การคูณแทนเจนต์ กลุ่มที่ 7

แนวคิดของไซน์ (), โคไซน์ (), แทนเจนต์ (), โคแทนเจนต์ () มีความเชื่อมโยงกับแนวคิดเรื่องมุมอย่างแยกไม่ออก เพื่อทำความเข้าใจสิ่งเหล่านี้ให้ดีตั้งแต่แรกเห็น แนวคิดที่ซับซ้อน(ซึ่งทำให้เกิดอาการสยดสยองในเด็กนักเรียนหลายคน) และเพื่อให้แน่ใจว่า "ปีศาจไม่น่ากลัวเท่าที่วาด" มาเริ่มกันตั้งแต่ต้นและทำความเข้าใจแนวคิดของมุมกัน

แนวคิดเรื่องมุม: เรเดียน องศา

เรามาดูรูปกันดีกว่า เวกเตอร์ได้ "หมุน" สัมพันธ์กับจุดด้วยจำนวนหนึ่ง ดังนั้นการวัดการหมุนนี้สัมพันธ์กับตำแหน่งเริ่มต้นจะเป็น มุม.

คุณต้องรู้อะไรอีกเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องมุม? แน่นอน หน่วยมุม!

มุมทั้งในเรขาคณิตและตรีโกณมิติสามารถวัดได้เป็นองศาและเรเดียน

มุม (หนึ่งองศา) คือมุมที่ศูนย์กลางในวงกลมซึ่งมีส่วนโค้งเป็นวงกลมซึ่งมีขนาดเท่ากับส่วนหนึ่งของวงกลม ดังนั้น วงกลมทั้งหมดจึงประกอบด้วย “ชิ้นส่วน” ของส่วนโค้งวงกลม หรือมุมที่วงกลมอธิบายมีค่าเท่ากัน

นั่นคือ รูปด้านบนแสดงมุมเท่ากับ นั่นคือ มุมนี้วางอยู่บนส่วนโค้งวงกลมที่มีขนาดเส้นรอบวง

มุมในหน่วยเรเดียนคือมุมที่ศูนย์กลางในวงกลมซึ่งต่อด้วยส่วนโค้งวงกลมซึ่งมีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม คุณคิดออกแล้วหรือยัง? ถ้าไม่เช่นนั้น ลองหาจากภาพวาดดู

รูปจึงแสดงมุมเท่ากับเรเดียน กล่าวคือ มุมนี้วางอยู่บนส่วนโค้งวงกลมซึ่งมีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม (ความยาวเท่ากับความยาวหรือรัศมี เท่ากับความยาวส่วนโค้ง) ดังนั้นความยาวส่วนโค้งจึงคำนวณโดยสูตร:

มุมศูนย์กลางเป็นเรเดียนอยู่ที่ไหน

เมื่อรู้อย่างนี้แล้ว คุณจะตอบได้ไหมว่ามุมที่วงกลมอธิบายนั้นมีกี่เรเดียน? ใช่ ในกรณีนี้ คุณต้องจำสูตรเส้นรอบวงไว้ เธออยู่นี่:

ทีนี้ลองเชื่อมโยงสูตรทั้งสองนี้เข้าด้วยกันแล้วพบว่ามุมที่วงกลมอธิบายนั้นเท่ากัน นั่นคือเมื่อเราเชื่อมโยงค่าเป็นองศากับเรเดียน เราก็จะได้สิ่งนั้น ตามลำดับ. อย่างที่คุณเห็น คำว่า "เรเดียน" นั้นต่างจาก "องศา" เนื่องจากหน่วยการวัดมักจะชัดเจนจากบริบท

มีกี่เรเดียน? ถูกตัอง!

เข้าใจแล้ว? จากนั้นไปข้างหน้าและแก้ไข:

มีปัญหาใช่ไหม? แล้วดู คำตอบ:

สามเหลี่ยมมุมฉาก: ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ของมุม

เราก็หาแนวคิดของมุมได้ แต่ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมคืออะไร? ลองคิดดูสิ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ สามเหลี่ยมมุมฉากจะช่วยเรา

ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเรียกว่าอะไร? ถูกต้อง ด้านตรงข้ามมุมฉากและขา: ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมขวา (ในตัวอย่างของเรา นี่คือด้าน) ขาเป็นสองข้างที่เหลือและ (อันที่อยู่ติดกัน) มุมฉาก) และถ้าเราพิจารณาขาที่สัมพันธ์กับมุม ขานั้นก็คือขาที่อยู่ติดกัน และขานั้นจะอยู่ตรงกันข้าม ตอนนี้เรามาตอบคำถาม: ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมคืออะไร?

ไซน์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ระยะไกล) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ในรูปสามเหลี่ยมของเรา

โคไซน์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ปิด) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ในรูปสามเหลี่ยมของเรา

แทนเจนต์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของด้านตรงข้าม (ระยะไกล) ต่อด้านที่อยู่ติดกัน (ปิด)

ในรูปสามเหลี่ยมของเรา

โคแทนเจนต์ของมุม- นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ปิด) ต่อขาตรงข้าม (ไกล)

ในรูปสามเหลี่ยมของเรา

คำจำกัดความเหล่านี้มีความจำเป็น จดจำ! เพื่อให้จำได้ง่ายขึ้นว่าขาไหนจะแบ่งเป็นขาไหนต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าขาไหน แทนเจนต์และ โคแทนเจนต์มีเพียงขาเท่านั้นที่อยู่ และด้านตรงข้ามมุมฉากจะปรากฏเฉพาะด้านในเท่านั้น ไซนัสและ โคไซน์. จากนั้นคุณก็จะสามารถสร้างสมาคมขึ้นมาได้ ตัวอย่างเช่นอันนี้:

โคไซน์→สัมผัส→สัมผัส→ที่อยู่ติดกัน

โคแทนเจนต์ → สัมผัส → สัมผัส → ที่อยู่ติดกัน

ก่อนอื่น คุณต้องจำไว้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ เนื่องจากอัตราส่วนของด้านของรูปสามเหลี่ยมไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของด้านเหล่านี้ (ที่มุมเดียวกัน) ไม่เชื่อ? จากนั้นตรวจสอบให้แน่ใจโดยดูภาพ:

ตัวอย่างเช่น พิจารณาโคไซน์ของมุม ตามคำจำกัดความจากรูปสามเหลี่ยม: แต่เราสามารถคำนวณโคไซน์ของมุมจากรูปสามเหลี่ยมได้: คุณคงเห็นว่าความยาวของด้านต่างกัน แต่ค่าโคไซน์ของมุมหนึ่งจะเท่ากัน ดังนั้นค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์จึงขึ้นอยู่กับขนาดของมุมเท่านั้น

หากคุณเข้าใจคำจำกัดความแล้ว ก็ไปรวบรวมมันได้เลย!

สำหรับสามเหลี่ยมดังรูปด้านล่าง เราจะพบว่า

คุณได้รับมันหรือไม่? จากนั้นลองด้วยตัวเอง: คำนวณมุมเดียวกัน

วงกลมหน่วย (ตรีโกณมิติ)

เมื่อเข้าใจแนวคิดเรื่ององศาและเรเดียน เราจึงพิจารณาวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ วงกลมดังกล่าวเรียกว่า เดี่ยว. มันจะมีประโยชน์มากเมื่อเรียนตรีโกณมิติ ดังนั้นเรามาดูรายละเอียดเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย

อย่างที่คุณเห็น วงกลมนี้สร้างขึ้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน รัศมีของวงกลมเท่ากับ 1 ในขณะที่ศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด ตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีจะคงที่ตามทิศทางบวกของแกน (ในตัวอย่างของเรา นี่คือรัศมี)

แต่ละจุดบนวงกลมสอดคล้องกับตัวเลขสองตัว: พิกัดแกนและพิกัดแกน หมายเลขพิกัดเหล่านี้คืออะไร? โดยทั่วไปแล้วพวกเขาต้องทำอะไรกับหัวข้อที่กำลังดำเนินอยู่? เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราต้องจำเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากที่พิจารณาไว้ ในรูปด้านบน คุณสามารถเห็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน พิจารณารูปสามเหลี่ยม เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเนื่องจากตั้งฉากกับแกน

สามเหลี่ยมเท่ากับอะไร? ถูกตัอง. นอกจากนี้ เรารู้ว่านั่นคือรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งหมายถึง ลองแทนค่านี้เป็นสูตรโคไซน์ของเรา นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:

สามเหลี่ยมเท่ากับอะไร? แน่นอน ! แทนค่ารัศมีลงในสูตรนี้แล้วได้:

แล้วคุณบอกได้ไหมว่าจุดที่เป็นของวงกลมมีพิกัดอะไร? ไม่มีทางเหรอ? จะเป็นอย่างไรถ้าคุณตระหนักเช่นนั้นและเป็นเพียงตัวเลข? ตรงกับพิกัดไหน? แน่นอนว่าพิกัด! และตรงกับพิกัดใด? ถูกต้องแล้วพิกัด! ดังนั้นระยะ.

แล้วอะไรจะเท่ากับ? ถูกต้อง ลองใช้คำจำกัดความที่สอดคล้องกันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แล้วได้ a

เกิดอะไรขึ้นถ้ามุมมีขนาดใหญ่ขึ้น? ตัวอย่างเช่นในภาพนี้:

มีอะไรเปลี่ยนแปลงบ้าง ในตัวอย่างนี้? ลองคิดดูสิ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หมุนอีกครั้งเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก: มุม (ซึ่งอยู่ติดกับมุม) ค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับมุมคืออะไร? ถูกต้อง เราปฏิบัติตามคำจำกัดความที่เหมาะสม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

อย่างที่คุณเห็น ค่าของไซน์ของมุมยังคงสอดคล้องกับพิกัด ค่าโคไซน์ของมุม - พิกัด; และค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ตามอัตราส่วนที่สอดคล้องกัน ดังนั้น ความสัมพันธ์เหล่านี้จึงใช้ได้กับการหมุนของเวกเตอร์รัศมี

มีการกล่าวไปแล้วว่าตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีนั้นอยู่ในทิศทางบวกของแกน จนถึงตอนนี้ เราได้หมุนเวกเตอร์นี้ทวนเข็มนาฬิกา แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราหมุนมันตามเข็มนาฬิกา? ไม่มีอะไรพิเศษ คุณจะได้มุมของค่าที่แน่นอนด้วย แต่จะเป็นลบเท่านั้น ดังนั้นเมื่อหมุนเวกเตอร์รัศมีทวนเข็มนาฬิกาเราจะได้ มุมบวกและเมื่อหมุนตามเข็มนาฬิกา - เชิงลบ.

เรารู้ว่าการปฏิวัติทั้งหมดของเวกเตอร์รัศมีรอบวงกลมคือหรือ เป็นไปได้ไหมที่จะหมุนเวกเตอร์รัศมีเป็นหรือเป็น? แน่นอนคุณทำได้! ดังนั้นในกรณีแรก เวกเตอร์รัศมีจะทำการปฏิวัติเต็มหนึ่งครั้งและหยุดที่ตำแหน่งหรือ

ในกรณีที่สอง นั่นคือ เวกเตอร์รัศมีจะหมุนครบสามครั้งแล้วหยุดที่ตำแหน่งหรือ

ดังนั้น จากตัวอย่างข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่ามุมที่แตกต่างกันหรือ (โดยที่จำนวนเต็มใดๆ) สอดคล้องกับตำแหน่งเดียวกันของเวกเตอร์รัศมี

รูปด้านล่างแสดงมุม ภาพเดียวกันตรงกับมุม ฯลฯ รายการนี้สามารถดำเนินต่อไปได้อย่างไม่มีกำหนด มุมทั้งหมดนี้สามารถเขียนได้ด้วยสูตรทั่วไปหรือ (โดยที่จำนวนเต็มใดๆ ก็ตาม)

ตอนนี้เมื่อทราบคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานและการใช้วงกลมหนึ่งหน่วยแล้ว ให้ลองตอบว่าค่าคืออะไร:

ต่อไปนี้เป็นวงกลมหนึ่งหน่วยที่จะช่วยคุณ:

มีปัญหาใช่ไหม? ถ้าอย่างนั้นเราลองมาคิดกันดู ดังนั้นเราจึงรู้ว่า:

จากที่นี่ เราจะกำหนดพิกัดของจุดที่สอดคล้องกับการวัดมุมที่แน่นอน เรามาเริ่มกันตามลำดับ: มุมที่ สอดคล้องกับจุดที่มีพิกัด ดังนั้น:

ไม่ได้อยู่;

นอกจากนี้ การปฏิบัติตามตรรกะเดียวกัน เราพบว่ามุมนั้นสอดคล้องกับจุดที่มีพิกัดตามลำดับ เมื่อรู้สิ่งนี้แล้ว ง่ายต่อการกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่จุดที่เกี่ยวข้อง ลองด้วยตัวเองก่อนแล้วตรวจสอบคำตอบ

คำตอบ:

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ดังนั้นเราจึงสามารถสร้างตารางได้ดังนี้:

ไม่จำเป็นต้องจำค่าเหล่านี้ทั้งหมด ก็เพียงพอที่จะจำความสอดคล้องระหว่างพิกัดของจุดบนวงกลมหน่วยและค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

แต่ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในและที่กำหนดในตารางด้านล่าง จะต้องจำได้:

อย่ากลัวเลย ตอนนี้เราจะแสดงตัวอย่างหนึ่งให้คุณดู ค่อนข้างง่ายในการจดจำค่าที่เกี่ยวข้อง:

หากต้องการใช้วิธีนี้ จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องจดจำค่าของไซน์สำหรับการวัดมุมทั้งสาม () รวมถึงค่าแทนเจนต์ของมุมด้วย เมื่อทราบค่าเหล่านี้แล้ว การเรียกคืนทั้งตารางจึงค่อนข้างง่าย - ค่าโคไซน์จะถูกถ่ายโอนตามลูกศร นั่นคือ:

เมื่อทราบสิ่งนี้แล้ว คุณก็สามารถคืนค่าได้ ตัวเศษ " " จะตรงกัน และตัวส่วน " " จะตรงกัน ค่าโคแทนเจนต์จะถูกถ่ายโอนตามลูกศรที่ระบุในรูป หากคุณเข้าใจสิ่งนี้และจำไดอะแกรมที่มีลูกศรได้ก็เพียงพอที่จะจำค่าทั้งหมดจากตารางได้

พิกัดของจุดบนวงกลม

เป็นไปได้ไหมที่จะหาจุด (พิกัดของมัน) บนวงกลม รู้พิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม รัศมี และมุมการหมุน?

แน่นอนคุณทำได้! เอาล่ะออกไปกันเถอะ สูตรทั่วไปเพื่อค้นหาพิกัดของจุด.

ตัวอย่างเช่น นี่คือวงกลมที่อยู่ข้างหน้าเรา:

เราได้รับว่าจุดนั้นคือจุดศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมจะเท่ากัน จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดที่ได้รับจากการหมุนจุดเป็นองศา

ดังที่เห็นได้จากรูป พิกัดของจุดสอดคล้องกับความยาวของส่วน ความยาวของส่วนนั้นสอดคล้องกับพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลมนั่นคือมันเท่ากัน ความยาวของเซ็กเมนต์สามารถแสดงได้โดยใช้คำจำกัดความของโคไซน์:

แล้วเราก็ได้มันสำหรับพิกัดจุด

เมื่อใช้ตรรกะเดียวกัน เราจะค้นหาค่าพิกัด y ของจุดนั้น ดังนั้น,

ดังนั้นใน ปริทัศน์พิกัดของจุดถูกกำหนดโดยสูตร:

พิกัดจุดศูนย์กลางวงกลม

รัศมีวงกลม

มุมการหมุนของรัศมีเวกเตอร์

อย่างที่คุณเห็น สำหรับวงกลมหน่วยที่เรากำลังพิจารณา สูตรเหล่านี้ลดลงอย่างมาก เนื่องจากพิกัดของจุดศูนย์กลางเท่ากับศูนย์และรัศมีเท่ากับ 1:

เรามาลองใช้สูตรเหล่านี้โดยฝึกหาจุดบนวงกลมกันดีกว่า

1. ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ได้จากการหมุนจุดนั้น

2. ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ได้จากการหมุนจุดนั้น

3. ค้นหาพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยที่ได้จากการหมุนจุดนั้น

4. จุดศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมจะเท่ากัน มีความจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดที่ได้รับจากการหมุนเวกเตอร์รัศมีเริ่มต้นด้วย

5. จุดศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมจะเท่ากัน มีความจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุดที่ได้รับจากการหมุนเวกเตอร์รัศมีเริ่มต้นด้วย

มีปัญหาในการหาพิกัดของจุดบนวงกลมใช่ไหม?

ลองแก้ตัวอย่างทั้งห้าข้อนี้ (หรือแก้ให้เก่ง) แล้วคุณจะได้เรียนรู้ที่จะค้นหามัน!

1.

คุณสามารถสังเกตได้ว่า แต่เรารู้ว่าอะไรสอดคล้องกับการปฏิวัติจุดเริ่มต้นอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นจุดที่ต้องการจะอยู่ในตำแหน่งเดียวกับตอนเลี้ยวไป เมื่อรู้สิ่งนี้แล้ว เราจะพบพิกัดที่ต้องการของจุดนั้น:

2. วงกลมหน่วยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้สูตรแบบง่ายได้:

คุณสามารถสังเกตได้ว่า เรารู้ว่าอะไรสอดคล้องกับการปฏิวัติเต็มรูปแบบสองครั้งของจุดเริ่มต้น ดังนั้นจุดที่ต้องการจะอยู่ในตำแหน่งเดียวกับตอนเลี้ยวไป เมื่อรู้สิ่งนี้แล้ว เราจะพบพิกัดที่ต้องการของจุดนั้น:

ไซน์และโคไซน์เป็นค่าตาราง เราจำความหมายและรับ:

ดังนั้นจุดที่ต้องการจึงมีพิกัด

3. วงกลมหน่วยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้สูตรแบบง่ายได้:

คุณสามารถสังเกตได้ว่า ลองพรรณนาตัวอย่างที่เป็นปัญหาในรูป:

รัศมีทำให้มุมเท่ากับและกับแกน เมื่อรู้ว่าค่าตารางของโคไซน์และไซน์เท่ากันและเมื่อพิจารณาแล้วว่าโคไซน์ที่นี่รับค่าลบและไซน์รับค่าบวกเรามี:

ตัวอย่างดังกล่าวจะกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมเมื่อศึกษาสูตรการลดฟังก์ชันตรีโกณมิติในหัวข้อ

ดังนั้นจุดที่ต้องการจึงมีพิกัด

4.

มุมการหมุนของรัศมีของเวกเตอร์ (ตามเงื่อนไข)

ในการหาสัญญาณที่สอดคล้องกันของไซน์และโคไซน์ เราจะสร้างหน่วยวงกลมและมุม:

ดังที่คุณเห็น ค่าซึ่งก็คือค่าบวก และค่าซึ่งก็คือค่าลบ เมื่อทราบค่าตารางของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สอดคล้องกันเราได้รับว่า:

แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรของเราแล้วค้นหาพิกัด:

ดังนั้นจุดที่ต้องการจึงมีพิกัด

5. เพื่อแก้ไขปัญหานี้ เราใช้สูตรในรูปแบบทั่วไปโดยที่

พิกัดศูนย์กลางของวงกลม (ในตัวอย่างของเรา

รัศมีวงกลม (ตามเงื่อนไข)

มุมการหมุนของรัศมีของเวกเตอร์ (ตามเงื่อนไข)

ลองแทนค่าทั้งหมดลงในสูตรแล้วรับ:

และ - ค่าตาราง จำและแทนที่มันลงในสูตร:

ดังนั้นจุดที่ต้องการจึงมีพิกัด

สรุปและสูตรพื้นฐาน

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ไกล) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ปิด) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านตรงข้าม (ไกล) ต่อด้านที่อยู่ติดกัน (ปิด)

โคแทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกัน (ปิด) ต่อด้านตรงข้าม (ไกล)

ในบทความนี้เราจะพูดถึง การทดแทนตรีโกณมิติสากล. มันเกี่ยวข้องกับการแสดงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมใดๆ ผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม ยิ่งกว่านั้นการแทนที่นั้นดำเนินการอย่างมีเหตุผลนั่นคือไม่มีราก

ขั้นแรก เราจะเขียนสูตรที่แสดงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในรูปของแทนเจนต์ของครึ่งมุม ต่อไปเราจะแสดงที่มาของสูตรเหล่านี้ โดยสรุป เรามาดูตัวอย่างบางส่วนของการใช้การทดแทนตรีโกณมิติสากลกัน

การนำทางหน้า

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม

ขั้นแรก ลองเขียนสูตรสี่สูตรที่แสดงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม

สูตรที่ระบุใช้ได้กับทุกมุมที่มีการกำหนดแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ที่รวมอยู่ในนั้น:

การหาสูตร

ให้เราวิเคราะห์ที่มาของสูตรที่แสดงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม เริ่มจากสูตรสำหรับไซน์และโคไซน์กันก่อน

ลองแทนไซน์และโคไซน์โดยใช้สูตรมุมคู่เป็น และ ตามลำดับ ตอนนี้การแสดงออก และ เราเขียนมันในรูปเศษส่วนโดยมีส่วนเป็น 1 เช่น และ . ต่อไป ตามเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก เราจะแทนที่หน่วยในตัวส่วนด้วยผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ หลังจากนั้นเราจะได้ และ . ในที่สุดเราหารตัวเศษและส่วนของเศษส่วนผลลัพธ์ด้วย (ค่าของมันแตกต่างจากศูนย์ที่ระบุ ). เป็นผลให้ห่วงโซ่การกระทำทั้งหมดมีลักษณะดังนี้:


และ

ซึ่งจะทำให้การได้มาของสูตรที่แสดงไซน์และโคไซน์ผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุมเสร็จสมบูรณ์

มันยังคงได้รับสูตรสำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ตอนนี้คำนึงถึงสูตรที่ได้รับข้างต้นทั้งสูตรและ เราจะได้สูตรที่แสดงแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ทันทีผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม:

ดังนั้นเราจึงได้สูตรทั้งหมดสำหรับการทดแทนตรีโกณมิติสากลมา

ตัวอย่างการใช้การทดแทนตรีโกณมิติสากล

ขั้นแรก เรามาดูตัวอย่างการใช้การทดแทนตรีโกณมิติสากลเมื่อแปลงนิพจน์

ตัวอย่าง.

ให้การแสดงออก เป็นนิพจน์ที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติเพียงฟังก์ชันเดียว

สารละลาย.

คำตอบ:

.

บรรณานุกรม.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky.- M.: การศึกษา, 1990.- 272 p.: ill.- isbn 5-09-002727-7
• บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.
• พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

เราจะเริ่มศึกษาวิชาตรีโกณมิติด้วยสามเหลี่ยมมุมฉาก เรามานิยามกันว่าไซน์และโคไซน์คืออะไร รวมถึงแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมด้วย นี่คือพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ให้เรานึกถึงสิ่งนั้น มุมฉากเป็นมุมเท่ากับ 90 องศา กล่าวอีกนัยหนึ่งคือหักมุมครึ่งทาง

มุมเฉียบ- น้อยกว่า 90 องศา

มุมป้าน- มากกว่า 90 องศา ในความสัมพันธ์กับมุมดังกล่าว "ป้าน" ไม่ใช่การดูถูก แต่เป็นคำทางคณิตศาสตร์ :-)

ลองวาดสามเหลี่ยมมุมฉากกัน มุมขวามักจะเขียนแทนด้วย โปรดทราบว่าด้านตรงข้ามมุมจะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกัน มีเพียงขนาดเล็กเท่านั้น ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุม A จึงถูกกำหนดไว้

มุมนี้แสดงด้วยตัวอักษรกรีกที่เกี่ยวข้อง

ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

ขา- ด้านที่วางตรงข้ามกับมุมแหลม

ขาที่วางตรงข้ามกับมุมเรียกว่า ตรงข้าม(สัมพันธ์กับมุม) ขาอีกข้างหนึ่งซึ่งวางอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของมุมนั้นเรียกว่า ที่อยู่ติดกัน.

ไซนัสมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:

โคไซน์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:

แทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน:

คำจำกัดความอื่น (เทียบเท่า): ค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมคืออัตราส่วนของไซน์ของมุมต่อโคไซน์:

โคแทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้าม (หรือซึ่งเท่ากันคืออัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์):

สังเกตความสัมพันธ์พื้นฐานของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ด้านล่าง พวกเขาจะเป็นประโยชน์สำหรับเราเมื่อแก้ไขปัญหา

มาพิสูจน์กันหน่อย

โอเค เราได้ให้คำจำกัดความและเขียนสูตรไปแล้ว แต่ทำไมเรายังต้องการไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์?

เรารู้ว่า ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ.

เรารู้ถึงความสัมพันธ์ระหว่าง ฝ่ายสามเหลี่ยมมุมฉาก. นี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ปรากฎว่าเมื่อรู้สองมุมในรูปสามเหลี่ยม คุณจะพบมุมที่สามได้ เมื่อรู้ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว คุณจะพบด้านที่สามได้ ซึ่งหมายความว่ามุมต่างๆ มีอัตราส่วนของตัวเอง และด้านข้างก็มีอัตราส่วนของตัวเอง แต่คุณควรทำอย่างไรหากคุณรู้มุมหนึ่ง (ยกเว้นมุมฉาก) และด้านใดด้านหนึ่งในสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่คุณจำเป็นต้องหาด้านอื่นๆ

นี่คือสิ่งที่ผู้คนในอดีตพบเจอเมื่อทำแผนที่บริเวณนั้นและท้องฟ้าที่เต็มไปด้วยดวงดาว ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถวัดทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมโดยตรงได้เสมอไป

ไซน์โคไซน์และแทนเจนต์ - เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันมุมตรีโกณมิติ- ให้ความสัมพันธ์ระหว่าง ฝ่ายและ มุมสามเหลี่ยม. เมื่อรู้มุมแล้ว คุณสามารถค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดได้โดยใช้ตารางพิเศษ และการรู้ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมของสามเหลี่ยมและด้านใดด้านหนึ่ง คุณจะพบส่วนที่เหลือ

นอกจากนี้เรายังจะวาดตารางค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับมุม "ดี" จากถึง

โปรดสังเกตขีดกลางสีแดงสองอันในตาราง ที่ค่ามุมที่เหมาะสม ไม่มีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ลองดูปัญหาตรีโกณมิติหลายประการจาก FIPI Task Bank

1. ในรูปสามเหลี่ยม มุมคือ , . หา .

ปัญหาจะได้รับการแก้ไขภายในสี่วินาที

เพราะว่า , .

2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมคือ , , . หา .

ลองหามันโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

บ่อยครั้งในปัญหาจะมีรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมและหรือที่มีมุมและ จำอัตราส่วนพื้นฐานสำหรับพวกเขาด้วยใจ!

สำหรับสามเหลี่ยมที่มีมุมและขาตรงข้ามกับมุมที่ เท่ากับ ครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก.

สามเหลี่ยมที่มีมุมและเป็นหน้าจั่ว ด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดใหญ่กว่าขาเป็นเท่า

เราดูปัญหาในการแก้ปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉาก นั่นคือ การหาด้านหรือมุมที่ไม่รู้จัก แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! มีปัญหามากมายในการสอบ Unified State ในคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทความถัดไป

เราพูดคุยกันต่อเกี่ยวกับสูตรที่ใช้มากที่สุดในวิชาตรีโกณมิติ สิ่งสำคัญที่สุดคือสูตรการบวก

คำจำกัดความ 1

สูตรการบวกช่วยให้คุณสามารถแสดงฟังก์ชันของผลต่างหรือผลรวมของมุมสองมุมได้โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านั้น

เริ่มต้นด้วยเราจะให้ รายการทั้งหมดการบวกสูตร จากนั้นเราจะพิสูจน์และวิเคราะห์ตัวอย่างประกอบหลายๆ ตัวอย่าง

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

สูตรบวกพื้นฐานในวิชาตรีโกณมิติ

มีสูตรพื้นฐานอยู่ 8 สูตร ได้แก่ ไซน์ของผลรวมและไซน์ของผลต่างของมุมสองมุม โคไซน์ของผลรวมและผลต่าง แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของผลรวมและผลต่าง ตามลำดับ ด้านล่างนี้คือสูตรมาตรฐานและการคำนวณ

1. ไซน์ของผลรวมของสองมุมสามารถหาได้ดังนี้:

เราคำนวณผลคูณของไซน์ของมุมแรกและโคไซน์ของมุมที่สอง

คูณโคไซน์ของมุมแรกด้วยไซน์ของมุมแรก

เพิ่มค่าผลลัพธ์

การเขียนสูตรแบบกราฟิกมีลักษณะดังนี้: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β

2. ไซน์ของความแตกต่างคำนวณในลักษณะเดียวกัน ไม่จำเป็นต้องเพิ่มเฉพาะผลคูณผลลัพธ์ แต่ลบออกจากกัน ดังนั้นเราจึงคำนวณผลคูณของไซน์ของมุมแรกด้วยโคไซน์ของมุมที่สองและโคไซน์ของมุมแรกด้วยไซน์ของมุมที่สองแล้วค้นหาความแตกต่าง สูตรเขียนดังนี้: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β

3. โคไซน์ของผลรวม สำหรับสิ่งนี้ เราจะค้นหาผลคูณของโคไซน์ของมุมแรกด้วยโคไซน์ของมุมที่สองและไซน์ของมุมแรกด้วยไซน์ของมุมที่สอง ตามลำดับ และค้นหาความแตกต่าง: cos (α + β) = cos α · cos β - บาป α · บาป β

4. โคไซน์ของผลต่าง: คำนวณผลคูณของไซน์และโคไซน์ของมุมเหล่านี้เหมือนเมื่อก่อน แล้วบวกเข้าไป สูตร: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. แทนเจนต์ของผลรวม สูตรนี้แสดงเป็นเศษส่วน โดยตัวเศษคือผลรวมของแทนเจนต์ของมุมที่ต้องการ และตัวส่วนคือหน่วยที่นำผลคูณของแทนเจนต์ของมุมที่ต้องการมาลบออก ทุกอย่างชัดเจนจากสัญกรณ์กราฟิก: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β

6. แทนเจนต์ของความแตกต่าง เราคำนวณค่าของความแตกต่างและผลิตภัณฑ์ของแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้และดำเนินการในลักษณะเดียวกัน ในตัวส่วนเราเพิ่มเข้าไปในหนึ่งและไม่ใช่ในทางกลับกัน: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β

7. โคแทนเจนต์ของผลรวม ในการคำนวณโดยใช้สูตรนี้ เราจะต้องมีผลิตภัณฑ์และผลรวมของโคแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้ ซึ่งเราดำเนินการดังนี้: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β

8. โคแทนเจนต์ของความแตกต่าง . สูตรคล้ายกับสูตรก่อนหน้า แต่ตัวเศษและส่วนเป็นลบไม่ใช่บวก c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β

คุณอาจสังเกตเห็นว่าสูตรเหล่านี้คล้ายกันเป็นคู่ การใช้เครื่องหมาย ± (บวก-ลบ) และ ∓ (ลบ-บวก) เราสามารถจัดกลุ่มพวกมันได้เพื่อความสะดวกในการบันทึก:

บาป (α ± β) = บาป α · cos β ± cos α · บาป β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ บาป α · บาป β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β

ดังนั้นเราจึงมีสูตรการบันทึกหนึ่งสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของแต่ละค่า ในกรณีหนึ่งเราให้ความสนใจกับเครื่องหมายบน ในอีกกรณีหนึ่งคือไปที่เครื่องหมายล่าง

คำจำกัดความ 2

เราสามารถหามุม α และ β ใดๆ ก็ได้ และสูตรการบวกโคไซน์และไซน์จะใช้ได้ หากเราสามารถกำหนดค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้ได้อย่างถูกต้อง สูตรการบวกแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ก็จะใช้ได้กับมุมเหล่านี้ด้วย

เช่นเดียวกับแนวคิดส่วนใหญ่ในพีชคณิต สูตรการบวกสามารถพิสูจน์ได้ สูตรแรกที่เราจะพิสูจน์คือสูตรผลต่างโคไซน์ หลักฐานที่เหลือก็สามารถอนุมานได้ง่าย

มาชี้แจงแนวคิดพื้นฐานกันดีกว่า เราจะต้องมีวงกลมหนึ่งหน่วย มันจะได้ผลถ้าเราหาจุด A แล้วหมุนมุม α และ β รอบจุดศูนย์กลาง (จุด O) จากนั้น มุมระหว่างเวกเตอร์ O A 1 → และ O A → 2 จะเท่ากับ (α - β) + 2 π · z หรือ 2 π - (α - β) + 2 π · z (z เป็นจำนวนเต็มใดๆ) เวกเตอร์ที่ได้จะสร้างมุมที่เท่ากับ α - β หรือ 2 π - (α - β) หรืออาจแตกต่างจากค่าเหล่านี้ด้วยจำนวนเต็ม การปฏิวัติเต็มรูปแบบ. ลองดูที่ภาพ:

เราใช้สูตรลดขนาดและได้ผลลัพธ์ดังนี้

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

ผลลัพธ์: โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ O A 1 → และ O A 2 → เท่ากับโคไซน์ของมุม α - β ดังนั้น cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β)

ขอให้เราจำคำจำกัดความของไซน์และโคไซน์: ไซน์เป็นฟังก์ชันของมุม เท่ากับอัตราส่วนของขาของมุมตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์คือไซน์ของมุมเสริม ดังนั้นจุดต่างๆ เอ 1และ เอ 2มีพิกัด (cos α, sin α) และ (cos β, sin β)

เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

O A 1 → = (cos α, sin α) และ O A 2 → = (cos β, sin β)

ถ้าไม่ชัดเจน ให้ดูพิกัดของจุดที่อยู่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

ความยาวของเวกเตอร์เท่ากับ 1 เพราะว่า เรามีวงกลมหน่วย.

มาดูตอนนี้กันดีกว่า ผลิตภัณฑ์สเกลาร์เวกเตอร์ O A 1 → และ O A 2 → . ในพิกัดดูเหมือนว่านี้:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β

จากนี้เราสามารถได้รับความเท่าเทียมกัน:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

ดังนั้นสูตรโคไซน์ส่วนต่างจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตอนนี้เราจะพิสูจน์ สูตรต่อไปนี้– โคไซน์ของผลรวม ง่ายกว่าเพราะเราสามารถใช้การคำนวณก่อนหน้านี้ได้ ลองเป็นตัวแทน α + β = α - (- β) . เรามี:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

นี่คือข้อพิสูจน์ของสูตรผลรวมโคไซน์ บรรทัดสุดท้ายใช้คุณสมบัติของไซน์และโคไซน์ มุมตรงข้าม.

สูตรไซน์ของผลรวมสามารถหาได้จากสูตรโคไซน์ของผลต่าง ลองใช้สูตรการลดสำหรับสิ่งนี้:

ของรูปแบบ sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) ดังนั้น
บาป (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) บาป β = = บาป α cos β + cos α บาป β

และนี่คือข้อพิสูจน์ถึงสูตรผลต่างของไซน์:

บาป (α - β) = บาป (α + (- β)) = บาป α cos (- β) + cos α บาป (- β) = = บาป α cos β - cos α บาป β
สังเกตการใช้คุณสมบัติไซน์และโคไซน์ของมุมตรงข้ามในการคำนวณครั้งล่าสุด

ต่อไป เราต้องพิสูจน์สูตรการบวกแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ เรามาจำคำจำกัดความพื้นฐานกัน (แทนเจนต์คืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ และโคแทนเจนต์เป็นในทางกลับกัน) และใช้สูตรที่ได้มาจากล่วงหน้า เราทำได้:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - บาป α sin β

เรามีเศษส่วนเชิงซ้อน. ต่อไป เราต้องหารเศษและส่วนด้วย cos α · cos β โดยที่ cos α ≠ 0 และ cos β ≠ 0 จะได้:
บาป α · cos β + cos α · บาป β cos α · cos β cos α · cos β - บาป α · บาป β cos α · cos β = บาป α · cos β cos α · cos β + cos α · บาป β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - บาป α · บาป β cos α · cos β

ตอนนี้เราลดเศษส่วนแล้วได้สูตรต่อไปนี้: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
เราได้ t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β นี่คือข้อพิสูจน์ของสูตรการบวกแทนเจนต์

สูตรถัดไปที่เราจะพิสูจน์คือแทนเจนต์ของสูตรผลต่าง ทุกอย่างแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนในการคำนวณ:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

สูตรสำหรับโคแทนเจนต์ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - บาป α · บาป β บาป α · บาป β บาป α · cos β + cos α · บาป β บาป α · บาป β = cos α · cos β บาป α · บาป β - 1 บาป α · cos β บาป α · บาป β + cos α · บาป β บาป α · บาป β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
ไกลออกไป:
c t g (α - β) = c t g  (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β

หนึ่งในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่นักเรียนประสบปัญหามากที่สุดคือวิชาตรีโกณมิติ ไม่น่าแปลกใจ: เพื่อที่จะเชี่ยวชาญความรู้ด้านนี้ได้อย่างอิสระคุณต้องมีความคิดเชิงพื้นที่ความสามารถในการค้นหาไซน์โคไซน์แทนเจนต์โคแทนเจนต์โดยใช้สูตรลดความซับซ้อนของนิพจน์และสามารถใช้ตัวเลข pi ได้ การคำนวณ นอกจากนี้ คุณต้องสามารถใช้ตรีโกณมิติในการพิสูจน์ทฤษฎีบทได้ และต้องใช้หน่วยความจำทางคณิตศาสตร์ที่พัฒนาแล้วหรือความสามารถในการหาลูกโซ่เชิงตรรกะที่ซับซ้อน

ต้นกำเนิดของตรีโกณมิติ

การทำความคุ้นเคยกับวิทยาศาสตร์นี้ควรเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม แต่ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่าโดยทั่วไปตรีโกณมิติทำอะไรได้บ้าง

ในอดีต วัตถุประสงค์หลักของการศึกษาในสาขาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์นี้คือสามเหลี่ยมมุมฉาก การมีมุม 90 องศาทำให้สามารถดำเนินการต่างๆได้ซึ่งช่วยให้สามารถกำหนดค่าของพารามิเตอร์ทั้งหมดของภาพที่เป็นปัญหาได้โดยใช้สองด้านและหนึ่งมุมหรือสองมุมและด้านเดียว ในอดีต ผู้คนสังเกตเห็นรูปแบบนี้และเริ่มนำไปใช้อย่างจริงจังในการก่อสร้างอาคาร การนำทาง ดาราศาสตร์ และแม้กระทั่งในงานศิลปะ

ขั้นแรก

ในตอนแรก ผู้คนพูดถึงความสัมพันธ์ระหว่างมุมและด้านโดยใช้ตัวอย่างของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยเฉพาะ จากนั้นจึงค้นพบสูตรพิเศษที่ทำให้สามารถขยายขอบเขตการใช้งานได้ ชีวิตประจำวันคณิตศาสตร์สาขานี้

การศึกษาวิชาตรีโกณมิติในโรงเรียนในปัจจุบันเริ่มต้นด้วยสามเหลี่ยมมุมฉาก หลังจากนั้นนักเรียนจะใช้ความรู้ที่ได้รับในวิชาฟิสิกส์และการแก้สมการตรีโกณมิติเชิงนามธรรมซึ่งเริ่มต้นในโรงเรียนมัธยมปลาย

ตรีโกณมิติทรงกลม

ต่อมา เมื่อวิทยาศาสตร์ก้าวไปสู่การพัฒนาขั้นต่อไป สูตรที่มีไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ก็เริ่มถูกนำมาใช้ในเรขาคณิตทรงกลม ซึ่งใช้กฎที่แตกต่างกัน และผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมจะมากกว่า 180 องศาเสมอ ส่วนนี้ไม่ได้เรียนที่โรงเรียน แต่จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของมันอย่างน้อยก็เพราะ พื้นผิวโลกและพื้นผิวของดาวเคราะห์ดวงอื่นจะนูน ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายบนพื้นผิวใดๆ จะเป็น "รูปทรงโค้ง" ในอวกาศสามมิติ

เอาลูกโลกและด้าย แนบด้ายเข้ากับจุดสองจุดบนโลกเพื่อให้ตึง โปรดทราบ - มันมีรูปร่างโค้ง เรขาคณิตทรงกลมเกี่ยวข้องกับรูปแบบดังกล่าว ซึ่งใช้ในธรณีวิทยา ดาราศาสตร์ และสาขาทางทฤษฎีและประยุกต์อื่นๆ

สามเหลี่ยมมุมฉาก

เมื่อได้เรียนรู้เกี่ยวกับวิธีการใช้ตรีโกณมิติมาบ้างแล้ว เรากลับมาที่ตรีโกณมิติพื้นฐานเพื่อทำความเข้าใจเพิ่มเติมว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์คืออะไร การคำนวณใดที่สามารถทำได้ด้วยความช่วยเหลือ และสูตรที่จะใช้

ขั้นแรกคือการทำความเข้าใจแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ประการแรก ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม 90 องศา มันยาวที่สุด เราจำได้ว่าตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ค่าตัวเลขของมันจะเท่ากับรากของผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ

ตัวอย่างเช่น หากด้านทั้งสองยาว 3 และ 4 เซนติเมตรตามลำดับ ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับ 5 เซนติเมตร อย่างไรก็ตามชาวอียิปต์โบราณรู้เรื่องนี้เมื่อประมาณสี่พันห้าพันปีก่อน

ด้านที่เหลือทั้งสองซึ่งประกอบเป็นมุมฉากเรียกว่าขา นอกจากนี้ เราต้องจำไว้ว่าผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยมในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา

คำนิยาม

ในที่สุด ด้วยความเข้าใจพื้นฐานทางเรขาคณิตอย่างมั่นคงแล้ว เราจึงสามารถหันไปหาคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมได้

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (เช่น ด้านตรงข้ามมุมที่ต้องการ) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

โปรดจำไว้ว่าไซน์หรือโคไซน์ไม่สามารถมีค่ามากกว่าหนึ่งได้! ทำไม เพราะโดยค่าเริ่มต้นด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวที่สุดไม่ว่าขาจะยาวแค่ไหนก็จะสั้นกว่าด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งหมายความว่าอัตราส่วนจะเท่ากับเสมอ น้อยกว่าหนึ่ง. ดังนั้น หากในการตอบปัญหา คุณได้ไซน์หรือโคไซน์ที่มีค่ามากกว่า 1 ให้มองหาข้อผิดพลาดในการคำนวณหรือการให้เหตุผล คำตอบนี้ไม่ถูกต้องอย่างชัดเจน

สุดท้าย ค่าแทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด การหารไซน์ด้วยโคไซน์จะให้ผลลัพธ์เดียวกัน ดู: ตามสูตร เราหารความยาวของด้านด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก จากนั้นหารด้วยความยาวของด้านที่สองแล้วคูณด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นเราจึงได้ความสัมพันธ์แบบเดียวกับในคำจำกัดความของแทนเจนต์

โคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกับมุมต่อด้านตรงข้าม เราได้ผลลัพธ์เดียวกันโดยการหารหนึ่งด้วยแทนเจนต์

เราได้ดูคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์แล้ว และมาดูสูตรกันต่อ

สูตรที่ง่ายที่สุด

ในตรีโกณมิติคุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีสูตร - จะหาไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์โดยไม่มีสูตรได้อย่างไร แต่นี่คือสิ่งที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา

สูตรแรกที่คุณต้องรู้เมื่อเริ่มศึกษาตรีโกณมิติบอกว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมเท่ากับหนึ่ง สูตรนี้เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่จะช่วยประหยัดเวลาหากคุณต้องการทราบขนาดของมุมมากกว่าด้านข้าง

นักเรียนหลายคนจำสูตรที่สองไม่ได้ ซึ่งเป็นที่นิยมอย่างมากในการแก้ปัญหาในโรงเรียนเช่นกัน ผลรวมของ 1 กับกำลังสองของแทนเจนต์ของมุมจะเท่ากับ 1 หารด้วยกำลังสองของโคไซน์ของมุม ลองดูให้ละเอียดยิ่งขึ้น: นี่เป็นข้อความเดียวกับในสูตรแรก มีเพียงทั้งสองด้านของเอกลักษณ์เท่านั้นที่ถูกหารด้วยกำลังสองของโคไซน์ ปรากฎว่าการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายทำได้ สูตรตรีโกณมิติไม่สามารถจดจำได้อย่างสมบูรณ์ ข้อควรจำ: การรู้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์คืออะไร กฎการแปลง และอื่นๆ อีกมากมาย สูตรพื้นฐานคุณสามารถรับสูตรที่ซับซ้อนมากขึ้นที่ต้องการบนกระดาษด้วยตนเองได้ตลอดเวลา

สูตรสำหรับมุมคู่และการบวกอาร์กิวเมนต์

อีกสองสูตรที่คุณต้องเรียนรู้เกี่ยวข้องกับค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับผลรวมและผลต่างของมุม มีการนำเสนอในรูปด้านล่าง โปรดทราบว่าในกรณีแรก ไซน์และโคไซน์จะถูกคูณทั้งสองครั้ง และในกรณีที่สอง จะมีการเพิ่มผลคูณของไซน์และโคไซน์ตามคู่

นอกจากนี้ยังมีสูตรที่เกี่ยวข้องกับอาร์กิวเมนต์มุมคู่ด้วย พวกมันได้มาจากอันก่อนหน้าอย่างสมบูรณ์ - เพื่อเป็นการฝึกฝนให้พยายามทำความเข้าใจด้วยตัวเองโดยใช้มุมอัลฟ่า เท่ากับมุมเบต้า

สุดท้าย โปรดทราบว่าสามารถจัดเรียงสูตรมุมคู่ได้ใหม่เพื่อลดกำลังของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์อัลฟา

ทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทหลักสองทฤษฎีในตรีโกณมิติพื้นฐานคือทฤษฎีบทไซน์และทฤษฎีบทโคไซน์ ด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีบทเหล่านี้ คุณสามารถเข้าใจวิธีการค้นหาไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ รวมถึงพื้นที่ของรูปและขนาดของแต่ละด้าน ฯลฯ ได้อย่างง่ายดาย

ทฤษฎีบทไซน์ระบุว่าการหารความยาวของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมด้วยมุมตรงข้ามจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเดียวกัน ยิ่งกว่านั้น จำนวนนี้จะเท่ากับสองรัศมีของวงกลมที่จำกัดขอบเขต ซึ่งก็คือวงกลมที่มีจุดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด

ทฤษฎีบทโคไซน์เป็นการสรุปทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยฉายลงบนรูปสามเหลี่ยมใดๆ ปรากฎว่าจากผลรวมของกำลังสองของด้านสองด้าน ลบผลคูณของด้านทั้งสองคูณด้วย โคไซน์สองเท่ามุมที่อยู่ติดกัน - ค่าผลลัพธ์จะเท่ากับกำลังสองของด้านที่สาม ดังนั้น ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงกลายเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทโคไซน์

ความผิดพลาดที่ไม่ระมัดระวัง

แม้จะรู้ว่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์คืออะไร ก็เป็นเรื่องง่ายที่จะทำผิดพลาดเนื่องจากขาดสติหรือเกิดข้อผิดพลาดในการคำนวณที่ง่ายที่สุด เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด เรามาดูข้อผิดพลาดที่ได้รับความนิยมมากที่สุดกัน

ประการแรก คุณไม่ควรแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยมจนกว่าคุณจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย คุณสามารถทิ้งคำตอบไว้เป็น เศษส่วนทั่วไปเว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นในเงื่อนไข การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่สามารถเรียกได้ว่าเป็นความผิดพลาด แต่ควรจำไว้ว่าในแต่ละขั้นตอนของปัญหาอาจเกิดรากใหม่ซึ่งควรลดลงตามความคิดของผู้เขียน ในกรณีนี้ คุณจะเสียเวลากับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ไม่จำเป็น โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับค่าต่างๆ เช่น รากของสามหรือรากของสอง เนื่องจากพบปัญหาในทุกขั้นตอน เช่นเดียวกับการปัดเศษตัวเลขที่ "น่าเกลียด"

นอกจากนี้ โปรดทราบว่าทฤษฎีบทโคไซน์ใช้กับสามเหลี่ยมใดๆ ได้ แต่ไม่ใช่ทฤษฎีบทพีทาโกรัส! หากคุณลืมลบผลคูณของด้านคูณด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างทั้งสองโดยไม่ตั้งใจ คุณจะไม่เพียงแต่ได้ผลลัพธ์ที่ผิดโดยสิ้นเชิง แต่ยังแสดงให้เห็นว่าคุณยังขาดความเข้าใจในเรื่องนั้นโดยสิ้นเชิงอีกด้วย นี่เลวร้ายยิ่งกว่าความผิดพลาดที่ไม่ระมัดระวัง

ประการที่สามอย่าสับสนค่าสำหรับมุม 30 และ 60 องศาสำหรับไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ จำค่าเหล่านี้ไว้ เนื่องจากไซน์ของ 30 องศาเท่ากับโคไซน์ของ 60 และในทางกลับกัน มันง่ายที่จะสร้างความสับสนซึ่งส่งผลให้คุณได้รับผลลัพธ์ที่ผิดพลาดอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

แอปพลิเคชัน

นักเรียนหลายคนไม่รีบร้อนที่จะเริ่มเรียนวิชาตรีโกณมิติเพราะพวกเขาไม่เข้าใจความหมายเชิงปฏิบัติของวิชาตรีโกณมิติ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์สำหรับวิศวกรหรือนักดาราศาสตร์คืออะไร? แนวคิดเหล่านี้เป็นแนวคิดที่คุณสามารถคำนวณระยะทางไปยังดาวฤกษ์ที่อยู่ห่างไกล ทำนายการตกของอุกกาบาต หรือส่งยานวิจัยไปยังดาวเคราะห์ดวงอื่นได้ หากไม่มีสิ่งเหล่านี้ ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างอาคาร ออกแบบรถยนต์ คำนวณน้ำหนักบนพื้นผิวหรือวิถีของวัตถุ และนี่เป็นเพียงตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุด! ท้ายที่สุดแล้วมีการใช้ตรีโกณมิติในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งตั้งแต่ดนตรีไปจนถึงการแพทย์

ในที่สุด

คุณก็คือไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์ คุณสามารถใช้มันในการคำนวณและแก้ปัญหาของโรงเรียนได้สำเร็จ

จุดรวมของตรีโกณมิติมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าการใช้พารามิเตอร์ที่ทราบของรูปสามเหลี่ยมนั้น คุณจำเป็นต้องคำนวณสิ่งที่ไม่ทราบ มีทั้งหมดหกพารามิเตอร์: ความยาว สามด้านและขนาดของมุมทั้งสาม ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวในงานอยู่ที่การให้ข้อมูลอินพุตที่แตกต่างกัน

ตอนนี้คุณรู้วิธีหาไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์โดยพิจารณาจากความยาวของขาหรือด้านตรงข้ามมุมฉากที่ทราบแล้ว เนื่องจากคำเหล่านี้ไม่ได้มีความหมายอะไรมากไปกว่าอัตราส่วน และอัตราส่วนก็คือเศษส่วน เป้าหมายหลักของปัญหาตรีโกณมิติคือการหารากของสมการหรือระบบสมการปกติ และที่นี่คณิตศาสตร์ของโรงเรียนปกติจะช่วยคุณได้