ฟังก์ชันหมายถึงอะไร: มีขอบเขตด้านบนและด้านล่าง แนวคิดของฟังก์ชัน

เนื่องจากพื้นที่ที่ระบุมีค่าเท่ากันตามลำดับ

SΔOAC=0,5∙โอ.ซี.∙โอเอ∙บาป α= 0.5ซินα, นิกาย โอเอซี = 0,5∙โอ.ซี. 2 ∙α=0.5α, SΔOBC=0,5∙โอ.ซี.∙พ.ศ.= 0.5tgα

เพราะฉะนั้น,

บาป α< α < tg α.

ให้เราหารเงื่อนไขทั้งหมดของอสมการด้วย sin α > 0:

แต่ . ดังนั้น ตามทฤษฎีบทที่ 4 เกี่ยวกับลิมิต เราจึงสรุปว่าสูตรที่ได้รับมาเรียกว่าลิมิตที่น่าทึ่งอันแรก

ดังนั้น ขีดจำกัดแรกที่น่าทึ่งจึงทำหน้าที่เผยให้เห็นความไม่แน่นอน โปรดทราบว่าไม่ควรสับสนสูตรผลลัพธ์กับขีดจำกัด ตัวอย่าง.

11.จำกัด และข้อจำกัดที่เกี่ยวข้อง

ข้อจำกัดอันน่าทึ่งประการที่สอง

ขีดจำกัดที่น่าทึ่งอันที่สองทำหน้าที่เปิดเผยความไม่แน่นอนของ 1 ∞ และมีลักษณะดังนี้:

ให้เราใส่ใจกับความจริงที่ว่าในสูตรสำหรับขีด จำกัด ที่น่าทึ่งที่สอง เลขชี้กำลังจะต้องมีนิพจน์ที่ผกผันกับนิพจน์ที่บวกเข้ากับหน่วยที่ฐาน (เนื่องจากในกรณีนี้ เป็นไปได้ที่จะแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรและ ลดขีดจำกัดที่ต้องการลงเหลือขีดจำกัดที่น่าทึ่งที่สอง)

ตัวอย่าง.

1. ฟังก์ชั่น ฉ(x)=(x-1) 2 มีค่าน้อยมากที่ x→1 เนื่องจาก (ดูรูป)

2. ฟังก์ชั่น ฉ(x)= ทีจี x– ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x→0.

3. ฉ(x)= บันทึก (1+ x) – ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x→0.

4. ฉ(x) = 1/x– ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x→∞.

ให้เราสร้างความสัมพันธ์ที่สำคัญดังต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท.ถ้าฟังก์ชั่น y=ฉ(x)เป็นตัวแทนได้ด้วย x→กเป็นผลรวมของจำนวนคงที่ ขและขนาดอันไม่สิ้นสุด α(x): ฉ (x)=b+ α(x)ที่ .

ในทางกลับกัน ถ้า แล้ว ฉ (x)=ข+α(x), ที่ไหน ขวาน)– ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x→ก

การพิสูจน์.

1. ให้เราพิสูจน์ส่วนแรกของข้อความนี้ จากความเท่าเทียมกัน ฉ(x)=ข+α(x)ควร |ฉ(x) – ข|=| α|. แต่ตั้งแต่ ขวาน)มีค่าน้อยมาก ดังนั้นสำหรับ ε โดยพลการ จะมี δ – ย่านใกล้เคียงของจุด ก,ต่อหน้าทุกคน xซึ่งคุณค่าต่างๆ ขวาน)ตอบสนองความสัมพันธ์ |α(x)|< ε. แล้ว |ฉ(x) – ข|< ε. และนี่ก็หมายความว่า

2. ถ้า แล้วสำหรับ ε ใด ๆ >0 สำหรับทุกอย่าง เอ็กซ์จากบาง δ – ย่านใกล้เคียงของจุด กจะ |ฉ(x) – ข|< ε. แต่ถ้าเราแสดงว่า ฉ(x) – ข= α, ที่ |α(x)|< ε ซึ่งหมายความว่า ก– ไม่มีที่สิ้นสุด

ลองพิจารณาคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเล็กๆ กัน

ทฤษฎีบท 1ผลบวกเชิงพีชคณิตของ 2, 3 และโดยทั่วไปแล้ว จำนวนอนันต์ใดๆ ที่มีขอบเขตจำกัดถือเป็นฟังก์ชันอนันต์

การพิสูจน์. ให้เราพิสูจน์สองเทอม อนุญาต ฉ(x)=α(x)+β(x), ที่ไหน และ . เราต้องพิสูจน์ว่าสำหรับ ε เล็กๆ ใดๆ ก็ตาม > พบ 0 δ> 0 เช่นนั้นสำหรับ x, สนองความเหลื่อมล้ำ |x – ก|<δ ดำเนินการ |ฉ(x)|< ε.

งั้นมาแก้ไขตัวเลขตามใจชอบกันดีกว่า ε > 0. เนื่องจากตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท α(x)เป็นฟังก์ชันเล็กๆ น้อยๆ แล้วก็มี δ 1 แบบนั้น > 0 ซึ่งก็คือ |x – ก|< δ 1 เรามี |α(x)|< ε / 2. ในทำนองเดียวกันเนื่องจาก เบต้า(x)มีค่าน้อยมาก แล้วก็จะมี δ 2 ดังกล่าว > 0 ซึ่งก็คือ |x – ก|< δ 2 เรามี | β(x)|< ε / 2.

เอาล่ะ δ=นาที(δ 1 , δ2 } .จากนั้นในบริเวณใกล้จุด กรัศมี δ ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละอย่างก็จะเป็นที่พอใจ |α(x)|< ε / 2 และ | β(x)|< ε / 2. เพราะฉะนั้นในย่านนี้ก็จะมี

|ฉ(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

เหล่านั้น. |ฉ(x)|< ε ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบท 2สินค้าไม่มีที่สิ้นสุด ฟังก์ชั่นขนาดเล็ก ขวาน)สำหรับฟังก์ชันที่จำกัด ฉ(x)ที่ x→ก(หรือเมื่อ x→∞) เป็นฟังก์ชันที่เล็กที่สุด

การพิสูจน์. ตั้งแต่ฟังก์ชั่น ฉ(x)มีจำนวนจำกัดก็มีจำนวนจำกัด มเช่นนั้นสำหรับทุกค่า xจากบริเวณใกล้เคียงจุดหนึ่ง ก|ฉ(x)|≤Mนอกจากนี้ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ขวาน)เป็นฟังก์ชันขั้นต่ำที่ x→กจากนั้นสำหรับ ε โดยพลการ > 0 มีพื้นที่ใกล้เคียงของจุด กซึ่งความไม่เท่าเทียมกันจะคงอยู่ |α(x)|< ε /ม. จากนั้นในย่านเล็กๆ เหล่านี้ เราก็มี | อัลฟ่า|< ε /ม= ε. และนี่หมายความว่า อัฟ– ไม่มีที่สิ้นสุด สำหรับโอกาสนี้ x→∞การพิสูจน์จะดำเนินการในทำนองเดียวกัน

จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วมีดังนี้:

ข้อพิสูจน์ 1.ถ้า และ แล้ว

ข้อพิสูจน์ 2.ถ้า ค= const แล้ว

ทฤษฎีบท 3อัตราส่วนของฟังก์ชันอนันต์ α(x)ต่อฟังก์ชัน ฉ(x)ลิมิตที่แตกต่างจากศูนย์คือฟังก์ชันที่เล็กที่สุด

การพิสูจน์. อนุญาต . จากนั้น 1 /ฉ(x)มีฟังก์ชันจำกัด ดังนั้น เศษส่วนจึงเป็นผลคูณของฟังก์ชันน้อยและฟังก์ชันจำกัด เช่น ฟังก์ชันมีน้อยมาก

ตัวอย่าง.

1.เป็นที่ชัดเจนว่าเมื่อใด x→+∞การทำงาน y=x 2 + 1 มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ แต่ตามทฤษฎีบทที่เขียนไว้ข้างต้น ฟังก์ชันจะมีค่าน้อยมากที่ x→+∞, เช่น. .

ทฤษฎีบทสนทนาก็สามารถพิสูจน์ได้เช่นกัน

ทฤษฎีบท 2ถ้าฟังก์ชั่น ฉ(x)- ไม่มีที่สิ้นสุดที่ x→ก(หรือ x→∞)และไม่หายไปแล้ว ย= 1/ฉ(x)เป็นฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่เป็นอนันต์

ดำเนินการพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยตัวเอง

ตัวอย่าง.

3. เนื่องจากฟังก์ชัน และ มีจำนวนไม่สิ้นสุดที่ x→+∞ดังนั้น เนื่องจากผลบวกของฟังก์ชันขั้นต่ำคือฟังก์ชันที่เล็กที่สุด ฟังก์ชันคือผลรวมของจำนวนคงที่และฟังก์ชันจำนวนไม่สิ้นสุด ด้วยเหตุนี้ ตามทฤษฎีบทที่ 1 สำหรับฟังก์ชันเล็กๆ เราจึงได้ความเท่าเทียมกันที่ต้องการ

ดังนั้น คุณสมบัติที่ง่ายที่สุดของฟังก์ชันที่เล็กและใหญ่อย่างไม่สิ้นสุดสามารถเขียนได้โดยใช้ความสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไขดังต่อไปนี้: ก≠ 0

13. ฟังก์ชันขั้นต่ำของลำดับเดียวกัน, ฟังก์ชันจิ๋วที่เทียบเท่ากัน

ฟังก์ชันที่เล็กที่สุด และเรียกว่า เล็กสุดของลำดับขนาดเล็กเดียวกัน ถ้า , แสดงว่า และสุดท้าย ถ้ามันไม่มีอยู่จริง ฟังก์ชันเล็กๆ น้อยๆ ก็หาที่เปรียบมิได้

ตัวอย่างที่ 2 การเปรียบเทียบฟังก์ชันจำนวนไม่สิ้นสุด

ฟังก์ชันอนันต์ที่เทียบเท่ากัน

ถ้า แล้วฟังก์ชันที่เล็กที่สุดจะถูกเรียก เทียบเท่า, แสดงถึง ~ .

ฟังก์ชันที่เทียบเท่าภายในเครื่อง:

เมื่อไหร่ถ้า

ความเท่าเทียมกันบางประการ(ที่ ):

ข้อจำกัดด้านเดียว

จนถึงตอนนี้เราได้พิจารณากำหนดขีดจำกัดของฟังก์ชันเมื่อใด x→กในลักษณะตามอำเภอใจ เช่น ขีดจำกัดของฟังก์ชันไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่ามันอยู่อย่างไร xต่อ กไปทางซ้ายหรือขวาของ ก. อย่างไรก็ตาม เป็นเรื่องปกติที่จะค้นหาฟังก์ชันที่ไม่มีขีดจำกัดภายใต้เงื่อนไขนี้ แต่ก็มีขีดจำกัดหาก x→กเหลืออยู่อีกด้านหนึ่งของ กซ้ายหรือขวา (ดูรูป) ดังนั้นจึงมีการแนะนำแนวคิดเรื่องขีดจำกัดด้านเดียว

ถ้า ฉ(x)มีแนวโน้มที่จะถึงขีด จำกัด ขที่ xพุ่งไปเป็นจำนวนหนึ่ง กดังนั้น xยอมรับเฉพาะค่าที่น้อยกว่า กจากนั้นพวกเขาก็เขียนและโทร blimit ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด a ทางด้านซ้าย

ดังนั้นจำนวน ขเรียกว่าลิมิตของฟังก์ชัน y=ฉ(x)ที่ x→กทางด้านซ้าย ถ้าจำนวนบวก ε เป็นจำนวนใดก็ตาม ก็จะมีจำนวน δ (น้อยกว่า ก

ในทำนองเดียวกันหาก x→กและรับค่ามหาศาล กจากนั้นพวกเขาก็เขียนและโทร ขขีดจำกัดของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น กด้านขวา. เหล่านั้น. ตัวเลข ขเรียกว่า ขีดจำกัดของฟังก์ชัน y=f(x) โดย x→a ทางด้านขวาหากจำนวนบวกใดๆ ε เป็นจำนวนใดก็ตาม δ ก็จะมีจำนวนดังกล่าว (มากกว่า ก) ความไม่เท่าเทียมกันนั้นคงอยู่สำหรับทุกคน

โปรดทราบว่าหากจำกัดด้านซ้ายและขวาตรงจุด กสำหรับฟังก์ชั่น ฉ(x)ไม่ตรงกัน ฟังก์ชันจึงไม่มีขีดจำกัด (สองด้าน) ณ จุดนั้น ก.

ตัวอย่าง.

1. พิจารณาฟังก์ชัน y=ฉ(x)กำหนดไว้ในส่วนดังต่อไปนี้

มาหาลิมิตของฟังก์ชันกัน ฉ(x)ที่ x→ 3. ชัดเจน และ

กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับเอปไซลอนจำนวนเล็กน้อยโดยพลการจะมีจำนวนเดลต้าขึ้นอยู่กับเอปไซลอนเช่นนั้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับ x ใด ๆ ที่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันจะตามมาว่าความแตกต่างของค่าของฟังก์ชันที่จุดเหล่านี้จะเป็น เล็กโดยพลการ

เกณฑ์ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง:

การทำงานจะ อย่างต่อเนื่องที่จุด A ถ้าหากว่ามันต่อเนื่องกันที่จุด A ทั้งทางขวาและทางซ้าย กล่าวคือ ที่จุด A มีลิมิตด้านเดียวสองอัน พวกมันจะเท่ากันและเท่ากับค่าของ ฟังก์ชันที่จุด A

คำจำกัดความ 2: ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องบนเซตหนึ่งถ้ามันต่อเนื่องกันทุกจุดของเซตนี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง

ให้ดาน่าถูกกำหนดในละแวกใกล้เคียง ลองพิจารณาดู

หากมีขีดจำกัดนี้อยู่ ก็จะถูกเรียก อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุด .

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน– ขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่ออาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้น

การดำเนินการคำนวณหรือค้นหาอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งเรียกว่า ความแตกต่าง .

กฎของความแตกต่าง

อนุพันธ์ฟังก์ชั่น ฉ(x)ตรงจุด x=x 0เรียกว่าอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เนื่องจากค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์ การค้นหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง. อนุพันธ์ของฟังก์ชันคำนวณตามกฎทั่วไปของการสร้างความแตกต่าง: ให้เราแสดงว่า ฉ(x) = คุณ, ก.(x) = โวลต์- ฟังก์ชั่นหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง เอ็กซ์. กฎพื้นฐานของการสร้างความแตกต่าง 1) (อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของมัน) 2) (จากตรงนี้ เป็นไปตามที่อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันและค่าคงที่เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของค่านี้ ฟังก์ชันและค่าคงที่) 3) อนุพันธ์ของผลหาร: , ถ้า g  0 4) อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน: 5) หากมีการระบุฟังก์ชันแบบพาราเมตริก: จากนั้น

ตัวอย่าง.

1. ย = x a คือฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามใจชอบ

ฟังก์ชันโดยนัย

ถ้าฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสมการ y=ƒ(x) ซึ่งหาค่าด้วยความเคารพต่อ y ฟังก์ชันนั้นก็จะถูกกำหนดในรูปแบบที่ชัดเจน (ฟังก์ชันโจ่งแจ้ง)

ภายใต้ งานโดยนัยฟังก์ชันเข้าใจคำจำกัดความของฟังก์ชันในรูปแบบของสมการ F(x;y)=0 ซึ่งไม่ได้คำนวณด้วยค่า y

ฟังก์ชันใดๆ ที่กำหนดอย่างชัดเจน y=ƒ (x) สามารถเขียนเป็นนัยได้ กำหนดโดยสมการƒ(x)-y=0 แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน

มันไม่ง่ายเสมอไปและบางครั้งก็เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้สมการของ y (เช่น y+2x+cozy-1=0 หรือ 2 y -x+y=0)

หากฟังก์ชันโดยนัยกำหนดไว้ตามสมการ F(x; y) = 0 ดังนั้นหากต้องการหาอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x ก็ไม่จำเป็นต้องแก้สมการด้วยความเคารพกับ y: ก็เพียงพอที่จะแยกแยะสมการนี้ด้วยความเคารพกับ x ในขณะที่พิจารณา y เป็นฟังก์ชันของ xแล้วแก้สมการผลลัพธ์ของ y"

อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัยแสดงในรูปของอาร์กิวเมนต์ x และฟังก์ชัน y

ตัวอย่าง:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y โดยสมการ x 3 + y 3 -3xy = 0

วิธีแก้ไข: ฟังก์ชัน y ถูกระบุโดยปริยาย เราแยกความแตกต่างด้วยความเคารพ x ความเท่าเทียมกัน x 3 + y 3 -3xy = 0 จากความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้น

3x 2 +3y 2 y"-3(1 y+x y")=0

ตามมาด้วยว่า y 2 y"-xy"=y-x 2 เช่น y"=(y-x 2)/(y 2 -x)

อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้น

เป็นที่ชัดเจนว่าอนุพันธ์

ฟังก์ชั่น y=ฉ(x)นอกจากนี้ยังมีฟังก์ชั่นจาก x:

ย" =ฉ " (x)

ถ้าฟังก์ชั่น ฉ" (x)สามารถหาอนุพันธ์ได้ จากนั้นอนุพันธ์ของมันจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ย"" =ฉ "" (x) xสองครั้ง.
อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับสองคือ ฟังก์ชั่น ย""=ฉ""(x), เรียกว่า อนุพันธ์อันดับสามของฟังก์ชัน y=f(x)หรือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ของลำดับที่สามและแสดงด้วยสัญลักษณ์

เลย n-i อนุพันธ์หรืออนุพันธ์ nฟังก์ชันลำดับที่ y=ฉ(x)ระบุด้วยสัญลักษณ์

ฟิล ไลบ์นิซ:

ให้เราสมมติว่าฟังก์ชัน และ สามารถสร้างความแตกต่างได้พร้อมกับอนุพันธ์ของพวกมันจนถึงลำดับที่ n รวมอยู่ด้วย เราได้รับกฎสำหรับการแยกความแตกต่างผลคูณของสองฟังก์ชัน

ลองเปรียบเทียบนิพจน์เหล่านี้กับกำลังของทวินาม:

กฎการติดต่อมีความโดดเด่น: เพื่อให้ได้สูตรสำหรับอนุพันธ์ลำดับที่ 1, 2 หรือ 3 ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชัน และ คุณต้องแทนที่กำลังและในนิพจน์สำหรับ (โดยที่ n= 1,2,3) อนุพันธ์ของคำสั่งที่เกี่ยวข้อง นอกจากนี้ กำลังของปริมาณเป็นศูนย์ และควรถูกแทนที่ด้วยอนุพันธ์ของลำดับศูนย์ ซึ่งหมายถึงฟังก์ชันและ:

การสรุปกฎนี้กับกรณีของอนุพันธ์ที่มีคำสั่งโดยพลการ n, เราได้รับ สูตรของไลบ์นิซ,

ค่าสัมประสิทธิ์ทวินามอยู่ที่ไหน:

ทฤษฎีบทของโรลล์

ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้คุณค้นหาจุดวิกฤตแล้วนำไปใช้ได้ เงื่อนไขที่เพียงพอตรวจสอบการทำงานของ extrema

กำหนดให้ 1) f(x) ถูกกำหนดและต่อเนื่องในช่วงปิดบางช่วง 2) มีอนุพันธ์ที่มีขอบเขตจำกัด อย่างน้อยก็ในช่วงเปิด (a;b) 3) ที่ส่วนท้าย ช่วงเวลา f-iรับค่าเท่ากัน f(a) = f(b) จากนั้นระหว่างจุด a และ b จะมีจุด c โดยที่อนุพันธ์ ณ จุดนี้จะเป็น = 0

ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง ฟังก์ชัน f(x) จะใช้ค่าสูงสุดและต่ำสุดในช่วงเวลานี้

f(x 1) = M – สูงสุด, f(x 2) = ม. – นาที; x 1 ;x 2 โอ

1) ให้ M = ม. เช่น ม £ f(x) £ ม

Þ f(x) จะใช้ค่าคงที่ในช่วงเวลาจาก a ถึง b และ Þ อนุพันธ์ของมันจะเท่ากับศูนย์ ฉ'(x)=0

2) ให้ M>m

เพราะ ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท f(a) = f(b) Þ มีค่าน้อยที่สุดหรือใหญ่ที่สุด ค่า f-iจะไม่รับที่ส่วนท้ายของเซกเมนต์ แต่ Þ จะเอา M หรือ m ที่ จุดภายในส่วนนี้ จากนั้นตามทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ f’(c)=0

ทฤษฎีบทของลากรองจ์

สูตรการเพิ่มจำนวนจำกัดหรือ ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของลากรองจ์ระบุว่าถ้าเป็นฟังก์ชัน ฉมีความต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก;ข] และหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลา ( ก;ข) แล้วมีประเด็นเช่นนั้น

ทฤษฎีบทของคอชี

หากฟังก์ชัน f(x) และ g(x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาและสามารถหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลา (a, b) และ g¢(x) ¹ 0 ในช่วงเวลา (a, b) แล้วจะมีอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน จุด e, a< e < b, такая, что

เหล่านั้น. อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันในส่วนที่กำหนดจะเท่ากับอัตราส่วนของอนุพันธ์ที่จุด e ตัวอย่างรายวิชาการแก้ปัญหาการบรรยาย การคำนวณปริมาตรของร่างกายที่ใช้ สี่เหลี่ยมที่มีชื่อเสียงส่วนขนานของมัน แคลคูลัสอินทิกรัล

ตัวอย่างการดำเนินการ งานหลักสูตร วิศวกรรมไฟฟ้า

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เมื่อมองแวบแรก การใช้ทฤษฎีบทของลากรองจ์จะสะดวกมาก เขียนสูตรผลต่างอันจำกัดสำหรับแต่ละฟังก์ชันแล้วหารด้วยฟังก์ชันอื่นๆ อย่างไรก็ตาม ความคิดนี้ผิดพลาดเพราะว่า จุด e สำหรับแต่ละฟังก์ชันโดยทั่วไปจะแตกต่างกัน แน่นอนว่า ในกรณีพิเศษ จุดช่วงเวลานี้อาจกลายเป็นจุดเดียวกันสำหรับทั้งสองฟังก์ชัน แต่นี่เป็นเรื่องบังเอิญที่หายากมาก และไม่ใช่กฎเกณฑ์ ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทได้

การพิสูจน์. พิจารณาฟังก์ชันตัวช่วย

เนื่องจาก x→x 0 ค่าของ c มีแนวโน้มเป็น x 0 เช่นกัน ให้เราไปถึงขีดจำกัดในความเท่าเทียมกันก่อนหน้า:

เพราะ , ที่ .

นั่นเป็นเหตุผล

(ขีดจำกัดของอัตราส่วนของค่าจิ๋วสองตัวจะเท่ากับขีดจำกัดของอัตราส่วนของอนุพันธ์ถ้ามีค่าหลัง)

กฎของโลปิตาล ที่ ∞/∞

เราจะเรียกใช้ฟังก์ชัน y=f(x) BOUNDED UPPER (BOTTOM) บนเซต A จากโดเมนของคำจำกัดความ D(f) หากมีตัวเลขดังกล่าวอยู่ ม ว่าสำหรับ x ใดๆ จากเซตนี้ เงื่อนไขจะเป็นที่พอใจ

การใช้สัญลักษณ์เชิงตรรกะ สามารถเขียนคำจำกัดความได้เป็น:

ฉ(x) – ขอบเขตเหนือชุด

(ฉ(x) – ขอบเขตจากด้านล่างของชุด

ฟังก์ชันที่ถูกจำกัดในโมดูลัสหรือจำกัดเพียงอย่างเดียวก็ถูกนำมาพิจารณาด้วย

เราจะเรียกใช้ฟังก์ชัน BOUNDED บนเซต A จากโดเมนของคำจำกัดความ หากมีเลขบวก M เช่นนั้น

ในภาษาสัญลักษณ์เชิงตรรกะ

ฉ(x) – มีจำนวนจำกัดบนชุด

ฟังก์ชันที่ไม่มีขอบเขตเรียกว่าไม่มีขอบเขต เรารู้ว่าคำจำกัดความที่ให้ผ่านการปฏิเสธมีเนื้อหาเพียงเล็กน้อย ในการกำหนดคำสั่งนี้เป็นคำจำกัดความ เราใช้คุณสมบัติของการดำเนินการเชิงปริมาณ (3.6) และ (3.7) จากนั้นการปฏิเสธขอบเขตของฟังก์ชันในภาษาของสัญลักษณ์เชิงตรรกะจะทำให้:

ฉ(x) – มีจำนวนจำกัดบนชุด

ผลลัพธ์ที่ได้ช่วยให้เราสามารถกำหนดคำจำกัดความต่อไปนี้ได้

ฟังก์ชันเรียกว่า UNLIMITED บนเซต A ที่อยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน หากในชุดนี้สำหรับจำนวนบวก M ใด ๆ มีค่าของอาร์กิวเมนต์ x , ว่าค่าจะยังคงเกินค่าของ M นั่นก็คือ

เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาฟังก์ชัน

มันถูกกำหนดไว้บนแกนจริงทั้งหมด หากเราใช้ส่วน [–2;1] (ชุด A) จากนั้นจะมีขอบเขตทั้งด้านบนและด้านล่าง

อันที่จริง เพื่อแสดงให้เห็นว่ามีขอบเขตจากด้านบน เราต้องพิจารณาภาคแสดง

และแสดงว่ามี (อยู่) M ดังกล่าว ซึ่งสำหรับ x ทั้งหมดที่ได้รับในช่วง [–2;1] มันจะเป็นจริง

การค้นหา M ดังกล่าวไม่ใช่เรื่องยาก เราสามารถสมมติให้ M = 7 ได้ โดยปริมาณการดำรงอยู่เกี่ยวข้องกับการค้นหาค่า M อย่างน้อยหนึ่งค่า การมีอยู่ของ M ดังกล่าวยืนยันข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันในช่วง [–2;1] มีขอบเขตจากด้านบน

เพื่อพิสูจน์ว่ามันมีขอบเขตจากด้านล่าง เราต้องพิจารณาภาคแสดง

ค่าของ M ที่รับประกันความจริงของเพรดิเคตที่กำหนดคือ เช่น M = –100

สามารถพิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชันนี้จะถูกจำกัดอยู่ในโมดูลัสด้วย: สำหรับ x ทั้งหมดจากช่วงเวลา [–2;1] ค่าของฟังก์ชันจะตรงกับค่าของ ดังนั้นเมื่อ M เราสามารถทำได้ สำหรับ ตัวอย่าง ค่าก่อนหน้า M = 7

ให้เราแสดงว่าฟังก์ชันเดียวกันแต่ตามช่วงเวลาจะไม่จำกัดนั่นคือ

เพื่อแสดงว่า x นั้นมีอยู่จริง ให้พิจารณาคำสั่งนี้

เราได้รับการค้นหาค่าที่ต้องการของ x จากค่าบวกของอาร์กิวเมนต์

ซึ่งหมายความว่าไม่ว่าเราจะรับ M เชิงบวกใดก็ตาม ค่าของ x จะช่วยรับรองความไม่เท่าเทียมกัน

ได้จากความสัมพันธ์

เมื่อพิจารณาฟังก์ชันบนแกนจริงทั้งหมด จะแสดงได้ว่าไม่มีขอบเขตในค่าสัมบูรณ์

แท้จริงแล้วจากความไม่เท่าเทียมกัน

นั่นคือไม่ว่าค่า M เชิงบวกจะมีขนาดใหญ่เพียงใด หรือจะรับประกันการเติมเต็มของความไม่เท่าเทียมกัน .

ฟังก์ชั่นสุดขีด

ฟังก์ชั่นมีตรงจุด กับ ท้องถิ่นสูงสุด (ขั้นต่ำ) หากมีบริเวณดังกล่าวของจุดนี้ว่าสำหรับ x¹ กับ จากย่านนี้ความไม่เท่าเทียมกันก็มีอยู่

โดยเฉพาะอย่างยิ่งจุดสุดขั้วสามารถเป็นเพียงจุดภายในของช่วงเวลาและ f(x) จะต้องถูกกำหนดไว้ กรณีที่เป็นไปได้ของการไม่มีส่วนปลายจะแสดงไว้ในรูปที่ 1 8.8.

หากฟังก์ชันเพิ่มขึ้น (ลดลง) ในช่วงเวลาหนึ่งและลดลง (เพิ่มขึ้น) ในช่วงเวลาหนึ่ง ดังนั้นจุด กับ คือจุดสูงสุด (ต่ำสุด) ในพื้นที่

ไม่มีฟังก์ชันสูงสุด f(x) ณ จุดนั้น กับ สามารถกำหนดได้ดังนี้:

_______________________

f(x) มีจุดสูงสุดที่จุด c

ซึ่งหมายความว่าหากจุด c ไม่ใช่จุดสูงสุดในพื้นที่ ไม่ว่าบริเวณใกล้เคียงจะมีจุด c เป็นจุดภายในก็ตาม จะมีค่า x ที่ไม่เท่ากับ c อย่างน้อยหนึ่งค่า ดังนั้น หากไม่มีจุดสูงสุดที่จุด c เมื่อถึงจุดนี้ก็อาจไม่สุดขั้วเลย หรืออาจเป็นจุดต่ำสุด (รูปที่ 8.9)

แนวคิดเรื่องเอ็กซ์ตรีมอมให้การประเมินเชิงเปรียบเทียบของค่าของฟังก์ชัน ณ จุดใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับค่าที่อยู่ใกล้เคียง การเปรียบเทียบค่าฟังก์ชันที่คล้ายกันสามารถดำเนินการได้สำหรับทุกจุดในช่วงเวลาหนึ่ง

ค่าสูงสุด (เล็กที่สุด) ของฟังก์ชันในชุดคือค่า ณ จุดจากชุดนี้ โดยที่ – ที่ ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันจะเกิดขึ้นที่จุดด้านในของเซ็กเมนต์และค่าน้อยที่สุด – ที่ปลายด้านซ้าย

ในการกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ของฟังก์ชันที่ระบุในช่วงเวลา จำเป็นต้องเลือกตัวเลขที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) จากค่าทั้งหมดของค่าสูงสุด (ขั้นต่ำ) รวมถึงค่าที่ยอมรับ เมื่อสิ้นสุดช่วงเวลา นี่จะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ของฟังก์ชัน กฎนี้จะมีการชี้แจงในภายหลัง

ปัญหาในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาเปิดนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะแก้ไขเสมอไป ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน

ในช่วงเวลา (รูปที่ 8.11) ไม่มีอยู่

ตัวอย่างเช่น ตรวจสอบให้แน่ใจว่าฟังก์ชันนี้ไม่มี มูลค่าสูงสุด. ในความเป็นจริงเมื่อคำนึงถึงความน่าเบื่อของฟังก์ชันก็สามารถโต้แย้งได้ว่าไม่ว่าเราจะตั้งค่า x ทางด้านซ้ายของความสามัคคีใกล้แค่ไหนก็จะมี x อื่น ๆ ซึ่งค่าของฟังก์ชันจะ มีค่ามากกว่าค่า ณ จุดคงที่ แต่ก็ยังน้อยกว่าหนึ่ง

ทฤษฎีบทขีดจำกัด ฟังก์ชั่นโมโนโทนิค. การพิสูจน์ทฤษฎีบททำได้สองวิธี นอกจากนี้ยังมีการให้คำจำกัดความของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ไม่ลดลง ลดลงอย่างเคร่งครัด และไม่เพิ่มขึ้นอีกด้วย ความหมายของฟังก์ชันโมโนโทนิก

คำจำกัดความ

คำจำกัดความของฟังก์ชันเพิ่มและลด
ปล่อยให้ฟังก์ชัน f (เอ็กซ์)ถูกกำหนดไว้บนชุดของจำนวนจริง X บางชุด
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า เพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวด (ลดลงอย่างเข้มงวด), ถ้าสำหรับทุก x′, x′′ ∈ เอ็กซ์แบบนั้น x′< x′′ выполняется неравенство:
ฉ (เอ็กซ์')< f(x′′) (ฉ (x′) > ฉ(x′′) ) .
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ไม่ลดลง (ไม่เพิ่มขึ้น), ถ้าสำหรับทุก x′, x′′ ∈ เอ็กซ์แบบนั้น x′< x′′ выполняется неравенство:
ฉ (x′) ≤ ฉ(x′′)(ฉ (x′) ≥ ฉ(x′′) ) .

ตามมาว่าฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดก็ไม่ลดลงเช่นกัน ฟังก์ชันที่ลดลงอย่างเคร่งครัดก็ไม่เพิ่มขึ้นเช่นกัน

ความหมายของฟังก์ชันโมโนโทนิก
ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ซ้ำซากจำเจถ้ามันไม่ลดลงหรือไม่เพิ่มขึ้น

หากต้องการศึกษาความน่าเบื่อของฟังก์ชันบนชุด X บางชุด คุณต้องค้นหาความแตกต่างของค่าที่จุดสองจุดที่เป็นของชุดนี้ ถ้า แสดงว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ถ้า ฟังก์ชันจะไม่ลดลง ถ้า แล้วลดลงอย่างเคร่งครัด; ถ้า แล้วมันจะไม่เพิ่มขึ้น

หากในบางชุดฟังก์ชันเป็นบวก: จากนั้นเพื่อกำหนดความน่าเบื่อคุณสามารถศึกษาผลหารของการหารค่าของมันที่จุดสองจุดโดยพลการของชุดนี้ ถ้า แสดงว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด ถ้า ฟังก์ชันจะไม่ลดลง ถ้า แล้วลดลงอย่างเคร่งครัด; ถ้า แล้วมันจะไม่เพิ่มขึ้น

ทฤษฎีบท
ปล่อยให้ฟังก์ชัน f (เอ็กซ์)ไม่ลดลงตามระยะเวลา (ก ข), ที่ไหน .
หากมีขอบเขตด้านบนด้วยตัวเลข M: แสดงว่าจุด b: มีขีดจำกัดทางซ้ายจำกัด ถ้าฉ (เอ็กซ์)ไม่ถูกจำกัดจากด้านบนแล้ว
ถ้าฉ (เอ็กซ์)ถูกล้อมรอบด้านล่างด้วยตัวเลข m : จากนั้นจะมีขีดจำกัดสิทธิ์อันจำกัดที่จุด a : ถ้าฉ (เอ็กซ์)ไม่ได้ถูกจำกัดไว้ด้านล่าง ดังนั้น .

หากจุด a และ b อยู่ที่อนันต์ ดังนั้นในนิพจน์ เครื่องหมายขีด จำกัด จะหมายความว่า
ทฤษฎีบทนี้สามารถกำหนดได้กระชับยิ่งขึ้น

ปล่อยให้ฟังก์ชัน f (เอ็กซ์)ไม่ลดลงตามระยะเวลา (ก ข), ที่ไหน . จากนั้นมีขีดจำกัดด้านเดียวที่จุด a และ b:
;
.

ทฤษฎีบทที่คล้ายกันสำหรับฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้น

ปล่อยให้ฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาที่ . แล้วมีข้อจำกัดด้านเดียว:
;
.

ผลที่ตามมา
ปล่อยให้ฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิกตามช่วงเวลา จากนั้น ณ จุดใดๆ จากช่วงเวลานี้ จะมีขีดจำกัดจำกัดด้านเดียวของฟังก์ชัน:
และ .

การพิสูจน์ทฤษฎีบท

ฟังก์ชั่นไม่ลดลง

ข - หมายเลขสุดท้าย

ฟังก์ชั่นถูกจำกัดจากด้านบน

1.1.1. ปล่อยให้ฟังก์ชันถูกผูกไว้จากด้านบนด้วยหมายเลข M: สำหรับ .

.
;
.

เนื่องจากฟังก์ชันไม่ลดลง เมื่อใด แล้ว
ที่ .
มาแปลงอสมการสุดท้ายกัน:
;
;
.
เพราะว่าแล้ว. แล้ว
ที่ .

ที่ .
"คำจำกัดความของขีดจำกัดทางเดียวของฟังก์ชันที่จุดสิ้นสุด").

ฟังก์ชั่นไม่ได้จำกัดจากด้านบน

1. ปล่อยให้ฟังก์ชันไม่ลดลงตามช่วงเวลา
1.1. ให้จำนวน b มีจำกัด: .
1.1.2. ปล่อยให้ฟังก์ชันไม่ถูกผูกไว้ด้านบน
ให้เราพิสูจน์ว่าในกรณีนี้มีขีดจำกัด

.

ที่ .

มาแสดงกัน. แล้วสำหรับใครก็ตามที่มีดังนั้น
ที่ .
ซึ่งหมายความว่าลิมิตทางด้านซ้ายที่จุด b เท่ากับ (ดู "คำจำกัดความของขีดจำกัดอนันต์ด้านเดียวของฟังก์ชันที่จุดสิ้นสุด").

b ต้นบวกอนันต์

ฟังก์ชั่นถูกจำกัดจากด้านบน

1. ปล่อยให้ฟังก์ชันไม่ลดลงตามช่วงเวลา
1.2.1. ปล่อยให้ฟังก์ชันถูกผูกไว้จากด้านบนด้วยหมายเลข M: สำหรับ .
ให้เราพิสูจน์ว่าในกรณีนี้มีขีดจำกัด

เนื่องจากฟังก์ชันมีขอบเขตด้านบน จึงมีค่าสูงสุดที่มีจำกัด
.
ตามคำจำกัดความของขอบเขตบนที่แน่นอน จะเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
;
สำหรับผลบวกใดๆ ก็ตาม ย่อมมีข้อโต้แย้งอยู่
.

เนื่องจากฟังก์ชันไม่ลดลง เมื่อใด แล้วที่. หรือ
ที่ .

เราจึงพบว่าสำหรับใครก็ตามที่มีตัวเลขดังนั้น
ที่ .
“คำจำกัดความของขีดจำกัดด้านเดียวที่อนันต์”).

ฟังก์ชั่นไม่ได้จำกัดจากด้านบน

1. ปล่อยให้ฟังก์ชันไม่ลดลงตามช่วงเวลา
1.2. ให้จำนวน b เท่ากับบวกอนันต์: .
1.2.2. ปล่อยให้ฟังก์ชันไม่ถูกผูกไว้ด้านบน
ให้เราพิสูจน์ว่าในกรณีนี้มีขีดจำกัด

เนื่องจากฟังก์ชันไม่ได้ถูกจำกัดไว้ด้านบน ดังนั้นสำหรับหมายเลข M ใดๆ จึงมีอาร์กิวเมนต์สำหรับสิ่งนั้น
.

เนื่องจากฟังก์ชันไม่ลดลง เมื่อใด แล้วที่.

ดังนั้นสำหรับอันใดอันหนึ่ง ก็มีตัวเลข ดังนั้น
ที่ .
ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดที่เท่ากับ (ดู "คำจำกัดความของขีดจำกัดอนันต์ด้านเดียวที่อนันต์").

ฟังก์ชั่นไม่เพิ่มขึ้น

ตอนนี้ให้พิจารณากรณีที่ฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้น คุณสามารถพิจารณาแต่ละตัวเลือกแยกกันดังที่กล่าวข้างต้น แต่เราจะครอบคลุมพวกเขาทันที สำหรับสิ่งนี้เราใช้ . ให้เราพิสูจน์ว่าในกรณีนี้มีขีดจำกัด

พิจารณาค่าจำกัดขอบเขตของชุดของค่าฟังก์ชัน:
.
โดยที่ B อาจเป็นจำนวนจำกัดหรือจุดที่อนันต์ก็ได้ ตามคำจำกัดความของขอบเขตล่างที่แน่นอน จะเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
;
สำหรับย่านใกล้เคียงของจุด B มีข้อโต้แย้งว่า
.
ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท . นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม

เนื่องจากฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้น ดังนั้น เมื่อ . ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
ที่ .
หรือ
ที่ .
ต่อไป เราสังเกตว่าอสมการกำหนดพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกเจาะด้านซ้ายของจุด b

เราพบว่าสำหรับย่านใกล้เคียงใดๆ ของจุด มีย่านใกล้เคียงทางซ้ายของจุด b ที่เจาะทะลุแบบนั้น
ที่ .
ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดทางด้านซ้ายที่จุด b คือ:

(ซม. คำจำกัดความสากลของขีดจำกัดของฟังก์ชันตาม Cauchy).

ขีดจำกัดที่จุดก

ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่ามีขีดจำกัดที่จุด a และค้นหาค่าของมัน

ลองพิจารณาฟังก์ชันดู ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท ฟังก์ชันจะเป็นแบบโมโนโทนิกสำหรับ ลองแทนที่ตัวแปร x ด้วย - x (หรือทำการทดแทนแล้วแทนที่ตัวแปร t ด้วย x ) จากนั้นฟังก์ชันจะเป็นแบบโมโนโทนิคสำหรับ การคูณอสมการด้วย -1 และการเปลี่ยนลำดับ เราก็ได้ข้อสรุปว่าฟังก์ชันนี้เป็นแบบโมโนโทนิกสำหรับ

ในทำนองเดียวกัน แสดงให้เห็นได้ง่ายว่าหากไม่ลดลง ก็ไม่เพิ่มขึ้น แล้วตามที่พิสูจน์มาแล้วข้างต้นก็มีขีดจำกัด
.
ถ้าไม่เพิ่มขึ้นก็ไม่ลดลง ในกรณีนี้มีขีดจำกัด
.

ตอนนี้ยังคงแสดงให้เห็นว่าหากมีขีดจำกัดของฟังก์ชันที่ ก็จะมีขีดจำกัดของฟังก์ชันที่ และขีดจำกัดเหล่านี้จะเท่ากัน:
.

ให้เราแนะนำสัญกรณ์:
(1) .
ลองเขียน f ในรูปของ g:
.
ลองหาจำนวนบวกใดๆ กัน ให้มีย่านเอปไซลอนของจุด A ย่านเอปไซลอนถูกกำหนดไว้สำหรับทั้งค่าจำกัดและค่าอนันต์ของ A (ดู "บริเวณใกล้เคียงของจุด"). เนื่องจากมีขีดจำกัด (1) ดังนั้น ตามคำจำกัดความของขีดจำกัด สำหรับสิ่งใดๆ ก็ตามที่มีอยู่เช่นนั้น
ที่ .

ให้ a เป็นจำนวนจำกัด. มาแสดงออกกันเถอะ เหลือรอยเจาะบริเวณจุดนั้น-a โดยใช้ความไม่เท่าเทียมกัน:
ที่ .
ลองแทนที่ x ด้วย -x และคำนึงว่า:
ที่ .
ความไม่เท่าเทียมกันสองประการสุดท้ายเป็นตัวกำหนด เจาะบริเวณด้านขวาของจุดก. แล้ว
ที่ .

ให้ a เป็นจำนวนอนันต์, . เราทำซ้ำการใช้เหตุผล
ที่ ;
ที่ ;
ที่ ;
ที่ .

เราจึงพบว่าสำหรับใครก็ตามที่มีเช่นนั้น
ที่ .
มันหมายความว่าอย่างนั้น
.

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว