คาบของฟังก์ชัน y sinx เท่ากับ ช่วงเวลาของฟังก์ชัน y = sin x, y = cos x - ไฮเปอร์มาร์เก็ตความรู้

ตัวเลข T โดยที่ x F(x + T) = F(x) ใดๆ จำนวน T นี้เรียกว่าคาบของฟังก์ชัน

อาจมีหลายช่วง ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน F = const ใช้ค่าเดียวกันสำหรับค่าใดๆ ของอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นตัวเลขใดๆ จึงสามารถพิจารณาจุดของมันได้

โดยปกติแล้ว คุณจะสนใจคาบที่ไม่ใช่ศูนย์ที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน เพื่อความกระชับ เรียกง่ายๆ ว่าช่วงเวลา

ตัวอย่างคลาสสิกของฟังก์ชันคาบคือตรีโกณมิติ: ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ คาบของมันเท่ากันและเท่ากับ 2π นั่นคือ sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) และอื่นๆ อย่างไรก็ตาม แน่นอนว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันที่เป็นคาบเท่านั้น

สำหรับฟังก์ชันพื้นฐานอย่างง่าย วิธีเดียวที่จะพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันแบบคาบหรือไม่ใช่คาบคือผ่านการคำนวณ แต่สำหรับฟังก์ชันที่ซับซ้อนนั้นมีอยู่หลายอย่างแล้ว กฎง่ายๆ.

ถ้า F(x) อยู่กับจุด T และอนุพันธ์ถูกกำหนดไว้แล้ว อนุพันธ์นี้ f(x) = F′(x) ก็เป็นฟังก์ชันคาบที่มีจุด T เช่นกัน ท้ายที่สุดแล้ว ค่าของอนุพันธ์ ณ จุดนั้น x เท่ากับแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์ของกราฟของแอนติเดริเวทีฟที่จุดนี้กับแกน x และเนื่องจากมันถูกทำซ้ำเป็นระยะๆ จึงต้องทำซ้ำ ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของฟังก์ชัน sin(x) เท่ากับ cos(x) และมันเป็นคาบ การหาอนุพันธ์ของ cos(x) จะได้ –sin(x) ความถี่ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

อย่างไรก็ตามสิ่งที่ตรงกันข้ามนั้นไม่จริงเสมอไป ดังนั้น ฟังก์ชัน f(x) = const จึงเป็นคาบ แต่ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = const*x + C ไม่ใช่

ถ้า F(x) เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบ T แล้ว G(x) = a*F(kx + b) โดยที่ a, b และ k เป็นค่าคงที่ และ k ไม่เท่ากับศูนย์ - ก็เป็นฟังก์ชันคาบด้วย และระยะเวลาของมันคือ T/k ตัวอย่างเช่น sin(2x) เป็นฟังก์ชันคาบ และคาบของมันคือ π สามารถแสดงเป็นภาพได้ด้วยวิธีนี้: โดยการคูณ x ด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่ง ดูเหมือนว่าคุณจะบีบอัดฟังก์ชันในแนวนอนหลาย ๆ ครั้ง

ถ้า F1(x) และ F2(x) เป็นฟังก์ชันคาบ และคาบเท่ากับ T1 และ T2 ตามลำดับ ผลรวมของฟังก์ชันเหล่านี้ก็สามารถเป็นฟังก์ชันคาบได้เช่นกัน อย่างไรก็ตาม ระยะเวลาจะไม่ใช่ผลรวมของช่วง T1 และ T2 อย่างง่าย ถ้าผลลัพธ์ของการหาร T1/T2 เป็นจำนวนตรรกยะ ผลรวมของฟังก์ชันจะเป็นแบบคาบ และคาบจะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของคาบ T1 และ T2 ตัวอย่างเช่น หากคาบของฟังก์ชันแรกคือ 12 และคาบของฟังก์ชันที่สองคือ 15 คาบของผลรวมจะเท่ากับ LCM (12, 15) = 60

สิ่งนี้สามารถแสดงด้วยสายตาได้ดังต่อไปนี้: ฟังก์ชันมาพร้อมกับ "ความกว้างของขั้นตอน" ที่แตกต่างกัน แต่ถ้าอัตราส่วนของความกว้างเป็นเหตุผล ไม่ช้าก็เร็วหรือ (แม่นยำยิ่งขึ้นผ่าน LCM ของขั้นตอน) ฟังก์ชันเหล่านั้นจะกลับมาเท่ากันอีกครั้งและผลรวม จะเริ่มช่วงใหม่

อย่างไรก็ตาม ถ้าอัตราส่วนของงวดเป็น ฟังก์ชันรวมจะไม่เป็นงวดเลย ตัวอย่างเช่น ให้ F1(x) = x mod 2 (ส่วนที่เหลือเมื่อ x หารด้วย 2) และ F2(x) = sin(x) T1 ตรงนี้จะเท่ากับ 2 และ T2 จะเท่ากับ 2π อัตราส่วนของงวดเท่ากับ π - จำนวนอตรรกยะ. ดังนั้นฟังก์ชัน sin(x) + x mod 2 จึงไม่ใช่คาบ

แหล่งที่มา:

• ข้อมูลทางทฤษฎีเกี่ยวกับฟังก์ชัน

ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์จำนวนมากมีคุณลักษณะเดียวที่ทำให้สร้างได้ง่ายขึ้น: เป็นระยะนั่นคือความสามารถในการทำซ้ำของกราฟบนตารางพิกัดในช่วงเวลาปกติ

คำแนะนำ

ฟังก์ชันคาบที่มีชื่อเสียงที่สุดในคณิตศาสตร์คือ ไซน์และโคไซน์ ฟังก์ชันเหล่านี้มีคาบคล้ายคลื่นและคาบพื้นฐานเท่ากับ 2P เป็นกรณีพิเศษด้วย ฟังก์ชั่นเป็นระยะคือ f(x)=const ช่วงเวลาหลักจำนวนเท่าใดก็ได้ที่เหมาะกับตำแหน่ง x ฟังก์ชั่นนี้ไม่มีเนื่องจากเป็นเส้นตรง

โดยทั่วไป ฟังก์ชันจะเป็นแบบคาบถ้ามีจำนวนเต็ม N ที่ไม่เป็นศูนย์และเป็นไปตามกฎ f(x)=f(x+N) ดังนั้นจึงรับประกันความสามารถในการทำซ้ำ คาบของฟังก์ชันคือตัวเลข N ที่น้อยที่สุด แต่ไม่ใช่ศูนย์ นั่นคือ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน sin x เท่ากับฟังก์ชัน sin (x+2ПN) โดยที่ N=±1, ±2 เป็นต้น

บางครั้งฟังก์ชันอาจมีตัวคูณ (เช่น sin 2x) ซึ่งจะเพิ่มหรือลดระยะเวลาของฟังก์ชัน เพื่อที่จะหาช่วงเวลาโดย

คำแนะนำ

หากต้องการค้นหาคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติยกกำลัง ให้ประเมินความเท่าเทียมกันของยกกำลัง เพื่อลดระยะเวลามาตรฐานลงครึ่งหนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากคุณให้ฟังก์ชัน y=3 cos^2x คาบมาตรฐาน 2P จะลดลง 2 เท่า ดังนั้นคาบจะเท่ากับ P โปรดทราบว่าฟังก์ชัน tg, ctg จะเป็นคาบของ P ถึงค่าใดๆ ก็ตาม ระดับ.

หากคุณได้รับสมการที่มีผลหารของทั้งสอง ฟังก์ชันตรีโกณมิติขั้นแรกให้หาจุดของแต่ละจุดแยกกัน จากนั้นหาจำนวนขั้นต่ำที่สามารถมีจำนวนเต็มของทั้งสองได้ ตัวอย่างเช่น กำหนดฟังก์ชัน y=tgx*cos5x สำหรับแทนเจนต์ คาบคือ P สำหรับโคไซน์ 5x คาบคือ 2P/5 จำนวนขั้นต่ำที่ทั้งสองช่วงเวลานี้สามารถใส่ได้คือ 2P ดังนั้นระยะเวลาที่ต้องการคือ 2P

หากพบว่าเป็นการยากที่จะปฏิบัติตามคำแนะนำหรือมีข้อสงสัยในคำตอบให้ลองปฏิบัติตามคำจำกัดความ ให้ T เป็นจุดของฟังก์ชัน ซึ่งมากกว่าศูนย์ แทน (x + T) ลงในสมการของ x แล้วแก้สมการผลลัพธ์ราวกับว่า T เป็นพารามิเตอร์หรือตัวเลข เป็นผลให้คุณจะพบค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติและสามารถเลือกระยะเวลาขั้นต่ำได้ ตัวอย่างเช่นเป็นผลมาจากการลดความซับซ้อนที่คุณได้รับ บาปประจำตัว(T/2)=0. ค่าต่ำสุดของ T ที่ดำเนินการคือ 2P นี่จะเป็นงาน

แหล่งที่มา:

• บาปช่วงเวลา

ฟังก์ชันคาบคือฟังก์ชันที่ทำซ้ำค่าหลังจากช่วงที่ไม่ใช่ศูนย์บางช่วง ระยะเวลาของฟังก์ชันคือตัวเลขที่เมื่อเพิ่มเข้าไปในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันแล้ว จะไม่เปลี่ยนค่าของฟังก์ชัน

คุณจะต้องการ

• ความรู้คณิตศาสตร์เบื้องต้นและหลักการวิเคราะห์

คำแนะนำ

วิดีโอในหัวข้อ

บันทึก

ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นแบบคาบ และฟังก์ชันพหุนามทั้งหมดที่มีดีกรีมากกว่า 2 จะเป็นแบบไม่มีคาบ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

คาบของฟังก์ชันที่ประกอบด้วยฟังก์ชันคาบสองฟังก์ชันคือตัวคูณร่วมน้อยของคาบของฟังก์ชันเหล่านี้

สมการตรีโกณมิติคือสมการที่มีฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ที่ไม่รู้จัก (เช่น 5sinx-3cosx =7) หากต้องการเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหา คุณจำเป็นต้องรู้วิธีการบางอย่างในเรื่องนี้

คำแนะนำ

แยกตัวประกอบสมการ ขั้นแรก เราย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายและแยกตัวประกอบ

สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชันมีเส้นตรงกับโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ถ้า เลขคู่ หรือ ฟังก์ชั่นคี่ไม่ใช่สำหรับ x=5 ดังนั้นจึงไม่มีอยู่จริงแม้แต่สำหรับ x=-5 ซึ่งไม่สามารถพูดเกี่ยวกับฟังก์ชันได้ ปริทัศน์. เมื่อสร้างความเท่าเทียมกันและคี่ ให้คำนึงถึงโดเมนของฟังก์ชัน

การศึกษาฟังก์ชันเพื่อหาความสม่ำเสมอและความคี่มีความสัมพันธ์กับการค้นหาชุดของค่าฟังก์ชัน หากต้องการค้นหาชุดของค่าของฟังก์ชันคู่ก็เพียงพอที่จะพิจารณาครึ่งหนึ่งของฟังก์ชันทางด้านขวาหรือด้านซ้ายของศูนย์ ถ้าสำหรับ x>0 ฟังก์ชันคู่ y(x) รับจาก A ถึง B จากนั้นจะมีค่าเท่ากันสำหรับ x<0.
หากต้องการค้นหาชุดของค่าที่ฟังก์ชันคี่รับมา ก็เพียงพอที่จะพิจารณาเพียงฟังก์ชันเดียวเท่านั้น ถ้าสำหรับ x>0 ฟังก์ชันคี่ y(x) รับช่วงของค่าตั้งแต่ A ถึง B ดังนั้นสำหรับ x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

“ตรีโกณมิติ” ครั้งหนึ่งเริ่มถูกเรียกว่าฟังก์ชันที่กำหนดโดยการพึ่งพามุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ความยาวของด้านข้าง ฟังก์ชันดังกล่าวได้แก่ ประการแรก ไซน์และโคไซน์ ประการที่สอง ค่าผกผันของฟังก์ชันเหล่านี้ ซีแคนต์และโคซีแคนต์ อนุพันธ์แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ รวมถึงฟังก์ชันผกผัน อาร์คไซน์ อาร์กโคไซน์ ฯลฯ จะถูกต้องมากกว่าที่จะไม่พูดถึง "วิธีแก้ปัญหา" ของฟังก์ชันดังกล่าว แต่เกี่ยวกับ "การคำนวณ" นั่นคือเกี่ยวกับการค้นหาค่าตัวเลข

คำแนะนำ

หากไม่ทราบอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ค่าของฟังก์ชันก็สามารถคำนวณทางอ้อมตามคำจำกัดความของฟังก์ชันเหล่านี้ได้ ในการทำเช่นนี้ คุณจำเป็นต้องทราบความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งต้องคำนวณตรีโกณมิติของมุมใดมุมหนึ่งด้วย ตัวอย่างเช่น ไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากกับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก จากนี้ไปก็เพียงพอที่จะทราบความยาวของด้านทั้งสองนี้สำหรับมุมหนึ่งแล้ว ข้อความที่คล้ายกันระบุว่าไซน์ของมุมแหลมคืออัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกับมุมนี้ต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมสามารถคำนวณได้โดยการหารความยาวของขาตรงข้ามด้วยความยาวของขาที่อยู่ติดกัน และต้องหารความยาวของขาที่อยู่ติดกันด้วยความยาวของขาตรงข้าม ในการคำนวณค่าตัดตัดของมุมแหลม คุณต้องหาอัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อความยาวของขาที่อยู่ติดกับมุมที่ต้องการ และค่าโคซีแคนต์จะถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อความยาว ของขาตรงข้าม

หากทราบอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติคุณไม่จำเป็นต้องทราบความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม - คุณสามารถใช้ตารางค่าหรือเครื่องคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ ซึ่งรวมอยู่ในโปรแกรมมาตรฐานของระบบปฏิบัติการ Windows หากต้องการเปิดใช้งานคุณสามารถกดคีย์ผสม Win + R ป้อนคำสั่ง calc แล้วคลิกปุ่ม "ตกลง" ในอินเทอร์เฟซโปรแกรม ให้ขยายส่วน "มุมมอง" และรายการ "วิศวกรรม" หรือ "วิทยาศาสตร์" หลังจากนั้น คุณสามารถป้อนอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ หากต้องการคำนวณฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ และหลังจากป้อนค่าแล้ว เพียงคลิกที่ปุ่มอินเทอร์เฟซที่เกี่ยวข้อง (sin, cos, tg) และค้นหาค่าผกผัน อาร์คไซน์ อาร์คโคไซน์ และคุณต้องทำเครื่องหมายที่ช่อง Inv ก่อน

นอกจากนี้ยังมีวิธีอื่น หนึ่งในนั้นคือไปที่เว็บไซต์ของเครื่องมือค้นหา Nigma หรือ Google แล้วป้อนฟังก์ชันที่ต้องการและอาร์กิวเมนต์เป็นคำค้นหา (เช่น sin 0.47) เครื่องมือค้นหาเหล่านี้มีเครื่องคิดเลขในตัว ดังนั้นหลังจากส่งคำขอดังกล่าว คุณจะได้รับค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่คุณป้อน

วิดีโอในหัวข้อ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติกลายเป็นเครื่องมือสำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมของการพึ่งพาค่าของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ความยาวของด้านข้าง ปัจจุบันมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในกิจกรรมของมนุษย์ทั้งในด้านวิทยาศาสตร์และเทคนิค สำหรับการคำนวณเชิงปฏิบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ที่กำหนด คุณสามารถใช้เครื่องมือต่างๆ ได้ - เครื่องมือที่เข้าถึงได้มากที่สุดหลายรายการได้อธิบายไว้ด้านล่าง

คำแนะนำ

ตัวอย่างเช่น ใช้โปรแกรมเครื่องคิดเลขที่ติดตั้งระบบปฏิบัติการเป็นค่าเริ่มต้น จะเปิดขึ้นโดยเลือกรายการ "เครื่องคิดเลข" ในโฟลเดอร์ "ยูทิลิตี้" จากส่วนย่อย "มาตรฐาน" ซึ่งอยู่ในส่วน "โปรแกรมทั้งหมด" ส่วนนี้สามารถเปิดได้โดยคลิกที่ปุ่ม "เริ่ม" ไปที่เมนูการทำงานหลัก หากคุณใช้เวอร์ชัน Windows 7 คุณสามารถพิมพ์ "เครื่องคิดเลข" ลงในช่อง "ค้นหาโปรแกรมและไฟล์" ของเมนูหลัก จากนั้นคลิกลิงก์ที่เกี่ยวข้องในผลการค้นหา

ป้อนมุมที่คุณต้องการคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติจากนั้นคลิกที่ปุ่มที่เกี่ยวข้อง - sin, cos หรือ tan หากคุณสนใจฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน (อาร์คไซน์ อาร์คโคไซน์ หรือ ) จากนั้นให้คลิกปุ่มที่มีข้อความ Inv ก่อน - มันจะเปลี่ยนฟังก์ชันที่กำหนดให้กับปุ่มควบคุมไปเป็นฟังก์ชันตรงกันข้าม

ในระบบปฏิบัติการเวอร์ชันก่อนหน้า (เช่น Windows XP) เพื่อเข้าถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติคุณต้องเปิดส่วน "มุมมอง" ในเมนูเครื่องคิดเลขและเลือกบรรทัด "วิศวกรรม" นอกจากนี้ แทนที่จะเป็นปุ่ม Inv อินเทอร์เฟซของโปรแกรมเวอร์ชันเก่าจะมีช่องทำเครื่องหมายที่มีข้อความเหมือนกัน

คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขหากคุณมีอินเทอร์เน็ต มีบริการมากมายบนอินเทอร์เน็ตที่นำเสนอเครื่องคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติที่จัดระเบียบในรูปแบบต่างๆ หนึ่งในสิ่งที่สะดวกที่สุดนั้นถูกสร้างขึ้นในเครื่องมือค้นหาของ Nigma เมื่อไปที่หน้าหลัก เพียงป้อนค่าที่คุณสนใจในช่องค้นหา เช่น "arc tangent 30" หลังจากคลิกปุ่ม "ค้นหา!" เครื่องมือค้นหาจะคำนวณและแสดงผลการคำนวณ - 0.482347907101025

วิดีโอในหัวข้อ

ตรีโกณมิติเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์สำหรับศึกษาการพึ่งพาต่างๆ ของด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากกับค่าของมุมแหลมที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าตรีโกณมิติ และเพื่อให้การทำงานง่ายขึ้น จึงได้ฟังก์ชันตรีโกณมิติมา ตัวตน.

แนวคิด ตัวตนใน หมายถึงความเท่าเทียมกันที่เก็บไว้สำหรับค่าใด ๆ ของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่รวมอยู่ในนั้น ตรีโกณมิติ ตัวตนเป็นความเท่าเทียมกันของฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งได้รับการพิสูจน์และยอมรับแล้วว่าอำนวยความสะดวกในการทำงานกับสูตรตรีโกณมิติฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันพื้นฐานของการพึ่งพาขาข้างหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกับขนาดของมุมแหลมที่ด้านตรงข้ามมุมฉาก ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานที่ใช้กันมากที่สุด 6 ฟังก์ชัน ได้แก่ sin (ไซน์), cos (โคไซน์), tg (แทนเจนต์), ctg (โคแทนเจนต์), วินาที (เซแคนต์) และโคเซก (โคซีแคนต์) ฟังก์ชันเหล่านี้เรียกว่าโดยตรง นอกจากนี้ยังมี

>> ความเป็นช่วงของฟังก์ชัน y = sin x, y = cos x

§ 11. ความเป็นงวดของฟังก์ชัน y = sin x, y = cos x

ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราใช้คุณสมบัติเจ็ดประการ ฟังก์ชั่น: โดเมนของคำจำกัดความ คู่หรือคี่ ความซ้ำซ้อน ขอบเขต ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด ความต่อเนื่อง ช่วงของค่าของฟังก์ชัน เราใช้คุณสมบัติเหล่านี้เพื่อสร้างกราฟของฟังก์ชัน (สิ่งนี้เกิดขึ้น เช่น ใน § 9) หรือเพื่ออ่านกราฟที่สร้างขึ้น (สิ่งนี้เกิดขึ้น เช่น ใน § 10) ตอนนี้ช่วงเวลาที่เหมาะสมได้มาถึงแล้วเพื่อแนะนำคุณสมบัติของฟังก์ชันอีกหนึ่ง (แปด) ซึ่งมองเห็นได้ชัดเจนในโครงสร้างด้านบน กราฟฟังก์ชัน y = sin x (ดูรูปที่ 37), y = cos x (ดูรูปที่ 41)

คำนิยาม.ฟังก์ชันจะเรียกว่าคาบหากมีตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ T โดยที่ x ใดๆ ในชุดจะมีเงื่อนไขสองเท่าดังนี้ ความเท่าเทียมกัน:

จำนวน T ที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุเรียกว่าคาบของฟังก์ชัน y = f(x)
เป็นไปตามนั้น เนื่องจาก x ใดๆ ความเท่าเทียมกันนั้นถูกต้อง:

ดังนั้นฟังก์ชัน y = sin x, y = cos x นั้นเป็นคาบและตัวเลขคือ 2 ปทำหน้าที่เป็นช่วงเวลาสำหรับทั้งสองหน้าที่
ระยะเวลาของฟังก์ชันเป็นคุณสมบัติที่แปดของฟังก์ชันที่สัญญาไว้

ตอนนี้ดูกราฟของฟังก์ชัน y = sin x (รูปที่ 37) ในการสร้างคลื่นไซน์ ก็เพียงพอแล้วที่จะพล็อตคลื่นลูกหนึ่งของมัน (บนส่วนแล้วเลื่อนคลื่นนี้ไปตามแกน x ด้วยเหตุนี้การใช้คลื่นลูกเดียวเราจะสร้างกราฟทั้งหมด

ลองดูกราฟของฟังก์ชัน y = cos x จากมุมมองเดียวกัน (รูปที่ 41) เราจะเห็นว่าในการพล็อตกราฟ การพล็อตคลื่นหนึ่งคลื่นก่อน (เช่น บนเซ็กเมนต์นั้นก็เพียงพอแล้ว)

แล้วเลื่อนมันไปตามแกน x ด้วย
โดยสรุปเราได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้

หากฟังก์ชัน y = f(x) มีจุด T ดังนั้นในการสร้างกราฟของฟังก์ชันนั้น คุณต้องสร้างกิ่งก้าน (คลื่น ส่วนหนึ่ง) ของกราฟก่อนในช่วงความยาวใดๆ T (ส่วนใหญ่มักจะใช้ช่วงที่มีจุดสิ้นสุด ที่จุดแล้วเลื่อนสาขานี้ไปตามแกน x ไปทางขวาและซ้ายเป็น T, 2T, ZT เป็นต้น
ฟังก์ชันคาบมีหลายคาบไม่จำกัด: ถ้า T คือคาบ ดังนั้น 2T คือคาบ และ ZT คือคาบ และ -T คือคาบ โดยทั่วไป จุดคือตัวเลขใดๆ ก็ตามในรูปแบบ KT โดยที่ k = ±1, ±2, ± 3... โดยปกติแล้วพวกเขาจะพยายามแยกคาบบวกที่เล็กที่สุดออกมา หากเป็นไปได้ เรียกว่าคาบหลัก
ดังนั้น จำนวนใดๆ ในรูปแบบ 2pk โดยที่ k = ±1, ± 2, ± 3 คือคาบของฟังก์ชัน y = sinn x, y = cos x; 2n คือคาบหลักของฟังก์ชันทั้งสอง

ตัวอย่าง.ค้นหาคาบหลักของฟังก์ชัน:

ก)ให้ T เป็นคาบหลักของฟังก์ชัน y = sin x มาใส่กันเถอะ

เพื่อให้ตัวเลข T เป็นคาบของฟังก์ชัน เอกลักษณ์ แต่เนื่องจากเรากำลังพูดถึงการหาคาบหลักเราจึงได้
ข)ให้ T เป็นจุดหลักของฟังก์ชัน y = cos 0.5x ลองใส่ f(x)=cos 0.5x จากนั้น f(x + T)=cos 0.5(x + T)=cos (0.5x + 0.5T)

เพื่อให้ตัวเลข T เป็นจุดของฟังก์ชัน ต้องระบุเอกลักษณ์ cos (0.5x + 0.5T) = cos 0.5x

ซึ่งหมายความว่า 0.5t = 2pp แต่เนื่องจากเรากำลังพูดถึงการหาคาบหลัก เราจะได้ 0.5T = 2 l, T = 4 l

ลักษณะทั่วไปของผลลัพธ์ที่ได้รับในตัวอย่างคือข้อความต่อไปนี้: คาบหลักของฟังก์ชัน

เอ.จี. พีชคณิต Mordkovich ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10

เนื้อหาบทเรียน บันทึกบทเรียนสนับสนุนวิธีการเร่งความเร็วการนำเสนอบทเรียนแบบเฟรมเทคโนโลยีเชิงโต้ตอบ ฝึกฝน งานและแบบฝึกหัด การทดสอบตัวเอง เวิร์คช็อป การฝึกอบรม กรณีศึกษา ภารกิจ การบ้าน การอภิปราย คำถาม คำถามวาทศิลป์จากนักเรียน ภาพประกอบ เสียง คลิปวิดีโอ และมัลติมีเดียภาพถ่าย รูปภาพ กราฟิก ตาราง แผนภาพ อารมณ์ขัน เกร็ดเล็กเกร็ดน้อย เรื่องตลก การ์ตูน อุปมา คำพูด ปริศนาอักษรไขว้ คำพูด ส่วนเสริม บทคัดย่อบทความ เคล็ดลับสำหรับเปล ตำราเรียนขั้นพื้นฐาน และพจนานุกรมคำศัพท์เพิ่มเติมอื่นๆ การปรับปรุงตำราเรียนและบทเรียนแก้ไขข้อผิดพลาดในตำราเรียนอัปเดตชิ้นส่วนในตำราเรียน องค์ประกอบของนวัตกรรมในบทเรียน แทนที่ความรู้ที่ล้าสมัยด้วยความรู้ใหม่ สำหรับครูเท่านั้น บทเรียนที่สมบูรณ์แบบ แผนปฏิทินเป็นเวลาหนึ่งปี หลักเกณฑ์โปรแกรมการอภิปราย บทเรียนบูรณาการ

วัตถุประสงค์: สรุปและจัดระบบความรู้ของนักเรียนในหัวข้อ “คาบเวลาของฟังก์ชัน”; พัฒนาทักษะในการประยุกต์คุณสมบัติของฟังก์ชันคาบ การหาคาบบวกที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน การสร้างกราฟของฟังก์ชันคาบ ส่งเสริมความสนใจในการศึกษาคณิตศาสตร์ ปลูกฝังการสังเกตและความแม่นยำ

อุปกรณ์: คอมพิวเตอร์ เครื่องฉายมัลติมีเดีย การ์ดงาน สไลด์ นาฬิกา โต๊ะเครื่องประดับ องค์ประกอบของงานฝีมือพื้นบ้าน

“คณิตศาสตร์คือสิ่งที่ผู้คนใช้ในการควบคุมธรรมชาติและตนเอง”
หนึ่ง. โคลโมโกรอฟ

ในระหว่างเรียน

I. เวทีองค์กร

การตรวจสอบความพร้อมของนักเรียนสำหรับบทเรียน รายงานหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

ครั้งที่สอง ตรวจการบ้าน.

เราตรวจการบ้านโดยใช้ตัวอย่างและอภิปรายประเด็นที่ยากที่สุด

สาม. ลักษณะทั่วไปและการจัดระบบความรู้

1. งานหน้าผากในช่องปาก

ประเด็นทางทฤษฎี

1) สร้างคำจำกัดความของช่วงเวลาของฟังก์ชัน
2) ตั้งชื่อคาบบวกที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y=sin(x), y=cos(x)
3). คาบบวกที่เล็กที่สุดของฟังก์ชัน y=tg(x), y=ctg(x) คือเท่าใด
4) ใช้วงกลมพิสูจน์ความถูกต้องของความสัมพันธ์:

y=บาป(x) = บาป(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

บาป(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) จะพล็อตฟังก์ชันคาบได้อย่างไร?

การออกกำลังกายในช่องปาก

1) จงพิสูจน์ความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้

ก) บาป (740°) = บาป (20°)
ข) คอส(54º) = คอส(-1026º)
ค) บาป (-1,000°) = บาป (80°)

2. พิสูจน์ว่ามุม 540° เป็นหนึ่งในคาบของฟังก์ชัน y= cos(2x)

3. พิสูจน์ว่ามุม 360 องศา เป็นหนึ่งในคาบของฟังก์ชัน y=tg(x)

4. แปลงนิพจน์เหล่านี้เพื่อให้มุมที่รวมอยู่ในค่าสัมบูรณ์ไม่เกิน 90 องศา

ก) tg375º
ข) CTG530º
ค) บาป1268º
ง) คอส(-7363º)

5. คุณเจอคำว่า PERIOD, PERIODICITY ที่ไหน?

คำตอบของนักเรียน: ช่วงเวลาในดนตรีเป็นโครงสร้างที่นำเสนอความคิดทางดนตรีที่สมบูรณ์ไม่มากก็น้อย ยุคทางธรณีวิทยาเป็นส่วนหนึ่งของยุคหนึ่งและแบ่งออกเป็นยุคต่างๆ โดยมีระยะเวลาตั้งแต่ 35 ถึง 90 ล้านปี

ครึ่งชีวิตของสารกัมมันตภาพรังสี เศษส่วนเป็นระยะ วารสารเป็นสิ่งพิมพ์ที่ปรากฏภายในกำหนดเวลาที่กำหนดอย่างเคร่งครัด ระบบคาบของเมนเดเลเยฟ

6. ตัวเลขแสดงส่วนต่างๆ ของกราฟของฟังก์ชันคาบ กำหนดระยะเวลาของฟังก์ชัน กำหนดระยะเวลาของฟังก์ชัน

คำตอบ: ต=2; ต=2; ต=4; ต=8.

7. คุณเคยพบกับการสร้างองค์ประกอบที่ซ้ำกันที่ไหนในชีวิตของคุณ?

คำตอบของนักเรียน: องค์ประกอบของเครื่องประดับ ศิลปะพื้นบ้าน

IV. การแก้ปัญหาร่วมกัน

(การแก้ปัญหาบนสไลด์)

ลองพิจารณาวิธีหนึ่งในการศึกษาฟังก์ชันสำหรับคาบ

วิธีนี้หลีกเลี่ยงปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ว่าช่วงเวลาใดช่วงหนึ่งสั้นที่สุด และยังขจัดความจำเป็นในการตอบคำถามเกี่ยวกับ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันคาบและคาบของฟังก์ชันที่ซับซ้อน การให้เหตุผลขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของฟังก์ชันคาบและข้อเท็จจริงต่อไปนี้เท่านั้น หาก T คือคาบของฟังก์ชัน แล้ว nT(n?0) คือคาบของมัน

ปัญหาที่ 1. ค้นหาคาบบวกที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน f(x)=1+3(x+q>5)

วิธีแก้ไข: สมมติว่าช่วง T ของฟังก์ชันนี้ จากนั้น f(x+T)=f(x) สำหรับทุก x € D(f) เช่น

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

ลองใส่ x=-0.25 เราได้

(ต)=0<=>T=n, n € Z

เราพบว่าคาบทั้งหมดของฟังก์ชันที่เป็นปัญหา (ถ้ามี) อยู่ในจำนวนเต็ม ลองเลือกจำนวนบวกที่น้อยที่สุดจากจำนวนเหล่านี้ นี้ 1 . มาดูกันว่ามันจะเป็นช่วงจริงหรือไม่ 1 .

ฉ(x+1) =3(x+1+0.25)+1

เนื่องจาก (T+1)=(T) สำหรับ T ใดๆ ดังนั้น f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ) เช่น 1 – ช่วง ฉ. เนื่องจาก 1 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด ดังนั้น T=1

ปัญหาที่ 2 จงแสดงว่าฟังก์ชัน f(x)=cos 2 (x) เป็นคาบและค้นหาคาบหลัก

ปัญหาที่ 3. ค้นหาคาบหลักของฟังก์ชัน

ฉ(x)=ซิน(1.5x)+5คอส(0.75x)

ให้เราสมมติคาบ T ของฟังก์ชัน แล้วค่าใดๆ เอ็กซ์อัตราส่วนนั้นถูกต้อง

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=บาป(1.5x)+5cos(0.75x)

ถ้า x=0 แล้ว

บาป(1.5T)+5คอส(0.75T)=บาป0+5คอส0

บาป(1.5T)+5คอส(0.75T)=5

ถ้า x=-T แล้ว

บาป0+5cos0=บาป(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – บาป(1.5T)+5cos(0.75T)

บาป(1.5T)+5คอส(0.75T)=5 – บาป(1.5T)+5คอส(0.75T)=5

เมื่อบวกเข้าไปเราจะได้:

10คอส(0.75T)=10

2π n, n € Z

ให้เราเลือกจำนวนบวกที่น้อยที่สุดจากตัวเลข “น่าสงสัย” ทั้งหมดสำหรับคาบนั้น และตรวจสอบว่าเป็นคาบสำหรับ f หรือไม่ เบอร์นี้

f(x+)=บาป(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= บาป(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

ซึ่งหมายความว่านี่คือคาบหลักของฟังก์ชัน f

ปัญหาที่ 4 ลองตรวจสอบว่าฟังก์ชัน f(x)=sin(x) เป็นคาบหรือไม่

ให้ T เป็นคาบของฟังก์ชัน f แล้วสำหรับ x ใดๆ

บาป|x+Т|=บาป|x|

ถ้า x=0 ดังนั้น sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z

สมมติว่า. สำหรับบางคน n ตัวเลข π n คือคาบ

ฟังก์ชันที่อยู่ระหว่างการพิจารณา π n>0 จากนั้น บาป|π n+x|=บาป|x|

นี่บอกเป็นนัยว่า n ต้องเป็นทั้งเลขคู่และเลขคี่ แต่เป็นไปไม่ได้ ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงไม่ใช่แบบคาบ

ภารกิจที่ 5 ตรวจสอบว่าฟังก์ชันเป็นระยะหรือไม่

ฉ(x)=

ให้ T เป็นคาบของ f แล้ว

ดังนั้น sinT=0, Т=π n, n € Z ให้เราสมมติว่าสำหรับจำนวน n บางตัว π n คือคาบของฟังก์ชันนี้จริงๆ จากนั้นเลข 2π n จะเป็นคาบ

เนื่องจากตัวเศษเท่ากัน ตัวส่วนจึงเท่ากัน

ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชัน f ไม่ใช่คาบ

การทำงานเป็นกลุ่ม.

งานสำหรับกลุ่ม 1

งานสำหรับกลุ่ม 2

ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน f เป็นแบบคาบและค้นหาคาบพื้นฐาน (ถ้ามี)

ฉ(x)=คอส(2x)+2ซิน(2x)

งานสำหรับกลุ่ม 3

เมื่อสิ้นสุดการทำงาน กลุ่มต่างๆ จะนำเสนอแนวทางแก้ไข

วี. สรุปบทเรียน.

การสะท้อน.

ครูมอบการ์ดพร้อมภาพวาดให้กับนักเรียนและขอให้พวกเขาระบายสีส่วนหนึ่งของภาพวาดแรกตามขอบเขตที่พวกเขาคิดว่าพวกเขาเชี่ยวชาญวิธีการศึกษาฟังก์ชันเป็นระยะและในส่วนของการวาดภาพครั้งที่สอง - ตามที่พวกเขา ผลงานในบทเรียน

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การบ้าน

1). ตรวจสอบว่าฟังก์ชัน f เป็นคาบและค้นหาคาบพื้นฐาน (ถ้ามี)

ข) ฉ(x)=x 2 -2x+4

ค). ฉ(x)=2tg(3x+5)

2). ฟังก์ชัน y=f(x) มีจุด T=2 และ f(x)=x 2 +2x สำหรับ x € [-2; 0]. ค้นหาค่าของนิพจน์ -2f(-3)-4f(3.5)

วรรณกรรม/

1. มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นการวิเคราะห์แบบเจาะลึก
2. คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State เอ็ด Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. เชเรเมเตียวา ที.จี. , ทาราโซวา อี.เอ.พีชคณิตและการวิเคราะห์เบื้องต้นสำหรับเกรด 10-11

บทเรียนวิดีโอ "คาบของฟังก์ชัน y = sin x, y = cos x" เผยให้เห็นแนวคิดเรื่องคาบของฟังก์ชัน พิจารณาคำอธิบายตัวอย่างการแก้ปัญหาซึ่งใช้แนวคิดเรื่องคาบของฟังก์ชัน บทเรียนวิดีโอนี้เป็นภาพช่วยอธิบายหัวข้อให้นักเรียนฟัง อีกด้วย คู่มือเล่มนี้สามารถเป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนได้อย่างอิสระทำให้ครูมีอิสระในการทำงานกับนักเรียนเป็นรายบุคคล

การมองเห็นในการนำเสนอหัวข้อนี้มีความสำคัญมาก หากต้องการแสดงพฤติกรรมของฟังก์ชัน การลงจุด จะต้องแสดงด้วยภาพ ไม่สามารถก่อสร้างโดยใช้กระดานดำและชอล์กในลักษณะที่นักเรียนทุกคนเข้าใจได้เสมอไป ในวิดีโอบทช่วยสอน คุณสามารถเน้นส่วนต่างๆ ของภาพวาดด้วยสีเมื่อสร้าง และทำการเปลี่ยนแปลงโดยใช้แอนิเมชั่น ดังนั้นการก่อสร้างจึงกลายเป็นเรื่องเข้าใจมากขึ้นสำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ นอกจากนี้ ฟีเจอร์บทเรียนแบบวิดีโอยังช่วยให้จดจำเนื้อหาได้ดียิ่งขึ้น

การสาธิตเริ่มต้นด้วยการแนะนำหัวข้อของบทเรียน พร้อมทั้งเตือนผู้เรียนถึงเนื้อหาที่เรียนในบทเรียนก่อนหน้า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รายการคุณสมบัติที่ระบุในฟังก์ชัน y = sin x และ y = cos x ได้รับการสรุปไว้ ในบรรดาคุณสมบัติของฟังก์ชันที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้น โดเมนของคำจำกัดความ ช่วงของค่า ความเท่าเทียมกัน (ความคี่) คุณสมบัติอื่น ๆ จะถูกบันทึกไว้ - ขอบเขต ความน่าเบื่อ ความต่อเนื่อง จุดที่มีค่าน้อยที่สุด (มากที่สุด) นักศึกษาทราบมาว่า บทเรียนนี้มีการศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชันอีกประการหนึ่ง - ช่วงเวลา

คำจำกัดความของฟังก์ชันคาบ y=f(x) โดยที่ xϵX ซึ่งมีเงื่อนไข f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) สำหรับบาง Т≠0 ปรากฏ มิฉะนั้น ตัวเลข T จะเรียกว่าคาบของฟังก์ชัน

สำหรับฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ที่กำลังพิจารณา การปฏิบัติตามเงื่อนไขจะถูกตรวจสอบโดยใช้สูตรการลดลง เห็นได้ชัดว่ารูปแบบของเอกลักษณ์ sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) สอดคล้องกับรูปแบบของนิพจน์ที่กำหนดเงื่อนไขของคาบของฟังก์ชัน สามารถสังเกตความเท่าเทียมกันแบบเดียวกันได้ โคไซน์คอส(x-2π)= คอส x= คอส (x+2π) ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติเหล่านี้มีลักษณะเป็นคาบ

มีการสังเกตเพิ่มเติมว่าคุณสมบัติของคาบช่วยในการสร้างกราฟของฟังก์ชันคาบได้อย่างไร พิจารณาฟังก์ชัน y = sin x กำลังสร้างหน้าจอ ประสานงานเครื่องบินโดยที่ Abscissas ถูกทำเครื่องหมายตั้งแต่ -6π ถึง 8π โดยเพิ่มทีละ π ส่วนหนึ่งของกราฟไซน์ถูกพล็อตบนระนาบ โดยแสดงด้วยคลื่นหนึ่งคลื่นบนส่วนนั้น รูปนี้แสดงให้เห็นว่ากราฟของฟังก์ชันก่อตัวขึ้นอย่างไรในขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมดโดยการขยับส่วนที่สร้างขึ้น ส่งผลให้เกิดไซนัสอยด์ที่ยาว

กราฟของฟังก์ชัน y = cos x ถูกสร้างขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของคาบของมัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ระนาบพิกัดจะถูกสร้างขึ้นในรูปซึ่งแสดงส่วนของกราฟ สังเกตได้ว่าชิ้นส่วนดังกล่าวมักจะถูกสร้างขึ้นบนส่วน [-π/2;3π/2] เช่นเดียวกับกราฟของฟังก์ชันไซน์ การสร้างกราฟโคไซน์จะดำเนินการโดยการขยับส่วน ผลจากการก่อสร้างทำให้เกิดไซนัสอยด์ยาวขึ้น

การสร้างกราฟฟังก์ชันคาบมีคุณสมบัติที่สามารถใช้ได้ ดังนั้นจึงได้รับในรูปแบบทั่วไป สังเกตว่าในการสร้างกราฟของฟังก์ชันดังกล่าว สาขาของกราฟจะถูกสร้างขึ้นครั้งแรกในช่วงความยาว T จากนั้นจึงจำเป็นต้องเลื่อนสาขาที่สร้างขึ้นไปทางขวาและซ้ายโดย T, 2T, 3T ฯลฯ ในเวลาเดียวกัน มีการชี้ให้เห็นคุณลักษณะอื่นของคาบ - สำหรับจำนวนเต็ม k≠0 ตัวเลข kT ก็คือคาบของฟังก์ชันเช่นกัน อย่างไรก็ตาม T เรียกว่าช่วงเวลาหลักเนื่องจากเป็นช่วงที่เล็กที่สุด สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์ คาบพื้นฐานคือ 2π อย่างไรก็ตาม คาบก็เท่ากับ 4π, 6π เป็นต้น

ต่อไปเสนอให้พิจารณาหาคาบหลักของฟังก์ชัน y = cos 5x วิธีแก้ปัญหาเริ่มต้นด้วยสมมติฐานว่า T คือคาบของฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข f(x-T)= f(x)= f(x+T) ในอัตลักษณ์นี้ f(x)= cos 5x และ f(x+T)=cos 5(x+T)= cos (5x+5T) ในกรณีนี้ cos (5x+5T)= cos 5x ดังนั้น 5T=2πn ตอนนี้คุณสามารถหา T=2π/5 ได้ ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ในโจทย์ข้อที่สอง คุณต้องหาคาบหลักของฟังก์ชัน y=sin(2x/7) สันนิษฐานว่าคาบหลักของฟังก์ชัน T สำหรับฟังก์ชันที่กำหนดคือ f(x)= sin(2x/7) และหลังจากช่วง f(x+T)=sin(2x/7)(x+T) = บาป(2x/7 +(2/7)T) หลังจากการลดลงเราจะได้ (2/7)Т=2πn อย่างไรก็ตาม เราจำเป็นต้องค้นหาคาบหลัก ดังนั้นเราจึงหาค่าที่น้อยที่สุด (2/7)T=2π จากนั้นเราจะหา T=7π ปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ในตอนท้ายของการสาธิต ผลลัพธ์ของตัวอย่างจะถูกสรุปเพื่อสร้างกฎสำหรับการกำหนดช่วงเวลาพื้นฐานของฟังก์ชัน สังเกตว่าสำหรับฟังก์ชัน y=sinkx และ y=coskx คาบหลักคือ 2π/k

บทเรียนวิดีโอ "ระยะเวลาของฟังก์ชัน y = sin x, y = cos x" สามารถใช้ในบทเรียนคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมเพื่อเพิ่มประสิทธิผลของบทเรียน อีกด้วย วัสดุนี้แนะนำให้อาจารย์นำไปปฏิบัติ การเรียนรู้ทางไกลเพื่อปรับปรุงความชัดเจนของคำอธิบาย สามารถแนะนำวิดีโอนี้ให้กับนักเรียนที่กำลังดิ้นรนเพื่อทำความเข้าใจหัวข้อนี้ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

การถอดรหัสข้อความ:

“คาบเวลาของฟังก์ชัน y = cos x, y = sin x”

ในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = sin x และ y = cos x จะใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันดังนี้

คำจำกัดความ 1 ด้าน

2 พื้นที่ค่า

3 คู่หรือคี่

4 ความน่าเบื่อ

5 ข้อ จำกัด

6 ความต่อเนื่อง

7 ค่าสูงสุดและต่ำสุด

วันนี้เราจะศึกษาคุณสมบัติอีกประการหนึ่ง: คาบของฟังก์ชัน

คำนิยาม. ฟังก์ชัน y = f (x) โดยที่ x ϵ X (ภาษากรีกเท่ากับ ef ของ x โดยที่ x อยู่ในเซต x) เรียกว่าคาบถ้ามีจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ T โดยที่สำหรับ x ใดๆ จาก เซต X ที่ความเสมอภาคสองเท่าคงอยู่: f (x - T)= f (x) = f (x + T)(eff จาก x ลบ te เท่ากับ ef จาก x และเท่ากับ ef จาก x บวก te) จำนวน T ที่เป็นไปตามความเท่าเทียมกันสองเท่านี้เรียกว่าคาบของฟังก์ชัน

และเนื่องจากไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้บนเส้นจำนวนทั้งหมด และสำหรับ x ใดๆ ความเท่าเทียมกัน sin(x - 2π)= sin x= sin(x+ 2π) จึงเป็นที่น่าพอใจ (ไซน์ของ x ลบสอง pi เท่ากับไซน์ของ x และเท่ากับ ถึงไซน์ของ x บวกสอง ไพ ) และ

cos (x- 2π)= cos x = cos (x+ 2π) (โคไซน์ของ x ลบ 2 pi เท่ากับโคไซน์ของ x และเท่ากับโคไซน์ของ x บวก 2 pi) จากนั้นไซน์และโคไซน์เป็นฟังก์ชันคาบที่มี คาบ 2π

ความเป็นช่วงช่วยให้คุณสร้างกราฟของฟังก์ชันได้อย่างรวดเร็ว อันที่จริง ในการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y = sin x ก็เพียงพอแล้วที่จะพล็อตคลื่นหนึ่งคลื่น (ส่วนใหญ่มักจะอยู่บนส่วน (จากศูนย์ถึงสอง pi) จากนั้นจึงเลื่อนส่วนที่สร้างขึ้นของกราฟไปตาม x - แกนไปทางขวาและซ้าย 2π จากนั้น 4π ไปเรื่อยๆ เพื่อให้ได้คลื่นไซน์

(แสดงการเลื่อนไปทางขวาและซ้ายทีละ 2π, 4π)

ในทำนองเดียวกันสำหรับกราฟของฟังก์ชัน

y = cos x แต่เราสร้างคลื่นหนึ่งคลื่นบ่อยที่สุดในเซ็กเมนต์ [; ] (จากลบ pi ส่วนสองถึงสาม pi ส่วนสอง)

ให้เราสรุปข้างต้นและสรุป: ในการสร้างกราฟของฟังก์ชันคาบด้วยระยะเวลา T คุณต้องสร้างกิ่งก้าน (หรือคลื่นหรือบางส่วน) ของกราฟก่อนในช่วงความยาว T ใด ๆ (ส่วนใหญ่มักจะเป็นเช่นนี้ เป็นช่วงเวลาที่สิ้นสุดที่จุด 0 และ T หรือ - และ (ลบ te คูณสองและ te คูณสอง) จากนั้นย้ายสาขานี้ไปตามแกน x(x) ไปทางขวาและซ้ายด้วย T, 2T, 3T เป็นต้น

แน่นอนว่า หากฟังก์ชันมีคาบเป็นช่วง T ดังนั้นสำหรับจำนวนเต็ม k0 ใดๆ (ka ไม่เท่ากับศูนย์) จำนวนที่อยู่ในรูปแบบ kT (ka te) ก็ถือเป็นคาบของฟังก์ชันนี้เช่นกัน โดยปกติแล้วพวกเขาจะพยายามแยกช่วงเวลาเชิงบวกที่น้อยที่สุดซึ่งเรียกว่าช่วงเวลาหลัก

เนื่องจากคาบของฟังก์ชัน y = cos x, y = sin x เราสามารถหาค่าได้ - 4π, 4π, - 6π, 6π เป็นต้น (ลบสี่พาย, สี่พาย, ลบหกพาย, หกพาย และอื่นๆ) . แต่เลข 2π คือคาบหลักของฟังก์ชันทั้งสอง

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1. ค้นหาคาบหลักของฟังก์ชัน y = cos5x (y เท่ากับโคไซน์ของห้า x)

สารละลาย. ให้ T เป็นจุดหลักของฟังก์ชัน y = cos5x มาใส่กันเถอะ

f (x) = cos5x แล้ว f (x + T) = cos5(x + T) = cos (5x + 5T) (ผลของ x บวก te เท่ากับโคไซน์ของ 5 คูณด้วยผลรวมของ x และ te คือ เท่ากับโคไซน์ของผลรวมของห้า x และห้า te)

คอส (5x + 5T) = cos5x ดังนั้น 5T = 2πn (ห้า te เท่ากับ 2 pi en) แต่ตามเงื่อนไขคุณจะต้องค้นหาคาบหลัก ซึ่งหมายถึง 5T = 2π เราได้ T=

(คาบของฟังก์ชันนี้คือ 2 ไพหารด้วย 5)

คำตอบ: T=.

ตัวอย่าง 2. ค้นหาคาบหลักของฟังก์ชัน y = sin (y เท่ากับไซน์ของผลหารของ 2 x คูณ 7)

สารละลาย. ให้ T เป็นคาบหลักของฟังก์ชัน y = sin มาใส่กันเถอะ

f (x) = sin จากนั้น f (x + T) = sin (x + T) = sin (x + T) (ef ของ x บวก te เท่ากับไซน์ของผลิตภัณฑ์ของสองในเจ็ดและผลรวมของ x และ te เท่ากับไซน์ของผลรวมของ 2 ใน 7 x และ 2 ใน 7 ใน te)

เพื่อให้ตัวเลข T เป็นจุดของฟังก์ชัน จะต้องเป็นไปตามอัตลักษณ์

บาป (x + T) = บาป ดังนั้น T= 2πn (te สองในเจ็ดเท่ากับสอง pi en) แต่ตามเงื่อนไขคุณจะต้องค้นหาคาบหลักซึ่งหมายถึง T= 2π เราได้ T=7

(คาบของฟังก์ชันนี้คือ 7 ไพ)

คำตอบ: T=7.

โดยสรุปผลลัพธ์ที่ได้รับจากตัวอย่าง เราสามารถสรุปได้: คาบหลักของฟังก์ชัน y = sin kx หรือ y = cos kx (y เท่ากับ sine ka x หรือ y เท่ากับโคไซน์ ka x) เท่ากับ (สอง pi หารด้วย ka)