เราแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัย แยกตัวประกอบตัวเลขเป็นปัจจัยเฉพาะทางออนไลน์

จำนวนประกอบใดๆ สามารถแสดงเป็นผลคูณของตัวหารเฉพาะได้:

28 = 2 2 7

ทางด้านขวามือของผลลัพธ์ที่เท่ากันเรียกว่า ตัวประกอบที่สำคัญหมายเลข 15 และ 28

การแยกตัวประกอบจำนวนประกอบที่กำหนดให้เป็นตัวประกอบเฉพาะหมายถึงการแสดงจำนวนนี้เป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ

การสลายตัวของจำนวนที่กำหนดให้เป็นปัจจัยเฉพาะจะดำเนินการดังนี้:

1. ขั้นแรก คุณต้องเลือกจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดจากตารางจำนวนเฉพาะที่จะหารจำนวนประกอบที่กำหนดโดยไม่มีเศษ แล้วทำการหาร
2. ถัดไป คุณต้องเลือกจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดอีกครั้งโดยจะหารผลหารที่ได้รับแล้วโดยไม่มีเศษเหลือ
3. การกระทำที่สองจะถูกทำซ้ำจนกว่าจะได้สิ่งหนึ่งจากผลหาร

ตัวอย่าง ลองแยกตัวประกอบจำนวน 940 ให้เป็นจำนวนเฉพาะ หาจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดที่หาร 940 จำนวนนี้คือ 2:

ตอนนี้เราเลือกจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย 470 ลงตัว จำนวนนี้ก็คือ 2 อีกครั้ง:

จำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 235 ลงตัวคือ 5:

จำนวน 47 เป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งหมายความว่าจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดที่สามารถหารด้วย 47 ได้คือจำนวนนั้นเอง

ดังนั้นเราจึงได้ตัวเลข 940 ซึ่งแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเฉพาะ:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

หากการสลายตัวของตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะทำให้เกิดปัจจัยที่เหมือนกันหลายประการ เพื่อความกระชับ ก็สามารถเขียนในรูปกำลังได้:

940 = 2 2 5 47

วิธีที่สะดวกที่สุดในการเขียนการสลายตัวเป็นปัจจัยสำคัญดังนี้ อันดับแรกเราเขียนเลขประกอบนี้แล้วลากเส้นแนวตั้งไปทางขวา:

ทางด้านขวาของเส้น เราจะเขียนตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดเพื่อหารจำนวนประกอบที่กำหนด:

เราดำเนินการหารและเขียนผลหารผลลัพธ์ภายใต้เงินปันผล:

เราดำเนินการกับผลหารในลักษณะเดียวกับจำนวนประกอบที่กำหนด กล่าวคือ เราเลือกจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดที่จะหารลงตัวโดยไม่มีเศษแล้วทำการหาร และเราทำซ้ำจนกว่าเราจะได้หน่วยในผลหาร:

โปรดทราบว่าบางครั้งการแยกตัวประกอบจำนวนเป็นปัจจัยเฉพาะอาจเป็นเรื่องยาก เนื่องจากในระหว่างการแยกตัวประกอบ เราอาจพบจำนวนจำนวนมากซึ่งยากต่อการระบุทันทีว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือประกอบ และถ้ามันประกอบกัน การหาตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุดไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป

ตัวอย่างเช่น ลองแยกตัวประกอบของจำนวน 5106 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:

เมื่อถึงผลหาร 851 แล้ว เป็นการยากที่จะหาตัวหารที่เล็กที่สุดในทันที เราหันไปที่ตารางเลขเฉพาะ หากมีตัวเลขอยู่ในนั้นทำให้เราลำบากใจก็จะหารได้เพียงตัวมันเองและหนึ่งเท่านั้น หมายเลข 851 ไม่อยู่ในตารางจำนวนเฉพาะ ซึ่งหมายความว่าเป็นจำนวนประกอบ สิ่งที่เหลืออยู่คือการหารมันโดยการค้นหาตามลำดับเป็นจำนวนเฉพาะ: 3, 7, 11, 13, ... และต่อๆ ไปจนกว่าเราจะพบตัวหารเฉพาะที่เหมาะสม ด้วยกำลังดุร้าย เราพบว่า 851 หารด้วยเลข 23 ลงตัว

เกิดอะไรขึ้น การแยกตัวประกอบ?นี่เป็นวิธีเปลี่ยนตัวอย่างที่ไม่สะดวกและซับซ้อนให้กลายเป็นตัวอย่างที่เรียบง่ายและน่ารัก) เทคนิคที่ทรงพลังมาก! พบได้ในทุกขั้นตอนทั้งคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาและระดับสูง

การแปลงในภาษาคณิตศาสตร์ดังกล่าวเรียกว่าการแปลงนิพจน์ที่เหมือนกัน ส่วนใครที่ยังไม่ทราบก็เข้าไปดูตามลิงค์ครับ มีน้อยมาก เรียบง่ายและมีประโยชน์) ความหมายของการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ใดๆ คือการบันทึกการแสดงออก ในรูปแบบอื่นในขณะที่ยังคงรักษาแก่นแท้ของมันไว้

ความหมาย การแยกตัวประกอบเรียบง่ายและชัดเจนมาก ได้จากชื่อนั่นเอง คุณอาจลืม (หรือไม่รู้) ว่าตัวคูณคืออะไร แต่คุณรู้ไหมว่าคำนี้มาจากคำว่า "คูณ"?) แฟคตอริ่งหมายถึง: เป็นตัวแทนการแสดงออกในรูปแบบของการคูณบางสิ่งบางอย่างด้วยบางสิ่งบางอย่าง ขอให้คณิตศาสตร์และภาษารัสเซียยกโทษให้ฉันด้วย...) เท่านั้นเอง

ตัวอย่างเช่น คุณต้องขยายหมายเลข 12 คุณสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย:

ดังนั้นเราจึงนำเสนอตัวเลข 12 เป็นการคูณ 3 ด้วย 4 โปรดทราบว่าตัวเลขทางด้านขวา (3 และ 4) แตกต่างจากด้านซ้าย (1 และ 2) โดยสิ้นเชิง แต่เราเข้าใจดีว่า 12 และ 3 4 เดียวกัน.แก่นแท้ของเลข 12 จากการเปลี่ยนแปลง ยังไม่เปลี่ยนแปลง

เป็นไปได้ไหมที่จะสลาย 12 ที่แตกต่างกันออกไป? อย่างง่ายดาย!

12=3·4=2·6=3·2·2=0.5·24=........

ตัวเลือกการสลายตัวไม่มีที่สิ้นสุด

การแยกตัวประกอบตัวเลขเป็นสิ่งที่มีประโยชน์ ช่วยได้มาก เช่น เมื่อทำงานกับรูท แต่การแยกตัวประกอบนิพจน์พีชคณิตไม่เพียงมีประโยชน์เท่านั้น แต่ยังมีประโยชน์อีกด้วย จำเป็น!ตัวอย่างเช่น:

ลดความซับซ้อน:

ผู้ที่ไม่รู้วิธีแยกตัวประกอบการแสดงออกก็พักอยู่ข้างสนาม ผู้ที่รู้วิธี - ลดความซับซ้อนและรับ:

ผลลัพธ์ที่ได้นั้นน่าทึ่งมากใช่ไหม?) อย่างไรก็ตาม วิธีการแก้ปัญหานั้นค่อนข้างง่าย คุณจะเห็นเองด้านล่าง หรือตัวอย่างเช่น งานนี้:

แก้สมการ:

x 5 - x 4 = 0

มันถูกกำหนดไว้ในใจแล้วล่ะ การใช้การแยกตัวประกอบ เราจะแก้ตัวอย่างด้านล่างนี้ คำตอบ: x 1 = 0; x 2 = 1.

หรือสิ่งเดียวกัน แต่สำหรับคนที่อายุมากกว่า):

แก้สมการ:

ในตัวอย่างนี้ฉันแสดงให้เห็น วัตถุประสงค์หลักการแยกตัวประกอบ: ลดความซับซ้อนของนิพจน์เศษส่วนและการแก้สมการบางประเภท ฉันขอแนะนำให้คุณจำไว้ หลักการง่ายๆ:

หากมีสิ่งที่น่ากลัวอยู่ตรงหน้าเรา การแสดงออกที่เป็นเศษส่วนคุณสามารถลองแยกตัวประกอบทั้งเศษและส่วนได้ บ่อยครั้งที่เศษส่วนจะลดลงและทำให้ง่ายขึ้น

หากเรามีสมการอยู่ตรงหน้า โดยที่ทางขวาเป็นศูนย์ และทางซ้าย - ฉันไม่เข้าใจอะไร เราสามารถลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายได้ บางครั้งก็ช่วยได้)

วิธีการพื้นฐานของการแยกตัวประกอบ

นี่คือวิธีการยอดนิยม:

4. การขยายตัวของตรีโกณมิติกำลังสอง

ต้องจำวิธีการเหล่านี้ ตามลำดับนั้นเลย มีการตรวจสอบตัวอย่างที่ซับซ้อน สำหรับทุกอย่าง วิธีที่เป็นไปได้การสลายตัวและควรตรวจสอบตามลำดับจะดีกว่าเพื่อไม่ให้สับสน... เรามาเริ่มกันตามลำดับ)

1. นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

เรียบง่ายและ วิธีที่เชื่อถือได้. ไม่มีอะไรเลวร้ายมาจากเขา! มันจะดีหรือไม่เกิดขึ้นเลย) ด้วยเหตุนี้เขาจึงมาก่อน ลองคิดดูสิ

ทุกคนรู้ (ฉันเชื่อ!) กฎ:

ก(ข+ค) = ab+เอซี

หรือมากกว่า ปริทัศน์:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+โฆษณา+....

ความเท่าเทียมกันทั้งหมดทำงานทั้งจากซ้ายไปขวาและในทางกลับกันจากขวาไปซ้าย คุณสามารถเขียน:

ab+ac = ก(ข+ค)

ab+ac+โฆษณา+.... = ก(ข+ค+ดี+.....)

นั่นคือจุดรวมของการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

ด้านซ้าย ก - ตัวคูณทั่วไปสำหรับทุกเงื่อนไข คูณด้วยทุกสิ่งที่มีอยู่) ด้านขวาสุดคือ กตั้งอยู่แล้ว นอกวงเล็บ

การใช้งานจริงลองดูวิธีการโดยใช้ตัวอย่าง ในตอนแรก ตัวเลือกนั้นเรียบง่าย แม้จะเป็นแบบดั้งเดิมก็ตาม) แต่ในตัวเลือกนี้ ฉันจะสังเกต ( สีเขียว) มาก จุดสำคัญสำหรับการแยกตัวประกอบใดๆ

แยกตัวประกอบ:

อา+9x

ที่ ทั่วไปตัวคูณปรากฏในทั้งสองพจน์หรือไม่? เอ็กซ์ แน่นอน! เราจะเอามันออกจากวงเล็บ ลงมือทำกันเถอะ. เราจะเขียน X นอกวงเล็บทันที:

ขวาน+9x=x(

และในวงเล็บเราเขียนผลลัพธ์ของการหาร แต่ละเทอมบน X นี้เอง ตามลำดับ:

นั่นคือทั้งหมดที่ แน่นอนว่าไม่จำเป็นต้องบรรยายให้ละเอียดขนาดนี้ก็ทำที่ใจแล้ว แต่ขอแนะนำให้เข้าใจว่าอะไรคืออะไร) เราบันทึกไว้ในความทรงจำ:

เราเขียนตัวประกอบร่วมไว้นอกวงเล็บ ในวงเล็บเราเขียนผลลัพธ์ของการหารพจน์ทั้งหมดด้วยตัวประกอบร่วมนี้ ตามลำดับ

ดังนั้นเราจึงได้ขยายการแสดงออก อา+9xโดยตัวคูณ เปลี่ยนมันเป็นการคูณ x ด้วย (ก+9).ฉันสังเกตว่าในนิพจน์ดั้งเดิมมีการคูณด้วยซ้ำด้วยซ้ำ: a·x และ 9·xแต่มัน ไม่ได้แยกตัวประกอบ!เพราะนอกจากการคูณแล้ว สำนวนนี้ยังมีการบวกเครื่องหมาย “+” ด้วย! และในการแสดงออก x(ก+9) ไม่มีอะไรนอกจากการคูณ!

ยังไงล่ะ!? - ฉันได้ยินเสียงไม่พอใจของผู้คน - และในวงเล็บ!?)

ใช่ มีการบวกอยู่ในวงเล็บ แต่เคล็ดลับคือถึงแม้วงเล็บจะไม่เปิด เราก็พิจารณาด้วย เหมือนจดหมายฉบับหนึ่งและเราดำเนินการทั้งหมดด้วยวงเล็บทั้งหมด เช่นเดียวกับจดหมายฉบับหนึ่งในความหมายนี้ในการแสดงออก x(ก+9)ไม่มีอะไรนอกจากการคูณ นี่คือจุดรวมของการแยกตัวประกอบ

เป็นไปได้ไหมที่จะตรวจสอบว่าเราทำทุกอย่างถูกต้องหรือไม่? อย่างง่ายดาย! การคูณสิ่งที่คุณใส่ (x) กลับเข้าไปในวงเล็บแล้วดูว่าได้ผลหรือไม่ ต้นฉบับการแสดงออก? ถ้าได้ผล ทุกอย่างจะดีมาก!)

x(a+9)=ขวาน+9x

เกิดขึ้น.)

ไม่มีปัญหาในตัวอย่างนี้ แต่ถ้ามีหลายเทอมและถึงแม้จะมีสัญญาณต่างกัน... พูดง่ายๆ ก็คือ นักเรียนคนที่สามทุกคนจะวุ่นวายกัน) ดังนั้น:

หากจำเป็น ให้ตรวจสอบการแยกตัวประกอบด้วยการคูณผกผัน

แยกตัวประกอบ:

3ax+9x

เรากำลังมองหาปัจจัยร่วม ทุกอย่างชัดเจนด้วย X ก็เอาออกได้ มีอีกไหม ทั่วไปปัจจัย? ใช่! นี่คือสาม คุณสามารถเขียนนิพจน์ได้ดังนี้:

3ax+3 3x

เป็นที่ชัดเจนว่าปัจจัยร่วมจะเป็นเช่นนี้ 3x. ที่นี่เรานำมันออกมา:

3ax+3 3x=3x(a+3)

กระจายออกไป.

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณเอามันออกไป แค่ x?ไม่มีอะไรพิเศษ:

3ax+9x=x(3a+9)

นี่จะเป็นการแยกตัวประกอบด้วย แต่ในกระบวนการอันน่าทึ่งนี้ เป็นเรื่องปกติที่จะจัดวางทุกอย่างให้อยู่ในขอบเขตจำกัดในขณะที่ยังมีโอกาสอยู่ ในวงเล็บมีโอกาสที่จะเอาสามออกมา มันจะเปิดออก:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

สิ่งเดียวกันมีเพียงหนึ่งการกระทำพิเศษเท่านั้น) ข้อควรจำ:

เมื่อนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ เราก็พยายามนำตัวประกอบร่วมออก ขีดสุดปัจจัยทั่วไป

เรามาสนุกกันต่อไหม?)

แยกตัวประกอบนิพจน์:

3akh+9х-8а-24

เราจะเอาอะไรไป? สามเอ็กซ์? ไม่... คุณทำไม่ได้ ฉันเตือนคุณว่าคุณสามารถเอาออกเท่านั้น ทั่วไปตัวคูณนั่นคือ ทั้งหมดเงื่อนไขของการแสดงออก นั่นเป็นเหตุผลที่เขา ทั่วไป.ที่นี่ไม่มีตัวคูณแบบนี้... อะไรนะ ไม่ต้องขยายมันหรอก!? ใช่แล้ว พวกเรามีความสุขมาก... พบกับ:

2. การจัดกลุ่ม

ที่จริงแล้ว การจัดกลุ่มแทบจะเรียกได้ว่าเป็นวิธีแยกตัวประกอบแบบอิสระไม่ได้ มันเป็นวิธีที่จะออกไปมากกว่า ตัวอย่างที่ซับซ้อน.) เราจำเป็นต้องจัดกลุ่มคำศัพท์เพื่อให้ทุกอย่างได้ผล สิ่งนี้สามารถแสดงได้เฉพาะตัวอย่างเท่านั้น ดังนั้นเราจึงมีนิพจน์:

3akh+9х-8а-24

จะเห็นได้ว่ามีตัวอักษรและตัวเลขอยู่บ้าง แต่... ทั่วไปไม่มีตัวคูณที่จะเป็นในทุกเงื่อนไข อย่าเสียหัวใจและ แบ่งการแสดงออกออกเป็นชิ้น ๆการจัดกลุ่ม เพื่อให้แต่ละชิ้นมีปัจจัยร่วมกันจึงมีบางอย่างที่ต้องเอาไป เราจะทำลายมันได้อย่างไร? ใช่ เราแค่ใส่วงเล็บ.

ฉันขอเตือนคุณว่าสามารถวางวงเล็บได้ทุกที่และตามที่คุณต้องการ เพียงสาระสำคัญของตัวอย่าง ยังไม่เปลี่ยนแปลงตัวอย่างเช่น คุณสามารถทำได้:

3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

โปรดใส่ใจกับวงเล็บที่สอง! นำหน้าด้วยเครื่องหมายลบ และ 8กและ 24 กลับเป็นบวก! หากจะตรวจสอบ หากเราเปิดวงเล็บกลับ สัญญาณจะเปลี่ยน และเราก็จะได้ ต้นฉบับการแสดงออก. เหล่านั้น. สาระสำคัญของการแสดงออกจากวงเล็บไม่เปลี่ยนแปลง

แต่ถ้าคุณใส่วงเล็บโดยไม่ได้คำนึงถึงการเปลี่ยนเครื่องหมาย เช่น:

3akh+9х-8а-24=(3แอก+9x) -(8a-24 )

มันจะเป็นความผิดพลาด ทางด้านขวา - แล้ว อื่นการแสดงออก. เปิดวงเล็บแล้วทุกอย่างจะมองเห็นได้ ไม่ต้องตัดสินใจอะไรเพิ่มเติมแล้วใช่...)

แต่ลองกลับไปที่การแยกตัวประกอบกัน มาดูวงเล็บแรกกัน (3แอก+9x)และเราคิดว่ามีอะไรที่เราสามารถนำออกไปได้หรือไม่? เราได้แก้ตัวอย่างนี้ด้านบนแล้ว เรารับได้ 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

ลองศึกษาวงเล็บที่สอง เราสามารถบวกแปดตรงนั้นได้:

(8a+24)=8(a+3)

การแสดงออกทั้งหมดของเราจะเป็น:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

แยกตัวประกอบ? เลขที่ ผลของการย่อยสลายควรจะเป็น การคูณเท่านั้นแต่สำหรับเราแล้ว เครื่องหมายลบจะทำลายทุกสิ่ง แต่... ทั้งสองคำมีปัจจัยร่วมกัน! นี้ (ก+3). ไม่ใช่เพื่ออะไรที่ฉันบอกว่าวงเล็บทั้งหมดเป็นตัวอักษรตัวเดียว ซึ่งหมายความว่าสามารถถอดวงเล็บเหล่านี้ออกจากวงเล็บได้ ใช่แล้ว นั่นคือสิ่งที่ดูเหมือน)

เราทำตามที่อธิบายไว้ข้างต้น เราเขียนตัวประกอบร่วม (ก+3)ในวงเล็บที่สองเราเขียนผลลัพธ์ของการหารเงื่อนไขด้วย (ก+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

ทั้งหมด! ไม่มีอะไรอยู่ทางขวานอกจากการคูณ! ซึ่งหมายความว่าการแยกตัวประกอบเสร็จสมบูรณ์แล้ว!) นี่คือ:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

ให้เราทบทวนสาระสำคัญของกลุ่มโดยย่อ

หากการแสดงออกไม่ ทั่วไปตัวคูณสำหรับ ทุกคนเราจะแบ่งนิพจน์ออกเป็นวงเล็บเพื่อให้ปัจจัยร่วมภายในวงเล็บ เคยเป็น.เรานำมันออกมาและดูว่าเกิดอะไรขึ้น หากคุณโชคดีและมีสำนวนที่เหมือนกันทุกประการเหลืออยู่ในวงเล็บ เราจะย้ายเครื่องหมายวงเล็บเหล่านี้ออกจากวงเล็บ

ฉันจะเสริมว่าการจัดกลุ่มเป็นกระบวนการที่สร้างสรรค์) มันไม่ได้ผลในครั้งแรกเสมอไป ไม่เป็นไร. บางครั้งต้องสลับเงื่อนไขและพิจารณา ตัวแปรที่แตกต่างกันกลุ่มจนพบความสำเร็จ สิ่งสำคัญที่นี่คืออย่าเสียหัวใจ!)

ตัวอย่าง.

ตอนนี้เมื่อเพิ่มพูนความรู้ให้กับตัวเองแล้ว คุณสามารถแก้ตัวอย่างที่ยุ่งยากได้) ในตอนต้นของบทเรียนมีสามสิ่งนี้...

ลดความซับซ้อน:

โดยพื้นฐานแล้วเราได้แก้ไขตัวอย่างนี้แล้ว โดยที่เราไม่รู้ตัว) ฉันเตือนคุณว่า หากเราได้รับเศษส่วนแย่มาก เราจะพยายามแยกตัวเศษและส่วน ตัวเลือกการทำให้เข้าใจง่ายอื่น ๆ เพียงแค่ไม่มี

ตัวส่วนตรงนี้ไม่ได้ขยาย แต่ตัวเศษ... เราได้ขยายตัวเศษแล้วในระหว่างบทเรียน! แบบนี้:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

เราเขียนผลลัพธ์ของการขยายตัวเป็นตัวเศษของเศษส่วน:

ตามกฎของการลดเศษส่วน (คุณสมบัติหลักของเศษส่วน) เราสามารถหาร (ในเวลาเดียวกัน!) ตัวเศษและส่วนด้วยจำนวนหรือนิพจน์เดียวกันได้ เศษส่วนจากสิ่งนี้ ไม่เปลี่ยนแปลงเราก็หารทั้งเศษและส่วนด้วยพจน์ (3x-8). และที่นี่และที่นั่นเราจะได้รับสิ่งเหล่านั้น ผลลัพธ์สุดท้ายของการทำให้เข้าใจง่าย:

ฉันอยากจะเน้นเป็นพิเศษ: การลดเศษส่วนนั้นเป็นไปได้ก็ต่อเมื่ออยู่ในตัวเศษและตัวส่วนเท่านั้น นอกเหนือจากการคูณนิพจน์ ไม่มีอะไร.นั่นคือสาเหตุที่การแปลงผลรวม (ส่วนต่าง) เป็น การคูณสำคัญมากสำหรับการลดความซับซ้อน แน่นอนว่าหากแสดงออกทางสำนวน แตกต่าง,แล้วไม่มีอะไรจะลดลง มันจะเกิดขึ้น. แต่การแยกตัวประกอบ ให้โอกาสโอกาสที่ปราศจากการสลายตัวไม่ได้อยู่ที่นั่น

ตัวอย่างที่มีสมการ:

แก้สมการ:

x 5 - x 4 = 0

เรานำปัจจัยร่วมออกมา x4ออกจากวงเล็บ เราได้รับ:

x 4 (x-1)=0

เราตระหนักว่าผลคูณของปัจจัยมีค่าเท่ากับศูนย์ จากนั้นและเมื่อนั้นเท่านั้นเมื่ออันใดอันหนึ่งเป็นศูนย์ หากมีข้อสงสัย ให้หาจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์สองสามจำนวนซึ่งเมื่อคูณแล้วจะได้ศูนย์) ดังนั้นเราจึงเขียนปัจจัยแรกก่อน:

ด้วยความเท่าเทียมกัน ปัจจัยที่สองจึงไม่เกี่ยวข้องกับเรา ใครๆ ก็เป็นได้ แต่สุดท้ายก็ยังเป็นศูนย์ ศูนย์ให้เลขยกกำลังสี่เป็นจำนวนเท่าใด ศูนย์เท่านั้น! และไม่มีอย่างอื่น... ดังนั้น:

เราหาปัจจัยแรกแล้วพบหนึ่งราก ลองดูที่ปัจจัยที่สอง ตอนนี้เราไม่สนใจปัจจัยแรกอีกต่อไป):

ที่นี่เราพบวิธีแก้ปัญหา: x 1 = 0; x 2 = 1. รากใดๆ เหล่านี้ตรงกับสมการของเรา

หมายเหตุที่สำคัญมาก โปรดทราบว่าเราได้แก้สมการแล้ว ชิ้นต่อชิ้น!แต่ละปัจจัยมีค่าเท่ากับศูนย์ โดยไม่คำนึงถึงปัจจัยอื่น ๆยังไงก็ตามถ้าในสมการนี้ไม่มีปัจจัยสองอย่างเหมือนของเรา แต่มีสามห้าเท่าที่คุณต้องการเราจะแก้ คล้ายกัน.ชิ้นต่อชิ้น. ตัวอย่างเช่น:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

ใครก็ตามที่เปิดวงเล็บแล้วคูณทุกอย่างจะติดอยู่ในสมการนี้ตลอดไป) นักเรียนที่ถูกต้องจะมองเห็นทันทีว่าไม่มีอะไรอยู่ทางด้านซ้ายนอกจากการคูณ และมีศูนย์ทางด้านขวา และเขาจะเริ่มต้น (ในใจ!) เพื่อจัดวงเล็บทั้งหมดให้เป็นศูนย์ และเขาจะได้รับวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้อง (ใน 10 วินาที!): x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

เจ๋งเลยใช่ไหม?) วิธีแก้ปัญหาที่สวยงามเช่นนี้เป็นไปได้หากทางด้านซ้ายของสมการ แยกตัวประกอบมีคำใบ้ไหม?)

ตัวอย่างสุดท้ายสำหรับผู้เฒ่า):

แก้สมการ:

มันค่อนข้างคล้ายกับอันที่แล้วคุณว่าไหม?) แน่นอน ถึงเวลาที่ต้องจำไว้ว่าในพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ไซน์ ลอการิทึม และอื่นๆ สามารถซ่อนอยู่ใต้ตัวอักษรได้! การแยกตัวประกอบทำงานตลอดทั้งวิชาคณิตศาสตร์

เรานำปัจจัยร่วมออกมา แอลจี 4 xออกจากวงเล็บ เราได้รับ:

บันทึก 4 x=0

นี่คือหนึ่งราก ลองดูที่ปัจจัยที่สอง

นี่คือคำตอบสุดท้าย: x 1 = 1; x 2 = 10.

ฉันหวังว่าคุณจะตระหนักถึงพลังของการแยกตัวประกอบในการทำให้เศษส่วนง่ายขึ้นและการแก้สมการ)

ในบทเรียนนี้ เราได้เรียนรู้เกี่ยวกับการแยกตัวประกอบและการจัดกลุ่มทั่วไป ยังคงต้องเข้าใจสูตรสำหรับการคูณแบบย่อและตรีโกณมิติกำลังสอง

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ในบทความนี้คุณจะพบข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดเพื่อตอบคำถาม วิธีแยกจำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ. ให้ครั้งแรก ความคิดทั่วไปเกี่ยวกับการสลายตัวของตัวเลขให้เป็นปัจจัยเฉพาะ จะมีการให้ตัวอย่างการสลายตัวไว้ ข้อมูลต่อไปนี้แสดงรูปแบบมาตรฐานของการแบ่งจำนวนตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ หลังจากนี้ จะมีการกำหนดอัลกอริทึมสำหรับการแยกย่อยตัวเลขตามใจชอบให้เป็นปัจจัยเฉพาะ และให้ตัวอย่างการแยกย่อยตัวเลขโดยใช้อัลกอริทึมนี้ นอกจากนี้ ยังมีการพิจารณาวิธีอื่นที่ช่วยให้คุณสามารถแยกตัวประกอบจำนวนเต็มขนาดเล็กให้เป็นตัวประกอบเฉพาะได้อย่างรวดเร็วโดยใช้การทดสอบการหารลงตัวและตารางสูตรคูณ

การนำทางหน้า

การแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะหมายความว่าอย่างไร?

ก่อนอื่น เรามาดูกันว่าปัจจัยสำคัญคืออะไร

เห็นได้ชัดว่าเนื่องจากมีคำว่า "ปัจจัย" ในวลีนี้ จึงมีผลคูณของตัวเลขจำนวนหนึ่ง และคำว่า "ง่าย" ที่เข้าเกณฑ์หมายความว่าแต่ละปัจจัยเป็นจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างเช่น ในผลคูณของรูปแบบ 2·7·7·23 มีตัวประกอบเฉพาะสี่ตัว: 2, 7, 7 และ 23

การแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะหมายความว่าอย่างไร?

ซึ่งหมายความว่าตัวเลขนี้จะต้องแสดงเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ และมูลค่าของผลิตภัณฑ์นี้จะต้องเท่ากับตัวเลขเดิม ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาผลคูณของจำนวนเฉพาะสามจำนวน 2, 3 และ 5 ซึ่งมีค่าเท่ากับ 30 ดังนั้นการสลายตัวของจำนวน 30 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะคือ 2·3·5 โดยปกติแล้ว การสลายตัวของตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะจะเขียนเป็นความเท่าเทียมกัน ในตัวอย่างของเรา มันจะเป็นดังนี้: 30=2·3·5 เราเน้นแยกกันว่าปัจจัยสำคัญในการขยายสามารถทำซ้ำได้ ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจน: 144=2·2·2·2·3·3 แต่การแทนค่าในรูปแบบ 45=3·15 ไม่ใช่การสลายตัวของตัวประกอบเฉพาะ เนื่องจากเลข 15 นั้นเป็นจำนวนประกอบ

คำถามต่อไปนี้เกิดขึ้น: “ตัวเลขใดที่สามารถแยกย่อยเป็นตัวประกอบเฉพาะได้”

ในการค้นหาคำตอบ เราขอเสนอเหตุผลดังต่อไปนี้ จำนวนเฉพาะตามคำนิยาม อยู่ในกลุ่มจำนวนที่มากกว่าหนึ่ง เมื่อพิจารณาข้อเท็จจริงนี้ และ อาจโต้แย้งได้ว่าผลคูณของตัวประกอบเฉพาะหลายตัวเป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ดังนั้น การแยกตัวประกอบให้เป็นตัวประกอบเฉพาะจะเกิดขึ้นเฉพาะกับจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 เท่านั้น

แต่จำนวนเต็มทั้งหมดที่มากกว่า 1 สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะได้หรือไม่?

เห็นได้ชัดเจนว่าไม่สามารถแยกตัวประกอบจำนวนเต็มเชิงเดี่ยวให้เป็นตัวประกอบเฉพาะได้ เนื่องจากจำนวนเฉพาะมีตัวประกอบบวกเพียงสองตัวเท่านั้น - ตัวหนึ่งและตัวมันเอง ดังนั้นจึงไม่สามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะสองตัวขึ้นไปได้ ถ้าจำนวนเต็ม z สามารถแทนเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ a และ b ได้ แนวคิดเรื่องการหารลงตัวจะทำให้เราสรุปได้ว่า z หารด้วยทั้ง a และ b ลงตัว ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจากความเรียบง่ายของจำนวน z อย่างไรก็ตาม พวกเขาเชื่อว่าจำนวนเฉพาะใดๆ ก็คือการสลายตัวนั่นเอง

แล้วจำนวนประกอบล่ะ? จำนวนประกอบจะสลายตัวไปเป็นตัวประกอบเฉพาะ และจำนวนประกอบทั้งหมดมีการสลายตัวเช่นนั้นหรือไม่ ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตให้คำตอบที่ยืนยันกับคำถามจำนวนหนึ่งเหล่านี้ ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตระบุว่าจำนวนเต็ม a ใดๆ ที่มากกว่า 1 สามารถสลายตัวเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ p 1, p 2, ..., p n และการสลายตัวจะมีรูปแบบ a = p 1 · p 2 · … · p n และการขยายตัวนี้จะไม่ซ้ำกัน ถ้าคุณไม่คำนึงถึงลำดับของปัจจัย

การแยกตัวประกอบมาตรฐานของจำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

ในการขยายจำนวน ตัวประกอบเฉพาะสามารถทำซ้ำได้ การทำซ้ำตัวประกอบเฉพาะสามารถเขียนให้กระชับยิ่งขึ้นได้โดยใช้ ปล่อยให้ในการสลายตัวของตัวเลข ตัวประกอบเฉพาะ p 1 เกิดขึ้น s 1 ครั้ง ตัวประกอบเฉพาะ p 2 – s 2 ครั้ง และต่อไปเรื่อยๆ p n – s n คูณ จากนั้นการแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวน a สามารถเขียนได้เป็น a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. การบันทึกรูปแบบนี้เรียกว่า การแยกตัวประกอบมาตรฐานของจำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.

ขอให้เรายกตัวอย่างการแบ่งแยกตามบัญญัติของตัวเลขให้เป็นปัจจัยเฉพาะ แจ้งให้เราทราบถึงการสลายตัว 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11สัญกรณ์ตามรูปแบบบัญญัติมีรูปแบบ 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

การแยกตัวประกอบตัวเลขตามรูปแบบบัญญัติให้เป็นตัวประกอบเฉพาะจะทำให้คุณสามารถค้นหาตัวหารทั้งหมดของตัวเลขและจำนวนตัวหารของตัวเลขได้

อัลกอริทึมในการแยกตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

เพื่อที่จะรับมือกับงานแยกย่อยตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะได้สำเร็จ คุณต้องมีความรู้เป็นอย่างดีเกี่ยวกับข้อมูลในบทความเรื่องจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ

สาระสำคัญของกระบวนการสลายจำนวนเต็มบวก a ที่เกินกว่าหนึ่งนั้นชัดเจนจากการพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต ประเด็นคือการหาตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดตามลำดับ p 1, p 2, ..., p n ของตัวเลข a, a 1, a 2, ..., n-1 ซึ่งช่วยให้เราได้ชุดค่าที่เท่ากัน a=p 1 ·a 1 โดยที่ a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 โดยที่ a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n โดยที่ a n =a n-1:p n เมื่อปรากฎว่า n =1 ความเท่าเทียมกัน a=p 1 ·p 2 ·…·p n จะทำให้เราได้การสลายตัวของจำนวน a ให้เป็นปัจจัยเฉพาะที่ต้องการ ก็ควรสังเกตไว้ตรงนี้ด้วยว่า หน้า 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

ยังคงต้องหาวิธีค้นหาตัวประกอบเฉพาะที่เล็กที่สุดในแต่ละขั้นตอน และเราจะมีอัลกอริทึมในการแยกตัวเลขออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ ตารางจำนวนเฉพาะจะช่วยเราค้นหาตัวประกอบเฉพาะ ให้เราแสดงวิธีใช้เพื่อหาตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุดของจำนวน z

เรานำจำนวนเฉพาะจากตารางจำนวนเฉพาะ (2, 3, 5, 7, 11 เป็นต้น) ตามลำดับ แล้วหารตัวเลขที่กำหนด z ด้วยตัวเลขเหล่านี้ จำนวนเฉพาะตัวแรกที่ z หารเท่ากันจะเป็นตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุด ถ้าเลข z เป็นจำนวนเฉพาะ ตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของมันจะเป็นตัวเลข z เอง ควรระลึกไว้ตรงนี้ว่า ถ้า z ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดก็จะไม่เกินจำนวน โดยที่มาจาก z ดังนั้น หากในบรรดาจำนวนเฉพาะที่ไม่เกิน ไม่มีตัวหารของจำนวน z แม้แต่ตัวเดียว เราก็สรุปได้ว่า z เป็นจำนวนเฉพาะ (ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้เขียนไว้ในส่วนทฤษฎีใต้หัวข้อ จำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ ).

ตัวอย่าง เราจะแสดงวิธีหาตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของจำนวน 87 เรามาเอาเลข 2 กันดีกว่า หาร 87 ด้วย 2 จะได้ 87:2=43 (เหลือ 1) (หากจำเป็น ดูบทความ) นั่นคือ เมื่อหาร 87 ด้วย 2 เศษคือ 1 ดังนั้น 2 จึงไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 87 เรานำจำนวนเฉพาะตัวถัดไปจากตารางจำนวนเฉพาะ นี่คือเลข 3 หาร 87 ด้วย 3 เราจะได้ 87:3=29 ดังนั้น 87 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น เลข 3 จึงเป็นตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของเลข 87

โปรดทราบว่าในกรณีทั่วไป หากต้องการแยกจำนวน a ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ เราจำเป็นต้องมีตารางจำนวนเฉพาะที่มีจำนวนไม่ต่ำกว่า เราจะต้องอ้างอิงตารางนี้ในทุกขั้นตอน ดังนั้นเราจึงต้องมีตารางนี้อยู่ใกล้มือ ตัวอย่างเช่น หากต้องการแยกตัวประกอบจำนวน 95 ให้เป็นจำนวนเฉพาะ เราจำเป็นต้องมีเพียงตารางจำนวนเฉพาะที่มีค่าไม่เกิน 10 เท่านั้น (เนื่องจาก 10 มากกว่า ) และในการแยกย่อยเลข 846,653 คุณจะต้องมีตารางจำนวนเฉพาะมากถึง 1,000 อยู่แล้ว (เนื่องจาก 1,000 มากกว่า )

ขณะนี้เรามีข้อมูลเพียงพอที่จะจดบันทึกแล้ว อัลกอริทึมสำหรับการแยกตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ. อัลกอริทึมสำหรับการสลายตัวของตัวเลข a มีดังนี้:

• เมื่อเรียงลำดับตัวเลขจากตารางจำนวนเฉพาะตามลำดับ เราจะพบตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุด p 1 ของจำนวน a หลังจากนั้นเราจะคำนวณ 1 =a:p 1 ถ้า 1 = 1 แสดงว่าจำนวน a เป็นจำนวนเฉพาะ และตัวมันเองก็คือการสลายตัวของตัวมันเองให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ หาก 1 ไม่เท่ากับ 1 เราจะได้ a=p 1 ·a 1 และไปยังขั้นตอนถัดไป
• เราค้นหาตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุด p 2 ของตัวเลข a 1 โดยเราจะเรียงลำดับตัวเลขจากตารางจำนวนเฉพาะตามลำดับ โดยเริ่มจาก p 1 แล้วคำนวณ a 2 =a 1:p 2 ถ้า 2 =1 ดังนั้น การสลายตัวที่ต้องการของจำนวน a ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะจะมีรูปแบบ a=p 1 ·p 2 หาก 2 ไม่เท่ากับ 1 เราจะได้ a=p 1 ·p 2 ·a 2 และไปยังขั้นตอนถัดไป
• เมื่อพิจารณาตัวเลขจากตารางจำนวนเฉพาะ เริ่มต้นด้วย p 2 เราจะพบตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุด p 3 ของจำนวน a 2 หลังจากนั้นเราจะคำนวณ 3 =a 2:p 3 ถ้า 3 =1 การสลายตัวที่ต้องการของจำนวน a ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะจะมีรูปแบบ a=p 1 ·p 2 ·p 3 หาก 3 ไม่เท่ากับ 1 เราจะได้ a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 และไปยังขั้นตอนถัดไป
• เราค้นหาตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุด p n ของจำนวน a n-1 โดยการเรียงลำดับตามจำนวนเฉพาะ โดยเริ่มจาก p n-1 เช่นเดียวกับ a n =a n-1:p n และ a n เท่ากับ 1 ขั้นตอนนี้เป็นขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริธึม ในที่นี้ เราจะได้การสลายตัวของจำนวน a ให้เป็นปัจจัยเฉพาะ: a=p 1 ·p 2 ·…·p n

เพื่อความชัดเจน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้รับในแต่ละขั้นตอนของอัลกอริธึมในการแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะจะแสดงในรูปแบบของตารางต่อไปนี้ โดยที่ตัวเลข a, 1, 2, ..., n จะถูกเขียนตามลำดับ ในคอลัมน์ทางด้านซ้ายของเส้นแนวตั้งและทางด้านขวาของเส้น - ตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุดที่สอดคล้องกัน p 1, p 2, ..., p n

สิ่งที่เหลืออยู่คือการพิจารณาตัวอย่างบางส่วนของการประยุกต์ใช้อัลกอริธึมผลลัพธ์สำหรับการแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ

ตัวอย่างการแยกตัวประกอบเฉพาะ

ตอนนี้เราจะดูรายละเอียด ตัวอย่างการแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ. เมื่อแยกย่อยเราจะใช้อัลกอริธึมจากย่อหน้าก่อนหน้า เริ่มจากกรณีง่าย ๆ แล้วค่อย ๆ ทำให้ซับซ้อนขึ้นเพื่อพบกับความแตกต่างที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เกิดขึ้นเมื่อแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ

ตัวอย่าง.

แยกตัวประกอบของจำนวน 78 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.

สารละลาย.

เราเริ่มค้นหาตัวหารเฉพาะตัวแรกที่เล็กที่สุด p 1 ของจำนวน a=78 เพื่อทำเช่นนี้ เราเริ่มเรียงลำดับจำนวนเฉพาะจากตารางจำนวนเฉพาะตามลำดับ เราเอาเลข 2 มาหาร 78 จะได้ 78:2=39 จำนวน 78 หารด้วย 2 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น p 1 =2 จึงเป็นตัวหารเฉพาะตัวแรกที่พบของจำนวน 78 ในกรณีนี้ 1 =a:p 1 =78:2=39 เราจึงได้ความเท่าเทียมกัน a=p 1 ·a 1 โดยมีรูปแบบ 78=2·39 แน่นอนว่า 1 =39 แตกต่างจาก 1 ดังนั้นเราจึงไปยังขั้นตอนที่สองของอัลกอริทึม

ตอนนี้เรากำลังมองหาตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุด p 2 ของจำนวน a 1 =39 เราเริ่มแจกแจงตัวเลขจากตารางจำนวนเฉพาะ โดยเริ่มจาก p 1 = 2 หาร 39 ด้วย 2 เราจะได้ 39:2=19 (เหลือ 1) เนื่องจาก 39 หารด้วย 2 ไม่เท่ากัน ดังนั้น 2 จึงไม่ใช่ตัวหาร จากนั้นเรานำตัวเลขถัดไปจากตารางจำนวนเฉพาะ (หมายเลข 3) มาหาร 39 ด้วยจะได้ 39:3=13 ดังนั้น p 2 =3 จึงเป็นตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของจำนวน 39 ในขณะที่ 2 =a 1:p 2 =39:3=13 เรามีความเท่าเทียมกัน a=p 1 ·p 2 ·a 2 ในรูปแบบ 78=2·3·13 เนื่องจาก 2 =13 แตกต่างจาก 1 เราจึงไปยังขั้นตอนถัดไปของอัลกอริทึม

ตรงนี้เราต้องหาตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของจำนวน a 2 =13 ในการค้นหาตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุด p 3 ของจำนวน 13 เราจะเรียงลำดับตัวเลขจากตารางจำนวนเฉพาะตามลำดับ โดยเริ่มจาก p 2 = 3 จำนวน 13 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว เนื่องจาก 13:3=4 (ส่วนที่เหลือ 1) และ 13 ก็หารด้วย 5, 7 และ 11 ไม่ลงตัว เนื่องจาก 13:5=2 (ส่วนที่เหลือ 3), 13:7=1 (พัก 6) และ 13:11=1 (พัก 2) จำนวนเฉพาะตัวถัดไปคือ 13 และ 13 หารลงตัวโดยไม่มีเศษ ดังนั้น p 3 ที่น้อยที่สุดของ 13 คือตัวมันเอง และ 3 =a 2:p 3 =13:13=1 เนื่องจาก 3 =1 ขั้นตอนของอัลกอริทึมนี้จึงเป็นขั้นตอนสุดท้าย และการแยกย่อยที่จำเป็นของจำนวน 78 ให้เป็นปัจจัยเฉพาะจะมีรูปแบบ 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 )

คำตอบ:

78=2·3·13.

ตัวอย่าง.

แสดงตัวเลข 83,006 เป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ

สารละลาย.

ในขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมในการแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ เราจะพบ p 1 =2 และ 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503 โดยที่ 83,006=2·41,503

ในขั้นตอนที่สอง เราพบว่า 2, 3 และ 5 ไม่ใช่ตัวหารเฉพาะของจำนวน a 1 =41,503 แต่จำนวน 7 นั้นเป็น เนื่องจาก 41,503:7=5,929 เรามี p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929 ดังนั้น 83,006=2 7 5 929.

ตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของจำนวน a 2 = 5 929 คือหมายเลข 7 เนื่องจาก 5 929:7 = 847 ดังนั้น p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847 โดยที่ 83 006 = 2·7·7·847

ต่อไปเราจะพบว่าตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุด p 4 ของจำนวน a 3 =847 เท่ากับ 7 จากนั้น 4 =a 3:p 4 =847:7=121 ดังนั้น 83 006=2·7·7·7·121

ตอนนี้เราพบตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของจำนวน a 4 =121 มันคือจำนวน p 5 =11 (เนื่องจาก 121 หารด้วย 11 ลงตัวและหารด้วย 7 ไม่ลงตัว) จากนั้น 5 =a 4:p 5 =121:11=11 และ 83 006=2·7·7·7·11·11

สุดท้าย ตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของจำนวน a 5 =11 ก็คือจำนวน p 6 =11 จากนั้น 6 =a 5:p 6 =11:11=1 เนื่องจาก 6 =1 ขั้นตอนของอัลกอริธึมในการแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะจึงเป็นขั้นตอนสุดท้าย และการสลายตัวที่ต้องการจะมีรูปแบบ 83 006 = 2·7·7·7·11·11

ผลลัพธ์ที่ได้สามารถเขียนเป็นการสลายตัวตามบัญญัติของจำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ 83 006 = 2·7 3 ·11 2

คำตอบ:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 เป็นจำนวนเฉพาะ จริงๆ แล้ว มันไม่มีตัวหารเฉพาะตัวเดียวที่ไม่เกิน ( สามารถประมาณได้ประมาณว่า เนื่องจากเห็นได้ชัดว่า 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

คำตอบ:

897 924 289 = 937 967 991 .

การใช้การทดสอบการหารลงตัวสำหรับการแยกตัวประกอบเฉพาะ

ในกรณีง่ายๆ คุณสามารถแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะได้โดยไม่ต้องใช้อัลกอริธึมการแยกย่อยจากย่อหน้าแรกของบทความนี้ ถ้าตัวเลขไม่มาก เมื่อจะแยกย่อยเป็นตัวประกอบเฉพาะ ก็มักจะเพียงพอที่จะทราบสัญญาณของการหารลงตัว ลองยกตัวอย่างเพื่อความกระจ่าง

เช่น เราต้องแยกตัวประกอบเลข 10 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ จากตารางสูตรคูณ เรารู้ว่า 2·5=10 และตัวเลข 2 และ 5 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นการแยกตัวประกอบเฉพาะของตัวเลข 10 จึงดูเหมือน 10=2·5

ตัวอย่างอื่น. เมื่อใช้ตารางสูตรคูณ เราจะแยกตัวประกอบของตัวเลข 48 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ เรารู้ว่าหกคือแปด - สี่สิบแปดนั่นคือ 48 ​​= 6·8 อย่างไรก็ตาม ทั้ง 6 และ 8 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ แต่เรารู้ว่าสามสองตัวคือหก และสี่สองตัวคือแปด นั่นคือ 6=2·3 และ 8=2·4 จากนั้น 48=6·8=2·3·2·4. โปรดจำไว้ว่า 2 คูณ 2 ได้ 4 จากนั้นเราจะได้การสลายตัวที่ต้องการเป็นตัวประกอบเฉพาะ 48 = 2·3·2·2·2 มาเขียนส่วนขยายนี้ในรูปแบบมาตรฐาน: 48=2 4 ·3

แต่เมื่อนำจำนวน 3,400 ไปแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ คุณสามารถใช้เกณฑ์การหารลงตัวได้ สัญญาณของการหารด้วย 10 ลงตัว, 100 ทำให้เราสามารถระบุได้ว่า 3,400 หารด้วย 100 ลงตัว โดยที่ 3,400=34·100 และ 100 หารด้วย 10 ลงตัว โดยที่ 100=10·10 ดังนั้น 3,400=34·10·10 และจากการทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว เราสามารถพูดได้ว่าตัวประกอบ 34, 10 และ 10 แต่ละตัวหารด้วย 2 ลงตัว เราจะได้ 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. ปัจจัยทั้งหมดในการขยายผลลัพธ์นั้นเรียบง่าย ดังนั้นการขยายนี้จึงเป็นที่ต้องการ สิ่งที่เหลืออยู่คือการจัดเรียงปัจจัยใหม่เพื่อให้เรียงลำดับจากน้อยไปหามาก: 3 400 = 2·2·2·5·5·17 ให้เราเขียนการแบ่งแยกตามรูปแบบบัญญัติของจำนวนนี้ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17

เมื่อแยกตัวเลขที่กำหนดให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ คุณสามารถใช้ทั้งเครื่องหมายของการหารลงตัวและตารางสูตรคูณตามลำดับ ลองจินตนาการว่าเลข 75 เป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ การทดสอบการหารด้วย 5 ลงตัวทำให้เราบอกได้ว่า 75 หารด้วย 5 ลงตัว และเราจะได้ 75 = 5·15 และจากตารางสูตรคูณ เราทราบว่า 15=3·5 ดังนั้น 75=5·3·5 นี่คือการสลายตัวที่จำเป็นของเลข 75 ให้กลายเป็นตัวประกอบเฉพาะ

บรรณานุกรม.

• วิเลนคิน เอ็น.ยา. และอื่นๆ คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป
• วิโนกราดอฟ ไอ.เอ็ม. พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน
• มิเคโลวิช ช.เอช. ทฤษฎีจำนวน
• Kulikov L.Ya. และอื่นๆ รวบรวมปัญหาพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน: หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เฉพาะทางของสถาบันการสอน

แฟคตอริ่งหมายถึงอะไร? ทำอย่างไร? คุณสามารถเรียนรู้อะไรได้บ้างจากการแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นปัจจัยเฉพาะ คำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้มีภาพประกอบพร้อมตัวอย่างเฉพาะเจาะจง

คำจำกัดความ:

จำนวนที่มีตัวหารต่างกันสองตัวพอดีเรียกว่าจำนวนเฉพาะ

จำนวนที่มีตัวหารมากกว่าสองตัวเรียกว่าจำนวนประกอบ

แยกตัวประกอบจำนวนธรรมชาติหมายถึงการแสดงเป็นผลคูณของจำนวนธรรมชาติ

การแยกตัวประกอบจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนเฉพาะหมายถึงการแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ

หมายเหตุ:

• ในการสลายตัวของจำนวนเฉพาะ ตัวประกอบตัวหนึ่งจะเท่ากับตัวหนึ่ง และตัวอีกตัวจะเท่ากับตัวมันเอง
• มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะพูดถึงการแยกตัวประกอบเอกภาพ
• จำนวนประกอบสามารถแยกตัวประกอบออกเป็นตัวประกอบได้ ซึ่งแต่ละตัวจะแตกต่างจาก 1

	ลองแยกตัวประกอบจำนวน 150 กัน. เช่น 150 คือ 15 คูณ 10 15 เป็นจำนวนประกอบ สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะของ 5 และ 3 ได้ 10 เป็นจำนวนประกอบ สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะของ 5 และ 2 ได้ โดยการเขียนการสลายตัวของพวกมันลงในตัวประกอบเฉพาะแทนที่จะเป็น 15 และ 10 เราได้การสลายตัวของจำนวน 150
	จำนวน 150 สามารถแยกตัวประกอบได้ด้วยวิธีอื่น เช่น 150 คือผลคูณของตัวเลข 5 และ 30 5 เป็นจำนวนเฉพาะ 30 เป็นจำนวนประกอบ ถือได้ว่าเป็นผลคูณของ 10 และ 3 10 เป็นจำนวนประกอบ สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะของ 5 และ 2 ได้ เราได้การแยกตัวประกอบของ 150 เป็นตัวประกอบเฉพาะด้วยวิธีที่ต่างออกไป
	โปรดทราบว่าการขยายครั้งแรกและครั้งที่สองจะเหมือนกัน ต่างกันเพียงลำดับปัจจัยเท่านั้น เป็นเรื่องปกติที่จะต้องเขียนปัจจัยจากน้อยไปหามาก
จำนวนประกอบทุกจำนวนสามารถแยกตัวประกอบให้เป็นตัวประกอบเฉพาะได้ด้วยวิธีที่ไม่ซ้ำกัน ขึ้นอยู่กับลำดับของตัวประกอบ

เมื่อแยกตัวประกอบจำนวนมากให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ ให้ใช้สัญลักษณ์คอลัมน์:

	จำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 216 ลงตัวคือ 2 หาร 216 ด้วย 2 เราได้ 108.
	ผลลัพธ์หมายเลข 108 หารด้วย 2 มาทำการแบ่งกันเถอะ ผลลัพธ์คือ 54
	จากการทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว ตัวเลข 54 หารด้วย 2 ลงตัว หลังจากหารแล้ว เราได้ 27.
	เลข 27 ลงท้ายด้วยเลขคี่ 7 มัน หารด้วย 2 ไม่ลงตัว. จำนวนเฉพาะถัดไปคือ 3. หาร 27 ด้วย 3 เราได้ 9. จำนวนเฉพาะน้อยที่สุด จำนวนที่ 9 หารด้วย 3 ลงตัว สามตัวเป็นจำนวนเฉพาะซึ่งหารด้วยตัวมันเองและหนึ่งลงตัว ลองหาร 3 ด้วยตัวเอง. ในที่สุดเราก็ได้ที่ 1

• ตัวเลขจะหารด้วยจำนวนเฉพาะที่เป็นส่วนหนึ่งของการสลายตัวเท่านั้น
• ตัวเลขจะหารได้เฉพาะจำนวนประกอบที่มีการสลายตัวเป็นตัวประกอบเฉพาะอยู่ในนั้นเท่านั้น

ลองดูตัวอย่าง:

	4900 หารด้วยจำนวนเฉพาะ 2, 5 และ 7 ลงตัว (รวมอยู่ในส่วนขยายของจำนวน 4900) แต่หารด้วย 13 ไม่ได้ เช่น
	11 550 75 ที่เป็นเช่นนี้เพราะว่าการสลายตัวของเลข 75 นั้นมีอยู่ในการสลายตัวของเลข 11550 อย่างสมบูรณ์ ผลลัพธ์ของการหารจะเป็นผลคูณของตัวประกอบ 2, 7 และ 11 11550 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว เนื่องจากมี 2 เพิ่มเติมในส่วนขยายของ 4

ค้นหาผลหารของการหารตัวเลข a ด้วยจำนวน b หากตัวเลขเหล่านี้ถูกแยกย่อยเป็นตัวประกอบเฉพาะดังนี้: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; ข=2∙2∙3∙3∙5∙19

	การสลายตัวของเลข b มีอยู่ในการสลายตัวของเลข a โดยสมบูรณ์
	ผลลัพธ์ของการหาร a ด้วย b คือผลคูณของตัวเลขสามตัวที่เหลืออยู่ในส่วนขยายของ a ดังนั้นคำตอบคือ: 30.

บรรณานุกรม

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. คณิตศาสตร์ 6. - อ.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. คณิตศาสตร์ ป.6. - โรงยิม. 2549.
3. เดปแมน ไอ.ยา., วิเลนคิน เอ็น.ยา. ด้านหลังหน้าหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ - อ.: การศึกษา, 2532.
4. Ruukin A.N., Tchaikovsky I.V. งานมอบหมายสำหรับหลักสูตรคณิตศาสตร์สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 - อ.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Ruukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. คณิตศาสตร์ 5-6 คู่มือสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ของโรงเรียนโต้ตอบ MEPhI - อ.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. คณิตศาสตร์: ตำราเรียนคู่สนทนาสำหรับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5-6 - อ.: ศึกษาศาสตร์, ห้องสมุดครูคณิตศาสตร์, 2532.

1. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต Matematika-na.ru ()
2. พอร์ทัลอินเทอร์เน็ต Math-portal.ru ()

การบ้าน

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburgd S.I. คณิตศาสตร์ 6. - อ.: Mnemosyne, 2012. ลำดับที่ 127, ลำดับที่ 129, ลำดับที่ 141.
2. งานอื่นๆ: หมายเลข 133, หมายเลข 144

(ยกเว้น 0 และ 1) มีตัวหารอย่างน้อยสองตัว: 1 และตัวมันเอง เรียกตัวเลขที่ไม่มีตัวหารอื่น เรียบง่ายตัวเลข เรียกตัวเลขที่มีตัวหารอื่น คอมโพสิต(หรือ ซับซ้อน) ตัวเลข จำนวนเฉพาะมีจำนวนอนันต์ ต่อไปนี้เป็นจำนวนเฉพาะไม่เกิน 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

การคูณ- หนึ่งในสี่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน ซึ่งเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์แบบไบนารีซึ่งมีการบวกอาร์กิวเมนต์หนึ่งจำนวนเท่าๆ กับอีกอาร์กิวเมนต์หนึ่ง ในทางคณิตศาสตร์ การคูณเป็นรูปแบบสั้นๆ ของการบวกจำนวนพจน์ที่เหมือนกันที่ระบุ

ตัวอย่างเช่นสัญกรณ์ 5*3 หมายถึง "บวกสามห้า" นั่นคือ 5+5+5 เรียกว่าผลคูณ งานและจำนวนที่จะคูณคือ ตัวคูณหรือ ปัจจัย. ปัจจัยแรกบางครั้งเรียกว่า " ทวีคูณ».

จำนวนประกอบทุกจำนวนสามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะได้ ด้วยวิธีการใด ๆ จะได้รับการขยายตัวแบบเดียวกันหากคุณไม่คำนึงถึงลำดับในการเขียนปัจจัย

การแยกตัวประกอบของตัวเลข (การแยกตัวประกอบ)

การแยกตัวประกอบ (การแยกตัวประกอบ)- การแจงนับตัวหาร - อัลกอริธึมสำหรับการแยกตัวประกอบหรือการทดสอบความเป็นมาของตัวเลขโดยการแจงนับตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดให้สมบูรณ์

กล่าวง่ายๆ ก็คือ การแยกตัวประกอบเป็นชื่อของกระบวนการแยกตัวประกอบตัวเลข ซึ่งแสดงเป็นภาษาวิทยาศาสตร์

ลำดับของการกระทำเมื่อแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยสำคัญ:

1. ตรวจสอบว่าจำนวนที่เสนอเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

2. ถ้าไม่เช่นนั้น ให้เลือกตัวหารจากจำนวนเฉพาะโดยเริ่มจากตัวที่น้อยที่สุด (2, 3, 5 ...)

3. ทำซ้ำขั้นตอนนี้จนกว่าผลหารจะกลายเป็นจำนวนเฉพาะ