วิธีแก้อสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา วิธีการเป็นช่วง: การแก้ไขอสมการเข้มงวดที่ง่ายที่สุด

ในบทนี้ เราจะดำเนินการแก้ไขอสมการเชิงตรรกยะต่อไปโดยใช้วิธีช่วงเวลาสำหรับอสมการที่ซับซ้อนมากขึ้น ให้เราพิจารณาคำตอบของอสมการกำลังสองเชิงเส้นและเศษส่วนและปัญหาที่เกี่ยวข้องกัน

ทีนี้ กลับมาที่ความไม่เท่าเทียมกันกัน

ลองดูงานที่เกี่ยวข้องกัน

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่เล็กที่สุดสำหรับอสมการ

ค้นหาจำนวนวิธีแก้ปัญหาตามธรรมชาติของอสมการ

ค้นหาความยาวของช่วงเวลาที่ประกอบกันเป็นชุดคำตอบของอสมการ

2. พอร์ทัล วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ().

3. อิเล็กทรอนิกส์ การฝึกอบรมและระเบียบวิธีการที่ซับซ้อนเพื่อเตรียมเกรด 10-11 สำหรับการสอบเข้าสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ คณิตศาสตร์ ภาษารัสเซีย ()

5. ศูนย์การศึกษา “เทคโนโลยีการสอน” ()

6. ส่วน College.ru เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ()

1. มอร์ดโควิช เอ.จี. และอื่น ๆ พีชคณิตเกรด 9: หนังสือปัญหาสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina ฯลฯ - ฉบับที่ 4 - อ.: Mnemosyne, 2002.-143 หน้า: ป่วย ลำดับที่ 28(ข,ค); 29(ข,ค); 35(ก,ข); 37(ข,ค); 38(ก)

จำเป็นต้องเปรียบเทียบปริมาณและปริมาณเมื่อแก้ไขปัญหาเชิงปฏิบัติมาตั้งแต่สมัยโบราณ ในเวลาเดียวกัน คำว่ามากขึ้นและน้อยลง สูงขึ้นและต่ำลง เบาและหนักขึ้น เงียบขึ้นและดังขึ้น ถูกลงและมีราคาแพงขึ้น ฯลฯ ปรากฏขึ้น ซึ่งแสดงถึงผลลัพธ์ของการเปรียบเทียบปริมาณที่เป็นเนื้อเดียวกัน

แนวคิดเรื่องมากขึ้นเรื่อยๆ เกิดขึ้นจากการนับวัตถุ การวัด และการเปรียบเทียบปริมาณ ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ในยุคกรีกโบราณรู้ว่าด้านของสามเหลี่ยมใดๆ น้อยกว่าผลรวมของอีกสองด้านที่เหลือ และด้านที่ใหญ่กว่านั้นอยู่ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่กว่าของสามเหลี่ยม ขณะคำนวณเส้นรอบวงของอาร์คิมิดีส พบว่าเส้นรอบวงของวงกลมใดๆ มีค่าเท่ากับสามเท่าของเส้นผ่านศูนย์กลาง โดยส่วนที่เกินนั้นน้อยกว่าหนึ่งในเจ็ดของเส้นผ่านศูนย์กลาง แต่มากกว่าสิบเจ็ดสิบเท่าของเส้นผ่านศูนย์กลาง

เขียนความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขและปริมาณเชิงสัญลักษณ์โดยใช้เครื่องหมาย > และ b บันทึกที่มีตัวเลขสองตัวเชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายตัวใดตัวหนึ่ง: > (มากกว่า) คุณยังพบความไม่เท่าเทียมกันของตัวเลขในเกรดที่ต่ำกว่าอีกด้วย คุณรู้ว่าความไม่เท่าเทียมกันสามารถเป็นจริงได้ หรืออาจเป็นเท็จก็ได้ ตัวอย่างเช่น \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) คืออสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง 0.23 > 0.235 คืออสมการเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง

ความไม่เท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับสิ่งไม่รู้อาจเป็นจริงสำหรับค่าบางอย่างของสิ่งที่ไม่รู้และเป็นเท็จสำหรับค่าอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น อสมการ 2x+1>5 เป็นจริงสำหรับ x = 3 แต่เป็นเท็จสำหรับ x = -3 สำหรับความไม่เท่าเทียมกันกับสิ่งที่ไม่รู้จัก คุณสามารถกำหนดงานได้: แก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน ปัญหาการแก้ไขอสมการในทางปฏิบัตินั้นถูกวางและแก้ไขไม่น้อยไปกว่าปัญหาการแก้สมการ ตัวอย่างเช่น ปัญหาทางเศรษฐกิจมากมายเกิดขึ้นที่การศึกษาและการแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ อสมการเป็นเรื่องธรรมดามากกว่าสมการ

อสมการบางอย่างทำหน้าที่เป็นวิธีช่วยเพียงวิธีเดียวในการพิสูจน์หรือพิสูจน์การมีอยู่ของวัตถุบางอย่าง เช่น รากของสมการ

อสมการเชิงตัวเลข

คุณสามารถเปรียบเทียบจำนวนเต็มได้หรือไม่? ทศนิยม. รู้กฎเกณฑ์ในการเปรียบเทียบเศษส่วนสามัญที่มีตัวส่วนเหมือนกันแต่มีตัวเศษต่างกัน โดยมีตัวเศษเท่ากันแต่ ตัวส่วนที่แตกต่างกัน. ที่นี่คุณจะได้เรียนรู้วิธีการเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวใดๆ โดยการค้นหาสัญลักษณ์ของความแตกต่าง

การเปรียบเทียบตัวเลขมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติ ตัวอย่างเช่น นักเศรษฐศาสตร์เปรียบเทียบตัวบ่งชี้ที่วางแผนไว้กับตัวบ่งชี้ที่เกิดขึ้นจริง แพทย์จะเปรียบเทียบอุณหภูมิของผู้ป่วยกับอุณหภูมิปกติ ช่างกลึงจะเปรียบเทียบขนาดของชิ้นส่วนที่กลึงกับมาตรฐาน ในกรณีดังกล่าวทั้งหมด จะมีการเปรียบเทียบตัวเลขบางจำนวน ผลจากการเปรียบเทียบตัวเลขทำให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันทางตัวเลข

คำนิยาม.จำนวน a มากกว่าจำนวน b ถ้า ความแตกต่าง a-bเชิงบวก. จำนวน a น้อยกว่าจำนวน b ถ้าผลต่าง a-b เป็นลบ

ถ้า a มากกว่า b แสดงว่า: a > b; ถ้า a น้อยกว่า b ก็เขียนว่า: a ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกัน a > b หมายความว่าความแตกต่าง a - b เป็นบวก เช่น a - b > 0 อสมการ a สำหรับตัวเลขสองตัว a และ b จากความสัมพันธ์สามค่าต่อไปนี้ a > b, a = b a ในการเปรียบเทียบตัวเลข a และ b หมายถึงการหาว่าเครื่องหมายใด >, = หรือ ทฤษฎีบท.ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c

ทฤษฎีบท.หากคุณบวกเลขเดียวกันทั้งสองด้านของอสมการ เครื่องหมายของอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง
ผลที่ตามมาคำใดๆ สามารถย้ายจากส่วนหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันไปยังอีกส่วนหนึ่งได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของคำนี้ไปเป็นคำตรงกันข้าม

ทฤษฎีบท.หากอสมการทั้งสองข้างคูณด้วยจำนวนบวกเท่ากัน สัญญาณของอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง หากอสมการทั้งสองข้างคูณด้วยจำนวนลบเท่ากัน สัญญาณของอสมการจะเปลี่ยนไปตรงกันข้าม
ผลที่ตามมาหากอสมการทั้งสองข้างหารด้วยจำนวนบวกเท่ากัน สัญญาณของอสมการจะไม่เปลี่ยนแปลง หากอสมการทั้งสองข้างหารด้วยจำนวนลบเท่ากัน สัญญาณของอสมการจะเปลี่ยนไปตรงกันข้าม

คุณรู้ไหมว่า ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขคุณสามารถเพิ่มและคูณคำศัพท์ได้ ต่อไป คุณจะได้เรียนรู้วิธีดำเนินการที่คล้ายกันกับความไม่เท่าเทียมกัน ความสามารถในการบวกและคูณความไม่เท่าเทียมกันแบบคำต่อคำมักใช้ในทางปฏิบัติ การกระทำเหล่านี้ช่วยแก้ปัญหาในการประเมินและเปรียบเทียบความหมายของสำนวน

เมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ มักจำเป็นต้องบวกหรือคูณด้านซ้ายและขวาของอสมการทีละเทอม ในขณะเดียวกันก็มีการกล่าวกันว่าความไม่เท่าเทียมกันนั้นเพิ่มขึ้นหรือทวีคูณ ตัวอย่างเช่น หากนักท่องเที่ยวเดินมากกว่า 20 กม. ในวันแรก และมากกว่า 25 กม. ในวันที่สอง เราสามารถพูดได้ว่าในสองวันเขาเดินมากกว่า 45 กม. ในทำนองเดียวกัน หากความยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้าน้อยกว่า 13 ซม. และความกว้างน้อยกว่า 5 ซม. เราก็บอกได้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้น้อยกว่า 65 ซม. 2

เมื่อพิจารณาตัวอย่างเหล่านี้ มีการใช้สิ่งต่อไปนี้: ทฤษฎีบทการบวกและการคูณอสมการ:

ทฤษฎีบท.เมื่อบวกความไม่เท่าเทียมกันของเครื่องหมายเดียวกัน จะได้ความไม่เท่าเทียมกันของเครื่องหมายเดียวกัน: ถ้า a > b และ c > d แล้ว a + c > b + d

ทฤษฎีบท.เมื่อคูณอสมการของเครื่องหมายเดียวกันซึ่งมีด้านซ้ายและขวาเป็นบวก จะได้ค่าอสมการของเครื่องหมายเดียวกัน: ถ้า a > b, c > d และ a, b, c, d เป็นจำนวนบวก แล้ว ac > bd

อสมการที่มีเครื่องหมาย > (มากกว่า) และ 1/2, 3/4 b, c พร้อมด้วยเครื่องหมายของอสมการเข้มงวด > และในทำนองเดียวกัน อสมการ \(a \geq b \) หมายความว่าจำนวน a คือ มากกว่าหรือเท่ากับ b นั่นคือ . และไม่น้อยกว่า b

อสมการที่มีเครื่องหมาย \(\geq \) หรือเครื่องหมาย \(\leq \) เรียกว่าไม่เข้มงวด ตัวอย่างเช่น \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) ไม่ใช่อสมการที่เข้มงวด

คุณสมบัติทั้งหมดของอสมการเข้มงวดยังใช้ได้กับอสมการที่ไม่เข้มงวดเช่นกัน ยิ่งกว่านั้น หากสำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด เครื่องหมาย > ถือว่าตรงกันข้าม และคุณรู้ว่าในการแก้ปัญหาที่ประยุกต์จำนวนหนึ่ง คุณต้องสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบของสมการหรือระบบสมการ ต่อไปคุณจะพบว่า แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหามากมาย มีความไม่เท่าเทียมกันกับสิ่งที่ไม่รู้ เราจะนำเสนอแนวคิดในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันและวิธีทดสอบว่าตัวเลขที่กำหนดเป็นวิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันโดยเฉพาะหรือไม่

ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม
\(ax > b, \quad ax โดยให้ a และ b เป็นตัวเลข ส่วน x เป็นค่าที่ไม่รู้จัก เรียกว่า อสมการเชิงเส้นกับคนหนึ่งที่ไม่รู้จัก.

คำนิยาม.วิธีแก้อสมการโดยมีค่าที่ไม่ทราบคือค่าของค่าที่ไม่ทราบ ซึ่งอสมการนี้จะกลายเป็นอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันหมายถึงการค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดหรือพิสูจน์ว่าไม่มีเลย

คุณแก้สมการโดยลดให้เหลือสมการที่ง่ายที่สุด ในทำนองเดียวกัน เมื่อแก้ไขอสมการ เราพยายามลดอสมการเหล่านี้ให้อยู่ในรูปของอสมการธรรมดาโดยใช้คุณสมบัติ

การแก้อสมการระดับสองด้วยตัวแปรตัวเดียว

ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม
\(ax^2+bx+c >0 \) และ \(ax^2+bx+c โดยที่ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ \(a \neq 0 \) เรียกว่า อสมการระดับที่สองกับตัวแปรหนึ่งตัว.

การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
\(ax^2+bx+c >0 \) หรือ \(ax^2+bx+c ถือได้ว่าเป็นการค้นหาช่วงเวลาที่ฟังก์ชัน \(y= ax^2+bx+c \) รับค่าบวกหรือค่าลบ ค่า ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะวิเคราะห์ว่ากราฟของฟังก์ชัน \(y= ax^2+bx+c\) ตั้งอยู่ในระนาบพิกัดอย่างไร: โดยที่กิ่งก้านของพาราโบลาถูกชี้ทิศทาง - ขึ้นหรือลงไม่ว่า พาราโบลาตัดแกน x และถ้ามันตัด แล้วจุดที่ใด

อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการระดับสองด้วยตัวแปรเดียว:
1) ค้นหาการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสอง \(ax^2+bx+c\) และค้นหาว่าตรีโกณมิติมีรากหรือไม่
2) ถ้าตรีโกณมิติมีราก ให้ทำเครื่องหมายไว้บนแกน x และวาดพาราโบลาแผนผังผ่านจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ โดยกิ่งก้านของมันจะชี้ขึ้นด้านบนสำหรับ a > 0 หรือด้านล่างสำหรับ 0 หรือด้านล่างสำหรับ 3) หาช่วงเวลาบนแกน x ซึ่งจุดพาราโบลาอยู่เหนือแกน x (หากพาราโบลาแก้สมการ \(ax^2+bx+c >0\)) หรือต่ำกว่าแกน x (หากพาราโบลาแก้สมการ ความไม่เท่าเทียมกัน
\(ax^2+bx+c การแก้อสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา

พิจารณาฟังก์ชัน
ฉ(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

โดเมนของฟังก์ชันนี้คือเซตของตัวเลขทั้งหมด ศูนย์ของฟังก์ชันคือตัวเลข -2, 3, 5 โดยแบ่งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันออกเป็นระยะ \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) และ \( (5; +\infty)\)

ให้เราดูว่าสัญญาณของฟังก์ชันนี้คืออะไรในแต่ละช่วงเวลาที่ระบุ

นิพจน์ (x + 2)(x - 3)(x - 5) เป็นผลคูณของปัจจัย 3 ตัว เครื่องหมายของแต่ละปัจจัยเหล่านี้ในช่วงเวลาที่พิจารณาแสดงไว้ในตาราง:

โดยทั่วไป ให้ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยสูตร
ฉ(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n)
โดยที่ x คือตัวแปร และ x 1, x 2, ..., xn คือตัวเลขที่ไม่เท่ากัน ตัวเลข x 1 , x 2 , ..., xn เป็นศูนย์ของฟังก์ชัน ในแต่ละช่วงเวลาที่โดเมนของคำจำกัดความถูกหารด้วยศูนย์ของฟังก์ชัน เครื่องหมายของฟังก์ชันจะยังคงอยู่ และเมื่อผ่านศูนย์ เครื่องหมายก็จะเปลี่ยนไป

คุณสมบัตินี้ใช้เพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) โดยที่ x 1, x 2, ..., xn เป็นตัวเลขที่ไม่เท่ากัน

วิธีพิจารณา การแก้อสมการเรียกว่าวิธีแบบเป็นช่วง

ให้เรายกตัวอย่างการแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา

แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

\(x(0.5-x)(x+4) แน่นอนว่า ค่าศูนย์ของฟังก์ชัน f(x) = x(0.5-x)(x+4) คือจุด \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \; x=-4 \)

เราพล็อตค่าศูนย์ของฟังก์ชันบนแกนตัวเลขและคำนวณเครื่องหมายในแต่ละช่วงเวลา:

เราเลือกช่วงเวลาที่ฟังก์ชันน้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์แล้วจดคำตอบไว้

คำตอบ:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

วิธีช่วงเวลา เป็นอัลกอริธึมพิเศษที่ออกแบบมาเพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกันที่ซับซ้อนในรูปแบบ f(x) > 0 อัลกอริธึมประกอบด้วย 5 ขั้นตอน:

1. แก้สมการ f(x) = 0 ดังนั้น แทนที่จะได้อสมการ เราจะได้สมการที่แก้ง่ายกว่ามาก
2. ทำเครื่องหมายรากที่ได้รับทั้งหมดบนเส้นพิกัด ดังนั้นเส้นตรงจะแบ่งออกเป็นหลายช่วง
3. ค้นหาความหลากหลายของราก. หากรากมีหลายเท่า ให้วาดวงเหนือราก (รากจะถือเป็นผลคูณหากมีคำตอบที่เหมือนกันเป็นจำนวนคู่)
4. ค้นหาเครื่องหมาย (บวกหรือลบ) ของฟังก์ชัน f(x) บนช่วงขวาสุด ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะแทนที่ f(x) จำนวนใดๆ ก็ตามที่จะอยู่ทางขวาของรากที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมดก็เพียงพอแล้ว
5. ทำเครื่องหมายป้ายตามช่วงเวลาที่เหลือสลับกัน

หลังจากนี้ สิ่งที่เหลืออยู่คือจดช่วงเวลาที่เราสนใจ มีเครื่องหมาย “+” หากความไม่เท่าเทียมกันอยู่ในรูปแบบ f(x) > 0 หรือมีเครื่องหมาย “−” หากความไม่เท่าเทียมกันอยู่ในรูปแบบ f(x)< 0.

ในกรณีของอสมการไม่เข้มงวด (≤ , ≥) จำเป็นต้องรวมจุดที่เป็นคำตอบของสมการ f(x) = 0 ไว้ด้วย

ตัวอย่างที่ 1:

แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

(x - 2)(x + 7)< 0

เราทำงานโดยใช้วิธีช่วงเวลา

ขั้นตอนที่ 1: แทนที่อสมการด้วยสมการแล้วแก้มัน:

(x - 2)(x + 7) = 0

ผลคูณจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

เรามีสองราก

ขั้นตอนที่ 2: เราทำเครื่องหมายรากเหล่านี้บนเส้นพิกัด เรามี:

ขั้นตอนที่ 3: เราพบเครื่องหมายของฟังก์ชันในช่วงเวลาขวาสุด (ทางด้านขวาของจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ x = 2) ในการทำเช่นนี้ คุณต้องหาจำนวนใดๆ ที่มากกว่าจำนวน x = 2 ตัวอย่างเช่น ลองเอา x = 3 (แต่ไม่มีใครห้ามไม่ให้รับ x = 4, x = 10 และแม้แต่ x = 10,000)

ฉ(x) = (x - 2)(x + 7)

ฉ(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

เราได้ f(3) = 10 > 0 (10 เป็นจำนวนบวก) ดังนั้นเราจึงใส่เครื่องหมายบวกในช่วงขวาสุด

ขั้นตอนที่ 4: คุณต้องสังเกตป้ายในช่วงเวลาที่เหลือ เราจำได้ว่าเมื่อผ่านแต่ละรูต เครื่องหมายจะต้องเปลี่ยน ตัวอย่างเช่น ทางด้านขวาของราก x = 2 มีเครื่องหมายบวก (เรายืนยันแล้วในขั้นตอนที่แล้ว) ดังนั้นจึงต้องมีเครื่องหมายลบทางด้านซ้าย ลบนี้ขยายไปจนถึงช่วงทั้งหมด (−7; 2) ดังนั้นจึงมีเครื่องหมายลบทางด้านขวาของราก x = −7 ดังนั้นทางด้านซ้ายของราก x = −7 จะมีเครื่องหมายบวก ยังคงต้องทำเครื่องหมายสัญญาณเหล่านี้บนแกนพิกัด

กลับไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันแบบเดิมซึ่งมีรูปแบบดังนี้:

(x - 2)(x + 7)< 0

ดังนั้นฟังก์ชันต้องน้อยกว่าศูนย์ ซึ่งหมายความว่าเราสนใจเครื่องหมายลบซึ่งปรากฏเฉพาะในช่วงเวลาเดียวเท่านั้น: (−7; 2) นี่จะเป็นคำตอบ

ตัวอย่างที่ 2:

แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0

สารละลาย:

ก่อนอื่นคุณต้องหารากของสมการก่อน

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0

ลองยุบวงเล็บแรกแล้วรับ:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

เราแก้สมการเหล่านี้ได้:

ลองพล็อตจุดบนเส้นจำนวน:

เพราะ x 2 และ x 3 มีหลายรูต จากนั้นจะมีจุดหนึ่งบนเส้นและอยู่เหนือมัน” วนซ้ำ”.

ลองนำจำนวนใดๆ ที่น้อยกว่าจุดซ้ายสุดมาแทนลงในอสมการเดิม. เรามาเอาเลข -1 กัน

อย่าลืมใส่คำตอบของสมการด้วย (พบ X) เพราะ ความไม่เท่าเทียมกันของเราไม่เข้มงวด

คำตอบ: () คุณ ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7 ) ∪ ( 10 ) . ซึ่งหมายความว่าเราต้องทำเครื่องหมายจุดด้วยพิกัด − 5, 1, 3, 4 , 7 และ 10 . คะแนน − 5 และ 7 จะแสดงเป็นค่าว่าง ส่วนที่เหลือสามารถไฮไลต์ด้วยดินสอสีเพื่อแยกความแตกต่างจากศูนย์ของฟังก์ชัน

ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันแบบเข้มงวด ค่าศูนย์ของฟังก์ชันจะถูกพล็อตด้วยจุดปกติ (แรเงา) และในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด จะถูกพล็อตด้วยจุดว่าง ถ้าศูนย์ตรงกับจุดขอบเขตหรือจุดแต่ละจุดของขอบเขตคำจำกัดความ ก็สามารถทาสีดำใหม่ได้ ทำให้ว่างเปล่าหรือแรเงา ขึ้นอยู่กับประเภทของความไม่เท่าเทียมกัน

บันทึกการตอบกลับเป็นชุดตัวเลขที่ประกอบด้วย:

• ช่องว่างที่มีการแรเงา
• แต่ละจุดของโดเมนของคำจำกัดความด้วยเครื่องหมายบวก หากเรากำลังเผชิญกับอสมการที่มีเครื่องหมาย > หรือ ≥ หรือด้วยเครื่องหมายลบ หากอสมการมีเครื่องหมาย< или ≤ .

ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนว่าอัลกอริทึมที่เรานำเสนอในตอนต้นของหัวข้อเป็นกรณีพิเศษของอัลกอริทึมสำหรับการใช้วิธีการช่วงเวลาทั่วไป

ลองพิจารณาตัวอย่างการใช้วิธีช่วงเวลาทั่วไป

ตัวอย่างที่ 3

แก้อสมการ x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

สารละลาย

เราแนะนำฟังก์ชัน f โดยที่ f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . ลองหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชันกัน ฉ:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

ทีนี้ลองหาศูนย์ของฟังก์ชันกัน เพื่อทำสิ่งนี้ เราจะแก้สมการไร้เหตุผล:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

เราได้ราก x = 12

เพื่อระบุจุดขอบเขตบนแกนพิกัด เราใช้สีส้ม คะแนน - 6, 4 จะถูกกรอกและ 7 จะถูกเว้นว่างไว้ เราได้รับ:

เรามาทำเครื่องหมายศูนย์ของฟังก์ชันด้วยจุดสีดำที่ว่างเปล่า เนื่องจากเรากำลังทำงานกับอสมการที่เข้มงวด

เรากำหนดสัญญาณในแต่ละช่วงเวลา เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้นำจุดหนึ่งจากแต่ละช่วงเวลา เช่น 16 , 8 , 6 และ − 8 และคำนวณค่าของฟังก์ชันในนั้น ฉ:

ฉ (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 ฉ (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 ฉ (- 8) = - 8 2 + 2 · (- 8) - 24 - 3 4 · (- 8) - 3 - 8 - 7 = 24 + 3 - 15< 0

เราวางเครื่องหมายที่กำหนดไว้ใหม่และใช้การแรเงาเหนือช่องว่างด้วยเครื่องหมายลบ:

คำตอบจะเป็นการรวมกันของสองช่วงที่มีเครื่องหมาย "-": (− ∞, − 6 ] ∪ (7, 12)

เพื่อเป็นการตอบสนอง เราได้รวมจุดที่มีพิกัด - 6 ไว้ด้วย นี่ไม่ใช่ศูนย์ของฟังก์ชันซึ่งเราจะไม่รวมไว้ในคำตอบเมื่อแก้ไขอสมการที่เข้มงวด แต่เป็นจุดขอบเขตของโดเมนคำจำกัดความซึ่งรวมอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความ ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้จะเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนี้เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน

เราไม่ได้รวมจุดที่ 4 ไว้ในคำตอบ เช่นเดียวกับที่เราไม่รวมช่วงทั้งหมด [4, 7) ณ จุดนี้ เช่นเดียวกับตลอดช่วงที่ระบุทั้งหมด ค่าของฟังก์ชันจะเป็นบวก ซึ่งไม่เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันที่กำลังแก้ไข

มาเขียนสิ่งนี้อีกครั้งเพื่อความเข้าใจที่ชัดเจนยิ่งขึ้น: จะต้องรวมจุดสีไว้ในคำตอบในกรณีต่อไปนี้:

• จุดเหล่านี้เป็นส่วนหนึ่งของช่องว่างฟัก
• จุดเหล่านี้คือจุดแต่ละจุดในโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันซึ่งเป็นค่าของฟังก์ชันที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันที่กำลังแก้ไข

คำตอบ: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

วิธีช่วงเวลา– วิธีง่ายๆ ในการแก้อสมการเชิงตรรกยะแบบเศษส่วน นี่คือชื่อของอสมการที่มีนิพจน์เหตุผล (หรือเศษส่วน-ตรรกยะ) ที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร

1. ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง

วิธีช่วงเวลาช่วยให้คุณแก้ปัญหาได้ภายในไม่กี่นาที

ทางด้านซ้ายของอสมการนี้คือฟังก์ชันเศษส่วน ตรรกยะเพราะมันไม่มีราก ไม่มีไซน์ ไม่มีลอการิทึม - มีแต่เท่านั้น การแสดงออกที่มีเหตุผล. ทางด้านขวาเป็นศูนย์

วิธีช่วงเวลาจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชันเศษส่วนตรรกยะต่อไปนี้

ฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายได้ที่จุดที่เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่เท่านั้น

ให้เราเตือนคุณถึงวิธีแยกตัวประกอบ ตรีโกณมิติกำลังสองนั่นคือการแสดงออกของแบบฟอร์ม

รากอยู่ที่ไหนและอยู่ที่ไหน สมการกำลังสอง.

เราวาดแกนและวางจุดที่ตัวเศษและส่วนไปที่ศูนย์

ศูนย์ของตัวส่วนและเป็นจุดที่เจาะเนื่องจาก ณ จุดเหล่านี้ฟังก์ชันทางด้านซ้ายของอสมการไม่ได้ถูกกำหนดไว้ (คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) ศูนย์ของตัวเศษและ - จะถูกแรเงา เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันไม่ได้เข้มงวด เมื่อใด และ อสมการของเราจะเป็นที่น่าพอใจ เนื่องจากทั้งสองด้านมีค่าเท่ากับศูนย์

จุดเหล่านี้จะแบ่งแกนออกเป็นช่วงๆ

ขอให้เราพิจารณาเครื่องหมายของฟังก์ชันเศษส่วนทางด้านซ้ายของอสมการในแต่ละช่วงเหล่านี้ เราจำได้ว่าฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายได้ที่จุดที่เท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่เท่านั้น ซึ่งหมายความว่าในแต่ละช่วงเวลาระหว่างจุดที่ตัวเศษหรือส่วนไปที่ศูนย์ สัญลักษณ์ของนิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการจะคงที่ - ไม่ว่าจะเป็น "บวก" หรือ "ลบ"

ดังนั้น เพื่อกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันในแต่ละช่วงเวลา เราจะหาจุดใดๆ ที่เป็นของช่วงเวลานี้ อันที่สะดวกสำหรับเรา
. ยกตัวอย่างและตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านซ้ายของอสมการ "วงเล็บ" แต่ละอันเป็นค่าลบ ด้านซ้ายมีป้าย

ช่วงถัดไป: . ลองตรวจสอบป้ายได้ที่ เราพบว่าทางด้านซ้ายมีการเปลี่ยนป้ายเป็น

เอาล่ะ. เมื่อนิพจน์เป็นบวก ดังนั้น จึงเป็นค่าบวกตลอดช่วงเวลาตั้งแต่ ถึง

เมื่อด้านซ้ายของอสมการเป็นลบ

และสุดท้าย class="tex" alt="x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

เราพบว่านิพจน์เป็นบวกในช่วงใด สิ่งที่เหลืออยู่คือการเขียนคำตอบ:

คำตอบ: .

โปรดทราบ: ป้ายจะสลับระหว่างช่วงต่างๆ เรื่องนี้เกิดขึ้นเพราะว่า เมื่อผ่านแต่ละจุด ปัจจัยเชิงเส้นตัวใดตัวหนึ่งเปลี่ยนเครื่องหมาย ในขณะที่ส่วนที่เหลือยังคงไม่เปลี่ยนแปลง.

เราจะเห็นว่าวิธีช่วงเวลานั้นง่ายมาก เพื่อแก้อสมการเศษส่วน-ตรรกยะโดยใช้วิธีช่วงเวลา เราลดมันให้อยู่ในรูปแบบ:

หรือ class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}หรือหรือ

(ทางด้านซ้ายคือฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วน ทางด้านขวาคือศูนย์)

จากนั้นเราทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวนจุดที่ตัวเศษหรือส่วนไปที่ศูนย์
จุดเหล่านี้จะแบ่งเส้นจำนวนทั้งหมดออกเป็นระยะๆ โดยแต่ละช่วงจะมีฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะคงเครื่องหมายไว้
สิ่งที่เหลืออยู่คือการค้นหาสัญญาณของมันในแต่ละช่วงเวลา
เราทำเช่นนี้โดยการตรวจสอบเครื่องหมายของนิพจน์ ณ จุดใดๆ ที่เป็นของช่วงเวลาที่กำหนด หลังจากนั้นเราก็เขียนคำตอบ นั่นคือทั้งหมดที่

แต่คำถามก็เกิดขึ้น: สัญญาณต่างๆ สลับกันอยู่เสมอหรือไม่? ไม่ไม่เสมอไป! คุณต้องใช้ความระมัดระวังและไม่วางป้ายโดยกลไกและไร้ความคิด

2. ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอีกประการหนึ่ง

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ ซ้าย(x-3 \ขวา))>0"> !}

วางจุดบนแกนอีกครั้ง จุดและถูกเจาะเพราะเป็นศูนย์ของตัวส่วน ประเด็นนี้ก็ถูกตัดออกไปเช่นกัน เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันนั้นเข้มงวด

เมื่อตัวเศษเป็นบวก ตัวประกอบทั้งสองในตัวส่วนจะเป็นลบ ซึ่งสามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ โดยการนำตัวเลขใดๆ จากช่วงเวลาที่กำหนด เช่น ด้านซ้ายมีป้ายว่า

เมื่อตัวเศษเป็นบวก ตัวประกอบตัวแรกในตัวส่วนคือบวก ตัวประกอบที่สองคือลบ ด้านซ้ายมีป้ายว่า

สถานการณ์ก็เหมือนเดิม! ตัวเศษเป็นบวก ตัวประกอบตัวแรกในตัวส่วนเป็นบวก ตัวที่สองเป็นลบ ด้านซ้ายมีป้ายว่า

สุดท้ายด้วย class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

คำตอบ: .

เหตุใดการสลับป้ายจึงหยุดชะงัก? เพราะเมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่งตัวคูณจะ “รับผิดชอบ” ต่อมัน ไม่ได้เปลี่ยนป้าย. ผลก็คือความไม่เท่าเทียมกันด้านซ้ายทั้งหมดของเราจึงไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย

บทสรุป: หากตัวคูณเชิงเส้นเป็นกำลังคู่ (เช่นกำลังสอง) จากนั้นเมื่อผ่านจุดใดจุดหนึ่งเครื่องหมายของนิพจน์ทางด้านซ้ายจะไม่เปลี่ยนแปลง. ในกรณีที่เป็นระดับคี่ เครื่องหมายจะเปลี่ยนไปแน่นอน

3. ลองพิจารณากรณีที่ซับซ้อนกว่านี้ แตกต่างจากครั้งก่อนตรงที่ความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด:

ด้านซ้ายเหมือนกับในปัญหาก่อนหน้า ภาพของป้ายจะเหมือนกัน:

บางทีคำตอบอาจจะเหมือนกัน? เลขที่! มีการเพิ่มวิธีแก้ปัญหา สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น จุดนี้จึงเป็นคำตอบ

คำตอบ: .

สถานการณ์นี้มักเกิดขึ้นในปัญหาในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ นี่คือจุดที่ผู้สมัครตกหลุมพรางและเสียคะแนน ระวัง!

4. จะทำอย่างไรถ้าตัวเศษหรือส่วนไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้? พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันนี้:

ไม่สามารถแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสองได้: ค่าจำแนกเป็นค่าลบ และไม่มีราก แต่นี่เป็นสิ่งที่ดี! ซึ่งหมายความว่าสัญลักษณ์ของการแสดงออกของทุกคนนั้นเหมือนกันและโดยเฉพาะในเชิงบวก คุณสามารถอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ในบทความเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสอง

และตอนนี้เราสามารถหารอสมการทั้งสองข้างด้วยค่าที่เป็นบวกสำหรับทุกคนได้ ให้เรามาถึงความไม่เท่าเทียมกันที่เท่าเทียมกัน:

ซึ่งแก้ได้ง่ายๆ โดยใช้วิธี Interval

โปรดทราบว่าเราหารทั้งสองด้านของความไม่เท่าเทียมกันด้วยค่าที่เรารู้ว่าเป็นบวก โดยทั่วไปแล้ว คุณไม่ควรคูณหรือหารอสมการด้วยตัวแปรที่ไม่ทราบเครื่องหมาย

5 . ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันอีกประการหนึ่งซึ่งดูเหมือนจะค่อนข้างง่าย:

ผมแค่อยากจะคูณมันด้วย. แต่เราฉลาดอยู่แล้ว และเราจะไม่ทำเช่นนี้ ท้ายที่สุดแล้วมันสามารถเป็นได้ทั้งบวกและลบ และเรารู้ว่าถ้าอสมการทั้งสองข้างคูณด้วยค่าลบ สัญญาณของอสมการก็จะเปลี่ยนไป

เราจะทำมันแตกต่างออกไป - เราจะรวบรวมทุกอย่างไว้ในส่วนเดียวแล้วนำไปสู่ ตัวส่วนร่วม. ด้านขวาจะยังคงเป็นศูนย์:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

และหลังจากนั้น - สมัคร วิธีช่วงเวลา.