วิธีการสแควร์รูท สูตรราก

ข้อเท็จจริง 1.
\(\bullet\) เอาล่ะไม่ใช่บ้าง จำนวนลบ\(a\) (นั่นคือ \(a\geqslant 0\) ) จากนั้น (เลขคณิต) รากที่สองจากตัวเลข \(a\) เรียกว่าตัวเลขที่ไม่เป็นลบ \(b\) เมื่อยกกำลังสองเราจะได้ตัวเลข \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(เหมือนกับ )\quad a=b^2\]จากคำจำกัดความก็เป็นไปตามนั้น \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). ข้อจำกัดเหล่านี้เป็นเงื่อนไขสำคัญสำหรับการดำรงอยู่ รากที่สองและพวกเขาควรจะจำได้!
โปรดจำไว้ว่าตัวเลขใดๆ เมื่อยกกำลังสองแล้วจะให้ผลลัพธ์ที่ไม่เป็นลบ นั่นคือ \(100^2=10000\geqslant 0\) และ \((-100)^2=10000\geqslant 0\)
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) เท่ากับเท่าไร? เรารู้ว่า \(5^2=25\) และ \((-5)^2=25\) เนื่องจากตามคำจำกัดความ เราจะต้องค้นหาจำนวนที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น \(-5\) จึงไม่เหมาะสม ดังนั้น \(\sqrt(25)=5\) (เนื่องจาก \(25=5^2\) )
การค้นหาค่าของ \(\sqrt a\) เรียกว่าการหารากที่สองของตัวเลข \(a\) และตัวเลข \(a\) เรียกว่านิพจน์ราก
\(\bullet\) ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ นิพจน์ \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) ฯลฯ ไม่สมเหตุสมผลเลย

ข้อเท็จจริง 2.
สำหรับ การคำนวณที่รวดเร็วมันจะมีประโยชน์ในการเรียนรู้ตารางสี่เหลี่ยม ตัวเลขธรรมชาติจาก \(1\) ถึง \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(อาร์เรย์)\]

ข้อเท็จจริง 3.
การดำเนินการใดที่คุณสามารถดำเนินการกับรากที่สองได้?
\(\กระสุน\) ผลรวมหรือผลต่างของรากที่สองไม่เท่ากับรากที่สองของผลรวมหรือผลต่าง กล่าวคือ \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]ดังนั้น หากคุณต้องการคำนวณ เช่น \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) ในตอนแรกคุณจะต้องค้นหาค่าของ \(\sqrt(25)\) และ \(\ sqrt(49)\ ) แล้วพับมัน เพราะฉะนั้น, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] หากไม่พบค่า \(\sqrt a\) หรือ \(\sqrt b\) เมื่อเพิ่ม \(\sqrt a+\sqrt b\) แสดงว่านิพจน์ดังกล่าวจะไม่ถูกแปลงเพิ่มเติมและคงอยู่เหมือนเดิม ตัวอย่างเช่น ในผลรวม \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) เราสามารถหา \(\sqrt(49)\) คือ \(7\) แต่ \(\sqrt 2\) ไม่สามารถแปลงเป็น ยังไงก็ตาม นั่นคือเหตุผล \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). ขออภัย ไม่สามารถทำให้นิพจน์นี้ง่ายขึ้นได้อีก\(\bullet\) ผลคูณ/ผลหารของรากที่สองเท่ากับรากที่สองของผลิตภัณฑ์/ผลหาร นั่นคือ \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (โดยมีเงื่อนไขว่าความเสมอภาคทั้งสองฝ่ายสมเหตุสมผล)
ตัวอย่าง: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) การใช้คุณสมบัติเหล่านี้ ทำให้สะดวกในการค้นหารากที่สองของจำนวนมากโดยการแยกตัวประกอบพวกมัน
ลองดูตัวอย่าง \(\sqrt(44100)\) มาหากัน ตั้งแต่ \(44100:100=441\) แล้ว \(44100=100\cdot 441\) ตามเกณฑ์การหารลงตัว จำนวน \(441\) หารด้วย \(9\) ลงตัว (เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 9 และหารด้วย 9 ลงตัว) ดังนั้น \(441:9=49\) นั่นคือ \(441=9\ cdot 49\)
ดังนั้นเราจึงได้: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]ลองดูตัวอย่างอื่น: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) มาแสดงวิธีการป้อนตัวเลขใต้เครื่องหมายรากที่สองโดยใช้ตัวอย่างของนิพจน์ \(5\sqrt2\) (รูปแบบย่อสำหรับนิพจน์ \(5\cdot \sqrt2\)) เนื่องจาก \(5=\sqrt(25)\) ดังนั้น \ โปรดทราบด้วยว่า ตัวอย่างเช่น
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

ทำไมเป็นเช่นนั้น? เรามาอธิบายโดยใช้ตัวอย่างที่ 1) ดังที่คุณเข้าใจแล้ว เราไม่สามารถแปลงตัวเลข \(\sqrt2\) ได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง ลองจินตนาการว่า \(\sqrt2\) เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง \(a\) ดังนั้น นิพจน์ \(\sqrt2+3\sqrt2\) ไม่มีอะไรมากไปกว่า \(a+3a\) (ตัวเลขหนึ่งตัว \(a\) บวกกับตัวเลขเดียวกันอีกสามจำนวน \(a\)) และเรารู้ว่านี่เท่ากับตัวเลขสี่ตัว \(a\) นั่นคือ \(4\sqrt2\)

ข้อเท็จจริง 4.
\(\bullet\) พวกเขามักจะพูดว่า “คุณไม่สามารถแยกราก” เมื่อคุณไม่สามารถกำจัดเครื่องหมาย \(\sqrt () \ \) ของราก (ราก) เมื่อค้นหาค่าของตัวเลข . ตัวอย่างเช่น คุณสามารถหารากของตัวเลข \(16\) เพราะ \(16=4^2\) ดังนั้น \(\sqrt(16)=4\) แต่มันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากของตัวเลข \(3\) กล่าวคือ หา \(\sqrt3\) เพราะไม่มีตัวเลขยกกำลังสองที่จะให้ \(3\)
ตัวเลขดังกล่าว (หรือสำนวนที่มีตัวเลขดังกล่าว) ถือเป็นจำนวนอตรรกยะ เช่น ตัวเลข \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)และอื่น ๆ ไม่มีเหตุผล
ตัวเลขที่ไม่ลงตัวเช่นกัน \(\pi\) (ตัวเลข “pi” ประมาณเท่ากับ \(3.14\)), \(e\) (ตัวเลขนี้เรียกว่าเลขออยเลอร์ ซึ่งมีค่าประมาณเท่ากับ \(2.7 \)) ฯลฯ
\(\bullet\) โปรดทราบว่าจำนวนใดๆ จะเป็นจำนวนตรรกยะหรือจำนวนอตรรกยะ และทุกคนก็มีเหตุผลและทุกสิ่งร่วมกัน ตัวเลขอตรรกยะมาเป็นชุดที่เรียกว่า ชุดของจำนวนจริงชุดนี้แสดงด้วยตัวอักษร \(\mathbb(R)\)
ซึ่งหมายความว่าทุกหมายเลขที่อยู่บน ช่วงเวลานี้เรารู้ว่าเรียกว่าจำนวนจริง

ข้อเท็จจริง 5.
\(\bullet\) โมดูลัสของจำนวนจริง \(a\) เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ \(|a|\) เท่ากับระยะห่างจากจุด \(a\) ถึง \(0\) บน เส้นจริง ตัวอย่างเช่น \(|3|\) และ \(|-3|\) เท่ากับ 3 เนื่องจากระยะห่างจากจุด \(3\) และ \(-3\) ถึง \(0\) คือ เหมือนกันและเท่ากับ \(3 \)
\(\bullet\) ถ้า \(a\) เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ดังนั้น \(|a|=a\)
ตัวอย่าง: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) \(\bullet\) ถ้า \(a\) เป็นจำนวนลบ ดังนั้น \(|a|=-a\)
ตัวอย่าง: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
ว่ากันว่าสำหรับจำนวนลบ โมดูลัสจะ "กิน" ลบ ในขณะที่จำนวนบวกและจำนวน \(0\) จะไม่เปลี่ยนแปลงโดยโมดูลัส
แต่กฎนี้ใช้กับตัวเลขเท่านั้น หากภายใต้เครื่องหมายโมดูลัสของคุณ มี \(x\) ที่ไม่รู้จัก (หรือบางอย่างที่ไม่รู้จัก) ตัวอย่างเช่น \(|x|\) ซึ่งเราไม่รู้ว่ามันเป็นค่าบวก ศูนย์ หรือค่าลบ ให้กำจัดออกไป ของโมดูลัสเราไม่สามารถ ในกรณีนี้ นิพจน์นี้ยังคงเหมือนเดิม: \(|x|\) \(\bullet\) เกิดขึ้น สูตรต่อไปนี้: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( จัดให้ ) a\geqslant 0\]บ่อยครั้งมากที่เกิดข้อผิดพลาดต่อไปนี้ พวกเขาบอกว่า \(\sqrt(a^2)\) และ \((\sqrt a)^2\) เป็นอันหนึ่งอันเดียวกัน สิ่งนี้จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ \(a\) เป็นจำนวนบวกหรือศูนย์ แต่ถ้า \(a\) เป็นจำนวนลบ นี่จะเป็นเท็จ พิจารณาตัวอย่างนี้ก็พอแล้ว ลองใช้แทน \(a\) จำนวน \(-1\) ดังนั้น \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) แต่นิพจน์ \((\sqrt (-1))^2\) ไม่มีอยู่เลย (หลังจากทั้งหมด ไม่สามารถใช้เครื่องหมายรูทใส่ตัวเลขติดลบได้!)
ดังนั้นเราจึงดึงความสนใจของคุณไปที่ความจริงที่ว่า \(\sqrt(a^2)\) ไม่เท่ากับ \((\sqrt a)^2\) !ตัวอย่าง: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), เพราะ \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) เนื่องจาก \(\sqrt(a^2)=|a|\) ดังนั้น \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (นิพจน์ \(2n\) หมายถึงเลขคู่)
นั่นคือเมื่อหารากของตัวเลขที่อยู่ในระดับหนึ่ง ระดับนี้จะลดลงครึ่งหนึ่ง
ตัวอย่าง:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (โปรดทราบว่าหากไม่ได้ระบุโมดูล ปรากฎว่ารากของตัวเลขเท่ากับ \(-25\ ) ; แต่เราจำได้ว่า ตามคำจำกัดความของรูท สิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้: เมื่อแยกรูท เราควรจะได้จำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (เนื่องจากจำนวนใดๆ ที่เป็นกำลังคู่จึงไม่เป็นลบ)

ข้อเท็จจริง 6.
จะเปรียบเทียบรากที่สองสองตัวได้อย่างไร?
\(\bullet\) สำหรับรากที่สอง มันจะเป็นจริง: ถ้า \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aตัวอย่าง:
1) เปรียบเทียบ \(\sqrt(50)\) และ \(6\sqrt2\) ขั้นแรก เรามาแปลงนิพจน์ที่สองเป็น \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). ดังนั้น เนื่องจาก \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) ตั้งอยู่ระหว่างจำนวนเต็มใด
เนื่องจาก \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) และ \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) ลองเปรียบเทียบ \(\sqrt 2-1\) และ \(0.5\) สมมติว่า \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(ชิด) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((เพิ่มหนึ่งทั้งสองด้าน))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((กำลังสองทั้งสองด้าน))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(ชิด)\]เราเห็นว่าเราได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่ถูกต้อง ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงไม่ถูกต้องและ \(\sqrt 2-1<0,5\) .
โปรดทราบว่าการบวกจำนวนหนึ่งเข้ากับทั้งสองด้านของอสมการจะไม่ส่งผลต่อเครื่องหมาย การคูณ/หารทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนบวกก็ไม่ส่งผลต่อเครื่องหมายของมัน แต่การคูณ/หารด้วยจำนวนลบจะทำให้เครื่องหมายของอสมการกลับด้าน!
คุณสามารถยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการ/อสมการได้ก็ต่อเมื่อทั้งสองฝ่ายไม่เป็นลบ ตัวอย่างเช่น ในอสมการจากตัวอย่างที่แล้ว คุณสามารถยกกำลังสองทั้งสองข้างได้ ในอสมการ \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) ควรจำไว้ว่า \[\begin(ชิด) &\sqrt 2\ประมาณ 1.4\\ &\sqrt 3\ประมาณ 1.7 \end(ชิด)\]การรู้ความหมายโดยประมาณของตัวเลขเหล่านี้จะช่วยคุณในการเปรียบเทียบตัวเลขได้! \(\bullet\) เพื่อที่จะแยกราก (หากสามารถแยกได้) จากจำนวนจำนวนมากที่ไม่อยู่ในตารางกำลังสอง คุณต้องพิจารณาว่ามันอยู่ระหว่าง "ร้อย" ก่อน จากนั้น - ระหว่าง " หลักสิบ” แล้วกำหนดหลักสุดท้ายของจำนวนนี้ มาแสดงวิธีการทำงานด้วยตัวอย่าง
\(\sqrt(28224)\) กันเถอะ เรารู้ว่า \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) ฯลฯ โปรดทราบว่า \(28224\) อยู่ระหว่างและ \(10\,000\) \(40\,000\) ดังนั้น \(\sqrt(28224)\) อยู่ระหว่างและ \(100\) \(200\)
ตอนนี้เรามาดูกันว่าตัวเลขของเราอยู่ระหว่าง "สิบ" ไหน (เช่น ระหว่าง \(120\) ถึง \(130\)) จากตารางสี่เหลี่ยมเรารู้ว่า \(11^2=121\) , \(12^2=144\) ฯลฯ จากนั้น \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . ดังนั้นเราจึงเห็นว่า \(28224\) อยู่ระหว่างและ \(160^2\) \(170^2\) ดังนั้น ตัวเลข \(\sqrt(28224)\) อยู่ระหว่าง \(160\) และ \(170\)
ลองกำหนดหลักสุดท้าย จำไว้ว่าตัวเลขหลักเดียวใดเมื่อยกกำลังสอง ให้ \(4\) ต่อท้าย? เหล่านี้คือ \(2^2\) และ \(8^2\) ดังนั้น \(\sqrt(28224)\) จะลงท้ายด้วย 2 หรือ 8 มาตรวจสอบกัน มาหา \(162^2\) และ \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
ดังนั้น \(\sqrt(28224)=168\) เอาล่ะ!

เพื่อที่จะแก้ปัญหาการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ คุณต้องศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎีก่อนซึ่งจะแนะนำให้คุณรู้จักกับทฤษฎีบท สูตร อัลกอริธึม ฯลฯ มากมาย เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่านี่ค่อนข้างง่าย อย่างไรก็ตามการค้นหาแหล่งที่มาซึ่งมีการนำเสนอทฤษฎีสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยวิธีที่ง่ายและเข้าใจได้สำหรับนักเรียนที่มีการฝึกอบรมทุกระดับนั้นเป็นงานที่ค่อนข้างยาก หนังสือเรียนของโรงเรียนไม่สามารถเก็บไว้ในมือได้ตลอดเวลา และการค้นหาสูตรพื้นฐานสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อาจเป็นเรื่องยากแม้แต่บนอินเทอร์เน็ต

เหตุใดการเรียนทฤษฎีทางคณิตศาสตร์จึงสำคัญไม่เพียงแต่สำหรับผู้ที่เข้าสอบ Unified State เท่านั้น

1. เพราะมันขยายขอบเขตอันไกลโพ้นของคุณ. การศึกษาเนื้อหาเชิงทฤษฎีในวิชาคณิตศาสตร์มีประโยชน์สำหรับใครก็ตามที่ต้องการได้รับคำตอบสำหรับคำถามที่หลากหลายที่เกี่ยวข้องกับความรู้เกี่ยวกับโลกรอบตัวพวกเขา ทุกสิ่งในธรรมชาติมีระเบียบและมีตรรกะที่ชัดเจน นี่คือสิ่งที่สะท้อนให้เห็นในวิทยาศาสตร์อย่างชัดเจน ซึ่งทำให้สามารถเข้าใจโลกได้
2. เพราะมันจะทำให้มีสติปัญญา. โดยการศึกษาเอกสารอ้างอิงสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ตลอดจนการแก้ปัญหาต่าง ๆ บุคคลจะเรียนรู้ที่จะคิดและมีเหตุผลอย่างมีเหตุผลเพื่อกำหนดความคิดอย่างมีประสิทธิภาพและชัดเจน เขาพัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์ สรุป และสรุปผล

เราขอเชิญชวนให้คุณประเมินข้อดีทั้งหมดของแนวทางการจัดระบบและการนำเสนอสื่อการศึกษาเป็นการส่วนตัว

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

รากที่สองคืออะไร?

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

แนวคิดนี้ง่ายมาก เป็นธรรมชาติฉันจะบอกว่า นักคณิตศาสตร์พยายามค้นหาปฏิกิริยาสำหรับทุกการกระทำ มีการบวก-มีการลบด้วย มีการคูณ - มีการหารด้วย มีกำลังสอง... ก็มีด้วย กำลังหารากที่สอง!นั่นคือทั้งหมดที่ การกระทำนี้ ( รากที่สอง) ในทางคณิตศาสตร์จะแสดงด้วยไอคอนนี้:

ไอคอนนั้นเรียกว่าคำที่สวยงาม” หัวรุนแรง".

วิธีการแยกราก?มาดูกันเลยดีกว่า ตัวอย่าง.

รากที่สองของ 9 คืออะไร? เลขกำลังสองอะไรจะให้เลข 9 แก่เรา? 3 กำลังสองให้เราได้ 9! เหล่านั้น:

แต่สแควร์รูทของศูนย์คืออะไร? ไม่มีปัญหา! ศูนย์สร้างกำลังสองได้เป็นจำนวนเท่าใด ใช่ มันให้ศูนย์! วิธี:

เข้าใจแล้ว, รากที่สองคืออะไร?แล้วเราจะพิจารณา ตัวอย่าง:

คำตอบ (ไม่เป็นระเบียบ): 6; 1; 4; 9; 5.

ตัดสินใจแล้ว? จริงสิ ง่ายกว่านี้ขนาดไหน!

แต่... คน ๆ หนึ่งจะทำอย่างไรเมื่อเขาเห็นงานบางอย่างที่มีรากฐาน?

บุคคลเริ่มรู้สึกเศร้า... เขาไม่เชื่อในความเรียบง่ายและความเบาของรากเหง้าของเขา แม้ว่าเขาจะดูเหมือนรู้ก็ตาม สแควร์รูทคืออะไร...

เนื่องจากบุคคลนั้นละเลยประเด็นสำคัญหลายประการเมื่อศึกษาถึงรากเหง้า จากนั้นเหล่าแฟชั่นเหล่านี้ก็จะแก้แค้นการทดสอบและการสอบอย่างโหดร้าย...

จุดที่หนึ่ง คุณต้องรู้จักรากด้วยการมองเห็น!

รากที่สองของ 49 คืออะไร? เซเว่น? ขวา! รู้ได้ยังไงว่าเจ็ดโมง? ยกกำลังสองเจ็ดแล้วได้ 49 เหรอ? ขวา! โปรดทราบว่า แยกรากจาก 49 เราต้องดำเนินการย้อนกลับ - สแควร์ 7! และรับรองว่าเราไม่พลาด หรืออาจจะพลาด...

นี่คือความยากลำบาก การสกัดราก. สี่เหลี่ยมคุณสามารถใช้หมายเลขใดก็ได้โดยไม่มีปัญหา คูณตัวเลขด้วยตัวมันเองด้วยคอลัมน์ - แค่นี้เอง แต่สำหรับ การสกัดรากไม่มีเทคโนโลยีที่ง่ายและไม่ปลอดภัยเช่นนั้น เราต้อง หยิบตอบและตรวจสอบว่าถูกต้องโดยยกกำลังสองหรือไม่

กระบวนการสร้างสรรค์ที่ซับซ้อนนี้ - การเลือกคำตอบ - จะง่ายขึ้นอย่างมากหากคุณ จดจำกำลังสองของตัวเลขยอดนิยม เหมือนตารางสูตรคูณ ถ้าสมมุติว่าคุณต้องคูณ 4 ด้วย 6 คุณจะไม่บวกสี่เป็น 6 ครั้งใช่ไหม? คำตอบที่ 24 ผุดขึ้นมาทันที ถึงแม้จะไม่ใช่ทุกคนจะเข้าใจ ใช่...

หากต้องการทำงานอย่างอิสระและประสบความสำเร็จด้วยการรูตก็เพียงพอที่จะรู้กำลังสองของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 20 ยิ่งไปกว่านั้น ที่นั่นและ กลับ.เหล่านั้น. คุณควรจะสามารถท่องทั้งสองอย่างได้อย่างง่ายดาย เช่น 11 กำลังสองและรากที่สองของ 121 เพื่อให้เกิดการท่องจำ มีสองวิธี อย่างแรกคือการเรียนรู้ตารางสี่เหลี่ยม นี่จะช่วยได้มากในการแก้ตัวอย่าง ประการที่สองคือการแก้ตัวอย่างเพิ่มเติม วิธีนี้จะช่วยให้คุณจำตารางสี่เหลี่ยมได้อย่างมาก

และไม่มีเครื่องคิดเลข! เพื่อวัตถุประสงค์ในการทดสอบเท่านั้น ไม่อย่างนั้นจะช้าลงอย่างไร้ความปราณีระหว่างการสอบ...

ดังนั้น, สแควร์รูทคืออะไรแล้วยังไง สกัดราก- ฉันคิดว่ามันชัดเจน ตอนนี้เรามาดูกันว่าเราสามารถดึงมันออกมาจากอะไรได้บ้าง

จุดที่สอง รูตฉันไม่รู้จักคุณ!

คุณสามารถหารากที่สองได้จากตัวเลขใด? ใช่เกือบทุกรายการ มันง่ายกว่าที่จะเข้าใจว่ามันมาจากอะไร มันเป็นสิ่งต้องห้ามแยกพวกเขา

ลองคำนวณรูตนี้:

เพื่อจะทำสิ่งนี้ เราต้องเลือกตัวเลขที่กำลังสองที่ให้ค่า -4 เราเลือก.

อะไรนะ มันไม่พอดีเหรอ? 2 2 ให้ +4 (-2) 2 ให้อีก +4! แค่นั้นแหละ... ไม่มีตัวเลขใดที่เมื่อยกกำลังสองแล้วจะทำให้เราเป็นจำนวนลบ! แม้ว่าฉันจะรู้ตัวเลขเหล่านี้ก็ตาม แต่ฉันจะไม่บอกคุณ) ไปที่วิทยาลัยแล้วคุณจะพบกับตัวเอง

เรื่องเดียวกันนี้จะเกิดขึ้นกับจำนวนลบใดๆ จึงได้ข้อสรุปว่า

นิพจน์ที่มีจำนวนลบอยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สอง - ไม่สมเหตุสมผล! นี่เป็นการดำเนินการที่ต้องห้าม เป็นสิ่งต้องห้ามเช่นเดียวกับการหารด้วยศูนย์ จำข้อเท็จจริงข้อนี้ไว้ให้มั่น!หรืออีกนัยหนึ่ง:

คุณไม่สามารถแยกรากที่สองออกจากจำนวนลบได้!

แต่ในบรรดาสิ่งอื่นๆ ทั้งหมด มันเป็นไปได้ ตัวอย่างเช่น สามารถคำนวณได้ค่อนข้างมาก

เมื่อมองแวบแรกนี่เป็นเรื่องยากมาก เลือกเศษส่วนแล้วยกกำลังสอง... ไม่ต้องกังวล เมื่อเราเข้าใจคุณสมบัติของรากแล้ว ตัวอย่างดังกล่าวก็จะลดลงเหลือตารางสี่เหลี่ยมเดียวกัน ชีวิตจะง่ายขึ้น!

เอาล่ะ เศษส่วน แต่เรายังคงเจอสำนวนเช่น:

ไม่เป็นไร. เหมือนกันทั้งหมด. รากที่สองของสองคือจำนวนที่เมื่อยกกำลังสองแล้วให้เราได้สอง เฉพาะตัวเลขนี้เท่านั้นที่ไม่เท่ากันโดยสิ้นเชิง... นี่คือ:

สิ่งที่น่าสนใจคือเศษส่วนนี้ไม่มีวันสิ้นสุด... ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ ในรากที่สองนี่คือสิ่งที่พบบ่อยที่สุด นี่คือเหตุผลว่าทำไมจึงเรียกว่าสำนวนที่มีรูท ไม่มีเหตุผล. เห็นได้ชัดว่าการเขียนเศษส่วนอนันต์ตลอดเวลานั้นไม่สะดวก ดังนั้น แทนที่จะเป็นเศษส่วนอนันต์ พวกเขาจึงปล่อยให้มันเป็นดังนี้:

ถ้าแก้ตัวอย่างแล้วเจอสิ่งที่ไม่สามารถดึงออกมาได้ เช่น

แล้วเราก็ปล่อยมันไว้อย่างนั้น นี่จะเป็นคำตอบ

คุณต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าไอคอนหมายถึงอะไร

แน่นอนถ้าเอารากของตัวเลขมา เรียบคุณต้องทำเช่นนี้ คำตอบของงานอยู่ในรูปแบบเช่น

เป็นคำตอบที่สมบูรณ์ทีเดียว

และแน่นอน คุณจำเป็นต้องรู้ค่าโดยประมาณจากหน่วยความจำ:

ความรู้นี้ช่วยประเมินสถานการณ์ในงานที่ซับซ้อนได้อย่างมาก

จุดสาม. ฉลาดแกมโกงที่สุด

ความสับสนหลักในการทำงานกับรูตเกิดจากจุดนี้ เขาคือผู้ที่ให้ความมั่นใจในความสามารถของตนเอง... มาจัดการกับประเด็นนี้ให้ถูกต้องกันเถอะ!

ก่อนอื่น ลองหาสแควร์รูทของสี่ตัวนั้นอีกครั้ง ฉันรบกวนคุณด้วยรากนี้แล้วหรือยัง) ไม่เป็นไรตอนนี้มันจะน่าสนใจ!

4 กำลังสองมีเลขอะไร? สอง สอง - ฉันได้ยินคำตอบที่ไม่พอใจ...

ขวา. สอง. แต่ยัง ลบสองจะให้ 4 กำลังสอง... ขณะเดียวกันคำตอบ

ถูกต้องและคำตอบ

ความผิดพลาดร้ายแรง แบบนี้.

แล้วข้อตกลงคืออะไร?

อันที่จริง (-2) 2 = 4 และภายใต้นิยามของรากที่สองของสี่ ลบสองค่อนข้างเหมาะสม... นี่คือรากที่สองของสี่ด้วย

แต่! ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน เป็นเรื่องปกติที่จะต้องพิจารณารากที่สอง เฉพาะตัวเลขที่ไม่เป็นลบ!นั่นคือศูนย์และทั้งหมดเป็นบวก แม้แต่คำพิเศษก็ถูกประดิษฐ์ขึ้น: จากหมายเลข ก- นี้ ไม่เป็นลบหมายเลขที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัส ก. ผลลัพธ์เชิงลบเมื่อแยกรากที่สองทางคณิตศาสตร์จะถูกละทิ้งไป ที่โรงเรียน ทุกอย่างล้วนเป็นรากที่สอง - เลขคณิต. แม้ว่าจะไม่ได้กล่าวถึงเป็นพิเศษก็ตาม

โอเค เป็นที่เข้าใจได้ ดีกว่าไม่ต้องกังวลกับผลลัพธ์เชิงลบ... นี่ยังไม่สับสน

ความสับสนเริ่มต้นขึ้นเมื่อแก้สมการกำลังสอง ตัวอย่างเช่น คุณต้องแก้สมการต่อไปนี้

สมการนั้นง่าย เราเขียนคำตอบ (ตามที่สอน):

คำตอบนี้ (ถูกต้องอย่างแน่นอน) เป็นเพียงเวอร์ชันย่อ สองคำตอบ:

หยุดหยุด! ข้างบนนี้ผมเขียนว่าสแควร์รูทเป็นตัวเลข เสมอไม่เป็นลบ! และนี่คือหนึ่งในคำตอบ - เชิงลบ! ความผิดปกติ นี่เป็นปัญหาแรก (แต่ไม่ใช่ปัญหาสุดท้าย) ที่ทำให้เกิดความไม่ไว้วางใจที่ต้นตอ... มาแก้ปัญหานี้กันดีกว่า มาเขียนคำตอบกัน (เพื่อความเข้าใจ!) ดังนี้:

วงเล็บไม่เปลี่ยนสาระสำคัญของคำตอบ ฉันแค่แยกมันด้วยวงเล็บ สัญญาณจาก ราก. ตอนนี้คุณสามารถเห็นได้อย่างชัดเจนว่ารากนั้นเอง (ในวงเล็บ) ยังคงเป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ! และสัญญาณก็คือ ผลลัพธ์ของการแก้สมการ. ท้ายที่สุดแล้วเมื่อแก้สมการใด ๆ เราต้องเขียน ทั้งหมด Xs ที่เมื่อแทนสมการเดิมแล้วจะได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง รากของห้า (บวก!) ที่มีทั้งบวกและลบตรงกับสมการของเรา

แบบนี้. ถ้าคุณ แค่หาสแควร์รูทจากสิ่งใดสิ่งหนึ่งคุณ เสมอคุณได้รับ หนึ่งที่ไม่เป็นลบผลลัพธ์. ตัวอย่างเช่น:

เพราะมัน - รากที่สองทางคณิตศาสตร์.

แต่หากคุณกำลังแก้สมการกำลังสอง เช่น:

ที่ เสมอปรากฎว่า สองคำตอบ (บวกและลบ):

เพราะนี่คือคำตอบของสมการ

หวัง, สแควร์รูทคืออะไรคุณมีจุดของคุณชัดเจน ตอนนี้ยังคงต้องค้นหาว่ารากสามารถทำอะไรได้บ้างคุณสมบัติของมันคืออะไร และอะไรคือประเด็นและข้อผิดพลาด... ขอโทษนะ ก้อนหิน!)

ทั้งหมดนี้อยู่ในบทเรียนต่อไปนี้

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

สูตรราก คุณสมบัติของรากที่สอง

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

ในบทเรียนที่แล้ว เราหาได้ว่าสแควร์รูทคืออะไร ถึงเวลาที่จะรู้ว่ามีอันไหนอยู่บ้าง สูตรสำหรับรากสิ่งที่เป็น คุณสมบัติของรากและสิ่งที่สามารถทำได้ทั้งหมดนี้

สูตรของราก คุณสมบัติของราก และกฎการทำงานกับราก- โดยพื้นฐานแล้วนี่คือสิ่งเดียวกัน มีสูตรไม่กี่สูตรสำหรับรากที่สองอย่างน่าประหลาดใจ ซึ่งทำให้ฉันมีความสุขอย่างแน่นอน! หรือมากกว่านั้นคุณสามารถเขียนสูตรที่แตกต่างกันได้มากมาย แต่เพียงสามสูตรเท่านั้นก็เพียงพอแล้วสำหรับงานที่ใช้งานได้จริงและมั่นใจด้วยราก ทุกสิ่งทุกอย่างไหลมาจากทั้งสามนี้ แม้ว่าหลายคนจะสับสนกับสูตรรากทั้งสามใช่แล้ว...

เริ่มจากสิ่งที่ง่ายที่สุดกันก่อน เธออยู่นี่:

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

คณิตศาสตร์เกิดขึ้นเมื่อมนุษย์ตระหนักถึงตนเองและเริ่มวางตำแหน่งตนเองเป็นหน่วยอิสระของโลก ความปรารถนาที่จะวัด เปรียบเทียบ นับสิ่งที่อยู่รอบตัวคุณคือสิ่งที่เป็นรากฐานของวิทยาศาสตร์พื้นฐานประการหนึ่งในยุคของเรา ในตอนแรกสิ่งเหล่านี้เป็นอนุภาคของคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาซึ่งทำให้สามารถเชื่อมโยงตัวเลขกับการแสดงออกทางกายภาพได้ต่อมาข้อสรุปเริ่มถูกนำเสนอในทางทฤษฎีเท่านั้น (เนื่องจากนามธรรม) แต่หลังจากนั้นไม่นานตามที่นักวิทยาศาสตร์คนหนึ่งกล่าวไว้ " คณิตศาสตร์ถึงจุดสูงสุดของความซับซ้อนเมื่อมันหายไปจากมัน” ตัวเลขทั้งหมด” แนวคิดของ "รากที่สอง" ปรากฏขึ้นในเวลาที่ข้อมูลเชิงประจักษ์สามารถรองรับได้อย่างง่ายดาย ซึ่งอยู่นอกเหนือระนาบของการคำนวณ

ที่ซึ่งทุกอย่างเริ่มต้นขึ้น

การกล่าวถึงรากครั้งแรกซึ่งปัจจุบันแสดงเป็น √ ได้รับการบันทึกไว้ในงานของนักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนซึ่งเป็นผู้วางรากฐานสำหรับเลขคณิตสมัยใหม่ แน่นอนว่าพวกเขามีความคล้ายคลึงเล็กน้อยกับรูปแบบปัจจุบัน - นักวิทยาศาสตร์ในช่วงหลายปีที่ผ่านมาใช้แท็บเล็ตขนาดใหญ่เป็นครั้งแรก แต่ในสหัสวรรษที่สองก่อนคริสต์ศักราช จ. พวกเขาได้รับสูตรการคำนวณโดยประมาณที่แสดงวิธีแยกรากที่สอง ภาพด้านล่างแสดงหินที่นักวิทยาศาสตร์ชาวบาบิโลนแกะสลักกระบวนการอนุมาน √2 และปรากฏว่าถูกต้องมากจนพบความคลาดเคลื่อนในคำตอบในทศนิยมตำแหน่งที่สิบเท่านั้น

นอกจากนี้ รากยังถูกใช้หากจำเป็นต้องค้นหาด้านของสามเหลี่ยม โดยที่รู้อีกสองอัน เมื่อแก้สมการกำลังสอง ไม่มีทางหนีจากการแตกรากได้

นอกเหนือจากงานของชาวบาบิโลนแล้ว วัตถุประสงค์ของบทความนี้ยังได้รับการศึกษาในงานจีนเรื่อง "คณิตศาสตร์ในหนังสือเก้าเล่ม" และชาวกรีกโบราณได้ข้อสรุปว่าจำนวนใดก็ตามที่ไม่สามารถแยกรากออกมาได้โดยไม่มีเศษเหลือให้ผลลัพธ์ที่ไม่มีเหตุผล .

ต้นกำเนิดของคำนี้เกี่ยวข้องกับการแทนตัวเลขในภาษาอาหรับ: นักวิทยาศาสตร์โบราณเชื่อว่ากำลังสองของจำนวนตามใจชอบนั้นเติบโตจากรากเหมือนพืช ในภาษาละติน คำนี้ฟังดูเหมือน Radix (คุณสามารถติดตามรูปแบบได้ - ทุกสิ่งที่มีความหมายว่า "ราก" นั้นเป็นพยัญชนะ ไม่ว่าจะเป็นหัวไชเท้าหรือหัวไชเท้าอักเสบ)

นักวิทยาศาสตร์รุ่นต่อๆ มาหยิบยกแนวคิดนี้ขึ้นมา โดยกำหนดให้เป็น Rx ตัวอย่างเช่น ในศตวรรษที่ 15 เพื่อระบุว่ามีการใช้รากที่สองของจำนวนใดๆ a พวกเขาจึงเขียน R 2 a “เห็บ” ที่คุ้นเคยในสายตาของคนยุคใหม่ ปรากฏในศตวรรษที่ 17 เท่านั้น ต้องขอบคุณ Rene Descartes

วันของเรา

ในแง่คณิตศาสตร์ รากที่สองของตัวเลข y คือตัวเลข z ซึ่งกำลังสองเท่ากับ y กล่าวอีกนัยหนึ่ง z 2 =y เทียบเท่ากับ √y=z อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความนี้เกี่ยวข้องกับรากเลขคณิตเท่านั้น เนื่องจากมีความหมายเป็นนัยถึงค่าที่ไม่เป็นลบของนิพจน์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง √y=z โดยที่ z มากกว่าหรือเท่ากับ 0

โดยทั่วไป ซึ่งใช้กับการหารากพีชคณิต ค่าของนิพจน์อาจเป็นค่าบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่า z 2 =y และ (-z) 2 =y เรามี: √y=±z หรือ √y=|z|

เนื่องจากความจริงที่ว่าความรักในคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นเมื่อมีการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์เท่านั้นจึงมีอาการแสดงความรักต่อคณิตศาสตร์หลายอย่างที่ไม่ได้แสดงออกด้วยการคำนวณแบบแห้ง ตัวอย่างเช่น นอกเหนือจากปรากฏการณ์ที่น่าสนใจเช่นวันพายแล้ว ก็มีการเฉลิมฉลองวันหยุดรากที่สองด้วย มีการเฉลิมฉลองเก้าครั้งทุกๆ ร้อยปี และถูกกำหนดตามหลักการต่อไปนี้ ตัวเลขที่ระบุตามลำดับวันและเดือนจะต้องเป็นรากที่สองของปี ดังนั้นครั้งต่อไปที่เราจะเฉลิมฉลองวันหยุดนี้คือวันที่ 4 เมษายน 2016

คุณสมบัติของรากที่สองบนสนาม R

นิพจน์ทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดมีพื้นฐานทางเรขาคณิต และ √y ซึ่งถูกกำหนดให้เป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ y ก็ไม่สามารถรอดพ้นชะตากรรมนี้ได้

จะหารากของตัวเลขได้อย่างไร?

มีอัลกอริธึมการคำนวณหลายอย่าง วิธีที่ง่ายที่สุด แต่ในขณะเดียวกันก็ค่อนข้างยุ่งยากคือการคำนวณทางคณิตศาสตร์ตามปกติซึ่งมีดังต่อไปนี้:

1) จากจำนวนที่เราต้องการรูท เลขคี่จะถูกลบออกตามลำดับ - จนกว่าส่วนที่เหลือที่เอาต์พุตจะน้อยกว่าจำนวนที่ถูกลบออกหรือแม้กระทั่งเท่ากับศูนย์ จำนวนการเคลื่อนไหวจะกลายเป็นจำนวนที่ต้องการในที่สุด เช่น คำนวณรากที่สองของ 25:

เลขคี่ถัดไปคือ 11 ส่วนที่เหลือคือ 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

ในกรณีเช่นนี้ จะมีการขยายซีรีส์ Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n โดยที่ n รับค่าตั้งแต่ 0 ถึง

+∞ และ |y|≤1

การแสดงกราฟของฟังก์ชัน z=√y

ลองพิจารณาฟังก์ชันพื้นฐาน z=√y บนสนามของจำนวนจริง R โดยที่ y มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ กำหนดการมีลักษณะดังนี้:

เส้นโค้งขยายจากจุดกำเนิดและจำเป็นต้องตัดกันจุด (1; 1)

คุณสมบัติของฟังก์ชัน z=√y บนสนามของจำนวนจริง R

1. ขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์ด้วย)

2. ช่วงของค่าของฟังก์ชันที่พิจารณาคือช่วงจากศูนย์ถึงบวกอนันต์ (รวมศูนย์อีกครั้ง)

3. ฟังก์ชันรับค่าต่ำสุด (0) ที่จุด (0; 0) เท่านั้น ไม่มีมูลค่าสูงสุด

4. ฟังก์ชัน z=√y ไม่เป็นคู่หรือคี่

5. ฟังก์ชัน z=√y ไม่ใช่คาบ

6. มีจุดตัดกันเพียงจุดเดียวของกราฟของฟังก์ชัน z=√y ที่มีแกนพิกัด: (0; 0)

7. จุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน z=√y จะเป็นศูนย์ของฟังก์ชันนี้ด้วย

8. ฟังก์ชัน z=√y มีการเติบโตอย่างต่อเนื่อง

9. ฟังก์ชัน z=√y รับเฉพาะค่าบวก ดังนั้นกราฟจึงครองมุมพิกัดแรก

ตัวเลือกสำหรับการแสดงฟังก์ชัน z=√y

ในทางคณิตศาสตร์ เพื่ออำนวยความสะดวกในการคำนวณนิพจน์ที่ซับซ้อน บางครั้งจึงใช้รูปแบบกำลังของการเขียนรากที่สอง: √y=y 1/2 ตัวเลือกนี้สะดวก เช่น ในการเพิ่มฟังก์ชันเป็นกำลัง: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 วิธีนี้ยังเป็นตัวแทนที่ดีในการหาอนุพันธ์ด้วยการอินทิเกรต เนื่องจากวิธีนี้ทำให้รากที่สองจึงแสดงเป็นฟังก์ชันยกกำลังธรรมดาได้

และในการเขียนโปรแกรม การแทนที่สัญลักษณ์ √ คือการรวมกันของตัวอักษร sqrt

เป็นที่น่าสังเกตว่าในพื้นที่นี้รากที่สองเป็นที่ต้องการอย่างมากเนื่องจากเป็นส่วนหนึ่งของสูตรเรขาคณิตส่วนใหญ่ที่จำเป็นสำหรับการคำนวณ อัลกอริธึมการนับนั้นค่อนข้างซับซ้อนและขึ้นอยู่กับการเรียกซ้ำ (ฟังก์ชันที่เรียกตัวเอง)

รากที่สองในสนามเชิงซ้อน C

โดยทั่วไปแล้ว มันเป็นหัวข้อของบทความนี้ที่กระตุ้นการค้นพบสนามของจำนวนเชิงซ้อน C เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ถูกหลอกหลอนด้วยคำถามของการได้รากคู่ของจำนวนลบ นี่คือวิธีที่หน่วยจินตภาพที่ฉันปรากฏ ซึ่งมีคุณสมบัติที่น่าสนใจมาก นั่นคือกำลังสองของมันคือ -1 ด้วยเหตุนี้ สมการกำลังสองจึงถูกแก้ไขแม้จะมีการแบ่งแยกเชิงลบก็ตาม ใน C คุณสมบัติเดียวกันนี้เกี่ยวข้องกับรากที่สองเช่นเดียวกับใน R สิ่งเดียวคือข้อจำกัดเกี่ยวกับนิพจน์รากจะถูกลบออก