ความหมายของอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ปัญหา B9 ให้กราฟของฟังก์ชันหรืออนุพันธ์ที่คุณต้องการหาปริมาณใดปริมาณหนึ่งต่อไปนี้:
- มูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุดใดจุดหนึ่ง x 0
- คะแนนสูงสุดหรือต่ำสุด (คะแนนสุดขีด)
- ช่วงของฟังก์ชันการเพิ่มและลด (ช่วงของความน่าเบื่อ)
ฟังก์ชันและอนุพันธ์ที่นำเสนอในปัญหานี้มีความต่อเนื่องกันอยู่เสมอ ทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นมาก แม้ว่างานนี้จะอยู่ในส่วนของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ แต่แม้แต่นักเรียนที่อ่อนแอที่สุดก็สามารถทำได้ เนื่องจากไม่จำเป็นต้องมีความรู้เชิงทฤษฎีเชิงลึกที่นี่
ในการค้นหาค่าของอนุพันธ์ จุดสุดขั้ว และช่วงความซ้ำซ้อน มีอัลกอริธึมที่ง่ายและเป็นสากล - ทั้งหมดนี้จะกล่าวถึงด้านล่าง
อ่านเงื่อนไขของปัญหา B9 อย่างละเอียดเพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดโง่ๆ: บางครั้งคุณอาจเจอข้อความที่ค่อนข้างยาว แต่มีเงื่อนไขสำคัญบางประการที่ส่งผลต่อแนวทางการแก้ปัญหา
การคำนวณมูลค่าอนุพันธ์ วิธีสองจุด
หากปัญหาได้รับกราฟของฟังก์ชัน f(x) แทนเจนต์กับกราฟนี้ที่จุดใดจุดหนึ่ง x 0 และจำเป็นต้องค้นหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนี้ อัลกอริทึมต่อไปนี้จะถูกนำมาใช้:
- ค้นหาจุด "เพียงพอ" สองจุดบนกราฟแทนเจนต์: พิกัดของมันต้องเป็นจำนวนเต็ม ลองแสดงจุดเหล่านี้เป็น A (x 1 ; y 1) และ B (x 2 ; y 2) เขียนพิกัดอย่างถูกต้อง - นี่คือ ช่วงเวลาสำคัญวิธีแก้ไขและข้อผิดพลาดใดๆ ที่นี่ส่งผลให้คำตอบที่ไม่ถูกต้อง
- เมื่อรู้พิกัดแล้ว ง่ายต่อการคำนวณการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δx = x 2 − x 1 และการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δy = y 2 − y 1 .
- ในที่สุด เราก็พบค่าของอนุพันธ์ D = Δy/Δx กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องหารการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันด้วยการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ และนี่จะเป็นคำตอบ
โปรดทราบอีกครั้ง: จะต้องค้นหาจุด A และ B บนเส้นสัมผัสกันอย่างแม่นยำ ไม่ใช่บนกราฟของฟังก์ชัน f(x) ดังที่มักเกิดขึ้น เส้นสัมผัสกันจะต้องมีจุดดังกล่าวอย่างน้อยสองจุด มิฉะนั้นโจทย์จะกำหนดไม่ถูกต้อง
พิจารณาจุด A (−3; 2) และ B (−1; 6) และค้นหาส่วนเพิ่ม:
∆x = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4
มาหาค่าของอนุพันธ์กันดีกว่า: D = Δy/Δx = 4/2 = 2
งาน. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x 0 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 .
พิจารณาจุด A (0; 3) และ B (3; 0) ค้นหาส่วนเพิ่ม:
∆x = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3
ตอนนี้เราพบค่าของอนุพันธ์แล้ว: D = Δy/Δx = −3/3 = −1
งาน. รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) และแทนเจนต์ของฟังก์ชันที่จุดที่มี abscissa x 0 ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุด x 0 .
พิจารณาจุด A (0; 2) และ B (5; 2) และค้นหาส่วนเพิ่ม:
∆x = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0
ยังคงต้องค้นหาค่าของอนุพันธ์: D = Δy/Δx = 0/5 = 0
จากตัวอย่างสุดท้าย เราสามารถกำหนดกฎได้: ถ้าแทนเจนต์ขนานกับแกน OX อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดแทนเจนต์จะเป็นศูนย์ ในกรณีนี้ คุณไม่จำเป็นต้องนับอะไรเลย เพียงแค่ดูกราฟ
การคำนวณคะแนนสูงสุดและต่ำสุด
บางครั้ง แทนที่จะเป็นกราฟของฟังก์ชัน ปัญหา B9 จะให้กราฟของอนุพันธ์ และจำเป็นต้องค้นหาจุดสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน ในสถานการณ์นี้ วิธีสองจุดไม่มีประโยชน์ แต่มีอัลกอริธึมอื่นที่ง่ายกว่าด้วยซ้ำ ขั้นแรก เรามากำหนดคำศัพท์กันก่อน:
- จุด x 0 เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) หากในย่านใกล้เคียงของจุดนี้มีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: f(x 0) ≥ f(x)
- จุด x 0 เรียกว่าจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) หากในย่านใกล้เคียงของจุดนี้มีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: f(x 0) ≤ f(x)
หากต้องการค้นหาจุดสูงสุดและต่ำสุดจากกราฟอนุพันธ์ ให้ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:
- เขียนกราฟอนุพันธ์ใหม่ โดยลบข้อมูลที่ไม่จำเป็นออกทั้งหมด ตามที่แสดงในทางปฏิบัติ ข้อมูลที่ไม่จำเป็นจะรบกวนการตัดสินใจเท่านั้น ดังนั้นเราจึงทำเครื่องหมายศูนย์ของอนุพันธ์บนแกนพิกัด - เท่านี้ก็เรียบร้อย
- ค้นหาสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาระหว่างศูนย์ ถ้าในบางจุด x 0 ทราบว่า f'(x 0) ≠ 0 แสดงว่าเป็นไปได้เพียงสองตัวเลือกเท่านั้น: f'(x 0) ≥ 0 หรือ f'(x 0) ≤ 0 เครื่องหมายของอนุพันธ์คือ ระบุได้ง่ายจากภาพวาดต้นฉบับ: หากกราฟอนุพันธ์อยู่เหนือแกน OX ดังนั้น f'(x) ≥ 0 และในทางกลับกัน หากกราฟอนุพันธ์อยู่ใต้แกน OX ดังนั้น f'(x) ≤ 0
- เราตรวจสอบศูนย์และสัญญาณของอนุพันธ์อีกครั้ง โดยที่เครื่องหมายเปลี่ยนจากลบเป็นบวกคือจุดต่ำสุด ในทางกลับกัน หากเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ นี่คือจุดสูงสุด การนับจะทำจากซ้ายไปขวาเสมอ
รูปแบบนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันต่อเนื่องเท่านั้น ไม่มีฟังก์ชันอื่นในปัญหา B9
งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลา [−5; 5]. ค้นหาจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน f(x) บนส่วนนี้
กำจัดข้อมูลที่ไม่จำเป็นออกไปและเหลือเพียงขอบเขต [−5; 5] และศูนย์ของอนุพันธ์ x = −3 และ x = 2.5 เรายังสังเกตสัญญาณ:
แน่นอนว่า ณ จุด x = −3 เครื่องหมายของอนุพันธ์จะเปลี่ยนจากลบเป็นบวก นี่คือจุดต่ำสุด
งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลา [−3; 7]. ค้นหาจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) บนส่วนนี้
ลองวาดกราฟใหม่โดยเหลือเพียงขอบเขต [−3; 7] และศูนย์ของอนุพันธ์ x = −1.7 และ x = 5 ให้เราสังเกตสัญญาณของอนุพันธ์บนกราฟผลลัพธ์ เรามี:
เห็นได้ชัดว่า ณ จุด x = 5 เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ - นี่คือจุดสูงสุด
งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดบนช่วง [−6; 4]. ค้นหาจำนวนจุดสูงสุดของฟังก์ชัน f(x) ที่อยู่ในเซกเมนต์ [−4; 3].
จากเงื่อนไขของปัญหา เป็นไปตามว่าเพียงพอที่จะพิจารณาเฉพาะส่วนของกราฟที่ถูกจำกัดโดยเซ็กเมนต์ [−4; 3]. ดังนั้นเราจึงสร้างกราฟใหม่โดยทำเครื่องหมายเฉพาะขอบเขต [−4; 3] และศูนย์ของอนุพันธ์ข้างใน กล่าวคือ คะแนน x = −3.5 และ x = 2 เราได้รับ:
บนกราฟนี้มีจุดสูงสุดเพียงจุดเดียว x = 2 ณ จุดนี้เองที่เครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ
หมายเหตุเล็กๆ น้อยๆ เกี่ยวกับจุดที่มีพิกัดที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ในโจทย์ข้อสุดท้ายถือว่าจุด x = −3.5 แต่ด้วยความสำเร็จแบบเดียวกัน เราจึงได้ x = −3.4 หากรวบรวมปัญหาอย่างถูกต้องการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวไม่ควรส่งผลกระทบต่อคำตอบเนื่องจากคะแนน "ไม่มีที่อยู่อาศัยที่แน่นอน" ไม่ได้มีส่วนร่วมในการแก้ไขปัญหาโดยตรง แน่นอนว่าเคล็ดลับนี้ใช้ไม่ได้กับจำนวนเต็ม
การหาช่วงเวลาของฟังก์ชันเพิ่มและลด
ในปัญหาดังกล่าว เช่น จุดสูงสุดและต่ำสุด ขอเสนอให้ใช้กราฟอนุพันธ์เพื่อค้นหาพื้นที่ที่ฟังก์ชันนั้นเพิ่มขึ้นหรือลดลง ก่อนอื่น เรามานิยามกันก่อนว่าอะไรเพิ่มขึ้นและลดลง:
- ฟังก์ชัน f(x) กล่าวกันว่าเพิ่มขึ้นบนเซ็กเมนต์ ถ้าจุดสองจุดใดๆ x 1 และ x 2 จากเซ็กเมนต์นี้ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . กล่าวอีกนัยหนึ่ง ยิ่งค่าอาร์กิวเมนต์มากขึ้น ค่าฟังก์ชันก็จะยิ่งมากขึ้นตามไปด้วย
- ฟังก์ชัน f(x) กล่าวกันว่ากำลังลดลงบนเซ็กเมนต์ ถ้าจุดสองจุดใดๆ x 1 และ x 2 จากเซ็กเมนต์นี้ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . เหล่านั้น. ค่าอาร์กิวเมนต์ที่ใหญ่กว่าจะสอดคล้องกับค่าฟังก์ชันที่น้อยกว่า
มากำหนดกัน เงื่อนไขที่เพียงพอขึ้นและลง:
- เพื่อให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) เพิ่มขึ้นในส่วน ก็เพียงพอแล้วที่อนุพันธ์ภายในส่วนจะเป็นค่าบวก เช่น ฉ'(x) ≥ 0
- เพื่อให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) ลดลงในส่วน ก็เพียงพอแล้วที่อนุพันธ์ภายในส่วนจะเป็นลบเช่น ฉ’(x) ≤ 0.
ให้เรายอมรับข้อความเหล่านี้โดยไม่มีหลักฐาน ดังนั้นเราจึงได้โครงร่างสำหรับการค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงซึ่งคล้ายกับอัลกอริทึมในการคำนวณจุดสุดขั้วหลายประการ:
- ลบข้อมูลที่ไม่จำเป็นทั้งหมด ในกราฟดั้งเดิมของอนุพันธ์ เราสนใจศูนย์ของฟังก์ชันเป็นหลัก ดังนั้นเราจะเหลือไว้เพียงศูนย์เท่านั้น
- ทำเครื่องหมายสัญญาณของอนุพันธ์ในช่วงเวลาระหว่างศูนย์ เมื่อ f’(x) ≥ 0 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และเมื่อ f’(x) ≤ 0 ฟังก์ชันจะลดลง หากปัญหาทำให้เกิดข้อจำกัดกับตัวแปร x เราจะทำเครื่องหมายตัวแปรเหล่านั้นบนกราฟใหม่เพิ่มเติม
- ตอนนี้เรารู้พฤติกรรมของฟังก์ชันและข้อจำกัดแล้ว เหลือเพียงการคำนวณปริมาณที่ต้องการในปัญหา
งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนดในช่วงเวลา [−3; 7.5]. ค้นหาช่วงการลดลงของฟังก์ชัน f(x) ในคำตอบของคุณ ให้ระบุผลรวมของจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วงเวลาเหล่านี้
ตามปกติ เราจะวาดกราฟใหม่และทำเครื่องหมายขอบเขต [−3; 7.5] เช่นเดียวกับศูนย์ของอนุพันธ์ x = −1.5 และ x = 5.3 จากนั้นเราสังเกตสัญญาณของอนุพันธ์ เรามี:
เนื่องจากอนุพันธ์เป็นลบในช่วงเวลา (− 1.5) นี่คือช่วงของฟังก์ชันที่ลดลง ยังคงต้องรวมจำนวนเต็มทั้งหมดที่อยู่ในช่วงเวลานี้:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
งาน. รูปนี้แสดงกราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ซึ่งกำหนดบนช่วง [−10; 4]. ค้นหาช่วงการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน f(x) ในคำตอบของคุณ ให้ระบุความยาวของส่วนที่ใหญ่ที่สุด
มากำจัดข้อมูลที่ไม่จำเป็นกันเถอะ ให้เราเหลือเพียงขอบเขต [−10; 4] และศูนย์ของอนุพันธ์ ซึ่งคราวนี้มีสี่ตัว: x = −8, x = −6, x = −3 และ x = 2 ลองทำเครื่องหมายเครื่องหมายของอนุพันธ์แล้วได้ภาพต่อไปนี้:
เราสนใจช่วงเวลาของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้น เช่น โดยที่ f’(x) ≥ 0 มีช่วงเวลาดังกล่าวสองช่วงบนกราฟ: (−8; −6) และ (−3; 2) มาคำนวณความยาวกัน:
ลิตร 1 = − 6 − (−8) = 2;
ลิตร 2 = 2 − (−3) = 5
เนื่องจากเราจำเป็นต้องค้นหาความยาวของช่วงที่ใหญ่ที่สุด เราจึงเขียนค่า l 2 = 5 เป็นคำตอบ
หมายเหตุสำคัญ!
1. หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ วิธีการทำเช่นนี้ในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ โปรดใส่ใจกับเนวิเกเตอร์ของเราให้มากที่สุด ทรัพยากรที่เป็นประโยชน์สำหรับ
ลองจินตนาการถึงถนนเส้นตรงที่ผ่านบริเวณเนินเขา นั่นคือขึ้นลงแต่ไม่เลี้ยวขวาหรือซ้าย หากแกนถูกชี้ในแนวนอนไปตามถนนและแนวตั้ง เส้นถนนจะคล้ายกับกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่างมาก:
แกนเป็นระดับความสูงเป็นศูนย์ในระดับหนึ่งในชีวิตเราใช้ระดับน้ำทะเลเป็นมัน
เมื่อเราก้าวไปข้างหน้าตามถนนเช่นนั้น เราก็จะเคลื่อนขึ้นหรือลงด้วย นอกจากนี้เรายังสามารถพูดได้ว่า: เมื่ออาร์กิวเมนต์เปลี่ยนไป (การเคลื่อนที่ไปตามแกน Abscissa) ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป (การเคลื่อนที่ไปตามแกนกำหนด) ทีนี้ลองคิดดูว่าจะกำหนด "ความชัน" ของถนนของเราได้อย่างไร? สิ่งนี้จะเป็นค่าอะไร? ง่ายมาก: ความสูงจะเปลี่ยนไปเท่าใดเมื่อเคลื่อนที่ไปข้างหน้าในระยะทางหนึ่ง แท้จริงแล้ว ในส่วนต่างๆ ของถนน เมื่อเคลื่อนไปข้างหน้า (ตามแกน x) ไปอีกหนึ่งกิโลเมตร เราจะขึ้นหรือลงตามจำนวนเมตรที่ต่างกันเมื่อเทียบกับระดับน้ำทะเล (ตามแกน y)
เรามาแสดงถึงความก้าวหน้ากันเถอะ (อ่านว่า “เดลต้า x”)
ตัวอักษรกรีก (เดลต้า) มักใช้เป็นคำนำหน้าในทางคณิตศาสตร์ ซึ่งหมายถึง "การเปลี่ยนแปลง" นั่นคือ - นี่คือการเปลี่ยนแปลงปริมาณ - การเปลี่ยนแปลง; แล้วมันคืออะไร? ถูกต้องการเปลี่ยนแปลงขนาด
สิ่งสำคัญ: นิพจน์คือข้อมูลทั้งหมดเพียงตัวแปรเดียว อย่าแยก “เดลต้า” ออกจาก “x” หรือตัวอักษรอื่นใด! กล่าวคือ ตัวอย่างเช่น .
เราก็เลยเคลื่อนไปข้างหน้าในแนวนอนโดย ถ้าเราเปรียบเทียบเส้นถนนกับกราฟของฟังก์ชัน แล้วเราจะระบุการเพิ่มขึ้นได้อย่างไร? แน่นอน, . นั่นคือเมื่อเราก้าวไปข้างหน้า เราก็สูงขึ้น
ค่านั้นง่ายต่อการคำนวณ: ถ้าในตอนแรกเราอยู่ที่ความสูงและหลังจากเคลื่อนที่แล้วเราก็พบว่าตัวเองอยู่ในที่สูงแล้ว หากจุดสิ้นสุดต่ำกว่าจุดเริ่มต้น จุดนั้นจะติดลบ ซึ่งหมายความว่าเราไม่ได้กำลังขึ้น แต่กำลังลง
กลับไปที่ "ความชัน": นี่คือค่าที่แสดงความสูงที่เพิ่มขึ้น (สูงชัน) เมื่อเคลื่อนที่ไปข้างหน้าหนึ่งหน่วยระยะทาง:
สมมติว่าส่วนหนึ่งของถนนเมื่อเคลื่อนไปข้างหน้าหนึ่งกิโลเมตร ถนนจะสูงขึ้นหนึ่งกิโลเมตร แล้วความชันตรงนี้จะเท่ากัน และถ้าถนนในขณะที่เคลื่อนไปข้างหน้าเมตรลดลงกิโลเมตร? แล้วความชันจะเท่ากัน
ทีนี้มาดูบนยอดเขากันดีกว่า หากคุณใช้จุดเริ่มต้นของส่วนนี้ครึ่งกิโลเมตรก่อนถึงยอดเขา และส่วนท้ายอีกครึ่งกิโลเมตรหลังจากนั้น คุณจะเห็นว่าความสูงเกือบจะเท่ากัน
นั่นคือตามตรรกะของเรา ปรากฎว่าความชันตรงนี้เกือบเท่ากับศูนย์ ซึ่งไม่เป็นความจริงอย่างชัดเจน แค่ระยะทางกว่ากิโลเมตร อะไรๆ ก็เปลี่ยนแปลงได้มากมาย จำเป็นต้องพิจารณาพื้นที่ขนาดเล็กเพื่อการประเมินความชันที่เพียงพอและแม่นยำยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่น หากคุณวัดการเปลี่ยนแปลงของความสูงเมื่อคุณเคลื่อนที่ไปหนึ่งเมตร ผลลัพธ์ก็จะแม่นยำมากขึ้น แต่ความแม่นยำนี้ก็ยังไม่เพียงพอสำหรับเรา เพราะหากมีเสาอยู่กลางถนนเราก็ผ่านไปได้ แล้วเราควรเลือกระยะไหน? เซนติเมตร? มิลลิเมตร? น้อยดีกว่า!
ใน ชีวิตจริงการวัดระยะทางเป็นมิลลิเมตรที่ใกล้ที่สุดก็เกินพอแล้ว แต่นักคณิตศาสตร์มักมุ่งมั่นเพื่อความสมบูรณ์แบบอยู่เสมอ จึงได้คิดค้นแนวคิดขึ้นมา ไม่มีที่สิ้นสุดนั่นคือค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าตัวเลขใดๆ ที่เราตั้งชื่อได้ ตัวอย่างเช่น คุณพูดว่า: หนึ่งล้านล้าน! มากน้อยแค่ไหน? แล้วคุณหารตัวเลขนี้ด้วย - แล้วมันจะยิ่งน้อยลงไปอีก และอื่นๆ หากเราต้องการเขียนว่าปริมาณเป็นจำนวนไม่สิ้นสุด เราจะเขียนดังนี้ (เราอ่านว่า “x มีแนวโน้มเป็นศูนย์”) มันสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจ ว่าเลขนี้ไม่ใช่ศูนย์!แต่อยู่ใกล้มาก ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถหารด้วยมันได้.
แนวคิดที่ตรงข้ามกับ infinitesimal นั้นมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ () คุณอาจเคยเจอมันมาก่อนเมื่อคุณกำลังศึกษาเรื่องอสมการ: จำนวนนี้เป็นแบบโมดูโลมากกว่าจำนวนใดๆ ที่คุณคิดได้ หากคุณหาจำนวนมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ให้คูณด้วย 2 แล้วคุณจะได้จำนวนที่มากขึ้นอีก และอนันต์นั้นยิ่งใหญ่กว่าสิ่งที่เกิดขึ้นด้วยซ้ำ อันที่จริง ใหญ่เป็นอนันต์และเล็กเป็นอนันต์เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกัน นั่นคือ at และในทางกลับกัน: at
ตอนนี้เรากลับมาที่ถนนของเรากันดีกว่า ความชันที่คำนวณได้อย่างเหมาะสมคือความชันที่คำนวณสำหรับส่วนที่เล็กที่สุดของเส้นทาง นั่นคือ:
ฉันสังเกตว่าด้วยการกระจัดที่น้อยที่สุด การเปลี่ยนแปลงความสูงก็จะไม่มีขอบเขตเช่นกัน แต่ขอเตือนคุณว่าค่าน้อยที่สุดไม่ได้หมายความว่าเท่ากับศูนย์ หากคุณหารจำนวนที่น้อยที่สุดด้วยกัน คุณจะได้จำนวนสามัญที่สมบูรณ์ เช่น นั่นคือค่าเล็กๆ ค่าหนึ่งสามารถมีขนาดใหญ่กว่าค่าอื่นได้อย่างแน่นอน
ทั้งหมดนี้เพื่ออะไร? ถนน ความชัน... เราไม่ได้ไปแรลลี่รถยนต์ แต่เราสอนคณิตศาสตร์ และในทางคณิตศาสตร์ทุกอย่างเหมือนกันทุกประการ ต่างกันแค่เรียกต่างกันเท่านั้น
แนวคิดเรื่องอนุพันธ์
อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์สำหรับการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เพียงเล็กน้อย
ทีละน้อยในทางคณิตศาสตร์พวกเขาเรียกว่าการเปลี่ยนแปลง ขอบเขตที่อาร์กิวเมนต์ () เปลี่ยนแปลงเมื่อเคลื่อนที่ไปตามแกนเรียกว่า อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นและถูกกำหนดไว้ เรียกว่าฟังก์ชัน (ความสูง) เปลี่ยนแปลงไปเท่าใดเมื่อเคลื่อนที่ไปข้างหน้าตามแกนตามระยะทาง เพิ่มฟังก์ชันและถูกกำหนดไว้
ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออัตราส่วนต่อเมื่อ เราแสดงอนุพันธ์ด้วยตัวอักษรเดียวกันกับฟังก์ชัน โดยจะมีเฉพาะจำนวนเฉพาะที่มุมขวาบนเท่านั้น: หรือเพียงแค่ ลองเขียนสูตรอนุพันธ์โดยใช้สัญลักษณ์เหล่านี้:
เหมือนกับการเปรียบเทียบกับถนน เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์จะเป็นค่าบวก และเมื่อมันลดลง จะเป็นค่าลบ
อนุพันธ์สามารถเท่ากับศูนย์ได้หรือไม่? แน่นอน. เช่น ถ้าเราขับรถบนถนนแนวราบ ความชันจะเป็นศูนย์ และมันเป็นเรื่องจริงที่ความสูงไม่เปลี่ยนแปลงเลย ดังนั้นจึงเป็นไปตามอนุพันธ์: อนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ (ค่าคงที่) เท่ากับศูนย์:
เนื่องจากการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันดังกล่าวจะเท่ากับศูนย์สำหรับค่าใดๆ
ลองจำตัวอย่างยอดเขากัน ปรากฎว่าเป็นไปได้ที่จะจัดเรียงส่วนปลายของส่วนในด้านตรงข้ามของจุดยอดในลักษณะที่ความสูงที่ส่วนปลายจะเท่ากันนั่นคือส่วนนั้นขนานกับแกน:
แต่ส่วนขนาดใหญ่เป็นสัญญาณของการวัดที่ไม่ถูกต้อง เราจะยกส่วนของเราขึ้นขนานกับตัวมันเอง จากนั้นความยาวของมันจะลดลง
ในที่สุด เมื่อเราเข้าใกล้ด้านบนสุดอย่างไม่สิ้นสุด ความยาวของส่วนนั้นก็จะสั้นลง แต่ในขณะเดียวกันก็ยังคงขนานกับแกนนั่นคือความแตกต่างของความสูงที่ปลายมีค่าเท่ากับศูนย์ (ไม่ได้มีแนวโน้มว่าจะเป็นเช่นนั้น แต่เท่ากับ) ดังนั้นอนุพันธ์
สิ่งนี้สามารถเข้าใจได้ด้วยวิธีนี้: เมื่อเรายืนอยู่ที่จุดสูงสุด การเลื่อนไปทางซ้ายหรือขวาเล็กน้อยจะทำให้ความสูงของเราเปลี่ยนไปโดยประมาท
นอกจากนี้ยังมีคำอธิบายเกี่ยวกับพีชคณิตล้วนๆ อีกด้วย: ทางด้านซ้ายของจุดยอดฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น และทางด้านขวาจะลดลง อย่างที่เราทราบไปก่อนหน้านี้ เมื่อฟังก์ชันเพิ่มขึ้น อนุพันธ์จะเป็นค่าบวก และเมื่อมันลดลง จะเป็นค่าลบ แต่มันเปลี่ยนได้อย่างราบรื่นโดยไม่ต้องกระโดด (เนื่องจากถนนไม่เปลี่ยนความลาดชันทุกที่) ดังนั้นจึงต้องมีค่าระหว่างค่าลบและค่าบวก มันจะเป็นจุดที่ฟังก์ชันไม่เพิ่มขึ้นหรือลดลง - ที่จุดยอด
เช่นเดียวกับรางน้ำ (พื้นที่ที่ฟังก์ชันทางด้านซ้ายลดลงและทางด้านขวาเพิ่มขึ้น):
เพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับการเพิ่มขึ้น
ดังนั้นเราจึงเปลี่ยนข้อโต้แย้งเป็นขนาด เราเปลี่ยนจากค่าอะไร? ตอนนี้ (ข้อโต้แย้ง) กลายเป็นอะไรไปแล้ว? เราสามารถเลือกจุดใดก็ได้ และตอนนี้ เราจะเต้นจากจุดนั้น
พิจารณาจุดที่มีพิกัด ค่าของฟังก์ชันในนั้นเท่ากัน จากนั้นเราก็ทำการเพิ่มแบบเดียวกัน: เราเพิ่มพิกัดด้วย ตอนนี้เถียงอะไรกันอยู่? ง่ายมาก: . ตอนนี้ค่าของฟังก์ชันเป็นเท่าใด? อาร์กิวเมนต์ไปที่ไหน ฟังก์ชันก็เช่นกัน: . แล้วการเพิ่มฟังก์ชันล่ะ? ไม่มีอะไรใหม่: นี่ยังคงเป็นจำนวนที่ฟังก์ชันเปลี่ยนไป:
ฝึกหาส่วนเพิ่ม:
- ค้นหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน ณ จุดที่ส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์เท่ากับ
- เช่นเดียวกับฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง
โซลูชั่น:
ในจุดที่ต่างกันซึ่งมีการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เท่ากัน การเพิ่มฟังก์ชันจะแตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์ในแต่ละจุดจะแตกต่างกัน (เราคุยกันเรื่องนี้ตั้งแต่เริ่มต้น - ความชันของถนนแตกต่างกันในแต่ละจุด) ดังนั้นเวลาเราเขียนอนุพันธ์เราต้องระบุว่าจุดไหน:
ฟังก์ชั่นพลังงาน
ฟังก์ชันยกกำลังคือฟังก์ชันที่มีการโต้แย้งในระดับหนึ่ง (ตรรกะใช่ไหม)
ยิ่งกว่านั้น - ในระดับใด ๆ : .
กรณีที่ง่ายที่สุดคือเมื่อเลขชี้กำลังคือ:
ลองหาอนุพันธ์ของมัน ณ จุดหนึ่งกัน จำคำจำกัดความของอนุพันธ์:
ข้อโต้แย้งจึงเปลี่ยนจากเป็น ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นเท่าไหร่?
เพิ่มขึ้นเป็นเช่นนี้ แต่ฟังก์ชัน ณ จุดใดก็ตามจะเท่ากับอาร์กิวเมนต์ของมัน นั่นเป็นเหตุผล:
อนุพันธ์มีค่าเท่ากับ:
อนุพันธ์ของเท่ากับ:
b) ตอนนี้ให้พิจารณาฟังก์ชันกำลังสอง (): .
ทีนี้มาจำไว้ว่า ซึ่งหมายความว่าสามารถละเลยมูลค่าของการเพิ่มขึ้นได้ เนื่องจากมีค่าน้อยมาก ดังนั้นจึงไม่มีนัยสำคัญเมื่อเทียบกับพื้นหลังของคำอื่น:
ดังนั้นเราจึงมีกฎอีกข้อหนึ่ง:
c) เราดำเนินการต่อในซีรีส์เชิงตรรกะ: .
นิพจน์นี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หลายวิธี: เปิดวงเล็บเหลี่ยมแรกโดยใช้สูตรสำหรับการคูณแบบย่อของกำลังสามของผลรวม หรือแยกตัวประกอบนิพจน์ทั้งหมดโดยใช้ผลต่างของสูตรลูกบาศก์ ลองทำด้วยตัวเองโดยใช้วิธีการที่แนะนำ
ดังนั้นฉันจึงได้สิ่งต่อไปนี้:
และอีกครั้งให้เราจำไว้ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถละเลยข้อกำหนดทั้งหมดที่มี:
เราได้รับ: .
d) สามารถรับกฎที่คล้ายกันสำหรับมหาอำนาจ:
e) ปรากฎว่ากฎนี้สามารถวางนัยทั่วไปสำหรับฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลังตามใจชอบ ไม่ใช่จำนวนเต็มด้วยซ้ำ:
(2) |
กฎสามารถกำหนดได้ในคำว่า: “ระดับจะถูกยกไปข้างหน้าเป็นค่าสัมประสิทธิ์แล้วลดลงด้วย ”
เราจะพิสูจน์กฎนี้ในภายหลัง (เกือบจะในตอนท้ายสุด) ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างบางส่วนกัน ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
- (ในสองวิธี: โดยสูตรและการใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์ - โดยการคำนวณการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน)
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เราจะใช้ข้อเท็จจริงข้อหนึ่งจากคณิตศาสตร์ชั้นสูงดังนี้:
ด้วยการแสดงออก
คุณจะได้เรียนรู้การพิสูจน์ในปีแรกของสถาบัน (และเพื่อที่จะไปถึงที่นั่น คุณจะต้องผ่านการสอบ Unified State ให้ดี) ตอนนี้ฉันจะแสดงเป็นภาพกราฟิก:
เราจะเห็นว่าเมื่อไม่มีฟังก์ชัน - จุดบนกราฟจะถูกตัดออก แต่ยิ่งใกล้ค่ามากเท่าไรฟังก์ชันก็ยิ่งใกล้มากขึ้นเท่านั้น นี่คือสิ่งที่ "จุดมุ่งหมาย"
นอกจากนี้ คุณสามารถตรวจสอบกฎนี้ได้โดยใช้เครื่องคิดเลข ใช่ ใช่ อย่าเพิ่งอาย หยิบเครื่องคิดเลขมา เรายังไม่ถึงการสอบ Unified State
ดังนั้นเรามาลองกัน: ;
อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องคิดเลขของคุณเป็นโหมดเรเดียน!
ฯลฯ เราจะเห็นว่ายิ่งน้อยค่าของอัตราส่วนก็จะยิ่งใกล้มากขึ้นเท่านั้น
ก) พิจารณาฟังก์ชัน ตามปกติเราจะหาส่วนเพิ่มของมัน:
ลองเปลี่ยนผลต่างของไซน์ให้เป็นผลคูณกัน ในการทำเช่นนี้เราใช้สูตร (จำหัวข้อ “”): .
ตอนนี้อนุพันธ์:
มาทดแทนกัน: . จากนั้นสำหรับสิ่งเล็กน้อย มันก็ไม่สิ้นสุดเช่นกัน: นิพจน์สำหรับจะอยู่ในรูปแบบ:
และตอนนี้เราจำมันได้ด้วยพจน์นี้ และจะเกิดอะไรขึ้นหากสามารถละเลยปริมาณที่น้อยที่สุดไปเป็นผลรวมได้ (นั่นคือ ที่)
ดังนั้นเราจึงได้กฎต่อไปนี้: อนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์:
สิ่งเหล่านี้เป็นอนุพันธ์พื้นฐาน (“ตาราง”) นี่คือหนึ่งในรายการ:
ต่อมาเราจะเพิ่มอีกสองสามอย่าง แต่สิ่งเหล่านี้สำคัญที่สุดเนื่องจากมีการใช้บ่อยที่สุด
ฝึกฝน:
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
โซลูชั่น:
เลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติ
มีฟังก์ชันในคณิตศาสตร์ซึ่งมีอนุพันธ์ของค่าใดๆ เท่ากับค่าของฟังก์ชันนั้นในเวลาเดียวกัน เรียกว่า “เลขชี้กำลัง” และเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
พื้นฐานของฟังก์ชันนี้คือค่าคงที่ - เป็นค่าอนันต์ ทศนิยมนั่นคือจำนวนอตรรกยะ (เช่น) มันถูกเรียกว่า "หมายเลขออยเลอร์" ซึ่งเป็นสาเหตุที่เขียนแทนด้วยตัวอักษร
ดังนั้นกฎ:
จำง่ายมาก
อย่าเพิ่งไปไกล ลองพิจารณาฟังก์ชันผกผันทันที ฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันผกผันของ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง? ลอการิทึม:
ในกรณีของเรา ฐานคือตัวเลข:
ลอการิทึมดังกล่าว (นั่นคือลอการิทึมที่มีฐาน) เรียกว่า "ธรรมชาติ" และเราใช้สัญลักษณ์พิเศษสำหรับมัน: เราเขียนแทน
มันเท่ากับอะไร? แน่นอน, .
อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายมาก:
ตัวอย่าง:
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
- อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร?
คำตอบ: ลอการิทึมเลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันง่ายๆ ที่ไม่เหมือนใครจากมุมมองของอนุพันธ์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมกับฐานอื่นจะมีอนุพันธ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งเราจะวิเคราะห์ในภายหลังหลังจากที่เราผ่านกฎการสร้างความแตกต่างแล้ว
กฎของความแตกต่าง
กฎของอะไร? ศัพท์ใหม่อีกแล้วเหรอ?!...
ความแตกต่างเป็นกระบวนการหาอนุพันธ์
นั่นคือทั้งหมดที่ คุณสามารถเรียกกระบวนการนี้ว่าอะไรอีกในคำเดียว? ไม่ใช่อนุพันธ์... นักคณิตศาสตร์เรียกอนุพันธ์ว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่เท่ากัน คำนี้มาจากภาษาละตินว่า differentia - ความแตกต่าง ที่นี่.
เมื่อได้รับกฎเหล่านี้ทั้งหมด เราจะใช้สองฟังก์ชัน เช่น และ นอกจากนี้เรายังต้องมีสูตรสำหรับการเพิ่ม:
มีกฎทั้งหมด 5 ข้อ
ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์
ถ้า - จำนวนคงที่ (คงที่) ดังนั้น
แน่นอนว่ากฎนี้ยังใช้ได้กับความแตกต่าง:
มาพิสูจน์กัน ปล่อยให้มันเป็นไปหรือง่ายกว่านั้น
ตัวอย่าง.
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
- ณ จุดหนึ่ง;
- ณ จุดหนึ่ง;
- ณ จุดหนึ่ง;
- ตรงจุด
โซลูชั่น:
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
ทุกอย่างจะคล้ายกันที่นี่ เรามาแนะนำฟังก์ชันใหม่และค้นหาส่วนที่เพิ่มขึ้นกันดีกว่า:
อนุพันธ์:
ตัวอย่าง:
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและ;
- ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง
โซลูชั่น:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ตอนนี้ความรู้ของคุณก็เพียงพอแล้วที่จะเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล ไม่ใช่แค่เลขยกกำลัง (คุณลืมไปแล้วหรือว่าสิ่งนั้นคืออะไร?)
แล้วเลขไหนล่ะ..
เรารู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้ว ลองลดฟังก์ชันของเราให้เป็นฐานใหม่:
สำหรับสิ่งนี้เราจะใช้ กฎง่ายๆ: . แล้ว:
มันได้ผล ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ และอย่าลืมว่าฟังก์ชันนี้ซับซ้อน
เกิดขึ้น?
ที่นี่ตรวจสอบตัวเอง:
สูตรนี้ดูคล้ายกับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลังมาก เหมือนเดิม มันยังคงเหมือนเดิม มีเพียงตัวประกอบเท่านั้นที่ปรากฏ ซึ่งเป็นเพียงตัวเลข แต่ไม่ใช่ตัวแปร
ตัวอย่าง:
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
คำตอบ:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
มันคล้ายกันตรงนี้: คุณรู้อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติแล้ว:
ดังนั้น หากต้องการค้นหาลอการิทึมตามอำเภอใจที่มีฐานต่างกัน เช่น
เราจำเป็นต้องลดลอการิทึมนี้ลงเหลือฐาน คุณจะเปลี่ยนฐานของลอการิทึมได้อย่างไร? ฉันหวังว่าคุณจะจำสูตรนี้:
ตอนนี้เราจะเขียนแทน:
ตัวส่วนเป็นเพียงค่าคงที่ (จำนวนคงที่โดยไม่มีตัวแปร) อนุพันธ์ได้มาง่ายมาก:
อนุพันธ์ของเลขชี้กำลังและ ฟังก์ชันลอการิทึมแทบไม่เคยปรากฏในการสอบ Unified State แต่การรู้จักพวกเขาก็ไม่เสียหาย
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
"ฟังก์ชันที่ซับซ้อน" คืออะไร? ไม่ นี่ไม่ใช่ลอการิทึม และไม่ใช่อาร์กแทนเจนต์ ฟังก์ชันเหล่านี้อาจเข้าใจได้ยาก (แม้ว่าคุณจะพบว่าลอการิทึมยาก ลองอ่านหัวข้อ "ลอการิทึม" แล้วคุณจะโอเค) แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ คำว่า "ซับซ้อน" ไม่ได้หมายความว่า "ยาก"
ลองนึกภาพสายพานลำเลียงขนาดเล็ก: คนสองคนกำลังนั่งและทำอะไรบางอย่างกับวัตถุบางอย่าง ตัวอย่างเช่น อันแรกห่อแท่งช็อกโกแลตด้วยกระดาษห่อ และอันที่สองผูกด้วยริบบิ้น ผลลัพธ์ที่ได้คือวัตถุที่ประกอบขึ้นเป็นแท่งช็อกโกแลตที่พันและผูกด้วยริบบิ้น หากต้องการกินช็อกโกแลตแท่ง คุณต้องทำตามขั้นตอนย้อนกลับ
มาสร้างไปป์ไลน์ทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกันกัน: ก่อนอื่นเราจะหาโคไซน์ของตัวเลขแล้วยกกำลังสองของจำนวนผลลัพธ์ ดังนั้นเราจึงได้รับตัวเลข (ช็อคโกแลต) ฉันหาโคไซน์ของมัน (กระดาษห่อ) แล้วคุณก็ยกกำลังสองสิ่งที่ฉันได้ (ผูกมันด้วยริบบิ้น) เกิดอะไรขึ้น การทำงาน. นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อเราต้องการหาค่าของมัน เราจะดำเนินการแรกกับตัวแปรโดยตรง จากนั้นจึงดำเนินการที่สองกับผลลัพธ์จากฟังก์ชันแรก
เราสามารถทำขั้นตอนเดียวกันในลำดับย้อนกลับได้ง่ายๆ ขั้นแรกให้คุณยกกำลังสอง จากนั้นฉันจะหาโคไซน์ของตัวเลขผลลัพธ์: เป็นเรื่องง่ายที่จะคาดเดาว่าผลลัพธ์จะแตกต่างออกไปเกือบตลอดเวลา คุณสมบัติที่สำคัญฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อลำดับของการกระทำเปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไป
กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันที่ซับซ้อนคือฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันอื่น: .
สำหรับตัวอย่างแรก .
ตัวอย่างที่สอง: (สิ่งเดียวกัน) .
การกระทำที่เราทำครั้งสุดท้ายจะถูกเรียกว่า ฟังก์ชั่น "ภายนอก"และการกระทำนั้นเกิดขึ้นก่อน - ตามนั้น ฟังก์ชั่น "ภายใน"(ชื่อเหล่านี้เป็นชื่อที่ไม่เป็นทางการ ฉันใช้เพื่ออธิบายเนื้อหาเป็นภาษาง่ายๆ เท่านั้น)
ลองพิจารณาด้วยตัวเองว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันใดภายใน:
คำตอบ:การแยกฟังก์ชันภายในและภายนอกจะคล้ายกันมากกับการเปลี่ยนแปลงตัวแปร ตัวอย่างเช่น ในฟังก์ชัน
เราเปลี่ยนตัวแปรและรับฟังก์ชัน
ทีนี้ เราจะแยกแท่งช็อกโกแลตออกมาแล้วมองหาอนุพันธ์ ขั้นตอนจะกลับกันเสมอ: ขั้นแรกเรามองหาอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นภายนอกแล้วคูณผลลัพธ์ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน สัมพันธ์กับตัวอย่างดั้งเดิม ดูเหมือนว่า:
ตัวอย่างอื่น:
ในที่สุดเรามากำหนดกฎอย่างเป็นทางการกัน:
อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
ดูเหมือนง่ายใช่มั้ย?
ลองตรวจสอบด้วยตัวอย่าง:
อนุพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน- อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์สำหรับการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เพียงเล็กน้อย:
อนุพันธ์พื้นฐาน:
กฎของความแตกต่าง:
ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์:
อนุพันธ์ของผลรวม:
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:
อนุพันธ์ของผลหาร:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:
- เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายใน" และค้นหาอนุพันธ์ของมัน
- เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายนอก" และค้นหาอนุพันธ์ของมัน
- เราคูณผลลัพธ์ของจุดที่หนึ่งและที่สอง
เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก
เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!
ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด
คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว
ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...
เพื่ออะไร?
เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต
ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...
ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ
แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ
สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสมากมายเปิดกว้างต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...
แต่คิดเอาเองนะ...
ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?
ช่วยคุณโดยการแก้ปัญหาในหัวข้อนี้
คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ
คุณจะต้องการ แก้ปัญหากับเวลา.
และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ไขมัน (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย
มันก็เหมือนกับกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน
ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!
คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา
เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่
ยังไง? มีสองตัวเลือก:
- ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
- ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 499 RUR
ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที
การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์
สรุปแล้ว...
หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี
“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง
ค้นหาปัญหาและแก้ไข!
การแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างในคณิตศาสตร์เป็นไปไม่ได้เลยหากไม่มีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความของวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร ทางกายภาพคืออะไร และ ความหมายทางเรขาคณิตจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้อย่างไร? คำถามทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมเป็นหนึ่งเดียว: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร?
ความหมายทางเรขาคณิตและฟิสิกส์ของอนุพันธ์
ให้มีฟังก์ชัน ฉ(x) ระบุไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง (ก ข) . คะแนน x และ x0 อยู่ในช่วงนี้ เมื่อ x เปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไปด้วย การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างในค่าของมัน x-x0 . ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ การเปลี่ยนแปลงหรือการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุด คำจำกัดความของอนุพันธ์:
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์
มิฉะนั้นจะเขียนได้ดังนี้:
จุดประสงค์ของการค้นหาขีด จำกัด ดังกล่าวคืออะไร? และนี่คือสิ่งที่:
อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน OX และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด
ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์: อนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลาเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง
อันที่จริงตั้งแต่สมัยเรียนทุกคนก็รู้ดีว่าความเร็วเป็นเส้นทางเฉพาะ x=ฉ(เสื้อ) และเวลา ที . ความเร็วเฉลี่ยในช่วงระยะเวลาหนึ่ง:
เพื่อค้นหาความเร็วของการเคลื่อนไหวในขณะนั้น t0 คุณต้องคำนวณขีดจำกัด:
กฎข้อที่หนึ่ง: ตั้งค่าคงที่
ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้ ยิ่งกว่านั้นจะต้องทำสิ่งนี้ เมื่อแก้ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ ให้ถือเป็นกฎ - หากคุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ได้ อย่าลืมทำให้ง่ายขึ้นด้วย .
ตัวอย่าง. มาคำนวณอนุพันธ์กัน:
กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลรวมของสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชัน
เราจะไม่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่จะพิจารณาตัวอย่างเชิงปฏิบัติแทน
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองฟังก์ชันคำนวณโดยสูตร:
ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
สารละลาย:
สิ่งสำคัญคือต้องพูดถึงการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่นี่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ
ในตัวอย่างข้างต้น เราเจอนิพจน์:
ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์นั้น ขั้นแรกเราจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ตัวกลาง จากนั้นจึงคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ
กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน
สูตรหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:
เราพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์สำหรับหุ่นจำลองตั้งแต่เริ่มต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นควรระมัดระวังในการคำนวณอนุพันธ์
หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่นๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักศึกษาได้ ในระยะเวลาอันสั้น เราจะช่วยคุณแก้การทดสอบที่ยากที่สุดและเข้าใจงานต่างๆ แม้ว่าคุณจะไม่เคยคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม
วันที่: 20/11/2557
อนุพันธ์คืออะไร?
ตารางอนุพันธ์
อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดหลักของคณิตศาสตร์ชั้นสูง ในบทนี้เราจะแนะนำแนวคิดนี้ มาทำความรู้จักกันโดยไม่ต้องมีสูตรทางคณิตศาสตร์และการพิสูจน์ที่เข้มงวด
ความคุ้นเคยนี้จะช่วยให้คุณ:
เข้าใจสาระสำคัญของงานง่ายๆ ด้วยอนุพันธ์
แก้ปัญหางานที่ง่ายที่สุดเหล่านี้ได้สำเร็จ
เตรียมบทเรียนที่จริงจังยิ่งขึ้นเกี่ยวกับอนุพันธ์
ประการแรก - เซอร์ไพรส์ที่น่ายินดี)
คำจำกัดความที่เข้มงวดของอนุพันธ์นั้นขึ้นอยู่กับทฤษฎีขีดจำกัดและสิ่งนี้ค่อนข้างซับซ้อน นี่เป็นเรื่องที่น่าหงุดหงิด แต่ตามกฎแล้วการประยุกต์ใช้อนุพันธ์ในทางปฏิบัติไม่จำเป็นต้องมีความรู้ที่กว้างขวางและลึกซึ้งเช่นนี้!
แค่รู้ก็เพียงพอที่จะทำงานส่วนใหญ่ในโรงเรียนและมหาวิทยาลัยให้สำเร็จ เพียงไม่กี่เงื่อนไข- เพื่อทำความเข้าใจงานและ กฎเพียงไม่กี่ข้อ- เพื่อแก้ปัญหา นั่นคือทั้งหมดที่ นี่ทำให้ฉันมีความสุข
มาเริ่มทำความรู้จักกันดีกว่า?)
ข้อกำหนดและการกำหนด
มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันมากมายในคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา การบวก ลบ การคูณ การยกกำลัง ลอการิทึม ฯลฯ หากคุณเพิ่มการดำเนินการอีกหนึ่งรายการให้กับการดำเนินการเหล่านี้ คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาก็จะสูงขึ้น การดำเนินการใหม่นี้เรียกว่า ความแตกต่างคำจำกัดความและความหมายของการดำเนินการนี้จะกล่าวถึงในบทเรียนที่แยกจากกัน
สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจในที่นี้ว่าการสร้างความแตกต่างเป็นเพียงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชัน เราใช้ฟังก์ชั่นใด ๆ และแปลงมันตามกฎเกณฑ์บางประการ ผลลัพธ์จะเป็นฟังก์ชันใหม่ ฟังก์ชันใหม่นี้เรียกว่า: อนุพันธ์
ความแตกต่าง- การกระทำบนฟังก์ชัน
อนุพันธ์- ผลของการกระทำนี้
เช่นเดียวกับตัวอย่างเช่น ผลรวม- ผลลัพธ์ของการบวก หรือ ส่วนตัว- ผลการแบ่งส่วน
เมื่อรู้เงื่อนไขแล้วอย่างน้อยคุณก็สามารถเข้าใจงานได้) สูตรมีดังนี้: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน หาอนุพันธ์; แยกความแตกต่างของฟังก์ชัน คำนวณอนุพันธ์และอื่น ๆ นี่คือทั้งหมด เดียวกัน.แน่นอนว่ายังมีงานที่ซับซ้อนกว่าด้วย โดยการค้นหาอนุพันธ์ (ความแตกต่าง) จะเป็นเพียงขั้นตอนหนึ่งในการแก้ปัญหา
อนุพันธ์จะแสดงด้วยเครื่องหมายขีดกลางที่มุมขวาบนของฟังก์ชัน แบบนี้: คุณ"หรือ ฉ"(x)หรือ เซนต์)และอื่น ๆ
การอ่าน igrek จังหวะ, ef จังหวะจาก x, es จังหวะจาก te,เข้าใจแล้ว...)
ไพรม์ยังสามารถระบุอนุพันธ์ของฟังก์ชันเฉพาะได้ เช่น (2x+3)", (x 3 )" , (บาป)"ฯลฯ อนุพันธ์มักจะแสดงโดยใช้ส่วนต่าง แต่เราจะไม่พิจารณาสัญลักษณ์ดังกล่าวในบทเรียนนี้
สมมติว่าเราได้เรียนรู้ที่จะเข้าใจงานต่างๆ สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหา) ฉันขอเตือนคุณอีกครั้ง: การค้นหาอนุพันธ์คือ การเปลี่ยนแปลงฟังก์ชันตามกฎเกณฑ์บางประการน่าแปลกที่มีกฎเหล่านี้น้อยมาก
ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คุณจำเป็นต้องรู้เพียงสามสิ่งเท่านั้น สามเสาหลักที่ตั้งอยู่บนความแตกต่างทั้งหมด นี่คือสามเสาหลักเหล่านี้:
1. ตารางอนุพันธ์ (สูตรความแตกต่าง)
3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
มาเริ่มกันตามลำดับ ในบทนี้เราจะดูตารางอนุพันธ์
ตารางอนุพันธ์
ในโลก - ชุดอนันต์ฟังก์ชั่น. ในบรรดาความหลากหลายนี้มีฟังก์ชันที่สำคัญที่สุดสำหรับ การประยุกต์ใช้จริง. ฟังก์ชั่นเหล่านี้พบได้ในกฎธรรมชาติทั้งหมด จากฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับจากอิฐ คุณสามารถสร้างฟังก์ชันอื่นๆ ทั้งหมดได้ คลาสของฟังก์ชันนี้เรียกว่า ฟังก์ชันเบื้องต้นฟังก์ชั่นเหล่านี้ได้รับการศึกษาที่โรงเรียน - เชิงเส้น, สมการกำลังสอง, ไฮเปอร์โบลา ฯลฯ
ความแตกต่างของฟังก์ชัน "ตั้งแต่เริ่มต้น" เช่น จากคำจำกัดความของอนุพันธ์และทฤษฎีขีดจำกัด นี่เป็นสิ่งที่ต้องใช้แรงงานมาก และนักคณิตศาสตร์ก็เป็นคนเช่นกัน ใช่ ใช่!) ดังนั้น พวกเขาจึงทำให้ชีวิตของพวกเขา (และเรา) ง่ายขึ้น พวกเขาคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานที่อยู่ตรงหน้าเรา ผลลัพธ์ที่ได้คือตารางอนุพันธ์ซึ่งทุกอย่างพร้อมแล้ว)
นี่ครับ จานนี้ฟังก์ชั่นยอดนิยม ซ้าย - ฟังก์ชั่นเบื้องต้นทางด้านขวาคืออนุพันธ์ของมัน
การทำงาน ย |
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y คุณ" |
|
1 | ค ( คงที่) | ค" = 0 |
2 | x | x" = 1 |
3 | xn (n - หมายเลขใด ๆ ) | (x n)" = n x n-1 |
x 2 (น = 2) | (x 2)" = 2x | |
4 | บาป x | (บาป x)" = cosx |
เพราะ x | (cos x)" = - บาป x | |
ทีจีเอ็กซ์ | ||
ซีทีจี x | ||
5 | อาร์คซิน x | |
อาร์คคอส x | ||
อาร์คแทน เอ็กซ์ | ||
อาร์คซีจี x | ||
4 | ก x | |
จ x | ||
5 | บันทึก ก x | |
ใน x ( ก = อี) |
ฉันแนะนำให้ใส่ใจกับฟังก์ชันกลุ่มที่สามในตารางอนุพันธ์นี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลังเป็นหนึ่งในสูตรที่ใช้บ่อยที่สุด หากไม่ใช่สูตรที่ธรรมดาที่สุด! คุณได้รับคำใบ้หรือไม่) ใช่ขอแนะนำให้รู้ตารางอนุพันธ์ด้วยใจ อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่เรื่องยากอย่างที่คิด ลองแก้ตัวอย่างเพิ่มเติมตารางจะจำได้!)
การค้นหาค่าตารางของอนุพันธ์ตามที่คุณเข้าใจไม่ใช่งานที่ยากที่สุด ดังนั้นบ่อยครั้งมากในงานดังกล่าวจึงมีชิปเพิ่มเติม ไม่ว่าจะในถ้อยคำของงานหรือในฟังก์ชั่นดั้งเดิมซึ่งดูเหมือนจะไม่มีอยู่ในตาราง...
ลองดูตัวอย่างบางส่วน:
1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = x 3
ไม่มีฟังก์ชันดังกล่าวในตาราง แต่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังอยู่ ปริทัศน์(กลุ่มที่สาม) ในกรณีของเรา n=3 ดังนั้นเราจึงแทนที่สามแทน n และจดผลลัพธ์อย่างระมัดระวัง:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
แค่นั้นแหละ.
คำตอบ: ย" = 3x 2
2. ค้นหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = sinx ที่จุด x = 0
งานนี้หมายความว่าคุณต้องหาอนุพันธ์ของไซน์ก่อน แล้วจึงแทนค่า x = 0ในอนุพันธ์นี้เอง ตามลำดับนั่นแหละ!มิฉะนั้นจะเกิดขึ้นว่าพวกเขาแทนที่ศูนย์ทันทีในฟังก์ชันดั้งเดิม... เราถูกขอให้ค้นหาไม่ใช่ค่าของฟังก์ชันดั้งเดิม แต่เป็นค่า อนุพันธ์ของมันผมขอเตือนคุณว่าอนุพันธ์คือฟังก์ชันใหม่
การใช้แท็บเล็ตเราจะค้นหาไซน์และอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้อง:
y" = (บาป x)" = cosx
เราแทนที่ศูนย์เป็นอนุพันธ์:
y"(0) = cos 0 = 1
นี่จะเป็นคำตอบ
3. สร้างความแตกต่างให้กับฟังก์ชัน:
มันเป็นแรงบันดาลใจอะไร?) ตารางอนุพันธ์ไม่มีฟังก์ชันดังกล่าว
ผมขอเตือนคุณว่าการแยกแยะฟังก์ชันก็แค่หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ หากคุณลืมตรีโกณมิติเบื้องต้น การมองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเราค่อนข้างยุ่งยาก โต๊ะไม่ได้ช่วยอะไร...
แต่ถ้าเราเห็นว่าหน้าที่ของเราคือ โคไซน์ มุมคู่ แล้วทุกอย่างจะดีขึ้นทันที!
ใช่ ๆ! จำไว้ว่าการแปลงฟังก์ชันดั้งเดิม ก่อนที่จะสร้างความแตกต่างค่อนข้างยอมรับได้! และมันก็ทำให้ชีวิตง่ายขึ้นมาก ใช้สูตรโคไซน์มุมคู่:
เหล่านั้น. ฟังก์ชั่นที่ยุ่งยากของเรานั้นไม่มีอะไรมากไปกว่า y = cosx. และนี่คือฟังก์ชันตาราง เราได้รับทันที:
คำตอบ: y" = - บาป x.
ตัวอย่างสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาระดับสูงและนักศึกษา:
4. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:
แน่นอนว่าไม่มีฟังก์ชันดังกล่าวในตารางอนุพันธ์ แต่ถ้าคุณจำคณิตศาสตร์เบื้องต้น การดำเนินการด้วยกำลัง... ก็เป็นไปได้ที่จะทำให้ฟังก์ชันนี้ง่ายขึ้น แบบนี้:
และ x ยกกำลัง 1/10 ก็เป็นฟังก์ชันตารางอยู่แล้ว! กลุ่มที่สาม n=1/10 เราเขียนโดยตรงตามสูตร:
นั่นคือทั้งหมดที่ นี่จะเป็นคำตอบ
ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจนกับเสาหลักแรกของความแตกต่าง - ตารางอนุพันธ์ ยังคงต้องจัดการกับวาฬสองตัวที่เหลืออยู่ ในบทต่อไป เราจะเรียนรู้กฎของการสร้างความแตกต่าง
ในบทความนี้เราจะให้แนวคิดพื้นฐานซึ่งจะใช้ทฤษฎีเพิ่มเติมทั้งหมดในหัวข้ออนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง
เส้นทาง x คืออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน f(x) และเป็นจำนวนเล็กน้อยที่แตกต่างจากศูนย์
(อ่านว่า “เดลต้า x”) เรียกว่า การเพิ่มอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน. ในรูป เส้นสีแดงแสดงการเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์จากค่า x เป็นค่า (ดังนั้น สาระสำคัญของชื่อ "ส่วนเพิ่ม" ของอาร์กิวเมนต์)
เมื่อย้ายจากค่าของอาร์กิวเมนต์ไปเป็นค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไปตามจากเป็นโดยมีเงื่อนไขว่าฟังก์ชันเป็นแบบโมโนโทนิกในช่วงเวลา ที่เรียกว่าความแตกต่าง การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน f(x)ซึ่งสอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์นี้ ในรูป การเพิ่มฟังก์ชันจะแสดงด้วยเส้นสีน้ำเงิน
ลองดูแนวคิดเหล่านี้โดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ
ยกตัวอย่างฟังก์ชัน . ให้เราแก้ไขประเด็นและส่วนเพิ่มของการโต้แย้ง ในกรณีนี้ การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันเมื่อย้ายจากเป็นจะเท่ากับ
การเพิ่มขึ้นที่เป็นลบบ่งชี้ถึงการลดลงของฟังก์ชันในส่วนนั้น
ภาพประกอบกราฟฟิค
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง.
ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) ถูกกำหนดไว้ในช่วงเวลา (a; b) และเป็นจุดของช่วงเวลานี้ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ที่จุดเรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ที่ กำหนด .
เมื่อขีดจำกัดสุดท้ายใช้กับค่าสุดท้ายที่เฉพาะเจาะจง เราจะพูดถึงการดำรงอยู่ อนุพันธ์จำกัด ณ จุดนั้น. ถ้าขีดจำกัดไม่มีที่สิ้นสุดเขาก็พูดอย่างนั้น อนุพันธ์ไม่มีที่สิ้นสุด ณ จุดที่กำหนด. หากไม่มีขีดจำกัดแล้ว ไม่มีอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนี้.
ฟังก์ชัน f(x) ถูกเรียก แยกแยะได้ตรงจุดเมื่อมันมีอนุพันธ์จำกัดอยู่ในนั้น
หากฟังก์ชัน f(x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ในแต่ละจุดของช่วงเวลาหนึ่ง (a; b) ฟังก์ชันนั้นจะถูกเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลานี้ ดังนั้นจุด x ใดๆ จากช่วงเวลา (a; b) สามารถเชื่อมโยงกับค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนี้ได้ นั่นคือเรามีโอกาสที่จะกำหนดฟังก์ชันใหม่ ซึ่งเรียกว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) ในช่วงเวลา (a; b).
การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง.
ขอให้เราสร้างความแตกต่างในลักษณะของแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งและตามช่วงเวลา อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งคือตัวเลข และอนุพันธ์ของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่งคือฟังก์ชัน
ลองดูตัวอย่างนี้เพื่อให้ภาพชัดเจนยิ่งขึ้น เมื่อสร้างความแตกต่าง เราจะใช้คำจำกัดความของอนุพันธ์ นั่นคือ เราจะดำเนินการค้นหาขีดจำกัดต่อไป หากมีปัญหาเกิดขึ้น เราขอแนะนำให้คุณดูส่วนทฤษฎี
ตัวอย่าง.
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดโดยใช้นิยาม
สารละลาย.
เนื่องจากเรากำลังมองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง คำตอบจึงต้องเป็นตัวเลข ลองเขียนขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์และใช้สูตรตรีโกณมิติ: