ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คืออะไร ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

สารละลาย:

6.1.2 คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

1. มูลค่าที่คาดหวัง ค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่สูงสุด

2. ค่าคงที่สามารถนำออกมาเป็นสัญญาณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้

3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา

คุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับตัวแปรสุ่มจำนวนเท่าใดก็ได้

4. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข

คุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับตัวแปรสุ่มจำนวนเท่าใดก็ได้

ตัวอย่าง: ม(เอ็กซ์) = 5, ของฉัน)= 2. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ตัวแปรสุ่ม ซีโดยนำคุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มาใช้หากทราบเช่นนั้น Z=2X+3Y.

สารละลาย: ม(Z) = ม(2X + 3Y) = ม(2X) + ม(3Y) = 2ม(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

2) สามารถดึงปัจจัยคงที่ออกจากเครื่องหมายคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้

ปล่อยให้ทำการทดลองอิสระ n ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A ซึ่งเท่ากับ p จากนั้นทฤษฎีบทต่อไปนี้ถือเป็น:

ทฤษฎีบท. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M(X) ของจำนวนการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n การทดลอง เท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ในการทดลองแต่ละครั้ง

6.1.3 การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถระบุลักษณะของกระบวนการสุ่มได้อย่างสมบูรณ์ นอกเหนือจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แล้วยังจำเป็นต้องป้อนค่าที่แสดงถึงความเบี่ยงเบนของค่าของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ค่าเบี่ยงเบนนี้เท่ากับความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้ ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการเบี่ยงเบนจะเป็นศูนย์ สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าการเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้บางอย่างนั้นเป็นค่าบวก ส่วนค่าอื่นๆ นั้นเป็นค่าลบ และผลจากการยกเลิกร่วมกัน ทำให้ได้ศูนย์

การกระจายตัว (กระเจิง)ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ในทางปฏิบัติ วิธีคำนวณความแปรปรวนนี้ไม่สะดวกเพราะว่า นำไปสู่ ปริมาณมากค่าของตัวแปรสุ่มไปจนถึงการคำนวณที่ยุ่งยาก

ดังนั้นจึงใช้วิธีอื่น

ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนเท่ากับความแตกต่างระหว่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของตัวแปรสุ่ม X และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์.

การพิสูจน์. เมื่อคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M(X) และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M2(X) เป็นปริมาณคงที่ เราสามารถเขียนได้:

ตัวอย่าง. ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่กำหนดโดยกฎการกระจาย

เอ็กซ์
เอ็กซ์ 2
ร	0.2	0.3	0.1	0.4

สารละลาย: .

6.1.4 คุณสมบัติการกระจายตัว

1. ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์ .

2. ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายตัวได้โดยการยกกำลังสอง .

3. ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้ .

4. ความแปรปรวนของความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้ .

ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนของจำนวนการเกิดของเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n การทดลอง โดยแต่ละการทดลองมีความน่าจะเป็นที่ p ของการเกิดเหตุการณ์จะเป็นค่าคงที่ เท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองด้วยความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์และไม่ การเกิดเหตุการณ์ในการทดลองแต่ละครั้ง

ตัวอย่าง: ค้นหาความแปรปรวนของ DSV X - จำนวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระ 2 ครั้ง ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากัน และทราบว่า M(X) = 1.2

ลองใช้ทฤษฎีบทจากส่วนที่ 6.1.2:

ม(X) = np

ม(เอ็กซ์) = 1,2; n= 2. มาหากัน พี:

1,2 = 2∙พี

พี = 1,2/2

ถาม = 1 – พี = 1 – 0,6 = 0,4

มาหาความแปรปรวนโดยใช้สูตร:

ง(เอ็กซ์) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเรียกว่าตัวแปรสุ่ม X รากที่สองจากการกระจายตัว

(25)

ทฤษฎีบท. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลรวมของจำนวนจำกัดของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระร่วมกันจะเท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรเหล่านี้

6.1.6 โหมดและค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

แฟชั่น M หรือ DSVค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดของตัวแปรสุ่มเรียกว่า (เช่น ค่าที่มีความน่าจะเป็นสูงสุด)

ค่ามัธยฐาน M และ DSVคือค่าของตัวแปรสุ่มที่แบ่งอนุกรมการแจกแจงออกเป็นครึ่งหนึ่ง หากจำนวนค่าของตัวแปรสุ่มเป็นเลขคู่ ค่ามัธยฐานจะพบว่าเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเฉลี่ยสองค่า

ตัวอย่าง: ค้นหาโหมดและค่ามัธยฐานของ DSV เอ็กซ์:

เอ็กซ์
พี	0.2	0.3	0.1	0.4

ฉัน = = 5,5

ความคืบหน้า

1. ทำความคุ้นเคยกับส่วนเชิงทฤษฎีของงานนี้ (การบรรยาย หนังสือเรียน)

2. ทำงานให้เสร็จสิ้นตามเวอร์ชันของคุณเอง

3.จัดทำรายงานการทำงาน.

4. ปกป้องงานของคุณ

2. วัตถุประสงค์ของงาน

3. ความก้าวหน้าของงาน

4. การแก้ไขทางเลือกของคุณเอง

6.4 ตัวเลือกงานสำหรับ งานอิสระ

ตัวเลือกที่ 1

1. ค้นหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การกระจายตัว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน โหมด และค่ามัธยฐานของ DSV X ที่กำหนดโดยกฎการกระจาย

เอ็กซ์
ป	0.1	0.6	0.2	0.1

2. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X และ Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y

3. ค้นหาความแปรปรวนของ DSV X - จำนวนการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระสองครั้ง หากความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากัน และทราบว่า M (X) = 1

4. ให้รายการค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์: x1 = 1, x2 = 2, x3

ตัวเลือกหมายเลข 2

เอ็กซ์
ป	0.3	0.1	0.2	0.4

2. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X และ Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y

3. ค้นหาความแปรปรวนของ DSV X - จำนวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระ 3 ครั้ง หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากัน และทราบว่า M (X) = 0.9

x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, x4= 10 และความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่านี้และกำลังสองของมันยังเป็นที่รู้จัก: , ค้นหาความน่าจะเป็น , , , ที่สอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้ของ , , และร่างกฎหมายการกระจาย DSV

ตัวเลือก #3

1. ค้นหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การกระจายตัว และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ DSV X ที่กำหนดโดยกฎการกระจาย

เอ็กซ์
ป	0.5	0.1	0.2	0.3

2. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X และ Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y

3. ค้นหาความแปรปรวนของ DSV X - จำนวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระ 4 ครั้ง หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากัน และทราบว่า M (x) = 1.2

4. รายการค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X จะได้รับ: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4= 5 และความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่านี้และกำลังสองของมันยังเป็นที่รู้จัก: , ค้นหาความน่าจะเป็น , , , ที่สอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้ของ , , และร่างกฎหมายการกระจาย DSV

ตัวเลือกหมายเลข 4

1. ค้นหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การกระจายตัว และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ DSV X ที่กำหนดโดยกฎการกระจาย

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม X คือค่าเฉลี่ย

1. ม(ค) = ค

2. ม(CX) = ซม.(X), ที่ไหน ค= ค่าคงที่

3. ม(X ± ย) = ม(X) ± ม(ย)

4. ถ้าเป็นตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์และ ยเป็นอิสระแล้ว ม(XY) = ม(X) ม(ป)

การกระจายตัว

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X เรียกว่า

ง(X) = ส(x – ม(X)) 2 พี = ม(X 2 ) – ม 2 (เอ็กซ์).

การกระจายตัวเป็นการวัดความเบี่ยงเบนของค่าของตัวแปรสุ่มจากค่าเฉลี่ย

1. ง(ค) = 0

2. ง(X + ค) = ง(X)

3. ง(CX) = ค 2 ง(เอ็กซ์), ที่ไหน ค= ค่าคงที่

4. สำหรับตัวแปรสุ่มอิสระ

ง(X ± ย) = ง(X) + ง(Y)

5. D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(x, y)

รากที่สองของความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม X เรียกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน .

@งาน 3: ให้ตัวแปรสุ่ม X รับค่าความน่าจะเป็นเพียงสองค่า (0 หรือ 1) คิวพี, ที่ไหน พี + คิว = 1. ค้นหาความคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์

สารละลาย:

M(X) = 1 p + 0 q = p; ง(X) = (1 – พี) 2 พี + (0 – พี) 2 คิว = พีคิว

@งาน 4: ความคาดหวังและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์มีค่าเท่ากับ 8 ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม: ก) เอ็กซ์ – 4; ข) 3X – 4.

วิธีแก้: ม(X – 4) = ม(X) – 4 = 8 – 4 = 4; ง(X – 4) = ง(X) = 8; ม(3X – 4) = 3ม(X) – 4 = 20; ง(3X – 4) = 9D(X) = 72

@ภารกิจที่ 5: จำนวนครอบครัวทั้งหมดมีการแบ่งตามจำนวนบุตรดังต่อไปนี้:

x ฉัน	x1	x2
พี ฉัน	0,1	หน้า 2	0,4	0,35

กำหนด x1, x2และ หน้า 2ถ้ามันรู้อย่างนั้น ม(X) = 2; ด(X) = 0.9.

วิธีแก้: ความน่าจะเป็น p 2 เท่ากับ p 2 = 1 – 0.1 – 0.4 – 0.35 = 0.15 ค่า x ที่ไม่รู้จักนั้นพบได้จากสมการ: M(X) = x 1 ·0.1 + x 2 ·0.15 + 2·0.4 + 3·0.35 = 2; ง(X) = ·0.1 + ·0.15 + 4·0.4 + 9·0.35 – 4 = 0.9 x 1 = 0; x 2 = 1

ประชากรและกลุ่มตัวอย่าง การประมาณค่าพารามิเตอร์

การสังเกตแบบเลือกสรร

การสังเกตทางสถิติสามารถจัดแบบต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่องก็ได้ การสังเกตอย่างต่อเนื่องเกี่ยวข้องกับการตรวจสอบทุกหน่วยของประชากรที่กำลังศึกษา (ประชากรทั่วไป) ประชากร เป็นชุดของฟิสิคัลหรือ นิติบุคคลซึ่งผู้วิจัยศึกษาตามงานของตน สิ่งนี้มักไม่สามารถทำได้ในเชิงเศรษฐกิจและบางครั้งก็เป็นไปไม่ได้ ในเรื่องนี้มีการศึกษาประชากรทั่วไปเพียงบางส่วนเท่านั้น - ประชากรตัวอย่าง .

ผลลัพธ์ที่ได้รับจากประชากรตัวอย่างสามารถขยายไปยังประชากรทั่วไปได้หากปฏิบัติตามหลักการต่อไปนี้:

1. ประชากรตัวอย่างจะต้องถูกกำหนดแบบสุ่ม

2. จำนวนหน่วยในประชากรตัวอย่างต้องเพียงพอ

3.ต้องจัดให้มี ความเป็นตัวแทน ( ความเป็นตัวแทน) ของกลุ่มตัวอย่าง ตัวอย่างที่เป็นตัวแทนคือแบบจำลองประชากรที่มีขนาดเล็กกว่าแต่แม่นยำซึ่งมีวัตถุประสงค์เพื่อสะท้อนให้เห็น

ประเภทตัวอย่าง

ตัวอย่างประเภทต่อไปนี้ถูกใช้ในทางปฏิบัติ:

a) สุ่มอย่างเคร่งครัด b) เชิงกล c) โดยทั่วไป d) อนุกรม e) รวมกัน

การสุ่มตัวอย่างที่เหมาะสม

ที่ ตัวอย่างสุ่มจริง การเลือกหน่วยในกลุ่มประชากรตัวอย่างจะดำเนินการแบบสุ่ม เช่น การจับสลาก หรือใช้เครื่องสร้างตัวเลขสุ่ม

ตัวอย่างสามารถทำซ้ำหรือไม่ทำซ้ำได้ ในการสุ่มตัวอย่างใหม่ หน่วยที่ถูกสุ่มตัวอย่างจะถูกส่งกลับและยังคงมีโอกาสที่เท่าเทียมกันในการสุ่มตัวอย่างอีกครั้ง ในการสุ่มตัวอย่างแบบไม่ทำซ้ำ หน่วยประชากรที่รวมอยู่ในตัวอย่างจะไม่เข้าร่วมในกลุ่มตัวอย่างในอนาคต

ข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในการสังเกตการสุ่มตัวอย่างซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าประชากรตัวอย่างไม่ได้แพร่พันธุ์ประชากรทั่วไปอย่างสมบูรณ์เรียกว่า ข้อผิดพลาดมาตรฐาน . แสดงถึงความแตกต่างกำลังสองเฉลี่ยระหว่างค่าของตัวบ่งชี้ที่ได้จากตัวอย่างและค่าที่สอดคล้องกันของตัวบ่งชี้ของประชากรทั่วไป

สูตรการคำนวณสำหรับข้อผิดพลาดมาตรฐานสำหรับการสุ่มตัวอย่างซ้ำมีดังนี้: และสำหรับการสุ่มตัวอย่างแบบไม่ซ้ำกันดังต่อไปนี้: โดยที่ S 2 คือความแปรปรวนของประชากรตัวอย่าง ไม่มี –แบ่งปันตัวอย่าง เอ็น เอ็น- จำนวนหน่วยในกลุ่มตัวอย่างและประชากรทั่วไป ที่ เอ็น = เอ็นข้อผิดพลาดมาตรฐาน m = 0

การสุ่มตัวอย่างทางกล

ที่ การสุ่มตัวอย่างทางกล ประชากรจะถูกแบ่งออกเป็นช่วงเท่าๆ กัน และจะมีการสุ่มเลือกหนึ่งหน่วยจากแต่ละช่วง

ตัวอย่างเช่น ด้วยอัตราการสุ่มตัวอย่าง 2% ทุกหน่วยที่ 50 จะถูกเลือกจากรายการประชากร

ข้อผิดพลาดมาตรฐานของการสุ่มตัวอย่างทางกลถูกกำหนดให้เป็นข้อผิดพลาดของการสุ่มตัวอย่างอย่างแท้จริงโดยไม่เกิดซ้ำ

ตัวอย่างทั่วไป

ที่ ตัวอย่างทั่วไป ประชากรทั่วไปแบ่งออกเป็นกลุ่มทั่วไปที่เป็นเนื้อเดียวกัน จากนั้นจึงสุ่มเลือกหน่วยจากแต่ละกลุ่ม

ตัวอย่างทั่วไปจะใช้ในกรณีที่มีประชากรต่างกัน ตัวอย่างทั่วไปจะให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น เนื่องจากช่วยให้มั่นใจได้ถึงความเป็นตัวแทน

ตัวอย่างเช่น ครูในฐานะประชากรทั่วไปจะถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มตามเกณฑ์ต่อไปนี้ เพศ ประสบการณ์ คุณวุฒิ การศึกษา โรงเรียนในเมืองและในชนบท เป็นต้น

ข้อผิดพลาดมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างทั่วไปถูกกำหนดให้เป็นข้อผิดพลาดของกลุ่มตัวอย่างที่สุ่มอย่างแท้จริง โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียว เอส 2จะถูกแทนที่ด้วยค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนภายในกลุ่ม

การสุ่มตัวอย่างแบบอนุกรม

ที่ การสุ่มตัวอย่างแบบอนุกรม ประชากรทั่วไปแบ่งออกเป็นกลุ่มแยก (ชุด) จากนั้นกลุ่มที่เลือกแบบสุ่มจะถูกสังเกตอย่างต่อเนื่อง

ข้อผิดพลาดมาตรฐานของตัวอย่างอนุกรมถูกกำหนดให้เป็นข้อผิดพลาดของตัวอย่างแบบสุ่มอย่างแท้จริง โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือ เอส 2จะถูกแทนที่ด้วยค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม

ตัวอย่างรวม

ตัวอย่างรวมคือการรวมกันของตัวอย่างสองประเภทขึ้นไป

การประมาณจุด

เป้าหมายสูงสุดของการสังเกตตัวอย่างคือการค้นหาคุณลักษณะของประชากร เนื่องจากไม่สามารถทำได้โดยตรง ลักษณะของประชากรตัวอย่างจึงขยายไปยังประชากรทั่วไป

ความเป็นไปได้ขั้นพื้นฐานในการกำหนดค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากรจากข้อมูลของกลุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยได้รับการพิสูจน์แล้ว ทฤษฎีบทของเชบีเชฟ. ด้วยกำลังขยายไม่จำกัด nความน่าจะเป็นที่ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยตัวอย่างและค่าเฉลี่ยทั่วไปจะน้อยตามอำเภอใจมีแนวโน้มเป็น 1

ซึ่งหมายความว่าลักษณะของประชากรมีความแม่นยำที่ การประเมินนี้เรียกว่า จุด .

การประมาณช่วง

พื้นฐานของการประมาณช่วงคือ ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง.

การประมาณช่วงช่วยให้เราสามารถตอบคำถาม: ภายในช่วงเวลาใดและด้วยความน่าจะเป็นที่ไม่ทราบค่าที่ต้องการของพารามิเตอร์ประชากรตั้งอยู่?

โดยปกติแล้วเราจะพูดถึงความน่าจะเป็นของความมั่นใจ พี = 1 – ก ซึ่งจะอยู่ในช่วงเวลานั้น – ดี< < + D, где D = ที crม. > 0 ข้อผิดพลาดเล็กน้อย ตัวอย่าง, ก - ระดับนัยสำคัญ (ความน่าจะเป็นที่ความไม่เท่าเทียมกันจะเป็นเท็จ) ที cr- ค่าวิกฤตซึ่งขึ้นอยู่กับค่า nและก. สำหรับตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ< 30 ที crถูกระบุโดยใช้ค่าวิกฤตของการแจกแจงค่า t ของนักเรียนสำหรับการทดสอบสองด้าน n– 1 องศาอิสระที่มีนัยสำคัญระดับ a ( ที cr(ไม่มี – 1, a) พบได้จากตาราง "ค่าวิกฤตของการแจกแจงแบบ t ของนักเรียน" ภาคผนวก 2) สำหรับ n > 30 ที cr- นี่คือควอนไทล์ กฎหมายปกติการแจกแจง ( ที crหาได้จากตารางค่าของฟังก์ชัน Laplace F(t) = (1 – ก)/2 เป็นอาร์กิวเมนต์) ที่ p = 0.954 ค่าวิกฤต ที cr= 2 ที่ p = 0.997 ค่าวิกฤต ที cr= 3 ซึ่งหมายความว่าข้อผิดพลาดส่วนเพิ่มมักจะมากกว่าข้อผิดพลาดมาตรฐาน 2-3 เท่า

ดังนั้น สาระสำคัญของวิธีการสุ่มตัวอย่างก็คือ จากข้อมูลทางสถิติของประชากรส่วนเล็กๆ บางส่วน จึงเป็นไปได้ที่จะค้นหาช่วงเวลาที่มีความน่าจะเป็นอย่างมั่นใจว่า พีพบคุณลักษณะที่ต้องการของประชากรทั่วไป (จำนวนคนงานเฉลี่ย คะแนนเฉลี่ย ผลผลิตเฉลี่ย ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ฯลฯ)

@งาน 1.เพื่อกำหนดความรวดเร็วในการชำระหนี้กับเจ้าหนี้ของบริษัทวิสาหกิจค่ะ ธนาคารพาณิชย์สุ่มตัวอย่างเอกสารการชำระเงิน 100 ฉบับ โดยเวลาเฉลี่ยในการโอนเงินและรับเงินคือ 22 วัน (= 22) โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 วัน (S = 6) ด้วยความน่าจะเป็น พี= 0.954 หาค่าความคลาดเคลื่อนสูงสุดของค่าเฉลี่ยตัวอย่างและช่วงความเชื่อมั่น ระยะเวลาเฉลี่ยการตั้งถิ่นฐานของวิสาหกิจของบริษัทนี้

วิธีแก้ไข: ข้อผิดพลาดเล็กน้อยของค่าเฉลี่ยตัวอย่างตาม(1)เท่ากับด= 2· 0.6 = 1.2 และช่วงความเชื่อมั่นถูกกำหนดเป็น (22 – 1.2; 22 + 1.2) กล่าวคือ (20.8; 23.2)

§6.5 สหสัมพันธ์และการถดถอย

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือคำจำกัดความ

รุกฆาตที่รอคอยคือหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในสถิติทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งกำหนดลักษณะการกระจายตัวของค่าหรือ ความน่าจะเป็นตัวแปรสุ่ม. โดยทั่วไปจะแสดงเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของพารามิเตอร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม ใช้กันอย่างแพร่หลายใน การวิเคราะห์ทางเทคนิคการศึกษาอนุกรมจำนวน การศึกษากระบวนการต่อเนื่องและระยะยาว เป็นสิ่งสำคัญในการประเมินความเสี่ยง ทำนายตัวบ่งชี้ราคาเมื่อทำการซื้อขายในตลาดการเงิน และใช้ในการพัฒนากลยุทธ์และวิธีการของกลยุทธ์การเล่นเกม ทฤษฎีการพนัน.

รุกฆาตรออยู่- นี้ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม การแจกแจง ความน่าจะเป็นตัวแปรสุ่มถือเป็นตัวแปรสุ่มในทฤษฎีความน่าจะเป็น

รุกฆาตที่รอคอยคือการวัดค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มในทฤษฎีความน่าจะเป็น รุกฆาตความคาดหวังของตัวแปรสุ่ม xแสดงโดย เอ็ม(เอ็กซ์).

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

รุกฆาตที่รอคอยคือ

รุกฆาตที่รอคอยคือในทฤษฎีความน่าจะเป็น ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ตัวแปรสุ่มสามารถรับได้

รุกฆาตที่รอคอยคือผลรวมของผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

รุกฆาตที่รอคอยคือประโยชน์โดยเฉลี่ยจากการตัดสินใจครั้งใดครั้งหนึ่ง โดยมีเงื่อนไขว่าการตัดสินใจดังกล่าวสามารถพิจารณาได้ภายในกรอบของทฤษฎีจำนวนมากและระยะทางไกล

รุกฆาตที่รอคอยคือในทฤษฎีการพนัน จำนวนเงินชนะที่นักเก็งกำไรสามารถรับหรือแพ้ได้โดยเฉลี่ยในการเดิมพันแต่ละครั้ง ในภาษาการพนัน นักเก็งกำไรบางครั้งเรียกว่า “ข้อได้เปรียบ” นักเก็งกำไร“ (หากเป็นผลบวกต่อนักเก็งกำไร) หรือ “เฮ้าส์เอจ” (หากเป็นผลลบต่อนักเก็งกำไร)

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

เหมือนกัน คุกกี้สำหรับเว็บไซต์ที่ดีที่สุด Wenn Sie diese เว็บไซต์ของ weiterhin nutzen, กระตุ้น Sie dem zu. ตกลง

ตัวแปรสุ่มตัวแปรเรียกว่าตัวแปรซึ่งเป็นผลมาจากการทดสอบแต่ละครั้ง รับค่าที่ไม่รู้จักก่อนหน้านี้ ขึ้นอยู่กับเหตุผลที่สุ่ม ตัวแปรสุ่มแสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ ตามประเภทของตัวแปรสุ่ม ตัวแปรสุ่มสามารถเป็น ไม่ต่อเนื่องและ อย่างต่อเนื่อง.

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง- นี่คือตัวแปรสุ่มที่มีค่านับได้ไม่เกินนั่นคือมีขอบเขตหรือนับได้ จากการนับได้เราหมายความว่าค่าของตัวแปรสุ่มสามารถกำหนดหมายเลขได้

ตัวอย่างที่ 1 . นี่คือตัวอย่างของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง:

a) จำนวนครั้งที่ยิงโดนเป้าหมายด้วยการยิง $n$ ค่าที่เป็นไปได้คือ $0,\ 1,\ \dots ,\ n$

b) จำนวนตราสัญลักษณ์ที่ดรอปเมื่อโยนเหรียญ ค่าที่เป็นไปได้คือ $0,\ 1,\ \dots ,\ n$

c) จำนวนเรือที่มาถึงบนเรือ (ชุดค่าที่นับได้)

d) จำนวนสายที่มาถึง PBX (ชุดค่าที่นับได้)

1. กฎการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มแบบแยกส่วน $X$ สามารถรับค่า $x_1,\dots ,\ x_n$ ด้วยความน่าจะเป็น $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ เรียกว่าความสอดคล้องระหว่างค่าเหล่านี้และความน่าจะเป็น กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง. ตามกฎแล้ว การติดต่อนี้จะถูกระบุโดยใช้ตาราง บรรทัดแรกระบุค่า $x_1,\dots ,\ x_n$ และบรรทัดที่สองมีความน่าจะเป็น $p_1,\dots ,\ p_n$ ที่สอดคล้องกับ ค่าเหล่านี้

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \จุด & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \จุด & p_n \\
\hline
\end(อาร์เรย์)$

ตัวอย่างที่ 2 . ให้ตัวแปรสุ่ม $X$ เป็นจำนวนคะแนนที่ทอยได้เมื่อทอยลูกเต๋า ตัวแปรสุ่มดังกล่าว $X$ สามารถใช้ค่าต่อไปนี้: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$ ความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้ทั้งหมดจะเท่ากับ $1/6$ จากนั้นกฎของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(อาร์เรย์)$

ความคิดเห็น. เนื่องจากในกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบแยก $X$ เหตุการณ์ $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ ก่อให้เกิดกลุ่มเหตุการณ์ที่สมบูรณ์ ดังนั้นผลรวมของความน่าจะเป็นจะต้องเท่ากับ 1 นั่นคือ $ \sum(p_i)=1$.

2. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มกำหนดความหมาย "ศูนย์กลาง" ของมัน สำหรับตัวแปรสุ่มแบบแยกส่วน ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะถูกคำนวณเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่า $x_1,\dots ,\ x_n$ และความน่าจะเป็น $p_1,\dots ,\ p_n$ ที่สอดคล้องกับค่าเหล่านี้ นั่นคือ : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. ในวรรณคดีอังกฤษ มีการใช้สัญลักษณ์อื่น $E\left(X\right)$

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์$M\ซ้าย(X\ขวา)$:

1. $M\left(X\right)$ อยู่ระหว่างค่าที่เล็กที่สุดและ ค่าสูงสุดตัวแปรสุ่ม $X$
2. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับค่าคงที่ของตัวมันเอง กล่าวคือ $M\left(C\right)=C$.
3. ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$
4. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$
5. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$

ตัวอย่างที่ 3 . ลองค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $X$ จากตัวอย่าง $2$

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\โอเวอร์ (6))=3.5.$$

เราจะสังเกตได้ว่า $M\left(X\right)$ อยู่ระหว่างค่าที่น้อยที่สุด ($1$) และค่าที่ใหญ่ที่สุด ($6$) ของตัวแปรสุ่ม $X$

ตัวอย่างที่ 4 . เป็นที่ทราบกันว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับ $M\left(X\right)=2$ ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $3X+5$

จากคุณสมบัติข้างต้น เราจะได้ $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.

ตัวอย่างที่ 5 . เป็นที่ทราบกันว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับ $M\left(X\right)=4$ ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม $2X-9$

จากคุณสมบัติข้างต้น เราจะได้ $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มที่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากันสามารถกระจายออกไปตามค่าเฉลี่ยที่แตกต่างกันได้ ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มนักเรียนสองกลุ่ม คะแนนเฉลี่ยสำหรับการสอบตามทฤษฎีความน่าจะเป็นกลายเป็น 4 แต่ในกลุ่มหนึ่งทุกคนกลับกลายเป็นนักเรียนที่ดีและอีกกลุ่มหนึ่งมีเพียงนักเรียน C และนักเรียนที่ดีเยี่ยม ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีคุณลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่มที่จะแสดงการแพร่กระจายของค่าของตัวแปรสุ่มรอบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ลักษณะนี้คือการกระจายตัว

ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง$X$ เท่ากับ:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

ในวรรณคดีอังกฤษ ใช้สัญลักษณ์ $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ บ่อยครั้งที่ความแปรปรวน $D\left(X\right)$ คำนวณโดยใช้สูตร $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ ซ้าย(X \right)\right))^2$.

คุณสมบัติการกระจายตัว$D\ซ้าย(X\ขวา)$:

1. ความแปรปรวนจะมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ เช่น $D\ซ้าย(X\ขวา)\ge 0$.
2. ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์ เช่น $D\ซ้าย(C\ขวา)=0$.
3. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของการกระจายตัวได้ โดยมีเงื่อนไขว่าเป็นกำลังสอง เช่น $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน กล่าวคือ $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. ความแปรปรวนของความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน กล่าวคือ $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

ตัวอย่างที่ 6 . ลองคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $X$ จากตัวอย่าง $2$

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\ประมาณ 2.92.$$

ตัวอย่างที่ 7 . เป็นที่ทราบกันว่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับ $D\left(X\right)=2$ ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $4X+1$

จากคุณสมบัติข้างต้น เราจะพบว่า $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ ซ้าย(X\right)=16\cdot 2=32$.

ตัวอย่างที่ 8 . เป็นที่ทราบกันว่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $X$ เท่ากับ $D\left(X\right)=3$ ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม $3-2X$

จากคุณสมบัติข้างต้น เราจะพบว่า $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ ซ้าย(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. ฟังก์ชันการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

วิธีการแทนตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องในรูปแบบของอนุกรมการแจกแจงไม่ใช่วิธีเดียว และที่สำคัญที่สุด ไม่เป็นสากล เนื่องจากไม่สามารถระบุตัวแปรสุ่มต่อเนื่องโดยใช้อนุกรมการแจกแจงได้ มีอีกวิธีหนึ่งในการแสดงตัวแปรสุ่ม - ฟังก์ชันการแจกแจง

ฟังก์ชันการกระจายตัวแปรสุ่ม $X$ เรียกว่าฟังก์ชัน $F\left(x\right)$ ซึ่งกำหนดความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม $X$ จะได้รับค่าน้อยกว่าค่าคงที่บางค่า $x$ นั่นคือ $F\ ซ้าย(x\right )=P\left(X< x\right)$

คุณสมบัติของฟังก์ชันการกระจาย:

1. $0\le F\ซ้าย(x\right)\le 1$.
2. ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม $X$ จะนำค่าจากช่วงเวลา $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ เท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันการแจกแจงที่ส่วนท้ายของค่านี้ ช่วงเวลา: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - ไม่ลดลง
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

ตัวอย่างที่ 9 . ให้เราค้นหาฟังก์ชันการแจกแจง $F\left(x\right)$ สำหรับกฎการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแยก $X$ จากตัวอย่าง $2$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(อาร์เรย์)$

ถ้า $x\le 1$ เห็นได้ชัดว่า $F\left(x\right)=0$ (รวมถึงสำหรับ $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

ถ้า $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

ถ้า 2 ดอลลาร์< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

ถ้า $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

ถ้า $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

ถ้า $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

ถ้า $x > 6$ แล้ว $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

ดังนั้น $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ ที่\ x\le 1,\\
1/6,ที่\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ ที่\ 2< x\le 3,\\
1/2,ที่\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ ที่\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ ที่\ 4< x\le 5,\\
1,\ สำหรับ\ x > 6.
\end(เมทริกซ์)\right.$

คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดรองลงมาของตัวแปรสุ่มหลังจากการคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือการกระจายตัว ซึ่งนิยามว่าเป็นค่าเบี่ยงเบนกำลังสองเฉลี่ยจากค่าเฉลี่ย:

หากเขียนแทนด้วยค่านั้น ความแปรปรวน VX จะเป็นค่าที่คาดหวัง นี่คือลักษณะของ "กระจาย" ของการแจกแจงของ X

เช่น ตัวอย่างง่ายๆในการคำนวณความแปรปรวน สมมติว่าเราเพิ่งได้รับข้อเสนอที่เราไม่สามารถปฏิเสธได้ มีคนมอบใบรับรองสองใบให้เราสำหรับการเข้าร่วมลอตเตอรีใบเดียว ผู้จัดลอตเตอรี่ขายสลาก 100 ใบทุกสัปดาห์ โดยเข้าร่วมในการออกรางวัลแยกกัน การจับฉลากจะเลือกตั๋วหนึ่งใบผ่านกระบวนการสุ่มแบบเดียวกัน - สลากแต่ละใบมีโอกาสถูกเลือกเท่ากัน - และเจ้าของสลากที่โชคดีนั้นจะได้รับหนึ่งร้อยล้านดอลลาร์ ผู้ถือสลากที่เหลืออีก 99 ใบจะไม่ได้รับรางวัลเลย

เราสามารถใช้ของขวัญได้สองวิธี: ซื้อสลากสองใบในลอตเตอรี่ตัวเดียว หรือซื้อสลากอย่างใดอย่างหนึ่งเพื่อเข้าร่วมลอตเตอรี่สองตัวที่แตกต่างกัน กลยุทธ์ไหนดีกว่ากัน? ลองวิเคราะห์ดูครับ ในการดำเนินการนี้ ให้เราแสดงด้วยตัวแปรสุ่มที่แสดงขนาดของเงินรางวัลของเราในตั๋วใบแรกและใบที่สอง มูลค่าที่คาดหวังเป็นล้านคือ

และเช่นเดียวกันกับค่าที่คาดหวังเป็นการบวก ดังนั้นผลตอบแทนรวมโดยเฉลี่ยของเราจึงเท่ากับ

โดยไม่คำนึงถึงกลยุทธ์ที่นำมาใช้

อย่างไรก็ตาม ทั้งสองกลยุทธ์ดูแตกต่างออกไป เราไปไกลกว่าค่าที่คาดไว้และศึกษาการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบเต็ม

หากเราซื้อสลากสองใบในลอตเตอรีตัวเดียว โอกาสในการถูกรางวัลของเราจะเป็น 98% และ 2% - โอกาสถูกรางวัล 100 ล้าน หากเราซื้อตั๋วสำหรับงวดที่แตกต่างกันตัวเลขจะเป็นดังนี้: 98.01% - โอกาสที่จะไม่ชนะอะไรเลยซึ่งสูงกว่าเมื่อก่อนเล็กน้อย; 0.01% – โอกาสถูกรางวัล 200 ล้าน เพิ่มขึ้นกว่าเดิมเล็กน้อยเช่นกัน และโอกาสถูกรางวัล 100 ล้านตอนนี้อยู่ที่ 1.98% ดังนั้นในกรณีที่สอง การกระจายขนาดจึงค่อนข้างกระจัดกระจายกว่า มูลค่ากลาง 100 ล้านดอลลาร์มีโอกาสน้อยกว่าเล็กน้อย ในขณะที่ค่าสุดขั้วมีแนวโน้มมากกว่า

แนวคิดเรื่องการแพร่กระจายของตัวแปรสุ่มนี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อสะท้อนการกระจายตัว เราวัดการแพร่กระจายผ่านกำลังสองของการเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ ดังนั้นในกรณีที่ 1 ความแปรปรวนจะเป็น

ในกรณีที่ 2 ความแปรปรวนคือ

ตามที่เราคาดไว้ ค่าหลังจะใหญ่กว่าเล็กน้อย เนื่องจากการแจกแจงในกรณีที่ 2 ค่อนข้างจะกระจายมากกว่า

เมื่อเราทำงานกับความแปรปรวน ทุกอย่างจะถูกยกกำลังสอง ดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้จึงอาจเป็นตัวเลขที่ค่อนข้างมาก (ตัวคูณคือหนึ่งล้านล้านน่าจะน่าประทับใจ

แม้แต่ผู้เล่นที่คุ้นเคยกับการเดิมพันสูง) ในการแปลงค่าให้เป็นสเกลดั้งเดิมที่มีความหมายมากขึ้น มักใช้รากที่สองของความแปรปรวน จำนวนผลลัพธ์เรียกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน และมักเขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีก a:

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของขนาดสำหรับกลยุทธ์ลอตเตอรีทั้งสองของเราคือ ในบางแง่ ตัวเลือกที่สองมีความเสี่ยงมากกว่าประมาณ 71,247 ดอลลาร์

ความแปรปรวนช่วยในการเลือกกลยุทธ์อย่างไร มันไม่ชัดเจน กลยุทธ์ที่มีความแปรปรวนสูงกว่าจะมีความเสี่ยงมากกว่า แต่อะไรจะดีไปกว่ากระเป๋าเงินของเรา - การเล่นแบบเสี่ยงหรือปลอดภัย? ขอให้เรามีโอกาสที่จะซื้อตั๋วไม่ใช่สองใบ แต่ซื้อทั้งหมดหนึ่งร้อยใบ จากนั้นเรารับประกันได้ว่าจะถูกลอตเตอรี่หนึ่งตัว (และความแปรปรวนจะเป็นศูนย์) หรือคุณสามารถเล่นได้เป็นร้อย ๆ ครั้ง โดยไม่ได้รับความน่าจะเป็นเลย แต่มีโอกาสชนะรางวัลเป็นดอลลาร์ไม่เป็นศูนย์ การเลือกทางเลือกอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของหนังสือเล่มนี้ สิ่งที่เราทำได้คืออธิบายวิธีการคำนวณ

ที่จริงแล้ว มีวิธีที่ง่ายกว่าในการคำนวณความแปรปรวนมากกว่าการใช้คำจำกัดความโดยตรง (8.13) (มีเหตุผลทุกประการที่ต้องสงสัยคณิตศาสตร์ที่ซ่อนอยู่ที่นี่ ไม่เช่นนั้น ทำไมความแปรปรวนในตัวอย่างลอตเตอรีจึงกลายเป็นจำนวนเต็มทวีคูณ เรามี

ตั้งแต่ - คงที่; เพราะฉะนั้น,

“ความแปรปรวนคือค่าเฉลี่ยของกำลังสองลบด้วยค่าเฉลี่ยกำลังสอง”

เช่น ในโจทย์ลอตเตอรี ค่าเฉลี่ยจะกลายเป็น หรือ การลบ (กำลังสองของค่าเฉลี่ย) ให้ผลลัพธ์ที่เราได้มาก่อนหน้านี้ด้วยวิธีที่ยากขึ้น

อย่างไรก็ตาม มีสูตรที่ง่ายกว่านั้นที่ใช้ได้เมื่อเราคำนวณหา X และ Y อิสระ เรามี

เนื่องจากอย่างที่เราทราบสำหรับตัวแปรสุ่มอิสระ ดังนั้น

“ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน” ตัวอย่างเช่น ความแปรปรวนของจำนวนเงินที่สามารถถูกรางวัลด้วยตั๋วลอตเตอรีหนึ่งใบจะเท่ากับ

ดังนั้น การกระจายของเงินรางวัลรวมสำหรับตั๋วลอตเตอรีสองใบในลอตเตอรี่สองตัว (อิสระ) ที่แตกต่างกันจะเป็น มูลค่าการกระจายที่สอดคล้องกันสำหรับตั๋วลอตเตอรีอิสระจะเป็น

ความแปรปรวนของผลรวมของคะแนนที่ทบบนลูกเต๋าสองลูกสามารถรับได้โดยใช้สูตรเดียวกัน เนื่องจากเป็นผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว เรามี

สำหรับลูกบาศก์ที่ถูกต้อง ดังนั้นในกรณีที่จุดศูนย์กลางมวลถูกแทนที่

ดังนั้นหากลูกบาศก์ทั้งสองมีจุดศูนย์กลางมวลแทนที่ โปรดทราบว่าในกรณีหลังนี้ ความแปรปรวนจะมีมากกว่า แม้ว่าจะใช้ค่าเฉลี่ย 7 บ่อยกว่าในกรณีของลูกเต๋าปกติก็ตาม หากเป้าหมายของเราคือการทอยเซเว่นนำโชคมากขึ้น ความแปรปรวนก็ไม่ใช่ตัวบ่งชี้ความสำเร็จที่ดีที่สุด

โอเค เราได้กำหนดวิธีคำนวณความแปรปรวนแล้ว แต่เรายังไม่ได้คำตอบสำหรับคำถามที่ว่าทำไมจึงจำเป็นต้องคำนวณความแปรปรวน ใครๆ ก็ทำได้ แต่ทำไม? สาเหตุหลักคือความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev ซึ่งระบุไว้ ทรัพย์สินที่สำคัญความแตกต่าง:

(ความไม่เท่าเทียมกันนี้แตกต่างจากความไม่เท่าเทียมกันของเชบีเชฟสำหรับผลรวมที่เราพบในบทที่ 2) ในระดับคุณภาพ (8.17) ระบุว่าตัวแปรสุ่ม X ไม่ค่อยได้ค่าไกลจากค่าเฉลี่ยหากความแปรปรวน VX มีค่าน้อย การพิสูจน์

การจัดการเป็นเรื่องง่ายเป็นพิเศษ จริงหรือ,

แบ่งตามการพิสูจน์ให้เสร็จสิ้น

ถ้าเราแทนค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ด้วย a และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานด้วย a และแทนที่ใน (8.17) จากนั้นเงื่อนไขจะกลายเป็น ดังนั้น เราจะได้มาจาก (8.17)

ดังนั้น X จะอยู่ภายใน - เท่าของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ย ยกเว้นในกรณีที่ความน่าจะเป็นไม่เกิน ตัวแปรสุ่มจะอยู่ภายใน 2a อย่างน้อย 75% ของการทดลอง ตั้งแต่ถึง - อย่างน้อย 99% นี่เป็นกรณีของความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev

หากคุณโยนลูกเต๋าสองสามลูกหนึ่งครั้งผลรวมของคะแนนในการโยนทั้งหมดจะใกล้เคียงกันเสมอ เหตุผลคือ: ความแปรปรวนของการโยนแบบอิสระจะเป็นความแปรปรวนในหมายถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของทุกสิ่ง

ดังนั้นจากความไม่เท่าเทียมกันของเชบีเชฟ เราพบว่าผลรวมของคะแนนจะอยู่ระหว่างนั้น

อย่างน้อย 99% ของการทอยลูกเต๋าที่ถูกต้องทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ของการทอยล้านครั้งที่มีความน่าจะเป็นมากกว่า 99% จะอยู่ระหว่าง 6.976 ล้านถึง 7.024 ล้าน

โดยทั่วไป ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มใดๆ บนปริภูมิความน่าจะเป็น Π ซึ่งมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จำกัดและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจำกัด a จากนั้นเราสามารถนำมาพิจารณาพื้นที่ความน่าจะเป็น Pn เหตุการณ์เบื้องต้นซึ่งเป็นลำดับโดยที่แต่ละ และความน่าจะเป็นถูกกำหนดเป็น

หากตอนนี้เรากำหนดตัวแปรสุ่มด้วยสูตร

แล้วค่า

จะเป็นผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระ ซึ่งสอดคล้องกับกระบวนการรวมการรับรู้อิสระของค่า X บน P ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเท่ากับ และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน - ; ดังนั้นมูลค่าเฉลี่ยของการตระหนักรู้

จะมีตั้งแต่ถึงอย่างน้อย 99% ของช่วงเวลา กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคุณเลือกค่าที่มากเพียงพอ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการทดสอบอิสระมักจะใกล้เคียงกับค่าที่คาดหวังไว้เกือบทุกครั้ง (ในตำราเรียนทฤษฎีความน่าจะเป็น ทฤษฎีบทที่แข็งแกร่งยิ่งกว่านี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว เรียกว่ากฎอันแข็งแกร่งของจำนวนมาก แต่ สำหรับเราแล้วข้อพิสูจน์ง่ายๆ ของความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev ซึ่งเราเพิ่งนำออกไป)

บางครั้งเราไม่ทราบคุณลักษณะของปริภูมิความน่าจะเป็น แต่เราต้องประมาณค่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม X โดยใช้การสังเกตค่าของมันซ้ำๆ (ตัวอย่างเช่น เราอาจต้องการอุณหภูมิเฉลี่ยเที่ยงเดือนมกราคมในซานฟรานซิสโก หรือเราอาจต้องการทราบอายุขัยที่ตัวแทนประกันภัยควรใช้เป็นฐานในการคำนวณ) หากเรามีข้อสังเกตเชิงประจักษ์ที่เป็นอิสระในการกำจัด เราสามารถสรุปได้ว่า ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่แท้จริงมีค่าใกล้เคียงกันโดยประมาณ

คุณยังสามารถประมาณค่าความแปรปรวนได้โดยใช้สูตร

เมื่อดูสูตรนี้ คุณอาจคิดว่ามีข้อผิดพลาดในการพิมพ์ ดูเหมือนว่าควรจะอยู่ที่นั่นดังใน (8.19) เนื่องจากค่าที่แท้จริงของการกระจายถูกกำหนดใน (8.15) ผ่านค่าที่คาดหวัง อย่างไรก็ตาม การแทนที่ที่นี่ด้วยจะทำให้เราได้ค่าประมาณที่ดีขึ้น เนื่องจากเป็นไปตามคำจำกัดความ (8.20)

นี่คือหลักฐาน:

(ในการคำนวณนี้ เราอาศัยความเป็นอิสระของการสังเกตเมื่อเราแทนที่ด้วย )

ในทางปฏิบัติ ในการประเมินผลลัพธ์ของการทดลองด้วยตัวแปรสุ่ม X เรามักจะคำนวณค่าเฉลี่ยเชิงประจักษ์และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเชิงประจักษ์แล้วเขียนคำตอบในรูปแบบ ที่นี่คือผลลัพธ์ของการโยนลูกเต๋าคู่หนึ่ง คงจะถูกต้อง