สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ "สูตรตรีโกณมิติ" ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ในมุมเดียวกัน

บทเรียนสาธารณะในพีชคณิตและหลักการวิเคราะห์ในหัวข้อ “ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ของมุมเดียวกัน” (ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10)

เป้า: การรับรู้ของนักเรียนและการรับรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับสิ่งใหม่ สื่อการศึกษาทำความเข้าใจความเชื่อมโยงและความสัมพันธ์ในวัตถุประสงค์ของการศึกษา

เกี่ยวกับการศึกษา : ที่มาของสูตรความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ของมุมเดียวกัน (จำนวน) เรียนรู้ที่จะใช้สูตรเหล่านี้เพื่อคำนวณค่าของไซน์และโคไซน์จากค่าที่กำหนดของหนึ่งในนั้น

พัฒนาการ : สอนวิเคราะห์ เปรียบเทียบ สร้างการเปรียบเทียบ สรุปและจัดระบบ พิสูจน์และหักล้าง นิยามและอธิบายแนวคิด พัฒนาและปรับปรุงความสามารถในการประยุกต์ความรู้ของนักเรียนในสถานการณ์ต่างๆ พัฒนาคำพูดทางคณิตศาสตร์ที่มีความสามารถของนักเรียนความสามารถในการกำหนดสูตรพูดน้อย

เกี่ยวกับการศึกษา: ปลูกฝังทัศนคติที่ดีต่อการทำงานและทัศนคติเชิงบวกต่อความรู้ ปลูกฝังความถูกต้องให้กับผู้เรียน มีความสามารถในการฟังและแสดงความคิดเห็น วัฒนธรรมของพฤติกรรม

ประหยัดสุขภาพ : สร้างบรรยากาศทางจิตใจที่สะดวกสบายในห้องเรียน บรรยากาศแห่งความร่วมมือ นักเรียน-ครู

ความรู้และทักษะ: คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน (ไซน์ โคไซน์) สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติตามไตรมาส ชุดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติยูความสามารถในการเลือกอย่างถูกต้อง สูตรที่ต้องการเพื่อแก้ไขงานเฉพาะ ทำงานกับเศษส่วนอย่างง่าย แปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ

ในระหว่างเรียน

เวลาจัดงาน:

ตรวจสอบความพร้อมของนักเรียนสำหรับบทเรียน การเปิดเว็บไซต์ครูบนคอมพิวเตอร์ (ภาคผนวก 1)

งานปากเปล่าในหัวข้อที่ครอบคลุม : “สัญญาณของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์”

บนโต๊ะ:

ออกกำลังกาย:

จัดเรียงเลขควอเตอร์ ประสานงานเครื่องบินและหาสัญญาณของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

ทำงานอิสระในหัวข้อนี้: “สัญญาณของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์”

นักเรียนเปิดส่วน “การมอบหมายบทเรียนวิชาตรีโกณมิติ” บนเว็บไซต์ การทดสอบตัวเอง

(นักเรียนทำภารกิจที่ 1 ตรวจสอบงานและประเมินตนเอง)

คำอธิบายของวัสดุใหม่

บนโต๊ะ:

x = … α , … ≤ cos α≤ … 2)* ตาล α = , α≠ …

ย= … α, … ≤ บาป α≤ … กะรัต α = , α≠ …

ออกกำลังกาย: เพิ่มสูตร

ครู : “คุณและฉันศึกษาแต่ละแนวคิดแยกกัน คุณคิดว่าหัวข้อใดสมเหตุสมผลที่จะศึกษาต่อไป”

( คำตอบที่แนะนำ: "การพึ่งพาระหว่างแนวคิดเหล่านี้")

หัวข้อของบทเรียนถูกกำหนดไว้: “ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ในมุมเดียวกัน”

ครู : “มีหลายวิธีในการแก้ปัญหานี้”

การใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ครู : “ลองดูทั้งสองอันแล้วเลือกอันที่สมเหตุสมผลที่สุด”

บนโต๊ะ:

นักเรียนได้รับความเท่าเทียมกันเพราะ 2 α + บาป 2 α = 1

ครู : “เราได้รับความเท่าเทียมกันที่ยุติธรรมสำหรับค่าใด ๆ ของตัวอักษรที่รวมอยู่ในนั้น ความเท่าเทียมกันดังกล่าวเรียกว่าอะไร?

( คำตอบที่แนะนำ : ตัวตน)

ครู : “จำไว้ว่าตัวตนเรียกว่าอะไรเพราะ 2 α + บาป 2 α = 1 »

เสริมสร้างเนื้อหาที่เรียนรู้

ครู: “เปิดตำราเรียนหน้า 147 หมายเลข 457 (2;4)” (นักเรียนที่ถูกเรียกให้แก้บนกระดาน)

ข) ครู: “ดำเนินการภารกิจที่ 2 ต่อไป เรากำลังดำเนินการกับทางเลือกต่างๆ" (การอภิปรายเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ได้รับ)

บนโต๊ะ:

ตัวเลือกที่ 1 ตัวเลือกที่ 2

ครู: “ในสูตรเหล่านี้รากมีเครื่องหมายนำหน้า”±» . อะไรเป็นตัวกำหนดว่าจะต้องใส่เครื่องหมายใดลงในสูตร”

(คำตอบที่แนะนำ: “ มุมการหมุนของจุด P(1;0)” ตั้งอยู่จากไตรมาสใด)

ข) ครู: “ดำเนินภารกิจหมายเลข 3 ต่อไป” (นักเรียนแก้ปัญหา ตรวจสอบบนกระดาน)

สรุปบทเรียน

ครู: "ทำได้ดี! เราจะสรุปบทเรียนโดยใช้ปริศนาอักษรไขว้” (ภารกิจที่ 4) (นักเรียนทำงานเป็นคู่ที่คอมพิวเตอร์)

7) การสะท้อนกลับในรูปแบบของแบบสอบถาม (ภาคผนวก 2)

ครู: “สรุปผลการเรียนของคุณในชั้นเรียนโดยทำแบบทดสอบให้เสร็จสิ้น”

8) การบ้าน

§25, เลขที่ 456, 457(1;3),460(1;3)

รายงาน

ลองค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างหลัก ฟังก์ชันตรีโกณมิติมุมเดียวกัน

ความสัมพันธ์ระหว่างโคไซน์และไซน์ในมุมเดียวกัน

รูปต่อไปนี้แสดงระบบพิกัด Oxy โดยส่วนของครึ่งวงกลมหน่วย ACB ที่แสดงอยู่ในนั้น โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O ส่วนนี้เป็นส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย วงกลมหน่วยอธิบายได้ด้วยสมการ

• x 2 +y 2 =1.

ดังที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าพิกัด y และ abscissa x สามารถแสดงเป็นไซน์และโคไซน์ของมุมได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

• บาป(ก) = y,
• คอส(ก) = x

การแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นสมการของวงกลมหน่วยเรามีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้

• (บาป(ก)) 2 + (คอส(ก)) 2 =1,

ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับค่าใดๆ ของมุม a เรียกว่าอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

จากหลัก เอกลักษณ์ตรีโกณมิติคุณสามารถแสดงฟังก์ชันหนึ่งผ่านอีกฟังก์ชันหนึ่งได้

• บาป(a) = ±√(1-(cos(a)) 2)
• cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2)

เครื่องหมายทางด้านขวาของสูตรนี้ถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านซ้ายของสูตรนี้

ตัวอย่างเช่น.

คำนวณ sin(a) ถ้า cos(a)=-3/5 และ pi

ลองใช้สูตรที่ให้ไว้ข้างต้น:

• บาป(a) = ±√(1-(cos(a)) 2)

ตั้งแต่ ปี่

• บาป(a) = ±√(1-(cos(a)) 2) = - √(1 – 9/25) = - 4/5

ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในมุมเดียวกัน

ทีนี้ ลองหาความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์กัน

ตามคำนิยาม tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a)

ลองคูณความเท่าเทียมกันเหล่านี้แล้วได้ tg(a)*ctg(a) =1

จากความเท่าเทียมกันนี้เราสามารถแสดงฟังก์ชันหนึ่งผ่านอีกฟังก์ชันหนึ่งได้ เราได้รับ:

• tg(ก) = 1/ctg(ก)
• CTG(ก) = 1/tg(ก)

ควรเข้าใจว่าความเท่าเทียมกันเหล่านี้จะใช้ได้เฉพาะเมื่อมี tg และ ctg เท่านั้น นั่นคือ สำหรับ a ใดๆ ยกเว้น a = k*pi/2 สำหรับจำนวนเต็ม k ใดๆ

ทีนี้ ลองใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานเพื่อค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคไซน์

ลองหารเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลักด้วย (cos(a)) 2 กัน (cos(a) ไม่เท่ากับศูนย์ ไม่เช่นนั้นจะไม่มีเส้นสัมผัสกัน

เราได้ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2

หารเทอมต่อเทอมเราจะได้:

• 1+(tg(a)) 2 = 1/(cos(a)) 2

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น สูตรนี้ถูกต้องหาก cos(a) ไม่เท่ากับศูนย์ นั่นคือ สำหรับทุกมุม a ยกเว้น a=pi/2 +pi*k สำหรับจำนวนเต็ม k ใดๆ

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ- สิ่งเหล่านี้คือความเท่าเทียมกันที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่างไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง ซึ่งช่วยให้คุณค้นหาฟังก์ชันใด ๆ เหล่านี้ได้ โดยมีเงื่อนไขว่าจะต้องรู้ฟังก์ชันอื่นด้วย

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

เอกลักษณ์นี้บอกว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์ของมุมหนึ่งกับกำลังสองของโคไซน์ของมุมหนึ่งเท่ากับหนึ่ง ซึ่งในทางปฏิบัติทำให้สามารถคำนวณไซน์ของมุมหนึ่งได้เมื่อทราบโคไซน์ของมันและในทางกลับกัน .

เมื่อแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติมักใช้เอกลักษณ์นี้ซึ่งช่วยให้คุณสามารถแทนที่ผลรวมของกำลังสองของโคไซน์และไซน์ของมุมหนึ่งด้วยหนึ่งมุมและดำเนินการแทนที่ในลำดับย้อนกลับ

การหาแทนเจนต์และโคแทนเจนต์โดยใช้ไซน์และโคไซน์

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

อัตลักษณ์เหล่านี้เกิดขึ้นจากคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ สุดท้ายแล้ว ถ้าคุณดูมัน ตามนิยามแล้ว พิกัด y เป็นไซน์ และแอบซิสซา x เป็นโคไซน์ จากนั้นแทนเจนต์จะเท่ากับอัตราส่วน \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)และอัตราส่วน \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- จะเป็นโคแทนเจนต์

ให้เราเพิ่มว่าเฉพาะมุม \alpha ที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่รวมอยู่ในมุมนั้นสมเหตุสมผลเท่านั้น อัตลักษณ์จะยังคงอยู่ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

ตัวอย่างเช่น: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)ใช้ได้กับมุม \alpha ที่แตกต่าง \frac(\pi)(2)+\pi z, ก ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- สำหรับมุม \alpha ที่ไม่ใช่ \pi z, z คือจำนวนเต็ม

ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

ข้อมูลประจำตัวนี้ใช้ได้กับมุม \alpha ที่แตกต่างเท่านั้น \frac(\pi)(2) z. มิฉะนั้น โคแทนเจนต์หรือแทนเจนต์จะไม่ถูกกำหนด

จากประเด็นข้างต้น เราจึงได้สิ่งนั้นมา tg \อัลฟา = \frac(y)(x), ก ctg \alpha=\frac(x)(y). มันเป็นไปตามนั้น tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. ดังนั้น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมเดียวกันที่มันเข้าท่า จึงเป็นตัวเลขผกผันซึ่งกันและกัน

ความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์กับโคไซน์ โคแทนเจนต์และไซน์

tg^(2) \อัลฟา + 1=\frac(1)(\cos^(2) \อัลฟา)- ผลรวมของกำลังสองของแทนเจนต์ของมุม \อัลฟา และ 1 เท่ากับกำลังสองผกผันของโคไซน์ของมุมนี้ ข้อมูลระบุตัวตนนี้ใช้ได้กับ \alpha ทั้งหมดยกเว้น \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \อัลฟา=\frac(1)(\sin^(2)\อัลฟา)- ผลรวมของ 1 และกำลังสองของโคแทนเจนต์ของมุม \อัลฟา เท่ากับกำลังสองผกผันของไซน์ของมุมที่กำหนด ข้อมูลระบุตัวตนนี้ใช้ได้กับ \alpha ใดๆ ที่แตกต่างจาก \pi z

ตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ไขปัญหาโดยใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหา \sin \alpha และ tg \alpha if \cos \อัลฟา=-\frac12และ \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

ฟังก์ชัน \sin \alpha และ \cos \alpha มีความสัมพันธ์กันโดยสูตร \sin^(2)\อัลฟา + \cos^(2) \alpha = 1. แทนลงในสูตรนี้ \cos \อัลฟา = -\frac12, เราได้รับ:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

สมการนี้มี 2 วิธี:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

ตามเงื่อนไข \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . ในไตรมาสที่สอง ไซน์เป็นบวก ดังนั้น \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

ในการหา tan \alpha เราใช้สูตร tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหา \cos \alpha และ ctg \alpha ถ้า และ \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

แสดงวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย

แทนลงในสูตร \sin^(2)\อัลฟา + \cos^(2) \alpha = 1หมายเลขที่กำหนด \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), เราได้รับ \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. สมการนี้มีสองคำตอบ \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

ตามเงื่อนไข \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . ในไตรมาสที่สองโคไซน์เป็นลบ ดังนั้น \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

เพื่อที่จะค้นหา ctg \alpha เราใช้สูตร ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). เรารู้ค่าที่สอดคล้องกัน

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

“ทฤษฎีบทของไซน์และโคไซน์” - 1) เขียนทฤษฎีบทของไซน์สำหรับสามเหลี่ยมที่กำหนด: หามุม B เขียนสูตรการคำนวณ: ทฤษฎีบทของไซน์: หาความยาวของด้าน BC ทฤษฎีบทของไซน์และโคไซน์ ด้านของสามเหลี่ยมเป็นสัดส่วนกับไซน์ของมุมตรงข้าม 2) เขียนทฤษฎีบทโคไซน์เพื่อคำนวณด้านของ MC: งานอิสระ:

“การแก้อสมการตรีโกณมิติ”- ค่า y ทั้งหมดในช่วงเวลา MN 1. การสร้างกราฟของฟังก์ชัน: ช่วงเวลาที่เหลือ เส้นตรง y=-1/2 ตัดกับไซนัสอยด์ด้วยจำนวนจุดที่ไม่สิ้นสุด และวงกลมตรีโกณมิติตัดกันที่จุด A ซึ่งเป็นจำนวนช่วงที่ไม่มีที่สิ้นสุด และบนไซน์ซอยด์ ช่วงของค่า x ใกล้เคียงกับจุดกำเนิดมากที่สุดโดยที่ sinx>-1/2

“สูตรตรีโกณมิติ” - สูตรสำหรับการแปลงผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นผลคูณ สูตรการแปลงผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นผลรวม สูตรการบวก โดยฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม?. สูตรมุมคู่ เมื่อเพิ่มความเท่าเทียมกัน (3) และ (4) ทีละเทอม เราจะได้: ให้เราได้รับสูตรเสริมที่ช่วยให้เราสามารถค้นหาได้

“การแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย”- เพราะ x วิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติ บาป อสมการตรีโกณมิติคืออสมการที่มีตัวแปรอยู่ในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ การแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย

"บาปและคอส"- จริงหรือไม่ที่โคไซน์ของ 6.5 มากกว่าศูนย์? ไซน์ของ 60° เท่ากับ?? จริงมั้ยที่คอส? เอ็กซ์ - จิบ? x = 1? สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคุณสมบัติของไซน์ โคไซน์... บทเรียนพีชคณิตและการวิเคราะห์เบื้องต้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 การแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการ อับซิสซาของจุดบนวงกลมหน่วย อัตราส่วนของโคไซน์ต่อไซน์...

“ทฤษฎีบทโคไซน์ของสามเหลี่ยม”- งานช่องปาก องค์ประกอบที่ไม่รู้จัก สามเหลี่ยม. ด้านสี่เหลี่ยมของรูปสามเหลี่ยม บอกทฤษฎีบทโคไซน์. ทฤษฎีบท. ทฤษฎีบทโคไซน์ การแก้ปัญหาบนกระดาษสี่เหลี่ยม มุมและด้านข้าง บอกทฤษฎีบทโคไซน์. งานตามแบบที่เสร็จแล้ว ข้อมูลที่แสดงในภาพ

มีการนำเสนอทั้งหมด 21 รายการ