ทฤษฎีเซตอนันต์ของคันทอร์ ความขัดแย้งของทฤษฎีเซตและการตีความเชิงปรัชญา

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor เกิดเมื่อวันที่ 4 มีนาคม พ.ศ. 2388 ที่เมืองเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก พ่อแม่ของเขาคือ Georg-Woldemar Kantor และ Maria Anna Boym คันตอร์ได้รับการเลี้ยงดูมาในฐานะโปรเตสแตนต์ผู้แข็งขัน และความรักในงานศิลปะของเขาได้รับการถ่ายทอดจากพ่อแม่ของเขามาให้เขา เชื่อกันว่าเขาเป็นนักไวโอลินที่โดดเด่น พ่อของเขาเป็นชาวเยอรมันและแม่ของเขาเป็นชาวรัสเซียซึ่งเข้าร่วมคริสตจักรนิกายโรมันคาทอลิก กับ ช่วงปีแรก ๆ Kantor มีครูส่วนตัวและเข้าเรียนที่โรงเรียนในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กด้วย ในปีพ.ศ. 2399 เมื่อคันทอร์อายุได้ 11 ปี ครอบครัวของเขาย้ายไปอยู่ประเทศเยอรมนี ซึ่งคันทอร์ไม่เคยตกหลุมรักเลย

สุขภาพของพ่อของ Kantor เริ่มแย่ลง ทำให้ครอบครัวต้องย้ายอีกครั้ง คราวนี้ไปแฟรงก์เฟิร์ตเนื่องจากสภาพอากาศที่อุ่นขึ้น ในแฟรงก์เฟิร์ต Kantor ศึกษาที่โรงยิมซึ่งเขาสำเร็จการศึกษาด้วยเกียรตินิยมในปี 2503 ครูของเขาตั้งข้อสังเกตว่าเขาเก่งคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะวิชาตรีโกณมิติ หลังจากมัธยมปลายในปี 1962 Kantor เข้าเรียนที่ Federal University of Zurich ซึ่งเขาศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ เมื่อได้รับการอนุมัติจากพ่อแม่แล้ว เขาจึงศึกษาที่นั่นเป็นเวลาสองสามปี จนกระทั่งบิดาของเขาเสียชีวิตทำให้การเรียนของเขาสิ้นสุดลง หลังจากบิดาของเขาเสียชีวิต Kantor ก็ย้ายไปมหาวิทยาลัยเบอร์ลิน ซึ่งเขาเป็นเพื่อนกับ Hermann Schwarz และเข้าร่วมการบรรยายโดย Kronecker, Weierstrass และ Kummer นอกจากนี้เขายังศึกษาในช่วงฤดูร้อนที่มหาวิทยาลัย Göttingen และในปี พ.ศ. 2410 ได้ทำวิทยานิพนธ์เรื่องตัวเลขเรื่องแรกในชื่อ "De aequationibus Secondi gradus indeterminatis"

ในปีเดียวกันนั้นเขาได้รับปริญญาเอกสาขาคณิตศาสตร์

อาชีพ

ในช่วงต้นอาชีพ Cantor เป็นสมาชิกที่แข็งขันของสหภาพคณิตศาสตร์และชุมชน เขาได้เป็นประธานของชุมชนแห่งหนึ่งในปี พ.ศ. 2408 และ พ.ศ. 2411 นอกจากนี้เขายังมีส่วนร่วมในการประชุม Schellbach เกี่ยวกับคณิตศาสตร์อีกด้วย ในปี พ.ศ. 2412 เขาได้รับแต่งตั้งให้เป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยฮัลเลอ เขายังคงทำงานวิทยานิพนธ์ต่างๆ เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนและการวิเคราะห์ ในเวลาเดียวกัน คันทอร์ตัดสินใจศึกษาวิชาตรีโกณมิติต่อไป และเริ่มไตร่ตรองถึงเอกลักษณ์ของการเป็นตัวแทนทางเรขาคณิตของฟังก์ชันของอนุกรมตรีโกณมิติ ซึ่ง Heine เพื่อนร่วมงานอาวุโสของเขาแนะนำให้เขารู้จัก

ในปี ค.ศ. 1870 คันทอร์เชี่ยวชาญงานนี้ โดยพิสูจน์เอกลักษณ์ของภาพเรขาคณิต สร้างความประหลาดใจให้กับไฮเนอเป็นอย่างมาก ในปี พ.ศ. 2416 เขาได้พิสูจน์ว่าจำนวนตรรกยะสามารถนับได้และสามารถสัมพันธ์กับจำนวนธรรมชาติได้ ในตอนท้ายของปี พ.ศ. 2416 คันทอร์ได้พิสูจน์ว่าจำนวนจริงและจำนวนสัมพัทธ์ก็สามารถนับได้เช่นกัน เขาได้รับการเลื่อนตำแหน่งเป็นศาสตราจารย์วิสามัญในปี พ.ศ. 2415 และในปี พ.ศ. 2422 เขาได้รับตำแหน่งศาสตราจารย์ประเภทสูงสุด เขารู้สึกขอบคุณสำหรับการแต่งตั้ง แต่ก็ยังต้องการตำแหน่งในมหาวิทยาลัยที่มีชื่อเสียงกว่านี้

ในปี พ.ศ. 2425 คันทอร์เริ่มติดต่อกับ Gösta Mittag-Leffler และในไม่ช้าก็เริ่มตีพิมพ์ผลงานของเขาในวารสารของ Leffler ชื่อ Acta Mathematica Kronecker ซึ่งเป็นคนร่วมสมัยของ Kant มักจะเยาะเย้ยและระงับทฤษฎีของ Cantor อยู่ตลอดเวลา

คันทอร์ยังคงตีพิมพ์ผลงานของเขาต่อไป แต่ในปี พ.ศ. 2427 เขามีอาการทางประสาท ซึ่งในไม่ช้าเขาก็ฟื้นตัวและตัดสินใจสอนปรัชญา ในไม่ช้าเขาก็เริ่มศึกษาวรรณกรรมในสมัยเอลิซาเบธ

ในปี พ.ศ. 2433 เขาได้ก่อตั้ง German Mathematical Society ซึ่งเขาได้ตีพิมพ์ภาพวาดส่วนทแยงเป็นครั้งแรก ซึ่งทำให้ความสัมพันธ์ระหว่างเขากับโครเนกเกอร์ดีขึ้นบ้าง แต่ถึงแม้ว่านักวิทยาศาสตร์จะเริ่มสื่อสารกัน แต่พวกเขาก็ไม่เคยคืนดีกันซึ่งเป็นสาเหตุที่ทำให้เกิดความตึงเครียดในความสัมพันธ์ของพวกเขาจนกระทั่งสิ้นสุดชีวิตของ Kantor

ชีวิตส่วนตัว

ในปีพ.ศ. 2417 คันทอร์แต่งงานกับวัลลี กัตต์มัน; ทั้งคู่มีลูกหกคน เชื่อกันว่าคันทอร์แม้จะมีสถานะเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง แต่ก็ไม่สามารถเลี้ยงดูครอบครัวของเขาได้ เมื่อใดก็ตามที่เขามีเวลาว่าง เขาจะเล่นไวโอลินและดื่มด่ำกับงานศิลปะและวรรณกรรม เขาได้รับรางวัลเหรียญซิลเวสเตอร์จากการวิจัยทางคณิตศาสตร์ ในปีพ.ศ. 2456 Kantor เกษียณเนื่องจากเขาไม่มั่นคงทางศีลธรรม ได้รับความทุกข์ทรมานจากความผิดปกติทางจิตอย่างต่อเนื่อง และในท้ายที่สุดเขาก็จบลงที่รีสอร์ทเพื่อสุขภาพ ซึ่งเขาอาศัยอยู่จนกระทั่งเสียชีวิต

ความตายและมรดก

Georg Cantor เสียชีวิตเมื่อวันที่ 6 มกราคม พ.ศ. 2461 ในเมือง Halle หลังจากนั้นไม่นาน โรคทางจิต. มีการตีพิมพ์สิ่งพิมพ์เกี่ยวกับ Cantor มากมาย หนึ่งในนั้นคือสิ่งพิมพ์ในหนังสือ “Creators of Mathematics” และหมายเหตุใน “History of Mathematics” เขาก่อตั้ง German Mathematical Society และส่วนใหญ่ของเขา งานทางวิทยาศาสตร์ยังคงใช้อยู่ในปัจจุบัน

งานหลัก

“เซตอนันต์”
“เซตนับไม่ได้”
ชุดคันทอร์
"พระคาร์ดินัลและลำดับ"
“สมมติฐานความต่อเนื่อง”
“ทฤษฎีจำนวนและทฤษฎีฟังก์ชัน”
“สิ่งไม่มีขอบเขต”
"ซีรีส์คอนเวอร์เจนท์"
“ตัวเลขเหนือธรรมชาติ”
"ข้อโต้แย้งในแนวทแยง"
"ทฤษฎีบทคันทอร์-เบิร์นสไตน์-ชโรเดอร์"
“สมมติฐานต่อเนื่อง”

สิ่งพิมพ์

"คุณสมบัติของการรวบรวมตัวเลขพีชคณิตจริงทั้งหมด"
“รากฐานของทฤษฎีทั่วไปของมวลรวม”
คณิตศาตร์ อันนาเลน
"กรุนด์ลาเกน ไอเนอร์ อัลเกไมเนน มานนิกฟาลทิกไคต์เลห์เร"
"De aequationibus Secondi gradus indeterminatis"

คะแนนชีวประวัติ

คุณลักษณะใหม่! คะแนนเฉลี่ยที่ประวัตินี้ได้รับ แสดงเรตติ้ง

แทนที่จะเป็นคำอธิบายประกอบ:

"... การพิสูจน์แนวทแยงของคันทอร์เป็นแบบฝึกหัดสำหรับคนโง่ ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรียกกันทั่วไปว่าการหักล้างในตรรกะคลาสสิก"

แอล. วิตเกนสไตน์

“... ทฤษฎีของคันทอร์เป็นตัวแทน แสดงถึงเหตุการณ์ทางพยาธิวิทยาในประวัติศาสตร์ คณิตศาสตร์ซึ่งอนาคต ชั่วอายุคนก็จะตกตะลึง"

เค. บาวเออร์ ผู้ก่อตั้งโทโพโลยี

1. วิกฤตความรู้ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่

บทบาทนำในกระบวนการเปลี่ยนแปลงวิทยาศาสตร์โบราณและยุคกลางเป็นวิทยาศาสตร์ยุโรปสมัยใหม่เป็นของคณิตศาสตร์ เนื่องจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติเชิงทฤษฎีเป็นไปไม่ได้หากไม่มีคณิตศาสตร์ ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติของยุโรปสมัยใหม่ ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่คณิตศาสตร์ถูกเรียกว่า "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์" หากในยุคสมัยโบราณมันถูกแยกออกจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและวิชาของมันคือขอบเขตของเอนทิตีทางคณิตศาสตร์ในอุดมคติ ในยุคปัจจุบันสถานการณ์จะเปลี่ยนไปอย่างมาก คณิตศาสตร์กำลังเข้าใกล้วิทยาศาสตร์ธรรมชาติมากขึ้น และเริ่มกำหนดกฎเกณฑ์ของการอยู่ร่วมกันของมันเอง ในเรื่องนี้ วิทยาศาสตร์ธรรมชาติแนวความคิดสมัยใหม่ได้รับคำจำกัดความของคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ธรรมชาติสมัยใหม่เป็นหนี้ความสำเร็จอย่างมากจากคณิตศาสตร์ยุโรปสมัยใหม่ อย่างไรก็ตาม วิกฤตการณ์ครั้งที่สามครั้งล่าสุดซึ่งเกิดขึ้นมานานกว่าร้อยปี บ่งชี้ว่ากำลังมีปัญหาร้ายแรงในรากฐานของมัน

มีมุมมองแบบดั้งเดิมในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ XIX-XX มีวิกฤตครั้งที่ 3 ของรากฐานของคณิตศาสตร์ซึ่งมีสาเหตุที่เกี่ยวข้องกับการสร้างสายสัมพันธ์ของคณิตศาสตร์ด้วยตรรกะรวมถึงความจำเป็นในการชี้แจงแนวคิดทางคณิตศาสตร์เช่นตัวเลขเซตขีด จำกัด ฟังก์ชัน ฯลฯ

ต้นกำเนิดของวิกฤตนี้ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 17-18 เมื่อคณิตศาสตร์พัฒนาวิธีการแก้ปัญหาในสาขาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ นักคณิตศาสตร์ในยุคนี้ไม่สนใจเรื่องการอ้างเหตุผลเชิงตรรกะเป็นพิเศษ วิธีการของตัวเอง[แอล.เอส. ฟรอนแมน. ผู้สร้างคณิตศาสตร์ชั้นสูง ม., 2511 ส. 83-84]

ในศตวรรษที่ 19 มีการแก้ไขแนวคิดพื้นฐานและการก่อตัวของคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎี สิ่งนี้นำไปสู่การก่อตัวของทฤษฎีเซตและการคำนวณทางคณิตศาสตร์

นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแห่งศตวรรษที่ 19 พยายามลดข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดลง ตัวเลขและกำลังพัฒนาอย่างเข้มข้น โดยเริ่มจาก “การศึกษาเลขคณิต” ของเกาส์ (1801) ซึ่งเป็นทฤษฎีจำนวน [F.A. Medvedev] การพัฒนาทฤษฎีเซตในศตวรรษที่ 19 ม., 2508 ส. 35-36.]. ประการแรก สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ปัญหามากที่สุดคือรากฐานเชิงตรรกะ ในเรื่องนี้ในศตวรรษที่ 19 การพัฒนารากฐานของคณิตศาสตร์และอื่น ๆ เริ่มต้นขึ้น วิธีการที่เข้มงวดคำจำกัดความและหลักฐานของมัน

ในกระบวนการปรับโครงสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ความเชื่อมั่นเกิดขึ้นว่าทฤษฎีบทของพีชคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สามารถกำหนดเป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำนวนธรรมชาติได้ [Dedekind R. ตัวเลขคืออะไรและมีประโยชน์อะไร คาซาน: สำนักพิมพ์. มหาวิทยาลัยอิมพีเรียล 2448 หน้า 5]

ผลลัพธ์ของกระบวนการนี้คือการยอมรับว่าจำนวนเป็นแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์ทั้งหมด และการสร้างทฤษฎีจำนวนจริงโดยนักคณิตศาสตร์เช่น โบลซาโน ไวเออร์สตราส เดเดไคนด์ และคันทอร์

ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 ปัญหาเรื่องการพิสูจน์คณิตศาสตร์เกิดขึ้น บทบาทที่โดดเด่นในการแก้ปัญหาคือการสร้างทฤษฎีเซตโดย G. Cantor ด้วยเหตุนี้ แนวคิดของทฤษฎีการวิเคราะห์และฟังก์ชันจึงได้รับการกำหนดขึ้นเป็นหมวดหมู่ของทฤษฎีเซต แนวคิดพื้นฐานสำหรับอย่างหลังคือแนวคิดเรื่องเซตอนันต์จริงๆ

การพัฒนาทฤษฎีเซตโดยรวมแนวคิดเรื่องอนันต์ที่แท้จริงนั้น แท้จริงแล้วหมายถึงการปฏิวัติในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ เทียบได้กับการปฏิวัติของโคเปอร์นิคัส ทฤษฎีสัมพัทธภาพและ กลศาสตร์ควอนตัม. ทฤษฎีเซตได้ให้วิธีการสากลซึ่งกลายเป็นพื้นฐาน การพัฒนาต่อไปคณิตศาสตร์.

ขั้นตอนต่อไปในการพัฒนาคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับการบรรจบกันของพีชคณิต ตรรกศาสตร์ และทฤษฎีเซต คณิตศาสตร์มีรูปลักษณ์นามธรรมที่ไม่เคยเห็นมาก่อน นี่หมายถึงการเปลี่ยนไปใช้พื้นฐานเชิงตรรกะของคณิตศาสตร์ G. Frege (“รากฐานของเลขคณิต” และ “กฎพื้นฐานของเลขคณิตที่ได้รับโดยใช้แคลคูลัสเชิงแนวคิด”) มีคุณูปการที่โดดเด่นในด้านรากฐานของคณิตศาสตร์ มันดำเนินการก่อสร้างนิรนัยเชิงสัจพจน์ของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ (แคลคูลัสเชิงประพจน์, แคลคูลัสภาคแสดง) ปัญหาของการให้เหตุผลเชิงตรรกะของจำนวน ความเป็นอิสระ ความสม่ำเสมอ และความสมบูรณ์ของระบบสัจพจน์ได้รับการแก้ไขแล้ว “โลจิสติกส์” ปรากฏเป็นการนำเสนอคณิตศาสตร์ในภาษาแห่งตรรกศาสตร์ กระบวนการพัฒนาการวิเคราะห์เชิงตรรกะที่ทรงพลังและการทำให้ตรรกะเป็นทางการอยู่ในระหว่างดำเนินการ

แนวคิดเรื่องความสามารถในการหักล้างของคณิตศาสตร์จากตรรกะกำลังได้รับความนิยม Frege ได้ให้คำจำกัดความแนวคิดเรื่อง "จำนวน" และ "ปริมาณ" ในแง่ตรรกะของ "คลาส" และ "ความสัมพันธ์" แล้ว จึงสามารถจัดวางทฤษฎีเซตอย่างเป็นทางการและนำเสนอคณิตศาสตร์ให้เป็นความต่อเนื่องของตรรกะได้

กระบวนการนี้จบลงด้วยการสร้างงานพื้นฐานสามเล่ม Principia Mathematica (1910-1913) โดย Russell และ Whitehead

ใน ปลาย XIXศตวรรษในคณิตศาสตร์สถานการณ์เกิดขึ้นคล้ายกับในฟิสิกส์เมื่อต้นทศวรรษที่ 90 เมื่อมีการสร้างแนวคิดเรื่องความสมบูรณ์ของฟิสิกส์คลาสสิก แล้วติดตามเหตุการณ์ดราม่าที่เราคุยกันไปก่อนหน้านี้

ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ XIX-XX คณิตศาสตร์กำลังเข้าสู่ช่วงเวลาของวิกฤตเฉียบพลันที่เกิดจากการเกิดขึ้นของความขัดแย้งทางคณิตศาสตร์ ตรรกะ และความหมายที่แก้ไขไม่ได้ ซึ่งทำให้เกิดข้อสงสัยต่อทฤษฎีเซตของคันทอร์และรากฐานของคณิตศาสตร์คลาสสิก สิ่งนี้ทำให้แม้แต่นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงเช่น Cantor, Frege และคนอื่น ๆ ตกอยู่ในความสิ้นหวัง G. Weil หลายปีต่อมาได้เขียนบรรทัดต่อไปนี้เกี่ยวกับช่วงเวลานี้ในประวัติศาสตร์ของความรู้ทางคณิตศาสตร์: “ ตอนนี้เรามีความมั่นใจน้อยลงกว่าที่เคยในพื้นฐานหลักของคณิตศาสตร์และตรรกศาสตร์ เรากำลังประสบกับ "วิกฤต" เช่นเดียวกับที่ทุกคนในโลกสมัยใหม่กำลังประสบอยู่ วิกฤตการณ์นี้ดำเนินมาเป็นเวลาห้าสิบปีแล้ว (ข้อความเหล่านี้เขียนขึ้นในปี พ.ศ. 2489) เมื่อดูเผินๆ ดูเหมือนว่ามันไม่ได้รบกวนการทำงานในแต่ละวันของเราเป็นพิเศษ อย่างไรก็ตามฉันต้องยอมรับทันทีว่าของฉัน งานคณิตศาสตร์วิกฤตนี้มีผลกระทบในทางปฏิบัติที่เห็นได้ชัดเจน: มันมุ่งความสนใจของฉันไปยังด้านที่ฉันถือว่าค่อนข้าง "ปลอดภัย" และบ่อนทำลายความกระตือรือร้นและความมุ่งมั่นที่ฉันใช้ในการค้นคว้าอยู่ตลอดเวลา ประสบการณ์ของฉันอาจถูกแบ่งปันโดยนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ที่ไม่แยแสกับสถานที่ที่มีกิจกรรมทางวิทยาศาสตร์ของตนเองครอบครองในโลกนี้ในบริบททั่วไปของการดำรงอยู่ของบุคคลที่สนใจทนทุกข์และสร้าง"[ม. ไคลน์. คณิตศาสตร์. สูญเสียความมั่นใจ. อ.: มีร์, 1984. หน้า 387]. “...สภาพที่เราอยู่ในตอนนี้เกี่ยวกับความขัดแย้ง” ดี. กิลเบิร์ตเขียน “เป็นสิ่งที่ทนไม่ได้มาเป็นเวลานาน คิดว่า: ในคณิตศาสตร์ - ตัวอย่างของความน่าเชื่อถือและความจริง - การก่อตัวของแนวคิดและแนวทางการอนุมานในขณะที่ทุกคนศึกษาสอนและประยุกต์ใช้นำไปสู่ความไร้สาระ จะค้นหาความน่าเชื่อถือและความจริงได้ที่ไหน หากแม้แต่การคิดทางคณิตศาสตร์เองก็ล้มเหลว” [ดี. กิลเบิร์ต. รากฐานของเรขาคณิต ม.-ล., 2491. หน้า 349].

ความพยายามที่ไม่ประสบความสำเร็จในการแก้ไขความขัดแย้งทำให้นักคณิตศาสตร์เชื่อว่าสาเหตุของวิกฤตนั้นอยู่ในขอบเขตของแนวคิดพื้นฐานและวิธีการให้เหตุผล มีความจำเป็นต้องคิดใหม่เกี่ยวกับหลักการทางคณิตศาสตร์และละทิ้งแนวคิดเก่าบางอย่าง ประการแรก เกี่ยวข้องกับการปรับโครงสร้างของทฤษฎีเซตและการชี้แจงแนวคิดเรื่องเซตบนพื้นฐานใหม่โดยสิ้นเชิง [S. คลีน. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับอภิคณิตศาสตร์ ม. 2500 หน้า 42] ตรรกะในอุดมคติอันเป็นเกณฑ์สำหรับความเข้มงวดในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ถูกทำลายลงดังนั้นคณิตศาสตร์จึงต้องเผชิญกับภารกิจในการฟื้นฟูความน่าเชื่อถือและความน่าเชื่อถือในอดีตของความรู้ทางคณิตศาสตร์ ธรรมชาติของการใช้เหตุผลเชิงตรรกะตามสัญชาตญาณและภาษาที่เกี่ยวข้องไม่เหมาะกับนักวิทยาศาสตร์อีกต่อไป [Kh. แกง. รากฐานของตรรกะทางคณิตศาสตร์ ม., 1969. หน้า 26.]. มีโครงการวิจัยสามโครงการเกิดขึ้น: ตรรกะนิยม พิธีการนิยม และสัญชาตญาณ

การได้สำรวจประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ในช่วงสั้นๆ แสดงให้เห็นว่า ณ รากฐานของมัน และด้วยเหตุนี้ วิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด จึงวางทฤษฎีพื้นฐานของเซตของแคนทอร์ไว้กับแนวคิดทางวิทยาศาสตร์พื้นฐานเกี่ยวกับอนันต์ที่แท้จริง และคณิตศาสตร์เองก็มีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องอนันต์จนมักถูกนิยามว่าเป็นศาสตร์แห่งอนันต์

คณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์อื่นๆ (และปรัชญา) ถูกกำหนดอย่างลึกซึ้งโดยกระบวนทัศน์พื้นฐานทางจิตวิญญาณและประวัติศาสตร์ ความเชื่อนี้ได้รับการยืนยันโดยผลงานของ P.P. Gaidenko ซึ่งอุทิศให้กับวิวัฒนาการของแนวคิดวิทยาศาสตร์ในบริบทของประวัติศาสตร์ปรัชญา [P.P. Gaidenko วิวัฒนาการของแนวคิดวิทยาศาสตร์ (การก่อตัวและการพัฒนาโปรแกรมวิทยาศาสตร์ทางวิทยาศาสตร์ชุดแรก) ม. "วิทยาศาสตร์", 2523 – (ไม่มีเชิงอรรถ) – [ ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/pgaid_physics.html] และแม้ว่าในการศึกษาของเขาผู้เขียนมุ่งเน้นไปที่ปฏิสัมพันธ์ของความรู้ทางวิทยาศาสตร์และปรัชญา แต่อย่างไรก็ตามผลกระทบของบริบททางศาสนาต่อโปรแกรมทางวิทยาศาสตร์ก็สามารถติดตามได้ชัดเจนไม่น้อย อิทธิพลของสถานที่ทางศาสนาและเทววิทยาที่มีต่อเนื้อหาของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ก็ถูกนำเสนออย่างน่าเชื่อถือในงานของ V.N. คาตาโซโนวา [V.N. คาตาโซนอฟ. แนวคิดทางวิทยาศาสตร์และปรัชญาเกี่ยวกับอนันต์และศาสนาคริสต์ - [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://www.bestreferat.ru/referat-73817.html ] และ A.A. Zenkin [A.A. Zenkin. สวรรค์อันกว้างใหญ่ของ Georg Cantor: เรื่องราวในพระคัมภีร์ไบเบิลที่ธรณีประตูของ Apocalypse - [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ] ฯลฯ

ดังนั้น แนวคิดที่ว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์เสรี (อิสระ) และเป็นวิทยาศาสตร์สากลที่พัฒนาตามกฎเกณฑ์ของมันเองจึงเกินจริงอย่างมาก

2. สรุปทฤษฎีเซตของคันทอร์

G. Cantor เชื่อว่าพื้นฐานของทฤษฎีเซตคือโปรแกรมวิทยาศาสตร์ของพีทาโกรัส-พลาโตนิก ซึ่งได้รับการวิจารณ์โดยอริสโตเติล แต่ได้รับการฟื้นคืนชีพอีกครั้งในปรัชญาของยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา เพื่อพิสูจน์เหตุผล จึงมีการใช้ข้อโต้แย้งทางเทววิทยาของการสอนคาทอลิก ความคิดเชิงปรัชญาและคณิตศาสตร์เริ่มตั้งแต่ศตวรรษที่ 15 ค่อยๆ เตรียมการสร้างทฤษฎีนี้

Georg Cantor เป็นผู้สร้างทฤษฎีเซตและทฤษฎีจำนวนอนันต์ แนวคิดหลักเกี่ยวกับทฤษฎีเซตอนันต์ของเขาคือการปฏิเสธวิทยานิพนธ์ของอริสโตเติลเกี่ยวกับเซตอนันต์จริงๆ อย่างเด็ดขาด คันทอร์อาศัยการศึกษาฉากที่ไม่มีที่สิ้นสุดของเขาโดยอาศัยแนวคิดของการโต้ตอบแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างองค์ประกอบของฉากที่ถูกเปรียบเทียบ. หากสามารถกำหนดความสอดคล้องกันระหว่างองค์ประกอบของสองเซตได้ ก็แสดงว่าเซตนั้นมีพลังเท่ากัน กล่าวคือ พวกมันเท่ากันหรือเท่ากัน “ในกรณีของเซตจำกัด” คันทอร์เขียนว่า “ภาวะเชิงการนับเกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนองค์ประกอบ” นั่นคือเหตุผลว่าทำไมยกกำลังจึงเรียกอีกอย่างว่าจำนวนเชิงการนับ (เชิงปริมาณ) ของเซตที่กำหนด [P สตาคอฟ ภายใต้สัญลักษณ์ “มาตราทอง” คำสารภาพของลูกชายนักศึกษา บทที่ 5 ทฤษฎีอัลกอริทึมของการวัด 5.5. ปัญหาเรื่องอนันต์ในวิชาคณิตศาสตร์ - [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ].

ในปี พ.ศ. 2417 เขาได้สถาปนาการดำรงอยู่ของเซตอนันต์ที่ไม่มีค่าเท่ากัน นั่นคือมีพลังที่แตกต่างกัน และในปี พ.ศ. 2421 เขาได้แนะนำ แนวคิดทั่วไปพลังของเซต (การกำหนดจำนวนเชิงคาร์ดินาลของเซตด้วยตัวอักษรของอักษรฮีบรูที่เสนอโดยเขาและเป็นที่ยอมรับในวิชาคณิตศาสตร์ อาจสะท้อนถึงต้นกำเนิดชาวยิวของเขาทางฝั่งบิดาของเขา) ในงานหลักของเขาเรื่อง "On infinite linear point forms" (1879–84) คันทอร์นำเสนอหลักคำสอนของเซตอย่างเป็นระบบและทำให้มันเสร็จสมบูรณ์โดยการสร้างตัวอย่างของเซตที่สมบูรณ์แบบ (ที่เรียกว่าเซตคันทอร์) [Cantor G. On infinite linear การก่อตัวจุด // แนวคิดใหม่ในวิชาคณิตศาสตร์ 2537 ฉบับที่ 6 เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก]

คันทอร์ให้เนื้อหาทางคณิตศาสตร์แก่แนวคิดเรื่องอนันต์ที่แท้จริง คันทอร์คิดว่าทฤษฎีของเขาเป็นแคลคูลัสใหม่ของคณิตศาสตร์แบบ "ไม่จำกัด" (นั่นคือ "สุดยอดจำกัด") อนันต์ที่แท้จริงนั้น เหมือนกับที่เคยเป็น "คอนเทนเนอร์" ซึ่งชุดของอนันต์ที่เป็นไปได้แผ่ออกไป และคอนเทนเนอร์นี้จะต้องเป็นจริงสำหรับข้อมูลอยู่แล้ว

ตามความคิดของเขา การสร้างแคลคูลัสดังกล่าวควรจะปฏิวัติไม่เพียงแต่คณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงอภิปรัชญาและเทววิทยาด้วย ซึ่งสนใจคันทอร์มากกว่าการวิจัยทางวิทยาศาสตร์เกือบทั้งหมด เขาเป็นนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาเพียงคนเดียวที่เชื่อว่าความไม่มีที่สิ้นสุดที่แท้จริงไม่เพียงแต่มีอยู่เท่านั้น แต่ยังรวมถึงใน ในทุกแง่มุมมนุษย์สามารถเข้าใจได้ และความเข้าใจนี้จะยกระดับนักคณิตศาสตร์ และหลังจากนั้นนักศาสนศาสตร์ สูงขึ้นเรื่อยๆ - และใกล้ชิดกับพระเจ้ามากขึ้น. เขาอุทิศชีวิตให้กับงานนี้ นักวิทยาศาสตร์เชื่ออย่างแน่วแน่ว่าพระเจ้าทรงเลือกเขาให้ทำการปฏิวัติทางวิทยาศาสตร์ครั้งใหญ่ และความเชื่อนี้ได้รับการสนับสนุนจากนิมิตอันลึกลับ

แนวทางนี้ทำให้คันทอร์ค้นพบสิ่งที่ขัดแย้งกันมากมายซึ่งขัดแย้งกับสัญชาตญาณของเราอย่างมาก ดังนั้น ตรงกันข้ามกับเซตจำกัดซึ่งครอบคลุมโดยสัจพจน์แบบยุคลิดที่ว่า "ส่วนรวมมีค่ามากกว่าส่วน" เซตอนันต์ไม่เป็นไปตามสัจพจน์นี้ เป็นเรื่องง่าย ตัวอย่างเช่น ในการสร้างจำนวนเชิงการนับที่เท่ากันของเซต ตัวเลขธรรมชาติและส่วนหนึ่งของมัน - เซตของเลขคู่โดยสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งต่อไปนี้: [ป. สตาคอฟ ภายใต้สัญลักษณ์ “มาตราทอง” คำสารภาพของลูกชายนักศึกษา บทที่ 5 ทฤษฎีอัลกอริทึมของการวัด 5.5. ปัญหาเรื่องอนันต์ในวิชาคณิตศาสตร์ - [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ]

ตาม Cantor กล่าวไว้ เซตหนึ่งเรียกว่าอนันต์หากเซตนั้นมีกำลังเท่ากันกับเซตย่อยเซตใดเซตหนึ่ง เซตจะเรียกว่าไฟไนต์หากไม่เทียบเท่ากับเซตย่อยใดๆ เซตที่เทียบเท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติเรียกว่านับได้ เนื่องจากองค์ประกอบของมันสามารถกำหนดหมายเลขได้ [Ibid]

คันทอร์เชื่อว่าเซตของจำนวนธรรมชาติ ตรรกยะ และพีชคณิตมีภาวะเชิงการนับเท่ากัน กล่าวคือ นับได้ [อ้างแล้ว]

คันทอร์ยังพยายามพิสูจน์ว่าเซต N ของจำนวนธรรมชาติสามารถเทียบเคียงกับส่วนหนึ่งของเซต R ของจำนวนจริงได้ ในขณะที่ภาวะเชิงการนับของจำนวนจริงมากกว่าภาวะเชิงการนับของเซตของจำนวนธรรมชาติ [Ibid]

ในปีพ.ศ. 2429 คันทอร์พยายามพิสูจน์ว่าไม่มีจุดในหน่วยกำลังสองมากไปกว่าในส่วนของหน่วย ดังนั้น ยกกำลังของคอนตินิวอัมสองมิติจึงเท่ากับกำลังของคอนตินิวอัมหนึ่งมิติ [อ้างแล้ว]

แนวคิดของคันทอร์กลับกลายเป็นสิ่งที่คาดไม่ถึงและขัดกับสัญชาตญาณเสียจนนักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวฝรั่งเศส อองรี ปัวกาเร เรียกทฤษฎีจำนวนอนันต์ว่า "โรค" ซึ่งสักวันหนึ่งคณิตศาสตร์จะต้องได้รับการรักษาให้หายขาด Leopold Kronecker - ครูของ Cantor และหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ได้รับการยอมรับมากที่สุดในเยอรมนี - ถึงกับโจมตี Cantor เป็นการส่วนตัวโดยเรียกเขาว่า "คนหลอกลวง" "คนทรยศ" และ "ผู้ลวนลามเยาวชน" [ในโลกแห่งวิทยาศาสตร์ Scientific American · ฉบับภาษารัสเซีย ฉบับที่ 8 · สิงหาคม 1983 · หน้า 76–86/ Georg Cantor และกำเนิดของทฤษฎีเซตอนันต์]

ทฤษฎีเซตยังเปิดหน้าใหม่ในการศึกษารากฐานของคณิตศาสตร์ - งานของ Cantor ทำให้สามารถกำหนดสูตรสมัยใหม่ได้อย่างชัดเจนเป็นครั้งแรก ความคิดทั่วไปเกี่ยวกับวิชาคณิตศาสตร์โครงสร้าง ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์บทบาทของสัจพจน์และแนวคิดของมอร์ฟิซึ่มของระบบของวัตถุที่ให้มาพร้อมกับความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงพวกมัน ทฤษฎีเซตของเขาเป็นหนึ่งในเสาหลักของคณิตศาสตร์

ในปรัชญาคณิตศาสตร์ คันทอร์ได้วิเคราะห์ปัญหาเรื่องอนันต์ การแยกแยะอนันต์ทางคณิตศาสตร์สองประเภท - ไม่เหมาะสม (ศักยภาพ) และเหมาะสม (จริงเข้าใจโดยรวมทั้งหมด) คันทอร์ซึ่งแตกต่างจากรุ่นก่อนของเขายืนยันความถูกต้องตามกฎหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยแนวคิดเรื่องอนันต์จริง คันทอร์เป็นผู้สนับสนุนลัทธิพลาโตนิสต์ โดยมองว่าความเป็นจริง-อนันต์ทางคณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในรูปแบบหนึ่งของอนันต์ที่แท้จริงโดยทั่วไป ซึ่งพบว่ามีความสมบูรณ์สูงสุดในการดำรงอยู่อันศักดิ์สิทธิ์โดยสมบูรณ์

3. การเผชิญหน้าครั้งใหญ่ระหว่างชาวแคนโตเรียนและชาวแคนโตเรียที่ต่อต้าน

คำวิจารณ์ของเอเอ เซนกินเกี่ยวกับทฤษฎีเซตนามธรรม

G. Cantor และ “คำสอนเกี่ยวกับความยิ่งใหญ่”

ในบรรดาวรรณกรรมเชิงวิจารณ์จำนวนมากที่อุทิศให้กับทฤษฎีเซตของ G. Cantor การศึกษาของ A.A. Zenkin นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียสมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษ ตามที่นักคณิตศาสตร์ชื่อดัง A.P. Stakhov บางทีอาจเป็นเขา (Zenkin) ที่จะยุติข้อพิพาทกับ Cantor เป็นครั้งสุดท้ายและในการแก้ไขวิกฤติทางคณิตศาสตร์ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่[ http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ]

ในบทความต้นฉบับเรื่อง “สวรรค์อันไม่มีที่สิ้นสุดของ Georg Cantor เรื่องราวในพระคัมภีร์เกี่ยวกับธรณีประตูของ Apocalypse” นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซีย A.A. Zenkin วิเคราะห์ข้อบกพร่องทางญาณวิทยาของตรรกะของการพิสูจน์ของ Cantor เกี่ยวกับการนับไม่ได้ของความต่อเนื่องตามแนวคิดเรื่องอนันต์ที่แท้จริง[เอเอเซนกิ้น สวรรค์อันกว้างใหญ่ของ Georg Cantor: เรื่องราวในพระคัมภีร์ไบเบิลที่ธรณีประตูของ Apocalypse - [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://www.com2com.ru/alexzen/]

เป็นเวลาหลายพันปีที่ A.A. Zenkin ตั้งข้อสังเกตว่า ทัศนคติเชิงลบต่อแนวคิดเรื่อง AB ได้รับการสนับสนุนและแบ่งปันโดยนักวิทยาศาสตร์และนักปรัชญาที่โดดเด่น เช่น Aristotle, Euclid, Leibniz, Berkeley, Locke, Descartes, Kant, Spinoza, Lagrange, Gauss, Kronecker, Lobachevsky , Cauchy, F. Klein, Hermite, Poincare, Baer, ​​​​Borel, Brouwer, Quine, Wittgenstein, Weil, Luzin และแม้กระทั่งทุกวันนี้ - Erret Bishop, Solomon Feferman, Yaroslav Peregrin, Vladimir Turchin, Peter Vopenka และคนอื่น ๆ อีกมากมาย

ตั้งแต่ทศวรรษที่ 70 ของศตวรรษที่ 19 ทัศนคติเชิงลบอย่างรุนแรงต่อทฤษฎีเซตของ Georg Cantor ซึ่งอิงตามแนวคิดของ AB ได้เกิดขึ้น A.A. Zenkin ยกตัวอย่างข้อความที่มีหมวดหมู่มากที่สุดที่จ่าหน้าถึงเธอ ดังนั้น อองรี ปัวกาเรจึงสรุปว่า "ไม่มีอนันต์ที่แท้จริง ชาว Cantorians ลืมเรื่องนี้และตกอยู่ในความขัดแย้ง คนรุ่นต่อๆ ไปจะมองว่าทฤษฎีเซตของคันทอร์เป็นโรคที่รักษาให้หายขาดในที่สุด"[A. Poincare เกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ – อ.: เนากา, 1983]. ผู้ก่อตั้งโทโพโลยีสมัยใหม่ L. Brouwer มีคำกล่าวของเขาที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง: “ ทฤษฎีของคันทอร์โดยรวมแสดงถึงเหตุการณ์ทางพยาธิวิทยาในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ ซึ่งคนรุ่นต่อๆ ไปจะต้องหวาดกลัวอย่างแน่นอน”[เอเอ เฟรงเคิล ไอ.บาร์-ฮิลเลล รากฐานของทฤษฎีเซต - ม.: "สันติภาพ"]

“ อย่างไรก็ตามในวันนี้” นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียเขียน“ ในตอนต้นของศตวรรษที่ 20 มี "การเผชิญหน้าครั้งใหญ่" ระหว่างตรรกะทางเมตาคณิตศาสตร์ของชาว Cantorians ซึ่งตระหนักถึงความชอบธรรมของ "หลักคำสอนของ Transfinite" ของ Cantor ในรูปแบบ "ไม่ไร้เดียงสา" (ดูด้านล่าง) ของ "การสอน" นี้เช่น ในรูปแบบของทฤษฎีเซตสัจพจน์สมัยใหม่ (ต่อไปนี้จะเรียกว่า ATM) โดยมีพื้นฐานอยู่บนการใช้แนวคิดของ AB (โดยปริยาย – ดูด้านล่าง) และสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ของผู้ต่อต้านชาวแคนโตเรียนที่ปฏิเสธแนวคิดของ AB และ G. Cantor's “Doctrine of the Transfinite” มีพื้นฐานมาจากแนวคิดนี้ [ A.A.Zenkin สวรรค์อันกว้างใหญ่ของ Georg Cantor: เรื่องราวในพระคัมภีร์ไบเบิลที่ธรณีประตูของ Apocalypse - [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://www.com2com.ru/alexzen/]

การใช้แนวคิด AB นำไปสู่ความขัดแย้งของตรรกะและคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นกลไกการสร้างซึ่งยังไม่เปิดเผยจนถึงทุกวันนี้ ในเรื่องนี้ การเปิดเผยธรรมชาติเชิงตรรกะของความขัดแย้งและความชอบธรรมของการใช้แนวคิด AB ในคณิตศาสตร์ยังคงมีความเกี่ยวข้องในปัจจุบันเฟรงเคิลและบาห์-ฮิลเลลสังเกตว่าการตีความตรรกะและคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมนั้นไม่มีอะไรเลยที่สามารถใช้เป็นพื้นฐานในการขจัดปฏิปักษ์ของรัสเซลล์ได้<АЗ: а также парадокса «Лжец»>. เราเชื่อว่าความพยายามใดๆ ก็ตามที่จะออกจากสถานการณ์โดยใช้วิธีคิดแบบเดิมๆ ซึ่งล้มเหลวมาโดยตลอด เห็นได้ชัดว่าไม่เพียงพอสำหรับจุดประสงค์นี้ การละทิ้งวิธีคิดตามปกติบางอย่างมีความจำเป็นอย่างชัดเจน แม้ว่าสถานที่ของการจากไปนี้จะไม่ชัดเจนล่วงหน้าก็ตาม” [A.A. Frenkel, I.Bar-Hillel รากฐานของทฤษฎีเซต - ม.: "สันติภาพ"]

ทฤษฎีเซตนามธรรมและการอนุมัติในวิทยาศาสตร์สมัยใหม่อ้างอิงจาก A.A. Zenkin ซึ่งเป็นตัวอย่างที่โดดเด่นของวิทยาศาสตร์เทียม ซึ่งเป็นกรณีที่ไม่เคยมีมาก่อนในการสร้างตำนานเท็จในวิทยาศาสตร์ผ่านการใช้เทคโนโลยีประชาสัมพันธ์

นอกจากนี้ A.A. Zenkin ยังเปิดเผยสาระสำคัญที่แท้จริงของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่โดยไม่ได้ตั้งใจ สถาบันทางสังคม: "เอทีเอ็ม -ความคิดริเริ่มก่อให้เกิดปรากฏการณ์เชิงลบขนาดใหญ่เช่น Bourbakism เช่น การศึกษาคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์ที่มากเกินไป ไม่จำเป็น ไร้ความหมาย น่าเบื่อ น่าตะลึง และเหมือนซอมบี้. นักวิชาการ V.I. Arnold นักคณิตศาสตร์และครูชาวรัสเซียผู้โดดเด่นเขียนถึงผลกระทบด้านลบของ Bourbakization ว่า: "ในช่วงกลางศตวรรษที่ 20 มาเฟียที่มีอิทธิพลอย่างสูงของ "นักคณิตศาสตร์ซีกซ้าย" สามารถแยกเรขาคณิตออกจากการศึกษาทางคณิตศาสตร์ได้ ... โดยแทนที่ด้านเนื้อหาทั้งหมดของระเบียบวินัยนี้ด้วยการฝึกอบรมในการจัดการแนวคิดเชิงนามธรรมอย่างเป็นทางการ คำอธิบายเชิงนามธรรมของคณิตศาสตร์ดังกล่าวไม่เหมาะสำหรับการสอนหรือการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติใดๆ การศึกษาคณิตศาสตร์สมัยใหม่ที่มีระเบียบแบบแผน (เบอร์บาคิ) เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับการสอนความสามารถในการคิดและพื้นฐานของวิทยาศาสตร์โดยสิ้นเชิง มันเป็นอันตรายต่อมวลมนุษยชาติ อนาคตของคณิตศาสตร์ที่ติดโรคนี้ดูมืดมนมาก” [A.A. Zenkin สวรรค์อันกว้างใหญ่ของ Georg Cantor: เรื่องราวในพระคัมภีร์ไบเบิลที่ธรณีประตูของ Apocalypse - [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://www.com2com.ru/alexzen/]

นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียได้กำหนดตัวอย่างสี่ตัวอย่างของ "การโกหกสีขาวของ ATM ของ G. Cantor":

การโกหกครั้งแรก “คณิตศาสตร์คือราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด และ ATM คือราชินีแห่งคณิตศาสตร์”! ในโอกาสนี้ A.A. Zenkin เขียนว่า ATM สมัยใหม่กำลังหลอกชุมชนนักคณิตศาสตร์มืออาชีพและกำลังซอมบี้กับนักคณิตศาสตร์รุ่นใหม่ ชาว Cantorian ให้เหตุผลว่าหากในตอนต้นของศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นหลายคนปฏิเสธ ATM ว่าเป็นวิทยาศาสตร์เทียมอย่างเด็ดขาด แล้ววันนี้ “นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ในที่สุด ได้เห็นแสงสว่างในเรื่องนี้แล้ว, ว่าอนันต์ทั้งหมด - ที่เกี่ยวข้องได้เกิดความรู้สึกขึ้นมาในเรื่องที่ว่าทฤษฎีนั้น สุดท้ายจำนวนธรรมชาติเป็น "อนุพันธ์" จากทฤษฎี ไม่มีที่สิ้นสุดตัวเลขที่แนวคิดของเซตว่างอนุมานได้จากแนวคิดของเซตอนันต์จริงนั่นเอง คณิตศาสตร์สมัยใหม่ทั้งหมดสามารถหาได้จากตู้เอทีเอ็มและได้รับการยอมรับอย่างเป็นทางการว่า “คณิตศาสตร์คือราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด และ ATM คือราชินีแห่งคณิตศาสตร์”! ฝ่ายตรงข้ามของ ATM เมื่อวานนี้ทั้งหมดเห็นพ้องกันว่า ATM เป็นความสำเร็จที่โดดเด่นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ซึ่งเป็นความสำเร็จที่เปลี่ยนโฉมหน้าของคณิตศาสตร์ทั้งหมดแห่งศตวรรษที่ 20” [อ้างแล้ว]

“นี่เป็นข้อเท็จจริงเชิงประจักษ์” Martin Davis และ Reuben Hersch กำลังทำให้ชุมชนวิทยาศาสตร์กลายเป็นซอมบี้กันเองอยู่แล้ว “ นั่นคือประมาณ 90% ของนักคณิตศาสตร์ที่ทำงานยอมรับทฤษฎีเซตของคันทอร์ทั้งทางทฤษฎีและปฏิบัติ ในระดับหนึ่ง"[อ้างแล้ว].

จากนั้น ดังที่ในความเป็นจริง A.A. Zenkin ตั้งข้อสังเกตว่า ชาว Cantorian จงใจไม่จริงใจและไม่ได้สร้างความแตกต่างที่มีนัยสำคัญระหว่างภาษาของทฤษฎีเซตนามธรรมกับคำสอนของ Cantor เกี่ยวกับลำดับทรานส์ฟินท์และคาร์ดินัล แท้จริงแล้ว ภาษาของทฤษฎีเซตได้กลายเป็นภาษาทางคณิตศาสตร์สากลไปแล้ว ในขณะที่หลักคำสอนเรื่องลำดับทรานฟินิตี้และคาร์ดินัล เนื่องจากไร้ประโยชน์โดยสิ้นเชิง จึงไม่ได้ใช้ที่ใดเลยโดย 90% ของนักคณิตศาสตร์ที่ทำงานจริง ส่วนที่เหลืออีก 9% ของนักคณิตศาสตร์ไม่ยอมรับคำสอนนี้อย่างเด็ดขาด และมีเพียง 1% เท่านั้นที่เป็นผู้เชี่ยวชาญด้าน ATM หรือ Bourbakists

การโกหกครั้งที่สอง พื้นฐานของ ATM สมัยใหม่คือ "วิธีการแก้ปัญหา" กึ่งอาชญากรรมหลอกทางวิทยาศาสตร์ที่โจ่งแจ้งซึ่งเป็นคำถามทางวิทยาศาสตร์พื้นฐานเกี่ยวกับธรรมชาติเชิงตรรกะของอนันต์ทางคณิตศาสตร์. สาระสำคัญอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าทฤษฎีเซตของคันทอร์ตามแนวคิดของ AB ได้รับการประกาศว่า "ไร้เดียงสา" และคำว่า AB เองก็ถูกลบออกจากกรอบของวิทยาศาสตร์เมตาคณิตศาสตร์ที่น่านับถือ นี่เป็นหนึ่งในแคมเปญประชาสัมพันธ์ที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดเท่าที่เคยมีมาในประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์

แต่ถึงอย่างไร, ทฤษฎีสมัยใหม่ ATM ยืมมาจากทฤษฎี "ไร้เดียงสา" ซึ่งเป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับการนับไม่ได้ของความต่อเนื่อง ซึ่งการพิสูจน์นั้นมีพื้นฐานมาจากการใช้แนวคิดที่ขัดแย้งกันอย่างเห็นได้ชัดของ AB ในเรื่องนี้ A.A. Zenkin ถือว่าทฤษฎีเซตของ Cantor เป็นหนึ่งในแหล่งข้อมูลหลักวิกฤตการณ์ครั้งใหญ่ครั้งที่สามของรากฐานคณิตศาสตร์ซึ่งยังคงดำเนินอยู่

คำโกหกที่สาม เงื่อนไขการพิสูจน์ ATM ไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจน แต่บอกเป็นนัยในระดับข้อเสนอเชิงปรัชญาจากมุมมองของตรรกะและคณิตศาสตร์คลาสสิก “สมมติฐาน AB” เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการหักทฤษฎีบท ATM ส่วนใหญ่

คำโกหกที่สี่ ในที่สุดทฤษฎีเซตก็ไม่สามารถขจัดศักยภาพด้วยวิธีการทางวิทยาศาสตร์ได้ เช่น พิสูจน์ความไม่สอดคล้องกันของแนวคิด PB ATM ใช้เส้นทางอื่น เธอได้ประกาศปัญหาความชอบธรรมของการใช้ AB ให้เป็นเชิงปรัชญา A.A. Zenkin มองเห็นสัญชาตญาณในการดูแลรักษาตนเองของผู้สนับสนุน ATM เนื่องจากความพยายามที่จะให้คำจำกัดความที่เข้มงวดของแนวคิดของ AB จะนำไปสู่ความเข้าใจที่ชัดเจนเกี่ยวกับความไม่สอดคล้องกันของสิ่งนี้ และสิ่งนี้จะเป็นอันตรายต่อผู้ที่ได้รับทุนสนับสนุนและเป็นนิสัย ความเป็นอยู่ที่ดีของพนักงานตู้ ATM ประจำ "สวรรค์อันไร้ขอบเขต" ของ Cantor ด้วยวิธีกึ่งอาชญากรรมและวิทยาศาสตร์เทียมนี้ ATM “กลุ่ม” จัดการกับฝ่ายตรงข้าม

และสุดท้าย การโกหกครั้งที่ห้า การสร้าง "เรื่องราวสยองขวัญ" ให้กับชุมชนคณิตศาสตร์ว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อเนื่องที่นับไม่ได้นั้นยากมากจนมีเพียงผู้เชี่ยวชาญที่ได้รับการคัดเลือกเท่านั้นที่สามารถเข้าถึงได้ . นักคณิตศาสตร์หลายคนเชื่อตำนานนี้และยอมรับในความไร้ความสามารถของพวกเขาเมื่อพูดถึงทฤษฎีบทพื้นฐานของคันทอร์ในเรื่องการนับไม่ได้ของความต่อเนื่องเพื่อเป็นการพิสูจน์ความเท็จอย่างโจ่งแจ้งของตำนานนี้ A.A. Zenkin เสนอให้เปรียบเทียบวิธีการในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของคันทอร์กับทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่รู้จักกันดี

ในทฤษฎีบทพีทาโกรัส A.A. Zenkin ตั้งข้อสังเกตไว้ว่า การพิสูจน์ใช้แนวคิดเบื้องต้นสามประการ (!) ของคณิตศาสตร์ (แนวคิดของสามเหลี่ยมมุมฉาก แนวคิดเรื่องความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยม แนวคิดเรื่องสัดส่วน) และการดำเนินการทางคณิตศาสตร์สาม (!) ดำเนินการ: การคูณสองครั้งและการบวกนิพจน์พีชคณิตหนึ่งรายการ การพิสูจน์ (ไม่มีรูปภาพ) ใช้เวลา 5 (ห้า!) บรรทัด การพิสูจน์ของคันทอร์ใช้แนวคิดเบื้องต้นสามประการ (!) ของคณิตศาสตร์ (แนวคิดเรื่องจำนวนธรรมชาติ แนวคิดเรื่องจำนวนจริง และแนวคิดเรื่องลำดับอนันต์ของจำนวนจริงที่เป็นตัวเลข) และ ไม่มีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เพียงครั้งเดียว (!) การพิสูจน์นั้นใช้เวลา 5 (ห้า!) บรรทัด เขียนด้วยภาษาตรรกะเบื้องต้นของวินาที ครึ่งหนึ่งของศตวรรษที่ 19ศตวรรษ[อ้างแล้ว].

ความถูกต้องของข้อพิสูจน์นี้ต้องเผชิญกับการคัดค้านอย่างรุนแรงจากนักคณิตศาสตร์ นักตรรกวิทยา และนักปรัชญาที่มีชื่อเสียง " ในผลลัพธ์เชิงกระบวนทัศน์สำหรับปรัชญา ตรรกะ คณิตศาสตร์ และจิตวิทยาการรู้คิด ทฤษฎีบทของคันทอร์ไม่เท่ากัน “ชะตากรรม” ญาณวิทยาที่แตกต่างกันเช่นนั้นของทฤษฎีบทเหล่านี้ ซึ่งคล้ายกันมากในเกณฑ์ที่เป็นทางการ (และในความไม่สำคัญของการพิสูจน์ที่ “ฉูดฉาด” ) ได้รับการอธิบายโดยข้อเท็จจริงที่ว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทของคันทอร์ใช้ (โดยปริยาย) แนวคิดที่ขัดแย้งกันของความเป็นจริง อนันต์"[อ้างแล้ว].

เอ.เอ. เซนคินไม่ได้หยุดอยู่ที่ข้อโต้แย้งนี้และมุ่งตรงไปที่การวิเคราะห์วิธีเส้นทแยงมุม (DM) เพื่อเป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทของคันทอร์ในเรื่องการนับไม่ได้ของความต่อเนื่อง

เมื่อพิจารณารูปแบบที่เป็นที่ยอมรับของ DM นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียได้ข้อสรุปว่า "การพิสูจน์ในแนวทแยงของเขา (ของคันทอร์) เกี่ยวกับความไม่สมดุลเชิงปริมาณของเซตอนันต์ X และ N สองเซตนั้นมีพื้นฐานมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเซตอนันต์ X จะมีองค์ประกอบพิเศษหนึ่งองค์ประกอบเสมอ (ของแคนเตอร์ new AD-d.ch. x*) สำหรับการนับจำนวน "เช่นเคย" มีองค์ประกอบหนึ่งหายไปจากเซตอนันต์ N หรืออย่างเป็นทางการจากข้อเท็จจริงที่ว่าเซตอนันต์ X มีองค์ประกอบมากกว่าหนึ่งองค์ประกอบมากกว่า เซตอนันต์ N ฉันคิดว่านี่คือ - สถานที่แห่งการพิสูจน์ของคันทอร์ที่ทำให้เกิดการปฏิเสธอย่างเด็ดขาด (การปฏิเสธ) จากสัญชาตญาณทางวิทยาศาสตร์ของผู้เชี่ยวชาญทางคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นอยู่เสมอ (ดูรายการ-1)” [อ้างแล้ว] เอ.เอ. เซนคินประเมินข้อพิสูจน์ดังกล่าวโดยวิตเกนสไตน์ว่า “คนๆ หนึ่งทำงานวันแล้ววันเล่าด้วยเหงื่อที่ไหลจากคิ้ว เขารวบรวมรายการจำนวนจริงทั้งหมด และตอนนี้ เมื่อรายการเสร็จสิ้นในที่สุด นักมายากลก็ปรากฏตัวขึ้น รับ เส้นทแยงมุมของรายการนี้และต่อหน้าต่อตาเขาประชาชนที่ประหลาดใจด้วยความช่วยเหลือของอัลกอริธึมที่ค่อนข้าง "ลึกลับ" ทำให้มันกลายเป็น... การต่อต้านแนวทแยงเช่น ให้เป็นตัวเลข AD-real ใหม่ที่ไม่มีอยู่ในรายการเดิม . ชนิดดังกล่าวการพิสูจน์แนวทแยงของคันทอร์เป็นแบบฝึกหัดสำหรับคนโง่ ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรียกกันทั่วไปว่าการหักล้างในตรรกะคลาสสิก".

ยิ่งไปกว่านั้น เป็นครั้งแรกที่นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียค้นพบข้อเท็จจริงที่ไม่เหมือนใครในการพิสูจน์ของคันทอร์ จุดสำคัญการพิสูจน์ของคันทอร์คือการใช้วิธีการโต้แย้งตัวอย่างอย่างชัดเจน และ “ไม่พบตัวอย่างแย้งในชุดของการใช้งานที่เป็นไปได้ทั้งหมดของที่กำหนด ทั่วไปคำสั่ง แต่เป็นอัลกอริทึม อนุมานได้จากข้อความทั่วไปที่ว่าตัวอย่างแย้งนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อหักล้าง (ในรูปแบบ นิรนัยเอาต์พุต ที่นี่ B= “รายการ (1) มี d.ch ทั้งหมด จาก X)" [เอ.เอ. เซนกิน. สวรรค์อันกว้างใหญ่ของ Georg Cantor: เรื่องราวในพระคัมภีร์ไบเบิลที่ธรณีประตูของ Apocalypse - [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://www.com2com.ru/alexzen/]

ผลจากการที่ผู้เชี่ยวชาญด้าน ATM คุ้นเคยกับการค้นพบของ A.A. Zenkin ทำให้เกิดการถกเถียงกันอย่างดุเดือด ซึ่ง "ความเป็นมืออาชีพปลอมๆ ทั้งหมดของหน่วยงาน ATM ที่ได้รับการยอมรับจำนวนหนึ่งในด้านตรรกะเบื้องต้นได้รับการเปิดเผย" [อ้างแล้ว]

เมื่อสรุปผลของความขัดแย้ง A.A. Zenkin ก็มาถึงข้อสรุปที่ไม่คาดคิดดังต่อไปนี้: “เกิดสถานการณ์อื้อฉาว! – เป็นเวลากว่าร้อยปีแล้วที่ผู้เชี่ยวชาญที่โดดเด่น (และไม่โดดเด่นนัก) ในสาขาเมตาคณิตศาสตร์ ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซตสัจพจน์ และนักบูร์บากิสต์คนอื่นๆ ทุกปีจะสอน (หรือค่อนข้างซอมบี้) ให้กับนักเรียนรุ่นใหม่ “วิธีพิสูจน์อย่างถูกต้อง” ” การนับไม่ได้ของความต่อเนื่องโดยใช้วิธีเส้นทแยงมุมที่มีชื่อเสียง คันทอร์ไม่เข้าใจธรรมชาติเชิงตรรกะของวิธีนี้อย่างแน่นอน!

แท้จริงแล้ว “เหตุการณ์ทางพยาธิวิทยาซึ่งตามคำกล่าวของ Brouwer คนรุ่นต่อๆ ไปจะต้องหวาดกลัว”! - หรือในทางกลับกัน พวกเขาจะหัวเราะ "จากส่วนลึกของจิตวิญญาณ" แต่ ... "จนกว่าฉันจะล้มลงอย่างสมบูรณ์" - เหนือใคร? – ฉันคิดว่ามากกว่า 90% ของนักคณิตศาสตร์ที่ "ทำงาน" ซึ่งตลอดทั้งศตวรรษ "ไม่สนใจโดยสิ้นเชิง" ละทิ้ง "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ทั้งหมด" ของตนเพราะ "ผู้ป่วยซีกซ้าย" ใช้ในทางที่ผิดอย่างชัดเจน เพราะการหัวเราะเยาะคนป่วยแม้แต่คนซีกซ้ายก็ถือเป็นบาปและไร้จุดหมาย”[อ้างแล้ว].

นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียสรุปการวิเคราะห์เชิงวิพากษ์ของการพิสูจน์ DMC ด้วยเรื่องราวความขัดแย้งอันน่าทึ่งของ David Hilbert ที่นำเสนอเมื่อประมาณ 80 ปีที่แล้ว ในช่วงทศวรรษที่ 20 ของศตวรรษที่ผ่านมา D. Hilbert เพื่อแสดงความแตกต่างพื้นฐานระหว่างเซตจำกัดและเซตอนันต์ในทฤษฎีเซตของ Cantor ได้เสนอความขัดแย้งที่ได้รับความนิยมที่เรียกว่า "โรงแรมแกรนด์" การนำเสนอความขัดแย้งนั้นค่อนข้างยุ่งยาก ดังนั้นให้เรากำหนดสาระสำคัญของมัน ความขัดแย้งของ "โรงแรมแกรนด์" แสดงให้เห็นคุณสมบัติพื้นฐานของเซตอนันต์: "... ถ้าคุณบวกเซตที่มีขอบเขตจำกัดหรือนับได้เข้ากับเซตอนันต์ ภาวะเชิงการนับของเซตแรกจะไม่เปลี่ยนแปลง" [อ้างแล้ว]

เมื่อเปรียบเทียบการพิสูจน์ DMK กับความขัดแย้งของ D. Hilbert แล้ว A.A. Zenkin ได้ข้อสรุปที่น่าทึ่ง: การพิสูจน์ DMK ของการนับไม่ได้ของความต่อเนื่องนั้นเป็นแบบจำลองแบบนิรนัย (ในความหมายของ Tarski) ของความขัดแย้ง “โรงแรมแกรนด์” ของ D. Hilbert

ในความขัดแย้งของ D. Hilbert เรากำลังเผชิญกับกระบวนการที่อาจไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งมีคุณสมบัติพื้นฐานดังต่อไปนี้: จนกว่ากระบวนการนี้จะสิ้นสุดลง “ไม่มีพื้นฐาน (เชิงตรรกะหรือทางคณิตศาสตร์) ที่จะยืนยันว่าสมมติฐาน “X นับได้” เป็นเท็จ ดังนั้น หากเซต Y 1 นับได้เป็นอนันต์ ข้อความของทฤษฎีบทของคันทอร์ “X นับไม่ได้” ก็พิสูจน์ไม่ได้”[อ้างแล้ว].

ข้อโต้แย้งข้างต้น A.A. Zenkin สรุป ระบุว่า “ทฤษฎีบทของคันทอร์เกี่ยวกับการนับไม่ได้ของความต่อเนื่องนั้นพิสูจน์ไม่ได้ ซึ่งหมายความว่าการแยกแยะอนันต์ด้วยจำนวนองค์ประกอบถือเป็นการสร้างตำนาน แต่ถ้าการนับไม่ได้ของความต่อเนื่องนั้นพิสูจน์ไม่ได้ ทฤษฎีเซตอนันต์ของ G. Cantor ไม่ใช่แค่ "ไร้เดียงสา" แต่เป็นวิทยาศาสตร์หลอกโดยสิ้นเชิง ดังนั้น "สวรรค์" ข้ามขอบเขตของ G. Cantor จึงสามารถปิดได้โดยไม่มีความเสียหายใด ๆ ต่อ " การทำงาน” คณิตศาสตร์”[อ้างแล้ว].

ในการสรุปการนำเสนอการวิจัยเชิงวิพากษ์ของ A.A. Zenkin เกี่ยวกับทฤษฎีเซตอนันต์ของ Georg Cantor ฉันอยากจะเน้นย้ำถึงความสำคัญของข้อสรุปถัดไปของเขา ทฤษฎีบทของคันทอร์ไม่ถูกต้องจากมุมมองของตรรกะอริสโตเติลคลาสสิก

4. การวิพากษ์วิจารณ์แนวทางตามความเป็นจริงของ A.A. Zenkin

แนวทางเชิงสัจพจน์ที่เสนอโดย A. Zenkin สำหรับแนวคิดของ AB และ PB จากมุมมองของเรานั้นไม่ถูกต้องตามระเบียบวิธี

สัจพจน์ของอริสโตเติลและสัจพจน์ของคันทอร์ได้รับการกำหนดขึ้นผ่านแนวคิดเรื่องอนันต์ ซึ่งไม่ได้กำหนดไว้อย่างเคร่งครัดและเป็นทางการ จากการกำหนดสัจพจน์ เป็นไปตามว่า PB และ AB เป็นประเภทของอนันต์เช่นนั้น กล่าวคือ ใจดี.

จุดที่สอง. อริสโตเติลพิจารณาแนวคิดของ PB และ AB บนพื้นฐานของหลักคำสอนของเขาเองเกี่ยวกับการเป็นและแก่นแท้ตามกฎของตรรกะคลาสสิก (ดั้งเดิม) ในขณะที่คันทอร์ในทฤษฎีเซตของเขา ดำเนินโครงการวิจัยพีทาโกรัส-พลาโทนิก หลักคำสอนของการเป็นและแก่นแท้ของเพลโตเป็นทางเลือกแทนปรัชญา Peripatetic และสอดคล้องกับตรรกะวิภาษวิธีและหลักการของความบังเอิญของสิ่งที่ตรงกันข้าม

อริสโตเติลไม่ได้ถือว่าแนวคิด AB และ PB ขัดแย้งกัน โดยหลักแล้วเป็นเพราะแนวคิดเรื่องอนันต์มีความเฉพาะเจาะจงมาก และหลักการและกฎของตรรกะดั้งเดิมไม่สามารถใช้ได้กับแนวคิดดังกล่าว อริสโตเติลเรียกสิ่งนี้ว่าเป็นแนวคิดที่ผิดกฎหมายซึ่งไม่ได้ให้ความสำคัญกับความรู้สึกหรือความคิดของเราเลย อนันต์มีอยู่เฉพาะในความเป็นไปได้เท่านั้น ไม่ใช่ในความเป็นจริง เพราะถ้ามันมีอยู่จริงก็จะมีปริมาณที่แน่นอนหรือปริมาณจำกัด ดังนั้นอนันต์จึงดำรงอยู่เป็นสมบัติ

อริสโตเติลกล่าวว่าอินฟินิตี้คือที่ซึ่งเมื่อรับจำนวนหนึ่งแล้ว คุณสามารถนำบางอย่างหลังจากนั้นไปได้เสมอ และที่ซึ่งไม่มีอะไรอยู่ข้างนอก มันคือทั้งหมด อนันต์คือสิ่งที่ขาดหายไปจากบางสิ่งบางอย่าง อยู่ภายนอกมัน “อนันต์ (อนันต์) นั้นสมบูรณ์และจำกัดมิใช่ในตัวมันเอง แต่สัมพันธ์กับสิ่งอื่น และเนื่องจากเป็นอนันต์ จึงไม่โอบรับ แต่ถูกโอบไว้ ดังนั้น จึงไม่อาจรับรู้ได้ว่าอนันต์ เพราะสสาร (เช่นนั้น) มี ไม่มีรูปแบบ ดังนั้น จึงชัดเจนว่าอนันต์เหมาะสมกับคำนิยามของส่วนหนึ่งมากกว่าทั้งหมด เนื่องจากสสารเป็นส่วนหนึ่งของทั้งหมด เช่นเดียวกับทองแดงที่มีไว้สำหรับรูปปั้นทองแดง หากมันรวบรวมวัตถุที่สมเหตุสมผลแล้วในขอบเขตของ “ผู้ยิ่งใหญ่” และ “เล็ก” ที่เข้าใจได้จะต้องยอมรับ [ความคิด] ที่เข้าใจได้ แต่มันไร้สาระและเป็นไปไม่ได้สำหรับผู้ที่ไม่รู้และไม่มีกำหนดที่จะยอมรับและกำหนด" [อริสโตเติล ผลงานที่รวบรวมไว้ใน 4 เล่ม เล่ม 3 มอสโก "Mysl" , 1981, หน้า 120 ].

ด้วยเหตุนี้ แนวคิดเรื่องอนันต์ในอริสโตเติลจึงได้รับการพิจารณาอย่างใกล้ชิดกับประเภทหลักๆ ของปรัชญาของเขา: รูปแบบ - สสาร ความเป็นไปได้ - ความเป็นจริง ส่วนหนึ่ง - ทั้งหมด ในบริบทนี้ แนวคิดของ AB ไม่ได้ขัดแย้งกับ PB แต่คิดไม่ถึงโดยสิ้นเชิงจากมุมมองของตรรกศาสตร์ของอริสโตเติล PB ที่ขัดแย้งกันค่อนข้างเป็นแนวคิดเกี่ยวกับขอบเขตจำกัด เนื่องจากเป็นความสัมพันธ์ระหว่างความไม่แน่นอนกับความไม่แน่นอน หากพิจารณา PB ในบริบทของบางส่วน - ทั้งหมด คำจำกัดความของชิ้นส่วนจะเหมาะสมกว่าสำหรับสิ่งนั้น จากนั้น เมื่อสัมพันธ์กับมัน แนวคิดเรื่องส่วนรวมจะสอดคล้องกับจุดสิ้นสุดที่แท้จริงมากกว่า ในกรณีนี้ PB เป็นแนวคิดรองจากแนวคิด AB นี่คือวิธีที่ G. Kantor ตีความเอง

ดังนั้น สำหรับอริสโตเติล เราสามารถพูดถึงความไม่มีที่สิ้นสุดในความหมายเดียวเท่านั้นในฐานะ PB แนวคิดที่ไม่ได้รับการยอมรับว่าเป็นแนวคิดไม่สามารถเกี่ยวข้องกับแนวคิดนั้นได้ เช่น เอบี และแนวคิดของ PB นั้นคลุมเครือ ไม่อาจรู้ได้ และไม่มีความเป็นจริง

สถานะพิเศษของแนวคิดเรื่องอนันต์ที่อริสโตเติลพูดถึงคือสถานะพิเศษที่ไม่อนุญาตให้นำการดำเนินการดั้งเดิมของตรรกะที่เป็นทางการมาใช้กับสถานะนี้ แนวคิดของ PB ไม่ใช่วัตถุทางคณิตศาสตร์ในความหมายที่เข้มงวดของคำนี้

ข้อเท็จจริงที่ว่าแนวคิดเรื่องอนันต์ไม่อยู่ในความหมายที่เข้มงวดกับคณิตศาสตร์ตามคำจำกัดความของจำนวนและขนาด เรานำเสนอคำจำกัดความของอริสโตเติลอีกครั้ง “ปริมาณคือสิ่งที่แบ่งออกเป็นส่วนประกอบต่างๆ ได้ ซึ่งแต่ละส่วนไม่ว่าจะมีตั้งแต่สองชิ้นขึ้นไปก็ตาม โดยธรรมชาติแล้วสิ่งหนึ่งและสิ่งที่แน่นอนก็คือสิ่งหนึ่ง ปริมาณทุกปริมาณจะมีจำนวนมากกว่าหนึ่งหากนับได้ และเป็นปริมาณหากวัดได้ เซตคือสิ่งที่สามารถแบ่งออกเป็นส่วนๆ ที่ไม่ต่อเนื่องกันได้ และสามารถแบ่งออกเป็นส่วนต่อเนื่องกันตามขนาด... จากปริมาณทั้งหมดนี้ ถูก จำกัดชุดคือตัวเลข ถูก จำกัดความยาวเส้น ถูก จำกัดความกว้าง - ระนาบ ถูก จำกัดความลึกคือร่างกาย" (อริสโตเติล ปฏิบัติการ ใน 4 เล่ม เล่มที่ 1 ม.: Mysl, 1976, P.164]. จากข้อความข้างต้นของอริสโตเติล เนื้อหาหลักของคณิตศาสตร์คือแนวคิดเรื่องขนาดและจำนวน ตัวเลขเป็นเซตที่จำกัด ปริมาณคือปริภูมิเรขาคณิตที่จำกัด (เส้น ระนาบ ตัวเนื้อหา) ชุดไม่จำกัดและพื้นที่ไม่จำกัดนั้นไม่มีที่สิ้นสุด เนื่องจากเป็นปริมาณสองรูปแบบที่ไม่มีขอบเขต สิ้นสุดหรือจำกัด ดังนั้นสิ่งเหล่านั้นจึงไม่แน่นอนและไม่อาจหยั่งรู้ได้

นอกจากนี้, อนันต์สำหรับอริสโตเติลเป็นคุณสมบัติของการคิดก่อนอื่นไม่ใช่วิชาฟิสิกส์หรือคณิตศาสตร์ « เป็นเรื่องไร้สาระที่จะเชื่อถือความคิดในเรื่องอนันต์ เนื่องจากส่วนเกินและความบกพร่อง (ในกรณีนี้) ไม่ได้อยู่ในเรื่อง แต่อยู่ที่ความคิดท้ายที่สุดแล้ว เราแต่ละคนสามารถจินตนาการถึงจิตใจที่ใหญ่กว่าตัวเขาได้หลายเท่า และทำให้เขาไม่มีที่สิ้นสุด แต่ไม่ใช่เพราะมีคนอยู่นอกเมืองหรือมีขนาดที่บางคนคิดเช่นนั้น แต่เป็นเพราะมัน [เกิดขึ้นจริง]; และความจริง [ที่มีคนคิดแบบนี้] จะเป็น [สำหรับเขา] เหตุบังเอิญ” [อ้างแล้ว] ถ้าอนันต์ไม่มีอยู่ในวัตถุ แล้วเราจะให้ความเป็นจริงอะไร - กิจกรรมของการคิด?คณิตศาสตร์เกี่ยวอะไรกับเรื่องนี้? ท้ายที่สุดแล้ว หัวข้อของมันคือปริมาณบริสุทธิ์: ตัวเลขและขนาดใช่ไหม?

คันทอร์สร้างแนวคิดเรื่องอนันต์ที่แท้จริงตามประเพณีของชาวพีทาโกรัส ซึ่งอริสโตเติลให้การเป็นพยานว่า "ประกอบปริมาณจากตัวเลข" คันทอร์เชื่อว่าปริมาณต่อเนื่องสามารถวัดได้ด้วยตัวเลขซึ่งเป็นเซตที่แท้จริงของหน่วยที่แบ่งแยกไม่ได้ เป็นที่ชัดเจนว่าแนวทางดังกล่าวเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้สำหรับอริสโตเติลโดยสิ้นเชิง สำหรับเขา ปริมาณจะแบ่งออกเป็นส่วนที่หารลงตัวเท่านั้น ดังนั้น ปริมาณจึงไม่สามารถแบ่งแยกได้ มิฉะนั้น ความเห็นอกเห็นใจของ Zeno เกี่ยวกับความขัดแย้งของการเคลื่อนไหวจะไม่ได้รับการแก้ไข และจะเป็นไปไม่ได้เช่นกันที่จะอธิบายความเป็นไปได้ของการเคลื่อนไหว ความต่อเนื่องของเวลาและสถานที่

ตามสัจพจน์ของคันทอร์ ตามความเห็นของเซนคิน เป็นไปตามที่เขาปฏิเสธศักยภาพอันไม่มีที่สิ้นสุด คันทอร์ไม่เพียงแต่ไม่ปฏิเสธ PB เท่านั้น แต่ยังไม่ได้ถือว่า PB เป็นอนันต์เลยด้วยซ้ำ สำหรับเขา PB คือค่าจำกัดที่แปรผันได้ ยิ่งกว่านั้นเขาเชื่อว่าถ้าคุณทาน PB ก็ยิ่งมากกว่านั้นคุณควรทาน AB

ข้อสรุปมีดังนี้ สัจพจน์ของอริสโตเติลและคันเตอร์ซึ่งกำหนดโดย Zenkin ไม่ได้สะท้อนถึงทัศนคติที่แท้จริงต่อแนวคิดของ PB และ AB ของอริสโตเติลและแคนเทอร์ ในสัจพจน์ทั้งสองในสัจพจน์ของอริสโตเติล (ศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช): “เซตอนันต์ทั้งหมดอาจเป็นเซตอนันต์” และในสัจพจน์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดโดยพฤตินัยของคันทอร์ที่มีอยู่จริงและขัดแย้งกัน (คริสต์ศตวรรษที่ 19) มานานกว่าร้อยปี : “เซตอนันต์ทั้งหมดคือ เซตอนันต์จริงๆ” [ดู A.A. Zenkin สวรรค์อันกว้างใหญ่ของ Georg Cantor: เรื่องราวในพระคัมภีร์ไบเบิลที่ธรณีประตูของ Apocalypse - [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://www.com2com.ru/alexzen/ ] แนวคิดทั่วไปของ "เซตอนันต์" ถูกกำหนดผ่านประเภทของมัน ในสัจพจน์ของอริสโตเติล - ผ่านเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดจริง ๆ ในสัจพจน์ของคันทอร์ - ผ่านเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดจริงๆ แนวคิดของ PB และ AB ไม่ใช่วัตถุทางคณิตศาสตร์ในความหมายที่เข้มงวดของคำนี้ เนื่องจากมีอยู่ในความเป็นไปได้เท่านั้น จึงไม่สามารถรู้ได้และไม่มีกำหนด แนวคิด AB และ PB ไม่ใช่ทั้งตัวเลขหรือปริมาณ แต่เป็นคุณสมบัติของการคิดเชิงเหตุผลเชิงนามธรรมของเรา

ที่กล่าวมาทั้งหมดไม่เกี่ยวข้องกับงานส่วนนั้นของ Zenkin ซึ่งบนพื้นฐานของตรรกะคลาสสิก เขาพิสูจน์ว่าทฤษฎีบทของคันทอร์เกี่ยวกับการนับไม่ได้ของความต่อเนื่องนั้นพิสูจน์ไม่ได้ เซนคินแสดงให้เห็นว่าวิธีเส้นทแยงมุมของคันทอร์ (DMK) ซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบท เป็นรูปแบบเฉพาะของตัวอย่างแย้งที่รู้จักกันดีในหมู่พีทาโกรัสและยุคลิด และความขัดแย้งอันโด่งดัง “โรงแรมแกรนด์” โดย D. Hilbert นั้นเป็นแบบจำลองนิรนัย (ในความหมายของ A. Tarski) ของการพิสูจน์ DMC ของการนับไม่ได้ของความต่อเนื่องโดย G. Cantor จากแบบจำลองนี้ Zenkin สรุปว่าการพิสูจน์ DMC นั้นไม่ถูกต้องจากมุมมองของตรรกะแบบคลาสสิก ดังนั้นจึงไม่มีเซตนับไม่ได้ และเซตอนันต์ทั้งหมดมีภาวะเชิงการนับเท่ากัน ดังนั้น “Teaching of the Transfinite” อันยิ่งใหญ่โดย G. Cantor จึงพังทลายลง

ดังนั้น ข้อสรุปหลักที่เกิดขึ้นจากการศึกษาทฤษฎีบทเกี่ยวกับการนับไม่ได้ของความต่อเนื่องอย่างถี่ถ้วนและทฤษฎีของจำนวนอนันต์ของคันทอร์ที่มีพื้นฐานมาจากทฤษฎีบทนี้ก็คือ ความเท็จของทฤษฎีบทนั้นค่อนข้างง่าย (ดังที่เอ.เอ. เซนกินแสดงให้เห็น) ถูกหักล้างบนพื้นฐานของตรรกะคลาสสิกของอริสโตเติล .

และที่สำคัญไม่น้อยคือข้อสรุปสุดท้าย ทฤษฎีของคันทอร์ไม่ใช่ปรากฏการณ์โดยบังเอิญในคณิตศาสตร์ยุโรป แต่เป็นผลตามธรรมชาติของการระบุแนวคิดเรื่องจำนวนและขนาด ซึ่งนำไปสู่การคิดเลขคณิตทางคณิตศาสตร์อย่างค่อยเป็นค่อยไป การเก็งกำไร และความนามธรรมที่มากเกินไป

5. ความลึกลับของศักยภาพอันไม่มีที่สิ้นสุด

คำถามที่สำคัญไม่แพ้กัน ซึ่ง Zenkin หยิบยกขึ้นมาโดยไม่สมัครใจเมื่อพิสูจน์ความไม่สอดคล้องกันของทฤษฎีบทของ Cantor ในเรื่องความต่อเนื่องที่ไม่สามารถนับได้ นั้นเกี่ยวข้องโดยตรงกับสาระสำคัญของศักยภาพอนันต์ที่ได้รับการยอมรับในคณิตศาสตร์

ในช่วงคริสต์ทศวรรษ 1920 David Hilbert เสนอความขัดแย้งยอดนิยมที่เรียกว่า "โรงแรมแกรนด์" (ต่อไปนี้จะเรียกสั้น ๆ ว่า GO) ซึ่งแสดงให้เห็นความแตกต่างพื้นฐานระหว่างเซตอันจำกัดและเซตอนันต์ในทฤษฎีเซตของ Cantor (เช่นเดียวกับสัจพจน์สมัยใหม่) เราจะไม่นำเสนอความขัดแย้งนี้เนื่องจากมันค่อนข้างยุ่งยาก เนื้อหาของมันคือแสดงให้เห็นคุณสมบัติหลักของเซตอนันต์อย่างชัดเจน: หากมีการเพิ่มเซตจำกัดหรือเซตอนันต์ที่นับได้เข้ากับเซตอนันต์ ภาวะเชิงการนับของเซตแรกจะไม่เปลี่ยนแปลง

Zenkin แสดงให้เห็นว่าข้อพิสูจน์ DMC ของการนับไม่ได้ของความต่อเนื่องนั้นเป็นแบบจำลองนิรนัย (ในความหมายของ Tarski) ของ GO Paradox ของ D. Hilbert [A.A. Zenkin สวรรค์อันกว้างใหญ่ของ Georg Cantor: เรื่องราวในพระคัมภีร์ไบเบิลที่ธรณีประตูของ Apocalypse - [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://www.com2com.ru/alexzen/]

เมื่อพิจารณาแล้วว่าในวิธีการ DNA Cantor ไม่ได้ใช้ AB แต่เป็นกระบวนการ PB Zenkin ตั้งข้อสังเกตว่าไม่มีใครจะรู้ความจริงของคำกล่าวของทฤษฎีบทนี้ เนื่องจากกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุดไม่มีองค์ประกอบสุดท้าย

เซนคินแสดงให้เห็นความไม่มีที่สิ้นสุดที่แท้จริงของคันทอร์ จำเป็นเงื่อนไขของการพิสูจน์ DMC ของการนับไม่ได้ของความต่อเนื่องในความเป็นจริงแสดงถึง อาจ- “การใช้เหตุผล” อย่างไม่มีที่สิ้นสุด “นี่พิสูจน์ให้เห็นว่า” ปัจจุบัน" และ "อนันต์" ในกรอบของทฤษฎีบทพิสูจน์ของคันทอร์เกี่ยวกับการนับไม่ได้ของความต่อเนื่องคือ (ในเชิงตรรกะและอัลกอริทึม) ขัดแย้งกันแนวคิดและด้วยเหตุนี้แนวคิด " ปัจจุบัน" และ " สุดท้าย» เป็นอัลกอริทึม เหมือนกัน"[อ้างแล้ว]. และหากนี่เป็นข้อความที่ไม่มีที่สิ้นสุด ความจริงของมันก็ไม่สามารถพิสูจน์ได้ เนื่องจากกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุดไม่มีองค์ประกอบสุดท้าย บทสรุปของ Zenkin นี้เป็นการยืนยันสมมติฐานของเราว่าแนวคิดของ PB นั้นขัดแย้งกับแนวคิดเรื่องขอบเขตจำกัด ไม่ใช่ AB

“ดังนั้น” Zenkin เขียน “ ได้รับการพิสูจน์เป็นครั้งแรกการมองการณ์ไกลตามสัญชาตญาณอันยิ่งใหญ่ (และการเตือน!) ของอริสโตเติล ยุคลิด ไลบ์นิซ และนักตรรกศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ และนักปรัชญาที่โดดเด่นคนอื่นๆ (ดูรายการ-1) อื่นๆ อีกมากมายที่ “ อนันต์ที่แท้จริง" เป็น ขัดแย้งกันภายในแนวคิด (บางอย่างเช่น " ที่เสร็จเรียบร้อย(โดยต้นเสียง) อนันต์") ดังนั้นการใช้มันในคณิตศาสตร์จึงไม่เป็นที่ยอมรับ" [อ้างแล้ว]

น่าเสียดายที่การพิสูจน์ความไม่สอดคล้องกันภายในของแนวคิดเรื่องอนันต์ที่เกิดขึ้นจริง (เสร็จสมบูรณ์ กล่าวคือ สมบูรณ์ มีขอบเขตจำกัด) นั้นเป็นความพยายามที่ไร้ประโยชน์ในระดับหนึ่ง เนื่องจากความไม่สอดคล้องกันในทันทีอย่างเห็นได้ชัด ภายในกรอบของตรรกะอริสโตเติลคลาสสิก สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้เลย ในบริบทของตรรกะเก็งกำไร (วิภาษวิธี) ซึ่งปฏิเสธกฎแห่งความขัดแย้ง สิ่งนี้ค่อนข้างเป็นที่ยอมรับ

เซนคินยังค้นพบว่ารูปแบบที่ยอมรับได้ของการพิสูจน์แนวทแยงของคันทอร์เกี่ยวกับทฤษฎีบทนับไม่ได้ต่อเนื่องนั้นเหมือนกันกับรูปแบบที่ไม่จำกัดตามรูปแบบบัญญัติ (P2) ของ Liar Paradox:

“มีคนพูดว่า 'ฉันเป็นคนโกหก' - เขาเป็นคนโกหกหรือเปล่า? ถ้าเขาเป็นคนโกหก เขาก็โกหกโดยอ้างว่าเป็นคนโกหก ดังนั้นเขาจึงไม่ใช่คนโกหก แต่ถ้าเขาไม่ได้เป็นคนโกหกเขาก็กำลังพูดความจริงโดยอ้างว่าเขาเป็นคนโกหก ดังนั้น เขาจึงเป็นคนโกหก หรือพูดสั้น ๆ ก็คือ (ในที่นี้ A = “ฉันเป็นคนโกหก”) และ [ØA ® A] (P1)” [อ้างแล้ว]

Zenkin ยังตั้งข้อสังเกตอีกว่า “การสร้างแบบจำลองความขัดแย้งของคนโกหกที่ไม่ได้อยู่ในคอมพิวเตอร์แอนะล็อกพิสูจน์ให้เห็นแล้ว” ว่าความขัดแย้งนี้ไม่มีรูปแบบที่จำกัด แต่มีรูปแบบที่ไม่มีที่สิ้นสุด A ® ØA ® A ® ØA ® A® ØA ® A ® ... (P2) และไม่มีเหตุผล เหตุผล หรือเหตุผลทางตรรกะและคณิตศาสตร์ในการทำให้สิ่งนี้สำเร็จ อาจ- กระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุด" [อ้างแล้ว]

ด้วยเหตุนี้ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียจึงได้ข้อสรุปที่น่าสนใจ “ควรเน้นย้ำว่าเป็นรูปแบบอนันต์ (P2) ที่ตระหนักถึงความจำเป็นและ เพียงพอเงื่อนไข (ในแง่ตรรกะและคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด) ของปรากฏการณ์ของความขัดแย้ง ในกรณีนี้ "ความหมาย" ที่แท้จริงของความขัดแย้งนี้ไม่ใช่ว่าข้อความ "ฉันเป็นคนโกหก" "ไม่สามารถเป็นจริงหรือเท็จได้" แต่ข้อความนี้ตรงกันข้ามกัน ทั้งจริงและเท็จ"ในเวลาเดียวกัน ในสถานที่เดียวกัน และด้วยความเคารพอย่างเดียวกัน" กล่าวอีกนัยหนึ่ง ในความขัดแย้ง "คนโกหก" ในรูปแบบ (P2) ความจริงและความเท็จปะปนกัน ซึ่งหมายความว่าความจริงและความเท็จจะแยกไม่ออก” [อ้างแล้ว]

มันยากที่จะไม่เห็นด้วยกับสิ่งนี้ ตามคำกล่าวของเพลโต อนันต์คือสิ่งที่มีลักษณะเชิงปริมาณที่ไม่แน่นอน และไม่อนุญาตให้มีคำจำกัดความที่เข้มงวด เขาเรียกอนันต์ว่าไบนารี่ไม่สิ้นสุด มีสองความหมายเสมอ ไม่สามารถรับความหมายเดียวได้ ไม่สามารถตัดสินใจได้“... อนันต์สามารถดำรงอยู่ได้ในขณะที่วันนั้นมีอยู่หรือเป็นการแข่งขัน - ในแง่ที่ว่ามันเป็น จะแตกต่างและแตกต่างอยู่เสมอ» [พี.พี. ไกเดนโก ประวัติศาสตร์ปรัชญากรีกที่เกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์ - [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://www.philosophy.ru/library/gaid/0.html]

คำถามเกิดขึ้น อะไรคือความหมายเชิงตรรกะของแนวคิดของเพลโตที่ว่าอนันต์ในฐานะกระบวนการ "กลายเป็นสิ่งอื่นตลอดเวลา"? ในความเห็นของเรา แนวคิดเรื่องศักยภาพอนันต์นั้นมีหลักการที่ปฏิเสธกฎแห่งความขัดแย้งโดยปริยาย “อื่นๆ และอื่นๆ” นี้ แทนที่จะเป็น “บางสิ่งบางอย่างหรืออื่นๆ” คือหลักการของความไม่แน่นอน หากกฎข้อขัดแย้งในการตีความของอริสโตเติลกำหนดไว้ดังนี้: “เป็นไปไม่ได้ที่สิ่งเดียวกันจะเป็นและไม่ได้อยู่ในสิ่งเดียวกันและในความหมายเดียวกัน” ดังนั้น ในกรณีของเราที่มีคำจำกัดความของ PB “หนึ่งและอันเดียวกัน” มีความหมายเหมือนกันกับแนวคิดเรื่อง “อื่นๆ” ในเพลโต ด้วยเหตุนี้ ในคำจำกัดความของเพลโต เรากำลังเผชิญกับข้อความที่ปฏิเสธกฎแห่งความขัดแย้ง ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาอนุกรมของจำนวนธรรมชาติ: 1, 2, 3, 4, 5... เป็นตัวอย่างของค่าอนันต์ที่เป็นไปได้ หากเราหาคู่ของจำนวนใกล้เคียงกัน จะเป็นไปไม่ได้ที่ความสัมพันธ์ทั้งสามประเภทจะมีขนาดเป็นจริง: 3 > 4, 4 > 3 หรือ 3 = 4 หากเราใช้จำนวนจำกัด 4 ในแง่ของขนาด มันจะไม่สามารถมากกว่าตัวมันเองได้ ในขณะที่ในชุดจำนวนอนันต์ ความหมายของตัวเลขจะเปลี่ยนแปลงอยู่เสมอ และเราไม่สามารถนำกฎข้อขัดแย้งมาเป็นกฎแห่งความแน่นอนได้ดังนั้น จำนวนทั้งหมดของอนุกรมธรรมชาติจึงมีค่าอนันต์ที่เป็นไปได้เท่ากัน คือ 1 และอีกจำนวนหนึ่ง (2) และอีกจำนวนหนึ่ง (3) และอีกจำนวนหนึ่ง (4) ดังนั้นจึงต้องแทนที่เครื่องหมายแยกทางด้วยเครื่องหมายร่วม และการนำกฎแห่งความบังเอิญตรงกันข้ามมาใช้แทนกฎแห่งความขัดแย้งนำไปสู่ความขัดแย้ง ความขัดแย้งคืออะไร? นี่เป็นข้อเสนอที่ขัดแย้งกัน

และสุดท้ายคือตัวอย่างของ Liar Paradox มีคนพูดว่า: "ฉันโกหก" ถ้าเขาโกหกเรื่องนี้แล้วสิ่งที่เขาพูดนั้นเป็นเรื่องโกหก ดังนั้นเขาจึงไม่โกหก ถ้าเขาไม่โกหกสิ่งที่เขาพูดนั้นเป็นความจริง ดังนั้นเขาจึงโกหก ไม่ว่าในกรณีใดปรากฎว่าเขากำลังโกหกและไม่ได้โกหกในเวลาเดียวกัน [หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมเชิงตรรกะ เอ็นไอ คอนดาคอฟ. วิทยาศาสตร์. ม., 1976. หน้า 433]. ในความขัดแย้งนี้ เรากำลังเผชิญกับการละเมิดกฎแห่งความขัดแย้งอย่างมีสติ เป็นไปไม่ได้ที่ใครจะโกหกและไม่โกหกด้วยความเคารพแบบเดียวกัน และการละเมิดนี้มีอยู่ในโครงสร้างของความขัดแย้ง

ดังนั้น ดังที่ Zenkin แสดงให้เห็น และสิ่งนี้ตามมาจากการวิเคราะห์ความขัดแย้งนี้บนพื้นฐานของตรรกะคลาสสิก การละเมิดกฎแห่งความขัดแย้งนั้นแฝงอยู่ในเนื้อหาของแนวคิดเรื่องศักยภาพอันไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งนำไปสู่ปรากฏการณ์ของความขัดแย้ง. หากเรากำลังพูดถึงชุดของจำนวนธรรมชาติ จำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนที่ประกอบเป็นอนุกรมนั้นจะถูกรวมไว้และไม่รวมอยู่ในอนุกรมอนันต์ของจำนวนธรรมชาติ ขั้นแรก ตัวเลข เช่น 5 จะเข้ามาเมื่อเราไปถึงระหว่างการคำนวณ จากนั้นจะเปลี่ยนเป็น 6 ไปเรื่อยๆ ความแน่นอนเปลี่ยนแปลงอยู่ตลอดเวลา ดังนั้นสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ก็คือการเกิดขึ้นของความขัดแย้งจึงเป็นไปได้

หากในแนวคิดของ AB เห็นความไม่สอดคล้องกันและความขัดแย้งของแนวคิดนี้ชัดเจน ดังนั้นในแนวคิดของ PB ก็จะถูกซ่อนไว้

เมื่อเข้าใจธรรมชาติของ PB แล้ว เราจึงไม่สามารถละเลยแนวคิดเรื่องเลขคณิตและเรขาคณิตอนันต์ได้ ลองดูแนวคิดเหล่านี้โดยละเอียด

ลำดับของจำนวนธรรมชาติ 1, 2, 3, …, (1)

แสดงถึงตัวอย่างแรกและสำคัญที่สุดของเซตอนันต์ ตั้งแต่สมัยของเฮเกล อนันต์ทางคณิตศาสตร์ของอนุกรมธรรมชาติ 1+1+1+... เนื่องจากความไร้ประโยชน์ จึงถูกเรียกว่าอนันต์ "เลวร้าย" หรือ "ชั่วร้าย"

เรขาคณิตอนันต์ประกอบด้วยการแบ่งครึ่งอย่างไม่จำกัด ปาสคาลเขียนเกี่ยวกับเรขาคณิตอนันต์ดังต่อไปนี้: “ไม่มีเรขาคณิตคนใดที่ไม่เชื่อว่าอวกาศหารด้วยอนันต์ไม่ได้ เขาทำไม่ได้ถ้าไม่มีสิ่งนี้ เช่นเดียวกับที่บุคคลไม่สามารถอยู่ได้โดยปราศจากวิญญาณ และยังไม่มีใครเข้าใจการแบ่งแยกอย่างไม่มีสิ้นสุด…” [ เอ.พี. Stakhov ภายใต้สัญลักษณ์ของ "มาตราทองคำ": คำสารภาพของลูกชายของทหารกองพันนักเรียน บทที่ 5 ทฤษฎีอัลกอริทึมของการวัด 5.5. ปัญหาเรื่องอนันต์ในวิชาคณิตศาสตร์ ศักยภาพและอนันต์ที่แท้จริง - [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/100a/02320046.htm ]

แท้จริงแล้วนี่คือขีดจำกัด คำถามที่สำคัญที่สุดซึ่งไม่สามารถแก้ไขได้ภายใต้กรอบของกระบวนทัศน์มานุษยวิทยาที่โดดเด่นในปัจจุบัน

“ความประทับใจไร้เดียงสาครั้งแรกที่เกิดจากปรากฏการณ์และสสารทางธรรมชาติ” ดี. กิลเบิร์ตเขียน “คือความประทับใจต่อบางสิ่งที่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง หากเรามีโลหะชิ้นหนึ่งหรือของเหลวปริมาณหนึ่งอยู่ตรงหน้าเรา ความคิดนั้นก็ถูกกำหนดให้เราว่าพวกมันแบ่งแยกได้อย่างไม่สิ้นสุด ไม่ว่าชิ้นส่วนนั้นจะเล็กแค่ไหนก็มีคุณสมบัติเหมือนเดิมอีกครั้ง แต่เมื่อใดก็ตามที่วิธีการวิจัยในฟิสิกส์ของสสารได้รับการปรับปรุงอย่างเพียงพอ เราก็จะพบกับขีดจำกัดของการแบ่งแยกนี้ ซึ่งไม่ได้อยู่ที่ความไม่สมบูรณ์ของประสบการณ์ของเรา แต่อยู่ที่ธรรมชาติของสิ่งนั้นเอง เพื่อที่เราจะได้รับรู้โดยตรง แนวโน้มของวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ในการปลดปล่อยจากสิ่งเล็กๆ น้อยๆ อันไม่มีที่สิ้นสุด ตอนนี้ เป็นไปได้ที่จะเปรียบเทียบวิทยานิพนธ์เก่าเรื่อง "ธรรมชาติที่ไม่ก่อให้เกิดเกลือ" (ธรรมชาติไม่ทำให้การก้าวกระโดด) กับสิ่งที่ตรงกันข้าม: "ธรรมชาติทำให้การก้าวกระโดด" [Gilbert D. On the Infinite แหล่งที่มาของการสแกน: Gilbert D. About the Infinite //His รากฐานของเรขาคณิต - ม.-ล., 2491. 491 น. (บทความย่อจาก Mathematischen Annalen, เล่ม 95.) – [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://www.fidel-kastro.ru/matematika/gilbert/hilbert2.htm]

“การหารลงตัวไม่สิ้นสุดมีเฉพาะในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น ไม่มีสิ่งใดพบได้ในธรรมชาติในการทดลองทางฟิสิกส์และเคมี ดังนั้นจึงเป็นเพียงแนวคิดทางคณิตศาสตร์เท่านั้น - เป็นผลงานของการคิดทางคณิตศาสตร์! ความคิดเรื่องจักรวาลที่ไม่มีที่สิ้นสุดนั้นครองอำนาจสูงสุด เป็นเวลานานก่อนคานท์และหลัง แต่ความคิดนี้เป็นอีกด้านของข้อจำกัดของประสบการณ์และกระบวนการรับรู้ของเรา” [อ้างแล้ว]

คุณสมบัติของเรขาคณิตอนันต์ในฐานะที่หารครึ่งได้อย่างไม่จำกัดนั้นไม่ละลายภายในกรอบเรขาคณิต แต่ต้องอาศัยปรัชญาและเทววิทยาเข้ามาเกี่ยวข้อง

ประการแรกกระบวนการแบ่งส่วนเป็นการแสดงออกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของการคิดอย่างมีเหตุผล - การทำลาย (การแบ่ง) ของวัตถุที่กำลังศึกษา ความเข้าใจกระทำในลักษณะแบ่งแยกตามวัตถุ ซึ่งต้องขอบคุณความแน่นอนที่เกิดขึ้น

ประการที่สอง การหารลงตัวแบบไม่สิ้นสุดของส่วนนั้นเกิดจากการที่ส่วนทางเรขาคณิตเป็นรูปแบบของปริมาณต่อเนื่อง และปริมาณเองก็เป็นสิ่งที่เป็นนามธรรมของสิ่งประสาทสัมผัสที่ไม่แยแสกับคุณภาพ

ในโลกวัตถุวัตถุไม่มีปริมาณบริสุทธิ์ ทุกสิ่งมีการวัด และด้วยเหตุนี้ มันจึงเหมือนกันและแตกต่างจากสิ่งอื่น การวัดคือความสามัคคีโดยตรงของคุณภาพและปริมาณ ในส่วนของเรขาคณิต เรากำลังเผชิญกับความใหญ่โต เช่น การวัดที่นอกเหนือไปจากคำจำกัดความเชิงคุณภาพ สิ่งที่เป็นรูปธรรมใด ๆ ก็มีขอบเขตของการดำรงอยู่เชิงคุณภาพ ถ้าสิ่งเหล่านั้นถูกทำลาย สิ่งนั้นก็ถูกทำลายด้วยตัวมันเอง ดังนั้นสิ่งที่สมเหตุสมผล (จำกัด) ไม่สามารถแบ่งตามสภาวะของศักยภาพ (แย่) อนันต์ได้ ความแน่นอนในเชิงคุณภาพของสิ่งใดๆ ขัดขวางกระบวนการแบ่งแยกนี้ ตัวอย่างเช่น ไม้ท่อนหนึ่งสามารถแบ่งออกได้ตราบใดที่ชิ้นส่วนจากการแบ่งยังคงคุณสมบัติของต้นไม้ต้นนี้อยู่ เช่น จนถึงขอบเขตโมเลกุลของโมเลกุลเซลลูโลส การแบ่งโมเลกุลเซลลูโลสเพิ่มเติมคือกระบวนการแบ่งสิ่งอื่นดังนั้นกระบวนการแบ่งไม้จึงมีขีดจำกัดล่าง - โมเลกุลเซลลูโลส การแยกตัวของโมเลกุลจะมีขีดจำกัดล่างที่ระดับอะตอม การแบ่งอะตอมเฉพาะของธาตุจะส่งผลให้มีการแบ่งตัวลงไปถึงระดับย่อยของอะตอม เป็นต้น ด้วยเหตุนี้ การแบ่งแยกสิ่งที่เป็นรูปธรรมใดๆ จึงมีขอบเขตจำกัด ถ้าเราพิจารณากระบวนการแบ่งแยกโดยไม่คำนึงถึงคุณภาพและการวัดผล กระบวนการแบ่งแยกก็จะไม่มีที่สิ้นสุดจริงๆ แต่เรากำลังวัดอะไรอยู่? สิ่งที่เป็นนามธรรมของสิ่งมีขอบเขตเป็นเรื่องสำคัญ สสารในฐานะวัตถุประสงค์ ไม่มีสิ่งใดทางประสาทสัมผัส (ในความเป็นจริงตามธรรมชาติ เป็นธรรมชาติ และไม่เปลี่ยนแปลง) มันเป็นผลิตภัณฑ์เดียวกันกับความคิดเชิงนามธรรมเหมือนกับส่วนทางเรขาคณิต

ดังนั้นทั้งส่วนเรขาคณิตและสสารจึงหารด้วยค่าอนันต์ที่ไม่ดี (ศักยภาพ) ได้ แต่ที่นี่เราไม่ได้จัดการกับสิ่งที่สมเหตุสมผลจริงๆ แต่เกี่ยวข้องกับปริมาณบริสุทธิ์ ซึ่งไม่มีการวัดในตัวเอง และดังนั้นจึงก้าวข้ามขีดจำกัดอยู่เสมอ ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่เฮเกลเขียนไว้ใน “ศาสตร์แห่งตรรกศาสตร์” ว่าแนวคิดเรื่องปริมาณประกอบด้วยความจำเป็นที่ต้องก้าวข้ามขอบเขตของมัน

กลับไปสู่คำจำกัดความของอริสโตเติล: “ปริมาณคือสิ่งที่แบ่งออกเป็นส่วนประกอบต่างๆ ได้ ซึ่งแต่ละส่วนไม่ว่าจะมีตั้งแต่สองชิ้นขึ้นไปก็ตาม โดยธรรมชาติแล้วสิ่งหนึ่งและสิ่งที่แน่นอนก็คือสิ่งหนึ่ง…” [อริสโตเติล ปฏิบัติการ ใน 4 เล่ม เล่ม 1 M.: Mysl, 1976, P.164] เห็นได้ชัดว่าคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับปริมาณบริสุทธิ์ กล่าวคือ ไม่ใช่ด้วยปริมาณทางประสาทสัมผัสของสิ่งจำกัดที่ฟิสิกส์ศึกษา แต่ด้วยปริมาณและขนาดอันบริสุทธิ์ที่เป็นนามธรรมซึ่งวัดไม่ได้ ดังนั้น ในธรรมชาติทางราคะซึ่งเป็นวิชาฟิสิกส์ จึงไม่มีอนันต์ที่แท้จริงหรือที่อาจเกิดขึ้นได้ โลกมีขอบเขตทั้งในแง่ที่กว้างขวางและในแง่ที่เข้มข้น ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่อริสโตเติลตั้งข้อสังเกตเช่นนั้น อนันต์ไม่ได้มอบให้กับประสาทสัมผัสหรือจิตใจ และเรียกมันว่าเป็นแนวคิดที่ผิดกฎหมาย. พระเจ้าทรงจัดเตรียมทุกสิ่งในโลกที่สร้างขึ้นตามขนาด จำนวน และขนาด (พระคัมภีร์ศักดิ์สิทธิ์)

ในลำดับชั้นของรูปแบบของความรู้ อริสโตเติลหลังจากอภิปรัชญา (ซึ่งเขาเข้าใจในแง่ที่เข้มงวดว่าเทววิทยาเป็นศาสตร์แห่งนิรันดร์) เป็นปรัชญาแรกวางฟิสิกส์และคณิตศาสตร์เท่านั้น และนี่เป็นเรื่องที่ยุติธรรมอย่างยิ่งเนื่องจากวิชาคณิตศาสตร์ - ปริมาณบริสุทธิ์มีรากฐานมาจากธรรมชาติของวัตถุที่กระตุ้นความรู้สึก เรื่องของมันคือตัวเลขและขนาดเป็นรูปแบบของปริมาณนามธรรม การพัฒนาทางประวัติศาสตร์ของรูปแบบนามธรรมในคณิตศาสตร์ได้นำไปสู่ความจริงที่ว่าวิชาหลักของการศึกษาได้กลายเป็นทรงกลมของวัตถุทางคณิตศาสตร์ในอุดมคติ: จำนวน, ขนาด, จุด, เส้น, เซต ฯลฯ ซึ่งในหลาย ๆ ด้านไม่ตรงกับ โลกแห่งวัตถุทางกายภาพที่แท้จริง แนวคิดเรื่องศักยภาพอันไม่มีที่สิ้นสุดก็เป็นหนึ่งในนั้น ด้วยเหตุนี้ ข้อสรุปที่เสนอแนะในที่นี้ก็คือ ประการแรก จำเป็นต้องเข้าใจคุณลักษณะและขอบเขตของคณิตศาสตร์และ วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. และประการที่สอง ในการศึกษาธรรมชาติ (ฟิสิกส์ ชีววิทยา ฯลฯ) จำเป็นต้องพึ่งพาและดำเนินการจากเนื้อหาของวิชาเฉพาะหน้า ไม่ใช่จากนิรนัย แบบจำลองทางคณิตศาสตร์. แม้ว่าประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์จะมีตัวอย่างมากมายของการโต้ตอบแบบย้อนกลับ แต่การปฏิบัตินี้มีข้อยกเว้นพื้นฐานหลายประการ

6. ทฤษฎีจำนวนและทฤษฎีเซต โดย G. Cantor

“วิชาทฤษฎีจำนวนเกิดขึ้นพร้อมกับ

วิชา (ของการศึกษา) ของคณิตศาสตร์ทั้งหมด”

A.M.Vinogradov

ในอดีตการก่อตัวของแนวคิดเรื่องตัวเลขเกิดขึ้นบนพื้นฐานของการดำเนินการอย่างเป็นทางการของการวางนัยทั่วไป (การขยาย) ของปริมาตรเนื่องจากการรวมตัวเลข (ชุด) ประเภทใหม่ไว้ในองค์ประกอบ

แนวคิดแรกเกี่ยวกับตัวเลขเกิดจากการนับคน สัตว์ ผลไม้ ผลิตภัณฑ์ต่างๆ ฯลฯ ผลลัพธ์ที่ได้คือตัวเลขธรรมชาติ 1, 2, 3, 4, ...

เมื่อนับวัตถุแต่ละชิ้น หนึ่งคือจำนวนที่น้อยที่สุด และไม่จำเป็นต้องแบ่งออกเป็นส่วนแบ่ง และบางครั้งก็เป็นไปไม่ได้ แต่ถึงแม้จะมีการวัดปริมาณคร่าวๆ ก็จำเป็นต้องแบ่ง 1 ออกเป็นส่วนแบ่ง ในอดีต ส่วนขยายแรกของแนวคิดเรื่องจำนวนคือการบวกเข้ากับจำนวนธรรมชาติ ตัวเลขเศษส่วน. การแนะนำตัวเลขเศษส่วนนั้นสัมพันธ์กับความจำเป็นในการวัด การวัดปริมาณใด ๆ ประกอบด้วยการเปรียบเทียบกับปริมาณอื่นที่มีคุณภาพเป็นเนื้อเดียวกันและถือเป็นหน่วยการวัด การเปรียบเทียบนี้ดำเนินการผ่านการดำเนินการ "กัน" หน่วยการวัดค่าที่วัดได้ เฉพาะวิธีการวัด และการนับจำนวนความล่าช้าดังกล่าว นี่คือวิธีการวัดความยาวโดยการกันส่วนที่ใช้เป็นหน่วยวัด ปริมาณของของเหลว - โดยใช้ภาชนะวัด ฯลฯ

เศษส่วนคือส่วนหนึ่ง (ส่วนแบ่ง) ของหน่วยหรือหลายส่วนที่เท่ากัน

แสดงโดย: โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็ม - การลดเศษส่วน; - ส่วนขยาย. เศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 10n โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม เรียกว่า ทศนิยม

ท่ามกลาง ทศนิยมเศษส่วนคาบมีสถานที่พิเศษ: - เศษส่วนคาบบริสุทธิ์ - เศษส่วนคาบผสม

การขยายแนวคิดเรื่องจำนวนเพิ่มเติมนั้นเกิดจากการพัฒนาของคณิตศาสตร์เอง (พีชคณิต) เดการ์ตในศตวรรษที่ 17 แนะนำแนวคิด จำนวนลบซึ่งให้การตีความทางเรขาคณิตเป็นทิศทางของส่วนต่างๆ การสร้างเรขาคณิตวิเคราะห์ของเดส์การ์ตส์ ซึ่งทำให้สามารถพิจารณารากของสมการเป็นพิกัดของจุดตัดของเส้นโค้งบางเส้นกับแกนแอบซิสซา ได้ลบความแตกต่างพื้นฐานระหว่างรากบวกและลบของสมการในที่สุด การตีความของพวกเขากลายเป็นเรื่องเดียวกันโดยพื้นฐานแล้ว

ตัวเลข จำนวนเต็ม (บวกและลบ) เศษส่วน (บวกและลบ) และศูนย์ เรียกว่า จำนวนตรรกยะ จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถเขียนเป็นเศษส่วนจำกัดและเป็นงวดได้

พบว่าเซตของจำนวนตรรกยะไม่เพียงพอสำหรับการศึกษาตัวแปรที่เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ปรากฎว่าจำเป็นต้องมีการขยายแนวคิดเรื่องตัวเลขใหม่ซึ่งประกอบด้วยการเปลี่ยนจากชุดของจำนวนตรรกยะไปเป็นชุดของจำนวนจริง (จริง) การแนะนำจำนวนจริงเกิดขึ้นโดยการบวกจำนวนอตรรกยะเข้ากับจำนวนตรรกยะ: ตัวเลขอตรรกยะเป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ที่ไม่เป็นงวด

จำนวนอตรรกยะปรากฏขึ้นเมื่อวัดส่วนที่ไม่ลงตัว (ด้านข้างและเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ในพีชคณิต - เมื่อแยกราก ตัวอย่างของจำนวนเหนือธรรมชาติและจำนวนอตรรกยะคือ π, e

คำจำกัดความที่ชัดเจนของแนวคิดของจำนวนจริงนั้นมอบให้โดยหนึ่งในผู้ก่อตั้งการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ I. Newton ใน "เลขคณิตทั่วไป": "ตามจำนวนเราเข้าใจชุดของหน่วยไม่มากนักว่าเป็นความสัมพันธ์เชิงนามธรรมของปริมาณบางจำนวน ไปยังอีกปริมาณหนึ่งที่เป็นชนิดเดียวกันที่เรายึดถือกันเป็นหน่วย” สูตรนี้ให้คำจำกัดความแบบรวมของจำนวนจริง ตรรกยะ หรืออตรรกยะ ต่อมาในยุค 70 ศตวรรษที่ 19 แนวคิดเรื่องจำนวนจริงได้รับการชี้แจงบนพื้นฐานของการวิเคราะห์เชิงลึกเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องในงานของ R. Dedekind, G. Cantor และ K. Weierstrass

จากข้อมูลของ Dedekind คุณสมบัติแห่งความต่อเนื่องของเส้นตรงคือถ้าจุดทั้งหมดที่ประกอบเป็นเส้นตรงถูกแบ่งออกเป็นสองชั้นเพื่อให้แต่ละจุดของชั้นหนึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของแต่ละจุดของชั้นที่สอง (“ แบ่ง” เส้นออกเป็นสองส่วน) จากนั้นในชั้นแรกในชั้นที่สองจะมีจุดขวาสุดหรือในชั้นที่สองก็มีจุดซ้ายสุดนั่นคือจุดที่ “ขาด” ของเส้นเกิดขึ้น

เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดไม่มีคุณสมบัติต่อเนื่อง หากชุดของจำนวนตรรกยะทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองคลาสเพื่อให้แต่ละหมายเลขของคลาสแรกน้อยกว่าแต่ละหมายเลขของคลาสที่สองดังนั้นด้วยพาร์ติชันดังกล่าว ("ส่วน" ของ Dedekind ") อาจกลายเป็นว่าในคลาสแรก จะไม่มีจำนวนมากที่สุดและในจำนวนที่สอง - น้อยที่สุด จะเป็นกรณีนี้ เช่น หากคลาสที่ 1 รวมจำนวนตรรกยะลบทั้งหมด ศูนย์และจำนวนบวกทั้งหมดที่มีกำลังสองน้อยกว่าสอง และคลาสที่ 2 รวมจำนวนบวกทั้งหมดที่มีกำลังสองมากกว่าสอง ส่วนดังกล่าวเรียกว่าไม่มีเหตุผล จากนั้นให้คำจำกัดความต่อไปนี้ของจำนวนอตรรกยะ: จำนวนอตรรกยะที่เกี่ยวข้องกับแต่ละส่วนที่ไม่ลงตัวในชุดของจำนวนตรรกยะจะถือว่ามากกว่าจำนวนใด ๆ ของคลาสแรกและน้อยกว่าจำนวนใด ๆ ของคลาสบน เซตของจำนวนจริงทั้งหมด ทั้งตรรกยะและอตรรกยะ มีคุณสมบัติแห่งความต่อเนื่องอยู่แล้ว

เหตุผลของคันทอร์สำหรับแนวคิดเรื่องจำนวนจริงนั้นแตกต่างจากของเดเดไคนด์ แต่ยังขึ้นอยู่กับการวิเคราะห์แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องด้วย ทั้งคำจำกัดความของ Dedekind และ Cantor ใช้นามธรรมของอนันต์ที่แท้จริง ดังนั้น ในทฤษฎีของเดเดไคนด์ จำนวนอตรรกยะจึงถูกกำหนดโดยใช้ส่วนของผลรวมของจำนวนตรรกยะทั้งหมด ซึ่งถือว่าให้ไว้โดยรวม

จำนวนจริงทั้งหมดสามารถเขียนบนเส้นจำนวนได้ แกนจำนวน (เส้นจำนวน):

ก) เส้นแนวนอนที่มีทิศทางที่เลือกไว้

b) ต้นกำเนิด - จุด 0;

c) หน่วยมาตราส่วน

[สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่ - [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/150404/Number]

ในปัจจุบัน การวางนัยทั่วไปของตัวเลขมีเจ็ดระดับที่ยอมรับกันโดยทั่วไป ได้แก่ ตัวเลขธรรมชาติ ตรรกศาสตร์ จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน เวกเตอร์ เมทริกซ์ และจำนวนทรานส์ฟินิท นักวิทยาศาสตร์บางคนเสนอให้พิจารณาฟังก์ชันเป็นตัวเลขเชิงฟังก์ชันและขยายระดับของลักษณะทั่วไปของตัวเลขเป็นสิบสองระดับ

(อนิชเชนโก้ เยฟเกนีย์ อเล็กซานโดรวิช) "ตัวเลขเป็นแนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์" - [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://www.referat.ru/referats/view/7401 ].

นักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซีย Ozolin E.E. แสดงแนวคิดสำคัญที่สื่อถึงบรรยากาศทางปัญญาสมัยใหม่ในชุมชนคณิตศาสตร์ได้อย่างแม่นยำ ทุกคนรู้ดีว่าทฤษฎีจำนวนเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนและสำคัญที่สุด อย่างไรก็ตาม ดูเหมือนว่าทฤษฎีจำนวนจะถูกมองข้ามไป ในขณะที่การเปลี่ยนแปลงเล็กๆ น้อยๆ ในทฤษฎีนี้อาจทำให้เกิด “พายุ” ในทุกด้านของคณิตศาสตร์ [Ozolin E.E. (โอเซส) ตุลาคม 2547. แนวคิดเรื่องจำนวน - [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm]

ยิ่งไปกว่านั้น - E.E. Ozolin เขียนด้วยความประหลาดใจ - แม้ว่าชาวกรีกโบราณจะไม่ได้รู้ทุกอย่างเกี่ยวกับตัวเลข แต่ความจริงที่น่าเศร้าก็คือ "นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ (ไม่ต้องพูดถึงคนอื่น ๆ ทั้งหมด) มีแนวคิดและความรู้ซึ่งบางครั้งตัวเลขก็ด้อยกว่า พวกกรีกโบราณ

คุณเห็นไหมว่านี่เป็นเรื่องไร้สาระแล้ว” [อ้างแล้ว]

เพื่อยืนยันการพิจารณานี้ E.E. Ozolin ได้ทำการวิเคราะห์ทางประวัติศาสตร์เกี่ยวกับหลักการสร้างแนวคิดเรื่องจำนวนและได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้ คณิตศาสตร์ของยุโรป โดยเฉพาะตั้งแต่ศตวรรษที่ 13 ได้สร้างแนวคิดเกี่ยวกับจำนวนตามหลักการซ้อนทรงกลมของทาลีส “นั่นคือ เซตของจำนวนธรรมชาติฝังอยู่ในเซตของจำนวนเต็ม เซตของจำนวนเต็มฝังอยู่ใน เซตของจำนวนตรรกยะ, เซตของจำนวนตรรกยะฝังอยู่ในเซตของจำนวนจริง, เซตของจำนวนจริงใส่เข้าไปในเซต จำนวนเชิงซ้อนฯลฯ)" [อ้างแล้ว] “และแม้ว่าทั้ง Kurt Gödel จากมุมมองของตรรกะที่เป็นทางการ (ย้อนกลับไปในปี 1931) และฉัน จากมุมมองของ metamathematics ได้พิสูจน์และพิสูจน์มานานแล้วว่าโครงสร้างห้าชั้นของทรงกลมที่ซ้อนกันไม่สามารถ สมบูรณ์และถูกต้องตามหลักตรรกะ เราต้องเผชิญกับ "หลักคำสอนของโรงเรียน" ที่ผิดพลาดอีกครั้ง ในรูปแบบของข้อความที่สันนิษฐานว่ายุติธรรม เช่น จำนวนธรรมชาติเป็นสับเซตของจำนวนตรรกยะ

ดังนั้น ผมจึงอยากจะดึงความสนใจของคุณอีกครั้งถึงความจริงที่ว่าสิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ ตัวอย่างเช่น ภายในกรอบของคณิตศาสตร์ เราสามารถพูดถึงความเท่าเทียมกันอย่างเป็นทางการของจำนวนธรรมชาติ 1 (หนึ่ง) กับจำนวนตรรกยะ 1.00 (0) ต่อหนึ่งเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น ความหมายเชิงตรรกะ ทางคณิตศาสตร์ (และเชิงกายภาพ!) ของตัวเลขเหล่านี้แตกต่างอย่างสิ้นเชิง เช่น หน่วยธรรมชาติคือตัวเลขที่เมื่อบวกกับจำนวนที่มีอยู่แล้วให้เลขถัดไป หน่วยตรรกยะคือตัวเลขที่เมื่อคูณแล้วตัวเลขนี้ไม่เปลี่ยนความหมาย!!! หน่วยจะเปลี่ยนความหมายได้อย่างไร” [อ้างแล้ว] ???

“ยิ่งกว่านั้น” E.E. Ozolin กล่าวต่อ “จำนวนธรรมชาติและจำนวนตรรกยะเป็นของโครงสร้างทางโลหะวิทยาที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ดังนั้นเราจึงไม่สามารถพูดถึงความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการของตัวเลขเหล่านี้ได้

เมื่อมองแวบแรก อาจดูเหมือนว่าปัญหาที่ฉันสรุปไว้เกี่ยวกับความแตกต่างเชิงตรรกะระหว่างจำนวนธรรมชาติและจำนวนตรรกยะนั้น “ไม่คุ้มเลย” และนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ แม้ว่าพวกเขาจะเห็นด้วยกับฉัน แต่ก็อาจจะพูดว่า “หน่วยก็คือหน่วยในแอฟริกา และความแตกต่างอะไรที่ทำให้ความหมายทางคณิตศาสตร์และตรรกะที่ใส่เข้าไปในหน่วยเหล่านั้น เหมือนหรือแตกต่าง” [อ้างแล้ว]

แต่มุมมองดังกล่าวถือเป็นความเข้าใจผิดครั้งใหญ่ - "ตำนานที่เป็นอันตราย" การศึกษาของโรงเรียน" ซึ่งไม่มีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์หรือตรรกะ “และเมื่อตรวจสอบอย่างละเอียดและละเอียดยิ่งขึ้น ปรากฎว่าความแตกต่างในความรู้สึกเชิงตรรกะของจำนวนธรรมชาติและจำนวนตรรกยะนั้นก่อให้เกิดผลที่ตามมาที่ค่อนข้างร้ายแรง การประยุกต์ใช้จริงคณิตศาสตร์" [อ้างแล้ว].

และโดยสรุป E.E. Ozolin ให้ข้อสรุปที่ตรงไปตรงมาดังต่อไปนี้: “ ... คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่เสรีมาก และความเข้มงวดของคณิตศาสตร์ก็ปรากฏให้เห็นเท่านั้น ในวิชาคณิตศาสตร์ คุณสามารถสร้างโครงสร้างสัจพจน์ที่น่าทึ่งที่สุด และศึกษาโครงสร้างเหล่านั้นได้ ไม่ว่าโครงสร้างเหล่านั้นจะไร้ความหมายและเป็นนามธรรมจากความเป็นจริงเพียงใดก็ตาม กล่าวอีกนัยหนึ่งคือคิดค้นและพยายามอย่างเต็มที่ แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะทำสิ่งนี้ในอภิคณิตศาสตร์และโครงสร้างทั้งหมดของอภิคณิตศาสตร์นั้นเชื่อมโยงกับความเป็นจริงไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง แม้ว่าความเป็นจริงจะดูขัดแย้งกัน แต่กลับกลายเป็นว่าความเป็นจริงนั้นยิ่งใหญ่กว่า "จินตนาการของเรา" มาก"[อ้างแล้ว]

กลับมาที่หัวข้อวิจัยของเราทันทีเราก็ทำได้ เอาต์พุตถัดไป. ตัวเลขทุกประเภท (ชุดตัวเลข) มีลักษณะเชิงตรรกะและคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน ดังนั้นจึงไม่ถูกต้องตามระเบียบวิธีที่จะสร้างทฤษฎีตัวเลขโดยการสรุปโดยตรง ความสัมพันธ์เบื้องต้นของข้อสรุปนี้เกี่ยวข้องกับจำนวนธรรมชาติและจำนวนจริง หน่วยของจำนวนธรรมชาติและหน่วยของจำนวนจริงมีต้นกำเนิดและคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ต่างกันโดยสิ้นเชิง คุณไม่สามารถวัดจำนวนแอปเปิ้ลด้วยไม้บรรทัดได้ เป็นไปไม่ได้พอๆ กัน แค่รู้วิธีนับและไม่มีไม้บรรทัดจึงจะวัดความยาวของโต๊ะได้ มันเป็นไปไม่ได้ที่จะลดอันหนึ่งลงอีกอันหนึ่ง หน่วยของหน่วยแรกแบ่งแยกไม่ได้ ในขณะที่หน่วยของหน่วยหลังจำเป็นต้องหารลงตัว จำนวนเต็มธรรมชาติจริงๆ แล้วเป็นตัวเลขในความหมายที่เข้มงวด ในขณะที่จำนวนจริงอยู่ในรูปของปริมาณ เช่น ขนาด ความสับสนของรูปแบบของตัวเลขและปริมาณย้อนหลังไปถึงพีทาโกรัสเป็นแหล่งที่มาหลักของวิกฤตสมัยใหม่ในวิชาคณิตศาสตร์และเป็นข้อกำหนดเบื้องต้นที่สำคัญที่สุดสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของเรขาคณิตและทฤษฎีเซตโดย G. Cantor เนื่องจากแนวคิดของ ​​การสร้างวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่แบ่งแยกไม่ได้จากวัตถุที่แบ่งแยกไม่ได้นั้นเป็นรากฐานของการสร้างแนวคิดเรื่องอนันต์ที่แท้จริงโดย G. Cantor

อีกหนึ่งบันทึก นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ไม่เพียงแต่ไม่เข้าใจธรรมชาติของตัวเลขดังที่ E. Ozolin ระบุไว้อย่างถูกต้อง แต่ยังไม่เข้าใจธรรมชาติของปริมาณเชิงตรรกะและคณิตศาสตร์และแนวคิดพื้นฐานอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ด้วย (เช่น เซต)

ตัวอย่างเช่น นี่คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ชื่อดังเขียนเกี่ยวกับปริมาณ:

“ปริมาณเป็นหนึ่งในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐาน ความหมายนั้นขึ้นอยู่กับการสรุปทั่วไปหลายอย่างพร้อมกับการพัฒนาทางคณิตศาสตร์” A.N. โคลโมโกรอฟ [Kolmogorov A.N. ขนาด. - ทีเอสบี. - ต. 7. - ม., 2494. หน้า 340]. “... ทฤษฎีนี้ - หลักคำสอนเรื่องขนาด - อาจมีบทบาทที่สำคัญที่สุดในการพิสูจน์คณิตศาสตร์ทั้งหมด” นักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียตผู้โด่งดัง V.F. คากัน [Kagan V.F. บทความเกี่ยวกับเรขาคณิต - ม.: มหาวิทยาลัยมอสโก, 2506 หน้า 109]

ให้เราพิจารณาอย่างหลังซึ่งความหมายของแนวคิดเรื่องปริมาณมีความสอดคล้องและชัดเจนที่สุด “...สำหรับนักคณิตศาสตร์” V.F. Kagan เขียน “ค่าจะถูกนิยามอย่างสมบูรณ์เมื่อมีการระบุองค์ประกอบและเกณฑ์การเปรียบเทียบหลายอย่าง” [Ibid., P. 107] กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปริมาณ คือชุดของวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกัน การเปรียบเทียบองค์ประกอบซึ่งทำให้เราสามารถใช้คำว่า "เท่ากัน" "มากกว่า" "น้อยกว่า" ได้ คำถามโต้แย้งเกิดขึ้น: ถ้าเราเปรียบเทียบชุดของจำนวนธรรมชาติบางชุดกับอีกชุดหนึ่งของจำนวนธรรมชาติเดียวกัน เช่น หมายเลข 5 และหมายเลข 7 เราจะนำเงื่อนไขข้างต้นไปใช้กับตัวเลขเหล่านั้นได้หรือไม่ คำถามคือวาทศิลป์ คำจำกัดความที่นำเสนอของแนวคิดเรื่องปริมาณ ที่จริงแล้ว บ่งชี้ว่าผู้เขียนไม่ได้แยกแยะระหว่างแนวคิดพื้นฐานทั้งสองนี้เลย (ตัวเลขและปริมาณ) ผู้เสนอทฤษฎีเซตและคันทอร์เองก็บ่นว่าแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีนี้ก็ยากที่จะให้คำจำกัดความเช่นกัน E. Ozolin ตั้งข้อสังเกตในบทความของเขาว่าเป็นเรื่องยากมากที่จะนิยามคณิตศาสตร์ว่าเป็นวิชาหนึ่ง [Ozolin E.E. (โอเซส) ตุลาคม 2547. แนวคิดเรื่องจำนวน - [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์] URL: http://ozes-world.narod.ru/MtMetaMt/1_4/Mt1_4.htm]

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อสงสัยเหล่านี้ไม่มีมูลความจริง จำเป็นต้องกลับไปหาอริสโตเติลอีกครั้ง ผู้ซึ่งให้คำตอบที่ครอบคลุมสำหรับคำถามของเราในหลายคำจำกัดความ

“ปริมาณคือสิ่งที่แบ่งออกเป็นส่วนประกอบต่างๆ ได้ ซึ่งแต่ละส่วนไม่ว่าจะมีตั้งแต่สองชิ้นขึ้นไปก็ตาม โดยธรรมชาติแล้วสิ่งหนึ่งและสิ่งที่แน่นอนก็คือสิ่งหนึ่ง ปริมาณทุกปริมาณจะเป็นเซตหากนับได้ และขนาดจะเป็นค่าหากวัดได้ เซตคือสิ่งที่สามารถแบ่งออกเป็นส่วนๆ ที่ไม่ต่อเนื่องกัน ตามขนาด - เป็นส่วนต่อเนื่องกัน... ในบรรดาปริมาณทั้งหมดนี้ เซตที่จำกัดคือตัวเลข ความยาวที่จำกัดคือเส้นหนึ่ง ความกว้างที่จำกัดคือระนาบ ความลึกที่จำกัดคือร่างกาย” (อริสโตเติล ปฏิบัติการ ในสี่เล่ม ต.1. อภิปรัชญา. หน้า 164].

จากเศษเสี้ยวของอริสโตเติลนี้ เราได้รับคำจำกัดความที่เข้มงวดดังต่อไปนี้

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่มีเนื้อหาเป็นปริมาณบริสุทธิ์

ปริมาณคือสิ่งที่สามารถแบ่งออกเป็นส่วนประกอบต่างๆ ได้ ซึ่งแต่ละส่วนไม่ว่าจะมีตั้งแต่สองชิ้นขึ้นไปก็ตาม โดยธรรมชาติแล้วสิ่งหนึ่งและสิ่งที่แน่นอนก็คือสิ่งหนึ่ง

เซตคือปริมาณที่สามารถนับได้ เช่น แบ่งเป็นส่วนที่ไม่ต่อเนื่องกัน

ขนาดคือปริมาณที่สามารถวัดได้ เช่น แบ่งออกเป็นส่วนต่อเนื่องกัน

มีจำนวนจำกัด

เส้น – ความยาวจำกัด.

เครื่องบิน – ความกว้างที่จำกัด

ร่างกาย – ความลึกจำกัด

จากบทบัญญัติเหล่านี้มีดังนี้:

หน่วยของตัวเลขไม่มีมิติ แต่เป็นหน่วยนับ กล่าวคือ แบ่งแยกไม่ได้เพราะเรานับเฉพาะจำนวนเต็มเท่านั้น

หน่วยปริมาณหารลงตัวเสมอ

หน่วยของตัวเลขเป็นรูปแบบที่บริสุทธิ์ที่สุดของปริมาณนามธรรม กล่าวคือ มันเป็นรูปแบบที่ไม่แยแสกับพื้นที่เรขาคณิต

หน่วยของปริมาณคือปริมาณบริสุทธิ์บวกปริภูมิเรขาคณิต

พื้นที่เรขาคณิตเป็นสิ่งที่เป็นนามธรรมของความเป็นจริงทางกายภาพ ความเป็นจริงทางกายภาพมีความแน่นอนและการขยายในเชิงคุณภาพ ถ้าเรานามธรรมจากความแน่นอนเชิงคุณภาพของความเป็นจริงทางกายภาพ เราจะได้ปริภูมิเรขาคณิต

อย่างเป็นทางการ ทั้งหน่วยของตัวเลขและหน่วยของขนาดเป็นตัวเลข แต่สาระสำคัญและคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของตัวเลขเหล่านี้แตกต่างกัน เป็นไปไม่ได้ที่จะได้หน่วยขนาดจากหน่วยตัวเลข ในขณะที่จำนวนบริสุทธิ์สามารถหาได้จากปริมาณ ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องเป็นนามธรรมจากปริภูมิเรขาคณิต – มิติ ประเด็นเหล่านี้มีการอภิปรายกันเป็นอย่างดีในฟิสิกส์ของอริสโตเติล

ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะได้ปริมาณจากตัวเลข (ในความหมายที่เข้มงวด) และเนื่องจากวิชาเลขคณิตคือแนวคิดเรื่องตัวเลข และวิชาเรขาคณิตคือปริมาณ ดังนั้น เรขาคณิตจึงไม่สามารถลดเป็นเลขคณิตได้ นี้ วิธีทางที่แตกต่างการดำรงอยู่ของความแน่นอนเชิงปริมาณของโลกวัตถุ

ดังนั้นพื้นฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่จึงเป็นความเข้าใจผิดอย่างลึกซึ้ง - การระบุจำนวนและขนาดเลขคณิตและเรขาคณิตอย่างผิดกฎหมาย แนวคิดเรื่องขนาดเป็นพื้นฐานมากกว่าเพราะจากนั้นเราจึงสามารถได้แนวคิดเรื่องจำนวนมาได้ นอกจากนี้ แนวคิดนี้ยัง "เชื่อมโยง" คณิตศาสตร์กับฟิสิกส์ และสร้างอุปสรรคต่อการสร้างรูปแบบและการเก็งกำไรที่ไม่ยุติธรรม ดังนั้นการคำนวณทางเรขาคณิตจึงนำไปสู่การเสื่อมสภาพของวิชาคณิตศาสตร์ การทำให้เป็นระเบียบ (Bourbakization) และทฤษฎีของจำนวนอนันต์ โดยพื้นฐานแล้วการคำนวณทางคณิตศาสตร์คือกระบวนการในการลดวิชาคณิตศาสตร์ให้เหลือเพียงตัวเลข

กำเนิดและการศึกษา

ในปรัชญาคณิตศาสตร์ เขาได้วิเคราะห์ปัญหาเรื่องอนันต์ Georg Cantor แยกแยะความแตกต่างระหว่างอนันต์ทางคณิตศาสตร์สองประเภท - ไม่เหมาะสม (ศักยภาพ) และเหมาะสม (ตามจริง เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นภาพรวมที่สมบูรณ์) Georg Cantor ยืนกรานในความถูกต้องตามกฎหมายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ด้วยแนวคิดเรื่องอนันต์ที่แท้จริง ในฐานะผู้สนับสนุนลัทธิ Platonism เขามองว่าความไม่มีที่สิ้นสุดทางคณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในรูปแบบของความไม่มีที่สิ้นสุดโดยทั่วไป ซึ่งพบว่ามีความสมบูรณ์สูงสุดในการดำรงอยู่ของพระเจ้าโดยสมบูรณ์ นักเทววิทยาคริสเตียนบางคน ซึ่งส่วนใหญ่เป็นตัวแทนของนีโอโทมิสต์ มองว่าในงานของคันทอร์เป็นการท้าทายต่อความเป็นเอกลักษณ์ของความไม่มีที่สิ้นสุดอันสมบูรณ์แห่งธรรมชาติของพระเจ้า ซึ่งครั้งหนึ่งเคยเทียบเคียงทฤษฎีของจำนวนอนันต์และลัทธิแพนเทวนิยม

ในประเด็นของการดำรงอยู่ทางคณิตศาสตร์ เขาได้แยกแยะระหว่างความเป็นจริงภายในอัตวิสัย (ความมีอยู่จริง นั่นคือ ความสอดคล้องเชิงตรรกะภายใน) และความเป็นจริงของวัตถุทางคณิตศาสตร์ (ชั่วคราว นั่นคือ การโต้ตอบกับกระบวนการของโลกภายนอก) ตรงกันข้ามกับโครเนกเกอร์ซึ่งปฏิเสธวิธีการทั้งหมดในการแนะนำวัตถุทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ ที่ไม่เกี่ยวข้องกับการก่อสร้างหรือการคำนวณ Georg Cantor อนุญาตให้สร้างระบบทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมที่มีความสอดคล้องในเชิงตรรกะ

การคัดค้านเชิงปรัชญาต่อแนวคิดของคันทอร์แสดงออกมาโดยลุดวิก วิตเกนสไตน์

ปีที่ผ่านมา

ในปี พ.ศ. 2440 งานทางวิทยาศาสตร์ของ Kantor ถูกขัดจังหวะเนื่องจากการเจ็บป่วยร้ายแรง การโจมตีภาวะซึมเศร้าที่เกิดขึ้นซ้ำๆ เป็นระยะๆ ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2427 จนถึงสิ้นอายุขัยของเขาเป็นระยะเวลาหนึ่งกล่าวโทษคนรุ่นเดียวกันของคันทอร์ที่เข้ารับตำแหน่งที่ก้าวร้าวมากเกินไป เชื่อกันว่าการโจมตีเหล่านี้เป็นการสำแดงของ โรคสองขั้วและโรคจิตคลั่งไคล้ซึมเศร้า

เขาแต่งงานกับวัลลี กุตมัน โดยมีลูกด้วยกัน 6 คน คนสุดท้ายเกิดในปี พ.ศ. 2429 แม้ว่าเขาจะได้รับเงินเดือนทางวิชาการเพียงเล็กน้อย แต่นักคณิตศาสตร์คนนี้ก็สามารถหาเลี้ยงครอบครัวได้อย่างสะดวกสบายด้วยมรดกที่เขาได้รับจากพ่อของเขา

เขาเสียชีวิตเมื่อวันที่ 6 มกราคม พ.ศ. 2461 ในเมืองฮัลเลอ (ซาเลอ)

ชื่อของเขาคือหลุมอุกกาบาตที่อยู่อีกฟากหนึ่งของดวงจันทร์

ทฤษฎีจำนวนอนันต์ของคันทอร์ถูกมองว่าไร้เหตุผล ขัดแย้งกัน และน่าตกใจจนต้องถูกวิจารณ์อย่างรุนแรงจากนักคณิตศาสตร์ร่วมสมัย โดยเฉพาะลีโอโปลด์ โครเนกเกอร์ และอองรี ปัวน์กาเร ต่อมา - แฮร์มันน์ ไวล์ และลอยท์เซิน เบราเวอร์ และลุดวิก วิตเกนชไตน์ แสดงความคิดเห็นเชิงปรัชญา (ดูข้อพิพาทเกี่ยวกับทฤษฎีของคันทอร์) นักเทววิทยาคริสเตียนบางคน (โดยเฉพาะตัวแทนของนีโอโทมอซึม) มองว่าในงานของคันทอร์เป็นการท้าทายต่อความเป็นเอกลักษณ์ของความไม่มีที่สิ้นสุดอันสมบูรณ์แห่งธรรมชาติของพระเจ้า ซึ่งครั้งหนึ่งเคยเทียบเคียงทฤษฎีของจำนวนอนันต์และลัทธิแพนเทวนิยม การวิจารณ์ผลงานของเขาบางครั้งก็รุนแรงมาก เช่น Poincaré เรียกความคิดของเขาว่า "โรคร้ายแรง" ที่ส่งผลต่อวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ และคำแถลงต่อสาธารณะของ Kronecker และการโจมตีคันเทอร์เป็นการส่วนตัวบางครั้งก็รวมถึงคำเรียกเช่น "คนหลอกลวงทางวิทยาศาสตร์" "ผู้ละทิ้งความเชื่อ" และ "ผู้คอร์รัปชั่นเยาวชน" หลายทศวรรษหลังจากการเสียชีวิตของคันทอร์ วิตเกนสไตน์ตั้งข้อสังเกตอย่างขมขื่นว่าคณิตศาสตร์ถูก "เหยียบย่ำไปมาโดยสำนวนทำลายล้างของทฤษฎีเซต" ซึ่งเขามองว่าเป็น "ตัวตลก" "ไร้สาระ" และ "ผิดพลาด" อาการซึมเศร้าเป็นระยะๆ ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2427 จนกระทั่งสิ้นสุดชีวิตของคันทอร์ถูกตำหนิมาระยะหนึ่งว่าเป็นคนรุ่นราวคราวเดียวกันที่เข้ารับตำแหน่งที่ก้าวร้าวมากเกินไป แต่ปัจจุบันเชื่อกันว่าการโจมตีเหล่านี้อาจเป็นอาการของโรคไบโพลาร์

การวิพากษ์วิจารณ์อย่างรุนแรงกลับถูกตอบโต้ด้วยชื่อเสียงและเสียงไชโยโห่ร้องไปทั่วโลก ในปีพ.ศ. 2447 ราชสมาคมแห่งลอนดอนได้มอบเหรียญซิลเวสเตอร์แก่คันทอร์ ซึ่งเป็นเกียรติสูงสุดที่มอบให้ได้ คันทอร์เองก็เชื่อว่าทฤษฎีจำนวนอนันต์ถูกสื่อสารถึงเขาจากเบื้องบน ครั้งหนึ่ง David Gilbert ปกป้องเธอจากการวิพากษ์วิจารณ์อย่างกล้าหาญว่า: "ไม่มีใครจะขับไล่เราออกจากสวรรค์ที่ Cantor ก่อตั้งขึ้นได้"

ชีวประวัติ

ช่วงปีแรกและการศึกษา

Kantor เกิดในปี 1845 ใน Western Merchant Colony ในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก และเติบโตที่นั่นจนกระทั่งอายุ 11 ปี จอร์จเป็นลูกคนโตในบรรดาลูกหกคน เขาเล่นไวโอลินอย่างเชี่ยวชาญโดยสืบทอดความสามารถทางศิลปะและดนตรีที่สำคัญจากพ่อแม่ของเขา พ่อของครอบครัวเป็นสมาชิกของตลาดหลักทรัพย์เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก เมื่อเขาล้มป่วย ครอบครัวนี้หวังว่าจะมีอากาศอบอุ่นขึ้น จึงย้ายไปเยอรมนีในปี พ.ศ. 2399 โดยตอนแรกไปที่วีสบาเดิน จากนั้นจึงไปที่แฟรงก์เฟิร์ต ในปี 1860 จอร์จสำเร็จการศึกษาด้วยเกียรตินิยมจากโรงเรียนจริงในดาร์มสตัดท์ ครูสังเกตเห็นความสามารถพิเศษของเขาในวิชาคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งตรีโกณมิติ ในปี พ.ศ. 2405 นักวิทยาศาสตร์ชื่อดังในอนาคตได้เข้าเรียนที่สถาบันโพลีเทคนิคแห่งสหพันธรัฐในเมืองซูริก (ปัจจุบันคือ ETH Zurich) หนึ่งปีต่อมาบิดาของเขาเสียชีวิต หลังจากได้รับมรดกมากมาย Georg จึงย้ายไปที่มหาวิทยาลัย Humboldt แห่งเบอร์ลิน ซึ่งเขาเริ่มเข้าร่วมการบรรยายโดยนักวิทยาศาสตร์ชื่อดังเช่น Leopold Kronecker, Karl Weierstrass และ Ernst Kummer เขาใช้เวลาช่วงฤดูร้อนปี 1866 ที่มหาวิทยาลัย Göttingen ซึ่งในขณะนั้นและแม้กระทั่งในปัจจุบันนี้ เขาเป็นศูนย์กลางทางความคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญมาก ในปี พ.ศ. 2410 มหาวิทยาลัยเบอร์ลินได้มอบปริญญาปรัชญาดุษฎีบัณฑิตแก่เขาจากผลงานทฤษฎีจำนวน "De aequationibus secundi gradus indeterminatis"

นักวิทยาศาสตร์และนักวิจัย

หลังจากเป็นครูในโรงเรียนสตรีในเบอร์ลินได้ไม่นาน คันทอร์ก็เข้ารับตำแหน่งที่ Martin Luther University of Halle ซึ่งเขาจะใช้เวลาทั้งอาชีพการงาน เขาได้รับทักษะที่จำเป็นสำหรับการสอนวิทยานิพนธ์เรื่องทฤษฎีจำนวน

ในปีพ.ศ. 2417 คันทอร์แต่งงานกับวัลลี กัตต์มันน์ พวกเขามีลูก 6 คน คนสุดท้ายเกิดในปี พ.ศ. 2429 แม้ว่าเขาจะได้รับเงินเดือนทางวิชาการเพียงเล็กน้อย แต่ Kantor ก็สามารถหาเลี้ยงครอบครัวได้อย่างสะดวกสบายด้วยมรดกที่เขาได้รับจากพ่อของเขา ฮันนีมูนต่อในเทือกเขาฮาร์ซ Cantor ใช้เวลาส่วนใหญ่ในการสนทนาทางคณิตศาสตร์กับ Richard Dedekind ซึ่งเขาได้สร้างมิตรภาพเมื่อสองปีก่อนในช่วงพักร้อนในสวิตเซอร์แลนด์

คันทอร์ได้รับตำแหน่งศาสตราจารย์ภายนอกในปี พ.ศ. 2415 และในปี พ.ศ. 2422 ได้เป็นศาสตราจารย์เต็มตัว การได้รับตำแหน่งนี้เมื่ออายุ 34 ปีถือเป็นความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ แต่ Kantor ใฝ่ฝันที่จะได้ตำแหน่งในมหาวิทยาลัยที่มีชื่อเสียงมากกว่า เช่น เบอร์ลิน ซึ่งในขณะนั้นเป็นมหาวิทยาลัยชั้นนำในเยอรมนี อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีของเขาถูกวิพากษ์วิจารณ์อย่างหนัก และความฝันของเขาก็ไม่เป็นจริง โครเนกเกอร์ ซึ่งเป็นหัวหน้าภาควิชาคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน รู้สึกไม่ประทับใจมากขึ้นเรื่อยๆ กับโอกาสที่จะมีเพื่อนร่วมงานอย่างคันทอร์ โดยมองว่าเขาเป็น "ผู้ทำลายเยาวชน" ซึ่งเติมเต็มความคิดของเขาในหัวของนักคณิตศาสตร์รุ่นใหม่ นอกจากนี้ โครเนกเกอร์ซึ่งเป็นบุคคลสำคัญในชุมชนคณิตศาสตร์และเป็นอดีตอาจารย์ของคันทอร์ ไม่เห็นด้วยกับเนื้อหาของทฤษฎีหลังโดยพื้นฐาน โครเนกเกอร์ ซึ่งปัจจุบันถือว่าเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้งคณิตศาสตร์เชิงสร้างสรรค์ ไม่เป็นมิตรต่อทฤษฎีเซตของคันทอร์ เพราะมันยืนยันว่าเซตมีอยู่จริงซึ่งมีคุณสมบัติบางประการ - โดยไม่ได้ระบุให้ ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงชุดที่มีองค์ประกอบที่จะตอบสนองคุณสมบัติเหล่านี้ได้จริง คันทอร์ตระหนักว่าตำแหน่งของโครเนกเกอร์จะไม่ยอมให้เขาออกจากมหาวิทยาลัยกอลล์ด้วยซ้ำ

ในปีพ.ศ. 2424 เอดูอาร์ด ไฮเนอ เพื่อนร่วมงานของคันทอร์เสียชีวิตโดยทิ้งตำแหน่งว่างไว้เบื้องหลัง ฝ่ายบริหารของมหาวิทยาลัยยอมรับข้อเสนอของคันทอร์ที่จะเชิญ Richard Dedekind, Heinrich Weber หรือ Franz Mertenz (ตามลำดับ) ให้เข้าร่วมโพสต์นี้ แต่พวกเขาทั้งหมดปฏิเสธ ในที่สุดฟรีดริช วังเกรินก็เข้ามารับตำแหน่งนี้ แต่เขาไม่เคยเป็นเพื่อนของคันตอร์เลย

ในปีพ.ศ. 2425 การติดต่อทางวิทยาศาสตร์กับ Dedekind ยุติลง ซึ่งอาจเป็นผลมาจากการที่คนหลังปฏิเสธจากตำแหน่งใน Halle ในเวลาเดียวกัน คันทอร์ได้สร้างการติดต่อที่สำคัญอีกครั้งกับ Gösta Mittag-Leffler ซึ่งอาศัยอยู่ในสวีเดน และในไม่ช้าก็เริ่มตีพิมพ์ในวารสาร Acta mathematica ของเขา อย่างไรก็ตาม ในปี พ.ศ. 2428 Mittag-Leffler เริ่มตื่นตระหนกเกี่ยวกับผลกระทบทางปรัชญาและคำศัพท์ใหม่ในบทความที่ Cantor ส่งให้เขาเพื่อตีพิมพ์ เขาขอให้ Kantor ถอนบทความของเขาในขณะที่ยังอยู่ระหว่างการตรวจทาน โดยเขียนว่าบทความนี้ "เร็วกว่าเวลาประมาณร้อยปี" Kantor เห็นด้วย แต่ระบุไว้ในการติดต่อกับบุคคลอื่น:

ต่อจากนี้ คันทอร์ยุติความสัมพันธ์และการติดต่อกับมิตแท็ก-เลฟเฟลอร์กะทันหัน โดยแสดงให้เห็นถึงแนวโน้มที่จะมองว่าการวิพากษ์วิจารณ์ที่มีเจตนาดีเป็นการดูถูกส่วนตัวอย่างลึกซึ้ง

คันทอร์ประสบภาวะซึมเศร้าครั้งแรกในปี พ.ศ. 2427 การวิพากษ์วิจารณ์งานของเขาทำให้จิตใจของเขาหนักใจ: จดหมายทุกฉบับจาก 52 ฉบับที่เขาเขียนถึง Mattag-Leffler ในปี พ.ศ. 2427 ถูกโจมตีโดย Kronecker ข้อความที่ตัดตอนมาจากจดหมายฉบับหนึ่งแสดงให้เห็นถึงขอบเขตของความเสียหายที่เกิดขึ้นกับความรู้สึกมั่นใจในตนเองของคันทอร์:

วิกฤติทางอารมณ์นี้ทำให้เขาเปลี่ยนความสนใจจากคณิตศาสตร์มาเป็นปรัชญาและเริ่มบรรยายเกี่ยวกับเรื่องนี้ นอกจากนี้ คันทอร์เริ่มศึกษาวรรณคดีอังกฤษในยุคเอลิซาเบธอย่างเข้มข้น เขาพยายามพิสูจน์ว่าบทละครของเชคสเปียร์เขียนโดยฟรานซิส เบคอนจริงๆ (ดูคำถามเกี่ยวกับผู้เขียนของเชกสเปียร์); ในที่สุดผลงานนี้ก็ได้รับการตีพิมพ์ในหนังสือชี้ชวนสองฉบับในปี พ.ศ. 2439 และ พ.ศ. 2440

ไม่นานหลังจากนั้น คันทอร์ก็ฟื้นขึ้นมา และได้เพิ่มสิ่งสำคัญหลายประการในทฤษฎีของเขาทันที โดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อโต้แย้งและทฤษฎีบทแนวทแยงอันโด่งดังของเขา อย่างไรก็ตาม เขาจะไม่สามารถบรรลุเป้าหมายนั้นได้ ระดับสูงซึ่งอยู่ในผลงานของเขาในปี พ.ศ. 2417-2427 ในท้ายที่สุด เขาเข้าหาโครเนกเกอร์พร้อมข้อเสนอสันติภาพ ซึ่งเขายอมรับอย่างดี อย่างไรก็ตามความแตกต่างและความยากลำบากทางปรัชญาที่แยกพวกเขายังคงอยู่ เชื่อกันว่าอาการซึมเศร้าเป็นระยะๆ ของ Cantor มีความเกี่ยวข้องกับการปฏิเสธงานของเขาอย่างรุนแรงของ Kronecker แม้ว่าภาวะซึมเศร้าของเขาจะส่งผลกระทบอย่างมากต่อความวิตกกังวลทางคณิตศาสตร์ของคันทอร์และปัญหาของเขากับคนบางคน แต่ก็ไม่น่าจะเป็นสาเหตุทั้งหมด ในทางตรงกันข้าม การวินิจฉัยมรณกรรมของเขาว่าเป็นโรคจิตคลั่งไคล้และซึมเศร้าเป็นสาเหตุหลักที่ทำให้อารมณ์คาดเดาไม่ได้ของเขา

ในปี พ.ศ. 2433 คันทอร์มีส่วนสนับสนุนการก่อตั้งสมาคมคณิตศาสตร์แห่งเยอรมัน (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) และเป็นประธานการประชุมครั้งแรกที่เมืองฮัลเลอในปี พ.ศ. 2434 ในเวลานั้นชื่อเสียงของเขาแข็งแกร่งเพียงพอ แม้จะเผชิญกับการต่อต้านของโครเนกเกอร์ก็ตาม เพื่อให้เขาได้รับเลือกให้เป็นประธานาธิบดีคนแรกของสังคมนี้ เมื่อเมินเฉยต่อความเป็นศัตรูของเขาที่มีต่อโครเนกเกอร์ Kantor เชิญเขามาพูด แต่ Kronecker ไม่สามารถทำเช่นนั้นได้เนื่องจากภรรยาของเขาเสียชีวิต

วัตถุที่ตั้งชื่อตามคันทอร์

• ชุดคันทอร์- ชุดการวัดต่อเนื่องของศูนย์บนเซ็กเมนต์
• ฟังก์ชั่นคันทอร์ (บันไดคันทอร์);
• ฟังก์ชันการนับเลขของคันทอร์คือการโยงกำลังคาร์ทีเซียนของเซตของจำนวนธรรมชาติเข้ากับตัวมันเอง
• ทฤษฎีบทของคันทอร์ (ดูทฤษฎีบทของคันทอร์ (ความหมาย)) ว่าภาวะเชิงการนับของเซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซตที่กำหนดนั้นมากกว่าความเป็นเชิงการนับของเซตนั้นอย่างเคร่งครัด
• ทฤษฎีบทคันทอร์-เบิร์นสไตน์เรื่องความสมมูลของเซต A และ B โดยมีเงื่อนไขว่า A เท่ากับเซตย่อย B และ B เท่ากับเซตย่อย A
• ทฤษฎีบทคันทอร์-ไฮน์เรื่องความต่อเนื่องสม่ำเสมอของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตที่มีขนาดกะทัดรัด
• ทฤษฎีบทคันทอร์-เบนดิกซ์สัน
• เหรียญคันทอร์เป็นรางวัลทางคณิตศาสตร์ที่มอบให้โดยสมาคมคณิตศาสตร์แห่งเยอรมัน
• เช่นเดียวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ

บทความ

• Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / ชม. วอน อี. เซอร์เมโล. บ., 1932.

เอ็ด. เกซัมเมลเต อับฮันลุงเกน นักคณิตศาสตร์ คาด นักปรัชญา สูดดม, มิท เอ่อä นอกนั้น อังเมอร์คุงเกน โซวี มิท เช่นä ซุงเกน ออสเตรเลีย พวกเขา บรีฟเวคเซล คันทอร์- เดเดไคนด์, เบอร์ลิน, แวร์ลัก ฟอน จูเลียส สปริงเกอร์, 1932

1. ช่วงการพัฒนา (พ.ศ. 2388-2414)

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ผู้สร้างทฤษฎีเซตซึ่งเป็นหนึ่งในปรากฏการณ์ใหม่ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในโลกของวิทยาศาสตร์ เกิดที่เซนต์ปีเตอร์สเบิร์กเมื่อวันที่ 19 กุมภาพันธ์ ศิลปะ สไตล์ (3 มีนาคม รูปแบบใหม่) พ.ศ. 2388 พ่อของเขา Georg Voldemar Kantor ซึ่งมีพื้นเพมาจากโคเปนเฮเกนมาถึงเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กตั้งแต่ยังเป็นเด็ก เขาตั้งสำนักงานนายหน้าไว้ที่นั่นภายใต้ชื่อของเขาเอง บางครั้งใช้ชื่อ “Cantor and Co” นักธุรกิจที่ขยันขันแข็งและประสบความสำเร็จเขาประสบความสำเร็จอย่างมากและทิ้งทรัพย์สมบัติอันสำคัญไว้หลังจากการเสียชีวิต (พ.ศ. 2406) ดู​เหมือน​ว่า​เขา​มี​ความ​นับถือ​อย่าง​สูง​ทั้ง​ใน​เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก​และ​ใน​เยอรมนี​ตอน​หลัง. เนื่องจากโรคปอด เขาจึงย้ายไปอยู่กับครอบครัวที่เยอรมนีในปี พ.ศ. 2399 ในไม่ช้าเขาก็เลือกแฟรงก์เฟิร์ตออนเดอะเมนเป็นสถานที่พำนักของเขา ซึ่งเขาอาศัยอยู่ในฐานะผู้เช่า มาเรีย แม่ของคันทอร์ née Boehm มาจากครอบครัวที่สมาชิกหลายคนมีพรสวรรค์ในงานศิลปะแขนงต่างๆ อิทธิพลของเธอปรากฏชัดในจินตนาการอันล้นเหลือของลูกชายของเธออย่างไม่ต้องสงสัย ปู่ของเขา ลุดวิก โบห์ม เป็นหัวหน้าวงดนตรี โจเซฟน้องชายของปู่ซึ่งอาศัยอยู่ในเวียนนาเป็นครูของโจอาคิมนักเล่นเชลโลอัจฉริยะผู้โด่งดัง พี่ชายของ Maria Kantor ก็เป็นนักดนตรีเช่นกัน ส่วนน้องสาวของเธอ Annette มีลูกสาวที่เป็นศิลปินซึ่งสอนอยู่ที่โรงเรียนศิลปะและหัตถกรรมมิวนิก แนวศิลปะยังเห็นได้ชัดเจนจาก Konstantin น้องชายของ Georg Cantor ซึ่งเป็นนักเปียโนที่มีพรสวรรค์ และใน Sophia น้องสาวของเขา ซึ่งมีแนวโน้มในการวาดภาพเป็นพิเศษ

เด็กชายผู้มีพรสวรรค์ผู้มาเยือนเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก โรงเรียนประถมแสดงให้เห็นความปรารถนาอันแรงกล้าที่จะเริ่มเรียนคณิตศาสตร์ตั้งแต่เนิ่นๆ แล้ว อย่างไรก็ตามพ่อของเขาไม่เห็นด้วยกับเรื่องนี้ เมื่อพิจารณาจากอาชีพวิศวกรที่มีแนวโน้มว่าจะมีรายได้มากกว่า ในตอนแรกลูกชายก็ปฏิบัติตาม เขาเข้าเรียนที่โรงยิมในวีสบาเดินมาระยะหนึ่งแล้ว เช่นเดียวกับโรงเรียนเอกชนในแฟรงก์เฟิร์ตอัมไมน์ จากนั้นเขาก็เข้าไปในโรงเรียนที่แท้จริงของจังหวัดของราชรัฐเฮสส์ในดาร์มสตัดท์ในฤดูใบไม้ผลิปี พ.ศ. 2402 ซึ่งมีการสอนภาษาละตินด้วย จากนั้นเขาย้ายไปเรียนหลักสูตรทั่วไปของ Higher Craft School ในปี พ.ศ. 2403 (ต่อมาคือ Higher Technical School) พ่อของเขาดูแลการศึกษาของเขาด้วยความต้องการที่สูงผิดปกติ พระองค์ทรงให้ความสำคัญกับการฝึกฝนพลัง ความเข้มแข็งของอุปนิสัย และศาสนาตลอดชีวิต โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาเน้นย้ำถึงความสำคัญของการเรียนรู้ภาษาหลักสมัยใหม่อย่างสมบูรณ์ พ่อของเขาสั่งให้เขา (ในจดหมายเนื่องในโอกาสการยืนยันในปี พ.ศ. 2403) ให้ยืนหยัดอย่างมั่นคงแม้จะมีความเป็นปรปักษ์และบรรลุเป้าหมายเสมอ ลูกชายจดจำการโทรนี้มากกว่าหนึ่งครั้งในช่วงเวลาของการทดลองที่ยากลำบาก และบางทีอาจเป็นเพราะการเลี้ยงดูของพ่อคนนี้อย่างชัดเจนว่าเราเป็นหนี้ความจริงที่ว่าจิตวิญญาณแห่งการสร้างสรรค์ของเขาไม่ได้ถูกทำลายก่อนเวลาอันควรและผลของมันก็ไม่ได้สูญหายไปให้กับลูกหลาน

เมื่อเวลาผ่านไป ความหลงใหลในคณิตศาสตร์อย่างลึกซึ้งของลูกชายก็อดไม่ได้ที่จะส่งผลกระทบต่อพ่อของเขา ซึ่งจดหมายของเขายังเป็นพยานถึงความเคารพในวิทยาศาสตร์ของเขาด้วย ในจดหมายจากดาร์มสตัดท์ลงวันที่ 25 พฤษภาคม พ.ศ. 2405 และเป็นตัวแทนของจดหมายฉบับแรกที่ยังมีชีวิตรอดจากคันทอร์ ลูกชายสามารถแสดงความขอบคุณต่อพ่อของเขาที่อนุมัติแผนของเขา: "พ่อที่รัก! คุณคงจินตนาการได้ว่าจดหมายของคุณทำให้ฉันมีความสุขแค่ไหน มันกำหนดอนาคตของฉัน ฉันใช้เวลาสองสามวันที่ผ่านมาด้วยความสงสัยและความไม่แน่นอน และไม่สามารถตัดสินใจอะไรได้ หน้าที่และความปรารถนาขัดแย้งกันอยู่ตลอดเวลา บัดนี้ข้าพเจ้าเป็นสุขแล้วที่ข้าพเจ้าจะไม่ทำให้ท่านเสียใจโดยทำตามใจชอบของตนเอง พ่อที่รัก ข้าพเจ้าหวังว่าข้าพเจ้าจะยังคงสามารถทำให้คุณมีความสุขได้ เพราะว่าจิตวิญญาณของข้าพเจ้าและชีวิตทั้งหมดของข้าพเจ้าอยู่ในการเรียกของข้าพเจ้า คนๆ หนึ่งทำในสิ่งที่เขาต้องการและสามารถทำได้ และสิ่งที่เสียงลึกลับที่ไม่รู้จักของเขาดึงดูดให้เขาไป!...”

ในฤดูใบไม้ร่วงปี พ.ศ. 2405 คันทอร์เริ่มเรียนที่เมืองซูริก แต่จากที่ที่เขาจากไปหลังจากภาคเรียนแรกเนื่องจากบิดาของเขาเสียชีวิต ตั้งแต่ฤดูใบไม้ร่วงปี พ.ศ. 2406 เขาศึกษาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และปรัชญาในกรุงเบอร์ลิน ซึ่งกลุ่มผู้ฟังทั้งสามแห่งคือ Kummer, Weierstrass และ Kronecker ดึงดูดผู้มีพรสวรรค์ที่ดีที่สุด โดยกระตุ้นจิตใจของผู้ฟังในวงกว้าง (ซึ่งค่อนข้างแคบ) ในหลากหลายทิศทาง เขาใช้เวลาเพียงภาคเรียนฤดูใบไม้ผลิของปี พ.ศ. 2409 ในเมืองเกิตทิงเงน ไม่ต้องสงสัยเลยว่า Weierstrass มีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์ของเขา เป็นเรื่องน่าทึ่งและเป็นลักษณะเฉพาะของมุมมองที่กว้างไกลของไวเออร์ชตราสส์ การตัดสินที่ไม่มีอคติและเจาะลึกของเขา ด้วยความเข้าใจที่เห็นอกเห็นใจและชื่นชมความคิดที่แหวกแนวของนักเรียนตั้งแต่เนิ่นๆ ดังนั้นจึงเป็นการตอบสนองต่อความเคารพอย่างสุดซึ้งที่เขาแสดงให้เขาเห็นอย่างสม่ำเสมอตลอดชีวิตของเขา แม้จะจากไป ความขัดแย้ง ในช่วงปีที่เขาเบอร์ลิน คันทอร์ไม่เพียงแต่เป็นสมาชิกของสมาคมคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังเป็นสมาชิกของกลุ่มเพื่อนร่วมงานรุ่นเยาว์ที่พบกันทุกสัปดาห์ที่ร้านเหล้า Remel ด้วย แวดวงนี้เป็นของไม่นับแขกเป็นครั้งคราว Henoch (ผู้จัดพิมพ์ "Fortschritte" ("ความสำเร็จ") ในอนาคต), Lampe, Mertens, Max Simon, Thome คนสุดท้ายสนิทกับ Kantor เป็นพิเศษ นอกจากนี้ในหมู่สหายของเขา ที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลินคือ G. A. Schwartz ซึ่งมีอายุมากกว่าสองปี อย่างไรก็ตาม เขาได้พบกับแนวคิดของ Cantor ด้วยความไม่ไว้วางใจอย่างมาก ซึ่งตรงกันข้ามกับอาจารย์ของเขา Weierstrass และจนถึงบั้นปลายของชีวิตเขาได้เตือนนักเรียนของเขาโดยเฉพาะ ต่อต้านพวกเขาเช่นเดียวกับโครเนกเกอร์ 14 ธันวาคม พ.ศ. 2410 นักศึกษาอายุยี่สิบสองปีปกป้องการป้องกันของเขาที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน วิทยานิพนธ์ซึ่งเกิดขึ้นจากการศึกษาเชิงลึกเกี่ยวกับ Disquisitiones arithmeticae (“Studies in Arithmetic”) และ “ทฤษฎีตัวเลข” ของ Legendre และได้รับการประเมินโดยคณาจารย์ว่าเป็น “dissertatio docta et ingeniosa” (“การให้เหตุผลเชิงวิชาการและชาญฉลาด”) * งานนี้อยู่ติดกับสูตรเกาส์สำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์ ขวาน 2 + ก"x" 2 + ก"x" 2 = 0; มันสร้างความสัมพันธ์บางอย่างที่เกาส์ไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจน การอภิปรายโดยละเอียดเกี่ยวกับงานของ Cantor มีอยู่ในชีวประวัติโดยละเอียดที่ฉันเขียนถึงเขา ซึ่งตีพิมพ์ใน Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereininung, vol. 39 (1930), หน้า 189-266 รวมถึงในหนังสือแยกต่างหาก: "Georg Cantor" ไลพ์ซิกและเบอร์ลิน 2473; เขาอุทิศมันให้กับผู้ปกครองของเขา (ในเวลาเดียวกันกับผู้ปกครองของพี่ชายและน้องสาวของเขา) ในการสอบปากเปล่า เขาได้รับ “เกียรตินิยมอันดับ 1” (“ด้วยความโดดเด่นเป็นพิเศษ”) จากวิทยานิพนธ์สามข้อที่เขาเสนอเพื่อแก้ต่าง ข้อที่สามมีลักษณะพิเศษ: “In re mathematica ars propenendi questionem pluris facienda est quam Solvendi” (ในทางคณิตศาสตร์ ศิลปะแห่งการตั้งคำถามมีความสำคัญมากกว่าศิลปะแห่งการแก้ปัญหา” บางที แม้แต่ผลลัพธ์ที่เขาได้รับในทฤษฎีเซตก็ยังมีความสำคัญด้อยกว่าคำถามเกี่ยวกับแถลงการณ์เชิงปฏิวัติที่มีอิทธิพลไปไกลเกินขอบเขตของงานเขียนของเขาเอง

ดูเหมือนว่าคันทอร์สอนในช่วงเวลาสั้น ๆ ในกรุงเบอร์ลินที่โรงเรียนสตรีแห่งหนึ่ง ไม่ว่าในกรณีใดในปี พ.ศ. 2411 หลังจากผ่านการสอบของรัฐเขาได้เข้าเรียนที่วิทยาลัย Schelbach ที่มีชื่อเสียงซึ่งฝึกอบรมครูคณิตศาสตร์

วิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกซึ่งทำให้คันทอร์มีโอกาสที่จะกลายเป็นเอกชนที่มหาวิทยาลัยฮัลเลอในฤดูใบไม้ผลิปี พ.ศ. 2412 ร่วมกับบันทึกเล็กๆ น้อยๆ หลายฉบับที่ตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2411-2515 ให้กับวงกลมเลขคณิตที่เขาสนใจวงแรกซึ่งเขาแทบจะไม่ได้สนใจเลย อย่างไรก็ตามการศึกษาทฤษฎีจำนวนเหล่านี้ภายใต้การนำและการอนุมัติของ Kronecker ไม่ใช่เพียงเหตุการณ์บังเอิญสำหรับ Cantor ในทางตรงกันข้าม เขาได้สัมผัสกับผลกระทบภายในอันลึกซึ้งของวินัยนี้ ด้วยความบริสุทธิ์และความสง่างามเป็นพิเศษ สิ่งนี้เป็นหลักฐานพร้อมกับวิทยานิพนธ์ชิ้นแรกที่เขานำเสนอเพื่อการป้องกัน: “ตัวเลขจำนวนเต็ม tegros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere” (“จำนวนเต็มเหมือนเทห์ฟากฟ้า ถูกตีความว่าเป็นจำนวนรวมเดียวที่เชื่อมโยงกัน ตามกฎหมายและความสัมพันธ์ ") การสร้างความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันเชิงทฤษฎีจำนวนต่างๆ กับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ (ติดกับงานของรีมันน์เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ) ก็มีมาตั้งแต่สมัยแรกเริ่ม บางทีอาจถึงช่วงนี้แล้ว งานนี้จัดพิมพ์โดย Cantor ในปี 1880 เท่านั้น ภายใต้อิทธิพลของบันทึกของ Lipchitz ใน Parisian Comptes Rendus (“รายงาน”) นอกเหนือจากตารางตัวเลขของเขาแล้ว คันทอร์ยังได้ระบุความสนใจทางทฤษฎีจำนวนเพิ่มเติมด้วยแผนการที่ยังดำรงอยู่มาจนถึงปี ค.ศ. 1884 แต่ไม่ได้นำมาใช้ เพื่อเผยแพร่ผลงานเกี่ยวกับรูปแบบกำลังสองใน Acta Mathematica

E. Heine ซึ่งเป็นศาสตราจารย์ธรรมดาใน Halle ในเวลาที่ Cantor ปกป้องวิทยานิพนธ์ของเขาที่นั่น ได้ตระหนักทันทีว่าในเพื่อนร่วมงานรุ่นเยาว์ของเขา ความเฉียบแหลมทางจิตที่ไม่ธรรมดานั้นผสมผสานอย่างมีความสุขเข้ากับจินตนาการอันยาวนาน สิ่งที่สำคัญที่สุดคือข้อเท็จจริงที่ว่า Heine หลังจากที่ Cantor ย้ายไปที่ Halle ได้ไม่นาน ได้สนับสนุนให้เขาศึกษาทฤษฎีอนุกรมตรีโกณมิติ การทำงานอย่างกระตือรือร้นในหัวข้อนี้ไม่เพียงแต่ส่งผลให้เกิดความสำเร็จที่สำคัญหลายประการ แต่ยังนำคันทอร์ไปสู่เส้นทางสู่ทฤษฎีเซตจุดและเลขลำดับอนันต์อีกด้วย งาน , , และอุทิศให้กับการชี้แจงหนึ่งในแถลงการณ์ของ Riemann เกี่ยวกับอนุกรมตรีโกณมิติ (และการโต้เถียงที่มาพร้อมกับ Appel ซึ่งมีการตรวจสอบแนวคิดของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอในรายละเอียด); ในงานของเขา คันทอร์พิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเอกลักษณ์ของการแทนตรีโกณมิติ * น่าแปลกใจที่โครเนกเกอร์ซึ่งในตอนแรกมีทัศนคติเชิงบวกต่อทฤษฎีบทเอกลักษณ์ของคันทอร์ (เปรียบเทียบ) ในเวลาต่อมาก็เพิกเฉยต่อผลลัพธ์นี้โดยสิ้นเชิง ตัวอย่างเช่น ใน “Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale” (“การบรรยายเกี่ยวกับทฤษฎีปริพันธ์เชิงเดี่ยวและพหุคูณ”) (1894) เขานำเสนอคำถามเกี่ยวกับเอกลักษณ์ในขณะที่ยังคงเปิดอยู่!. เขาพยายามที่จะสรุปผลลัพธ์นี้ โดยละทิ้งสมมติฐานใด ๆ เกี่ยวกับพฤติกรรมของซีรีส์ในชุดพิเศษบางฉาก สิ่งนี้บังคับให้เขานำเสนอโครงร่างแนวคิดสั้น ๆ ในงานของเขา “ที่อาจเป็นประโยชน์ในการชี้แจงความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นในทุกกรณีเมื่อปริมาณตัวเลขถูกกำหนดเป็นจำนวนจำกัดหรือจำนวนอนันต์ ในที่นี้ สำหรับเซตจุด จุดลิมิต และอนุพันธ์ ( ของลำดับอันจำกัด) ถูกนำมาใช้ ด้วยเหตุนี้ คันทอร์จึงพัฒนาทฤษฎีจำนวนอตรรกยะของเขาขึ้นมา * . ในงานของ Heine เรื่อง "Elements of the Theory of Functions" (J. Math., 74, pp. 172–188, 1872) มีการเสนอจำนวนอตรรกยะในลักษณะที่เป็นไปตามแนวคิดของ Cantor อย่างแน่นอน พุธ บทนำบทความของ Heine รวมถึงงานของ Cantor เรื่อง “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten” (“Towards the Doctrine of the Transfinite”)ตามทฤษฎีเซตซึ่งทำให้ชื่อของเขาเป็นอมตะ โดยที่จำนวนอตรรกยะถือเป็นอนุกรมพื้นฐาน ในทางกลับกัน สำหรับการเปลี่ยนไปใช้เรขาคณิต เขาแนะนำสัจพจน์พิเศษ (สัจพจน์ของคันทอร์) ซึ่งปรากฏพร้อมๆ กันและเป็นอิสระในสูตรที่แตกต่างกันเล็กน้อยในหนังสือของ Dedekind เรื่อง "ความต่อเนื่องและจำนวนอตรรกยะ"