ทำไมเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูจึงขนานกับฐาน? จำและใช้คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู
ในบทความนี้เราจะพยายามสะท้อนคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูให้ครบถ้วนที่สุด โดยเฉพาะเราจะมาพูดถึง สัญญาณทั่วไปและคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมู เช่นเดียวกับคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกจารึกไว้ และเกี่ยวกับวงกลมที่จารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู เราจะพูดถึงคุณสมบัติของหน้าจั่วและสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมด้วย
ตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้คุณสมบัติที่กล่าวถึงจะช่วยให้คุณจัดเรียงปัญหาลงในหัวและจดจำเนื้อหาได้ดีขึ้น
ราวสำหรับออกกำลังกายและทั้งหมดทั้งหมด
ขั้นแรก ให้เรานึกถึงสั้น ๆ ว่าสี่เหลี่ยมคางหมูคืออะไรและมีแนวคิดอื่นใดที่เกี่ยวข้องกับมัน
ดังนั้น สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ซึ่งมีด้านสองด้านขนานกัน (นี่คือฐาน) และทั้งสองไม่ขนานกัน - นี่คือด้านข้าง
ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถลดความสูงลงได้ - ตั้งฉากกับฐาน มีการวาดเส้นกึ่งกลางและเส้นทแยงมุม นอกจากนี้ยังสามารถวาดเส้นแบ่งครึ่งจากมุมใดก็ได้ของสี่เหลี่ยมคางหมู
ตอนนี้เราจะพูดถึงคุณสมบัติต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบเหล่านี้และชุดค่าผสมของมัน
คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมู
เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้นในขณะที่คุณกำลังอ่านหนังสือ ให้ร่าง ACME สี่เหลี่ยมคางหมูบนกระดาษแล้ววาดเส้นทแยงมุมลงไป
- หากคุณพบจุดกึ่งกลางของแต่ละเส้นทแยงมุม (เรียกจุดเหล่านี้ว่า X และ T) แล้วเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน คุณจะได้ส่วน คุณสมบัติอย่างหนึ่งของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูคือส่วน HT อยู่บนเส้นกึ่งกลาง และความยาวของมันสามารถหาได้โดยการหารผลต่างของฐานด้วยสอง: HT = (ก – ข)/2.
- ตรงหน้าเราคือ ACME สี่เหลี่ยมคางหมูแบบเดียวกัน เส้นทแยงมุมตัดกันที่จุด O ลองดูสามเหลี่ยม AOE และ MOK ที่เกิดขึ้นจากส่วนของเส้นทแยงมุมพร้อมกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู สามเหลี่ยมเหล่านี้คล้ายกัน ค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึง k ของรูปสามเหลี่ยมแสดงผ่านอัตราส่วนของฐานของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู: k = AE/กม.
อัตราส่วนของพื้นที่สามเหลี่ยม AOE และ MOK อธิบายโดยสัมประสิทธิ์ k 2 . - สี่เหลี่ยมคางหมูเดียวกันซึ่งมีเส้นทแยงมุมเดียวกันตัดกันที่จุด O เฉพาะคราวนี้เราจะพิจารณาสามเหลี่ยมที่ส่วนของเส้นทแยงมุมประกอบขึ้นพร้อมกับด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู พื้นที่ของสามเหลี่ยม AKO และ EMO มีขนาดเท่ากัน - พื้นที่เท่ากัน
- คุณสมบัติอีกประการหนึ่งของสี่เหลี่ยมคางหมูเกี่ยวข้องกับการสร้างเส้นทแยงมุม ดังนั้น หากคุณเดินต่อไปยังด้านข้างของ AK และ ME ในทิศทางของฐานที่เล็กกว่า ไม่ช้าก็เร็ว ทั้งสองจะตัดกันที่จุดใดจุดหนึ่ง จากนั้นให้ลากเส้นตรงผ่านตรงกลางฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ตัดกันฐานที่จุด X และ T
หากตอนนี้เราขยายเส้น XT ออกไป มันจะเชื่อมต่อจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู O ซึ่งเป็นจุดที่ส่วนขยายของด้านข้างและตรงกลางของฐาน X และ T ตัดกัน - ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุม เราจะวาดส่วนที่จะเชื่อมต่อฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู (T อยู่บนฐาน KM ที่เล็กกว่า, X บน AE ที่ใหญ่กว่า) จุดตัดของเส้นทแยงมุมแบ่งส่วนนี้ตามอัตราส่วนต่อไปนี้: ถึง/OX = กม./AE.
- ตอนนี้ผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุม เราจะวาดส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู (a และ b) จุดตัดจะแบ่งเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน คุณสามารถหาความยาวของส่วนได้โดยใช้สูตร 2ab/(ก + ข).
คุณสมบัติของเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู
วาดเส้นกลางในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐาน
- ความยาวของเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถคำนวณได้โดยการเพิ่มความยาวของฐานแล้วหารครึ่งหนึ่ง: ม. = (ก + ข)/2.
- หากคุณวาดส่วนใดๆ (เช่น ความสูง) ผ่านฐานทั้งสองของสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นกลางจะแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน
คุณสมบัติ Bisector สี่เหลี่ยมคางหมู
เลือกมุมใดก็ได้ของสี่เหลี่ยมคางหมูแล้ววาดเส้นแบ่งครึ่ง ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณามุม KAE ของ ACME สี่เหลี่ยมคางหมูของเรา เมื่อเสร็จสิ้นการก่อสร้างด้วยตัวเองแล้ว คุณสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าเส้นแบ่งครึ่งตัดออกจากฐาน (หรือต่อเนื่องเป็นเส้นตรงด้านนอกร่าง) ส่วนที่มีความยาวเท่ากับด้านข้าง
คุณสมบัติของมุมสี่เหลี่ยมคางหมู
- ไม่ว่ามุมสองคู่ใดที่อยู่ติดกับด้านที่คุณเลือก ผลรวมของมุมในคู่นั้นจะเท่ากับ 180 0 เสมอ: α + β = 180 0 และ γ + δ = 180 0
- ลองเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูกับส่วน TX ทีนี้ลองดูมุมที่ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู หากผลรวมของมุมสำหรับมุมใดมุมหนึ่งคือ 90 0 ความยาวของส่วน TX สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายโดยพิจารณาจากความแตกต่างของความยาวของฐานโดยแบ่งออกเป็นครึ่งหนึ่ง: เท็กซัส = (AE – กม.)/2.
- ถ้าลากเส้นขนานผ่านด้านข้างของมุมสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นเหล่านี้จะแบ่งด้านข้างของมุมออกเป็นส่วนตามสัดส่วน
คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว (ด้านเท่ากันหมด)
- ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว มุมที่ฐานใดๆ จะเท่ากัน
- ตอนนี้สร้างสี่เหลี่ยมคางหมูอีกครั้งเพื่อให้ง่ายต่อการจินตนาการว่าเรากำลังพูดถึงอะไร ดูที่ฐาน AE อย่างละเอียด - จุดยอดของฐานตรงข้าม M ถูกฉายไปยังจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นที่มี AE ระยะห่างจากจุดยอด A ถึงจุดฉายภาพของจุดยอด M และเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วนั้นเท่ากัน
- คำสองสามคำเกี่ยวกับคุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว - ความยาวเท่ากัน และมุมเอียงของเส้นทแยงมุมเหล่านี้กับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูก็เหมือนกัน
- วงกลมสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเท่านั้นที่สามารถอธิบายได้ เนื่องจากผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ 180 0 - เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับสิ่งนี้.
- คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วตามมาจากย่อหน้าที่แล้ว - ถ้าวงกลมสามารถอธิบายได้ใกล้กับสี่เหลี่ยมคางหมู วงกลมนั้นก็คือหน้าจั่ว
- จากคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วตามคุณสมบัติของความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู: ถ้าเส้นทแยงมุมของมันตัดกันที่มุมฉากความยาวของความสูงจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของฐาน: ชั่วโมง = (ก + ข)/2.
- อีกครั้ง วาดส่วน TX ผ่านจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู - ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วจะตั้งฉากกับฐาน และในเวลาเดียวกัน TX ก็คือแกนสมมาตรของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว
- คราวนี้ ลดความสูงจากจุดยอดตรงข้ามของสี่เหลี่ยมคางหมูลงบนฐานที่ใหญ่กว่า (เรียกว่า a) คุณจะได้รับสองส่วน ความยาวของด้านหนึ่งสามารถพบได้หากเพิ่มความยาวของฐานและแบ่งครึ่ง: (ก + ข)/2. เราได้อันที่สองเมื่อเราลบอันที่เล็กกว่าออกจากฐานที่ใหญ่กว่าแล้วหารผลต่างผลลัพธ์ด้วยสอง: (ก – ข)/2.
คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกจารึกไว้ในวงกลม
เนื่องจากเรากำลังพูดถึงสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกจารึกไว้ในวงกลมอยู่แล้ว เรามาดูรายละเอียดเพิ่มเติมในประเด็นนี้กันดีกว่า โดยเฉพาะบริเวณที่ศูนย์กลางของวงกลมสัมพันธ์กับสี่เหลี่ยมคางหมู ขอแนะนำให้คุณใช้เวลาหยิบดินสอขึ้นมาวาดสิ่งที่จะกล่าวถึงด้านล่างนี้ด้วย วิธีนี้จะทำให้คุณเข้าใจเร็วขึ้นและจดจำได้ดีขึ้น
- ตำแหน่งของศูนย์กลางของวงกลมถูกกำหนดโดยมุมเอียงของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูไปทางด้านข้าง ตัวอย่างเช่น เส้นทแยงมุมอาจขยายจากด้านบนของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นมุมฉากไปด้านข้าง ในกรณีนี้ ฐานที่ใหญ่กว่าจะตัดศูนย์กลางของเส้นรอบวงที่อยู่ตรงกลางพอดี (R = ½AE)
- เส้นทแยงมุมและด้านข้างสามารถบรรจบกันในมุมแหลมได้ ดังนั้นจุดศูนย์กลางของวงกลมจะอยู่ภายในสี่เหลี่ยมคางหมู
- ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตไว้อาจอยู่นอกสี่เหลี่ยมคางหมู เลยฐานที่ใหญ่กว่า ถ้ามีมุมป้านระหว่างเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูกับด้านข้าง
- มุมที่เกิดจากเส้นทแยงมุมและฐานขนาดใหญ่ของสี่เหลี่ยมคางหมู ACME (มุมที่ถูกจารึกไว้) คือครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกับมัน: แม่ = ½MOE.
- สั้นๆ เกี่ยวกับสองวิธีในการค้นหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ วิธีที่หนึ่ง: ดูภาพวาดของคุณอย่างละเอียด - คุณเห็นอะไร คุณจะสังเกตเห็นได้ง่ายว่าเส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป รัศมีหาได้จากอัตราส่วนของด้านข้างของสามเหลี่ยมต่อไซน์ของมุมตรงข้าม คูณด้วย 2 ตัวอย่างเช่น, R = AE/2*sinAME. ในทำนองเดียวกัน สามารถเขียนสูตรสำหรับด้านใดก็ได้ของสามเหลี่ยมทั้งสอง
- วิธีที่สอง: ค้นหารัศมีของวงกลมที่จำกัดขอบเขตผ่านพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นทแยงมุม ด้านข้าง และฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู: R = AM*ฉัน*AE/4*S AME.
คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ล้อมรอบวงกลม
คุณสามารถใส่วงกลมลงในสี่เหลี่ยมคางหมูได้หากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่ง อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ด้านล่าง และการรวมกันของตัวเลขนี้มีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการ
- หากวงกลมเขียนไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมู ความยาวของเส้นกึ่งกลางของวงกลมนั้นหาได้ง่ายโดยการบวกความยาวของด้านแล้วหารผลรวมที่ได้เป็นครึ่งหนึ่ง: ม. = (ค + ง)/2.
- สำหรับ ACME สี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายเกี่ยวกับวงกลม ผลรวมของความยาวของฐานเท่ากับผลรวมของความยาวของด้าน: AK + ME = กม. + AE.
- จากคุณสมบัติของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ข้อความแบบตรงกันข้ามมีดังนี้: วงกลมสามารถเขียนลงในสี่เหลี่ยมคางหมูได้ โดยผลรวมของฐานเท่ากับผลรวมของด้านข้าง
- จุดสัมผัสของวงกลมที่มีรัศมี r อยู่ในสี่เหลี่ยมคางหมูจะแบ่งด้านออกเป็นสองส่วน เรียกมันว่า a และ b รัศมีของวงกลมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร: ร = √ab.
- และทรัพย์สินอีกอย่างหนึ่ง เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ให้ยกตัวอย่างนี้ด้วยตนเองด้วย เรามี ACME สี่เหลี่ยมคางหมูแบบเก่าที่ดี ซึ่งอธิบายไว้เป็นวงกลม ประกอบด้วยเส้นทแยงมุมที่ตัดกันที่จุด O สามเหลี่ยม AOK และ EOM ที่เกิดจากส่วนของเส้นทแยงมุมและด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ความสูงของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ ลดลงถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก (เช่น ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู) ซึ่งตรงกับรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ และความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้
คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม
สี่เหลี่ยมคางหมูจะเรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้ามุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง และคุณสมบัติของมันก็เกิดจากเหตุการณ์นี้
- สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมมีด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน
- ความสูงและด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อยู่ติดกัน มุมฉากเท่าเทียมกัน สิ่งนี้ทำให้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม ( สูตรทั่วไป ส = (ก + ข) * ชั่วโมง/2) ไม่เพียงแต่ผ่านความสูงเท่านั้น แต่ยังผ่านด้านที่อยู่ติดกับมุมฉากด้วย
- สำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม คุณสมบัติทั่วไปของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายไว้ข้างต้นมีความเกี่ยวข้องกัน
หลักฐานแสดงคุณสมบัติบางประการของสี่เหลี่ยมคางหมู
ความเท่าเทียมกันของมุมที่ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว:
- คุณคงเดาได้แล้วว่าเราจะต้องมีสี่เหลี่ยมคางหมู AKME อีกครั้ง - วาดรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ลากเส้นตรง MT จากจุดยอด M ขนานกับด้านข้างของ AK (MT || AK)
AKMT รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ได้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (AK || MT, KM || AT) เนื่องจาก ME = KA = MT, ∆ MTE คือหน้าจั่ว และ MET = MTE
เอเค || MT ดังนั้น MTE = KAE, MET = MTE = KAE
AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME โดยที่
Q.E.D.
ตอนนี้ จากคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว (ความเท่ากันของเส้นทแยงมุม) เราได้พิสูจน์แล้ว สี่เหลี่ยมคางหมู ACME คือหน้าจั่ว:
- ก่อนอื่น เรามาวาดเส้นตรงกันก่อน MX – MX || เค. เราได้รับสี่เหลี่ยมด้านขนาน KMHE (ฐาน – MX || KE และ KM || EX)
∆AMX คือหน้าจั่ว เนื่องจาก AM = KE = MX และ MAX = MEA
เอ็มเอช || KE, KEA = MXE ดังนั้น MAE = MXE
ปรากฎว่าสามเหลี่ยม AKE และ EMA มีค่าเท่ากัน เนื่องจาก AM = KE และ AE เป็นด้านร่วมของสามเหลี่ยมทั้งสอง และ MAE = MXE ด้วย เราสามารถสรุปได้ว่า AK = ME และจากนี้สรุปได้ว่า AKME สี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นหน้าจั่ว
ตรวจสอบงาน
ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ACME คือ 9 ซม. และ 21 ซม. ด้านข้าง KA เท่ากับ 8 ซม. สร้างมุม 150 0 โดยมีฐานเล็กกว่า คุณต้องหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู
วิธีแก้ปัญหา: จากจุดยอด K เราลดความสูงลงเหลือฐานที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมคางหมู เรามาเริ่มดูมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูกันดีกว่า
มุม AEM และ KAN มีด้านเดียว ซึ่งหมายความว่าโดยรวมแล้วพวกเขาให้ 180 0 ดังนั้น KAN = 30 0 (ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของมุมสี่เหลี่ยมคางหมู)
ตอนนี้ให้เราพิจารณาสี่เหลี่ยม ∆ANC (ฉันเชื่อว่าประเด็นนี้ชัดเจนสำหรับผู้อ่านโดยไม่มีหลักฐานเพิ่มเติม) จากนั้นเราจะพบความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู KH - ในรูปสามเหลี่ยมคือขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุม 30 0 ดังนั้น KH = ½AB = 4 ซม.
เราค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยใช้สูตร: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 ซม. 2
คำหลัง
หากคุณศึกษาบทความนี้อย่างรอบคอบและรอบคอบไม่ขี้เกียจเกินไปที่จะวาดสี่เหลี่ยมคางหมูสำหรับคุณสมบัติที่กำหนดทั้งหมดด้วยดินสอในมือและวิเคราะห์ในทางปฏิบัติคุณควรจะเชี่ยวชาญเนื้อหาได้ดี
แน่นอนว่ามีข้อมูลมากมายที่นี่ หลากหลายและบางครั้งก็ทำให้เกิดความสับสน: ไม่ใช่เรื่องยากเลยที่จะสับสนระหว่างคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมคางหมูที่อธิบายไว้กับคุณสมบัติของสิ่งที่จารึกไว้ แต่คุณเองก็ได้เห็นว่าความแตกต่างนั้นใหญ่มาก
ตอนนี้คุณมีบทสรุปโดยละเอียดทั้งหมดแล้ว คุณสมบัติทั่วไปสี่เหลี่ยมคางหมู และ คุณสมบัติเฉพาะและเครื่องหมายของหน้าจั่วและสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยม สะดวกในการใช้เตรียมตัวสอบและสอบ ลองด้วยตัวเองและแชร์ลิงก์กับเพื่อนของคุณ!
blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม
แนวคิดเรื่องเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู
ก่อนอื่น เรามาจำไว้ว่ารูปร่างแบบไหนที่เรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมู
คำจำกัดความ 1
สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านสองด้านขนานกันและอีกสองด้านไม่ขนานกัน
โดยที่ ด้านขนานเรียกว่าฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู และฐานที่ไม่ขนานกันเรียกว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู
คำจำกัดความ 2
เส้นกลางสี่เหลี่ยมคางหมูคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู
ทฤษฎีบทเส้นกึ่งกลางสี่เหลี่ยมคางหมู
ตอนนี้เราขอแนะนำทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูและพิสูจน์มันโดยใช้วิธีเวกเตอร์
ทฤษฎีบท 1
เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐานและเท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่ง
การพิสูจน์.
ขอให้เราได้รูปสี่เหลี่ยมคางหมู $ABCD$ ที่มีฐาน $AD\ และ\ BC$ และให้ $MN$ เป็นเส้นกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้ (รูปที่ 1)
รูปที่ 1 เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู
ให้เราพิสูจน์ว่า $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$
พิจารณาเวกเตอร์ $\overrightarrow(MN)$ ต่อไปเราจะใช้กฎรูปหลายเหลี่ยมเพื่อเพิ่มเวกเตอร์ ในด้านหนึ่งเราเข้าใจแล้ว
อีกด้านหนึ่ง
ลองบวกสองตัวสุดท้ายแล้วรับ
เนื่องจาก $M$ และ $N$ เป็นจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู เราจะได้
เราได้รับ:
เพราะฉะนั้น
จากความเท่าเทียมกันที่เหมือนกัน (เนื่องจาก $\overrightarrow(BC)$ และ $\overrightarrow(AD)$ เป็น codirection และด้วยเหตุนี้ collinear) เราจึงได้ $MN||AD$
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ตัวอย่างปัญหาเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู
ตัวอย่างที่ 1
ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ $15\ cm$ และ $17\ cm$ ตามลำดับ เส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ $52\cm$ ค้นหาความยาวของเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู
สารละลาย.
ให้เราแสดงเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูด้วย $n$
ผลรวมของด้านเท่ากับ
ดังนั้น เนื่องจากเส้นรอบวงคือ $52\ cm$ ผลรวมของฐานจึงเท่ากับ
ดังนั้นตามทฤษฎีบท 1 เราได้
คำตอบ:$10\ซม.$
ตัวอย่างที่ 2
ปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมอยู่ห่างจากแทนเจนต์ $9$ cm และ $5$ cm ตามลำดับ จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนี้
สารละลาย.
ให้เราได้รับวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด $O$ และมีเส้นผ่านศูนย์กลาง $AB$ ลองวาดแทนเจนต์ $l$ และสร้างระยะ $AD=9\ cm$ และ $BC=5\ cm$ ลองวาดรัศมี $OH$ (รูปที่ 2)
รูปที่ 2.
เนื่องจาก $AD$ และ $BC$ เป็นระยะทางถึงแทนเจนต์ ดังนั้น $AD\bot l$ และ $BC\bot l$ และเนื่องจาก $OH$ คือรัศมี ดังนั้น $OH\bot l$ ดังนั้น $OH |\left|AD\right||BC$. จากทั้งหมดนี้ เราพบว่า $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู และ $OH$ เป็นจุดกึ่งกลางของมัน จากทฤษฎีบท 1 เราได้
- ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของความแตกต่างฐาน
- สามเหลี่ยมที่เกิดจากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและส่วนของเส้นทแยงมุมจนถึงจุดตัดจะคล้ายกัน
- สามเหลี่ยมที่เกิดจากส่วนของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งด้านข้างซึ่งอยู่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู - มีขนาดเท่ากัน (มีพื้นที่เท่ากัน)
- หากคุณขยายด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูไปทางฐานเล็ก มันจะตัดกันที่จุดหนึ่งโดยมีเส้นตรงเชื่อมจุดกึ่งกลางของฐาน
- ส่วนที่เชื่อมต่อฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูจะถูกหารด้วยจุดนี้ในสัดส่วนเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
- ส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและลากผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดนี้ และความยาวของมันจะเท่ากับ 2ab/(a + b) โดยที่ a และ b เป็นฐานของ สี่เหลี่ยมคางหมู
คุณสมบัติของส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู
มาเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ซึ่งเป็นผลมาจากการที่เราจะได้ส่วน LM
ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู อยู่บนเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู.
ส่วนนี้ ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู.
ความยาวของส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของความแตกต่างของฐาน
LM = (ค.ศ. - พ.ศ.)/2
หรือ
LM = (ก-ข)/2
คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู
สามเหลี่ยมที่เกิดจากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู - มีความคล้ายคลึงกัน.
สามเหลี่ยม BOC และ AOD มีความคล้ายคลึงกัน เนื่องจากมุม BOC และ AOD เป็นแนวตั้ง จึงมีค่าเท่ากัน
มุม OCB และ OAD เป็นมุมภายในที่วางขวางโดยมีเส้นขนาน AD และ BC (ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกัน) และเส้นซีแคนต์ AC ดังนั้นทั้งสองจึงเท่ากัน
มุม OBC และ ODA เท่ากันด้วยเหตุผลเดียวกัน (ขวางภายใน)
เนื่องจากมุมทั้งสามของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากันกับมุมที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้จึงคล้ายกัน
ต่อจากนี้จะมีอะไรบ้าง?
ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตจะใช้ความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมดังนี้ หากเราทราบความยาวขององค์ประกอบสององค์ประกอบที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน (เราหารทีละองค์ประกอบ) โดยที่ความยาวขององค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดสัมพันธ์กันด้วยค่าที่เท่ากันทุกประการ
คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่อยู่ด้านข้างและเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู
พิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่วางอยู่บนด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู AB และ CD นี่คือสามเหลี่ยม AOB และ COD แม้ว่าขนาดของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้อาจแตกต่างกันโดยสิ้นเชิงก็ตาม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากด้านข้างและจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากันนั่นคือสามเหลี่ยมมีขนาดเท่ากัน
หากเราขยายด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูไปยังฐานที่เล็กกว่า จุดตัดของด้านข้างก็จะเท่ากับ ตรงกับเส้นตรงที่ลากผ่านกลางฐาน.
ดังนั้นสี่เหลี่ยมคางหมูใดๆ ก็สามารถขยายเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ โดยที่:
- สามเหลี่ยมที่เกิดจากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดยอดร่วมที่จุดตัดของด้านที่ขยายจะคล้ายกัน
- เส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู ในเวลาเดียวกันคือค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้น
คุณสมบัติของส่วนที่เชื่อมต่อฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
หากคุณวาดส่วนที่ปลายอยู่บนฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งอยู่ที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู (KN) ดังนั้นอัตราส่วนของส่วนที่เป็นส่วนประกอบจากด้านข้างของฐานถึงจุดตัดกัน ของเส้นทแยงมุม (KO/ON) จะเท่ากับอัตราส่วนของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู(พ.ศ./ค.ศ.)
KO/ON = BC/AD
คุณสมบัตินี้ตามมาจากความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกัน (ดูด้านบน)
คุณสมบัติของส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
หากเราวาดส่วนที่ขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูและผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู มันจะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
- ระยะทางที่กำหนด (กม.) แบ่งครึ่งด้วยจุดตัดของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมู
- ความยาวส่วนผ่านจุดตัดของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูและขนานกับฐานเท่ากับ กม. = 2ab/(ก + ข)
สูตรการหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู
ก, ข- ฐานสี่เหลี่ยมคางหมู
ซีดี- ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู
ด1 ดี2- เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู
α β - มุมที่มีฐานใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมคางหมู
สูตรการหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านฐาน ด้านข้าง และมุมที่ฐาน
สูตรกลุ่มแรก (1-3) สะท้อนถึงคุณสมบัติหลักประการหนึ่งของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมู:
1. ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านข้างบวกสองเท่าของผลคูณของฐาน คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมูนี้สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นทฤษฎีบทที่แยกจากกัน
2 . สูตรนี้ได้จากการแปลงสูตรก่อนหน้า กำลังสองของเส้นทแยงมุมที่สองจะถูกส่งผ่านเครื่องหมายเท่ากับ หลังจากนั้นรากที่สองจะถูกแยกออกจากด้านซ้ายและด้านขวาของนิพจน์
3 . สูตรการหาความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้คล้ายกับสูตรก่อนหน้า โดยมีความแตกต่างคือเหลือเส้นทแยงมุมอีกเส้นทางด้านซ้ายของนิพจน์
กลุ่มสูตรถัดไป (4-5) มีความหมายคล้ายกันและแสดงความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกัน
กลุ่มของสูตร (6-7) ช่วยให้คุณหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูได้หากทราบฐานที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมคางหมู ด้านหนึ่งและมุมที่ฐาน
สูตรการหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านความสูง
งาน.
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD (AD | | BC) ตัดกันที่จุด O จงหาความยาวของฐาน BC ของสี่เหลี่ยมคางหมู ถ้าฐาน AD = 24 ซม. ความยาว AO = 9 ซม. ความยาว OS = 6 ซม.
สารละลาย.
การแก้ปัญหานี้มีอุดมการณ์เหมือนกับปัญหาก่อนหน้านี้อย่างแน่นอน
สามเหลี่ยม AOD และ BOC มีความคล้ายคลึงกันในสามมุม - AOD และ BOC เป็นแนวตั้ง และมุมที่เหลือจะเท่ากันในทิศทางคู่ เนื่องจากมันถูกสร้างขึ้นจากจุดตัดของเส้นหนึ่งเส้นและเส้นคู่ขนานสองเส้น
เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมมีความคล้ายคลึงกัน มิติทางเรขาคณิตทั้งหมดจึงสัมพันธ์กัน เช่นเดียวกับมิติทางเรขาคณิตของส่วน AO และ OC ที่เรารู้จักตามเงื่อนไขของปัญหา นั่นคือ
AO/OC = AD/BC
9/6 = 24 / ก่อนคริสต์ศักราช
พ.ศ. = 24 * 6/9 = 16
คำตอบ: 16 ซม
งาน .
ในสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ทราบว่า AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17 ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู 
สารละลาย .
ในการหาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูจากจุดยอดของฐาน B และ C ที่เล็กกว่า เราจะลดความสูงลง 2 อันจากฐานที่ใหญ่กว่า เนื่องจากสี่เหลี่ยมคางหมูไม่เท่ากัน เราจึงแสดงความยาว AM = a ความยาว KD = b ( เพื่อไม่ให้สับสนกับสัญกรณ์ในสูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู) เนื่องจากฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นขนานกัน และเราทิ้งความสูงสองอันตั้งฉากกับฐานที่ใหญ่กว่า ดังนั้น MBCK จึงเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า
วิธี
AD = AM+BC+KD
ก + 8 + ข = 24
ก = 16 - ข
สามเหลี่ยม DBM และ ACK เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้นมุมขวาของพวกมันจึงถูกสร้างขึ้นตามความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู ให้เราแสดงความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูด้วย h จากนั้นตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ชม 2 + (24 - ก) 2 = (5√17) 2
และ
ชั่วโมง 2 + (24 - ข) 2 = 13 2
ลองคำนึงว่า a = 16 - b จากนั้นในสมการแรก
ชั่วโมง 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
ชั่วโมง 2 = 425 - (8 + b) 2
ลองแทนค่าของกำลังสองของความสูงเป็นสมการที่สองที่ได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราได้รับ:
425 - (8 + ข) 2 + (24 - ข) 2 = 169
-(64 + 16b + ข) 2 + (24 - ข) 2 = -256
-64 - 16b - ข 2 + 576 - 48b + ข 2 = -256
-64b = -768
ข = 12
ดังนั้น KD = 12
ที่ไหน
ชั่วโมง 2 = 425 - (8 + ข) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
ชั่วโมง = 5
ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านความสูงและผลรวมครึ่งหนึ่งของฐาน
โดยที่ a b - ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู, h - ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 ซม. 2
คำตอบ: พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูคือ 80 ตารางวา
รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันเพียงสองด้านเรียกว่า สี่เหลี่ยมคางหมู.
ด้านขนานของสี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่าด้านของมัน เหตุผลและด้านที่ไม่ขนานกันนั้นเรียกว่า ด้านข้าง. หากด้านข้างเท่ากัน แสดงว่าสี่เหลี่ยมคางหมูนั้นเป็นหน้าจั่ว ระยะห่างระหว่างฐานเรียกว่าความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู
สี่เหลี่ยมคางหมูเส้นกลาง
เส้นกึ่งกลางคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐาน
ทฤษฎีบท:
ถ้าเส้นตรงที่ตัดตรงกลางด้านหนึ่งขนานกับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู มันจะตัดด้านที่สองของสี่เหลี่ยมคางหมู
ทฤษฎีบท:
ความยาวของเส้นกลางเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวของฐาน
มินนิโซตา || เอบี || กระแสตรงเช้า = นพ.; บีเอ็น=NC
เส้นกึ่งกลาง MN, AB และ CD - ฐาน, AD และ BC - ด้านข้าง
MN = (AB + กระแสตรง)/2
ทฤษฎีบท:
ความยาวของเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความยาวของฐาน
ภารกิจหลัก: พิสูจน์ว่าเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูตัดส่วนที่ปลายอยู่ตรงกลางฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู
เส้นกลางของสามเหลี่ยม
ส่วนที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม ขนานกับด้านที่สามและมีความยาวเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของด้านที่สาม
ทฤษฎีบท: ถ้าเส้นที่ตัดจุดกึ่งกลางของด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมขนานกับอีกด้านของรูปสามเหลี่ยม เส้นนั้นจะตัดด้านที่สาม
AM = MC และ BN = NC =>
การใช้คุณสมบัติเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมคางหมู
การแบ่งส่วนออกเป็นจำนวนส่วนเท่า ๆ กัน
ภารกิจ: แบ่งส่วน AB ออกเป็น 5 ส่วนเท่า ๆ กัน
สารละลาย:
ให้ p เป็นรังสีสุ่มที่มีจุดกำเนิดคือจุด A และไม่อยู่บนเส้น AB เราจัดเรียง 5 ส่วนเท่า ๆ กันตามลำดับบน p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
เราเชื่อมต่อ A 5 กับ B และลากเส้นดังกล่าวผ่าน A 4, A 3, A 2 และ A 1 ที่ขนานกับ A 5 B พวกเขาตัดกัน AB ตามลำดับที่จุด B 4, B 3, B 2 และ B 1 จุดเหล่านี้แบ่งส่วน AB ออกเป็น 5 ส่วนเท่า ๆ กัน อันที่จริง จากรูปสี่เหลี่ยมคางหมู BB 3 A 3 A 5 เราจะเห็นว่า BB 4 = B 4 B 3 ในทำนองเดียวกันจากสี่เหลี่ยมคางหมู B 4 B 2 A 2 A 4 เราได้ B 4 B 3 = B 3 B 2
ในขณะที่มาจากสี่เหลี่ยมคางหมู B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1
จากนั้นจาก B 2 AA 2 จะตามมาว่า B 2 B 1 = B 1 A โดยสรุปเราได้:
เอบี 1 = บี 1 บี 2 = บี 2 บี 3 = บี 3 บี 4 = บี 4 บี
เห็นได้ชัดว่าในการแบ่งเซกเมนต์ AB ออกเป็นอีกจำนวนหนึ่งที่มีส่วนเท่าๆ กัน เราจำเป็นต้องฉายส่วนที่เท่ากันในจำนวนเท่ากันลงบนรังสี p แล้วดำเนินการต่อในลักษณะที่อธิบายไว้ข้างต้น
แนวคิดเรื่องเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู
ก่อนอื่น เรามาจำไว้ว่ารูปร่างแบบไหนที่เรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมู
คำจำกัดความ 1
สี่เหลี่ยมคางหมูคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านสองด้านขนานกันและอีกสองด้านไม่ขนานกัน
ในกรณีนี้ ด้านขนานเรียกว่าฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู และด้านที่ไม่ขนานเรียกว่าด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู
คำจำกัดความ 2
เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู
ทฤษฎีบทเส้นกึ่งกลางสี่เหลี่ยมคางหมู
ตอนนี้เราขอแนะนำทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูและพิสูจน์มันโดยใช้วิธีเวกเตอร์
ทฤษฎีบท 1
เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐานและเท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่ง
การพิสูจน์.
ขอให้เราได้รูปสี่เหลี่ยมคางหมู $ABCD$ ที่มีฐาน $AD\ และ\ BC$ และให้ $MN$ เป็นเส้นกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้ (รูปที่ 1)
รูปที่ 1 เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู
ให้เราพิสูจน์ว่า $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$
พิจารณาเวกเตอร์ $\overrightarrow(MN)$ ต่อไปเราจะใช้กฎรูปหลายเหลี่ยมเพื่อเพิ่มเวกเตอร์ ในด้านหนึ่งเราเข้าใจแล้ว
อีกด้านหนึ่ง
ลองบวกสองตัวสุดท้ายแล้วรับ
เนื่องจาก $M$ และ $N$ เป็นจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู เราจะได้
เราได้รับ:
เพราะฉะนั้น
จากความเท่าเทียมกันที่เหมือนกัน (เนื่องจาก $\overrightarrow(BC)$ และ $\overrightarrow(AD)$ เป็น codirection และด้วยเหตุนี้ collinear) เราจึงได้ $MN||AD$
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ตัวอย่างปัญหาเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู
ตัวอย่างที่ 1
ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ $15\ cm$ และ $17\ cm$ ตามลำดับ เส้นรอบวงของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ $52\cm$ ค้นหาความยาวของเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู
สารละลาย.
ให้เราแสดงเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูด้วย $n$
ผลรวมของด้านเท่ากับ
ดังนั้น เนื่องจากเส้นรอบวงคือ $52\ cm$ ผลรวมของฐานจึงเท่ากับ
ดังนั้นตามทฤษฎีบท 1 เราได้
คำตอบ:$10\ซม.$
ตัวอย่างที่ 2
ปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมอยู่ห่างจากแทนเจนต์ $9$ cm และ $5$ cm ตามลำดับ จงหาเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมนี้
สารละลาย.
ให้เราได้รับวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด $O$ และมีเส้นผ่านศูนย์กลาง $AB$ ลองวาดแทนเจนต์ $l$ และสร้างระยะ $AD=9\ cm$ และ $BC=5\ cm$ ลองวาดรัศมี $OH$ (รูปที่ 2)
รูปที่ 2.
เนื่องจาก $AD$ และ $BC$ เป็นระยะทางถึงแทนเจนต์ ดังนั้น $AD\bot l$ และ $BC\bot l$ และเนื่องจาก $OH$ คือรัศมี ดังนั้น $OH\bot l$ ดังนั้น $OH |\left|AD\right||BC$. จากทั้งหมดนี้ เราพบว่า $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู และ $OH$ เป็นจุดกึ่งกลางของมัน จากทฤษฎีบท 1 เราได้
