ด้านของลูกบาศก์เท่ากันหรือไม่? เส้นทแยงมุมของลูกบาศก์คืออะไรและจะค้นหาได้อย่างไร
เส้นทแยงมุมของลูกบาศก์เป็นหนึ่งในองค์ประกอบที่คุณจะต้องรู้เมื่อแก้ไขปัญหาสามมิติในระหว่างการทำงานขั้นสุดท้ายในวิชาคณิตศาสตร์สำหรับหลักสูตรขั้นพื้นฐานของโรงเรียน
ทฤษฎีเล็กๆ น้อยๆ เกี่ยวกับลูกบาศก์
รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เป็นของเส้นขนานและปริซึมด้านขวาโดยตรง เขาเป็นกรณีพิเศษของทั้งสอง ที่ฐานของลูกบาศก์จะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ และขอบด้านข้างของลูกบาศก์จะเท่ากับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่กำหนด ดังนั้นสามมิติทั้งสามจึงมีความหมายเหมือนกัน
ลูกบาศก์ทั้งหกหน้าเป็นสี่เหลี่ยม ความยาวของซี่โครงทั้ง 12 ซี่จะเท่ากัน
ในแต่ละใบหน้าคุณสามารถวาดเส้นทแยงมุมได้ ความยาวหาได้ง่ายโดยใช้สูตรพีทาโกรัส นอกจากนี้ลูกบาศก์เองก็มีเส้นทแยงมุมด้วย มีเพียงสี่คนเท่านั้น เส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ถูกวาดโดยเริ่มจากด้านบนของฐานล่าง จุดสิ้นสุดของส่วนนี้ไปสิ้นสุดที่ด้านบนสุดของฐานด้านบน แต่เพื่อไม่ให้ตรงกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
สูตรสำคัญ
พวกเขาจะต้องป้อนชื่อเดียวกัน ส่วนใหญ่แล้วตัวอักษร "a" จะอยู่ด้านข้างของลูกบาศก์ "V" คือระดับเสียง "S" และ "d" คือพื้นที่และแนวทแยงตามลำดับ "R" และ "r" คือรัศมีของทรงกลมที่มีเส้นจำกัดและทรงกลมที่มีเส้นจำกัด
วี=a³(№1) ใช้เพื่อค้นหาปริมาตร
S=a² (№2) สูตรสำหรับบริเวณใบหน้า
ส= 6a² (№3) จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดของลูกบาศก์
หากคุณต้องการหาเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ สูตรจะเป็นดังนี้ ง=ก√ 3 (№4);
ในการค้นหารัศมีสิ่งต่อไปนี้จะมีประโยชน์: ร=(ก/2)*√3 และร=a/2 (ฉบับที่ 5) และ (ฉบับที่ 6).
คำไม่กี่คำเกี่ยวกับความสมมาตรของลูกบาศก์
ตัวเรขาคณิตนี้มีสมมาตรสองประเภท: เกี่ยวกับจุดและเกี่ยวกับแกน ในการค้นหาอันแรก คุณจะต้องวาดเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ จากนั้นอันที่สองเพื่อค้นหาจุดตัดกัน จะเป็นศูนย์กลางของความสมมาตร
เส้นทั้งหมดที่ผ่านจุดนี้และตั้งฉากกับใบหน้ากลายเป็นแกนสมมาตร
ตัวอย่างงานจากการสอบ Unified State
ใช้ในส่วน B นั่นคือส่วนที่คุณต้องดำเนินการแก้ไขปัญหาโดยละเอียดให้กับงาน คุณไม่สามารถเลือกคำตอบได้ที่นี่ ดังนั้นคุณจะต้องรู้สูตรและสามารถนำไปใช้ในสถานการณ์ต่างๆได้
งานกลุ่มแรก.ในนั้นทราบความยาวของเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ คุณต้องคำนวณปริมาตรหรือค้นหาพื้นที่ผิวของมัน
ตัวอย่างเช่น ปริมาณที่ทราบอาจเท่ากับหนึ่ง จากนั้นเพื่อหาปริมาตรและพื้นที่คุณต้องใช้สูตรหมายเลข 1 และ 3 แต่พวกเขากำลังพูดถึงขอบและได้เส้นทแยงมุม คุณจะต้องเขียนสูตรอีกหนึ่งสูตร
หากคุณดูที่รูปวาดของลูกบาศก์และเส้นทแยงมุมที่วาดอยู่ในนั้น คุณจะเห็นว่าเกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากขึ้น ขาข้างหนึ่งตรงกับขอบ ขาข้างที่สองตรงกับเส้นทแยงมุมของใบหน้า และด้านตรงข้ามมุมฉากคือเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์
จากนั้นเราสามารถเขียนทฤษฎีบทพีทาโกรัส: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก (d 2) เท่ากับกำลังสองขาแรก (a2) พับด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสของขาที่สอง (a√2) 2. หลังจากทำการแปลงแล้ว ปรากฎว่าขอบของลูกบาศก์ a เชื่อมต่อกับเส้นทแยงมุมในลักษณะที่เท่ากับ d หารด้วยรากที่สองของ 3
ตอนนี้คุณสามารถเริ่มจดจำขอบแล้วคำนวณปริมาตรและพื้นที่ได้ ในโจทย์เฉพาะ a=1/√3=(√3)/3 จากนั้นปริมาตรจะเท่ากับ (√3)/9 พื้นที่เป็นสอง
งานกลุ่มที่สองกลับกันของอันก่อนหน้าเมื่อทราบพื้นที่หรือปริมาตร แต่คุณต้องคำนวณค่าเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์
ตัวอย่างจะเป็นปัญหาที่ทราบพื้นที่ผิวและมีค่าเท่ากับ 8 จำเป็นต้องใช้สูตรหมายเลข 3 และความสัมพันธ์ที่ได้มาจากปัญหาที่แล้ว
ก่อนอื่นคุณต้องหาความยาวของขอบก่อน มีค่าเท่ากับรากที่สองของผลหารของ S ด้วย 6 หลังจากแทนค่าที่ทราบแล้ว a=√(8/6)=√(4/3) ตอนนี้ยังคงต้องคำนวณเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์โดยการยกกำลังสองตัวเลขนี้แล้วคูณด้วย 3 ผลลัพธ์คือ 2
งานกลุ่มที่สามมีข้อมูลเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของใบหน้าลูกบาศก์ พวกเขาจำเป็นต้องค้นหาปริมาตรหรือพื้นที่ของร่างกาย อาจเป็นไปได้ว่าคุณจะต้องคำนวณเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์เองด้วย ในปัญหาดังกล่าว การใช้เหตุผลเป็นไปตามแนวทางเดียวกันกับที่กล่าวไว้ในกรณีก่อนหน้านี้
ลูกบาศก์หรือที่เรียกว่า รูปทรงหกเหลี่ยม นั้นเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งแต่ละหน้ามีรูปร่างเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์เป็นกรณีพิเศษของปริซึมและทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สาขาวิชาต่างๆ ใช้ความหมายของคำนี้โดยสัมพันธ์กับคุณสมบัติที่แตกต่างกันของต้นแบบทางเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น ในการวิเคราะห์ จะใช้คิวบ์หลายมิติเชิงวิเคราะห์ ซึ่งช่วยให้คุณสามารถเปรียบเทียบข้อมูลจากตารางต่างๆ ได้
คุณสมบัติคิวบ์
- คุณสามารถใส่จัตุรมุขลงในลูกบาศก์ได้สองวิธี และจุดยอดของจัตุรมุขซึ่งมีสี่จุดจะตรงกับจุดยอดทั้งสี่ของลูกบาศก์ ขอบทั้งหกของจัตุรมุขจะอยู่ที่ด้านทั้งหกของลูกบาศก์ และจะเท่ากับเส้นทแยงมุมของหน้าสี่เหลี่ยม
- สี่ส่วนของลูกบาศก์เป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ โดยลากผ่านจุดศูนย์กลางของลูกบาศก์ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมทั้งสี่
- ทรงแปดหน้าพอดีกับลูกบาศก์ และจุดยอดทั้งหกของทรงแปดหน้าตรงกับจุดศูนย์กลางของด้านทั้งหกของทรงลูกบาศก์
- ลูกบาศก์มีขนาดพอดีกับทรงแปดหน้า โดยมีจุดยอดทั้งแปดด้านของลูกบาศก์อยู่ที่กึ่งกลางด้านทั้งแปดด้านของทรงแปดหน้า
- สามารถเขียนรูปทรงโคซาเฮดรอนลงในลูกบาศก์ได้ โดยที่ขอบทั้ง 6 ด้านที่ขนานกันของรูปทรงโคซาเฮดรอนจะวางอยู่บนด้านทั้ง 6 ของลูกบาศก์ และขอบที่เหลืออีก 24 ด้านภายในลูกบาศก์ โดยจุดยอดทั้ง 12 ด้านของรูปทรงโคซาเฮดรอนจะวางอยู่บนด้านทั้ง 6 ของลูกบาศก์ ลูกบาศก์
สูตรสำหรับลูกบาศก์
- พื้นผิวของลูกบาศก์: A = 6*a2
- ปริมาตรของลูกบาศก์: V = a3
- เส้นทแยงมุมของลูกบาศก์: d = a*√3
หรือรูปหกเหลี่ยม) เป็นรูปสามมิติ แต่ละหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งดังที่เราทราบ ทุกด้านเท่ากัน เส้นทแยงมุมของลูกบาศก์เป็นส่วนที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของรูปและเชื่อมต่อจุดยอดแบบสมมาตร รูปหกเหลี่ยมปกติมีเส้นทแยงมุม 4 เส้น และทุกเส้นจะเท่ากัน สิ่งสำคัญมากคืออย่าสับสนระหว่างเส้นทแยงมุมของรูปร่างกับเส้นทแยงมุมของขอบหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่บนฐาน เส้นทแยงมุมของหน้าลูกบาศก์ลากผ่านจุดศูนย์กลางของหน้าและเชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
สูตรหาเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์
เส้นทแยงมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติสามารถพบได้โดยใช้สูตรง่ายๆ ที่คุณต้องจำไว้ D=a√3 โดยที่ D หมายถึงเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ และเป็นเส้นขอบ ลองยกตัวอย่างปัญหาที่จำเป็นต้องค้นหาเส้นทแยงมุมหากรู้ว่าความยาวของขอบคือ 2 ซม. ทุกอย่างง่ายที่นี่ D = 2√3 คุณไม่จำเป็นต้องนับอะไรเลยด้วยซ้ำ ในตัวอย่างที่สอง ให้ขอบของลูกบาศก์เท่ากับ √3 ซม. แล้วเราจะได้ D = √3√3=√9=3 คำตอบ: D เท่ากับ 3 ซม.
สูตรการหาเส้นทแยงมุมของหน้าลูกบาศก์
แง่มุมของนัลยังสามารถพบได้โดยใช้สูตร บนใบหน้ามีเพียง 12 เส้นทแยงมุม และทั้งหมดเท่ากัน ตอนนี้ จำ d=a√2 โดยที่ d คือเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส และยังเป็นขอบของลูกบาศก์หรือด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วย มันง่ายมากที่จะเข้าใจว่าสูตรนี้มาจากไหน ท้ายที่สุดแล้วทั้งสองด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปแบบแนวทแยง ในทั้งสามนี้ เส้นทแยงมุมมีบทบาทเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก และด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นขาที่มีความยาวเท่ากัน ขอให้เราจำทฤษฎีบทพีทาโกรัส แล้วทุกอย่างจะเข้าที่ทันที ตอนนี้ภารกิจ: ขอบของรูปหกเหลี่ยมคือ √8 ซม. คุณต้องค้นหาเส้นทแยงมุมของใบหน้า เราใส่มันเข้าไปในสูตร และเราได้ d=√8 √2=√16=4 คำตอบ: เส้นทแยงมุมของหน้าลูกบาศก์คือ 4 ซม.
หากทราบเส้นทแยงมุมของหน้าลูกบาศก์
ตามเงื่อนไขของปัญหา เราจะได้เฉพาะเส้นทแยงมุมของหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งเท่ากับ √2 ซม. และเราต้องค้นหาเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ สูตรในการแก้ปัญหานี้ซับซ้อนกว่าสูตรก่อนหน้าเล็กน้อย ถ้าเรารู้ d เราก็สามารถหาขอบของลูกบาศก์ได้ตามสูตรที่สอง d=a√2 เราได้ a= d/√2= √2/√2=1ซม. (นี่คือขอบของเรา) และหากรู้ค่านี้แล้ว การหาเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ก็ไม่ใช่เรื่องยาก: D = 1√3= √3 นี่คือวิธีที่เราแก้ไขปัญหาของเรา
หากทราบพื้นที่ผิวแล้ว
อัลกอริธึมการแก้ปัญหาต่อไปนี้ขึ้นอยู่กับการค้นหาเส้นทแยงมุมตามสมมุติว่ามีค่าเท่ากับ 72 ซม. 2 ก่อนอื่น มาหาพื้นที่ของหน้าเดียวซึ่งมีทั้งหมด 6 หน้า ซึ่งหมายความว่า 72 ต้องหารด้วย 6 เราจะได้ 12 ซม. 2 นี่คือบริเวณใบหน้าเดียว หากต้องการหาขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ คุณต้องจำสูตร S=a 2 ซึ่งหมายถึง a=√S แทนค่าแล้วได้ a=√12 (ขอบของลูกบาศก์) และถ้าเรารู้ค่านี้ ก็หาเส้นทแยงมุม D= a√3= √12 √3 = √36 = 6 ได้ไม่ยาก คำตอบ: เส้นทแยงมุมของลูกบาศก์คือ 6 ซม. 2
ถ้าทราบความยาวของขอบของลูกบาศก์
มีหลายกรณีที่ปัญหาบอกแค่ความยาวของขอบทั้งหมดของลูกบาศก์เท่านั้น จากนั้นคุณต้องหารค่านี้ด้วย 12 นี่คือจำนวนด้านในรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ตัวอย่างเช่น หากผลรวมของเส้นขอบทั้งหมดคือ 40 ด้านหนึ่งจะเท่ากับ 40/12=3.333 เราใส่มันลงในสูตรแรกของเราแล้วได้คำตอบ!
คำแนะนำ
ถ้าความยาวของขอบ คิวบา(a) ทราบจากเงื่อนไขของปัญหา สูตรในการคำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมของใบหน้า (l) สามารถหาได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในลูกบาศก์ ขอบสองด้านที่อยู่ติดกันจะสร้างมุมฉาก ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมที่ประกอบขึ้นจากหน้าของมันจึงเป็นมุมฉาก ขอบในกรณีนี้คือขา และคุณจำเป็นต้องคำนวณความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ตามทฤษฎีบทที่กล่าวข้างต้น มันจะเท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของความยาว และเนื่องจากในกรณีนี้มันมีขนาดเท่ากัน คุณก็แค่คูณความยาวของขอบด้วย รากที่สองจากสอง: l = √(a²+a²) = √(2*a²) = a*√2
ผู้คนมีพัฒนาการเพิ่มขึ้นทุกวัน แต่ไม่ว่าความสำเร็จใดๆ จะเกิดขึ้นก็ตาม มนุษยชาติก็ไม่สามารถรับมือกับสภาพอากาศที่แปรปรวนต่างๆ หรือกับ ภัยพิบัติทางธรรมชาติ. ธรรมชาติมักจะเตรียมเรื่องประหลาดใจอยู่เสมอ นี่คือหิมะในแอฟริกาซึ่งผลที่ตามมาก็คือ เป็นจำนวนมากผู้ที่ตกเป็นเหยื่อ ผู้คนก็แข็งทื่อเพราะพวกเขาไม่เหมาะกับเงื่อนไขดังกล่าวเลย
นั่นคือสาเหตุที่มนุษยชาติไม่สามารถต่อสู้กับพลังแห่งธรรมชาติได้ และความปรารถนาของมันคร่าชีวิตผู้คนมากขึ้นเรื่อยๆ
จากทั้งหมดนี้ข้อสรุปดังต่อไปนี้: แน่นอนว่ามนุษยชาติจวนจะพัฒนา แต่เนื่องจากความจริงที่ว่ามันกำลังพัฒนา ความเสี่ยงที่จวนจะสูญพันธุ์ก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน ดังนั้นไม่ควรคิดว่าปัญหาต่างๆ ที่เกิดขึ้นจะต้องจัดการเมื่อเกิดขึ้น ควรคิดล่วงหน้า จะดีกว่า เพื่อป้องกันภัยพิบัติระดับโลกในอนาคต
วิดีโอในหัวข้อ
หากใบหน้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหกหน้าล้อมรอบพื้นที่ในปริมาณหนึ่ง รูปทรงเรขาคณิตของพื้นที่นี้สามารถเรียกว่าลูกบาศก์หรือหกเหลี่ยมได้ ขอบทั้งสิบสองของรูปทรงเชิงพื้นที่ดังกล่าวมีความยาวเท่ากัน ซึ่งทำให้การคำนวณพารามิเตอร์ของรูปทรงหลายเหลี่ยมง่ายขึ้นมาก ความยาวแนวทแยง คิวบา- ก็ไม่มีข้อยกเว้น สามารถพบได้ในหลายวิธี
คำแนะนำ
- ถ้าความยาวของขอบ คิวบา(a) ทราบจากเงื่อนไขของปัญหา สูตรในการคำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมของใบหน้า (l) สามารถหาได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในลูกบาศก์ ขอบสองด้านที่อยู่ติดกันจะสร้างมุมฉาก ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมที่ประกอบขึ้นจากขอบทั้งสองและเส้นทแยงมุมของหน้ากระดาษจึงเป็นมุมฉาก ขอบในกรณีนี้คือขา และคุณจำเป็นต้องคำนวณความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ตามทฤษฎีบทที่กล่าวข้างต้น มันจะเท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของความยาวของขา และเนื่องจากในกรณีนี้พวกมันมีขนาดเท่ากัน คุณก็แค่คูณความยาวของขอบด้วยรากที่สองของ สอง: l = √(a²+a²) = √(2*a²) = a*√2
- พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถแสดงเป็นความยาวของเส้นทแยงมุมและเนื่องจากแต่ละหน้าได้ คิวบามีรูปร่างแบบนี้ทุกประการการรู้พื้นที่ของใบหน้าก็เพียงพอที่จะคำนวณเส้นทแยงมุม (l) พื้นที่ผิวแต่ละด้าน คิวบาเท่ากับความยาวกำลังสองของขอบ ดังนั้นด้านของหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงสามารถเขียนเป็น √s ได้ แทนค่านี้ลงในสูตรจากขั้นตอนก่อนหน้า: l = √s*√2 = √(2*s)
- ลูกบาศก์ประกอบด้วยหน้าทั้ง 6 ด้านที่มีรูปร่างเหมือนกัน ดังนั้น หากให้พื้นที่ผิวรวม (S) ในสภาวะที่เป็นปัญหา เพื่อคำนวณเส้นทแยงมุมของหน้า (l) ก็เพียงพอแล้วที่จะเปลี่ยนสูตรของ ขั้นตอนก่อนหน้า แทนที่พื้นที่ของหน้าเดียวด้วยหนึ่งในหกของพื้นที่ทั้งหมด: l = √(2*S/6) = √(S/3)
- ความยาวซี่โครง คิวบายังสามารถแสดงผ่านปริมาตรของรูปนี้ (V) ได้ด้วย ซึ่งจะช่วยให้สูตรในการคำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมของใบหน้า (l) ตั้งแต่ขั้นตอนแรกที่จะใช้ในกรณีนี้ และทำการแก้ไขบางอย่าง ปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวเท่ากับกำลังสามของความยาวขอบ ดังนั้นแทนที่ความยาวด้านข้างของผิวหน้าในสูตรด้วยรากที่สามของปริมาตร: l = ³√V*√2
- รัศมีที่อธิบายไว้คือประมาณ คิวบาทรงกลม (R) สัมพันธ์กับความยาวของขอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับครึ่งหนึ่งของรากของสาม เขียนด้านข้างของใบหน้าผ่านรัศมีนี้และแทนที่นิพจน์ดังกล่าวเป็นสูตรเดียวกันเพื่อคำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมของใบหน้าตั้งแต่ขั้นตอนแรก: l = R*2/√3*√2 = R*√8/√ 3.
- สูตรคำนวณเส้นทแยงมุมของใบหน้า (l) โดยใช้รัศมีของทรงกลมที่เขียนไว้ในลูกบาศก์ (r) จะง่ายกว่านั้นอีก เนื่องจากรัศมีนี้มีความยาวครึ่งหนึ่งของความยาวของขอบ: l = 2*r*√2 = ร*√8.
