ในสี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ ผลรวมของมุมตรงข้ามจะเท่ากัน สูตรคำนวณพารามิเตอร์ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

⁰

ในการพิจารณาว่ารูปที่กำหนดเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือไม่นั้น จะต้องมีสัญญาณจำนวนหนึ่ง มาดูคุณสมบัติหลักสามประการของสี่เหลี่ยมด้านขนานกัน

เครื่องหมายสี่เหลี่ยมด้านขนาน 1 อัน

ถ้าด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านนี้ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์:

พิจารณารูปสี่เหลี่ยม ABCD ให้ด้าน AB และ CD ขนานกัน และให้ AB=CD ลองวาดเส้นทแยงมุม BD ลงไป มันจะแบ่งรูปสี่เหลี่ยมนี้ออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน: ABD และ CBD

สามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากันตลอดทั้ง 2 ด้านและมีมุมระหว่างกัน (BD คือด้านร่วม, AB = CD โดยเงื่อนไข, มุม 1 = มุม 2 เป็นมุมขวางโดยมี BD ตามขวางของเส้นคู่ขนาน AB และ CD) ดังนั้นมุม 3 = มุม 4

และมุมเหล่านี้จะนอนขวางเมื่อเส้น BC และ AD ตัดกับเส้นตัด BD จากนี้ไป BC และ AD ขนานกัน เรามีว่าในรูปสี่เหลี่ยม ABCD ด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ ดังนั้นรูปสี่เหลี่ยม ABCD จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เครื่องหมายสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ 2

ถ้าในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านตรงข้ามเท่ากันเป็นคู่ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์:

พิจารณารูปสี่เหลี่ยม ABCD ลองวาดเส้นทแยงมุม BD ลงไป มันจะแบ่งรูปสี่เหลี่ยมนี้ออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน: ABD และ CBD

สามเหลี่ยมทั้งสองนี้จะเท่ากันทั้งสามด้าน (BD คือด้านร่วม, AB = CD และ BC = AD ตามเงื่อนไข) จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่ามุม 1 = มุม 2 ตามมาว่า AB ขนานกับ CD และเนื่องจาก AB = CD และ AB ขนานกับ CD ดังนั้นตามเกณฑ์แรกของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

3 เครื่องหมายสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ถ้าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมตัดกันและถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด รูปสี่เหลี่ยมนี้จะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

พิจารณารูปสี่เหลี่ยม ABCD ลองวาดเส้นทแยงมุม AC และ BD สองเส้นในนั้น ซึ่งจะตัดกันที่จุด O และถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนโดยจุดนี้

สามเหลี่ยม AOB และ COD จะเท่ากันตามเครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม (AO = OC, BO = OD โดยเงื่อนไข มุม AOB = มุม COD เป็นมุมแนวตั้ง) ดังนั้น AB = CD และมุม 1 = มุม 2 จากความเท่ากันของมุม 1 และ 2 เราจะได้ว่า AB ขนานกับ CD จากนั้นเราได้ว่าใน ABCD ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้าน AB เท่ากับ CD และขนานกัน และตามเกณฑ์แรกของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน กล่าวคือ นอนอยู่บนเส้นคู่ขนาน

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:
ทฤษฎีบท 22 ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน
การพิสูจน์. ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD เราวาดเส้นทแยงมุม AC สามเหลี่ยม ACD และ ACB เท่ากันทุกประการ เนื่องจากมีด้าน AC ร่วมและมีมุมเท่ากันสองคู่ ที่อยู่ติดกัน: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (เป็นมุมขวางที่มีเส้นขนาน AD และ BC) ซึ่งหมายความว่า AB=CD และ BC=AD เป็นด้านที่สอดคล้องกัน สามเหลี่ยมเท่ากันฯลฯ จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ มุมที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากัน:
ทฤษฎีบท 23 มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากัน: ∠ A=∠ C และ ∠ B=∠ D
ความเท่าเทียมกันของคู่แรกมาจากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ABD และ CBD และคู่ที่สอง - ABC และ ACD
ทฤษฎีบท 24 มุมที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เช่น มุมที่อยู่ติดกันด้านหนึ่งรวมกันได้ 180 องศา
ที่เป็นเช่นนี้เพราะมันเป็นมุมด้านเดียวภายใน
ทฤษฎีบท 25 เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งครึ่งกันที่จุดตัดกัน
การพิสูจน์. พิจารณาสามเหลี่ยม BOC และ AOD ตามคุณสมบัติแรก AD=BC ∠ OAD=∠ OCB และ ∠ ODA=∠ OBC ที่วางขวางสำหรับเส้นขนาน AD และ BC ดังนั้น สามเหลี่ยม BOC และ AOD จึงมีด้านเท่ากันและมุมประชิดกัน ซึ่งหมายความว่า BO=OD และ AO=OS เช่น ด้านที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมเท่ากัน เป็นต้น

สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ทฤษฎีบท 26 ถ้าด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากันเป็นคู่ๆ ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
การพิสูจน์. ให้รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีด้าน AD และ BC, AB และ CD เท่ากันตามลำดับ (รูปที่ 2) ลองวาดเส้นทแยงมุม AC กัน สามเหลี่ยม ABC และ ACD เท่ากันทั้งสามด้าน แล้วมุม BAC และ DCA เท่ากัน ดังนั้น AB จึงขนานกับ CD ความขนานกันของด้าน BC และ AD ตามมาจากความเท่ากันของมุม CAD และ ACB
ทฤษฎีบท 27 ถ้ามุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากันเป็นคู่ ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ให้ ∠ A=∠ C และ ∠ B=∠ D เพราะ ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o จากนั้น ∠ A+∠ B=180 o และด้าน AD และ BC ขนานกัน (ขึ้นอยู่กับความขนานของเส้นตรง) เราจะพิสูจน์ความขนานของด้าน AB และ CD และสรุปว่า ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานตามคำจำกัดความ
ทฤษฎีบท 28 หากมุมที่อยู่ติดกันของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเช่น มุมที่อยู่ประชิดด้านหนึ่งรวมกันได้ 180 องศา จึงเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
หากมุมด้านเดียวภายในรวมกันได้ 180 องศา แสดงว่าเส้นตรงนั้นขนานกัน ดังนั้น AB ขนานกับ CD และ BC ขนานกับ AD รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานตามคำจำกัดความ
ทฤษฎีบท 29 ถ้าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมตัดกันที่จุดตัด รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้นจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
การพิสูจน์. ถ้า AO = OC, BO = OD สามเหลี่ยม AOD และ BOC จะเท่ากัน เนื่องจากมีมุมเท่ากัน (แนวตั้ง) ที่จุดยอด O ซึ่งอยู่ระหว่างคู่ทั้งสอง ด้านที่เท่ากัน. จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม เราสรุปได้ว่า AD และ BC เท่ากัน ด้าน AB และ CD ก็เท่ากัน และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานตามเกณฑ์ที่ 1
ทฤษฎีบท 30 ถ้ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีด้านคู่ขนานกันเท่ากัน แสดงว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ให้ด้าน AB และ CD ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ขนานกันและเท่ากัน ลองวาดเส้นทแยงมุม AC และ BD กัน จากความขนานของเส้นเหล่านี้ จะได้ว่ามุมขวาง ABO = CDO และ BAO = OCD เท่ากัน สามเหลี่ยม ABO และ CDO เท่ากันทั้งด้านและมุมประชิด ดังนั้น AO=OS, VO=ОD เช่น เส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะกลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานตามเกณฑ์ที่ 4

ในเรขาคณิต จะพิจารณากรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์

ก่อนอื่น ลองวาดเส้นทแยงมุม AC ก่อน เราได้สามเหลี่ยมสองอัน: ABC และ ADC

เนื่องจาก ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน จึงเป็นจริงดังนี้:

โฆษณา || BC \ลูกศรขวา \มุม 1 = \มุม 2เหมือนนอนขวางทาง

เอบี || ซีดี\ลูกศรขวา\angle3 =\มุม 4เหมือนนอนขวางทาง

ดังนั้น \triangle ABC = \triangle ADC (ตามเกณฑ์ที่สอง: และ AC เป็นเรื่องปกติ)

ดังนั้น \triangle ABC = \triangle ADC แล้ว AB = CD และ AD = BC

พิสูจน์แล้ว!

2. มุมตรงข้ามเหมือนกัน

การพิสูจน์

ตามหลักฐาน คุณสมบัติ 1เรารู้ว่า \มุม 1 = \มุม 2, \มุม 3 = \มุม 4. ดังนั้นจำนวนเงิน มุมตรงข้ามเท่ากับ: \มุม 1 + \มุม 3 = \มุม 2 + \มุม 4. เมื่อพิจารณาว่า \triangle ABC = \triangle ADC เราจะได้ \angle A = \angle C , \angle B = \angle D

พิสูจน์แล้ว!

3. เส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งโดยจุดตัด

การพิสูจน์

ลองวาดเส้นทแยงมุมอีกอันหนึ่ง

โดย ทรัพย์สิน 1เรารู้ว่าด้านตรงข้ามเหมือนกัน: AB = CD สังเกตอีกครั้งว่าเส้นขวางที่วางเป็นมุมเท่ากัน

ดังนั้น จึงชัดเจนว่า \triangle AOB = \triangle COD ตามเกณฑ์ที่สองสำหรับความเท่ากันของรูปสามเหลี่ยม (มุมสองมุมและด้านระหว่างมุมทั้งสอง) นั่นคือ BO = OD (ตรงข้ามมุม \มุม 2 และ \มุม 1) และ AO = OC (ตรงข้ามมุม \มุม 3 และ \มุม 4 ตามลำดับ)

พิสูจน์แล้ว!

สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

หากมีปัญหาเพียงจุดเดียว รูปนั้นจะเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน และคุณสามารถใช้คุณสมบัติทั้งหมดของรูปนี้ได้

เพื่อการท่องจำที่ดีขึ้น โปรดทราบว่าเครื่องหมายสี่เหลี่ยมด้านขนานจะตอบคำถามต่อไปนี้ - "จะหาได้อย่างไร?". นั่นคือจะทราบได้อย่างไรว่าตัวเลขที่กำหนดนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านทั้งสองเท่ากันและขนานกัน

AB = ซีดี ; เอบี || CD\ลูกศรขวา ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์

มาดูกันดีกว่า ทำไมต้องโฆษณา || พ.ศ.?

\triangle ABC = \triangle ADC โดย ทรัพย์สิน 1: AB = CD, AC - จุดร่วม และ \angle 1 = \มุม 2 วางขวางโดยขนาน AB และ CD และจุดตัด AC

แต่ถ้า \triangle ABC = \triangle ADC แล้ว \angle 3 = \angle 4 (อยู่ตรงข้าม AB และ CD ตามลำดับ) และด้วยเหตุนี้ AD || BC (\angle 3 และ \angle 4 - เส้นที่วางขวางก็เท่ากัน)

สัญญาณแรกถูกต้อง

2. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามเท่ากัน

AB = CD, AD = BC \ลูกศรขวา ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์

ลองพิจารณาสัญลักษณ์นี้ ลองวาดเส้นทแยงมุม AC อีกครั้ง

โดย ทรัพย์สิน 1\สามเหลี่ยม ABC = \สามเหลี่ยม ACD

เป็นไปตามนั้น: \angle 1 = \angle 2 \โฆษณาลูกศรขวา || บี.ซี.และ \angle 3 = \angle 4 \ลูกศรขวา AB || ซีดีนั่นคือ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สัญญาณที่สองถูกต้อง

3. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุมตรงข้ามกันเท่ากัน

\มุม A = \มุม C , \angle B = \มุม D \ลูกศรขวา ABCD- สี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์

2 \อัลฟา + 2 \เบต้า = 360^(\circ)(เนื่องจาก ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และ \angle A = \angle C , \angle B = \angle D ตามเงื่อนไข)

ปรากฎว่า \alpha + \beta = 180^(\circ) แต่ \alpha และ \beta เป็นด้านเดียวภายในที่เส้นตัด AB

และความจริงที่ว่า \alpha + \beta = 180^(\circ) ก็หมายความว่า AD || ด้วย บี.ซี.

ยิ่งไปกว่านั้น \alpha และ \beta มีด้านเดียวภายในที่เส้นตัด AD และนั่นหมายความว่า AB || ซีดี.

สัญญาณที่สามถูกต้อง

4. สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีเส้นทแยงมุมถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด

เอโอ = โอซี ; BO = OD\สี่เหลี่ยมด้านขนานลูกศรขวา

การพิสูจน์

บีโอ = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 เป็นแนวตั้ง \ลูกศรขวา \สามเหลี่ยม AOB = \สามเหลี่ยม COD, \ลูกศรขวา \มุม 3 = \มุม 4และ \ลูกศรขวา AB || ซีดี.

ในทำนองเดียวกัน BO = OD; เอโอ = โอซี \angle 5 = \angle 6 \ลูกศรขวา \triangle AOD = \triangle BOC \ลูกศรขวา \angle 7 = \angle 8และ \โฆษณาลูกศรขวา || บี.ซี.

สัญญาณที่สี่ถูกต้อง

ซิกกี ปา-รัล-เล-โล-แกรม-มา

1. ความหมายและคุณสมบัติพื้นฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เริ่มต้นด้วยการนึกถึงคำจำกัดความของ para-ral-le-lo-gram

คำนิยาม. สี่เหลี่ยมด้านขนาน- what-you-rekh-gon-nick ซึ่งมีด้านโปรติเท็จทุก ๆ สองด้านที่ขนานกัน (ดูรูปที่ 1)

ข้าว. 1. ปา-ราล-เลอ-โล-แกรม

มาจำกัน คุณสมบัติพื้นฐานของพา-ราล-เลอ-โล-แกรม-มา:

เพื่อให้สามารถใช้คุณสมบัติเหล่านี้ทั้งหมดได้ คุณต้องแน่ใจว่า fi-gu-ra เกี่ยวกับใครบางคน -roy ที่เรากำลังพูดถึง - par-ral-le-lo-gram ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องรู้ข้อเท็จจริงเช่นสัญญาณของ pa-ral-le-lo-gram-ma เรากำลังดูสองคนแรกตอนนี้

2. เครื่องหมายแรกของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบท. สัญญาณแรกของ pa-ral-le-lo-gram-maถ้าในถ่านหินสี่ก้อน ด้านตรงข้ามทั้งสองเท่ากันและขนานกัน ดังนั้นชื่อเล่นถ่านหินสี่ก้อนนี้ - สี่เหลี่ยมด้านขนาน. .

ข้าว. 2. สัญญาณแรกของ pa-ral-le-lo-gram-ma

การพิสูจน์. ลองใส่ dia-go-nal ลงใน four-reh-coal-ni-ka (ดูรูปที่ 2) เธอแยกมันออกเป็น tri-coal-ni-ka สองอัน ลองเขียนสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับสามเหลี่ยมเหล่านี้:

ตามเครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมที่ระบุตามมาด้วยสัญลักษณ์ของความขนานของเส้นตรงเมื่อข้าม ch-nii s-ku-shchi ของพวกเขา เรามีสิ่งนั้น:

โด-คา-ซ่า-แต่

3. เครื่องหมายที่สองของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ทฤษฎีบท. เครื่องหมายที่สองคือ pa-ral-le-lo-gram-maถ้าในสี่มุมทุก ๆ สองด้านที่ pro-ti-false เท่ากัน แล้วสี่มุมนี้ก็เท่ากับ สี่เหลี่ยมด้านขนาน. .

ข้าว. 3. สัญลักษณ์ที่สองของ pa-ral-le-lo-gram-ma

การพิสูจน์. เราใส่ไดอะโกนัลไว้ที่มุมทั้งสี่ (ดูรูปที่ 3) เธอแบ่งมันออกเป็นสามเหลี่ยมสองอัน ลองเขียนสิ่งที่เรารู้เกี่ยวกับสามเหลี่ยมเหล่านี้ตามรูปแบบของทฤษฎี:

ตามเครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมจะตามมาด้วยเครื่องหมายของเส้นคู่ขนานเมื่อตัดกัน s-ku-shchey มากินกันเถอะ:

พาร์-ราล-เลอ-โล-แกรม ตามคำนิยาม Q.E.D.

โด-คา-ซ่า-แต่

4. ตัวอย่างการใช้คุณลักษณะสี่เหลี่ยมด้านขนานแรก

ลองดูตัวอย่างการใช้สัญลักษณ์ของ pa-ral-le-lo-gram

ตัวอย่างที่ 1. ในส่วนที่นูนไม่มีถ่านหิน ค้นหา: ก) มุมของถ่านหิน; b) ร้อยรูเบิล

สารละลาย. ภาพประกอบ รูปที่. 4.

pa-ral-le-lo-gram ตามสัญญาณแรกของ pa-ral-le-lo-gram-ma

ก. โดยสมบัติของพาร์-ราล-เลอ-โล-แกรมเกี่ยวกับมุมโปร-ติ-เท็จ โดยสมบัติของพาร์-ราล-เลอ-โล-แกรมเกี่ยวกับผลรวมของมุม เมื่อนอนตะแคงข้างหนึ่ง

บี. โดยธรรมชาติของความเสมอภาคของฝ่ายสนับสนุนเท็จ

เครื่องหมายซ้ำ pa-ral-le-lo-gram-ma

5. ทบทวน: ความหมายและคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

จำไว้ว่า สี่เหลี่ยมด้านขนาน- นี่คือมุมสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีด้านโปรติเท็จเป็นคู่ นั่นคือถ้า - par-ral-le-lo-gram แล้ว (ดูรูปที่ 1)

Parallel-le-lo-gram มีคุณสมบัติหลายประการ: มุมตรงข้ามเท่ากัน () มุมตรงข้าม -เราเท่ากัน ( ). นอกจากนี้ เดีย-โก-นา-ลี ปา-ราล-เล-โล-แกรม ณ จุดเร-เซ-เช-นิยา จะถูกแบ่งตามผลรวมของมุม โดยที่-เล- กดไปทางด้านใดด้านหนึ่ง pa -ral-le-lo-gram-ma เท่ากัน ฯลฯ

แต่เพื่อที่จะใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติเหล่านี้ทั้งหมด จำเป็นต้องแน่ใจอย่างแน่นอนว่า ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram เพื่อจุดประสงค์นี้ มีสัญญาณของ par-ral-le-lo-gram: นั่นคือข้อเท็จจริงเหล่านั้นซึ่งสามารถสรุปได้เพียงคุณค่าเดียว ว่าสิ่งที่คุณ rekh-coal-nick เป็น par-ral- เลอ-โล-แกรม-แม่ ในบทเรียนที่แล้ว เราได้ดูสัญญาณสองประการแล้ว ตอนนี้เรากำลังดูครั้งที่สาม

6. เครื่องหมายที่สามของสี่เหลี่ยมด้านขนานและการพิสูจน์

หากในถ่านหินสี่ก้อนมีไดอาโกออน ณ จุดรีเซเชนิยะที่พวกเขาทำบายลัม ดังนั้นโรห์โคลนิคที่คุณให้สี่คนนั้นเป็นปาราเล -โล-แกรม-แม่.

ที่ให้ไว้:

สิ่งที่คุณเป็นถ่านหินนิค; ; .

พิสูจน์:

สี่เหลี่ยมด้านขนาน.

การพิสูจน์:

เพื่อที่จะพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ จำเป็นต้องแสดงความเท่าเทียมของคู่สัญญากับพาร์-เลอ-โล-แกรม และความขนานของเส้นตรงมักเกิดขึ้นได้จากความเท่าเทียมกันของมุมขวางภายในที่มุมขวาเหล่านี้ ดังนั้น นี่คือวิธีถัดไปในการรับเครื่องหมายที่สามของพาร์-ราล -เลอ-โล-แกรม-มา: ผ่านความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม .

ลองดูว่าสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากันอย่างไร แท้จริงแล้วจากเงื่อนไขดังต่อไปนี้: . นอกจากนี้ เนื่องจากมุมเป็นแนวตั้ง จึงมีเท่ากัน นั่นคือ:

(สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันไตรถ่านหิน-ni-cov- ตามสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา)

จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม: (เนื่องจากมุมขวางภายในของเส้นตรงและตัวแยกเหล่านี้เท่ากัน) นอกจากนี้ จากความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมจะเป็นไปตามนั้น . ซึ่งหมายความว่าเราเข้าใจว่าในสี่ถ่านหินสองร้อยมีค่าเท่ากันและขนานกัน ตามสัญญาณแรก pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram

โด-คา-ซ่า-แต่

7. ตัวอย่างปัญหาบนเครื่องหมายที่สามของสี่เหลี่ยมด้านขนานและลักษณะทั่วไป

ลองดูตัวอย่างการใช้เครื่องหมายที่สามของ pa-ral-le-lo-gram

ตัวอย่างที่ 1

ที่ให้ไว้:

- สี่เหลี่ยมด้านขนาน; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (ดูรูปที่ 2)

พิสูจน์:- พา-ราล-เลอ-โล-แกรม

การพิสูจน์:

ซึ่งหมายความว่าในสี่ถ่านหิน-โน-เดีย-โก-ออน-ไม่ว่าพวกเขาจะทำบายลัม ณ จุดเรเซเชนิยะหรือไม่ก็ตาม. ด้วยเครื่องหมายที่สามของ pa-ral-le-lo-gram ตามมาจากนี้ - pa-ral-le-lo-gram

โด-คา-ซ่า-แต่

หากคุณวิเคราะห์เครื่องหมายที่สามของ pa-ral-le-lo-gram คุณจะสังเกตได้ว่าเครื่องหมายนี้ตรงกับสัตวแพทย์- มีคุณสมบัติเป็น par-ral-le-lo-gram นั่นคือความจริงที่ว่า เดีย-โก-นา-ลี เด-ลา-เซียไม่ได้เป็นเพียงคุณสมบัติของพาร์-เล-โล-แกรมเท่านั้น แต่ยังมีความโดดเด่นคือ คา-รัก-เต-ริ-สติ-เช- ทรัพย์สินซึ่งสามารถแยกแยะได้จากชุด what-you-rekh-coal-ni-cov

แหล่งที่มา

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

เช่นเดียวกับในเรขาคณิตแบบยุคลิด จุดและเส้นตรงเป็นองค์ประกอบหลักของทฤษฎีระนาบ ดังนั้น สี่เหลี่ยมด้านขนานจึงเป็นหนึ่งใน ตัวเลขสำคัญรูปสี่เหลี่ยมนูน จากนั้นแนวคิดของ "สี่เหลี่ยมผืนผ้า" "สี่เหลี่ยมจัตุรัส" "สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน" และปริมาณทางเรขาคณิตอื่น ๆ จะไหลลื่นเหมือนเส้นด้ายจากลูกบอล

ติดต่อกับ

ความหมายของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

รูปสี่เหลี่ยมนูน,ประกอบด้วยส่วนต่างๆ ซึ่งแต่ละคู่ขนานกัน ในทางเรขาคณิตเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ลักษณะของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบบคลาสสิกนั้นแสดงด้วย ABCD รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ด้านข้างเรียกว่าฐาน (AB, BC, CD และ AD) เส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดใดๆ ไปยังด้านที่อยู่ตรงข้ามกับจุดยอดนี้เรียกว่าความสูง (BE และ BF) เส้น AC และ BD เรียกว่าเส้นทแยงมุม

ความสนใจ!สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และสี่เหลี่ยมเป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ด้านและมุม: ลักษณะของความสัมพันธ์

คุณสมบัติที่สำคัญโดยส่วนใหญ่แล้ว กำหนดไว้ล่วงหน้าโดยการกำหนดนั้นเองพวกมันพิสูจน์ได้ด้วยทฤษฎีบท ลักษณะเหล่านี้มีดังนี้:

ด้านที่อยู่ตรงข้ามกันเป็นคู่เหมือนกัน
มุมที่อยู่ตรงข้ามกันจะเท่ากันเป็นคู่

พิสูจน์: พิจารณา ∆ABC และ ∆ADC ซึ่งได้มาจากการหาร ABCD ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้วยเส้นตรง AC ∠BCA=∠CAD และ ∠BAC=∠ACD เนื่องจาก AC เป็นเรื่องธรรมดาสำหรับพวกมัน (มุมแนวตั้งสำหรับ BC||AD และ AB||CD ตามลำดับ) จากนี้ไป: ∆ABC = ∆ADC (เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม)

ส่วน AB และ BC ใน ∆ABC สอดคล้องกันเป็นคู่กับเส้น CD และ AD ใน ∆ADC ซึ่งหมายความว่าทั้งสองเหมือนกัน: AB = CD, BC = AD ดังนั้น ∠B จึงสอดคล้องกับ ∠D และมีค่าเท่ากัน เนื่องจาก ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD ซึ่งเหมือนกันแบบคู่ ดังนั้น ∠A = ∠C คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว

ลักษณะของเส้นทแยงมุมของรูป

คุณสมบัติหลักของเส้นเหล่านี้ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน: จุดตัดแบ่งครึ่ง

พิสูจน์: ให้นั่นคือเป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม AC และ BD ของรูป ABCD พวกมันสร้างรูปสามเหลี่ยมสมส่วนสองรูป - ∆ABE และ ∆CDE

AB=CD เนื่องจากตรงกันข้าม ตามเส้นและเซแคนต์ ∠ABE = ∠CDE และ ∠BAE = ∠DCE

ตามเกณฑ์ที่สองของความเท่าเทียมกัน ∆ABE = ∆CDE ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบ ∆ABE และ ∆CDE: AE = CE, BE = DE และในขณะเดียวกัน พวกมันก็เป็นส่วนที่เป็นสัดส่วนของ AC และ BD คุณสมบัติได้รับการพิสูจน์แล้ว

คุณสมบัติของมุมที่อยู่ติดกัน

ยู ด้านที่อยู่ติดกันผลรวมของมุมคือ 180°เนื่องจากนอนตะแคงข้างเดียวกัน เส้นขนานและซีแคนต์ สำหรับรูปสี่เหลี่ยม ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180°

คุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่ง:

ลดลงไปด้านใดด้านหนึ่งตั้งฉาก
จุดยอดตรงข้ามมีเส้นแบ่งครึ่งขนาน
สามเหลี่ยมที่ได้จากการวาดเส้นแบ่งครึ่งจะเป็นหน้าจั่ว

การหาคุณลักษณะเฉพาะของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยใช้ทฤษฎีบท

คุณลักษณะของรูปนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทหลักซึ่งระบุดังต่อไปนี้: รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนถือเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในกรณีที่เส้นทแยงมุมตัดกัน และจุดนี้แบ่งพวกมันออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน

พิสูจน์: ให้เส้น AC และ BD ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ตัดกันที่นั่นคือ เนื่องจาก ∠AED = ∠BEC และ AE+CE=AC BE+DE=BD ดังนั้น ∆AED = ∆BEC (ตามเกณฑ์แรกสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม) นั่นคือ ∠EAD = ∠ECB นอกจากนี้ยังเป็นมุมตัดภายในของเส้นตัดขวาง AC สำหรับเส้น AD และ BC ดังนั้นตามคำจำกัดความของความเท่าเทียม - AD || บี.ซี. คุณสมบัติที่คล้ายกันของเส้น BC และ CD ก็ได้รับมาเช่นกัน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

การคำนวณพื้นที่ของรูป

พื้นที่ของรูปนี้ พบได้หลายวิธีวิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่ง: การคูณความสูงและฐานที่วาด

พิสูจน์: ลากเส้นตั้งฉาก BE และ CF จากจุดยอด B และ C ∆ABE และ ∆DCF เท่ากัน เนื่องจาก AB = CD และ BE = CF ABCD มีขนาดเท่ากับสี่เหลี่ยม EBCF เนื่องจากประกอบด้วยตัวเลขที่เท่ากัน: S ABE และ S EBCD รวมถึง S DCF และ S EBCD สืบเนื่องจากบริเวณนี้นั่นเอง รูปทรงเรขาคณิตตั้งอยู่ในลักษณะเดียวกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD

สำหรับการกำหนด สูตรทั่วไปพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานแสดงด้วยความสูงเป็น HBและด้านข้าง - ข. ตามลำดับ:

วิธีอื่นในการค้นหาพื้นที่

การคำนวณพื้นที่ ผ่านด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนานและมุมซึ่งก่อตัวเป็นวิธีการที่สองที่รู้จัก

Spr-ma - พื้นที่;

a และ b เป็นด้านของมัน

α คือมุมระหว่างส่วน a และ b

วิธีการนี้ใช้ได้ผลจริงจากวิธีแรก แต่ในกรณีที่ไม่ทราบ จะตัดสามเหลี่ยมมุมฉากที่พบพารามิเตอร์ออกเสมอ อัตลักษณ์ตรีโกณมิติ, นั่นคือ . การแปลงความสัมพันธ์ เราได้ ในสมการของวิธีแรก เราจะแทนที่ความสูงด้วยผลคูณนี้และขอหลักฐานยืนยันความถูกต้องของสูตรนี้

ผ่านเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานและมุมซึ่งพวกมันสร้างขึ้นเมื่อพวกมันตัดกัน คุณยังสามารถหาพื้นที่ได้อีกด้วย

พิสูจน์: AC และ BD ตัดกันเป็นรูปสามเหลี่ยมสี่รูป: ABE, BEC, CDE และ AED ผลรวมของพวกเขาเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้

พื้นที่ของแต่ละ ∆ สามารถพบได้โดยนิพจน์ โดยที่ a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB เนื่องจาก การคำนวณใช้ค่าไซน์เดียว นั่นคือ . เนื่องจาก AE+CE=AC= d 1 และ BE+DE=BD= d 2 สูตรพื้นที่จึงลดลงเป็น:

การประยุกต์ในพีชคณิตเวกเตอร์

คุณลักษณะของส่วนประกอบที่เป็นส่วนประกอบของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้พบการประยุกต์ใช้ในพีชคณิตเวกเตอร์ ซึ่งก็คือการบวกเวกเตอร์สองตัว กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานระบุไว้ว่า ถ้าให้เวกเตอร์มาและไม่เป็นเส้นตรง จากนั้นผลรวมจะเท่ากับเส้นทแยงมุมของรูปนี้ ซึ่งฐานตรงกับเวกเตอร์เหล่านี้

พิสูจน์: จากจุดเริ่มต้นที่เลือกโดยพลการ - เช่น - สร้างเวกเตอร์และ . ต่อไป เราสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน OASV โดยที่ส่วนของ OA และ OB อยู่ด้านข้าง ดังนั้นระบบปฏิบัติการจึงอยู่บนเวกเตอร์หรือผลรวม

สูตรคำนวณพารามิเตอร์ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ข้อมูลระบุตัวตนจะได้รับภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้:

a และ b, α - ด้านและมุมระหว่างพวกเขา;
d 1 และ d 2, γ - เส้นทแยงมุมและ ณ จุดตัดกัน
h a และ h b - ความสูงลดลงไปทางด้าน a และ b;

พารามิเตอร์	สูตร
การหาด้านข้าง
ตามเส้นทแยงมุมและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน
ตามเส้นทแยงมุมและด้านข้าง
ผ่านความสูงและจุดยอดตรงข้าม
การหาความยาวของเส้นทแยงมุม
ที่ด้านข้างและขนาดของยอดระหว่างพวกเขา