สมการตรรกยะเศษส่วนของงาน การแก้สมการจำนวนเต็มและสมการตรรกยะเศษส่วน

การแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

คู่มืออ้างอิง

สมการตรรกยะเป็นสมการที่ด้านซ้ายและขวาเป็นนิพจน์ตรรกยะ

(จำได้ว่า: นิพจน์เหตุผลเป็นจำนวนเต็มและ นิพจน์เศษส่วนโดยไม่มีราก ซึ่งเกี่ยวข้องกับการบวก ลบ คูณ หาร - เช่น 6x; (ม – น)2; x/3ปี ฯลฯ)

สมการตรรกยะเศษส่วนมักจะลดลงเป็นรูปแบบ:

ที่ไหน ป(x) และ ถาม(x) เป็นพหุนาม

ในการแก้สมการดังกล่าว ให้คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย Q(x) ซึ่งสามารถทำให้เกิดรากที่ไม่เกี่ยวข้องได้ ดังนั้นในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนจึงจำเป็นต้องตรวจสอบรากที่พบ

สมการตรรกยะเรียกว่าทั้งหมดหรือพีชคณิต หากไม่ได้หารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร

ตัวอย่างของสมการตรรกยะทั้งหมด:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

ถ้าในสมการตรรกยะมีการหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปร (x) สมการนั้นเรียกว่าตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่างสมการตรรกยะเศษส่วน:

15
x + - = 5x – 17
x

สมการตรรกยะเศษส่วนมักจะแก้ได้ดังนี้:

1) ค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนแล้วคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย

2) แก้สมการผลลัพธ์ทั้งหมด;

3) แยกสิ่งที่ลดตัวส่วนร่วมของเศษส่วนออกจากรากของมัน

ตัวอย่างการแก้สมการจำนวนเต็มและสมการตรรกยะเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 1 มาแก้สมการทั้งหมดกัน

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

สารละลาย:

การหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด นี่คือ 6 หาร 6 ด้วยตัวส่วนแล้วคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วยตัวเศษของแต่ละเศษส่วน เราได้รับสมการที่เทียบเท่ากับสิ่งนี้:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

เนื่องจากด้านซ้ายและด้านขวามีตัวส่วนเท่ากัน จึงสามารถละเว้นได้ จากนั้นเราจะได้สมการที่ง่ายกว่า:

3(x – 1) + 4x = 5x

เราแก้ไขมันโดยการเปิดวงเล็บและรวมคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

ตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้ว

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการตรรกยะเศษส่วน

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

การหาตัวส่วนร่วม นี่คือ x(x – 5) ดังนั้น:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

ทีนี้ เรากำจัดตัวส่วนออกอีกครั้ง เพราะมันเหมือนกันทุกนิพจน์. เราลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน ถือสมการให้เป็นศูนย์แล้วได้ สมการกำลังสอง:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0

หลังจากแก้สมการกำลังสองแล้ว เราก็พบรากของมัน: –2 และ 5

ลองตรวจสอบว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นรากของสมการดั้งเดิมหรือไม่

ที่ x = –2 ตัวส่วนร่วม x(x – 5) จะไม่หายไป ซึ่งหมายความว่า –2 คือรากของสมการดั้งเดิม

ที่ x = 5 ตัวส่วนร่วมจะเป็นศูนย์ และสองในสามนิพจน์จะไม่มีความหมาย ซึ่งหมายความว่าเลข 5 ไม่ใช่รากของสมการดั้งเดิม

คำตอบ: x = –2

ตัวอย่างเพิ่มเติม

ตัวอย่างที่ 1

x 1 =6, x 2 = - 2.2.

คำตอบ: -2,2;6.

ตัวอย่างที่ 2

“การแก้สมการตรรกยะเศษส่วน”

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

เกี่ยวกับการศึกษา:

การก่อตัวของแนวคิดสมการตรรกยะเศษส่วน พิจารณาวิธีการต่างๆ ในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน พิจารณาอัลกอริธึมในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนพร้อมเงื่อนไขว่าเศษส่วนเท่ากับศูนย์ สอนการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนโดยใช้อัลกอริทึม ตรวจสอบระดับความเชี่ยวชาญของหัวข้อโดยทำแบบทดสอบ

พัฒนาการ:

การพัฒนาความสามารถในการดำเนินการอย่างถูกต้องด้วยความรู้ที่ได้รับและคิดอย่างมีเหตุผล การพัฒนาทักษะทางปัญญาและการดำเนินงานทางจิต - การวิเคราะห์ การสังเคราะห์ การเปรียบเทียบ และการวางนัยทั่วไป การพัฒนาความคิดริเริ่ม ความสามารถในการตัดสินใจ และไม่ได้หยุดเพียงแค่นั้น พัฒนาการของการคิดอย่างมีวิจารณญาณ การพัฒนาทักษะการวิจัย

การให้ความรู้:

ส่งเสริมความสนใจทางปัญญาในเรื่อง; ส่งเสริมความเป็นอิสระในการแก้ปัญหาการศึกษา การบำรุงเลี้ยงความตั้งใจและความเพียรเพื่อให้บรรลุผลสุดท้าย

ประเภทบทเรียน: บทเรียน - คำอธิบายเนื้อหาใหม่

ในระหว่างเรียน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

สวัสดีทุกคน! มีสมการเขียนอยู่บนกระดาน ลองดูให้ดี คุณสามารถแก้สมการทั้งหมดนี้ได้หรือไม่? อันไหนไม่ใช่และเพราะเหตุใด

สมการที่ด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์เศษส่วนเรียกว่าสมการตรรกยะเศษส่วน คุณคิดว่าเราจะเรียนอะไรในชั้นเรียนวันนี้? กำหนดหัวข้อของบทเรียน ดังนั้น ให้เปิดสมุดบันทึกของคุณและจดหัวข้อบทเรียน "การแก้สมการตรรกยะเศษส่วน"

2. การอัพเดตความรู้ สำรวจหน้าผาก งานปากเปล่ากับชั้นเรียน

และตอนนี้เราจะทำซ้ำเนื้อหาทางทฤษฎีหลักที่เราจะต้องศึกษาหัวข้อใหม่ กรุณาตอบคำถามต่อไปนี้:

1. สมการคืออะไร? ( ความเท่าเทียมกันกับตัวแปรหรือตัวแปร.)

2. สมการที่ 1 ชื่ออะไร ( เชิงเส้น.) วิธีการแก้สมการเชิงเส้น ( ย้ายทุกสิ่งที่ไม่ทราบค่าไปไว้ด้านซ้ายของสมการ และตัวเลขทั้งหมดไปทางด้านขวา ให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน ค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบ).

3. สมการที่ 3 ชื่ออะไร ( สี่เหลี่ยม.) วิธีการแก้สมการกำลังสอง ( การแยกกำลังสองสมบูรณ์โดยใช้สูตรโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียตาและผลที่ตามมา.)

4.สัดส่วนคืออะไร? ( ความเท่าเทียมกันของสองอัตราส่วน.) คุณสมบัติหลักตามสัดส่วน ( หากสัดส่วนถูกต้อง ผลคูณของเทอมสุดขั้วจะเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง.)

5. คุณสมบัติใดที่ใช้ในการแก้สมการ? ( 1. หากคุณย้ายคำศัพท์ในสมการจากส่วนหนึ่งไปอีกส่วนหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด 2. หากทั้งสองข้างของสมการคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เท่ากัน คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับค่าที่กำหนด.)

6. เศษส่วนเท่ากับศูนย์เมื่อใด? ( เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่เป็นศูนย์.)

3. คำอธิบายเนื้อหาใหม่

แก้สมการข้อ 2 ในสมุดบันทึกและบนกระดาน

คำตอบ: 10.

ที่ สมการตรรกยะเศษส่วนคุณลองแก้โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วนได้ไหม? (หมายเลข 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

แก้สมการข้อ 4 ในสมุดบันทึกและบนกระดาน

คำตอบ: 1,5.

สมการเศษส่วนใดที่คุณสามารถลองแก้ได้ด้วยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วน (หมายเลข 6).

ด=1›0, x1=3, x2=4

คำตอบ: 3;4.

ตอนนี้ให้ลองแก้สมการหมายเลข 7 โดยใช้วิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 ง=49
คำตอบ: 0;5;-2.			คำตอบ: 5;-2.

อธิบายว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? เหตุใดจึงมีสามรากในกรณีหนึ่งและอีกสองกรณี? รากของสมการตรรกยะเศษส่วนนี้มีจำนวนเท่าใด

จนถึงขณะนี้ นักเรียนยังไม่เคยพบกับแนวคิดเรื่องรากที่ไม่เกี่ยวข้อง เป็นเรื่องยากมากสำหรับพวกเขาที่จะเข้าใจว่าเหตุใดจึงเกิดเหตุการณ์เช่นนี้ ถ้าไม่มีใครในชั้นเรียนสามารถอธิบายสถานการณ์นี้ได้ชัดเจน ครูจะถามคำถามนำ

สมการที่ 2 และ 4 แตกต่างจากสมการที่ 5,6,7 อย่างไร ( ในสมการที่ 2 และ 4 มีตัวเลขในตัวส่วน หมายเลข 5-7 เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร.) รากของสมการคืออะไร? ( ค่าของตัวแปรที่ทำให้สมการกลายเป็น ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง .) จะทราบได้อย่างไรว่าตัวเลขคือรากของสมการ? ( ทำเช็ค.)

เมื่อทำการทดสอบ นักเรียนบางคนสังเกตว่าต้องหารด้วยศูนย์ พวกเขาสรุปว่าตัวเลข 0 และ 5 ไม่ใช่รากของสมการนี้ คำถามเกิดขึ้น: มีวิธีแก้สมการตรรกยะเศษส่วนที่ช่วยให้เรากำจัดข้อผิดพลาดนี้ได้หรือไม่? ใช่ วิธีการนี้มีเงื่อนไขว่าเศษส่วนเท่ากับศูนย์

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2

ถ้า x=5 แล้ว x(x-5)=0 ซึ่งหมายความว่า 5 เป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง

ถ้า x=-2 แล้ว x(x-5)≠0

คำตอบ: -2.

ลองกำหนดอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนด้วยวิธีนี้ เด็ก ๆ กำหนดอัลกอริทึมด้วยตนเอง

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน:

1. ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย

2. แปลงเศษส่วนเป็น ตัวส่วนร่วม.

3. สร้างระบบ: เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์เมื่อตัวเศษเท่ากับศูนย์และตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์

4. แก้สมการ

5. ตรวจสอบความไม่เท่าเทียมกันเพื่อแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องออก

6. เขียนคำตอบ

การสนทนา: วิธีแก้โจทย์ให้เป็นระเบียบหากคุณใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วนแล้วคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วม (เพิ่มไปยังวิธีแก้ปัญหา: แยกส่วนที่ทำให้ตัวส่วนร่วมหายไปออกจากรากของมัน)

4. ความเข้าใจเบื้องต้นเกี่ยวกับเนื้อหาใหม่

ทำงานเป็นคู่. นักเรียนเลือกวิธีการแก้สมการด้วยตนเองขึ้นอยู่กับประเภทของสมการ งานมอบหมายจากหนังสือเรียน “พีชคณิต 8”, 2550: หมายเลข 000 (b, c, i); หมายเลข 000(ก, ง, ก) ครูติดตามความสำเร็จของงาน ตอบคำถามใดๆ ที่เกิดขึ้น และให้ความช่วยเหลือนักเรียนที่มีผลการเรียนต่ำ ทดสอบตัวเอง: คำตอบจะถูกเขียนไว้บนกระดาน

b) 2 – รูตภายนอก คำตอบ: 3.

c) 2 – รูทภายนอก คำตอบ: 1.5.

ก) คำตอบ: -12.5

ก) คำตอบ: 1;1.5.

5. กำหนดการบ้าน.

2. เรียนรู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน

3. แก้ไขในสมุดบันทึกหมายเลข 000 (a, d, e) หมายเลข 000(ก,ซ).

4. ลองแก้เลข 000(a) (ไม่บังคับ)

6. ดำเนินงานควบคุมในหัวข้อที่ศึกษาให้เสร็จสิ้น

งานเสร็จบนแผ่นกระดาษ

งานตัวอย่าง:

A) สมการใดเป็นเหตุผลเศษส่วน?

B) เศษส่วนเท่ากับศูนย์ เมื่อตัวเศษคือ __________ และตัวส่วนคือ ___________

ถาม) ตัวเลข -3 เป็นรากของสมการหมายเลข 6 หรือไม่

D) แก้สมการหมายเลข 7

เกณฑ์การประเมินสำหรับการมอบหมายงาน:

ให้ "5" หากนักเรียนทำข้อสอบได้ถูกต้องมากกว่า 90% “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” มอบให้กับนักเรียนที่ทำเสร็จน้อยกว่า 50% ของงาน วารสารไม่ได้ให้คะแนน 2 แต่ 3 เป็นทางเลือก

7. การสะท้อนกลับ

ในใบงานอิสระ ให้เขียนว่า:

1 – หากบทเรียนนั้นน่าสนใจและเข้าใจได้สำหรับคุณ 2 – น่าสนใจแต่ไม่ชัดเจน 3 – ไม่น่าสนใจ แต่เข้าใจได้ 4 – ไม่น่าสนใจ ไม่ชัดเจน

8. สรุปบทเรียน

ดังนั้น วันนี้ในบทเรียน เราได้ทำความคุ้นเคยกับสมการตรรกยะเศษส่วน เรียนรู้การแก้สมการเหล่านี้ด้วยวิธีต่างๆ ทดสอบความรู้ของเราด้วยความช่วยเหลือของการฝึกอบรม งานอิสระ. คุณจะได้เรียนรู้ผลลัพธ์ของการทำงานอิสระของคุณในบทเรียนถัดไปและที่บ้านคุณจะมีโอกาสรวบรวมความรู้ของคุณ

วิธีใดในการแก้สมการเศษส่วนในความคิดของคุณ ง่ายกว่า เข้าถึงได้ง่ายกว่า และมีเหตุผลมากกว่า ไม่ว่าจะแก้สมการตรรกยะเศษส่วนด้วยวิธีใด ควรจำอะไรบ้าง “ไหวพริบ” ของสมการตรรกยะเศษส่วนคืออะไร?

ขอบคุณทุกคน บทเรียนจบลงแล้ว

\(\bullet\) สมการตรรกยะคือสมการที่แสดงในรูปแบบ \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] โดยที่ \(P(x), \Q(x)\ ) - พหุนาม (ผลรวมของ "X" ที่มีค่ายกกำลังต่าง ๆ คูณด้วยตัวเลขต่าง ๆ )
นิพจน์ทางด้านซ้ายของสมการเรียกว่านิพจน์เหตุผล
EA (ช่วงของค่าที่ยอมรับได้) ของสมการตรรกยะคือค่าทั้งหมดของ \(x\) ซึ่งตัวส่วนไม่หายไป นั่นคือ \(Q(x)\ne 0\)
\(\bullet\) ตัวอย่างเช่น สมการ \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]เป็นสมการตรรกยะ
ในครั้งแรก สมการ ODZ– ทั้งหมดนี้คือ \(x\) โดยที่ \(x\ne 3\) (write \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); ในสมการที่สอง – ทั้งหมดนี้คือ \(x\) โดยที่ \(x\ne -1; x\ne 1\) (เขียน \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); และในสมการที่สามไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับ ODZ นั่นคือ ODZ คือทั้งหมด \(x\) (เขียนว่า \(x\in\mathbb(R)\)) \(\bullet\) ทฤษฎีบท:
1) ผลคูณของตัวประกอบสองตัวจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ และอีกตัวหนึ่งไม่สูญเสียความหมาย ดังนั้นสมการ \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) เทียบเท่ากับระบบ \[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ \ ข้อความ (สมการ ODZ)\end(กรณี)\] 2) เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเศษเท่ากับศูนย์และตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น สมการ \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) เทียบเท่ากับระบบสมการ \[\begin(กรณี) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(กรณี)\]\(\bullet\) ลองดูตัวอย่างบางส่วน

1) แก้สมการ \(x+1=\dfrac 2x\) ลองหา ODZ ของสมการนี้ - นี่คือ \(x\ne 0\) (เนื่องจาก \(x\) อยู่ในตัวส่วน)
ซึ่งหมายความว่า ODZ สามารถเขียนได้ดังนี้:
ลองย้ายพจน์ทั้งหมดมาไว้ในส่วนเดียวแล้วนำมาหารด้วยตัวส่วนร่วม: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\ลูกศรซ้าย\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\ลูกศรซ้าย\quad \begin( กรณี) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(กรณี)\]ผลเฉลยของสมการแรกของระบบจะเป็น \(x=-2, x=1\) เราจะเห็นว่ารากทั้งสองไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นคำตอบคือ: \(x\in \(-2;1\)\)

2) แก้สมการ \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\). ลองหา ODZ ของสมการนี้กัน เราจะเห็นว่าค่าเดียวของ \(x\) ซึ่งทางด้านซ้ายไม่สมเหตุสมผลคือ \(x=0\) ดังนั้น ODZ สามารถเขียนได้ดังนี้: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
ดังนั้นสมการนี้จึงเทียบเท่ากับระบบ:

\[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(กรณี) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(กรณี) \left[ \begin(รวบรวม)\begin(ชิด) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(ชิด) \end(รวบรวม) \right.\\ x\ne 0 \end(กรณี) \quad \ลูกศรซ้ายขวา \quad \begin(กรณี) \left[ \begin(รวบรวม)\begin(ชิด) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(ชิด) \end(รวบรวม) \right.\\ x\ne 0 \end(กรณี) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(รวบรวม) \begin(ชิด) &x=2\\ &x=1 \end(ชิด) \end(รวบรวม) \right.\]จริงๆ แล้ว แม้ว่า \(x=0\) จะเป็นรากของปัจจัยที่สอง แต่ถ้าคุณแทน \(x=0\) ลงในสมการดั้งเดิม ก็จะไม่สมเหตุสมผล เพราะ ไม่ได้กำหนดนิพจน์ \(\dfrac 40\)
ดังนั้น วิธีแก้สมการนี้คือ \(x\in \(1;2\)\)

3) แก้สมการ \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]ในสมการของเรา \(4x^2-1\ne 0\) ซึ่ง \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) ซึ่งก็คือ \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
ลองย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายแล้วนำมาเป็นตัวส่วนร่วม:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \ลูกศรซ้ายขวา \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \ลูกศรซ้ายขวา \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \รูปสี่เหลี่ยม \ลูกศรซ้ายขวา\)

\(\ลูกศรซ้าย \quad \begin(กรณี) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(กรณี) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(กรณี) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(กรณี) \quad \ลูกศรซ้ายขวา \quad \begin(กรณี) \left[ \begin(รวบรวม) \begin( จัดเรียง) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(ชิด)\end(รวบรวม) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(กรณี) \quad \ ลูกศรซ้ายขวา \รูปสี่เหลี่ยม x=-3\)

คำตอบ: \(x\in \(-3\)\)

ความคิดเห็น หากคำตอบประกอบด้วยชุดตัวเลขที่มีจำกัด ก็สามารถเขียนโดยคั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาคในวงเล็บปีกกา ดังที่แสดงในตัวอย่างก่อนหน้านี้

ปัญหาที่ต้องแก้สมการตรรกยะจะพบทุกปีในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นเมื่อเตรียมสอบผ่านการรับรอง ผู้สำเร็จการศึกษาควรทำซ้ำทฤษฎีในหัวข้อนี้ด้วยตนเองอย่างแน่นอน ผู้สำเร็จการศึกษาที่สอบทั้งระดับพื้นฐานและระดับเชี่ยวชาญจะต้องสามารถรับมือกับงานดังกล่าวได้ หลังจากเชี่ยวชาญทฤษฎีและจัดการกับแบบฝึกหัดภาคปฏิบัติในหัวข้อ "สมการเชิงตรรกยะ" นักเรียนจะสามารถแก้ปัญหาด้วยการกระทำจำนวนเท่าใดก็ได้และไว้วางใจในการได้รับคะแนนแข่งขันในการสอบ Unified State

จะเตรียมตัวสอบโดยใช้พอร์ทัลการศึกษาของ Shkolkovo ได้อย่างไร?

บางครั้งการหาแหล่งที่นำเสนอทฤษฎีพื้นฐานในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์อย่างครบถ้วนกลับกลายเป็นเรื่องยากทีเดียว หนังสือเรียนอาจไม่อยู่ในมือ และการค้นหาสูตรที่จำเป็นบางครั้งอาจเป็นเรื่องยากแม้แต่บนอินเทอร์เน็ตก็ตาม

พอร์ทัลการศึกษาของ Shkolkovo จะช่วยให้คุณไม่ต้องค้นหาสื่อที่จำเป็นและช่วยให้คุณเตรียมตัวได้ดีสำหรับการผ่านการทดสอบการรับรอง

ผู้เชี่ยวชาญของเราได้เตรียมและนำเสนอทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมดในหัวข้อ "สมการตรรกยะ" ในรูปแบบที่เข้าถึงได้มากที่สุด หลังจากศึกษาข้อมูลที่นำเสนอแล้ว นักเรียนจะสามารถเติมเต็มช่องว่างความรู้ได้

เพื่อเตรียมความพร้อมให้สำเร็จ การสอบ Unified State สำหรับผู้สำเร็จการศึกษาไม่เพียงแต่ต้องปัดฝุ่นเรื่องพื้นฐานเท่านั้น วัสดุทางทฤษฎีในหัวข้อ “สมการตรรกยะ” แต่ให้ฝึกทำภารกิจให้สำเร็จต่อไป ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง. มีงานให้เลือกมากมายในส่วน "แคตตาล็อก"

สำหรับแบบฝึกหัดแต่ละข้อบนเว็บไซต์ ผู้เชี่ยวชาญของเราได้เขียนอัลกอริธึมการแก้ปัญหาและระบุคำตอบที่ถูกต้อง นักเรียนสามารถฝึกการแก้ปัญหาในระดับความยากที่แตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับระดับทักษะของพวกเขา รายการงานในส่วนที่เกี่ยวข้องได้รับการเสริมและปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง

คุณสามารถศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎีและฝึกฝนทักษะในการแก้ปัญหาในหัวข้อ "สมการตรรกยะ" ซึ่งคล้ายกับที่รวมอยู่ในแบบทดสอบ Unified State Exam ทางออนไลน์ หากจำเป็น คุณสามารถเพิ่มงานที่นำเสนอในส่วน "รายการโปรด" ได้ เมื่อทบทวนทฤษฎีพื้นฐานในหัวข้อ "สมการเชิงตรรกยะ" อีกครั้ง นักเรียนมัธยมปลายจะสามารถกลับเข้าสู่ปัญหาได้ในอนาคตเพื่อหารือเกี่ยวกับความคืบหน้าในการแก้ปัญหากับครูในบทเรียนพีชคณิต

เราได้เรียนรู้วิธีแก้สมการกำลังสองแล้ว ทีนี้มาขยายวิธีการศึกษาไปสู่สมการตรรกยะกัน

เกิดอะไรขึ้น การแสดงออกอย่างมีเหตุผล? เราเจอแนวคิดนี้แล้ว การแสดงออกที่มีเหตุผลเป็นนิพจน์ที่ประกอบด้วยตัวเลข ตัวแปร กำลัง และสัญลักษณ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

ดังนั้น สมการตรรกยะจึงเป็นสมการที่อยู่ในรูปแบบ: , โดยที่ - การแสดงออกอย่างมีเหตุผล

ก่อนหน้านี้เราพิจารณาเฉพาะสมการตรรกยะที่สามารถลดทอนให้เป็นเชิงเส้นได้ ทีนี้ลองดูสมการตรรกยะที่สามารถลดเป็นสมการกำลังสองได้

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ: .

สารละลาย:

เศษส่วนจะเท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อตัวเศษเท่ากับ 0 และตัวส่วนไม่เท่ากับ 0

เราได้รับระบบดังต่อไปนี้:

สมการแรกของระบบคือสมการกำลังสอง ก่อนที่จะแก้มัน เรามาหารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วย 3 กันก่อน เราได้:

เราได้สองราก: ; .

เนื่องจาก 2 ไม่เคยเท่ากับ 0 จึงต้องตรงตามเงื่อนไขสองข้อ: . เนื่องจากไม่มีรากของสมการที่ได้รับข้างต้นตรงกับค่าที่ไม่ถูกต้องของตัวแปรที่ได้รับเมื่อแก้ไขอสมการที่สอง ทั้งสองจึงเป็นคำตอบของสมการนี้

คำตอบ:.

ลองกำหนดอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะ:

1. เลื่อนพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายเพื่อให้ด้านขวาลงท้ายด้วย 0

2. แปลงและลดรูปทางด้านซ้าย นำเศษส่วนทั้งหมดมาเป็นตัวส่วนร่วม

3. เท่ากับเศษส่วนผลลัพธ์เป็น 0 โดยใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้: .

4. เขียนรากที่ได้มาจากสมการแรกและตอบอสมการที่สองในคำตอบ

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ: .

สารละลาย

ในตอนแรก เราย้ายเงื่อนไขทั้งหมดไปทางซ้ายเพื่อให้ 0 ยังคงอยู่ทางด้านขวา เราได้รับ:

ทีนี้ลองนำด้านซ้ายของสมการมาเป็นตัวส่วนร่วม:

สมการนี้เทียบเท่ากับระบบ:

สมการแรกของระบบคือสมการกำลังสอง

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการนี้: . เราคำนวณการเลือกปฏิบัติ:

เราได้สองราก: ; .

ทีนี้มาแก้อสมการที่สองกัน: ผลคูณของปัจจัยไม่เท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อไม่มีปัจจัยใดเท่ากับ 0

ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสองประการ: . เราพบว่ารากทั้งสองของสมการแรก มีเพียงรากเดียวเท่านั้นที่เหมาะสม - 3

คำตอบ:.

ในบทเรียนนี้ เราจำได้ว่านิพจน์ตรรกยะคืออะไร และยังได้เรียนรู้วิธีแก้สมการตรรกยะซึ่งลดเหลือเป็นสมการกำลังสองด้วย

ในบทต่อไป เราจะดูสมการตรรกยะเป็นแบบจำลองของสถานการณ์จริง และยังดูปัญหาการเคลื่อนที่ด้วย

บรรณานุกรม

1. บาชมาคอฟ M.I. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - อ.: การศึกษา, 2547.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. และอื่นๆ พีชคณิต 8. 5th ed. - อ.: การศึกษา, 2553.
3. Nikolsky S.M. , Potapov M.A. , Reshetnikov N.N. , Shevkin A.V. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป - อ.: การศึกษา, 2549.

1. งานเทศกาล แนวคิดการสอน "บทเรียนสาธารณะ" ().
2. School.xvatit.com ()
3. Rudocs.exdat.com ()

การบ้าน