที่ยืนอยู่ในพาราโบลาที่หมุนได้ดูเหมือนว่าเขากำลังยืนอยู่บนพื้น ในขณะที่คนที่เหลือกำลังจับยึดผนังอย่างน่าอัศจรรย์

6. ในการสะท้อนกล้องโทรทรรศน์ จะใช้กระจกพาราโบลาเช่นกัน แสงของดาวฤกษ์ที่อยู่ไกลออกไปซึ่งมาในลำแสงคู่ขนานที่ตกลงบนกระจกกล้องโทรทรรศน์จะถูกรวบรวมเข้าสู่โฟกัส

7. ไฟสปอร์ตไลท์มักจะมีกระจกเป็นรูปพาราโบลาลอยด์ หากคุณวางแหล่งกำเนิดแสงไว้ที่จุดโฟกัสของพาราโบลาลอยด์ รังสีที่สะท้อนจากกระจกพาราโบลาจะก่อตัวเป็นลำแสงขนานกัน

การสร้างกราฟฟังก์ชันกำลังสอง

ในบทเรียนคณิตศาสตร์ คุณได้ศึกษาวิธีรับกราฟของฟังก์ชันในรูปแบบจากกราฟของฟังก์ชัน y = x 2:

1) y = ขวาน 2– การยืดกราฟ y = x 2 ไปตามแกน Oy ใน |a| ครั้ง (ด้วย |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, ข้าว. 4).

2) y = x 2 + n– การเลื่อนของกราฟไป n หน่วยตามแนวแกน Oy และถ้า n > 0 การเลื่อนจะสูงขึ้น และถ้า n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– การเลื่อนของกราฟไปหน่วย m ตามแกน Ox: ถ้า m< 0, то вправо, а если m >0 แล้วจากไป (รูปที่ 5).

4) y = -x 2– การแสดงแบบสมมาตรสัมพันธ์กับแกน Ox ของกราฟ y = x 2

มาดูการวางแผนฟังก์ชันกันดีกว่า y = ก(x – ม.) 2 + n.

ฟังก์ชันกำลังสองของรูปแบบ y = ax 2 + bx + c สามารถลดลงเป็นรูปแบบได้เสมอ

y = a(x – m) 2 + n โดยที่ m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a)

มาพิสูจน์กัน

จริงหรือ,

y = ขวาน 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a)

ให้เราแนะนำสัญลักษณ์ใหม่

อนุญาต ม. = -b/(2a), ก n = -(ข 2 – 4ac)/(4a),

จากนั้นเราจะได้ y = a(x – m) 2 + n หรือ y – n = a(x – m) 2

มาทดแทนกันเพิ่มเติม: ให้ y – n = Y, x – m = X (*)

จากนั้นเราจะได้ฟังก์ชัน Y = aX 2 ซึ่งกราฟคือพาราโบลา

จุดยอดของพาราโบลาอยู่ที่จุดกำเนิด เอ็กซ์ = 0; ย = 0

เมื่อแทนพิกัดของจุดยอดลงใน (*) เราจะได้พิกัดของจุดยอดของกราฟ y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n

ดังนั้นเพื่อที่จะพลอตฟังก์ชันกำลังสองที่แสดงเป็น

y = ก(x – ม.) 2 + n

ผ่านการแปลง คุณสามารถดำเนินการดังต่อไปนี้:

ก)พลอตฟังก์ชัน y = x 2 ;

ข)โดยการแปลแบบขนานตามแกน Ox ด้วยหน่วย m และตามแกน Oy ด้วย n หน่วย - ถ่ายโอนจุดยอดของพาราโบลาจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดที่มีพิกัด (m; n) (รูปที่ 6).

การแปลงการบันทึก:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n

ตัวอย่าง.

ใช้การแปลง สร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 2(x – 3) 2 ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน – 2.

สารละลาย.

ห่วงโซ่แห่งการเปลี่ยนแปลง:

ย = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

การวางโครงจะแสดงอยู่ใน ข้าว. 7.

คุณสามารถฝึกเขียนกราฟฟังก์ชันกำลังสองได้ด้วยตัวเอง เช่น สร้างกราฟของฟังก์ชัน y = 2(x + 3) 2 + 2 ในระบบพิกัดเดียวโดยใช้การแปลง หากคุณมีคำถาม หรือต้องการรับคำแนะนำจากอาจารย์ ก็มีโอกาสที่จะดำเนินการ บทเรียนฟรี 25 นาทีกับติวเตอร์ออนไลน์หลังจากลงทะเบียน สำหรับ ทำงานต่อไปกับอาจารย์ของคุณคุณสามารถเลือกแผนภาษีที่เหมาะกับคุณ

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่รู้วิธีสร้างกราฟฟังก์ชันกำลังสองใช่ไหม?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ทุกคนคงรู้ว่าพาราโบลาคืออะไร แต่เราจะดูวิธีการใช้อย่างถูกต้องและมีความสามารถเมื่อแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติต่างๆ ด้านล่างนี้

ขั้นแรก ให้เราร่างแนวคิดพื้นฐานที่พีชคณิตและเรขาคณิตมีให้กับเทอมนี้ ลองพิจารณาทุกอย่าง ประเภทที่เป็นไปได้แผนภูมินี้

เรามาดูคุณสมบัติหลักทั้งหมดของฟังก์ชันนี้กันดีกว่า มาทำความเข้าใจพื้นฐานของการสร้างเส้นโค้ง (เรขาคณิต) กันดีกว่า มาเรียนรู้วิธีค้นหาค่าด้านบนและค่าพื้นฐานอื่นๆ ของกราฟประเภทนี้กัน

มาดูกันว่าจะสร้างเส้นโค้งที่ต้องการได้อย่างไรโดยใช้สมการสิ่งที่คุณต้องใส่ใจ มาดูพื้นฐานกัน การใช้งานจริงคุณค่าอันเป็นเอกลักษณ์นี้ในชีวิตมนุษย์

พาราโบลาคืออะไร และมีลักษณะอย่างไร

พีชคณิต: คำนี้หมายถึงกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

เรขาคณิต: นี่คือเส้นโค้งลำดับที่สองที่มีคุณสมบัติเฉพาะหลายประการ:

สมการพาราโบลามาตรฐาน

รูปนี้แสดงระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (XOY) ซึ่งเป็นส่วนปลายสุด ซึ่งเป็นทิศทางของกิ่งก้านของฟังก์ชันที่ลากไปตามแกนแอบซิสซา

สมการทางบัญญัติคือ:

y 2 = 2 * p * x,

โดยที่สัมประสิทธิ์ p คือพารามิเตอร์โฟกัสของพาราโบลา (AF)

ในพีชคณิตจะมีการเขียนแตกต่างออกไป:

y = a x 2 + b x + c (รูปแบบที่รู้จัก: y = x 2)

คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันนี้มีแกนสมมาตรและมีศูนย์กลาง (สุดขั้ว) โดเมนของคำจำกัดความคือค่าทั้งหมดของแกน abscissa

ช่วงของค่าของฟังก์ชัน – (-∞, M) หรือ (M, +∞) ขึ้นอยู่กับทิศทางของกิ่งก้านของเส้นโค้ง พารามิเตอร์ M ในที่นี้หมายถึงค่าของฟังก์ชันที่ด้านบนของบรรทัด

วิธีกำหนดทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา

หากต้องการค้นหาทิศทางของเส้นโค้งประเภทนี้จากนิพจน์ คุณต้องกำหนดเครื่องหมายก่อนพารามิเตอร์ตัวแรก การแสดงออกทางพีชคณิต. ถ้า ˃ 0 แสดงว่าพวกมันพุ่งขึ้น ถ้ากลับกันก็ลงครับ

วิธีหาจุดยอดของพาราโบลาโดยใช้สูตร

การค้นหาจุดสุดยอดเป็นขั้นตอนหลักในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติหลายอย่าง เปิดพิเศษได้แน่นอน เครื่องคิดเลขออนไลน์แต่จะดีกว่าถ้าทำเองได้

จะตรวจสอบได้อย่างไร? มีสูตรพิเศษคือ เมื่อ b ไม่เท่ากับ 0 เราต้องหาพิกัดของจุดนี้

สูตรการหาจุดยอด:

x 0 = -b / (2 * ก);
y 0 = y (x 0)

ตัวอย่าง.

มีฟังก์ชัน y = 4 * x 2 + 16 * x – 25 มาหาจุดยอดของฟังก์ชันนี้กัน

สำหรับบรรทัดเช่นนี้:

x = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41

เราได้รับพิกัดของจุดยอด (-2, -41)

การแทนที่พาราโบลา

กรณีคลาสสิกคือเมื่ออยู่ในฟังก์ชันกำลังสอง y = a x 2 + b x + c พารามิเตอร์ตัวที่สองและสามจะเท่ากับ 0 และ = 1 - จุดยอดอยู่ที่จุด (0; 0)

การเคลื่อนที่ไปตามแกน abscissa หรือแกนพิกัดเกิดจากการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ b และ c ตามลำดับเส้นบนระนาบจะถูกเลื่อนตามจำนวนหน่วยเท่ากับค่าของพารามิเตอร์

ตัวอย่าง.

เรามี: b = 2, c = 3

มันหมายความว่าอย่างนั้น ดูคลาสสิกเส้นโค้งจะเลื่อนไป 2 หน่วยตามแกนแอบซิสซา และ 3 หน่วยตามแกนกำหนด

วิธีสร้างพาราโบลาโดยใช้สมการกำลังสอง

เป็นสิ่งสำคัญสำหรับเด็กนักเรียนที่จะเรียนรู้วิธีวาดพาราโบลาอย่างถูกต้องตามพารามิเตอร์ที่กำหนด

โดยการวิเคราะห์นิพจน์และสมการ คุณจะเห็นสิ่งต่อไปนี้:

จุดตัดของเส้นที่ต้องการกับเวกเตอร์พิกัดจะมีค่า เท่ากับมูลค่ากับ.
จุดทุกจุดของกราฟ (ตามแนวแกน x) จะมีความสมมาตรโดยสัมพันธ์กับส่วนปลายสุดของฟังก์ชัน

นอกจากนี้ จุดตัดกับ OX สามารถพบได้โดยการรู้การแบ่งแยก (D) ของฟังก์ชันดังกล่าว:

D = (ข 2 - 4 * a * c)

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องถือนิพจน์ให้เป็นศูนย์

การมีอยู่ของรากของพาราโบลาขึ้นอยู่กับผลลัพธ์:

D ˃ 0 จากนั้น x 1, 2 = (-b ± D 0.5) / (2 * a);
D = 0 จากนั้น x 1, 2 = -b / (2 * a);
D ˂ 0 แล้วไม่มีจุดตัดกับเวกเตอร์ OX

เราได้รับอัลกอริทึมสำหรับสร้างพาราโบลา:

กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน
ค้นหาพิกัดของจุดยอด
ค้นหาจุดตัดกับแกนกำหนด
หาจุดตัดกับแกน x

ตัวอย่างที่ 1

เมื่อพิจารณาจากฟังก์ชัน y = x 2 - 5 * x + 4 จำเป็นต้องสร้างพาราโบลา เราปฏิบัติตามอัลกอริทึม:

a = 1 ดังนั้นกิ่งก้านจึงชี้ขึ้นด้านบน
พิกัดสุดขั้ว: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
ตัดกับแกนพิกัดที่ค่า y = 4;
มาหาความแตกต่างกัน: D = 25 - 16 = 9;
กำลังมองหาราก:

X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10)

ตัวอย่างที่ 2

สำหรับฟังก์ชัน y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 คุณต้องสร้างพาราโบลา เราดำเนินการตามอัลกอริทึมที่กำหนด:

a = 3 ดังนั้นกิ่งก้านจึงชี้ขึ้นด้านบน
พิกัดสุดขั้ว: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
จะตัดกับแกน y ที่ค่า y = -1;
มาหาตัวจำแนก: D = 4 + 12 = 16 ดังนั้นรากคือ:

X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0)

เมื่อใช้คะแนนที่ได้รับ คุณสามารถสร้างพาราโบลาได้

ไดเรกทริกซ์ ความเยื้องศูนย์กลาง จุดโฟกัสของพาราโบลา

จากสมการ Canonical จุดโฟกัสของ F มีพิกัด (p/2, 0)

เส้นตรง AB คือไดเรกตริกซ์ (คอร์ดชนิดหนึ่งของพาราโบลาที่มีความยาวค่าหนึ่ง) สมการของมันคือ x = -p/2

ความเยื้องศูนย์ (คงที่) = 1

บทสรุป

เราดูหัวข้อที่เด็กนักเรียนเรียนอยู่ มัธยม. ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าเมื่อดูฟังก์ชันกำลังสองของพาราโบลา วิธีค้นหาจุดยอดของมัน ทิศทางที่กิ่งก้านจะถูกชี้ไป ไม่ว่าจะมีการกระจัดตามแนวแกนหรือไม่ และด้วยอัลกอริทึมการก่อสร้าง คุณก็สามารถวาดกราฟของมันได้

ฟังก์ชันของแบบฟอร์มที่เรียกว่า ฟังก์ชันกำลังสอง.

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง – พาราโบลา.

ลองพิจารณากรณีต่างๆ:

ฉันกรณีพาราโบลาคลาสสิก

นั่นคือ , ,

หากต้องการสร้าง ให้กรอกตารางโดยแทนที่ค่า x ลงในสูตร:

ทำเครื่องหมายจุด (0;0); (1;1); (-1;1) เป็นต้น บน ประสานงานเครื่องบิน(ยิ่งขั้นตอนที่เราใช้ค่า x น้อยลง (ในกรณีนี้คือขั้นตอนที่ 1) และยิ่งเราใช้ค่า x มากเท่าใด เส้นโค้งก็จะยิ่งนุ่มนวลขึ้นเท่านั้น) เราจะได้พาราโบลา:

มันง่ายที่จะเห็นว่าถ้าเราใช้กรณี , , นั่นคือ เราจะได้พาราโบลาที่สมมาตรรอบแกน (oh) ง่ายต่อการตรวจสอบโดยกรอกตารางที่คล้ายกัน:

กรณีที่สอง “a” แตกต่างจากหน่วย

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเอา , , ? พฤติกรรมของพาราโบลาจะเปลี่ยนไปอย่างไร? ด้วย title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

ในภาพแรก (ดูด้านบน) จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าจุดจากตารางสำหรับพาราโบลา (1;1), (-1;1) ถูกแปลงเป็นจุด (1;4), (1;-4) นั่นคือ ที่มีค่าเท่ากัน ลำดับของแต่ละจุดจะคูณด้วย 4 ซึ่งจะเกิดขึ้นกับจุดสำคัญทั้งหมดของตารางต้นฉบับ เราให้เหตุผลคล้ายกันในกรณีของภาพที่ 2 และ 3

และเมื่อพาราโบลา “กว้างขึ้น” มากกว่าพาราโบลา:

สรุป:

1)เครื่องหมายสัมประสิทธิ์กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน ด้วย title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) มูลค่าสัมบูรณ์ค่าสัมประสิทธิ์ (โมดูลัส) มีหน้าที่รับผิดชอบในการ "ขยายตัว" และ "การบีบอัด" ของพาราโบลา ยิ่งพาราโบลามีขนาดใหญ่เท่าใด พาราโบลาก็จะแคบลง |a| ยิ่งเล็ก พาราโบลาก็จะยิ่งกว้างขึ้นเท่านั้น

กรณีที่สาม “C” ปรากฏขึ้น

ตอนนี้เรามาแนะนำเกม (นั่นคือ พิจารณากรณีที่) เราจะพิจารณาพาราโบลาของแบบฟอร์ม . เดาได้ไม่ยาก (คุณสามารถดูตารางได้ตลอดเวลา) ว่าพาราโบลาจะเลื่อนขึ้นหรือลงตามแนวแกนขึ้นอยู่กับเครื่องหมาย:

IV กรณี “b” ปรากฏขึ้น

พาราโบลาจะ “แยกตัว” ออกจากแกนและ “เดิน” ไปตามระนาบพิกัดทั้งหมดเมื่อใด เมื่อไหร่จะเลิกเท่ากัน?

ตรงนี้เพื่อสร้างพาราโบลาที่เราต้องการ สูตรคำนวณจุดยอด: , .

ดังนั้น ณ จุดนี้ ( ณ จุด (0;0) ระบบใหม่พิกัด) เราจะสร้างพาราโบลาซึ่งเราทำได้แล้ว หากเรากำลังจัดการกับกรณีนี้จากจุดยอดเราวางส่วนของหน่วยหนึ่งส่วนไปทางขวาหนึ่งส่วนขึ้น - จุดผลลัพธ์คือของเรา (ในทำนองเดียวกันก้าวไปทางซ้ายหนึ่งก้าวขึ้นไปคือจุดของเรา) หากเรากำลังเผชิญอยู่ตัวอย่างเช่นจากจุดสุดยอดเราวางส่วนของหน่วยไปทางขวาสอง - ขึ้นไปเป็นต้น

ตัวอย่างเช่น จุดยอดของพาราโบลา:

สิ่งสำคัญที่ต้องเข้าใจคือที่จุดยอดนี้ เราจะสร้างพาราโบลาตามรูปแบบพาราโบลา เพราะในกรณีของเรา

เมื่อสร้างพาราโบลา หลังจากหาพิกัดของจุดยอดได้มากแล้วสะดวกในการพิจารณาประเด็นต่อไปนี้:

1) พาราโบลา จะผ่านจุดนั้นไปอย่างแน่นอน . อันที่จริง เมื่อแทน x=0 ลงในสูตร เราก็จะได้ว่า นั่นคือ พิกัดของจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oy) คือ ในตัวอย่างของเรา (ด้านบน) พาราโบลาตัดกันพิกัดที่จุด เนื่องจาก

2) แกนสมมาตร พาราโบลา เป็นเส้นตรง ดังนั้นทุกจุดของพาราโบลาจะสมมาตรกัน ในตัวอย่างของเรา เราจะหาจุด (0; -2) ทันทีและสร้างมันขึ้นมาแบบสมมาตรสัมพันธ์กับแกนสมมาตรของพาราโบลา เราจะได้จุด (4; -2) ที่พาราโบลาจะผ่านไป

3) เมื่อเท่ากับ เราจะหาจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oh) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ เราจะได้หนึ่ง (, ), สอง ( title="Rendered โดย QuickLaTeX.com ขึ้นอยู่กับการเลือกปฏิบัติ)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ รากของการแบ่งแยกของเราไม่ใช่จำนวนเต็ม เมื่อสร้าง มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่เราจะค้นหาราก แต่เราเห็นชัดเจนว่าเราจะมีจุดตัดกันสองจุดกับแกน (oh) (ตั้งแต่ title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

เรามาลองดูกันดีกว่า

อัลกอริทึมสำหรับการสร้างพาราโบลาหากกำหนดไว้ในรูปแบบ

1) กำหนดทิศทางของกิ่งก้าน (a>0 – up, a<0 – вниз)

2) เราค้นหาพิกัดของจุดยอดของพาราโบลาโดยใช้สูตร , .

3) เราค้นหาจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oy) โดยใช้เทอมอิสระสร้างจุดที่สมมาตรถึงจุดนี้ด้วยความเคารพต่อแกนสมมาตรของพาราโบลา (ควรสังเกตว่ามันเกิดขึ้นว่าการทำเครื่องหมายนั้นไม่ได้ประโยชน์ เช่นจุดนี้เพราะค่ามันมาก...เราข้ามจุดนี้ไป...)

4) ที่จุดที่พบ - จุดยอดของพาราโบลา (ณ จุด (0;0) ของระบบพิกัดใหม่) เราสร้างพาราโบลา ถ้า title="Rendered โดย QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) เราค้นหาจุดตัดของพาราโบลากับแกน (oy) (หากยังไม่ "โผล่ขึ้นมา") โดยการแก้สมการ

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 2

หมายเหตุ 1.หากในตอนแรกเราให้พาราโบลาในรูปแบบ ซึ่งมีตัวเลขอยู่บ้าง (เช่น ) การสร้างพาราโบลาจะง่ายกว่านี้อีก เนื่องจากเราได้รับพิกัดของจุดยอดแล้ว ทำไม

เอาล่ะ ตรีโกณมิติกำลังสองและเลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์ในนั้น: ดูสิ เราได้สิ่งนั้น , . คุณและฉันก่อนหน้านี้เรียกว่าจุดยอดของพาราโบลา นั่นคือตอนนี้

ตัวอย่างเช่น, . เราทำเครื่องหมายจุดยอดของพาราโบลาบนระนาบ เราเข้าใจว่ากิ่งก้านชี้ลง พาราโบลาถูกขยาย (สัมพันธ์กับ ) นั่นคือเราดำเนินการตามข้อ 1; 3; 4; 5 จากอัลกอริทึมสำหรับสร้างพาราโบลา (ดูด้านบน)

โน้ต 2.หากพาราโบลาถูกกำหนดไว้ในรูปแบบที่คล้ายกับสิ่งนี้ (นั่นคือ นำเสนอเป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นสองตัว) เราจะเห็นจุดตัดของพาราโบลากับแกน (วัว) ทันที ในกรณีนี้ – (0;0) และ (4;0) ส่วนที่เหลือเราดำเนินการตามอัลกอริธึมโดยเปิดวงเล็บ

บทที่ 15
ผลกระทบของอัตราต่อรองก, ข และกับ ไปยังสถานที่
กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

เป้าหมาย:พัฒนาความสามารถในการสร้างกราฟฟังก์ชันกำลังสองและแสดงรายการคุณสมบัติของมันต่อไป ระบุอิทธิพลของสัมประสิทธิ์ ก, ขและ กับบนตำแหน่งของกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

ในระหว่างเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร

ครั้งที่สอง งานช่องปาก.

พิจารณาว่ากราฟฟังก์ชันใดที่แสดงในรูป:

ที่ = เอ็กซ์ 2 – 2เอ็กซ์ – 1;

ที่ = –2เอ็กซ์ 2 – 8เอ็กซ์;

ที่ = เอ็กซ์ 2 – 4เอ็กซ์ – 1;

ที่ = 2เอ็กซ์ 2 + 8เอ็กซ์ + 7;

ที่ = 2เอ็กซ์ 2 – 1.

ข)

ที่ = เอ็กซ์ 2 – 2เอ็กซ์;

ที่ = –เอ็กซ์ 2 + 4เอ็กซ์ + 1;

ที่ = –เอ็กซ์ 2 – 4เอ็กซ์ + 1;

ที่ = –เอ็กซ์ 2 + 4เอ็กซ์ – 1;

ที่ = –เอ็กซ์ 2 + 2เอ็กซ์ – 1.

สาม. การก่อตัวของทักษะและความสามารถ

การออกกำลังกาย:

1. หมายเลข 127 (ก)

สารละลาย

ตรง ที่ = 6เอ็กซ์ + ขแตะพาราโบลา ที่ = เอ็กซ์ 2 + 8 นั่นคือมันมีจุดร่วมเพียงจุดเดียวในกรณีที่สมการ 6 เอ็กซ์ + ข = เอ็กซ์ 2 + 8 จะมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

สมการนี้เป็นกำลังสอง ลองหาค่าจำแนกของมันดู:

เอ็กซ์ 2 – 6เอ็กซ์ + 8 + ข = 0;

ดี 1 = 9 – (8 – ข) = 1 + ข;

ดี 1 = 0 ถ้า 1 + ข= 0 นั่นคือ ข= –1.

คำตอบ: ข= –1.

3. ระบุอิทธิพลของสัมประสิทธิ์ ก, ขและ กับบนตำแหน่งของกราฟฟังก์ชัน ที่ = โอ้ 2 + บีเอ็กซ์ + กับ.

นักเรียนมีความรู้เพียงพอที่จะทำงานนี้ให้สำเร็จโดยอิสระ พวกเขาควรได้รับเชิญให้เขียนสิ่งที่ค้นพบทั้งหมดลงในสมุดบันทึกโดยเน้นบทบาท "หลัก" ของแต่ละค่าสัมประสิทธิ์

1) ค่าสัมประสิทธิ์ กมีอิทธิพลต่อทิศทางของกิ่งพาราโบลา: เมื่อใด ก> 0 – กิ่งก้านชี้ขึ้นด้านบนด้วย ก < 0 – вниз.

2) ค่าสัมประสิทธิ์ ขส่งผลต่อตำแหน่งของจุดยอดของพาราโบลา ที่ ข= 0 จุดยอดอยู่บนแกน อู๋.

3) ค่าสัมประสิทธิ์ กับแสดงจุดตัดของพาราโบลากับแกน อู๋.

หลังจากนี้ สามารถยกตัวอย่างเพื่อแสดงสิ่งที่สามารถพูดได้เกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ ก, ขและ กับตามกราฟของฟังก์ชัน

ความหมาย กับสามารถเรียกได้อย่างแม่นยำ: เนื่องจากกราฟตัดกับแกน อู๋ณ จุด (0; 1) แล้ว กับ = 1.

ค่าสัมประสิทธิ์ กสามารถเปรียบเทียบกับศูนย์ได้ เนื่องจากกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลงแล้ว ก < 0.

เครื่องหมายสัมประสิทธิ์ ขสามารถพบได้จากสูตรที่กำหนดจุดตัดของพาราโบลา: ต= ตั้งแต่ ก < 0 и ต= 1 แล้ว ข> 0.

4. พิจารณาว่ากราฟฟังก์ชันใดที่แสดงในรูป โดยพิจารณาจากค่าของสัมประสิทธิ์ ก, ขและ กับ.

ที่ = –เอ็กซ์ 2 + 2เอ็กซ์;

ที่ = เอ็กซ์ 2 + 2เอ็กซ์ + 2;

ที่ = 2เอ็กซ์ 2 – 3เอ็กซ์ – 2;

ที่ = เอ็กซ์ 2 – 2.

สารละลาย

ก, ขและ กับ:

ก> 0 เนื่องจากกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น

ข อู๋;

กับ= –2 เนื่องจากพาราโบลาตัดกันพิกัดที่จุด (0; –2)

ที่ = 2เอ็กซ์ 2 – 3เอ็กซ์ – 2.

ที่ = เอ็กซ์ 2 – 2เอ็กซ์;

ที่ = –2เอ็กซ์ 2 + เอ็กซ์ + 3;

ที่ = –3เอ็กซ์ 2 – เอ็กซ์ – 1;

ที่ = –2,7เอ็กซ์ 2 – 2เอ็กซ์.

สารละลาย

ตามตารางที่เราแสดงไว้ ข้อสรุปดังต่อไปนี้เกี่ยวกับค่าสัมประสิทธิ์ ก, ขและ กับ:

ก < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

ข≠ 0 เนื่องจากจุดยอดของพาราโบลาไม่ได้อยู่บนแกน อู๋;

กับ= 0 เนื่องจากพาราโบลาตัดแกน อู๋ณ จุด (0; 0)

เงื่อนไขทั้งหมดนี้เป็นไปตามฟังก์ชันเท่านั้น ที่ = –2,7เอ็กซ์ 2 – 2เอ็กซ์.

5. ตามกราฟของฟังก์ชัน ที่ = โอ้ 2 + บีเอ็กซ์ + กับ ก, ขและ กับ:

ก) ข)

สารละลาย

ก) ดังนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจึงหงายขึ้น ก > 0.

พาราโบลาตัดแกนพิกัดในระนาบครึ่งล่าง ดังนั้น กับ < 0. Чтобы узнать знак коэффициента ขลองใช้สูตรหาค่าแอบซิสซาของจุดยอดของพาราโบลา: ต= . จากกราฟจะเห็นได้ว่า ต < 0, и мы определим, что ก> 0 ดังนั้น ข> 0.

b) ในทำนองเดียวกัน เรากำหนดสัญญาณของสัมประสิทธิ์ ก, ขและ กับ:

ก < 0, กับ > 0, ข< 0.

นักเรียนที่มีผลการเรียนดีสามารถได้รับทางเลือกเพิ่มเติมในการกรอกข้อ 247

สารละลาย

ที่ = เอ็กซ์ 2 + พิกเซล + ถาม

ก) ตามทฤษฎีบทของเวียตต้า เป็นที่ทราบกันว่าถ้า เอ็กซ์ 1 และ เอ็กซ์ 2 – รากของสมการ เอ็กซ์ 2 +
+ พิกเซล + ถาม= 0 (นั่นคือศูนย์ของฟังก์ชันนี้) จากนั้น เอ็กซ์ 1 · เอ็กซ์ 2 = ถามและ เอ็กซ์ 1 + เอ็กซ์ 2 = –ร. เราเข้าใจแล้ว ถาม= 3 4 = 12 และ ร = –(3 + 4) = –7.

b) จุดตัดของพาราโบลากับแกน อู๋จะให้ค่าพารามิเตอร์ ถาม, นั่นคือ ถาม= 6 ถ้ากราฟของฟังก์ชันตัดกับแกน โอ้ณ จุด (2; 0) แล้วเลข 2 คือรากของสมการ เอ็กซ์ 2 + พิกเซล + ถาม= 0 การแทนค่า เอ็กซ์= 2 ในสมการนี้ เราได้สิ่งนั้น ร = –5.

c) ฟังก์ชันกำลังสองนี้ถึงค่าต่ำสุดที่จุดยอดของพาราโบลา ดังนั้น ที่ไหน ร= –12. ตามเงื่อนไขค่าของฟังก์ชัน ที่ = เอ็กซ์ 2 – 12เอ็กซ์ + ถามตรงจุด x= 6 เท่ากับ 24 การทดแทน x= 6 และ ที่= 24 โวลต์ ฟังก์ชั่นนี้เราพบว่า ถาม= 60.

IV. งานตรวจสอบ.

ตัวเลือกที่ 1

1. สร้างกราฟฟังก์ชัน ที่ = 2เอ็กซ์ 2 + 4เอ็กซ์– 6 และค้นหาโดยใช้กราฟ:

ก) ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน

b) ช่วงเวลาที่ ที่> 0 และ ย < 0;

d) ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน

e) ช่วงของฟังก์ชัน

2. โดยไม่ต้องสร้างกราฟฟังก์ชัน ที่ = –เอ็กซ์ 2 + 4เอ็กซ์, หา:

ก) ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน

c) ช่วงของฟังก์ชัน

3. ตามกราฟของฟังก์ชัน ที่ = โอ้ 2 + บีเอ็กซ์ + กับกำหนดสัญญาณของสัมประสิทธิ์ ก, ขและ กับ: