ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมพื้นฐาน ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สมมติว่าจุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและตามหลังเต่าไปหนึ่งพันก้าว ในช่วงเวลาที่จุดอ่อนต้องใช้เพื่อวิ่งระยะนี้ เต่าจะคลานไปร้อยขั้นในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลีสวิ่งร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว ไปเรื่อยๆ กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อคิลลีสจะตามเต่าไม่ทัน
เหตุผลนี้สร้างความตกใจให้กับคนรุ่นต่อๆ ไป Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... พวกเขาทั้งหมดถือว่า Aporia ของ Zeno ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ช็อกหนักมากจน” ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่สามารถมีความเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้งได้ ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีการทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาปัญหานี้ ; ไม่มีวิธีใดที่กลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป..."[วิกิพีเดีย "Aporia ของ Zeno" ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงประกอบด้วยอะไร
จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ฉีโนใน Aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนจากปริมาณเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้แสดงถึงการใช้งานแทนที่จะเป็นแบบถาวร เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือไม่ได้นำไปใช้กับ Aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะตามปกติของเราจะนำเราเข้าสู่กับดัก เนื่องจากความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับค่าส่วนกลับ จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะเดินช้าลงจนกระทั่งหยุดสนิทในขณะที่ Achilles ตามทันเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถวิ่งเร็วกว่าเต่าได้อีกต่อไป
ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะตามปกติ ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ แต่ละส่วนต่อมาของเส้นทางของเขาจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะจึงน้อยกว่าครั้งก่อนถึงสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อนันต์" ในสถานการณ์นี้ ก็คงจะถูกต้องที่จะพูดว่า "อคิลลีสจะไล่ตามเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"
จะหลีกเลี่ยงกับดักเชิงตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนไปใช้หน่วยต่างตอบแทน ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:
ในเวลาที่อคิลลิสต้องวิ่งพันก้าว เต่าจะคลานไปในทิศทางเดียวกันนับร้อยขั้น ในช่วงเวลาถัดไปเท่ากับช่วงแรก อคิลลีสจะวิ่งอีกพันก้าว และเต่าจะคลานไปหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้อคิลลิสนำหน้าเต่าไปแปดร้อยก้าว
แนวทางนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งทางตรรกะใดๆ แต่นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจต้านทานได้นั้นคล้ายคลึงกับเรื่อง "Achilles and the Tortoise" ของ Zeno มาก เรายังต้องศึกษา คิดใหม่ และแก้ไขปัญหานี้ และต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาไม่ใช่ในจำนวนมากไม่สิ้นสุด แต่ต้องค้นหาในหน่วยการวัด
Aporia ที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของ Zeno เล่าเกี่ยวกับลูกศรบิน:
ลูกธนูที่บินอยู่นั้นไม่เคลื่อนที่ เนื่องจากมันจะอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา และเนื่องจากมันอยู่นิ่งทุกช่วงเวลา มันจึงอยู่นิ่งอยู่เสมอ
ใน aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะจะเอาชนะได้ง่ายมาก - ก็เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรที่บินอยู่จะหยุดนิ่ง ณ จุดต่าง ๆ ในอวกาศ ซึ่งในความเป็นจริงคือการเคลื่อนไหว ต้องสังเกตอีกประเด็นหนึ่งที่นี่ จากภาพถ่ายของรถยนต์คันหนึ่งบนท้องถนนไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวหรือระยะทางได้ ในการตรวจสอบว่ารถยนต์กำลังเคลื่อนที่อยู่หรือไม่ คุณต้องถ่ายภาพสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกันและเวลาที่ต่างกัน แต่คุณไม่สามารถระบุระยะห่างจากรถเหล่านั้นได้ ในการกำหนดระยะทางถึงรถยนต์คุณต้องมีภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่าง ๆ ในอวกาศ ณ จุดใดเวลาหนึ่ง แต่จากภาพถ่ายเหล่านี้คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนไหวได้ (แน่นอนว่าคุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณ ). สิ่งที่ฉันต้องการให้ความสนใจเป็นพิเศษคือจุดสองจุดในเวลาและสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสน เพราะมันให้โอกาสในการวิจัยที่แตกต่างกัน
วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2018
ความแตกต่างระหว่างชุดและหลายชุดมีการอธิบายไว้เป็นอย่างดีในวิกิพีเดีย มาดูกัน.
ดังที่คุณเห็นว่า “ในเซตหนึ่งจะมีองค์ประกอบที่เหมือนกันไม่ได้” แต่หากมีองค์ประกอบที่เหมือนกันในชุดหนึ่ง เซตดังกล่าวจะเรียกว่า “มัลติเซต” สิ่งมีชีวิตที่มีเหตุผลจะไม่มีวันเข้าใจตรรกะที่ไร้สาระเช่นนี้ นี่คือระดับของนกแก้วพูดได้และลิงฝึกหัดที่ไม่มีสติปัญญาจากคำว่า "สมบูรณ์" นักคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นผู้ฝึกสอนธรรมดาๆ โดยสั่งสอนแนวคิดที่ไร้สาระของพวกเขาให้เราฟัง
กาลครั้งหนึ่ง วิศวกรผู้สร้างสะพานอยู่ในเรือใต้สะพานขณะทดสอบสะพาน หากสะพานพัง วิศวกรธรรมดาๆ ก็เสียชีวิตภายใต้ซากปรักหักพังที่เขาสร้างขึ้น หากสะพานสามารถรับน้ำหนักได้ วิศวกรผู้มีความสามารถก็สร้างสะพานอื่นขึ้นมา
ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะซ่อนอยู่เบื้องหลังวลีที่ว่า "โปรดบอกฉันหน่อย ฉันอยู่ในบ้าน" หรือ "คณิตศาสตร์ศึกษาแนวคิดเชิงนามธรรม" อย่างไร มีสายสะดือเส้นหนึ่งที่เชื่อมโยงพวกเขากับความเป็นจริงอย่างแยกไม่ออก สายสะดือนี้คือเงิน ใช้งานได้ ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ให้กับนักคณิตศาสตร์เอง
เราเรียนคณิตศาสตร์มาเป็นอย่างดี และตอนนี้เรากำลังนั่งอยู่ที่เครื่องคิดเงิน แจกเงินเดือน นักคณิตศาสตร์คนหนึ่งมาหาเราเพื่อเงินของเขา เรานับจำนวนเงินทั้งหมดให้เขาแล้ววางลงบนโต๊ะของเราเป็นกองต่างๆ โดยเราใส่ธนบัตรที่มีสกุลเงินเดียวกัน จากนั้นเราจะหยิบบิลหนึ่งใบจากแต่ละกอง และมอบ "ชุดเงินเดือนทางคณิตศาสตร์" ให้กับนักคณิตศาสตร์ ให้เราอธิบายให้นักคณิตศาสตร์ฟังว่าเขาจะได้รับบิลที่เหลือก็ต่อเมื่อเขาพิสูจน์ว่าเซตที่ไม่มีสมาชิกเหมือนกันจะไม่เท่ากับเซตที่มีสมาชิกเหมือนกัน นี่คือจุดเริ่มต้นของความสนุก
ก่อนอื่น ตรรกะของเจ้าหน้าที่จะได้ผล: “สิ่งนี้ใช้ได้กับผู้อื่น แต่ไม่ใช่กับฉัน!” จากนั้นพวกเขาจะเริ่มทำให้เรามั่นใจว่าตั๋วเงินประเภทเดียวกันมีหมายเลขบิลที่แตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถพิจารณาว่าเป็นองค์ประกอบเดียวกันได้ เอาล่ะ เรามานับเงินเดือนเป็นเหรียญกันดีกว่า - ไม่มีตัวเลขบนเหรียญ ที่นี่นักคณิตศาสตร์จะเริ่มจดจำฟิสิกส์อย่างบ้าคลั่ง เหรียญแต่ละเหรียญมีจำนวนดินต่างกัน โครงสร้างผลึกและการจัดเรียงอะตอมไม่ซ้ำกันในแต่ละเหรียญ...
และตอนนี้ฉันมีคำถามที่น่าสนใจที่สุด: เส้นตรงที่องค์ประกอบของ multiset กลายเป็นองค์ประกอบของ set และในทางกลับกันอยู่ที่ไหน? ไม่มีเส้นดังกล่าว - ทุกอย่างถูกตัดสินโดยหมอผีวิทยาศาสตร์ไม่ได้ใกล้เคียงกับการโกหกที่นี่ด้วยซ้ำ
ดูนี่. เราคัดเลือกสนามฟุตบอลที่มีพื้นที่สนามเดียวกัน พื้นที่ในทุ่งเหมือนกัน - ซึ่งหมายความว่าเรามีชุดหลายชุด แต่ถ้าเราดูชื่อสนามเดียวกันนี้ เราจะได้หลายชื่อ เพราะชื่อต่างกัน อย่างที่คุณเห็น ชุดองค์ประกอบเดียวกันนั้นเป็นทั้งเซตและมัลติเซต ข้อไหนถูกต้อง? และที่นี่นักคณิตศาสตร์ - หมอผี - นักลับมีดก็ดึงแขนเสื้อของเขาออก ทรัมป์เอซและเริ่มบอกเราเกี่ยวกับเซตหรือมัลติเซต ไม่ว่าในกรณีใดเขาจะโน้มน้าวเราว่าเขาพูดถูก
เพื่อทำความเข้าใจว่าหมอผียุคใหม่ดำเนินการอย่างไรกับทฤษฎีเซตโดยเชื่อมโยงกับความเป็นจริงก็เพียงพอที่จะตอบคำถามหนึ่งข้อ: องค์ประกอบของชุดหนึ่งแตกต่างจากองค์ประกอบของชุดอื่นอย่างไร ฉันจะแสดงให้คุณเห็น โดยไม่มี "สิ่งที่เป็นไปได้ว่าไม่ใช่ทั้งหมดเดียว" หรือ "ไม่สามารถเป็นไปได้ในภาพรวมเดียว"
วันอาทิตย์ที่ 18 มีนาคม 2018
ผลรวมของตัวเลขคือการเต้นรำของหมอผีกับแทมบูรีนซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เลย ใช่ ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราสอนให้หาผลรวมของตัวเลขแล้วนำไปใช้ แต่นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นหมอผี เพื่อสอนทักษะและสติปัญญาแก่ลูกหลาน ไม่เช่นนั้นหมอผีก็จะตายไป
คุณต้องการหลักฐานหรือไม่? เปิด Wikipedia แล้วลองค้นหาหน้า "ผลรวมของตัวเลข" เธอไม่มีอยู่จริง ไม่มีสูตรในคณิตศาสตร์ที่สามารถใช้เพื่อค้นหาผลรวมของตัวเลขใดๆ ได้ ท้ายที่สุดแล้วตัวเลขคือสัญลักษณ์กราฟิกที่เราเขียนตัวเลขและในภาษาคณิตศาสตร์งานจะมีลักษณะดังนี้: "ค้นหาผลรวมของสัญลักษณ์กราฟิกที่แสดงถึงตัวเลขใดๆ" นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ แต่หมอผีสามารถทำได้ง่ายๆ
เรามาดูกันว่าเราทำอะไรและอย่างไรเพื่อหาผลรวมของตัวเลขที่กำหนด เอาล่ะ เรามีเลข 12345 กัน จะต้องทำอย่างไรจึงจะหาผลรวมของเลขตัวนี้ได้? พิจารณาขั้นตอนทั้งหมดตามลำดับ
1. เขียนหมายเลขลงบนกระดาษ เราทำอะไรไปแล้วบ้าง? เราได้แปลงตัวเลขให้เป็นสัญลักษณ์ตัวเลขแบบกราฟิก นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์
2. เราตัดรูปภาพผลลัพธ์หนึ่งรูปภาพออกเป็นหลายรูปภาพที่มีตัวเลขแต่ละตัว การตัดภาพไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์
3. แปลงสัญลักษณ์กราฟิกแต่ละรายการให้เป็นตัวเลข นี่ไม่ใช่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์
4. เพิ่มตัวเลขผลลัพธ์ ตอนนี้เป็นคณิตศาสตร์
ผลรวมของตัวเลข 12345 คือ 15 นี่คือ "หลักสูตรการตัดเย็บ" ที่สอนโดยหมอผีที่นักคณิตศาสตร์ใช้ แต่นั่นไม่ใช่ทั้งหมด
จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าเราจะเขียนตัวเลขในระบบตัวเลขใด ดังนั้นในระบบตัวเลขที่ต่างกันผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันจะต่างกัน ในทางคณิตศาสตร์ ระบบตัวเลขจะแสดงเป็นตัวห้อยทางด้านขวาของตัวเลข ด้วยตัวเลขขนาดใหญ่ 12345 ไม่อยากหลอกหัว ลองพิจารณาเลข 26 จากบทความเกี่ยวกับกันดู ลองเขียนตัวเลขนี้ในระบบเลขฐานสอง ฐานแปด ทศนิยม และเลขฐานสิบหก เราจะไม่มองทุกขั้นตอนด้วยกล้องจุลทรรศน์ แต่เราได้ทำไปแล้ว มาดูผลลัพธ์กันดีกว่า
อย่างที่คุณเห็น ในระบบตัวเลขที่ต่างกัน ผลรวมของตัวเลขของตัวเลขเดียวกันจะแตกต่างกัน ผลลัพธ์นี้ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ เหมือนกับว่าคุณกำหนดพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นเมตรและเซนติเมตร คุณจะได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง
ศูนย์มีลักษณะเหมือนกันในทุกระบบตัวเลขและไม่มีผลรวมของตัวเลข นี่เป็นอีกข้อโต้แย้งที่สนับสนุนความจริงที่ว่า คำถามสำหรับนักคณิตศาสตร์: สิ่งที่ไม่ใช่ตัวเลขที่กำหนดในคณิตศาสตร์เป็นอย่างไร? อะไรนะสำหรับนักคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรอยู่เลยนอกจากตัวเลข? ฉันสามารถอนุญาตให้หมอผีทำได้ แต่ไม่ใช่สำหรับนักวิทยาศาสตร์ ความจริงไม่ใช่แค่เกี่ยวกับตัวเลขเท่านั้น
ผลลัพธ์ที่ได้ควรถือเป็นข้อพิสูจน์ว่าระบบตัวเลขเป็นหน่วยวัดของตัวเลข ท้ายที่สุดแล้ว เราไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขกับหน่วยการวัดที่แตกต่างกันได้ หากการกระทำเดียวกันกับหน่วยการวัดปริมาณเดียวกันต่างกันนำไปสู่ ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันหลังจากเปรียบเทียบแล้ว แสดงว่ามันไม่เกี่ยวอะไรกับคณิตศาสตร์เลย
คณิตศาสตร์ที่แท้จริงคืออะไร? นี่คือเมื่อผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับขนาดของตัวเลข หน่วยการวัดที่ใช้ และผู้ที่ดำเนินการนี้
โอ้! นี่มันห้องน้ำหญิงไม่ใช่เหรอ?
- หญิงสาว! นี่คือห้องปฏิบัติการสำหรับศึกษาความบริสุทธิ์ของจิตวิญญาณที่ไม่สิ้นสุดระหว่างการขึ้นสู่สวรรค์! รัศมีอยู่ด้านบนและลูกศรขึ้น ห้องน้ำอะไรอีก?
หญิง... รัศมีบนและลูกศรล่างเป็นชาย
หากงานศิลปะการออกแบบดังกล่าวกะพริบต่อหน้าต่อตาคุณหลายครั้งต่อวัน
จึงไม่น่าแปลกใจที่คุณพบไอคอนแปลก ๆ ในรถของคุณ:
โดยส่วนตัวแล้วฉันพยายามเห็นลบสี่องศาในคนเซ่อ (ภาพเดียว) (องค์ประกอบของภาพหลายภาพ: เครื่องหมายลบ, หมายเลขสี่, การกำหนดองศา) และฉันไม่คิดว่าผู้หญิงคนนี้จะเป็นคนโง่ที่ไม่รู้ฟิสิกส์ เธอมีทัศนคติที่ชัดเจนในการรับรู้ภาพกราฟิก และนักคณิตศาสตร์ก็สอนเราเรื่องนี้ตลอดเวลา นี่คือตัวอย่าง
1A ไม่ใช่ "ลบสี่องศา" หรือ "หนึ่ง a" นี่คือ "คนขี้" หรือเลข "ยี่สิบหก" ในรูปแบบเลขฐานสิบหก คนเหล่านั้นที่ทำงานในระบบตัวเลขนี้อย่างต่อเนื่องจะรับรู้ตัวเลขและตัวอักษรเป็นสัญลักษณ์กราฟิกเดียวโดยอัตโนมัติ
ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)
ก่อนอื่น ฉันขอเตือนคุณถึงข้อสรุปง่ายๆ แต่มีประโยชน์มากจากบทเรียน “ไซน์และโคไซน์คืออะไร แทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออะไร”
นี่คือผลลัพธ์:
ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เชื่อมโยงกันอย่างแน่นหนากับมุมของมัน เรารู้สิ่งหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าเรารู้อีกอย่างหนึ่ง
กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละมุมจะมีไซน์และโคไซน์คงที่ของตัวเอง และเกือบทุกคนมีแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นของตัวเอง ทำไม เกือบ?เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ด้านล่าง
ความรู้นี้ช่วยได้มากในการศึกษาของคุณ! มีงานมากมายที่คุณต้องย้ายจากไซน์ไปยังมุมและในทางกลับกัน สำหรับสิ่งนี้ก็มี ตารางไซน์ในทำนองเดียวกัน สำหรับงานที่มีโคไซน์ - ตารางโคไซน์และอย่างที่คุณอาจเดาได้ก็มี ตารางแทนเจนต์และ ตารางโคแทนเจนต์)
ตารางจะแตกต่างกัน อันยาวๆ ที่คุณสามารถเห็นอะไร พูด sin37°6’ เท่ากับ เราเปิดตาราง Bradis มองหามุม 37 องศา 6 นาที แล้วเห็นค่า 0.6032 เห็นได้ชัดว่าไม่จำเป็นต้องจำตัวเลขนี้เลย (และค่าตารางอื่นๆ อีกหลายพันค่า)
ในความเป็นจริง ในยุคของเรา ตารางยาวของโคไซน์ ไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ไม่จำเป็นจริงๆ เครื่องคิดเลขที่ดีเครื่องหนึ่งจะแทนที่เครื่องคิดเลขเหล่านั้นได้อย่างสมบูรณ์ แต่การรู้เกี่ยวกับการมีอยู่ของตารางดังกล่าวก็ไม่เสียหาย เพื่อการศึกษาทั่วไป)
แล้วทำไมถึงเป็นบทเรียนนี้ล่ะ! - คุณถาม.
แต่ทำไม. ในบรรดามุมจำนวนอนันต์นั้นมีอยู่ พิเศษ,ซึ่งคุณควรรู้เกี่ยวกับ ทั้งหมด. เรขาคณิตและตรีโกณมิติของโรงเรียนทั้งหมดสร้างขึ้นจากมุมเหล่านี้ นี่คือ "ตารางสูตรคูณ" ของตรีโกณมิติ หากคุณไม่รู้ว่า sin50° เท่ากับอะไร เช่น จะไม่มีใครตัดสินคุณ) แต่ถ้าคุณไม่รู้ว่า sin30° เท่ากับอะไร ก็เตรียมรับสองสิ่งที่สมควรได้รับได้เลย...
เช่น พิเศษมุมยังค่อนข้างดี หนังสือเรียนของโรงเรียนมักจะเสนอการท่องจำ ตารางไซน์และตารางโคไซน์สิบเจ็ดมุม และแน่นอนว่า, ตารางแทนเจนต์และตารางโคแทนเจนต์สำหรับมุมสิบเจ็ดเดียวกัน... กล่าวคือ เสนอให้จำค่า 68 ค่า ซึ่งโดยวิธีการจะคล้ายกันมากซ้ำ ๆ กันและเปลี่ยนสัญญาณ สำหรับคนที่ไม่มีความจำการมองเห็นที่สมบูรณ์แบบ นี่ถือเป็นงานที่ค่อนข้างยาก...)
เราจะใช้เส้นทางอื่น มาแทนที่การท่องจำแบบท่องจำด้วยตรรกะและความเฉลียวฉลาดกันดีกว่า จากนั้นเราจะต้องจดจำค่า 3 (สาม!) สำหรับตารางไซน์และตารางโคไซน์ และค่า 3 (สาม!) สำหรับตารางแทนเจนต์และตารางโคแทนเจนต์ นั่นคือทั้งหมดที่ ค่าหกค่านั้นง่ายต่อการจดจำมากกว่า 68 สำหรับฉันดูเหมือนว่า...)
เราจะรับค่าที่จำเป็นอื่นๆ ทั้งหมดจากหกค่านี้โดยใช้เอกสารโกงทางกฎหมายที่มีประสิทธิภาพ - วงกลมตรีโกณมิติ ใครยังไม่ได้ศึกษาหัวข้อนี้ ตามลิงค์ไป อย่าเพิ่งขี้เกียจ วงกลมนี้ไม่จำเป็นสำหรับบทเรียนนี้เท่านั้น เขาไม่สามารถถูกแทนที่ได้ สำหรับตรีโกณมิติทั้งหมดในคราวเดียว. การไม่ใช้เครื่องมือดังกล่าวถือเป็นบาป! คุณไม่ต้องการ? นั่นคือธุรกิจของคุณ จดจำ ตารางไซน์ ตารางโคไซน์ ตารางแทนเจนต์ ตารางโคแทนเจนต์ทั้งหมด 68 ค่าสำหรับมุมต่างๆ)
เอาล่ะ มาเริ่มกันเลย ก่อนอื่น ให้แบ่งมุมพิเศษทั้งหมดนี้ออกเป็นสามกลุ่ม
มุมกลุ่มแรก
ลองพิจารณากลุ่มแรก สิบเจ็ดมุม พิเศษ. มี 5 มุม ได้แก่ 0°, 90°, 180°, 270°, 360°
นี่คือลักษณะของตารางไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์สำหรับมุมเหล่านี้:
มุม x
|
0 |
90 |
180 |
270 |
360 |
มุม x
|
0 |
||||
บาป x |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
เพราะ x |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
ทีจีเอ็กซ์ |
0 |
คำนาม |
0 |
คำนาม |
0 |
ซีทีจี x |
คำนาม |
0 |
คำนาม |
0 |
คำนาม |
ใครอยากจำก็จงจำ แต่ฉันจะบอกทันทีว่าค่าศูนย์และค่าศูนย์ทั้งหมดนี้สับสนในหัวมาก แข็งแกร่งกว่าที่คุณต้องการมาก) ดังนั้นเราจึงเปิดตรรกะและวงกลมตรีโกณมิติ
เราวาดวงกลมและทำเครื่องหมายมุมเดียวกันนี้: 0°, 90°, 180°, 270°, 360° ฉันทำเครื่องหมายมุมเหล่านี้ด้วยจุดสีแดง:
เห็นได้ทันทีว่ามุมเหล่านี้มีความพิเศษอย่างไร ใช่! เหล่านี้คือมุมที่ตก ตรงแกนพิกัด!จริงๆแล้วคนถึงสับสน...แต่เราจะไม่สับสน เรามาดูวิธีค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้โดยไม่ต้องท่องจำมากนัก
อีกอย่าง ตำแหน่งมุมคือ 0 องศา เกิดขึ้นพร้อมกันโดยสมบูรณ์ด้วยตำแหน่งมุม 360 องศา ซึ่งหมายความว่าไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้เหมือนกันทุกประการ ฉันทำเครื่องหมายมุม 360 องศาเพื่อทำให้วงกลมสมบูรณ์
สมมติว่าในสภาพแวดล้อมที่ตึงเครียดที่ยากลำบากของ Unified State Examination คุณคงสงสัย... ไซน์ของ 0 องศาเท่ากับเท่าใด? ดูเหมือนว่าจะเป็นศูนย์... ถ้าเป็นอันเดียวล่ะ?! การท่องจำเชิงกลเป็นเช่นนี้ ในสภาวะที่ไม่เอื้ออำนวย ความสงสัยเริ่มแทะ...)
ใจเย็นๆ ใจเย็นๆ!) ฉันจะบอกคุณ เทคนิคการปฏิบัติซึ่งจะให้คำตอบที่ถูกต้อง 100% และขจัดข้อสงสัยทั้งหมดอย่างสมบูรณ์
จากตัวอย่าง ลองหาวิธีระบุไซน์ของ 0 องศาได้อย่างชัดเจนและเชื่อถือได้ และในเวลาเดียวกัน โคไซน์ 0 มันอยู่ในค่าเหล่านี้ น่าแปลกที่ผู้คนมักจะสับสน
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วาดเป็นวงกลม โดยพลการมุม เอ็กซ์. ไตรมาสแรกอุณหภูมิใกล้ 0 องศา ให้เราทำเครื่องหมายไซน์และโคไซน์ของมุมนี้บนแกน เอ็กซ์,ทุกอย่างปกติดี. แบบนี้:
และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! มาลดมุมกันเถอะ เอ็กซ์ให้นำด้านที่เคลื่อนที่เข้าใกล้แกนมากขึ้น โอ้. วางเคอร์เซอร์เหนือรูปภาพ (หรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ต) แล้วคุณจะเห็นทุกสิ่ง
ตอนนี้เรามาเปิดตรรกะเบื้องต้นกันดีกว่า!ลองดูและคิดว่า: sinx มีพฤติกรรมอย่างไรเมื่อมุม x ลดลง เมื่อมุมเข้าใกล้ศูนย์?กำลังหดตัว! และ cosx เพิ่มขึ้น!ยังคงต้องค้นหาว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับไซน์เมื่อมุมพังทลายลงอย่างสมบูรณ์? เมื่อใดด้านที่เคลื่อนที่ของมุม (จุด A) ตกลงบนแกน OX และมุมจะเท่ากับศูนย์? แน่นอนว่าไซน์ของมุมจะเป็นศูนย์ และโคไซน์จะเพิ่มขึ้นเป็น... ถึง... ความยาวของด้านเคลื่อนที่ของมุม (รัศมีของวงกลมตรีโกณมิติ) เป็นเท่าใด? หนึ่ง!
นี่คือคำตอบ ไซน์ของ 0 องศาเท่ากับ 0 โคไซน์ของ 0 องศาเท่ากับ 1 แข็งแกร่งอย่างแน่นอนและไม่ต้องสงสัยเลย!) เพียงเพราะไม่อย่างนั้น มันเป็นไปไม่ได้.
ในทำนองเดียวกัน คุณสามารถค้นหา (หรือชี้แจง) ไซน์ของ 270 องศาได้ เป็นต้น หรือโคไซน์ 180 วาดวงกลม โดยพลการมุมในหนึ่งในสี่ถัดจากแกนพิกัดที่เราสนใจ ขยับด้านข้างของมุมในใจและเข้าใจว่าไซน์และโคไซน์จะกลายเป็นอะไรเมื่อด้านข้างของมุมตกบนแกน นั่นคือทั้งหมดที่
อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องจดจำสิ่งใดสำหรับมุมกลุ่มนี้ ไม่จำเป็นที่นี่ ตารางไซน์...ใช่และ ตารางโคไซน์- เช่นกัน) อย่างไรก็ตาม หลังจากใช้วงกลมตรีโกณมิติหลายครั้ง ค่าเหล่านี้ทั้งหมดจะถูกจดจำด้วยตัวเอง และถ้าพวกเขาลืม ฉันก็วาดวงกลมใน 5 วินาทีแล้วทำให้มันชัดเจน ง่ายกว่าโทรหาเพื่อนจากห้องน้ำแล้วเสี่ยงใบรับรองใช่ไหม?)
สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ทุกอย่างจะเหมือนกัน เราวาดเส้นแทนเจนต์ (โคแทนเจนต์) บนวงกลม - และทุกสิ่งจะมองเห็นได้ทันที โดยที่พวกมันมีค่าเท่ากับศูนย์ และไม่มีอยู่จริง อะไรที่คุณไม่รู้เกี่ยวกับเส้นแทนเจนต์และโคแทนเจนต์? เป็นเรื่องน่าเศร้า แต่แก้ไขได้) เราได้ไปที่มาตรา 555 แทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ - และก็ไม่มีปัญหา!
หากคุณรู้วิธีนิยามไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์สำหรับมุมทั้งห้านี้อย่างชัดเจนแล้ว ยินดีด้วย! ในกรณีที่ฉันแจ้งให้คุณทราบว่าตอนนี้คุณสามารถกำหนดฟังก์ชันได้แล้ว มุมใดๆ ที่ตกลงบนแกนและนี่คือ 450° และ 540° และ 1800° และอีกจำนวนไม่สิ้นสุด...) ฉันนับ (ถูกต้อง!) มุมบนวงกลม - และไม่มีปัญหากับฟังก์ชันต่างๆ
แต่การวัดมุมที่เกิดปัญหาและข้อผิดพลาดเกิดขึ้น... วิธีหลีกเลี่ยงมีเขียนไว้ในบทเรียน: วิธีวาด (นับ) มุมใด ๆ บนวงกลมตรีโกณมิติเป็นองศา ระดับประถมศึกษา แต่มีประโยชน์มากในการต่อสู้กับข้อผิดพลาด)
นี่คือบทเรียน: วิธีวาด (วัด) มุมใด ๆ บนวงกลมตรีโกณมิติเป็นเรเดียน - มันจะเย็นกว่า ในแง่ของความเป็นไปได้ สมมติว่า กำหนดว่ามุมตกอยู่ที่กึ่งแกนใดในสี่แกน
คุณสามารถทำได้ภายในไม่กี่วินาที ฉันไม่ได้ล้อเล่น! เพียงไม่กี่วินาที แน่นอนว่าไม่ใช่แค่ 345 ไพ...) และ 121 และ 16 และ -1345 ค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มใดๆ จะเหมาะสมสำหรับคำตอบทันที
และถ้าเป็นมุม
แค่คิด! จะได้คำตอบที่ถูกต้องภายใน 10 วินาที สำหรับค่าเศษส่วนใดๆ ของเรเดียนที่มีสองอยู่ในตัวส่วน
จริงๆ แล้ว นี่คือสิ่งที่ดีเกี่ยวกับวงกลมตรีโกณมิติ เพราะความสามารถในการทำงานด้วย บางมุมที่จะขยายโดยอัตโนมัติ ชุดอนันต์ มุม
ดังนั้นเราจึงแยกห้ามุมจากสิบเจ็ดแล้ว
มุมกลุ่มที่สอง
มุมกลุ่มถัดไปคือมุม 30°, 45° และ 60° เหตุใดจึงเป็นเช่นนี้และไม่ใช่เช่น 20, 50 และ 80 ใช่ มันกลับกลายเป็นแบบนี้... ในอดีต) ต่อไปจะเห็นว่าทำไมมุมเหล่านี้ถึงดี
ตารางไซน์โคไซน์แทนเจนต์โคแทนเจนต์สำหรับมุมเหล่านี้มีลักษณะดังนี้:
มุม x
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
มุม x
|
0 |
||||
บาป x |
0 |
1 |
|||
เพราะ x |
1 |
0 |
|||
ทีจีเอ็กซ์ |
0 |
1 |
คำนาม |
||
ซีทีจี x |
คำนาม |
1 |
0 |
ฉันทิ้งค่า 0° และ 90° ไว้จากตารางก่อนหน้าเพื่อให้ภาพสมบูรณ์) เพื่อให้คุณเห็นว่ามุมเหล่านี้อยู่ในไตรมาสแรกและเพิ่มขึ้น ตั้งแต่ 0 ถึง 90 สิ่งนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับเราในภายหลัง
ต้องจำค่าตารางสำหรับมุม 30°, 45° และ 60° จดจำไว้ถ้าคุณต้องการ แต่ที่นี่ก็มีโอกาสที่จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นเช่นกัน) โปรดใส่ใจ ค่าตารางไซน์มุมเหล่านี้ และเปรียบเทียบด้วย ค่าตารางโคไซน์...
ใช่! พวกเขา เดียวกัน!แค่จัดเรียงกลับกัน มุมเพิ่มขึ้น (0, 30, 45, 60, 90) - และค่าไซน์ เพิ่มขึ้นจาก 0 ถึง 1 คุณสามารถตรวจสอบด้วยเครื่องคิดเลข และค่าโคไซน์ก็คือ กำลังลดลงจาก 1 ถึงศูนย์ อีกทั้งคุณค่านั้นเองด้วย เดียวกัน.สำหรับมุม 20, 50, 80 สิ่งนี้จะไม่ทำงาน...
นี่เป็นข้อสรุปที่เป็นประโยชน์ เพียงพอที่จะเรียนรู้ สามค่าสำหรับมุม 30, 45, 60 องศา และจำไว้ว่าสำหรับไซน์พวกมันเพิ่มขึ้น และสำหรับโคไซน์มันลดลง ไปทางไซน์) ทั้งสองพบกันครึ่งทาง (45°) นั่นคือไซน์ของ 45 องศาเท่ากับโคไซน์ของ 45 องศา แล้วก็แยกทางกันอีกครั้ง...สามารถเรียนรู้ได้สามความหมายใช่ไหม?
ด้วยแทนเจนต์ - โคแทนเจนต์ รูปภาพจะเหมือนกันทุกประการ หนึ่งต่อหนึ่ง. ต่างกันแค่ความหมายเท่านั้น จำเป็นต้องเรียนรู้ค่าเหล่านี้ (อีกสามข้อ!)
การท่องจำเกือบทั้งหมดจบลงแล้ว คุณ (หวังว่า) จะเข้าใจวิธีกำหนดค่าของมุมทั้งห้าที่ตกลงบนแกนและเรียนรู้ค่าของมุม 30, 45, 60 องศา รวม 8.
ยังคงต้องรับมือกับ 9 ลูกเตะมุมกลุ่มสุดท้าย
เหล่านี้คือมุม:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330° สำหรับมุมเหล่านี้ คุณต้องรู้ตารางไซน์ ตารางโคไซน์ ฯลฯ
ฝันร้ายใช่ไหม?)
และถ้าคุณเพิ่มมุมที่นี่ เช่น 405°, 600° หรือ 3000° และอีกหลายมุมที่สวยงามไม่แพ้กัน?)
หรือมุมเป็นเรเดียน? ตัวอย่างเช่น เกี่ยวกับมุม:
และอีกมากมายที่คุณควรรู้ ทั้งหมด.
สิ่งที่ตลกที่สุดคือการรู้สิ่งนี้ ทั้งหมด - เป็นไปไม่ได้ตามหลักการหากคุณใช้หน่วยความจำเชิงกล
และมันง่ายมาก จริงๆ แล้วในระดับประถมศึกษา - ถ้าคุณใช้วงกลมตรีโกณมิติ เมื่อคุณคุ้นเคยกับการใช้วงกลมตรีโกณมิติแล้ว มุมที่น่ากลัวในหน่วยองศาทั้งหมดก็สามารถลดให้เหลือมุมที่ล้าสมัยได้อย่างง่ายดายและสวยงาม:
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
ในบทความนี้เราจะเข้าใจอย่างถ่องแท้ว่ามันเป็นอย่างไร โต๊ะ ค่าตรีโกณมิติ, ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์. ลองพิจารณาความหมายพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากมุม 0,30,45,60,90,...,360 องศากัน มาดูวิธีใช้ตารางเหล่านี้ในการคำนวณค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติกัน
ก่อนอื่นเรามาดูกันดีกว่า ตารางโคไซน์ ไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์จากมุม 0, 30, 45, 60, 90,... องศา คำจำกัดความของปริมาณเหล่านี้ช่วยให้เราสามารถกำหนดค่าฟังก์ชันของมุม 0 และ 90 องศาได้:
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, โคแทนเจนต์จาก 00 จะไม่ถูกกำหนดไว้
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, แทนเจนต์จาก 90 0 จะไม่แน่นอน
หากคุณหารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมตั้งแต่ 30 ถึง 90 องศา เราได้รับ:
บาป 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
บาป 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, ตาล 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
บาป 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, เปล 60 0 = √3/3
ให้เราแสดงค่าที่ได้รับทั้งหมดในรูปแบบ ตารางตรีโกณมิติ:
ตารางไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์!
หากเราใช้สูตรลดตารางของเราจะเพิ่มขึ้นโดยบวกค่ามุมได้มากถึง 360 องศา มันจะมีลักษณะดังนี้:
นอกจากนี้ ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของคาบ ตารางสามารถเพิ่มขึ้นได้หากเราแทนที่มุมด้วย 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z โดยที่ z เป็นจำนวนเต็ม ในตารางนี้ สามารถคำนวณค่าของมุมทั้งหมดที่สอดคล้องกับจุดในวงกลมเดียวได้
มาดูวิธีใช้ตารางในการแก้ปัญหากัน
ทุกอย่างง่ายมาก เนื่องจากค่าที่เราต้องการอยู่ที่จุดตัดของเซลล์ที่เราต้องการ ตัวอย่างเช่น หา cos ของมุม 60 องศา ในตารางจะมีลักษณะดังนี้:
ในตารางสุดท้ายของค่าหลักของฟังก์ชันตรีโกณมิติเราดำเนินการในลักษณะเดียวกัน แต่ในตารางนี้เป็นไปได้ที่จะหาว่าแทนเจนต์จากมุม 1,020 องศาเป็นเท่าใด = -√3 ลองตรวจสอบ 1,020 0 = 300 0 +360 0 *2 ลองหามันโดยใช้ตาราง
โต๊ะแบรดิส. สำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์
ตาราง Bradis แบ่งออกเป็นหลายส่วน ประกอบด้วยตารางโคไซน์และไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ ซึ่งแบ่งออกเป็นสองส่วน (tg ของมุมสูงถึง 90 องศา และ ctg ของมุมเล็ก)
ไซน์และโคไซน์
tg ของมุมเริ่มต้นจาก 00 ลงท้ายด้วย 760, ctg ของมุมที่เริ่มต้นด้วย 140 ลงท้ายด้วย 900
tg สูงถึง 900 และ ctg ของมุมเล็ก ๆ
มาดูวิธีใช้ตาราง Bradis ในการแก้ปัญหากัน
ลองหาการกำหนดบาป (การกำหนดในคอลัมน์ที่ขอบด้านซ้าย) 42 นาที (การกำหนดอยู่บนบรรทัดบนสุด) จากทางแยกเรามองหาการกำหนด = 0.3040
ค่านาทีจะแสดงด้วยช่วงเวลาหกนาที จะทำอย่างไรถ้าค่าที่เราต้องการอยู่ในช่วงเวลานี้พอดี ขอเวลา 44 นาที แต่ในตารางมีเพียง 42 เราเอา 42 เป็นพื้นฐานแล้วใช้คอลัมน์เพิ่มเติมทางด้านขวา ทำการแก้ไขครั้งที่ 2 แล้วบวกกับ 0.3040 + 0.0006 เราได้ 0.3046
สำหรับ sin 47 นาที เราใช้เวลา 48 นาทีเป็นพื้นฐาน และลบ 1 การแก้ไขออก เช่น 0.3057 - 0.0003 = 0.3054
เมื่อคำนวณ cos เราก็ทำงานคล้ายกับ sin เพียงแต่เราใช้แถวล่างสุดของตารางเป็นพื้นฐาน เช่น cos 20 0 = 0.9397
ค่าของมุม tg สูงถึง 90 0 และมุมเตียงเล็กนั้นถูกต้องและไม่มีการแก้ไข เช่น หา tg 78 0 37min = 4.967 
และ CTG 20 0 13 นาที = 25.83 
เราได้ดูรายการหลักแล้ว ตารางตรีโกณมิติ. เราหวังว่าข้อมูลนี้จะเป็นประโยชน์กับคุณอย่างยิ่ง หากคุณมีคำถามใด ๆ เกี่ยวกับตารางอย่าลืมเขียนไว้ในความคิดเห็น!
หมายเหตุ: กันชนผนังเป็นแผ่นกันชนสำหรับปกป้องผนัง ตามลิงค์ กันชนติดผนังไร้กรอบ (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) และค้นหาข้อมูลเพิ่มเติม
ตรีโกณมิติเป็นวิทยาศาสตร์ที่มีต้นกำเนิดในตะวันออกโบราณ อันดับแรก อัตราส่วนตรีโกณมิติได้รับการพัฒนาโดยนักดาราศาสตร์เพื่อสร้างปฏิทินที่แม่นยำและนำทางโดยดวงดาว การคำนวณเหล่านี้เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติทรงกลม ในขณะที่ในหลักสูตรของโรงเรียน การคำนวณเหล่านี้จะศึกษาอัตราส่วนของด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมระนาบ
ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติและความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม
ในช่วงรุ่งเรืองของวัฒนธรรมและวิทยาศาสตร์ในคริสต์สหัสวรรษที่ 1 ความรู้แพร่กระจายมาจาก ตะวันออกโบราณถึงกรีซ แต่การค้นพบตรีโกณมิติที่สำคัญคือข้อดีของคนในศาสนาอิสลามแห่งอาหรับ โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักวิทยาศาสตร์ชาวเติร์กเมนิสถานอัล-มาราซวีได้แนะนำฟังก์ชันต่างๆ เช่น แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ และรวบรวมตารางค่าแรกสำหรับไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ แนวคิดเรื่องไซน์และโคไซน์ได้รับการแนะนำโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย ตรีโกณมิติได้รับความสนใจอย่างมากในผลงานของบุคคลสำคัญในสมัยโบราณเช่น Euclid, Archimedes และ Eratosthenes
ปริมาณพื้นฐานของตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ แต่ละคนมีกราฟของตัวเอง: ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์
สูตรในการคำนวณค่าของปริมาณเหล่านี้จะขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส เด็กนักเรียนเป็นที่รู้จักกันดีในสูตร: "กางเกงพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันในทุกทิศทาง" เนื่องจากการพิสูจน์ให้ไว้โดยใช้ตัวอย่างของสามเหลี่ยมหน้าจั่วหน้าจั่ว
ความสัมพันธ์ไซน์ โคไซน์ และความสัมพันธ์อื่นๆ สร้างความสัมพันธ์ระหว่างมุมแหลมและด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ ให้เรานำเสนอสูตรสำหรับการคำนวณปริมาณเหล่านี้สำหรับมุม A และติดตามความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
อย่างที่คุณเห็น tg และ ctg เป็นฟังก์ชันผกผัน ถ้าเราจินตนาการว่าขา a เป็นผลคูณของ sin A และด้านตรงข้ามมุมฉาก c และขา b เป็น cos A * c เราจะได้ สูตรต่อไปนี้สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:
วงกลมตรีโกณมิติ
ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณดังกล่าวสามารถแสดงได้ดังนี้:
ในกรณีนี้ วงกลมแสดงถึงค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของมุม α - ตั้งแต่ 0° ถึง 360° ดังที่เห็นจากรูป แต่ละฟังก์ชันจะใช้ค่าลบหรือบวกขึ้นอยู่กับมุม ตัวอย่างเช่น sin α จะมีเครื่องหมาย "+" หาก α อยู่ในควอเตอร์ที่ 1 และ 2 ของวงกลม นั่นคือ มันอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0° ถึง 180° สำหรับ α ตั้งแต่ 180° ถึง 360° (ไตรมาส III และ IV) sin α สามารถเป็นค่าลบได้เท่านั้น
เรามาลองสร้างตารางตรีโกณมิติสำหรับมุมเฉพาะและค้นหาความหมายของปริมาณกัน
ค่า α เท่ากับ 30°, 45°, 60°, 90°, 180° และอื่นๆ เรียกว่ากรณีพิเศษ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับฟังก์ชันเหล่านี้จะถูกคำนวณและนำเสนอในรูปแบบของตารางพิเศษ
มุมเหล่านี้ไม่ได้ถูกเลือกโดยการสุ่ม คำว่า π ในตารางเป็นชื่อเรเดียน แรดคือมุมที่ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมสอดคล้องกับรัศมี ค่านี้ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างการพึ่งพาสากลเมื่อคำนวณเป็นเรเดียนความยาวจริงของรัศมีเป็นซม. ไม่สำคัญ
มุมในตารางสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติสอดคล้องกับค่าเรเดียน:
ดังนั้น จึงไม่ยากที่จะเดาว่า 2π เป็นวงกลมที่สมบูรณ์หรือ 360°
คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์และโคไซน์
ในการพิจารณาและเปรียบเทียบคุณสมบัติพื้นฐานของไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ จำเป็นต้องวาดฟังก์ชันของพวกมัน ซึ่งสามารถทำได้ในรูปแบบของเส้นโค้งที่อยู่ในระบบพิกัดสองมิติ
พิจารณาตารางเปรียบเทียบคุณสมบัติของไซน์และโคไซน์:
| คลื่นไซน์ | โคไซน์ |
|---|---|
| y = บาปx | y = cos x |
| โอดีแซด [-1; 1] | โอดีแซด [-1; 1] |
| บาป x = 0 สำหรับ x = πk โดยที่ k ϵ Z | cos x = 0 สำหรับ x = π/2 + πk โดยที่ k ϵ Z |
| sin x = 1 สำหรับ x = π/2 + 2πk โดยที่ k ϵ Z | cos x = 1 ที่ x = 2πk โดยที่ k ϵ Z |
| sin x = - 1 ที่ x = 3π/2 + 2πk โดยที่ k ϵ Z | cos x = - 1 สำหรับ x = π + 2πk โดยที่ k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x นั่นคือฟังก์ชันเป็นเลขคี่ | cos (-x) = cos x นั่นคือฟังก์ชันเป็นเลขคู่ |
| ฟังก์ชันเป็นแบบคาบ คาบที่เล็กที่สุดคือ 2π | |
| sin x › 0 โดยที่ x อยู่ในควอเตอร์ที่ 1 และ 2 หรือตั้งแต่ 0° ถึง 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0 โดยที่ x อยู่ในควอเตอร์ I และ IV หรือตั้งแต่ 270° ถึง 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0 โดยที่ x อยู่ในควอเตอร์ที่สามและสี่ หรือตั้งแต่ 180° ถึง 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0 โดยที่ x อยู่ในควอเตอร์ที่ 2 และ 3 หรือตั้งแต่ 90° ถึง 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา [-π + 2πk, 2πk] |
| ลดลงในช่วงเวลา [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | ลดลงตามช่วงเวลา |
| อนุพันธ์ (บาป x)’ = cos x | อนุพันธ์ (cos x)’ = - sin x |
การพิจารณาว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่หรือไม่นั้นง่ายมาก ก็เพียงพอแล้วที่จะจินตนาการถึงวงกลมตรีโกณมิติที่มีสัญลักษณ์ของปริมาณตรีโกณมิติและ "พับ" กราฟทางจิตใจที่สัมพันธ์กับแกน OX ถ้าสัญญาณตรงกัน ฟังก์ชันจะเป็นเลขคู่ ไม่เช่นนั้นจะเป็นเลขคี่
การแนะนำเรเดียนและการแสดงรายการคุณสมบัติพื้นฐานของคลื่นไซน์และโคไซน์ทำให้เราสามารถนำเสนอรูปแบบต่อไปนี้:
มันง่ายมากที่จะตรวจสอบว่าสูตรถูกต้อง ตัวอย่างเช่น สำหรับ x = π/2 ไซน์คือ 1 เช่นเดียวกับโคไซน์ของ x = 0 การตรวจสอบสามารถทำได้โดยการปรึกษาตารางหรือโดยการติดตามเส้นโค้งของฟังก์ชันสำหรับค่าที่กำหนด
คุณสมบัติของแทนเจนต์ซอยด์และโคแทนเจนต์ซอยด์
กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ ค่า tg และ ctg เป็นส่วนกลับของกันและกัน
- Y = สีแทน x
- แทนเจนต์มีแนวโน้มที่จะมีค่า y ที่ x = π/2 + πk แต่ไม่เคยไปถึงค่าเหล่านั้น
- คาบบวกที่น้อยที่สุดของแทนเจนตอยด์คือ π
- Tg (- x) = - tg x เช่น ฟังก์ชันเป็นเลขคี่
- Tg x = 0 สำหรับ x = πk
- ฟังก์ชั่นกำลังเพิ่มขึ้น
- Tg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
- Tg x ‹ 0 สำหรับ x ϵ (— π/2 + πk, πk)
- อนุพันธ์ (tg x)’ = 1/cos 2 x
พิจารณาภาพกราฟิกของโคแทนเจนตอยด์ด้านล่างในข้อความ
คุณสมบัติหลักของโคแทนเจนตอยด์:
- Y = เปล x
- ต่างจากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ในแทนเจนต์อยด์ Y สามารถใช้ค่าของเซตของจำนวนจริงทั้งหมดได้
- โคแทนเจนตอยด์มีแนวโน้มที่จะมีค่า y ที่ x = πk แต่ไม่เคยไปถึงค่าเหล่านั้น
- คาบบวกที่น้อยที่สุดของโคแทนเจนตอยด์คือ π
- Ctg (- x) = - ctg x นั่นคือฟังก์ชันเป็นเลขคี่
- CTG x = 0 สำหรับ x = π/2 + πk
- ฟังก์ชันกำลังลดลง
- Ctg x › 0 สำหรับ x ϵ (πk, π/2 + πk)
- Ctg x ‹ 0, สำหรับ x ϵ (π/2 + πk, πk)
- อนุพันธ์ (ctg x)’ = - 1/sin 2 x ถูกต้อง
