ตารางฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ - ทุกสิ่งที่คุณจำเป็นต้องรู้สำหรับ OGE และการใช้งาน

⁰

ตารางค่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บันทึก. ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ใช้เครื่องหมาย √ เพื่อระบุ รากที่สอง. หากต้องการระบุเศษส่วน ให้ใช้สัญลักษณ์ "/"

ดูสิ่งนี้ด้วยวัสดุที่มีประโยชน์:

สำหรับ การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้ค้นหาที่จุดตัดของเส้นที่แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวอย่างเช่น ไซน์ 30 องศา - เรามองหาคอลัมน์ที่มีส่วนหัวของไซน์ (ไซน์) และค้นหาจุดตัดของคอลัมน์ตารางนี้มีแถว "30 องศา" ที่จุดตัดของพวกเขาเราจะอ่านผลลัพธ์ - ครึ่งหนึ่ง ในทำนองเดียวกันเราก็พบว่า โคไซน์ 60องศา ไซน์ 60องศา (อีกครั้งที่จุดตัดของคอลัมน์ sin และเส้น 60 องศา เราจะพบค่า sin 60 = √3/2) เป็นต้น ค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุม "ยอดนิยม" อื่น ๆ ก็พบในลักษณะเดียวกัน

ไซน์พาย โคไซน์พาย แทนเจนต์พาย และมุมอื่นๆ ในหน่วยเรเดียน

ตารางด้านล่างของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ยังเหมาะสำหรับการหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีการโต้แย้งเป็น ให้ไว้เป็นเรเดียน. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้คอลัมน์ที่สองของค่ามุม ด้วยเหตุนี้ คุณจึงสามารถแปลงค่าของมุมยอดนิยมจากองศาเป็นเรเดียนได้ ตัวอย่างเช่น ลองหามุม 60 องศาในบรรทัดแรกแล้วอ่านค่าเป็นเรเดียนข้างใต้ 60 องศา เท่ากับ π/3 เรเดียน

ตัวเลขพายแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการขึ้นต่อกันของเส้นรอบวงกับการวัดระดับของมุม ดังนั้น ไพ เรเดียน จึงเท่ากับ 180 องศา

จำนวนใดๆ ที่แสดงเป็นรูปพาย (เรเดียน) สามารถแปลงเป็นองศาได้ง่ายๆ โดยการแทนที่ pi (π) ด้วย 180.

ตัวอย่าง:
1. ไซน์ปี่.
บาป π = บาป 180 = 0
ดังนั้นไซน์ของพายจึงเหมือนกับไซน์ของ 180 องศา และมีค่าเท่ากับศูนย์

2. โคไซน์ ไพ.
คอส π = คอส 180 = -1
ดังนั้นโคไซน์ของพายจึงเหมือนกับโคไซน์ของ 180 องศา และเท่ากับลบหนึ่ง

3. แทนเจนต์ pi
tg π = tg 180 = 0
ดังนั้น แทนเจนต์ pi จึงเหมือนกับแทนเจนต์ 180 องศา และมีค่าเท่ากับศูนย์

ตารางไซน์ โคไซน์ ค่าแทนเจนต์สำหรับมุม 0 - 360 องศา (ค่าทั่วไป)

ค่ามุม α (องศา)	ค่ามุม α เป็นเรเดียน (ผ่านพี่)	บาป (ไซนัส)	เพราะ (โคไซน์)	ทีจี (แทนเจนต์)	กะรัต (โคแทนเจนต์)	วินาที (ตัด)	โคเซค (โคซีแคนต์)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	พาย/12			2 - √3	2 + √3
30	พาย/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	พาย/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	พาย/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	พาย/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

หากในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติมีการระบุเส้นประแทนค่าฟังก์ชัน (แทนเจนต์ (tg) 90 องศา, โคแทนเจนต์ (ctg) 180 องศา) หมายความว่าเมื่อใด มูลค่าที่กำหนดการวัดระดับของฟังก์ชันมุมไม่มีค่าเฉพาะ หากไม่มีเส้นประ แสดงว่าเซลล์ว่างเปล่า ซึ่งหมายความว่าเรายังไม่ได้ป้อนค่าที่ต้องการ เราสนใจในสิ่งที่ผู้ใช้สอบถามเข้ามาหาเราและเสริมตารางด้วยค่าใหม่ แม้ว่าข้อมูลปัจจุบันเกี่ยวกับค่าของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ของค่ามุมที่พบบ่อยที่สุดก็เพียงพอที่จะแก้ปัญหาส่วนใหญ่ได้ ปัญหา.

ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin, cos, tg สำหรับมุมยอดนิยม
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 องศา
(ค่าตัวเลข “ตามตาราง Bradis”)

มุม α ค่า (องศา)	ค่ามุม α เป็นเรเดียน	บาป (ไซน์)	คอส (โคไซน์)	ทีจี (แทนเจนต์)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321

	7π/18

ข้อมูลอ้างอิงสำหรับแทนเจนต์ (tg x) และโคแทนเจนต์ (ctg x) ความหมายทางเรขาคณิต สมบัติ กราฟ สูตร ตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ อนุพันธ์ อินทิกรัล การขยายอนุกรม การแสดงออกผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน การเชื่อมต่อกับฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

คำจำกัดความทางเรขาคณิต

|บีดี| - ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด A
α คือมุมที่แสดงเป็นเรเดียน

แทนเจนต์ ( สีแทน α) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนความยาวของขาตรงข้าม |BC| ไปจนถึงความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| .

โคแทนเจนต์ ( ซีทีจี แอลฟา) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ถึงความยาวของขาตรงข้าม |BC| .

แทนเจนต์

ที่ไหน n- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก แทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์ y = tan x

โคแทนเจนต์

ที่ไหน n- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก โคแทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
ยอมรับสัญลักษณ์ต่อไปนี้ด้วย:
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ y = ctg x

คุณสมบัติของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ความเป็นงวด

ฟังก์ชัน y = ทีจีเอ็กซ์และ ย = ซีทีจี xเป็นคาบกับคาบ π

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นเลขคี่

พื้นที่ของความหมายและค่านิยม การเพิ่มขึ้น การลดลง

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีความต่อเนื่องในขอบเขตของคำจำกัดความ (ดูข้อพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แสดงอยู่ในตาราง ( n- ทั้งหมด).

	ย = ทีจีเอ็กซ์	ย = ซีทีจี x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง
ช่วงของค่า	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
เพิ่มขึ้น		-
จากมากไปน้อย	-
สุดขั้ว	-	-
ศูนย์, y = 0
จุดตัดกับแกนพิกัด x = 0	ย = 0	-

สูตร

นิพจน์โดยใช้ไซน์และโคไซน์

; ;
; ;
;

สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จากผลรวมและผลต่าง

สูตรที่เหลือก็หาได้ง่ายเช่นกัน

ผลคูณของแทนเจนต์

สูตรหาผลรวมและผลต่างของแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับค่าหนึ่งของอาร์กิวเมนต์

นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

; .

.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n เทียบกับตัวแปร x ของฟังก์ชัน:
.
การหาสูตรแทนเจนต์ > > > ; สำหรับโคแทนเจนต์ > > >

ปริพันธ์

การขยายซีรีส์

เพื่อให้ได้การขยายตัวของแทนเจนต์ในกำลังของ x คุณต้องใช้เงื่อนไขหลายประการในการขยายอนุกรมกำลังสำหรับฟังก์ชัน บาป xและ เพราะ xและหารพหุนามเหล่านี้ด้วยตัวอื่นๆ ในกรณีนี้ปรากฎว่า สูตรต่อไปนี้.

ที่ .

ที่ .
ที่ไหน บีเอ็น- หมายเลขเบอร์นูลลี โดยพิจารณาจากความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ:
;
;
ที่ไหน .
หรือตามสูตรของลาปลาซ:

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์ตามลำดับ

อาร์กแทนเจนต์, อาร์กจี

, ที่ไหน n- ทั้งหมด.

อาร์กโคแทนเจนต์, อาร์กซีจี

, ที่ไหน n- ทั้งหมด.

อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552
ก.กร, คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับ คนงานทางวิทยาศาสตร์และวิศวกร 2555

เราจะเริ่มศึกษาวิชาตรีโกณมิติด้วยสามเหลี่ยมมุมฉาก เรามานิยามกันว่าไซน์และโคไซน์คืออะไร รวมถึงแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมแหลมด้วย นี่คือพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ให้เราเตือนคุณว่า มุมฉากเป็นมุมเท่ากับ 90 องศา กล่าวอีกนัยหนึ่งคือหักมุมครึ่งทาง

มุมเฉียบ- น้อยกว่า 90 องศา

มุมป้าน- มากกว่า 90 องศา ในความสัมพันธ์กับมุมดังกล่าว "ป้าน" ไม่ใช่การดูถูก แต่เป็นคำทางคณิตศาสตร์ :-)

ลองวาดสามเหลี่ยมมุมฉากกัน มุมขวามักจะเขียนแทนด้วย โปรดทราบว่าด้านตรงข้ามมุมจะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกัน มีเพียงขนาดเล็กเท่านั้น ดังนั้น ด้านตรงข้ามมุม A จึงถูกกำหนดไว้

มุมนี้แสดงด้วยตัวอักษรกรีกที่เกี่ยวข้อง

ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

ขา- ด้านที่วางตรงข้ามกับมุมแหลม

ขาที่วางตรงข้ามกับมุมเรียกว่า ตรงข้าม(สัมพันธ์กับมุม) ขาอีกข้างหนึ่งซึ่งวางอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของมุมนั้นเรียกว่า ที่อยู่ติดกัน.

ไซนัสมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:

โคไซน์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:

แทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน:

คำจำกัดความอื่น (เทียบเท่า): ค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมคืออัตราส่วนของไซน์ของมุมต่อโคไซน์:

โคแทนเจนต์มุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก - อัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้าม (หรือซึ่งเท่ากันคืออัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์):

สังเกตความสัมพันธ์พื้นฐานของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ด้านล่าง พวกเขาจะเป็นประโยชน์สำหรับเราเมื่อแก้ไขปัญหา

มาพิสูจน์กันหน่อย

โอเค เราได้ให้คำจำกัดความและเขียนสูตรไปแล้ว แต่ทำไมเรายังต้องการไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์?

เรารู้ว่า ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ.

เรารู้ถึงความสัมพันธ์ระหว่าง ฝ่ายสามเหลี่ยมมุมฉาก. นี่คือทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ปรากฎว่าเมื่อรู้สองมุมในรูปสามเหลี่ยม คุณจะพบมุมที่สามได้ เมื่อรู้ด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว คุณจะพบด้านที่สามได้ ซึ่งหมายความว่ามุมต่างๆ มีอัตราส่วนของตัวเอง และด้านข้างก็มีอัตราส่วนของตัวเอง แต่คุณควรทำอย่างไรหากคุณรู้มุมหนึ่ง (ยกเว้นมุมฉาก) และด้านใดด้านหนึ่งในสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่คุณจำเป็นต้องหาด้านอื่นๆ

นี่คือสิ่งที่ผู้คนในอดีตพบเจอเมื่อทำแผนที่บริเวณนั้นและท้องฟ้าที่เต็มไปด้วยดวงดาว ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถวัดทุกด้านของรูปสามเหลี่ยมโดยตรงได้เสมอไป

ไซน์โคไซน์และแทนเจนต์ - เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันมุมตรีโกณมิติ- ให้ความสัมพันธ์ระหว่าง ฝ่ายและ มุมสามเหลี่ยม. เมื่อรู้มุมแล้ว คุณสามารถค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดได้โดยใช้ตารางพิเศษ และการรู้ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมของสามเหลี่ยมและด้านใดด้านหนึ่ง คุณจะพบส่วนที่เหลือ

นอกจากนี้เรายังจะวาดตารางค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับมุม "ดี" จากถึง

โปรดสังเกตขีดกลางสีแดงสองอันในตาราง ที่ค่ามุมที่เหมาะสม ไม่มีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ลองดูปัญหาตรีโกณมิติหลายประการจาก FIPI Task Bank

1. ในรูปสามเหลี่ยม มุมคือ , . หา .

ปัญหาจะได้รับการแก้ไขภายในสี่วินาที

เพราะว่า , .

2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมคือ , , . หา .

ลองหามันโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

บ่อยครั้งในปัญหาจะมีรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมและหรือที่มีมุมและ จำอัตราส่วนพื้นฐานสำหรับพวกเขาด้วยใจ!

สำหรับสามเหลี่ยมที่มีมุมและขาตรงข้ามกับมุมที่ เท่ากับ ครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก.

สามเหลี่ยมที่มีมุมและเป็นหน้าจั่ว ด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดใหญ่กว่าขาเป็นเท่า

เราดูปัญหาในการแก้ปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉาก นั่นคือ การหาด้านหรือมุมที่ไม่รู้จัก แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด! มีปัญหามากมายในการสอบ Unified State ในคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทความถัดไป

1. ฟังก์ชันตรีโกณมิติแทน ฟังก์ชันเบื้องต้นซึ่งมีข้อโต้แย้งอยู่ มุม. ฟังก์ชันตรีโกณมิติอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติมีความหลากหลายอย่างมาก ตัวอย่างเช่น กระบวนการที่เป็นคาบใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (อนุกรมฟูเรียร์) ฟังก์ชันเหล่านี้มักปรากฏขึ้นเมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์และฟังก์ชัน

2. ฟังก์ชันตรีโกณมิติประกอบด้วย 6 ฟังก์ชันต่อไปนี้: ไซนัส, โคไซน์, แทนเจนต์,โคแทนเจนต์, ตัดออกและ โคซีแคนต์. สำหรับแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ จะมีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

3. สะดวกในการแนะนำคำจำกัดความทางเรขาคณิตของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้ วงกลมหน่วย. รูปด้านล่างแสดงวงกลมที่มีรัศมี r=1 จุด M(x,y) ถูกทำเครื่องหมายไว้บนวงกลม มุมระหว่างเวกเตอร์รัศมี OM และทิศทางบวกของแกน Ox เท่ากับ α

4. ไซนัสมุม α คืออัตราส่วนของพิกัด y ของจุด M(x,y) ต่อรัศมี r:
ซินα=y/r.
เนื่องจาก r=1 ดังนั้นไซน์จึงเท่ากับพิกัดของจุด M(x,y)

5. โคไซน์มุม α คืออัตราส่วนของ abscissa x ของจุด M(x,y) ต่อรัศมี r:
cosα=x/r

6. แทนเจนต์มุม α คืออัตราส่วนของพิกัด y ของจุด M(x,y) ต่อจุดหักเหของ x:
tanα=y/x,x≠0

7. โคแทนเจนต์มุม α คืออัตราส่วนของ abscissa x ของจุด M(x,y) ต่อพิกัด y:
โคα=x/y,y≠0

8. ซีแคนต์มุม α คืออัตราส่วนของรัศมี r ต่อ abscissa x ของจุด M(x,y):
วินาทีα=r/x=1/x,x≠0

9. โคซีแคนต์มุม α คืออัตราส่วนของรัศมี r ต่อพิกัด y ของจุด M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. ในวงกลมหนึ่งหน่วย เส้นโครง x, y จุด M(x,y) และรัศมี r ก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ x,y คือขา และ r คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น คำจำกัดความข้างต้นของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากจึงมีสูตรดังนี้
ไซนัสมุม α คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก
โคไซน์มุม α คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
แทนเจนต์มุม α เรียกว่าขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน
โคแทนเจนต์มุม α เรียกว่าด้านประชิดกับด้านตรงข้าม
ซีแคนต์มุม α คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อขาที่อยู่ติดกัน
โคซีแคนต์มุม α คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อขาตรงข้าม

11. กราฟของฟังก์ชันไซน์
y=sinx, โดเมนของคำจำกัดความ: x∈R, ช่วงของค่า: −1≤sinx≤1

12. กราฟของฟังก์ชันโคไซน์
y=cosx, โดเมน: x∈R, พิสัย: −1≤cosx≤1

13. กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์
y=tanx, ช่วงของคำจำกัดความ: x∈R,x≠(2k+1)π/2, ช่วงของค่า: −∞