วิธีนับชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมด การเรียงสับเปลี่ยน ตำแหน่ง และการรวมกัน

พิจารณาปัญหาในการนับจำนวนตัวอย่างจากชุดที่กำหนด ปริทัศน์. ให้มีชุดบ้าง. เอ็น, ซึ่งประกอบด้วย n องค์ประกอบ เซตย่อยใดๆ ที่ประกอบด้วย ม องค์ประกอบสามารถพิจารณาได้โดยไม่ต้องคำนึงถึงลำดับหรือคำนึงถึงเช่น เมื่อเปลี่ยนลำดับให้ย้ายไปที่อื่น ม– การสุ่มตัวอย่าง

ให้เรากำหนดคำจำกัดความต่อไปนี้:

ตำแหน่งที่ไม่มีการทำซ้ำ

ตำแหน่งโดยไม่ซ้ำกันn องค์ประกอบโดยม เอ็นซึ่งประกอบด้วยม องค์ประกอบต่างๆ .

จากคำจำกัดความ พบว่าการจัดเรียงทั้งสองมีความแตกต่างกัน ทั้งในองค์ประกอบและในลำดับ แม้ว่าองค์ประกอบจะเหมือนกันก็ตาม

ทฤษฎีบท 3. จำนวนตำแหน่งที่ไม่มีการทำซ้ำจะเท่ากับผลิตภัณฑ์ ม ปัจจัยที่มากที่สุดคือตัวเลข n . เขียนลงไป:

การเรียงสับเปลี่ยนโดยไม่ต้องทำซ้ำ

พีชคณิตจากn องค์ประกอบต่างๆ เรียกว่าการเรียงลำดับที่แตกต่างกันของชุดเอ็น.

จากคำจำกัดความนี้ ตามมาว่าการเรียงสับเปลี่ยนทั้งสองวิธีต่างกันเพียงลำดับขององค์ประกอบเท่านั้น และถือได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของตำแหน่ง

ทฤษฎีบท 4. จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันโดยไม่ซ้ำกันคำนวณโดยสูตร

การรวมกันที่ไม่มีการซ้ำซ้อน

การรวมกันโดยไม่ซ้ำกันn องค์ประกอบโดยม สับเซตใด ๆ ที่ไม่เรียงลำดับของเซตจะถูกเรียกเอ็นซึ่งประกอบด้วยม องค์ประกอบต่างๆ

จากคำจำกัดความพบว่า ทั้งสองชุดต่างกันเพียงองค์ประกอบเท่านั้น ลำดับไม่สำคัญ

ทฤษฎีบท 5. จำนวนชุดค่าผสมที่ไม่มีการทำซ้ำคำนวณโดยใช้สูตรใดสูตรหนึ่งต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 1. ในห้องมีเก้าอี้ 5 ตัว คุณสามารถวางมันลงบนพวกมันได้กี่วิธี?

ก) 7 คน; ข) 5 คน; ค) 3 คน?

สารละลาย:ก) ก่อนอื่น คุณต้องเลือกคน 5 คนจาก 7 คนเพื่อนั่งบนเก้าอี้ ก็สามารถทำได้
ทาง. ด้วยตัวเลือกแต่ละข้อจากห้าข้อที่เฉพาะเจาะจง คุณสามารถสร้างได้
การจัดเรียงใหม่ ตามทฤษฎีบทการคูณ จำนวนวิธีการลงจอดที่ต้องการจะเท่ากัน

ความคิดเห็น:ปัญหาสามารถแก้ไขได้โดยใช้ทฤษฎีบทผลิตภัณฑ์เท่านั้น โดยให้เหตุผลดังนี้ ที่นั่งบนเก้าอี้ตัวที่ 1 มี 7 ตัวเลือก เก้าอี้ตัวที่ 2 มี 6 ตัวเลือก ที่นั่งตัวที่ 3-5 ที่นั่งตัวที่ 4-4 และตัวที่ 5- ธ -3 ดังนั้น จำนวนวิธีที่จะนั่งคน 7 คนบนเก้าอี้ 5 ตัวได้คือ การแก้ปัญหาโดยทั้งสองวิธีมีความสอดคล้องกันเนื่องจาก

b) วิธีแก้ปัญหาชัดเจน -

วี) - จำนวนการเลือกตั้งเก้าอี้ที่ถูกครอบครอง

- จำนวนที่นั่งสำหรับสามคนบนเก้าอี้ที่เลือกสามตัว

จำนวนการเลือกตั้งทั้งหมดคือ.

ตรวจสอบสูตรได้ไม่ยาก
;

;

จำนวนสับเซตทั้งหมดของเซตที่ประกอบด้วย nองค์ประกอบ

ทำซ้ำตำแหน่ง

โดยการวางด้วยการกล่าวซ้ำจากn องค์ประกอบโดยม ทุกเซตย่อยที่เรียงลำดับของเซตจะถูกเรียกเอ็น, ซึ่งประกอบด้วยม องค์ประกอบต่างๆ เพื่อให้สามารถรวมองค์ประกอบใดๆ ไว้ในเซ็ตย่อยนี้ได้ตั้งแต่ 1 ถึงมครั้งหรือขาดไปโดยสิ้นเชิง.

จำนวนตำแหน่งที่มีการทำซ้ำจะแสดงโดย และคำนวณโดยใช้สูตรซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทการคูณ:

ตัวอย่างที่ 2. ให้ N = (a, b, c) เป็นเซตของตัวอักษรสามตัว ให้เราเรียกชุดตัวอักษรใดๆ ที่รวมอยู่ในชุดนี้ว่าคำ ลองหาจำนวนคำที่มีความยาว 2 คำที่สามารถสร้างขึ้นจากตัวอักษรเหล่านี้:
.

ความคิดเห็น:แน่นอนว่าตำแหน่งที่มีการซ้ำกันสามารถพิจารณาได้เมื่อใด
.

ตัวอย่างที่ 3. คุณต้องใช้ตัวอักษร (a, b) เพื่อสร้างคำที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่มีความยาว 3 สามารถทำได้กี่วิธี?

คำตอบ:

ในวิชาเชิงผสม พวกเขาศึกษาคำถามเกี่ยวกับจำนวนการรวมกันบางประเภทที่สามารถสร้างขึ้นจากวัตถุที่กำหนด (องค์ประกอบ)

การกำเนิดของ Combinatorics เป็นสาขาหนึ่งมีความเกี่ยวข้องกับผลงานของ B. Pascal และ P. Fermat ในทฤษฎีการพนัน G.V. มีส่วนสนับสนุนอย่างมากในการพัฒนาวิธีการเชิงผสมผสาน ไลบ์นิซ, เจ. เบอร์นูลลี และแอล. ออยเลอร์.

แบลส ปาสคาล นักปรัชญา นักเขียน นักคณิตศาสตร์ และนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส (ค.ศ. 1623–1662) แสดงให้เห็นความโดดเด่นของเขา ทักษะทางคณิตศาสตร์. ความสนใจทางคณิตศาสตร์ของปาสคาลมีความหลากหลายมาก ปาสคาลได้พิสูจน์สิ่งหนึ่งแล้ว
จากทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตฉายภาพ (ทฤษฎีบทของปาสคาล) ได้ออกแบบเครื่องสรุป (เครื่องบวกของปาสคาล) ได้ให้วิธีการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม (สามเหลี่ยมของปาสคาล) เป็นวิธีแรกที่กำหนดและประยุกต์ใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์เพื่อการพิสูจน์ได้อย่างแม่นยำ ได้ทำขั้นตอนสำคัญในการพัฒนาการวิเคราะห์เล็กน้อย มีบทบาทสำคัญในการเกิดขึ้นของทฤษฎีความน่าจะเป็น ในด้านอุทกสถิต ปาสคาลได้กำหนดกฎพื้นฐานขึ้นมา (กฎของปาสคาล) “จดหมายถึงจังหวัด” ของปาสคาลเป็นผลงานชิ้นเอกของร้อยแก้วคลาสสิกของฝรั่งเศส

กอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ (ค.ศ. 1646–1716) เป็นนักปรัชญา นักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และนักประดิษฐ์ ทนายความ นักประวัติศาสตร์ และนักภาษาศาสตร์ชาวเยอรมัน ในด้านคณิตศาสตร์ เขาได้พัฒนาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลร่วมกับไอ. นิวตัน เขามีส่วนสำคัญในเชิงผสมผสาน โดยเฉพาะชื่อของเขามีความเกี่ยวข้องกับปัญหาทางทฤษฎีจำนวน

Gottfried Wilhelm Leibniz มีรูปลักษณ์ที่น่าประทับใจเพียงเล็กน้อยดังนั้นจึงสร้างความประทับใจให้กับบุคคลที่ดูธรรมดา วันหนึ่งในปารีส เขาเข้าไปในร้านหนังสือโดยหวังว่าจะซื้อหนังสือจากนักปรัชญาที่เขารู้จัก เมื่อแขกคนหนึ่งถามถึงหนังสือเล่มนี้ คนขายหนังสือก็ตรวจดูตั้งแต่หัวจรดเท้าแล้วพูดเยาะเย้ยว่า “ทำไมคุณถึงต้องการมัน? คุณสามารถอ่านหนังสือประเภทนี้ได้จริงหรือ?” ก่อนที่นักวิทยาศาสตร์จะมีเวลาตอบ ผู้เขียนหนังสือเล่มนี้ก็เข้าไปในร้านพร้อมกับคำว่า "สวัสดีและเคารพต่อ Great Leibniz!" ผู้ขายไม่สามารถเข้าใจได้ว่านี่คือไลบ์นิซผู้โด่งดังซึ่งมีหนังสือเป็นที่ต้องการอย่างมากในหมู่นักวิทยาศาสตร์

ในอนาคตสิ่งต่อไปนี้จะมีบทบาทสำคัญ

เล็มมาอนุญาตในชุดขององค์ประกอบและในชุด - องค์ประกอบ จากนั้นจำนวนคู่ที่แตกต่างทั้งหมดซึ่งจะเท่ากับ

การพิสูจน์.อันที่จริง ด้วยองค์ประกอบเดียวจากชุด เราสามารถสร้างคู่ที่แตกต่างกันเช่นนั้นได้ และรวมเป็นชุดขององค์ประกอบด้วย

ตำแหน่ง การเรียงสับเปลี่ยน การรวมกัน

ขอให้เรามีองค์ประกอบสามชุด เราจะเลือกสององค์ประกอบเหล่านี้ได้อย่างไร? .

คำนิยาม.การจัดเรียงชุดขององค์ประกอบที่แตกต่างกันตามองค์ประกอบคือการรวมกันที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่กำหนดโดยองค์ประกอบ > และแตกต่างกันในองค์ประกอบเองหรือตามลำดับขององค์ประกอบ

จำนวนการจัดเรียงชุดองค์ประกอบทั้งหมดตามองค์ประกอบจะแสดงด้วย (จากอักษรตัวแรกของคำว่า "การจัดเรียง" ในภาษาฝรั่งเศสซึ่งหมายถึงการจัดเรียง) โดยที่ และ .

ทฤษฎีบท.จำนวนตำแหน่งของชุดองค์ประกอบตามองค์ประกอบจะเท่ากับ

การพิสูจน์.สมมติว่าเรามีองค์ประกอบ ปล่อยให้เป็นตำแหน่งที่เป็นไปได้ เราจะสร้างตำแหน่งเหล่านี้ตามลำดับ ขั้นแรก เรามากำหนดองค์ประกอบตำแหน่งแรกกันก่อน จากชุดองค์ประกอบที่กำหนด สามารถเลือกได้หลายวิธี หลังจากเลือกองค์ประกอบแรกแล้ว ยังมีวิธีเลือกองค์ประกอบที่สอง ฯลฯ เนื่องจากแต่ละตัวเลือกดังกล่าวทำให้เกิดตำแหน่งใหม่ ตัวเลือกทั้งหมดเหล่านี้จึงสามารถรวมเข้าด้วยกันได้อย่างอิสระ ดังนั้นเราจึงมี:

ตัวอย่าง.ธงสามารถประกอบด้วยแถบแนวนอนสามแถบที่มีสีต่างกันได้กี่วิธี ถ้ามีวัสดุที่มีห้าสี

สารละลาย.จำนวนธงสามแบนด์ที่ต้องการ:

คำนิยาม.การเรียงสับเปลี่ยนชุดองค์ประกอบคือการจัดเรียงองค์ประกอบตามลำดับที่แน่นอน

ดังนั้นการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันทั้งหมดของเซตขององค์ประกอบทั้งสามจึงเป็นดังนี้

ระบุจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนองค์ประกอบทั้งหมด (จากตัวอักษรเริ่มต้นของคำภาษาฝรั่งเศส "การเรียงสับเปลี่ยน" ซึ่งหมายถึง "การเรียงสับเปลี่ยน", "การเคลื่อนไหว") ดังนั้น จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันทั้งหมดจึงถูกคำนวณโดยสูตร

ตัวอย่าง.สามารถวางเรือโกงบนกระดานหมากรุกได้กี่วิธีเพื่อไม่ให้โจมตีกัน?

สารละลาย.จำนวนเรือที่ต้องการ

เอ-ไพรเออรี่!

คำนิยาม.การรวมกันขององค์ประกอบที่แตกต่างกันตามองค์ประกอบคือการรวมกันที่ประกอบด้วยองค์ประกอบที่กำหนดตามองค์ประกอบและแตกต่างกันในองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ (หรืออีกนัยหนึ่งคือ - ชุดย่อยขององค์ประกอบที่กำหนดขององค์ประกอบที่กำหนด)

ดังที่คุณเห็นแล้วว่า ลำดับขององค์ประกอบจะไม่ถูกนำมาพิจารณาในการรวมกัน ซึ่งต่างจากตำแหน่ง จำนวนการรวมกันขององค์ประกอบทั้งหมดในแต่ละองค์ประกอบจะถูกระบุ (จากตัวอักษรเริ่มต้นของคำภาษาฝรั่งเศส "การรวมกัน" ซึ่งหมายถึง "การรวมกัน")

ตัวเลข

ชุดค่าผสมทั้งหมดจากชุดสองชุดคือ

คุณสมบัติของตัวเลข (\sf C)_n^k

อันที่จริงแต่ละเซตย่อย -element ของชุด -element ที่กำหนดนั้นสอดคล้องกับเซตย่อย -element เดียวเท่านั้นของเซตเดียวกัน

อันที่จริง เราสามารถเลือกชุดย่อยขององค์ประกอบได้ด้วยวิธีต่อไปนี้: แก้ไของค์ประกอบหนึ่งรายการ; จำนวนเซ็ตย่อยขององค์ประกอบที่มีองค์ประกอบนี้เท่ากับ ; จำนวนเซ็ตย่อยขององค์ประกอบที่ไม่มีองค์ประกอบนี้จะเท่ากับ

สามเหลี่ยมปาสคาล

ในรูปสามเหลี่ยมนี้ จำนวนสุดขั้วในแต่ละแถวจะเท่ากับ 1 และจำนวนที่ไม่มากสุดแต่ละจำนวนจะเท่ากับผลรวมของตัวเลขสองตัวที่อยู่ด้านบนจากแถวก่อนหน้า ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมนี้จึงช่วยให้คุณคำนวณตัวเลขได้

ทฤษฎีบท.

การพิสูจน์.ลองพิจารณาชุดขององค์ประกอบและแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ด้วยสองวิธี: สามารถสร้างลำดับได้กี่ลำดับจากองค์ประกอบขององค์ประกอบที่กำหนด
เซตในแต่ละอันไม่มีองค์ประกอบใดปรากฏขึ้นสองครั้ง?

1 วิธี. เราเลือกสมาชิกตัวแรกของลำดับ จากนั้นจึงเลือกตัวที่สอง สาม ฯลฯ สมาชิก

วิธีที่ 2 ขั้นแรกเรามาเลือกองค์ประกอบจากชุดที่กำหนด จากนั้นจึงจัดเรียงตามลำดับ

คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนนี้ด้วย:

ตัวอย่าง.คุณสามารถเลือก 5 หมายเลขจาก 36 หมายเลขในเกม “Sportloto” ได้กี่วิธี?

จำนวนวิธีที่ต้องการ

งาน

1. ป้ายทะเบียนรถยนต์ประกอบด้วยตัวอักษรรัสเซีย 3 ตัว (33 ตัวอักษร) และตัวเลข 4 ตัว เลขทะเบียนมีกี่แบบ?
2. บนเปียโนมี 88 คีย์ คุณสามารถสร้างเสียง 6 เสียงติดต่อกันได้กี่วิธี?
3. มีตัวเลขหกหลักกี่ตัวที่หารด้วย 5 ลงตัว?
4. เหรียญ 7 เหรียญที่แตกต่างกันสามารถใส่ในกระเป๋าสามช่องได้กี่วิธี?
5. คุณสามารถสร้างตัวเลขห้าหลักที่มีเลข 5 อย่างน้อยหนึ่งครั้งในรูปแบบทศนิยมได้กี่ตัว?
6. สามารถนั่งโต๊ะกลมคน 20 คนได้กี่วิธี โดยพิจารณาวิธีที่จะนั่งคนเท่ากัน ถ้าพวกเขาสามารถนั่งคนจากกันโดยการเคลื่อนที่เป็นวงกลมได้กี่วิธี
7. มีตัวเลขห้าหลักจำนวนเท่าใดที่หารด้วย 5 ลงตัวแต่ไม่มีตัวเลขที่เหมือนกัน?
8. บนกระดาษตาหมากรุกที่มีด้านเซลล์ 1 ซม. ให้วาดวงกลมรัศมี 100 ซม. ที่ไม่ผ่านยอดของเซลล์และไม่สัมผัสด้านข้างของเซลล์ วงกลมนี้สามารถตัดกันได้กี่เซลล์?
9. สามารถจัดเรียงตัวเลขเรียงกันเพื่อให้ตัวเลขอยู่ติดกันและเรียงลำดับจากน้อยไปหามากได้กี่วิธี?
10. จากหลักสามารถสร้างตัวเลขห้าหลักได้กี่หลักหากแต่ละหลักสามารถใช้ได้เพียงครั้งเดียว?
11. จากคำว่า ROT โดยการจัดเรียงตัวอักษรใหม่คุณจะได้คำต่อไปนี้: TOP, ORT, OTR, TRO, RTO พวกเขาเรียกว่าแอนนาแกรม คุณสามารถสร้างแอนนาแกรมจากคำว่า LOGARITHM ได้กี่อัน
12. โทรเลย แยกการแสดงจำนวนธรรมชาติเป็นผลรวม ตัวเลขธรรมชาติ. ตัวอย่างเช่น นี่คือพาร์ติชั่นทั้งหมดของตัวเลข:

พาร์ติชันจะถือว่าแตกต่างกันหากต่างกันทั้งในด้านตัวเลขหรือตามลำดับข้อกำหนด

มีพาร์ติชั่นของตัวเลขจำนวนเท่าใดในเทอม?
13. มีตัวเลขสามหลักจำนวนเท่าใดที่ไม่เรียงลำดับหลัก?
14. มีตัวเลขสี่หลักจำนวนเท่าใดที่ไม่เรียงลำดับหลัก?
15. คน 17 คนสามารถนั่งเรียงกันได้กี่วิธีจึงจะนั่งติดกัน?
16. เด็กหญิงและเด็กชายนั่งสุ่มเรียงกันเป็นแถว พวกเขาสามารถนั่งได้กี่วิธีเพื่อไม่ให้ผู้หญิงสองคนนั่งติดกัน?
17. เด็กหญิงและเด็กชายนั่งสุ่มเรียงกันเป็นแถว สามารถนั่งได้กี่วิธีเพื่อให้สาว ๆ ทุกคนนั่งติดกัน?

การผสมผสาน

Combinatorics เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาปัญหาในการเลือกและจัดเรียงองค์ประกอบจากเซตพื้นฐานบางชุดตามกฎที่กำหนด สูตรและหลักการของการรวมกันใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเพื่อคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มและเพื่อให้ได้กฎการกระจาย ตัวแปรสุ่ม. ในทางกลับกันช่วยให้เราสามารถศึกษารูปแบบของปรากฏการณ์สุ่มมวลซึ่งมีความสำคัญมากสำหรับความเข้าใจที่ถูกต้องเกี่ยวกับรูปแบบทางสถิติที่ประจักษ์ในธรรมชาติและเทคโนโลยี

กฎสำหรับการบวกและการคูณแบบเชิงผสม

กฎผลรวม ถ้าการกระทำ A และ B สองรายการไม่เกิดร่วมกัน และการกระทำ A สามารถทำได้ในรูปแบบ m และการกระทำ B ด้วยวิธี n ดังนั้นการกระทำอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ (A หรือ B อย่างใดอย่างหนึ่ง) สามารถทำได้ด้วยวิธี n + m

ตัวอย่างที่ 1

ในชั้นเรียนมีเด็กชาย 16 คน และเด็กหญิง 10 คน คุณสามารถมอบหมายเจ้าหน้าที่ปฏิบัติหน้าที่ได้กี่วิธี?

สารละลาย

สามารถมอบหมายให้เด็กชายหรือเด็กหญิงทำหน้าที่ได้เช่น เจ้าหน้าที่ปฏิบัติหน้าที่อาจเป็นเด็กชาย 16 คนหรือเด็กหญิง 10 คนก็ได้

จากการใช้กฎผลรวม เราพบว่าเจ้าหน้าที่ปฏิบัติหน้าที่หนึ่งคนสามารถมอบหมายได้ 16+10=26 วิธี

กฎผลิตภัณฑ์ ให้มีการกระทำ k ที่ต้องดำเนินการตามลำดับ ถ้าการกระทำครั้งแรกสามารถทำได้ n วิธี n k การกระทำที่ 2 ทำได้ n 2 วิธี การกระทำที่สามทำได้ n 3 วิธี และต่อไปเรื่อยๆ จนถึงการกระทำที่ k ที่สามารถทำได้ n k วิธี การกระทำ k ทั้งหมดก็สามารถกระทำร่วมกันได้ : :

วิธี

ตัวอย่างที่ 2

ในชั้นเรียนมีเด็กชาย 16 คน และเด็กหญิง 10 คน จะแต่งตั้งเจ้าหน้าที่ประจำการสองคนได้กี่วิธี?

สารละลาย

จะแต่งตั้งเด็กชายหรือเด็กหญิงเป็นบุคคลแรกที่เข้าปฏิบัติหน้าที่ก็ได้ เพราะ ในชั้นเรียนมีเด็กชาย 16 คน และเด็กหญิง 10 คน คุณสามารถแต่งตั้งคนแรกที่เข้าปฏิบัติหน้าที่ได้ 16+10=26 วิธี

หลังจากที่เราเลือกเจ้าหน้าที่ประจำการคนแรกแล้ว เราก็สามารถเลือกคนที่สองจากที่เหลืออีก 25 คนได้ กล่าวคือ 25 วิธี

ตามทฤษฎีบทการคูณ สามารถเลือกผู้รับสองคนได้ด้วยวิธี 26*25=650 วิธี

การรวมกันที่ไม่มีการทำซ้ำ การรวมกันกับการทำซ้ำ

ปัญหาคลาสสิกในเชิงคณิตศาสตร์คือปัญหาของจำนวนชุดค่าผสมที่ไม่มีการทำซ้ำ เนื้อหาสามารถแสดงได้ด้วยคำถาม: เท่าไหร่ วิธี สามารถ เลือก ม. จาก n รายการที่แตกต่างกัน?

ตัวอย่างที่ 3

คุณต้องเลือกหนังสือที่แตกต่างกัน 4 เล่มจาก 10 เล่มเป็นของขวัญ สามารถทำได้กี่วิธี?

สารละลาย

เราต้องเลือกหนังสือ 4 เล่มจาก 10 เล่ม และลำดับการเลือกไม่สำคัญ ดังนั้นคุณต้องค้นหาจำนวนชุดค่าผสมของ 10 องค์ประกอบจาก 4:

.

พิจารณาปัญหาของจำนวนชุดค่าผสมที่มีการทำซ้ำ: มีวัตถุที่เหมือนกันจากแต่ละประเภทที่แตกต่างกัน n ประเภท เท่าไหร่ วิธี สามารถ เลือก ม() จาก เหล่านี้ (n*r) รายการ?

.

ตัวอย่างที่ 4

ร้านขายขนมขายเค้ก 4 ประเภท ได้แก่ นโปเลียน เอแคลร์ ชอร์ตเบรด และพัฟเพสตรี้ คุณสามารถซื้อเค้ก 7 ชิ้นได้กี่วิธี?

สารละลาย

เพราะ ในบรรดาเค้ก 7 ชิ้น อาจมีเค้กประเภทเดียวกัน จำนวนวิธีในการซื้อเค้ก 7 ชิ้นจะพิจารณาจากจำนวนชุดค่าผสมที่มีการทำซ้ำ 7 ถึง 4 ชิ้น

.

ตำแหน่งที่ไม่มีการทำซ้ำ ตำแหน่งที่มีการทำซ้ำ

ปัญหาคลาสสิกในการจัดตำแหน่งคือปัญหาของจำนวนตำแหน่งที่ไม่มีการทำซ้ำ เนื้อหาสามารถแสดงได้ด้วยคำถาม: เท่าไหร่ วิธี สามารถ เลือก และ โพสต์ โดย ฉันแตกต่าง สถานที่ ม. จาก แตกต่างออกไป รายการ?

ตัวอย่างที่ 5

หนังสือพิมพ์บางฉบับมี 12 หน้า จำเป็นต้องวางรูปถ่ายสี่รูปบนหน้าหนังสือพิมพ์ฉบับนี้ สามารถทำได้กี่วิธี หากไม่มีหน้าหนังสือพิมพ์ใดควรมีรูปถ่ายมากกว่าหนึ่งรูป

สารละลาย.

ในงานนี้ เราไม่เพียงแค่เลือกรูปถ่ายเท่านั้น แต่ยังวางไว้บนหน้าหนังสือพิมพ์บางหน้า และหนังสือพิมพ์แต่ละหน้าควรมีรูปถ่ายไม่เกินหนึ่งรูป ดังนั้นปัญหาจึงลดลงเป็นปัญหาคลาสสิกในการกำหนดจำนวนตำแหน่งโดยไม่ต้องซ้ำซ้อน 12 องค์ประกอบจาก 4 องค์ประกอบ:

ดังนั้น ภาพถ่าย 4 ภาพใน 12 หน้าสามารถจัดเรียงได้ 11,880 วิธี

ปัญหาคลาสสิกในเชิงผสมก็คือปัญหาของจำนวนตำแหน่งที่มีการซ้ำซ้อน ซึ่งเนื้อหาสามารถแสดงได้ด้วยคำถาม: เท่าไหร่ วิธี สามารถ คุณขกองทัพบก และ โพสต์ โดย ฉันแตกต่าง สถานที่ ม. จาก ไม่มีรายการกับพร้อม ที่ มี เหมือน?

ตัวอย่างที่ 6

เด็กชายมีของเหลือจากชุดให้ เกมกระดานแสตมป์ที่มีหมายเลข 1, 3 และ 7 เขาตัดสินใจใช้แสตมป์เหล่านี้เพื่อใส่ตัวเลขห้าหลักในหนังสือทุกเล่มเพื่อสร้างแคตตาล็อก เด็กผู้ชายสามารถสร้างตัวเลขห้าหลักที่แตกต่างกันได้กี่ตัว?

การเรียงสับเปลี่ยนโดยไม่ต้องทำซ้ำ. การเรียงสับเปลี่ยนด้วยการทำซ้ำ

ปัญหาคลาสสิกในเชิงคณิตศาสตร์คือปัญหาของจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนโดยไม่ซ้ำกัน เนื้อหาสามารถแสดงได้ด้วยคำถาม: เท่าไหร่ วิธี สามารถ โพสต์ n หลากหลาย รายการ บน แตกต่างออกไป สถานที่?

ตัวอย่างที่ 7

คุณสามารถสร้าง "คำ" สี่ตัวอักษรจากตัวอักษรของคำว่า "การแต่งงาน" ได้กี่คำ?

สารละลาย

ประชากรทั่วไปคือตัวอักษร 4 ตัวของคำว่า "การแต่งงาน" (b, p, a, k) จำนวน "คำ" ถูกกำหนดโดยการเรียงสับเปลี่ยนของตัวอักษร 4 ตัวนี้คือ

สำหรับกรณีที่องค์ประกอบ n ที่เลือกมีองค์ประกอบที่เหมือนกัน (การเลือกพร้อมผลตอบแทน) ปัญหาของจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนด้วยการทำซ้ำสามารถแสดงได้ด้วยคำถาม: วัตถุ n รายการที่อยู่ในสถานที่ต่างกัน n แห่งสามารถจัดเรียงใหม่ได้กี่วิธี ถ้าในบรรดาวัตถุ n รายการมีประเภทที่แตกต่างกัน k รายการ (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

ตัวอย่างที่ 8

ตัวอักษรของคำว่า "มิสซิสซิปปี้" สามารถผสมตัวอักษรได้กี่แบบ?

สารละลาย

มีตัวอักษร "m" 1 ตัว ตัวอักษร "i" 4 ตัว ตัวอักษร "c" 3 ตัว และตัวอักษร "p" 1 ตัว รวมทั้งหมด 9 ตัวอักษร ดังนั้นจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่มีการทำซ้ำจึงเท่ากับ

สรุปความเป็นมาสำหรับส่วน "Combinatorics"

ในบทความนี้เราจะพูดถึงคณิตศาสตร์สาขาพิเศษที่เรียกว่าเชิงคณิตศาสตร์ สูตร กฎ ตัวอย่างการแก้ปัญหา คุณสามารถค้นหาทั้งหมดนี้ได้ที่นี่โดยอ่านบทความจนจบ

แล้วภาคนี้คืออะไร? Combinatorics เกี่ยวข้องกับปัญหาการนับวัตถุใดๆ แต่ในกรณีนี้ วัตถุเหล่านั้นไม่ใช่ลูกพลัม ลูกแพร์ หรือแอปเปิ้ล แต่เป็นอย่างอื่น Combinatorics ช่วยให้เราค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ตัวอย่างเช่นเมื่อเล่นไพ่ - ความน่าจะเป็นที่คู่ต่อสู้จะมีไพ่คนดีเป็นเท่าใด? หรือตัวอย่างนี้: ความน่าจะเป็นที่คุณจะได้ลูกแก้วสีขาวจากถุงลูกหินยี่สิบลูกเป็นเท่าใด? สำหรับปัญหาประเภทนี้เราจำเป็นต้องรู้พื้นฐานของคณิตศาสตร์สาขานี้อย่างน้อยที่สุด

การกำหนดค่าแบบผสมผสาน

เมื่อพิจารณาถึงแนวคิดพื้นฐานและสูตรของเชิงผสมแล้ว เราไม่สามารถช่วยได้แต่ให้ความสนใจกับการกำหนดค่าแบบผสมผสาน พวกมันใช้ไม่เพียงแต่ในการกำหนดเท่านั้น แต่ยังใช้เพื่อแก้ปัญหาอีกด้วย ตัวอย่างต่างๆโมเดลดังกล่าว ได้แก่:

• ที่พัก;
• การจัดเรียงใหม่;
• การผสมผสาน;
• องค์ประกอบตัวเลข
• การแยกตัวเลข

เราจะพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับสามข้อแรกในภายหลัง แต่เราจะใส่ใจกับองค์ประกอบและการแบ่งพาร์ติชันในส่วนนี้ เมื่อพวกเขาพูดถึงองค์ประกอบของตัวเลขจำนวนหนึ่ง (เช่น a) พวกเขาหมายถึงการแสดงตัวเลข a เป็นผลรวมลำดับของจำนวนบวกบางตัว และพาร์ติชั่นคือผลรวมแบบไม่เรียงลำดับ

ส่วนต่างๆ

ก่อนที่เราจะย้ายไปยังสูตรของคณิตศาสตร์เชิงผสมและการพิจารณาปัญหาโดยตรง ควรให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงที่ว่าคณิตศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์มีส่วนย่อยเช่นเดียวกับสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ ซึ่งรวมถึง:

• นับ;
• โครงสร้าง;
• สุดขีด;
• ทฤษฎีแรมซีย์;
• ความน่าจะเป็น;
• โทโพโลยี;
• ไม่มีที่สิ้นสุด

ในกรณีแรก เรากำลังพูดถึงการคำนวณเชิงผสมผสาน ปัญหาพิจารณาการแจงนับหรือการนับการกำหนดค่าต่างๆ ที่เกิดขึ้นจากองค์ประกอบของเซต ตามกฎแล้ว ชุดเหล่านี้จะมีข้อจำกัดบางประการ (ความโดดเด่น ความแยกไม่ออก ความเป็นไปได้ที่จะเกิดซ้ำ และอื่นๆ) และจำนวนการกำหนดค่าเหล่านี้คำนวณโดยใช้กฎการบวกหรือการคูณซึ่งเราจะพูดถึงในภายหลัง โครงสร้างเชิงผสมผสานประกอบด้วยทฤษฎีกราฟและเมทริกซ์ ตัวอย่างของปัญหาเชิงร่วมขั้นรุนแรงคือมิติที่ใหญ่ที่สุดของกราฟที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้... ในย่อหน้าที่สี่ เราได้กล่าวถึงทฤษฎีแรมซีย์ ซึ่งศึกษาการมีอยู่ของโครงสร้างปกติในการกำหนดค่าแบบสุ่ม การคำนวณแบบผสมผสานความน่าจะเป็นสามารถตอบคำถามได้ - ความน่าจะเป็นที่เซตที่กำหนดจะมีคุณสมบัติบางอย่างเป็นเท่าใด ดังที่คุณอาจเดาได้ โทโพโลยีเชิงผสมใช้วิธีการต่างๆ ในโทโพโลยี และสุดท้าย จุดที่เจ็ด - การรวมกันแบบอนันต์ศึกษาการประยุกต์ใช้วิธีการเชิงรวมกับเซตอนันต์

กฎการบวก

ในบรรดาสูตรเชิงผสมคุณสามารถค้นหาสูตรที่ค่อนข้างง่ายซึ่งเราคุ้นเคยมานานแล้ว ตัวอย่างคือกฎผลรวม สมมติว่าเราได้รับการกระทำสองอย่าง (C และ E) หากทั้งสองการกระทำแยกจากกัน การกระทำ C สามารถทำได้หลายวิธี (เช่น a) และการกระทำ E สามารถทำได้ในรูปแบบ b จากนั้นการกระทำใดๆ ก็ตาม ( C หรือ E) สามารถทำได้ด้วยวิธี a + b

ตามทฤษฎีแล้วนี่ค่อนข้างเข้าใจยาก เราจะพยายามถ่ายทอดสาระสำคัญทั้งหมดลงไป ตัวอย่างง่ายๆ. ลองหาจำนวนนักเรียนโดยเฉลี่ยในชั้นเรียนหนึ่ง - สมมติว่ามียี่สิบห้าคน ในนั้นมีเด็กผู้หญิงสิบห้าคนและเด็กผู้ชายสิบคน กำหนดให้มีผู้ปฏิบัติหน้าที่หนึ่งคนในแต่ละชั้นเรียนทุกวัน วันนี้มีวิธีแต่งตั้งผู้ดูแลชั้นเรียนได้กี่วิธี? วิธีแก้ปัญหานั้นค่อนข้างง่าย เราจะใช้กฎการเพิ่ม ข้อความของปัญหาไม่ได้ระบุว่ามีเพียงเด็กผู้ชายหรือเด็กผู้หญิงเท่านั้นที่สามารถปฏิบัติหน้าที่ได้ ดังนั้น อาจเป็นเด็กหญิงสิบห้าคนหรือเด็กชายคนใดก็ได้ในสิบคนก็ได้ เมื่อใช้กฎผลรวม เราจะได้ตัวอย่างง่ายๆ ที่เด็กนักเรียนสามารถจัดการได้อย่างง่ายดาย ชั้นเรียนประถมศึกษา: 15 + 10 เมื่อนับแล้วเราได้คำตอบ: ยี่สิบห้า นั่นคือมีเพียงยี่สิบห้าวิธีในการมอบหมายชั้นเรียนให้ปฏิบัติหน้าที่ในวันนี้

กฎการคูณ

สูตรพื้นฐานของการรวมกันยังรวมถึงกฎการคูณด้วย เริ่มจากทฤษฎีกันก่อน สมมติว่าเราจำเป็นต้องดำเนินการหลายอย่าง (ก): การกระทำแรกจะดำเนินการใน 1 วิธี ครั้งที่สอง - ใน 2 วิธี ที่สาม - ใน 3 วิธี และต่อๆ ไปจนกระทั่งการกระทำสุดท้ายดำเนินการใน 3 วิธี จากนั้นการกระทำทั้งหมดนี้ (ซึ่งเรามีทั้งหมด) สามารถดำเนินการได้ N วิธี จะคำนวณ N ที่ไม่รู้จักได้อย่างไร? สูตรจะช่วยเราในเรื่องนี้: N = c1 * c2 * c3 *…* ca.

ขอย้ำอีกครั้งว่าในทางทฤษฎีไม่มีอะไรชัดเจน ดังนั้นเรามาดูตัวอย่างง่ายๆ ของการใช้กฎการคูณกันดีกว่า ลองมาเรียนกลุ่มเดียวกันจำนวน 25 คน ซึ่งมีเด็กผู้หญิง 15 คนและเด็กผู้ชาย 10 คน เฉพาะครั้งนี้เราต้องเลือกคนสองคนที่ปฏิบัติหน้าที่ พวกเขาสามารถเป็นเพียงเด็กผู้ชายหรือเด็กผู้หญิงหรือเด็กผู้ชายและเด็กผู้หญิงก็ได้ เรามาดูวิธีแก้ปัญหาเบื้องต้นกันดีกว่า เราเลือกคนแรกที่ปฏิบัติหน้าที่ ตามที่เราตัดสินใจในย่อหน้าสุดท้าย เราได้ยี่สิบห้าคน ตัวเลือกที่เป็นไปได้. บุคคลที่สองที่ปฏิบัติหน้าที่สามารถเป็นคนใดก็ได้ที่เหลืออยู่ เรามีนักเรียนยี่สิบห้าคน เราเลือกหนึ่งคน ซึ่งหมายความว่าคนที่สองที่ปฏิบัติหน้าที่อาจเป็นคนใดก็ได้จากยี่สิบสี่คนที่เหลือ สุดท้ายเราใช้กฎการคูณพบว่าเจ้าหน้าที่ที่ปฏิบัติหน้าที่สองคนสามารถเลือกได้หกร้อยวิธี เราได้จำนวนนี้โดยการคูณยี่สิบห้าและยี่สิบสี่

การจัดเรียงใหม่

ตอนนี้เราจะดูสูตรเชิงผสมอีกสูตรหนึ่ง ในบทความนี้เราจะพูดถึงการเรียงสับเปลี่ยน เราเสนอให้พิจารณาปัญหาทันทีโดยใช้ตัวอย่าง เอาลูกบิลเลียดมา เรามีลูกที่ n แล้ว เราจำเป็นต้องนับจำนวนตัวเลือกในการจัดเรียงพวกมันในแถวนั่นคือเพื่อสร้างชุดที่เรียงลำดับ

เริ่มกันเลย ถ้าเราไม่มีลูกบอล เราก็ไม่มีทางเลือกในการวางตำแหน่งเช่นกัน และถ้าเรามีลูกหนึ่งลูก การจัดเรียงก็เหมือนกัน (ในทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนได้ดังนี้: P1 = 1) สองลูกสามารถวางในสองได้ วิธีทางที่แตกต่าง: 1.2 และ 2.1 ดังนั้น P2 = 2 สามารถจัดเรียงลูกบอลสามลูกได้หกวิธี (P3 = 6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. จะเกิดอะไรขึ้นถ้าไม่มีลูกบอลสามลูก แต่มีสิบหรือสิบห้าลูก? การแสดงรายการตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะใช้เวลานานมาก จากนั้นระบบเชิงผสมก็เข้ามาช่วยเหลือเรา สูตรการเรียงสับเปลี่ยนจะช่วยให้เราค้นหาคำตอบสำหรับคำถามที่เราสนใจ Pn = n *P (n-1) ถ้าเราพยายามลดรูปสูตร เราจะได้: Pn = n* (n - 1) *…* 2 * 1 และนี่คือผลคูณของจำนวนธรรมชาติตัวแรก จำนวนนี้เรียกว่าแฟกทอเรียล และเขียนแทนด้วย n!

ลองพิจารณาปัญหา ทุกเช้าที่ปรึกษาจะจัดทีมของเขา (ยี่สิบคน) ในทีมมีเพื่อนที่ดีที่สุดสามคน ได้แก่ Kostya, Sasha และ Lesha ความน่าจะเป็นที่จะยืนเคียงข้างกันเป็นเท่าใด? หากต้องการค้นหาคำตอบ คุณต้องหารความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่ "ดี" ด้วย ทั้งหมดผลลัพธ์ จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดคือ 20! = 2.5 ล้านล้าน จะนับจำนวนผลลัพธ์ที่ “ดี” ได้อย่างไร? สมมติว่า Kostya, Sasha และ Lesha เป็นซูเปอร์แมนคนหนึ่ง แล้วเรามีวิชาเพียงสิบแปดวิชาเท่านั้น จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนในกรณีนี้คือ 18 = 6.5 ล้านล้าน ด้วยทั้งหมดนี้ Kostya, Sasha และ Lesha สามารถเคลื่อนไหวกันเองโดยพลการในสามคนที่แบ่งแยกไม่ได้และนั่นคืออีก 3 คน! = 6 ตัวเลือก ซึ่งหมายความว่าเรามีการเตรียมการที่ “ดี” ทั้งหมด 18 แบบ! * 3! สิ่งที่เราต้องทำคือค้นหาความน่าจะเป็นที่ต้องการ: (18! * 3!) / 20! ซึ่งเท่ากับประมาณ 0.016 หากแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์จะปรากฎเพียง 1.6%

ที่พัก

ตอนนี้เราจะดูสูตรเชิงผสมที่สำคัญและจำเป็นอีกสูตรหนึ่ง ตำแหน่งเป็นประเด็นถัดไปของเรา ซึ่งเราขอเชิญคุณพิจารณาในส่วนนี้ของบทความ เรากำลังประสบกับภาวะแทรกซ้อน สมมติว่าเราต้องการพิจารณาการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ ไม่ใช่จากเซตทั้งหมด (n) แต่จากเซตที่เล็กกว่า (m) นั่นคือเรากำลังพิจารณาการเรียงสับเปลี่ยนของรายการ n รายการด้วย m

สูตรพื้นฐานของการรวมกันไม่เพียงแต่ต้องจดจำเท่านั้น แต่ยังต้องเข้าใจอีกด้วย แม้ว่ามันจะซับซ้อนมากขึ้น เนื่องจากเราไม่มีพารามิเตอร์ตัวเดียว แต่มีสองพารามิเตอร์ สมมติว่า m = 1 จากนั้น A = 1, m = 2 จากนั้น A = n * (n - 1) หากเราลดความซับซ้อนของสูตรเพิ่มเติมและเปลี่ยนไปใช้สัญลักษณ์โดยใช้แฟกทอเรียล เราจะได้สูตรที่กระชับโดยสมบูรณ์: A = n! / (น - ม)!

การผสมผสาน

เราได้ตรวจสอบสูตรเชิงผสมพื้นฐานเกือบทั้งหมดพร้อมตัวอย่าง ตอนนี้เรามาดูขั้นตอนสุดท้ายของการพิจารณาหลักสูตรพื้นฐานเชิงผสมผสาน - ทำความรู้จักกับชุดค่าผสม ตอนนี้เราจะเลือก m รายการจาก n ที่เรามี และเราจะเลือกทุกคน วิธีที่เป็นไปได้. แล้วสิ่งนี้แตกต่างจากตำแหน่งอย่างไร? เราจะไม่คำนึงถึงคำสั่งซื้อ ชุดที่ไม่เรียงลำดับนี้จะเป็นชุดรวมกัน

ให้เราแนะนำสัญลักษณ์นี้ทันที: C. เรานำตำแหน่งของลูกบอล m ออกจาก n เราหยุดใส่ใจกับคำสั่งซื้อและจบลงด้วยการผสมผสานซ้ำๆ เพื่อให้ได้จำนวนชุดค่าผสม เราต้องหารจำนวนตำแหน่งด้วย m! (เอ็ม แฟกทอเรียล) นั่นคือ C = A / m! ดังนั้นจึงมีเพียงไม่กี่วิธีในการเลือกจาก n ลูก ซึ่งเท่ากับจำนวนวิธีในการเลือกเกือบทั้งหมดโดยประมาณ มีการแสดงออกเชิงตรรกะสำหรับสิ่งนี้: การเลือกเพียงเล็กน้อยก็เหมือนกับการทิ้งเกือบทุกอย่าง สิ่งสำคัญที่ต้องกล่าวถึง ณ จุดนี้คือสามารถบรรลุจำนวนชุดค่าผสมสูงสุดได้เมื่อพยายามเลือกครึ่งหนึ่งของรายการ

จะเลือกสูตรในการแก้ปัญหาอย่างไร?

เราตรวจสอบรายละเอียดเกี่ยวกับสูตรพื้นฐานของการรวมกัน: การจัดวาง การเรียงสับเปลี่ยน และการรวมกัน ตอนนี้งานของเราคืออำนวยความสะดวกในการเลือกสูตรที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาเชิงผสม คุณสามารถใช้รูปแบบที่ค่อนข้างง่ายต่อไปนี้:

1. ถามตัวเอง: ลำดับการวางองค์ประกอบถูกนำมาพิจารณาในข้อความของปัญหาหรือไม่?
2. หากคำตอบคือไม่ให้ใช้สูตรผสม (C = n! / (m! * (n - m)!))
3. หากคำตอบคือไม่ ก็ต้องตอบคำถามอื่น: องค์ประกอบทั้งหมดรวมอยู่ในชุดค่าผสมหรือไม่
4. หากคำตอบคือใช่ ให้ใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยน (P = n!)
5. หากคำตอบคือไม่ ให้ใช้สูตรตำแหน่ง (A = n! / (n - m)!)

ตัวอย่าง

เราพิจารณาองค์ประกอบขององค์ประกอบเชิงผสม สูตร และประเด็นอื่นๆ ตอนนี้เรามาดูปัญหาที่แท้จริงกันดีกว่า ลองจินตนาการว่าคุณมีกีวี ส้ม และกล้วยอยู่ตรงหน้า

คำถามที่หนึ่ง: สามารถจัดเรียงใหม่ได้กี่วิธี? เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยน: P = 3! = 6 วิธี

คำถามที่สอง: คุณสามารถเลือกผลไม้หนึ่งผลได้กี่วิธี? เห็นได้ชัดว่าเรามีเพียงสามตัวเลือก - เลือกกีวี ส้ม หรือกล้วย แต่ลองใช้สูตรผสมกัน: C = 3! / (2! * 1!) = 3.

คำถามที่สาม: คุณสามารถเลือกผลไม้สองชนิดได้กี่วิธี? เรามีทางเลือกอะไรบ้าง? กีวีและส้ม กีวีและกล้วย ส้มและกล้วย นั่นคือมีสามตัวเลือก แต่ตรวจสอบได้ง่ายโดยใช้สูตรผสม: C = 3! / (1! * 2!) = 3

คำถามที่สี่: คุณสามารถเลือกผลไม้สามชนิดได้กี่วิธี? อย่างที่คุณเห็น มีเพียงวิธีเดียวในการเลือกผลไม้สามชนิด: เอากีวี ส้ม และกล้วย ค = 3! / (0! * 3!) = 1.

คำถามที่ห้า: คุณสามารถเลือกผลไม้อย่างน้อยหนึ่งชนิดได้กี่วิธี? เงื่อนไขนี้หมายความว่าเราสามารถรับผลไม้ได้หนึ่ง สอง หรือทั้งสามผล ดังนั้นเราจึงบวก C1 + C2 + C3 = 3 + 3 + 1 = 7 นั่นคือเรามีเจ็ดวิธีในการหยิบผลไม้อย่างน้อยหนึ่งผลจากโต๊ะ

Combinatorics เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคำถามเกี่ยวกับจำนวนค่าผสมต่างๆ ที่สามารถสร้างจากวัตถุที่กำหนดได้ตามเงื่อนไขบางประการ พื้นฐานของการรวมกันมีความสำคัญมากในการประมาณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มเพราะว่า เป็นสิ่งที่ช่วยให้เราคำนวณจำนวนสถานการณ์ต่าง ๆ ที่เป็นไปได้โดยพื้นฐานสำหรับการพัฒนากิจกรรม

สูตรพื้นฐานของเชิงผสม

ให้มีองค์ประกอบ k กลุ่ม และ i-thกลุ่มประกอบด้วยองค์ประกอบ n i เรามาเลือกหนึ่งองค์ประกอบจากแต่ละกลุ่ม จากนั้นจำนวน N ทั้งหมดของวิธีที่สามารถเลือกได้จะถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์ N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k

ตัวอย่างที่ 1ให้เราอธิบายกฎนี้ด้วยตัวอย่างง่ายๆ ให้มีองค์ประกอบสองกลุ่มและกลุ่มแรกประกอบด้วยองค์ประกอบ n 1 รายการและองค์ประกอบที่สองจาก n 2 องค์ประกอบ สามารถสร้างองค์ประกอบที่แตกต่างกันได้กี่คู่จากสองกลุ่มนี้ โดยที่คู่นั้นมีองค์ประกอบเดียวจากแต่ละกลุ่ม สมมติว่าเรานำองค์ประกอบแรกจากกลุ่มแรก และไม่ได้เปลี่ยนมัน เราผ่านคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยเปลี่ยนเฉพาะองค์ประกอบจากกลุ่มที่สอง องค์ประกอบนี้สามารถมีได้ 2 คู่ จากนั้นเราก็นำองค์ประกอบที่สองจากกลุ่มแรกและสร้างคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดให้กับมัน ก็จะมี 2 คู่ดังกล่าวเช่นกัน เนื่องจากกลุ่มแรกมีเพียง n 1 องค์ประกอบ ตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดจึงเท่ากับ n 1 *n 2

ตัวอย่างที่ 2จากเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 สามารถสร้างเลขคู่สามหลักได้กี่ตัว ถ้าซ้ำได้?
สารละลาย: n 1 =6 (เพราะคุณสามารถใช้ตัวเลขใดๆ จาก 1, 2, 3, 4, 5, 6 เป็นหลักตัวแรก), n 2 =7 (เพราะคุณสามารถใช้ตัวเลขใดๆ จาก 0 เป็นหลักที่สอง , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 = 4 (เนื่องจากตัวเลขใดๆ ตั้งแต่ 0, 2, 4, 6 สามารถใช้เป็นหลักที่สามได้)
ดังนั้น N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168

ในกรณีที่ทุกกลุ่มมีจำนวนองค์ประกอบเท่ากัน เช่น n 1 =n 2 =...n k =n เราสามารถสรุปได้ว่าการเลือกแต่ละรายการนั้นมาจากกลุ่มเดียวกัน และองค์ประกอบหลังจากการเลือกจะถูกส่งกลับไปยังกลุ่ม ดังนั้นจำนวนวิธีการเลือกทั้งหมดคือ n k วิธีการเลือกในเชิงผสมนี้เรียกว่า ตัวอย่างพร้อมผลตอบแทน

ตัวอย่างที่ 3จากตัวเลข 1, 5, 6, 7, 8 สามารถสร้างตัวเลขสี่หลักได้กี่ตัว?
สารละลาย.สำหรับแต่ละหลักของตัวเลขสี่หลัก มีความเป็นไปได้ห้าแบบ ซึ่งหมายความว่า N=5*5*5*5=5 4 =625

พิจารณาเซตที่ประกอบด้วยสมาชิก n ตัว ในเชิงผสมเซตนี้เรียกว่า ประชากรทั่วไป.

จำนวนตำแหน่งขององค์ประกอบ n ตัวโดย m

คำจำกัดความ 1.ที่พักจาก nองค์ประกอบโดย มในเชิงผสมใดๆ สั่งชุดจาก มองค์ประกอบต่าง ๆ ที่คัดเลือกมาจากประชากรใน nองค์ประกอบ

ตัวอย่างที่ 4การจัดเรียงที่แตกต่างกันของสามองค์ประกอบ (1, 2, 3) โดยสองจะเป็นเซต (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ) ตำแหน่งอาจแตกต่างกันทั้งในองค์ประกอบและตามลำดับ

จำนวนตำแหน่งในการจัดตำแหน่งจะแสดงด้วย A n m และคำนวณโดยสูตร:

ความคิดเห็น: n!=1*2*3*...*n (อ่าน: “en factorial”) นอกจากนี้ จะถือว่า 0!=1

ตัวอย่างที่ 5. มีตัวเลขสองหลักกี่ตัวที่หลักสิบและหลักหน่วยต่างกันและเป็นคี่?
สารละลาย:เพราะ หากมีเลขคี่ห้าหลัก ได้แก่ 1, 3, 5, 7, 9 งานนี้อยู่ที่การเลือกและวางตัวเลขที่แตกต่างกันสองหลักจากห้าหลักในตำแหน่งที่แตกต่างกันสองตำแหน่ง กล่าวคือ ตัวเลขที่ระบุจะเป็น:

คำจำกัดความ 2. การรวมกันจาก nองค์ประกอบโดย มในเชิงผสมใดๆ ชุดที่ไม่เรียงลำดับจาก มองค์ประกอบต่าง ๆ ที่คัดเลือกมาจากประชากรใน nองค์ประกอบ

ตัวอย่างที่ 6. สำหรับเซต (1, 2, 3) ชุดค่าผสมคือ (1, 2), (1, 3), (2, 3)

จำนวนการรวมกันขององค์ประกอบ n รายการ โดยแต่ละรายการเป็น m

จำนวนชุดค่าผสมแสดงด้วย C n m และคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่างที่ 7ผู้อ่านสามารถเลือกหนังสือสองเล่มจากหกเล่มที่มีอยู่ได้กี่วิธี?

สารละลาย:จำนวนวิธีเท่ากับจำนวนชุดค่าผสมของหนังสือหกเล่มจากสองเล่มนั่นคือ เท่ากับ:

การเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ n

คำจำกัดความ 3. การเรียงสับเปลี่ยนจาก nองค์ประกอบเรียกว่าอะไรก็ได้ สั่งชุดองค์ประกอบเหล่านี้

ตัวอย่าง 7aการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซตที่ประกอบด้วยสามองค์ประกอบ (1, 2, 3) คือ: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2)

จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่แตกต่างกันขององค์ประกอบ n เขียนแทนด้วย P n และคำนวณโดยสูตร P n =n!

ตัวอย่างที่ 8หนังสือ 7 เล่มที่เขียนโดยผู้แต่งคนละคนสามารถจัดเรียงเป็นแถวเดียวบนชั้นวางได้กี่วิธี?

สารละลาย:ปัญหานี้เกี่ยวกับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของหนังสือเจ็ดเล่มที่แตกต่างกัน มี P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 วิธีจัดเรียงหนังสือ.

การอภิปราย.เราเห็นว่าจำนวนชุดค่าผสมที่เป็นไปได้สามารถคำนวณได้ตามกฎต่างๆ (การเรียงสับเปลี่ยน ชุดค่าผสม ตำแหน่ง) และผลลัพธ์จะแตกต่างกัน เนื่องจาก หลักการคำนวณและสูตรต่างกัน เมื่อดูคำจำกัดความอย่างละเอียด คุณจะสังเกตเห็นว่าผลลัพธ์นั้นขึ้นอยู่กับหลายปัจจัยพร้อมกัน

ประการแรก จากจำนวนองค์ประกอบที่เราสามารถรวมชุดขององค์ประกอบเหล่านั้นได้ (จำนวนองค์ประกอบทั้งหมดมีขนาดใหญ่เพียงใด)

ประการที่สอง ผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับขนาดของชุดองค์ประกอบที่เราต้องการ

สุดท้ายนี้ สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าลำดับขององค์ประกอบในชุดมีความสำคัญต่อเราหรือไม่ มาอธิบายกันดีกว่า ปัจจัยสุดท้ายโดยใช้ตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 9บน การประชุมผู้ปกครองมีคนอยู่ 20 คน องค์ประกอบของคณะกรรมการผู้ปกครองมีกี่ตัวเลือกหากต้องรวม 5 คน?
สารละลาย:ในตัวอย่างนี้ เราไม่สนใจลำดับชื่อในรายชื่อคณะกรรมการ หากเป็นผลให้คนกลุ่มเดียวกันกลายเป็นส่วนหนึ่งของมัน ดังนั้นสำหรับเราแล้ว นี่คือตัวเลือกเดียวกัน ดังนั้นเราจึงสามารถใช้สูตรในการคำนวณตัวเลขได้ การรวมกันจำนวน 20 องค์ อย่างละ 5 องค์

สิ่งต่าง ๆ จะแตกต่างกันหากสมาชิกคณะกรรมการแต่ละคนรับผิดชอบงานเฉพาะด้านตั้งแต่แรก จากนั้นด้วยรายชื่อคณะกรรมการชุดเดียวกัน ก็อาจมี 5 รายการอยู่ในนั้น! ตัวเลือก การเรียงสับเปลี่ยนเรื่องที่. จำนวนตัวเลือกที่แตกต่างกัน (ทั้งในองค์ประกอบและพื้นที่รับผิดชอบ) จะถูกกำหนดในกรณีนี้ด้วยจำนวน ตำแหน่งจำนวน 20 องค์ อย่างละ 5 องค์

งานทดสอบตัวเอง
1. จากเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 สามารถสร้างเลขคู่สามหลักได้กี่ตัว ถ้าซ้ำได้

2. มีตัวเลขห้าหลักที่อ่านเหมือนกันจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้ายกี่หมายเลข?

3. มี 10 วิชาในชั้นเรียนและ 5 บทเรียนต่อวัน คุณสามารถสร้างตารางเวลาสำหรับหนึ่งวันได้กี่วิธี?

4. สามารถเลือกผู้ร่วมประชุม 4 คนสำหรับการประชุมได้กี่วิธีหากในกลุ่มมี 20 คน?

5. สามารถใส่ตัวอักษรที่แตกต่างกันแปดตัวลงในซองจดหมายแปดซองที่แตกต่างกันได้กี่วิธี ถ้าแต่ละซองใส่ตัวอักษรได้เพียงตัวเดียว?

6. คณะกรรมการที่ประกอบด้วยนักคณิตศาสตร์สองคนและนักเศรษฐศาสตร์หกคน ควรประกอบด้วยนักคณิตศาสตร์สามคนและนักเศรษฐศาสตร์สิบคน สามารถทำได้กี่วิธี?