ปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยม ปริมาตรและพื้นที่ผิวของปริซึมทรงสี่เหลี่ยมปกติ

ปริซึมโดยตรง พื้นผิวและปริมาตรของปริซึมโดยตรง

§ 68. ปริมาณของปริซึมโดยตรง

1. ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก

สมมติว่าเราต้องค้นหาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่ฐานเท่ากับ S และความสูงเท่ากับ ชม.= AA" = = BB" = SS" (รูปวาด 306)

ให้เราวาดฐานของปริซึมแยกกัน เช่น สามเหลี่ยม ABC (รูปที่ 307, a) และสร้างมันขึ้นมาเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งเราวาดเส้นตรง KM ผ่านจุดยอด B || AC และจากจุด A และ C เราลด AF และ CE ตั้งฉากลงในบรรทัดนี้ เราได้สี่เหลี่ยม ACEF เมื่อวาดส่วนสูง ВD ของสามเหลี่ยม ABC เราจะเห็นว่าสี่เหลี่ยม ACEF แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก 4 รูป นอกจากนี้ /\ ทั้งหมด = /\ บีซีดีและ /\ วีเอเอฟ = /\ ภาษีมูลค่าเพิ่ม ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ACEF จะเพิ่มเป็นสองเท่า พื้นที่มากขึ้นสามเหลี่ยม ABC เช่น เท่ากับ 2S

สำหรับปริซึมที่มีฐาน ABC เราจะติดปริซึมที่มีฐาน ALL และ BAF และความสูง ชม.(รูปที่ 307 ข) เราได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกับฐาน
เอซีเอฟ.

หากเราผ่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้โดยมีระนาบผ่านเส้นตรง BD และ BB" เราจะเห็นว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานประกอบด้วยปริซึม 4 อันพร้อมฐาน
BCD, ทั้งหมด, BAD และ BAF

ปริซึมที่มีฐาน BCD และ VSE สามารถนำมารวมกันได้ เนื่องจากฐานเท่ากัน ( /\ วซีดี = /\ BSE) และขอบด้านข้างก็เท่ากัน ซึ่งตั้งฉากกับระนาบเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าปริมาตรของปริซึมเหล่านี้เท่ากัน ปริมาตรของปริซึมที่มีฐาน BAD และ BAF ก็เท่ากัน

ดังนั้นปรากฎว่าปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมที่กำหนดมีฐาน
ABC คือครึ่งหนึ่งของปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐาน ACEF

เรารู้ว่าปริมาตรของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของมันนั่นคือ ในกรณีนี้จะเท่ากับ 2S ชม.- ดังนั้น ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากนี้จึงเท่ากับ S ชม..

ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของมัน

2. ปริมาตรของปริซึมเหลี่ยมมุมฉาก

การหาปริมาตรของปริซึมฐานหลายเหลี่ยมมุมฉาก เช่น ปริซึมฐานห้าเหลี่ยม โดยมีพื้นที่ฐาน S และความสูง ชม.ลองแบ่งออกเป็นปริซึมสามเหลี่ยม (รูปที่ 308)

แทนพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมด้วย S 1, S 2 และ S 3 และปริมาตรของปริซึมรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดด้วย V เราได้รับ:

วี = ส 1 ชม.+ ส 2 ชม.+ ส 3 ชม., หรือ
วี = (ส 1 + ส 2 + ส 3) ชม..

และสุดท้าย: V = S ชม..

ในทำนองเดียวกัน จะได้สูตรสำหรับปริมาตรของปริซึมตรงที่มีรูปหลายเหลี่ยมใดๆ อยู่ที่ฐาน

วิธี, ปริมาตรของปริซึมขวาใด ๆ เท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของมัน

แบบฝึกหัด

1. คำนวณปริมาตรของปริซึมตรงที่มีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ฐานโดยใช้ข้อมูลต่อไปนี้

2. คำนวณปริมาตรของปริซึมตรงที่มีสามเหลี่ยมอยู่ที่ฐานโดยใช้ข้อมูลต่อไปนี้

3. คำนวณปริมาตรของปริซึมตรงที่มีฐานเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า โดยมีด้านยาว 12 ซม. (32 ซม., 40 ซม.) ปริซึมสูง 60 ซม.

4. คำนวณปริมาตรของปริซึมตรงที่มีฐานเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีขายาว 12 ซม. และ 8 ซม. (16 ซม. และ 7 ซม.; 9 ม. และ 6 ม.) ความสูงของปริซึมคือ 0.3 ม.

5. คำนวณปริมาตรของปริซึมตรงที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ด้านขนาน 18 ซม. และ 14 ซม. และสูง 7.5 ซม. ความสูงของปริซึมคือ 40 ซม.

6. คำนวณปริมาตรห้องเรียนของคุณ (หอพลศึกษา, ห้องของคุณ)

7. พื้นผิวทั้งหมดของลูกบาศก์คือ 150 ซม. 2 (294 ซม. 2, 864 ซม. 2) คำนวณปริมาตรของลูกบาศก์นี้

8. ความยาวของอิฐอาคารคือ 25.0 ซม. ความกว้าง 12.0 ซม. ความหนา 6.5 ซม. ก) คำนวณปริมาตร b) กำหนดน้ำหนักถ้า 1 ลูกบาศก์เซนติเมตรอิฐมีน้ำหนัก 1.6 กรัม

9. ต้องใช้อิฐจำนวนกี่ก้อนในการสร้างของแข็ง กำแพงอิฐมีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ยาว 12 เมตร กว้าง 0.6 เมตร สูง 10 เมตร ? (ขนาดอิฐจากแบบฝึกหัดที่ 8)

10. ความยาวของกระดานที่ตัดเรียบร้อยคือ 4.5 ม. กว้าง 35 ซม. ความหนา 6 ซม. ก) คำนวณปริมาตร b) กำหนดน้ำหนักหากกระดานลูกบาศก์เดซิเมตรมีน้ำหนัก 0.6 กก.

11. หญ้าแห้งสามารถวางซ้อนกันได้กี่ตันในชั้นหญ้าแห้งที่คลุมด้วยหลังคาหน้าจั่ว (รูปที่ 309) ถ้าความยาวของหญ้าแห้งคือ 12 ม. กว้าง 8 ม. สูง 3.5 ม. และความสูงของหญ้าแห้งคือ 12 ม. สันหลังคาสูง 1.5 ม.? - ความถ่วงจำเพาะใช้หญ้าแห้งเท่ากับ 0.2)

12. ต้องขุดคูน้ำยาว 0.8 กม. ในส่วนของคูน้ำควรมีรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีฐาน 0.9 ม. และ 0.4 ม. และความลึกของคูน้ำควรอยู่ที่ 0.5 ม. (รูปวาด 310) จะต้องกำจัดดินออกไปกี่ลูกบาศก์เมตร?

ปริซึมมีปริมาตรเท่าใด และหาได้อย่างไร

ปริมาตรของปริซึมเป็นผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของปริซึม

อย่างไรก็ตาม เรารู้ว่าที่ฐานของปริซึมสามารถมีสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือรูปทรงหลายเหลี่ยมอื่นๆ ได้

ดังนั้น หากต้องการหาปริมาตรของปริซึม คุณเพียงแค่ต้องคำนวณพื้นที่ฐานของปริซึม แล้วคูณพื้นที่นี้ด้วยความสูงของมัน

นั่นคือถ้ามีสามเหลี่ยมอยู่ที่ฐานของปริซึม คุณต้องหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมก่อน หากฐานของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือรูปหลายเหลี่ยมอื่น คุณต้องหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือรูปหลายเหลี่ยมอื่นก่อน

ควรจำไว้ว่าความสูงของปริซึมนั้นตั้งฉากกับฐานของปริซึม

ปริซึมคืออะไร

ทีนี้มาจำนิยามของปริซึมกัน

ปริซึมคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้า 2 หน้า (ฐาน) อยู่ ระนาบขนานและขอบทั้งหมดที่อยู่ด้านนอกใบหน้าเหล่านี้จะขนานกัน

พูดง่ายๆ ก็คือ:

ปริซึมคือรูปทรงเรขาคณิตใดๆ ที่มีฐานสองฐานเท่ากันและมีหน้าแบน

ชื่อของปริซึมขึ้นอยู่กับรูปร่างของฐาน เมื่อฐานของปริซึมเป็นรูปสามเหลี่ยม ปริซึมดังกล่าวจะเรียกว่าสามเหลี่ยม ปริซึมหลายเหลี่ยมคือรูปทรงเรขาคณิตที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม ปริซึมก็เป็นทรงกระบอกชนิดหนึ่ง

ปริซึมมีกี่ประเภท?

หากเราดูภาพด้านบนเราจะเห็นว่าปริซึมมีลักษณะตรง สม่ำเสมอ และเฉียง

ออกกำลังกาย

1. ปริซึมใดเรียกว่าถูกต้อง
2. ทำไมถึงเรียกอย่างนั้น?
3. ปริซึมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติชื่ออะไร?
4. รูปนี้สูงเท่าไร?
5. ปริซึมที่มีขอบไม่ตั้งฉากเรียกว่าอะไร?
6. กำหนดปริซึมสามเหลี่ยม
7. ปริซึมสามารถเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้หรือไม่?
8. รูปทรงเรขาคณิตใดที่เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมกึ่งปกติ?

ปริซึมประกอบด้วยองค์ประกอบอะไรบ้าง?

ปริซึมประกอบด้วยองค์ประกอบต่างๆ เช่น ฐานล่างและฐานบน หน้าด้านข้าง ขอบ และจุดยอด

ฐานทั้งสองของปริซึมอยู่ในระนาบและขนานกัน
ใบหน้าด้านข้างของปิรามิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
พื้นผิวด้านข้างของปิรามิดคือผลรวมของพื้นผิวด้านข้าง
ด้านทั่วไปของใบหน้าด้านข้างนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าขอบด้านข้างของรูปที่กำหนด
ความสูงของปิรามิดคือส่วนที่เชื่อมต่อระนาบของฐานและตั้งฉากกับพวกมัน

คุณสมบัติของปริซึม

รูปทรงเรขาคณิต เช่น ปริซึม มีคุณสมบัติหลายประการ มาดูคุณสมบัติเหล่านี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น:

ประการแรก ฐานของปริซึมจะมีรูปหลายเหลี่ยมเท่ากัน
ประการที่สอง ใบหน้าด้านข้างของปริซึมจะแสดงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ประการที่สาม รูปทรงเรขาคณิตนี้มีขอบที่ขนานและเท่ากัน
ประการที่สี่ พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมคือ:

ตอนนี้เรามาดูทฤษฎีบทซึ่งมีสูตรที่ใช้ในการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างและการพิสูจน์

คุณเคยคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้หรือไม่ ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจปริซึมไม่เพียงแต่เป็นวัตถุทรงเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังรวมถึงวัตถุอื่นๆ รอบตัวเราด้วย แม้แต่เกล็ดหิมะธรรมดาก็สามารถเปลี่ยนเป็นปริซึมน้ำแข็งได้ โดยมีรูปร่างเป็นหกเหลี่ยม ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับอุณหภูมิ

แต่ผลึกแคลไซต์มีปรากฏการณ์พิเศษที่แตกออกเป็นชิ้นเล็กชิ้นน้อยและมีรูปร่างขนานกัน และสิ่งที่น่าทึ่งที่สุดคือไม่ว่าผลึกแคลไซต์จะถูกบดขยี้เป็นชิ้นเล็กๆ เพียงใด ผลลัพธ์ก็เหมือนเดิมเสมอ นั่นคือกลายเป็นผลึกขนาดจิ๋วที่ขนานกัน

ปรากฎว่าปริซึมได้รับความนิยมไม่เพียง แต่ในคณิตศาสตร์เท่านั้นซึ่งแสดงให้เห็นถึงรูปร่างทางเรขาคณิต แต่ยังอยู่ในสาขาศิลปะด้วยเนื่องจากเป็นพื้นฐานของภาพวาดที่สร้างขึ้นโดยศิลปินผู้ยิ่งใหญ่เช่น P. Picasso, Braque, Griss และอื่น ๆ

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" มีหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ได้ 60-65 คะแนน ทำภารกิจทั้งหมด 1-13 ของการสอบ Profile Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ให้สมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครู ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีที่รวดเร็วแนวทางแก้ไข ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี, วัสดุอ้างอิง, วิเคราะห์งาน Unified State Examination ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนที่จะยัดเยียด คำอธิบายด้วยภาพ แนวคิดที่ซับซ้อน- พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของส่วนที่ 2 ของการสอบ Unified State

ในหลักสูตรของโรงเรียนสำหรับหลักสูตร Stereometry การศึกษาตัวเลขสามมิติมักจะเริ่มต้นด้วยรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่าย - รูปทรงหลายเหลี่ยมของปริซึม บทบาทของฐานนั้นแสดงโดยรูปหลายเหลี่ยม 2 รูปเท่ากันซึ่งอยู่ในระนาบขนานกัน กรณีพิเศษคือปริซึมทรงสี่เหลี่ยมปกติ ฐานของมันคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ 2 อันที่เหมือนกัน โดยด้านข้างตั้งฉากกัน โดยมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (หรือสี่เหลี่ยม ถ้าปริซึมไม่เอียง)

ปริซึมมีลักษณะอย่างไร?

ปริซึมรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติเป็นรูปหกเหลี่ยม โดยมีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 อัน และด้านด้านข้างแสดงด้วยสี่เหลี่ยมมุมฉาก อีกชื่อหนึ่งของรูปทรงเรขาคณิตนี้คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตรง

ภาพวาดที่แสดงปริซึมสี่เหลี่ยมแสดงอยู่ด้านล่าง

คุณยังสามารถเห็นในภาพ องค์ประกอบที่สำคัญที่สุดที่ประกอบเป็นรูปทรงเรขาคณิต- ซึ่งรวมถึง:

บางครั้งในปัญหาทางเรขาคณิต คุณอาจเจอแนวคิดของส่วนต่างๆ ได้ คำจำกัดความจะมีลักษณะดังนี้: ส่วนคือจุดทั้งหมดของปริมาตรที่อยู่ในระนาบการตัด ส่วนสามารถตั้งฉากได้ (ตัดขอบของรูปภาพที่มุม 90 องศา) สำหรับปริซึมสี่เหลี่ยม จะพิจารณาส่วนทแยงด้วย (จำนวนส่วนสูงสุดที่สามารถสร้างได้คือ 2) ผ่าน 2 ขอบและเส้นทแยงมุมของฐาน

ถ้าส่วนถูกวาดในลักษณะที่ระนาบการตัดไม่ขนานกับฐานหรือหน้าด้านข้าง ผลลัพธ์ที่ได้คือปริซึมที่ถูกตัดทอน

ในการค้นหาองค์ประกอบปริซึมที่ลดลง จะใช้ความสัมพันธ์และสูตรต่างๆ บางส่วนเป็นที่รู้จักจากหลักสูตร planimetry (ตัวอย่างเช่นหากต้องการหาพื้นที่ฐานของปริซึมก็เพียงพอที่จะจำสูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้)

พื้นที่ผิวและปริมาตร

ในการกำหนดปริมาตรของปริซึมโดยใช้สูตร คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ของฐานและความสูงของมัน:

V = สบาส ช

เนื่องจากฐานของปริซึมทรงสี่หน้าปกติเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านข้าง ก,คุณสามารถเขียนสูตรในรูปแบบรายละเอียดเพิ่มเติมได้:

วี = a²·ชม

หากเรากำลังพูดถึงลูกบาศก์ - ปริซึมปกติด้วย ความยาวเท่ากันความกว้างและความสูงคำนวณปริมาตรได้ดังนี้

เพื่อให้เข้าใจวิธีการหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึมคุณต้องจินตนาการถึงการพัฒนาของมัน

จากรูปวาดจะเห็นว่าพื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส 4 รูปที่มีขนาดเท่ากัน พื้นที่ของมันถูกคำนวณเป็นผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและความสูงของรูป:

Sside = ตำแหน่ง h

โดยคำนึงว่าเส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีค่าเท่ากับ พ = 4ก,สูตรอยู่ในรูปแบบ:

ไซด์ = 4ah

สำหรับลูกบาศก์:

ด้าน = 4a²

ในการคำนวณพื้นที่ผิวรวมของปริซึม คุณต้องเพิ่มพื้นที่ฐาน 2 แห่งให้กับพื้นที่ด้านข้าง:

Sfull = Sside + 2Smain

เมื่อสัมพันธ์กับปริซึมปกติรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สูตรจะมีลักษณะดังนี้:

รวม = 4ah + 2a²

สำหรับพื้นที่ผิวของลูกบาศก์:

เต็ม = 6a²

เมื่อรู้ปริมาตรหรือพื้นที่ผิวแล้ว คุณสามารถคำนวณองค์ประกอบแต่ละส่วนของตัวเรขาคณิตได้

การค้นหาองค์ประกอบของปริซึม

บ่อยครั้งที่มีปัญหาในการให้ปริมาตรหรือทราบค่าของพื้นที่ผิวด้านข้างซึ่งจำเป็นต้องกำหนดความยาวของด้านข้างของฐานหรือความสูง ในกรณีเช่นนี้ สามารถหาสูตรได้:

• ความยาวด้านฐาน: a = ด้าน / 4h = √(V / h);
• ความสูงหรือความยาวซี่โครงด้านข้าง: h = ด้าน / 4a = V / a²;
• พื้นที่ฐาน: Sbas = V / ชม.;
• บริเวณใบหน้าด้านข้าง: ด้านข้าง gr = ด้าน / 4.

หากต้องการทราบว่าส่วนทแยงมีพื้นที่เท่าใด คุณจำเป็นต้องทราบความยาวของเส้นทแยงมุมและความสูงของรูป สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ง = a√2จากนี้จะเป็นดังนี้:

ซเดียก = ah√2

ในการคำนวณเส้นทแยงมุมของปริซึม ให้ใช้สูตร:

รางวัล = √(2a² + h²)

เพื่อให้เข้าใจถึงวิธีใช้ความสัมพันธ์ที่กำหนด คุณสามารถฝึกฝนและแก้ไขงานง่ายๆ หลายๆ งานได้

ตัวอย่างปัญหาพร้อมวิธีแก้ไข

ต่อไปนี้เป็นงานบางส่วนที่พบในการสอบปลายภาควิชาคณิตศาสตร์

ภารกิจที่ 1

เททรายลงในกล่องที่มีรูปร่างเหมือนปริซึมสี่เหลี่ยมทั่วไป ความสูงของระดับคือ 10 ซม. ระดับทรายจะเป็นอย่างไรหากคุณย้ายมันไปไว้ในภาชนะที่มีรูปร่างเหมือนกัน แต่มีฐานยาวเป็นสองเท่า?

ควรให้เหตุผลดังนี้ ปริมาณทรายในภาชนะที่หนึ่งและที่สองไม่เปลี่ยนแปลงนั่นคือ ปริมาตรในนั้นเท่าเดิม คุณสามารถระบุความยาวของฐานได้โดย ก- ในกรณีนี้ สำหรับกล่องแรก ปริมาตรของสารจะเป็น:

V₁ = ฮ่า² = 10a²

กล่องที่ 2 ความยาวของฐานคือ 2กแต่ไม่ทราบความสูงของระดับทราย:

V₂ = ชั่วโมง (2a)² = 4ha²

เนื่องจาก วี₁ = วี₂เราสามารถเทียบเคียงนิพจน์ได้:

10a² = 4ha²

หลังจากลดสมการทั้งสองข้างลง a² เราจะได้:

ส่งผลให้ระดับทรายใหม่จะเป็น ชั่วโมง = 10/4 = 2.5ซม.

ภารกิจที่ 2

ABCDA₁B₁C₁D₁ เป็นปริซึมที่ถูกต้อง เป็นที่รู้กันว่า BD = AB₁ = 6√2 หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของร่างกาย

เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นว่าองค์ประกอบใดที่ทราบ คุณสามารถวาดรูปได้

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงปริซึมปกติ เราสามารถสรุปได้ว่าที่ฐานจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุม 6√2 เส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างมีขนาดเท่ากัน ดังนั้น ใบหน้าด้านข้างจึงมีรูปทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับฐานด้วย ปรากฎว่าสามมิติทั้งความยาว ความกว้าง และความสูง เท่ากัน เราสามารถสรุปได้ว่า ABCDA₁B₁C₁D₁ เป็นลูกบาศก์

ความยาวของขอบใดๆ จะถูกกำหนดโดยเส้นทแยงมุมที่ทราบ:

ก = ง / √2 = 6√2 / √2 = 6

พื้นที่ผิวทั้งหมดหาได้จากสูตรของลูกบาศก์:

เต็ม = 6a² = 6 6² = 216

ภารกิจที่ 3

ห้องกำลังอยู่ในระหว่างการปรับปรุง เป็นที่ทราบกันว่าพื้นมีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีพื้นที่ 9 ตร.ม. ความสูงของห้องคือ 2.5 ม. ราคาต่ำสุดในการติดวอลเปเปอร์คือเท่าไรถ้า 1 ตารางเมตรราคา 50 รูเบิล?

เนื่องจากพื้นและเพดานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เช่น รูปสี่เหลี่ยมปกติ และผนังตั้งฉากกับพื้นผิวแนวนอน เราจึงสรุปได้ว่านี่คือปริซึมปกติ จำเป็นต้องกำหนดพื้นที่พื้นผิวด้านข้าง

ความยาวของห้องคือ ก = √9 = 3ม.

พื้นที่จะปูด้วยวอลเปเปอร์ ด้านข้าง = 4 3 2.5 = 30 ตร.ม.

วอลเปเปอร์ราคาต่ำสุดสำหรับห้องนี้คือ 50·30 = 1500รูเบิล

ดังนั้น ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับปริซึมสี่เหลี่ยมนั้น ก็เพียงพอแล้วที่จะสามารถคำนวณพื้นที่และเส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ รวมทั้งรู้สูตรในการหาปริมาตรและพื้นที่ผิวด้วย

วิธีหาพื้นที่ของลูกบาศก์

ปริซึมที่แตกต่างกันจะแตกต่างกัน ในขณะเดียวกันก็มีอะไรที่เหมือนกันหลายอย่าง หากต้องการหาพื้นที่ฐานของปริซึมคุณจะต้องเข้าใจว่าปริซึมนั้นมีประเภทใด

ทฤษฎีทั่วไป

ปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ที่ด้านข้างมีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ยิ่งไปกว่านั้นฐานของมันสามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมใดก็ได้ตั้งแต่รูปสามเหลี่ยมไปจนถึงรูป n-gon ยิ่งไปกว่านั้น ฐานของปริซึมจะเท่ากันเสมอ สิ่งที่ใช้ไม่ได้กับใบหน้าด้านข้างคือขนาดอาจแตกต่างกันอย่างมาก

เมื่อแก้ไขปัญหาไม่เพียงแต่จะพบพื้นที่ฐานของปริซึมเท่านั้น อาจต้องอาศัยความรู้พื้นผิวด้านข้าง กล่าวคือ ใบหน้าทั้งหมดที่ไม่ใช่ฐาน พื้นผิวที่สมบูรณ์จะเป็นการรวมกันของใบหน้าทั้งหมดที่ประกอบกันเป็นปริซึม

บางครั้งปัญหาก็เกี่ยวข้องกับความสูง มันตั้งฉากกับฐาน เส้นทแยงมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกันเป็นคู่

ควรสังเกตว่าพื้นที่ฐานของปริซึมตรงหรือเอียงไม่ได้ขึ้นอยู่กับมุมระหว่างปริซึมกับใบหน้าด้านข้าง หากพวกมันมีรูปร่างเหมือนกันทั้งด้านบนและด้านล่าง พื้นที่ของพวกมันก็จะเท่ากัน

ปริซึมสามเหลี่ยม

ที่ฐานจะมีจุดยอดสามจุดคือรูปสามเหลี่ยม อย่างที่คุณทราบมันอาจจะแตกต่างออกไป ถ้าเป็นเช่นนั้น ก็เพียงพอที่จะจำไว้ว่าพื้นที่ของมันถูกกำหนดโดยครึ่งหนึ่งของผลคูณของขา

สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์มีลักษณะดังนี้: S = ½ av

เพื่อหาพื้นที่ฐานใน มุมมองทั่วไปสูตรจะมีประโยชน์: นกกระสาและสูตรที่ดึงด้านครึ่งหนึ่งขึ้นไปตามความสูงที่ดึงมา

ควรเขียนสูตรแรกดังนี้: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)) สัญกรณ์นี้ประกอบด้วยกึ่งเส้นรอบรูป (p) นั่นคือผลรวมของด้านทั้งสามหารด้วยสอง

ประการที่สอง: S = ½ n a * a

หากคุณต้องการหาพื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยมซึ่งเป็นปริซึมสม่ำเสมอ สามเหลี่ยมนั้นจะกลายเป็นด้านเท่ากันหมด มีสูตรดังนี้: S = ¼ a 2 * √3

ปริซึมสี่เหลี่ยม

ฐานของมันคือจตุรัสใดๆ ที่รู้จัก อาจเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็ได้ ในแต่ละกรณีในการคำนวณพื้นที่ฐานของปริซึม คุณจะต้องมีสูตรของคุณเอง

หากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่จะถูกกำหนดดังนี้ S = ab โดยที่ a, b คือด้านของสี่เหลี่ยม

เมื่อพูดถึงปริซึมสี่เหลี่ยม พื้นที่ฐานของปริซึมปกติจะคำนวณโดยใช้สูตรสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพราะเขาคือผู้ที่นอนอยู่ที่รากฐาน ส = ก 2

ในกรณีที่ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จะต้องมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: S = a * n a มันเกิดขึ้นที่ด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและมุมใดมุมหนึ่งได้รับมา จากนั้น ในการคำนวณความสูง คุณจะต้องใช้สูตรเพิ่มเติม: n a = b * sin A ยิ่งไปกว่านั้น มุม A อยู่ติดกับด้าน "b" และความสูง n อยู่ตรงข้ามกับมุมนี้

หากมีรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนอยู่ที่ฐานของปริซึม คุณจะต้องใช้สูตรเดียวกันกับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในการกำหนดพื้นที่ (เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษ) แต่คุณสามารถใช้สิ่งนี้ได้: S = ½ d 1 d 2 โดยที่ d 1 และ d 2 คือเส้นทแยงมุมสองเส้นของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ปริซึมห้าเหลี่ยมปกติ

กรณีนี้เกี่ยวข้องกับการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งจะหาพื้นที่ได้ง่ายกว่า แม้ว่ามันจะเกิดขึ้นที่ตัวเลขสามารถมีจำนวนจุดยอดที่แตกต่างกันได้

เนื่องจากฐานของปริซึมเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ จึงสามารถแบ่งรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ห้ารูป จากนั้นพื้นที่ฐานของปริซึมจะเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวหนึ่งอัน (ดูสูตรด้านบน) คูณด้วย 5

ปริซึมหกเหลี่ยมปกติ

ตามหลักการที่อธิบายไว้สำหรับปริซึมห้าเหลี่ยม เราสามารถแบ่งรูปหกเหลี่ยมของฐานออกเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ 6 รูป สูตรสำหรับพื้นที่ฐานของปริซึมดังกล่าวคล้ายกับสูตรก่อนหน้า ควรคูณด้วยหกเท่านั้น

สูตรจะมีลักษณะดังนี้: S = 3/2 a 2 * √3

งาน

ลำดับที่ 1 เมื่อพิจารณาจากเส้นตรงปกติ เส้นทแยงมุมคือ 22 ซม. ความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือ 14 ซม. คำนวณพื้นที่ฐานของปริซึมและพื้นผิวทั้งหมด

สารละลาย.ฐานของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ไม่ทราบด้านข้าง คุณสามารถหาค่าได้จากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส (x) ซึ่งสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมของปริซึม (d) และความสูง (h) x 2 = ง 2 - n 2 ในทางกลับกัน ส่วน “x” นี้ก็คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมซึ่งมีขาเท่ากับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส นั่นคือ x 2 = a 2 + a 2 ปรากฎว่า a 2 = (d 2 - n 2)/2

แทนที่ตัวเลข 22 แทน d และแทนที่ "n" ด้วยค่าของมัน - 14 ปรากฎว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ 12 ซม. ตอนนี้แค่หาพื้นที่ของฐาน: 12 * 12 = 144 ซม 2.

หากต้องการทราบพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมด คุณต้องเพิ่มพื้นที่ฐานสองเท่าและเพิ่มพื้นที่ด้านข้างเป็นสี่เท่า อย่างหลังสามารถพบได้ง่ายโดยใช้สูตรสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า: คูณความสูงของรูปทรงหลายเหลี่ยมและด้านข้างของฐาน นั่นคือ 14 และ 12 ตัวเลขนี้จะเท่ากับ 168 ซม. 2 พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมกลายเป็น 960 ซม. 2

คำตอบ.พื้นที่ฐานปริซึม 144 ซม. 2 พื้นผิวทั้งหมดคือ 960 ซม. 2

ลำดับที่ 2. ให้ไว้ที่ฐานมีรูปสามเหลี่ยมด้านหนึ่งยาว 6 ซม. ในกรณีนี้ เส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างคือ 10 ซม. จงคำนวณพื้นที่: ฐานและพื้นผิวด้านข้าง

สารละลาย.เนื่องจากปริซึมเป็นแบบปกติ ฐานจึงเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังนั้น พื้นที่ของมันจะเท่ากับ 6 กำลังสอง คูณด้วย ¼ และด้วยรากที่สองของ 3 การคำนวณอย่างง่ายนำไปสู่ผลลัพธ์: 9√3 ซม. 2 นี่คือพื้นที่ฐานหนึ่งของปริซึม

ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเหมือนกันและเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านขนาด 6 และ 10 ซม. หากต้องการคำนวณพื้นที่ ให้คูณตัวเลขเหล่านี้ แล้วคูณด้วยสาม เพราะปริซึมมีด้านหลายด้านพอดี จากนั้นพื้นที่ผิวด้านข้างของแผลจะเท่ากับ 180 ซม. 2

คำตอบ.พื้นที่: ฐาน - 9√3 ซม. 2, พื้นผิวด้านข้างของปริซึม - 180 ซม. 2