ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม x พื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น

ลักษณะตัวเลขพื้นฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การกระจายตัว และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คุณสมบัติและตัวอย่างของพวกเขา

กฎการกระจาย (ฟังก์ชันการกระจายและอนุกรมการกระจายหรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) อธิบายพฤติกรรมได้อย่างสมบูรณ์ ตัวแปรสุ่ม. แต่ในปัญหาหลายประการ ก็เพียงพอที่จะทราบคุณลักษณะเชิงตัวเลขของค่าที่กำลังศึกษาอยู่ (เช่น ค่าเฉลี่ยและความเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้) เพื่อที่จะตอบคำถามที่ถูกตั้งไว้ พิจารณาลักษณะตัวเลขหลักของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

คำจำกัดความ 7.1ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้และความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน:

ม(เอ็กซ์) = เอ็กซ์ 1 ร 1 + เอ็กซ์ 2 ร 2 + … + เอ็กซ์ พี พี(7.1)

หากจำนวนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มนั้นไม่มีที่สิ้นสุด ถ้าอนุกรมผลลัพธ์มาบรรจบกันอย่างแน่นอน

หมายเหตุ 1.มูลค่าที่คาดหวังบางครั้งเรียกว่า ถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเนื่องจากมีค่าประมาณเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มในการทดลองจำนวนมาก

โน้ต 2.จากคำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ค่าของมันจะไม่น้อยกว่าค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม และไม่มากไปกว่าค่าที่ใหญ่ที่สุด

หมายเหตุ 3ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือ ไม่ใช่การสุ่ม(คงที่. เราจะเห็นในภายหลังว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้นจริงสำหรับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์- จำนวนชิ้นส่วนมาตรฐานจากทั้งหมด 3 ชิ้นที่เลือกจากชุดละ 10 ชิ้น รวมทั้งชิ้นส่วนที่ชำรุด 2 ชิ้น มาสร้างซีรีส์การจัดจำหน่ายสำหรับ เอ็กซ์. จากสภาพปัญหาเป็นไปตามนั้น เอ็กซ์สามารถรับค่า 1, 2, 3 ได้ จากนั้น

ตัวอย่างที่ 2 พิจารณาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์- จำนวนการโยนเหรียญก่อนปรากฏตราแผ่นดินครั้งแรก ปริมาณนี้สามารถใช้กับค่าจำนวนอนันต์ (ชุดของค่าที่เป็นไปได้คือชุด ตัวเลขธรรมชาติ). ชุดการจำหน่ายมีรูปแบบ:

เอ็กซ์			…	ป	…
ร	0,5	(0,5) 2	…	(0,5)ป	…

+ (เมื่อคำนวณแล้ว จะได้สูตรผลรวมของการลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: , ที่ไหน ).

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

1) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นั้นเอง:

ม(กับ) = กับ.(7.2)

การพิสูจน์. ถ้าเราพิจารณา กับเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งรับค่าเพียงค่าเดียว กับด้วยความน่าจะเป็น ร= 1 แล้ว ม(กับ) = กับ?1 = กับ.

2) สามารถนำปัจจัยคงที่ออกจากเครื่องหมายของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้:

ม(CX) = ซม(เอ็กซ์). (7.3)

การพิสูจน์. ถ้าเป็นตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์กำหนดโดยชุดการแจกจ่าย

แล้ว ม(CX) = Cx 1 ร 1 + Cx 2 ร 2 + … + ซี พี พี พี = กับ(เอ็กซ์ 1 ร 1 + เอ็กซ์ 2 ร 2 + … + เอ็กซ์ พี พี) = ซม(เอ็กซ์).

คำจำกัดความ 7.2เรียกว่าตัวแปรสุ่มสองตัว เป็นอิสระหากกฎการกระจายของหนึ่งในนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับว่าอีกฝ่ายได้รับคุณค่าอะไร มิฉะนั้นจะเป็นตัวแปรสุ่ม ขึ้นอยู่กับ.

คำจำกัดความ 7.3โทรเลย ผลคูณของตัวแปรสุ่มอิสระ เอ็กซ์และ ย ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์วายค่าที่เป็นไปได้ซึ่งเท่ากับผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด เอ็กซ์สำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด ยและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของปัจจัยต่างๆ

3) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

ม(เอ็กซ์วาย) = ม(เอ็กซ์)ม(ย). (7.4)

การพิสูจน์. เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น เราจำกัดตัวเองไว้เฉพาะเมื่อใด เอ็กซ์และ ยรับค่าที่เป็นไปได้เพียงสองค่าเท่านั้น:

เพราะฉะนั้น, ม(เอ็กซ์วาย) = x 1 ย 1 ?พี 1 ก 1 + x 2 ย 1 ?พี 2 ก 1 + x 1 ย 2 ?พี 1 ก 2 + x 2 ย 2 ?พี 2 ก 2 = ย 1 ก 1 (x 1 พี 1 + x 2 พี 2) + + ย 2 ก 2 (x 1 พี 1 + x 2 พี 2) = (ย 1 ก 1 + ย 2 ก 2) (x 1 พี 1 + x 2 พี 2) = ม(เอ็กซ์)?ม(ย).

หมายเหตุ 1.คุณสามารถพิสูจน์คุณสมบัตินี้ในทำนองเดียวกันด้วยค่าปัจจัยที่เป็นไปได้จำนวนมากขึ้น

โน้ต 2.คุณสมบัติ 3 เป็นจริงสำหรับผลคูณของตัวแปรสุ่มอิสระจำนวนเท่าใดก็ได้ ซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์

คำจำกัดความ 7.4เรามากำหนดกัน ผลรวมของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์และ ย เป็นตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์+ยค่าที่เป็นไปได้ซึ่งเท่ากับผลรวมของแต่ละค่าที่เป็นไปได้ เอ็กซ์ด้วยทุกค่าที่เป็นไปได้ ย; ความน่าจะเป็นของผลรวมดังกล่าวจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเงื่อนไข (สำหรับตัวแปรสุ่มขึ้นอยู่กับ - ผลคูณของความน่าจะเป็นของเทอมหนึ่งโดยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเทอมที่สอง)

4) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัว (ขึ้นอยู่กับหรือเป็นอิสระ) เท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข:

ม (เอ็กซ์+ย) = ม (เอ็กซ์) + ม (ย). (7.5)

การพิสูจน์.

ให้เราพิจารณาตัวแปรสุ่มที่กำหนดโดยชุดการแจกแจงที่กำหนดในการพิสูจน์คุณสมบัติ 3 อีกครั้ง จากนั้นค่าที่เป็นไปได้ เอ็กซ์+ยเป็น เอ็กซ์ 1 + ที่ 1 , เอ็กซ์ 1 + ที่ 2 , เอ็กซ์ 2 + ที่ 1 , เอ็กซ์ 2 + ที่ 2. ให้เราแสดงความน่าจะเป็นตามลำดับเป็น ร 11 , ร 12 , ร 21 และ ร 22. เราจะพบ ม(เอ็กซ์+ย) = (x 1 + ย 1)พี 11 + (x 1 + ย 2)พี 12 + (x 2 + ย 1)พี 21 + (x 2 + ย 2)พี 22 =

= x 1 (พี 11 + พี 12) + x 2 (พี 21 + พี 22) + ย 1 (พี 11 + พี 21) + ย 2 (พี 12 + พี 22).

มาพิสูจน์กัน ร 11 + ร 22 = ร 1. แท้จริงแล้วเหตุการณ์นั้น เอ็กซ์+ยจะเอาค่า เอ็กซ์ 1 + ที่ 1 หรือ เอ็กซ์ 1 + ที่ 2 และความน่าจะเป็นคือ ร 11 + รวันที่ 22 ตรงกับเหตุการณ์นั้น เอ็กซ์ = เอ็กซ์ 1 (ความน่าจะเป็นของมันคือ ร 1). ก็ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกันว่า พี 21 + พี 22 = ร 2 , พี 11 + พี 21 = ก 1 , พี 12 + พี 22 = ก 2. วิธี,

ม(เอ็กซ์+ย) = x 1 พี 1 + x 2 พี 2 + ย 1 ก 1 + ย 2 ก 2 = ม (เอ็กซ์) + ม (ย).

ความคิดเห็น. จากคุณสมบัติที่ 4 ผลรวมของตัวแปรสุ่มจำนวนเท่าใดก็ได้จะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพจน์นั้นๆ

ตัวอย่าง. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของจำนวนคะแนนที่ได้รับเมื่อโยนลูกเต๋าห้าลูก

มาหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนคะแนนที่ทอยได้เมื่อโยนลูกเต๋าหนึ่งลูก:

ม(เอ็กซ์ 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) จำนวนเดียวกันจะเท่ากับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนแต้มที่ทอยบนลูกเต๋าใดๆ ดังนั้นโดยทรัพย์สินที่ 4 ม(เอ็กซ์)=

การกระจายตัว.

เพื่อที่จะเข้าใจพฤติกรรมของตัวแปรสุ่มนั้น การรู้เพียงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อย่างเดียวนั้นไม่เพียงพอ พิจารณาตัวแปรสุ่มสองตัว: เอ็กซ์และ ยระบุโดยชุดการแจกจ่ายของแบบฟอร์ม

เอ็กซ์
ร	0,1	0,8	0,1

ย
พี	0,5	0,5

เราจะพบ ม(เอ็กซ์) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, ม(ย) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50 อย่างที่คุณเห็น ความคาดหมายทางคณิตศาสตร์ของปริมาณทั้งสองจะเท่ากัน แต่ถ้าเป็น HM(เอ็กซ์) อธิบายพฤติกรรมของตัวแปรสุ่มได้เป็นอย่างดี โดยเป็นค่าที่เป็นไปได้ที่เป็นไปได้มากที่สุด (และค่าที่เหลือไม่แตกต่างกันมากนักจาก 50) จากนั้นค่าต่างๆ ยถูกลบออกไปอย่างมีนัยสำคัญ ม(ย). ดังนั้นควบคู่ไปกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จึงเป็นที่พึงปรารถนาที่จะทราบว่าค่าของตัวแปรสุ่มเบี่ยงเบนไปจากค่านั้นเท่าใด เพื่อระบุลักษณะตัวบ่งชี้นี้ จะใช้การกระจายตัว

คำจำกัดความ 7.5การกระจายตัว (กระเจิง)ของตัวแปรสุ่มคือค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่ากำลังสองของการเบี่ยงเบนจากค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

ดี(เอ็กซ์) = ม (เอ็กซ์-เอ็ม(เอ็กซ์))². (7.6)

ลองหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มกัน เอ็กซ์(จำนวนภาคมาตรฐานในจำนวนที่เลือก) ในตัวอย่างที่ 1 ของการบรรยายนี้ ลองคำนวณค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของแต่ละค่าที่เป็นไปได้จากค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

(1 - 2.4) 2 = 1.96; (2 - 2.4) 2 = 0.16; (3 - 2.4) 2 = 0.36 เพราะฉะนั้น,

หมายเหตุ 1.ในการพิจารณาการกระจายตัว ไม่ใช่ค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยที่ถูกประเมิน แต่เป็นค่ากำลังสอง ทำเช่นนี้เพื่อไม่ให้การเบี่ยงเบนของสัญญาณต่าง ๆ หักล้างกัน

โน้ต 2.จากคำจำกัดความของการกระจายตัว ปริมาณนี้รับเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

หมายเหตุ 3มีสูตรในการคำนวณความแปรปรวนที่สะดวกกว่าในการคำนวณซึ่งความถูกต้องได้รับการพิสูจน์แล้วในทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท 7.1ดี(เอ็กซ์) = ม(เอ็กซ์²) - ม²( เอ็กซ์). (7.7)

การพิสูจน์.

ใช้อะไร. ม(เอ็กซ์) เป็นค่าคงที่ และคุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เราจะแปลงสูตร (7.6) ให้อยู่ในรูปแบบ:

ดี(เอ็กซ์) = ม(เอ็กซ์-เอ็ม(เอ็กซ์))² = ม(เอ็กซ์² - 2 เอ็กซ์เอ็ม(เอ็กซ์) + ม²( เอ็กซ์)) = ม(เอ็กซ์²) - 2 ม(เอ็กซ์)?ม(เอ็กซ์) + ม²( เอ็กซ์) =

= ม(เอ็กซ์²) - 2 ม²( เอ็กซ์) + ม²( เอ็กซ์) = ม(เอ็กซ์²) - ม²( เอ็กซ์) ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

ตัวอย่าง. ลองคำนวณความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มกัน เอ็กซ์และ ยกล่าวถึงในตอนต้นของส่วนนี้ ม(เอ็กซ์) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

ม(ย) = (0 2 ?0.5 + 100²?0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500 ดังนั้น ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มตัวที่สองจึงมากกว่าความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มตัวแรกหลายพันเท่า ดังนั้นแม้จะไม่ทราบกฎการกระจายของปริมาณเหล่านี้ แต่เราสามารถระบุได้โดยอาศัยค่าการกระจายที่ทราบ เอ็กซ์เบี่ยงเบนไปเล็กน้อยจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ในขณะที่สำหรับ ยการเบี่ยงเบนนี้ค่อนข้างมีนัยสำคัญ

คุณสมบัติการกระจายตัว

1) ความแปรปรวนของค่าคงที่ กับเท่ากับศูนย์:

ดี (ค) = 0. (7.8)

การพิสูจน์. ดี(ค) = ม((ซี-เอ็ม(ค))²) = ม((ซี-ซี)²) = ม(0) = 0.

2) ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายตัวได้โดยการยกกำลังสอง:

ดี(CX) = ค² ดี(เอ็กซ์). (7.9)

การพิสูจน์. ดี(CX) = ม((CX-M(CX))²) = ม((CX-CM(เอ็กซ์))²) = ม(ค²( เอ็กซ์-เอ็ม(เอ็กซ์))²) =

= ค² ดี(เอ็กซ์).

3) ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน:

ดี(เอ็กซ์+ย) = ดี(เอ็กซ์) + ดี(ย). (7.10)

การพิสูจน์. ดี(เอ็กซ์+ย) = ม(เอ็กซ์² + 2 เอ็กซ์วาย + ย²) - ( ม(เอ็กซ์) + ม(ย))² = ม(เอ็กซ์²) + 2 ม(เอ็กซ์)ม(ย) +

+ ม(ย²) - ม²( เอ็กซ์) - 2ม(เอ็กซ์)ม(ย) - ม²( ย) = (ม(เอ็กซ์²) - ม²( เอ็กซ์)) + (ม(ย²) - ม²( ย)) = ดี(เอ็กซ์) + ดี(ย).

ข้อพิสูจน์ 1.ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระร่วมกันหลายตัวจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน

ข้อพิสูจน์ 2.ความแปรปรวนของผลรวมของค่าคงที่และตัวแปรสุ่มเท่ากับความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม

4) ความแปรปรวนของความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวเท่ากับผลรวมของความแปรปรวน:

ดี(เอ็กซ์-วาย) = ดี(เอ็กซ์) + ดี(ย). (7.11)

การพิสูจน์. ดี(เอ็กซ์-วาย) = ดี(เอ็กซ์) + ดี(-ย) = ดี(เอ็กซ์) + (-1)² ดี(ย) = ดี(เอ็กซ์) + ดี(เอ็กซ์).

ความแปรปรวนให้ค่าเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากค่าเฉลี่ย ในการประเมินค่าเบี่ยงเบนนั้น จะใช้ค่าที่เรียกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

คำจำกัดความ 7.6ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานσ ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์เรียกว่ารากที่สองของความแปรปรวน:

ตัวอย่าง. ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน เอ็กซ์และ ยเท่ากันตามลำดับ

ภารกิจที่ 1ความน่าจะเป็นของการงอกของเมล็ดข้าวสาลีคือ 0.9 ความน่าจะเป็นที่เมล็ดหว่านสี่เมล็ด จะมีอย่างน้อยสามเมล็ดที่จะงอกเป็นเท่าใด

สารละลาย. ให้จัดงาน ก– จาก 4 เมล็ด อย่างน้อย 3 เมล็ดจะงอก เหตุการณ์ ใน– จาก 4 เมล็ด 3 เมล็ดจะงอก; เหตุการณ์ กับ– จาก 4 เมล็ด 4 เมล็ดจะงอก โดยทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น
และ
เรากำหนดโดยสูตรของเบอร์นูลลี นำไปใช้ในกรณีต่อไปนี้ ให้จัดซีรีย์เลย ปการทดสอบอิสระ โดยในแต่ละการทดสอบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเกิดขึ้นคงที่และเท่ากับ รและความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นี้จะไม่เกิดขึ้นจะเท่ากับ
. แล้วความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นั้น กวี ปการทดสอบจะปรากฏขึ้นอย่างแน่นอน ครั้ง คำนวณโดยใช้สูตรของแบร์นูลลี

,

ที่ไหน
– จำนวนชุดค่าผสมของ ปองค์ประกอบโดย . แล้ว

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

ภารกิจที่ 2ความน่าจะเป็นของการงอกของเมล็ดข้าวสาลีคือ 0.9 จงหาความน่าจะเป็นที่เมล็ดหว่านไปแล้ว 400 เมล็ด จะมีเมล็ดงอก 350 เมล็ด

สารละลาย. คำนวณความน่าจะเป็นที่ต้องการ
การใช้สูตรของเบอร์นูลลีเป็นเรื่องยากเนื่องจากการคำนวณยุ่งยาก ดังนั้นเราจึงใช้สูตรโดยประมาณที่แสดงทฤษฎีบทท้องถิ่นของลาปลาซ:

,

ที่ไหน
และ
.

จากสภาพปัญหา แล้ว

.

จากตารางที่ 1 ของภาคผนวกที่เราพบ ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ

ภารกิจที่ 3เมล็ดข้าวสาลีมีวัชพืช 0.02% ความน่าจะเป็นที่ถ้าสุ่มเลือก 10,000 เมล็ด จะเจอเมล็ดวัชพืช 6 เมล็ดเป็นเท่าใด

สารละลาย. การประยุกต์ทฤษฎีบทท้องถิ่นของลาปลาซเนื่องจากมีความน่าจะเป็นต่ำ
นำไปสู่การเบี่ยงเบนอย่างมีนัยสำคัญของความน่าจะเป็นจากค่าที่แน่นอน
. ดังนั้นด้วยค่าที่น้อย รการคำนวณ
ใช้สูตรปัวซองเชิงเส้นกำกับ

, ที่ไหน .

สูตรนี้ใช้เมื่อ
และยิ่งน้อย รและอื่น ๆ ปยิ่งได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำยิ่งขึ้น

ตามเงื่อนไขของปัญหา
;
. แล้ว

ภารกิจที่ 4เปอร์เซ็นต์การงอกของเมล็ดข้าวสาลีคือ 90% ค้นหาความน่าจะเป็นที่เมล็ดที่หว่านไว้ 500 เมล็ด จาก 400 ถึง 440 เมล็ดจะงอก

สารละลาย. หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเกิดขึ้น กในแต่ละ ปการทดสอบมีความคงที่และเท่าเทียมกัน รแล้วความน่าจะเป็น
ว่าเหตุการณ์นั้น กในการทดสอบดังกล่าวจะไม่น้อยไปกว่านี้ ครั้งเดียวและไม่มีอีกแล้ว เวลาที่กำหนดโดยทฤษฎีบทอินทิกรัลของลาปลาซโดยสูตรต่อไปนี้:

, ที่ไหน

,
.

การทำงาน
เรียกว่าฟังก์ชันลาปลาซ ภาคผนวก (ตารางที่ 2) ให้ค่าของฟังก์ชันนี้สำหรับ
. ที่
การทำงาน
. สำหรับค่าลบ เอ็กซ์เนื่องจากความแปลกประหลาดของฟังก์ชันลาปลาซ
. เมื่อใช้ฟังก์ชัน Laplace เรามี:

ตามเงื่อนไขของงาน เราพบโดยใช้สูตรข้างต้น
และ :

ภารกิจที่ 5ให้กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์:

2. ค้นหา: 1) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์; 2) การกระจายตัว; 3) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สารละลาย. 1) หากตารางให้กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

2. โดยที่บรรทัดแรกมีค่าของตัวแปรสุ่ม x และบรรทัดที่สองมีความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้ จากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะคำนวณโดยใช้สูตร

2) ความแปรปรวน
ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั่นคือ

ค่านี้เป็นลักษณะเฉพาะของค่าคาดหวังโดยเฉลี่ยของส่วนเบี่ยงเบนกำลังสอง เอ็กซ์จาก
. จากสูตรสุดท้ายที่เรามี

ความแปรปรวน
สามารถพบได้ในอีกทางหนึ่ง โดยขึ้นอยู่กับคุณสมบัติดังต่อไปนี้: การกระจายตัว
เท่ากับความแตกต่างระหว่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
, นั่นคือ

การคำนวณ
เรามาเขียนกฎการกระจายของปริมาณกันดังต่อไปนี้
:

3) เพื่อระบุลักษณะการกระเจิงของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มรอบค่าเฉลี่ย จะมีการแนะนำส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์, เท่ากัน รากที่สองจากความแปรปรวน
, นั่นคือ

.

จากสูตรนี้เราจะได้:

ภารกิจที่ 6ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์กำหนดโดยฟังก์ชันการแจกแจงสะสม

ค้นหา: 1) ฟังก์ชันการกระจายส่วนต่าง
; 2) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์
; 3) ความแปรปรวน
.

สารละลาย. 1) ฟังก์ชันการกระจายส่วนต่าง
ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์เรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันการแจกแจงสะสม
, นั่นคือ

.

ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียลที่ต้องการมีรูปแบบดังนี้:

2) ถ้าเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง เอ็กซ์กำหนดโดยฟังก์ชัน
จากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของมันจะถูกกำหนดโดยสูตร

ตั้งแต่ฟังก์ชั่น
ที่
และที่
เท่ากับศูนย์แล้วจากสูตรสุดท้ายที่เรามี

.

3) ความแปรปรวน
เราจะกำหนดโดยสูตร

ภารกิจที่ 7ความยาวของชิ้นส่วนเป็นตัวแปรสุ่มแบบกระจายปกติโดยมีค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ 40 มม. และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 มม. ค้นหา: 1) ความน่าจะเป็นที่ความยาวของชิ้นส่วนที่นำมาโดยพลการจะมากกว่า 34 มม. และน้อยกว่า 43 มม. 2) ความน่าจะเป็นที่ความยาวของชิ้นส่วนจะเบี่ยงเบนไปจากการคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์ไม่เกิน 1.5 มม.

สารละลาย. 1) เอาล่ะ เอ็กซ์– ความยาวของส่วน ถ้าเป็นตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ที่ให้ไว้ ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล
แล้วความน่าจะเป็นนั้น เอ็กซ์จะนำค่าที่เป็นของกลุ่ม
ถูกกำหนดโดยสูตร

.

ความน่าจะเป็นของความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด
ถูกกำหนดโดยสูตรเดียวกัน ถ้าเป็นตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์กระจายไปทั่ว กฎหมายปกติ, ที่

, (1)

ที่ไหน
– ฟังก์ชั่นลาปลาซ
.

ในการปฏิบัติหน้าที่ แล้ว

2) ตามเงื่อนไขของปัญหา โดยที่
. เมื่อแทนค่าใน (1) เราได้

. (2)

จากสูตร (2) เรามี

สารละลาย:

6.1.2 คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

1. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าคงที่จะเท่ากับค่าคงที่นั้นเอง

2. ค่าคงที่สามารถนำออกมาเป็นสัญญาณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้

3. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวจะเท่ากับผลคูณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา

คุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับตัวแปรสุ่มจำนวนเท่าใดก็ได้

4. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มสองตัวจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเงื่อนไข

คุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับตัวแปรสุ่มจำนวนเท่าใดก็ได้

ตัวอย่าง: ม(เอ็กซ์) = 5, ของฉัน)= 2. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ซีโดยนำคุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มาใช้หากทราบเช่นนั้น Z=2X+3Y.

สารละลาย: ม(Z) = ม(2X + 3Y) = ม(2X) + ม(3Y) = 2ม(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

2) สามารถดึงปัจจัยคงที่ออกจากเครื่องหมายคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้

ปล่อยให้ทำการทดลองอิสระ n ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A ซึ่งเท่ากับ p จากนั้นทฤษฎีบทต่อไปนี้ถือเป็น:

ทฤษฎีบท. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M(X) ของจำนวนการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n การทดลอง เท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองและความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ในการทดลองแต่ละครั้ง

6.1.3 การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถระบุลักษณะของกระบวนการสุ่มได้อย่างสมบูรณ์ นอกเหนือจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แล้วยังจำเป็นต้องป้อนค่าที่แสดงถึงความเบี่ยงเบนของค่าของตัวแปรสุ่มจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ค่าเบี่ยงเบนนี้เท่ากับความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ในกรณีนี้ ค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการเบี่ยงเบนจะเป็นศูนย์ สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าการเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้บางอย่างนั้นเป็นค่าบวก ส่วนค่าอื่นๆ นั้นเป็นค่าลบ และผลจากการยกเลิกร่วมกัน ทำให้ได้ศูนย์

การกระจายตัว (กระเจิง)ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของตัวแปรสุ่มจากค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ในทางปฏิบัติ วิธีคำนวณความแปรปรวนนี้ไม่สะดวกเพราะว่า นำไปสู่การคำนวณที่ยุ่งยากสำหรับค่าตัวแปรสุ่มจำนวนมาก

ดังนั้นจึงใช้วิธีอื่น

ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนเท่ากับความแตกต่างระหว่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำลังสองของตัวแปรสุ่ม X และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์.

การพิสูจน์. เมื่อคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M(X) และกำลังสองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M2(X) เป็นปริมาณคงที่ เราสามารถเขียนได้:

ตัวอย่าง. ค้นหาความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่กำหนดโดยกฎการกระจาย

เอ็กซ์
เอ็กซ์ 2
ร	0.2	0.3	0.1	0.4

สารละลาย: .

6.1.4 คุณสมบัติการกระจายตัว

1. ความแปรปรวนของค่าคงที่เป็นศูนย์ .

2. ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายการกระจายตัวได้โดยการยกกำลังสอง .

3. ความแปรปรวนของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้ .

4. ความแปรปรวนของความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวจะเท่ากับผลรวมของความแปรปรวนของตัวแปรเหล่านี้ .

ทฤษฎีบท. ความแปรปรวนของจำนวนการเกิดของเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n การทดลอง โดยแต่ละการทดลองมีความน่าจะเป็นที่ p ของการเกิดเหตุการณ์จะเป็นค่าคงที่ เท่ากับผลคูณของจำนวนการทดลองด้วยความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์และไม่ การเกิดเหตุการณ์ในการทดลองแต่ละครั้ง

ตัวอย่าง: ค้นหาความแปรปรวนของ DSV X - จำนวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระ 2 ครั้ง ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากัน และทราบว่า M(X) = 1.2

ลองใช้ทฤษฎีบทจากส่วนที่ 6.1.2:

ม(X) = np

ม(เอ็กซ์) = 1,2; n= 2. มาหากัน พี:

1,2 = 2∙พี

พี = 1,2/2

ถาม = 1 – พี = 1 – 0,6 = 0,4

มาหาความแปรปรวนโดยใช้สูตร:

ง(เอ็กซ์) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวแปรสุ่ม X เรียกว่ารากที่สองของความแปรปรวน

(25)

ทฤษฎีบท. ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลรวมของจำนวนจำกัดของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระร่วมกันจะเท่ากับรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรเหล่านี้

6.1.6 โหมดและค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

แฟชั่น M หรือ DSVค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดของตัวแปรสุ่มเรียกว่า (เช่น ค่าที่มีความน่าจะเป็นสูงสุด)

ค่ามัธยฐาน M และ DSVคือค่าของตัวแปรสุ่มที่แบ่งอนุกรมการแจกแจงออกเป็นครึ่งหนึ่ง หากจำนวนค่าของตัวแปรสุ่มเป็นเลขคู่ ค่ามัธยฐานจะพบว่าเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าเฉลี่ยสองค่า

ตัวอย่าง: ค้นหาโหมดและค่ามัธยฐานของ DSV เอ็กซ์:

เอ็กซ์
พี	0.2	0.3	0.1	0.4

ฉัน = = 5,5

ความคืบหน้า

1. ทำความคุ้นเคยกับส่วนเชิงทฤษฎีของงานนี้ (การบรรยาย หนังสือเรียน)

2. ทำงานให้เสร็จสิ้นตามเวอร์ชันของคุณเอง

3.จัดทำรายงานการทำงาน.

4. ปกป้องงานของคุณ

2. วัตถุประสงค์ของงาน

3. ความก้าวหน้าของงาน

4. การแก้ไขทางเลือกของคุณเอง

6.4 ตัวเลือกงานสำหรับ งานอิสระ

ตัวเลือกที่ 1

1. ค้นหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การกระจายตัว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน โหมด และค่ามัธยฐานของ DSV X ที่กำหนดโดยกฎการกระจาย

เอ็กซ์
ป	0.1	0.6	0.2	0.1

2. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X และ Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y

3. ค้นหาความแปรปรวนของ DSV X - จำนวนการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระสองครั้ง หากความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากัน และทราบว่า M (X) = 1

4. ให้รายการค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์: x1 = 1, x2 = 2, x3

ตัวเลือกหมายเลข 2

เอ็กซ์
ป	0.3	0.1	0.2	0.4

2. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X และ Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y

3. ค้นหาความแปรปรวนของ DSV X - จำนวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระ 3 ครั้ง หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากัน และทราบว่า M (X) = 0.9

x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, x4= 10 และความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่านี้และกำลังสองของมันยังเป็นที่รู้จัก: , ค้นหาความน่าจะเป็น , , , ที่สอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้ของ , , และร่างกฎหมายการกระจาย DSV

ตัวเลือก #3

1. ค้นหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การกระจายตัว และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ DSV X ที่กำหนดโดยกฎการกระจาย

เอ็กซ์
ป	0.5	0.1	0.2	0.3

2. ค้นหาความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม Z หากทราบความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของ X และ Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y

3. ค้นหาความแปรปรวนของ DSV X - จำนวนเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระ 4 ครั้ง หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดลองเหล่านี้เท่ากัน และทราบว่า M (x) = 1.2

4. รายการค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X จะได้รับ: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4= 5 และความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่านี้และกำลังสองของมันยังเป็นที่รู้จัก: , ค้นหาความน่าจะเป็น , , , ที่สอดคล้องกับค่าที่เป็นไปได้ของ , , และร่างกฎหมายการกระจาย DSV

ตัวเลือกหมายเลข 4

1. ค้นหาค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การกระจายตัว และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ DSV X ที่กำหนดโดยกฎการกระจาย

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือคำจำกัดความ

รุกฆาตที่รอคอยคือหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในสถิติทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งกำหนดลักษณะการกระจายตัวของค่าหรือ ความน่าจะเป็นตัวแปรสุ่ม. โดยทั่วไปจะแสดงเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของพารามิเตอร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม ใช้กันอย่างแพร่หลายใน การวิเคราะห์ทางเทคนิคการศึกษาอนุกรมจำนวน การศึกษากระบวนการต่อเนื่องและระยะยาว เป็นสิ่งสำคัญในการประเมินความเสี่ยง ทำนายตัวบ่งชี้ราคาเมื่อทำการซื้อขายในตลาดการเงิน และใช้ในการพัฒนากลยุทธ์และวิธีการของกลยุทธ์การเล่นเกม ทฤษฎีการพนัน.

รุกฆาตรออยู่- นี้ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม การแจกแจง ความน่าจะเป็นตัวแปรสุ่มถือเป็นตัวแปรสุ่มในทฤษฎีความน่าจะเป็น

รุกฆาตที่รอคอยคือการวัดค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มในทฤษฎีความน่าจะเป็น รุกฆาตความคาดหวังของตัวแปรสุ่ม xแสดงโดย เอ็ม(เอ็กซ์).

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

รุกฆาตที่รอคอยคือ

รุกฆาตที่รอคอยคือในทฤษฎีความน่าจะเป็น ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ตัวแปรสุ่มสามารถรับได้

รุกฆาตที่รอคอยคือผลรวมของผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

รุกฆาตที่รอคอยคือประโยชน์โดยเฉลี่ยจากการตัดสินใจครั้งใดครั้งหนึ่ง โดยมีเงื่อนไขว่าการตัดสินใจดังกล่าวสามารถพิจารณาได้ภายในกรอบของทฤษฎีจำนวนมากและระยะทางไกล

รุกฆาตที่รอคอยคือในทฤษฎีการพนัน จำนวนเงินรางวัลที่นักเก็งกำไรสามารถรับหรือสูญเสียได้โดยเฉลี่ยในการเดิมพันแต่ละครั้ง ในภาษาการพนัน นักเก็งกำไรบางครั้งเรียกว่า “ข้อได้เปรียบ” นักเก็งกำไร“ (หากเป็นผลบวกต่อนักเก็งกำไร) หรือ “เฮ้าส์เอจ” (หากเป็นผลลบต่อนักเก็งกำไร)

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ยประชากร) คือ

เหมือนกัน คุกกี้สำหรับเว็บไซต์ที่ดีที่สุด Wenn Sie diese เว็บไซต์ของ weiterhin nutzen, กระตุ้น Sie dem zu. ตกลง

ความคาดหวังคือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ คำจำกัดความ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง ตัวอย่าง ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไข การคำนวณ คุณสมบัติ ปัญหา การประมาณค่าความคาดหวัง การกระจายตัว ฟังก์ชันการกระจาย สูตร ตัวอย่างการคำนวณ

ขยายเนื้อหา

ยุบเนื้อหา

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือคำจำกัดความ

หนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในสถิติทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งระบุลักษณะการกระจายตัวของค่าหรือความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม โดยทั่วไปจะแสดงเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของพารามิเตอร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม ใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ทางเทคนิค การศึกษาอนุกรมจำนวน และการศึกษากระบวนการต่อเนื่องและใช้เวลานาน เป็นสิ่งสำคัญในการประเมินความเสี่ยง ทำนายตัวบ่งชี้ราคาเมื่อซื้อขายในตลาดการเงิน และใช้ในการพัฒนากลยุทธ์และวิธีการกลยุทธ์การเล่นเกมในทฤษฎีการพนัน

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มถือเป็นทฤษฎีความน่าจะเป็น

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือการวัดค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มในทฤษฎีความน่าจะเป็น ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม xแสดงโดย เอ็ม(เอ็กซ์).

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือในทฤษฎีความน่าจะเป็น ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ตัวแปรสุ่มสามารถรับได้

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือผลรวมของผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือประโยชน์โดยเฉลี่ยจากการตัดสินใจครั้งใดครั้งหนึ่ง โดยมีเงื่อนไขว่าการตัดสินใจดังกล่าวสามารถพิจารณาได้ภายในกรอบของทฤษฎีจำนวนมากและระยะทางไกล

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือในทฤษฎีการพนัน จำนวนเงินชนะที่ผู้เล่นสามารถได้รับหรือสูญเสียโดยเฉลี่ยสำหรับการเดิมพันแต่ละครั้ง ในสำนวนการพนัน บางครั้งเรียกว่า “ความได้เปรียบของผู้เล่น” (หากเป็นผลบวกต่อผู้เล่น) หรือ “ความได้เปรียบของเจ้ามือ” (หากเป็นผลลบต่อผู้เล่น)

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือเปอร์เซ็นต์ของกำไรจากการชนะคูณด้วย กำไรเฉลี่ยลบความน่าจะเป็นที่จะสูญเสียคูณด้วยการสูญเสียโดยเฉลี่ย

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์

ลักษณะตัวเลขที่สำคัญอย่างหนึ่งของตัวแปรสุ่มคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ให้เราแนะนำแนวคิดของระบบตัวแปรสุ่ม ลองพิจารณาชุดตัวแปรสุ่มที่เป็นผลลัพธ์ของการทดลองสุ่มเดียวกัน ถ้า เป็นหนึ่งในค่าที่เป็นไปได้ของระบบ เหตุการณ์จะสอดคล้องกับความน่าจะเป็นบางประการที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของ Kolmogorov ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้สำหรับค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มเรียกว่ากฎการแจกแจงร่วม ฟังก์ชั่นนี้ช่วยให้คุณคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ จาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งกฎการกระจายร่วมของตัวแปรสุ่มและซึ่งรับค่าจากเซตและได้รับจากความน่าจะเป็น

คำว่า “ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์” ได้รับการแนะนำโดย Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) และมาจากแนวคิดเรื่อง “มูลค่าที่คาดหวังของการชนะ” ซึ่งปรากฏครั้งแรกในศตวรรษที่ 17 ในทฤษฎีการพนันในงานของ Blaise Pascal และ Christiaan ฮอยเกนส์. อย่างไรก็ตาม Pafnuty Lvovich Chebyshev (กลางศตวรรษที่ 19) เป็นผู้ให้ความเข้าใจทางทฤษฎีและการประเมินแนวคิดนี้อย่างสมบูรณ์เป็นครั้งแรก

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม (ฟังก์ชันการกระจายและอนุกรมการกระจายหรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) อธิบายพฤติกรรมของตัวแปรสุ่มได้อย่างสมบูรณ์ แต่ในปัญหาหลายประการ ก็เพียงพอที่จะทราบคุณลักษณะเชิงตัวเลขของปริมาณที่กำลังศึกษา (เช่น ค่าเฉลี่ยและความเบี่ยงเบนที่เป็นไปได้) เพื่อตอบคำถามที่ถูกตั้งไว้ ลักษณะตัวเลขหลักของตัวแปรสุ่มคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความแปรปรวน โหมด และค่ามัธยฐาน

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้และความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน บางครั้งความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เรียกว่าค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักเนื่องจากมีค่าประมาณเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มในการทดลองจำนวนมาก จากคำจำกัดความของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ค่าของมันจะไม่น้อยกว่าค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม และไม่มากไปกว่าค่าที่ใหญ่ที่สุด ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนั้นเป็นตัวแปรที่ไม่สุ่ม (ค่าคงที่)

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มีความหมายทางกายภาพง่ายๆ: หากคุณวางมวลต่อหน่วยบนเส้นตรง วางมวลจำนวนหนึ่งที่จุดใดจุดหนึ่ง (สำหรับการกระจายแบบไม่ต่อเนื่อง) หรือ "ทา" มวลนั้นด้วยความหนาแน่นที่แน่นอน (สำหรับการกระจายอย่างต่อเนื่องอย่างแน่นอน) แล้วจุดที่ตรงกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเป็นพิกัด "จุดศูนย์ถ่วง" ที่เป็นเส้นตรง

ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มคือตัวเลขจำนวนหนึ่งซึ่งเสมือนเป็น "ค่าตัวแทน" และแทนที่ด้วยการคำนวณโดยประมาณโดยประมาณ เมื่อเราพูดว่า: “เวลาใช้งานหลอดไฟโดยเฉลี่ยคือ 100 ชั่วโมง” หรือ “จุดกระแทกโดยเฉลี่ยจะเลื่อนสัมพันธ์กับเป้าหมายไปทางขวา 2 ม.” เรากำลังระบุลักษณะตัวเลขที่แน่นอนของตัวแปรสุ่มที่อธิบายตำแหน่งของหลอดไฟ บนแกนตัวเลขเช่น "ลักษณะตำแหน่ง"

จากลักษณะของตำแหน่งในทฤษฎีความน่าจะเป็น บทบาทที่สำคัญที่สุดคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ซึ่งบางครั้งเรียกว่าค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม

พิจารณาตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์มีค่าที่เป็นไปได้ x1, x2, …, xnด้วยความน่าจะเป็น p1, p2, …, พีเอ็น. เราจำเป็นต้องระบุตำแหน่งของค่าของตัวแปรสุ่มบนแกน x ด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่งโดยคำนึงถึงความจริงที่ว่าค่าเหล่านี้มีความน่าจะเป็นที่แตกต่างกัน เพื่อจุดประสงค์นี้ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สิ่งที่เรียกว่า "ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก" ของค่าต่างๆ ซีและแต่ละค่า xi ในระหว่างการหาค่าเฉลี่ยควรนำมาพิจารณาด้วย "น้ำหนัก" ตามสัดส่วนกับความน่าจะเป็นของค่านี้ ดังนั้นเราจะคำนวณค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์ซึ่งเราแสดงถึง เอ็ม |เอ็กซ์|:

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักนี้เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม ดังนั้นเราจึงนำแนวคิดที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งของทฤษฎีความน่าจะเป็นมาพิจารณา - แนวคิดเรื่องความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มคือผลรวมของผลิตภัณฑ์ของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้

เอ็กซ์เชื่อมต่อกันด้วยการพึ่งพาที่แปลกประหลาดกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มในการทดลองจำนวนมาก การพึ่งพานี้เป็นประเภทเดียวกับการพึ่งพาระหว่างความถี่และความน่าจะเป็น กล่าวคือ ด้วยการทดลองจำนวนมาก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่มจะเข้าใกล้ (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ จากการมีความเชื่อมโยงระหว่างความถี่และความน่าจะเป็น เราสามารถสรุปได้ว่ามีความเชื่อมโยงที่คล้ายกันระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ อันที่จริงให้พิจารณาตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์โดดเด่นด้วยชุดการจัดจำหน่าย:

ให้มันผลิตออกมา เอ็นการทดลองอิสระซึ่งในแต่ละอันมีค่า เอ็กซ์รับค่าที่แน่นอน สมมุติว่าค่านั้น x1ปรากฏขึ้น ม1ครั้ง ความคุ้มค่า x2ปรากฏขึ้น ตร.มครั้ง ความหมายทั่วไป ซีปรากฏไมล์ครั้ง ให้เราคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของค่า X ซึ่งตรงกันข้ามกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เอ็ม|เอ็กซ์|เราแสดงถึง ม*|X|:

ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้น เอ็นความถี่ ปี่จะเข้าใกล้ (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่ม เอ็ม|เอ็กซ์|ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้น มันจะเข้าใกล้ (มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น) สู่ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การเชื่อมโยงระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่จัดทำขึ้นข้างต้นถือเป็นเนื้อหารูปแบบหนึ่งของกฎจำนวนมาก

เรารู้อยู่แล้วว่ากฎจำนวนมากทุกรูปแบบระบุถึงความจริงที่ว่าค่าเฉลี่ยบางค่ามีเสถียรภาพในการทดลองจำนวนมาก ที่นี่เรากำลังพูดถึงความเสถียรของค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากการสังเกตหลายๆ ชุดที่มีปริมาณเท่ากัน ด้วยการทดลองจำนวนน้อย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลลัพธ์จะเป็นแบบสุ่ม ด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้นเพียงพอ มันจึงกลายเป็น "เกือบจะไม่สุ่ม" และเข้าใกล้อย่างเสถียร ค่าคงที่– ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ความเสถียรของค่าเฉลี่ยจากการทดลองจำนวนมากสามารถตรวจสอบได้โดยง่ายจากการทดลอง ตัวอย่างเช่น เมื่อชั่งน้ำหนักร่างกายในห้องปฏิบัติการด้วยเครื่องชั่งที่แม่นยำ จากการชั่งน้ำหนัก เราก็จะได้ค่าใหม่ทุกครั้ง เพื่อลดข้อผิดพลาดในการสังเกต เราชั่งน้ำหนักร่างกายหลายครั้งและใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่ได้รับ เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าเมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้น (การชั่งน้ำหนัก) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะตอบสนองต่อการเพิ่มขึ้นนี้น้อยลงเรื่อยๆ และเมื่อมีการทดลองจำนวนมากเพียงพอ ในทางปฏิบัติก็หยุดการเปลี่ยนแปลง

ควรสังเกตว่าลักษณะที่สำคัญที่สุดของตำแหน่งของตัวแปรสุ่ม - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ - ไม่มีอยู่ในตัวแปรสุ่มทั้งหมด เป็นไปได้ที่จะเขียนตัวอย่างของตัวแปรสุ่มที่ไม่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากผลรวมหรือปริพันธ์ที่สอดคล้องกัน อย่างไรก็ตาม กรณีดังกล่าวไม่เป็นประโยชน์อย่างมากต่อการปฏิบัติ โดยทั่วไปแล้ว ตัวแปรสุ่มที่เราจัดการจะมีช่วงค่าที่เป็นไปได้ที่จำกัด และแน่นอนว่ามีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ด้วย

นอกเหนือจากคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของตำแหน่งของตัวแปรสุ่ม - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ - ในทางปฏิบัติแล้ว บางครั้งมีการใช้คุณลักษณะอื่นๆ ของตำแหน่ง โดยเฉพาะโหมดและค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม

โหมดของตัวแปรสุ่มคือค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด คำว่า "มูลค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด" หากพูดอย่างเคร่งครัดใช้เฉพาะกับปริมาณที่ไม่ต่อเนื่องเท่านั้น สำหรับปริมาณต่อเนื่อง โหมดคือค่าที่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสูงสุด ตัวเลขแสดงโหมดสำหรับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องตามลำดับ

หากรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย (เส้นโค้งการกระจาย) มีค่าสูงสุดมากกว่าหนึ่งค่า การแจกแจงจะเรียกว่า "หลายรูปแบบ"

บางครั้งมีการแจกแจงที่มีค่าต่ำสุดอยู่ตรงกลางมากกว่าค่าสูงสุด การแจกแจงดังกล่าวเรียกว่า "การต่อต้านกิริยา"

ในกรณีทั่วไป โหมดและความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มไม่ตรงกัน ในกรณีเฉพาะ เมื่อการแจกแจงเป็นแบบสมมาตรและเป็นกิริยาช่วย (เช่น มีโหมด) และมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การแจกแจงจะสอดคล้องกับโหมดและศูนย์กลางของสมมาตรของการแจกแจง

มักใช้คุณลักษณะตำแหน่งอื่น - สิ่งที่เรียกว่าค่ามัธยฐานของตัวแปรสุ่ม โดยทั่วไปคุณลักษณะนี้จะใช้เฉพาะกับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องเท่านั้น แม้ว่าจะสามารถกำหนดอย่างเป็นทางการสำหรับตัวแปรที่ไม่ต่อเนื่องก็ตาม ในเชิงเรขาคณิต ค่ามัธยฐานคือจุดขาดของจุดที่พื้นที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งการกระจายถูกแบ่งออกเป็นครึ่งหนึ่ง

ในกรณีของการแจกแจงแบบโมดอลแบบสมมาตร ค่ามัธยฐานจะสอดคล้องกับความคาดหวังและโหมดทางคณิตศาสตร์

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่ม ซึ่งเป็นคุณลักษณะเชิงตัวเลขของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม โดยทั่วไปแล้ว ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์(ญ)ถูกกำหนดให้เป็นอินทิกรัลของ Lebesgue ที่เกี่ยวข้องกับการวัดความน่าจะเป็น รในพื้นที่ความน่าจะเป็นเดิม:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สามารถคำนวณได้จากอินทิกรัล Lebesgue ของ เอ็กซ์โดยการกระจายความน่าจะเป็น พิกเซลปริมาณ เอ็กซ์:

แนวคิดของตัวแปรสุ่มที่มีการคาดหวังทางคณิตศาสตร์อนันต์สามารถกำหนดได้ด้วยวิธีธรรมชาติ ตัวอย่างทั่วไปคือเวลากลับของการเดินสุ่มบางช่วง

การใช้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ คุณลักษณะเชิงตัวเลขและฟังก์ชันของการแจกแจงจำนวนมากจะถูกกำหนด (เป็นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันที่สอดคล้องกันของตัวแปรสุ่ม) ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันการสร้าง ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ โมเมนต์ของลำดับใดๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการกระจายตัว ความแปรปรวนร่วม .

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นลักษณะของตำแหน่งของค่าของตัวแปรสุ่ม (ค่าเฉลี่ยของการแจกแจง) ในตำแหน่งนี้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์การกระจาย "ทั่วไป" และบทบาทของมันจะคล้ายกับบทบาทของโมเมนต์คงที่ ซึ่งเป็นพิกัดของจุดศูนย์ถ่วงของการกระจายมวล ในกลศาสตร์ จากลักษณะอื่น ๆ ของตำแหน่งด้วยความช่วยเหลือซึ่งอธิบายการแจกแจงในแง่ทั่วไป - ค่ามัธยฐาน, โหมด, ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะแตกต่างกันในค่าที่มากกว่าและลักษณะการกระเจิงที่สอดคล้องกัน - การกระจายตัว - มีอยู่ในทฤษฎีบทขีดจำกัดของทฤษฎีความน่าจะเป็น ความหมายของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้รับการเปิดเผยอย่างเต็มที่ตามกฎของจำนวนจำนวนมาก (อสมการของเชบีเชฟ) และกฎที่เสริมความแข็งแกร่งของจำนวนมาก

ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

ให้มีตัวแปรสุ่มบางตัวที่สามารถรับค่าตัวเลขได้หลายค่า (เช่น จำนวนแต้มเมื่อทอยลูกเต๋าอาจเป็น 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6) บ่อยครั้งในทางปฏิบัติสำหรับค่าดังกล่าวคำถามเกิดขึ้น: ต้องใช้ค่า "โดยเฉลี่ย" เท่าใดกับการทดสอบจำนวนมาก? รายได้เฉลี่ย (หรือขาดทุน) ของเราจากธุรกรรมที่มีความเสี่ยงแต่ละรายการจะเป็นเท่าใด

สมมติว่ามีลอตเตอรีบางชนิด เราต้องการเข้าใจว่าการเข้าร่วมจะทำกำไรหรือไม่ (หรือแม้กระทั่งเข้าร่วมซ้ำ ๆ เป็นประจำ) สมมติว่าตั๋วทุกใบที่สี่เป็นผู้ชนะ รางวัลจะเป็น 300 รูเบิล และราคาของตั๋วใดๆ จะเป็น 100 รูเบิล ด้วยจำนวนผู้เข้าร่วมที่มากมายไม่สิ้นสุด นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น เราจะแพ้ในสามในสี่ของกรณี ทุก ๆ การสูญเสียสามครั้งจะมีราคา 300 รูเบิล ในทุก ๆ สี่เราจะชนะ 200 รูเบิล (รางวัลหักค่าใช้จ่าย) นั่นคือสำหรับการมีส่วนร่วมสี่ครั้งเราเสียโดยเฉลี่ย 100 รูเบิลต่อหนึ่งครั้ง - โดยเฉลี่ย 25 ​​รูเบิล โดยรวมแล้วอัตราความเสียหายเฉลี่ยของเราจะอยู่ที่ 25 รูเบิลต่อตั๋ว

เราโยนลูกเต๋า ถ้าไม่โกง(ไม่เปลี่ยนจุดศูนย์ถ่วง ฯลฯ) แล้วเราจะได้คะแนนเฉลี่ยครั้งละกี่คะแนน? เนื่องจากแต่ละตัวเลือกมีโอกาสเท่ากัน เราจึงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตแล้วได้ 3.5 เนื่องจากนี่คือค่าเฉลี่ยจึงไม่จำเป็นต้องโกรธเคืองที่ไม่มีการหมุนใดเป็นพิเศษจะให้ 3.5 แต้ม - ลูกบาศก์นี้ไม่มีหน้าที่มีตัวเลขเช่นนี้!

ตอนนี้เรามาสรุปตัวอย่างของเรา:

มาดูภาพที่เพิ่งให้มากัน ด้านซ้ายเป็นตารางการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม ค่า X สามารถรับหนึ่งใน n ค่าที่เป็นไปได้ (แสดงในบรรทัดบนสุด) ไม่สามารถมีความหมายอื่นใดได้ ภายใต้ค่าที่เป็นไปได้แต่ละค่า ความน่าจะเป็นของมันจะถูกเขียนไว้ด้านล่าง ทางด้านขวาคือสูตร โดยที่ M(X) เรียกว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ความหมายของค่านี้คือเมื่อมีการทดสอบจำนวนมาก (โดยมีตัวอย่างจำนวนมาก) ค่าเฉลี่ยจะมีแนวโน้มที่จะเป็นไปตามความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เดียวกันนี้

กลับมาอีกครั้งกับการเล่นคิวบ์แบบเดิม ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของจำนวนคะแนนเมื่อขว้างคือ 3.5 (คำนวณด้วยตัวเองโดยใช้สูตรหากคุณไม่เชื่อฉัน) สมมติว่าคุณโยนมันสองสามครั้ง ผลลัพธ์คือ 4 และ 6 ค่าเฉลี่ยคือ 5 ซึ่งยังห่างไกลจาก 3.5 พวกเขาโยนมันอีกครั้ง พวกเขาได้ 3 นั่นคือโดยเฉลี่ย (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... ค่อนข้างไกลจากความคาดหมายทางคณิตศาสตร์มาก ตอนนี้ทำการทดลองสุดมันส์ - หมุนลูกบาศก์ 1,000 ครั้ง! และถึงแม้ค่าเฉลี่ยจะไม่เท่ากับ 3.5 พอดีแต่ก็จะใกล้เคียงกัน

มาคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สำหรับลอตเตอรีที่อธิบายไว้ข้างต้น จานจะมีลักษณะดังนี้:

จากนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเป็นไปตามที่เรากำหนดไว้ข้างต้น:

อีกประการหนึ่งคือการทำ "ด้วยนิ้ว" โดยไม่มีสูตรคงเป็นเรื่องยากหากมีตัวเลือกมากกว่านี้ สมมติว่าจะมีตั๋วที่แพ้ 75% ตั๋วที่ชนะ 20% และ 5% โดยเฉพาะตั๋วที่ชนะ

ตอนนี้คุณสมบัติบางอย่างของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ง่ายที่จะพิสูจน์:

ปัจจัยคงที่สามารถนำออกมาเป็นสัญญาณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ได้ นั่นคือ:

นี่เป็นกรณีพิเศษของคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งของความเป็นเชิงเส้นของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

นั่นคือ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของผลรวมของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม

ให้ X, Y เป็นตัวแปรสุ่มอิสระ, แล้ว:

นี่พิสูจน์ได้ง่ายเช่นกัน) การทำงาน เอ็กซ์วายตัวเองเป็นตัวแปรสุ่มและหากค่าเริ่มต้นสามารถรับได้ nและ มคุณค่าตามนั้นแล้ว เอ็กซ์วายสามารถรับค่า nm ได้ ความน่าจะเป็นของแต่ละค่าจะคำนวณตามข้อเท็จจริงที่ว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระจะถูกคูณกัน เป็นผลให้เราได้รับสิ่งนี้:

ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องมีลักษณะเฉพาะเช่นความหนาแน่นของการแจกแจง (ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) โดยพื้นฐานแล้วมันเป็นการแสดงลักษณะสถานการณ์ที่ตัวแปรสุ่มรับค่าบางค่าจากเซตของจำนวนจริงบ่อยกว่าและบางค่าน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณากราฟนี้:

ที่นี่ เอ็กซ์- ตัวแปรสุ่มจริง ฉ(x)- ความหนาแน่นของการกระจาย ตัดสินโดยกราฟนี้ระหว่างการทดลองค่า เอ็กซ์มักจะเป็นตัวเลขที่ใกล้ศูนย์ โอกาสมีเกิน 3 หรือจะเล็กลง -3 ค่อนข้างเป็นเชิงทฤษฎีล้วนๆ

สมมติว่ามีการกระจายแบบสม่ำเสมอ:

สิ่งนี้ค่อนข้างสอดคล้องกับความเข้าใจตามสัญชาตญาณ สมมติว่าถ้าเราได้รับจำนวนจริงสุ่มจำนวนมากที่มีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอในแต่ละส่วน |0; 1| ดังนั้นค่าเฉลี่ยเลขคณิตควรอยู่ที่ประมาณ 0.5

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ - ความเป็นเส้นตรง ฯลฯ ที่ใช้ได้กับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ก็สามารถใช้ได้ที่นี่เช่นกัน

ความสัมพันธ์ระหว่างความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กับตัวชี้วัดทางสถิติอื่นๆ

ในการวิเคราะห์ทางสถิติควบคู่ไปกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ มีระบบของตัวบ่งชี้ที่พึ่งพาซึ่งกันและกันซึ่งสะท้อนถึงความเป็นเนื้อเดียวกันของปรากฏการณ์และความเสถียรของกระบวนการ ตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลงมักไม่มีความหมายที่เป็นอิสระและใช้สำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลเพิ่มเติม ข้อยกเว้นคือค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน ซึ่งระบุลักษณะความเป็นเนื้อเดียวกันของข้อมูล ซึ่งเป็นคุณลักษณะทางสถิติที่มีค่า

ระดับของความแปรปรวนหรือความเสถียรของกระบวนการในวิทยาศาสตร์เชิงสถิติสามารถวัดได้โดยใช้ตัวบ่งชี้หลายตัว

ตัวบ่งชี้ที่สำคัญที่สุดที่แสดงถึงความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มคือ การกระจายตัวซึ่งมีความเกี่ยวข้องและสัมพันธ์โดยตรงกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มากที่สุด พารามิเตอร์นี้ถูกใช้อย่างแข็งขันในการวิเคราะห์ทางสถิติประเภทอื่นๆ (การทดสอบสมมติฐาน การวิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผล ฯลฯ) เช่นเดียวกับค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นโดยเฉลี่ย ความแปรปรวนยังสะท้อนถึงขอบเขตของการแพร่กระจายของข้อมูลรอบๆ ค่าเฉลี่ยอีกด้วย

การแปลภาษาของสัญลักษณ์เป็นภาษาของคำจะมีประโยชน์ ปรากฎว่าการกระจายตัวคือกำลังสองเฉลี่ยของการเบี่ยงเบน นั่นคือคำนวณค่าเฉลี่ยก่อน จากนั้นนำความแตกต่างระหว่างมูลค่าดั้งเดิมและค่าเฉลี่ยแต่ละค่า ยกกำลังสอง บวก แล้วหารด้วยจำนวนค่าในประชากร ความแตกต่างระหว่างค่าแต่ละค่ากับค่าเฉลี่ยสะท้อนถึงการวัดค่าเบี่ยงเบน มันถูกยกกำลังสองเพื่อให้การเบี่ยงเบนทั้งหมดกลายเป็นตัวเลขบวกโดยเฉพาะ และเพื่อหลีกเลี่ยงการทำลายการเบี่ยงเบนเชิงบวกและเชิงลบร่วมกันเมื่อรวมเข้าด้วยกัน จากนั้น เมื่อพิจารณาค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง เราก็เพียงคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ย - สี่เหลี่ยม - ส่วนเบี่ยงเบน ส่วนเบี่ยงเบนจะถูกยกกำลังสองและคำนวณค่าเฉลี่ย คำตอบของคำว่า "การกระจายตัว" อันมหัศจรรย์นั้นมีเพียงสามคำเท่านั้น

อย่างไรก็ตาม ในรูปแบบบริสุทธิ์ เช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือดัชนี จะไม่มีการใช้การกระจายตัว ค่อนข้างเป็นตัวบ่งชี้เสริมและระดับกลางที่ใช้สำหรับการวิเคราะห์ทางสถิติประเภทอื่นๆ มันไม่มีหน่วยวัดปกติด้วยซ้ำ เมื่อพิจารณาจากสูตร นี่คือกำลังสองของหน่วยการวัดข้อมูลต้นฉบับ

ให้เราวัดตัวแปรสุ่ม เอ็นเช่นเราวัดความเร็วลมสิบครั้งแล้วต้องการหาค่าเฉลี่ย ค่าเฉลี่ยเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันการแจกแจงอย่างไร

หรือเราจะทอยลูกเต๋า จำนวนมากครั้งหนึ่ง. จำนวนแต้มที่จะปรากฏบนลูกเต๋าในการโยนแต่ละครั้งเป็นตัวแปรสุ่มและสามารถรับค่าธรรมชาติใดๆ ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 6 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของแต้มที่หล่นซึ่งคำนวณสำหรับการโยนลูกเต๋าทั้งหมดก็เป็นตัวแปรสุ่มเช่นกัน แต่สำหรับขนาดใหญ่ เอ็นมันมีแนวโน้มที่จะเป็นจำนวนที่เฉพาะเจาะจงมาก - ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ม. ในกรณีนี้ Mx = 3.5

คุณได้รับคุณค่านี้มาได้อย่างไร? ให้เข้า เอ็นการทดสอบ n1เมื่อคุณได้รับ 1 แต้ม n2หนึ่งครั้ง - 2 คะแนนเป็นต้น จากนั้นจำนวนผลลัพธ์ที่จุดหนึ่งลดลง:

ในทำนองเดียวกันสำหรับผลลัพธ์เมื่อมีการทอยคะแนน 2, 3, 4, 5 และ 6

ตอนนี้ให้เราสมมติว่าเรารู้กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม x นั่นคือเรารู้ว่าตัวแปรสุ่ม x สามารถรับค่า x1, x2, ..., xk ด้วยความน่าจะเป็น p1, p2, ..., พีเค

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ Mx ของตัวแปรสุ่ม x เท่ากับ:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่การประมาณการที่สมเหตุสมผลของตัวแปรสุ่มบางตัวเสมอไป ดังนั้นเพื่อประมาณค่าเฉลี่ย ค่าจ้างมันสมเหตุสมผลกว่าที่จะใช้แนวคิดเรื่องค่ามัธยฐานนั่นคือค่าที่จำนวนผู้ได้รับเงินเดือนต่ำกว่าค่ามัธยฐานและค่าที่มากกว่าตรงกัน

ความน่าจะเป็น p1 ที่ตัวแปรสุ่ม x จะน้อยกว่า x1/2 และความน่าจะเป็น p2 ที่ตัวแปรสุ่ม x จะมากกว่า x1/2 จะเท่ากันและเท่ากับ 1/2 ค่ามัธยฐานไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะสำหรับการแจกแจงทั้งหมด

มาตรฐานหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานในสถิติจะเรียกว่าระดับความเบี่ยงเบนของข้อมูลเชิงสังเกตหรือชุดจากค่า AVERAGE เขียนแทนด้วยตัวอักษร s หรือ s ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเล็กน้อยบ่งชี้ว่ากลุ่มข้อมูลรอบๆ ค่าเฉลี่ย ในขณะที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่สูงบ่งชี้ว่าข้อมูลเริ่มต้นอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ย ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับรากที่สองของปริมาณที่เรียกว่าความแปรปรวน เป็นค่าเฉลี่ยของผลรวมของผลต่างกำลังสองของข้อมูลเริ่มต้นที่เบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ย ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มคือรากที่สองของความแปรปรวน:

ตัวอย่าง. ภายใต้เงื่อนไขการทดสอบเมื่อยิงไปที่เป้าหมาย ให้คำนวณการกระจายตัวและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม:

การเปลี่ยนแปลง- ความผันผวน การเปลี่ยนแปลงของมูลค่าคุณลักษณะระหว่างหน่วยประชากร ค่าตัวเลขส่วนบุคคลของลักษณะที่พบในประชากรที่ศึกษาเรียกว่าค่าแปรผัน ค่าเฉลี่ยไม่เพียงพอสำหรับ คุณสมบัติครบถ้วนประชากรบังคับให้เราเสริมค่าเฉลี่ยด้วยตัวบ่งชี้ที่ช่วยให้เราสามารถประเมินความเป็นปกติของค่าเฉลี่ยเหล่านี้โดยการวัดความแปรปรวน (ความแปรปรวน) ของคุณลักษณะที่กำลังศึกษา ค่าสัมประสิทธิ์การเปลี่ยนแปลงคำนวณโดยใช้สูตร:

ช่วงของการเปลี่ยนแปลง(R) แสดงถึงความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุดและต่ำสุดของคุณลักษณะในประชากรที่กำลังศึกษา ตัวบ่งชี้นี้ให้ประโยชน์สูงสุด ความคิดทั่วไปเกี่ยวกับความแปรปรวนของลักษณะที่ศึกษาเนื่องจากแสดงให้เห็นความแตกต่างระหว่างเท่านั้น ค่าจำกัดตัวเลือก. การขึ้นอยู่กับค่าสุดขีดของคุณลักษณะทำให้ขอบเขตของการเปลี่ยนแปลงมีอักขระสุ่มที่ไม่เสถียรและสุ่ม

ค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ยแสดงถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ (โมดูโล) ของค่าทั้งหมดของประชากรที่วิเคราะห์จากค่าเฉลี่ย:

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในทฤษฎีการพนัน

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คือจำนวนเงินโดยเฉลี่ยที่นักพนันสามารถชนะหรือแพ้ได้ในการเดิมพันที่กำหนด นี่เป็นแนวคิดที่สำคัญมากสำหรับผู้เล่นเนื่องจากเป็นพื้นฐานในการประเมินสถานการณ์การเล่นเกมส่วนใหญ่ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการวิเคราะห์เค้าโครงการ์ดพื้นฐานและสถานการณ์การเล่นเกม

สมมติว่าคุณกำลังเล่นเกมเหรียญกับเพื่อน โดยเดิมพัน 1 ดอลลาร์เท่ากันในแต่ละครั้ง ไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้นก็ตาม ก้อย แปลว่า ชนะ หัว แปลว่า แพ้ อัตราต่อรองจะเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้นคุณเดิมพัน $1 ถึง $1 ดังนั้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของคุณจึงเป็นศูนย์ เพราะ จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ คุณไม่สามารถรู้ได้ว่าคุณจะขึ้นนำหรือแพ้หลังจากโยนสองครั้งหรือหลังจาก 200 ครั้ง

กำไรรายชั่วโมงของคุณเป็นศูนย์ เงินรางวัลรายชั่วโมงคือจำนวนเงินที่คุณคาดว่าจะชนะในหนึ่งชั่วโมง คุณสามารถโยนเหรียญได้ 500 ครั้งในหนึ่งชั่วโมง แต่คุณจะไม่ชนะหรือแพ้เพราะ... โอกาสของคุณไม่ใช่ทั้งบวกและลบ หากมองจากมุมมองของผู้เล่นที่จริงจังระบบการเดิมพันนี้ไม่เลว แต่นี่เป็นเพียงการเสียเวลา

แต่สมมติว่ามีคนต้องการเดิมพัน $2 ต่อ $1 ของคุณในเกมเดียวกัน จากนั้นคุณจะมีความคาดหวังเป็นบวก 50 เซ็นต์จากการเดิมพันแต่ละครั้งทันที ทำไมต้อง 50 เซ็นต์? โดยเฉลี่ยแล้ว คุณจะชนะเดิมพันหนึ่งครั้งและแพ้ครั้งที่สอง เดิมพันดอลลาร์แรกแล้วคุณจะเสีย 1 ดอลลาร์ เดิมพันครั้งที่สองแล้วคุณจะชนะ 2 ดอลลาร์ คุณเดิมพัน $1 สองครั้งและนำหน้า $1 ดังนั้นการเดิมพันหนึ่งดอลลาร์แต่ละครั้งของคุณจะทำให้คุณได้รับ 50 เซ็นต์

หากเหรียญปรากฏ 500 ครั้งในหนึ่งชั่วโมง เงินรางวัลรายชั่วโมงของคุณจะอยู่ที่ 250 ดอลลาร์แล้ว เพราะ... โดยเฉลี่ยแล้ว คุณเสียเงินหนึ่งดอลลาร์ 250 ครั้ง และถูกรางวัลสองดอลลาร์ 250 ครั้ง $500 ลบ $250 เท่ากับ $250 ซึ่งเป็นเงินรางวัลทั้งหมด โปรดทราบว่ามูลค่าที่คาดหวังซึ่งเป็นจำนวนเงินโดยเฉลี่ยที่คุณชนะต่อการเดิมพันคือ 50 เซ็นต์ คุณได้รับรางวัล $250 จากการเดิมพันหนึ่งดอลลาร์ 500 ครั้ง ซึ่งเท่ากับ 50 เซ็นต์ต่อการเดิมพัน

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ไม่เกี่ยวข้องกับผลลัพธ์ระยะสั้น คู่ต่อสู้ของคุณที่ตัดสินใจเดิมพัน 2 ดอลลาร์ต่อคุณ สามารถเอาชนะคุณได้ใน 10 ม้วนแรกติดต่อกัน แต่คุณมีความได้เปรียบในการเดิมพัน 2 ต่อ 1 สิ่งอื่นๆ ที่เท่าเทียมกัน จะได้รับ 50 เซ็นต์จากทุกๆ การเดิมพัน 1 ดอลลาร์ในสกุลเงินใดก็ได้ สถานการณ์. ไม่สำคัญว่าคุณจะชนะหรือแพ้เดิมพันหนึ่งรายการหรือหลายรายการ ตราบใดที่คุณมีเงินสดเพียงพอที่จะครอบคลุมค่าใช้จ่ายได้อย่างสบายๆ หากคุณยังคงเดิมพันในลักษณะเดิม เมื่อเวลาผ่านไป เงินรางวัลของคุณจะเข้าใกล้ผลรวมของความคาดหวังในการโยนแต่ละครั้ง

ทุกครั้งที่คุณวางเดิมพันที่ดีที่สุด (เดิมพันที่อาจกลายเป็นผลกำไรในระยะยาว) เมื่ออัตราต่อรองเข้าข้างคุณ คุณจะต้องชนะบางสิ่งจากสิ่งนั้น ไม่ว่าคุณจะแพ้หรือไม่ก็ตาม ให้มือ ในทางกลับกัน หากคุณเดิมพันฝ่ายรอง (การเดิมพันที่ไม่ได้ผลกำไรในระยะยาว) เมื่ออัตราต่อรองขัดแย้งกับคุณ คุณจะสูญเสียบางสิ่งไม่ว่าคุณจะชนะหรือแพ้ในมือก็ตาม

คุณวางเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่ดีที่สุดหากความคาดหวังของคุณเป็นบวก และจะเป็นเชิงบวกหากอัตราต่อรองอยู่ฝั่งคุณ เมื่อคุณวางเดิมพันด้วยผลลัพธ์ที่แย่ที่สุด คุณจะมีความคาดหวังเชิงลบ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่ออัตราต่อรองขัดแย้งกับคุณ ผู้เล่นที่จริงจังจะเดิมพันเฉพาะผลลัพธ์ที่ดีที่สุดเท่านั้น หากเกิดเหตุการณ์เลวร้ายที่สุด พวกเขาจะหมอบลง อัตราต่อรองหมายถึงอะไรในความโปรดปรานของคุณ? คุณอาจจบลงด้วยการชนะมากกว่าราคาต่อรองที่แท้จริง อัตราต่อรองที่แท้จริงของการลงจอดคือ 1 ต่อ 1 แต่คุณจะได้ 2 ต่อ 1 เนื่องจากอัตราส่วนอัตราต่อรอง ในกรณีนี้ อัตราต่อรองจะเข้าข้างคุณ คุณจะได้รับผลลัพธ์ที่ดีที่สุดอย่างแน่นอนโดยคาดหวังบวก 50 เซ็นต์ต่อการเดิมพัน

นี่คือเพิ่มเติม ตัวอย่างที่ซับซ้อนความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เพื่อนเขียนตัวเลขตั้งแต่หนึ่งถึงห้าและเดิมพัน $5 กับ $1 ของคุณโดยที่คุณจะไม่เดาตัวเลขนั้น คุณควรยอมรับการเดิมพันดังกล่าวหรือไม่? คาดหวังอะไรที่นี่?

โดยเฉลี่ยแล้วคุณจะผิดสี่ครั้ง จากข้อมูลนี้ อัตราต่อรองที่คุณทายหมายเลขคือ 4 ต่อ 1 อัตราต่อรองที่คุณจะเสียเงินหนึ่งดอลลาร์ในครั้งเดียว อย่างไรก็ตาม คุณชนะ 5 ต่อ 1 โดยมีความเป็นไปได้ที่จะแพ้ 4 ต่อ 1 ดังนั้นอัตราต่อรองจึงเข้าข้างคุณ คุณสามารถเดิมพันและหวังว่าจะได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด หากคุณทำการเดิมพันนี้ห้าครั้ง โดยเฉลี่ยคุณจะเสียเงิน $1 สี่ครั้งและชนะ $5 หนึ่งครั้ง ตามนี้ สำหรับความพยายามทั้งห้าครั้ง คุณจะได้รับ $1 โดยมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นบวกที่ 20 เซ็นต์ต่อการเดิมพัน

ผู้เล่นที่จะชนะมากกว่าที่เขาเดิมพัน ดังตัวอย่างข้างต้น กำลังเสี่ยงโชค ในทางตรงกันข้าม เขาทำลายโอกาสของเขาเมื่อเขาคาดหวังว่าจะชนะน้อยกว่าที่เขาเดิมพัน นักพนันสามารถมีความคาดหวังเชิงบวกหรือเชิงลบก็ได้ ซึ่งขึ้นอยู่กับว่าเขาชนะหรือทำลายอัตราต่อรอง

หากคุณเดิมพัน $50 เพื่อชนะ $10 โดยมีโอกาสชนะ 4 ต่อ 1 คุณจะได้รับความคาดหวังติดลบที่ $2 เพราะ โดยเฉลี่ยแล้ว คุณจะชนะรางวัล $10 สี่ครั้งและเสียเงิน $50 หนึ่งครั้ง ซึ่งแสดงว่าการเสียต่อการเดิมพันจะเป็น $10 แต่ถ้าคุณเดิมพัน $30 เพื่อชนะ $10 โดยมีอัตราต่อรองเท่ากันในการชนะ 4 ต่อ 1 ในกรณีนี้ คุณจะมีความคาดหวังเป็นบวกที่ $2 เพราะ คุณชนะ $10 อีกครั้งสี่ครั้งและเสีย $30 หนึ่งครั้งเพื่อกำไร $10 ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการเดิมพันครั้งแรกนั้นไม่ดี และการเดิมพันครั้งที่สองนั้นดี

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นศูนย์กลางของทุกสถานการณ์การเล่นเกม เมื่อเจ้ามือรับแทงสนับสนุนให้แฟนฟุตบอลเดิมพัน 11 ดอลลาร์เพื่อรับรางวัล 10 ดอลลาร์ เขามีความคาดหวังเชิงบวกอยู่ที่ 50 เซ็นต์ทุกๆ 10 ดอลลาร์ หากคาสิโนจ่ายเงินเท่ากันจากพาสไลน์ ความคาดหวังเชิงบวกของคาสิโนจะอยู่ที่ประมาณ 1.40 ดอลลาร์ต่อทุกๆ 100 ดอลลาร์ เนื่องจาก เกมนี้ได้รับการออกแบบเพื่อให้ใครก็ตามที่เดิมพันในไลน์นี้จะสูญเสียโดยเฉลี่ย 50.7% และชนะ 49.3% ของเวลาทั้งหมด ไม่ต้องสงสัยเลยว่าความคาดหวังเชิงบวกเพียงเล็กน้อยที่ดูเหมือนจะนำผลกำไรมหาศาลมาสู่เจ้าของคาสิโนทั่วโลก ดังที่ Bob Stupak เจ้าของคาสิโน Vegas World กล่าวไว้ว่า “ความน่าจะเป็นเชิงลบหนึ่งในพันของหนึ่งเปอร์เซ็นต์ในระยะทางที่ยาวพอที่จะทำลายได้ คนที่รวยที่สุดในโลก".

ความคาดหวังเมื่อเล่นโป๊กเกอร์

เกมโป๊กเกอร์เป็นตัวอย่างที่มีภาพประกอบและชัดเจนที่สุดจากมุมมองของการใช้ทฤษฎีและคุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

มูลค่าที่คาดหวังในโป๊กเกอร์คือผลประโยชน์โดยเฉลี่ยจากการตัดสินใจครั้งใดครั้งหนึ่ง โดยมีเงื่อนไขว่าการตัดสินใจดังกล่าวสามารถพิจารณาได้ภายในกรอบของทฤษฎีตัวเลขจำนวนมากและระยะทางไกล เกมโป๊กเกอร์ที่ประสบความสำเร็จคือการยอมรับการเคลื่อนไหวโดยมีมูลค่าที่คาดหวังเป็นบวกเสมอ

ความหมายทางคณิตศาสตร์ของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เมื่อเล่นโป๊กเกอร์คือเรามักจะพบกับตัวแปรสุ่มเมื่อทำการตัดสินใจ (เราไม่รู้ว่าฝ่ายตรงข้ามมีไพ่ใบใดอยู่ในมือ ไพ่ใบใดที่จะมาในการเดิมพันรอบต่อ ๆ ไป) เราต้องพิจารณาแต่ละคำตอบจากมุมมองของทฤษฎีจำนวนมาก ซึ่งระบุว่าเมื่อมีตัวอย่างจำนวนมากเพียงพอ ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มจะมีแนวโน้มที่จะเป็นไปตามค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ในบรรดาสูตรเฉพาะสำหรับการคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ สิ่งต่อไปนี้สามารถใช้ได้มากที่สุดในโป๊กเกอร์:

เมื่อเล่นโป๊กเกอร์ สามารถคำนวณมูลค่าที่คาดหวังได้ทั้งการเดิมพันและการโทร ในกรณีแรก ควรคำนึงถึงสัดส่วนการพับ ส่วนประการที่สองคืออัตราต่อรองของธนาคาร เมื่อประเมินความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนไหวใดการเคลื่อนไหวหนึ่ง คุณควรจำไว้ว่าการพับมักจะมีความคาดหวังเป็นศูนย์เสมอ ดังนั้นการทิ้งไพ่จะเป็นการตัดสินใจที่ให้ผลกำไรมากกว่าการเคลื่อนไหวเชิงลบใดๆ เสมอ

ความคาดหวังจะบอกคุณถึงสิ่งที่คุณคาดหวังได้ (กำไรหรือขาดทุน) สำหรับทุกๆ ดอลลาร์ที่คุณเสี่ยง คาสิโนสร้างรายได้เพราะความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเกมทั้งหมดที่เล่นอยู่ในนั้นเป็นผลดีต่อคาสิโน ด้วยซีรีส์เกมที่มีความยาวเพียงพอ คุณสามารถคาดหวังได้ว่าลูกค้าจะสูญเสียเงินของเขา เนื่องจาก "อัตราต่อรอง" เป็นผลดีต่อคาสิโน อย่างไรก็ตาม ผู้เล่นคาสิโนมืออาชีพจำกัดเกมของตนให้อยู่ในช่วงเวลาสั้น ๆ ดังนั้นจึงเป็นการซ้อนอัตราต่อรองไว้เพื่อประโยชน์ของพวกเขา เช่นเดียวกับการลงทุน หากความคาดหวังของคุณเป็นบวก คุณก็สามารถรับรายได้ได้ เงินมากขึ้นทำให้การซื้อขายจำนวนมากในช่วงเวลาอันสั้น ความคาดหวังคือเปอร์เซ็นต์ของกำไรต่อการชนะคูณด้วยกำไรเฉลี่ย ลบความน่าจะเป็นที่จะสูญเสียคูณด้วยการสูญเสียโดยเฉลี่ย

โป๊กเกอร์สามารถพิจารณาได้จากมุมมองของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ คุณอาจคิดว่าการเคลื่อนไหวบางอย่างมีกำไร แต่ในบางกรณี อาจไม่ดีที่สุดเพราะการเคลื่อนไหวอื่นทำกำไรได้มากกว่า สมมติว่าคุณตีเต็มบ้านในโป๊กเกอร์แบบจั่วไพ่ห้าใบ คู่ต่อสู้ของคุณทำการเดิมพัน คุณรู้ว่าถ้าคุณเพิ่มเดิมพัน เขาจะตอบสนอง ดังนั้นการเลี้ยงดูจึงเป็นกลยุทธ์ที่ดีที่สุด แต่ถ้าคุณเพิ่มเดิมพัน ผู้เล่นสองคนที่เหลือจะหมอบอย่างแน่นอน แต่ถ้าคุณโทรมาคุณก็มั่นใจเต็มที่ว่านักเตะอีกสองคนที่อยู่ข้างหลังคุณจะทำเช่นเดียวกัน เมื่อคุณเพิ่มเดิมพัน คุณจะได้รับหนึ่งหน่วย และเมื่อคุณโทร คุณจะได้รับสองหน่วย ดังนั้นการโทรจะทำให้คุณได้รับความคาดหวังเชิงบวกที่สูงกว่าและจะเป็นกลยุทธ์ที่ดีที่สุด

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ยังสามารถให้แนวคิดว่ากลยุทธ์โป๊กเกอร์ใดทำกำไรได้น้อยกว่าและทำกำไรได้มากกว่า ตัวอย่างเช่น หากคุณเล่นมือใดมือหนึ่งและคุณคิดว่าการสูญเสียจะเฉลี่ย 75 เซ็นต์รวมแอนเต้ด้วย คุณควรเล่นมือนั้นเพราะว่า สิ่งนี้ดีกว่าการพับเมื่อ ante อยู่ที่ 1 ดอลลาร์

เหตุผลสำคัญอีกประการหนึ่งในการทำความเข้าใจแนวคิดของมูลค่าที่คาดหวังก็คือมันทำให้คุณรู้สึกสบายใจไม่ว่าคุณจะชนะการเดิมพันหรือไม่: หากคุณวางเดิมพันได้ดีหรือหมอบในเวลาที่เหมาะสม คุณจะรู้ว่าคุณได้รับหรือ ประหยัดเงินจำนวนหนึ่งซึ่งผู้เล่นที่อ่อนแอกว่าไม่สามารถออมได้ การหมอบจะยากกว่ามากหากคุณอารมณ์เสียเพราะคู่ต่อสู้ดึงมือที่แข็งแกร่งกว่า ด้วยเหตุนี้ เงินที่คุณประหยัดได้จากการไม่เล่นแทนการเดิมพันจะถูกเพิ่มเข้าไปในเงินรางวัลของคุณในคืนหรือเดือน

เพียงจำไว้ว่าหากคุณเปลี่ยนมือ คู่ต่อสู้จะโทรหาคุณ และดังที่คุณจะเห็นในบทความทฤษฎีบทพื้นฐานของโป๊กเกอร์ นี่เป็นเพียงหนึ่งในข้อดีของคุณ คุณควรจะมีความสุขเมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น คุณยังสามารถเรียนรู้ที่จะสนุกกับการสูญเสียมือได้เพราะคุณรู้ว่าผู้เล่นคนอื่นในตำแหน่งของคุณจะสูญเสียมากกว่านั้นมาก

ตามที่กล่าวไว้ในตัวอย่างเกมหยอดเหรียญในตอนต้น อัตรากำไรรายชั่วโมงสัมพันธ์กับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ และแนวคิดนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับผู้เล่นมืออาชีพ เมื่อคุณไปเล่นโป๊กเกอร์ คุณควรประเมินในใจว่าคุณสามารถชนะได้มากแค่ไหนในการเล่นหนึ่งชั่วโมง ในกรณีส่วนใหญ่คุณจะต้องพึ่งพาสัญชาตญาณและประสบการณ์ของคุณ แต่คุณสามารถใช้คณิตศาสตร์ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น คุณกำลังเล่น Draw Lowball และเห็นผู้เล่นสามคนเดิมพัน $10 แล้วแลกไพ่สองใบ ซึ่งเป็นกลยุทธ์ที่แย่มาก คุณจะคิดได้ว่าทุกครั้งที่พวกเขาเดิมพัน $10 พวกเขาเสียเงินประมาณ $2 แต่ละคนทำสิ่งนี้แปดครั้งต่อชั่วโมง ซึ่งหมายความว่าทั้งสามคนเสียเงินประมาณ $48 ต่อชั่วโมง คุณเป็นหนึ่งในผู้เล่นสี่คนที่เหลือซึ่งมีค่าใกล้เคียงกันโดยประมาณ ดังนั้นผู้เล่นสี่คนนี้ (และคุณในนั้นด้วย) จะต้องแบ่งเงิน $48 โดยแต่ละคนทำกำไรได้ $12 ต่อชั่วโมง อัตราต่อรองรายชั่วโมงของคุณในกรณีนี้จะเท่ากับส่วนแบ่งของจำนวนเงินที่เสียไปโดยผู้เล่นที่ไม่ดีสามคนในหนึ่งชั่วโมง

ในช่วงเวลาที่ยาวนาน เงินรางวัลรวมของผู้เล่นคือผลรวมของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของเขาในแต่ละมือ ยิ่งคุณเล่นหลายมือด้วยความคาดหวังเชิงบวก คุณก็จะยิ่งชนะมากขึ้น และในทางกลับกัน ยิ่งคุณเล่นด้วยความคาดหวังเชิงลบมากเท่าไร คุณก็ยิ่งสูญเสียมากขึ้นเท่านั้น ด้วยเหตุนี้ คุณควรเลือกเกมที่สามารถเพิ่มความคาดหวังเชิงบวกของคุณให้สูงสุด หรือลบล้างความคาดหวังเชิงลบของคุณ เพื่อให้คุณสามารถเพิ่มเงินรางวัลรายชั่วโมงได้สูงสุด

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เชิงบวกในกลยุทธ์การเล่นเกม

หากคุณรู้วิธีนับไพ่ คุณสามารถได้เปรียบเหนือคาสิโน ตราบใดที่พวกเขาไม่สังเกตเห็นและโยนคุณออกไป คาสิโนรักผู้เล่นที่เมาแล้วไม่ยอมให้ผู้เล่นนับไพ่ ข้อได้เปรียบจะช่วยให้คุณชนะได้มากกว่าที่คุณแพ้เมื่อเวลาผ่านไป การจัดการเงินที่ดีโดยใช้การคำนวณมูลค่าที่คาดหวังสามารถช่วยให้คุณดึงกำไรจากความได้เปรียบของคุณได้มากขึ้นและลดการสูญเสียของคุณ ถ้าไม่มีข้อได้เปรียบ คุณก็บริจาคเงินให้การกุศลดีกว่า ในเกมในตลาดหลักทรัพย์ ระบบเกมจะมอบข้อได้เปรียบซึ่งสร้างผลกำไรมากกว่าการขาดทุน ส่วนต่างของราคา และค่าคอมมิชชั่น การจัดการเงินจำนวนไม่มากสามารถช่วยระบบเกมที่ไม่ดีได้

ความคาดหวังเชิงบวกถูกกำหนดให้เป็นค่าที่มากกว่าศูนย์ ยิ่งตัวเลขนี้มากเท่าใด ความคาดหวังทางสถิติก็จะยิ่งแข็งแกร่งขึ้นเท่านั้น หากค่าน้อยกว่าศูนย์ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ก็จะเป็นลบเช่นกัน ยิ่งโมดูลมีค่าลบมากเท่าใด สถานการณ์ก็จะยิ่งแย่ลงเท่านั้น หากผลลัพธ์เป็นศูนย์ แสดงว่าการรอนั้นถึงจุดคุ้มทุน คุณสามารถชนะได้ก็ต่อเมื่อคุณมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เชิงบวก และระบบการเล่นที่สมเหตุสมผล การเล่นโดยสัญชาตญาณนำไปสู่ความหายนะ

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์และการซื้อขายหุ้น

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เป็นตัวบ่งชี้ทางสถิติที่ใช้กันอย่างแพร่หลายและได้รับความนิยมเมื่อดำเนินการซื้อขายแลกเปลี่ยนในตลาดการเงิน ประการแรก พารามิเตอร์นี้ใช้เพื่อวิเคราะห์ความสำเร็จของการซื้อขาย เดาได้ไม่ยากว่ามากขึ้น มูลค่าที่กำหนดยิ่งมีเหตุผลมากขึ้นในการพิจารณาการค้าที่กำลังศึกษาให้ประสบความสำเร็จ แน่นอนว่าการวิเคราะห์งานของเทรดเดอร์ไม่สามารถทำได้โดยใช้พารามิเตอร์นี้เพียงอย่างเดียว อย่างไรก็ตาม ค่าที่คำนวณได้เมื่อรวมกับวิธีอื่นในการประเมินคุณภาพงานจะสามารถเพิ่มความแม่นยำของการวิเคราะห์ได้อย่างมาก

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มักจะคำนวณในบริการติดตามบัญชีซื้อขาย ซึ่งช่วยให้คุณประเมินงานที่ทำกับเงินฝากได้อย่างรวดเร็ว ข้อยกเว้นรวมถึงกลยุทธ์ที่ใช้ "นั่งข้างนอก" การซื้อขายที่ไม่ได้ผลกำไร เทรดเดอร์อาจโชคดีได้สักระยะหนึ่ง ดังนั้นจึงอาจไม่สูญเสียงานของเขาเลย ในกรณีนี้ การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวจะไม่สามารถชี้นำได้ เนื่องจากความเสี่ยงที่ใช้ในงานจะไม่ถูกนำมาพิจารณา

ในการซื้อขายในตลาด การคาดการณ์ทางคณิตศาสตร์มักใช้เมื่อคาดการณ์ความสามารถในการทำกำไรของกลยุทธ์การซื้อขายใดๆ หรือเมื่อคาดการณ์รายได้ของเทรดเดอร์ตามข้อมูลทางสถิติจากการซื้อขายครั้งก่อนของเขา

ในส่วนของการจัดการเงิน สิ่งสำคัญมากคือต้องเข้าใจว่าเมื่อทำการซื้อขายโดยมีความคาดหวังเชิงลบ ไม่มีแผนการจัดการเงินที่สามารถสร้างผลกำไรสูงได้อย่างแน่นอน หากคุณยังคงเล่นตลาดหุ้นภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ ไม่ว่าคุณจะจัดการเงินอย่างไร คุณจะสูญเสียบัญชีของคุณทั้งหมด ไม่ว่าจะเริ่มต้นด้วยเงินจำนวนมหาศาลก็ตาม

สัจพจน์นี้เป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับเกมหรือการเทรดที่มีความคาดหวังเชิงลบเท่านั้น แต่ยังเป็นจริงสำหรับเกมที่มีโอกาสเท่ากันอีกด้วย ดังนั้น ครั้งเดียวที่คุณมีโอกาสทำกำไรในระยะยาวก็คือ หากคุณทำการซื้อขายโดยมีมูลค่าที่คาดหวังเป็นบวก

ความแตกต่างระหว่างความคาดหวังเชิงลบและความคาดหวังเชิงบวกคือความแตกต่างระหว่างชีวิตและความตาย ไม่สำคัญว่าความคาดหวังจะเป็นบวกหรือลบเพียงใด สิ่งสำคัญคือไม่ว่าจะเป็นบวกหรือลบ ดังนั้นก่อนที่จะพิจารณาเรื่องการบริหารเงิน คุณควรหาเกมที่มีความคาดหวังเชิงบวกเสียก่อน

หากคุณไม่มีเกมนั้น การจัดการเงินทั้งหมดในโลกจะไม่ช่วยคุณ ในทางกลับกัน หากคุณมีความคาดหวังเชิงบวก คุณสามารถเปลี่ยนมันให้เป็นฟังก์ชันการเติบโตแบบทวีคูณผ่านการจัดการเงินที่เหมาะสมได้ ความคาดหวังเชิงบวกจะน้อยแค่ไหนไม่สำคัญ! กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่สำคัญว่าระบบการซื้อขายจะทำกำไรได้มากเพียงใดตามสัญญาเดียว หากคุณมีระบบที่ชนะรางวัล $10 ต่อสัญญาต่อการซื้อขาย (หลังหักค่าคอมมิชชั่นและสลิปเพจ) คุณสามารถใช้เทคนิคการจัดการเงินเพื่อให้ทำกำไรได้มากกว่าระบบที่เฉลี่ย $1,000 ต่อการเทรด (หลังหักค่าคอมมิชชั่นและสลิปเพจ)

สิ่งที่สำคัญไม่ใช่ว่าระบบจะทำกำไรได้แค่ไหน แต่สำคัญแค่ไหนที่ระบบสามารถพูดได้ว่าจะแสดงผลกำไรขั้นต่ำเป็นอย่างน้อยในอนาคต ดังนั้นการเตรียมการที่สำคัญที่สุดที่เทรดเดอร์สามารถทำได้คือต้องแน่ใจว่าระบบจะแสดงมูลค่าที่คาดหวังในเชิงบวกในอนาคต

เพื่อให้มีค่าคาดหวังที่เป็นบวกในอนาคต สิ่งสำคัญมากคือการไม่จำกัดระดับความเป็นอิสระของระบบของคุณ สิ่งนี้สามารถทำได้ไม่เพียงแต่โดยการกำจัดหรือลดจำนวนพารามิเตอร์ที่จะปรับให้เหมาะสม แต่ยังโดยการลดกฎของระบบให้ได้มากที่สุด ทุกพารามิเตอร์ที่คุณเพิ่ม ทุกกฎที่คุณทำ ทุก ๆ การเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยซึ่งคุณทำในระบบจะลดจำนวนองศาอิสระลง ตามหลักการแล้ว คุณต้องสร้างระบบที่ค่อนข้างดั้งเดิมและเรียบง่ายซึ่งจะสร้างผลกำไรเล็กๆ น้อยๆ อย่างต่อเนื่องในเกือบทุกตลาด ขอย้ำอีกครั้ง สิ่งสำคัญคือคุณต้องเข้าใจว่าไม่สำคัญว่าระบบจะทำกำไรได้แค่ไหน ตราบใดที่ยังมีผลกำไร เงินที่คุณทำในการซื้อขายจะทำผ่านการจัดการเงินที่มีประสิทธิภาพ

ระบบการซื้อขายเป็นเพียงเครื่องมือที่ให้มูลค่าที่คาดหวังในเชิงบวกเพื่อให้คุณสามารถใช้การจัดการเงินได้ ระบบที่ทำงาน (แสดงผลกำไรขั้นต่ำเป็นอย่างน้อย) ในตลาดเดียวหรือไม่กี่ตลาด หรือมีกฎหรือพารามิเตอร์ที่แตกต่างกันสำหรับตลาดที่แตกต่างกัน มักจะไม่ทำงานแบบเรียลไทม์เป็นเวลานาน ปัญหาของเทรดเดอร์ที่เน้นทางเทคนิคส่วนใหญ่คือพวกเขาใช้เวลาและความพยายามมากเกินไปในการเพิ่มประสิทธิภาพกฎและค่าพารามิเตอร์ต่างๆ ของระบบการซื้อขาย สิ่งนี้ให้ผลลัพธ์ที่ตรงกันข้ามโดยสิ้นเชิง แทนที่จะเปลืองพลังงานและเวลาคอมพิวเตอร์ในการเพิ่มผลกำไรของระบบการซื้อขาย ให้ใช้พลังงานของคุณเพื่อเพิ่มระดับความน่าเชื่อถือในการได้รับผลกำไรขั้นต่ำ

เมื่อรู้ว่าการจัดการเงินเป็นเพียงเกมตัวเลขที่ต้องใช้ความคาดหวังเชิงบวก เทรดเดอร์จึงสามารถหยุดค้นหา "จอกศักดิ์สิทธิ์" ของการซื้อขายหุ้นได้ แต่เขาสามารถเริ่มทดสอบวิธีการซื้อขายของเขา ค้นหาว่าวิธีนี้สมเหตุสมผลเพียงใด และให้ความคาดหวังเชิงบวกหรือไม่ วิธีการที่ถูกต้องการจัดการเงินที่นำไปใช้กับวิธีการซื้อขายใดๆ ก็ตาม แม้แต่วิธีการซื้อขายธรรมดาๆ ก็ตาม จะทำงานส่วนที่เหลือเอง

เพื่อให้เทรดเดอร์คนใดก็ตามประสบความสำเร็จในงานของเขา เขาจำเป็นต้องแก้ไขงานที่สำคัญที่สุดสามประการ: เพื่อให้แน่ใจว่าจำนวนธุรกรรมที่ประสบความสำเร็จมีมากกว่าข้อผิดพลาดและการคำนวณผิดที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ ตั้งค่าระบบการซื้อขายของคุณเพื่อให้คุณมีโอกาสสร้างรายได้บ่อยที่สุด บรรลุผลลัพธ์เชิงบวกที่มั่นคงจากการดำเนินงานของคุณ

และสำหรับพวกเราเทรดเดอร์ที่ทำงานแล้ว ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สามารถช่วยได้มาก คำนี้เป็นหนึ่งในคำสำคัญในทฤษฎีความน่าจะเป็น ด้วยความช่วยเหลือนี้ คุณสามารถประมาณค่าเฉลี่ยของค่าสุ่มบางค่าได้ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มนั้นคล้ายคลึงกับจุดศูนย์ถ่วง หากคุณจินตนาการถึงความน่าจะเป็นที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นจุดที่มีมวลต่างกัน

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับกลยุทธ์การซื้อขาย ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของกำไร (หรือขาดทุน) มักใช้ในการประเมินประสิทธิผล พารามิเตอร์นี้ถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของระดับกำไรและขาดทุนที่กำหนด และความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น กลยุทธ์การซื้อขายที่พัฒนาแล้วถือว่า 37% ของธุรกรรมทั้งหมดจะสร้างผลกำไร และส่วนที่เหลือ - 63% - จะไม่สามารถทำกำไรได้ ในเวลาเดียวกัน รายได้เฉลี่ยจากการทำธุรกรรมที่ประสบความสำเร็จจะอยู่ที่ 7 ดอลลาร์ และการสูญเสียโดยเฉลี่ยจะอยู่ที่ 1.4 ดอลลาร์ มาคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของการซื้อขายโดยใช้ระบบนี้:

ตัวเลขนี้หมายถึงอะไร? มันบอกว่าตามกฎของระบบนี้ โดยเฉลี่ยแล้วเราจะได้รับ $1,708 จากธุรกรรมที่ปิดแต่ละครั้ง เนื่องจากคะแนนประสิทธิภาพที่ได้นั้นมากกว่าศูนย์ ระบบดังกล่าวจึงสามารถนำไปใช้งานจริงได้ จากการคำนวณ หากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์กลายเป็นลบ แสดงว่ามีการขาดทุนโดยเฉลี่ยแล้ว และการซื้อขายดังกล่าวจะนำไปสู่ความหายนะ

จำนวนกำไรต่อธุรกรรมสามารถแสดงเป็นค่าสัมพัทธ์ในรูปแบบ % ได้ด้วย ตัวอย่างเช่น:

– เปอร์เซ็นต์ของรายได้ต่อ 1 ธุรกรรม - 5%;

– เปอร์เซ็นต์ของการดำเนินการซื้อขายที่ประสบความสำเร็จ - 62%;

– เปอร์เซ็นต์การสูญเสียต่อ 1 ธุรกรรม - 3%;

– เปอร์เซ็นต์ของการทำธุรกรรมที่ไม่สำเร็จ - 38%;

นั่นคือการค้าเฉลี่ยจะนำมาซึ่ง 1.96%

มีความเป็นไปได้ที่จะพัฒนาระบบที่แม้จะมีอิทธิพลเหนือการซื้อขายที่ไม่ได้ผลกำไร แต่ก็จะให้ผลลัพธ์ที่เป็นบวก เนื่องจาก MO>0

อย่างไรก็ตาม การรอเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ เป็นเรื่องยากที่จะทำเงินหากระบบให้สัญญาณการซื้อขายน้อยมาก ในกรณีนี้ความสามารถในการทำกำไรจะเทียบได้กับดอกเบี้ยของธนาคาร ปล่อยให้แต่ละการดำเนินงานผลิตได้โดยเฉลี่ยเพียง 0.5 ดอลลาร์ แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าระบบเกี่ยวข้องกับการดำเนินงาน 1,000 ครั้งต่อปี? นี่จะเป็นจำนวนที่สำคัญมากในระยะเวลาอันสั้น มันตามมาจากสิ่งนี้อย่างมีเหตุผล จุดเด่นระบบการซื้อขายที่ดีถือได้ว่าเป็นช่วงระยะเวลาที่สั้นในการถือครองตำแหน่ง

แหล่งที่มาและลิงค์

dic.academic.ru – พจนานุกรมออนไลน์เชิงวิชาการ

mathematics.ru – เว็บไซต์การศึกษาด้านคณิตศาสตร์

nsu.ru – เว็บไซต์การศึกษาของโนโวซีบีสค์ มหาวิทยาลัยของรัฐ

webmath.ru – พอร์ทัลการศึกษาสำหรับนักเรียน ผู้สมัคร และเด็กนักเรียน

exponenta.ru เว็บไซต์คณิตศาสตร์เพื่อการศึกษา

ru.tradimo.com – โรงเรียนสอนการซื้อขายออนไลน์ฟรี

crypto.hut2.ru – แหล่งข้อมูลสหสาขาวิชาชีพ

poker-wiki.ru – สารานุกรมโป๊กเกอร์ฟรี

sernam.ru – ห้องสมุดวิทยาศาสตร์สิ่งพิมพ์วิทยาศาสตร์ธรรมชาติที่เลือกสรร

reshim.su – เว็บไซต์ เราจะแก้ปัญหาการทดสอบรายวิชา

unfx.ru – ฟอเร็กซ์บน UNFX: การฝึกอบรม สัญญาณการซื้อขาย การจัดการความน่าเชื่อถือ

slovopedia.com – ใหญ่ พจนานุกรมสารานุกรมสโลวีเนีย

pokermansion.3dn.ru – คำแนะนำของคุณในโลกของโป๊กเกอร์

statanaliz.info – บล็อกข้อมูล “การวิเคราะห์ข้อมูลทางสถิติ”

forex-trader.rf - พอร์ทัล Forex-Trader

megafx.ru – การวิเคราะห์ฟอเร็กซ์ในปัจจุบัน

fx-by.com – ทุกอย่างสำหรับเทรดเดอร์