ทฤษฎีบทของนิวตันและตัวอย่างไลบ์นิซ การคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต

นิวตัน ไลบ์นิซ เป็นนักปรัชญาชาวเยอรมัน เกิดเมื่อวันที่ 1 กรกฎาคม พ.ศ. 2189 นอกจากปรัชญาแล้ว เขายังหลงใหลในวิทยาศาสตร์ที่แน่นอนอีกด้วย เขาเก่งในด้านตรรกศาสตร์ คณิตศาสตร์ กลศาสตร์ ฟิสิกส์ ประวัติศาสตร์ การทูต กลศาสตร์ นิวตันยังถือเป็นนักประดิษฐ์และนักภาษาศาสตร์อีกด้วย เขาเป็นผู้ก่อตั้งและเป็นคนแรกที่เป็นหัวหน้า Academy of Sciences ในกรุงเบอร์ลิน ไลบนิซมีความภาคภูมิใจใน French Academy of Sciences ในฐานะสมาชิกชาวต่างชาติ
ขั้นพื้นฐานที่สุด ความสำเร็จทางวิทยาศาสตร์ไลบ์นิซเชื่อว่า:
การสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ แคลคูลัสดิฟเฟอเรนเชียลและอินทิกรัล ซึ่งเขาใช้พื้นฐานจากค่าเล็กน้อย
ด้วยความช่วยเหลือของเขา รากฐานของตรรกะทางคณิตศาสตร์จึงถูกวาง
ศาสตร์แห่งการรวมกัน
ระบบเลขฐานสองที่มีตัวเลข 0 และ 1 ปัจจุบันเทคโนโลยีสมัยใหม่ทั้งหมดมีพื้นฐานมาจากตัวเลขเหล่านี้
สำหรับจิตวิทยา มีส่วนสนับสนุนที่สำคัญมากในฐานะแนวคิดเกี่ยวกับการรับรู้เล็กๆ น้อยๆ โดยไม่รู้ตัว นอกจากนี้หลักคำสอนเรื่องชีวิตจิตไร้สติก็ปรากฏขึ้น
เขาระบุกฎการอนุรักษ์พลังงานและแนะนำแนวคิดเรื่องพลังชีวิต

นิวตันถือเป็นผู้สรุปปรัชญาแห่งศตวรรษที่ 17 เขากลายเป็นผู้ก่อตั้ง ระบบใหม่และตั้งชื่อให้ว่า มอนาโดโลจี นอกจากความสำเร็จในด้านปรัชญาแล้ว เขายังสามารถระบุหลักคำสอนของการสังเคราะห์และการวิเคราะห์ได้อีกด้วย ไลบนิซกำหนดไว้ในรูปแบบของกฎแห่งเหตุผลที่เพียงพอ ตามที่เขากล่าวไว้ ทั้งหมดนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการคิดและตรรกะเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับความเป็นอยู่และภววิทยาด้วย นักปรัชญาสามารถให้เครดิตกับผู้ประพันธ์การกำหนดกฎหมายอัตลักษณ์สมัยใหม่ เขาเป็นคนที่นำความเข้าใจคำว่า "แบบจำลอง" มาสู่โลก
ในงานของเขา Leibniz เขียนเกี่ยวกับความเป็นไปได้ที่หลากหลายของการสร้างแบบจำลองเครื่องจักร สมองของมนุษย์- ปรากฎว่าเขามี จำนวนมากฟังก์ชั่น นักวิทยาศาสตร์คนนี้เป็นคนแรกที่แนะนำให้โลกรู้จักกับแนวคิดที่ว่าพลังงานบางประเภทสามารถเปลี่ยนเป็นพลังงานชนิดอื่นได้ การศึกษาเหล่านี้มีส่วนช่วยอย่างมากต่อฟิสิกส์ แน่นอนว่างานที่สำคัญและโด่งดังที่สุดในชีวิตของเขาคือสูตร จึงเรียกสูตรนี้ว่าสูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ
สูตรของนิวตัน ไลบ์นิซ

ให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง f กำหนดไว้บนส่วนของแกน Ox สมมติว่าฟังก์ชันนี้ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายตลอดทั้งส่วน
ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นลบบนเซกเมนต์หนึ่ง และ F คือแอนติเดริเวทีฟของมันบนเซ็กเมนต์นี้ พื้นที่ของเส้นโค้งรูปสี่เหลี่ยมคางหมู S จะเท่ากับการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟในส่วนนี้
ทฤษฎีบทนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:
ส = ฉ(ข) – ฉ(ก)
อินทิกรัลของฟังก์ชัน f(x) จาก a ถึง b จะเท่ากับ S ในที่นี้และต่อจากนี้ เพื่อแสดงถึงอินทิกรัลจำกัดจำนวนฟังก์ชัน f(x) โดยมีขีดจำกัดของอินทิกรัลจาก a ถึง b เราจะใช้ ตามสัญกรณ์ (a;b)∫f( x) ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างว่าจะมีลักษณะอย่างไร

ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเทียบผลลัพธ์ทั้งสองนี้ได้ เราได้: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) โดยมีเงื่อนไขว่า F เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f on สูตรนี้เรียกว่าสูตรของนิวตัน–ไลบ์นิซ มันจะเป็นจริงสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ f ในช่วงเวลาหนึ่ง
สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซใช้ในการคำนวณอินทิกรัล ลองดูตัวอย่างบางส่วน:
ตัวอย่างที่ 1: คำนวณอินทิกรัล ค้นหาแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชันจำนวนเต็ม x2 แอนติเดริเวทีฟตัวหนึ่งจะเป็นฟังก์ชัน (x3)/3
ตอนนี้เราใช้สูตรของนิวตัน–ไลบ์นิซ:
(-1;2)∫x2dx = (23)/3 – ((-1)3)/3 = 3
คำตอบ: (-1;2)∫x2dx = 3
ตัวอย่างที่ 2: คำนวณอินทิกรัล (0;pi)∫sin(x)dx
ค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันจำนวนเต็ม sin(x) แอนติเดริเวทีฟตัวหนึ่งจะเป็นฟังก์ชัน –cos(x) ลองใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2
คำตอบ: (0;pi)∫sin(x)dx=2
บางครั้ง เพื่อความเรียบง่ายและสะดวกในการบันทึก การเพิ่มฟังก์ชัน F บนเซ็กเมนต์ (F(b)-F(a)) จะถูกเขียนดังนี้:

การใช้สัญลักษณ์นี้เพื่อเพิ่มค่า สามารถเขียนสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซใหม่ได้ดังนี้:

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น นี่เป็นเพียงคำย่อเพื่อความสะดวกในการบันทึก; สัญกรณ์นี้และสูตร (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) จะเทียบเท่ากัน

นักวิทยาศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์จำนวนมากยังคงใช้สูตรนี้อยู่ ด้วยความช่วยเหลือของเธอ ไลบนิซได้นำการพัฒนามาสู่วิทยาศาสตร์มากมาย

ดูตัวอย่าง:

หากต้องการใช้ ดูตัวอย่างการนำเสนอสร้างบัญชีของคุณเอง ( บัญชี) Google และเข้าสู่ระบบ: https://accounts.google.com

คำอธิบายสไลด์:

บูรณาการ สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ เรียบเรียงโดย: ครูคณิตศาสตร์ของสถาบันการศึกษาแห่งรัฐของสถาบันการศึกษา PU หมายเลข 27 Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: แนะนำแนวคิดเกี่ยวกับอินทิกรัลและการคำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ โดยใช้ความรู้เกี่ยวกับแอนติเดริเวทีฟและกฎสำหรับการคำนวณ แสดงให้เห็นถึงการประยุกต์ใช้อินทิกรัลในทางปฏิบัติโดยใช้ตัวอย่างการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง เสริมสิ่งที่คุณได้เรียนรู้ระหว่างแบบฝึกหัด

คำจำกัดความ: ให้ฟังก์ชันบวก f(x) กำหนดไว้บนเซกเมนต์จำกัด [ a;b ] อินทิกรัลของฟังก์ชัน f(x) บน [ a;b ] คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเชิงโค้ง y=f(x) ข ก 0 x y

การกำหนด:  “อินทิกรัลจาก a ถึง b eff จาก x de x”

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์: ไลบ์นิซได้สัญลักษณ์อินทิกรัลมาจากอักษรตัวแรกของคำว่า "Summa" นิวตันไม่ได้เสนอสัญลักษณ์ทางเลือกสำหรับอินทิกรัลในงานของเขา แม้ว่าเขาจะลองใช้ทางเลือกต่างๆ ก็ตาม คำว่าอินทิกรัลนั้นตั้งขึ้นโดย Jacob Bernoulli คุณแม่ไอแซก นิวตัน กอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ฟอน ไลบ์นิซ เจค็อบ เบอร์นูลลี

ออยเลอร์แนะนำสัญลักษณ์สำหรับอินทิกรัลไม่ จำกัด ฌอง บัปติสต์ โจเซฟ ฟูริเยร์ ลีโอนาร์ด ออยเลอร์ การออกแบบอินทิกรัลจำกัดขอบเขตในรูปแบบที่เราคุ้นเคยนั้นคิดค้นโดยฟูริเยร์

สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

ตัวอย่างที่ 1 คำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต: = วิธีแก้ไข:

ตัวอย่างที่ 2. คำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต: 5 9 1

ตัวอย่างที่ 3 S y x คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นและแกน x ขั้นแรก ให้เราหาจุดตัดของแกน x กับกราฟของฟังก์ชันก่อน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาแก้สมการกันดีกว่า = วิธีแก้ไข: ส =

y x S A B D C ตัวอย่างที่ 4 คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นแล้วหาจุดตัด (abscissas) ของเส้นเหล่านี้โดยการแก้สมการ S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 – 4.5 = 4.5 ดูตัวอย่างที่ 1 วิธีแก้ไข:

กฎ SINCWAIN 1 บรรทัด - ธีมของ syncwine 1 คำ 2 บรรทัด - คำคุณศัพท์ 2 คำที่อธิบายสัญญาณและคุณสมบัติของหัวข้อ 3 บรรทัด - คำกริยา 3 คำที่อธิบายลักษณะของการกระทำ 4 บรรทัด - ประโยคสั้น ๆ 4 คำที่แสดงทัศนคติส่วนตัวของคุณ หัวข้อ 5 บรรทัด - 1 คำ คำพ้องความหมายหรือธีมการเชื่อมโยงของคุณของหัวเรื่อง

อินทิกรัล 2. แน่นอน บวก นับ บวก คูณ 4. คำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ 5. พื้นที่

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว: หนังสือเรียนของ A.N. Kolmagorov และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ 10 - 11 เกรด

ขอบคุณสำหรับความสนใจของคุณ! “พรสวรรค์คือ 99% ของแรงงาน และ 1% ของความสามารถ” ภูมิปัญญาชาวบ้าน

ตัวอย่างที่ 1 คำนวณอินทิกรัลจำกัด: = วิธีแก้ไข: ตัวอย่างที่ 4

ดูตัวอย่าง:

เรื่อง: คณิตศาสตร์ (พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์) เกรด: เกรด 11

หัวข้อบทเรียน: “อินทิกรัล สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ”

ประเภทบทเรียน: การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

ระยะเวลาบทเรียน: 45 นาที

วัตถุประสงค์ของบทเรียน: แนะนำแนวคิดเรื่องอินทิกรัลและการคำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ โดยใช้ความรู้เกี่ยวกับแอนติเดริเวทีฟและกฎเกณฑ์ในการคำนวณ แสดงให้เห็นถึงการประยุกต์ใช้อินทิกรัลในทางปฏิบัติโดยใช้ตัวอย่างการค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง รวบรวมสิ่งที่คุณได้เรียนรู้ระหว่างแบบฝึกหัด

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทางการศึกษา:

1. สร้างแนวคิดเรื่องอินทิกรัล
2. การพัฒนาทักษะในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต
3. การก่อตัวของทักษะ การประยุกต์ใช้จริงอินทิกรัลในการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

ทางการศึกษา:

1. การพัฒนาความสนใจทางปัญญาของนักเรียน การพัฒนาคำพูดทางคณิตศาสตร์ ความสามารถในการสังเกต เปรียบเทียบ และสรุปผล
2. พัฒนาความสนใจในเรื่องโดยใช้ ICT

ทางการศึกษา:

1. เพื่อเพิ่มความสนใจในการรับความรู้ใหม่ ๆ พัฒนาความแม่นยำและความแม่นยำเมื่อคำนวณอินทิกรัลและเขียนแบบ

อุปกรณ์: พีซี, ระบบปฏิบัติการ Microsoft Windows 2000/XP, MS Office 2007: พาวเวอร์พอยต์, Microsoft Word; โปรเจคเตอร์มัลติมีเดีย, หน้าจอ

วรรณกรรม: หนังสือเรียนโดย Kolmagorov A.N. และอื่น ๆ พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ 10-11 เกรด

เทคโนโลยี: ไอซีที, การฝึกอบรมรายบุคคล

ความก้าวหน้าของบทเรียน

	ขั้นตอนบทเรียน	กิจกรรมครู	กิจกรรมนักศึกษา	เวลา
	ส่วนเบื้องต้น
	ช่วงเวลาขององค์กร	ทักทาย ตรวจสอบความพร้อมของนักเรียนสำหรับบทเรียน จัดความสนใจ แจกจ่ายบันทึกสนับสนุน	ฟังนะ เขียนวันที่ลงไป	3 นาที
	การสื่อสารหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน	การอัปเดตความรู้พื้นฐานและประสบการณ์ส่วนตัวพร้อมการเข้าถึงเป้าหมายของบทเรียน	ฟังและจดหัวข้อบทเรียนลงในสมุดบันทึกของคุณรวมอยู่ใน กิจกรรมทางจิต. วิเคราะห์ เปรียบเทียบ สรุปผล เพื่อบรรลุเป้าหมายของบทเรียน	การนำเสนอ ไอซีที 3 นาที
	ส่วนหลักของบทเรียน การนำเสนอเนื้อหาใหม่พร้อมการทดสอบความรู้ในหัวข้อที่ผ่านมา
	คำจำกัดความของอินทิกรัล (สไลด์ 3)	ให้คำจำกัดความ ไอซีที สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งคืออะไร?	ตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชัน ส่วนและเส้นตรง x=a และ x=b	10 นาที
	สัญกรณ์อินทิกรัล (สไลด์ 4)	แนะนำสัญลักษณ์สำหรับอินทิกรัลและวิธีการอ่าน	ฟังแล้วเขียนลงไป
	ประวัติความเป็นมาของอินทิกรัล (สไลด์ 5 และ 6)	บอกเล่าประวัติความเป็นมาของคำว่า "อินทิกรัล"	ฟังและเขียนสั้นๆ
	สูตรของนิวตัน–ไลบ์นิซ (สไลด์ 7)	ให้สูตรนิวตัน–ไลบ์นิซ F ย่อมาจากอะไรในสูตร?	ฟัง จดบันทึก ตอบคำถามของครู สารต้านอนุพันธ์
	ส่วนสุดท้ายของบทเรียน
	การแก้ไขวัสดุ การแก้ตัวอย่างโดยใช้เนื้อหาที่ศึกษา
	ตัวอย่างที่ 1 (สไลด์ 8)	วิเคราะห์คำตอบของตัวอย่าง โดยถามคำถามเกี่ยวกับการค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับปริพันธ์	ฟัง เขียน แสดงความรู้เรื่องตารางแอนติเดริเวทีฟ	20 นาที
	ตัวอย่างที่ 2 (สไลด์ 9) ตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระนักเรียน.	กำกับดูแลการแก้ปัญหาของตัวอย่าง	ทำงานให้เสร็จทีละงานโดยแสดงความคิดเห็น (เทคโนโลยีการเรียนรู้ส่วนบุคคล) รับฟังกัน จดบันทึก แสดงความรู้ในหัวข้อที่ผ่านมา
	ตัวอย่างที่ 3 (สไลด์ 10)	วิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาตามตัวอย่าง จะหาจุดตัดของแกน x กับกราฟของฟังก์ชันได้อย่างไร?	ฟัง ตอบคำถาม แสดงความรู้ในหัวข้อที่ผ่านมา และจดบันทึก เทียบปริพันธ์ให้เป็น 0 แล้วแก้สมการ
	ตัวอย่างที่ 4 (สไลด์ 11)	วิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาตามตัวอย่าง จะหาจุดตัด (abscissas) ของกราฟฟังก์ชันได้อย่างไร? กำหนดประเภทของสามเหลี่ยม ABC จะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากได้อย่างไร?	พวกเขาฟังและตอบคำถาม เทียบฟังก์ชันให้กันและกันและแก้สมการผลลัพธ์ สี่เหลี่ยม โดยที่ a และ b เป็นขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก
	สรุปบทเรียน (สไลด์ 12 และ 13)	จัดงานเกี่ยวกับการคอมไพล์ syncwine	มีส่วนร่วมในการเตรียมซิงก์ไวน์ วิเคราะห์ เปรียบเทียบ สรุปในหัวข้อ	5 นาที
	การบ้านตามระดับความยาก	ทำการบ้านและอธิบาย	ฟังแล้วเขียนลงไป	1 นาที
	การประเมินงานของนักเรียนในชั้นเรียน	ประเมินผลงานของนักเรียนในบทเรียนและวิเคราะห์	พวกเขากำลังฟัง	1 นาที

ดูตัวอย่าง:

สรุปเบื้องต้นในหัวข้อ “อินทิกรัล สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ”

	คำนิยาม: ให้ฟังก์ชันเชิงบวกได้รับฉ(x) กำหนดบนส่วนที่จำกัดอินทิกรัลของฟังก์ชัน f(x) เปิดเรียกว่าบริเวณสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง
	การกำหนด: อ่าน: “ปริพันธ์จาก a ถึง b ef จาก x de x”
	สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ
	ตัวอย่างที่ 1 คำนวณอินทิกรัลที่แน่นอน: สารละลาย:
	ตัวอย่างที่ 3 และแกน x สารละลาย:
	ตัวอย่างที่ 3 คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้นและ .

การแก้ปัญหาที่ใช้นั้นขึ้นอยู่กับการคำนวณอินทิกรัล แต่ก็ไม่สามารถทำได้อย่างถูกต้องเสมอไป บางครั้งจำเป็นต้องทราบค่าของอินทิกรัลบางตัวด้วยความแม่นยำในระดับหนึ่ง เช่น ถึงหนึ่งในพัน

มีปัญหาเมื่อจำเป็นต้องค้นหาค่าโดยประมาณของอินทิกรัลบางตัวด้วยความแม่นยำที่ต้องการ จากนั้นจึงใช้การอินทิเกรตเชิงตัวเลข เช่น วิธี Simposny, สี่เหลี่ยมคางหมู และสี่เหลี่ยม ไม่ใช่ทุกกรณีที่จะอนุญาตให้เราคำนวณได้อย่างแม่นยำ

บทความนี้จะตรวจสอบการประยุกต์ใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ นี่เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตที่แม่นยำ จะได้รับ ตัวอย่างโดยละเอียดพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในอินทิกรัลจำกัดขอบเขต และเราค้นหาค่าของอินทิกรัลจำกัดเขตเมื่ออินทิกรัลตามส่วนต่างๆ

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

คำจำกัดความ 1

เมื่อฟังก์ชัน y = y (x) ต่อเนื่องกันจากช่วง [ a ; b ] และ F (x) เป็นหนึ่งใน ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์ส่วนนี้แล้ว สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซถือว่ายุติธรรม ลองเขียนมันแบบนี้: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a)

สูตรนี้คิด สูตรพื้นฐานของแคลคูลัสอินทิกรัล

เพื่อพิสูจน์สูตรนี้ จำเป็นต้องใช้แนวคิดเรื่องอินทิกรัลที่มีขีดจำกัดบนของตัวแปรที่มีอยู่

เมื่อฟังก์ชัน y = f (x) ต่อเนื่องกันจากช่วง [ a ; b ] จากนั้นค่าของอาร์กิวเมนต์ x ∈ a; b และอินทิกรัลมีรูปแบบ ∫ a x f (t) d t และถือเป็นฟังก์ชันของขีดจำกัดบน จำเป็นต้องใช้สัญกรณ์ของฟังก์ชันจะอยู่ในรูปแบบ ∫ a x f (t) d t = Φ (x) มันเป็นแบบต่อเนื่องและความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) ใช้ได้สำหรับมัน

ให้เราแก้ไขว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Φ (x) สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ∆ x มีความจำเป็นต้องใช้คุณสมบัติหลักที่ห้าของอินทิกรัลที่แน่นอนและเราได้รับ

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = ฉ (ค) ∆ x

โดยที่ค่า c ∈ x; x + ∆ x .

ขอให้เราแก้ไขความเท่าเทียมกันในรูปแบบ Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . ตามคำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชันจำเป็นต้องไปที่ขีด จำกัด เป็น ∆ x → 0 จากนั้นเราจะได้สูตรในรูปแบบ Φ " (x) = f (x) เราพบว่า Φ (x) คือ แอนติเดริเวทีฟตัวใดตัวหนึ่งสำหรับฟังก์ชันในรูปแบบ y = f (x) ซึ่งอยู่ที่ [a; b] มิฉะนั้นจะสามารถเขียนนิพจน์ได้

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C โดยที่ค่า C คงที่

ลองคำนวณ F (a) โดยใช้คุณสมบัติแรกของอินทิกรัลจำกัดเขต แล้วเราจะได้รับสิ่งนั้น

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C ดังนั้นเราจึงได้ C = F (a) ผลลัพธ์ใช้ได้เมื่อคำนวณ F (b) และเราได้รับ:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) หรืออีกนัยหนึ่งคือ F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (ก) . ความเท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์โดยสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a)

เราใช้การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันเป็น F x a b = F (b) - F (a) . เมื่อใช้สัญลักษณ์ สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซจะอยู่ในรูปแบบ ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a)

ในการใช้สูตร จำเป็นต้องรู้แอนติเดริเวทีฟตัวใดตัวหนึ่ง y = F (x) ของฟังก์ชันจำนวนเต็ม y = f (x) จากเซ็กเมนต์ [ a ; b ] คำนวณการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟจากส่วนนี้ ลองดูตัวอย่างการคำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ

ตัวอย่างที่ 1

คำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต ∫ 1 3 x 2 d x โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ

สารละลาย

พิจารณาว่าปริพันธ์ของรูปแบบ y = x 2 ต่อเนื่องกันจากช่วง [ 1 ; 3 ] จากนั้นจึงสามารถอินทิเกรตได้ในช่วงเวลานี้ จากตารางอินทิกรัลไม่ จำกัด เราจะเห็นว่าฟังก์ชัน y = x 2 มีชุดแอนติเดริเวทีฟสำหรับค่าจริงทั้งหมดของ x ซึ่งหมายถึง x ∈ 1; 3 จะถูกเขียนเป็น F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C จำเป็นต้องใช้แอนติเดริเวทีฟด้วย C = 0 จากนั้นเราจะได้ F (x) = x 3 3

ลองใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซแล้วพบว่าการคำนวณอินทิกรัลจำกัดอยู่ในรูปแบบ ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3

คำตอบ:∫ 1 3 x 2 ง x = 26 3

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ

สารละลาย

ฟังก์ชันที่กำหนดจะต่อเนื่องกันตั้งแต่ช่วง [ - 1 ; 2 ] ซึ่งหมายความว่าสามารถอินทิเกรตกับมันได้ จำเป็นต้องค้นหาค่าของอินทิกรัลไม่ จำกัด ∫ x · e x 2 + 1 d x โดยใช้วิธีการบวกใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล จากนั้นเราจะได้ ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 อี x 2 + 1 + C .

ดังนั้นเราจึงมีชุดแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = x · e x 2 + 1 ซึ่งใช้ได้กับ x, x ∈ - 1 ทั้งหมด; 2.

จำเป็นต้องใช้แอนติเดริเวทีฟที่ C = 0 และใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ จากนั้นเราจะได้นิพจน์ของแบบฟอร์ม

∫ - 1 2 x · อี x 2 + 1 d x = 1 2 อี x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 อี 2 2 + 1 - 1 2 อี (- 1) 2 + 1 = 1 2 อี (- 1) 2 + 1 = 1 2 อี 2 (อี 3 - 1)

คำตอบ:∫ - 1 2 x อี x 2 + 1 d x = 1 2 อี 2 (จ 3 - 1)

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณอินทิกรัล ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x และ ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x

สารละลาย

ส่วน - 4; - 1 2 บอกว่าฟังก์ชันใต้เครื่องหมายอินทิกรัลมีความต่อเนื่อง ซึ่งหมายความว่าสามารถอินติเกรตได้ จากตรงนี้ เราจะพบเซตของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน y = 4 x 3 + 2 x 2 เราเข้าใจแล้ว

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

จำเป็นต้องใช้แอนติเดริเวทีฟ F (x) = 2 x 2 - 2 x จากนั้นใช้สูตรนิวตัน - ไลบ์นิซเราจะได้อินทิกรัลซึ่งเราคำนวณ:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 ง x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

เราดำเนินการคำนวณอินทิกรัลที่สอง

จากส่วน [ - 1 ; 1 ] เรามีว่าฟังก์ชันจำนวนเต็มนั้นถือว่าไม่มีขอบเขต เนื่องจาก lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ แล้วจึงเป็นไปตามนั้น เงื่อนไขที่จำเป็นบูรณาการจากส่วนงาน ดังนั้น F (x) = 2 x 2 - 2 x ไม่ใช่แอนติเดริเวทีฟสำหรับ y = 4 x 3 + 2 x 2 จากช่วง [ - 1 ; 1 ] เนื่องจากจุด O เป็นของกลุ่ม แต่ไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ ซึ่งหมายความว่ามีอินทิกรัลรีมันน์และนิวตัน-ไลบ์นิซที่แน่นอนสำหรับฟังก์ชัน y = 4 x 3 + 2 x 2 จากช่วง [ - 1 ; 1].

คำตอบ: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,มีอินทิกรัลรีมันน์และนิวตัน-ไลบ์นิซที่แน่นอนสำหรับฟังก์ชัน y = 4 x 3 + 2 x 2 จากช่วง [ - 1 ; 1].

ก่อนที่จะใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ คุณจำเป็นต้องรู้ให้แน่ชัดเกี่ยวกับการมีอยู่ของอินทิกรัลจำกัดเขตก่อน

การเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลจำกัดเขต

เมื่อฟังก์ชัน y = f (x) ถูกกำหนดและต่อเนื่องจากช่วง [ a ; b] จากนั้นเซตที่มีอยู่ [a; b] ถือเป็นช่วงของค่าของฟังก์ชัน x = g (z) ซึ่งกำหนดไว้ในเซ็กเมนต์ α; β ด้วยอนุพันธ์ต่อเนื่องที่มีอยู่ โดยที่ g (α) = a และ g β = b เราได้จากสิ่งนี้ว่า ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z

สูตรนี้ใช้เมื่อคุณต้องการคำนวณอินทิกรัล ∫ a b f (x) d x โดยที่อินทิกรัลไม่ จำกัด มีรูปแบบ ∫ f (x) d x เราคำนวณโดยใช้วิธีการทดแทน

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณอินทิกรัลจำกัดขอบเขตของรูปแบบ ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 dx .

สารละลาย

ฟังก์ชันอินทิแกรนด์ถือว่าต่อเนื่องในช่วงเวลาของการอินทิเกรต ซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลที่แน่นอนมีอยู่จริง ลองเขียนสัญลักษณ์ว่า 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 ค่า x = 9 หมายความว่า z = 2 9 - 9 = 9 = 3 และสำหรับ x = 18 เราจะได้ z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3 จากนั้น g α = g (3) = 9, g β = ก. 3 3 = 18. เมื่อแทนค่าที่ได้รับลงในสูตร ∫ ab f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z เราได้รับสิ่งนั้น

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

ตามตารางอินทิกรัลไม่จำกัด เรามีแอนติเดริเวทีฟตัวหนึ่งของฟังก์ชัน 2 z 2 + 9 รับค่า 2 3 a r c t g z 3 จากนั้นเมื่อใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ เราก็จะได้สิ่งนั้น

∫ 3 3 3 2 Z 2 + 9 D Z = 2 3 A R C T G Z 3 3 3 3 = 2 3 A R C T G 3 3 3 - 2 3 A R C T G 3 3 = 2 3 A R C T G 3 - A R C T G 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

การค้นหาสามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้สูตร ∫ ab f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z

หากใช้วิธีการแทนที่ เราใช้อินทิกรัลของรูปแบบ ∫ 1 x 2 x - 9 d x จากนั้นเราจะได้ผลลัพธ์ ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

จากนี้เราจะคำนวณโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ และคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต เราเข้าใจแล้ว

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = พาย 18

ผลลัพธ์ก็เหมือนกัน

คำตอบ: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

บูรณาการตามส่วนต่างๆ เมื่อคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต

หากอยู่ในส่วน [ a ; b ] ฟังก์ชัน u (x) และ v (x) ถูกกำหนดและต่อเนื่องกัน ดังนั้นอนุพันธ์อันดับหนึ่งของพวกมัน v " (x) · u (x) สามารถอินทิเกรตได้ ดังนั้นจากเซกเมนต์นี้สำหรับฟังก์ชันอินทิเกรต u " (x) · v ( x) ความเท่าเทียมกัน ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x เป็นจริง

สามารถใช้สูตรได้ มีความจำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัล ∫ a b f (x) d x และ ∫ f (x) d x จำเป็นต้องค้นหาโดยใช้อินทิกรัลทีละส่วน

ตัวอย่างที่ 5

คำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x

สารละลาย

ฟังก์ชัน x · sin x 3 + π 6 สามารถบูรณาการได้ในช่วงเวลา - π 2 ; 3 π 2 ซึ่งหมายความว่ามีความต่อเนื่อง

ให้ u (x) = x แล้ว d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x และ d (u (x)) = u " (x) d x = d x, และ v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . จากสูตร ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x เราได้มาว่า

∫ - π 2 3 π 2 x · บาป x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 บาป x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 บาป π 2 + π 6 - บาป - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีอื่น

ค้นหาเซตของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน x · sin x 3 + π 6 โดยใช้อินทิเกรตทีละส่วนโดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

∫ x · บาป x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = บาป x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 บาป x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x บาป x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 ซินคอส x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 ซิน - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

คำตอบ: ∫ x · บาป x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ให้ฟังก์ชันต่อเนื่อง f กำหนดไว้บนส่วนของแกน Ox สมมติว่าฟังก์ชันนี้ไม่เปลี่ยนเครื่องหมายตลอดทั้งส่วน

ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นลบบนเซกเมนต์หนึ่ง และ F คือแอนติเดริเวทีฟของมันบนเซ็กเมนต์นี้ พื้นที่ของเส้นโค้งรูปสี่เหลี่ยมคางหมู S จะเท่ากับการเพิ่มขึ้นของแอนติเดริเวทีฟในส่วนนี้

ทฤษฎีบทนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

ส = ฉ(ข) - ฉ(ก)

อินทิกรัลของฟังก์ชัน f(x) จาก a ถึง b จะเท่ากับ S ในที่นี้และต่อจากนี้ เพื่อแสดงถึงอินทิกรัลจำกัดจำนวนฟังก์ชัน f(x) โดยมีขีดจำกัดของอินทิกรัลจาก a ถึง b เราจะใช้ ตามสัญกรณ์ (a;b)∫f( x) ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างว่าจะมีลักษณะอย่างไร

สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

ซึ่งหมายความว่าเราสามารถเทียบผลลัพธ์ทั้งสองนี้ได้ เราได้: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) โดยมีเงื่อนไขว่า F เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน f on สูตรนี้มีชื่อว่า สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ- มันจะเป็นจริงสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ f ในช่วงเวลาหนึ่ง

สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซใช้ในการคำนวณอินทิกรัล ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

ตัวอย่างที่ 1: คำนวณอินทิกรัล ค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันจำนวนเต็ม x 2 . แอนติเดริเวทีฟตัวหนึ่งจะเป็นฟังก์ชัน (x 3)/3

ตอนนี้เราใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3

คำตอบ: (-1;2)∫x 2 dx = 3

ตัวอย่างที่ 2: คำนวณอินทิกรัล (0;pi)∫sin(x)dx

ค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชันจำนวนเต็ม sin(x) แอนติเดริเวทีฟตัวหนึ่งจะเป็นฟังก์ชัน -cos(x) ลองใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ:

(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2

คำตอบ: (0;pi)∫sin(x)dx=2

บางครั้ง เพื่อความเรียบง่ายและสะดวกในการบันทึก การเพิ่มฟังก์ชัน F บนเซ็กเมนต์ (F(b)-F(a)) จะถูกเขียนดังนี้:

การใช้สัญลักษณ์นี้เพื่อเพิ่มค่า สามารถเขียนสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซใหม่ได้ดังนี้:

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น นี่เป็นเพียงคำย่อเพื่อความสะดวกในการบันทึก; สัญกรณ์นี้และสูตร (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) จะเทียบเท่ากัน