เส้นตรง. สมการของเส้น

สมการโค้งเข้า ปริมาณมากพบปะเมื่ออ่านวรรณกรรมเศรษฐศาสตร์ ให้เราระบุเส้นโค้งเหล่านี้บ้าง

เส้นโค้งความไม่แยแส - เส้นโค้งที่แสดงการผสมผสานที่แตกต่างกันของผลิตภัณฑ์สองรายการซึ่งมีมูลค่าหรือประโยชน์ใช้สอยเท่ากันสำหรับผู้บริโภค

เส้นงบประมาณผู้บริโภค - เส้นโค้งที่แสดงการรวมกันของปริมาณของสินค้าสองชนิดที่ผู้บริโภคสามารถซื้อได้ในระดับรายได้เงินที่กำหนด

เส้นโค้งความเป็นไปได้ในการผลิต - เส้นโค้งที่แสดงการผสมผสานที่แตกต่างกันของสินค้าหรือบริการสองรายการที่สามารถผลิตได้ภายใต้เงื่อนไขของการจ้างงานเต็มรูปแบบและผลผลิตเต็มรูปแบบในระบบเศรษฐกิจที่มีทรัพยากรและเทคโนโลยีคงที่คงที่

เส้นอุปสงค์การลงทุน - เส้นโค้งแสดงการเปลี่ยนแปลงของอัตราดอกเบี้ยและปริมาณการลงทุนในอัตราดอกเบี้ยที่แตกต่างกัน

เส้นโค้งฟิลลิปส์- เส้นโค้งแสดงความสัมพันธ์ที่มั่นคงระหว่างอัตราการว่างงานและอัตราเงินเฟ้อ

ลาฟเฟอร์โค้ง- เส้นโค้งที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างอัตราภาษีและรายได้ภาษี โดยระบุอัตราภาษีที่รายได้ภาษีถึงสูงสุด

การแสดงรายการคำศัพท์ง่ายๆ แสดงให้เห็นว่าการสร้างกราฟและวิเคราะห์สมการของเส้นโค้ง เช่น เส้นตรงและเส้นโค้งอันดับสอง ได้แก่ วงกลม วงรี ไฮเปอร์โบลา พาราโบลา นั้นมีความสำคัญเพียงใดสำหรับนักเศรษฐศาสตร์ นอกจากนี้เมื่อตัดสินใจแล้ว ชั้นเรียนใหญ่งานจำเป็นต้องระบุพื้นที่บนระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งบางเส้นซึ่งได้รับสมการ ส่วนใหญ่แล้ว ปัญหาเหล่านี้มีการกำหนดไว้ดังนี้: ค้นหาแผนการผลิตที่ดีที่สุดสำหรับทรัพยากรที่กำหนด การมอบหมายทรัพยากรมักจะอยู่ในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกันซึ่งมีสมการที่ให้มา ดังนั้นเราจึงต้องค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือเล็กที่สุดที่ได้จากฟังก์ชันบางอย่างในภูมิภาคที่ระบุโดยสมการของระบบอสมการ

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ เส้นบนเครื่องบินถูกกำหนดให้เป็นเซตของจุดที่พิกัดเป็นไปตามสมการ F(x,y)=0. ในกรณีนี้ จะต้องกำหนดข้อจำกัดให้กับฟังก์ชัน F เพื่อว่าสมการนี้มีในด้านหนึ่ง ชุดอนันต์และในทางกลับกัน เพื่อให้ชุดโซลูชั่นนี้ไม่ได้เติมเต็ม “ชิ้นส่วนของเครื่องบิน” คลาสของเส้นที่สำคัญคือคลาสที่ฟังก์ชัน F(x,y) เป็นพหุนามในตัวแปรสองตัว ซึ่งในกรณีนี้จะเรียกว่าเส้นที่กำหนดโดยสมการ F(x,y)=0 พีชคณิต. เส้นพีชคณิตที่กำหนดโดยสมการระดับแรกคือเส้นตรง สมการระดับสองซึ่งมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด จะกำหนดวงรี ไฮเปอร์โบลา พาราโบลา หรือเส้นที่แยกออกเป็นเส้นตรงสองเส้น

ให้ระบุระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมบนระนาบ เส้นตรงบนระนาบสามารถระบุได้ด้วยสมการข้อใดข้อหนึ่ง:

10. สมการทั่วไปของเส้นตรง

ขวาน + โดย + C = 0 (2.1)

เวกเตอร์ n(A,B) ตั้งฉากกับเส้นตรง ตัวเลข A และ B ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน

20. สมการของเส้นตรงกับความชัน

y - y o = k (x - x o), (2.2)

โดยที่ k คือความชันของเส้นตรง นั่นคือ k = tgก ที่ไหน - ขนาดของมุมที่เกิดจากเส้นตรงที่มีแกน Ox, M (x o, y o) - จุดใดจุดหนึ่งที่เป็นของเส้นตรง

สมการ (2.2) จะอยู่ในรูปแบบ y = kx + b ถ้า M (0, b) คือจุดตัดของเส้นตรงกับแกน Oy

สามสิบ สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ

x/a + y/b = 1, (2.3)

โดยที่ a และ b คือค่าของส่วนที่ถูกตัดออกด้วยเส้นตรงบนแกนพิกัด

4 0 . สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดคือ A(x 1, y 1) และ B(x 2, y 2):

. (2.4)

50 . สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด A(x 1, y 1) ขนานกับเวกเตอร์ที่กำหนด ก(ม, น)

. (2.5)

6 0 . สมการปกติของเส้นตรง

ร.นโอ - พี = 0, (2.6)

ที่ไหน ร- รัศมีของจุดใดก็ได้ M(x, y) ของเส้นนี้ n o เป็นเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับเส้นนี้และลากจากจุดกำเนิดไปยังเส้นนั้น p คือระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงเส้นตรง

แบบฟอร์มพิกัดปกติมีรูปแบบ:

x cos a + y บาป a - p = 0,

ที่ไหน - ขนาดของมุมที่เกิดจากเส้นตรงกับแกน Ox

สมการของเส้นดินสอที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด A(x 1, y 1) มีรูปแบบดังนี้

ปปป 1 = ลิตร (x-x 1)

ที่ไหน ล - พารามิเตอร์ลำแสง หากลำแสงถูกกำหนดโดยเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ดังนั้นสมการของมันจะมีรูปแบบ:

ล. (A 1 x + B 1 y + C 1) + ม. (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

โดยที่ l และ m - พารามิเตอร์ลำแสงที่ไม่เปลี่ยนเป็น 0 ในเวลาเดียวกัน

มุมระหว่างเส้น y = kx + b และ y = k 1 x + b 1 กำหนดโดยสูตร:

ทีจี เจ = .

ความเท่าเทียมกัน 1 + k 1 k = 0 เป็นสิ่งจำเป็นและ สภาพที่เพียงพอความตั้งฉากของเส้น

เพื่อให้ทั้งสองสมการ

A 1 x + B 1 ปี + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 ปี + C 2 = 0, (2.8)

เมื่อพิจารณาจากเส้นตรงเดียวกัน สัมประสิทธิ์ของพวกมันจะต้องเป็นสัดส่วนจึงจำเป็นและเพียงพอ:

ก 1 /A 2 = ข 1 /B 2 = ค 1 /ค 2

สมการ (2.7), (2.8) กำหนดเส้นขนานสองเส้นที่แตกต่างกัน ถ้า A 1 /A 2 = B 1 /B 2 และ B 1 /B 2¹ C1/C2; เส้นตัดกันถ้า A 1 /A 2¹บี 1 /บี 2 .

ระยะทาง d จากจุด M o (x o, y o) ถึงเส้นตรงคือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุด M o ถึงเส้นตรง ถ้าสมการปกติกำหนดเส้นตรงแล้ว d =ê รโอ nโอ - เร , ที่ไหน ร o - เวกเตอร์รัศมีของจุด M o หรือในรูปแบบพิกัด d =ê x o cos a + y o บาป a - р ê .

สมการทั่วไปของเส้นโค้งลำดับที่สองมีรูปแบบ

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y +a = 0

สันนิษฐานว่าในบรรดาสัมประสิทธิ์ของสมการ 11, 12, 22 มีค่าที่ไม่เป็นศูนย์

สมการของวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด C(a, b) และรัศมีเท่ากับ R:

(x - ก) 2 + (y - b) 2 = ร 2 . (2.9)

วงรีคือตำแหน่งของจุดซึ่งผลรวมของระยะทางจากจุดที่กำหนดสองจุด F 1 และ F 2 (จุดโฟกัส) มีค่าคงที่เท่ากับ 2a

สมการ Canonical (ง่ายที่สุด) ของวงรี

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1 (2.10)

วงรีที่กำหนดโดยสมการ (2.10) มีความสมมาตรเทียบกับแกนพิกัด ตัวเลือก กและ ขถูกเรียกว่า เพลาเพลาวงรี

ให้ a>b แล้วจุดโฟกัส F 1 และ F 2 อยู่บนแกน Ox ที่ระยะห่าง
c= จากจุดกำเนิด อัตราส่วน ค/ก =จ < 1 называется ความเยื้องศูนย์วงรี ระยะทางจากจุด M(x, y) ของวงรีถึงจุดโฟกัส (เวกเตอร์รัศมีโฟกัส) ถูกกำหนดโดยสูตร:

r 1 = a - e x, r 2 = a + e x

ถ้าก< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , อี = ค/ข,
r 1 = b + e x, r 2 = b - e x

ถ้า a = b แล้ววงรีจะเป็นวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของรัศมี ก.

อติพจน์คือตำแหน่งของจุดซึ่งผลต่างของระยะห่างจากจุดที่กำหนดสองจุด F 1 และ F 2 (foci) มีค่าสัมบูรณ์เท่ากันกับจำนวน 2a ที่กำหนด

สมการไฮเปอร์โบลาแบบบัญญัติ

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

ไฮเปอร์โบลาที่กำหนดโดยสมการ (2.11) มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนพิกัด มันตัดแกน Ox ที่จุด A (a,0) และ A (-a,0) ซึ่งเป็นจุดยอดของไฮเปอร์โบลา และไม่ตัดแกน Oy พารามิเตอร์ กเรียกว่า กึ่งแกนจริง, ข -กึ่งแกนจินตภาพ. พารามิเตอร์ c= คือระยะห่างจากโฟกัสถึงจุดกำเนิด อัตราส่วน ค/ก =จ >1 เรียกว่า ความเยื้องศูนย์อติพจน์ เส้นตรงที่มีสมการคือ y =± b/a x ถูกเรียก เส้นกำกับอติพจน์ ระยะห่างจากจุด M(x,y) ของไฮเปอร์โบลาถึงจุดโฟกัส (เวกเตอร์รัศมีโฟกัส) ถูกกำหนดโดยสูตร:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê

ไฮเปอร์โบลาที่ใช้เรียก a = b ด้านเท่ากันหมด, สมการ x 2 - y 2 = a 2 และสมการของเส้นกำกับ y =± x. ไฮเปอร์โบลา x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 และ
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 ถูกเรียก ผัน.

พาราโบลาคือตำแหน่งของจุดที่อยู่ห่างจากจุดที่กำหนด (โฟกัส) และเส้นที่กำหนด (ไดเรกตริกซ์) เท่าๆ กัน

สมการบัญญัติของพาราโบลามีสองรูปแบบ:

1) y 2 = 2рx - พาราโบลามีความสมมาตรรอบแกน Ox

2) x 2 = 2рy - พาราโบลามีความสมมาตรรอบแกน Oy

ในทั้งสองกรณี p>0 และจุดยอดของพาราโบลาซึ่งก็คือจุดที่วางอยู่บนแกนสมมาตรนั้นอยู่ที่จุดกำเนิด

พาราโบลาที่มีสมการ y 2 = 2рx มีจุดโฟกัส F(р/2,0) และไดเรกตริกซ์ x = - р/2 ซึ่งเป็นเวกเตอร์รัศมีโฟกัสของจุด M(x,y) บนจุดนั้นคือ r = x+ р/ 2.

พาราโบลาที่มีสมการ x 2 =2рy มีโฟกัส F(0, р/2) และไดเรกตริกซ์ y = - р/2; เวกเตอร์รัศมีโฟกัสของจุด M(x,y) ของพาราโบลาเท่ากับ r = y + p/2

สมการ F(x, y) = 0 กำหนดเส้นตรงที่แบ่งระนาบออกเป็นสองส่วนขึ้นไป ในส่วนนี้บางส่วนยังมีความไม่เท่าเทียมกัน F(x, y) อยู่<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเส้น
F(x, y)=0 แยกส่วนของระนาบ โดยที่ F(x, y)>0 จากส่วนของระนาบ โดยที่ F(x, y)<0.

เส้นตรงที่มีสมการคือ Ax+By+C = 0 แบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่ง ในทางปฏิบัติ เพื่อดูว่าเรามี Ax+By+C ในระนาบครึ่งระนาบใด<0, а в какой Ax+By+C>0 ใช้วิธีการตรวจสอบ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้จุดควบคุม (แน่นอนว่า ไม่ใช่นอนบนเส้นตรงซึ่งมีสมการคือ Ax+By+C = 0) และตรวจสอบว่านิพจน์ Ax+By+C มีเครื่องหมายอะไร ณ จุดนี้ เครื่องหมายเดียวกันนี้มีการแสดงออกที่ระบุตลอดทั้งระนาบครึ่งระนาบซึ่งมีจุดควบคุมอยู่ ในระนาบครึ่งหลัง Ax+By+C มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

อสมการไม่เชิงเส้นกับสิ่งไม่รู้สองตัวได้รับการแก้ไขด้วยวิธีเดียวกัน

ตัวอย่างเช่น ลองแก้อสมการ x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0 สามารถเขียนใหม่เป็น (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0

สมการ (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 ให้นิยามวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C(2,-3) และมีรัศมี 5 วงกลมแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน - ภายใน และภายนอก หากต้องการทราบว่าความไม่เท่าเทียมกันนี้เกิดขึ้นที่ใด ให้ใช้จุดควบคุมที่ พื้นที่ภายในเช่น จุดศูนย์กลาง C(2,-3) ของวงกลม เราได้การแทนที่พิกัดของจุด C ทางด้านซ้ายของอสมการ จำนวนลบ-25. ซึ่งหมายความว่าในทุกจุดที่อยู่ในวงกลมจะมีความไม่เท่าเทียมกัน
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

ตัวอย่างที่ 1.5เขียนสมการของเส้นที่ผ่านจุด A(3,1) และเอียงไปที่เส้นตรง 2x+3y-1 = 0 ที่มุม 45 o

สารละลาย.เราจะค้นหาในรูปแบบ y=kx+b เนื่องจากเส้นผ่านจุด A พิกัดจึงเป็นไปตามสมการของเส้น กล่าวคือ 1=3k+ข,Þ ข=1-3k. ขนาดของมุมระหว่างเส้นตรง
y= k 1 x+b 1 และ y= kx+b ถูกกำหนดโดยสูตร tgเจ = . เนื่องจากสัมประสิทธิ์เชิงมุม k 1 ของเส้นตรงเดิม 2x+3y-1=0 เท่ากับ - 2/3 และมุมเจ = 45 o จากนั้นเราจะได้สมการในการกำหนด k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 หรือ (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1

เรามีค่า k สองค่า: k 1 = 1/5, k 2 = -5 การค้นหาค่าที่สอดคล้องกันของ b โดยใช้สูตร b=1-3k เราได้เส้นตรงสองเส้นที่ต้องการซึ่งมีสมการคือ: x - 5y + 2 = 0 และ
5x + y - 16 = 0

ตัวอย่างที่ 1.6. ที่ค่าพารามิเตอร์เท่าใด ทีเส้นตรงที่มีสมการ 3tx-8y+1 = 0 และ (1+t)x-2ty = 0 ขนานกันคืออะไร

สารละลาย.เส้นที่กำหนดโดยสมการทั่วไปจะขนานกันถ้าค่าสัมประสิทธิ์ของ xและ ยเป็นสัดส่วน เช่น 3t/(1+t) = -8/(-2t) เราพบการแก้สมการผลลัพธ์ ที: เสื้อ 1 = 2, เสื้อ 2 = -2/3

ตัวอย่างที่ 1.7. ค้นหาสมการคอร์ดร่วมของวงกลมสองวง:
x 2 +y 2 =10 และ x 2 +y 2 -10x-10y+30=0

สารละลาย.ลองหาจุดตัดของวงกลมกัน โดยแก้ระบบสมการ:

.

การแก้สมการแรกเราพบค่า x 1 = 3, x 2 = 1 จากสมการที่สอง - ค่าที่สอดคล้องกัน ย: y 1 = 1, y 2 = 3 ตอนนี้เราได้สมการของคอร์ดทั่วไป โดยรู้จุด A(3,1) และ B(1,3) สองจุดที่อยู่ในเส้นนี้: (y-1)/(3 -1) = (x-3)/(1-3) หรือ y+ x - 4 = 0

ตัวอย่างที่ 1.8. จุดต่างๆ ที่อยู่บนเครื่องบินซึ่งพิกัดเป็นไปตามเงื่อนไข (x-3) 2 + (y-3) 2 เป็นอย่างไร< 8, x >ใช่ไหม?

สารละลาย.ความไม่เท่าเทียมกันประการแรกของระบบจะกำหนดภายในของวงกลม ไม่รวมเส้นขอบ เช่น วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (3,3) และรัศมี อสมการที่สองกำหนดครึ่งระนาบที่กำหนดโดยเส้นที่มีสมการคือ x = y และเนื่องจากอสมการนั้นเข้มงวด จุดของเส้นจึงไม่อยู่ในระนาบครึ่งหนึ่ง และจุดทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นนี้เป็นของ ครึ่งระนาบ เนื่องจากเรากำลังมองหาจุดที่ตรงกับอสมการทั้งสอง พื้นที่ที่เรากำลังมองหาคือภายในของครึ่งวงกลม

ตัวอย่างที่ 1.9คำนวณความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ในวงรีซึ่งมีสมการคือ x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1

สารละลาย.อนุญาต M(s,s)- จุดยอดของจัตุรัสที่อยู่ในไตรมาสแรก จากนั้นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเท่ากับ 2 กับ. เพราะ จุด มเป็นของวงรีพิกัดของมันเป็นไปตามสมการของวงรี c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1 ดังนั้น
ค = เอบี/ ; ซึ่งหมายความว่าด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 2ab/

ตัวอย่าง 1.10.รู้สมการของเส้นกำกับของไฮเปอร์โบลา y =± 0.5 x และจุดหนึ่ง M(12, 3) ประกอบเป็นสมการของไฮเปอร์โบลา

สารละลาย.มาเขียนมันลงไปกันดีกว่า สมการบัญญัติไฮเปอร์โบลา: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 เส้นกำกับของไฮเปอร์โบลากำหนดโดยสมการ y =± 0.5 x ซึ่งหมายถึง b/a = 1/2 โดยที่ a=2b เพราะว่า มคือจุดไฮเปอร์โบลา จากนั้นพิกัดของมันจะเป็นไปตามสมการไฮเปอร์โบลา เช่น 144/a 2 - 27/b 2 = 1 เมื่อพิจารณาว่า a = 2b เราจะพบว่า b: b 2 =9Þ ข=3 และ ก=6 จากนั้นสมการของไฮเปอร์โบลาคือ x 2/36 - y 2/9 = 1

ตัวอย่างที่ 1.11คำนวณความยาวด้านของสามเหลี่ยม ABC ปกติที่จารึกไว้ในพาราโบลาด้วยพารามิเตอร์ รสมมติว่าจุด A เกิดขึ้นพร้อมกับจุดยอดของพาราโบลา

สารละลาย.สมการ Canonical ของพาราโบลาที่มีพารามิเตอร์ รมีรูปแบบ y 2 = 2рx จุดยอดตรงกับจุดกำเนิด และพาราโบลามีความสมมาตรรอบแกนแอบซิสซา เนื่องจากเส้นตรง AB สร้างมุม 30 o กับแกน Ox สมการของเส้นตรงจึงมีรูปแบบ: y = x กราฟจำนวนมาก

ดังนั้นเราจึงสามารถค้นหาพิกัดของจุด B ได้โดยการแก้ระบบสมการ y 2 = 2рx, y = x โดยที่ x = 6р, y = 2р ซึ่งหมายความว่าระยะห่างระหว่างจุด A(0,0) และ B(6р,2р) เท่ากับ 4р

เส้นที่ผ่านจุด K(x 0 ; y 0) และขนานกับเส้น y = kx + a พบได้จากสูตร:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

โดยที่ k คือความชันของเส้นตรง

สูตรทางเลือก:
เส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 (x 1 ; y 1) และขนานกับเส้น Ax+By+C=0 แทนด้วยสมการ

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

ตัวอย่างหมายเลข 1 เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 0 (-2,1) และในเวลาเดียวกัน:
a) ขนานกับเส้นตรง 2x+3y -7 = 0;
b) ตั้งฉากกับเส้นตรง 2x+3y -7 = 0
สารละลาย . ลองจินตนาการถึงสมการที่มีความชันในรูปแบบ y = kx + a หากต้องการทำสิ่งนี้ ให้ย้ายค่าทั้งหมดยกเว้น y ไปทางด้านขวา: 3y = -2x + 7 . จากนั้นหารด้านขวามือด้วย 3 เราได้: y = -2/3x + 7/3
ลองหาสมการ NK ที่ผ่านจุด K(-2;1) ขนานกับเส้นตรง y = -2 / 3 x + 7 / 3
การแทนที่ x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 เราได้:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
หรือ
y = -2 / 3 x - 1 / 3 หรือ 3y + 2x +1 = 0

ตัวอย่างหมายเลข 2 เขียนสมการของเส้นขนานกับเส้น 2x + 5y = 0 แล้วสร้างรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เป็น 5 พร้อมกับแกนพิกัด
สารละลาย . เนื่องจากเส้นขนานกัน สมการของเส้นที่ต้องการคือ 2x + 5y + C = 0 พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ a และ b คือขาของมัน มาหาจุดตัดของเส้นที่ต้องการด้วยแกนพิกัด:
;
.
ดังนั้น A(-C/2,0), B(0,-C/5) ลองแทนลงในสูตรสำหรับพื้นที่: . เราได้คำตอบสองวิธี: 2x + 5y + 10 = 0 และ 2x + 5y – 10 = 0

ตัวอย่างหมายเลข 3 เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (-2; 5) และขนานกับเส้นตรง 5x-7y-4=0
สารละลาย. เส้นตรงนี้สามารถแสดงได้ด้วยสมการ y = 5 / 7 x – 4 / 7 (ในที่นี้ a = 5 / 7) สมการของเส้นที่ต้องการคือ y – 5 = 5/7 (x – (-2)) เช่น 7(y-5)=5(x+2) หรือ 5x-7y+45=0 .

ตัวอย่างหมายเลข 4 หลังจากแก้ตัวอย่างที่ 3 (A=5, B=-7) โดยใช้สูตร (2) แล้ว เราจะพบว่า 5(x+2)-7(y-5)=0

ตัวอย่างหมายเลข 5 เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (-2;5) และขนานกับเส้นตรง 7x+10=0
สารละลาย. ที่นี่ A=7, B=0 สูตร (2) ให้ 7(x+2)=0 เช่น x+2=0 ไม่สามารถใช้สูตร (1) ได้ เนื่องจากสมการนี้ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยค่า y (เส้นตรงนี้ขนานกับแกนพิกัด)

สมการของเส้นที่ผ่าน จุดนี้ในทิศทางนี้ สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น สภาวะความขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น การกำหนดจุดตัดกันของเส้นตรงสองเส้น

ตัวอย่างปัญหาพร้อมวิธีแก้ไข

ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด: (-1, 2) และ (2, 1)

สารละลาย.

ตามสมการ

เชื่อในมัน x 1 = -1, ย 1 = 2, x 2 = 2, ย 2 = 1 (ไม่สำคัญว่าจุดใดถือเป็นจุดแรกและจุดใดถือเป็นจุดที่สอง) เราได้รับ

หลังจากการทำให้เข้าใจง่ายเราจะได้สมการที่ต้องการสุดท้ายในรูปแบบ

x + 3ย - 5 = 0.

ด้านของสามเหลี่ยมถูกกำหนดโดยสมการ: (เอบี ) 2 x + 4 ย + 1 = 0, (เอ.ซี. ) x - ย + 2 = 0, (บี.ซี. ) 3 x + 4 ย -12 = 0 ค้นหาพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม

สารละลาย.

พิกัดจุดยอด กเราค้นหาโดยการแก้ระบบที่ประกอบด้วยสมการของด้าน เอบีและ เอ.ซี.:

เราแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการโดยไม่ทราบค่าสองตัวโดยใช้วิธีการที่รู้จักจากพีชคณิตเบื้องต้น และเราได้มา

จุดยอด กมีพิกัด

พิกัดจุดยอด บีเราจะหาได้จากการแก้ระบบสมการด้าน เอบีและ บี.ซี.:

พวกเราได้รับ .

พิกัดจุดยอด คเราได้จากการแก้ระบบสมการของด้านข้าง บี.ซี.และ เอ.ซี.:

จุดยอด คมีพิกัด.

ก (2, 5) ขนานกับเส้นที่ 3x - 4 ย + 15 = 0.

สารละลาย.

ขอให้เราพิสูจน์ว่าหากเส้นตรงสองเส้นขนานกัน สมการของพวกมันสามารถแสดงในลักษณะที่แตกต่างกันได้เฉพาะในแง่อิสระเท่านั้น แท้จริงแล้วจากเงื่อนไขความขนานของเส้นสองเส้นจึงเป็นไปตามนั้น

ให้เราแสดงโดย ทีมูลค่าโดยรวมของความสัมพันธ์เหล่านี้ แล้ว

และต่อจากนี้ไปจะเป็นอย่างนั้น

ก 1 = ก 2 ที, บี 1 = บี 2 ที. (1)

ถ้าเป็นสองบรรทัด.

ก 1 x + บี 1 ย + ค 1 = 0 และ

ก 2 x + บี 2 ย + ค 2 = 0

ขนานกัน เป็นไปตามเงื่อนไข (1) และแทนที่สมการแรกของสมการเหล่านี้ ก 1 และ บี 1 ตามสูตร (1) เราจะได้

ก 2 ข้อความ + บี 2 คุณ + ค 1 = 0,

หรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วย เราก็จะได้

เปรียบเทียบสมการผลลัพธ์กับสมการของเส้นตรงที่สอง ก 2 x + บี 2 ย + ค 2 = 0 เราสังเกตว่าสมการเหล่านี้แตกต่างกันเฉพาะในเทอมอิสระเท่านั้น ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์สิ่งที่จำเป็นแล้ว ตอนนี้เรามาเริ่มแก้ไขปัญหากันดีกว่า เราจะเขียนสมการของเส้นที่ต้องการในลักษณะที่จะแตกต่างจากสมการของเส้นที่กำหนดด้วยเทอมอิสระเท่านั้น: เราจะนำสองเทอมแรกในสมการที่ต้องการจากสมการนี้และเราจะแทนค่าของมัน ระยะฟรีโดย ค. จากนั้นสมการที่ต้องการจะเขียนอยู่ในรูปแบบ

3x - 4ย + ค = 0, (3)

และจะต้องถูกกำหนด ค.

ให้ค่าในสมการ (3) คค่าจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมด เราจะได้ชุดของเส้นขนานกับค่าที่กำหนด ดังนั้น สมการ (3) จึงเป็นสมการไม่ใช่ของเส้นเดียว แต่เป็นของทั้งตระกูลของเส้นขนานกับเส้นที่กำหนด 3 x - 4ย+ 15 = 0 จากตระกูลเส้นนี้ เราควรเลือกเส้นที่ผ่านจุด ก(2, 5).

ถ้าเส้นตรงผ่านจุดหนึ่ง พิกัดของจุดนี้จะต้องเป็นไปตามสมการของเส้นนั้น ดังนั้นเราจะกำหนด คถ้าใน (3) เราจะทดแทนพิกัดปัจจุบันแทน xและ ยพิกัดจุด ก, เช่น. x = 2, ย= 5. เราได้ และ ค = 14.

พบคุณค่า คแทนลงใน (3) และสมการที่ต้องการจะเขียนได้ดังนี้:

3x - 4ย + 14 = 0.

ปัญหาเดียวกันนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่น เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นขนานมีค่าเท่ากัน และสำหรับเส้นที่กำหนด 3 x - 4ย+ 15 = 0 ความชัน จากนั้นความชันของเส้นตรงที่ต้องการก็เท่ากัน

ตอนนี้เราใช้สมการ ย - ย 1 = เค(x - x 1) เส้นตรงจำนวนหนึ่ง จุด ก(2, 5) ซึ่งเรารู้จักเส้นตรงที่ผ่านไปแล้วจึงแทนที่เป็นสมการของดินสอของเส้นตรง ย - ย 1 = เค(x - x 1) ค่านิยม เราได้รับ

หรือหลังจากการทำให้เข้าใจง่าย 3 x - 4ย+ 14 = 0 เช่น เท่าเดิม

ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดก (3, 4) ทำมุม 60 องศาถึงเส้นตรง 2x + 3 ย + 6 = 0.

สารละลาย.

ในการแก้ปัญหา เราจำเป็นต้องกำหนดค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง I และ II (ดูรูป) ให้เราแสดงค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้ตามลำดับโดย เค 1 และ เค 2 และสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นนี้คือผ่าน เค. เห็นได้ชัดว่า.

ตามนิยามของมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น เมื่อกำหนดมุมระหว่างเส้นที่กำหนดกับเส้นตรง ผมจะตามตัวเศษของเศษส่วนในสูตร

ลบความชันของเส้นนี้ เนื่องจากต้องหมุนทวนเข็มนาฬิการอบจุด คจนกระทั่งมันตรงกับเส้นตรงที่ 1

เมื่อพิจารณาว่าเราได้รับ

เมื่อกำหนดมุมระหว่างเส้น II และเส้นที่กำหนด เราควรลบค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้น II ในตัวเศษของเศษส่วนเดียวกัน เช่น เค 2 เนื่องจากควรหมุนเส้น II ทวนเข็มนาฬิการอบจุด บีจนกระทั่งมันตรงกับบรรทัดนี้:

ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่งก (5, -1) ตั้งฉากกับบรรทัดที่ 3x - 7 ย + 14 = 0.

สารละลาย.

ถ้าเป็นสองบรรทัด.

ก 1 x + บี 1 ย + ค 1 = 0, ก 2 x + บี 2 ย + ค 2 = 0

ตั้งฉากแล้วจึงเท่ากัน

ก 1 ก 2 + บี 1 บี 2 = 0,

หรือสิ่งที่เหมือนกัน

ก 1 ก 2 = -บี 1 บี 2 ,

และต่อจากนี้ไปจะเป็นอย่างนั้น

เราแสดงความหมายทั่วไปของสำนวนเหล่านี้โดย ที.

แล้วมันเป็นไปตามนั้น

ก 2 = บี 1 ที, บี 2 = -ก 1 ที.

การแทนที่ค่าเหล่านี้ ก 2 และ บี 2 และสมการของเส้นที่สอง เราได้

บี 1 ข้อความ - ก 1 คุณ + ค 2 = 0.

หรือหารด้วย ทีเราก็จะได้ความเท่าเทียมกันทั้งสองฝ่าย

เปรียบเทียบสมการผลลัพธ์กับสมการเส้นตรงเส้นแรก

ก 1 x + บี 1 ย + ค 1 = 0,

เราสังเกตเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของพวกเขาอยู่ที่ xและ ยมีการสลับที่และเครื่องหมายระหว่างเทอมที่หนึ่งและที่สองเปลี่ยนไปตรงกันข้ามแต่เงื่อนไขที่เป็นอิสระแตกต่างกัน

ตอนนี้เรามาเริ่มแก้ไขปัญหากันดีกว่า ต้องการเขียนสมการเส้นตั้งฉากกับเส้นที่ 3 x - 7ย+ 14 = 0 ตามข้อสรุปข้างต้น เราจะดำเนินการดังนี้ เราจะสลับค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ xและ ยและแทนที่เครื่องหมายลบระหว่างเครื่องหมายเหล่านั้นด้วยเครื่องหมายบวก และแทนคำอิสระด้วยตัวอักษร ค. เราได้ 7 x + 3ย + ค= 0 สมการนี้คือสมการของกลุ่มเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นที่ 3 x - 7ย+ 14 = 0 กำหนด คจากเงื่อนไขว่าเส้นที่ต้องการผ่านจุดนั้น ก(5, -1) เป็นที่ทราบกันว่าหากเส้นหนึ่งผ่านจุดหนึ่ง พิกัดของจุดนี้จะต้องเป็นไปตามสมการของเส้นนั้น แทน 5 ในสมการสุดท้ายแทน xและ -1 แทน ย, เราได้รับ

นี่คือความหมาย คแทนลงในสมการสุดท้ายแล้วได้

7x + 3ย - 32 = 0.

ลองแก้ปัญหาเดียวกันด้วยวิธีอื่นโดยใช้สมการดินสอเส้นตรงสำหรับสิ่งนี้

ย - ย 1 = เค(x - x 1).

ความชันของเส้นนี้คือ 3 x - 7ย + 14 = 0

แล้วค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตั้งฉากกับมัน

แทนลงในสมการของดินสอเส้นตรง และแทน x 1 และ ย 1 พิกัดจุดนี้ ก(5, -1) ค้นหา หรือ 3 ย + 3 = -7x+35 และสุดท้ายคือ 7 x + 3ย- 32 = 0 เช่น เท่าเดิม

คุณสมบัติของเส้นตรงในเรขาคณิตแบบยุคลิด

เส้นตรงสามารถลากผ่านจุดใดก็ได้ไม่จำกัดจำนวน

จากจุดที่ไม่ตรงกันสองจุดใดๆ ก็สามารถลากเส้นตรงเส้นเดียวได้

เส้นตรงสองเส้นที่แยกออกจากกันในระนาบตัดกันที่จุดเดียวหรืออยู่

ขนาน (ต่อจากอันที่แล้ว)

ในพื้นที่สามมิติ มีสามตัวเลือกสำหรับตำแหน่งสัมพัทธ์ของเส้นสองเส้น:

• เส้นตัดกัน

• เส้นขนาน

• เส้นตรงตัดกัน

ตรง เส้น— เส้นโค้งพีชคณิตลำดับแรก: เส้นตรงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

ได้รับบนเครื่องบินโดยสมการดีกรีแรก ( สมการเชิงเส้น).

สมการทั่วไปของเส้นตรง

คำนิยาม. เส้นตรงใดๆ บนระนาบสามารถระบุได้ด้วยสมการอันดับหนึ่ง

ขวาน + Wu + C = 0,

และคงที่ เอ, บีไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน สมการลำดับแรกนี้เรียกว่า ทั่วไป

สมการของเส้นตรงขึ้นอยู่กับค่าของค่าคงที่ เอ, บีและ กับกรณีพิเศษต่อไปนี้เป็นไปได้:

. ค = 0, ก ≠0, บี ≠ 0- เส้นตรงผ่านจุดกำเนิด

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (โดย + C = 0)- เส้นตรงขนานกับแกน โอ้

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (ขวาน + C = 0)- เส้นตรงขนานกับแกน อู๋

. B = C = 0, A ≠0- เส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน อู๋

. ก = ค = 0, บี ≠0- เส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน โอ้

สามารถแสดงสมการของเส้นตรงได้ ในรูปแบบต่างๆขึ้นอยู่กับสิ่งใด ๆ ที่ได้รับ

เงื่อนไขเริ่มต้น

สมการของเส้นตรงจากจุดและเวกเตอร์ปกติ

คำนิยาม. ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน เวกเตอร์พร้อมส่วนประกอบ (A, B)

ตั้งฉากกับเส้นตรง กำหนดโดยสมการ

ขวาน + วู + C = 0

ตัวอย่าง. ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่ง เอ(1, 2)ตั้งฉากกับเวกเตอร์ (3, -1).

สารละลาย. ด้วย A = 3 และ B = -1 ลองเขียนสมการของเส้นตรง: 3x - y + C = 0 เพื่อหาสัมประสิทธิ์ C

ลองแทนที่พิกัดของจุดที่กำหนด A ลงในนิพจน์ผลลัพธ์ เราได้รับ: 3 - 2 + C = 0 ดังนั้น

ค = -1 ผลรวม: สมการที่ต้องการ: 3x - y - 1 = 0

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด

ให้สองคะแนนในอวกาศ ม 1 (x 1 , ปี 1 , z 1)และ M2 (x 2, y 2, z 2),แล้ว สมการของเส้น,

ผ่านจุดเหล่านี้:

ถ้าตัวส่วนใดๆ เป็นศูนย์ ควรตั้งค่าตัวเศษที่สอดคล้องกันให้เท่ากับศูนย์ บน

ระนาบ สมการของเส้นตรงที่เขียนด้านบนจะถูกทำให้ง่ายขึ้น:

ถ้า x 1 ≠ x 2และ x = x 1, ถ้า x 1 = x 2 .

เศษส่วน = เคเรียกว่า ความลาดชัน ตรง.

ตัวอย่าง. ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(1, 2) และ B(3, 4)

สารละลาย. เมื่อใช้สูตรที่เขียนข้างต้น เราจะได้:

สมการเส้นตรงโดยใช้จุดและความชัน

ถ้าสมการทั่วไปของเส้นตรง ขวาน + วู + C = 0นำไปสู่:

และกำหนด จากนั้นจึงเรียกสมการผลลัพธ์

สมการของเส้นตรงกับความชัน k

สมการของเส้นตรงจากจุดและเวกเตอร์ทิศทาง

โดยการเปรียบเทียบกับจุดที่พิจารณาสมการของเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ปกติ คุณสามารถเข้าสู่งานได้

เส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่งและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง

คำนิยาม. เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกตัว (α 1 , α 2)ซึ่งมีส่วนประกอบตรงตามเงื่อนไข

เอเอ 1 + บีเอ 2 = 0เรียกว่า เวกเตอร์กำกับของเส้นตรง

ขวาน + วู + C = 0

ตัวอย่าง. ค้นหาสมการของเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ทิศทาง (1, -1) และผ่านจุด A(1, 2)

สารละลาย. เราจะค้นหาสมการของเส้นที่ต้องการในรูปแบบ: ขวาน + โดย + C = 0ตามคำนิยามที่ว่า

ค่าสัมประสิทธิ์ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1 * A + (-1) * B = 0 เช่น ก = บี

จากนั้นสมการของเส้นตรงจะมีรูปแบบ: ขวาน + Ay + C = 0,หรือ x + y + C / A = 0

ที่ x = 1, y = 2เราได้รับ ค/เอ = -3, เช่น. สมการที่ต้องการ:

x + y - 3 = 0

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ

หากในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ах + Ву + С = 0 С≠0 จากนั้นหารด้วย -С เราจะได้:

หรือที่ไหน

ความหมายทางเรขาคณิตค่าสัมประสิทธิ์คือค่าสัมประสิทธิ์ a คือพิกัดของจุดตัดกัน

ตรงกับแกน โอ้,ก ข- พิกัดจุดตัดของเส้นกับแกน อู๋

ตัวอย่าง. จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง x - y + 1 = 0ค้นหาสมการของเส้นนี้ในส่วนต่างๆ

C = 1, , ก = -1, ข = 1

สมการปกติของเส้นตรง

ถ้าสมการทั้งสองข้าง ขวาน + วู + C = 0หารด้วยจำนวน ซึ่งถูกเรียกว่า

ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานแล้วเราก็ได้

xcosφ + ysinφ - p = 0 -สมการปกติของเส้นตรง.

ต้องเลือกเครื่องหมาย ± ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐาน μ*C< 0.

ร- ความยาวของเส้นตั้งฉากลดลงจากจุดกำเนิดถึงเส้นตรง

ก φ - มุมที่เกิดจากตั้งฉากกับทิศทางบวกของแกน โอ้.

ตัวอย่าง. จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง 12x - 5y - 65 = 0. จำเป็นต้องเขียนสมการประเภทต่างๆ

เส้นตรงนี้

สมการของเส้นนี้ในส่วนต่างๆ:

สมการของเส้นนี้กับความชัน: (หารด้วย 5)

สมการของเส้น:

คอส φ = 12/13; บาป φ= -5/13; พี = 5.

ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกเส้นตรงที่สามารถแสดงด้วยสมการในส่วนต่างๆ เช่น เส้นตรง

ขนานกับแกนหรือผ่านจุดกำเนิด

มุมระหว่างเส้นตรงบนเครื่องบิน

คำนิยาม. ถ้าให้สองบรรทัด y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2ตามด้วยมุมแหลมระหว่างเส้นเหล่านี้

จะถูกกำหนดให้เป็น

เส้นตรงสองเส้นขนานกันถ้า เค 1 = เค 2. เส้นสองเส้นตั้งฉากกัน

ถ้า k 1 = -1/ k 2 .

ทฤษฎีบท.

โดยตรง ขวาน + วู + C = 0และ A 1 x + B 1 ปี + C 1 = 0ขนานเมื่อสัมประสิทธิ์เป็นสัดส่วน

A 1 = แลมบ์ดา, B 1 = แลมบ์. ถ้ายัง ซ 1 = แลซแล้วเส้นก็ตรงกัน พิกัดจุดตัดของเส้นตรงสองเส้น

พบว่าเป็นวิธีแก้ระบบสมการของเส้นเหล่านี้

สมการของเส้นที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

คำนิยาม. เส้นที่ผ่านจุดหนึ่ง ม 1 (x 1, ย 1)และตั้งฉากกับเส้น y = kx + ข

แสดงโดยสมการ:

ระยะทางจากจุดถึงเส้น

ทฤษฎีบท. หากได้รับคะแนน M(x 0, y 0),แล้วระยะห่างถึงเส้นตรง ขวาน + วู + C = 0กำหนดเป็น:

การพิสูจน์. ปล่อยให้ประเด็น ม 1 (x 1, ย 1)- ฐานของฉากตั้งฉากหลุดจากจุดหนึ่ง มสำหรับที่กำหนด

โดยตรง. แล้วระยะห่างระหว่างจุด มและ ม.1:

(1)

พิกัด x1และ เวลา 1สามารถพบได้เป็นการแก้ระบบสมการ:

สมการที่สองของระบบคือสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนด M 0 ในแนวตั้งฉาก

ให้เส้นตรง หากเราแปลงสมการแรกของระบบให้อยู่ในรูปแบบ:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + ขวาน 0 + โดย 0 + C = 0,

จากนั้นเมื่อแก้ไขเราจะได้:

เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้เป็นสมการ (1) เราจะพบว่า:

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว